数学】25简单复合函数的求导法则课件北师大版选修(3)
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《复合函数求导》课件
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边际分析
在经济学中，导数可以用来进行边际分析，帮助理解经济变量的 变化对总体的影响。
弹性分析
导数可以用来计算弹性，帮助理解经济变量之间的相对变化。
最优化问题
通过导数，可以找到使经济效用最大的最优解。
导数在物理学中的应用
速度和加速度
在物理学中，导数可以用来计算速度和加速度，从而更好地理解 物体的运动状态。
03
复合函数求导的应用
ห้องสมุดไป่ตู้
导数在几何中的应用
切线斜率计算
在几何中，导数可以用来计算曲线的切线斜率， 从而了解曲线在某一点的增减性。
极值问题
通过导数，可以确定曲线的极值点，从而确定曲 线的最大值和最小值。
曲线的凹凸性
导数的符号可以用来判断曲线的凹凸性，从而更 好地理解曲线的形状。
导数在经济学中的应用
商式法则是指对复合函数的商式形式进行求导，即对分子和分母分别进行求导，然后将结果相除。
详细描述
商式法则用于处理复合函数中多个函数的商式形式。其基本思想是将复合函数分解为两个基本初等函 数的商，然后分别对分子和分母进行求导。具体地，对于复合函数$frac{f(u)}{g(u)}$，商式法则可以 表示为$frac{f'(u) cdot g(u) - f(u) cdot g'(u)}{[g(u)]^2}$。
《复合函数求导》ppt课件
目录 CONTENTS
• 引言 • 复合函数求导法则 • 复合函数求导的应用 • 复合函数求导的注意事项 • 习题与解答
01
引言
课程背景
01
复合函数求导是微积分中的重要概念，是学习微积分的基础。
北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第二章 §5 简单复合函数的求导法则
解:(1)∵函数y=(3x-2)2可看作是由函数f(u)=u2和u=φ(x)=3x-2复合而成的,
∴yx'=f'(u)φ'(x)=(u2)'·(3x-2)'=6u=18x-12.
2
(2)∵函数 y=ln(6x+4)可看作是由函数 f(u)=ln u 和 u=φ(x)=6x+4 > - 3 复合
6
√10
f'(40)=
2√40
=
1
(mm/min).
4
答案:D
4.若f(x)=ecos x,则f'(x)=
答案:-sin x·ecos x
.
5.求曲线 y=f(x)=
1
2 -3
1
在点 4, 处的切线方程.
2
3
1 2
解:由复合函数的求导法则,可得 f'(x)=- (x -3x) 2 ·(2x-3),
综上,[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x).
3.一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果给定x的一个值,就得到
了u的值,进而确定了y的值,那么y可以表示成x的函数,称这个函数为函数
y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作y= f(φ(x)) ,其中u为中间变量.
复合函数y=f(φ(x))对x的导数为yx'=[f(φ(x))]'= f'(u)φ'(x) ,其中u=φ(x).
e
-2t
9
9
(2)y=5(x+32)=5(16e-2t+36),
9×16 -2t
288 -2t
y'= 5 e ×(-2)=- 5 e .
∴yx'=f'(u)φ'(x)=(u2)'·(3x-2)'=6u=18x-12.
2
(2)∵函数 y=ln(6x+4)可看作是由函数 f(u)=ln u 和 u=φ(x)=6x+4 > - 3 复合
6
√10
f'(40)=
2√40
=
1
(mm/min).
4
答案:D
4.若f(x)=ecos x,则f'(x)=
答案:-sin x·ecos x
.
5.求曲线 y=f(x)=
1
2 -3
1
在点 4, 处的切线方程.
2
3
1 2
解:由复合函数的求导法则,可得 f'(x)=- (x -3x) 2 ·(2x-3),
综上,[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x).
3.一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果给定x的一个值,就得到
了u的值,进而确定了y的值,那么y可以表示成x的函数,称这个函数为函数
y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作y= f(φ(x)) ,其中u为中间变量.
复合函数y=f(φ(x))对x的导数为yx'=[f(φ(x))]'= f'(u)φ'(x) ,其中u=φ(x).
e
-2t
9
9
(2)y=5(x+32)=5(16e-2t+36),
9×16 -2t
288 -2t
y'= 5 e ×(-2)=- 5 e .
简单复合函数的求导法则学习教育课件PPT
推论：[c· f(x)]’ = c f’(x)
3)
课前练习：
1 1 1. y x( x 2 ), 求y '； x x x x 2. y x sin cos , 求y '； 2 2
2
3. y x cos( x), 求y '；
1 4. y , 求y '； sin x 5 x x x sin x 5. y , 求y '. 2 x
(2) y 3 x 2 x 1； (4) y ( a bx n ) m；
引例1：求函数y=(3x-1)2的导数.
