2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(45)两直线的位置关系与点到直线的距离
高三数学一轮复习课时作业4：§9.2 两直线的位置关系
§9.2 两直线的位置关系A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．已知两条直线l 1：x ＋y －1＝0，l 2：3x ＋ay ＋2＝0且l 1⊥l 2，则a 等于( )A ．－13B.13 C ．－3D ．3 答案 C解析 由l 1⊥l 2，可得1×3＋1×a ＝0，∴a ＝－3.2．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0 答案 A解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．3．若A (－3，－4)，B (6,3)两点到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 等于( )A ．－13B.79C ．－79D ．－79或－13 答案 D 解析 依题意，|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1， 解得a ＝－79或a ＝－13. 4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A ．0B ．2 C.13D ．4 答案 B解析 ∵63＝m 4≠－143，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0. 可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2. 5.如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5答案 A解析 由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD |＝210.6．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是______________．答案 12x ＋8y －15＝0解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.7．已知点A (－1,1)，B (2，－2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)，则实数m 的取值范围是______________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12∪『2，＋∞)解析 直线l ：x ＋my ＋m ＝0可化为x ＋m (y ＋1)＝0，所以直线恒过定点P (0，－1)．∵点A (－1,1)，B (2，－2)，∴k P A ＝－2，k PB ＝－12， ∵直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)，∴－1m ≤－2或－1m ≥－12， ∴m ≤12或m ≥2(经验证m ＝0也符合题意)． ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪『2，＋∞)． 8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.答案 345解析 由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧ m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345. 9．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l的方程． 解 过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0， 求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求． 设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行)．则B 点坐标为(k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)． 由已知(k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2k ＋2＋1)2＝52， 解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)， 即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解 依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC 、l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4,3)． 设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)， 代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)， ∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)， 即6x －5y －9＝0.B 组 专项能力提升(时间：15分钟)11．(2013·天津)已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．－12B ．1C ．2 D.12 答案 C解析 圆心为O (1,0)，由于P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，∴P 为切点，OP 与P 点处的切线垂直．∴k OP ＝2－02－1＝2， 又点P 处的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直．∴a ＝k OP ＝2，选C.12．(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |＋|PB |的取值范围是( )A ．『5，25』B ．『10，25』C ．『10，45』D ．『25，45』答案 B解析 由动直线x ＋my ＝0知定点A 的坐标为(0,0)，由动直线mx －y －m ＋3＝0知定点B 的坐标为(1,3)，且两直线互相垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动．故当点P 与点A 或点B 重合时，|P A |＋|PB |取得最小值，(|P A |＋|PB |)min ＝|AB |＝10.当点P 与点A 或点B 不重合时，在Rt △P AB 中，有|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.因为|P A |2＋|PB |2≥2|P A ||PB |，所以2(|P A |2＋|PB |2)≥(|P A |＋|PB |)2，当且仅当|P A |＝|PB |时取等号，所以|P A |＋|PB |≤2|P A |2＋|PB |2＝2×10＝25，所以10≤|P A |＋|PB |≤25，所以|P A |＋|PB |的取值范围是『10，25』．13.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．答案 6解析 以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a . Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9 ＝12a 2＋4·36a 2＋9＝12 72＋9a 2＋144a 2 ≥1272＋72＝6.14．点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________．答案 2 5解析 直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值|PQ |＝(2－0)2＋(1＋3)2＝25，所以点P (2,1)到直线l 的最大距离为2 5.15．(2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案 (2,4)解析 设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2， ∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1， ∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②⎪⎧2x－y＝0，x＋y－6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，y＝4，∴M(2,4)．由①②得⎩⎪⎨。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何第二节两直线的位置关系课时作业
第二节 两直线的位置关系课时作业 A 组——基础对点练1．已知直线(b ＋2)x －ay ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相平行，则点(a ，b )在( ) A ．圆a 2＋b 2＝1上 B ．圆a 2＋b 2＝2上 C ．圆a 2＋b 2＝4上D ．圆a 2＋b 2＝8上解析：∵直线(b ＋2)x －ay ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相平行，∴(b ＋2)(b －2)＝－a 2，即a 2＋b 2＝4.故选C. 答案：C2．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与经过点(－2,1)、斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为( ) A ．－23B ．－32C.23D ．32解析：由题意得，直线l 的斜率为k ＝2－a －2－a ＋2＝－1a (a ≠0)，所以－1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，所以a ＝－23，故选A.答案：A3．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－12B ．1C ．2D ．12解析：由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2.答案：C4．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：由题意可设圆的切线方程为y ＝－x ＋m ，因为与圆相切于第一象限，所以m >0且d ＝|m |2＝1，故m ＝2，所以切线方程为x ＋y －2＝0，故选A. 答案：A5．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．2 2解析：由圆的标准方程(x ＋1)2＋y 2＝2，知圆心为(－1,0)，故圆心到直线y ＝x ＋3即x －y ＋3＝0的距离d ＝|－1－0＋3|2＝ 2.答案：C6．直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数．因为直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C. 答案：C7．(2018·北京顺义区检测)若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是( ) A ．－6<k <－2 B ．－5<k <－3 C ．k <－6D ．k >－2解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3k ＋14x －4y ＝－3k －2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，所以k ＋6>0且k ＋2<0，所以－6<k <－2.故选A. 答案：A8．(2018·哈尔滨模拟)已知直线3x ＋2y －3＝0与直线6x ＋my ＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( ) A ．4 B ．132C.21313D ．71326解析：由直线3x ＋2y －3＝0与6x ＋my ＋7＝0互相平行，得m ＝4，所以直线分别为3x ＋2y－3＝0与3x ＋2y ＋72＝0.它们之间的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪72＋332＋22＝132，故选B. 答案：B9．已知A (－2,1)，B (1,2)，点C 为直线y ＝13x 上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( )A ．2 2B ．2 3C ．2 5D ．27解析：设B 关于直线y ＝13x 的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0－1＝－3，y 0＋22＝13×x 0＋12，解得B ′(2，－1)．由平面几何知识得|AC |＋|BC |的最小值即是|B ′A |＝＋2＋－1－2＝2 5.故选C. 答案：C10．圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线l ：x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( ) A ．36 B ．18 C ．6 2D ．5 2解析：将圆C 的方程x 2＋y 2－4x －4y －10＝0变形为(x －2)2＋(y －2)2＝18，可知圆心C (2,2)，半径r ＝3 2.圆心C (2,2)到直线l ：x ＋y －14＝0的距离d ＝|2＋2－14|12＋12＝5 2. 所以圆C 上的点到直线l 的最大距离与最小距离的差为(d ＋r )－(d －r )＝2r ＝62，故选C. 答案：C11．若在平面直角坐标系内过点P (1，3)且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为________．解析：|OP |＝2，当直线l 过点P (1，3)且与直线OP 垂直时，有d ＝2，且直线l 有且只有一条；当直线l 与直线OP 重合时，有d ＝0，且直线l 有且只有一条；当0<d <2时，有两条． 答案：0<d <212．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________． 解析：设所求直线的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋4＝0，由已知及点到直线的距离公式可得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k2，解得k ＝2或k ＝－23，即所求直线的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝013．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．解析：由题得A (2,0)，B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12.由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.答案：1214．已知直线l 1与直线l 2：4x －3y ＋1＝0垂直且与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3相切，求直线l 1的方程．解析：圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.由已知可设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋－＋c |32＋42＝2，解得c ＝14或c ＝－6.即直线l 1的方程为3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0.B 组——能力提升练1．已知直线l 1：3x ＋2ay －5＝0，l 2：(3a －1)x －ay －2＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为( ) A ．－16B ．6C ．0D ．0或－16解析：由l 1∥l 2，得－3a －2a (3a －1)＝0，即6a 2＋a ＝0，所以a ＝0或a ＝－16，经检验都成立．故选D. 答案：D2．直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( ) A ．－12 B ．－14 C ．10 D ．8解析：由直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，得2m －20＝0，m ＝10，直线10x ＋4y －2＝0过点(1，p )，有10＋4p －2＝0，解得p ＝－2，点(1，－2)又在直线2x －5y ＋n ＝0上，则2＋10＋n ＝0，解得n ＝－12.故选A. 答案：A3．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2＝( )A ．2B ．4C ．5D ．10解析：如图，以C 为原点，CB ，CA 所在直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系．设A (0，a )，B (b,0)，则D (b 2，a2)，P (b 4，a4)，由两点间的距离公式可得|PA |2＝b 216＋9a 216，|PB |2＝9b 216＋a 216，|PC |2＝b 216＋a 216.所以|PA |2＋|PB |2|PC |2＝1016a2＋b 2a 2＋b 216＝10.答案：D4．设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：不妨设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)，由于l 1⊥l 2，所以1x 1×(－1x 2)＝－1，则x 1＝1x 2.又切线l 1：y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，l 2：y ＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，于是A (0，ln x 1－1)，B (0,1＋ln x 1)，所以|AB |＝2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y －ln x 1＝1x1x －x 1y ＋ln x 2＝－1x2x －x 2，解得x P ＝2x 1＋1x 1.所以S △PAB＝12×2×x P ＝2x 1＋1x 1，因为x 1>1，所以x 1＋1x 1>2，所以S △PAB 的取值范围是(0,1)，故选A. 答案：A5．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝( )A ．4B ．6 C.345D.365解析：由题意可知纸的拆痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y ＝2x －3，即为点(7,3)与点(m ，n )连线的垂直平分线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315.故m ＋n ＝345.故选C.答案：C6．直线2x ＋3y －6＝0分别交x 轴和y 轴于A ，B 两点，P 是直线y ＝－x 上的一点，要使|PA |＋|PB |最小，则点P 的坐标是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(0,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12解析：由已知可得B (0,2)，A (3,0)，A (3,0)关于直线y ＝－x 的对称点为A ′(0，－3)，则|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |，由几何意义知，当B ，P ，A ′共线时|PA ′|＋|PB |最小，即|PA |＋|PB |最小，此时直线BA ′与直线y ＝－x 的交点为(0,0)，即使|PA |＋|PB |取得最小值的点P 的坐标为(0,0)．故选C. 答案：C7．(2018·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为( ) A.102B.10 C ．5 D ．10 解析：由题意可知，P (0,1)，Q (－3,0)，且l ⊥m ， ∴M 在以PQ 为直径的圆上．∵|PQ |＝9＋1＝10， ∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10，故选D. 答案：D8．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：由题知直线l 1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l 2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l 2所过定点为(0,2)，故选B. 答案：B9．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点是(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( ) A ．4B ．13C.15 D ．17解析：根据中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x －22＝1，5－32＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1，所以点P 的坐标为(4,1)，所以点P (x ，y )到原点的距离d ＝－2＋－2＝17，故选D.答案：D10．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2B ．823C. 3D ．833解析：因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a a －＝32a 2≠18a ≠2a ≠0，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝|6－23|2＝823，故选B.答案：B11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线y ＝2x ＋b 分圆C 的内部为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b ＝( ) A ．－ 6 B ．± 6 C ．－ 5D ．± 5解析：因为圆心C 到y 轴的距离为1，所以圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是有|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝±5，选D.答案：D12．平面上有相异两点A (cos θ，sin 2θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角的取值范围是________．解析：k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ， 又因为A ，B 两点相异，则cos θ≠0，sin 2θ≠1，所以k ＝tan α＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，那么直线AB 的倾斜角α的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 13．(2017·晋中模拟)直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是________．解析：直线y ＝k (x －1)恒过点P (1,0)，且与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，画出图形(如图所示)，则直线落在阴影区域内．∵k PA ＝2－03－1＝1，k PB ＝3－02－1＝3，∴k 的取值范围是[1,3]． 答案：[1,3]14．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.解析：因为曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为|0－－2－2＝22－2＝2，则曲线C 1与直线l 不能相交，即x 2＋a >x ，所以x 2＋a －x >0.设C 1：y ＝x 2＋a 上一点(x 0，y 0)，则点(x 0，y 0)到直线l 的距离d ＝|x 0－y 0|2＝－x 0＋x 20＋a2＝x 0－122＋a －142≥4a －142＝2，所以a ＝94.答案：9415．在平面直角坐标系内，求到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标．解析：由已知得k AC ＝6－23－1＝2，k BD ＝5－－1－7＝－1，所以AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0，①BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0，②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.所以直线AC 与直线BD 的交点为P (2,4)，此点即为所求点．因为|PA |＋|PB |＋|PC |＋|PD |＝|AC |＋|BD |，取异于P 点的任一点P ′.则|P ′A |＋|P ′B |＋|P ′C |＋|P ′D |＝(|P ′A |＋|P ′C |)＋(|P ′B |＋|P ′D |)>|AC |＋|BD |＝|PA |＋|PB |＋|PC |＋|PD |.故P 点就是到A 、B 、C 、D 的距离之和最小的点．。
