10.28第二十一章二次根式
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第21章二次根式复习教学目标1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．教学重点：含二次根式的式子的混合运算．教学难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．教学过程：一．知识点复习：（一）二次根式的基本性质：（1）()()02≥=a a a （2）()()02≥=a a a ； （二）．二次根式的运算：1．二次根式的乘法 ：ab b a =⋅；()0,0≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的除法：b a ba =；b a b a =()0,0>≥b a 3．二次根式的加减（1）最简二次根式必须满足两个条件：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
（2）、把一个式子化为最简二次根式的方法是：（1）如果被开方数是整式或整数，先把它分解成因式（或因数）的积的形式，把开得尽方的因式（或因数）移到根号外；（2）如果被开方数含有分母，应去掉分母的根号。
（3）、二次根式加减运算的步骤：第一步：先把各个二次根式化为最简二次根式，判断其中哪些二次根式是同类二次根式；第二：把化成最简二次根式中的同类二次根式合并。
（4）、两个含二次根式的代数式，如果它们的积不含有二次根式，我们把这两个代数式叫做互为有理化因式。
4．二次根式的混合运算：在进行二次根式的加减乘除运算时，先运用乘法分配律（如果是除法，先转化为乘法）进行二次根式的乘法运算，再进行二次根式的加减运算。
在进行二次根式的和与差的乘法运算时，可以直接运用完全平方公式进行计算，根据所给题目的特点，可灵活运用公式进行计算。
二．运用复习：例1. x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：（1）23-+-x x （2）212x x-（3）x x 22-+（4）xx 32+ 分析：(1)题是两个二次根式的和，x 的取值必须使两个二次根式都有意义；（2）即x 不能取使012=-x 的值(3)题是两个二次根式的和，x 的取值必须使两个二次根式都有意义；(4)题的分子是二次根式，分母是含x 的单项式，因此x 的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．解：（1）2≤x ≤3；（2）x ≠±1；（3）x=0；4）x ≥-2且x ≠0；例2．计算：)3418)(4823(-+分析：先化简，再运算 解：)3418)(4823(-+ =)3423)(3423(-+ =22)34()23(-=18-48=-30例3．计算：)302223)(532(-+++ 解：)302223)(532(-+++=12例4．计算：aa a a a a a -+--∙+-+-1123344422 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a ≥0和1-a ＞0．解： 因为1-a ＞0，3-a ≥0，所以a ＜1，|a -2|＝2-a ．(a -1)(a -3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0． 所以aa a a a a a -+--∙+-+-1123344422 =aa a a a a -+--∙---1123)3)(1()2(2 =0三、小结1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．四．练习：1．选择题：（1）a a -=-2)2(2，a 的取值范围是（ ）A ．a ≤2B ．a ≥2C ．a ≠2D ．a ＜2（2）x ＜-2时，2)2(+x 等于（ ）A ．x+2B ．-x -2C ．-x+2D ．x -2（3）化简22)()(a x a x ++-（0＜x ＜a ）等于（ ）A ．2xB ．2aC ．-2xD ．-2a（4）把根号外面的因式移入根号内，mm 1-=（ ） A.m B.m - C.m -- D.m -(5)若0＜x ＜12+，则2)12(2--++x x 等于（ ） A.122-- B.2x-1 C.122+ D.122-2．填空题：（1）若54--x x 有意义，则x 的取值范围是________ （2）若12-=aa ，则a 的取值范围是__________ （3）化简31a a -=____________ （4）若1223-+n n m 与6是同类最简二次根式，则n=_____,m=________（5）化简223b a （a ＞0，b ＜0）=______________（6）若a ＞0，b ＜0，则2b a -=____________3．求a a a 200111+---的值。
第二十一章__二次根式_复习提纲
清水中学九年级数学人教版 第二十一章 二次根式 复习提纲一、知识结构二、知识点归纳(一)二次根式的概念：（1）二次根式：式子a (a ≥0)叫做二次根式．（2）最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．把满足这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(3)同类二次根式：化成最简二次根式后，如果被开方数相同。
，这几个二次根式就叫做同类二次根式．(4)分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
(5)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积为有理式，我们说这两个代数式互为有理化因式．（6）代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式。
（二）二次根式的性质．20)(0);,(0)0,(0),(0)0,0)____(0,0);a a a a a a a a a a b a b ≥=≥>⎧⎪===⎨⎪-<⎩=≥≥=≥>是一个非负数；（*）（三）二次根式的运算：（1）二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。
（20,0,0)a b a b =≥≥=≥>注意：做乘法时要灵活运用乘法分式；做除法时，有时要写为分数形式，然后分母有理化； 化简时要注意a 的正负性，尤其是隐含的正负性．三、典型习题（一）二次根式的概念1．（06泸州）要使二次根式1-x 有意义，字母x 的取值必须满足的条件是( ) (A)x≥1(B)x≤1(C)x>1(D)x<12．(06眉山) 若 2-x 有意义，则X 的取值范围（ ） A 、x > 2 B 、x ≥ 2 C、x < 2 D 、x ≤ 23．（05x 的取值范围是（ ） A 、2x ≠ B 、2x ≥ C 、2x > D 、2x ≤ 4．（05福州）如果代数式1-x x有意义，那么x 的取值范围是（ ） A 、0≥x B 、1≠x C 、0>x D 、10≠≥x x 且5．（05 Ａ、a<1 Ｂ、a ≤1 Ｃ、a ≥1 Ｄ、a>16．（04x 必须满足的条件是 A ．x ≥1 B ．x ＞－1 C ．x ≥－1 D ．x ＞1 7．（05荆门）如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 8．（02哈尔滨）如果式子x341-在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是 。
第二十一章“二次根式”简介
第二十一章 “二次根式”简介
课程教材研究所 左玲
本章内容“二次根式”是《数学课程标准》中“数与代数”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，关于数的内容，第三学段主要学习有理数和实数。对于有理数和实数，本套教课书主要分三章编写，分别是7年级上册第1章“有理数”，7年级下册第10章“实数”和本章“二次根式”。本章是在第10章的基础上继续研究有关实数的内容。
第二十一章 二次根式
第二十一章 二次根式知识点归纳1．定义：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。
2．二次根式a 有意的条件：3．性质：（1）双重非负性：即a ≥0且a ≥0（2）⎩⎨⎧<-≥==0,0,2a a a a a a（3）2)(a =a (a ≥0)4．同类二次根：被开方数相同的二次根式最简同类二次根式：⎩⎨⎧尽的因数或因式被开方数不含开方开得或分母不含根号被开方数不含分母）（5．把根号外面的因数或因式移到根号内：()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=--=≥≥=0,00,0222b a b a b a b a b a b a b a 6．二次根式的大小比较：先把根号外的因数或因式全部移到根号内，再进行大小比较。
7．分母有理化： （1）()01>=∙=a a aa a a a（2）()()()0,0,01≠-≥≥-+=+-+=-b a b a ba ba ba ba ba b a（3）()()()0,0,01≠-≥≥--=-+-=+b a b a ba ba ba ba b a ba8．运算法则：（1）加减法则：将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式（2）乘除法则：()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=≥≥=∙0,00,0b a b ab a b a ab b a （3）混合运算法则。
复习题1．已知a, b, c 满足04122212=+-+++-c c c b b a ，求)(c b a +-的值。
2．已知y=32552--+-x x ，求2xy 的值。
3．已知a （a －3）≤0，若b=2－a ，求b 的取值范围。
4．已知点P （x,y ）在函数x xy -+=21的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的哪个像限？ 5．若()a a 21122-=-，求a 的取值范围。
6．已知实数a, b, c 满足32388++-+--=--+-+c b a c b a b a b a 请问：长度分别为a, b, c 的三条线段能否构成一个三角形？若能，求出该三角形的面积。
第二十一章“二次根式”简介
第二十一章“二次根式”简介第二十一章“二次根式”简介二次根式是数学中的一个重要概念，它是指形如√a（a≥0）的式子，其中“√”称为二次根号。
二次根式是一种表达数量关系的方式，它可以用来表示长度、面积、体积等几何量和代数式的平方根、算术平方根等。
一、二次根式的定义二次根式是一种特殊的代数式，它由一个被开方数（也称为“被开方数”）和一个根号（也称为“二次根号”）组成。
被开方数可以是任何非负数，可以是实数，也可以是代数式。
根号是一个表示数量关系的符号，它表示对被开方数求平方根。
例如，√4、√9、√a、√(ab)等都是二次根式，其中4、9、a、ab等被开方数可以是任何非负数或代数式。
二、二次根式的性质1.非负性：任何一个非负数的平方根都是非负的，即√a≥0（a≥0）。
2.唯一性：当a>0时，√a是唯一的正数平方根；当a=0时，√0也是唯一的平方根，但它是0而不是正数。
3.无限性：当a<0时，√a没有实数平方根，但是可以表示为复数形式。
4.互逆性：对于任何实数a，都有两个平方根，它们互为相反数，即√a和-√a。
5.性质的变化：当二次根式的被开方数或指数发生变化时，其性质也会发生变化。
例如，当√a^2=|a|时，需要考虑a的符号；当√(a^2)=|a|时，需要考虑a的符号和绝对值。
三、二次根式的运算1.加减法：同类二次根式可以合并或相减。
例如，√2+√2=2√2，√2-√2=0。
2.乘除法：同类二次根式可以相乘或相除。
例如，√2×√2=2，√2÷√2=1。
3.开方运算：对一个非负数进行开方运算时，可以得到它的平方根。
例如，（√2）²=2，（√a）²=a（a≥0）。
4.与实数的运算：二次根式可以与实数进行加、减、乘、除等运算。
例如，（2+√3）+（4-√3）=6，（2+√3）×（4-√3）=5+2√3。
5.与复数的运算：二次根式也可以与复数进行运算。
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21.2二次根式的乘除(3)教学目的：（1）理解b a ba=()0,0>≥b a ； （2）运用b aba =()0,0>≥b a 进行二次根式的有关运算。
教学重点：运用b a ba=()0,0>≥b a 进行二次根式的有关运算。
教学难点：运用b ab a =()0,0>≥b a 进行二次根式的有关运算。
教学过程：一、复习1、分别用式子表示二次根式积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则。
二者的关系是什么？ 答：二次根式积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
即()0,0≥≥⋅=b a b a ab二次根式的乘法法则是： ()0,0≥≥=⋅b a ab b a 这两个式子是互逆的关系。
2、二次根式商的算术平方根的性质是什么？并用式子表示。
答：二次根式商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以式的算术平方根，即b a b a =()0,0>≥b a 。
二、新课 把式子b a ba =()0,0>≥b a 反过来，得到b a b a =()0,0>≥b a 这是二次根式的除法法则。
运用这个法则可以进行二次根式的除法运算。
例1 计算 （1）672； （2）61211÷。
解：(1) 672=3232321267222=⨯=⨯== (2) 61211÷=6123÷=6123÷=623⨯=9=3练习1：计算（1）354- （2）531513÷例2 计算：（1）4540（2）345653n m n m ÷ 解：（1）4540=32298984540=== （3）345653n m n m ÷=mn n m n m n m n m n m n m 5353535353222234563456====指出：在（2）中把两个二次根式中的根号外面的数与被除数开方数分别相除，然后取其积。
