心理统计学——5 概率与概率分布
教育与心理统计学第六章：概率分布
举例：
1、我们队将可能赢得今晚的这场比赛。 2、今天下午下雨的机会有40％。 3、这个冬天的周末我很可能有个约会。 4、我有50比50的机会通过今年的英语四
级考试。
概率的分类
1、后验概率(empirical definition of Probability)
以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率值作 为随机事件A的概率估计值，这样求得的概率称为 后验概率。
进行推论，从而确定推论正确或错误的概率。
一、正态分布及渐近正态分布
（一）样本平均数的分布
1、总体分布为正态， δ2已知，样本平均数 的分布为正 态分布
标准误，即样本均数的标准差，是描述均数抽样分布的 离散程度及衡量均数抽样误差大小的尺度，反映的是 样本均数之间的变异。
标准误用来衡量抽样误差。标准误越小，表明样本统计 量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性， 用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。
第六章 概率分布
第一节 概率的基本概念 第二节 正态分布 第三节 二项分布 第四节 样本分布
第一节 概率的基本概念
一、什么是概率 随机现象（或随机事件）——在心理学研究中，通过实
验、问卷调查所获得的数据，常因主试、被试、施测 条件等因素的随机变化而呈现出不确定性，即使是相 同的被试在相同的观测条件下，多次重复测量结果也 还是上下波动，我们一般都无法事先确定每一次测量 的结果。 概率（probability）：随机事件出现可能性大小的客观 指标
2、计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己 的正态概率分布表，这种表格是无穷多的
3、若能将一般的正态分布转化为标准正态分布， 计算概率时只需要查一张表
（三）标准正态分布表的编制与使用
心理学(研究方法)内容精讲(心理统计学-概率分布与总体参数的估计)【圣才出品】
心理学（研究方法）内容精讲第三部分心理统计学第三章概率分布与总体参数的估计第一节概率与概率分布一、概率的一些基本概念（一）什么是概率概率因寻求的方法不同有两种定义，即后验概率和先验概率。
1．后验概率的定义以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率制作为随机事件A概率的估计值，这样寻得的概率称为后验概率。
2．先验概率的定义先验概率是通过古典概率模型加以定义的，故又称为古典概率。
古典概率模型要求满足两个条件：①试验的所有可能结果是有限的；②每一种可能结果出现的可能性（概率）相等。
（二）概率的性质1．任何随机事件A的概率都是介于0与1之间的正数；2．不可能事件的概率等于0；3．必然事件的概率等于1。
（三）概率的加法和乘法1．概率的加法在一次试验中不可能同时出现的事件称为互不相容的事件。
两个互不相容事件和的概率，等于这两个事件概率之和。
2．概率的乘法A 事件出现的概率不影响B 事件出现的概率，这两个事件为独立事件。
两个独立事件的概率，等于这两个事件概率的乘积。
二、正态分布（一）正态分布特点1．呈倒挂的钟形，两头小，中间大，能力的特点呈正态分布；2．有其分布函数；3．横坐标以标准差为单位，用z 分数表示；4．正态分布下数据与标准差有一定数量关系1%X 1.96SD 95%X 2.58SD %X SD -⎧±⎪⎪±⎨⎪±⎪⎩－－ 包含所有数据的68.2 包含所有数据的 包含所有数据的99（二）正态分布的应用1．正态表的应用（1）已知概率可查Z 分数；（2）已知Z 分数可查概率；（3）已知概率或标准分数可查密度值、函数值。
2．正态分布在研究的应用（1）按能力分组，确定人数；（2）化等级评定为测量数据；（3）测验分数的正态化。
3．标准分数与应用公式：Z x x S-＝式中：x 代表原始数据；x 为一组数据的平均数；S 为标准差如果研究数据呈正态分布，可按正态分布的规律来解释。
例如：一个班成绩90x -=，SD＝3。
心理统计学常用公式总结
心理统计学常用公式总结心理统计学是心理学中的一个重要分支，它通过应用统计方法和概率理论来研究心理现象，分析和解释心理数据。
在心理统计学中，有许多常用的公式和方程式，用于计算和分析心理测量数据。
下面是一些常用的心理统计学公式总结。
1. 平均数（Mean）平均数是一组数值的总和除以数量的结果。
它是一组数据的集中趋势的一种度量。
平均数计算公式如下：平均数=总和/数量2. 中位数（Median）中位数是一组有序数据的中间值，将数据分为两个等长的部分。
对于一个有奇数个数据的数据集，中位数就是中间的值；对于有偶数个数据的数据集，中位数是中间两个值的平均数。
3. 众数（Mode）众数是一组数据中出现频率最高的值。
一个数据集可以有一个以上的众数，也可以没有众数。
4. 方差（Variance）方差是一组数据离其平均数的距离的平方的平均值。
方差用于衡量数据的离散程度。
方差计算公式如下：方差=Σ(数据-平均数)²/数量5. 标准差（Standard Deviation）标准差是方差的平方根，它是一组数据离其平均数的距离的平均值。
标准差也用于衡量数据的离散程度。
标准差计算公式如下：标准差=√方差6. 相关系数（Correlation Coefficient）相关系数衡量两个变量之间的关系强度和方向。
