2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷与解析word(理科)
2017年高考模拟(理科)数学试卷(五)-答案
山西省运城市康杰中学2017年高考模拟（理科）数学试卷（5）答 案1~5．CCCBC 6~10．BDAAB 11~12．BA 13．1-14．10x y +-= 15．R =16．30017．解：（1）因为图象的最高点为(3,S所以A =由图知sin y A x ω=的周期为12T =，又2πT ω=，所以π6ω=，所以π6y x = 所以(4,3),(8,0)M P|5|MP ==（2）在,120MNP MNP ∠=︒△中，故(0,60)θ∈︒︒ 由正弦定理得5sin20sin sin(60)NP MNθθ==︒︒-，所以.,)NP MN θθ==︒-. 设使折线段赛道MNP 为L 则))sin ]60)L θθθθθ=︒-=︒-+=+︒ 所以当角30θ=︒时L18．解：（1）当13t =时，PA MQB ∥平面下面证明：若PA MQB ∥平面，连AC 交BQ 于N由AQ BC ∥可得，ANQ BNC △∽△，12AQ AN BC NC ∴== ,PA MQB PA PAC ⊂∥平面平面，平面PAC I 平面MQB MN =，PA MN ∴∥13PM AN PC AC ==即：1133PM PC t =∴= （2）由2PA PD AD ===，Q AD 为的中点，则PQ AD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PQ ⊥平面ABCD ，连BD ， 四边形ABCD 为菱形，,60AD AB BAD ABD =∠=︒Q △为正三角形，Q 为AD 中点，AD BQ ∴⊥以Q 为坐标原点，分别以QA QB QP 、、所在的直线为x y z ，，轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为(1,0,0)(0,0)(0,0,0)(0,0,A B Q P ，，，设平面MQB 的法向量为(,,)n x y z =r，可得0 0n QB n MN ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u u r g r u u u u rg 而PA MN ∴∥ 00 n QB v n PA ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u r g r u u u r g，00x =-=⎪⎩取1z =，解得0,1)n =r取平面ABCD的法向量(0,0,QP =u u u r设所求二面角为θ，则| |1cos 2|||n|QP n QP θ==u u u r r g u u ur r 故二面角M BQ C --的大小为60︒19．解：（1）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为12， 有一道题目做对的概率为13，有一道做对的概率为14，∴所得40分的概率为1111 23424P ==g g （2）依题意，该考生得分的范围为25，30，35，40得25分做对了5题，其余3题都做错了，∴概率为11231 2344P==g g 得30分是做对5题，其余3题只做对1题，∴概率为212311312111 23423423424P=++=g g g g g g 得35分是做对5题，其余3题做对2题，∴概率为31131211111 2342342344P=++=g g g g g g 得40分是做对8题，∴概率为4124p =∴得30分的可能性最大（3）由（2）得ξ的分布列为：ξ25 30 35 40P14 112414 12411111730525 30 35 40 304244242412E ξ∴=+++==g g g g20．（Ⅰ）解：由MOF △是等腰直角三角形，得2224,8c b a ===， 故椭圆方程为：22184x y +=．（Ⅱ）证明：（1）若直线AB 的斜率存在，设AB 的方程为：y kx m =+，依题意得2m ≠±， 设1122(),,,()A x y B x y ，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(12)4280k x kmx m +++-=， 则2121222428,1212km m x x x x k k -+=-=++ 由已知128k k +=，可得1212228y y x x --+=， 所以1212228kx m kx m x x +-+-+=，即()1212228x x k m x x ++-=． 所以42mk k m -=+，整理得122m k =-． 故直线AB 的方程为122y kx k =+-，即1()22y k x =+-．所以直线AB 过定点1(,2)2--．（2）若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =，设0000(),,,()A x y B x y -，由已知0000228y y x x ---+=，得012x =-． 此时AB 方程为12x =-，显然过点1(,2)2--． 综上，直线AB 过定点1(,2)2--．21．解：（1）()(1)af x x a x'=+-+Q ，①0a ≤当时，若01x <<，则()0f x '<，故函数()f x 的单调减区间是(0,1)；若1x >，则()0f x '>，故函数()f x 的增区间是(1,)+∞．②当01a <<时，函数()f x 的单调减区间是(,1)a ；单调增区间是(0,)(1,)a +∞,． ③当1a =时，则2(1)()0x f x x-'=≥，故函数()f x 的单调增区间是(0,)+∞；④当1a >时，函数()f x 的单调递减区间是(1,)a ；函数()f x 的单调递增区间是(0,1)(,)a +∞,．（2）由于1(1)2f =-， 当0a >时(1)0f <，此时()0f x ≥对定义域内的任意x 不是恒成立的．当0a ≤时，由（1）得,()f x 在区间(0,)+∞上的极小值，也是最小值为1(1)2f =-， 此时，(1)0f ≥，解得12a ≤-， 故实数a 的取值范围是1(,)2-∞-．（3）由2（）知，当12a =-时， 2111()ln 0222f x x x x =-+≥-，当且仅当1x =时，等号成立，这个不等式等价2ln x x x ≤-于． 当1x >时，变换为21111ln 1x x x x x>=---， 因此不等式左边11111111()()...()1121()n m m m m m n m n m m n m m n >-+-++-=-=++++-+++， 从而得证．22．解：（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=，化为直角坐标方程为226x y y +=，即()2239x y +-=．（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(cos sin )70t t αα+--=， 由2(2cos 2sin )470αα=-+⨯>V ，故可设12t t ，是上述方程的两根，12122(cos sin ) 7t t t t αα+=--⎧∴⎨=-⎩g ， 又直线过点(1,2)，故结合t 的几何意义得1212||||||||||PA PB t t t t +=+=-，||||PA PB +∴的最小值为23．解：（1）由()f x a ≤，得1122a ax -+≤≤． 因为不等式()f x a ≤的解集为1|}0{x x ≤≤，所以102112aa -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得1a =．（2）11()()(1)|21||21|g x f x f x m x x m==+++-+++的定义域为R ，可得|21||21|0x x m +++≠﹣恒成立．|||(21||2121)(21)|2,2x x x x m -++≥--+=∴>Q -．山西省运城市康杰中学2017年高考模拟（理科）数学试卷（5）解 析1．【考点】5A ：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数相等的性质求出x y ，，再利用复数的代数形式的乘除运算法则能求出结果．【解答】解：i x y R ∈Q ，，为虚数单位，且2i 1i x y =+（﹣）﹣﹣，∴211x y -=⎧⎨-=-⎩，解得31x y ==，，421i 1i 2i 4x y +∴+=+==（）（）（）﹣．故选：C ．2．【考点】1H ：交、并、补集的混合运算． 【分析】先求出R B ，ð从而根据集合A 及RA B R =U（）ð即可求出a 的取值范围． 【解答】解|}12{R B x x x =≤≥Q ：，或ð， R A B R ∴=U 若（）；ð2a ∴≥． 故选C ．3．【考点】85：等差数列的前n 项和． 【分析】设公差为d ，由101221210S S -=，得1d =，从而201711112016,201320171S S S a -+⨯==-，由此能求出2017S ．【解答】解：{}n a Q 为等差数列，∴n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 设公差为d ，Q101221210S S -=， 1d ∴=，201711112016,201320171S SS a -+⨯==-，2017201736051S ∴=⨯=．故选：C ．4．【考点】7C ：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z ax y =+取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论． 【解答】解：不等式对应的平面区域如图： 由z ax y =+得y ax z =+﹣，若0a =时，直线y ax z z =+=﹣，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．