2013届高三人教B版理科数学一轮复习课时作业(45)两直线的位置关系与点到直线的距离
课时作业(四十五) [第45讲 两直线的位置关系与点到直线的距离][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝02．点A (1,1)到直线x cos θ＋y sin θ－2＝0的距离的最大值是( ) A ．2 B.2－2 C.2＋2 D ．43．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ，且2lgsin B ＝lgsin A ＋lgsin C ，则两条直线l 1：x sin 2A ＋y sin A ＝a 与l 2：x sin 2B ＋y sin C ＝c 的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交不垂直4．对任意实数a ，直线y ＝ax －3a ＋2所经过的定点是( ) A ．(2,3) B ．(3,2)C ．(－2,3)D ．(3，－2) 能力提升5．点P (m －n ，－m )到直线x m ＋yn ＝1的距离等于( )A.m 2＋n 2B.m 2－n 2C.n 2－m 2D.m 2±n 2 6．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或27．直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P (0,1)对称的直线方程方程是( ) A ．2x ＋11y ＋38＝0 B ．2x ＋11y －38＝0 C ．2x －11y －38＝0 D ．2x －11y ＋16＝08．已知0<k <4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为( )A.18B.14C.12 D ．2 9．[2011·浙江卷] 若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.10．点A (2,3)，点B 在x 轴上，点C 在y 轴上，则△ABC 周长的最小值是________．11．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)12．(13分)已知三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4，试判断这三条直线能否构成一个三角形？若不能，求出对应的实数m 的值，并指出原因．难点突破13．(12分)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．课时作业(四十五)【基础热身】1．A [解析] 由已知可得l 斜率为－32，由点斜式方程得l ：y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.2．C [解析] 由条件得d ＝|cos θ＋sin θ－2|＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ－2，得最大值为2＋2. 3．B [解析] 由已知得sin 2B ＝sin A sin C ，故sin 2A sin 2B ＝sin Asin C，从而两直线方程的系数之比都相等，所以两直线重合．4．B [解析] 直线系恒过定点，说明对任意的实数a ，这个点的坐标都能使方程成立，只要按照实数a ，把这个方程进行整理，确定无论实数a 取何值，方程都能成立的条件即可．直线方程即y －2＝a (x －3)，因此当x －3＝0且y －2＝0时，这个方程恒成立，故直线系恒过定点(3,2)．【能力提升】5．A [解析] 把直线方程化为nx ＋my －mn ＝0，根据点到直线的距离公式得 d ＝|n (m －n )＋m (－m )－mn |m 2＋n 2＝m 2＋n 2m 2＋n2＝m 2＋n 2. 6．C [解析] 利用两直线平行的充要条件得(k －3)×(－2)－2(4－k )(k －3)＝0，解得k ＝3或k ＝5.7．B [解析] 解题的关键是中心对称的两直线互相平行，并且两直线与对称中心的距离相等．设所求直线的方程为2x ＋11y ＋C ＝0，由点到直线的距离公式可得|0＋11＋16|22＋112＝|0＋11＋C |22＋112，所以C ＝16(舍去)或C ＝－38.8．A [解析] 直线l 1的方程可以化为k (x －2)－2y ＋8＝0，该直线系过定点M (2,4)，与两坐标轴的交点坐标是A ⎝⎛⎭⎫2k －8k ，0，B (0,4－k )；直线l 2的方程可以化为(2x －4)＋k 2(y －4)＝0，该直线系过定点M (2,4)，与两坐标轴的交点坐标是C (2k 2＋2,0)，D ⎝⎛⎭⎫0，4＋4k 2.结合0<k <4可以知道这个四边形是OBMC ，如图所示，连接OM ，则四边形OBMC 的面积是△OBM ，△OCM 的面积之和，故四边形OBMC 的面积是12×(4－k )×2＋12(2k 2＋2)×4＝4k 2－k ＋8，故当k ＝18时两直线所围成的四边形面积最小．9．1 [解析] ∵直线x －2y ＋5＝＝0垂直，∴1×2－2×m ＝0，即m ＝1.10．213 [解析] 由于三角形是折线围成的，直接求△ABC 周长的最小，需要求三个含有变量的二次根式和的最小值，显然不好办，根据关于直线对称的两点到直线上任意一点的距离相等，把三角形的周长转化为点A 关于两条坐标轴的对称点和点B ，C 所连折线的长度，根据两点之间线段最短可解．点A 关于x ，y 轴的对称点分别是A 1(2，－3)，A 2(－2,3)，根据对称性A 1B ＝AB ，A 2C ＝AC ，故AB ＋BC ＋CA ＝A 1B ＋BC ＋CA 2≥A 1A 2＝213.11．①⑤ [解析] 两平行线间的距离为d ＝|3－1|1＋1＝2，如图，可知直线m 与l 1，l 2的夹角为30°，l 1，l 2的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.故填写①⑤.12．[解答] (1)l 2∥l 3不可能，∴①若l 1∥l 2，则m4＝1，∴m ＝4；②若l 1∥l 3，则24＝－3m 1，∴m ＝－16；(2)当三直线过同一点时，不能构成三角形，此时，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0，得两直线的交点是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫44－m ，－4m 4－m (m ≠4)，代入第三条直线方程解得m ＝23，或m ＝－1；综合(1)(2)所述，当m ＝－1，m ＝－16，m ＝23或m ＝4时，三直线不能构成三角形，而在其余情况下，三直线总能构成三角形．【难点突破】13．[解答] (1)证明：反证法，假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0.此与k 1为实数的事实相矛盾．从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)证明：证法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标(x ，y )为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2－k 1，y ＝k 2＋k1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝⎛⎭⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.此即表明交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证法二：交点P 的坐标(x ，y )满足 ⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x ， 故知x ≠0.从而⎩⎨⎧k 1＝y －1x，k 2＝y ＋1x .代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0.整理后，得2x2＋y2＝1，所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上．。
高考数学总复习第八章解析几何课时作业45两直线的位置关系文(含解析)新人教A版
高考数学总复习第八章解析几何课时作业45两直线的位置关系文（含解析）新人教A 版课时作业45 两直线的位置关系1．已知直线l 1：(m －4)x －(2m ＋4)y ＋2m －4＝0与l 2：(m －1)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，则“m ＝－2”是“l 1∥l 2”的( B )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：若m ＝－2，则l 1：－6x －8＝0，l 2：－3x ＋1＝0，∴l 1∥l 2.若l 1∥l 2，则(m －4)(m ＋2)＋(2m ＋4)(m －1)＝0，解得m ＝2或m ＝－2.∴“m ＝－2”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件，故选B.2．(2019·新疆乌鲁木齐模拟)直线a 1x ＋b 1y ＝2和a 2x ＋b 2y ＝2交于点P (2,3)，则过点A (a 1，b 1)、B (a 2，b 2)的直线方程是( A )A ．2x ＋3y －2＝0B ．3x ＋2y －2＝0C ．3x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y ＋2＝0解析：∵直线a 1x ＋b 1y ＝2和a 2x ＋b 2y ＝2交于点P (2,3)，∴2a 1＋3b 1＝2,2a 2＋3b 2＝2，∴过点A (a 1，b 1)、B (a 2，b 2)的直线方程为2x ＋3y ＝2，即2x ＋3y －2＝0，故选A.3．(2019·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( B ) A ．7 B.172 C ．14D ．17解析：直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)， 即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10， 所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172.4．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( D ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝0D ．3x ＋19y ＝0解析：法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为：y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.法二 设直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0， 即(1＋2λ)x －(3－λ)y ＋4＋5λ＝0， 又直线过点(0,0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0， 解得λ＝－45，故所求直线方程为3x ＋19y ＝0.5．(2019·安阳一模)两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1,2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值范围是( D )A ．(5，＋∞)B ．(0,5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34 ]解析：当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为－1－22＋[2－－3]2＝34，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34 ]．6．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( A )A.345B.365 C.283D.323解析：由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.7．(2019·山西临汾模拟)设直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：mx ＋y ＋3＝0的交点为A ；P ，Q 分别为l 1，l 2上的点，点M 为PQ 的中点，若AM ＝12PQ ，则m 的值为( A )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：在△APQ 中，M 为PQ 的中点，且AM ＝12PQ ，∴△APQ 为直角三角形，且∠PAQ ＝90°，∴l 1⊥l 2，∴1×m ＋(－2)×1＝0，解得m ＝2，故选A.8．直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( D )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0解析：由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，∴M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)， ∴所求方程为2x ＋3y ＋12＝0.故选D.9．设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( C )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin A a，bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的斜率k 2＝bsin B，故k 1k 2＝－sin A a ·bsin B＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y ＋sin C ＝0垂直，故选C.10．已知点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R )，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为( B )A ．2 3 B.10 C.14D ．215解析：由(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，此方程是过两直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0交点的直线系方程．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，可知两直线的交点为Q (1,1)，故直线l 恒过定点Q (1,1)，如图所示，可知d ＝|PH |≤|PQ |＝10，即d 的最大值为10， 故选B.11．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为6x －y －6＝0.解析：先利用两直线垂直的性质求出点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点，再利用两点式求出反射光线所在直线的方程．设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3×1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －0＝6－02－1(x －1)，即6x －y －6＝0.12．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎪⎫277，－87.解析：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)， ∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. ∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，② 由①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87.13．已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＞0，且|Ax 1＋By 1＋C |＞|Ax 2＋By 2＋C |，则( C )A ．直线l 与直线P 1P 2不相交B ．直线l 与线段P 2P 1的延长线相交C ．直线l 与线段P 1P 2的延长线相交D ．直线l 与线段P 1P 2相交解析：由题可知，(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＞0表示两点在直线的同侧． 因为|Ax 1＋By 1＋C |＞|Ax 2＋By 2＋C |， 所以|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B 2＞|Ax 2＋By 2＋C |A 2＋B 2，所以P 1到直线的距离大于P 2到直线的距离， 所以直线l 与线段P 1P 2的延长线相交，故选C.14．(2019·安徽安庆模拟)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0和x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线间距离的最大值为( B )A.24B.22C.12D. 2解析：因为a ，b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以a ＋b ＝－1，ab ＝c . 因为直线x ＋y ＋a ＝0和x ＋y ＋b ＝0之间的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝a ＋b 2－4ab 2＝1－4c2， 因为0≤c ≤18，所以12≤1－4c ≤1，所以14≤1－4c 2≤12，即d 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，所以这两条直线之间的距离的最大值为22，故选B.15．已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )，且Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，则12a ＋2c的最小值为( B )A.92B.94 C ．1D ．9解析：动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )，∴a ＋bm ＋c －2＝0.又Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3， ∴4－12＋0－m2＝3，解得m ＝0.∴a ＋c ＝2.又a ＞0，c ＞0，∴12a ＋2c ＝12(a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号，故选B.16．已知x ，y 为实数，则代数式1＋y －22＋9＋3－x2＋x 2＋y 2的最小值是41.解析：如图所示，由代数式的结构可构造点P (0，y )，A (1,2)，Q (x,0)，B (3,3)，则1＋y－22＋9＋3－x2＋x2＋y2＝|PA|＋|BQ|＋|PQ|.分别作点A关于y轴的对称点A′(－1,2)，点B关于x轴的对称点B′(3，－3)，则1＋y－22＋9＋3－x2＋x2＋y2≥|A′B′|＝41，当且仅当P，Q为A′B′与坐标轴的交点时，等号成立，故最小值为41.。
高三数学一轮复习 两直线的位置关系巩固与练习
高三数学一轮复习 两直线的位置关系巩固与练习 A ．1或3 B ．1或5C ．3或5D ．1或2解析：选C.∵l 1∥l 2，∴－2(k －3)－2(k －3)(4－k )＝0，(k －3)(5－k )＝0，∴k ＝3或5.2．直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( )A ．3x ＋4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －5＝0C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A.对于对称轴是x 轴，y 轴，直线y ＝±x 时的对称问题常用代换法．如本题中因为点(x ，－y )关于x 轴对称的点为(x ，y )，所以所求直线方程为3x －4(－y )＋5＝0即3x ＋4y ＋5＝0，故选A.3．(原创)点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( )A ．－32 B.54C ．－65 D.56解析：选D.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 3－11＋2·k ＝－12＝k ·(－12)＋b ，解得k ＝－32，b ＝54， ∴直线方程为y ＝－32x ＋54， 其在x 轴上的截距为－54×(－23)＝56. 4．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．解析：由题意得，36＝－2a ≠－1c，∴a ＝－4，c ≠－2， 则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c 2＝0， 由两平行线间的距离公式，得21313＝|c 2＋1|13， 解得c ＝2或－6，所以c ＋2a＝±1. 答案：±15．(2009年高考全国卷Ⅰ)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号 )解析：两直线x －y ＋1＝0与x －y ＋3＝0之间的距离为|3－1|2＝2，又动直线被l 1与l 2所截的线段长为22，故动直线与两直线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．答案：①⑤ 6．已知直线(m ＋2)x －(2m －1)y －3(m －4)＝0.(1)求证：不论m 怎样变化，直线恒过定点；(2)求原点(0,0)到直线的距离的最大值．解：(1)证明：直线方程变为m (x －2y －3)＋2x ＋y ＋12＝0，故由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －3＝02x ＋y ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－215y ＝－185，∴不论m 怎样变化，直线恒过定点(－215，－185)． (2)原点(0,0)到直线距离的最大值，即为原点(0,0)到点(－215，－185)的距离d . ∴d ＝(215)2＋(185)2＝3 855.练习1．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＋k ＋12＝0相交于一点，则k ＝( ) A ．－2 B ．－12C ．2 D.12解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0x －y －1＝0得交点为(－1，－2)，代入x ＋ky ＋k ＋12＝0，得k ＝－12. 2．已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)、B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：选B.l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1，k AB ＝2－(－1)3－a＝1，a ＝0. 由l 1∥l 2，－2b＝1，得b ＝－2，所以a ＋b ＝－2. 3.点P (－1,3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离的最大值等于( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 3解析：选C.直线l ：y ＝k (x －2)的方程化为kx －y －2k ＝0，所以点P (－1,3)到该直线的距离为d ＝3|k ＋1|k 2＋1＝3k 2＋2k ＋1k 2＋1＝31＋2k k 2＋1，由于2k k 2＋1≤1，所以d ≤32，即距离的最大值等于32，选C.4．点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－2,1)解析：选C.设P 点坐标为(a,5－3a )，由题意知：|a －(5－3a )－1|2＝ 2. 解之得a ＝1或a ＝2，∴P 点坐标为(1,2)或(2，－1)．故应选C.5．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0，若直线l 1与l 2关于l 对称，则l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选B.在l 2上任取一点(x ，y )，关于l ：x －y －1＝0的对称点(x 0，y 0)在l 1上，根据点关于线的对称关系列方程组解出x 0，y 0，代入l 1即可得出方程x －2y －1＝0.6．三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1解析：选C.由l 1∥l 3得k ＝5，由l 2∥l 3得k ＝－5，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0x ＋y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10. 故若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10.7．