它是一个介于-1和1之间的值，越接近-1或1表示关系越强，越接近0表示关系越弱。
相关系数计算公式如下：相关系数=协方差/(标准差1*标准差2)7. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是在统计学中经常出现的一种分布模式。
它呈钟形曲线，对称分布在平均数周围。
正态分布可以由均值和标准差来完全描述。
8. 标准分数（Standard Scores）标准分数是将原始分数转化为以标准差为单位的分数。
它表示一个分数距离平均数的几个标准差。
标准分数=(原始分数-平均数)/标准差9. 置信区间（Confidence Interval）置信区间是对总体参数的估计范围，常用来估计平均值或比例的范围。
心理统计学
心理统计学一一名词解释[1]1随机现象：在肯定条件下，可能消失也可能不消失，或者可能这样消失也可能那样消失的一类现象。
2统计学：讨论随机现象的数量规律性的应用数学分支。
3大数定理：虽然每次观看结果可能都不同（偶然性），但是大量重复观看的结果可以形成稳定的数量特征（必定性）。
4统计学科学：以统计学方法为主要定量分析手段的科学。
心理学就是一门统计性科学。
5数理统计学：以概率论为基础，阐明统计学的数学原理，推导和证明有关的数学公式的数学分支。
6应用统计学：数理统计学理论在各个学科领域中的应用产生的统计学分支。
7心理统计学：心理学领域的应用统计学分支。
8描述统计学：阐述搜集、提炼和描述资料的方法，是推断统计学的基础。
9推断统计学：运用概率论讨论如何依据样变的信息推断出样原来自的总体的相应信息，包括参数估量和假设检验两种形式。
10随机变量:表示随机现象的各种可能结果的变量。
11个体：所讨论的随机现象的载体，具有某种共同特性，是组成总体的基本单位。
12总体：具有某（些）共同特性的个体的总和。
13样本:从总体中抽取的作为观测对象的一部分个体。
14样本容量：样本包含的个体数no n>=30 的样本称为大样本，n<30的样本称为小样本。
15参数:依据总体中全部个体的观看值计算出来的数量指标，即总体上的数字特征。
16统计量:依据样本中全部个体的观看值计算出来的数量指标，即样本上的数字特征。
[2]1间断变量：其可能取值在数轴上不连续的变量。
2连续变量：其可能取值在数轴上连续地布满某一区间的变量。
3称名量表：各个数字表示的是观看值的不同质别，起到的是名称的作用，数据之间不行以进行任何数学运算。
4挨次量表：各个数字表示的是个体某方面特征所对应的名次或等级；数据之间可以进行比较运算。
5等距量表：表示测量上具有相等单位的观看值，而且有一个相对零点；数据之间可以进行加减运算。
6比率量表：表示测量上具有相等单位的观看值，而且有一个肯定零点；等距量表的数据之间可以进行乘除法运算。
概率分布与统计学
概率分布是统计学中一个重要的概念，它描述了随机变量取各个值的概率。
统计学则是研究如何收集、分析和解释数据的科学。
概率分布与统计学密切相关，它们共同帮助我们理解和解释各种现象和现实问题。
概率分布有很多种类，常见的有离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布适用于随机变量只能取有限个或可数个值的情况，如二项分布、泊松分布等。
连续概率分布则适用于随机变量可以取无限个值的情况，如正态分布、指数分布等。
概率分布可以通过概率密度函数或累积分布函数来描述。
统计学则是运用数学和概率论等工具对数据进行收集、整理和分析的过程。
它提供了一种科学的方法来理解和解释各种现象和现实问题，如经济学、医学、社会学等领域。
统计学可以帮助我们从大量数据中获取有用的信息，并对未知情况进行预测和推断。
概率分布与统计学的关系非常紧密。
在统计学中，我们经常需要根据已有的数据来估计和推断概率分布的参数。
例如，我们可以通过样本数据来估计总体的均值、方差等参数。
同时，概率分布也可以用来描述和解释观测数据的分布情况。
例如，正态分布可以用来描述身高、体重等连续变量的分布情况。
通过统计学方法，我们可以根据样本数据来推断总体的分布情况，并作为决策和预测的基础。
概率分布与统计学在实际问题中有广泛的应用。
在金融领域中，我们可以利用概率分布和统计学的方法来分析股票价格的波动情况，进行风险评估和投资决策。
在医学领域中，我们可以利用概率分布和统计学的方法来分析临床试验数据，评估药物的疗效和副作用。
在市场研究中，我们可以利用概率分布和统计学的方法来分析消费者行为、市场趋势等数据，为企业决策提供支持。
概率分布和统计学的研究不仅有助于我们对现实世界的理解，也为决策和预测提供了科学的依据。
通过对数据进行收集、整理和分析，我们可以发现隐藏在数据背后的规律和信息。
这些规律和信息可以帮助我们预测未来的趋势，制定合理的决策，并应对各种不确定性和风险。
总而言之，概率分布与统计学是统计学中重要的概念和方法。
现代心理与教育统计学-笔记
概念（1）随机变量:在统计学上把取值之前，不能准确预料取到什么值的变量，称为随机变量。
（2)总体：总体（population）又称为母全体或全域，是具有某种特征的一类事物的总体，是研究对象的全体。
(3）样本:样本是从总体中抽取的一部分个体。
（4)个体:构成总体的每个基本单元.（5）次数:是指某一事件在某一类别中出现的数目，又称作频数,用f表示。
（6)频率:又称相对次数，即某一事件发生的次数除以总的事件数目，通常用比例或百分数来表示。