若0a ﹣＞，则直线y ax z =+﹣截距取得最大值时，z 取的最大值，此时满足直线y ax z =+﹣与2y x=﹣平行， 此时1a =﹣，解得1a =﹣．若0a ﹣＜，则直线y ax z =+﹣截距取得最大值时，z 取的最大值，此时满足直线y ax z =+﹣与314y x =+﹣平行，此时3a =﹣﹣，解得3a =． 综上满足条件的3a =或1a =﹣， 故实数a 的取值集合是{31}，﹣， 故选：B ．5．【考点】L !：由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥P ABCD ﹣的四个侧面中面积，得到最大值即可．【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3所以后面三角形的面积为：142⨯=两个侧面面积为：12332⨯⨯=，前面三角形的面积为：1462⨯=，四棱锥P ABCD ﹣的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6． 故选C ．6．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先根据导数的几何意义写出g x （）的表达式．再根据图象的对称性和函数值的分布，逐一判断． 【解答】解：由题意，得g x xcosx =（），因为g x g x =（﹣）﹣（）所以它是奇函数， 0000k g x y x x cosx =='=（）（），图象关于原点对称，排除A C ，，排除B C ，．又当π012x <＜＜时，00cosx xcosx ∴＞，＞，知D 项不符合， 故选：B ．7．【考点】2K ：命题的真假判断与应用． 【分析】由平均数的定义，计算即可判断①； 运用平均数、中位数和众数的定义，即可判断②； 由线性回归直线必过样本中心点，即可判断③；由ξ服从正态分布20N σ（，），即曲线关于y 轴对称，求得2P ξ（＜﹣），即可判断④． 【解答】解：①由题意可得这两个班的数学平均分为①，故①错；②由题意可得11517141015171716141214.7151710a b c =+++++++++===（），，，即有c b a ＞＞，故②错；③由线性回归方程的特点，可得回归直线ˆˆˆy bxa =+必过样本中心点(),x y ，故③对； ④已知ξ服从正态分布20N σ（，），且200.4P ξ≤≤=（﹣），则20.50.40.1P ξ==（＜﹣）﹣， 则220.1PP ξξ==（＞）（＜﹣），故④错． 故选：D8．【考点】GQ ：两角和与差的正弦函数．【分析】比较题设条件与结论，可知应利用角的关系2ααβαβ=++（）（﹣）求解．【解答】解：[]2sin sin sin cos cos sin ααβαβαβαβαβαβ=++=+++Q （）（﹣）（）（﹣）（）（﹣），Q ∵[]2sin sin sin cos cos sin ααβαβαβαβαβαβ=++=+++（）（﹣）（）（﹣）（）（﹣），又Q()()3123,cos ,sin 24135ππαβαβαβ<<<-=+=-，π3π0,42αβπαβ∴-<-<<+<，54135sin cos αβαβ∴=+=（﹣）﹣，（）﹣，51245162131351365sin α∴=⨯⨯=（﹣）﹣（﹣）﹣．故选：A ．9．【考点】EF ：程序框图．【分析】由题意可知，首先是判断框中的条件满足，所以框图依次执行循环，框图执行第一次循环后，S 的值为12，执行第二次循环后，S 的值为前2项的和，满足1111246100+++⋅⋅⋅+时，此时I 的值为100，判断框中的条件应该不满足，算法结束，由此得到判断框中的条件． 【解答】解：框图首先给累加变量S 赋值为0I ，赋值2，此时判断框中的条件满足，执行102S =+，224I =+=； 此时判断框中的条件满足，执行11042624S I =++=+=，；此时判断框中的条件满足，执行1110628246S I =+++=+=，；⋯观察规律可知：判断框中的条件满足，执行1111246100S =+++⋅⋅⋅+1002102I =+=，； 此时判断框中的条件不满足，故判断框内应填入的一个条件为100I ≤． 故选：A ．10．【考点】KA ：双曲线的定义；HR ：余弦定理．【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求12•||||PF PF 的值．解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出12•||||PF PF 的值． 【解答】解：法1．由双曲线方程得11a b c ==，， 由余弦定理得12cos F PF ∠=()(22222221212121212121212122221cos602222PF PF PF PF PF PF F F PF PF F F PF PF PF PF PF PF +--+-+-⇒=⇒=o12||||•4PF PF ∴=．法2；由焦点三角形面积公式得：12221216011cot 1cot sin 602222F PFS b PF PF PF PF θ∆====o o 12||||•4PF PF ∴=；故选B ．11．【考点】9V ：向量在几何中的应用．【分析】根据题意，建立坐标系，设出A B ，点的坐标，并设AOC α∠=，则由OC xOA yOB =+uuu r uuu r uuu r得x y ，的值，从而求得x y +，结合正弦函数的性质可求满足条件的角α的范围，可求 【解答】解：建立如图所示的坐标系， 则10120120A B cos sin o o（，），（，）， 即12B （﹣ 设AOC α∠=，则OC cos sin αα=u u u r（，）()()1,0cos ,sin 2OC xOA yOB x y y αα⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u u r u u u ru u u r Q ． 1cos 2sin x y y αα⎧-=⎪⎪∴=cos y x α⎧=⎪⎪∴⎨⎪=+⎪⎩230x y cos sin ααα∴++=+o （）． 0120α︒≤≤o Q ∵0°≤α≤120°． 3030150α∴≤+≤o o o ．当x y +≥30sinα+︒≥（）4530135α∴≤+≤o o o 即15105α≤≤o o ，∴满足x y +≥1051531204P -==o o o 故选B12．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据定义域为R 的偶函数f x （）满足对21x R f x f x f ∀∈+=，有（）（）﹣（），可以令1x =﹣，求出1f （），再求出函数f x （）的周期为2，当]3[2x ∈，时221218f x x x =+，（）﹣﹣，画出图形，根据函数|1|a y f x log x =+（）﹣（）在0+∞（，）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解； 【解答】解：因为21f x f x f +=（）（）﹣（），且f x （）是定义域为R 的偶函数令1x =﹣所以 121111f f f f f +==（﹣）（﹣）﹣（），（﹣）（） 即 10f =（）则有 2f x f x +=，（）（） f x （）是周期为2的偶函数，当]3[2x ∈，时222121823f x x x x =+=，（）﹣﹣﹣（﹣） 图象为开口向下，顶点为30（，）的抛物线 Q 函数|1|a y f x log x =+（）﹣（）在0+∞（，）上至少有三个零点， 0f x ≤Q （），0g x ∴≤（），可得1a ＜，要使函数|1|a y f x log x =+（）﹣（）在0+∞（，）上至少有三个零点， 令|1|a g x log x =+（）（）， 如图要求22g f （）＞（），可得就必须有2122a log f +=（）＞（）﹣，∴可得32a log ＞﹣213a ∴，＜，解得a 又0a ＞，0a ∴＜ 故选A ；13．【考点】DB ：二项式系数的性质．【分析】根据2x 产生的两种可能分别得到其系数的等式解出a ．【解答】解：因为511ax x ++（）（）的展开式中2x 的系数为5，则21555C aC +=，即1055a +=，解得a =﹣1；故答案为：1-．14．【考点】8K ：抛物线的简单性质；QK ：圆的参数方程．【分析】求出抛物线焦点与圆心坐标，故当直线l 经过圆心时弦长最长，利用两点式求出直线方程． 【解答】解：抛物线标准方程为24y x =，焦点坐标为10（，）， 圆的圆心坐标为21（，﹣）， ∴当直线l经过圆心21（，﹣）时，弦长最长， 故直线l 的方程为011021y x --=---，即10x y+=﹣． 故答案为：10x y +-=．15．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；3L ：棱锥的结构特征．【分析】法一：内切球球心O 到各面的距离相等，如图，可以推断出球心在AB 和CD 的中点的连线的中点，求出OH 即可．法二：先求四面体的体积，再求表面积，利用体积等于表面积和高乘积的13，求出内切球半径．【解答】解：法一：易知内切球球心O 到各面的距离相等． 设E F 、为CD AB 、的中点，则O 在EF 上且O 为EF 的中点．在ABE △中，6,4,AB AE BE OH ==== 解法二：设球心O 到各面的距离为R ．143BCD A BCD S R V -⨯⨯=△， 164122BCD S =⨯⨯=Q △，2A BCD C ABE V V --==14123R ∴⨯⨯=R ∴=16．【考点】8H ：数列递推式．【分析】由1[][2121]113n n nn n a a n +++=+⨯﹣（﹣）（﹣）（﹣），当*2n k k N =∈（），可得：*22131621k k a a k n k k N ++=+=∈，﹣（），可得：2123163k k a a k +=+﹣﹣，于是212141k k a a k+=﹣﹣﹣，利用“累加求和”方法与等差数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解()()()12121[][113]nnnn n a a n +--++-=+-⨯Q ，()*2n k k N ∴=∈，可得：221316k k a a k ++=+， ()*21n k k N =-∈，可得：2123163k k a a k -+=-+，212141k k a a k +-∴=--，2525232321311a a a a a a a a ∴=++⋯++---（）（）（） 141214111411a =⨯-+⨯-+⋯+⨯-+=（）（）（）()11121214123002a a ⨯+⨯-+=+则251300a a -=， 故答案为：300．