已知y (3x 1) , 那么 y ' (3x 1) 2 (9x 6x 1)' 18x 6
2 2 '
函数y (3x 1)2 又可以看成由y u 2 , u 3x 1复合而成,
问题：如何求y (3x 2) 的导数？
2
① y x y 3x 2 9 x 12x 4 18 x 12
'
'
2'
2
'
y ( 3 x 2) 是一个复函数， ② 其实，
2
由 yu
yu
2
与 u 3 x 2 复合而成 .
2u
6 x 4 ; ux
复合函数的求导法则:
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量f(u) 的导数,乘以中间变量 u ( x ) 对自变量的导数.
注意： 1、法则可以推广到两个以上的中间变量； 2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定 中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.
【高中课件】高二数学北师大版选修222.5 简单复合函数的求导法则课件ppt.pptx
【例 1】 指出下列函数的复合关系:
(1)y= 2������ + 1;
(2)y=cos
3������
+
π 4
.
解:函数的复合关系分别是
(1)y= ������,u=2x+1. (2)y=co决复合关系问题的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最
外层开始,由外及里,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常见的基本 函数,逐步确定复合过程.
12345
12345
2函数f(x)=(2x+1)5,则f'(0)的值为
.
解析:∵f'(x)=5(2x+1)4(2x+1)'=10(2x+1)4,∴f'(0)=10.
答案:10
12345
12345
12345
说明 1.复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,引入中间变量,将 复合函数分解成为较简单的函数,然后再用复合函数的求导法则求导.
2.利用复合函数的求导法则时,要注意选择合适的中间变量.例如,对于 函数 y=(3������+1 1)4,可令 u=3x+1,y=u-4;也可令 u=(3x+1)4,y=1������.显然前一种形式 更有利于求导.
把一部分量的式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体就是中间变量,求导
时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏.而其中特别要注意中间变量的
系数,求导数后,要把中间变量转换成自变量的函数.
题型一
题型二
题型三
解:(1)设 y=u4,u=2x+3,则
y'x=(u4)'·(2x+3)'=4u3·2=8(2x+3)3.
数学北师大版高中选修2-22.5《简单复合函数的求导法则》课件(北师大版选修2-2)
课程目标设置
主题探究导学
典型例题精析
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.函数y=
x 2 -x+3 的复合情况为（
）
(A)f(u)= u , u=x2-x+3 (B)f(u)=u2-u+3,u= x
(C)f(u)=u,u=
x 2 -x+3
(D)f(u)= u 2 -u+3 ,u=x
=6·u5·2=12(2x+5)5
将其展开得x3的系数为24 000. 答案：24 000
5.函数y=log2(x+1)在点（0，0）处的切线方程为_______分，共25分） 6.求下列函数的导数： （1）y=sin2x; (2)y=ln 1 . x 【解析】（1）函数y=sin2x可看作是由f(u)=u2, u=φ(x)=sinx复合而成，又f′(u)=2u,φ′(x)=cosx, 故y′x=f′(u)·φ′(x)=2u·cosx=2·sinx·cosx=sin2x.
2.（5分）（2010·益阳高二检测）已知曲线方程
f(x)=sin2x+2ax(a∈R),若对任意实数m，直线l：x+y+m=0都 不是曲线y=f(x)的切线，则a的取值范围是______.
【解析】由题知曲线在x=x0时的导数f′(x0)≠-1恒成立，
又由复合函数求导法则及导数的加法与减法法则得 f′(x)=(sin2x)′+(2ax)′ =2sinxcosx+2a =sin2x+2a
7.设y=8sin3x,求曲线在点P（ , 1)处的切线方程. 6 【解析】利用复合函数求导法则得： y′=(8sin3x)′=8(sin3x)′=24sin2x(sinx)′=24sin2xcosx. ∴曲线在点P( , 1)处的切线的斜率 6 k=y′|x= =24sin2 ·cos = 3 3. 6 6 6 ∴适合题意的曲线的切线方程为y-1= 3 3 (x- )， 6 即6 3 x-2y- 3 π+2=0.
主题探究导学
典型例题精析
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.函数y=
x 2 -x+3 的复合情况为（
）
(A)f(u)= u , u=x2-x+3 (B)f(u)=u2-u+3,u= x
(C)f(u)=u,u=
x 2 -x+3
(D)f(u)= u 2 -u+3 ,u=x
=6·u5·2=12(2x+5)5
将其展开得x3的系数为24 000. 答案：24 000
5.函数y=log2(x+1)在点（0，0）处的切线方程为_______分，共25分） 6.求下列函数的导数： （1）y=sin2x; (2)y=ln 1 . x 【解析】（1）函数y=sin2x可看作是由f(u)=u2, u=φ(x)=sinx复合而成，又f′(u)=2u,φ′(x)=cosx, 故y′x=f′(u)·φ′(x)=2u·cosx=2·sinx·cosx=sin2x.
2.（5分）（2010·益阳高二检测）已知曲线方程
f(x)=sin2x+2ax(a∈R),若对任意实数m，直线l：x+y+m=0都 不是曲线y=f(x)的切线，则a的取值范围是______.