练习2：（1）188146÷ （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷233212y x xy （3）y x y x x -÷-224 例3 计算 （1）21223222330÷⨯; (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷b a a b b a ab b 3252362 分析：二次根式乘除的混合运算与有理数的乘除混合运算一样，按先后顺序进行。
第二十一章二次根式 辅导讲义
求：（1） ；（2） ；（3）你会算 吗？
6．当x= 时，求 + 的值．（结果用最简二次根式表示）
教师评定：
1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差○没做作业
2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差
教师签字：
家长签字：___________
4．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（ ）2，5=（ ）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：
（ -1）2=（ ）2-2·1· +12=2-2 +1=3-2
反之，3-2 =2-2 +1=（ -1）2
例2．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2） × =4× × =4 × =4 =8
例3．已知 ，且x为偶数，求（1+x） 的值．
例4．观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
= = -1，
= = - ，
同理可得： = - ，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
A．13 B． C．10 D．5
4．（ -3 +2 ）× 的值是（）．
A． -3 B．3 - C．2 - D． -
5．计算（ + ）（ - ）的值是（）．
A．2 B．3 C．4 D．1
二、填空题
1．在 、 、 、 、 、3 、-2 中，与 是同类二次根式的有________．
2．计算二次根式5 -3 -7 +9 的最后结果是________．
人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习
人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习【知识点】1.二次根式的定义：二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。
2.平方根的性质：a) 对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a · √b。
b)对于任意非负实数a和b，有√(a/b)=√a/√b。
c)对于任意非负实数a和b，有√a+√b≠√(a+b)。
d)对于任意非负实数a和b，有√a-√b≠√(a-b)。
e)在二次根式的分母中，不能包含含有根号的项。
3.二次根式的运算：a)二次根式的加减运算：将同类项相加减，并化简。
b)二次根式的乘除运算：将二次根式的底数进行乘除运算，并化简。
c)二次根式的化简：将二次根式的底数分解质因数，并化简。
4.二次根式的画线运算：对于二次根式的运算式，可以使用欧拉公式或有理化等方法，将二次根式的运算式写成一般的数学运算表达式。
【练习题】1.计算下列二次根式的值：a)√9b)√(5+3)c)√(12+2√3-7√5)d)√(15-7√2+8√3-14√6)2.化简下列二次根式：a)√(3+2√2)b)√32-√18c)√(6-4√3+2√6)d)√(√(8-3√5))3.将下列二次根式化简，并且写成最简形式：a)√(6√2-3√18)b)√(5+2√3-√(8-2√5))c)√(10-4√6+√(24-10√6))d)√(6+√(8-4√3+3√(4-2√3)))4.计算下列二次根式的值：a)(√3+√2)²b)(√5-√3)·(√5+√3)c)(√2+√3)²-2√6d)(√5+√6)²+2√305.给出二次根式的运算结果：a)(√2+2)²b)(√(3-2√2)+√(3+2√2))²c)(√(8-4√3)-√(6-2√3))²d)(√(12-4√5)+√(3-2√5))²。
第21章 二次根式
第21章 二次根式 21．1 二次根式1．理解二次根式的概念，并利用a(a ≥0)的意义解答具体题目． 2．理解a(a ≥0)是非负数和(a)2＝a.3．理解a 2＝a(a ≥0)并利用它进行计算和化简．重点1．形如a(a ≥0)的式子叫做二次根式．2.a(a ≥0)是一个非负数；(a)2＝a(a ≥0)及其运用．3.a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a<0）.难点利用“a(a ≥0)”解决具体问题．关键：用分类思想的方法导出a(a ≥0)是一个非负数；用探究的方法导出a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a<0）.一、复习引入回顾：当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义． 二、探究新知概括：a(a ≥0)表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a(a ≥0)是一个非负数，它的平方等于a.即有：(1)a ≥0(a ≥0)；(2)(a)2＝a(a ≥0)． 形如a(a ≥0)的式子叫做二次根式．注意：在a 中，a 的取值必须满足a ≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数． 思考：a 2等于什么？我们不妨取a 的一些值，如2，－2，3，－3等，分别计算对应的a 2的值，看看有什么规律．概括：当a ≥0时，a 2＝a ；当a<0时，a 2＝－a. 三、练习巩固1．x 取什么实数时，下列各式有意义？(1)3－4x ； (2)x ＋1x －2； (3)（x －3）2； (4)3x －4＋4－3x. 2．计算下列各式的值： (1)(18)2; (2)(23)2；(3)(94)2; (4)(35)2.3．若a＋1＋b－1＝0，求a2020＋b2020的值．4．化简：(1)9；(2)（－4）2；(3)25；(4)（－3）2.5．若－3≤x≤2时，试化简|x－2|＋（x＋3）2.四、小结与作业小结1．师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：(1)(a)2＝a(a≥0)；(2)当a≥0时，a2＝a；当a<0时，a2＝－a.2．通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流．布置作业从教材相应练习和“习题21.1”中选取．本节课从复习算术平方根入手引入二次根式的概念，再通过特殊数据的计算，理解二次根式的有关性质，经历观察、归纳、分类讨论等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法.21.2二次根式的乘除21．2.1二次根式的乘法理解a·b＝ab(a≥0，b≥0)，并利用它们进行计算和化简．由具体数据发现规律，导出a·b＝ab(a≥0，b≥0)并运用它进行计算．通过探究a·b＝ab(a≥0，b≥0)，培养特殊到一般的探究精神，培养学生对事物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣．重点a·b＝ab(a≥0，b≥0)及它的应用．难点发现规律，导出a·b＝ab(a≥0，b≥0)．一、情境引入1．填空：(1)4×9＝________，4×9＝________；(2)16×25＝________，16×25＝________；(3)100×36＝________，100×36＝________．参照上面的结果，用“>”、“<”或“＝”填空．4×9________4×9；16×25________16×25； 100×36________100×36. 2．利用计算器计算填空．2×3________6； 2×5________10； 5×6________30； 4×5________20. 二、探究新知(学生活动)让3，4个同学上台总结规律．教师点评：(1)被开方数都是正数；(2)两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积．一般地，对二次根式的乘法规定为a·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)． 例1 计算：(1)5×7； (2)13×9； (3)12× 6. 解：(1)5×7＝35； (2)13×9＝13×9＝3； (3)12×6＝12×6＝ 3. 三、练习巩固1．直角三角形两条直角边的长分别为15 cm 和12 cm ，那么此直角三角形斜边长是( )A ．3 2 cmB ．3 3 cmC ．9 cmD ．27 cm 2．化简a－1a的结果是( ) A .－a B . a C ．－－a D ．－ a3．等式x －1·x ＋1＝x 2－1成立的条件是( ) A ．x ≥1 B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤－1 4．下列各等式成立的是( ) A ．45×25＝8 5 B ．53×42＝20 5 C ．43×32＝7 5 D ．53×42＝20 6 四、小结与作业 小结1．由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流．2．教师总结归纳二次根式的乘法规定a·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)． 布置作业从教材“习题21.2”中选取．这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出a·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)，并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣．21．2.2 积的算术平方根1．理解ab ＝a·b(a ≥0，b ≥0)． 2．运用ab ＝a·b(a ≥0，b ≥0)．重点ab ＝a·b(a ≥0，b ≥0)及其应用． 难点ab ＝a·b(a ≥0，b ≥0)的理解与应用．一、情境引入一般地，对二次根式的乘法规定为a·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)．反过来，ab ＝a·b(a ≥0，b ≥0)． 二、举例分析教师用多媒体出示例1，引导学生利用ab ＝a·b(a ≥0，b ≥0)直接化简． 例1 化简：(1)9×16； (2)16×81； (3)81×100； (4)54.解：(1)9×16＝9×16＝3×4＝12； (2)16×81＝16×81＝4×9＝36； (3)81×100＝81×100＝9×10＝90； (4)54＝9×6＝32×6＝3 6.教师用多媒体出示例2，学生板演，集体讲评，注意引导学生理解并掌握积的算术平方根应用的条件：a ≥0，b ≥0.例2 判断下列各式是否正确，不正确的请改正：(1)（－4）×（－9）＝－4×－9； (2)41225×25＝4×1225×25 ＝41225×25＝412＝8 3. 三、练习巩固 1．化简：(1)20；(2)18；(3)24；(4)54.2．自由落体的公式为s ＝12gt 2(g 为重力加速度，它的值约为10 m /s 2)，若物体下落的高度为120 m ，则下落的时间是________s .四、小结与作业 小结1．通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流． 2．教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即 ab ＝a·b(a ≥0，b ≥0)． 布置作业从教材“习题21.2”中选取．本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力.21.2.3 二次根式的除法1．理解a b ＝a b (a ≥0，b>0)和a b ＝a b(a ≥0，b>0)，并运用它们进行计算．2．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．3．理解最简二次根式的概念，并运用它将不是最简二次根式的化成最简二次根式．重点1．理解a b＝a b (a ≥0，b>0)，a b ＝ab(a ≥0，b>0)及利用它们进行计算和化简． 2．最简二次根式的运用． 难点发现规律，归纳出二次根式的除法规定．最简二次根式的运用．一、情境引入(学生活动)请同学们完成下列各题．1．写出二次根式的乘法规定及逆向公式． 2．填空： (1)916＝________，916＝________； (2)1636＝________，1636＝________； (3)416＝________，416＝________； (4)3681＝________，3681＝________． 规律：9 16________916；1636________1636；4 16________416；3681________3681.3．利用计算器计算填空：(1)34＝________；(2)23＝________；(3)25＝________；(4)78＝________．规律：3 4________34；23________23；2 5________25；78________78.教师用多媒体展示，每组推荐一名同学阐述运算结果，教师最后点评．二、探究新知刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定a b ＝ab(a≥0，b>0)．反过来，ab＝ab(a≥0，b>0)．下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．例1计算：(1)123；(2)32÷18；(3)14÷116；(4)648.解：(1)123＝123＝4＝2；(2)32÷18＝32÷18＝32×8＝3×4＝3×4＝23；(3)14÷116＝14÷116＝14×16＝4＝2；(4)648＝648＝8＝2 2.例2化简：(1)63；(2)3 64；(3)15；(4)68.解：(1)63＝37；(2)364＝364＝38；(3)15＝55×5＝55；(4)68＝6×28×2＝32.观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有这些特点：(1)被开方数中不含分母；(2)被开方数中所含的因数(或因式)的幂的指数都小于2.