(通用版)2019版高考数学二轮复习课件+训练：第一部分专题二基本初等函数、函数与方程讲义理(重点生,含解析)

专题二基本初等函数、函数与方程[典例](1)(2019届高三·辽宁五校联考)设a＝2 01712018，b＝log2 017 2 018，c＝log2 01812 017，则( )A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c(2)已知f (x)＝a x－2，g(x)＝log a|x|(a>0且a≠1)，若f (4)g(－4)<0，则y＝f (x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )(3)(2018·信阳二模)设x ，y ，z 为正实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z >0，则x 2，y 3，z5的大小关系不可能是( )A.x 2<y 3<z 5B.x 2＝y 3＝z 5C.z 5<y 3<x2D.y 3<x 2<z5[解析] (1)∵a ＝2 01712018>2 0170＝1， 0<b ＝log 2 017 2 018<log 2 0172 017＝1，c ＝log 2 01812 017<log 2 0181＝0，∴a >b >c .故选D. (2)∵f (x )＝a x －2>0恒成立，又f (4)·g (－4)<0，∴g (－4)＝log a |－4|＝log a 4<0＝log a 1，∴0<a <1.故函数y ＝f (x )在R 上单调递减，且过点(2,1)，函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故B 正确．(3)设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝k >0， 则x ＝2k>1，y ＝3k>1，z ＝5k>1. ∴x2＝2k －1，y3＝3k －1，z5＝5k －1.①若0<k <1，则函数f (x )＝x k －1在定义域上单调递减，∴x 2>y 3>z5； ②若k ＝1，则函数f (x )＝x k －1＝1，∴x 2＝y 3＝z5；③若k >1，则函数f (x )＝x k －1在定义域上单调递增，∴x 2<y 3<z5. ∴x 2，y 3，z5的大小关系不可能是 D.因此A 、B 、C 正确，D 错误．故选D.[答案] (1)D (2)B (3)D [类题通法]1．幂、指数、对数式比较大小的方法(1)利用幂、指数、对数函数的单调性，这就需要观察要比较大小的数和式的结构特征，寻找共同点(如指数相同，底数相同等)，构造相应函数；(2)媒介法，即利用中间值(特别是0和1)作媒介传递，达到比较其大小的目的． 2．基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y ＝x α的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．[应用通关]1．(2018·厦门一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，b ＝log 120.3，c ＝a b ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．a <c <bD ．b <c <a解析：选B ∵b ＝log 120.3>log 1212＝1，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3<⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，∴c ＝a b<a .∴c <a <b.故选B.2．已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x－t ，∀x 1∈[1,6)时，总存在x 2∈[1,6)使得f (x 1)＝g (x 2)，则t 的取值范围是( )A ．∅B ．(－∞，1]∪[28，＋∞)C ．(－∞，1)∪(28，＋∞)D ．[1,28]解析：选D 由f (x )是幂函数得m ＝0或2， 当m ＝0时，f (x )＝x 2；当m ＝2时，f (x )＝x －2. 而f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增， 则f (x )＝x 2，当x ∈[1,6)时，f (x )∈[1,36)． 当x ∈[1,6)时，g (x )∈[2－t,64－t )．若∀x 1∈[1,6)时，总存在x 2∈[1,6)使得f (x 1)＝g (x 2)，则[1,36)⊆[2－t,64－t )，故⎩⎪⎨⎪⎧2－t ≤1，64－t ≥36，解得1≤t ≤28，故选D.3．若函数f (x )＝x a满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )解析：选C 法一：由函数f (x )＝x a满足f (2)＝4，得2a＝4，∴a ＝2，则g (x )＝|log a (x ＋1)|＝|log 2(x ＋1)|，将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位长度(纵坐标不变)，然后将x 轴下方的图象翻折上去，即可得g (x )的图象，故选C.法二：由函数f (x )＝x a满足f (2)＝4，得2a＝4，∴a ＝2，即g (x )＝|log 2(x ＋1)|，由g (x )的定义域为{x |x >－1}，排除B 、D ；由x ＝0时，g (x )＝0，排除A.故选C.[由题知法][典例] (1)(2018·开封模拟)李冶(1192～1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)( )A ．10步，50步B ．20步，60步C ．30步，70步D ．40步，80步(2)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝P 0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．[解析] (1)设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍去)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B.