【解析】由题知曲线在x=x0时的导数f′(x0)≠-1恒成立，
又由复合函数求导法则及导数的加法与减法法则得 f′(x)=(sin2x)′+(2ax)′ =2sinxcosx+2a =sin2x+2a
7.设y=8sin3x,求曲线在点P（ , 1)处的切线方程. 6 【解析】利用复合函数求导法则得： y′=(8sin3x)′=8(sin3x)′=24sin2x(sinx)′=24sin2xcosx. ∴曲线在点P( , 1)处的切线的斜率 6 k=y′|x= =24sin2 ·cos = 3 3. 6 6 6 ∴适合题意的曲线的切线方程为y-1= 3 3 (x- )， 6 即6 3 x-2y- 3 π+2=0.
2.5简单复合函数的求导法则课件高二下学期数学北师大版选择性
(2)y'=(sin 2x)'+(cos 2x)'=2cos 2x-2sin 2x.
2
(3)设 y=u ,u=ln x,则
于是
1
yu'=2u,ux'=,
2ln
yx'=yu'·ux'= ,即
2ln
y'= .
探究点三
与复合函数有关的切线问题
【例3】 (1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(
变式训练1[人教B版教材例题]求下列函数的导数.
(1)h(x)=e5x-1;
(2)f(x)=ln(2x+1);
(3)y= 2-1;
(4)y=sin 2 +
π
3
.
解 (1)h(x)=e5x-1可以看成f(u)=eu与u=g(x)=5x-1的复合函数,因此
h'(x)=f'(u)g'(x)=(eu)'(5x-1)'=eu×5=5e5x-1.
(2)y'=(e-x)'sin 2x+e-x·(sin 2x)'=-e-xsin 2x+2e-xcos 2x.
4
4
重难探究·能力素养速提升
探究点一
求复合函数的导数
【例1】 求下列函数的导数.
(1)y=(4-3x)2;(2)y=cos(2x- π );(3)y=ln(4x-1);(4)y=
4
e
2 .
分析先分析每个复合函数的构成,再按照复合函数的求导法则进行求导.
解 (1)设y=u2,u=4-3x,则yu'=2u,ux'=-3,于是yx'=yu'·ux'=-6(4-3x)=18x-24,即
2
(3)设 y=u ,u=ln x,则
于是
1
yu'=2u,ux'=,
2ln
yx'=yu'·ux'= ,即
2ln
y'= .
探究点三
与复合函数有关的切线问题
【例3】 (1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(
变式训练1[人教B版教材例题]求下列函数的导数.
(1)h(x)=e5x-1;
(2)f(x)=ln(2x+1);
(3)y= 2-1;
(4)y=sin 2 +
π
3
.
解 (1)h(x)=e5x-1可以看成f(u)=eu与u=g(x)=5x-1的复合函数,因此
h'(x)=f'(u)g'(x)=(eu)'(5x-1)'=eu×5=5e5x-1.
(2)y'=(e-x)'sin 2x+e-x·(sin 2x)'=-e-xsin 2x+2e-xcos 2x.
4
4
重难探究·能力素养速提升
探究点一
求复合函数的导数
【例1】 求下列函数的导数.
(1)y=(4-3x)2;(2)y=cos(2x- π );(3)y=ln(4x-1);(4)y=
4
e
2 .
分析先分析每个复合函数的构成,再按照复合函数的求导法则进行求导.
解 (1)设y=u2,u=4-3x,则yu'=2u,ux'=-3,于是yx'=yu'·ux'=-6(4-3x)=18x-24,即
高中数学选修课件第二章§简单复合函数的求导法则
06
练习题与自测题
练习题
求函数y = (2x^3 + 5x^2 - 7x + 1)^4 的导数。
求函数y = ln(x^2 + 1) / (x^3 - 2x + 1) 的导数。
求函数y = sin(2x) * e^(3x)的导数。 求函数y = sqrt(4x^2 + 3x)的导数。
自测题
求函数y = cos(3x^2 - 4x + 1)的导数。
THANKS
进行变量替换
将原函数中的相应部分用新变量替换，得到新的函数表达式。
求导并回代
对新函数进行求导，然后将替换变量的原表达式回代到求导结果 中，得到最终的导数表达式。
05
实际问题中简单复合函数 求导应用举例
曲线在某点切线斜率问题
几何意义
切线的斜率等于函数在该点的导 数。
求解步骤
先求出复合函数的导数，再将切点 的横坐标代入导数表达式中求出切 线的斜率。
高中数学选修课件第二章§简 单复合函数的求导法则
汇报人：XX
汇报时间：20XX-01-29
目录
• 简单复合函数概述 • 求导法则基本原理 • 简单复合函数求导实例分析 • 复杂复合函数求导技巧探讨
目录
• 实际问题中简单复合函数求导应用举 例
• 练习题与自测题
01
简单复合函数概述
定义与性质
01
02
求导法则基本原理
链式法则介绍
链式法则定义
若函数u=g(x)在点x可导，函数 y=f(u)在对应的点u=g(x)可导，则复 合函数y=f[g(x)]在x可导，且其导数 为dy/dx=f'(u)·g'(x)。
高二数学北师大版选修2-2 第2章 §5 简单复合函数的求导法则课件(37张)
1.解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成.