教师在此过程中强调，要求最后结果化成最简二次根式．三、练习巩固1．化简：(1)3512；(2)－172－132；(3)2－13；(4)13－2.2．已知1－aa2＝1－aa，则a的取值范围是________．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.5 cm，BC＝6 cm，求AB的长．第1题可由学生自主完成，第2、3题教师可给予相应的指导．四、小结与作业小结请若干学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上．布置作业从教材“习题21.2”中选取．本课时教学突出学生主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据得出规律，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情．21．3二次根式的加减1．掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式．2．掌握二次根式加减乘除混合运算的方法．重点二次根式加减法的运算．难点探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算．一、情境引入1．合并同类项：(1)2x＋3x；(2)2x2－3x2＋5x2.解：(1)5x；(2)4x2.这几道题是你运用什么知识做的？加减法则．2．化简：(1)53；(2)48.解：(1)153；(2)4 3.3．如何进行二次根式的加减计算？先化简，再合并．4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．如22与32；28，38与58.二、探究新知例1计算：(1)22＋32；(2)28－38＋58；(3)7＋27＋39×7；(4)33－23＋ 3.教师多媒体展示例1.(1)如果我们把2当成x，不就转化成上面的问题了吗？因此，二次根式的被开方数相同的可以合并，如22与8表面上看是不同的，但它们可以合并．归纳：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并．例2计算：(1)212－613＋348；(2)(12＋20)＋(3－5)．教师多媒体展示例2.学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．三、练习巩固1．下列计算是否正确？为什么？(1)8－3＝8－3；(2)4＋9＝4＋9；(3)32－2＝2 2.2．以下二次根式：①12；②22；③23；④27中，与3是同类二次根式的是()A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④3．计算：(1)80－20＋5；(2)18＋(98－27)；(3)12(2＋3)－34(2＋27)； (4)348－913＋312. 4．已知x ＝3＋1，y ＝3－1，求下列各式的值． (1)x 2＋2xy ＋y 2； (2)x 2－y 2.教师多媒体展示，点名回答第1，2题，第3题学生板演，教师点评． 四、小结与作业 小结请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点． 布置作业从教材相应练习和“习题21.3”中选取．本节课通过复习整式的加减法、合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，对法则的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣．。
第二十一章二次根式
第二十一章二次根式【知识概念图表】【易混易错剖析】1. 对于最简二次根式和同类二次根式概念的理解不到位而出现错误。
尤其是最简二次根式的概念，学生往往未深入理解，把握不准。
典型示例：①下列根式是最简二次根式的是（ ） A 、a 8 B 、22b a + C 、x 1.0 D 、5a②下列根式是同类二次根式的是（ ）A 、a 8和a 9B 、22b a +和2)(b a + C 、80和45 D 、5b 和5a常见错误： ① 选C 的多； ② 选A 和B 的多； 解析点评：①本题主要考查最简二次根式的概念。
最简二次根式有两个特点：ⅰ被开方数不含分母；ⅱ被开方数不含能开得尽方的因数或者因式。
满足以上两个条件的二次根式叫做最简二次根式。
其实通俗地讲，其一就是被开方数的因式中，不能有分数和小数，不能有分式，也就是根号下不能含有分母，其实，根号下含有分母不是最简的，并且分母中含有根号也同样不是最简的；其二就是当我们把被开方数分解之后，质因数或因式的指数不得大于或等于了2。
本题中A.a 8由于被开方数的因数8是等于32的，本式可化简a a 228=，所以A 选项不是最简的；B.选项22b a +虽然被开方数的字母中有指数等于了2，但是那不是因式的指数，并且22b a +的被开方数22b a +是不能分解的，只能看成（22b a +）×1，因式（22b a +）的次数是1，因而22b a +是最简二次根式；C.选项x 1.0的被开方数中含有因数0.1，即101，所以也不是最简二次根式；D.选项5a 的被开方数的因式的指数是5，大于或等于了2，因而也不是最简二次根式。
所以正确的答案应当是：B 。
本题启示：要判断一个根式是不是最简二次根式，要注意两点：其一就是被开方数不能含有分母；其二就是被开方数的质因数或因式的指数不得大于或等于了2。
②本题主要考查同类二次根式的概念。
同类二次根式，就是往往要先化简后才能识别，根指数是“2”是前提，另外，化简后被开方数必须是相同的，至于它前面的倍数是多少与它是不是同类二次根式无关。
第二十一章 二次根式
初中数学二次根式第二十一章二次根式教材内容1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2）理解a（a≥0）是一个非负数，（a）2=a（a≥0），2a=a（a≥0）．（3）掌握a²b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a²b；a b=ab（a≥0，b>0），ab=ab（a≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点1．二次根式a（a≥0）的内涵．a（a≥0）是一个非负数；（a）2＝a（a≥0）；2a=a（a ≥0）•及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念．4．二次根式的加减运算．教学难点1．对a（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（a）2＝a（a≥0）及2a=a（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：21．1 二次根式3课时21．2 二次根式的乘法3课时21．3 二次根式的加减3课时教学活动、习题课、小结2课时21．1 二次根式第一课时教学内容，；了，吗，7教学目标理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．B A C问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x=3，所以所求点的坐标（3，3）．问题2：由勾股定理得AB=10问题3：由方差的概念得S= 4 6.二、探索新知很明显3、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a （a ≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，a 有意义吗？老师点评:（略）例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x ≥0，y •≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：2、x （x>0）、0、-2、x y +（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：33、1x、42、1x y+． 例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•31x -才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13时，31x -在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材P 练习1、2、3． 四、应用拓展 例3．当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++11x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和11x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1 当x ≥-32且x ≠-1时，23x ++11x +在实数范围内有意义． 例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求xy的值．(答案:2)(2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业1．教材P 8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计 一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A ．-7 B ．37 C ．x D ．x2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A ．4 B ．16 C ．8 D ．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A ．5 B ．5 C ．15D ．以上皆不对 二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x 是多少时，23x x++x 2在实数范围内有意义？ 3．若3x-+3x -有意义，则2x -=_______．4.使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数5.已知a 、b 为实数，且5a -+2102a-=b+4，求a 、b 的值．第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B 二、1．a （a ≥0） 2．a 3．没有三、1．设底面边长为x ，则0.2x 2=1，解答：x=5．2．依题意得：2300x x +≥⎧⎨≠⎩，320x x ⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x ≠0时，23x x +＋x 2在实数范围内没有意义．3.134．B 5．a=5，b=-421.1 二次根式(2)第二课时教学内容 1．a （a ≥0）是一个非负数； 2．（a ）2=a （a ≥0）．教学目标 理解a （a ≥0）是一个非负数和（a ）2=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a （a ≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a ）2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键 1．重点：a （a ≥0）是一个非负数；（a ）2=a （a ≥0）及其运用．2．难点、关键：用分类思想的方法导出a （a ≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（a ）2=a（a ≥0）． 教学过程一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？ 2．当a ≥0时，a 叫什么？当a<0时，a 有意义吗？老师点评（略）． 二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）a （a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出a （a ≥0）是一个非负数．做一做：根据算术平方根的意义填空：（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；（13）2=______；（72）2=_______；（0）2=_______．老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（13）2=13，（72）2=72，（）2=0，所以（a ）2=a （a ≥0）例1 计算1．（32）2 2．（35）2 3．（56）2 4．（72）2分析：我们可以直接利用（a ）2=a （a ≥0）的结论解题．解：（32）2 =32，（35）2 =32²（5）2=32²5=45， （56）2=56，（72）2=22(7)724． 三、巩固练习 计算下列各式的值：（18）2 （23）2 （94）2 （0）2 （478）222(35)(53)-四、应用拓展 例2 计算1．（1x +）2（x ≥0） 2．（2a）2 3．（221a a ++）24．（24129x x -+）2分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2²2x ²3+32=（2x-3）2≥0． 所以上面的4题都可以运用（a ）2=a （a ≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x ≥0，所以x+1>0 （1x +）2=x+1（2）∵a 2≥0，∴（2a ）2=a 2（3）∵a 2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 ，∴221a a ++=a 2+2a+1（4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2²2x ²3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x 2-12x+9≥0，∴（24129x x -+）2=4x 2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握： 1．