17．【考点】HO ：已知三角函数模型的应用问题． 【分析】（1）由图得到A 及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M 的横坐标代入求出M 的坐标，利用两点距离公式求出|MP |（2）利用三角形的正弦定理求出NP MN ，，求出折线段赛道MNP 的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值．【解答】解：（1）因为图象的最高点为(3,S所以A =由图知sin y A x ω=的周期为12T =，又2πT ω=，所以π6ω=，所以π6y x = 所以()()4,3,8,0M P5|MP（2）在,120MNP MNP ∠=o △中，故()0,60θ∈o o由正弦定理得()5sin 20sin sin 60NP MNθθ==-o o ，所以(),60,NP MN θθ==-o设使折线段赛道MNP 为L 则()()()60sin 60sin 60L θθθθθ=-+⎤=-+⎦=+o o o 所以当角30θ=o 时L18．【考点】MR ：用空间向量求平面间的夹角；LS ：直线与平面平行的判定．【分析】1（）当13t =时，//P MQB 平面，若//P MQB 平面，连AC 交BQ 于N ，根据线面平行得到//PA MN ，从而13PM AN PC AC ==，即13PM PC =，从而求出t 的值； （2）以Q 为坐标原点，分别以QA QB QP 、、所在的直线为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，先求出平面MQB 的法向量n r ，取平面ABCD的法向量(0,0,QP =u u u r 设所求二面角为θ，根据公式cos QP n QP nθ=u u u r r g u u u r r 即可求出二面角MBQ C ﹣﹣的大小． 【解答】解：（1）当13t =时，P MQB ∥平面下面证明：若P MQB ∥平面，连AC 交BQ 于N由AQ BC ∥可得，ANQ BNC △∽△，12AQ AN BC NC ∴==… ,PA MQB PA PAC ⊂∥平面平面，平面PAC I 平面MQB MN =，PA MN ∴∥…13PM AN PC AC ==即：1133PM PC t =∴=… （2）由2PA PD AD ===，Q AD 为的中点，则PQ AD ⊥．．又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PQ ⊥平面ABCD ，连BD ， 四边形ABCD 为菱形，,60AD AB BAD ABD =∠=o Q △为正三角形，Q 为AD 中点，AD BQ ∴⊥…以Q 为坐标原点，分别以QA QB QP 、、所在的直线为x y z ，，轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为()()()(1,0,00,00,0,00,0,A B Q P ，，，设平面MQB 的法向量为(),,n x y z =r，可得 00n QB n MN ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u r g r u u u u r g 而PA MN ∴∥00n QB n PA ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u r g r u u u r g，00x ==⎪⎩ 取1z =，解得)0,1n =r…取平面ABCD的法向量(0,0,QP =u u u r设所求二面角为θ， 则1cos 2QP n QP n θ==u u u r rg u u ur r 故二面角M BQ C --的大小为60o …19．【考点】9C ：相互独立事件的概率乘法公式CG ；：离散型随机变量及其分布列；CH ：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为12，有一道题目做对的概率为13，有一道做对的概率为14，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．（2）由题意知可能得到的分数是25，30，35，40，结合每一个分数对应的事件，根据相互独立事件和互斥事件做出每一种分数的概率，比较出大小．（3）根据第二问所做出的结果，列出随机变量的分布列，算出期望值．【解答】解：（1）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为12， 有一道题目做对的概率为13，有一道做对的概率为14，∴所得40分的概率为111123424P ==g g（2）依题意，该考生得分的范围为25，30，35，40 得25分做对了5题，其余3题都做错了，∴概率为112312344P==g g 得30分是做对5题，其余3题只做对1题，∴概率为21231131211123423423424P=++=g g g g g g 得35分是做对5题，其余3题做对2题，∴概率为311312111112342342344P =++=g g g g g g 得40分是做对8题，∴概率为4124p =∴得30分的可能性最大（3）由（2）得ξ的分布列为：ξ25 30 35 40P14112414 12411111730525303540304244242412E ξ∴=+++==g g g g20．【考点】KG ：直线与圆锥曲线的关系；3K ：椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由MOF V 是等腰直角三角形，得224c b ==，再根据222a b c =+可求得a ； （Ⅱ）分情况讨论：（1）当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为：y kx m =+，联立直线AB 方程与椭圆方程消掉y 得x 的二次方程，由韦达定理及128k k +=可得关于k m ，的关系式，消m 代入直线AB 方程可求得定点坐标；（2）若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =，由已知可求得AB 方程，易验证其过定点；【解答】（Ⅰ）解：由MOF V 是等腰直角三角形，得2224,8c b a ===， 故椭圆方程为：22184x y +=．（Ⅱ）证明：（1）若直线AB 的斜率存在，设AB 的方程为：y kx m =+，依题意得2m ≠±， 设()()1122,,,Ax y B x y ，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222124280k x kmx m +++-=， 则2121222428,1212km m x x x x k k -+=-=++由已知128k k +=，可得1212228y y x x --+=， 所以1212228kx m kx m x x +-+-+=，即()1212228x x k m x x ++-=． 所以42mk k m -=+，整理得122m k =-． 故直线AB 的方程为122y kx k =+-，即122y k x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．所以直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（2）若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =， 设()()0000,,Ax y B x y -,，由已知0000228y y x x ---+=，得012x =-． 此时AB 方程为12x =-，显然过点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．综上，直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．21．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f x （）的导数，由此根据a 的取值范围进行分类讨论，能求出函数f x （）的单调区间．（2）由于112f =（）﹣，当010a f ＞时，（）＜，此时0f x ≥（）对定义域内的任意x 不是恒成立的．当0a ≤时，由（1）得f x （）在区间0+∞（，）上取得最小值为112f =（）﹣，由此能求出实数a 的取值范围． （3）由（2）知，当12a =﹣时，0f x ≥（），当且仅当1x =时，等号成立，这个不等式等价于2lnx x x ≤﹣．由此能够证明对任意的正整数m n ，，不等式恒成立． 【解答】解：（1）()()1af x x a x'=+-+Q ， ①0a ≤当时，若01x ＜＜，则()0f x '＜，故函数()f x 的单调减区间是()0,1；若1x ＞，则()0f x '＞，故函数()f x 的增区间是()1,+∞．②当01a ＜＜时，函数()f x 的单调减区间是(),1a ；单调增区间是()()0,1,a +∞,．③当1a =时，则()()210x f x x-'=≥，故函数()f x 的单调增区间是()0,+∞；④当1a ＞时，函数()f x 的单调递减区间是()1,a ；函数()f x 的单调递增区间是()()0,1,a +∞,．（2）由于()112f =-， 当0a >时()10f <，此时()0f x ≥对定义域内的任意x 不是恒成立的．当0a ≤时，由（1）得(),f x 在区间()0,+∞上的极小值，也是最小值为()112f =-， 此时，()10f ≥，解得12a ≤-，故实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．