(新课程)高中数学二轮复习精选《必考问题20 数学思想在解题中的应用(二)》课件 新人教版
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第2篇核心素养谋局思想方法导航第1讲函数与方程思想课件
前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N*都
有Sn≤Sk成立，则k的值是( B )
A．10
B．20
C．30
D．40
【 解 析 】 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d ， 由
aa12＋ ＋aa45＋ ＋aa78＝ ＝33aa11＋ ＋91d2＝ d＝999， 3，
－y)关于 x 轴对称，所以卵圆 C 关于 x 轴对称，故①正确；对于②，设(x0， y0)在卵圆 C 上，(x0，y0)关于直线 x＝12对称的点(1－x0，y0)也在卵圆 C 上，
则x10－1x＋－20x20x＋＋022y420＋＝y4120＝，1，
解得xy00＝ ＝－ 0 1， 或xy00＝ ＝20， ， 所以卵圆上存在
解 得 ad1＝＝－392，，
∴
Sn
＝
na1
＋
nn－1d 2
＝
39n－n(n－1)＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.∴当 n＝20 时，Sn 取得最大
值．∵对任意 n∈N*都有 Sn≤Sk 成立，∴Sk 为数列{Sn}的最大值，∴k＝
20.故选 B.
(2) (2023·河南校联考模拟预测)记正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 满足a21－1 1＋a22－1 1＋a23－1 1＋…＋a2n－1 1＝4nn＋1.若不等式 λSn≥an＋1 恒 成立，则实数 λ 的取值范围是_____43_，__＋__∞_____.
应用3 函数与方程思想在解析几何中的应用
核 心 知 识·精 归 纳 1.解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经 常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过 转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值 问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答． 2.直线与圆锥曲线的综合问题，通常借助根的判别式和根与系数的 关系进行求解，这是方程思想在解析几何中的重要应用．解析几何问题 的方程(函数)法可以拓展解决解析几何问题的思维，通过代数运算、方 程判定等解决解析几何中的位置关系、参数取值等问题．
新高考数学二轮复习全套思想方法汇总
思想概述
函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对 函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去 分析问题、转化问题，从而使问题得以解决. 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组， 或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转 化问题，使问题得以解决.
所以y＝3x＋3－x在(0，＋∞)上单调递增，
因为函数y＝log3x为增函数， 所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增， 因为f(a－1)≥f(2a＋1)， 所以|a－1－2|≥|2a＋1－2|， 所以(a－3)2≥(2a－1)2，化简得(a＋2)(3a－4)≤0， 解得－2≤a≤43. 所以实数 a 的取值范围为－2，43.
规
律 函数与方程的相互转化：对于方程f(x)＝0，可利用函数y＝f(x)的
方 法
图象和性质求解问题.
方法三 构造函数解决数学问题
在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的 问题转化为函数的性质，达到化繁为简、化难为易的效果.
例3 (2023·深圳模拟)已知ε>0，x，y∈ －π4，π4 ，且ex＋εsin y＝eysin x，则 下列关系式恒成立的为
规
律 方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式
方 法
f(x)<g(x)可转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的位置关系.
利用数学概念、表达式的几何意义 方法二 求解最值、范围问题
向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图 形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距 离公式等.
高考数学二轮复习专题教案：第6讲分类讨论思想在解题中的应用
高考数学二轮复习专题教案：第6讲分类讨论思想在解题中的应用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第6讲 分类讨论思想在解题中的应用一、知识整合1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。
2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。
4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。
5.含参数问题的分类讨论是常见题型。
6.注意简化或避免分类讨论。
二、例题分析例1.一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ）A. x y +-=70B. 250x y -=C. x y x y +-=-=70250或D. x y y x ++=-=70250或分析：设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a,当a=0时，直线过原点，此时直线方程为y x x y =-=25250，即；当a ≠0时，设直线方程为x a ya a +==17，则求得，方程为x y +-=70。
例2．∆ABC A B C 中，已知，，求sin cos cos ==12513分析：由于C A B =-+π()[]∴=-+=--⋅cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B因此，只要根据已知条件，求出cosA ，sinB 即可得cosC 的值。
但是由sinA 求cosA 时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。
2013届高三数学二轮复习 必考问题专项突破22 数学思想在解题中的应用(2) 理-推荐下载
物线有 14＋48＝62 条，故选 B.]