a （a ≥0）是一个非负数；2．（a ）2=a （a ≥0）;反之:a=（a ）2（a ≥0）．六、布置作业1．教材P 8 复习巩固2．（1）、（2） P 9 7．2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第二课时作业设计 一、选择题 1．下列各式中15、3a、21b -、22a b +、220m +、144-，二次根式的个数A ．4B ．3C ．2D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0 D ．a=0 二、填空题 1．（-3）2=________．2．已知1x +有意义，那么是一个_______数．三、综合提高题 1．计算（1）（9）2 （2）-（3）2 （3）（126）2 （4）（-323）2(5)(2332)(2332)+-2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）16（4）x （x ≥0） 3．已知1x y -++3x -=0，求x y 的值．4．在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-5第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C 二、1．3 2．非负数三、1．（1）（9）2=9 （2）-（3）2=-3 （3）（126）2=14³6=32（4）（-323）2=9³23=6 (5)-6 2．（1）5=（5）2 （2）3.4=（ 3.4）2（3）16=（16）2 （4）x=（x ）2（x ≥0）3．103304x y x x y -+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩x y =34=81 4.（1）x 2-2=（x+2）（x -2）（2）x 4-9=（x 2+3）（x 2-3）=（x 2+3）（x+3）（x -3）21.1 二次根式(3)第三课时教学内容2a ＝a （a ≥0）教学目标 理解2a =a （a ≥0）并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究2a =a （a ≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键 1．重点：2a ＝a （a ≥0）．2．难点：探究结论． 3．关键：讲清a ≥0时，2a ＝a 才成立．教学过程 一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容； 1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式；2．a （a ≥0）是一个非负数； 3．(a )2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0时，2a =a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知 （学生活动）填空：22=_______；20.01=_______；21()10=______；22()3=________；20=________；23()7=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：22=2；20.01=0.01；21()10=110；22()3=23；20=0；23()7=37．因此，一般地：2a =a （a ≥0）例1 化简 （1）9 （2）2(4)- （3）25 （4）2(3)-分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用2a =a （a ≥0）•去化简． 解：（1）9=23=3 （2）2(4)-=24=4 （3）25=25=5 （4）2(3)-=23=3三、巩固练习 教材P 7练习2． 四、应用拓展例2 填空：当a ≥0时，2a =_____；当a<0时，2a =_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 可以是什么数？（3）2a >a ，则a 可以是什么数？分析：∵2a =a （a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0时，2a =2()a -，那么-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知2a =│a│，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1）因为2a =a ，所以a ≥0；（2）因为2a =-a ，所以a ≤0；（3）因为当a ≥0时2a =a ，要使2a >a ，即使a>a 所以a 不存在；当a<0时，2a =-a ，要使2a >a ，即使-a>a ，a<0综上，a<0例3当x>2，化简2(2)x --2(12)x -．分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握：2a =a （a ≥0）及其运用，同时理解当a<0时，2a ＝－a 的应用拓展．六、布置作业1．教材P 8习题21．1 3、4、6、8．2．选作课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第三课时作业设计 一、选择题1．2211(2)(2)33+-的值是（ ）．A ．0B ．23 C ．423D ．以上都不对 2．a ≥0时，2a 、2()a -、-2a ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．A ．2a =2()a -≥-2aB ．2a >2()a ->-2a C ．2a <2()a -<-2a D ．-2a >2a =2()a -二、填空题 1．-0.0004=________．2．若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求a+212a a -+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+2(1)a -=a+（1-a ）=1； 乙的解答为：原式=a+2(1)a -=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 2．若│1995-a │+2000a -=a ，求a -19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值） 3. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│+2(3)x ++21025x x -+。
新人教版九(上)第二十一章《二次根式》全章精品教案-1.doc
21.3二次根式的加减(4)教学目的：1、使学生运用平方差公式进行二次根式的混合运算；2、理解两个含二次根式的式子互为有理化因式的概念，并会求含二次根式的代数式的有理化因式；3、会将分母为含两个二次根式的和（或差）的式子进行化简，并求出这些式子的近似值。
教学重点：运用平方差公式进行二次根式的混合运算及将分母为两个二次根式的和（或差）的式子进行化简教学难点：掌握分母有理化的多种方法 教学过程： 一、复习在整式乘法公式中平方差公式是什么？答：22))((b a b a b a -=-+，这个公式对二次根式也适用。
二、新课1、运用平方差公式进行二次根式的混合运算 例1 计算：（1）()()6363-+ （2）()()by ax by ax 5252---问：请同学们观察上面各题中，相乘的两个代数式的结构有什么特点？ 两数的和与这两数的差相乘，可以运用平方差公式，进行计算化简。
解：（1）()()6363-+=22)6()3(-=3-6= -3（2）()()by ax by ax 5252---=()()ax by ax by 2525+---=22)2()5(ax by --=25by-4ax问：上面各题的运算结果有什么共同特点？答：运算结果都是有理数或有理式，不再含有二次根式。
两个含二次根式的代数式，如果它们的积不含有二次根式，我们把这两个代数式叫做 互为有理化因式。
2、互为有理化因式的应用首先要根据互为有理化因式的概念，判断两个含二次根式的式子是否互为有理化因式。
例如：a 与a 或a 2；63+与63-是互为有理式因式。
而a 与a 2，52+与72-不是互为有理式因式。
其次要根据互为有理化因式的概念求出一个含二次根式的代数式的有理化因式。
例2 求下列各式的有理化因式：（1）38a ； （2）625+; (3)ab a -2;（4）b a a +-3； （5）n m n m -++； （6）y x --。
第二十一章 “二次根式”简介
第二十一章“二次根式”简介1. 什么是二次根式在数学中，二次根式是指形如√a的表达式。
其中，a是一个非负实数。
二次根式也可以写成幂的形式，即a的1/2次方。
对于任意实数a和b，若a≥0，则有√a * √b = √(a * b)。
二次根式在代数中有广泛的应用，尤其在解方程、求根和平方根等问题中起着重要的作用。
2. 二次根式的性质二次根式有许多独特的性质，下面介绍其中的一些重要性质。
•二次根式的值域对于任意非负实数a，二次根式√a的值域是[0, +∞)。
这是因为如果a为非负实数，那么√a的值必然大于等于0。
•二次根式的化简当二次根式的内部包含有完全平方数时，可以通过化简来简化表达式。
例如，√16可以化简为4，因为4是16的一个平方根。
•二次根式的运算二次根式可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
例如，√a + √b可以化简为√(a + b)。
•二次根式的公式二次根式有一些特殊的公式，如平方差公式(√a + √b)(√a - √b) = a - b。
•二次根式的应用二次根式在几何中也有广泛的应用，如计算三角形的边长、面积和体积等。
3. 二次根式的求解求解二次根式的过程通常包括以下几个步骤：1.判断二次根式的值域，即确定a的取值范围；2.根据题目中给出的条件，列写方程；3.对方程进行变形和化简，将二次根式的形式转化为一次根式或其他形式；4.解方程，求出a的值；5.将a的值代入原方程，求出二次根式的值。
4. 二次根式的扩展除了普通的二次根式，还有一些涉及到复数的扩展形式。
•虚数单位i 虚数单位i定义为i^2 = -1。
虚数单位i可以用来表示负数的平方根，例如√-1 = i。
•复数复数是由实数和虚数单位i构成的数。
复数可以表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数。
复数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
•共轭复数共轭复数是指具有相同实部但虚部互为相反数的两个复数。
例如，a + bi和a - bi就是一对共轭复数。
第二十一章二次根式
第二十章 二次根式一． 基础知识1.二次根式的意义形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。
如：)0(2),1(1,2≥-≥+a ax x 等都是二次根式。
2.最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
3.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
4.二次根式的主要性质（1）（a 2)=a )0(≥a 。
（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a(3) ).0,0(≥≥⋅=b a b a ab（4）ab ab = )0,0(≥≥a b5.二次根式的运算（1）因式的外移和内移如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。
反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。
（2）有理化因式与分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，若它式。
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（3）二次根式的加、减法先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。
（4）二次根式的乘、除法 二次根式相乘（除），把被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式。
（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。
6.根式)0,0(≥≥a b ab的化简方法 （1）把a b 化为,ab 然后分母有理化为.a ab（2）利用商的算术平方根的性质和分式的基本性质化去根号内的分母，即ab=.2a ab a ab = 7.运用积的算术平方根的性质[)0,0(,ab ≥≥⋅=b a b a ],二次根式的性质[)0(2≥=a a a ]及因式分解等知识化简二次根式K （K 的值为大于或等于零的整式）。
第二十一章 二次根式
