高二上学期文科导数复习题及答案

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(完整word版)高二导数练习题及答案

高二数学导数专题训练一、选择题1. 一个物体的运动方程为S=1+t+2t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A 7米/秒B 6米/秒C 5米/秒D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（）A.1B.2C.－1D. 03 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（）A ()f x =2()g xB ()f x -()g x 为常数函数C ()f x =()0g x =D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3y x x =+的递增区间是（）A )1,(-∞B )1,1(-C ),(+∞-∞D ),1(+∞5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（）A. f(x) 〉0B.f(x)〈 0C.f(x) = 0D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件7．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（）A (1,0)B (2,8)C (1,0)和(1,4)--D (2,8)和(1,4)-- 8．函数313y x x =+- 有（）A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值29. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（）A (0)(2)2(1)f f f +<B (0)(2)2(1)f f f +≤ C(0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +>10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．0二、填空题11．函数32y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 . 13.曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________.14.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 . 三、解答题：15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程16．如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？17．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-，请解答下列问题：（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。

高二数学导数计算试题答案及解析

高二数学导数计算试题答案及解析1.已知函数，则它的导函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，【考点】复合函数的导数.2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）=2xf′（2）+x3，则f′（2）等于（）. A．﹣8B．﹣12C．8D．12【答案】B.【解析】，；令，则，得.【考点】导数的计算.3.已知函数（1）若在上是增函数，求的取值范围；（2）若在处取得极值，且时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）(－∞，－1)∪(2，＋∞)．【解析】解题思路：（1）利用“若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立”求解；（2）先根据在处取得极值求得值，再将恒成立问题转化为求，解关于的不等式即可.规律总结：若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立；“若函数在某区间上单调递减，则在该区间恒成立；求函数最值的步骤：①求导函数；②求极值；③比较极值与端点值，得出最值.试题解析:（1）因在上是增函数，则f′(x)≥0，即3x2－x＋b≥0，∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)恒成立．＝，∴b≥.设g(x)＝x－3x2，当x＝时，g(x)max（2）由题意，知f′(1)＝0，即3－1＋b＝0，∴b＝－2.x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，只需f(x)在[－1,2]上的最大值小于c2即可因f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－.∵f(1)＝－＋c，f(－)＝＋c，f(－1)＝＋c，f(2)＝2＋c，∴f(x)＝f(2)＝2＋c，max∴2＋c＜c 2，解得c＞2，或c＜－1，所以c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).【考点】1.函数的单调性；2.函数的极值、最值；3.不等式恒成立问题.4.记，，…，．若，则的值为 .【答案】【解析】由f（x）=xcosx，得f（1）（x）=cosx﹣xsinx，f（2）（x）=﹣sinx﹣sinx﹣xcosx=﹣2sinx﹣xcosx，f（3）（x）=﹣2cosx﹣cosx+xsinx=﹣3cosx+xsinx，f（4）（x）=3sinx+sinx+xcosx=4sinx+xcosx，f（5）（x）=4cosx+cosx﹣xsinx=5cosx﹣xsinx，…，则f（0）+f（1）（0）+f（2）+…+f（2013）（0）=0+1+0﹣3+0+5+0﹣…+2013=（1﹣3）+（5﹣7）+…+（2009﹣2011）+2013=﹣2×503+2013=1007，故答案为：1007．【考点】导数的运算．5.为实数，(1)求导数；(2)若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值.【答案】⑴ (2) 最大值为最小值为【解析】⑴将括号打开函数变成多项式函数来求导数;也可利用积的导数法则来求解;(2)由结合(1)的结果可求出a值，从而获得的具体解析式，进而获得导数，令其等于零，求得其可能极值，并求出端点的函数值，比较其大小就可求出在[－2，2] 上的最大值和最小值.试题解析：⑴由原式得∴⑵由得,此时有.由得或x="-1" ,又所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为【考点】1.函数求导;2.函数的最值.6.已知函数在上不单调，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】此题考查导数的应用；，所以当时，原函数递增，当原函数递减；因为在上不单调，所以在上即有减又有增，所以或，或，故选A.【考点】函数的单调性与导数.7.设，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以当时，解得，所以。

高二导数练习题及答案

高二导数练习题及答案1. 求函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1的导数。

解答：由导数的基本定义，对于多项式函数f(x) = ax^n，其导数为f'(x) = anx^(n-1)。

根据该定义，对于函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1，求导得到f'(x) = 6x - 4。

因此，函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1的导数为f'(x) = 6x - 4。

2. 计算函数g(x) = (3x - 5)^4的导数。

解答：应用链式法则，对于复合函数f(g(x))，其导数为f'(g(x)) * g'(x)。

对于函数g(x) = (3x - 5)^4，可以看作f(u) = u^4的复合函数，其中u = 3x - 5。

首先计算f'(u) = 4u^3，然后计算g'(x) = 3。

根据链式法则，得到g'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = 4(3x - 5)^3 * 3。

因此，函数g(x) = (3x - 5)^4的导数为g'(x) = 12(3x - 5)^3。

3. 求函数h(x) = e^x * ln(x)的导数。

解答：根据指数函数和对数函数的导数性质，对于函数f(x) = e^x和g(x) = ln(x)，其导数分别为f'(x) = e^x和g'(x) = 1/x。

应用乘法法则，对于函数h(x) = e^x * ln(x)，其导数为h'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。

代入导数表达式，得到h'(x) = e^x * ln(x) + 1/x * e^x。

因此，函数h(x) = e^x * ln(x)的导数为h'(x) = e^x * ln(x) + e^x/x。

4. 求函数f(x) = sin^2(x) + cos^2(x)的导数。

高考文科数学导数真题汇编(带答案)

高考文科数学导数真题汇编(带答案)高考数学文科导数真题汇编答案一、客观题组4.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。

5.设函数f(x)=x^2-2x，则f(x)的单调递减区间为。

7.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=2处取得极大值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。