2.复合函数求导的步骤
[再练一题] 2.求下列函数的导数. 1 (1)y＝(2x－1) ；(2)y＝ ； 1－2x
4
π (3)y＝sin－2x＋3；(4)y＝102x＋3.
§5
简单复合函数的求导法则
1.了解复合函数的概念.(难点) 2.掌握复合函数的求导法则.(重点) 3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数.(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 1 复合函数的概念 阅读教材 P49 倒数第 2 行以上部分，完成下列问题. 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝φ(x)＝ax＋b，给定 x 的一个值，就得到 了 u 的值，进而确定了 y 的值，这样 y 可以表示成 x的函数 ，我们称这个函数 为函数 y＝f(u)和 u＝φ(x)的 y＝f(φ(x)) ，记作复合函数 ，其中 u 为中间变量.
＋
【提示】 ∵f′(x)＝e2x 1·(2x＋1)′＝2e2x 1，
Байду номын сангаас
[探究共研型]
复合函数导数的应用
探究 1 求曲线
π y＝cos2x＋6在
π x＝6处切线的斜率.
【提示】
π ∵y′＝－2sin2x＋6， π π k＝－2sin2×6＋6＝－2.
∴切线的斜率
探究 2 求曲线 y＝f(x)＝e
＋
2x＋1
1 在点－2，1处的切线方程.
－ －4
6 ＝－6(2x－1) ＝－ 4. （2x－1）
－4
(3)函数 y＝5log2(1－x)可看作函数 y＝5log2u 和 u＝1－x 的复合函数， －5 5 ∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝uln 2＝ . （x－1）ln 2 (4)函数 y＝sin3x 可看作函数 y＝u3 和 u＝sin x 的复合函数，函数 y＝sin 3x 可看作函数 y＝sin v 和 v＝3x 的复合函数. ∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u2·cos x＋3cos v ＝3sin2x cos x＋3cos 3x.
【高中课件】北师大版选修22高考数学2.5简单复合函数的求导法则课件ppt.ppt
典例提升 2
求下列函数的导数: (1)y=(2x+1)n(x∈N+); (2)y=sin(4x+3); (3)y=xcos 2x. 解:(1)y'=[(2x+1)n]'=n(2x+1)n-1·(2x+1)' =2n(2x+1)n-1. (2)y'=[sin(4x+3)]'=cos(4x+3)·(4x+3)'=4cos(4x+3). (3)y'=(xcos 2x)'=x'·cos 2x+(cos 2x)'·x =cos 2x-2xsin 2x.
答案:C
12345
2.函数 y=e2x-4 上 x=2 处的切线方程为( )
A.2x-y-3=0
B.2x+y-3=0
C.ex-y-2e+1=0 D.ex+y+2e-1=0 解析:y'=(e2x-4)'=e2x-4·(2x-4)'=2e2x-4,
∴k=2e2×2-4=2.
把 x=2 代入 y=e2x-4,得 y=1,∴切点为(2,1).
到直线 l 的最短距离.
∴y'=2���1���-1(2x-1)'=2���2���-1.
设切点为 P(x0,y0).
∴2������20-1=2,∴x0=1.
中小学精编教育课件
§2.5 简单复合函数的求导法则
学习目标
思维脉络
1.能说出复合函数的概
念,记住复合函数的求导法则. 2.会运用复合函数求导法则 求一些复合函数的导数. 3.能把一个复合函数分成两 个或几个简单函数的和、差、
求下列函数的导数: (1)y=(2x+1)n(x∈N+); (2)y=sin(4x+3); (3)y=xcos 2x. 解:(1)y'=[(2x+1)n]'=n(2x+1)n-1·(2x+1)' =2n(2x+1)n-1. (2)y'=[sin(4x+3)]'=cos(4x+3)·(4x+3)'=4cos(4x+3). (3)y'=(xcos 2x)'=x'·cos 2x+(cos 2x)'·x =cos 2x-2xsin 2x.
答案:C
12345
2.函数 y=e2x-4 上 x=2 处的切线方程为( )
A.2x-y-3=0
B.2x+y-3=0
C.ex-y-2e+1=0 D.ex+y+2e-1=0 解析:y'=(e2x-4)'=e2x-4·(2x-4)'=2e2x-4,
∴k=2e2×2-4=2.
把 x=2 代入 y=e2x-4,得 y=1,∴切点为(2,1).
到直线 l 的最短距离.
∴y'=2���1���-1(2x-1)'=2���2���-1.
设切点为 P(x0,y0).
∴2������20-1=2,∴x0=1.