第二十一章 二次根式21.1 二次根式(1)学习要求：了解二次根式的概念，会求二次根式中被开方式所含字母的取值范围． 做一做： 填空题：1．要使根式3-x 有意义，则字母x 的取值范围是______． 2．当x ______时，式子121-x 有意义． 3．要使根式234+-x x有意义，则字母x 的取值范围是______． 4．若14+a 有意义，则a 能取得的最小整数值是______． 5．若x x -+有意义，则=+1x ______．6．使等式032=-⋅+x x 成立的x 的值为______．7．一只蚂蚁沿图1中所示的折线由A 点爬到了C 点，则蚂蚁一共爬行了______cm ．(图中小方格边长代表1cm)图1选择题：8．使式子23+x 有意义的实数x 的取值范围是( ) (A)x ≥0(B)32->x (C)23-≥x (D)32-≥x 9．使式子2||1+-x x 有意义的实数x 的取值范围是( )(A)x ≥1 (B)x ＞1且x ≠－2 (C)x ≠－2 (D)x ≥1且x ≠－2 10．x 为实数，下列式子一定有意义的是( )(A)21x (B)x x +2(C)112-x (D)12+x11．有一个长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是( )(A)cm 41 (B)cm 34 (C)cm 25 (D)cm 3512．如图2，点E 、F 、G 、H 、I 、J 、K 、N 分别是正方形各边的三等分点，要使中间阴影部分的面积是5，那么大正方形的边长应是( )图2(A)525 (B)53 (C)25 (D)54解答题13．要使下列式子有意义，字母x 的取值必须满足什么条件?(1)1||21--x x(2)x +--21 (3)232+x (4)x x 2)1(- (5)222++x x14．如图3，在6×6的网格(小正方形的边长为1)中有一个△ABC ，请你求出这个△ABC 的周长．图315．一个圆的半径为1 cm ，和它等面积的正方形的边长是多少?16．有一块面积为(2a ＋b )2π的圆形木板，挖去一个圆后剩下的木板的面积是(2a －b )2π，问所挖去的圆的半径多少?17．(1)已知05|3|=-++y x ，求yx的值；(2)已知01442=+++++y x y y ，求y x的值．18．2006年黄城市全年完成国内生产总值264亿元，比2005年增长23％，问：(1)2005年黄城市全年完成国内生产总值是多少亿元(精确到1亿元)?(2)预计黄城市2008年国内生产总值可达到386.5224亿元，那么2006年到2008年平均年增长率是多少?(下列数据供计算时选用22.14884.1,21.14641.1==)．问题探究：已知实数x 、y 满足324422+--+-=x x x y ，求9x ＋8y 的值．21.1 二次根式(2)学习要求：掌握二次根式的三个性质：a ≥0(a ≥0)；(a )2＝a (a ≥0)；||2a a =． 做一做： 填空题：1．当a ≥0时，=2a ______；当a ＜0时，2a ＝______． 2．当a ≤0时，=23a ______；=-2)23(______． 3．已知2＜x ＜5，化简=-+-22)5()2(x x ______．4．实数a 在数轴上的位置如图所示，化简：=-+-2)2(|1|a a ______．5．已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c 则=+----||)(2c a b c b a ______． 6．若22)()(y x y x -=-，则x 、y 应满足的条件是______． 7．若0)2(|4|2=-+++x y x ，则3x ＋2y ＝______． 8．直线y ＝mx ＋n 如图4所示，化简：|m －n |－2m ＝______．图49．请你观察、思考下列计算过程：因为112＝121，所以11121=，同样，因为1112＝12321，所以=12321111，……由此猜想=76543211234567898______． 选择题：10．36的平方根是( )(A)6(B)±6(C)6(D)±611．化简2)2(-的结果是( ) (A)－2 (B)±2 (C)2 (D)412．下列式子中，不成立的是( )(A)6)6(2=(B)6)6(2=--(C)6)6(2=-(D)6)6(2-=--13．代数式)0(2=/a a a 的值是( )(A)1(B)－1(C)±1(D)1(a ＞0时)或－1(a ＜0时)14．已知x ＜2，化简442+-x x 的结果是( )(A)x －2(B)x ＋2 (C)－x ＋2 (D)2－x15．如果2)2(2-=-x x ，那么x 的取值范围是( )(A)x ≤2(B)x ＜2(C)x ≥2(D)x ＞216．若a a -=2，则数a 在数轴上对应的点的位置应是( )(A)原点(B)原点及原点右侧 (C)原点及原点左侧(D)任意点17．若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简|3|2x x +的结果是( )(A)4x(B)－4x(C)2x(D)－2x18．不用计算器，估计13的大致范围是( )(A)1＜13＜2 (B)2＜13＜3 (C)3＜13＜4 (D)4＜13＜519．某同学在现代信息技术课学了编程后，写出了一个关于实数运算的程序：输入一个数值后，屏幕输出的结果总比该数的平方小1，若某同学输入7后，把屏幕输出的结果再次输入，则最后屏幕输出的结果是( ) (A)6 (B)8 (C)35 (D)37解答题： 20．计算：(1);)12(|3|)2(02---+-(2)⋅-+-|21|2)3(0221．化简：(1));1()2()1(22>++-x x x (2).||2)(2x y y x ---22．已知实数x ，y 满足04|5|=++-y x ，求代数式(x ＋y )2007的值．23．已知x x y y x =-+-+7135，求2)3(|1|-+-y x 的值．24．在实数范围内分解因式：(1)x 4－9； (2)3x 3－6x ； (3)8a －4a 3； (4)3x 2－5．25．阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：先化简下式，再求值：221a a a +-+，其中a ＝9时，得出了不同的答案．小明的解答是：原式＝1)1()1(2=-+=-+a a a a ；小芳的解答是：原式＝1719212)1()1(2=-⨯=-=--=-+a a a a a ．(1)______的解答是错误的；(2)说明错误的原因．26．细心观察图5，认真分析各式，然后解决问题．图5;21,21)1(12==+S ;22,31)2(22==+S;23,41)3(32==+S…… ……(1)请用含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出21024232221S S S S S +++++Λ的值．27．一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：秒)与开始落下时的高度h (单位：米)有下面的关系式：⋅≈5h t (1)已知h ＝100米，求落下所用的时间t ；(结果精确到0.01)(2)一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多少时间?(每层楼高约3.5米，手拿物体高为1.5米)(结果精确到0.01)(3)如果一物体落地的时间为3.6秒，求物体开始下落时的高度．问题探究：同学们一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧!蚂蚁能举起比它的体重重许多倍的火柴棒，而大象举起的却是比自己体重轻许多倍的一截圆木，结果蚂蚁获得了举重冠军!我们这里谈论的话题是：蚂蚁和大象一样重吗?我们知道，即使是最大的蚂蚁与最小的大象，它们的重量明显不是一个数量级的．但是下面的推导却让你大吃一惊：蚂蚁和大象一样重!设蚂蚁重量为x 克，大象的重量为y 克，它们的重量和为2a 克，则x ＋y ＝2a ． 两边同乘以(x －y )，得(x ＋y )(x －y )＝2a (x －y )， 即x 2－y 2＝2ax －2ay ．可变形为x 2－2ax ＝y 2－2ay ．两边都加上a 2，得(x －a )2＝(y －a )2． 两边开平方，得x －a ＝y －a ． 所以x ＝y ．这里竟然得出了蚂蚁和大象一样重，岂不荒唐!那么毛病究竟出在哪里呢?亲爱的同学，你能找出来吗?21.2 二次根式的乘除(1)学习要求：理解二次根式的乘法法则，即)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 的合理性，会运用法则进行计算，并会逆用乘法法则对二次根式进行化简．做一做： 填空题： 1．计算：ab a ⋅＝______． 2．已知xy ＜0，则=y x 2______．3．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简22b a 的结果是______．4．若,6)4()4)(6(2x x x x --=--则x 的取值范围是______． 5．在如图的数轴上，用点A 大致表示40：6．观察分析下列数据，寻找规律：0，3，6，3，23，15，23，……那么第10个数据应是______． 选择题：7．化简20的结果是( ) (A)25(B)52(C)102(D)548．化简5x -的结果是( )(A)x x2- (B)x x--2(C)x x-2(D)x x29．若a ≤0，则3)1(a -化简后为( ) (A)1)1(--a a (B)a a --1)1( (C)a a --1)1((D)1)1(--a a解答题： 10．计算：(1);63⨯ (2));7(21-⨯ (3));102(53-⨯(4));804()245(-⨯- (5));25.22(321-⨯ (6);656)3122(43⨯-⨯(7));152245(522-⨯(8);24)654(⨯- (9));3223)(3223(-+(10));23)(32(x y y x -+ (11);)10253(2+ (12);10253ab a ⋅(13));42(2212mn m m +-⋅ (14))12()321(123143z xy x x ⋅-⋅⋅．11．化简：(1));0(224≥-a b a a (2)⋅≥≥+-)0(23223a b ab b a b a12．计算：(1)|;911|)1π(8302+-+--+-(2).425.060sin 12)21(20082008o 2⨯---13．如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠B 的平分线BD 的长为4cm ，求这个三角形的三边长及面积．图1问题探究：在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm ，宽为16cm 的长方形纸板上，剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上)．请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积．21.2 二次根式的乘除(2)学习要求：理解二次根式除法运算法则，即b aba =(a ≥0，b ＞0)的合理性，会运用法则进行计算，了解最简二次根式的概念，会逆用除法法则对二次根式进行化简，掌握类比学习的方法．做一做： 填空题： 1．在4,21,8,6中，是最简二次根式的是______．2．某精密仪器的一个零件上有一个矩形的孔，其面积是42cm 2，它的长为5cm ，则这个孔的宽为______cm ． 3．2－3的倒数是______，65+的倒数是______．4．使式子3333+-=+-x xx x 成立的条件是______． 选择题：5．下列各式的计算中，最简二次根式是( ) (A)27(B)14(C)a1 (D)23a6．下列根式xy y x xy 53,,21,12,2+中最简二次根式的个数是( ) (A)1个 (B)2个(C)3个(D)4个7．化简273-的结果是( ) (A)27- (B)27+(C))27(3-(D))27(3+8．在化简253-时，甲的解法是：,25)25)(25()25(3253+=+-+=-乙的解法是：,2525)25)(25(253+=--+=-以下判断正确的是( )(A)甲的解法正确，乙的解法不正确 (B)甲的解法不正确，乙的解法正确(C)甲、乙的解法都正确(D)甲、乙的解法都不正确9．△ABC 的三边长分别为2、10、2，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和5，若△ABC ～△A 'B 'C '，则△A 'B 'C '的第三边的长应等于( ) (A)22(B)2(C)2 (D)2210．如图1，为了测量某建筑物AB 的高度，在平地上C 处测得建筑物顶端A 的仰角为30°，沿CB 方向前进12m 到达D 处，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为45°，则建筑物AB 的高度等于( )图1(A)m )13(6+ (B)m )13(6- (C)m )13(12+(D)m )13(12-11．计算)(baa b a b b a ÷的正确结果是( ) (A)b a(B)ab(C)22ba(D)112．若ab ≠0，则等式aba b a 135-⋅=--成立的条件是( ) (A)a ＞0，b ＞0(B)a ＜0，b ＞0(C)a ＞0，b ＜0(D)a ＜0，b ＜0解答题： 13．计算：(1);51 (2);208 (3);2814 (4);5)12(÷-(5));74(142-÷ (6));452()403(-÷-(7));6121(211-÷ (8);1543513÷- (9);45332b a b a ÷(10));6(322344c b a c b a -÷ (11);152)1021(23÷⨯(12);521431252313⨯÷ (13);653034y xy xy ⋅÷(14);3)23(235ab b a ab b ÷-⋅ (15));1843(3211233xy xy x -÷⋅(16)⋅-÷+)2332()2332(14．已知一个圆的半径是cm,90一个矩形的长是135πcm ，若该圆的面积与矩形的面积相等，求矩形的宽是多少?15．已知b a ==20,2，用含a ，b 的代数式表示：(1);5.12(2).016.016．已知：如图2，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝8．求△ABC 的面积．图217．阅读下列解题过程，根据要求回答问题：化简：)0(2323<<+--a b aba ab b a b a解：原式a b a b ab a 2)(--= ①aba b a b a --=)(②ab aa )1(⋅=③ ab =④(1)上面解答过程是否正确?若不正确，请指出是哪几步出现了错误? (2)请你写出你认为正确的解答过程．18．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式是glT π2=，其中T 表示周期(单位：秒)，l 表示摆长(单位：米)，g ＝9.8米/秒2，假若一台座钟的摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内这台座钟大约发出了多少次滴答声?(π取3.14)问题探究：借助计算器计算下列各题：(1);211- (2);221111- (3);222111111- (4).222211111111-仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律?你能解释这一规律吗?与同学交流一下想法．并用所发现的规律直接写出下面的结果：321321个个10012002222111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅＝______．21.3 二次根式的加减(1)学习要求：了解同类二次根式的概念，会辨别两个二次根式是否为同类二次根式．