（3）由2（）知，当12a =-时， 2111ln 0222f x x x x =-+-≥（），当且仅当1x =时，等号成立，这个不等式等价2ln x x x ≤-于． 当1x ＞时，变换为21111ln 1x x x x x>=---， 因此不等式左边()11111111...1121n m m m m m n m n m m n m m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪-+++-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 从而得证．22．【考点】QH ：参数方程化成普通方程；4Q ：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得2270t cos sin t αα+=（﹣）﹣，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．【解答】解：（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=，化为直角坐标方程为226x y y +=，即()2239x y +-=．（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得()22cos sin 70tt αα+--=，由()22cos 2sin 470αα=-+⨯>V ，故可设12t t ，是上述方程的两根，()12122cos sin 7t t t t αα⎧+=--⎪∴⎨=-⎪⎩g ，又直线过点()1,2，故结合t的几何意义得1212PA PB t t t t +=+=-===，||PA PB∴+的最小值为23．【考点】5R ：绝对值不等式的解法；33：函数的定义域及其求法．【分析】（1）由()f x a ≤，得1122a ax -+≤≤．再根据不等式()f x a ≤的解集为1|}0{x x ≤≤，可得102112aa -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，由此解得a 的值．（2）根据12121gx x x m=-+++（）的定义域为R ，可得21|10|2x x m +++≠﹣恒成立．求得221|1|xx ++﹣的最小值为2，可得m 的范围． 【解答】解：（1）由()f x a ≤，得1122a ax -+≤≤． 因为不等式()f x a ≤的解集为1|}0{x x ≤≤，所以102112aa -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得1a =．（2()()1112121gx f x f x mx x m==+++-+++（）的定义域为R ，可得|2120|1xx m +++≠﹣恒成立． ()()||212121212,2||x x x x m -++≥--+=∴>Q -．。
山西省康杰中学2017届高三高考全真模拟考试理科综合试题(附答案)$794413
绝密★启用前康杰中学2017年高考全真模拟理科综合试题可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 S-32 As-75 Ga-70第I 卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 下列关于细胞的叙述，正确的是A.线粒体是蓝藻细胞和酵母菌细胞进行有氧呼吸的主要场所B.原核细胞与真核细胞均以DNA为遗传物质C.细胞膜、细胞质基质中转运氨基酸的载体均是蛋白质D.细胞分化过程中，细胞中的遗传物质及蛋白质种类均发生变化2. 在条件适宜的情况下，用自然光照射离体的新鲜叶绿体一段时间后，突然改用光照强度与自然光相同的绿色光照，瞬间叶绿体中的物质所发生变化正确的是A. ATP含量下降B. C3的含量下降C.合成C5的速率加快D. NADPH的含量上升3. 科学家在进行下列实验研究中，所采用的核心技术相同的一组是①分离真核细胞的细胞器②探究光合作用释放的氧气来自水③研究细胞中分泌蛋白的合成、加工及分泌过程④用甲基绿和吡罗红对细胞染色，观察核酸的分布⑤用肺炎双球菌转化实验证明DNA是遗传物质⑥用T2噬菌体侵染细菌的实验证明DNA是遗传物质A.①②③B.①④⑤C.②③⑥D.②⑤⑥4.下图中，a 、b 、c表示一条染色体上相邻的3个基因, m 、n为基因间的间隔序列,下列相关叙述，正确的是A.该染色体上的三个基因一定控制生物的三种性状B. m 、n片段中碱基对发生变化会导致基因突变C.若a中有一个碱基对被替换，其控制合成的肽链可能不变D.a 、 b 、 c 均可在细胞核中复制及表达5.下列关于人体生命活动调节的叙述，正确的是A.下丘脑中有渗透压感受器，细胞外液渗透压下降可产生渴觉B.发生膝跳反射时，兴奋在反射弧中是双向传导的C.胰岛素与胰高血糖素通过协同作用调节人体血糖浓度D.神经冲动通过突触传递时，体现了细胞间的信息交流6.下列关于植物生命活动调节的叙述，错误．．的是 A.生长素既能促进发芽也能抑制发芽B.乙烯、吲哚乙酸、吲哚丁酸及2,4-D 均为植物激素C.在植物成熟组织中，生长素可进行非极性运输D.植物生长发育的过程，在根本上是基因组在一定时间和空间上程序性表达的结果7.化学与社会、生活密切相关。
山西省运城市康杰中学2017-2018学年高考模拟(四)数学(理)试题 Word版含答案
康杰中学2017-2018学年数学（理）模拟试题（四）【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数5122iz i -=+的实部为 A. -1B. 0C. 1D. 22. 设集合{}2log ,04A y y x x ==<≤，集合{}1xB x e =>，则AB 等于A. (],2-∞B. (0,)+∞C. (,0)-∞D. R3. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数（用十进制表示）是 A. 492B. 382C. 185D. 1234. 给出下列四个结论： ①命题“10,2x x x ∀>+≥.”的否定是“00010,2x x x ∃>+<.”； ②“若3πθ=，则sin θ=”的否命题是“若,3πθ≠则sin θ≠”；③若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，则命题,p q 中一真一假； ④若1:1;:ln 0p q x x≤≥，则p 是q 的充分不必要条件. 其中正确结论的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知1tan 4tan θθ+=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A.12 B.13C. 14D. 15试题类型：A6. 已知实数,x y 满足122022x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若z x ay =-只在点（4，3）处取得最大值，则a的取值范围是 A. (,1)-∞- B. (2,)-+∞C. (,1)-∞D. 1()2+∞，7. 如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正 方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何 体的体积为 A.83B.43C. 3D. 38. 已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足||c a b --＝2，则｜c ｜的取值范围为A. [11，B. [22C.D. [3+－9. 将函数2sin (0)y x ωω=>的图象向左平移(0)2ϕπϕω<≤个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数()y g x =的图象，且()y g x =的图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π，若()1g x >-对任意(,)123x ππ∈-恒成立，则ϕ的取值范围是 A. [,]122ππB. [,]63ππC. [,]123ππD. [,]62ππ10. 设双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12,F F . 若点P 在双曲线上，且12F PF ∆为锐角三角形，则12PF PF ｜｜+｜｜的取值范围是A.B.C. )+∞D. (8,)+∞11. 点P为棱长是1111ABCD A B C D －的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的正视图侧视图俯视图中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为A.πB. 2πC. 4π12. 设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，已知()()f x f x '<，且()(4),(4)0,(2)1f x f x f f ''=-==，则使得()20x f x e -<成立的x 的取值范围是A. (2,)-+∞B. (0,)+∞C. (1,)+∞D. (4,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省康杰中学2017-2018学年高三下学期第四次联考数学试卷(理科)(a卷) Word版含解析