8.设函数f(x)=1/(2x-lnx)，则x=2为f(x)的极小值点。

9.函数y=1/(2x-lnx)的单调递减区间为(0,1]。

11.已知函数f(x)=x^2+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,3)处的切线斜率为4，则b=3.12.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1)，且在点(2,3)处的切线斜率为5，则a=2.二、大题组2011新课标】21.已知函数f(x)=aln(x/b)+2，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1) 求a、b的值；(2) 证明：当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)。

解析】1) f'(x)=a/(xlnb)+2/x，由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2，且过点(1,f(1))，解得a=1，b=1.2) 由(1)知f(x)=ln(x)+1，所以f(x)-2ln(x/b)=ln(x/b)+1>0，当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)成立。

2012新课标】21.设函数f(x)=ex-ax-2.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若a=1，k为整数，且当x>0时，(x-k)f'(x)+x+1>0，求k的最大值。

解析】1) f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f'(x)=ex-a，若a≤0，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增。

高二数学导数大题练习题(含答案)

高二数学导数大题练习题(含答案)一、解答题1．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间；(2)设()2xg x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求实数a 的取值范围.2．已知函数()ln f x x x x =-，()2ln 1g x a x x =-+.(1)求函数()f x 的最小值；(2)若()0g x ≤在()0,∞+上恒成立，求实数a 的值； (3)证明：1111232022e 2023+++⋅⋅⋅+>，e 是自然对数的底数.3．已知()2,13,1x x x f x x x ⎧-≥-=⎨+<-⎩，()()ln g x x a =+．(1)存在0x 满足：()()00f x g x =，()()00f x g x ''=，求a 的值； (2)当4a ≤时，讨论()()()h x f x g x =-的零点个数．4．已知函数21()ln (1)()22=+-+++∈R x f x a x a x a a 有一个大于1的零点0x ．(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：对任意的(]01,x x ∈，都有ln 10-+>a x x 恒成立．5．已知函数()()e sin x f x rx r *=⋅∈N ，其中e 为自然对数的底数.(1)若1r =，求函数()y f x =的单调区间；(2)证明：对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数a ，b ，使得当[,]x a b ∈时，|()|1f x ≤. 6．已知函数()1e xaxf x a=-+，0a ≠. (1)当1a =时，①求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； ②求证：()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点； (2)若()f x 没有零点，求a 的取值范围.7．设函数ln e ()xx f x a x=-，其中a ∈R 且0a ≠，e 是自然对数的底数. (1)设()'f x 是函数()f x 的导函数，若()'f x 在(2,3)上存在零点，求a 的取值范围； (2)若34e a ≥，证明：()0f x <. 8．已知函数()e 2x f x ax =-，()22sin 1g x a x x =-+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)试判断函数()f x 的单调性与极值点个数；(2)若关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，求实数a 的最小值. 9．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值． 10．已知函数2()ln f x a x x =+.(1)若1a =，求()f x 在点(1(1))f ，处的切线方程；(2)若对于任意2x ≥，()f x x '≥恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)答案见解析 (2)31a e ≤-【解析】【分析】（1）由()()110ax f x a x xx+=+=>'，按0a ≥，0a <进行分类讨论求解；（2）由已知，转化为()()max max f x g x <，由已知得()()max 12g x g ==，由此能求出实数a 的取值范围． (1)()(]110ax f x a x x x+'=+=>， ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+； ②当0a <时，由()0f x '=，得1x a=-，在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '>，在区间1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)由题目知，只需要()()max max f x g x <即可又因为()()max 12g x g ==，所以只需要()max 2f x <即可()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立，由变量分离可知2ln xa x-<，[]1,100x ∈，令()2ln xh x x -=，下面求()h x 的最小值，令()23ln xh x x-+'=，所以()0h x '=得3x e =，所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，3,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数，所以()()33min 1h x h e e -==，所以31a e ≤-. 2．(1)1- (2)2(3)证明见解析【解析】【分析】（1）求导求单调性即可求解；（2）()()220a x g x x x-'=>，分类讨论单调性得到()ln 1222maxg x a a a =-+，要使()0g x ≤在()0,∞+恒成立，则()0max g x ≤，即ln 10222a a a -+≤，又由（1）可得到ln 10222a a a -+≥，所以ln 10222a a a -+=，即可求解；（3）由（2）知()22ln 1g x x x =≤-得到22ln 1x x ≤-，所以ln 1t t ≤-，所以e 1xx ≥+，即11e >nn n+，代入证明即可. (1)()f x 的定义域为()0,∞+，()ln f x x '=，当()0,1x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0,f x '>故()f x 在()01,上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 所以()()11min f x f ==-. (2)()()2220a a x g x x x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在()0,∞+上单调递减，此时存在()00,1x ∈，使得()()010g x g >=，与题设矛盾.当0a >时，x ∈时，()0g x '>，)x ∈+∞时，()0g x '<，故()g x 在上单调递增，在)+∞上单调递减，所以()1ln 12222max a a a ag g x a ==+=-+，要使()0g x ≤在()0,∞+恒成立，则()0max g x ≤，即ln 10222a a a -+≤又由（1）知()ln 1f x x x x =-≥-，即ln 1x x x -≥-，（当且仅当1x =时，等号成立）.令2a x =有ln 10222a a a -+≥，故ln 10222a a a -+=且12a = 所以2a =. (3)证明：由（2）知()22ln 1g x x x =≤-得22ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立），令)0x t =>，则ln 1t t ≤-（当且仅当1t =时等号成立），令e x t =，所以ln e e 1x x ≤-，即e 1x x ≥+（当且仅当0x =时等号成立），令()*10x n N n =>∈，则111e >1n n n n++=从而有11111320212022223420222023e e e ee>12320212022⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯ 所以111112*********e2023.+++⋯++>【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 3．(1)0a =或4； (2)答案见解析. 【解析】【分析】（1）在1x ≥-有()2000ln 21x x x -=--，构造中间函数并利用导数研究单调性和零点情况，求参数a ，在1x <-上根据已知列方程组求参数a ，即可得结果.（2）讨论a 的范围，利用导数研究()h x 的单调性，结合零点存在性定理判断各情况下零点的个数. (1)1x ≥-时()2f x x x =-，原条件等价于200000ln()1210x x x a x x a ⎧-=+⎪⎨-=>⎪+⎩，∴()2000ln 21x x x -=--，令()()2ln 21x x x x ϕ=-+-，则()221021x x x ϕ'=-+>-， ∴()ϕx 为增函数，由()10ϕ=，则()0x ϕ=有唯一解01x =，所以0a =，1x <-时，()000311x ln x a x a ⎧+=+⎪⎨=⎪+⎩，解得：4a =．综上，0a =或4． (2)ⅰ.0a <时0x a +>，则0x a >->，()()()22ln ln h x x x x a x x x x ϕ=--+>--=，而()121x x x ϕ'=--，()2120x xϕ''=+>，即()x ϕ'为增函数，又()01ϕ'=，当()0,1∈x 时()0ϕ'<x ；当()1,x ∈+∞时()0ϕ'>x ，故()()10x ϕϕ≥=， ∴()0h x >恒成立，故0a <时零点个数为0；ⅱ.0a =时，()2ln h x x x x =--，由①知：仅当1x =时()0h x =，此时零点个数为1．