一种基于排列的(2,n)可视门限方案

【Key words】Visual cryptography; Visual secret sharing scheme; Visual threshold scheme(VTS); Permutation
1 概述
Shamir[1]于 1979 年提出了一种密钥分享方案，用于解决
密码应用中的密钥保存和管理问题，即门限方案。此后，学
那么必有 ( k , n ) − V T S ，其中 m = l ⋅ 2 k −1 。Blundo、De Santis 和Stinson[6]提出了两种方法构造最优对比度的 (2 , n ) − V T S 。
⎛n⎞
第
1
种方
法
的
像
素
扩
展度
是
⎜ ⎜⎜⎝
⎢ ⎢⎣
n 2
⎥ ⎥⎦
⎟ ⎟⎟⎠
，为指数级。第
2
种方法
V
T
S
的基本矩阵
S
0 2
,
S
1 2
，且两方案的对比度和扩展度相同。
证明
设存在满足定义
1
基本矩阵条件的矩阵
S
0 1
,
S
1 1
，
它们的行数为
n1
，则存在一
(k
,
n1
)
方案，
S
0 1
,
S
1 1
为其基本
—158—
矩阵。
任取矩阵
S
0 1
,
S
1 1
对应的
n2
行组成新的矩阵
S
0 2
,
S
1 2
。
S
0 2
,
S
1 2
是
(X,A)的关联矩阵(incidence matrix)是 v × b 的二元矩阵，矩阵
生成规则如下：
mij
=
⎧⎪1, xi ∈ Aj ⎨⎪⎩0, xi ∉ Aj
引理 任意正整数 n1 > n2 ≥ k ，如果存在 (k , n1) − VTS 的
基本矩阵
S
0 1
,
S
1 1
，那么必存在
(
k
,
n2
)
−
将透明胶片 i1 , i2 , . . . , is 对齐后叠放在一起得到组合共享份， 即解密后的图片，它的灰度值与矩阵 B 中 i1 , i 2 , . . . , i s 行向量 “或”运算得到的 m 维向量 V = O R (ri1 , ..., ris ) 的汉明重量 w (V ) 成正比。当 w (V ) 大于某值时(门限值 t )，即组合共享份中黑 点数大于某值，人的双眼将它解析为黑色，反之解析为白色。
(2,n) Visual Threshold Scheme Based on Permutation
FANG Liguo, YU Bin
(Institute of Electronic Technology, PLA Information Engineering University, Zhengzhou 450004)
文献[9,10]。
运用排列得到一个辅助矩阵，该辅助矩阵的关联矩阵
(incidence matrix)是 ( 2 , n ' ) 方案的基本矩阵(basis matrix)，其
中，0 ≤ n ' − n ≤ 2 ，n ' m o d 3 = 0 ，取该矩阵的任意 n 行构成 新的矩阵为欲构造的(2,n)方案的基本矩阵。根据文献[3]的结
S
0 1
,
S
1 1
的部分。由于
S
0 1
,
S
1 1
满足定义
1
基本矩阵
的条件，则
S
0 2
,
S
1 2
也满足定义
1
基本矩阵的条件，因此它是
(k
,
n2
)
−
V
T
S
的基本矩阵，且该方案与
S
0 1
,
S
1 1
方案的对
比度和扩展度相同。引理得证。
定理 任意整数 n ，满足 3(i − 1) < n ≤ 3i ， i ≥ 3 ，存
n 然后给出一个(k,k)方案，再运用映射 h : {1 L n } a {1 L k } ，
由 (k , k ) 方案构造出(k,n)方案，其结果可以描述为，对于任意
n , k ， 存 在 可 视 门 限 方 案 ， 参 数 为 m = n k ⋅ 2 k −1 ，
α = (2e) − k 2π k ， r = n k ( 2 k −1 !) 。 G.Ateniese, Blundo, De
3 × ( i − 1 ) 的矩阵 T j 联接组成， j = 0 , 1 , . . . , i − 1 ，则 T 为
3 × i ( i − 1 ) 的矩阵。 T j 的第 1 行为 i − 1 个 j，将 0 L i − 1
α (m ) = wb − ww
(1)
m
ww = wb − m ⋅α (m ) = t − m ⋅α (m )
(2)
α ( m ) 的取值范围是 [0，1 ] ，当 α ( m ) = 1 时，表明解密
后的图片完全清晰；当 α ( m ) = 0 时，表明解密后的图片无
法辨认。
3 基于排列的(2,n)-VTS
【Abstract】Two parameters, pixel expansion and contrast, are very important in visual cryptography. It’s very difficult to optimize both of them in theory. Based on permutation, a (2,n) scheme, which existence has been proved theoretically, is proposed. The method of construction has been carried out. Simulation results demonstrate that this scheme can balance performance between pixel expansion and contrast, i.e., when the contrast is close to optimality, the pixel expansion is relatively minor.