3．(2012·福建)函数 f(x)在[a，b]上有定义，若对任意 x1，x2∈[a，b]，有 f
( ) x1＋x2 1 2 ≤2[f(x1)＋f(x2)]，则称 f(x)在[a，b]上具有性质 P.设 f(x)在[1,3]上具有性质 P，现给出如下命题：
①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的；②f(x2)在[1， 3]上具有性质 P；③若 f(x)
3π 第四次：sin 2π＞sin 2 成立，a＝1，T＝T＋a＝2，k＝5,5＜6，继续循环；
1ห้องสมุดไป่ตู้
图象是不连续的，故①为假命题，排除 A、B；取函数 f(x)＝－x,1≤x≤3，则函数满足题 设条件具有性质 P，但 f(x2)＝－x2,1≤x≤ 3就不具有性质 P，故②为假命题，排除 C.应 选 D.]
4．(2012·江西)下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．
解析 此框图依次执行如下循环： π
第一次：T＝0，k＝1，sin 2 ＞sin 0 成立，a＝1，T＝T＋a＝1，k＝2，2＜6，继续循 环；
π 第二次：sin π＞sin 2 不成立，a＝0，T＝T＋a＝1，k＝3,3＜6，继续循环；
3π 第三次：sin 2 ＞sin π 不成立，a＝0，T＝T＋a＝1，k＝4,4＜6，继续循环；
在 x＝2 处取得最大值 1，则 f(x)＝1，x∈[1,3]；④对任意 x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有 f
( ) x1＋x2＋x3＋x4 1
4
≤4[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]．其中真命题的序号是( )．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
高考总复习二轮理科数学精品课件 高考必备思想与方法 第1讲 数学思想在高考中的应用
解析 ∵b+c=-a,bc=1-a,∴b,c是关于x的方程x2+ax+1-a=0的两个根,
∴Δ=a2-4(1-a)≥0,即a2+4a-4≥0,
解得 a≥-2+2 2或 a≤-2-2 2.
二、数形结合思想
以形助数(数题形解)
以数辅形(形题数解)
借助形的生动性和直观性来阐述数 借助于数的精确性和规范性及严密
.
tan-tan
解析 由 tan(β-α)= 3 =
,得 3(1+tan βtan α)=tan β-tan
1+tantan
tan-tan
由 tan(γ-β)= 3 = 1+tantan,得 3(1+tan γtan β)=tan γ-tan β,
tan-tan
由 tan(α-γ)= 3 = 1+tantan,得 3(1+tan αtan γ)=tan α-tan γ,
α,
三式相加得 tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=-3,所以②正确,④不正确;
由 3(1+tan βtan α)=tan β-tan α,得
由 3(1+tan γtan β)=tan γ-tan β,得
由 3(1+tan αtan γ)=tan α-tan γ,得
1
1
(3)(原创)设α,β,γ分别为1°,61°,121°,则下列式子成立的是 ①②
tan+tan+tan
①
=-3;
tantantan
②tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=-3;
新课程新高考培训心得体会——高考数学第二轮复习的一些做法
新课程新高考培训心得体会——高考数学第二轮复习的一些做法12月21日按照市教育局安排，我们参加了新课程新高考培训，聆听了刘明老师的讲座，收获多多，感受多多。
刘老师主要讲了两个专题：一.全国卷命题规律和解法探究；二.高考数学二轮复习建议。
本人今年刚刚带了毕业班，在此结合刘老师的讲座主要说说高考二轮复习的一些做法。
首先，我们应当明确为什么要进行高考第二轮复习?其目的是什么?一轮复习的目的是将我们学过的知识进行梳理和归纳,夯实基础，并且在此基础上略有提高。
要抓住课本这个根本,以课程标准和高考命题解读为依据,做到不留死角地对知识点进行全面扫描，基本实现了对知识与技能的覆盖，熟悉题型，抓住重点，筑牢知识网络。
数学二轮的复习,则是对高考数学知识点进行稳固、强化、完善、综合和提高。
就大多数同学来说，要稳固第一轮单元复习的成果，查漏补缺,进一步建立知识间的联系，归纳整理数学思想、方法和规律；所选题目减少单一知识点的试题，增强知识点之间的联系，增设题目的综合性和灵活性；进一步培养和提高学生分析问题和解决问题的能力，而且要重视对数学题目的阅读与概括能力，与新课程接轨，达到个学科间的融合贯通。
数学二轮复习来相比较一轮复习来说, 复习策略要有所转变，全面复习复习转为重点复习,对重点复习基础上，对难点进行把握；由演练式解题转化到实战解题中去,提高实战能力；只顾解题转化到提炼解题思想方法，把握高考题型的特点和规律，形成一定的应试技巧。
第二，二轮复习要理清主干内容:高考数学主干知识可分为八大块:函数、数列、平面向量、不等式、解析几何、立体几多、概率和统计、导数及应用。
其中函数是最核心的主干，是高考考查的重点，占有比重最大，是高中数学中的中点和难点，也是数学二轮复习的重点。
函数与数列、不等式、解析几何等都可以进行综合考查。
因此，把函数作为一个主线，贯穿于二轮复习之中。
要通过对近几年高考常考题型的分析，准确把握了高考对各个知识点的考试要求，明确考什么？怎么考？哪些是考点？哪些是热点？哪些考大题？哪些考小题？哪些考基础？哪些考能力，考拓展？这就要求我们老师要大量做题，精心备课，及时随时了解学生的学习情况，掌握教情和学情，做到心中有数，才能让学生学有所得。
(新课程)高中数学二轮复习 第一部分 18个《必考问题17 数学思想在解题中的应用(一)》 苏教版
10 必考问题17 数学思想在解题中的应用(一)
【真题体验】
1．(2012·江苏卷改编)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2
，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有________．
解析 在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )，
y ＝|lg x |的图象如图，由图象可知，两个
函数的图象的交点共有10个．
答案 10
2．(2012·江苏改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2x ，x ≤0，2，x ＞0，则方程f (x )＝x 解的个数是
________．
解析 作出函数f (x )的图象如图，由图象可知，函数f (x )与y ＝x 的图象的交点个数是3，即方程f (
x )＝x 的解的个数为3.
答案 3
3．(2012·苏中三市调研)若函数f (x )＝|2x －1|，则函数g (x )＝f (f (x ))＋ln x 在(0,1)上不同的零点个数为________．
解析 将函数g (x )＝f (f (x ))＋ln x 在(0,1)上不同的零点个数转化为函数y ＝f [f (x )]图象在(0,1)上与y ＝－ln x
图象的交点个数，作出图象如图，可知两个函数图象在(0,1)上有3个交点，故不同的零点个数为3.
答案 3。
高中数学二轮复习精选《必考问题19 数学思想在解题中的应用(一)》训练19 新人教版