中小学精编教育课件
§2.5 简单复合函数的求导法则
学习目标
思维脉络
1.能说出复合函数的概
念,记住复合函数的求导法则. 2.会运用复合函数求导法则 求一些复合函数的导数. 3.能把一个复合函数分成两 个或几个简单函数的和、差、
优课系列高中数学北师大版选修2225简单复合函数的求导法则课件16张
(1 ) y e 2 x1
(2 ) y sin ( x 1)
(3 ) y ln (3 x 1)
(4 ) y
1 (2 x 1)2
六、变式训练，辨析理解
练习2：求以下函数的导数。 五、稳固练习，强化方法
我们的想法是：通过换元，将所给复杂函数变形为常见根本函数！ 八、思维发散，开拓视野
三、抽象概念，标准公式
的复合函数，记作
。
求函数
的导数。
七、课堂外延，素质提高
求函数 y ln x2 1的导数
解： 令 u 练习2：求以下函数的导数。 x21,vx21,
练习2：求以下函数的导数。
则ylnu,u v 二、寻找规律，探求新知
可导函数四那么运算的求导法那么：
练习1：运用复合函数求导法那么求以下函数的导数。
可导函数四那么运算的求导法那么：
例如，在例（4）中，我们只须令，u2x3
原来的函数就转化成了 y u 2 。
对于前者，我们把 u 看作是关于 x 的函数，对
于后者，我们把 y 看做是关于u 的函数，这样， 我们就间接的把 写y成了关于 的x 函数。
分别求导得 ux ' 2,yu ' 2u2(2x3 )
又 yx' 8x12
观察本例，有
yyuyuv 又如，在
中，' 令
四三、、例 抽题象讲概解念，，记标忆准方公x法式
'，就有 ' ux
' '' uvx
三、抽象概念，标准公式
1 1 2x
u2v
1 x212
x1212xx2x1
八、思维发散，开拓视野
求函数 y xx(x 0) 的导数。
解：等式两边取以e为底的对数得
(2 ) y sin ( x 1)
(3 ) y ln (3 x 1)
(4 ) y
1 (2 x 1)2
六、变式训练，辨析理解
练习2：求以下函数的导数。 五、稳固练习，强化方法
我们的想法是：通过换元，将所给复杂函数变形为常见根本函数！ 八、思维发散，开拓视野
三、抽象概念，标准公式
的复合函数，记作
。
求函数
的导数。
七、课堂外延，素质提高
求函数 y ln x2 1的导数
解： 令 u 练习2：求以下函数的导数。 x21,vx21,
练习2：求以下函数的导数。
则ylnu,u v 二、寻找规律，探求新知
可导函数四那么运算的求导法那么：
练习1：运用复合函数求导法那么求以下函数的导数。
可导函数四那么运算的求导法那么：
例如，在例（4）中，我们只须令，u2x3
原来的函数就转化成了 y u 2 。
对于前者，我们把 u 看作是关于 x 的函数，对
于后者，我们把 y 看做是关于u 的函数，这样， 我们就间接的把 写y成了关于 的x 函数。
分别求导得 ux ' 2,yu ' 2u2(2x3 )
又 yx' 8x12
观察本例，有
yyuyuv 又如，在
中，' 令
四三、、例 抽题象讲概解念，，记标忆准方公x法式
'，就有 ' ux
' '' uvx
三、抽象概念，标准公式
1 1 2x
u2v
1 x212
x1212xx2x1
八、思维发散，开拓视野
求函数 y xx(x 0) 的导数。
解：等式两边取以e为底的对数得
《2.5 简单复合函数的求导法则》课件 3-优质公开课-北师大选修2-2精品
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教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
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BS·数学 选修2-2
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
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教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
【思路探究】 先利用复合函数的求导法则求出函数
前
课
自 主
在该点的导数，然后利用导数的几何意义可知梯子上端下
时 作
导
业
学 滑的距离关于时间的函数表示梯子上端下滑的速度．
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
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BS·数学 选修2-2
教
易
学 教
【自主解答】
函数y＝5－ 25－9t2是由函数f(x)＝5－
错 易
法
误
分 析
基
设
达
计
标
2．复合函数的求导过程就是对复合函数由外层向里层
课
前 求导，每次求导都针对着本层相应变量进行，直至求到最
自
课 时
主
作
导 里层为止．
业
学
课
教
堂
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互
备
动
课
探
资
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源
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教
易
学
错
教
易
法
求下列函数的导数．
误
分
辨
析
析
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(1)y＝3－14x4；(2)y＝cos(2 008x＋8)．
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【思路探究】 先利用复合函数的求导法则求出函数
前
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在该点的导数，然后利用导数的几何意义可知梯子上端下
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函数y＝5－ 25－9t2是由函数f(x)＝5－
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达
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标
2．复合函数的求导过程就是对复合函数由外层向里层
课
前 求导，每次求导都针对着本层相应变量进行，直至求到最
自
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主
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求下列函数的导数．
误
分
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析
析
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(1)y＝3－14x4；(2)y＝cos(2 008x＋8)．
高中数学北师大版选修2-2第2章5《简单复合函数的求导法则》ppt课件
1 1＋x2－x(
1＋x x2－1)
＝
1＋1x2－x·x－1＋1＋x2x2＝－
1 1＋x2.
