考虑模糊缺陷率的新产品生产库存模型及其优化

表1 变量
軗 H c 軒 Q 軇p a 軒 B
軒 K 軇 I 軌 P 軒 R 軒 D
基金项目 ： 国家自然科学基金资助项目 （70602017 ）； 陕西省软科学基金资助项目 （2005KR95 ） 作者简介 ： 刘海军 （1976- ）， 男 ， 湖南新田人 ， 讲师 ， 博士研究生 ， 研究方向 ： 物流与供应链管理 。
有关变量及含义假设如表 1 所示 。 企业按 批依次生产并销售产品 。 但是 ， 企业关于该 产品的有关资料是缺乏的 。 由于产品为新 上线产品 ， 所以生产流程不很完善 ， 生产中 难以避免缺陷品的出现 。 假设产品缺陷率 不确定 ， 且不允许缺货 。 该企业生产销售流 程 如 图 1 所 示 。 在 图 1 中 ，OS 、sS1 等 分 别 表 示 为 每 批 产 品 的 一 个 生 产 销 售 周 期 ，长
决 策 参 考
考虑模糊缺陷率的 新产品生产库存模型及其优化
刘海军 1,2
（1. 西安理工大学 工商管理学院 ， 西安 710054 ；2. 河南理工大学 经济管理学院 ， 河南 焦作 454003 ）
摘
要 ：文章针对新产品生产库存优化时缺乏历史资料的特点 ， 提出了一个考虑模糊缺陷率的新
产品生产库存模型 ， 并运用函数原理 、 梯级平均积分描述法和库恩 - 塔克定理给出了模型最优 解 的 求 解过程 ， 最后进行了数值分析 。 数值分析表明 ， 只要给出包括缺陷率在内的不确定性问题的模糊数表 达式 ， 就可以求出新产品的最优生产批量和最低的生产库存成本 。 但是 ， 结果的优劣与模糊度的取值 密切相关 ， 因此 ， 在采用模糊数对最优生产批量和生产库存 成 本 进 行 预 测 时 ， 需 要 对 企 业 生 产 库 存 条 件进行认真分析 ， 谨慎估计模糊度的取值 ， 以便获得尽可能准确的预测值 。 关键词 ： 模糊缺陷率 ； 新产品 ； 生产库存模型 ； 函数原理 ； 梯级平均积分描述法 中图分类号 ：F406 文献标识码 ：A 文章编号 ：1002－6487 （2010 ）13－0041-03 度 为 tS；OG 、sG1 等 分 别 表 示 为 每 批 产 品 的 一 个 生 产 周 期 ， 长
軒 f) 鄣2P(C = k4d4 >0 鄣q21q1 3q13(1-p4) 同理 ， 对式 （3 ） 关于 q2，q3，q4 的二阶偏导数分别为 ： 軒 f) 鄣2P(C = 2k3d3 >0 鄣q22q1 3q23(1-p3) 軒 f) 鄣2P(C = 2k2d2 >0 鄣q22q1 3q33(1-p2) 42
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模型建立与求解
根据以上假设 ， 企业在生产库存管理中主要涉及以下五
軒 c 表 示 ，C 軒 c=cD 軒 ）， 主 要 包 括 项 模 糊 成 本 ，即 模 糊 生 产 成 本 （用C
生 产 产 品 的 直 接 材 料 、直 接 人 工 和 制 造 费 用 等 ；模 糊 投 资 成
軒 I 表 示 ，C 軒 I= I 軇 茚a 軇 p茚T ）， 主 要 包 括 为 了 减 少 缺 陷 产 品 而 本 （用C 軒 cK 表 示 ，C 軒 k=K 軒 茚D 軒准 投入的各项成本 ； 模糊生产准备成本 （ 用 C
特别地 ， 当上述梯形模糊数均为确定数时 ， 有 ：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Q*=
姨 T(1-P)(cI+H)(1-P-(4/B))
2KD
（7 ）
证明 ： 对式 （5 ）， 根据 KUHN-TUCHER 定理 ， 有 ：
≤
軒 f) min p(C
Q
（4 ）
S.t. 0＜q1≤q2≤q3≤4 軒 f) 为 凸 函 当 qi(i=1,2,3,4) 为 非 零 正 数 时 ， 函 数 p(C
1
研究假设
本文考虑 一 个 新 产 品 制 造 企 业 的 生 产 库 存 管 理 问 题 , 其
軒 茚(1-P 軌 )) ）， 是指每批产品生产之 前 所 需 要 的 准 本 成 本 ， 该 (Q 軒 h 表示 ，）C 軒 h= 项成本主要与生产批次有关 ； 模糊储存成本 （ 用 C
变量及其含义 含义 单位模糊日储存成本 单位生产成本 模糊总产量 为减少缺陷品而发生 的 模糊投资 模糊日生产率 变量 含义 模糊生产准备成本 模糊机会成本 模糊缺陷率 模糊日需求率 模糊总需求
期普遍缩短 ， 新产品出现的速度越来越快 。 因此 ， 如何合理地 安 排 生 产 批 量 ，有 效 地 管 理 好 新 产 品 的 库 存 成 本 ，不 仅 是 实 际管理者 ， 而且也是学术界普遍关注的问题 。 不确定性是影 响新产品生产库存管理的重要因素 ， 必须采取适当措施对其 加以解决 。 新产品生产库存管理的不确定性问题 ， 涉及的范 围非常广泛 ， 不仅包括销售库存中一般的产品需求不确定和 采购提前期不确定 ， 也包括新产品生产过程中特有的诸如产 品缺陷率 、 生产准备成本 、 生产成本 、 投资成本和存储成本等 的不确定性 。 本文将结合现有相关文献 ， 针对新产品生产库 存管理的特点， 提出考虑模糊缺陷率的新产品生产库存模 型。 该模型将不仅对产品缺陷率的不确定性进行模糊化处 理 ， 而且尽可能地对生产库存管理中其它各要素进行模糊化 处理 ， 以期对相关文献进行拓展 ， 并使模型更具普适性 。