ⅲ.01a <≤时，()()()2ln h x x x x a x a =--+>-，则()121h x x x a'=--+，()()2120h x x a ''=+>+，∴()h x '为增函数，2102a h a a⎛⎫'-=---< ⎪⎝⎭，()11101h a'=->+， ∴()0h x '=仅有一解，设为0(,1)2ax ∈-，则在()0,a x -上()0h x '<，在()0,x +∞上()0h x '>，所以()h x 最小值为()0h x ，故()()010h x h ≤<．又2ln 02422a aa a h ⎛⎫-=+-> ⎪⎝⎭，()()22ln 20h a =-+>，故0,2a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()0,2x 上()h x 各有一零点，即()h x 有2个零点．ⅳ.14a <<时，(),1a --上()()()()3ln 3ln 4h x x x a x x p x =+-+>+-+=，()()()1103304p x x p x p x '=-=⇒=-⇒≥-=+， ∴()h x 无零点，则[)1,-+∞上()()2ln h x x x x a =--+，()121h x x x a'=--+，()()2120h x x a ''=+>+，∴()h x '为增函数，()11301h a '-=--<-+，()11101h a'=->+， ∴()0h x '=有唯一解，设为x '，则()()10h x h '≤<，又()()12ln 10h a -=--+>，()()22ln 20h a =-+>，故()1,x '-、(),2x '上，()h x 各有一个零点，即()h x 有2个零点．ⅴ.4a =时，由（1）知：(]4,1--上()h x 有唯一零点：3x =-；在()1,-+∞上()()2ln 4h x x x x =--+，则()1214h x x x '=--+，()2120(4)h x x ''=+>+，所以()h x '为增函数，()11301h a '-=--<-+，()4105h '=>，故1(1,1)x ∃∈-使1()0h x '=，则1(1,)x -上()0h x '<，()h x 递减；1(,)x +∞上()0h x '>，()h x 递增；故1()()h x h x ≥，而1()(1)ln 50h x h <=-<，又(1)2ln30h -=->，(2)2ln 60h =->，故在1(1,)x -、1(),2x 上()h x 各有一个零点，所以()h x 共有3个零点．综上：0a <时()h x 零点个数为0；0a =时()h x 零点个数为1；04a <<时()h x 零点个数为2；4a =时()h x 零点个数为3．【点睛】关键点点睛：（1）根据分段函数的定义域讨论x ，结合函数、方程思想求参数.（2）讨论参数a ，利用二阶导数研究()h x '的单调性，进而判断其符号研究()h x 单调性，并结合零点存在性定理判断区间零点的个数. 4．(1)1a > (2)证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，分1a ≤和1a >进行讨论，1a >时结合零点存在定理说明存在零点即可；（2）先构造函数()ln 1g x a x x =-+，求导证明函数先增后减，故只要说明两个端点大于0即可，化简得到()()0001()1212g x x x a =--+，由(21)0f a ->借助()f x 的单调性说明021<<-a x a ，即可得到0()0g x >. (1)2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x-++--=+-+=='，①若1a ≤，则()0f x '>在(1,)+∞恒成立，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，当1x >时，()(1)0f x f >=，与()f x 有一个大于1的零点0x 矛盾．②若1a >，令()0f x '>，解得01x <<或x a >，令()0f x '<，解得1x a <<．所以()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单调递增，在(1,)a 单调递减．所以()(1)0f a f <=，当x →+∞时，()f x →+∞，由零点存在性定理，()f x 在(,)a +∞上存在一个零点0x ．综上，1a >． (2)令()ln 1,()1'-=-+=-=a a xg x a x x g x x x，由（1）知01<<a x ，令()0g x '>，解得1x a <<，令()0g x '<，解得0a x x <<，故()g x 在(1,)a 单调递增，在()0,a x 单调递减．(1)0g =，()000ln 1=-+g x a x x因为0x 为函数()f x 的零点，故()20001ln (1)022=+-+++=x f x a x a x a ，即20001ln (1)22=-++--x a x a x a ，所以()()220000000011ln 1112222x x g x a x x a x a x ax a =-+=-++---+=-+-+()()0011212=--+x x a ．又因为2(21)1(21)ln(21)(1)(21)ln(21)2222--=-+-+-++=--+a f a a a a a a a a a ，令()ln(21)22=--+h a a a a ，则21()ln(21)2ln(21)12121=-+-=-+-'--a h a a a a a ，令1()ln(21)121m a a a =-+--， 22224(1)()021(21)(21)a m a a a a -'=-=>---恒成立，所以()h a '在(1,)+∞单调递增，()(1)0h a h ''>=，所以()h a 在(1,)+∞单调递增，()(1)0h a h >=，即(21)0f a ->，由（1）可知()0f a <，所以021<<-a x a ，因为0010,210-<-+<x x a ，所以()()()000112102=--+>g x x x a ，所以()0>g x 在(]01,x x ∈恒成立，故对任意的(]01,x x ∈，都有ln 10-+>a x x 恒成立．【点睛】本题关键点在于构造函数()ln 1g x a x x =-+后，如何说明()()0001()1212g x x x a =--+大于0，由(21)0f a ->借助()f x 的单调性说明021<<-a x a ，即可得到0()0g x >，即可得证. 5．(1)增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 减区间为52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)证明过程见解析. 【解析】【分析】（1）对函数求导，利用辅助角公式合并为同名三角函数，利用单调增减区间代入公式求解即可.（2）将绝对值不等式转化为11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，移向构造新函数，利用导数判定单调性，借助零点定理和隐零点证明新构造函数恒正，再结合三角函数的特有的周期特点寻找M 即可. (1)()e (sin cos )sin 4x x f x x x x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭令22242k x k πππππ-≤+≤+，得32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦令322242k x k ππππ+≤+≤π+，得24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦当32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时, ()0f x '>,()f x 单调递增当24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦时, ()0,()f x f x '< 单调递減综上() f x 单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间为 52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)要证|()|1f x ≤，即证e sin 1xrx ⋅≤，即证11sin =e e xx rx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即证 11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[,]x a b ∈时成立即可,[,]x a b ∈时,1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 令1()sin e x h x rx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1()cos e xh x r rx ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭当222,k k x rr πππ⎛⎫+ ⎪∈⎪ ⎪⎝⎭时, cos 0,r rx > 所以1()cos 0,e xh x r rx ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭所以()h x 单调递增，2210,e k rk h rππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2221210(0)e k r k h k r ππππ+⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪=±>> ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0(2)22,k k x rrπππ+∴∃∈ , 满足()00h x =由单调性可知02,k x x r π⎛⎫∈⎪⎝⎭, 满足()0()0h x h x <= 又因为当021,,sin 0,0,xk x x rx r e π⎛⎫⎛⎫∈>≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 0xrx e ⎛⎫∴+≥ ⎪⎝⎭，所以1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩能够同时满足，对于任意的正实数M ，总存在正整数k ，且满足2Mr k π>时, 使得 2k M r π>成立，所以不妨取 02,,2k Mr a k b x rππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭则,a b M >且[,]x a b ∈时，1sin 01sin 0xxrx e rx e ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，故对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数,a b ，使得当[,]x a b ∈ 时,|()|1f x ≤. 