[点评] 令u＝ 1＋x2 －x，则y＝lnu，错解一只进行了y对 u的求导；错解二漏掉了对(1＋x2)求导．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
量的函数．
• 整个过程可简记为分解——求导——回代．
• 2．求复合函数的导数时，首先要分析复合函数的结 构，再从最外层开始由外及里逐层求导，做到不重 不漏．
• 3．求复合函数的导数要处理好以下环节：
• ①中间变量的选择应是基本函数结构；
• ②关键是正确分析函数和复合层次；
• ③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；
• ④善于把一部分表达式作为一个整体；
• ⑤最后要把中间变量换成自变量的函数．
4．若函数y＝f(u)的定义域为U，u＝g(x)的定义域为A，值 域为B，且B⊆U，则称函数y＝f(g(x))是由函数y＝f(u)与函数u ＝g(x)复合而成的复合函数，其中u叫作中间变量，把函数f(u) 叫作外层函数，函数g(x)叫作内层函数．如函数y＝ sin2x＋1 是由y＝ u和u＝v2＋1，v＝sinx三个函数复合而成．
[解析] (1)y＝u－4，u＝1－3x. ∴y′＝y′u·u′x ＝(u－4)′·(1－3x)′ ＝－4·u－5·(－3) ＝12u－5 ＝12(1－3x)－5＝1－123x5.
1
(2)y＝u3 ，u＝ax2＋bx＋c.
y′＝y′u·u′x ＝13u－23 ·(2ax＋b)
＝13(ax2＋bx＋c)
简单复合函数的求导法则课件北师大选修3
求导法则在经济学中的应用：例如，求导法则可以用来求解经济模型的最优解，如利润最大化、成本最小化等。 求导法则在工程学中的应用：例如，求导法则可以 求导法则在生物学中的应用：例如，求导法则可以用来求解生物系统的最优解，如基因表达调控、生物进化等。
举例说明求导法则在数学建模中的应用
复合函数的表示方法
基本形式：f(g(x))
复合函数：f(u)， 其中u=g(x)
复合函数的导数： f'(g(x))*g'(x)
复合函数的求导法 则：链式法则
复合函数的性质
复合函数的定义：由两个函数组成的函数，其中一个函数是另一个函数的自变量 复合函数的性质：复合函数的导数等于导数的乘积 复合函数的性质：复合函数的导数等于导数的乘积 复合函数的性质：复合函数的导数等于导数的乘积
求导法则在函数优化中的应用：通过求导找到函数的极值点，从而优化函数 求导法则在微分方程中的应用：通过求导解决微分方程，从而解决实际问题 求导法则在物理模型中的应用：通过求导建立物理模型，从而解决物理问题 求导法则在经济模型中的应用：通过求导建立经济模型，从而解决经济问题
复合函数求导法则的注 意事项
乘积法则的应用：求导复合函数
乘积法则的证明：利用极限的定 义和导数的定义进行证明
乘积法则的局限性：只适用于简 单复合函数，不适用于复杂复合 函数
商式法则
商式法则：f(u)=(u^n)/(u^m)，其中n和m为常数，u为变量
求导法则：f'(u)=n*u^(n-1)/u^m 应用：求导简单复合函数，如f(u)=(u^2)/(u^3)，f'(u)=2*u^(21)/u^3=2/u 注意事项：u不能为0，否则求导结果无意义
添加副标题
简单复合函数的求导法则
举例说明求导法则在数学建模中的应用
复合函数的表示方法
基本形式：f(g(x))
复合函数：f(u)， 其中u=g(x)
复合函数的导数： f'(g(x))*g'(x)
复合函数的求导法 则：链式法则
复合函数的性质
复合函数的定义：由两个函数组成的函数，其中一个函数是另一个函数的自变量 复合函数的性质：复合函数的导数等于导数的乘积 复合函数的性质：复合函数的导数等于导数的乘积 复合函数的性质：复合函数的导数等于导数的乘积
求导法则在函数优化中的应用：通过求导找到函数的极值点，从而优化函数 求导法则在微分方程中的应用：通过求导解决微分方程，从而解决实际问题 求导法则在物理模型中的应用：通过求导建立物理模型，从而解决物理问题 求导法则在经济模型中的应用：通过求导建立经济模型，从而解决经济问题
复合函数求导法则的注 意事项
乘积法则的应用：求导复合函数
乘积法则的证明：利用极限的定 义和导数的定义进行证明
乘积法则的局限性：只适用于简 单复合函数，不适用于复杂复合 函数
商式法则
商式法则：f(u)=(u^n)/(u^m)，其中n和m为常数，u为变量
求导法则：f'(u)=n*u^(n-1)/u^m 应用：求导简单复合函数，如f(u)=(u^2)/(u^3)，f'(u)=2*u^(21)/u^3=2/u 注意事项：u不能为0，否则求导结果无意义
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简单复合函数的求导法则
北师大版高中数学选择性必修第二册2.5 简单复合函数的求导法则【课件】
运算)
[教材要点]
要点一 复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个
值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成
x的函数
复合函数
__________，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的____________，记
y＝f(φ(x))
作____________，其中u为中间变量．
的．( √ )
(2)函数f(x)＝e－x的导数是f′(x)＝e－x.( × )
1
(3)函数f(x)＝ln (1－x)的导数是f′(x)＝ .( × )
1−x
(4)函数f(x)＝sin 2x的导数是f′(x)＝2 cos 2x.( √ )
2．(多选题)下列所给函数为复合函数的是(
A．y＝ln (x－2)