训练19 数学思想在解题中的应用一时间：45分钟满分：75分一、选择题每小题5分，共25分1．2022·北京东城模拟已知向量a＝3,2，b＝－6,1，而λa＋b⊥a－λb，则实数λ等于．A．1或2 B．2或－错误!C．2 D．02．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于．A．18 B．24 C．60 D．903．2022·临沂模拟函数＝错误!的图象大致是．4．已知集合A＝{，|、为实数，且2＋2＝1}，B＝{，|，为实数，且＋＝1}，则A∩B的元素个数为．A．0 B．1 C．2 D．35．若关于的方程2＋2－1＝0的两根1、2满足－1≤1＜0＜2＜2，则的取值范围是．二、填空题每小题5分，共15分6．2022·合肥模拟AB是过椭圆b22＋a22＝a2b2a＞b＞0的中心弦，Fc,0为它的右焦点，则△FAB面积的最大值是________．7．长度都为2的向量错误!错误!＋n的最大值是________．8．2022·厦门模拟已知F是双曲线错误!－错误!＝1的左焦点，定点A1,4，a＝bc答案bc7．解析建立平面直角坐标系，设向量错误!错误!2m2m＝co α－错误!in α，n＝错误!in α故m＋n＝co α＋错误!in α＝错误!in错误!，由于0≤α≤错误!，∴错误!≤α＋错误!≤错误!∴m＋n≤错误!答案错误!8．解析设双曲线的右焦点为E，则|in＝|AE|＝错误!＝5，|＝62－24＋从而24＜＜42，且错误!则错误!＝错误!＝错误!＞错误!，∴错误!的取值范围是错误!。
高三数学(文)二轮复习(通用版)教师用书：策略(二)总结数学思想在解题中的应用——考场解题高人一招含
考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起到指导作用．因此，在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉、灵活地将其运用于所需要解决的问题之中．一、函数与方程思想——求解数学问题最实用的工具[典例] 已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列．(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ；(2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值．[解] (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)，又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0，所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，(列出方程)解得d ＝2或d ＝－1(舍去)，所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)因为S n ＝n (n ＋1)，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ＝1（n ＋1）（n ＋2）＋1（n ＋2）（n ＋3）＋…＋12n （2n ＋1） ＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1 ＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1 ＝12n ＋1n＋3， 令f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，(构造函数) 则f ′(x )＝2－1x 2， 当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16， 要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立，则须使k ≥(b n )max ＝16， 所以实数k 的最小值为16.[技法领悟]本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(1)问直接列方程求公差；第(2)问求出b n 的表达式，说明要求b n ≤k 恒成立时k 的最小值，只需求b n 的最大值，从而构造函数f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，利用函数求解．[应用体验]1．(2016·郑州质检)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________．解析：由题意得，y ＝3－x 22x ，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．答案：32．(2016·江西两市联考)已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )＜0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g （x ）e x＞1的解集为________． 解析：∵函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴g (0)＝g (4)＝1，设f (x )＝g （x ）e x， ∴f ′(x )＝g ′（x ）e x －g （x ）e x （e x ）2＝g ′（x ）－g （x ）e x ，又g ′(x )－g (x )＜0，∴f ′(x )＜0，∴f (x )在R 上单调递减，又f (0)＝g （0）e 0＝1，∴f (x )＞f (0)，∴x ＜0. 答案：(－∞，0)3．已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围．解：∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3.原题转化为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立，当x ＝2时，不等式不成立，∴x ≠2.令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎡⎦⎤12，3.问题转化为g (m )在m ∈⎣⎡⎦⎤12，3上恒大于0，则⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫12>0，g （3）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12（x －2）＋（x －2）2>0，3（x －2）＋（x －2）2>0，解得x >2或x <－1.∴x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).[典例] (2016·江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？[解] (1)由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8.因为A 1B 1＝AB ＝6，所以正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)；正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)．(2)设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ，则0＜h ＜6，O 1O ＝4h .连接O 1B 1.因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以⎝⎛⎭⎫2a 22＋h 2＝36， 即a 2＝2(36－h 2)．