（7)概率:概率论术语,指随机事件发生的可能性大小度量指标。
其描述性定义。
随机事件A在所有试验中发生的可能性大小的量值,称为事件A的概率，记为P(A）。
(8）统计量:样本的特征值叫做统计量，又称作特征值。
（9）参数：又称总体参数，是描述一个总体情况的统计指标.（10)观测值:随机变量的取值,一个随机变量可以有多个观测值。
2何谓心理与教育统计学？学习它有何意义?答:(1)心理与教育统计学是专门研究如何运用统计学原理和方法，搜集、整理、分析心理与教育科学研究中获得的随机性数据资料，并根据这些数据资料传递的信息，进行科学推论找出心理与教育统计活动规律的一门学科。
具体讲，就是在心理与教育研究中，通过调查、实验、测量等手段有意地获取一些数据，并将得到的数据按统计学原理和步骤加以整理、计算、绘制图表、分析、判断、推理,最后得出结论的一种研究方法.（2)学习心理与教育统计学有重要的意义。
①统计学为科学研究提供了一种科学方法。
科学是一种知识体系.它的研究对象存在于现实世界各个领域的客观事实之中。
它的主要任务是对客观事实进行预测和分类,从而揭示蕴藏于其中的种种因果关系。
要提高对客观事实观测及分析研究的能力，就必须运用科学的方法。
统计学正是提供了这样一种科学方法。
统计方法是从事科学研究的一种必不可少的工具。
②心理与教育统计学是心理与教育科研定量分析的重要工具。
凡是客观存在事物，都有数量的表现。
心理统计学课件第六章 概率分布
（三）正态分布的特征
正态分布的形式是对称的，它的对称轴是 经过平均数点的垂线。
正态分布的中央点（即平均数点）最高， 然后逐渐向两侧下降。
正态曲线下的面积为1，平均数点的垂线 将面积划分为相等的两部分0.50。
正态分布曲线，标准差与概率有一定的数 量关系。
二、正态分布表的结构与使用
2、已知P值，求Z分数
已知从平均数开始的概率值，求Z值 已知位于两端的概率值，求该概率分界点
上的Z值 已知正态曲线中间部分的概率，特定区间的人数 求考试成绩中某一特定人数比率的分数界
限 按能力分组或等级评定时确定人数 将等级评定结果转化为测量数据
按能力分组或等级评定时确定人数
要把100人在某一能力上分成5个等级， 各等级应该有多少人？
将等级评定结果转化为测量数据
某教师评价全班50人的作文，有8人优， 17人良，20人中，5人及格，求各等级的 标准分数
求考试成绩中特定区间的人数
已知某年级200名学生考试呈正态分布， 平均分为85分，标准差为10分，学生甲 的成绩为70分，问全年级成绩比学生甲低 的学生人数是多少？
求考试成绩中某一特定人数比率的分数界限
某次招生考试，学生成绩符合正态分布， 学生成绩的平均分为80分，标准差为10 分，要择优录取25%的学生进入高一级学 校学习，问最低分数线应是多少？
第六章 概率分布 第三节 正态分布
一、正态分布特征
（一）正态分布的概念 与二项概率分布对比 变量类型 图形
正态分布：
在一个概率分布中，中间频数多，两 端频数对称地减少，成为一种“钟”形对 称的理论概率分布。
（二）正态分布曲线
标准正态分布的密度函数：
第五章 概率及概率分布
P A B P ( A) P ( B)
16
第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 1、概率的加法 例如：抛掷一枚硬币，正面朝上和正面朝下的概率各为0.50， 问在实验中，硬币正面朝上或朝下的概率是多少？ 答：硬币正面朝上或朝下的概率是1。 获得一、二、三等奖的概率分别为：0.002、0.005和0.993， 获奖的概率是多少？ 答：获奖的概率为1。
17
第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 2、概率的乘法 A事件出现的概率不影响B事件出现的概率，这两个事件为独 立事件。 两个独立事件积的概率，等于这两个事件概率的乘积。表示 两个事件同时出现的概率。 用公式可表示为：
P ( A B ) P ( A) P ( B)
18
第一节 概率的一般概念
npq 101/ 2 1/ 2 1.58
31
第二节 二项分布
四、二项分布的平均数和标准差 例如：有一份试卷，共有50道选择题，并且都为四选一，假 定一个学生一点都不会，只能凭猜测来回答。问凭猜测来回 答，平均能猜对几道题，猜对题目数的标准差为多少。 分析：因为完全不会做而只是靠猜测，因此属于二项分布的 运用条件。
8
第一节 概率的一般概念
一、概率的定义 （2）后验概率——
表5.1 抛掷硬币试验中正面朝上的频率 试验者 德摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 抛硬币次数 2048 4040 12000 24000 正面朝上次数 1061 2048 6019 12012 正面朝上频率 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
职教学院 刘春雷 E-mail：lcl2156@
1
第五章
概率及概率分布
第一节 概率的一般概念 第二节 二项分布
心理统计学
推断统计的方法有：
(1) 记数资料检验方法。包括：比例检验、卡方检验等； (2) 假设检验的各种方法。包括：大样本的检验方法（z检 验法）；小样本的检验方法（t 检验法）；方差分析； 回 归分析方法等； (3) 总体特征数（总体参数）的估计方法； (4) 各种非参数的统计方法。