2017-2018学年山西省忻州一中、临汾一中、长治二中、康杰中学高三（下）第四次联考数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}2．已知a为实数，若复数z=（a2﹣9）+（a+3）i为纯虚数，则的值为（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1+2i D．1﹣2i3．下列函数中既是奇函数，又是在（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．C．y=﹣x3D．y=lg2x4．下列的说法错误的是（）A．对于p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假，则p，q都是假D．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（）A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．106．从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有（）A．16种B．18种C．22种D．37种7．如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．7 B．﹣7 C．21 D．﹣218．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为6的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．96 B．108 C．180 D．1989．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．6610．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．若在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“g（x）≥”发生的概率为（）A．B．C．D．11．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=（x2+x）（x2+ax+b），若对∀x∈R，均有f（x）=f（2﹣x），则f（x）的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣2 D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则（+）•（+）=．15．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为，则a=．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足b=7asinB，则sinA=，若B=60°，则sinC=．三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜1．18．根据国家《环境空气质量标准》规定：居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的（）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列及数学期望E（X）和方差D（X）．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；（Ⅱ）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF2F1=∠MF2A．（ⅰ）求证：直线l过定点（2，0）；（ⅱ）求斜率k的取值范围．21．设函数f（x）=e x﹣ax﹣2（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，f'（x）＜1恒成立，其中f'（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，且D，C，E，G四点共圆．（Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG；（Ⅱ）若GC=1，求AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R），g（x）=x++4（x＜0）（1）若a=3，求不等式f（x）≥4的解集；（2）对∀x1∈R，∀x2∈（﹣∞，0）有f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年山西省忻州一中、临汾一中、长治二中、康杰中学高三（下）第四次联考数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}【考点】其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【分析】利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一元二次不等式可求得集合B，从而可求得A∩C R B．【解答】解：∵≤1=，∴x≥0，∴A={x|x≥0}；又x2﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，∴2≤x≤4．∴B={x|2≤x≤4}，∴∁R B={x|x＜2或x＞4}，∴A∩∁R B={x|0≤x＜2或x＞4}，故选C．2．已知a为实数，若复数z=（a2﹣9）+（a+3）i为纯虚数，则的值为（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1+2i D．1﹣2i【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数是纯虚数，求出a，然后利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：a为实数，若复数z=（a2﹣9）+（a+3）i为纯虚数，可得a=3，则====1﹣2i．故选：D．3．下列函数中既是奇函数，又是在（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．C．y=﹣x3D．y=lg2x【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断可得答案．【解答】解：y=x+是奇函数，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴在（0，+∞）上不单调，故排除A；y=的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，故y=不具备奇偶性，故排除B；y=﹣x3是奇函数，但在（0，+∞）上单调递减，故排除C；y=lg2x的定义域为R，且lg2﹣x==﹣lg2x，∴函数为奇函数，又t=2x递增，y=lgt递增，∴y=lg2x在（0，+∞）上递增，故选D．4．下列的说法错误的是（）A．对于p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假，则p，q都是假D．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”【考点】的真假判断与应用．【分析】利用的否定判断A的正误；充要条件判断B的正误；复合的真假判断C的正误；四种的逆否关系判断D的正误；【解答】解：对于A，p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，满足的否定关系，正确；对于B，“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，满足“x=1”⇒“x2﹣3x+2=0”，反之，不成立，所以B正确；对于C，若p∧q为假，则p，q至少一个是假，所以C不正确；对于D，“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，满足逆否的形式，正确．故选：C．由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（）A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．10【考点】回归分析的初步应用．【分析】利用样本点的中心在线性归回方程对应的直线上，即可得出结论．【解答】解：由表中数据得，，由在直线，得，即线性回归方程为．所以当x=12时，，即他的识图能力为9.5．故选：B．6．从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有（）A．16种B．18种C．22种D．37种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】从6个盒子中选出3个来装东西，有C63=20种方法，甲乙未被选中的情况有C43=4种方法，利用间接法可得结论．【解答】解：从6个盒子中选出3个来装东西，有C63=20种方法，甲乙未被选中的情况有C43=4种方法，∴甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有20﹣4=16种方法，故选A．7．如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．7 B．﹣7 C．21 D．﹣21【考点】二项式系数的性质．【分析】给二项式中的x赋值﹣1，求出展开式的各项系数和，列出方程，求出n；将n的值代入二项式，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为﹣3，求出r的值，将r的值代入通项，求出展开式中的系数．【解答】解：令x=1得展开式的各项系数之和2n，∴2n=128，解得n=7．∴展开式的通项为，令，解得r=6．所以展开式中的系数是3C76=21．故选C8．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为6的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．96 B．108 C．180 D．198【考点】由三视图求面积、体积．【分析】用正方体的体积减去四棱锥的体积即可．【解答】解：几何体为正方体减去一个正四棱锥，正方体的棱长为6，正四棱锥的底面边长为6，高为3．∴几何体的体积V=63﹣=180．