工程电磁场一章1

第一章静电场第一章静电场Steady Electric Field 1. 静电场的基本物理量3. 静电场的基本计算方法z 重点：2. 静电场的基本方程、边界条件静电场相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷静电荷产生的电场。

静电荷电场电荷周围存在的一种特殊形式的物质，它对外的表现是对引入电场的电荷有机械力的作用。

Electric Field Intensity1.1 电场强度研究一个矢量场，首先必须研究场的基本物理量，对于电场来说就是电场强度。

1. 电荷和电荷密度电荷+-满足电荷守恒定律e.C C.1819102461106021e ×=×=−①体电荷密度ρ''0V 'd d ΔΔlim )r ('V q V q ==→Δρ连续分布在一个体积V 内的电荷体电荷的电场V q ′=d d ρ体积d V’内的元电荷体积V’内的总电荷V d V ′=∫′ρq②面电荷密度σ'0S 'd dq ΔΔlim )('S S q r '==→Δσ连续分布在一个忽略厚度的面积S’上的电荷S q ′=d d σ面积d S’内的元电荷面积S’内的总电荷S q ′=∫′S d σ③线电荷密度τ连续分布在一个忽略面积的线形区域l’上的电荷'0l 'd d ΔΔlim )('l q l q r '==→Δτdτ=dlq′d l’内的元电荷dτ曲线l’内的总电荷l=∫′q′S④点电荷理想中的点电荷只有几何位置而没有几何大小。

2. 库仑定律(Coulomb’s Low)21202121π4Rq q e F ⋅=εN (牛顿)1221F F −=两点电荷间的作用力库仑定律研究的是均匀媒质中的点电荷问题真空中的介电常数120108.85−×=εF/m库仑定律是基本试验定律，准确性达10-9。

注意2. 电场强度( Electric Intensity )tq q z y x z y x t ),,(),,(lim 0F E →=V/m ( N/C )电场强度E 等于单位正电荷所受的电场力F ①电场强度的定义E 是矢量，它的方向为单位正电荷所受电场力的方向E 是空间坐标的函数E 的大小等于单位正电荷所受电场力的大小。

单位V/m表明由库仑定律和电场强度的定义可得单个点电荷产生的电场强度m /V π4q π4)(20t 20t R R t p R q Rqq q R e e F E εε==='''π4)(20r r r r r r r E −−⋅−=εq p )'('π430r r r r −−=εq 点电荷的电场一般表达式为：②叠加原理n 个点电荷产生的电场强度( 矢量叠加原理)k N k kk nR q E E E e r E ∑==+++=12021π41 )(εL 矢量叠加原理∑=′−′−=N k k k k q 130)(π41r r r r ε连续分布电荷产生的电场强度m /V π4d )(20∫=R p Rq R e E εRRqe E 20π4d d ε=体电荷的电场元电荷产生的电场S d σld τV q d d ρ=，，]R l d R S d R V d [41)(V 4k4V 3k3V 2k2111210∫∫∫∑′′′=′+′+′+=k k k k Nk k k R q e e e e r E τσρπε矢量的积分)(π4d ),(d 22ρετρ+=z zz o E E z zd d 22z ρ+−=E Ed z d 22ρρρ+=E 解真空中有一长为L 的均匀带电直导线，电荷线密度为τ,试求P 点的电场。

θcos d d z E −=E θρsin d d E =E 带电长直导线的电场例轴对称场，取圆柱坐标系。

z z zE L Lo z d )(π4 212322∫−+=ρετz z E L L o d )(π4 212322∫−+=ρετρρ,21时当∞→+=L L L z z E E z e e E +=ρρφρ),,(ρρετe 0π2=无限长直导线产生的电场ρρπετe Ε02=)(π4 22112222ρρρετ+++=L L L L o)11(π4 221222ρρετ+−+=L L oθσϑστRd l lRd l dq 00===θπεθσsin 2200R Rd dE dE x ==⇒0200sin πεσθπθσπ===∫∫d dE E ⇒x x e Ee E 0πεσ==⇒存在的问题：z矢量积分的繁复；z介质和导体上的电荷分布往往未知。

为了求出任意情况时的电场分布，必须研究静电场的性质，得出静电场的基本规律和方程。

1. 静电场的守恒性1.2 静电场的守恒性及电位静电场中，试验电荷q t 沿某一路径移动一个距离d l ，lE q lF W t d d d ⋅=⋅=)11(π4d π4 d π40220B At BAt BAr tr r εq q r rεqq rlqe εq W −==⋅=∫∫BAqd lrθ电场E 对q t 所做的功为：静电场中，试验电荷q t 从A 点移至B 点，电场所做的功只与起始点和终止点的位置有关，而与移动路径无关。