理论统计学：
指统计学的数学原理。它主要研究 统计学的一般理论和统计方法的数学理 论。它是统计学的理论基础。
1.5.2总体、样本、个体
总体（Population）：指具有某种特征 的一类事物的全体，又称母体。
个体（Element）：构成总体的每个基 本单元。
样本（Sample）：从总体中抽取的一
部分个体，即总体的一个子集。
1.5.3 次数、频率、百分比、概率
1、次数（Frequency）：也叫频数，落在各类别中 的数据个数。 2、频率：也叫相对次数或比例，一个总体中各个部 分的数量占总体数量的比重。 3、百分比（Percentage）：比例乘以100就是百分 比或百分数。 4、比率（Ratio）：各不同类别的数量的比值。 ５、概率：某一事件发生的可能性大小的量。
区别：
（1）数学研究的是抽象的数量规律，而统计学 是研究具体的、实际现象的数量规律；数学研 究的是没有量纲或单位的抽象的数，而统计学 研究的是有具体实物或计量单位的数据。
（2）二者使用的逻辑方法不同。数学是纯粹的 演绎，而统计学是演绎与归纳相结合。
1.3.2 统计学与其他学科的关系
统计方法可以帮助其他学科探索学科内 在的数量规律性，而对这种数量规律性的解 释并进而研究各学科内在的规律，只能由各 学科的研究来完成。统计方法仅仅是一种有 用的定量分析的工具，它不是万能的，不能 解决我们想要解决的所有问题。
心理统计学05-概率分布及集中常用概率分布特征
np, npq
正态分布
• 正态分布曲线函数 • 图像
f (x)
e 1
2
( x u)2
2 2
N(μ，0.25)
N(-2，1)
N(0，1)
N(2，1)
N(μ，1)
平均数不同，标准差相同 记作X～N(μ,σ2)
N(μ，2.25) 平均数相同，标准差不同
正态分布——应用
• 假定500个学生某科成绩分布接近于正态分布N（70,100）， 问：①75分以下有多少人？②85分以上有多少人？③介于 65和80分之间有多少人？
概率等于1
概率介于（0,1）之间
概率等于0
概率：事件出现可能性大小的数字描述，在[0,1]之间取值
概率定义——后验（经验）概率
• 设随机事件A在相同的条件下进行的n次试验中发生了n次A ，
• •
则当件称nA趋在fnn /(A于该nA是)无条事穷件nnA件大下A时发在该生这数的n次值概试将率验稳。中定即发在：生一的个频常数数，上记，成这一常数称。为事
用概率差求介于65分与80分之间的人数 500x0.5328=266.4≈266人
正态分布——应用
• 某县对初一年级1000名学生进行能力测验，结果μ＝75，σ ＝10，现拟根据此结果选取25名学生作为“尖子班”重点 培养，假定测验成绩近似正态分布，问多少分以上才能被 选到“尖子班”学习？
• 解 求25名学生比例：25/1000=0.025=2.5%
0.5180 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
概率定义——先验（古典）概率
• 满足以下两个条件
•
每次试验中所有可能出现的结果的个数是有限的；
心理与教育统计学第6章概率分布
做对题数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
概率 0.000977 0.009766 0.043945 0.11719 0.20508 0.24609 0.20508 0.11719 0.043945 0.009766 0.000977
累加概率 0.000977 0.010742 0.054688 0.17188 0.37695 0.62305 0.82813 0.94531 0.98926 0.99902
0.0978
0.0788 0.0776 0.0707 0.0706 0.0634 0.0594 0.0573
字母 L
D
U C F M W Y G
频率 0.0394
0.0389
0.028 0.0268 0.0256 0.0244 0.0214 0.0202 0.0187
字母 P
B
V K X J Q Z
1. 任何一次试验恰好有两个结果，成功与失 败。
2. 共有n次试验，并且n是预先给定的任一正 数。
3. 每次试验各自独立，各次试验之间无相互 影响。
4. 某种结果出现的概率在任何一次试验中都 是固定的。
• 是否为二项试验？
• (1)投掷硬币试验
• (2)一个口袋装有6只球，其中4只白球、2只 红球，从袋中取球两次。
两互不相容事件和的概率，等于 这两个事件概率之和，即
(6.4a)
(6.4b)
（三）概率的乘法定理
若事件Ａ发生不影响事件Ｂ是否发生 ，这样的两个事件为互相独立事件。
两个互相独立事件同时出现的概率， 等于这两个事件概率的乘积，即
(6.5a)
(6.5b)
例：某一学生从５个试题中任意抽取 一题，进行口试。如果抽到每一题的 概率为1／5，则抽到试题１或试题２ 的概率是多少？ 如果前一个学生把抽
心理统计学全套课件
答案
组别 组中值 次数(f) 相对 累积 累积相 累积百 次数 次数 对次数 分比
95-99 97
2
.04 50 1.00 100
90-94 92
3
.06 48
.96
96
85-89 87
2
.04 45
.90
90
80-84 82
6
.12 43
.86
86
75-79 77
14 .28 37
.74
74
70-74 72
二项分布的平均数和标准差
