线性代数 课件《特征值和特征向量》

第六章 矩阵的特征值和特值向量
矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中重要个概念之一, 它有着广泛的应用. 本章将引进特征值和特征向量的概念 及其计算. 并给出将矩阵对角化的方法.
§1 矩阵的特征值和特征向量
一. 定义和计算 定义6.1 设A是n阶方阵, 如果数λ0和n维非零列向量ξ满 定义6.1 A ξ 足关系式 Aξ=λ0 ξ 则称λ0为A的特征值, ξ为A的属于λ0的一个特征向量. A A
det(λ E - A) = −a21 M −an1
− a12 L λ − a22 L M −an 2
−a1n −a2 n
O M L λ − ann
=λn-(a11+a22+…+ann)λn-1+…+(-1)n|A| 利用多项式方程根与系数的关系可得: 定理6.1 定理6.1 设λ1,λ2,…,λn是n阶方阵A 的全部特征值, 则 λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+ann λ1λ2…λn=detA A
即
Aξi=λiξi , i=1,2,…,n
因为矩阵P可逆, 所以ξ1,ξ2,…,ξn线性无关,故ξi≠0,于是ξi是 ξ ξ ξ ξ 0 ξ 矩阵A属于特征值λi的特征向量. 可见,矩阵A与对角矩阵相
似, 则A有n个线性无关的特征向量. 反之,设A有n个线性无关的特征向量ξ1,ξ2,…, ξn,且 ξ ξ Aξi=λiξi, i=1,2,…,n, 令P=(ξ1,ξ2,…,ξn),则P可逆, 且 P ξ ξ ξ P AP=(A A AP Aξ1,Aξ2,…,Aξn)=(λ1ξ1, λ2ξ2,…,λnξn)=PΛ A P 即, P-1AP Λ,也就是说矩阵A与对角矩阵相似. AP=Λ A 定理6.5 定理6.5 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵 A A有n个线性无关的特征向量.
定理6.2 定理6.2 设λ1,λ2,…,λs是方阵A的互异特征值,ξ1, ξ2,…, ξs是 ξ 分别属于它们的特征向量, 那么ξ1,ξ2,…,ξs线性无关. ξ ξ ξ 证明 设 x1ξ1+x2ξ2+…+xsξs=0, 则 0, A(x1ξ1+x2ξ2+…+xsξs)=0, 0 即 λ1x1ξ1+λ2x2ξ2+…+λsxsξs=0 0 (k=0,1,…,s-1),
设3阶方阵A的特征值为1, -1, 2, 求|A*+3A-2E|. 例4 A A A E 解 由于A的特征值都不为0, 故A可逆.而|A|=-2 A A 于是 A*=AA-1=-2A-1. 于是 A A A E=-2A E=ϕ(A A*+3A-2E= A-1 +3A-2E= A) A E= A E= ϕ(A)的3个特征值为:ϕ(1)=-1,ϕ(-1)=-3,ϕ(2)=3, 于是 A |A*+3A-2E|=|ϕ(A)|=(-1)(-3)3=9 A A E = A
1 1 0 1 0 1 3E − A = 1 1 0 ~ 0 1 − 1 −1 −3 2 0 0 0 x1 = − x3 基础解系为ξ =(-1, 1, 1)T. 得同解方程: , ξ2 x 2 = x3
所以kξ2(k≠0)是属于λ3=3的全部特征向量. ξ
可见, 前面的分析不但证明了定理6.5, 还给出了相似变换 矩阵P和对角矩阵Λ的求法. Λ
2 −1 0 例如例1中的矩阵 A = − 1 2 0 1 3 1
没有3个线性无关的特征向量, 故A不与对角矩阵相似. A 而例2中的矩阵
2 −1 0 A = −1 2 0 1 −1 1
1 0 1 1 和 0 1 0 1
的特征多项式都是(λ-1)2, 但它们不相似.