已知直线l 1：kx －y ＋1－k ＝0与l 2：ky －x －2k ＝0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为________． 解析：解⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋1－k ＝0ky －x －2k ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k k －1y ＝2k －1k －1，∵交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k k －1＞02k －1k －1＞0，∴k ＞1或k ＜0.答案：k ＜0或k ＞18．设直线l 经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l 的距离最大时，直线l 的方程为______________．解析：设A (－1,1)，B (2，－1)，当AB ⊥l 时，点B 与l 距离最大，此时l 的方程为：y －1＝－11＋1－1－2(x ＋1)， 即为：3x －2y ＋5＝0.答案：3x －2y ＋5＝09．已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使|PM |＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是________(填上所有正确答案的序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x解析：根据题意，看所给直线上的点到定点M 距离能否取4.可通过求各直线上的点到点M 的最小距离，即点M 到直线的距离来分析．①d ＝|5＋1|12＋(－1)2＝32＞4，故直线上不存在点到点M 距离等于4，不是“切割型直线”；②d ＝2＜4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M 距离等于4，是“切割型直线”；③d ＝|4×5－0|(－3)2＋42＝4，直线上存在一点，使之到点M 距离等于4，是“切割型直线”．答案：②③10．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程．(1)l ′与l 平行且过点(－1,3)； (2)l ′与l 垂直且l ′与两坐标轴围成的三角形面积为4；(3)l ′是l 绕原点旋转180°而得到的直线．解：(1)直线l ：3x ＋4y －12＝0，k l ＝－34， 又∵l ′∥l ，∴k l ′＝k l ＝－34. ∴直线l ′：y ＝－34(x ＋1)＋3，即3x ＋4y －9＝0. (2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43. 设l ′在x 轴上截距为b ，则l ′在y 轴上截距为－43b ， 由题意可知，S ＝12|b |·|－43b |＝4，∴b ＝± 6. ∴直线l ′：y ＝43x ＋6或y ＝43x － 6. (3)∵l ′是l 绕原点旋转180°而得到的直线，∴l ′与l 关于原点对称．在l 上任取点(x 0，y 0)，则在l ′上对称点为(x ，y )．x ＝－x 0，y ＝－y 0，则－3x －4y －12＝0.∴l ′为3x ＋4y ＋12＝0.11.已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0①又点(－3，－1)在l 1上，∴－3a ＋b ＋4＝0②由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，∴b ＝a1－a， 故l 1和l 2的方程可分别表示为：(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a 1－a＝0， 又原点到l 1与l 2的距离相等．∴4|a －1a |＝|a 1－a |，∴a ＝2或a ＝23， ∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.12．光线通过点A (－2,4)，经直线2x －y －7＝0反射，若反射线通过点B (5,8)．求入射光线和反射光线所在直线的方程．解：如右图，已知直线l ：2x －y －7＝0，设光线AC 经l上点C 反射为BC ，则∠1＝∠2.再设A 关于l 的对称点为A ′(a ，b )，则∠1＝∠3.∴∠2＝∠3，则B ，C ，A ′三点共线．∵A ′A ⊥l 且AA ′中点在l 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2·a －22－b ＋42－7＝0，b －4a ＋2·2＝－1.解得a ＝10，b ＝－2，即A ′(10，－2)．∴A ′B 的方程为y ＋2＝8＋25－10(x －10)，即2x ＋y －18＝0.∴A ′B 与l 的交点为C (254，112)．∴入射光线AC 的方程为y －4＝4－112－2－254(x ＋2)．即2x －11y ＋48＝0.∴入射光线方程为2x －11y ＋48＝0，反射光线方程为2x ＋y －18＝0.。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：8.2 两直线的位置关系 Word版含答案
第二节两直线的位置关系两条直线的位置关系(1)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．(2)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(3)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识点一两直线的位置关系易误提醒两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．[自测练习]1．已知直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，则实数m的取值为() A．－12 B.12C．2 D．－2解析：因为直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，所以m1＝－12≠0，解得m ＝－12，故选A.答案：A2．直线2x＋my＝2m－4与直线mx＋2y＝m－2垂直的充要条件是()A ．m ＝2B ．m ＝－2C ．m ＝0D ．m ∈R解析：由题意得，2m ＋2m ＝0，得m ＝0.故选C. 答案：C知识点二 两直线的交点设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．必记结论 (1)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )． (2)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Bx －Ay ＋λ＝0.(3)过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．[自测练习]3．过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得交点P (1，－3)．设过点P 且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为3x ＋y ＋m ＝0，则3×1－3＋m ＝0，解得m ＝0.答案：3x ＋y ＝0 知识点三 几种距离1．平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.2．点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 易误提醒 在解题过程中，点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式中要求直线方程必须是一般式．特别是在两平行直线间的距离公式中，两直线方程的一般式中x ，y 的系数要对应相等．[自测练习]4．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0解析：当所求直线l 与线段OA 垂直时，原点到直线的距离最大．∵k OA ＝2，∴k l ＝－12.∴所求直线方程为：y －2＝－12(x －1)．即x ＋2y －5＝0.答案：A5．已知两平行线l 1：2x ＋3y ＝6，l 2：2x ＋3y －1＝0，则l 1与l 2间距离为________． 解析：d ＝|－6－(－1)|4＋9＝513＝51313.答案：51313考点一 两直线的位置关系|1．(2016·安阳模拟)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若a ＝1，则直线l 1：x ＋2y －1＝0，直线l 2：x ＋2y ＋4＝0，故两直线平行；若直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行，则a 1＝2a ＋1≠－14，解得a ＝1或a＝－2.故“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件．答案：A2．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：由条件知k l ＝－32，∴l ：y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0，选A. 答案：A3．已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4D. 2解析：由直线垂直可得a 2＋(b ＋2)(b －2)＝0， 变形可得a 2＋b 2＝4，由基本不等式可得4＝a 2＋b 2≥2ab ， ∴ab ≤2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号， ∴ab 的最大值为2. 答案：B判断两直线平行或垂直的两个策略(1)设A 2B 2C 2≠0，两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件为A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2.更一般地，两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件为A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0.(2)利用两直线的斜率判定两直线的平行、垂直关系，注意斜率不存在的情况不能忽略．考点二 距离问题|直线l 经过点P (2，－5)且与点A (3，－2)和点B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．[解] 当直线l 与x 轴垂直时，此时直线l 的方程为x ＝2，点A 到直线l 的距离为d 1＝1，点B 到直线l 的距离为d 2＝3，不符合题意，故直线l 的斜率必存在．∵直线l 过点P (2，－5)，∴设直线l 的方程为y ＋5＝k (x －2)． 即kx －y －2k －5＝0.∴点A (3，－2)到直线l 的距离 d 1＝|3k －(－2)－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1，点B (－1,6)到直线l 的距离 d 2＝|－k －6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1.∵d 1∶d 2＝1∶2，∴|k －3||3k ＋11|＝12，∴k 2＋18k ＋17＝0，∴k 1＝－1，k 2＝－17.∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0和17x ＋y －29＝0.求解距离问题的注意点解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．设a ，b 是关于x 的方程x 2sin θ＋x cos θ－2＝0(θ∈R )的两个互异实根，直线l 过点A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，则坐标原点O 到直线l 的距离是( )A ．2B ．2|tan θ| C.2|tan θ|D ．2|sin θcos θ|解析：由二元一次方程根与系数的关系可得⎩⎨⎧a ＋b ＝－cos θsin θ，ab ＝－2sin θ.直线l 的斜率k ＝a 2－b 2a －b＝a ＋b ，故直线l 的方程为y －a 2＝(a ＋b )(x －a )， 即(a ＋b )x －y －ab ＝0. 故原点O 到直线l 的距离 d ＝|－ab |(a ＋b )2＋(－1)2＝|ab |(a ＋b )2＋1＝⎪⎪⎪⎪－2sin θ⎝⎛⎭⎫－cos θsin θ2＋1＝2.答案：A考点三 对称问题|对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．归纳起来常见的命题角度有：1．点关于点对称． 2．点关于线对称． 3．线关于线对称． 4．对称问题的应用． 探究一 点关于点的对称问题1．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：依题意a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则A (4,8)，B (－4,2)，所以|AB |＝(4＋4)2＋(8－2)2＝10，故选B.答案：B探究二 点关于线对称问题2．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)． 在直线l 上求一点P ，使|P A |＋|PB |最小． 解：设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)． P 为直线l 上的一点，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值， 为|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2,3)． 探究三 线关于线对称问题3．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (2)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 解：(1)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (2)在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点， 如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 探究四 对称问题的应用4．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.对称问题主要包括中心对称和轴对称(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．18.忽视斜率不存在致误【典例】 直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．[解析] 法一：当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. [答案] x ＋3y －5＝0或x ＝－1[易误点评] 易漏掉k 不存在这一情形．[防范措施] 在求直线方程时，不论是平行、垂直还是距离问题都应数形结合判断直线的斜率是否存在．[跟踪练习] 已知点P (a,2)(a <2)到直线x ＝2的距离为1，则点P 到直线 x －y ＋2＝0的距离为________．解析：由已知2－a ＝1，解得a ＝1.所以P (1,2)． 故点P 到直线x －y ＋2＝0的距离为d ＝|1－2＋2|12＋(－1)2＝22.答案：22A 组 考点能力演练1．(2016·南宁模拟)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为3x －4(－y )＋5＝0.即3x ＋4y ＋5＝0.答案：A2．(2015·浙江名校联考)已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a ＝－1，则l 1：x －3y －2＝0，l 2：－3x －y －1＝0，显然两条直线垂直；若l 1⊥l 2，则(a －2)＋a (a －2)＝0，∴a ＝－1或a ＝2，因此，“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A.答案：A3．直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为1，且与直线x －3y ＋1＝0垂直，则a ＋b 等于( )A.43 B ．－23C ．4D ．－2解析：由题意知⎩⎨⎧1b ＝1，－a b ×13＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.所以a ＋b ＝4.答案：C4．若三条直线x －2y ＋3＝0,3x ＋4y －21＝0,2x ＋3y －k ＝0交于一点，则k 的值等于( ) A ．13 B ．14 C ．15D ．16解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，3x ＋4y －21＝0，得交点P (3,3)，代入2x ＋3y －k ＝0，得k ＝15.答案：C5．(2016·济南模拟)若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A.52 2 B ．5 2 C.1522 D ．15 2解析：设P 1P 2中点P (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.∵x 1－y 1－5＝0，x 2－y 2－15＝0. ∴(x 1＋x 2)－(y 1＋y 2)＝20即x －y ＝10.∴y ＝x －10.∴P (x ，x －10) ∴P 到原点的距离d ＝x 2＋(x －10)2 ＝2(x －5)2＋50 ≥50＝5 2. 答案：B6．若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________． 解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0， ∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－87．(2016·重庆检测)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为________．解析：直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与l 2的距离为⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32. 答案：328．直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1，解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)， ∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1， 解得k ＝12(k ＝2舍去)， ∴直线l 2的方程为x －2y ＝0.答案：x －2y ＝09．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－y x ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.② 由①②得⎩⎨⎧ x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7，∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.10．(2016·东营模拟)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若a >－1，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．解：(1)当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a ＋2＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋a a ＋1＝2＋a ， 解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.(2)由直线方程可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0，N (0,2＋a )，因为a >－1， 所以S △OMN ＝12×2＋a a ＋1×(2＋a )＝12×[(a ＋1)＋1]2a ＋1＝12⎣⎡⎦⎤(a ＋1)＋1a ＋1＋2≥12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(a ＋1)·1a ＋1＋2＝2， 当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时等号成立． 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.B 组 高考题型专练1．(2014·高考福建卷)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：依题意，得直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －0，即x －y ＋3＝0，故选D.答案：D2．(2013·高考天津卷)已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.12解析：由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2，2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2. 答案：C3．(2015·高考广东卷)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0解析：设所求直线的方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，则|c|22＋12＝5，所以c＝±5，故所求直线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.答案：A4．(2015·高考湖南卷)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.解析：圆x2＋y2＝r2的圆心为原点，则圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离为|0－0＋5|32＋(－4)2＝1，在△OAB中，点O到边AB的距离d＝r sin 30°＝r2＝1，所以r＝2.答案：2。
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 8-1直线的方程与两条直线的位置关系 新人教A版