• 当二项分布接近于正态分布时，在n次二 项实验中成功事件出现次数的平均数和 标准差分别为： μ=np
•和
npq
做对题数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
二可能项结果分数 布的概应率用
1
0.001
10
0.010
45
0.044
120
0.117
210
0.205
例题
• 某学生从5个试题中任意抽选一题，如 果抽到每一题的概率为1/5，那么抽到 试题1或试题2的概率为多少？
概率的乘法
• A事件出现的概率不影响B事件出现的概 率，这两个事件为独立事件。
• 两个独立事件积的概率，等于这两个事 件概率的乘积。用公式表示为： P(A ·B) = P(A) ·P(B) 其推广形式是 P(A1 ·A2 … An) = P(A1) ·P(A2) … P(An)
四种数据水平
• 称名量表 • 学号、房间号、邮政编码、 号码 • 顺序量表〔等级量表〕 • 名次、等级、五分制得分 • 等距量表 • 温度计读数、百分制得分 • 等比〔比率〕量表 • 长度、时间
概率分布及概率分布图
概率密度函数图
总结词
概率密度函数图是一种展示连续概率分布的图形，通过曲线的高低表示概率密度的大小。
详细描述
概率密度函数图是连续概率分布的图形表示，它通过曲线的高低表示概率密度的大小。在概率密度函数图中，曲 线下方的面积表示事件发生的概率。这种图形可以帮助我们了解连续随机变量的分布情况，并用于估计和预测未 来的事件。
02 离散概率分布
二项分布
01
02
03
定义
二项分布是描述在n次独 立重复的伯努利试验中成 功的次数的概率分布。
公式
$B(n, p) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$，其中C(n, k)是组合数，表示从n个 不同项中选取k个的方法 数。
应用场景
例如，抛硬币的结果（正 面或反面），或者给定数 量的独立事件中成功事件 的次数。
泊松分布
定义
泊松分布是描述在单位时间内（或单 位面积内）随机事件的次数，当这些 事件以小概率发生，并且这些事件之 间是独立的。
公式
应用场景
例如，放射性衰变或者网络中同时发 生的请求数。
$P(X=k) = frac{e^{lambda}lambda^k}{k!}$，其中 $lambda$是事件的平均发生率。
05 概率分布及概率分布图的 应用实例
在统计学中的应用
1 2 3
描述性统计
概率分布图可以用来描述数据的分布情况，如频 数分布图、直方图等，帮助我们了解数据的集中 趋势、离散程度等。
假设检验
在假设检验中，概率分布图可以用来表示样本数 据和理论分布之间的比较，帮助我们判断样本数 据是否符合预期的分布。
概率分布的种类
离散概率分布
描述离散随机变量的取值概率，如二项分布、泊 松分布等。
教育统计学第5讲 概率与概率分布
（二）确定能力分组或等级评定的人数
例： 若有100人某种能力呈正态分布，欲将其分成5 个等距的等级，问各等级应有的人数。
例10 若有100人某种能力呈正态分布，欲将其 分成5个等距的等级，问各等级应有的人数。
解:
6σ÷5=1.2σ，每个等级应占1.2个标准差的距离，确定各等
级的Z值界限，然后查表，计算下表:
第三节 二项分布
一、二项试验与二项分布
二项试验: 在同一条件下，将一种试验重复进行n次，如果： ①在每次试验中，所有可能出现的事件只有两个，即A与 A ， 记 P A p, P A ，且 q p与q在各次试验中保持不变；②各 次试验相互独立。
（一）确定录取分数线
某县对初一年级1000名学生进行能力测验，结果μ＝75 ，σ＝10，现拟根据此结果选取25名学生作为“尖子班 ”重点培养，假定测验成绩 近似正态分布，问多少分以 上才能被选到“尖子班”学习？
（二）确定能力分组或等级评定的人数
如果学生知识能力的水平呈正态分布，欲将他们分成等距 的几个等级或几个组，在确定各等级人数时，可把正态分布中 Z=-3至Z=3之间6个标准差的距离分成相等的几份(因为正态分 布在X=±3之间的面积为0.9973，几乎包括了全体)，即将6个 标准差除以分组或等级的数目，作到Z分数等距，然后查正态 分布表求出各组Z分数之间的面积，将各组的概率乘以总人数， 则可得到各等级或分组应有的人数。
教育统计学 05讲 概率与概率分布
引言
描述统计（统计图表，集中量数，离异量数，相关） 推论统计：从具体的研究资料出发推论一般的方法。从 样本出发来推断总体分布的过程就叫统计推断。如：
根据某学生几次考试情况，推论他真实学习成绩如何 ；
概率分布与统计分析
概率分布与统计分析概述概率分布和统计分析是统计学中两个重要的概念。
概率分布是用来描述随机变量的可能取值及其对应的概率的函数或表格。
而统计分析则是对已经观察到的数据进行整理、分析和解释的过程。
概率分布和统计分析在各个领域都有着广泛的应用，能够帮助我们对数据进行有意义的解读、预测和决策。
一、概率分布概率分布是指随机变量所有可能取值及其对应的概率分布情况。
常见的概率分布包括离散型概率分布和连续型概率分布两种。
1. 离散型概率分布离散型概率分布是指随机变量的取值是有限或可数的。
常见的离散型概率分布包括伯努利分布、二项分布和泊松分布等。
- 伯努利分布：伯努利分布是一种最简单的离散型概率分布，它描述的是只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果。
该分布只有两个参数，成功的概率p和失败的概率1-p。