(2)前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t ＝5时，P ＝0.9P 0，代入，得(e －k )5＝0.9，∴e －k ＝0.915，∴P ＝P 0e －kt＝P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫0.915t .当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P ＝0.81P 0，代入得0.81＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0.915t，解得t ＝10，即需要花费10小时．[答案] (1)B (2)10 [类题通法]1．解决函数实际应用题的2个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解．2．构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解． (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．(3)构建f (x )＝x ＋ax(a >0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．[应用通关]1．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A 地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B 地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是80元和50元．若总运费不超过1 000元，则调运方案的种数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 设甲地调运x 台电脑至B 地，则剩下(6－x )台电脑调运至A 地；乙地应调运(8－x )台电脑至B 地，运往A 地12－(8－x )＝(x ＋4)台电脑(0≤x ≤6，x ∈N)．则总运费y ＝30x ＋40(6－x )＋50(8－x )＋80(x ＋4)＝20x ＋960，∴y ＝20x ＋960(x ∈N,0≤x ≤6)．若y ≤1 000，则20x ＋960≤1 000，得x ≤2.又0≤x ≤6，x ∈N ，∴x ＝0,1,2，即有3种调运方案．2．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件该产品需另投入的成本为G (x )(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，G (x )＝51x ＋10 000x－1 450.已知每件产品的售价为0.05万元．通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是________万元．解析：∵每件产品的售价为0.05万元，∴x 千件产品的销售额为0.05×1 000x ＝50x 万元．①当0<x <80时，年利润L (x )＝50x －13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值，且最大值为L (60)＝950万元；②当x ≥80时，L (x )＝50x －51x －10 000x＋1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x≤1 200－2 x ·10 000x ＝1 200－200＝1 000，当且仅当x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．由于950<1 000，∴当产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为1 000万元．答案：1 000重难增分 函数的零点问题[典例细解][例1] (2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B.13C.12 D ．1[学解题](一)常规思路稳解题法一：由函数f (x )有零点，得x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)＝0有解，即(x －1)2－1＋a (ex －1＋e－x ＋1)＝0有解，令t ＝x －1，则上式可化为t 2－1＋a (e t ＋e －t)＝0， 即a ＝1－t 2e t ＋e－t .令h (t )＝1－t2e t ＋e－t ，易得h (t )为偶函数，又由f (x )有唯一零点得函数h (t )的图象与直线y ＝a 有唯一交点，则此交点的横坐标为0，所以a ＝1－02＝12，故选C.法二：由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e－x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2 ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a >0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，a ＝12.(二)特殊思路妙解题 法三：由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e1－x＋ex －1)＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)，所以f (2－x )＝f(x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12.故选C.[答案] C[启思维] 本题考查由函数零点情况求参数值．思路一：先化简f (x )的表达式，再换元转化成关于t 的函数，利用函数的有关性质求解．思路二：先把f (x )转化为二次函数与指数型函数相等问题，再分别考察它们的值域，利用唯一性求解．思路三：观察式子f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)的结构特点可知，g (x )＝x 2－2x 与h (x )＝a (ex －1＋e－x ＋1)都有对称性，可得出f (2－x )＝f (x )，由对称性求解．