因此 ， 上述关于新产品的不确定性问题转化为下列非线 性规划问题 ：
S.t. q4-q3≥0 （5 ） q3-q2≥0 q2-q1≥0 q1>0 根据定理 1 可知 ， 式 （5 ） 目标函数为凸函数 ， 且约束条件 均为线性函数 （ 可视为凹函数 ）， 因此 ， 式 （5 ） 为一个凸规划问 题 ， 因而可以运用 KUHN-TUCHER 定理对式 （5 ） 求解 。 定 理 2 设 λj ≥0(j=1,2,3,4) ， 有 且 只 有 λ4=0 ，λ1≠0 ，λ2≠ 0，λ3 ≠0 时 ，q1 =q2 =q3 =q4 =Q* 为 目 标 函 数 的 最 优 解 ， 且 Q* =
统计与决策 2010 年第 13 期 （ 总第 313 期 ）
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决 策 参 考
軗 )茚T茚M 軗 s) ， 是 指 已 经 生 产 出 来 ， 但 尚 未 销 售 出 去 的 I 茚c茌H (軇
产 品 的 持 有 、储 存 成 本 ，主 要 与 每 个 生 产 销 售 周 期 的 平 均 库
軒 f) 鄣2P(C 1d1 = 2k >0 鄣q24 3q43(1-p1) 軒 f) 为凸函数 ， 因此 ， 当 qi(i=1,2,3,4) 为非零正数时 ， 函数 p(C
统计与决策 2010 年第 13 期 （ 总第 313 期 ）
1 [- k4d4 ]+ 1 T(ci +h )(1-p )(1- r4 )]+λ3-λ4=0 1 1 4 6 q12(1-p4) 2 b1(1-p4) 1 [- 2k3d3 +T(ci +h )(1-p )(1- r3 )]+λ2-λ3=0 2 2 3 6 q22(1-p3) b2(1-p3) 1 [- 2k2d2 +T(ci +h )(1-p )(1- r2 )]+λ1-λ2=0 3 3 2 6 q32(1-p2) b3(1-p2) 1 [- k1d1 + 1 T(ci +h )(1-p )(1- r1 )]-λ1=0 4 4 1 6 q42(1-p1) 2 b4(1-p1) λ1(q4-q3)=0 λ2(q3-q2)=0 λ3(q2-q1)=0 λ4q1=0 λj≥0(j=1,2,3,4) 因 为 q1>0 且 λ4q1=0 ， 易 知 λ4=0 ， 若 λ1=λ2=λ3=0 则 q4≠ q3≠q2≠q1（q4>q3>q2>q1 或 q4<q3<q2<q1）， 显然与 约 束 条 件 q4≥ q3≥q2 ≥q1 不 符 ， 目 标 函 数 无 解 ； 若 λ1 ≠0,λ2 ≠0,λ3 ≠0， 则 有 q4=q3=q2=q1>0 ， 符 合 约 束 条 件 ， 设 q4=q3=q2=q1=Q*， 则 Q* 为 该 目标函数的最优解 。 将 q4=q3=q2=q1=* 带 入 式 （3 ）， 求 式 （3 ） 关 于 Q* 的一阶导数 ， 整理得 軒 f) 1 dP(C = dQ 6 {- 1*2 [ k1d1 + k4d4 + 2k2d2 + 2k3d3 ]+ 1 T Q 1-P1 1-P4 1-P2 1-P3 2
軒f 表 因 此 ，考 虑 模 糊 缺 陷 率 的 新 产 品 生 产 库 存 成 本 （用C
示 ） 构成如下 ：
軒 f=C 軒 c茌C 軒 IC 軒 K茌C 軒 H茌C 軒s C 軒茌 軇 軇 p茚T茌 K 軒 茚D 軒 准(Q 軒 茚(1-P 軌 ))茌(I 軇 茚c茌H 軗 )茚T茚 I 茚a =cD 軒 茚(1-P 軌 )茚 {1Θ[R 軒 准(B 軒 茚(1-P 軌 )]}}准2茌D 軒 茚c茚(p 軌 准1-p 軌) （1 ） {Q 其中 ，茌，Θ，茚和 准 为基于函数原理的模糊算术运算符 。 軒 =(y1,y2,y3,y4)(yi>0;i=1,2,3,4) 的 梯 形 设上述模糊数为形 如Y
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引言
随着科技的进步和顾客需求的快速变化 ， 产品的生命周
度 为 tG(tG=Q/B) ；T 为 整 个 生 产 周 期 ；M 为 每 批 产 品 生 产 期 末 时的库存量 （M=Q(1-P) （1-R/B(1-P)) ， 每批产品生产销售期内 的平均库存用 MS(MS=1/2M) 表示 。 此 外 ，假 设 表 1 中 的 模 糊 数 均 为 梯 形 模 糊 数 ，按 照 函 数 原理进行模糊运算并采用梯级平均积分描述法对上述梯形 模糊数进行解模糊化 。 企业的目的是 ， 在上述变量均为模糊 变量 （c 和 T 除外 ） 的情况下 ， 如何实现最优的生 产 批 量 Q 及 最小的生产库存总成本 。