二. 与对角矩阵相似的条件 假设n阶方阵A与对角矩阵 λ1 λ2 Λ= O λn 也就是存在可逆矩阵P, 使得 P 相似. P-1AP=Λ AP Λ 即 AP=P AP PΛ 记P=(ξ1, ξ2,…, ξn), 则有 P ξ (Aξ1,Aξ2,…,Aξn)=(λ1ξ1,λ2ξ2,…,λnξn) A A A
1 λ1 1 λ2 ( x1ξ1 , x2ξ 2 ,..., xs ξ s ) M M 1 λ s L λ1s −1 s −1 L λ2 = (0, 0,L , 0) O M s −1 L λs
类似地有: 1ξ1+λ2kx2ξ2+…+λskxsξs=0 λ1kx 0
−1 1 0 1 0 0 E − A = 1 −1 0 ~ 0 1 0 −1 −3 0 0 0 0 x1 = 0 , 基础解系为ξ =(0,0,1)T. 得同解方程: ξ1 x2 = 0
所以kξ1(k≠0)是属于λ1=λ2=1的全部特征向量. ξ 对λ3=3, 解方程(3E-A)x=0 由于 E A)x=0,
定理6.4 定理6.4 相似矩阵有相同的特征多项式, 因此也有相同的 特征值. 证 若矩阵A与B相似,则存在矩阵P,使P-1AP B,故 A B P P AP=B λE - B=P-1(λE)P- P-1AP E AP=P-1(λE - A)P P EP P E P =P-1λE - AP=λE -A P E P E A 注意: 定理6.4的逆命题不成立. 例如矩阵 注意:
1 1 0 1 −1 P = −1 1 2 2 1 −1 0 与A相似的对角矩阵为 A
Λ = P -1 AP 1 1 0 2 −1 0 1 0 1 1 1 = −1 1 2 −1 2 0 1 0 −1 = 1 2 1 −1 0 1 −1 1 0 1 1 3
定义6.2 A 定义6.2 设A是n阶方阵, λ是参数, 则行列式
λ − a11
det(λ E - A) = −a21 M −an1
− a12 L λ − a22 L M −an 2
−a1n −a2 n
O M L λ − ann
称为方阵A的特征多项式. 称det(λE − A)=0为方阵A的特征 A E A 特征 方程. 方程 A的特征值就是特征方程的解, n阶方阵A有n个特征值. A A的属于特征值λi的特征向量就是齐次线性方程组 (λE − A)x=0 E x 0 的所有非零解.
如果A是奇异矩阵(|A|=0), 则齐次线性方程组Ax 0有非 Ax=0 Ax 零解, 若记ξ为Ax 0的非零解, 则有 Ax=0 ξ Ax Aξ=0=0ξ 0 ξ 可见, λ0=0为奇异矩阵A的特征值, 方程组Ax 0的非零解 Ax=0 A Ax 都是A的属于特征值λ0=0的特征向量. A 一般地, 由Aξ=λ0 ξ可得 A λ (λ0E − A)ξ=0 ξ 0 可见, ξ是n元齐次线性方程组 (λ0E − A)x=0 x 0 的非零解. 所以有|λ0E − A|=0.
例1 求矩阵
2 −1 0 A = −1 2 0 1 3 1
的特征值和特征向量. 解 A的特征多项式为
λ −2
1 −1
1
0 0
=(λ-1)[(λ-2)2-1]=(λ-1)2(λ-3)
λ −2
−3
λ −1
所以A的特征值为λ1=λ2=1,λ3=3. A 对λ1=λ2=1, 解方程(E-A)x=0 由于 A x=0 x=0,
由于其3个特征值为λ1=λ2=1, λ3=3. 对应的特征向量: ξ1=(1,1,0)T, ξ2=(0,0,1)T, ξ3=(1, -1, 1)T线性无关, 所以
取相似变换矩阵P=(ξ1, ξ2, ξ3)= ξ 可求得P的逆矩阵为
1 0 1 1 0 -1 0 1 1
3 例设方阵A可逆,且λ是A的特征值,证明1/λ是A-1的特征 A A A 值. 证 首先证明λ≠0. 用反证法: 假设λ=0是A的特征值, A 则 0E - A=-A=0 , 这与A可逆矛盾, 故λ≠0. E A A 再设ξ是A对应特征值λ的特征向量 , 则 ξ A Aξ=λξ ξ
⇒
A-1ξ=λ-1ξ
即
所以有 (x1ξ1, x2ξ2,…, xsξs)=(0, 0, …, 0) 0 即, xjξj=0, 但ξj≠0, 故xj=0, (j=1,2,…,s) 0 ξ 0 所以向量组ξ1, ξ2,…,ξs线性无关. ξ ξ 定理6.3 ξ ξ 定理6.3 设λ1, λ2是A 的两个互异特征值, ξ1,ξ2,…,ξs和 η1,η2,…,ηt分别是属于λ1,λ2的线性无关的特征向量, 则 η η ξ1,ξ2,…,ξs, η1, η2,…,ηt线性无关. ξ ξ η 证明 设k1ξ1+k2ξ2+…+ksξs+l1η1+l2η2+…+ltηt=0 0 若ξ=k1ξ1+k2ξ2+…+ksξs ≠0, η=l1η1+l2η2+…+ltηt≠0 ξ 0 0 则由ξ+η=0, 而ξ,η分别是属于λ1,λ2的特征向量, 矛盾. ξ η 0 ξη 所以ξ=η=0, 即k1=k2=…=ks=l1=l2=…=lt=0, 线性无关. ξ η 0
§2 相 似 矩 阵
一. 相似矩阵的定义和性质 定义6.3 A B 定义6.3 设A ,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P, 使 P AP=B P-1AP B 则称B是A的相似矩阵 或说矩阵 A与B相似 相似矩阵, B A 相似矩阵 B相似. P-1AP B称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A 变成B AP=B 相似变换, A 相似变换 P A B 的相似变换矩阵. A与B相似记作A~B. 相似变换矩阵. B A B 相似变换矩阵 矩阵的相似关系具有下述性质: 矩阵的相似关系具有下述性质: (ⅰ) 反身性: A~A; (ⅱ) 对称性: 若A~B, 则B~A; B A A B (ⅲ) 传递性: 若A~B, B~C, 则A~C. A B C A C