6．(1)①112y x =-；②证明见解析 (2){}()210,e -⋃【解析】【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；②令()e 1e x xg x x =+-，利用导数判断出()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ，利用列表法证明出()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点；（2）令()e xh x a ax =+-.对a 分类讨论：①0a <，得到当1a =-时，()f x 无零点；②0a >，()f x 无零点，符合题意. (1)若1a =，则()1e 1x xf x =-+，()2e 1e (e 1)x x x x f x +-=+'.①在0x =处，()()21110211f '+==+，(0)1f =-. 所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为112y x =-.②令()e 1e x xg x x =+-，()e x g x x '=-，在区间(0,)+∞上，()0g x '<，则()g x 在区间(0,)+∞上是减函数.又(1)10,g =>()22e 10,g =-+<，所以()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x . 列表得：0(2)()e e x x ax a f x a--=+，令()e x h x a ax =+-，则()e x h x a '=-.①若0a <，则()0h x '>，()h x 在R 上是增函数.因为11e 10a h a a ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1 e > 0h =，所以()h x 恰有一个零点0x .令0e 0x a +=，得0ln()x a =-. 代入0()0h x =，得()ln 0a a a a -+--=，解得1a =-.所以当1a =-时，()h x 的唯一零点为0，此时()f x 无零点，符合题意.②若0a >，此时()f x 的定义域为R .当ln x a <时，()0h x '<，()h x 在区间(,ln )a -∞上是减函数；当ln x a >时，()0h x '>，()h x 在区间(ln ,+)a ∞上是增函数.所以min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-.又()010h a =+>，由题意，当2ln 0a a a ->，即20e a <<时，()f x 无零点，符合题意.综上，a 的取值范围是{}()210,e -⋃. 【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.7．(1)32322e e a <<； (2)证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，由()0f x '=分离参数并构造函数，求解其值域作答. （2）将不等式等价转化，构造两个函数，并分别探讨它们的最大、最小值即可推理作答.(1) 依题意，21(1)e ()x x f x ax x -'=-，由()0f x '=得：21(1)e 1(1)e x x x x ax x a x--=⇔=，令1())(e x x x x ϕ-=，23x <<，则22()(1)e 0xx x x xϕ+'-=>，即()ϕx 在(2,3)上单调递增，当23x <<时，(2)()(3)x ϕϕϕ<<，即23e 2e ()23x ϕ<<，由()'f x 在(2,3)上存在零点，则方程1(1)e xx a x -=在(2,3)上有根，因此有23e 12e 23a <<，解得32322e e a <<，所以a 的取值范围是：32322e e a <<. (2)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当34e a ≥时，2ln e e ln ()000x x x a x f x a x x x <⇔-<⇔->，令2e ()x a g x x =，0x >，求导得：3e ())(2x a x x g x'-=，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，当2x =时，22min 3e 4e 1()(2)4e 4ea g x g ==≥⋅=，令ln ()x h x x =，0x >，求导得：21ln ()x h x x -'=，当0e x <<时，()0h x '>，当e x >时，()0h x '<，即函数()h x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，当e x =时，max 1()(e)eh x h ==，因此，0x ∀>，min max 1()()()()eg x g x h x h x ≥≥=≥，而()g x 的最大值与()h x 的最小值不同时取得，即上述不等式中不能同时取等号，于是得：0x ∀>，()()g x h x >成立，即2e ln 0x a x x x ->成立，所以()0f x <.【点睛】思路点睛：证明不等式常需构造辅助函数，将不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性、求最值等解决.8．(1)答案见解析(2)e π--【解析】【分析】（1）求出()f x '，分类讨论，分0a ≤和0a >讨论()f x 的单调性与极值；（2）利用分离参数法得到sin 1e x x a -=，令()()sin 10e xx h x x π-=≤≤，利用导数判断 ()h x 的单调性与最值，根据直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，求出实数a 的最小值.(1)()e 2x f x ax =-，则()e 2x f x a '=-.①当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 的极值点个数为0；②当0a >时，令()20e x f x a '=-=，得()ln 2x a =，当()ln 2x a >时，()0f x '>，则()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，当()ln 2x a <时，()0f x '<，则()f x 在()(),ln 2a -∞上单调递减，此时函数()f x 的极值点个数为1.综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，极值点个数为0；当0a >时，()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，在()(),ln 2a -∞上单调递减，极值点个数为1.(2)由()()0af x g x +=，得sin 1x x a e -=. 令()()sin 10xx h x x e π-=≤≤，因为关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，所以直线y a =与函数()sin 1xx h x e -=的图像在[]0,π上有两个交点. ()1cos sin 14x xx x x h x e e π⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'==，令()0h x '=，则sin 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭[]0,x π∈，所以2x π=或x π=，所以当02x π<<时，()0h x '>；当2x ππ<<时，()0h x '<，所以()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 02h x h π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又()01h =-，()e h ππ-=-， e 1π-->- 所以当)e ,0x a -⎡∈-⎣时，直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，所以实数a 的最小值为e π--.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(4)利用导数研究零点问题，考查数形结合思想的应用．9．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-(2)()max 312f x =，()min 163f x =- 【解析】【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案.(1)解：（1）()226f x x ax '=+-，因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =．检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-，令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<，所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-；(2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-；当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-， ()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-，所以()max 312f x =，()min 163f x =-． 10．(1)320x y --=；(2)[)4,∞-+.【解析】【分析】（1）把1a =代入，求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义结合直线点斜式方程求解作答.（2）根据给定条件，分离参数，借助二次函数的最大值推理作答.(1)当1a =时，2()ln f x x x =+，求导得：1()2f x x x'=+，则(1)3f '=，而(1)1f =，有13(1)y x -=-，即320x y --=，所以所求切线方程为320x y --=.(2)当2x ≥时，()f x x '≥恒成立，即当2x ≥时，2a x x x+≥恒成立，有2≥-a x 在[2,)x ∈+∞上恒成立，而函数2y x =-在[2,)+∞上单调递减，当2x =时，max 4y =-，于是得4a ≥-，所以实数a 的取值范围为[)4,∞-+.。