[例2] (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] 令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x－a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.[答案] C[启思维] 本题主要考查函数与方程．本题以高中两个基本初等函数(指数函数和对数函数)为载体，构建分段函数，与函数零点结合，需借助函数图象解决问题．破解此类题的关键：一是会转化，把函数的零点问题转化为方程的根的问题，再转化为两个函数的图象的交点问题；二是会借形解题，即画出两函数的图象，由图象的直观性，可快速找到参数所满足的不等式，解不等式，即可求出参数的取值范围．[知能升级]已知函数有零点(方程有根)求参数(值)范围的3种方法[增分集训]1．(2018·洛阳第一次统考)已知函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )＝f (x －1)(x ∈R)，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x－1，则方程|cos πx |－f (x )＝0在[－1,3]上的所有根之和为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选D 方程|cos πx |－f (x )＝0在[－1,3]上的所有根之和即y ＝|cos πx |与y ＝f (x )在[－1,3]上的图象交点的横坐标之和．由f (1－x )＝f (1＋x )得f (x )的图象关于直线x ＝1对称，由f (1－x )＝f (x －1)得f (x )的图象关于y 轴对称，由f (1＋x )＝f (x －1)得f (x )的一个周期为2，而当0≤x ≤1时，f (x )＝2x－1，在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝|cos πx |在[－1,3]上的大致图象，如图所示，易知两图象在[－1,3]上共有11个交点，又y ＝f (x )，y ＝|cos πx |的图象都关于直线x ＝1对称，故这11个交点也关于直线x ＝1对称，故所有根之和为11.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≤0，x ln x ，x >0，g (x )＝kx －1，若方程f (x )－g (x )＝0在x ∈(－2,2)上有三个实根，则实数k 的取值范围为( )A ．(1，ln 2e)B.⎝⎛⎭⎪⎫ln 2e ，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2D ．(1，ln 2e)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 解析：选D 显然，x ＝0不是方程f (x )－g (x )＝0的根， 则f (x )－g (x )＝0，即k ＝f x ＋1x， 可设k ＝φ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x＋4，x <0，1x ＋ln x ，x >0，由x <0，可得φ(x )＝x ＋1x＋4≤－2－x⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ＋4＝2，当且仅当－x ＝－1x ，即x ＝－1时等号成立，即有φ(x )在x <0时，有最大值φ(－1)＝2；当x >0时，φ(x )＝1x ＋ln x 的导数为φ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，当x >1时，φ′(x )>0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递增；当0<x <1时，φ′(x )<0，φ(x )在(0,1)上单调递减．可得φ(x )在x ＝1处取得最小值1.作出φ(x )在(－2,2)上的图象如图所示，由图象得当1<k <ln 2＋12或32<k <2时，直线y＝k 和y ＝φ(x )的图象均有三个交点．则k 的取值范围是(1，ln 2e)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. [专题跟踪检测](对应配套卷P167)一、全练保分考法——保大分1．若m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1，a ＝lg m ，b ＝lg m 2，c ＝lg 3m ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C ∵m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1，∴－1<lg m <0，∴lg 3m －lg m ＝(lg m －1)(lg m ＋1)lg m >0，∴lg 3m >lg m ，即c >a .又m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1，∴0<m 2<m <1，∴lg m 2<lg m ，即a > B.∴b <a <c .故选C.2．定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选C ∵函数f (x )为偶函数，∴m ＝0，∴f (x )＝2|x |－1.∴a ＝f (log 0.53)＝f (－log 23)＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝20－1＝0.∴c <a <b.故选C.3．(2018·长沙一模)函数f (x )＝2x＋xx ＋1的图象大致为( )解析：选A ∵f (x )＝2x＋xx ＋1＝2x－1x ＋1＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． ∴f ′(x )＝2xln 2＋1x ＋2>0恒成立，∴f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递增，排除C 、D ； 当x →－∞时，2x→0，xx ＋1→1，∴f (x )→1，排除B ，选A.