于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0＜h ＜6，(转化为函数)从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)． 令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)．当0＜h ＜23时，V ′＞0，V 是单调增函数；当23＜h ＜6时，V ′＜0，V 是单调减函数．故当h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值．因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．[技法领悟](1)本题利用了函数与方程思想，首先由已知条件列出关于a ，h 的方程，再由公式把体积V 表示成关于高h 的函数，最后利用导数求解．(2)函数与方程思想在解决一些解析几何问题中也会经常用到，如求范围最值问题．[应用体验]1．若点O 和点F (－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为( )A.[)3－23，＋∞B.[)3＋23，＋∞C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞解析：选B 由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3.∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设P (x ，y )(x ≥3)，＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1 ＝43x 2＋2x －1(x ≥3)． 令g (x )＝43x 2＋2x －1(x ≥3)， 则g (x )在[)3，＋∞上单调递增．g (x )min ＝g (3)＝3＋2 3.∴的取值范围为[)3＋23，＋∞.2．设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若，则k 的值为________．解析：依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2. 由知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2； 由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k 2， 化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38. 答案：23或38[归纳总结]（1）函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f （x ）＝0，就是求函数y ＝f （x ）的零点，再如方程f （x ）＝g （x ）的解的问题可以转化为函数y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的交点问题，也可以转化为函数y ＝f （x ）－g （x ）与x 轴的交点问题，方程f （x ）＝a 有解，当且仅当a 属于函数f （x ）的值域.（2）当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想.（3）借助有关函数的性质，一可以用来解决有关求值、解（证明）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二可以在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数来求解.二、数形结合思想——求解数学问题最快捷的途径[典例] 已知x 1，x 2是函数f (x )＝12e －2x －|ln x |的两个零点，则( ) A ．1＜x 1x 2＜e B.1e ＜x 1x 2＜1 C ．2＜x 1x 2＜2 e D.2e＜x 1x 2＜2[解析] 在同一坐标系下画出函数y ＝12e －2x 与y ＝|ln x |的大致图象，结合图象不难看出，这两条曲线的两个交点中，其中一个交点横坐标属于区间(0，1)，另一个交点横坐标属于区间(1，＋∞)，不妨设x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)，则有12e －2x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈⎝⎛⎭⎫12e －2，12，12e －2x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈⎝⎛⎭⎫0，12e －2，12e －2x 2－12e －2x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)∈⎝⎛⎭⎫－12，0，于是有e －12＜x 1x 2＜e 0，即1e＜x 1x 2＜1，选B. [答案] B用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数． [技法领悟][应用体验]1．(2016·湖北七市联考)函数f (x )＝3－x ＋x 2－4的零点个数是________． 解析：令f (x )＝0，则x 2－4＝－⎝⎛⎭⎫13x ，分别作出函数g (x )＝x 2－4，h (x )＝－⎝⎛⎭⎫13x的图象，由图可知，显然h (x )与g (x )的图象有2个交点，故函数f (x )的零点个数为2.答案：22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x >0，－x 2－2x ， x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：在坐标系内作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ＞0，－x 2－2x ， x ≤0 的图象，如图：可知当0<m <1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 有3个交点，即函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点．答案：(0，1)[典例] (1)(2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)[解析] 设y ＝g (x )＝f （x ）x(x ≠0)， 则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2， 当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1，当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.[答案] A(2)(2016·广州五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f (3－a 2)＜f (2a )，则实数a 的取值范围是________．[解析] 如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减，∵f (3－a 2)＜f (2a )，∴3－a 2＞2a ，解得－3＜a ＜1.[答案] (－3，1)[技法领悟](1)本例(1)利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f (－1)＝0可作出函数的图象，利用图象即可求出x 的取值范围．