高二导数测试题及答案

高二导数测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1的导数f'(x)为：A. 6x^2 - 10x + 3B. 6x^2 - 10x + 1C. 6x^2 - 10x + 2D. 6x^3 - 10x^2 + 32. 已知某函数的导数为g'(x) = 4x^3 + 6x^2，那么g(x)为：A. x^4 + x^3 + CB. x^4 + 2x^3 + CC. x^4 + 3x^3 + CD. x^4 + 4x^3 + C3. 函数h(x) = sin(x) + cos(x)的导数h'(x)为：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)4. 如果函数F(x)的导数F'(x) = e^x，那么F(x)为：A. e^x + CB. e^(2x) + CC. (1/2)e^x + CD. 2e^x + C5. 函数f(x) = (x^2 - 1)^3的导数f'(x)为：A. 6x(x^2 - 1)^2B. 3x^2(x^2 - 1)C. 3(x^2 - 1)^2D. 6(x^2 - 1)^36. 已知函数f(x) = 1/x，则f'(x)为：A. -1/x^2B. 1/x^2C. -1/xD. 1/x7. 函数G(x) = x^n (n为正常数)的导数G'(x)为：A. nx^(n-1)B. n/x^(n-1)C. n/x^nD. nx^n8. 函数H(x) = ln(x)的导数H'(x)为：A. 1/xB. xC. ln(x)D. 19. 函数R(x) = sqrt(x)的导数R'(x)为：A. 1/(2sqrt(x))B. 1/sqrt(x)C. 2/sqrt(x)D. 2/(2sqrt(x))10. 已知函数S(x)在点x=2处的导数为5，则S(2)的值是：A. 10B. 7C. 5D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2的导数f'(x)为_________。