8-1直线的方程与两条直线的位置关系基础巩固强化1.(文)(2012²乌鲁木齐地区质检)在圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是( )A.π6 B.π4 C.π3D.3π4[答案] B[解析] 圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)所在直线斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，倾斜角是π4.(理)(2012²内蒙包头模拟)曲线y ＝x 2＋bx ＋c 在点P (x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 到该曲线对称轴距离的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0，12]C ．[0，|b |2]D ．[0，|b －1|2][答案] B[解析] y ′|x ＝x 0＝2x 0＋b ，设切线的倾斜角为α，则0≤tan α≤1，即0≤2x 0＋b ≤1，∴点P (x 0，f (x 0))到对称轴x ＝－b 2的距离d ＝|x 0＋b 2|＝12|2x 0＋b |∈[0，12]，故选B.2．(文)(2011²辽宁沈阳二中检测)“a ＝2”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 两直线平行的充要条件是2a ＝a 2≠－1－2，即两直线平行的充要条件是a ＝±2.故a＝2是直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行的充分不必要条件．[点评] 如果适合p 的集合是A ，适合q 的集合是B ，若A 是B 的真子集，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p ，q 互为充要条件，若B 是A 的真子集，则p 是q 的必要不充分条件．(理)(2011²东营模拟)已知两条直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则an ＝bm 是直线l 1∥l 2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] l 1∥l 2时，an －bm ＝0；an －bm ＝0时⇒/ l 1∥l 2. 故an ＝bm 是直线l 1∥l 2的必要不充分条件．3．(2011²烟台模拟)点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5) D ．(4，－3)[答案] B[解析] x ＝2－4＝－2，y ＝2－(－3)＝5，故选B.4．(文)(2011²梅州模拟)已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为( )A ．5B ．4C ．2D ．1 [答案] C[解析] 由题意知，a 2b －(a 2＋1)＝0且a ≠0，∴a 2b ＝a 2＋1，∴ab ＝a 2＋1a ＝a ＋1a，∴|ab |＝|a ＋1a |＝|a |＋1|a |≥2.(当且仅当a ＝±1时取“＝”)．(理)已知a 、b 为正数，且直线(a ＋1)x ＋2y －1＝0与直线3x ＋(b －2)y ＋2＝0互相垂直，则3a ＋2b的最小值为( )A ．12 B.136C ．1D ．25[答案] D[解析] ∵两直线互相垂直，∴3(a ＋1)＋2(b －2)＝0， ∴3a ＋2b ＝1， ∵a 、b >0，∴3a ＋2b ＝(3a ＋2b )(3a ＋2b )＝13＋6b a＋6ab≥13＋26b a ²6a b＝25.等号成立时，⎩⎪⎨⎪⎧6b a ＝6a b3a ＋2b ＝1，∴a ＝b ＝15，故3a ＋2b的最小值为25.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )[答案] A[解析] 直线l 1在x 轴上的截距与直线l 2在y 轴上的截距互为相反数，直线l 1在y 轴上的截距与l 2在x 轴上的截距互为相反数，故选A.[点评] 可用斜率关系判断，也可取特值检验．6．(文)(2011²安徽省示范高中皖北协作区高三联考)若过点P (2,1)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则这样的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[答案] C[解析] 设过点P (2,1)的直线方程为x a ＋y b＝1， 则2a ＋1b＝1，即2b ＋a ＝ab ，又S ＝12|a ||b |＝4，即|ab |＝8，由⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋a ＝ab ，|ab |＝8，解得a 、b 有三组解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，⎩⎨⎧a ＝－4－42，b ＝－2＋22，或⎩⎨⎧a ＝42－4，b ＝－2－2 2.所以所求直线共有3条，故选C.(理)(2012²山东模拟)若直线(m 2－1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是( )A.12<m <1 B ．－1<m ≤12C ．－12≤m <1D.12≤m ≤1 [答案] D[解析] 若直线(m 2－1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则直线过二、三、四象限，则斜率和截距均小于等于0.直线变形为y ＝(m 2－1)x －2m ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1≤0，－2m ＋1≤0，⇒12≤m ≤1，故选D.[点评] (1)令x ＝0得y ＝－2m ＋1，令y ＝0得，x ＝2m －1m 2－1，则⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＋1<0，2m －1m 2－1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＋1＝0，m 2－1≤0，也可获解．(2)取特值m ＝0,1，检验亦可获解．7．(2011²宁夏银川一中月考)直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是________．[答案] －2或1[解析] 令x ＝0得y ＝2＋a ，令y ＝0得x ＝a ＋2a， 由条件知2＋a ＝a ＋2a，∴a ＝－2或1. 8．(文)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号为________．(写出所有正确答案的序号) [答案] ①⑤[解析] 求得两平行线间的距离为2，则m 与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，则m 的倾斜角为75°或15°，故填①⑤.(理)(2012²佛山市高三检测)已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．[答案] 12[解析] 直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，由ab＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2(b －12)2＋12，由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.9．(2011²大连模拟)已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是________．[答案] 3[解析] 由已知条件可知线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入直线方程解得m ＝3.[点评] 还可利用AB ⊥l 求解，或AB →为l 的法向量，则AB →∥a ，a ＝(1,2)，或先求AB 中点纵坐标y 0，利用AB 的中点在直线上求出其横坐标x 0再求m .10．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m 、n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，m ＝1，∴当m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (1，－1)．(2)l 1∥l 2⇔m 2＝8m ≠n－1，得：m ＝4，n ≠－2，或m ＝－4，n ≠2. (3)l 1⊥l 2⇔m ³2＋8³m ＝0， ∴m ＝0，则l 1：8y ＋n ＝0.又l 1在y 轴上的截距为－1，则n ＝8. 综上知m ＝0，n ＝8.[点评] 讨论l 1∥l 2时要排除两直线重合的情况．处理l 1⊥l 2时，利用l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0可避免对斜率存在是否的讨论.能力拓展提升11.(文)(2012²辽宁文)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0[答案] C[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0化为标准方程(x －1)2＋(y －2)2＝4， ∵直线平分圆，∴直线过圆心． 因此，可代入验证． 经验证得C 正确．[点评] 关键是明确圆是轴对称图形，对称轴过圆心．(理)(2011²西安八校联考)已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且直线l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2[答案] B[解析] 依题意知，直线l 的斜率为k ＝tan 3π4＝－1，则直线l 1的斜率为1，于是有2＋13－a ＝1，∴a ＝0，又直线l 2与l 1平行，∴1＝－2b，∴b ＝－2，∴a ＋b ＝－2，选B.12．(文)若三直线l ：2x ＋3y ＋8＝0，l 2：x －y －1＝0，l 3：x ＋ky ＋k ＋12＝0能围成三角形，则k 不等于( )A.32 B ．－2 C.32和－1 D.32、－1和－12[答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x ＋3y ＋8＝0，得交点P (－1，－2)，若P 在直线x ＋ky ＋k ＋12＝0上，则k ＝－12.此时三条直线交于一点；k ＝32时，直线l 1与l 3平行． k ＝－1时，直线l 2与l 3平行，综上知，要使三条直线能围成三角形，应有k ≠－12，32和－1.(理)(2011²北京文，8)已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] A[解析] 因为|AB |＝22，要使三角形面积是2，则C 点到直线AB 的距离为 2.直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，设C 点所在的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，所以d ＝|m ＋2|2＝2，解得m ＝0或m ＝－4，所以C 点的轨迹为x ＋y ＝0，或x ＋y －4＝0.又因为点C 在函数y ＝x 2的图象上，x ＋y ＝0，和x ＋y －4＝0与y ＝x 2分别有两个交点．故这样的点共有4个．[点评] 可利用点到直线距离公式，转化为方程解的个数的判定．13．已知指数函数y ＝2x的图象与y 轴交于点A ，对数函数y ＝lg x 的图象与x 轴交于点B ，点P 在直线AB 上移动，点M (0，－2)，则|MP |的最小值为________．[答案]322[解析] A (0,1)，B (1,0)，∴直线AB ：x ＋y －1＝0，又M (0，－2)，当|MP |取最小值时，MP ⊥AB ，∴|MP |的最小值为M 到直线AB 的距离d ＝|0－2－1|2＝322.14．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则l 1与l 2的距离为________．[答案] 3或5[解析] 由(k －3)³(－2)－2(k －3)³(4－k )＝0，且－2³1－(4－k )³3≠0，∴k ＝3或5.当k ＝3时，l 1：y ＋1＝0，l 2：－2y ＋3＝0，此时l 1与l 2距离为：52；当k ＝5时，l 1：2x －y ＋1＝0，l 2：4x －2y ＋3＝0，此时l 1与l 2的距离为|3－2|42＋－22＝510. 15．(文)已知两条直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8.当m 分别为何值时，l 1与l 2：(1)相交？ (2)平行？ (3)垂直？[解析] (1)当m ＝－5时，显然l 1与l 2相交；当m ≠－5时，两直线l 1和l 2的斜率分别为k 1＝－3＋m 4，k 2＝－25＋m，它们在y 轴上的截距分别为 b 1＝5－3m 4，b 2＝85＋m .由k 1≠k 2，得－3＋m 4≠－25＋m ，即m ≠－7，且m ≠－1.∴当m ≠－7，且m ≠－1时，l 1与l 2相交．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝k 2，b 1≠b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋m 4＝－25＋m ，5－3m 4≠85＋m ，得m ＝－7.∴当m ＝－7时，l 1与l 2平行．(3)由k 1k 2＝－1，得－3＋m 4²(－25＋m)＝－1，m ＝－133.∴当m ＝－133时，l 1与l 2垂直．(理)(2011²青岛模拟)已知三点A (5，－1)、B (1,1)、C (2，m )，分别求满足下列条件的m 值．(1)三点构成直角三角形ABC ； (2)A 、B 、C 三点共线．[解析] (1)若角A 为直角，则AC ⊥AB ， ∴k AC ²k AB ＝－1， 即m ＋12－5²1＋11－5＝－1，得m ＝－7； 若角B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ²k BC ＝－1，即－12²m －12－1＝－1，得m ＝3；若角C 为直角，则AC ⊥BC ， ∴k AC ²k BC ＝－1， 即m ＋1－3²m －12－1＝－1，得m ＝±2， 综上可知，m ＝－7，或m ＝3，或m ＝±2. (2)方法一：∵A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )， ∴k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－1＋m 3， 由k AB ＝k AC ，得－12＝－1＋m 3，即m ＝12.∴当m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．方法二：∵A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )， ∴AB →＝(－4,2)，AC →＝(－3，m ＋1)，由AB →＝λAC →，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝－3λ2＝λm ＋1，得λ＝43，m ＝12，∴当m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．方法三：∵A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )， ∴|AB |＝25，|BC |＝m 2－2m ＋2， |AC |＝m 2＋2m ＋10.由三点横坐标可知，|BC |＋|AC |＝|AB |， 即m 2－2m ＋2＋m 2＋2m ＋10＝25，m 2＋2m ＋10＝－m 2－2m ＋2＋25，两边平方，得5²m 2－2m ＋2＝3－m ，两边平方，得4m 2－4m ＋1＝0，∴m ＝12，经验证m ＝12符合题意，故m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．方法四：点A (5，－1)与B (1,1)确定的直线方程为x ＋2y －3＝0，将C (2，m )的坐标代入得m ＝12，故m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．16．(文)(2011²西安模拟)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程． (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． [解析] (1)令x ＝0，得y ＝a －2. 令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1(a ≠－1)． 由a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2，或a ＝0. ∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0，或x ＋y ＋2＝0. (2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2.∵l 不过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1≥0，a －2≤0.∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1]．(理)过点A (3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC |＝2|AB |，求直线l 的方程．[解析] 当k 不存在时B (3,0)，C (3,6)． 此时|BC |＝6，|AB |＝1，|BC |≠2|AB |，∴直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为：y ＋1＝k (x －3)， 令y ＝0得B (3＋1k，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x y ＋1＝k x －3得C 点横坐标x c ＝1＋3kk －2.若|BC |＝2|AB |则|x B －x C |＝2|x A －x B |， ∴|1＋3k k －2－1k －3|＝2|1k |，∴1＋3k k －2－1k －3＝2k 或1＋3k k －2－1k －3＝－2k， 解得k ＝－32或k ＝14.∴所求直线l 的方程为：3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0.1．函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°[答案] D[分析] 由函数的对称轴方程可以得到a 、b 的关系式，进而可求得直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ，再由k ＝tan α可求倾斜角α.[解析] 令f (x )＝a sin x －b cos x ， ∵f (x )的一条对称轴为x ＝π4， ∴f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴a b ＝－1. ∴直线ax －by ＋c ＝0的斜率为－1，倾斜角为135°.2．若三直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，x ＋ky ＋k ＋12＝0相交于一点，则k 的值为( )A ．－2B ．－12C ．2D.12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝02x ＋3y ＋8＝0得交点P (－1，－2)，P 在直线x ＋ky ＋k ＋12＝0上，∴k ＝－12.3．(2011²江西)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－33，33) B ．(－33，0)∪(0，33) C ．[－33，33] D ．(－∞，－33)∪(33，＋∞) [答案] B [解析]曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1，图形为圆心为(1,0)，半径为1的圆；曲线C 2：y ＝0或者y －mx －m ＝0，直线y －mx －m ＝0恒过定点(－1,0)，即曲线C 2图象为x 轴与恒过定点(－1,0)的两条直线．作图分析：k 1＝tan30°＝33，k 2＝－tan30°＝－33， 又直线l 1(或直线l 2)、x 轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知m ＝k ∈(－33，0)∪(0，33)． 4．设a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直[解析] 由已知得a ≠0，sin B ≠0，所以两直线的斜率分别为k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ，由正弦定理得：k 1²k 2＝－sin A a ²bsin B＝－1，所以两条直线垂直，故选C.5．(2011²安徽省高三联考)点P 到点A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为22，这样的点P 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C[解析] ∵点P 到点A 和定直线x ＝－1距离相等，易知P 点轨迹为抛物线，方程为y 2＝4x .设P (t 2,2t )，则22＝|2t －t 2|2，解之得t 1＝1，t 2＝1＋2，t 3＝1－2，∴P 点有三个，故选C.6．(2011²深圳二月模拟)设l 1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x ＋2y －1＝0，则l 1的方程为________．[答案] 2x －y ＋8＝0[解析] 由条件知l 1⊥l 3，∴k l 1＝2，∴tan α＝2，又l 2的倾斜角为2α，tan2α＝－43，∴l 2：y ＝－43x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x －2，x ＋2y －1＝0，得P (－3,2)，又P 在l 1上，∴l 1：2x －y ＋8＝0. 7．曲线y ＝xx ＋2在(－1，－1)处的切线为l ，直线kx ＋2y ＋10＝0与2x －3y ＋5＝0与x 轴、y 轴围成的四边形有外接圆，则外接圆的圆心到l 的距离为________．[答案]19530[解析] 由y ＝xx ＋2得，y ′|x ＝－1＝2x ＋22|x ＝－1＝2，∴切线l ：y ＋1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋1＝0，又由条件知，直线kx ＋2y ＋10＝0与2x －3y ＋5＝0垂直，∴2k －6＝0，∴k ＝3. 在3x ＋2y ＋10＝0中含y ＝0得x ＝－103，∴A (－103，0)，在2x －3y ＋5＝0中令x ＝0得y ＝53，∴B (0，53)，AB 的中点C (－53，56)为圆心，故所求距离为19530. 8．(2011²苏北四市二调)已知直线l 1：ax －y ＋2a ＋1＝0和l 2：2x －(a －1)y ＋2＝0(a ∈R )，则l 1⊥l 2的充要条件是a ＝____________.[答案] 13[解析] 两条直线垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0，对于本题而言就是2a ＋(a －1)＝0，解得a ＝13.。
高考数学一轮复习 8.2 两条直线的位置关系课时作业 理
【与名师对话】2015高考数学一轮复习 8.2 两条直线的位置关系课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(2013·成都第二次诊断性检测)若直线(a ＋1)x ＋2y ＝0与直线x －ay ＝1互相垂直，则实数a 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：由直线垂直的充要条件得(a ＋1)·1＋2(－a )＝1－a ＝0，∴a ＝1，选C. 答案：C2．(2012·浙江卷)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由l 1∥l 2，得－a 2＝－1a ＋1，解得a ＝1或a ＝－2，代入检验符合，即“a ＝1”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件，故选A.答案：A3．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0解析：所求直线过点A 且与OA 垂直时满足条件，此时k OA ＝2，故所求直线的斜率为－12，所以直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.答案：A4．A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．2x －y －1＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2x ＋y －7＝0D ．2y －x －4＝0解析：由题意得A (－1,0)、P (2,3)、B (5,0)， 由两点式，得PB 方程为x ＋y －5＝0. 答案：B5．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k .得两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k <12，所以kk －1<0，2k －1k －1>0，所以交点在第二象限． 答案：B6．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：∵l 2、l 1关于y ＝－x 对称，∴l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32，∴l 2的斜率为12.答案：A 二、填空题7．(2013·青岛市高三自评试题)已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相垂直，则a 等于________．解析：当a ＝0或a ＝－2时不满足题意，易得a ·3a ＋2＝－1，解得a ＝－12. 答案：－128．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a的值为________．解析：由题意得，36＝－2a ≠－1c ，∴a ＝－4，c ≠－2，则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，由两平行线间的距离，得21313＝|c2＋1|13.解得c ＝2或－6，所以c ＋2a＝±1. 答案：±19．(2013·海宁市高三期初测试)平面直角坐标系中，过原点O 的直线l 与曲线y ＝ex －1交于不同的A ，B 两点，分别过点A ，B 作y 轴的平行线，与曲线y ＝ln x 交于点C ，D ，则直线CD 的斜率是________．解析：设直线l 的方程为y ＝kx ，A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有y 1＝kx 1＝e x 1－1，y 2＝kx 2＝e x 2－1两边取对数得x 1－1＝ln kx 1，x 2－1＝ln kx 2C 、D 两点坐标分别为(x 1，ln x 1)，(x 2，ln x 2)， k CD ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝x 1－1－ln k －x 2－1－ln kx 1－x 2＝1.答案：1 三、解答题10．求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)的距离为2的直线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴l 1，l 2交点为(1,2)．设所求直线方程为y －2＝k (x －1)， 即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2解得：k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.11．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点， (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值． 解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，∴|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3.即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)．∴d max ＝|PA |＝10.12．(1)求点A (3,2)关于点B (－3,4)的对称点C 的坐标； (2)求直线3x －y －4＝0关于点P (2，－1)对称的直线l 的方程； (3)求点A (2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点的坐标． 解：(1)设C (x ，y )，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧3＋x2＝－3，2＋y2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝6，故所求的对称点的坐标为C (－9,6)．(2)设直线l 上任一点为(x ，y )，它关于点P (2，－1)的对称点(4－x ，－2－y )在直线3x －y －4＝0上，∴3(4－x )－(－2－y )－4＝0. ∴3x －y －10＝0.∴所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.(3)设B (a ，b )是A (2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点，根据直线AB 与已知直线垂直，且线段AB 的中点在已知直线2x －4y ＋9＝0上，则有⎩⎪⎨⎪⎧12·b －2a －2＝－1，2·a ＋22－4·b ＋22＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴所求的对称点的坐标为(1,4)． [热点预测]13．(1)点P 到点A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为22，这样的点P 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．2 3解析：(1)∵点P 到点A 和定直线距离相等， ∴P 点轨迹为抛物线，方程为y 2＝4x .设P (t 2,2t )，则22＝|t 2－2t |2，解得t 1＝1，t 2＝1＋2，t 3＝1－2，故P 点有三个．(2)设原点到点(m ，n )的距离为d ，所以d 2＝m 2＋n 2，又因为(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42＋32＝2，所以m 2＋n 2的最小值为4.答案：(1)C (2)C。