(2)求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．[应用体验]1．设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________．解析：集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，如直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m ＞0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是m ≥2－1.答案：[)2－1，＋∞2．若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，12[典例] 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0) (m >0)．若圆C 上存在点P ，使得 ∠APB ＝90°，则 m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4[解析] 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.[答案] B[技法领悟](1)本题利用数形结合思想求最值，把m 的值转化为圆上的点到原点的距离．(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．[应用体验]1．(2016·福建质检)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( ) A.5－12 B.33 C.22 D.63解析：选D 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，因为|OB |＝a ，所以|OA |＝22a ，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，又点A 在椭圆上，所以a 24a 2＋a 24b 2＝1，所以a 2＝3b 2，所以a 2＝3(a 2－c 2)，所以3c 2＝2a 2，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝63，故选D.2．已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为________．解析：从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积S △P AC ＝12·|P A |·|AC |＝12P A 越来越大，从而S 四边形P ACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动，S 四边形P ACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线l 时，S 四边形P ACB 应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|P A |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.所以(S 四边形P ACB )min ＝2×12×|P A |×|AC |＝2 2.答案：2 2[归纳总结]运用数形结合思想分析解决问题的3原则(1)等价性原则,在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明(2)双向性原则,在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．(3)简单性原则,找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．三、分类讨论思想——求解数学问题最简便的技巧[典例] (2015·山东高考)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________.[解析] 当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在[]－1，0上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1，0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.[答案] －32[技法领悟](1)由于f (x )＝a x ＋b 中a 的范围没有确定，故应对a 进行分类讨论，即a ＞1或0＜a ＜1.(2)应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的．在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．[应用体验]1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝P n －1(P 是常数)，则数列{a n }是( ) A ．等差数列 B ．等比数列 C ．等差数列或等比数列 D ．以上都不对 解析：选D ∵S n ＝P n －1，∴a 1＝P －1，a n ＝S n －S n －1＝(P －1)P n －1(n ≥2)．当P ≠1且P ≠0时，{a n }是等比数列； 当P ＝1时，{a n }是等差数列；当P ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0，(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：选A 由于f (a )＝－3， ①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x >0，所以2a －1＝－1无解；②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.3．(2016·浙江高考)已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0 D ．(b －1)(b －a )＞0解析：选D ∵a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，∴当a ＞1，即a －1＞0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＞a 1，即b ＞a ＞1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0.当0＜a ＜1，即a －1＜0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＜a 1，即0＜b ＜a ＜1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0.综上可知，选D.[典例] (2016·天津高考节选)设函数f (x )＝x 3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R .求f (x )的单调区间．[解] 由f (x )＝x 3－ax －b ，可得f ′(x )＝3x 2－a .下面分两种情况讨论：①当a ≤0时，有f ′(x )＝3x 2－a ≥0恒成立，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝3a 3或x ＝－3a3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：＋∞)．