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))
1
2
2
处的切线为l，若直线l与圆C：x ＋y ＝ 相切，则实数a的值为___．
4
方法归纳
准确利用复合函数求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，
也是解题的关键，务必做到准确．
跟踪训练2 (1)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0
§5 简单复合函数的求导法则
新知初探 课前预习
题型探究 课堂解透
新知初探 课前预习
最新课程标准
能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数．
学科核心素养
1.了解复合函数的概念．(数学抽象)
2．利用复合函数的求导法则会求简单复合函数的导数．(数学运算)
3．利用复合函数的求导法则会解决与曲线的切线有关的问题．(数学
[教材要点]
要点一 复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个
值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成
x的函数
复合函数
__________，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的____________，记
y＝f(φ(x))
作____________，其中u为中间变量．
的．( √ )
(2)函数f(x)＝e－x的导数是f′(x)＝e－x.( × )
1
(3)函数f(x)＝ln (1－x)的导数是f′(x)＝ .( × )
1−x
(4)函数f(x)＝sin 2x的导数是f′(x)＝2 cos 2x.( √ )
2．(多选题)下列所给函数为复合函数的是(
A．y＝ln (x－2)
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))
1
2
2
处的切线为l，若直线l与圆C：x ＋y ＝ 相切，则实数a的值为___．
4
方法归纳
准确利用复合函数求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，
也是解题的关键，务必做到准确．
跟踪训练2 (1)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0
§5 简单复合函数的求导法则
新知初探 课前预习
题型探究 课堂解透
新知初探 课前预习
最新课程标准
能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数．
学科核心素养
1.了解复合函数的概念．(数学抽象)
2．利用复合函数的求导法则会求简单复合函数的导数．(数学运算)
3．利用复合函数的求导法则会解决与曲线的切线有关的问题．(数学
北师大版数学高二课件 简单复合函数的求导法则
2.若函数y＝sin2x，则y′等于( A )
A.sin 2x
B.2sin x
C.sin xcos x
D.cos2x
解析 y′＝2sin x·(sin x)′＝2sin x·cos x＝sin 2x.
3.若y＝f(x2)，则y′等于( A )
A.2xf′(x2)
B.2xf′(x)
C.4x2f(x)
规律方法 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u， 分别找出y关于u的函数关系，u关于x的函数关系.
跟踪演练1 指出下列函数由哪些函数复合而成： (1)y＝ln x； 解 y＝ln u，u＝ x； (2)y＝esin x； 解 y＝eu，u＝sin x； (3)y＝cos( 3x＋1). 解 y＝cos u，u＝ 3x＋1.
规律方法 求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数， 要注意“在某点处的切线”与“过某数，且f(0)＝3，f′(0)＝0， f′(1)＝－3，f′(2)＝0，求f(x)的解析式. 解 依题意，可设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)， 则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 由f(0)＝3，得d＝3，由f′(0)＝0，得c＝0. 由f′(1)＝－3，f′(2)＝0，
要点一 复合函数的定义 例1 指出下列函数是怎样复合而成的： (1)y＝(3＋5x)2； 解 y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的.
(2)y＝log3(x2－2x＋5)； 解 y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5 复合而成的.
(3)y＝cos 3x. 解 y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的.
2 x.
方法二 令 u＝ x－2，
则 y′x＝y′u·u′x＝2( x－2)·( x－2)′
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编辑ppt
3
课前练习：
1.yx(x21xx12),求 y'；
y
'
2x2
1 x2
2.yxsinxcosx,求 y'； 22
y ' 1 1 cos x 2
3.y xcos(x),求 y'；
y' xcosx 2x
xsinx
4.y 1 ,求y'； sin x
cos x y ' sin2 x
5.yx5 xxsinx,求y'.