故选C．9．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66【考点】循环结构．【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；…直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．故选：B．10．已知函数f （x ）=sin ωx +cos ωx （ω＞0）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移个单位，得到函数g （x ）的图象．若在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“g （x ）≥”发生的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型；函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g （x ）的解析式，确定满足g （x ）≥1的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论【解答】解：∵f （x ）=sin ωx +cos ωx=2sin （ωx +），由题意知=，则T=π，∴ω=2，∴f （x ）=2sin （2x +），把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移个单位，得g （x ）=f （x +）=2sin [2（x +）+]=2sin（2x +）=2cos2x ．∵2cos2x ≥，x ∈[0，π]，可得：cos2x ，解得：2x ∈[0，]，所以x ∈[0，]，∴事件“g （x ）≥”发生的概率为=；故选：C ．11．已知抛物线y 2=8x 的焦点F 到双曲线C ：=1（a ＞0，b ＞0）渐近线的距离为，点P 是抛物线y 2=8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1（0，c ）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的标准方程．【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a ，再利用抛物线的定义，结合P 到双曲线C 的上焦点F 1（0，c ）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF 1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴∴a=2b，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3∴c2+4=9∴∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1∴双曲线的方程为﹣x2=1．故选C．12．已知函数f（x）=（x2+x）（x2+ax+b），若对∀x∈R，均有f（x）=f（2﹣x），则f（x）的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣2 D．0【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由f（0）=f（2），f（﹣1）=f（3）可求得a，b，从而确定函数f（x），从而求导确定函数的极值，从而求最小值．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（0）=f（2），f（﹣1）=f（3），即0=6（4+2a+b），0=12（9+3a+b），解得，a=﹣5，b=6；故f（x）=（x2+x）（x2﹣5x+6），令f′（x）=（2x+1）（x2﹣5x+6）+（x2+x）（2x﹣5）=（x﹣1）（2x2﹣4x﹣3）=0，解得，x=1或x=1+或x=1﹣；由函数的对称性知，当x=1+或x=1﹣时，函数f（x）都可以取到最小值f（1+）=﹣，故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为3．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得A（3，3），z=2x﹣y可转换成y=2x﹣z，z最大时，y值最小，即：当直线z=2x﹣y过点A（3，3）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值3．故答案为：3．14．已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则（+）•（+）=﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】取边长为1的等边三角形ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则由题意可得=2， +=2．求得∠AOD=∠AOE=，再根据OD=OE=，利用两个向量的数量积的定义求得（+）•（+）的值．【解答】解：取边长为1的等边三角形ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则由题意可得=2， +=2．而由等边三角形的性质可得，OA=2OD，OD⊥AB，∴∠AOD=，同理可得，∠AOE=．再根据OD=OE=•=，可得（+）•（+）=2••2=4=4×××cos=﹣，故答案为：﹣．15．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为，则a=﹣1．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】由图可知f（x）=0得到x的解确定出b的值，确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可．【解答】解：由图知方程f（x）=0有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，∴f（x）=﹣x2（x﹣a），有∫a0（x3﹣ax2）dx=（）|a0=0﹣+==，∴a=±1．函数f（x）与x轴的交点横坐标一个为0，另一个a，根据图形可知a＜0，得a=﹣1．故答案为：﹣1．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足b=7asinB，则sinA=，若B=60°，则sinC=．【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理，得b=，与已知等式比较可得sinA=，而B=60°得sinB＞sinA，所以角A是锐角，由同角三角函数的平方关系算出cosA=，最后根据sinC=sin（A+B），结合两角和的正弦公式即可算出sinC的值．【解答】解：∵由正弦定理，得∴b==7asinB，解之得sinA=∵B=60°，sinA=＜sinB=，得A为锐角可得cosA==（舍负）∴sinC=sin（A+B）=sin（A+60°）=×+×=故答案为：，三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜1．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）分类讨论，再检验写出通项公式即可；（2）化简b n===﹣，从而利用裂项求和法求解．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2﹣1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，a1=1也满足a n=2n﹣1，故a n=2n﹣1；（2）证明：∵b n===﹣，∴T n=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣＜1．18．根据国家《环境空气质量标准》规定：居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的；（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列及数学期望E（X）和方差D（X）．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）利用频率分配表，直接求解众数和中位数．（2）利用中位数与频率求出该居民区PM2.5年平均浓度，判断即可．（3）随机变量ξ的可能取值为0，1，2．求出概率，得到分布列，然后求解期望与方差即可．【解答】解：（1）众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米．…（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）．因为40.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．…（3）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则．随机变量ξ的可能取值为0，1，2．且ξ～B所以，所以变量ξ的分布列为0 1 2（天），或（天）…Dξ=0.1819．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；（Ⅱ）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥平面PBC，利用面面垂直的性质，根据AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，即可得证；（Ⅱ）取BC的中点O，连接PO，以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面ADP 与平面BCP的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PBC．