[技法领悟](1)本题研究函数性质对参数a 进行分类讨论，分为a ≤0和a >0两种情况．(2)若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏．[应用体验]已知函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x ．若在函数f (x )的定义域内存在区间D ，使得该函数在区间D 上为减函数，求实数m 的取值范围．解：f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x，即2mx 2－x ＋1＜0在(0，＋∞)上有解． 当m ≤0时显然成立；当m ＞0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m＞0，故需且只需Δ＞0，即1－8m ＞0，故m ＜18.综上所述，m ＜18，故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，18.[典例] 设F 1，F 2为椭圆x 9＋y 4＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值． [解] ①若∠PF 2F 1＝90°. 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，∴|PF 1||PF 2|＝72. ②若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， ∴|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2. 综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.[技法领悟](1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论． (2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．[应用体验]1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.833 B ．4 3C.239 D ．43或833解析：选D 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V ＝2×3×12×4＝43；当长、宽分别为4和6时，体积V ＝43×233×12×6＝833.2．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( )A ．－12 B.12C ．0D ．－12或0解析：选D 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y ＝kx ＋1与直线x＝0或y ＝2x 垂直时才满足．结合图形可知斜率k 的值为0或－12.[归纳总结] 1.分类讨论的原则 （1）不重不漏.,（2）标准要统一，层次要分明.,（3）能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论. 2.分类讨论的思维流程明确讨论的对象和动机―→确定分类的标准―→逐类进行讨论―→归纳综合结论―→检验分类是否完备（即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集）.分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.四、转化与化归思想——求解数学问题最普遍的方法[典例] 若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．[解析] g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2， 若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数， 则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立．(正反转化) 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得3x 2＋(m ＋4)x －2≤0，即m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立， 则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－373，－5. [答案] ⎝⎛⎭⎫－373，－5[技法领悟](1)本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则．(2)题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．[应用体验]1．由命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．2解析：选C 命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，使e |x －1|－m >0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围为________．解析：如果在[－1，1]内没有值满足f (c )＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0⇒⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p≤－3或p ≥32，取补集为－3＜p ＜32，即为满足条件的p 的取值范围．故实数p 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－3，32. 答案：⎝⎛⎭⎫－3，32[典例] 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________．[解析] 由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.(主次转化) 对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0， 解得－23<x <1.故当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. [答案] ⎝⎛⎭⎫－23，1(1)本题是把关于x 的函数转化为在[－1，1]内关于a 的一次函数小于0恒成立的问题． (2)在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其他变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的． [技法领悟][应用体验]1．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________．解析：设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒为正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)2．设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2，2]上变化时，y 恒取正值，则x 的取值范围是________．