会进行简单的二次根式的加、减法运算，体会化归的思想方法．做一做： 填空题： 1．计算：=+28______．2．写出两个与2ab是同类二次根式的根式：______． 3．若最简二次根式123+x 与13-x 是同类二次根式，则x ＝______． 4．若最简二次根式b a +3与ba b 2+是同类二次根式，则a ＝______，b ＝______．5．计算：=+++-8)3321(|2|0______． 6．三角形的三边长分别为cm 20、cm 40、cm 45，这个三角形的周长是______cm ．选择题：7．计算312-的结果是( ) (A)3(B)3(C)32(D)338．下列二次根式中，属于最简二次根式的是( ) (A)a 4(B)4a(C)4a(D)4a 9．下列二次根式中，与2是同类二次根式的是( ) (A)27(B)12(C)10(D)810．在下列各组根式中，是同类二次根式的是( )(A)3和18(B)3和31 (C)b a 2和2ab (D)1+a 和1-a11．下列各式的计算中，成立的是( )(A)5252=+(B)15354=- (C)y x y x +=+22(D)52045=-12．若121,121+=-=b a 则)(ab b a ab -的值为( ) (A)2 (B)－2(C)2(D)22解答题：13．计算：(1);2523+ (2);188+ (3);50483122+-(4);312712-+ (5);202452321+-(6);12531110845--+ (7);)33()33(22++- (8);5.0753128132-+--(9))455112()3127(+--+； (10)231)13(3-++； (11)a a a aaa a 1084333273123-+-；问题探究教师节到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画送给老师，其中一个面积为800cm 2，另一个面积为450cm 2．他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2米金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗?如果不够用，还需买多长的金彩带?(2＝1.414，保留整数)21.3 二次根式的加减(2)学习要求会进行简单的二次根式的加、减、乘、除四则运算的混合运算． 做一做： 填空题：1．若最简根式12-a 与43-a 是同类二次根式，则a ＝______．2．计算：=+-⨯--++-|31|3)1π(27202______．3．计算：=+--22)3553()3553(______．4．计算：=-+-+814121218______． 5．若y ＜0，则=-33xy y x ______．6．化简：=-+xx x x x 5022322123______． 7．已知a ＋b ＝－8，ab ＝8，化简=+baa ab b______． 8．一青蛙在如图1的8×8的正方形(每个小正方形的边长为1)网格的格点(小正方形的顶点)上跳跃，青蛙每次所跳的最远距离为5，青蛙从点A 开始连续跳六次正好跳回到点A ，则所构成的封闭图形的面积的最大值是______．图1选择题：9．在二次根式16,8,4,2中同类二次根式的个数为( ) (A)4 (B)3(C)2(D)110．下列计算中正确的是( )(A)2323182=⨯= (B)134916916=-=-=- (C)24312312=== (D)a a 242=11．下列各组式子中，不是同类二次根式的是( )(A)81与18 (B)63与2825 (C)48与8.4 (D)125.0与12812．化简)22(28+-得( )(A)－2(B)22-(C)2(D)224-13．下列计算中，正确的是( )(A)562432=+ (B)3327=÷ (C)632333=⨯(D)3)3(2-=-14．下列计算中，正确的是( )(A)14931227=-=-(B)1)52)(52(=+-(C)23226=-(D)228=-15．化简aa a a a a 149164212-+的值必定是( ) (A)正数(B)负数(C)非正数(D)非负数16．若a ，b 为实数且211441+-+-=a ab ，则22-+-++b a a b b a a b 的值为( ) (A)22 (B)2(C)22-(D)32解答题：17．计算：(1))232)(232(-+； (2)2)32(+； (3)2145051183-+；(4);7232318283--+ (5)23)121543(÷-； (6)20072006)65()56()1245()31251(-⋅+++--；(7)33322)1(2m n m n m n m m n ÷-．18．如图2，大正方形的边长为515+，小正方形的边长为515-，求图中的阴影部分的面积．图219．阅读下面的解答过程，然后答题：已知a 为实数，化简aa a 13---． 解：原式.)1(1a a a aa a a --=-⋅--= (1)上述解答是否有错误?答：____________；(2)若有错误，错在______步，错误的原因是____________； (3)写出正确的解答过程．20．阅读理解题：如果按一定次序排列的三个数a ，A ，b 满足A －a ＝b －A ，即,2ba A +=则称A 为a ，b 的等差中项．如果按一定次序排列的三个数a ，G ，b 满足,Gba G =即G 2＝ab (a ，b 同号)，则称G 为a ，b 的等比中项．根据前面给出的概念，求25-和25+的等差中项和等比中项．问题探究：因为223)12(2-=-，所以,12223-=- 因为223)12(2+=+，所以,12223+=+因为347)32(2-=-，所以,32347-=-请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式： (1)625-； (2)⋅+249复 习学习要求：了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算和化简．做一做： 填空题： 1．在函数52-=x x y 中，自变量x 的取值范围是______．2．当x ＞2时，化简=-2)2(x ______．3．若数P 在数轴上如图所示，则化简=-+-22)2()1(P P ______．4．已知x x -+-11有意义，则x 的平方根为______． 5．当二次根式x 32-有意义时，y ＝|3x －1|的最小值是______． 6．若x ＜0，则=-xy x xy y 31______． 7．若最简二次根式83-a 与a 217-是同类二次根式，则a ＝______． 8．当31≤a 时，化简|13|9612-++-a a a 的结果是______． 9．若0966|2|2=+-+-+-z z y x ，则=⋅⋅z y x ______．选择题： 10．使根式x x 1+有意义的字母x 的取值范围是( )(A)x ＞－1 (B)x ＜－1(C)x ≥－1且x ≠0 (D)x ≥－111．已知a ＜0＜b ，化简2)(b a -的结果是( )(A)a －b (B)b －a(C)a ＋b(D)－a －b12．在32,9,,,45222x a y x xy +-中，最简二次根式的个数是( )(A)1(B)2(C)3(D)413．下列二次根式中，与35-是同类二次根式的是( )(A)18 (B)3.0 (C)30 (D)30014．计算28-的结果是( )(A)6(B)2(C)2(D)1.415．估算37(误差小于0.1)的大小是( ) (A)6 (B)6.0～6.1 (C)6.3(D)6.816．下列运算正确的是( )(A)171251251252222=+=+=+(B)1234949=-=-=-(C)20)4()5(1625)16()25(=-⨯-=-⨯-=-⨯-(D)1535)3()5(22=⨯=-⨯- 17．下列运算中，错误．．的是( ) (A)632=⨯(B)2221=(C)252322=+ (D)32)32(2-=-18．若把aa 1-的根号外的a 适当变形后移入根号内，结果是( ) (A)a -- (B)a -(C)a -(D)a19．小明的作业本上有以下四题：①24416a a =；②a a a 25105=⋅； ③;1.12a aa a a== ④.23a a a =-做错的题是( ) (A)① (B)②(C)③ (D)④20．若)()()(22m n m n n a a m >-=-+-成立，则a 的取值范围是( )(A)m ≤a ≤n(B)a ≥n 且a ≤m(C)a ≤m(D)a ≥n21．用计算器计算,1515,1414,1313,12122222--------…，根据你发现的规律，判断P ＝112--n n ，与1)1(1)1(2-+-+=n n Q ，(n 为大于1的整数)的值的大小关系为( )(A)P ＜Q(B)P ＝Q(C)P ＞Q(D)不能确定解答题： 22．计算：(1);483122+ (2);7002871-+ (3);8121332+-(4))56()56(+⨯-； (5)2)2332(-； (6)25)520(-÷+；(7)m m m m m m m 3361082273223-+-； (8).123132+++23．(1)当a ＜0时，化简aa a a -+-2212；(2)已知x 满足的条件为⎩⎨⎧<->+0301x x ，化简;129622++++-x x x x(3)实数a ，b 在数轴上表示如图，化简：.)()2()2(222b a b a ++--+24．(1)当a ＝5＋1，b ＝5－1时，求a 2b ＋ab 2的值；(2)当41=x ，y ＝0.81时，求31441y yx y x x ---的值．(3)已知154-的整数部分为a ，小数部分为b ，求a 2＋b 2的值．25．若12+x 与y -2互为相反数，求x y 的值．26．已知x ，y 为实数，且499+---=x x y ，求y x +的值．第二十一章 二次根式测试题填空题：(每题2分，共24分) 1．函数1-=x xy 的自变量x 的取值范围是______． 2．当x ______时，x x -+-31有意义． 3．若a ＜0，则b a 2化简为______．4．若3＜x ＜4，则=-++-|4|962x x x ______． 5．1112-=-⋅+x x x 成立的条件是______．6．若实数x 、y 、z 满足0412||22=+-+++-z z z y y x ，则x ＋y ＋z ＝______． 7．长方形的面积为30，若宽为5，则长为______． 8．当x ＝______时，319++x 的值最小，最小值是______． 9．若代数式22)3()1(a a -+-的值是常数2，则a 的取值范围是______．10．观察下列各式：,,514513,413412,312311ΛΛ=+=+=+请将猜想到的规律用含自然数n (n ≥1)的代数式表示出来是______．11．观察下列分母有理化的计算：,4545134341,23231,12121-=+-=+-=+-=+……，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：=+++++++++)12007)(200620071341231121(.Λ______．12．已知正数a 和b ，有下列结论：(1)若a ＝1，b ＝1，则1≤ab ； (2)若25,21==b a ，则23≤ab ；(3)若a ＝2，b ＝3，则25≤ab ； (4)若a ＝1，b ＝5，则3≤ab ．根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若a ＝6，b ＝7，则ab ≤______． 选择题：(每题2分，共24分) 13．已知xy ＞0，化简二次根式2xyx -的正确结果为( ) (A)y (B)y - (C)y -(D)y --14．若a ＜0，则||2a a -的值是( )(A)0 (B)－2a(C)2a(D)2a 或－2a15．下列二次根式中，最简二次根式为( )(A)x 9(B)32-x(C)xyx - (D)b a 2316．已知x 、y 为实数，且0)2(312=-+-y x ，则x －y 的值为( )(A)3 (B)－3 (C)1 (D)－117．若最简二次根式b 5与b 23+是同类二次根式，则－b 的值是( )(A)0(B)1(C)－1(D)31 18．下列各式：211,121,27，其中与3是同类二次根式的个数为( ) (A)0个(B)1个(C)2个(D)3个19．当1＜x ＜3时，化简22)3()1(++-x x 的结果正确的是( )(A)4 (B)2x ＋2 (C)－2x －2 (D)－420．不改变根式的大小，把aa --11)1(根号外的因式移入根号内，正确的是( ) (A)a -1 (B)1-a (C)1--a (D)a --121．已知m ≠n ，按下列(A)(B)(C)(D)的推理步骤，最后推出的结论是m ＝n ．其中出错的推理步骤是( )(A)∵(m －n )2＝(n －m )2(B )∴22)()(m n n m -=-(C)∴m －n ＝n －m (D)∴m ＝n22．如果a ≠0且a 、b 互为相反数，则在下列各组数中不是互为相反数的一组是( )(A)3a 与3b(B)2a 与2b(C)3a 与3b(D)a ＋1与b －123．小华和小明计算XXX)(442a a a +-+时，得出两种不同的答案．小华正确审题，得到的答案是“2a －2”，小明忽略了算式后面括号中的条件，得到的结果是“2”，请你判断，括号中的条件是( ) (A)a ＜2 (B)a ≥2 (C)a ≤2 (D)a ≠2 24．已知点A (3，1)，B (0，0)，C (3，0)，AE 平分∠BAC ，交BC 于点E ，则直线AE对应的函数表达式是( ) (A)332-=x y (B)y ＝x －2(C)13-=x y (D)23-=x y解答题：(第25题每小题4分，第26－29题每题4分，第30、31题每题6分) 25．计算：(1);21448)21(2+++ (2);836212739x x x ⨯+-(3));32)(32()32)(347(2-++-+(4);211)223(23822+--+⨯-(5);166193232x x x x x x +- (6)).0)](4327121(3[222≥--b ab ab ab a 26．若,03|9|22=--++mm n m 求3m ＋6n 的立方根．27．已知7979--=--x xx x 且x 为偶数，求132)1(22--++x x x x 的值．28．试求)364()36(3xy yxy xy y x y x+-+的值，其中23=x ，27=y ．29．已知正方形纸片的面积是32cm 2，如果将这个正方形做成一个圆柱，请问这个圆柱底面的半径是多少?