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，0<x <1，1，x ≥1，则不等式log 2x －(log 144x －1)f (log 3x ＋1)≤5的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B ．[1,4] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，4 D ．[1，＋∞)解析：选C 由不等式log 2x －(log 144x －1)f (log 3x ＋1)≤5，得⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1≥1， log 2x －414x －或⎩⎪⎨⎪⎧0<log 3x ＋1<1， log 2x ＋414x －，解得1≤x ≤4或13<x <1.故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤13，4.故选C. 5．已知函数f (x )＝21＋2x ＋11＋4x 满足条件f (log a (2＋1))＝1，其中a >1，则f (log a (2－1))＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ∵f (x )＝21＋2x ＋11＋4x ，∴f (－x )＝21＋2－x ＋11＋4－x ＝2·2x1＋2x ＋4x1＋4x ，∴f (x )＋f (－x )＝21＋2x ＋11＋4x ＋2·2x1＋2x ＋4x1＋4x ＝3.∵log a (2＋1)＝－log a (2－1)，∴f (log a (2＋1))＋f (log a (2－1))＝3，∴f (log a (2－1))＝2.故选B.6．(2019届高三·贵阳模拟)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的( )A ．10倍B ．20倍C ．50倍D ．100倍解析：选D 根据题意有lg A ＝lg A 0＋lg 10M＝lg(A 0·10M)，所以A ＝A 0·10M，则A 0×107A 0×105＝100.故选D.7．(2018·菏泽一模)已知log 12a <log 12b ，则下列不等式一定成立的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13bB.1a >1bC ．ln(a －b )>0D ．3a －b<1解析：选A ∵log 12a <log 12b ，∴a >b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ，1a <1b，ln(a －b )与0的大小关系不确定，3a －b>1. 因此只有A 正确．故选A.8．已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3解析：选D ∵实数x ，y 满足a x<a y(0<a <1)，∴x >y .对于选项A ，1x 2＋1>1y 2＋1等价于x 2＋1<y 2＋1，即x 2<y 2.当x ＝1，y ＝－1时，满足x >y ，但x 2<y 2不成立．对于选项B ，ln(x2＋1)>ln(y 2＋1)等价于x 2>y 2，当x ＝1，y ＝－1时，满足x >y ，但x 2>y 2不成立．对于选项C ，当x ＝π，y ＝π2时，满足x >y ，但sin x >sin y 不成立．对于选项D ，当x >y 时，x 3>y 3恒成立．故选D.9．(2018·广元模拟)已知函数f (x )＝e x，g (x )＝ln x 2＋12，对任意a ∈R ，存在b ∈(0，＋∞)使f (a )＝g (b )，则b －a 的最小值为( )A ．2e －1B ．e 2－12C ．2－ln 2D ．2＋ln 2解析：选D 令t ＝e a，可得a ＝ln t ，令t ＝ln b 2＋12，可得b ＝2-12e t ，则b －a ＝2e -12t t －12－ln t ，令h (t )＝2e -12t －ln t ， 则h ′(t )＝2e -12t －1t.显然，h ′(t )是增函数，观察可得当t ＝12时，h ′(t )＝0，故h ′(t )有唯一零点，故当t ＝12时，h (t )取得最小值，即b －a 取得最小值为2e -1122－ln 12＝2＋ln 2，故选D.10．已知函数 f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)解析：选C ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (ln x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增， ∴－1<ln x <1，解得1e<x <e.11．记函数f (x )＝x 2－mx (m >0)在区间[0,2]上的最小值为g (m )．已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h (x )为偶函数，且当x >0时，h (x )＝g (x )，若h (t )>h (4)，则实数t 的取值范围为( )A ．(－4,0)B ．(0,4)C ．(－2,0)∪(0,2)D ．(－4,0)∪(0,4)解析：选D 因为f (x )＝x 2－mx (m >0)，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22－m24，因为f (x )在区间[0,2]上的最小值为g (m )，所以当0<m ≤4，即0<m2≤2时，g (m )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＝－m 24；当m >4，即m2>2时，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22－m24在[0,2]上单调递减，所以g (m )＝f (2)＝4－2m .综上，g (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧－m 24，0<m ≤4，4－2m ，m >4.因为当x >0时，h (x )＝g (x )，所以当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减．