解析：设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1，则f (t )是一次函数，当t ∈[－2，2]时，f (t )＞0恒成立，则由⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧（log 2x ）2－4log 2x ＋3＞0，（log 2x ）2－1＞0， 解得log 2x ＜－1或log 2x ＞3. 即0＜x ＜12或x ＞8，故x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12∪()8，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫0，12∪(8，＋∞)[归纳总结]1．转化与化归的原则(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．2．转化与化归的指导思想(1)把什么问题进行转化，即化归对象．(2)化归到何处去，即化归目标．(3)如何进行化归，即化归方法．转化与化归思想是一切数学思想方法的核心．。
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问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的
不同发展方向，划分为若干部分分别研究．这里集中体现 的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决 问题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分类解决问 题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合—分—合”的
解决问题的思想，就是分类与整合思想．
化归与转化思想
有性质P；③若f(x)在x＝2处取得最大值1，则f(x)＝1，x∈ [1,3]；
x1＋x2＋x3＋x4 1 ④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有f ≤4 [f(x1)＋f(x2) 4
＋f(x3)＋f(x4)]．其中真命题的序号是 A．①② C．②④ B．①③ D．③④
曲线的位置关系不定问题等，在选择题、填空题、解答题中都 会涉及到分类讨论的思想方法． 2 ．等价转换思想的应用在高考试题中处处可见，是解高 考试题常用的数学思想．
1．分类与整合思想实质上是“化整为零，各个击破，再 积零为整”的数学策略．利用好分类与整合思想可以优化解题 思路，降低问题难度．复习中要养成分类与整合的习惯，常见 的分类情形有：概念分类型，运算需要型，参数变化型，图形
个数； (5) 较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策 略来解决．
2．化归转化思想的几种情况
(1)化为已知：当所要解决的问题和我们已经掌握的问题有
关系时，把所要解决的问题化为已知问题； (2)化难为易：化难为易是解决数学问题的基本思想，当我 们遇到的问题是崭新的，解决起来困难时，就要把这个问 题化为我们熟悉的问题，熟悉的问题我们有解决的方法，
就是容易的问题，这是化难为易的一个方面；
(3) 化繁为简：在一些问题中，已知条件或求解结论比较繁，
这时就可以通过化简这些较繁的已知或者结论为简单的情况，
再解决问题，有时把问题中的某个部分看做一个整体，进行换 元，这也是化繁为简的转化思想； (4) 化大为小：在解答综合性试题时，一个问题往往是由几个 问题组成的，整个问题的结论，是通过这一系列的小问题得出
1 1 log2 －a ＞log2(－a)，则－ ＞－a，解得－1＜a＜0. a
所以 a∈(－1,0)∪(1，＋∞)．]
有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线斜
率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往
往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题．
【突 破 训 练 1】 若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零 点，则实数a的取值范围是________．
解析 则函数 f(x)＝ax－x－a(a＞0 且 a≠1)有两个零点， 就是函 数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)的图象与函数 y＝x＋a 的图象有两个交 点．由图象可知，当 0＜a＜1 时，两函数只有一个交点，不符 合；当 a＞1 时，因为函数 y＝ax(a＞1)的图象过点(0,1)，而直线 y＝x＋a 的图象与 y 轴的交点一定在点(0,1)的上方， 所以一定有 两个交点．所以实数 a 的取值范围是(1，＋∞)． 答案 (1，＋∞)
3
f′(2)＝6，所以曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y－3 ＝6(x－2)，即 y＝6x－9. (2)f′＝3ax2－3x＝3x(ax－1)． 1 令 f′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝a. 以下分两种情况讨论： 1 1 ①若 0＜a≤2，则a≥2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) 当
由参数的变化而引起的分类讨论
常考查：①解不等式含参数的讨论；②函数解析式中含 参数的最值与单调性问题；③二元二次方程表示曲线类型的判 定.
1－a 【例 2】► 已知函数 f(x)＝ln x－ax＋ x (0＜a＜1)，讨论函数 f(x)的单调性． [审题视点] 求出导数后，讨论函数 f(x)的导数的符号即可． [听课记录]
1 1 x∈－2，2时， 1 － ，0 2
0 0 极大值
1 0， 2
＋
－
1 － ＞0， f 2 f(x)＞0 等价于 f1＞0， 2
5－a＞0， 8 即 5＋a ＞0. 8
的，这种情况下，就可以把所要解决的问题转化为几个小问题
进行解决．
热 点 命 题 角 度
由数学概念、法则、公式而引起的 分类讨论
常考查：①集合中对空集的讨论；②指对函数的底的讨 论；③数列中由Sn求an分n＝1和n＞1的讨论；等比数列中公比
q＝1和q≠1的讨论；④基本不等式相等条件是否满足的讨论．
必考问题20 数学思想在解
题中的应用（二）
1．(2012· 山 东 ) 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－
3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x.则
f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋f(2 012)＝ ( A．335 C．1 678 B．338 D．2 012 )．
[审题视点] 分 a＞0，a＜0 讨论求解． [听课记录]
答案：C
1 [当 a＞0 时，由 f(a)＞f(－a)，得 log2a＞log a， 2
1 1 即 log2a＞log2 a，即 a＞a，解得 a＞1； 1 当 a＜0 时，由 f(a)＞f(－a)，得 log2(－a)＞log2(－a)， 即
1 的单调递减区间是(0，＋∞)；当 ＜a＜1，函数 f(x)的单调递减区 2
1 1 间是0，a－1，(1，＋∞)，单调递增区间是a－1，1.