(精确到0.1，π取3.14)30．已知：223,223-=+=b a ，求：ab 3＋a 3b 的值．31．观察下列各式及其验证过程：⋅+=+=833833;322322验证： ;3221222122)12(232)12(2322232322222233+=-+=-+-=+-=+-==⋅+=-+=-+-=+-=+-==8331333133)13(383)13(3833383833222233(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想一个类似的结果并验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为正整数，且n ≥2)表示的等式并给出证明．参考答案第二十一章 二次根式21.1 二次根式(1) 1．3≥x 2．21>x 3．34≤x 且x ≠－2 4．0 5．1 6．3 7．55+8．D 9．A 10．D 11．C 12．C 13．(1)⋅≤21x 且x ≠－1 (2)x ＜－2 (3)x 为任意实数 (4)x 为非零实数 (5)x 为任意实数 14．135+ 15．cm π 16．ab 22 17．53)1(-(2)－2 18．(1)215 (2)21％ 问题探究：6注意x ＝2时要舍去 21.1 二次根式(2)1．a ，－a 2．32,3--a 3．3 4．1 5．0 6．x ≥y 7．－6 8．n 9．111111111 10．D 11．C 12．B 13．D 14．D 15．C 16．C 17．D 18．C 19．C 20．(1)6 (2)25 21．(1)2x ＋1 (2)y －x 22．1 23．2 24．(1))3)(3)(3(2-++x x x (2))2)(2(3+-x x x (3))2)(2(4a a a +- (4))53)(53(+-x x25．(1)小明 (2)因为a ＝9，所以1－a ＜0，所以1)1(2-=-a a 26．(1)2,11)(2n S n n n =+=+ (2),21012110=⨯⨯OA 所以1010=OA (3)222221024232221)210()23()22()21(S S S S S ++++=++++ΛΛ434241++=455410=++Λ 27．(1)4.47秒 (2)1.76秒 (3)64.8米问题探究：略21.2 二次根式的乘除(1)1．b a 2．y x - 3．－ab 4．x ≤4 5．略 6．33 7．B 8．C 9．B 10．(1)23(2)37- (3)230- (4)30160 (5)15- (6)237-(7)1222-(8)24 (9)6 (10)9y 2－4x (11)26085+ (12)b a 230 (13)n m m 2+-(14)xz y x 2212-11．(1)22b a a - (2)ab a b )(- 12．(1)22 (2)0 13．2cm 36,cm 34,cm 6,cm 32====∆ABC S AB AC BC 问题探究：分三种情况计算：图1 图2 图3(1)当AE ＝AF ＝10cm 时(如图1)，S △AEF ＝50(cm 2) (2)当AE ＝EF ＝10cm 时(如图2)，BF ＝8(cm)，)cm (40212==⋅∆BF AE S AEF (3)当AE ＝EF ＝10cm 时(如图3)，⋅==∆)cm (515),cm (512AEF S DF21.2 二次根式的乘除(2)1．6 2．10543．56,32-+ 4．－3＜x ≤3 5．B 6．B 7．B 8．C 9．C 10．A 11．A 12．B 13．(1)55 (2)510 (3)22 (4)5510- (5)22- (6)2(7)－6 (8)332-(9)a ab 52 (10)c ab 23-(11)23(12)210 (13)6y 3 (14)ab b a 2- (15)x x y22- (16)625-- 14．cm 152 15．(1)a 5或a 25 (2)b a 52或ab25 16．31648-17．(1)不正确，第②③步出现了错误(2)原式ab ab aa ab a b b a a a b a b a b a =-⋅-=--=--=)1()()(2 18．42问题探究：(1)3 (2)33 (3)333 (4)3333 321Λ个100133321.3 二次根式的加减(1)1．23 2．略 3．2 4．23,21 5．123+ 6．10255+ 7．B 8．D 9．D 10．B 11．D 12．A 13．(1)28 (2)25 (3)2538+-(4)3314(5)52315- (6)523316- (7)24 (8)33132413+ (9)5514334- (10)1 (11)a a32- 问题探究：不够用，还需买78cm21.3 二次根式的加减(2)1．3 2．0 3．1560- 4．3 5．xy x y )(- 6．x x 22- 7．212- 8．12 9．C 10．A 11．C 12．A 13．B 14．D15．A 16．B 17．(1)10 (2)347+ (3)28 (4)26- (5)4523- (6)6338559---(7)2m m n - 18．320 19．(1)有 (2)错在第一步，忽视了a＜0(因为01>-a ，所以a ＜0) (3)原式+--=--⋅---=a a a aa a a 1 a a a --=-)1( 20．25-和25+的等差中项为5，等比中项为3± 问题探究：212)2(23)1(+- 复 习1．x ＞5 2．x －2 3．1 4．±1 5．0 6．0 7．5 8．2－6a 9．6 10．C 11．B 12．C 13．D 14．C 15．B 16．D 17．D 18．A 19．D 20．A 21．C 22．(1)316(2)7755-(3)2411 (4)1 (5)61230- (6)1 (7)0 (8)323 23．(1)a 1- (2) 4 (3)0 24．(1)58 (2)－2.45 (3)5418- 25．4126．5第二十一章 二次根式测试题1．x ≥0且x ≠1 2．1≤x ≤3 3．b a - 4．1 5．x ≥1 6．0 7．6 8．3,91-9．1≤a ≤3 10．21)1(21++=++n n n n (n 为自然数且n ≥1) 11．2006 12．416913．D 14．B 15．B 16．D 17．C 18．C 19．B 20．D 21．C 22．B 23．B 24．D 25．(1)34242++ (2)x 319(3)2 (4)－11 (5)x x x -27 (6)a ab 32526．3 27．11328．229- 29．0.9cm 30．8531．(1)=+-==+=154441541544154415443315441444144)14(4154)14(42222+=-+=-+-=+- (2)=-12n nn11)1(1111222232322-+=-+-=-+-=-=--+n nn n n n n n n n n n n n n n n n n (n 为正整数，且n ≥2)。
第二十一章 二次根式
第二十一章二次根式本章小结小结1 本章概述在本章中，通过对二次根式的概念、性质、化简及运算等内容的学习，使我们掌握二次根式的化简与运算，明确二次根式中字母取值范围的确定方法，会对二次根式进行化简．本章内容是数学中的基础内容，在勾股定理、一元二次方程的求根公式及三角形的边角关系等内容的学习过程中，都会用到本章的相关内容．熟练掌握前面我们学习的平方根、算术平方根的概念和利用平方运算求非负数的平方根、算术平方根的方法等知识，有利于本章内容的学习与深化．小结2 本章学习重难点【本章重点】利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【本章难点】(a≥0)是一个非负数的理解，对等式)2＝a(a≥0)a(a ≥0)的理解及应用，对二次根式乘、除法公式的条件的正确理解．小结3 学法指导1．注意观察、分析、归纳、探究等能力的培养，在本章知识的呈现方式上，重视体现“问题情境——数学活动——概括——巩固、应用和拓展”的模式．2．注重数学知识与现实生活的联系．无论是学习二次根式的概念，还是学习二次根式的性质和运算，都尽可能把所学的知识与现实生活联系，重视运用所学知识解决实际问题能力的培养．3．充分利用图形，使代数和几何有机结合．对于数与代数的内容，应重视有关内容的几何背景，运用几何直观帮助理解、解决有关代数问题是对数学的一种导向．4．运用类比思想．学习时注意回顾与类比，充分运用类比思想学习、理解算理和算法，提高运算能力．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 二次根式的最值问题【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.例1 当x 3的值最小？最小值是多少？分析 00，因为3是常数，3的最小值为3.0， 33≥，a b （a ≥0（a ≥0，b ≥∴当9x+1=0，即19x=-3有最小值，最小值为3.≥0（a≥0）.专题2 二次根式的化简及混合运算【专题解读】对于二次根式的化简问题，可根据定义，||a=这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.例2 下列计算正确的是（）1=====分析根据具体选项，应先进行化简，再计算. A== B选若可化为3333-=，C选项逆用平方差公式可求得2+（=4-5=-1，而D选项应将分子、得22=.故选A.例3计算200620071)1)的结果是（）1分析本题可逆用公式（ab）m=a m b m及平方差公式，将原式化为20061)]1) 1.=故选D.例4书知282x xyx++=+，求.分析本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值，但要注意所得x的值应使分式有意义.解：由二次根式的定义及分式性质，得2240,4,2,20,xx xx⎧-⎪-∴=⎨⎪+⎩≥≥0≠22287,222y ++∴==+∴===【解题策略】 本题中所求字母x 的取值必须使原代数式有意义. 例53522a （≤≤）.353252-302-5022|23||25|(23)(25)48.a a a a a a a a a ∴∴∴==---=-+-=-解：≤≤，≤≤，≥，≤,原式【解题策略】 (0)||-(0).a a a a a ⎧==⎨⎩≥，＜例 6 已知实数，a ，b ，c 在数轴上的位置如图21-8所示，化简||a解：由a ，b ，c 在数轴上的位置可知：0,00,0,||||||||()().c a b a c c a a a c c a b a a c c a ba a c ca b a b ∴+-∴=-++--=-++---=-++-+-=-＜＜＞＜＜原式【解题策略】 利用间接给出的或隐含的条件进行化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简.专题2 二次根式的化简及混合运算127 |1||1||1||2|.10,201,2,-112,2x x x x x x x x x x x +=+=+--+=-==-=-例化简解：原式令，得于是实数集被分为＜，≤＜≥三部分，-110,-20,-(1)(-2)-3.-1210,-20(1)(2)2 1.x x x x x x x x x x x +∴=++=+∴=++-=-①当＜时，＜＜原式②当≤＜时，≥＜.原式210,20,x x x +-③当≥时，＞≥1)(2) 3.3(1)21(12)3(2).x x x x x x ∴=+--=--⎧⎪∴=--⎨⎪⎩原式（＜，原式≤＜，≥ 规律·方法 对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”.例8已知3,12,.a b ab +=-=求 分析 这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a ，b 的符号，本题中没明确告诉，a ，b 的符号，但可从a +b =-3，ab =12中分析得到.解：∵a +b =-3，ab =12，∴a ＜0，b ＜0.··b a b a∴=+=-=-=--- 【解题策略】 本题最容易出现的错误就是不考虑a ，b 的符号，把所求的式子化简，直接代入.专题3 利用二次根式比较大小、进行计算或化简例9的运算结果应在 （ ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间D. 9到10之间分析 本题应计算出所给算式的结果，原式4==+，由于2 2.5849+，所以＜. 故选C.例10 已知mnm nm n-+的值. 解：∵9＜13＜16，343，即m =3，3，即，∴m n m n -===+ 二、规律方法专题 专题4 配方法【专题解读】a |化简. 例11|=====规律·方法一般地，对于a ±型的根式，可采用观察法进行配方，即找出x ，y (x ＞y ＞0)，使得xy =b ，x +y =a ，则2a ±，==.例12 若a ，b 为实数，且b15的值.分析 本题中根据b15可以求出a ，b. 解：由二次根式的性质得3503350..5305a a a a -⎧∴-=∴=⎨-⎩≥，≥，150,0.b a b a b ∴=∴+-，＞＜a b b a ab ab ==+-⎛=- ⎝=当3215.55a b ====，时，原式 【解题策略】 对于形如22b a b aa b a b++-+或形式的代数式都要变为2()a b ab +或2()a b ab-的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意.a b a b ab +-和以及的符号 专题5 换元法【专题解读】 通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题. 例13解：令x22x =，∴x 2=（3）（30x x ∴==＞，专题6 代入法【专题解读】 通过代入求代数式的值.例14已知222400,5760,.a b ab ==222332400,5760 2.42400, 2.42400,1000,10, 2.41024, 26.a b ab b a a b a a a b ====∴=∴=∴=∴=⨯====解：由，两式相除得，专题7 约分法【专题解读】 通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简.例15======例16).x y ≠====解：原式三、思想方法专题 专题8 类比思想 【专题解读】 类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一些属性，从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念，即把二次根式化简成最简二次根式后，若被开方数相同，则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式.