高二文科数学期末总结复习导数练习试题

导数专练答案一、选择题1．以下函数求导运算正确的个数为 ()1①(3x )′＝ 3x log 3e ；②(log 2x)′＝ x ·ln 2；③(e x )′＝ e x ；④⑤ (x ·e x )′＝ e x ＋1.1ln x ′＝ x ；A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】①(3x)′＝ 3xln 3；② (log 2x)′＝1 ；③ (e x)′＝ e x；④xln 21′＝－1x＝－1；⑤(x ·e x′＝ x＋x ·e x ＝e x＋，应选ln xln x 2x ·ln x 2) e (x 1)B.2. 曲线 yA ． y D ． y 4x3．函数 f2在点 P(1,3) 处的切线方程为（）2 x 1 4 x 1 B ． y 4x 7C ． y 4 x 17x 的定义域为 a, b ，导函数 fx 在 a,b 内的图像以下图，则函数 f x 在 a, b 内有极小值点A ．1 个B．2 个C．3 个D．4个14．(2012 ·辽宁高考 )函数 y ＝2x 2－ln x 的单一递减区间为 ()A ． ( － 1,1]B ． (0,1]C ． [1 ，＋ ∞ )D ．(0，＋∞ )1【分析】由题意知，函数的定义域为 (0，＋∞ )，又由 y ′＝ x －x ≤ 0，解得 0<x ≤1，因此函数的单一递减区间为 (0,1]．【答案】 B5.【2012 高考陕西文 9】设函数 f （x ）= 2+lnx 则（）xA ．x= 1是 f(x) 极大值点 B ．x=1是 f(x) 极小值点 C ．x=2 是 f(x) 极22大值点 D ．x=2 是 f(x) 极小值点【分析】 f ' x21x2，令 f ' x0 ，则 x 2 ．x2x x2当 x 2 时， f x是单一递减的；当 x 2 时， f x 是单一递增的．因此 x 2 是 f x 的极小值点．应选D．6.若函数 f (x) x3 3x a 在区间 [0,3] 上的最大值、最小值分别为M、N，则 M N 的值为（）A．2B．4C．18D．207．（山东省烟台市2014 届高三 3 月）函数 f(x)=1nx-1x2的图像大致是 ()2【答案】函数的定义域为 { x x0} ,函数的导数轻轻 f '(x)1x1x2,x x由 f '(x) 1 x20 得,0x 1, 即增区间为(0,1) . 由f '(x)1x20 x x得 , x 1, 即减区间为(1,) ,因此当 x 1 时,函数获得极大值,且10 ,因此选B.f (1)28. （临沂市2014 届高三 5 月）曲线y e x在点A 处的切线与直线x y 3 0 平行,则点A的坐标为(A) 1,e1(B)0,1(C)1,e(D)0,2【答案】 B直线 x y30 的斜率为1,因此切线的斜率为1, 由于y 'e x,因此由 y 'e x 1 ,解得 x0,此时y e0 1 ,即点A的坐标为 0,1 ,选 B.、[2014·辽宁卷]当∈－，1]时，不等式3－x2＋4x＋3≥0 恒成9x[2ax立，则实数 a 的取值范围是A．[－5，－ 3] B. －6，－C．[－6，－ 2]D．[－4，－983]10．[2014 ·新课标全国卷Ⅱ ] 若函数 f(x)＝kx－ln x 在区间 (1，＋∞ ) 单一递加，则 k 的取值范围是A ．(－∞，－ 2]B．(－∞，－ 1]C．[2 ，＋∞ )D．[1，＋∞ )二、填空题11. .曲线y sin x在点 M ( ,0) 处的切线方程为x12、已知函数f ( x)x3ax2bx a 2在x=1处有极值为10，则f(2)等于____________.13．已知函数f ( x)x3ax 在R上有两个极值点，则实数 a 的取值范围是14．（山东省实验中学 2014 届高三第二次诊疗）若函数f ( x)x33x a 有三个不一样的零点 , 则实数a的取值范围是____________.【答案】 (2,2) 【分析】由f ( x) x33x a0 ,得 f '(x)3x2 3 ,当f '(x) 3x230 ,得 x 1 ,由图象可知f极大值(1)=2 a， f极小值 (1)=a 2 ,要使函数 f ( x) x33x a有三个不同的零点 ,则有f极大值 ( 1)=2 a 0, f极小值 (1)=a 2 0 ,即 2 a 2 ,因此实数 a 的取值范围是 ( 2, 2) .15．（山东省泰安市2014 届高三上学期期末）已知函数f x的定义域为1,5 ,部分对应值以下表, f x 的导函数 y f x 的图像以下图若函数 y f xa 有 4 个零点 , 则 a 的取值范围为 __________.【答案】【分析】由导数图象可知 , 当1 x 0或2 x 4时,f '(x) 0,[1,2)函数递加 . 当 0 x 2 或 4 x 5 时 , f '( x)0 , 函数递减 . 因此在 x2 处,函数获得极小值 . 由 yf xa 0 得 f x a .由图象可知 , 要使函数 y f x a 有 4 个零点 , 由图象可知 1a 2, 所以 a 的取值范围为 1 a 2 , 即[1,2) .三、解答题． ·重庆卷 ] 已知函数f(x) ＝x ＋a－ln x －3，此中 a ∈ R ，且曲 16 [2014 4 x 21线 y ＝f(x)在点 (1，f(1))处的切线垂直于直线 y ＝2x.(1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单一区间与极值．1 a 1解： (1)对 f(x)求导得 f ′(x)＝4－x 2－x ，由 f(x)在点 (1，f(1))处的切线垂直于直线 y ＝1知 f ′ ＝－ 3－a ＝－ 2，解得 a ＝52x(1) 44.(2) 由 (1)知 f(x) ＝ x ＋ 5－ln x －3，则 f ′(x)＝ x 2－4x －5 令 ′(＝，解得 4 4x 2 4x 2. f x) 0 x ＝－ 1 或 x ＝5.由于 x ＝－ 1 不在 f(x)的定义域 (0，＋∞ )内，故舍去．当x∈(0，5)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，5)上为减函数；当x∈(5，＋∞)时， f′(x)＞0，故 f(x)在(5，＋∞ )上为增函数．由此知函数 f(x)在 x ＝5 时获得极小值 f(5)＝－ ln 5.、·福建卷]已知函数f(x)＝x－ax(a 为常数 )的图像与 y 轴交17 [2014e于点 A，曲线 y＝f(x)在点 A 处的切线斜率为－ 1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；证明：当＞时，2＜e x；(2)x 0x解： (1)由 f(x)＝e x－ax，得 f′(x)＝e x－a.又 f′(0)＝1－a＝－ 1，得 a＝2.因此 f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2.令f′(x)＝0，得 x＝ln 2.当x＜ln 2 时， f′(x)＜0，f(x)单一递减；当 x＞ln 2 时， f′(x)＞0，f(x)单一递加．因此当 x＝ln 2 时， f(x)有极小值，且极小值为f(ln 2) ＝e ln 2－2ln 2＝2－l n 4，f(x)无极大值．(2)证明：令 g(x)＝e x－x2，则 g′(x)＝e x－2x.由(1)得， g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4＞0，即 g′(x)＞0.因此 g(x)在 R 上单一递加，又 g(0)＝1＞0，因此当 x＞0 时，g(x)＞g(0)＞0，即 x2＜e x.18．（【分析】山东省济南市2013 届高三上学期期末考试文科数学）1已知函数 f x 2 a ln x2ax(a 0) .x(1)当 a 0 时,求 f x 的极值;(2)当 a 0 时,议论 f x 的单一性;【答案】解 :(1)当 a0 时,f x 2ln x 1, f x212x 1(x 0). x x x2x2由2x1,解得1∴ f x 在 0,1上是减函数 , 在1,上是增函数22∴ f x 的极小值为1 2 2ln 2 , 无极大值f2(2)2 a 1 2a2ax 22 a x 1 ax 1 2 x 1(x 0)f xx 2 x 2x 2x①当 2 a 0 时, f x 在 0, 1和1 , 2a上是减函数 , 在1, 1上是2a增函数 ;②当 a 2 时, f x 在 0, 上是减函数 ;③当 a2 时, f x 在1,和 0, 1 上是减函数 , 在1 , 1 上是增2aa 2函数19．（【分析】山东省实验中学2013 届高三第一次诊疗性测试数学（文）试题）已知 f ( x) x 2 ax 1nx, aR .(1) 若 a=0 时, 求函数 y f ( x) 在点 (1, f ( x) ) 处的切线方程 ;(2) 若函数 f ( x) 在[1,2] 上是减函数 , 务实数 a 的取值范围 ;(3) 令 g( x) f ( x) x 2 , 能否存在实数 a, 当 x (0, e]( e 是自然对数的底 ) 时,函数 g( x) 的最小值是 3, 若存在 , 求出 a 的值 ; 若不存在 , 说明原因 .20．（【分析】山东省济宁市2013 届高三第一次模拟考试文科数学）已知函数 f ( x ) ln x a .x(I) 若a>0, 试判断f ( x )在定义域内的单一性 ;3( Ⅱ) 若f ( x )在[1,e] 上的最小值为,求 a 的值;2(III) 若f ( x )x2在(1,+ )上恒建立,求a的取值范围【答案】解 (I)由题意知 f ( x)的定义域为(0,+∞),1 a x＋a且f′(x)=x+x2 = x2∵a>0,∴f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上是单一递加函数x＋a(II) 由(I) 可知 ,f′(x)= x2 .①若 a≥-1,则 x+a≥0,即 f′(x)≥0 在[1,e]上恒建立 ,此时 f(x)在[1,e]上为增函数 ,3 3∴f(x)min=f(1)=-a=2,∴a=-2(舍去 )②若 a≤-e,则 x+a≤0,即 f′(x)≤0 在[1,e]上恒建立 ,a 3e∴f(x)min=f(e)=1-e=2,∴a=-2(舍去 )③若 -e<a<-1,令 f′(x)=0 得 x=-a,当1<x<-a 时,f′(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上为减函数 ;当-a<x<e 时,f′(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数 ,3∴f(x)min=f(-a)=ln(- a)+1=2,∴a=- e.综上所述 ,a=- ea(Ⅲ)∵f(x)<x2,∴ln x-x<x2.又x>0,∴a>xln x-x3令g(x)=xln x-x3,h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2,11－6x2h′(x)=x-6x= x .∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,∴h(x)在(1,+∞)上是减函数 .∴h(x)<h(1)=-2<0,即 g′(x)<0,∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数 .g(x)<g(1)=-1,∴当 a≥-1 时,f(x)<x2在(1,+∞ )上恒建立21.(14 分)(2014 ·淄博模拟)已知 f(x) ＝ax－ln x ，a∈R.(1) 当 a＝2 时，求曲线 f(x) 在点 (1 ，f(1)) 处的切线方程；(2)若 f(x) 在 x＝1 处有极值，求 f(x) 的单一递加区间；(3)能否存在实数 a，使 f(x) 在区间 (0，e] 的最小值是 3？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明原因．(1) 由已知得 f(x) 的定义域为 (0 ，＋∞)，1∵f(x) ＝ax －ln x ，∴f ′(x)＝a －，x当 a ＝ 2 时， f(x) ＝2x －ln x ，∴f(1) ＝2，1 1∵f ′(x) ＝2－，∴f ′(1)＝2－＝1 .(2 分)x 1∴曲线 f(x) 在点 (1，f(1)) 处的切线方程为 y －2 ＝f ′(1)(x －1)，即 x－ y ＋1＝0.(4 分)(2) ∵f(x) 在 x ＝ 1 处有极值，∴ f ′(1) ＝0，由 (1) 知 f ′(1) ＝a －1，∴ a ＝1 ，经查验， a ＝1 时 f(x) 在 x ＝1 处有极值． (6 分)1∴f(x) ＝x －ln x ，令 f ′(x) ＝1－＞0，解得 x ＞1 或 x ＜0; ∵f(x)x的定义域为 (0，＋∞)，∴f ′(x) ＞0 的解集为 (1 ，＋∞)，即 f(x) 的单一递加区间为 (1，＋∞)． (8 分)(3) 假定存在实数 a ，使 f(x) ＝ax －ln x(x ∈(0 ，e]) 有最小值 3，①当 a ≤0 时，∵x ∈(0，e] ，∴f ′(x)＜0 ，∴f(x) 在(0 ，e] 上单一递4减， f(x) min ＝f(e) ＝ae －1 ＝3，解得 a ＝ (舍去 )．(10 分)e②当1 时，在 0， 1 10 ＜＜e上单一递减，在，e 上单一递af(x)aa1＝1 ＋ln a ＝3，解得 a ＝ e 2，知足条件．(12 分)增， f(x) min ＝fa1③当 ≥e 时，∵x ∈(0 ，e] ，∴f ′(x) ＜0，∴ f(x) 在(0 ，e] 上单一递a4减， f(x) min ＝f(e) ＝ae －1 ＝3，解得 a ＝ (舍去 )．e综上，存在实数 a ＝e 2，使适当 x ∈(0，e] 时，f(x) 有最小值 3.(14 分)。