求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值 或不同取值范围进行分类讨论，分类要合理，要不重不漏，要 符合最简原则．
3 2 【突破训练 2】 (2012· 东北三校联考)已知函数 f(x)＝ax －2x
变动型．
2．转化与化归思想是高中数学学习中最基本、最重要的 思想方法，它无处不在．比如：在解析几何中，通过建立坐标 系将几何问题划归为代数问题．
必 备 知 识 方 法
必备知识
分类与整合思想 在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解 到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行 的．当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导
学定理和公式是分类的，如等比数列的求和公式等；
(3)由参数变化引发的分类讨论：当要解决的问题中涉及参 数时，由于参数在不同范围内取值时，问题的发展方向不 同，这就要把参数划分的几个部分分类解决；
(4) 问题的具体情况引发的分类讨论：有些数学问题本身就要
分情况解决，如概率计算中要根据要求，分类求出基本事件的
3
＋1(x∈R)，其中 a＞0. (1)若 a＝1，求曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
1 1 (2)若在区间－2，2上，f(x)＞0
恒成立，求 a 的取值范围．
3 2 解 (1)当 a＝1 时，f(x)＝x － x ＋1，f(2)＝3.f′(x)＝3x2－3x， 2
3π 第四次：sin 2π＞sin 2 成立，a＝1，T＝T＋a＝2，k＝5,5＜6， 继续循环； 5π 第五次：sin ＞sin 2π 成立，a＝1，T＝T＋a＝3，k＝6,6＜6 不 2 成立，跳出循环，输出 T 的值为 3. 答案 3
1 ．分类讨论思想的考查重点为含有参数的函数性质问
题、与等比数列的前n项和有关的计算推证问题、直线与圆锥
(
)．
答案： D [取函数
2 x－1 ，x∈[1，2∪2，3]， f(x)＝ 2，x＝2，
则函数
f(x)满足题设条件具有性质 P，但函数 f(x)的图象是不连续的， 故①为假命题，排除 A、B；取函数 f(x)＝－x,1≤x≤3，则函数 满足题设条件具有性质 P，但 f(x2)＝－x2,1≤x≤ 3就不具有性 质 P，故②为假命题，排除 C.应选 D.]
log x，x＞0， 2 【例 1】 ► (2010· 天津)设函数 f(x)＝ 1 若 f(a) log2－x，x＜0， ＞f(－a)，则实数 a 的取值范围是 A．(－1,0)∪(0,1) C．(－1,0)∪(1，＋∞) ( )．
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
2．(2012· 福建)函数f(x)在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈
x1＋x2 1 [a，b]，有f ≤ 2 [f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)在[a，b]上具有 2
性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质 P，现给出如下命题： ①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的；②f(x2)在[1， 3 ]上具
＋0
0
1 1 x∈－2，2时，
1 －2＞0， f f(x)＞0 等价于 f1＞0， a
在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻
觅、追溯一些熟知的结果，由此将问题化难为易，化繁为 简，化大为小，各个击破，达到最终解决问题的目的，这 种解决问题的思想就是化归与转化思想．
必备方法
1．分类讨论的几种情况 (1)由数学的概念、图形的位置等引发的分类讨论：数学中 的概念有些就是分类的，如绝对值的概念； (2)由数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论：一些数
解不等式组得－5＜a＜5.因此 0＜a≤2. 1 1 ②若 a＞2，则 0＜a＜2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) 当
1 － ，0 2
0 － 极大值
1 0， a
1 a ＋ 极小值
1 1 ， a 2
a－1 ax2－x＋1－a 1 解 f′(x)＝ x－a＋ x2 ＝－ ，x∈(0，＋∞)． x2 1 由 f′(x)＝0，即 ax －x＋1－a＝0，解得 x1＝1，x2＝a－1.
2
1 1 (1)若 0＜a＜2，则 x2＞x1.当 0＜x＜1 或者 x＞a－1 时，f′(x)＜0； 1 当 1＜x＜a－1 时，f′(x)＞0.故此时函数 f(x)的单调递减区间是