因为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h (x )为偶函数，且h (t )>h (4)，所以h (|t |)>h (4)，所以0<|t |<4，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，|t |<4，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－4<t <4，从而－4<t <0或0<t <4.综上所述，实数t 的取值范围为(－4,0)∪(0,4)．12．(2019届高三·昆明调研)若函数f (x )＝2x ＋1－x 2－2x －2，对于任意的x ∈Z 且x∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0]C ．(－∞，3]D ．(－∞，4]解析：选D 法一：f (x )＝2x ＋1－x 2－2x －2≤0，即2x ＋1≤x 2＋2x ＋2.设g (x )＝2x ＋1，h (x )＝x 2＋2x ＋2，当x ≤－1时，0<g (x )≤1，h (x )＝x 2＋2x ＋2≥1，所以当a ≤－1时，满足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立；当－1<x <4时，因为g (0)＝h (0)＝2，g (1)＝4<h (1)＝5，g (2)＝8<h (2)＝10，g (3)＝16<h (3)＝17，所以－1<a ≤4时，亦满足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立；当x ≥4时，易知f ′(x )＝2x ＋1·ln 2－2x －2，设F (x )＝2x ＋1·ln 2－2x －2，则F ′(x )＝2x ＋1·(ln 2)2－2>0，所以F (x )＝2x ＋1·ln 2－2x －2在[4，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )≥f ′(4)＝32ln 2－10>0，所以函数f (x )＝2x ＋1－x 2－2x －2在[4，＋∞)上是增函数，所以f (x )≥f (4)＝32－16－8－2＝6>0，即a >4时，不满足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，4]，故选D.法二：将问题转化为2x ＋1≤x 2＋2x ＋2对于任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )恒成立后，在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y ＝2x ＋1，y ＝x 2＋2x ＋2的图象如图所示，根据两函数图象的交点及位置关系，数形结合即可分析出实数a 的取值范围是(－∞，4]，故选D.13．函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是________．解析：由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)14．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L 甲＝－5x 2＋900x －16 000，L 乙＝300x －2 000(其中x 为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为________元．解析：设甲连锁店销售x 辆，则乙连锁店销售(110－x )辆，故利润L ＝－5x 2＋900x －16 000＋300(110－x )－2 000＝－5x 2＋600x ＋15 000＝－5(x －60)2＋33 000，∴当x ＝60时，有最大利润33 000元．答案：33 00015．若函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x，则f (2)＋g (4)＝________.解析：法一：∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2x，∴g (x )＝log 2x ，∴f (2)＋g (4)＝22＋log 24＝6.法二：∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x，∴f (2)＝4，即函数f (x )的图象经过点(2,4)，∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，∴函数g (x )的图象经过点(4,2)，∴f (2)＋g (4)＝4＋2＝6.答案：616．(2018·福州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x，x >0，则满足f (x 2－2)>f (x )的x的取值范围是________________________________________________________________． 解析：由题意x >0时，f (x )单调递增，故f (x )>f (0)＝0，而x ≤0时，x ＝0， 故若f (x 2－2)>f (x )，则x 2－2>x ，且x 2－2>0， 解得x >2或x <－ 2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)17．如图，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C ，分别在函数y ＝x ，y＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫32x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标是2，则点D 的坐标是________．解析：由2＝可得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，由2＝x 12可得点B (4,2)，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫324＝916，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，916，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，916.