)11(π4d 0B A t BAt r r εq q l E q W −=⋅=∫AB0)1111(π4]d d [d 0=−+−=⋅+⋅=⋅=∫∫∫AB B A t ABBAt t r r r r εq q l E l E q l E q W ∫=⋅l0d l E 表明∫=⋅l0d l E ①对任意分布的电荷上式都成立②上式反映了静电场的基本性质：守恒性守恒定律or环路定律③静电场是无旋场由Stokes’定理，静电场在任一闭合环路的环量0d )(d ≡⋅×∇=⋅∫∫sl S E l E 0)(≡×∇r E 静电场是无旋场表明矢量恒等式FF F ×∇+×∇=×∇C C C )'('1)'('1''333r r r r r r r r r r r r −×−∇+−×∇−=−−×∇0)'(''3)'('133=−×−−−=−×−∇r r r r r r r r r r 30''4)(r r r r r E −−⋅=πεq点电荷电场30''4)(r r r r r E −−×∇=×∇πεq取旋度0)(≡×∇r E 从点电荷电场证明：①矢量的旋度仍为一矢量，在直角坐标系中其表达式为：zy zy x z y x )()()(E E E zy e e e E e e e yE x E x E zE z E y E x xy z xx y z ∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=∂∂∂∂∂∂=×∇旋度描述了矢量的各分量在垂直该分量方向上的变化情况。

注意②根据静电场是无旋场，可以检验一个矢量场是否为静电场。

例zy x ze ye xe 543A ++=试判断矢量A 能否表示静电场？解zy x z y x A A A z y x ∂∂∂∂∂∂=×∇e e e A 0)()()(=∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=z x y y z x x yz y A x A x A z A zA y A e e e负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。

φE −∇=∴,0=×∇E 矢量恒等式0=∇×∇ϕ由2. 电位及电位梯度电位函数1)电位和电位梯度ϕ2)电位的物理意义ϕ∫⋅=BAt lE q W d ③根据静电场是无旋场，可以引入电位函数表征静电场∫⋅=BAt lE q W d ∫∫∫∫∫−=−=∂∂+∂∂+∂∂−=++⋅∂∂+∂∂+∂∂−=⋅∇−=⋅=BABA BA z yx z y BAx BABAtd dz z dy y dx x dze dyedxee z e y e x dldl Eq Wφφφφφφφφφφ)()()(表明两点之间的电位差（电压）为单位正电荷从一点移动到另一点时电场所做的功。

①电场的旋度为零是引入电位函数的依据。

电位与电场强度的关系满足：②场中两点间的电压是唯一确定的，但场一定时某点的电位值是不确定的。

ϕ−∇=E ：微分关系lE BA∫⋅=d AB ϕ：积分关系ϕ−∇=E 0=→=E C ϕ矢量场表示成标量场注意③引入电位参考点，场中的电位唯一确定，参考点选择不同，计算所得电位值相差一常数。

参考点的电位为零。

如点电荷q 的电场中，任意一点相对于参考点的电位：∫⋅=QAA dlE φ电位参考点Q =ϕQ Qr r πεqr πεq dr rπεq φ0020444−==∫rπεqφr )R r (πεq φR r φr Q Q Q 0041140=→∞=−=→=∞=→=选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。

电位参考点可任意选择，但同一问题，一般只能选取一个参考点。

工程中取大地为电位参考点，当电荷在有限区域时，一般取无穷远为电位参考点。

注意3)电位的计算ϕ点电荷产生的电位：C 4πd r 4π0Qr20+==∫rqr qφεεC 'π41)(1+−=∑=Ni i iq φr r r ε点电荷群C qV +−=∫''d π41)(r r r εϕ连续分布电荷l S V q ′′′=d ,d ,d d τσρ式中相应的积分原域。

''',,l S V211202104)11(4r r r r q r r q p −=−=πεπεϕ2020π4π4cos rr qd r p εεθϕe p ⋅==所以因r >>d ，得θdcos 22+≈r r θcos 21dr r −≈电偶极子例计算电偶极子的电场( r >>d )。

在球坐标系中解)sin cos 2(π430θθθεϕe e E +=−∇=r p rq表示电偶极矩（dipole moment )，方向由d p q ＝-q 指向+q 。

3. 电力线与等位线（面）人为的在电场中绘出的一些曲线，曲线上任一点的切线方向与该点电场强度E的方向一致，曲线的疏密程度与电场强度的大小成正比。

电力线方程为了形象的描述电场在空间的分布，做场的分布图，在电场中就是表示电场强度的电力线和表示电位分布的等电位线。

①电力线z E y E x E z y x d d d ==直角坐标系电力线不能相交；电力线方程电力线的数学表示：d d d =×=→l l or E k E l E//E 线微分方程静电场中电力线的性质：电力线不能自行闭合；电力线起始于正电荷而终止于负电荷；电场强处，电力线密集，否则稀疏。