江西省南昌三中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)

江西省南昌三中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）一.选择题1．（5分）已知集合M={x|y=}，N={x|y=log2（2﹣x）}，则∁R（M∩N）（）A．[1，2）B．（﹣∞，1）∪[2，+∞）C．[0，1]D．（﹣∞，0）∪[2，+∞）2．（5分）若a=3sin60，b=log3cos60°，c=log3tan60°，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c3．（5分）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（）A．[0，1]B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4]D．（0，1）4．（5分）设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（）A．x+y=2 B．x+y＞2 C．x2+y2＞2 D．xy＞15．（5分）设函数f（x）=3sin（2x+）+1，将y=f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，使得到的图象关于y轴对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．6．（5分）若，，均为单位向量，且=0，则|+﹣|的最小值为（）A．B．1C．+1 D．7．（5分）已知θ∈（0，），满足cosθcos2θcos4θ=的θ共有（）个．A．1B．2C．3D．48．（5分）设实数x，y满足约束条件，且目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则+的最小值为（）A．4B．8C．9D．69．（5分）如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=45°，底边AB=5，高AD=3，点E由B 沿折线BCD向点D移动，EM⊥AB于M，ENAD于N，设BM=x，矩形AMEN的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）设函数（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（）A．[1，e]B．[1，1+e]C．[e，1+e]D．[0，1]二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）如果f（x）=e x，则f′（0）=．12．（5分）点P（x，y）在直线x+y﹣2=0上，则3x+3y的最小值为．13．（5分）如果函数f（x）=cos（kπx）在[0，1]上至少取得最小值1008次，则正数k的最小值是．14．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为．15．（5分）函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≥f （x2），则称函数f（x）在D上为不增函数．设函数f（x）为定义在[0，2]上的不增函数，且满足以下三个条件：①f（0）=2；②f（2﹣x）+f（x）=2，x∈[0，2]；③当x∈[0，]时，f （x）≤2﹣2x恒成立．则f（）+f（）=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．（12分）记函数f（x）=的定义域为A，g（x）=lg[（1﹣x）（x+1）]的定义域为B，求集合A、B、A∩B．17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（2a+c）cosB=﹣bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=2，a+c=4，求△ABC的面积．18．（12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=x3，f4（x）=x4，f5（x）=xcosx，f6（x）=xsinx．（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，其中至少有一张卡片上写着的函数为奇函数，在此条件下求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E在PD上，且PE：ED=2：1．（Ⅰ）证明PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．20．（13分）设a为实数，函数f（x）=x2+|x﹣a|+1，x∈R（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值．21．（14分）已知函数（a为实常数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）=f（x）﹣2x的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）上无极值，求a的取值范围；（Ⅲ）已知n∈N*且n≥3，求证：．江西省南昌三中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题1．（5分）已知集合M={x|y=}，N={x|y=log2（2﹣x）}，则∁R（M∩N）（）A．[1，2）B．（﹣∞，1）∪[2，+∞）C．[0，1]D．（﹣∞，0）∪[2，+∞）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合M，N，根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：M={x|y=}={x|x≥0}，N={x|y=log2（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，则M∩N={x|0≤x＜2}，则∁R（M∩N）={x|x≥2或x＜0}，故选：D．点评：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2．（5分）若a=3sin60，b=log3cos60°，c=log3tan60°，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=3sin60＞1，b=log3cos60°＜0，c=log3tan60°=，∴a＞c＞b．故选：B．点评：本题考查了指数函数与对数函数、三角函数的单调性，属于基础题．3．（5分）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（）A．[0，1]B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4]D．（0，1）考点：函数的定义域及其求法．分析：根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．