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，916 18．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m＝________.解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0<x <1，og 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0<m <n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，mn ＝1，所以0<m 2<m <1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m ＝9.答案：919.(2018·西安八校联考)如图所示，已知函数y ＝log 24x 图象上的两点A ，B 和函数y ＝log 2x 图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当△ABC 为正三角形时，点B 的横坐标为________．解析：依题意，当AC ∥y 轴，△ABC 为正三角形时，|AC |＝log 24x －log 2x ＝2，点B 到直线AC 的距离为3，设点B (x 0,2＋log 2x 0)，则点A (x 0＋3，3＋log 2x 0)．由点A 在函数y ＝log 24x 的图象上，得log 2[4(x 0＋3)]＝3＋log 2x 0＝log 28x 0，则4(x 0＋3)＝8x 0，x 0＝3，即点B 的横坐标是 3.答案： 320．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x－a 2x 在[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为________．解析：令2x＝t ，t ∈[1,2]，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t 在[1,2]上单调递增．当a ＝0时，y ＝|t |＝t 在[1,2]上单调递增显然成立；当a >0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a ，＋∞)，此时a ≤1，即0<a ≤1时成立；当a <0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t＝t －a t，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[－a ，＋∞)，此时－a ≤1，即－1≤a <0时成立．综上可得a 的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]二、强化压轴考法——拉开分1．设函数f (x )＝log 4x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，g (x )＝log 41x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x的零点分别为x 1，x 2，则( )A ．x 1x 2＝1B ．0<x 1x 2<1C ．1<x 1x 2<2D ．x 1x 2≥2解析：选B 由题意可得x 1是函数y ＝log 4x 的图象和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x的图象的交点的横坐标，x 2是y ＝log 41x 的图象和函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 的图象的交点的横坐标，且x 1，x 2都是正实数，画出函数图象如图所示，可得log 41x 2>log 4x 1，故log 4x 1－log 41x 2<0，∴log 4x 1＋log 4x 2<0，∴log 4(x 1x 2)<0，∴0<x 1x 2<1.故选B.2．(2018·唐山模拟)若函数f (x )＝1－x 2－x ＋λ在[－1,1]上有两个不同的零点，则λ的取值范围为( )A ．[1，2)B ．(－2，2)C ．(－2，－1]D ．[－1,1]解析：选C 函数f (x )＝1－x 2－x ＋λ在[－1,1]上有两个不同的零点等价于y ＝1－x 2与y ＝x －λ的图象在[－1,1]上有两个不同的交点．y ＝1－x 2，x ∈[－1,1]为圆x 2＋y 2＝1的上半圆．如图，当直线y ＝x －λ过点(0,1)时两函数图象有两个交点，此时λ＝－1，当直线y＝x －λ与圆x 2＋y 2＝1上半圆相切时，λ＝－ 2.所以λ的取值范围为(－2，－1]．故选C.3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x(e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－xx，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减．因此，当x ＞0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x的大致图象如图所示，由图象可知函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x(e 为自然对数的底数)有2个零点．4．(2018·凉山模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1x，x <0，ln x －2x 2，x >0，若函数f (x )的图象上有四个不同的点A ，B ，C ，D 同时满足：①A ，B ，C ，D ，O (原点)五点共线；②共线的这条直线斜率为－3，则a 的取值范围是( )A ．(23，＋∞)B ．(－∞，－4)C ．(－∞，－23)D ．(4，＋∞)解析：选A 由题意知f (x )的图象与直线y ＝－3x 有4个交点．令ln x －2x 2＝－3x ，可得ln x ＝2x 2－3x ， 作出y ＝ln x 与y ＝2x 2－3x 的图象如图所示． 由图象可知两函数图象在y 轴右侧有两个交点， ∴当x >0时，f (x )的图象与直线y ＝－3x 有两个交点， ∴当x <0时，f (x )的图象与直线y ＝－3x 有两个交点． ∴a ＋1x＝－3x 在(－∞，0)上有两解．