（Ⅱ）解：如图，取BC的中点O，连接PO，因为PB=PC，所以PO⊥BC．因为PB=PC，所以PO⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设BC=2．由AB=PB=PC=BC=2CD得，，所以，设平面PAD的法向量为=（x，y，z）．所以．令x=﹣1，则，所以=（﹣1，2，）．取平面BCP的一个法向量，所以cos＜，＞=，所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF2F1=∠MF2A．（ⅰ）求证：直线l过定点（2，0）；（ⅱ）求斜率k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（I）由题意知及c2=a2﹣b2可得a，b之间的关系，由圆与直线相切的性质可求b，进而可求a，从而可求椭圆的方程（II）由题意可设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．，联立直线与椭圆方程，根据方程有根的条件可得△＞0，从而可得关于m，k的不等式，然后根据方程的根与系数关系可求则x1+x2，x1x2，由∠NF2F1=∠MF2A．可得，根据直线的斜率公式代入可求m，k的关系，然后代入已知不等式即可求解k的范围【解答】解：（I）由题意知=，所以==．即a2=2b2．又因为b==1，所以a2=2，b2=1．故椭圆C的方程为（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.．由△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，得m2＜2k2+1．则有，．因为∠NF2F1=∠MF2A，且∠MF2A≠90°，所以，即．化简得：2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0．将，代入上式得m=﹣2k（满足△＞0）．直线l的方程为y=kx﹣2k，即直线过定点（2，0）将m=﹣2k代入m2＜2k2+1．得4k2＜2k2+1．且k≠0直线l的斜率k的取值范围是．21．设函数f（x）=e x﹣ax﹣2（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，f'（x）＜1恒成立，其中f'（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数，讨论a≤0，a＞0，求出函数的单调区间；（2）运用参数分离可得k＜+x，令g（x）=+x（x＞0），求出导数，求单调区间，运用零点存在定理，求得零点，即可得到k的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（2）由于a=1，，∵x ＞0，∴e x ﹣1＞0．∴，令，∴k ＜g （x ）min ，令h （x ）=e x ﹣x ﹣2，h ′（x ）=e x ﹣1＞0， ∴h （x ）在（0，+∞）单调递增， 且h （1）＜0，h （2）＞0，∴h （x ）在（0，+∞）上存在唯一零点，设此零点为x 0，则x 0∈（1，2） 当x 0∈（0，x 0）时，g ′（x ）＜0，当x 0∈（x 0，+∞）时，∴∴，由，∴g （x 0）=x 0+1∈（2，3）， 又∵k ＜g （x 0）， ∴k 的最大值为2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ，且D ，C ，E ，G 四点共圆． （Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG ； （Ⅱ）若GC=1，求AB ．【考点】相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明． 【分析】（Ⅰ）由题意可得，G 为△ABC 的重心，根据D 、C 、E 、G 四点共圆，可得∠ADE=∠ACG ，DE ∥AB ，故有∠BAD=∠ADE ，从而得到∠BAD=∠ACG ．（Ⅱ）延长CG 交AB 于F ，则F 为AB 的中点，且CG=2GF ．证得△AFG ∽△CFA ，可得=，即 FA 2=FG •FC ，根据条件化为即AB=GC ，从而得出结论． 【解答】证明：（Ⅰ）∵△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ， ∴G 为△ABC 的重心．连结DE ，因为D 、C 、E 、G 四点共圆，则∠ADE=∠ACG ．又因为AD、BE为△ABC的两条中线，所以点D、E分别是BC、AC的中点，故DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，从而∠BAD=∠ACG．解：（Ⅱ）∵G为△ABC的重心，延长CG交AB于F，则F为AB的中点，且CG=2GF．在△AFC与△GFA中，因为∠FAG=∠FCA，∠AFG=∠CFA，所以△AFG∽△CFA，∴=，即FA2=FG•FC．因为FA=AB，FG=GC，FC=GC，∴•AB2=CG2，即AB=GC，又∵GC=1，所以AB=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系；简单曲线的极坐标方程．【分析】解法一：（Ⅰ）由参数方程消去参数α，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角．（Ⅱ）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，利用参数的几何意义求解即可．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立，设A（x1，y1），B （x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C的普通方程为．由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）将代入（*），化简得y=x+2，所以直线l的倾斜角为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t 为参数），即（t为参数），代入并化简，得．．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，所以．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y得10x2+36x+27=0，于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，故．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R），g（x）=x++4（x＜0）（1）若a=3，求不等式f（x）≥4的解集；（2）对∀x1∈R，∀x2∈（﹣∞，0）有f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为f（x）min≥g（x）max，根据绝对值不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解（1）因为a=3，所以有|x﹣1|+|x﹣3|≥4，当x≤1时，有4﹣2x≥4，所以x≤0，当1＜x＜3时，有2≥4，当x≥3时，有2x﹣4≥4，所以x≥4，综上所述，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．（2）由题意可得f（x）min≥g（x）max，又f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，g（x）≤2，当且仅当x=﹣1时取等号，所以有|a﹣1|≥2即a的取值范围时a≥3或a≤﹣1．2016年11月2日。
山西省运城市康杰中学2017年高考数学模拟试题(1)理(含解析)
2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（理科）（1）一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．设全集U=R ，集合A={x|0＜x ＜2}，B={x|x ＜1}，则集合（∁U A ）∩B=（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（﹣∞，0] C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）2．已知复数Z 的共轭复数=，则复数Z 的虚部是（ ）A ．B ． iC ．﹣D ．﹣ i3．命题“∃x 0≤0，使得x 02≥0”的否定是（ ） A ．∀x ≤0，x 2＜0 B ．∀x ≤0，x 2≥0 C ．∃x 0＞0，x 02＞0D ．∃x 0＜0，x 02≤04．已知直线l 经过圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l 的距离为，则直线l 的方程为（ ） A ．x+2y+5=0 B ．2x+y ﹣5=0C ．x+2y ﹣5=0D ．x ﹣2y+3=05．五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．486．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．B ．C ．6D ．77．已知公差不为0的等差数列{a n }，它的前n 项和是S n ，，a 3=5，则取最小值时n=（ ）A．6 B．7 C．8 D．98．已知，则y=f（x）的对称轴为（）A．B． C．D．9．算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n为（）A．2 B．3 C．7 D．1110．设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的x≥0，y≥0最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．