例17 计算.12（（解：（1）原式=（1+2（2）原式【解题策略】 对于二次根式的加减法，应先将各式化为最简二次根式，再类比合并同类项的方法去合同类二次根式.专题9 转化思想【专题解读】 当问题比较复杂难于解决时，一般应采取转化思想，化繁为简，化难为易，本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时，常转化为不等式或分式等知识加以解决.例18 函数y中，自变量x 的取值范围是 .分析 本题比较容易，主要考查函数自变量的取值范围的求法，是二次根式，所以被开方数2x -4≥0,所以x ≥2.故填x ≥2.例19 如图21-9所示的是一个简单的数值运算程序，若输入x数值为.图21-9 分析 本题比较容易，根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题，易知图中所表示的代数式为21x -2-1=2.故填2.专题10 分类讨论思想【专题解读】 当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论.本意在运用公||a =进行化简时，若字母的取值范围不确定，应进行分类讨论.例20若化简|1|x -25x -，则x 的取值范围是 （ ） A. x 为任意实数 B. 1≤x ≤4 C. x ≥1 D. x ≤4分析 由题意可知|1||4|25x x x ---=-，由此可知|1|1x x -=-，且|4|4x x -=-，由绝对值的意义可知10x -≥，且40x -≥，所以14x x ≤≤，即的取值范围是14x ≤≤.故选B.【解题策略】|a |形式的式子的化简都应分类讨论.例21 如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为7cm ，5cm 和3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面爬到和顶点A 相对的顶点B 处吃食物，那么它要爬行的最短路径的长是多少？分析 这是一个求最短路径的问题，一个长方体有六个面，蚂蚁有三种不同的爬行方法，计算时要分类讨论各种方法，进而确定最佳方案.==(cm).=(cm).规律·方法 沿表面从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去，共有三个爬行路线，每个路线长分别是它爬行两个展开图的对角线的长.2011中考真题精选，是最简二次根式；故此选项正确；点评：此题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. （2011•江苏徐州，5，2x 的取值范围是（ ）A 、x≥1B 、x ＞1C 、x ＜1D 、x≤1 考点：二次根式有意义的条件。
第二十一章 二次根式
第二十一章二次根式一．本章知识点1、概念：二次根式：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
2、二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是a≥0．3、二次根式的性质（1）(a≥0)是一个非负数．（2）()2=a(a≥0)（3）=a(a≥0)=-a（a＜)4、最简二次根式满足下列条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式．5、运算（1）二次根式的乘法法则(a≥0，b≥0)即：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．（2）积的算术平方根的性质(a≥0，b≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积．（3）二次根式的除法法则(a≥0，b＞0)即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．(4) 商的算术平方根的性质(a≥0，b＞0)6、二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．7、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去掉括号）．二、重点题型1、已知x、y为实数，且实数m适合关系式，试确定m的值．解析：∵x－199＋y与199－x－y互为相反数，且x－199＋y≥0，199－x－y≥0同时成立，∴x－199＋y=0，即x＋y=199．又由算术平方根是非负数，可得到关于x、y、m的方程组，从而求出m的值．解：由二次根式有意义的条件知∴x＋y=199将其代入已知等式得．又根据算术平方根为非负实数有②×2－①得x＋y－m＋2=0，结合③得m=x＋y＋2=199＋2=201．总结：当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零．2、（河南）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：解析：由坐标轴上实数a、b的位置可知，3、的值等于（）A． B. C. D. 答案：A解析：因为x2－x－2=0，所以x2－x=2.用整体代入的方法，可求4、（威海）先化简，再求值：，其中．解析：．当，时，原式．5、（烟台）化简：解：．．6、已知x、y都为正整数，且．求x＋y 的值．思路：因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，而，易知化简后的被开方数必为222，故可设．由此求出正整数a、b即可求出x、y．解：，（a，b为正整数），于是即a＋b=3∴a=2，b=1或a=1，b=2．故x=222，y=888或x=888，y=222，∴x＋y=1110．总结：几个二次根式化简后被开方数相同，则它们可以合并，本题则是逆用该结论，即几个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同．。
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第二十一章 二次根式知识点及对应练习：（一）关于二次根式的定义：形如a （a ≥0）的式子叫二次根式.即二次根式应满足两个条件（12）被开方数是非负数。
【对应练习】1.在下列代数式中，二次根式有 ：)2x y x ≥-+2.若2m 是二次根式，则m 的值为 。
（二）关于二次根式a 的非负性：首先，被开方数a 是非负数（即a ≥0），常与分式a1中a ≠0、零次幂0a 中a ≠0组合应用；其次a 非负（即a ≥0），常与2a ≥0、a ≥0组合应用。
【对应练习】1.求使下列各式有意义的未知数的取值范围：（1）2-x （ ）； （2（ ）； （3）x 2-（ ）；（4（ ）； （5）32x -（ ）； （6（ ）；（7（ ）； （8）12+-x x（ ）；（9） x -2+0x （ ）； （1011x + （ ）.2.A （,m n ）在第 象限。
3.已知023=++-y x ，求x y xy -的值。
4.已知5b +=b a -的算术平方根。
5.已知()05222=+-+-+y x y x ，求y x 42-的倒数。
6.实数b a ,满足aa ab 289161622---+-=，求ab 的平方根。
7.已知实数b a ,满足()024222=+-+-a a b a ，求2-ab 的值。
8.1995a a -=，求21995a -的值。
★实数m 满足y x y•x m y x m y x --⋅+-=-++--+232332223，求m 的值。
（三）关于2a的化简：aa=2=()⎩⎨⎧-≥.).(πaaaa，注意与()aa=2从意义、字母取值范围及运算结果三个角度进行比较.【对应练习】：1.当a≥1时，化简221）（a-； 2.化简()()2232aa---（a≥3）；3.若322=-）（x，求x的值； 4.化简332mm+；5.若03962=-++-xxx，求x222x x+=+（），求x的取值范围.6.20m m的最小值是 .7.已知-2≤a≤222(52)(2)a a-+= .8.已知a b c、、在数轴上的位置如图，化简222()()a a c c a b+-9.已知直线(3)2()y m x n m n=-+-、是常数如图，化简2441m n n n m--+-10.已知a b c、、是△ABC2()2a b c c a b-+--.22(2)(3)a a+-★已知()()22363536nmmnm---=-+-，求2)(--nm的值。
★已知cba,,满足accababa22)3(242222+=++-+++-，求cba+-的值。
122x y zx y z++--=24x y z++★根据完全平方和（差）公式可得()abbaba22±+=±，根据平方差公式可得()()bababa-=-+.如()625232±=±，反之亦成立；又如()()852252252-=-+xxx，反之亦成立.（1）化简：①223-= ；②aa69-+= ；③276-= . （2）计算：①(23323223= ；②2232(6)(6)23-= ；③22(32)(32)+-= ；④356356++-= ；★128293031+⨯⨯⨯= ；★222223232222+⨯+= 。
（3）在实数范围内分解因式：①329a a-= ；②49x-= ；③222623nmnm+-= ；④41a+= . ★若nmba±=+2，则nm、与ba、的关系是什么？并说明理由。
★已知ia0≠（i=1,2,L,2012)满足1968201222012323222121=+⋅⋅⋅+++aaaaaaaa，使直线ixayi+=（i=1,2,L,2012)的图像经过一、二、四象限的ia概率是 .（四）关于二次根式的乘除法：一.乘法法则：ab b a =⋅（a ≥0，b ≥0）；反之b a ab ⋅=（a ≥0，b ≥0）{ 当a ≤0且b ≤0时，b a ab -⋅-= } 二.除法法则：ba ba =（a ≥0，b ＞0）；反之ba ba =（a ≥0，b ＞0）{ 当a ≤0且b ＜0时，ba b a --=}三.被开方数不含分母且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.如，3120、均不是最简二次根式。
凡是涉及到二次根式的化简或计算，结果都应化为最简二次根式.如，33315220==、.四.分母有理化：利用分数性质化去分母中的根号.如，,11122323++=+=x x x x x， ）（）（）（）（25322525252252+=-⋅+-=+，34732323232322+=+⋅-+=-+）（）（）（.【对应练习】：1.比较大小：-63；3π642.2.当 时，4545--=--a aa a ；当 时，3232--⋅-=+⋅-a a a a ）（）（. 3.计算：（1））（2143236181841-÷⨯；（2））（）（62523+⋅-；（3）01201211(1)883π-⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）25231...971751531311++++++++++. 4.化简：（1）aa 1-；（2）2442y x y x -；（3））（a b ab ab b 21)32(33÷-⋅； （4）33332)1(2m n m n m m n m n ÷-⋅（m ＞0）；（5）nm a a n m a n m -⨯+÷--22222)23(2333（a ＞0） 5.将b a +1分母有理化.6.等式1122-+=-n n n n n n 是否成立？说明理由。
7.已知6969--=--x xx x ，且x 为偶数，化简求值：145122-+-+x x x x ）（。
8.若m ，求54322011m m m --的值.9.已知点A （3，-2），点B 与y 轴的距离等于3，且AB=9，则点B 的坐标为 。
★已知y x 、为正数，且)5(3)(y x y y x x +=+，求yxy x y xy x -+++32的值。
（五）关于二次根式的加减法：一、化为最简后被开方数相同的二次根式叫同类二次根式。
如，31212、-与3是... 二、二次根式的加减实际上就是合并同类二次根式，即先将各二次根式化简，再将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变。
如，b a b a b a b b a b a a 5224)14(41+=+-+=--+）（. 【对应练习】：1.若最简二次根式b a +-32与）（b a b +是同类二次根式，则33ab = 。
2.已知a 为10的整数部分，b 为10的小数部分，则ba b a ++⋅+1010）（= ；2210b a ++）（= 。
3.试比较253223---，，的大小，并从中得出一个有价值的结论。
4.化简计算：①322145051183÷-+）（；②8633121+-⋅+-）（；③2115141075++++；④）（）（32213221+⋅+++）（）（5223543+⋅++++. 5.先化简，再求值：（1）yx y y x y +--（其中3,2==y x ）（2）1121122-+-÷-x x x x ）（ （其中121+=x ） 6.已知2=xy ，求y x yx y x+的值。
7.若0＜a ＜1，61=+a a ，求a a 1-的值。
8.已知3232,3232+-=-+=y x ，求代数式22232y xy x +-的值。
9.要制作一个如图所示的铝合金窗架（下面是正方形），大约需要 多少米的铝合金材料？（精确到0.1米）10.是否存在正整数b a 、（a ＜b ），使其满足540=+b a ？ 若存在，求出b a 、的值；若不存在，说明理由。
11.已知b a ,均为有理数，且满足等式23253）（-=+b a ，求ab 的值。
12.已知32,32-=-+=-c b b a ，求ac bc ab c b a ---++222的值。
★设y x m 、、均为正整数，且y x m -=-28，求y x m ++的值。
★已知312525=+⋅-）（）（x ，求232922-+---x x x 的值。
★当121-=x 时，求x x x x x x +-++++2211xx x x x x ++++-++2211的值。
★已知c b a 、、满足8232452---=-+c a b a ，以c b a 、、为边能否构成三角形？ 若能，求出三角形的周长和面积；若不能，说明理由。
★已知2220001949n m =，且111=+nm （m ＞0，n ＞0），求证：2000194920001949+=+n m。