2013届高三人教A版文科数学一轮复习课时作业(46)两直线的位置关系与点到直线的距离
课时作业(四十六) [第46讲 两直线的位置关系与点到直线的距离][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．已知直线l 1经过两点(－2,3)，(－2，－1)，直线l 2经过两点(2,1)，(a ，－5)，且l 1∥l 2，则a ＝( )A ．－2B ．2C ．4D ．32．a ＝－2是两直线l 1：(a ＋4)x ＋y ＝0与l 2：x ＋ay －3＝0互相垂直的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线l 与过点M (6，－5)，N (－5，6)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是( )A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°4．长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)、B (1,0)、C (3,2)，则顶点D 的坐标为________．能力提升5．[2011·广东六校联考] 已知过A (－1，a )、B (a,8)两点的直线与直线2x －y ＋1＝0平行，则a 的值为( )A ．－10B ．2C ．5D ．176．[2010·安徽卷] 过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝07．[2011·惠州模拟] 已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710B.175C ．8D ．28．入射光线沿直线x ＋2y ＋c ＝0射向直线l ：x ＋y ＝0，被直线l 反射后的光线所在的直线方程为( )A ．2x ＋y ＋c ＝0B ．2x ＋y －c ＝0C ．2x －y ＋c ＝0D ．2x －y －c ＝09．已知点M (2,3)，N (1，－2)，直线y ＝4上一点P 使|PM |＝|PN |，则P 点的坐标是________．10．点P 在直线x ＋3y ＝0上，且它到原点与到直线x ＋3y －2＝0的距离相等，则点P 的坐标为________．11．已知直线l 1的倾斜角α1＝40°，直线l 1与l 2的交点为A (2,1)，把直线l 2绕点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为70°，则直线l 2的方程是________．12．(13分)已知正方形的中心为G (－1,0)，一边所在直线的方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线方程．难点突破13．(12分)已知直线l ：2x －y ＋1＝0和点A (－1,2)、B (0,3)，试在l 上找一点P ，使得|P A |＋|PB |的值最小，并求出这个最小值．课时作业(四十六)【基础热身】1．B [解析] 由题意知直线l 1的倾斜角为90°，而l 1∥l 2，所以直线l 2的倾斜角也为90°，又直线l 2经过两点(2,1)，(a ，－5)，所以a ＝2.故选B.2．C [解析] 一方面，a ＝－2时，两直线的斜率之积为(－2)×12＝－1，所以两直线垂直；另一方面，a ＝0时，两直线不垂直，a ≠0时，当两直线垂直时，有－(a ＋4)×－1a＝－1，解得a ＝－2.3．C [解析] 因为直线MN 的斜率为－1，而直线l 与直线MN 垂直，所以直线l 的斜率为1，故倾斜角是45°.故选C.4．(2,3) [解析] 设点D 的坐标为(x ，y )，因为AD ⊥CD ，AD ∥BC ，所以k AD ·k CD ＝－1，且k AD ＝k BC ，所以y －1x －0·y －2x －3＝－1，y －1x －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. 【能力提升】5．B [解析] 由已知得k AB ＝8－a a ＋1＝2，解得a ＝2，故选B. 6．A [解析] 设直线方程为x －2y ＋c ＝0，又经过点(1,0)，故c ＝－1，所求方程为x －2y －1＝0.故选A.7．D [解析] 由题意知63＝m 4≠14－3⇒m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，则两平行线之间的距离是d ＝|－3－7|32＋42＝2.故选D. 8．B [解析] 在入射光线上取点⎝⎛⎭⎫0，－c 2，它关于直线l 的对称点为⎝⎛⎭⎫c 2，0，可排除A 、C ；在入射光线上取点(－c,0)，它关于直线l 的对称点为(0，c )，可排除D.故选B. 9.()－16，4 [解析] 设点P 的坐标为(x,4)，依题意有(x －2)2＋(4－3)2＝(x －1)2＋(4＋2)2，解得x ＝－16，所以点P 的坐标为()－16，4.10.⎝⎛⎭⎫35，－15或⎝⎛⎭⎫－35，15 [解析] 设点P 的坐标为(－3t ，t )，则(－3t )2＋t 2＝|－3t ＋3t －2|12＋32，解得t ＝±15，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－15或⎝⎛⎭⎫－35，15. 11．x ＋3y －2－3＝0 [解析] 设直线l 2的倾斜角为α2，如图可得α2＝150°，所以直线l 2的斜率为k ＝tan150°＝－33.又直线l 2经过点A (2,1)，所以直线方程为y －1＝－33(x －2)，即x ＋3y －2－3＝0.12．[解答] 正方形中心G (－1,0)到四边距离均为|－1－5|12＋32＝610 . 设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y －c 1＝0，则|－1－c 1|10＝610，即|c 1＋1|＝6， 解得c 1＝5或c 1＝－7，故与已知边平行的直线方程为x ＋3y ＋7＝0.设正方形另一组对边所在直线方程为3x －y ＋c 2＝0，则|3×(－1)＋c 2|10＝610，即|c 2－3|＝6， 解得c 2＝9或c 2＝－3.所以正方形另两边所在直线的方程为3x －y ＋9＝0和3x －y －3＝0，综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为x ＋3y ＋7＝0、3x －y ＋9＝0、3x －y －3＝0.【难点突破】13．[解答] 过点B (0,3)与直线l 垂直的直线方程为l ′：y －3＝－12x ，即x ＋2y －6＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，x ＋2y －6＝0得⎩⎨⎧ x ＝45，y ＝135， 即直线l 与直线l ′相交于点Q ⎝⎛⎭⎫45，135，点B (0,3)关于点Q ⎝⎛⎭⎫45，135的对称点为B ′⎝⎛⎭⎫85，115， 连接AB ′，依平面几何知识知，AB ′与直线l 的交点P 即为所求．直线AB ′的方程为y －2＝113(x ＋1)， 即x －13y ＋27＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，x －13y ＋27＝0得⎩⎨⎧ x ＝1425，y ＝5325， 即P ⎝⎛⎭⎫1425，5325，相应的最小值为|AB ′|＝⎝⎛⎭⎫－1－852＋⎝⎛⎭⎫2－1152＝1705.。
高三数学一轮复习课时作业15：§9.2 两直线的位置关系
§9.2 两直线的位置关系解密考纲：对直线方程与两条直线的位置关系的考查，常以选择题或填空题的形式出现． 一、选择题1．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a ＝( ) A ．1 B ．－13C ．－23D ．－22．直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．x ＋2y －5＝03．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m ＝( ) A ．0 B ．－8 C ．2D ．104．“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直” 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( ) A ．32 B ．22 C ．33D ．426．在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP ＝( )A ．2B ．1C ．83D ．43二、填空题7．经过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线的方程是 ____________________.8．过点(－1,1 )的直线被圆x 2＋y 2－2x －4y －11＝0截得的弦长为43，则该直线的方程为 _______________.9．已知定点A(1,1)，B(3,3)，动点P在x轴上，则|P A|＋|PB|的最小值是_______________.三、解答题10．正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．11．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)，求：(1)BC边上的高AD所在直线方程的一般式；(2)求△ABC的面积．12．(1)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大．(2)在直线l：3x－y－1＝0上求一点Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．——★参考答案★——一、选择题1．『答案』D『解析』 由a ×1＋2×1＝0得a ＝－2，故选D ．2．『答案』C『解析』 由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数．直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0. 3．『答案』B『解析』 k AB ＝4－m m ＋2＝－2，则m ＝－8.4．『答案』C『解析』 因为m ＝1时，两直线方程分别是x －y ＝0和x ＋y ＝0，两直线的斜率分别是1和－1，所以两直线垂直，所以充分性成立；当直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直时，有1×1＋(－1)·m ＝0，所以m ＝1，所以必要性成立．故选C ． 5．『答案』A『解析』 由条件知点M 的轨迹是直线x ＋y ＋－7－52＝0，即x ＋y －6＝0， 所以最小距离为|0＋0－6|12＋12＝3 2.6．『答案』D『解析』 以AB 为x 轴，AC 为y 轴建立如图所示的直角坐标系，由题设知B (4,0)，C (0,4)，则直线BC 方程为x ＋y －4＝0，设P (t,0)(0<t <4)，则P 1(4,4－t )，P 2(－t,0)，根据反射定理可知直线P 1P 2就是光线RQ 所在直线，直线P 1P 2的方程为y ＝4－t4＋t·(x ＋t )， 设△ABC 的重心为G ，易知G ⎝⎛⎭⎫43，43.因为重心G 在光线RQ 上，所以有43＝4－t 4＋t ·⎝⎛⎭⎫43＋t ， 即3t 2－4t ＝0.因为0<t <4，所以t ＝43，即|AP |＝43.故选D ．二、填空题7．『答案』 2x －y ＋4＝0『解析』y ′＝6x －4，∴y ′|x ＝1＝2，∴所求直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0. 8．『答案』x ＝－1或3x ＋4y －1＝0『解析』 圆x 2＋y 2－2x －4y －11＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝16，则圆心为点M (1,2)，半径r ＝4.由条件知，点(－1,1)在圆内，设过点N (－1,1)的直线为l ，当l 的斜率k 不存在时，l ：x ＝－1，则交点A (－1,2－23)，B (－1，2＋23)，满足|AB |＝4 3.当l 的斜率k 存在时，设l ：y －1＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋1＝0，则圆心M (1,2)到直线l 的距离d ＝|k －2＋k ＋1|k 2＋1＝|2k －1|k 2＋1.则d 2＋(23)2＝16，即d 2＝(2k －1)2k 2＋1＝16－12＝4，解得k ＝－34. 此时，y －1＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －1＝0.综上所述，直线l 为x ＝－1或3x ＋4y －1＝0. 9．『答案』25『解析』 点A (1,1)关于x 轴的对称点为C (1，－1)，则|P A |＝|PC |，设BC 与x 轴的交点为M ， 则|MA |＋|MB |＝|MC |＋|MB |＝|BC |＝2 5. 由三角形两边之和大于第三边知，当P 不与M 重合时，|P A |＋|PB |＝|PC |＋|PB |＞|BC |， 故当P 与M 重合时，|P A |＋|PB |取得最小值． 三、解答题10．解：点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)， 则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0， 则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.综上知正方形的其他三边所在直线的方程分别为x ＋3y ＋7＝0，3x －y －3＝0,3x －y ＋9＝0. 11．解：(1)因为k BC ＝－2－33－4＝5，所以BC 边上的高AD 所在直线的斜率k ＝－15.所以AD 所在直线方程为y ＋1＝－15(x －2)，即x ＋5y ＋3＝0.(2)由题意得BC 的直线方程为y ＋2＝5(x －3)， 即5x －y －17＝0.点A 到直线BC 的距离d ＝|5×2－(－1)－17|52＋1＝626，|BC |＝26，S △ABC ＝3.12．解：(1)如图(1)，设点B 关于l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，直线l 的斜率为k 1， 则k 1·k BB ′＝－1，即3·b －4a＝－1.图(1)∴a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0.即3a －b －6＝0 ②.解①②得a ＝3，b ＝3， ∴B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4， 即2x ＋y －9＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)，此时|P A |－|PB |最大．(2)如图(2)，设C 关于l 的对称点为C ′，求出C ′的坐标为⎝⎛⎭⎫35，245.图(2)∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，AC ′和l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫117，267， 故Q 点坐标为⎝⎛⎭⎫117，267，此时|QA |＋|QC |最小．。
高三数学第一轮复习课时作业(54)随机抽样
课时作业(五十四) 第54讲随机抽样时间：45分钟分值：100分基础热身1．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．①采用随机抽样法：抽签取出20个样本；②采用系统抽样法：将零件编号为00,01，…，99，然后平均分组抽取20个样本；③采用分层抽样法：从一级品，二级品，三级品中一共抽取20个样本．下列说法中正确的是( )A．无论采用哪种方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率都相等B．①②两种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率都相等；③并非如此C．①③两种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率都相等；②并非如此D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的2．2011·朝阳一模某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( )A．8,8 B．10,6C．9,7 D．12,43．2011·湖南六校联考用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是( )A．5 B．6C．7 D．84．2011·山东卷某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．5．2011·锦州三模某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为( )A．25棵 B．30棵C．15棵 D．20棵6．某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校初一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k＝80050＝16，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是( )A．40 B．39 C．38 D．377．2011·江门一模某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福广东的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则在此次分层抽样调查中，被抽取的总户数为( )A．20 B．24 C．30 D．368．从2012名学生中选取50名学生参加英语比赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2012人中剔除12人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则在2012人中，每人入选的概率( ) A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且为502012D．都相等，且为5020009．①教育局督学组到某学校检查工作，需在高三年级的学号为001～800的学生中抽调20人参加关于学校管理的综合座谈；②该校高三年级这800名学生期中考试的数学成绩有160人在120分以上(包括120分)，480人在120以下90分以上(包括90分)，其余的在90分以下，现欲从中抽出20人研讨进一步改进数学教和学的座谈；③该校高三年级这800名学生参加2012年元旦聚会，要产生20名“幸运之星”，以上三件事，合适的抽样方法依次为( )A．系统抽样，分层抽样，系统抽样B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样10．2011·惠州一模某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了95人，则该校的女生人数应是________人．11．2011·漳州六校联考最近网络上流行一种“QQ农场游戏”，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程．为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(11)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01,02,03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09，则抽取的学生中最大的编号为________．12．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A、C A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是________．13．一个总体中的1000个个体编号为0,1,2，...，999，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2， (9)要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，则第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．当x＝24时，所抽取样本的10个号码是________，若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，则x的取值集合是________．14．(10分)2011·济南二模某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？15．(13分)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．难点突破16．(12分)某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本．如果采用系统抽样法和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体．求样本容量n.课时作业(五十四)【基础热身】1．A 解析 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样都是等概率抽样，则上述三种方法均是可行的，每个个体被抽到的概率均等于20100＝15，故选A.2．C 解析 一班被抽取的人数是16×5496＝9(人)，二班被抽取的人数是16×4296＝7(人)，故选C.3．B 解析 设第1组抽出的号码为x ，则第16组应抽出的号码是8×15＋x ＝126， 解得x ＝6，故选B.4．16 解析 40×4001000＝16.【能力提升】5．D 解析 按分层抽样，样本中松树苗的数量为150×400030000＝20，故选D.6．B 解析 按系统抽样分组，33～48这16个数属第3组，则这一组应抽到的数是7＋2×16＝39，故选B.7．B 解析 依题意知高收入家庭有480－200－160＝120(户)，所以抽取比例为6120＝120，设被抽取的总户数为x ，则有x 480＝120，解得x ＝24，故选B.8．C 解析 设个体为a ，a 入选必须同时具备不被剔除和按照系统抽样能够入选，a 不被剔除的概率是1－122012＝20002012，a 按照系统抽样入选的概率是502000，这两个事件同时发生则a 入选，故个体a 入选的概率是20002012×502000＝502012. 9．D 解析 参加学校管理的综合座谈采用系统抽样较好，具有代表性；研究数学教与学的问题采用分层抽样较为合适，这样可以使研究更能反映不同层次的学生；“幸运之星”就不能再用系统抽样，那样就不具有“幸运”之意了，合适的抽样方法就是用简单随机抽样，以体现“幸运”之意．10．760 解析 设该校的女生人数为x 人，由分层抽样的意义，得2001600＝95x，解得x ＝760，则该校的女生人数应是760人．11．57 解析 由最小的两个编号为03,09可知，抽取人数的比例为16，即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57.12．800 解析 设C 产品的样本容量为x ，则A 产品的样本容量为10＋x ，由B 知抽取的比例为110x ＋10＋x ＋130＝300，故x ＝80，所以C 产品的数量为800.13．24,157,290,323,456,589,622,755,888,921 {21,22,23,54,55,56,87,88,89,90} 解析 当x ＝24时，按规则可知所抽取的样本的10个号码依次为：24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.当k ＝0,1,2，…，9时，33k 的值依次为0,33,66,99,132,165,198,231,264,297.又抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，从而x 可以为87,54,21,88,55,22,89,56,23,90，所以x 的取值集合是{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}．14．解答 (1)由分层抽样，得x900＝0.16，解得x ＝144.(2)第三批次的人数为y ＋z ＝900－(196＋204＋144＋156)＝200，设应在第三批次中抽取m 名，则m 200＝54900，解得m ＝12.∴应在第三批次中抽取教职工12名． 15．解答 (1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人占比例分别为a ，b ，c ，则有x ·40%＋3xb4x＝47.5%，x ·10%＋3xc4x＝10%，解得b ＝50%，c ＝10%.故a ＝100%－50%－10%＝40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%,50%,10%.(2)游泳组中，抽取的青年人数为200×34×40%＝60(人)；抽取的中年人数为200×34×50%＝75(人)；抽取的老年人数为200×34×10%＝15(人)．【难点突破】16．解答 总体容量为6＋12＋18＝36(人)．当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n，分层抽样的比例是n 36，抽取工程师n 36×6＝n 6人)，抽取技术员n 36×12＝n 3(人)，抽取技工n 36×18＝n2(人)．所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18,36. 当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量n 为6.。