者们[2]对其提出改进，构造出多种(k,n)门限方案，使该方案
得到较为完善的发展，但它们都不可避免地存在一个问题：
使用过程中需要大量的运算，且使用者需要对密码知识有所
掌握。在 1994 年欧密会上，M.Naor和A.Shamir[3]提出的视觉
加密(Visual Cryptography)解决了这一问题。该方法是一种依
假设 p={1,…,n}表示参与者的集合， 2 p 表示 p 的所有
子集组成的集 合。令 Γ Q ual ⊆ 2 p ， Γ Forb ⊆ 2 p ，满足
Γ Q ual I
Γ
＝
F o rb
∅
。其中， Γ Q u a l 为有效集合， Γ F o rb 为无
效集合。
(
Γ
Q
，
ual
Γ Forb )
为方案的存取结构。
为 α (m )
、
门
限
值
的
集
合
(
Γ
，
Qual
Γ
Forb
,
m)
−
VTS
存在，它的
n
×
m
基本矩阵为 S
0,
S
1：
{ } (1)任意 X = i1 , i2 , ..., i p ∈ Γ Q u al ( p ≥ k )， S 0 的 i1,i2,...,ip
行向量“或”运算后的向量 V 满足 w(V ) ≤ tX − α (m) ⋅ m 。而 S 1
论，本方案具有安全性高、对比度好、扩展度小的特点。
2 扩展度和对比度
由视觉加密的基本原理可知，原始信息由黑白像素组成，
每个原始像素出现在 n 个共享份(shares)中，将共享份分别印
在透明胶片上，共享份每个原始像素表示为 m 个黑白子像
素，得到的结构可描述为一个 n × m 布尔矩阵 B = ⎡⎣ B ij ⎤⎦ ， 当且仅当第 i 个透明胶片的第 j 个子像素为黑色时 B ij = 1 。
在一 (2, n ) − V T S ，像素扩展度：
m = i(i − 1) ≤ n (n − 3) 9
对比度：
α =1− 1 ≥ 3 − 9 i i(i − 1) n n (n − 3)
证明 给出(2,3i)-VTS 的基本矩阵 S 0 , S 1 。
在给出 S1 前，先构造一个辅助矩阵 T。T 由 i 个
作相同运算后的结果为 w(V ) ≥ t X 。
{ } (2) 任 意 X = i1 , i 2 , K , i q ∈ Γ F o rb ( q < k ) ， 取
S 0 , S 1 的 i1 , i2 , . . . , iq 行组成两个 q × m 矩阵，它们经过列 变换后是相同的。
定义 2 X = {x 1 , x 2 , . . . , x v } ，A = { A1 , A2 , ..., Ab } ，
数影响图片解密后的视觉效果，其中后二者对解密后的图片
效果影响程度较大。
门限值 t，解密过程组合图片中像素被人眼解析为黑色与
白色的灰度临界值，当组合图片中像素的灰度值大于或等于
t 时该像素被人眼解析为黑色，相应地当像素的灰度值小于