解答：解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈[0，1），故选B．点评：本题考查求复合函数的定义域问题．4．（5分）设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（）A．x+y=2 B．x+y＞2 C．x2+y2＞2 D．xy＞1考点：充要条件．分析：先求出的必要不充分条件；利用逆否命题的真假一致，求出命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件．解答：解：若时有x+y≤2但反之不成立，例如当x=3，y=﹣10满足x+y≤2当不满足所以是x+y≤2的充分不必要条件．所以x+y＞2是x、y中至少有一个数大于1成立的充分不必要条件．故选B点评：本题考查逆否命题的真假是相同的，注意要说明一个命题不成立，常通过举反例．5．（5分）设函数f（x）=3sin（2x+）+1，将y=f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，使得到的图象关于y轴对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由已知中函数f（x）=3sin（2x+）+1的图象向右平移φ（φ＞0）个单位得到的图象关于y轴对称，可得当x=0时，函数f（x）=3sin（2x+﹣2φ）+1取最值，求出φ的表达式后，结合φ＞0，可得满足条件的φ的最小值．解答：解：将函数f（x）=3sin（2x+）+1的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后函数图象对称的解析式为f（x）=3sin（2x+﹣2φ）+1若平移后得到的图象关于y轴对称，则x=0时，函数取最值则﹣2φ=+kπ，k∈Z则φ=﹣﹣kπ，φ＞0，k∈Z，当k=﹣1时，φ的最小值为．故选：B．点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的对称性，其中熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键．6．（5分）若，，均为单位向量，且=0，则|+﹣|的最小值为（）A．B．1C．+1 D．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：计算题；平面向量及应用．分析：易求，表示出，由表达式可判断与同向时|+﹣|2最小，最小值可求，再开方可得答案．解答：解：因为=0，所以=+2=2，则=，所以=+2﹣2（）=3﹣2（），则当与同向时，（）最大，|+﹣|2最小，此时，（）=，所以≥3﹣2，故|+﹣|≥﹣1，即|+﹣|的最小值为﹣1，故选A．点评：本题考查平面向量数量积的性质及其运算律，考查向量模的求解，考查学生分析问题解决问题的能力．7．（5分）已知θ∈（0，），满足cosθcos2θcos4θ=的θ共有（）个．A．1B．2C．3D．4考点：二倍角的正弦；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：与条件利用二倍角的正弦公式可得sin8θ=sinθ，从而得到8θ=2kπ+θ，或8θ=2kπ+π﹣θ，k∈z，由此结合θ的范围，求得θ的值．解答：解：∵θ∈（0，），满足cosθcos2θcos4θ=，∴8sinθcosθcos2θcos4θ=1，∴sin8θ=sinθ，∴8θ=2kπ+θ，或8θ=2kπ+π﹣θ，k∈z．∴θ=，或θ=，或θ=，共计3个，故选：C．点评：本题主要考查二倍角的正弦公式，函数零点的定义，属于基础题．8．（5分）设实数x，y满足约束条件，且目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则+的最小值为（）A．4B．8C．9D．6考点：基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，并找出目标函数取得最大值时的条件，进而利用基本不等式的性质即可求出．解答：解：由x，y满足线性约束条件，作出可行域．联立，解得C（2，1）．由可行域可知：当目标函数经过点C时z取得最大值1，∴2a+b=1（a＞0，b＞0），∴+=（+）（2a+b）=≥=8，当且仅当b=2a=时，取等号，∴+的最小值为8．故选B．点评：本题考查线性规划的有关内容及基本不等式的运用，确定2a+b=1，正确运用基本不等式是关键．9．（5分）如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=45°，底边AB=5，高AD=3，点E由B 沿折线BCD向点D移动，EM⊥AB于M，ENAD于N，设BM=x，矩形AMEN的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：动点型．分析：关键是找出y与x之间的关系，注意当E在BC上运动时，右边是一上三角，当E点在CD上运动时，其右边是一个梯形．解答：解：∵EM⊥AB，∠B=45°，∴EM=MB=x，AM=5﹣x，当E点在BC上动时，即0≤x≤3时，y=，当E点在CD上动力时，矩形AMEN即为矩形AMED，此时3≤x＜5，y=3（5﹣x），∴y=．图象如图A．故答案为：A．点评：本题是动点问题，随着E点的运动，所得图形的形状也不同，这里就要求分类讨论．考查了函数思想，分类讨论思想．属于中档题．10．（5分）设函数（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（）A．[1，e]B．[1，1+e]C．[e，1+e]D．[0，1]考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．分析：根据题意，问题转化为“存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]．由y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，得到函数y=f（x）的图象与y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]．因此，将方程化简整理得e x=x2﹣x+a，记F（x）=e x，G（x）=x2﹣x+a，由零点存在性定理建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围．解答：解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f﹣1（b）其中f﹣1（x）是函数f（x）的反函数因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为“存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]，∵y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，∴y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，根据，化简整理得e x=x2﹣x+a记F（x）=e x，G（x）=x2﹣x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，可得，即，解之得1≤a≤e即实数a的取值范围为[1，e]故选：A点评：本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题．