- 二项分布：二项分布描述的是重复进行多次独立的伯努利试验，比如扔硬币n次。
该分布有两个参数，试验的次数n和成功的概率p。
- 泊松分布：泊松分布用于描述单位时间或单位空间内平均发生次数为λ的事件在给定时间或空间内发生的概率。
泊松分布只有一个参数λ，表示单位时间或空间内平均发生次数。
2. 连续型概率分布连续型概率分布是指随机变量的取值是无限多个的。
常见的连续型概率分布包括均匀分布、正态分布和指数分布等。
- 均匀分布：均匀分布是指在一定区间内，随机变量的取值是等可能的。
均匀分布有两个参数，区间的起点和终点。
- 正态分布：正态分布，也称为高斯分布，是统计学中最重要和最常用的连续型概率分布之一。
正态分布是一个钟形曲线，其概率密度函数由均值μ和方差σ^2来决定。
- 指数分布：指数分布用于描述随机事件的时间间隔，比如等待下一次事件发生的时间。
指数分布有一个参数λ，表示单位时间内事件发生的平均次数。
二、统计分析统计分析是对数据进行整理、分析和解释的过程。
统计分析可以帮助我们了解数据的特征、规律和趋势，从而做出合理的决策和推断。
1. 描述性统计分析描述性统计分析是对数据进行总结和描述的过程，通常包括数据的中心趋势、离散程度、分布形状等方面的度量。
贾俊平第六版统计学课后思考题答案——张云飞
第一章导论1.什么是统计学统计学是收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学。
2.解释描述统计和推断统计描述统计研究的是数据收集、处理、汇总、图表描述、概括与分析等统计方法。
推断统计是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。
3.统计数据可以分为哪几种类型？不同类型的数据各有什么特点？分类数据：是只能归于某一类别的非数字型数据，它是对事物进行分类的结果，数据表现为类别，是用文字来表述的。
顺序数据：是只能归于某一有序类别的非数字型数据。
虽然也有列别，但这些类别是有序的。
数值型数据：是按数字尺度测量的观察值，其结果表现为具体的数值。
4.解释分类数据、顺序数据和数值型数据的含义分类数据和顺序数据说明的是事物的品质特征，通常是用文字来表述的，其结果均表现为类别，因此也可统称为定性数据或品质数据；数值型数据说明的是现象的数量特征，通常是用数值来表现的，因此也可称为定量数据或数量数据。
5.举例说明总体、样本、参数、统计量、变量这几个概念总体是包含所研究的全部个体（数据）的集合；样本是从总体中抽取的一部分元素的集合；参数是用来描述总体特征的概括性数字度量；统计量是用来描述样本特征的概括性数字度量；变量是说明现象某种特征的概念。
比如我们欲了解某市的中学教育情况，那么该市的所有中学则构成一个总体，其中的每一所中学都是一个个体，我们若从全市中学中按某种抽样规则抽出了10所中学，则这10所中学就构成了一个样本。
在这项调查中我们可能会对升学率感兴趣，那么升学率就是一个变量。
我们通常关心的是全市的平均升学率，这里这个平均值就是一个参数，而此时我们只有样本的有关升学率的数据，用此样本计算的平均值就是统计量。
6.变量可以分为哪几类分类变量：一个变量由分类数据来记录就称为分类变量。
顺序变量：一个变量由顺序数据来记录就称为顺序变量。
数值型变量：一个变量由数值型数据来记录就称为数值型变量。
离散变量：可以取有限个值，而且其取值都以整位数断开，可以一一例举。
概率分布与期望值的计算
概率分布与期望值计算详解一、概率分布概述概率分布是描述随机变量所有可能取值及其对应概率的数学工具。
根据随机变量的性质，概率分布可分为离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布描述的是离散型随机变量，即只能取有限个或可数个值的随机变量的概率分布情况；而连续概率分布则描述的是连续型随机变量，即可以在某个区间内取任意实数值的随机变量的概率分布情况。
二、常见的离散概率分布1. 0-1分布：一个随机试验只有两个可能结果，且这两个结果发生的概率之和为1。
例如，抛掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上的概率分别为$p$和$1-p$。
2. 二项分布：在$n$次独立的伯努利试验中，成功次数$X$的概率分布。
例如，在10次抛掷硬币试验中，正好出现5次正面的概率。
3. 泊松分布：描述单位时间（或单位面积）内随机事件发生的次数的概率分布。
常用于描述稀有事件的概率分布情况。
三、常见的连续概率分布1. 正态分布：又称为高斯分布，是一种连续型概率分布。
正态分布具有钟形曲线特征，其均值、中位数和众数均为同一个值。
在自然界和社会科学中，许多随机现象都服从正态分布。
2. 指数分布：描述随机事件发生间隔时间的概率分布。
例如，电子产品的寿命、电话故障间隔时间等。
3. 均匀分布：在连续区间$[a, b]$内取值的随机变量的概率分布。
在这个区间内，随机变量取任何值的概率都相等。
四、期望值的计算期望值（Expected Value）是随机变量所有可能取值与其对应概率的乘积之和，用数学符号表示即为$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p(x_i)$。
期望值反映了随机变量的长期平均结果或平均水平。
计算期望值的一般步骤如下：1. 确定随机变量的所有可能取值$x_1, x_2, ..., x_n$。