高三数学一轮复习课时作业7：9.2 两直线的位置关系
9.2 两直线的位置关系一、选择题1．直线x －2y ＋1＝0关于直线y －x ＝1对称的直线方程是( )A ．2x －y ＋2＝0B ．3x －y ＋3＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x －2y －1＝02．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x ＋2的最短距离为( ) A.22B. 2 C ．2 2 D ．2 3．设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线sin A ·x ＋ay ＋c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直4．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1，2)C ．(－1，2)D ．(－1，－2)5．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0和x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实数根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( ) A.24，12 B.2，22 C.2，12 D.22，126．使三条直线4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0，2x －3my ＝4不能围成三角形的m 值最多有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题7．已知0＜k ＜4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．8．在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义『OP 』＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点．对于以下结论：①符合『OP 』＝1的点P 的轨迹围成的图形的面积为2；②设P 为直线5x ＋2y －2＝0上任意一点，则『OP 』的最小值为1；其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)．9．如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．10．已知定点A(3，1)，在直线y＝x和y＝0上，分别求点M和点N，使△AMN的周长最短，最短周长为________．三、解答题11．已知△ABC的顶点A的坐标为(1，2)，x－y－1＝0是一条角平分线所在的直线方程，5x＋7y－16＝0是一条中线所在的直线方程，求BC边所在的直线方程．12．如图，函数f(x)＝x＋2x的定义域为(0，＋∞)．设点P是函数图象上任一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M，N.(1)证明：PM·PN为定值；(2)O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．13．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)．(1)在直线l上求一点P，使|P A|＋|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|P A||最大．答案一、选择题1．『解析』 设所求直线上任一点的坐标为(x ，y )，则它关于y －x ＝1对称的点为(y －1，x ＋1)，且在直线x －2y ＋1＝0上，∴y －1－2(x ＋1)＋1＝0，化简得2x －y ＋2＝0.『答案』 A2．『解析』 当点P 为直线 y ＝x ＋2平移到与曲线y ＝x 2－ln x 相切的切点时，点P 到直线y ＝x ＋2的距离最短．设点P (x 0，y 0)，令f (x )＝x 2－ln x ，则f ′(x 0)＝1.∵f ′(x )＝2x －1x ，∴2x 0－1x 0＝1. 又x 0>0，∴x 0＝1.∴点P 的坐标为(1，1)，此时点P 到直线y ＝x ＋2的距离为22＝ 2. 『答案』 B3．『解析』 △ABC 中，a sin A ＝b sin B ，又两直线的斜率分别为k 1＝－sin A a ，k 2＝b sin B， ∴k 1·k 2＝－sin A a ·b sin B＝－1，∴两直线垂直．故选C. 『答案』 C4．『解析』 因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－k －2，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．『答案』 A5．『解析』 由题可知，a ＋b ＝－1，ab ＝c ，∴|a －b |＝1－4c ∈⎣⎡⎦⎤22，1， 而d ＝|a －b |2，从而d max ＝22，d min ＝12.『答案』 D6．『解析』 要使三条直线不能围成三角形，只需其中两条直线平行或者三条直线共点即可．若4x ＋y ＝4与mx ＋y ＝0平行，则m ＝4；若4x ＋y ＝4与2x －3my ＝4平行，则m ＝－16； 若mx ＋y ＝0与2x －3my ＝4平行，则m 值不存在；若4x ＋y ＝4与mx ＋y ＝0及2x －3my ＝4共点，则m ＝－1或m ＝23. 综上可知，m 值最多有4个，故应选D.『答案』 D二、填空题7．『解析』 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，如图，所以四边形的面积S ＝2k 2×2＋(4－k ＋4)×2×12＝4k 2－k ＋8，故面积最小时，k ＝18.『答案』 188．『解析』 ①由『OP 』＝1，根据新定义得：|x |＋|y |＝1，上式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1（0≤x ≤1，y ≥0），y ＝－x －1（－1≤x ≤0，y ≤0），y ＝x ＋1（－1≤x ≤0，y ≥0），y ＝x －1（0≤x ≤1，y ≤0），画出图象如图所示．根据图形得到：四边形ABCD 为边长是2的正方形，所以面积等于2，故①正确；②当点P 为⎝⎛⎭⎫25，0时，『OP 』＝|x |＋|y |＝25＋0＜1， 所以『OP 』的最小值不为1，故②错误．所以正确的结论有：①.『答案』 ①9．『解析』 以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b ，3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. Rt △ABC 的面积S ＝12·a 2＋4·b 2＋9 ＝12·a 2＋4·36a 2＋9＝1272＋9a 2＋144a2 ≥12·72＋72＝6. 『答案』 610．『解析』 如图，设点A 关于直线y ＝x 和 y ＝0的对称点分别为 B (1，3)，C (3，－1)，∵|AM |＋|AN |＋|MN |＝|BM |＋|CN |＋|MN |，又|BM |＋|CN |＋|MN |≥|BC |，当M 、N 分别为BC 与直线y ＝x 和y ＝0的交点时△AMN 的周长最短． 易求得|BC |＝2 5.由两点式可得BC 的方程为：2x ＋y －5＝0.而且易求得：M ⎝⎛⎭⎫53，53，N ⎝⎛⎭⎫52，0， 此时周长最短，周长为2 5.『答案』 25三、解答题11．『解析』 顶点A 不在直线x －y －1＝0和5x ＋7y －16＝0上．不妨设x －y －1＝0是角B 平分线所在直线方程，5x ＋7y －16＝0是AB 边上中线所在的直线方程．设A (1，2)关于直线x －y －1＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，则由题意，得A 1在BC 上，且⎩⎪⎨⎪⎧y 1－2x 1－1＝－1，x 1＋12－y 1＋22－1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝－x 1＋3，y 1＝x 1－3. 解得x 1＝3，y 1＝0，所以A 1(3，0)．设B (x 2，y 2)，则有x 2－y 2－1＝0，①且AB 的中点D ⎝⎛⎭⎫x 2＋12，y 2＋22在直线5x ＋7y －16＝0上，所以有5×x 2＋12＋7×y 2＋22－16＝0， 即5x 2＋7y 2－13＝0，②联立①②解得x 2＝53，y 2＝23，所以B ⎝⎛⎭⎫53，23. 所以边BC 所在的直线方程为x ＋2y －3＝0.12．『解析』 (1)证明：设P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋2x 0(x 0>0)．则PN ＝x 0，PM ＝⎪⎪⎪⎪2x 02＝1x 0， 因此PM ·PN ＝1. (2)直线PM 的方程为y －x 0－2x 0＝－(x －x 0)， 即y ＝－x ＋2x 0＋2x 0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，得 x ＝y ＝x 0＋22x 0，即M ⎝⎛⎭⎫x 0＋22x 0，x 0＋22x 0. S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM ＝12PN ·ON ＋12PM ·OM ＝12x 0x 0＋2x 0＋22x 0x 0＋12x 0＝2＋12x 20＋1x 20≥1＋2， 当且仅当x 0＝1x 0，即x 0＝1时等号成立， 因此四边形OMPN 面积的最小值为1＋ 2.13．『解析』 (1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2，8)． P 为直线l 上的一点，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，x －2y ＋8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3， 故所求的点P 的坐标为(－2，3)．(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则|PB |－|P A |≤|AB |， 当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|P A ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x －2y ＋8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝10， 故所求的点P 的坐标为(12，10)。
高考数学一轮复习两条直线的位置关系与点到直线的距离（2）导学案文
高考数学一轮复习两条直线的位置关系与点到直线的距离（2）导学案文高考数学一轮复习两条直线的位置关系与点到直线的距离（2）导学案文文五、课时作业（一）1、如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0平行，那么系数a 的值为（ B ）（A）－（B）－6 （C）－3 （D）2、若直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则（ C ）（A）a=2 （B）a=－2 （C）a=2或a=－2 （D）a=2，0，－3、如果直线ax+y－4=0与直线x－y－2=0相交于第一象限，则实数a的取值范围是（ A ）（A）－1<a－1 （C）a<2 （D）a<－2或a></a24、直线Ax+4y－1=0与直线3x－y－C=0重合的条件是（D ）（A）A=12，C≠0 （B）A=－12，C= （C）A=－12，C≠－（D）A=－12，C=－5、若两条直线l1，l2的方程分别为 A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0，l1与l2只有一个公共点，则（B ）（A）A1B1－A2B2=0 （B）A1B2－A2B1≠0 （C）（D）6、已知点P(1，1)和直线l：3x－4y－20=0，则过P与l平行的直线方程是3x－4y+1=0 ；过P与l垂直的直线方程是4x+3y －7=0 、7、设直线l1：(m－2)x+3y+2m=0与l2：x+my+6=0，当m≠3且m≠－1 时，l1与l2相交；当m= －1 时，l1与l2平行；当m= 时，l1⊥l2、8、设三条直线：x－2y=1，2x+ky=3，3kx+4y=5交于一点，求k的值、解：解方程组：，解得即前两条直线的交点为，因为三直线交于一点，所以第三条直线必过此定点，故，解得k=1或k=。
9、光线由点A(－1，4)射出，在直线l：2x+3y－6=0上进行反射，已知反射光线过点B(3，)，求反射光线所在直线的方程、解：设点A关于直线l：2x+3y－6=0的对称点A’的坐标为(x0，y0)，则由直线l的斜率为k=－，得，即，得3x0－2y0=－11，因为AA1的中点在直线l上，所以，得2x0+3y0=2联立方程组解得，所以反射光线A’B所在直线的方程为：，得13x－26y+85=0、课时作业（二）1、过两直线3x+y－1=0与x+2y－7=0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（ B ）（A）x－3y+7=0 （B）x－3y+13=0 （C）2x－7=0 （D）3x－y－5=02、过点P(1，4)和Q(a，2a+2)的直线与直线2x－y－3=0平行，则a的值（B ）（A）a=1 （B）a≠1 （C）a=－1 （D）a≠－13、直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（ C ）（A）平行（B）垂直（C）相交但不垂直（D）不能确定，与m，n取值有关4、经过两条直线2x+y－8=0和x－2y+=0的交点，且平行于直线4x－3y－7=0的直线方程是4x－3y－6=0 、5、直线ax+4y－2=0与直线2x－5y+c=0垂直相交于点(1，m)，则a=10 ，c= －12 ，m= －2 、6、已知直线(a－2)y=(3a－1)x－1 (1)求证无论a 为何值，直线总过第一象限、(2)为使这直线不过第二象限，求a 的范围、解：(1)将方程整理得为a(3x－y)+(－x+2y－1)=0，对任意实数a，恒过直线3x－y=0与x－2y+1=0的交点(，)，∴直线系恒过第一象限内的定点(，)；(2)当a=2时，直线为x=不过第二象限；当a≠2时，直线方程化为：y=x－，不过第二象限的充要条件为或 a>2，总之，a≥2时直线不过第二象限、7、过点P(2，1)作直线l，与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，| PA|| PB|的最小值及此时l的方程、分析本题除了用斜率、角度作为参数外，我们再给出以直线的参数方程来求解的方法、解设直线AB的倾斜角为(<<), 则直线AB的参数方程为令x=O，则得B点所对应的参数t=－，令y=O，则得A点所对应的参数t=－∴|PA||PB|=|－||－|= 当a=时|PA||PB|有最小值4，此时直线l的方程为即8、下面三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x －3my－4＝0不能构成三角形，求m的取值集合、分析：根据平面几何知识：当三条直线交于一点或至少两条直线平行或重合时，这三条直线不能构成三角形，分两种情况讨论解：（1）三条直线交于一点时：由，解得l1和l2的交点A的坐标（，），由A在l3上可得2－3m=4，解之m＝或m ＝－1、（2）至少两条直线平行或重合时：l1、l2、l3至少两条直线斜率相等，这三条直线中至少两条直线平行或重合，当m＝4时，l1∥l2；当m＝－时，l1∥l3；若l2∥l3，则需有＝，m2＝－不可能综合（1）、（2）可知，m＝－1，－，，4时，三条直线不能组成三角形，因此m的取值集合是{－1，－，，4}、点评善于将原问题等价转化，讨论问题注意全面性、9、一直线过点P（2，3），且和两平行直线3x＋4y＋8＝0及3x ＋4y－7＝0都相交，两交点间线段长3，求这直线方程、分析：由两平行线的距离以及所求直线与两平行线交点间线段的长，结合平面几何知识，求出所求直线与已知直线夹角的正切，进一步求出所求直线的斜率、解：两平行线间的距离为＝3设直线交两平行线于A、B，直线与平行线的夹角为α，则｜AB｜＝3∴sinα＝＝∴α＝45，tanα＝1，设所求直线的斜率为k，则tanα＝｜|＝1，解得k＝或k＝－7 ∴所求直线的方程为x－7y＋19＝0或7x ＋y－17＝0 点评要注意平几知识、平几方法在解析几何中的应用课时作业（三）1、两直线ax＋y－4＝0与x－y－2＝0相交于第一象限，则实数a的取值范围是（）A、－1＜a＜2B、a＞－1C、a＜2D、a＜－1或a＞22、设两直线L1，L2的方程分别为x＋y＋b＝0，xsinα＋y －α＝0，（a，b为常数，α为第三象限角），则l1与l2 （）A、平行B、垂直C、平行或重合D、相交但不一定垂直3、设a，b，k，p分别表示同一直线的横截距，纵截距，斜率和原点到直线的距离，则有（）A、a2k2＝p2(1＋k2)B、k＝C、＋＝pD、a＝－kb4、若点（1，1）到直线xcosα＋ysinα＝2的距离为d，则d的最大值是、5、一束光线经过点A（－2，1），由直线l：x－3y＋2＝0反射后，经过点B（3，5）射出，则反射光线所在直线的方程为、6、直线2x－y－4＝0上有一点P，它与两定点A（4，－1）、B （3，4）距离之差最大，则P点坐标是、7、在△ABC中，｜AB｜＝｜AC｜，∠A＝120，A（0，2），BC所在直线方程为x－y－1＝0，求边AB、AC所在直线方程、8、已知△ABC中，点A（3，－1），AB 边上的中线所在直线的方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在直线的方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程、ClBDA 甲乙9、如图，足球比赛场地宽为a米，球门宽b米，在足球比赛中，甲方边锋从乙方球门附近带球过人沿直线l（贴近球场边线）向前推进，试问：该边锋在距乙方底线多远时起脚射门的可命中角最大？（注：图中AB表示乙方所守球门；AB所在直线为乙方底线；l表示甲方边锋前进的直线）参考答案1、A2、B3、A4、2＋5、29x－22y+23＝06、（5，6）7、由题意得∠B＝∠C＝30，设AB边斜率的夹角公式得||＝，从而得k = 又AB斜率不存在时也适合题意，∴AB边所在直线方程为y＝x+2和x＝0、8、设B（a,b），则AB边中点为（, ）在AB边中线上，∴6+10－59＝0，①又点B在∠B的平分线上，∴a－4b+10＝0②由①②得a＝10 ，b＝5、由题意得＝，∴k＝－从而BC边所在直线方程为2x+9y－65＝0、9、以l与直线AB的交点D为原点，l为x轴， DA为y轴，建立直角坐标系设AB中点为M，则DA＝DM＋MA＝+＝ DB＝DM－BM ＝故定点A、B坐标分别为（0，），（0，）（显然a＞b＞0），设动点C （边锋起脚处）坐标为（x，0）（x＞0）tan∠ACB＝tan（∠ACO－∠BCO）＝tan（α－β），其中α=∠ACO，β=∠BCD 且α、β∈（0，） tan（α－β）＝＝＝∵x+≥2＝∴tan∠ACB≤由正切函数在（0，）是增函数，知∠ACB≤a rctan，当且仅当x＝时，∠ACB达最大角，即x＝，∴C（，0）即该边锋在距乙方底线米时起脚射门，可命中角最大、课时作业（四）1、点(0，5)到直线y=2x的距离是（B ）（A）（B）（C）（D）2、点P(x，y)在直线x+y－4=0上，O是原点，则|OP|的最小值是（ B ）（A）（B）2 （C）（D）23、过点P(1，2)的直线l与两点A(2，3)、B(4，－5)的距离相等，则直线l的方程为（ C ）（A）4x+y－6=0 （B）x+4y－6=0 （C）3x+2y=7或4x+y－6=0 （D）2x+3y=7或x+4y－6=04、P 点在直线3x+y－5=0上，且P到直线x－y－1=0的距离等于，则P 点坐标为（ C ）（A）(1，2)（B）(2，1)（C）(1，2)或(2，－1)（D）(2，1)或(－1，2)5、点P(2，3)到直线ax+(a－1)y+3=0的距离等于3，则a的值等于或－3 、6、设点P在直线x+3y=0上，且P到原点的距离与P到直线x+3y－2=0的距离相等，则P点坐标为、7、求经过点P(2，1)，且到点Q(1，－2)的距离为的直线方程。
【教育学习文章】高考数学(理科)一轮复习直线与直线的位置关系学案含答案