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高二上期文科导数复习题一、选择题1．曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为（ B ）A ．43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y2．函数313y x x =+-有（ D ）A 极小值-1 极大值 1B 极小值 -2 ,极大值3C 极小值 -2, 极大值 2D 极小值 -1, 极大值3 3．函5123223+--=x x x y 在区间[0,3]上最大值与最小值分别是（ A ）A. 5,-15B. 5,-4C. -4,-15D. 5,-164．已知函数)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则A ．函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点B ．函数)(x f 有2个极大值点，2个极小值点 C ．函数)(x f 有3个极大值点，1个极小值点 D ．函数)(x f有1个极大值点，3个极小值点5．设f(x)是[a,b]上的连续函数，且在(a,b)内可导，则下面的结论中正确的是( C ) A 、f(x)的极值点一定是最值点 B 、 f(x)的最值点一定是极值点 C 、f(x)在此区间上可能没有极值点 D 、 f(x)在此区间上可能没有最值点62/7．某三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时有极小值0，且函数图像过原点，则此函数为（ C ）A ． 3269y x x x =++B ．3269y x x x =-- C ．3269y x x x =-+ D ．3269y x x x =+- AxD C x B8．设P 为曲线C ：322++=x x y 上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 横坐标的取值范围为（ A ） A ． ]21,1[-- B ． ]0,1[-C ．]1,0[D ． ]1,21[9函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ C ）A ．21<<-aB ．63<<-aC ．3-<a 或6>aD ．1-<a 或2>a 10．若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 为 ( A ) A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64D ．74-或7解析设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为320003()y x x x x -=-即230032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则00x =或032x =-，当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564a =-，当032x =-时，由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得1a =-，所以选A .二、填空题11、设321)(x x f -=,则)1('f =___-6______12．函数a x x x y ++-=232（a 为常数）的单调递减区间___)1,31(______ 13．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 3 ．14．已知函数2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 11 。