2. 确定每个取值对应的概率$p(x_1), p(x_2), ..., p(x_n)$。
3. 将每个取值与其对应的概率相乘，得到$x_1 p(x_1), x_2 p(x_2), ..., x_n p(x_n)$。
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例5.6 某大型计算机软件公司，其人事部最近做了一项调查 研究，发现在两年内离职的雇员中有30％的人是因为对工资 不满意，20％的人是因为对工作不满意，12％的人指出他们 对工资和工作都不满意。那么在两年内离职的公司雇员中， 其离职原因是对工资不满意或对工作不满意的概率是多少？ 解：A＝{离职因为对工资不满意},B={离职因为对工作不满 意}, P(A)=30%, P(B)=20%, P(A∩B )=12%, 则P(A∪B)=P（A）＋P（B）－P（ A∩B ） =0.3+0.2-0.12=0.38
（3）不互斥事件可能是独立的,也可能是不独立的
①例1中,P(A)=30%,P(B)=20%, P(AB)=12%, A、B是不 互斥的，即相容的。而P(AB) ≠P(A)P(B),所以，A、B是不 独立的。 ②某人射击的命中率为90％，A1表示第一枪命中，A2表示 第二枪命中，A1A2表示两枪都命中，P(A1)=P(A2)=90%, P(A1 A2)=81%, P(A1 A2)= P(A1) P(A2)。这时A1、 A2是不 互斥的，也是独立的。
5、基本事件（Elementary event） 简单事件。也叫样本点（Sample point）。一个事件不能 分解成两个或更多事件。在一次试验中只能观察到一个且 仅有一个简单事件。如掷硬币时，只能观察到一个简单事 件“正面”或“反面”。 6、样本空间（Sample space） 基本空间。一个试验中，所有基本事件的全体。如： Ω={正,反}, Ω={1,2,3,4,5,6} 事件可以象集合一样进行运算, 对事件的运算可以得到新 的事件。 *物理学试验在相同的条件下重复时，会有相同的结果产 生。而在统计学中，结果是随机决定的，即使试验在相同 的条件下重复进行，也可能获得完全不同的结果。所以， 统计学上的试验也称为随机试验。
３、主观概率：主观法（Subjective method） 所谓主观概率是指对一些无法重复的试验，确定其结 果的概率只能根据以往的经验，人为确定这个事件的 概率。它是一个决策者根据本人掌握的信息对该事件 发生可能性的判断。 有些情况下试验结果既不是等可能发生的，也没有相 对频数的数据可用，这时要用主观法。 例5.4 国安队进行下一场足球比赛，获胜的概率有多少？ 获胜、失利、平局不一定是等可能发生的。此外，对于 将要进行的比赛也没有相对频数的数据可用这时估计国 安队获胜的概率，必须对其进行主观评价。
2、 随机事件（Random event） 在相同条件下，每一次试验可能出现也可能不出现的事件， 也叫偶然事件。如掷硬币正、反面都可能出现也可能不出 现。用英文大写字母表示，如A，B，C等。概率论主要研 究对象为随机事件，简称“事件”。 3、必然事件（Certain event） 在相同条件下，每次实验一定出现的事件。用Ω表示。 如：事件（点数小于7）在掷骰子中每次必然出现 4、不可能事件（Impossible event） 在相同条件下，每次试验一定不出现的事件。用Φ表示。 如：事件（点数大于7）在掷骰子试验中为不可能事件。
解： 50个球中任取两球的取法是有限的，并且任意 从 两球被抽到的概率是相同的，所以，可以用古典概率 解决该问题。 C1 × C1 30 × 20 24 P(一白一黑)＝ 30 2 20 = = , 50 × 49 49 C50 2 30 × 29 2 C 87 , P(两白)＝ 30 = 2 ×1 = 2 50 × 49 245 C50 2 ×1 20 × 19 2 C 38 P(两黑)＝ 20 = 2 × 1 = 2 C50 50 × 49 245 2 ×1
(2) 独立性（Independence) 独立性（
独立事件(Independent events): 两个事件中不论哪个事件发生与否并不影响另一个事件发 生的概率，称这两个事件相互独立。 相依事件： 一个事件的发生与否会影响另一个事件发生的概率。 两个事件独立时，其条件概率等于无条件概率。 P（B|A)=P(B), P(A|B)=P(A), P(AB)=P(A)P(B) 两个事件A、B是相互独立的，当且仅当，P(AB)=P(A)P(B)
m n m n 1 Cn = n, 0 Cn = 1
2、概率的统计定义：相对频率法（Relative frequency method) 在相同条件下，随机试验ｎ次，某事件A出现ｍ次（ｍ ≤ｎ），则比值m/n称为事件A发生的频率; 随着ｎ的增 大,该频率围绕某一常数ｐ上下波动,且波动的幅度逐渐 减小,趋向于稳定,这个频率的稳定值,即为该事件的概率, 记为P(A)=m/n＝ｐ 例5.3 假设某个公司正在准备销售某一新产品,为了估计 顾客购买此产品的概率,进行了一次市场评估,一共联系 了400名顾客,结果有100名购买了该产品,而300人未购买。 P（购买）＝100/400=0.25, P(不购买)=300/400=0.75。
二、事件的概率定义 事件的概率（Probability）：事件在试验中出现的可能性 大小。事件A的概率用P(A)表示。对概率的理解有三种定 义： 1、概率的古典定义（Classical method） 如果（1）某一随机试验的结果有限；（2）各个结果出 现的可能性相等，则某一事件A发生的概率为该事件所包 含的基本事件数m与样本空间中所包含的基本事件数n的 m 比值。