高考数学（理科）一轮复习直线与直线的位置关系学案含答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案48 直线与直线的位置关系导学目标：1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．自主梳理．两直线的位置关系平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．两直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔________________________.对于直线l1：A1x＋B1y＋c1＝0，l2：A2x＋B2y＋c2＝0，l1∥l2⇔________________________.两直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1•k2＝____.对于直线l1：A1x＋B1y＋c1＝0，l2：A2x＋B2y＋c2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝____.2．两条直线的交点两条直线l1：A1x＋B1y＋c1＝0，l2：A2x＋B2y＋c2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________，因此，l1、l2是否有交点，就看l1、l2构成的方程组是否有________．3．有关距离两点间的距离平面上两点P1，P2间的距离|P1P2|＝__________________________________.点到直线的距离平面上一点P到一条直线l：Ax＋By＋c＝0的距离d＝________________________.两平行线间的距离已知l1、l2是平行线，求l1、l2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l1：Ax＋By＋c1＝0，l2：Ax＋By＋c2＝0，则l1与l2之间的距离d＝________________.自我检测．若点P到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，则实数a的值为A．7B．－7c．3D．－32．若直线l1：y＝k与直线l2关于点对称，则直线l2恒过定点A．B．c．D．3．已知直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋p ＝0，则ambn＝－1是直线l1⊥l2的A．充分不必要条件B．必要不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知直线l1：x＋y＋1＝0与l2：2x－2y＋3＝0平行，则k的值是A．1或3B．1或5c．3或5D．1或25．已知2x＋y＋5＝0，则x2＋y2的最小值是________.探究点一两直线的平行与垂直例1 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：x＋y＋b ＝0.求满足以下条件的a、b的值：l1⊥l2且l1过点；l1∥l2，且原点到这两条直线的距离相等．变式迁移1 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x ＋y＋a2－1＝0，试判断l1与l2是否平行；l1⊥l2时，求a的值．探究点二直线的交点坐标例2 已知直线l1：4x＋7y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x＋3my－4＝0.当m为何值时，三条直线不能构成三角形．变式迁移2 △ABc的两条高所在直线的方程分别为2x －3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A的坐标为，求Bc边所在直线的方程．探究点三距离问题例3 已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0；l2：－4x＋2y ＋1＝0；l3：x＋y－1＝0.且l1与l2的距离是7510.求a的值；能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的12；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2∶5.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．变式迁移3 已知直线l过点P且被两平行线l1：x＋y ＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．转化与化归思想的应用例已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A．求：点A关于直线l的对称点A′的坐标；直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；直线l关于点A对称的直线l′的方程．【答题模板】解设A′，再由已知∴A′－3313，413.[4分]在直线m上取一点，如m，则m关于直线l的对称点m′必在直线m′上．设对称点m′，则得m′613，3013.[6分] 设直线m与直线l的交点为N，则由得N．又∵m′经过点N，∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y＋102＝0.[8分]方法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如m，N，则m，N关于点A的对称点m′，N′均在直线l′上，易得m′，N′，[10分]再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.[12分]方法二∵l∥l′，∴设l′的方程为2x－3y＋c＝0，∵点A到两直线l，l′的距离相等，∴由点到直线的距离公式得|－2＋6＋c|22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得c＝－9，[10分]∴l′的方程为2x－3y－9＝0.[12分]方法三设P为l′上任意一点，则P关于点A的对称点为P′，[10分]∵点P′在直线l上，∴2－3＋1＝0，即2x－3y－9＝0.[12分]【突破思维障碍】点关于直线对称是轴对称中最基本的，要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段中点在对称轴上．直线关于点的对称可转化为点关于点的对称，直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称．【易错点剖析】点关于线对称，不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题．线关于线对称，不能转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，不能转化为点关于点的对称问题．．在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系．解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题．判断两直线平行与垂直时，不要忘记考虑斜率不存在的情形，利用一般式则可避免分类讨论．2．运用公式d＝|c1－c2|A2＋B2求两平行直线间的距离时，一定要把x、y项系数化为相等的系数．3．对称思想是高考热点，主要分为中心对称和轴对称两种，关键要把握对称问题的本质，必要情况下可与函数的对称轴建立联系．一、选择题．直线3x＋2y＋4＝0与2x－3y＋4＝0A．平行B．垂直c．重合D．关于直线y＝－x对称2．若直线x＋ay－a＝0与直线ax－y－1＝0互相垂直，则a的值是A．2B．－3或1c．2或0D．1或03．已知直线l的倾斜角为3π4，直线l1经过点A、B，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于A．－4B．－2c．0D．24．P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为2，则P点坐标为A．B．c．或D．或5．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a、b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A.24，12B.2，22c.2，12D.22，12二、填空题6．直线l1：x＋my＋6＝0和l2：3x－3y＋2＝0，若l1∥l2，则m的值为______．7．设直线l经过点，则当点与直线l的距离最大时，直线l的方程为______________．8．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是________．三、解答题9．k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x ＋4y－4＝0的交点在第一象限．10．已知点P1，P2和A，求过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程．11．过点P作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．自主梳理．k1＝k2且b1≠b2 A1A2＝B1B2≠c1c2 －1 02．解交点唯一解 3.x2－x12＋y2－y12|Ax0＋By0＋c|A2＋B2 ②|c1－c2|A2＋B2自我检测．D 2.B 3.A 4.c5.5课堂活动区例1 解题导引运用直线的斜截式y＝kx＋b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．运用直线的一般式Ax ＋By＋c＝0时，要特别注意A、B为0时的情况，求解两直线平行或垂直有关的问题并与求直线方程相联系，联立方程组求解，对斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法研究．解由已知可得l2的斜率必存在，且k2＝1－a.若k2＝0，则a＝1.由l1⊥l2，l1的斜率不存在，∴b ＝0.又l1过，∴－3a＋b＋4＝0，∴b＝3a－4＝－1，矛盾．∴此情况不存在，即k2≠0.若k2≠0，即k1＝ab，k2＝1－a.由l1⊥l2，得k1k2＝ab＝－1.由l1过，得－3a＋b＋4＝0，解之得a＝2，b＝2.∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴l1的斜率存在，∴k1＝k2，即ab＝1－a.又原点到两直线的距离相等，且l1∥l2，∴l1、l2在y轴上的截距互为相反数，即4b＝b.解之得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.∴a、b的值为2和－2或23和2.变式迁移1 解方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不平行；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1与l2不平行；当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－，l1∥l2⇔－a2＝11－a，－3≠－a＋1，解得a＝－1，综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．方法二由A1B2－A2B1＝0，得a－1×2＝0.由A1c2－A2c1≠0，得a－1×6≠0，∴l1∥l2⇔aa－1－1×2＝0aa2－1－1×6≠0⇔a2－a－2＝0，aa2－1≠6.∴a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1与l2不垂直；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－，由－a2•11－a＝－1⇒a＝23.方法二由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2＝0⇒a＝23.例2 解题导引①转化思想的运用三条直线l1、l2、l3不能构成三角形⇐l1、l2、l3交于一点或至少有两条直线平行⇐三条直线交于一点⇐l2与l3的交点在l1上⇐l2与l3对应方程组的解适合l1的方程②分类讨论思想的运用本题依据直线的位置关系将不能构成三角形的情况分成两类，分类应注意按同一标准，不重不漏．解当三条直线共点或至少有两条直线平行时，不能围成三角形．①三条直线共点时，由mx＋y＝0，2x＋3my＝4，得x＝42－3m2y＝－4m2－3m2，即l2与l3的交点为42－3m2，－4m2－3m2，代入l1的方程得4×42－3m2＋7×－4m2－3m2－4＝0，解得m＝13，或m＝2.②当l1∥l2时，4＝7m，∴m＝47；当l1∥l3时，4×3m＝7×2，∴m＝76；当l2∥l3时，3m2＝2，即m＝±63.∴m取集合－63，13，63，47，76，2中的元素时，三条直线不能构成三角形．变式迁移2 解可以判断A不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB，Ac边上的高所在直线的方程分别为2x －3y＋1＝0，x＋y＝0，则可求得AB，Ac边所在直线的方程分别为y－2＝－32，y－2＝x－1，即3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0.由3x＋2y－7＝0x＋y＝0，得B，由x－y＋1＝02x－3y＋1＝0，得c，所以Bc边所在直线的方程为2x＋3y＋7＝0.例3 解题导引在应用平行线间的距离公式求两条平行线间的距离时，应注意公式的适用条件，即在两条平行线的方程中x与y的系数化为分别对应相等的条件下，才能应用该公式．如本例中求两条直线2x－y＋a＝0与－4x＋2y＋1＝0间的距离时，需将前一条直线化为－4x＋2y－2a＝0，或将后一条直线化为2x－y－12＝0后，再应用平行线间的距离公式．解∵l1：4x－2y＋2a＝0，l2：4x－2y－1＝0，∴两条平行线l1与l2间的距离为d＝|2a＋1|25，由已知，可得|2a＋1|25＝7510.又a>0，可解得a＝3.设点P的坐标为，由条件①，可知x>0，y>0.由条件②和③，可得|2x－y＋3|5＝|4x－2y－1|455•|2x－y＋3|5＝2•|x＋y－1|2，化简得4|2x－y＋3|＝|4x－2y－1||2x－y＋3|＝|x＋y －1|，于是可得，4|x＋y－1|＝|4x－2y－1|，也就是4＝4x－2y－1，或4＝－4x＋2y＋1，解得y＝12，或8x＋2y－5＝0.当y＝12时，代入方程|2x－y＋3|＝|x＋y－1|，解得x＝－3<0或x＝－23<0，均舍去．由8x＋2y－5＝0|2x－y＋3|＝|x＋y－1|，化简得8x＋2y－5＝0x－2y＋4＝0，或8x＋2y－5＝03x ＝－2，解得x＝19y＝3718或x＝－23<0y＝316．即存在满足题设条件的点P，其坐标为19，3718.变式迁移3 解方法一若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2的交点分别是A，B，截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．当直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y＝k＋1，分别与直线l1，l2的方程联立，由y＝kx－3＋1，x＋y＋1＝0，解得A3k－2k＋1，1－4kk＋1.由y＝kx－3＋1，x＋y＋6＝0，解得B3k－7k＋1，1－9kk＋1.由两点间的距离公式，得3k－2k＋1－3k－7k＋12＋1－4kk＋1－1－9kk＋12＝25，解得k＝0，即所求直线方程为y＝1.综上可知，直线l的方程为x＝3或y＝1.方法二因为两平行线间的距离d＝|6－1|2＝522，如图，直线l被两平行线截得的线段长为5，设直线l与两平行线的夹角为θ，则sinθ＝22，所以θ＝45°.因为两平行线的斜率是－1，故所求直线的斜率不存在或为0.又因为直线l过点P，所以直线l的方程为x＝3或y＝1.课后练习区．B 2.c 3.B 4.c 5.D6．－1 7.3x－2y＋5＝0 8.①⑤9．解由y＝kx＋3k－2x＋4y－4＝0，得x＝12－12k4k ＋1y＝7k－24k＋1.∵两直线的交点在第一象限，∴12－12k4k＋1>07k－24k＋1>0，∴27<k<1.即当27<k<1时，两直线的交点在第一象限．0．解设所求直线为l，由于l过点A且与点P1，P2距离相等，所以有两种情况，当P1，P2在l同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为y－2＝5－3－4－2，即x＋3y－5＝0；当P1，P2在l异侧时，l必过P1P2的中点，此时l的方程为x＝－1.∴所求直线的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.1．解设点A在l1上，由题意知x＋xB2＝3，y＋yB2＝0，∴点B，解方程组2x－y－2＝0，6－x＋－y＋3＝0，得x＝113，y＝163，∴k＝163－0113－3＝8.∴所求的直线方程为y＝8，即8x－y－24＝0.。
【人教课标A版】【理科数学】高考一轮复习精品课件第45讲 两直线的位置关系与
如：下列两条直线l1：3x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0的交 (-2,2) ． 点是________
第45讲 │ 知识梳理
3．两种距离 (1)点到直线的距离 |Ax0＋By0＋C| P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝___________ A2＋B2 . 这个式子对A＝0或B＝0时的特殊情况下的直线仍然成立， 此时可以直接画出图形，观察即可得出．如：点P(－1,2)到直线 2 y＝4的距离为d＝________. (2)两平行线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0和l2：Ax＋By＋C2＝0的距
|C1－C2|
离为d＝________ A2＋B2 .
第45讲 │ 要点探究 要点探究
► 探究点1 两直线的位置关系 例1 已知直线l1：mx＋y－1＝0，l2：2x－(1－m)y＋2＝0. (1)m为何值时，l1∥l2? (2)m为何值时，l1⊥l2? (3)当l1⊥l2时，求l1、l2与x轴围成的三角形的面积.
第45讲 │ 两直线的位置关系与点到直线的距离
第45讲 两直线的位置关系与 点到直线的距离
第45讲 │ 知识梳理 知识梳理
1．两直线平行与垂直的判定 (1)两条直线的平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有 k1=k2 ；当l 和l 的斜率都不存在时，l 与l 也是平行关 l1∥l2⇔________ 1 2 1 2 系；当两条直线的方向向量平行时，这两条直线也互相平行． (2)两条直线的垂直 如果两直线l1，l2的斜率存在，设为k1和k2，有l1⊥l2⇔ k1k2=-1 ；当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时， ________ 这两条直线也互相垂直；当两条直线的方向向量垂直时，这两 条直线也互相垂直．
高考数学一轮复习课时过关检测(四十五) 两直线的位置关系
课时过关检测（四十五） 两直线的位置关系A 级——基础达标1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．不能确定解析：选C 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1，所以两直线相交但不垂直．2．(2021·山东淄博模拟)已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，且直线l 与l 1平行，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．6D ．0或6解析：选C 由直线l 的倾斜角为3π4得l 的斜率为－1，因为直线l 与l 1平行，所以l 1的斜率为－1. 又直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，所以l 1的斜率为33－a ，故33－a＝－1，解得a ＝6.3．点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝错误!＝错误!，解得x ＝1或x ＝2，故P (1,2)或(2，－1)． 4．如果平面直角坐标系内的两点A (a －1，a ＋1)，B (a ，a )关于直线l 对称，那么直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：选A 因为直线AB 的斜率为a ＋1－aa －1－a＝－1，所以直线l 的斜率为1.设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，由题意知直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －12，2a ＋12，所以2a ＋12＝2a －12＋b ，解得b ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.故选A ．5．(多选)已知三条直线l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0，l 3：mx －y －1＝0不能构成三角形，则m 的值可以为( )A ．23B ．－43C ．－23D ．43解析：选ABC 当m ＝23时，直线l 1与l 3平行，故三条直线构不成三角形．当m ＝－43时，直线l 2与l 3平行，故三条直线构不成三角形．当m ＝－23时，l 1，l 2，l 3交于同一点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13，故三条直线也构不成三角形．当m ＝43时，三条直线两两相交，且不过同一点，故三条直线能构成三角形．6.(多选)(2021·南京市高三模拟)如图，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”．则下列四个选项中正确的是( )A ．若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个B ．若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有2个C ．若pq ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有4个D ．若p ＝q ，则点M 在一条过点O 的直线上解析：选ABC 若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点是两条直线的交点O ，因此有且仅有1个，故A 正确；若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为(0，q )或(p,0)的点有且仅有2个，故B 正确；若pq ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有4个，如图，故C 正确；若p ＝q ，则点M 的轨迹是两条过O点的直线，分别为交角的平分线所在直线，故D 不正确．故选A 、B 、C ．7．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝______；若l 1⊥l 2，则a ＝______；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________．解析：若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝错误!＝2错误!.答案：－1 1 228．已知点A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，若|AB |取得最小值，则实数a 的值是________． 解析：|AB |＝错误!＝2a2－2a ＋25＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋492，所以当a ＝12时，|AB |取得最小值．答案：129．已知0＜k ＜4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k 的值为________．解析：直线l 1，l 2恒过点P (2,4)，直线l 1在y 轴上的截距为4－k ，直线l 2在x 轴上的截距为2k 2＋2，因为0＜k ＜4, 所以4－k ＞0,2k 2＋2＞0，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故当k ＝18时，面积最小． 答案：1810．已知点P 1(2,3)，P 2(－4,5)和A (－1,2)，则过点A 且与点P 1，P 2距离相等的直线方程为________．解析：当直线与点P 1，P 2的连线所在的直线平行时，由直线P 1P 2的斜率k ＝3－52＋4＝－13，得所求直线的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线过线段P 1P 2的中点时，因为线段P 1P 2的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为x ＝－1.综上所述，所求直线方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－111．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m2－16＝0，－m －2n≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.12．正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．解：点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离 d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)， 则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0， 则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n|9＋1＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.B 级——综合应用13．若直线y ＝－33x ＋1和x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ．若在第一象限内有一点P ⎝⎛⎭⎪⎫m ，12，使得△ABP 和△ABC 的面积相等，则m 的值为( )A ．332B ．23C ．532 D ．33解析：选C 过点C 作直线l ，使l ∥AB (图略)，则点P 在直线l 上．由题意易知，A (3，0)，B (0,1)，则|AB |＝2，所以点C 到直线AB 的距离d ＝22－12＝3. 直线AB 的方程可化为3x ＋3y －3＝0，由△ABP 和△ABC 的面积相等，可知点P 到直线AB 的距离等于点C 到直线AB 的距离，即错误!＝错误!，解得m ＝－错误!或m ＝错误!.因为点P 在第一象限，所以m ＝错误!.故选C ．14．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：如图，易知定点A (0,0)，B (1,3)，且无论m 取何值，两直线垂直． 所以无论P 与A ，B 重合与否，均有|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10(P 在以AB 为直径的圆上)．所以|PA |·|PB |≤12(|PA |2＋|PB |2)＝5.当且仅当|PA |＝|PB |＝5时等号成立．答案：515．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2，2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于42.解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线，因为方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明：过P 作直线的垂线段PQ (图略)，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，所以M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，所以|PQ |＜42，故所证成立．C 级——迁移创新16．(2021·陕西渭南一模)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2＋y 2≤1，若将军从点A (2，0)处出发，河岸线所在直线方程为x ＋y ＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )A ．10－1B ．22－1C ．22D ．10解析：选A 设点A (2,0)关于直线x ＋y ＝3的对称点为A ′(a ，b )，则AA ′的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a 2，b 2，k AA ′＝ba －2， 故错误!解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.从点A 到河岸，再到军营的最短总路程，即为点A ′到军营最短的距离， 故“将军饮马”的最短总路程为32＋12－1＝10－1，故选A ．。
高考数学总复习 课时作业45 两直线的位置关系试题 文