15．下列图像中有一个是函数1)1(31)(223+-++=x a ax x x f )0,(≠∈a R a 的导数)(x f ' 的图像，则=-)1(f31-三、解答题16．在曲线2x y =过哪一点的切线，（1）平行于直线54-=x y （2）垂直于直线0562=+-y x 解：（1）设点A ),(00y x 为切点，x x f 2)('=所以42)(00'==x x f ，4,200==y x 。

则点A （2,4）（2）设点B ),(00y x 为切点，x x f 2)('=所以32)(00'-==x x f ，49,2300=-=y x 。

则点B )49,23(-17．设53)(23+-=x x x f （1）求函数f(x)的单调区间;（2）若]3,1[∈x ，求)(x f 的最大值和最小值。

解： x x x f 63)(2'-=，令20,0)('或得==x x f)0,(-∞和),2(+∞是函数是单调递增区间；）（2,0是函数()g x 是单调递减区间；（2）由（1）知若]3,1[∈x 时，)(x f 在2=x 取的极小值，无极大值。

又5)3(,1)2(,3)1(===f f f ，所以)(x f 的最大值是5，最小值是118．已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x .求函数)(x f y =的解析式.解：由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cx bx x x f.23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ，知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,0,32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f19．设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。

（Ⅰ）求b 、c 的值。

（Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。

解（Ⅰ）∵()32f x x bx cx =++，∴()232f x x bx c'=++.从而322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+-- 是一个奇函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =；（Ⅱ）由（Ⅰ）知3()6g x x x =-，从而2()36g x x '=-，由此可知，(,-∞和)+∞是函数()g x 是单调递增区间；(是函数()g x 是单调递减区间；()g x在x =()g x在x =小值，极小值为-。

20．在函数)0()(3≠+=a bx ax x f 图像在点（1，f （1））处的切线与直线.076=++y x 平行，导函数)('x f 的最小值为－12。

（1）求a 、b 的值；（2）讨论方程m x f =)(解的情况（相同根算一根）。

解：（1）)'3(.0,12,123)('2>-=∴-+=a b b ax x f 且的最小值为又直线,63)1(',6076-=+=-=++b a f y x 因此的斜率为)'6(.12,2-==∴b a（2）由（1）知)2)(2(6126)(',122)(23-+=-=∴-=x x x x f x x x f ，列表所以，函数f （x ）的单调增区间是)2,(--∞和),2(+∞)'12(.,2828;,28,28;,28,28.28)2(2)(,28)2(2)(,18)3(,28)2(,10)1(方程有三根时当方程有二根时或当方程有一根时或当上的极小值是在上的极大值是在<<--==-<>∴-===--==-==-m m m m m f x x f f x x f f f f 21．设函数321()(1)4243f x x a x ax a =--++，其中常数a>1(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围。

解：（I ）)2)(2(4)1(2)(2a x x a x a x x f --=++-=' 由1>a 知，当2<x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间)2,(-∞是增函数；当a x 22<<时，0)(<'x f ，故)(x f 在区间)2,2(a 是减函数；当a x 2>时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间),2(+∞a 是增函数。

综上，当1>a 时，)(x f 在区间)2,(-∞和),2(+∞a 是增函数，在区间)2,2(a 是减函数。

（II ）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。

a a a a a a a f 2424)2)(1()2(31)2(23+⋅++-=a a a 2443423++-=a f 24)0(=由假设知⎪⎩⎪⎨⎧>>>,0)0(,0)2(1f a f a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-+->.024,0)6)(3(34,1a a a a a 解得 1<a<6。