如果A1,A2,…,Aｎ相互独立,则 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An) 例5.8 某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内机 床不需要看管的概率：甲机床0.9,乙机床0.8,丙机床0.85.若机床 是自动机床且独立工作,求(1)在30分钟内三台机床都不需要看 管的概率;(2)在30分钟内甲、乙机床不需要看管，而丙机床需 要看管的概率。 解：设A1、A2、A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事件， 则A3为丙机床需要看管的事件。 (1)P( A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝0.9×0.8 ×0.85=0.612; (2)P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)＝ 0.9×0.8 ×(1-0.85)=0.108
(2)事件的并 A和B的并(Union of A and B)是所有的属于A或B或同时属 于二者的样本点构成的事件.记作A∪B
样本空间
A B (3)事件的交 (3) A和B的交(Intersection of A and B)是同时属于A和B的样本 点构成的事件。记作A∩B
A
B
加法公式： P（ A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（ A∩B ）
2、基本的概率关系 （1）事件的补(Complement of event) 给定一个事件A，它的补定义为:Aｃ＝{样本空间中 所有不包括在A内的样本点}． Ｐ（Ａ）＋Ｐ（ Aｃ）＝１ 例5.5 假设某采购部声称供货商运来的货物中无残 次品的概率为90％，利用补，推出货物中有残次品 的概率为1－0.9=0.1 Aｃ A
P ( AB ) P（A | B ) = P( B) P ( AB ) P ( B | A) = P ( A)
乘法公式: P(AB)=P(B)P(A|B) P(AB)=P(A)P(B|A)
例5.7 某报纸的发行部已知在某社区有84%的住户订阅了 该报纸的日报。用D＝“某住户订阅了日报”, P(D)=0.84, 已经订阅日报的住户订阅其周刊(事件S)的概率为0.75, 即 P(S|D)=0.75, 求某住户既订阅了日报,又订阅了周刊的概率 是多少? 解:P(SD)=P(D)P(S|D)=0.84×0.75=0.63
5.1.2 概率的性质与运算法则 1、概率的性质： （1）非负性。对任意事件A 0≤ P（A）≤1 （2）规范性。必然事件的概率为1，不可能事件的概 率为0。P（Ω）＝1，P（φ）＝0 （3）可加性。 若A，B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）
可推广到多个两两互斥的随机事件A1，A2，…, Aｎ P(A1 ∪ A2 ∪... ∪Aｎ)=P(A1)+P(A2)+…+P(Aｎ)
(4)互斥事件（Mutually exclusive event） 如果两个事件没有公共的样本点,则称这两个事件互斥。
A
B
互斥事件的加法公式：件概率(Conditional probability) 某个事件的概率经常会因为另外一个相关事件的发生与否 而受到影响。 当某一事件B已知发生时，求事件A发生的概率，称为事件 B发生条件下事件A发生的条件概率，记为P（A|B)。一般 来说， P（A|B)≠P（A） 条件概率公式：
（4）独立的事件不可能是互斥的
若两个事件A和B是相互独立的，则 P(A∩B)=P(A)P(B) ≠0, A∩B ≠Φ, 即A和B是不互斥的。
课堂练习
1、两个骰子掷一次，出现两个相同点数的概率是多少？ 2、设A与B是两个随机事件，已知A与B至少有一个发生 的概率是1/3，A发生且B不发生的概率是1/9，求B发生 的概率？ 3、某品牌的电视机用到5000小时未坏的概率为3/4，用 到10000小时未坏的概率为1/2。现有一台这种品牌的电 10000 1/2 视机已经用了5000小时未坏，问它能用到10000小时的 概率是多少？ 4、下列电路图中A、B、C、D、E是同一型号电器件， 该型号的电器件在一个月内不发生故障的概率是0.80， 求一个月内该电路畅通并正常工作的概率是多少？
互斥性与独立性的关系:
互斥事件一定是相依的,但相依的事件则 不一定是互斥的; 不互斥事件可能是独立的,也可能是不独 立的,而独立的事件不可能是互斥的.
（1）互斥事件一定是相依的
如果A、B两个事件互斥，则A∩B＝Φ， P(A∩B)=0, 而P(A)•P(B) ≠0, 所以， P(A∩B) ≠ P(A)•P(B) ，即A、B是相依的。
第五章 概率与概率分布
简单的描述性统计只能对统计数据做比较肤浅的描 述、显示。要想从中探索出规律性的东西，需要推断 统计的方法。推断统计就是在搜集、整理观测样本数 据的基础上，对有关总体作出推断。根据随机性的观 测样本数据以及问题的条件和假定，对未知事物作出 的以概率形式表述的推断。即概率论与数理统计的内 容。