课时作业(四十五) 两直线的位置关系A 级1．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( ) A ．(3,0) B ．(－3,0) C ．(0，－3)D ．(0,3)2．已知两条直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则“an ＝bm ”是“直线l 1∥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12B.12或－6 C ．－12或12D ．0或124．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)5．平面直角坐标系中直线y ＝2x ＋1关于点(1,1)对称的直线方程是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝2x －36．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，当l 1与l 2相交于点P (m ，－1)时，m 、n 的值分别为________、________.7．已知两直线l 1：x ＋y sin θ－1＝0和l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，当l 1⊥l 2时，θ＝________.8．点P 为x 轴上一点，P 点到直线3x －4y ＋6＝0的距离为6，则P 点坐标为________． 9．设直线l 经过点A (－1,1)，则当点B (2，－1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为________．10．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程． (1)l ′与l 平行且过点(－1,3)；(2)l ′与l 垂直且l ′与两坐标轴围成的三角形面积为4.11．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．(1)若l1∥l2，求b的取值范围；(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．B 级1．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 22．(2012·衡水模拟)平面上三条直线x －2y ＋1＝0，x －1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的取值集合为________．3．A ，B 两个厂距一条河分别为400 m 和100 m ，A ，B 两厂之间距离500 m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座提水站，供A ，B 两厂用水，要使提水站到A ，B 两厂铺设的水管长度之和最短，问提水站应建在什么地方？答案：课时作业(四十五)A 级1．D ∵点P 在y 轴上，∴设P (0，y )， 又∵kl 1＝2，l 1∥l 2，∴kl 2＝y －10－－1＝y －1＝2，∴y ＝3，∴P (0,3)．2．B ∵l 1∥l 2⇒an －bm ＝0，且an －bm ＝0⇒/ l 1∥l 2，故选B. 3．B 依题意得|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1，∴|3m ＋5|＝|m －7|，∴3m ＋5＝m －7或3m ＋5＝7－m . ∴m ＝－6或m ＝12.故应选B.4．B 由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)， 又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称， ∴直线l 2恒过定点(0,2)．5．D 在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0,1)，B (1,3)，则点A 关于点(1,1)对称的点为M (2,1)，B 关于点(1,1)对称的点为N (1，－1)．由两点式求出对称直线MN 的方程y ＋11＋1＝x －12－1，即y ＝2x －3，故选D. 6．解析： ∵m 2－8＋n ＝0,2m －m －1＝0，∴m ＝1，n ＝7. 答案： 1 77．解析： l 1⊥l 2的充要条件是2sin θ＋sin θ＝0，即sin θ＝0，∴θ＝k π(k ∈Z )．∴当θ＝k π(k ∈Z )时，l 1⊥l 2. 答案： k π(k ∈Z )8．解析： 设P (a,0)，则有|3a －4×0＋6|32＋－42＝6， 解得a ＝－12或a ＝8.∴P 点坐标为(－12,0)或(8,0)． 答案： (－12,0)或(8,0)9．解析： 设B (2，－1)到直线l 的距离为d ， 当d ＝|AB |时取得最大值， 此时直线l 垂直于直线AB ，k l ＝－1k AB ＝32， ∴直线l 的方程为y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0. 答案： 3x －2y ＋5＝010．解析： (1)直线l ：3x ＋4y －12＝0，k l ＝－34，又∵l ′∥l ，∴k l ′＝k l ＝－34.∴直线l ′：y ＝－34(x ＋1)＋3，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43.设l ′在x 轴上的截距为b ，则l ′在y 轴上的截距为－43b ，由题意可知，S ＝12|b |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－43b ＝4，∴b ＝± 6. ∴直线l ′：y ＝43x ＋6或y ＝43x － 6.11．解析： (1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0， 显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，|ab |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时，等号成立，因此|ab |的最小值为2.B 级1．A 依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6， 即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式， 得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.2．解析： 由于直线x －2y ＋1＝0与x －1＝0相交于点(1,1)，所以要使这三条直线将平面划分为六部分．有以下三种情况：(1)这三条直线交于一点(1,1)，此时1＋k ＝0，k ＝－1.(2)x ＋ky ＝0与x －2y ＋1＝0平行，此时k ＝－2. (3)x ＋ky ＝0与x －1＝0平行，此时k ＝0.综上知，k ＝0或－1或－2，实数k 的取值集合为{0，－1，－2}． 答案： {0，－1，－2}3．解析： 如图，以小河所在直线为x 轴，过点A 的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点A (0,400)，点B (a,100)．过点B 作BC ⊥AO 于点C .在△ABC 中，AB ＝500，AC ＝400－100＝300， 由勾股定理得BC ＝400，∴B (400,100)． 点A (0,400)关于x 轴的对称点A ′(0，－400)， 由两点式得直线A ′B 的方程为y ＝54x －400.令y ＝0，得x ＝320，即点P (320,0)．故提水站(点P )在距O 点320 m 处时，到A ，B 两厂铺设的水管长度之和最短．。
高考数学一轮复习 课时规范练45 点与直线、两条直线的位置关系 理 新人教B版
课时规范练45 点与直线、两条直线的位置关系基础巩固组1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=02.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2017广东揭阳一模)若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为()A.7B.0或7C.0D.44.(2017浙江温州模拟)直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k=()A.-3或-1B.3或1C.-3或1D.-1或35.已知平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,点D在直线3x-y+1=0上移动,则点B的轨迹方程为()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-9=0D.3x-y-12=06.(2017广西南宁模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是()A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=07.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.3B.2C.3D.48.如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是()A.2B.6C.3D.2〚导学号21500568〛9.经过两条直线2x-3y+3=0,x-y+2=0的交点,且与直线x-3y-1=0平行的直线的一般式方程为.10.(2017宁夏银川模拟)点P(2,1)到直线l:mx-y-3=0(m∈R)的最大距离是.11.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在x轴上的截距是.12.(2017江西八校联考)已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为.综合提升组13.若向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则直线y=kx+b必经过定点()A.(1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(-1,-2)14.(2017河北武邑中学一模)若m∈R,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-〚导学号21500569〛16.(2017江苏淮安调研)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.创新应用组17.(2017浙江杭州月考)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是()A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k、P1、P2,使之有无穷多解〚导学号21500570〛18.已知点A(3,1),在直线y=x和y=0上分别找一点M和N,使△AMN的周长最短,则最短周长为()A.4B.2C.2D.2参考答案课时规范练45点与直线、两条直线的位置关系1.A设直线方程为x-2y+c=0(c≠-2),又经过(1,0),故c=-1,所求方程为x-2y-1=0.2.C直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直⇔1+1×(-a)=0,故选C.3.B∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,∴m(m-1)=3m×2,∴m=0或m=7,经检验都符合题意.故选B.4.C若1-k=0,即k=1,直线l1:x=3,l2:y=,显然两直线垂直.若k≠1,直线l1,l2的斜率分别为k1=,k2=.由k1k2=-1,得k=-3.综上k=1或k=-3,故选C.5.A设AC的中点为O,则O.设B(x,y)关于点O的对称点为(x0,y0),即D(x0,y0),则因为点D在直线3x-y+1=0上,所以3x0-y0+1=0,得点B的轨迹方程为3x-y-20=0.6.D设所求直线上任一点(x,y),则它关于直线x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,即2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.7.A依题意知,AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离相等的直线,则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得⇒|m+7|=|m+5|⇒m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得中点M到原点的距离的最小值为=3. 8.A易得AB所在的直线方程为x+y=4,由于点P关于直线AB对称的点为D(4,2),点P关于y轴对称的点为C(-2,0),则光线所经过的路程即D,C两点间的距离.于是|DC|==2.9.x-3y=0两条直线2x-3y+3=0,x-y+2=0的交点为(-3,-1),所以所求直线为y+1=(x+3),即x-3y=0.10.2直线l经过定点Q(0,-3),如图所示.由图知,当PQ⊥l时,点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|==2,所以点P(2,1)到直线l的最大距离为2.11.由题意得线段AB的中点在直线y=kx+b上,故解得所以直线方程为y=-x+.令y=0,即-x+=0,解得x=,故直线y=kx+b在x轴上的截距为.12.4由题意得,点P在线段AB的垂直平分线上,则易得点P的轨迹方程为x+2y=3,所以2x+4y≥2=2=4,当且仅当x=2y=时等号成立,故2x+4y的最小值为4.13.A因为向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则k+2=-b,即b=-2-k,于是直线方程化为y=kx-k-2,即y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2).14.A由log6m=-1得m=,若l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行,则直线斜率相等或斜率不存在,解得m=0或m=,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的充分不必要条件.15.D如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.所以圆心到直线的距离d==1,解得k=-或k=-.16.6x-y-6=0设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在直线过点M',所以解得又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为,即6x-y-6=0.17.B由题意,直线y=kx+1一定不过原点O,P1,P2是直线y=kx+1上不同的两点,则不平行,因此a1b2-a2b1≠0,所以二元一次方程组一定有唯一解.18.B设点A关于直线y=x的对称点为B(x1,y1),依题意可得解得即B(1,3),同样可得点A关于y=0的对称点C(3,-1),如图所示,则|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|≥|BC|,当且仅当B,M,N,C共线时,△AMN的周长最短,即|BC|==2.故选B.。
2013届高三数学(理)一轮复习方案课件【人教A版】第45讲两直线的位置关系与点到直线的距离备用例题
此时 A＝B＝0 与一般式
的 A2＋B2≠0 矛盾，
第45讲 │ 备用例题
∴C＝0，且 AB≠0(否则两方程不可能表示同一条直线)， 4A＋B 2A＋3B 此时有 A ＝ B ，即 2A2－AB－B2＝0， ∴A＝B，或 B＝－2A，所求的直线方程是 x＋y＝0，或 x －2y＝0.
例1 对于直线 l 上的任意一点(x，y)，点(4x＋2y，x＋3y) 仍在直线上，求该直线的方程．
第45讲 │ 备用例题
[解答] 设直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0， 由点(4x＋2y，x＋3y)的坐标也适合方程， ∴A(4x＋2y)＋B(x＋3y)＋C＝0， 从而方程(4A＋B)x＋(2A＋3B)y＋C＝0 与原方程表示同一 直线， 当 C≠0
x1＋2 y1－4 ， 2 2
在 直 线
CF
上 ， 得 方 程 组
y1＋4＝－3， x1－2 y1 － 4 x1＋2 －3· －6＝0， 2 2
第45讲 │ 备用例题
解得
2 4 A1பைடு நூலகம்，5，同理
A2(6,0)，
∴直线 BC 的方程是 x＋7y－6＝0，
点坐标为(3,2)，已知直线 AB 交 x 轴的正半轴于 C 点， 求△AOC 面积的最小值，并求此时的 A 点坐标．
[解答] 设 A(x1，y1)，C(x2,0)，则 x1>0，x2>0，y1>0， y1＝3x1， 2－y1 则 2 ＝ 3－x2 3－x1 7x1 ，∴x2＝ >0，∴3x1－2>0， 3x1－2
第45讲 │ 备用例题
4 1 1 7x1 7 7x1 ∴ S ＝ 3x －2 · |3x1| ＝ · · 3x1 ＝ 3x1－2＋3x －2＋4 2 1 2 3x1－2 6 1
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课时作业(四十五) [第45讲 两直线的位置关系与点到直线的距离]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )
A ．3x ＋2y －1＝0
B ．3x ＋2y ＋7＝0
C ．2x －3y ＋5＝0
D ．2x －3y ＋8＝0
2．点A (1,1)到直线x cos θ＋y sin θ－2＝0的距离的最大值是( )
A ．2 B.2－2
C.2＋2 D ．4
3．[2011·张家界一中月考] 直线l ：4x ＋3y －2＝0关于点A (1,1)对称的直线方程为( )
A ．4x ＋3y －4＝0
B ．4x ＋3y －12＝0
C ．4x －3y －4＝0
D ．4x －3y －12＝0
4．对任意实数a ，直线y ＝ax －3a ＋2所经过的定点是( )
A ．(2,3)
B ．(3,2)
C ．(－2,3)
D ．(3，－2)
能力提升 5．点P (m －n ，－m )到直线x m ＋y n
＝1的距离等于( ) A.m 2＋n 2 B.m 2－n 2
C.n 2－m 2
D.m 2±n 2
6．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )
A ．1或3
B ．1或5
C ．3或5
D ．1或2
7．直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P (0,1)对称的直线方程方程是( )
A ．2x ＋11y ＋38＝0
B ．2x ＋11y －38＝0
C ．2x －11y －38＝0
D ．2x －11y ＋16＝0
8．已知0<k <4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为( )
A.18
B.14
C.12
D ．2 9．[2011·浙江卷] 若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.
10．点A (2,3)，点B 在x 轴上，点C 在y 轴上，则△ABC 周长的最小值是________．
11．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是：
①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.
其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)
12．(13分)已知三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4，试判断这三条直线能否构成一个三角形？若不能，求出对应的实数m 的值，并指出原因．
难点突破
13．(12分)设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.
(1)证明l1与l2相交；
(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
课时作业(四十五)
【基础热身】
1．A [解析] 由已知可得l 斜率为－32，由点斜式方程得l ：y －2＝－32
(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.
2．C [解析] 由条件得d ＝|cos θ＋sin θ－2|＝⎪⎪⎪
⎪2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ－2，得最大值为2＋2. 3．B [解析] 在对称直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于点A 对称的点P ′(x ′，y ′)必在直线l 上．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＋x ＝2，y ′＋y ＝2，得P ′(2－x,2－y )，∴4(2－x )＋3(2－y )－2＝0，即4x ＋3y －12＝0. 4．B [解析] 直线系恒过定点，说明对任意的实数a ，这个点的坐标都能使方程成立，只要按照实数a ，把这个方程进行整理，确定无论实数a 取何值，方程都能成立的条件即可．直线方程即y －2＝a (x －3)，因此当x －3＝0且y －2＝0时，这个方程恒成立，故直线系恒过定点(3,2)．
【能力提升】
5．A [解析] 把直线方程化为nx ＋my －mn ＝0，根据点到直线的距离公式得
d ＝|n (m －n )＋m (－m )－mn |m 2＋n 2＝m 2＋n 2
m 2＋n 2
＝m 2＋n 2. 6．C [解析] 利用两直线平行的充要条件得(k －3)×(－2)－2(4－k )(k －3)＝0，解得k ＝3或k ＝5.
7．B [解析] 解题的关键是中心对称的两直线互相平行，并且两直线与对称中心的距
离相等．设所求直线的方程为2x ＋11y ＋C ＝0，由点到直线的距离公式可得|0＋11＋16|22＋11
2＝|0＋11＋C |22＋112
，所以C ＝16(舍去)或C ＝－38.
8．A [解析] 直线l 1的方程可以化为k (x －2)－2y ＋8＝0，该直线系过定点M (2,4)，与
两坐标轴的交点坐标是A ⎝⎛⎭
⎫2k －8k ，0，B (0,4－k )；直线l 2的方程可以化为(2x －4)＋k 2(y －4)＝0，该直线系过定点M (2,4)，与两坐标轴的交点坐标是C (2k 2＋2,0)，D ⎝⎛⎭
⎫0，4＋4k 2.结合0<k <4可以知道这个四边形是OBMC ，如图所示，连接OM ，则四边形OBMC 的面积是△OBM ，
△OCM 的面积之和，故四边形OBMC 的面积是12×(4－k )×2＋12k 2＋2)×4＝4k 2－k ＋8，故当k ＝18
时两直线所围成的四边形面积最小．
9．1 [解析] ∵直线x －2y ＋5＝＝0垂直，∴1×2－2×m ＝0，即
m ＝1.
10．213 [解析] 由于三角形是折线围成的，直接求△ABC 周长的最小，需要求三个含有变量的二次根式和的最小值，显然不好办，根据关于直线对称的两点到直线上任意一点的距离相等，把三角形的周长转化为点A 关于两条坐标轴的对称点和点B ，C 所连折线的长度，根据两点之间线段最短可解．点A 关于x ，y 轴的对称点分别是A 1(2，－3)，A 2(－2,3)，根据对称性A 1B ＝AB ，A 2C ＝AC ，
故AB ＋BC ＋CA ＝A 1B ＋BC ＋CA 2≥A 1A 2＝213.
11．①⑤ [解析] 两平行线间的距离为d ＝|3－1|1＋1
＝2，如图，可知直线m 与l 1，l 2的
夹角为30°，l 1，l 2的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.故填写①⑤.
12．[解答] (1)l 2∥l 3不可能，
∴①若l 1∥l 2，则m 4
＝1，∴m ＝4； ②若l 1∥l 3，则24＝－3m 1，∴m ＝－16
； (2)当三直线过同一点时，不能构成三角形，
此时，由⎩⎪⎨⎪⎧
4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0，得两直线的交点是A ⎝⎛⎭⎫44－m ，－4m 4－m (m ≠4)，代入第三条直线方程解得m ＝23，或m ＝－1； 综合(1)(2)所述，当m ＝－1，m ＝－16，m ＝23
或m ＝4时，三直线不能构成三角形，而在其余情况下，三直线总能构成三角形．
【难点突破】
13．[解答] (1)证明：反证法，假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得
k 21＋2＝0.
此与k 1为实数的事实相矛盾．从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．
(2)证明：证法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1， 解得交点P 的坐标(x ，y )为⎩⎨⎧ x ＝2k 2－k 1，y ＝k 2
＋k 1k 2－k 1
， 而2x 2＋y 2＝2⎝⎛⎭⎫2k 2－k 12＋⎝⎛⎭⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2
＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1. 此即表明交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．
证法二：交点P 的坐标(x ，y )满足
⎩⎪⎨⎪⎧
y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x ， 故知x ≠0.从而⎩⎨⎧ k 1＝y －1x ，k 2＝y ＋1x .
代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x
＋2＝0. 整理后，得2x 2＋y 2＝1，
所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．。