二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）如果f（x）=e x，则f′（0）=1．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：利用导数的运算法则即可得出．解答：解：∵f′（x）=e x，∴f′（0）=1．故答案为：1．点评：本题考查了导数的运算法则，属于基础题．12．（5分）点P（x，y）在直线x+y﹣2=0上，则3x+3y的最小值为6．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质、指数运算性质即可得出．解答：解：∵点P（x，y）在直线x+y﹣2=0上，∴x+y=2．则3x+3y的==6，当且仅当x=y=1时取等号．∴3x+3y的最小值为6．故答案为：6．点评：本题考查了基本不等式的性质、指数运算性质，属于基础题．13．（5分）如果函数f（x）=cos（kπx）在[0，1]上至少取得最小值1008次，则正数k的最小值是2015．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据余弦函数的图象和性质进行求解即可．解答：解：函数的周期T==，若函数f（x）=cos（kπx）在[0，1]上至少取得最小值1008次，则1007T+≤1，即≤1，即k≥2015，故正数k的最小值是2015．故答案为：2015点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件确定函数周期和区间长度之间的关系是解决本题的关键．14．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为﹣3．考点：定积分．专题：计算题．分析：由图可知f（x）=0得到x的解确定出b的值，确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可．解答：解：由图知方程f（x）=0有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，∴f（x）=x2（x+a），有，∴a=±3．又﹣a＞0⇒a＜0，得a=﹣3．故答案为：﹣3．点评：考查学生利用定积分的方法求平面图形面积的能力．15．（5分）函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≥f （x2），则称函数f（x）在D上为不增函数．设函数f（x）为定义在[0，2]上的不增函数，且满足以下三个条件：①f（0）=2；②f（2﹣x）+f（x）=2，x∈[0，2]；③当x∈[0，]时，f （x）≤2﹣2x恒成立．则f（）+f（）=2．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据f（x）满足的三个条件即可得到f（1）=1，f（）≤1，所以根据f（x）是不增函数，便可得到x∈[，1]时，f（x）=1，从而可求出．解答：解：由条件②得，f（1）=1；由条件③，f（）≤1；∵f（x）是[0，2]上的不增函数；∴x∈时，f（x）=1；∴f（）=1，f（）=2﹣f（）=1；∴．故答案为：2．点评：考查对不增函数的理解以及对其定义的运用，对条件②③的运用．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．（12分）记函数f（x）=的定义域为A，g（x）=lg[（1﹣x）（x+1）]的定义域为B，求集合A、B、A∩B．考点：函数的定义域及其求法；交集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数的解析式，求出集合A、B；（2）由集合A、B，求出A∩B．解答：解：（1）由f（x）=，得到，解得：﹣1＜x≤1，即A={x|﹣1＜x≤1}，由g（x）=lg[（1﹣x）（x+1）]，得到（1﹣x）（x+1）＞0，解得：即B={x|﹣1＜x＜1}；（2）∵A={x|﹣1＜x≤1}，B={x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B=B={x|﹣1＜x＜1}．点评：本题考查了求函数定义域的问题，也考查了集合的基本运算问题，是基础题．17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（2a+c）cosB=﹣bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=2，a+c=4，求△ABC的面积．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）在△ABC中，由条件利用正弦定理化简可得cosB=﹣，由此求得B的值．（2）由条件利用余弦定理求得ac=4，可得△ABC的面积ac•sinB 的值．解答：解：（1）在△ABC中，根据（2a+c）cosB=﹣bcosC，利用正弦定理可得2sinAcosB+sinCcosB=﹣sinBcosC，即2sinAcosB+sin（C+B）=0，即2sinAcosB+sinA=0．由于sinA≠0，可得cosB=﹣，∴B=120°．（2）若b=2，a+c=4，由余弦定理可得b2=12=a2+c2﹣2ac•cosB=（a+c）2﹣2ac+ac=16﹣ac，∴ac=4，△ABC的面积为ac•sinB=2×=．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．18．（12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=x3，f4（x）=x4，f5（x）=xcosx，f6（x）=xsinx．（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，其中至少有一张卡片上写着的函数为奇函数，在此条件下求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）由已知得6个函数中有三奇函数和三个偶函数，由此能求出所求概率．（2）由已知得ξ=1、2、3、4，分别求出相应的概率，由此能求出抽取次数ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）∵f1（x）=x，f3（x）=x3，f5（x）=xcosx都是奇函数，f2（x）=x2，f4（x）=x4，f6（x）=xsinx都是偶函数，即6个函数中有三奇函数和三个偶函数，故共有取法，故所求概率（2）由已知得ξ=1、2、3、4，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，∴ξ的分布列如下：ξ 1 2 3 4p故Eξ==．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．