13
例4.求下列函数的导数
( 1 )y c o s 3 x c o s 3 x ( 2 )y l n ( x 1 x 2 )
解:(1) y (c3x o ) ( sc3 x o ) s 3 c2 o x (scx )o ss3 ix n (3 x )
3 c2 o xssix n 3 s3 ix n 3 (c2x o sis x n s3 ix n )
（ 1）y1(25x)10 x
(2) ysin3xsinx3
解：(2)y′=(sin3x+sinx3)′
=(sin3x)′+(sinx3)′
=3sin2x·(sinx)′+cosx3·(x3)′
=3sin2xcosx+3x2cosx3.
编辑ppt
10
例 2求 曲 线 y 3 ( 3 x 2 1 ) 在 点 （ 1 ， 3 4 ） 处 的 切 线 方 程 。
第二章 变化率与导数
§2.5 简单复合函数的求导法则
编辑ppt
1
知识回顾
1、导数公式表
函数 y c(c是常数）
导函数
y 0
y x (为实数）
y x1
yax(a0,a1)
yax lna
y ex
ylogax(a0,a1)
y lnx
ysinx
y ex
y 1 x ln a
y 1 x
ycoxs
x2
编辑ppty'3x232xx3 xcosxx2 sin4x
讲授新课：
1.复合函数的概念:
对于函数y f ((x)),令u (x),
若y f (u)是中间变量u的函数，
u (x)是自变量x的函数，则称 y f ((x))是自变量x的复合函数.
编辑ppt
5
1.指出下列函数是怎样复合而成：
(1) y s in 2 x；
所以由复合函数求导法则得
yx
yuux
1u124x 2
将 u2x23代入 y ，2x 得
2x23
编辑ppt
12
（2） 函 y 数 l2 n (1 3 x)可以 y 分 u 2,ul解 n v和 v 为 1 3 x
又 yu2u,uv1 v,vx3
y y u u v v x 2 u 1 v ( 3 ) 3 x 6 1 ln 3 x 1 ( )
编辑ppt
7
讲授新课：
2.复合函数的导数:
一般地，设函数u(x)在点x处有导数ux' '(x),
函数y f(u)在点x对应u处有导数yu' f '(u),则复合
函数y f((x))在点x处也有导数，且yx' yu'ux'，
或写作f((x))x' f '(u)'(x).
复合函数的求导法则:
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量f(u) 的导数,乘以中间变量 u (x)对自变量的导数.
注意： 1、法则可以推广到两个以上的中间变量； 2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定 中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.
编辑ppt
8
例 1 求 下 列 函 数 的 导 数
（ 1）y1(25x)10 x
【解析】
(2) ysin3xsinx3
编辑ppt
9
例 1 求 下 列 函 数 的 导 数
问题： 如何y求 (3x2)2的导数？
① y'x y' [(3x 2)2]' 9x21x24'18x12
② 其实，y(3x2)2 是一个复合函数，
由y u2 与u 3x 2复合而 . 成
yu 2u 6x 4 ; ux 3 ;
分析三个函数解析式以及导数 yu,ux, yx'
之间的关系: y' yx' yu ux
3.求下列复合函数的导数
(1 )yco 5xs (2)yco 5xs (3 y )ln 2x(x2)
(4 y )e 2x 3
(5)y 1 13x
答案： 1）y（ 5sin5x
(2y)5co4sxsinx
(3y)22x2xx2
(4y)2e2x3
( 2 ) y 3 x 2 x 1； (3 ) y c o s (s in x )； (4) y (a bxn)m； (5 ) y s in (1 1 ).
x
ysinu, u2x y u, u3x2x1
ycosu, usinx
yum, uabxn.
ysinu, u11 x
编辑ppt
6
（3） 函数ysin3(2x1)可以分解为
பைடு நூலகம்
yu3,usinv和v2x1
又 y u 3 u 2,u v co v ,vxs 2
y y u u v v x 3 u 2 cv o 2 6 s s 2 ( 2 ix n 1 ) c2 x o 1 )
计算熟练后，在计算复合函数求导时可不必
写出中间变量，直接计算编辑ppt
ycoxs
ysinx
ytanx
ycoxt
y
1 c os2
x
编辑ppt
y
1 sin2
x
2
2.导数的四则运算法则：
f(x)g(x) f(x)g(x), f(x)g(x) f(x)g(x).
f(x)g(x) f(x)g(x)f(x)g(x),
f (x) g(x)
f (x)g(xg)2(xf)(x)g(x).
（2） y 1 ( x 1 x 2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x 2 )]
x 1 x2
1 (1 x ) 1
x 1 x2
1 x2
1 x2
编辑ppt
14
2.填空题
(1)(ex)__e_x ____(_2_()11x)__(1_1_x)2_________
1
x
(3)(ln2x)_x______(4_()1x2)__1 _x 2________
【解析】
自学课本：本节例3
编辑ppt
11
例3.求下列复合函数的导数
( 1 ) y 2 x 2 3 ( 2 )y l n 2 ( 1 3 x )( 3 ) y s i n 3 ( 2 x 1 )
1
解:(1) 函y数 2x23可以y分 u2和 解 u2x 为 23
又 yu (u1 2)1 2u 1 2,u x(2 x2 3 )4 x