即3x 2＋ax ＋1＝0在(－∞，0)上有两解． ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－12>0，－a 6<0，解得a >2 3.故选A.5．(2019届高三·西安八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13x ＋1，x ≤1，ln x ，x >1，若方程f (x )－ax ＝0恰有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1e C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，43 D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 解析：选B 方程f (x )－ax ＝0有两个不同的实根，即直线y ＝ax 与函数f (x )的图象有两个不同的交点．作出函数f (x )的图象如图所示．当x >1时，f (x )＝ln x ，得f ′(x )＝1x，设直线y ＝kx 与函数f(x )＝ln x (x >1)的图象相切，切点为(x 0，y 0)，则y 0x 0＝ln x 0x 0＝1x 0，解得x 0＝e ，则k ＝1e，即y＝1e x 是函数f (x )＝ln x (x >1)的图象的切线，当a ≤0时，直线y ＝ax 与函数f (x )的图象有一个交点，不合题意；当0<a <13时，直线y ＝ax 与函数y ＝ln x (x >1)的图象有两个交点，但与y ＝13x ＋1(x ≤1)也有一个交点，这样就有三个交点，不合题意；当a ≥1e时，直线y ＝ax 与函数f (x )的图象至多有一个交点，不合题意；只有当13≤a <1e时，直线y ＝ax 与函数f(x )的图象有两个交点，符合题意．故选B.6．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝(x 2－3)e x ，若关于x 的方程f 2(x )－mf (x )－12e 2＝0的不同的实数根的个数为n ，则n 的所有可能值为( )A ．3B ．1或3C ．3或5D ．1或3或5解析：选A 由f (x )＝(x 2－3)e x，得f ′(x )＝(x 2＋2x －3)ex＝(x ＋3)(x －1)e x，令f ′(x )>0，得x <－3或x >1，令f ′(x )<0，得－3<x <1，所以f (x )在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，当x →－∞时，f (x )→0，所以f (x )极大值＝f (－3)＝6e3，f (x )极小值＝f (1)＝－2e ，作出f (x )的大致图象如图所示．令t ＝f (x )，则f 2(x )－mf (x )－12e 2＝0可转化为t 2－mt －12e 2＝0，Δ＝m 2＋48e 2>0，且t＝m2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22－m ·m 2－12e 2＝－m 24－12e 2<0，所以方程有两个不同的实数根t 1，t 2，所以t 1t 2＝－12e 2＝6e 3×(－2e)，不妨设t 1>0，所以当t 1>6e 3时，－2e<t 2<0，由f (x )的图象可知，此时t 2＝f (x )有2个不同的实数根，t 1＝f (x )有1个根，所以方程f 2(x )－mf (x )－12e 2＝0有3个不同的实数根，当t 1＝6e3时，t 2＝－2e ，由f (x )的图象可知，此时t 2＝f (x )有1个根，t 1＝f (x )有2个不同的实数根，所以方程f 2(x )－mf (x )－12e 2＝0有3个不同的实数根，当0<t 1<6e3时，t 2<－2e ，由f (x )的图象可知t 2＝f (x )有0个根，t 1＝f (x )有3个不同的实数根，所以方程f 2(x )－mf (x )－12e2＝0有3个不同的实数根．综上所述，方程有3个不同的实数根．7．(2018·南宁模拟)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 B ．(1,4) C ．(1,8)D ．(8，＋∞)解析：选D ∵f (x ＋2)＝f (2－x )，∴f (x ＋4)＝f (2＋(x ＋2))＝f (2－(x ＋2))＝f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4.又∵当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1＝(2)－x－1，∴当x ∈[0,2]时，f (x )＝f (－x )＝(2)x－1，于是x ∈[－2,2]时，f (x )＝(2)|x |－1，根据f (x )的周期性作出f (x )的图象如图所示．若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0有且只有4个不同的根，则a >1且y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋2)(a >1)的图象在区间(－2,6)内有且只有4个不同的交点，∵f (－2)＝f (2)＝f (6)＝1，∴对于函数y ＝log a (x ＋2)(a >1)，当x ＝6时，log a 8<1，解得a >8，即实数a 的取值范围是(8，＋∞)，所以选D.8．已知在区间(0,2]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x－3，x ∈，1]，2x －1－1，x ∈，2]，且g (x )＝f (x )－mx 在区间(0,2]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 解析：选A 由函数g (x )＝f (x )－mx 在(0,2]内有且仅有两个不同的零点，得y ＝f (x )，y ＝mx 在(0,2]内的图象有且仅有两个不同的交点．当y ＝mx 与y＝1x－3在(0,1]内相切时，mx 2＋3x －1＝0，Δ＝9＋4m ＝0，m ＝－94，结合图象可得当－94<m ≤－2或0<m ≤12时，函数g (x )＝f (x )－mx 在(0,2]内有且仅有两个不同的零点．。