19．（12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E在PD上，且PE：ED=2：1．（Ⅰ）证明PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．考点：平面与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．专题：证明题；综合题；转化思想．分析：（I）证明PA⊥AB，PA⊥AD，AB、AD是平面ABCD内的两条相交直线，即可证明PA⊥平面ABCD；（II）求以AC为棱，作EG∥PA交AD于G，作GH⊥AC于H，连接EH，说明∠EHG即为二面角θ的平面角，解三角形求EAC与DAC为面的二面角θ的大小；（Ⅲ）证法一F是棱PC的中点，连接BM、BD，设BD∩AC=O，利用平面BFM∥平面AEC，证明使BF∥平面AEC．证法二建立空间直角坐标系，求出、、共面，BF⊄平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．还可以通过向量表示，和转化得到、、是共面向量，BF⊄平面ABC，从而BF∥平面AEC．解答：解：（Ⅰ）证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB．同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）解：作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连接EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角．又PE：ED=2：1，所以．从而，θ=30°．（Ⅲ）解法一以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图．由题设条件，相关各点的坐标分别为.．所以．．．设点F是棱PC上的点，，其中0＜λ＜1，则=．令得即解得．即时，．亦即，F是PC的中点时，、、共面．又BF⊄平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．解法二：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下，证法一：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE．①由，知E是MD的中点．连接BM、BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点．所以BM∥OE．②由①、②知，平面BFM∥平面AEC．又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC．证法二：因为==．所以、、共面．又BF⊄平面ABC，从而BF∥平面AEC．点评：本题考查直线与平面平行的判定，二面角的求法，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，转化思想，是中档题．20．（13分）设a为实数，函数f（x）=x2+|x﹣a|+1，x∈R（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值．考点：函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义．专题：压轴题．分析：第一问考查函数的奇偶性，用特殊值法判断函数及不是奇函数又不是偶函数；第二问是求最值的题目，先判断函数的单调性再求最值．解答：解：（1）当a=0时，函数f（﹣x）=（﹣x）2+|﹣x|+1=f（x）此时，f（x）为偶函数当a≠0时，f（a）=a2+1，f（﹣a）=a2+2|a|+1，f（a）≠f（﹣a），f（a）≠﹣f（﹣a）此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数（2）①当x≤a时，当，则函数f（x）在（﹣∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为f（a）=a2+1．若，则函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为，且．②当x≥a时，函数若，则函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为，且若，则函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a2+1．综上，当时，函数f（x）的最小值为当时，函数f（x）的最小值为a2+1当时，函数f（x）的最小值为．点评：本题为函数的最值和奇偶性的考查；是2015届高考常考的知识点之一；而求最值时需要注意的是先判断函数的单调性．21．（14分）已知函数（a为实常数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）=f（x）﹣2x的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）上无极值，求a的取值范围；（Ⅲ）已知n∈N*且n≥3，求证：．考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；数列与不等式的综合．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数定义域，当a=1时求出g′（x），只需解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0即可．（Ⅱ）函数f（x）在区间（0，2）上无极值，则f′（x）≥0或f′（x）≤0，由此即可求出a的取值范围．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=0，得f（x）=≤0，即ln，令x=适当变形即可证明．解答：解：（I）当a=1时，，其定义域为（0，+∞），g′（x）=﹣2+=，，令g′（x）＞0，并结合定义域知；令g′（x）＜0，并结合定义域知；故g（x）的单调增区间为（0，）；单调减区间为．（II），（1）当f′（x）≤0即a≤x在x∈（0，2）上恒成立时，a≤0，此时f（x）在（0，2）上单调递减，无极值；（2）当f′（x）≥0即a≥x在x∈（0，2）上恒成立时，a≥2，此时f（x）在（0，2）上单调递增，无极值．综上所述，a的取值范围为（﹣∞，0]∪[2，+∞）．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f′（x）=，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）=在x=1处取得最大值0．即f（x）=1﹣，∴，令x=（0＜x＜1），则，即ln（n+1）﹣lnn，∴ln=ln（n+1）﹣ln3=[ln（n+1）﹣lnn]+[lnn﹣ln（n﹣1）]+…+（ln4﹣ln3）＜．故．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数最值问题，考查了运用知识解决问题的能力．。