411．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，连结AF1、BF1，若|AB|=|BF1|且，则双曲线的离心率为（）A．B． C．D．12．已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜﹣2，f（0）=3，则不等式f（x）＞e x+2的解集是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，是夹角为的两个单位向量， =﹣2， =k+，若•=0，则实数k的值为．14．已知的展开式中，x3项的系数是a，则= ．15．函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．16．已知等边三角形ABC的边长为，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△ABC折成直二面角，则四棱锥A﹣MNCB的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．（1）求证：；（2）若a=2，求△ABC的面积．18．康杰中学高三数学学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，在全市高三年级学生中随机抽取100名同学的上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有16人，语文成绩优秀但外语不优秀的有14人，外语成绩优秀但语文不优秀的有10人．（1）根据以上信息，完成下面2×2列联表：（2）能否判定在犯错误概率不超过0.001的前提下认为全市高三年级学生的“语文成绩与外语成绩有关系”？（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从全市高三年级学生成绩中，随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3名学生成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X，求X的分布列和期望E（X）．附：其中：n=a+b+c+d．19．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（1）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（2）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．20．已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，若过点M（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．21．已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的图象在它与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）的图象在它与x轴的交点N处的切线为l2，且l1与l2平行．（1）求a的值；（2）已知t∈R，求函数y=f（xg（x）+t）在x∈[1，e]上的最小值h（t）；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|（1）当a=2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0）求证：m+2n≥4．2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}，则集合（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0] C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U=R求出A的补集，再求A的补集与B的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}=（0，2），B={x|x＜1}=（﹣∞，1），∴∁U A=（﹣∞，0]∪[2，+∞）；∴（∁U A）∩B=（﹣∞，0]．故选：B．2．已知复数Z的共轭复数=，则复数Z的虚部是（）A．B． i C．﹣ D．﹣ i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得Z后得答案．【解答】解：由==，得，∴复数Z的虚部是．故选：A．3．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤0【考点】2J：命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是∀x≤0，x2＜0．故选：A．4．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=0【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C的圆心C（1，2），设直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，由坐标原点到直线l的距离为，求出直线的斜率，由此能求出直线l的方程．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心C（1，2），∵直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，∴当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时坐标原点到直线l的距离为1，不成立；当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，且=，解得k=﹣，∴直线l的方程为y=﹣（x﹣1）+2，即x+2y﹣5=0．故选：C．5．五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，用间接法分析：首先计算甲和乙坐在一起排法数目，再计算其中甲乙相邻且乙和丙坐在一起的排法数目，结合题意，用“甲和乙坐在一起排法数目”减去“甲乙相邻且乙和丙坐在一起”的排法数目即可得答案．【解答】解：根据题意，甲乙必须相邻，将甲乙看成一个元素，考虑其顺序，有A22=2种情况，将甲乙与剩余的3个人进行全排列，有A44=24种情况，则甲和乙坐在一起有2×24=48种不同的排法，其中，如果乙和丙坐在一起，则必须是乙在中间，甲和丙在乙的两边，将3个人看成一个元素，考虑其顺序，有A22=2种情况，将甲乙丙与剩余的2个人进行全排列，有A33=6种情况，则甲乙相邻且乙和丙坐在一起的排法有2×6=12种；故甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起排法有48﹣12=36种；故选C．6．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．B．C．6 D．7【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V正方体﹣2V棱锥侧=．故选：A．7．已知公差不为0的等差数列{a n}，它的前n项和是S n，，a3=5，则取最小值时n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，从而求出a n，S n，利用基本不等式能求出取最小值时n的值．【解答】解：∵公差不为0的等差数列{a n}，它的前n项和是S n，，a3=5，∴a3=a1+2d=5，且（a1+d）2=a1（a1+4d），由d≠0，解得a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1，∴，∴，∴当n=7的取等号，故选：B．8．已知，则y=f（x）的对称轴为（）A．B． C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】化简函数f（x）的解析式，求出函数的对称轴即可．【解答】解：，∴对称轴方程为，∴x=﹣，令k=1，得x=，故选：B．9．算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n为（）A．2 B．3 C．7 D．11【考点】EF：程序框图．【分析】算法的功能辗转相除法求m、n的最大公约数，利用辗转相除法求出m、n的最大公约数可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能利用辗转相除法求m、n的最大公约数，当输入m=210，n=119，则210=119+91；119=91+28；91=3×28+7，；28=4×7+0．∴输出n=7．故选：C．10．设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的x≥0，y≥0最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4【考点】7C：简单线性规划．【分析】利用线性规划的知识求出则Z max在点D处取得最大值，由此得出a、b的关系式，再利用基本不等式求的最小值．【解答】解：约束条件表示的平面区域如图所示；由，解得D（4，6），目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则Z max在点D处取得最大值；即4a+6b=12，所以2a+3b=6，所以，当且仅当a=b=时取“=”．故选：A．11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，连结AF1、BF1，若|AB|=|BF1|且，则双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，结合等腰直角三角形可得|AF1|=4a，设|BF1|=x，运用勾股定理，可得a，c的关系，由离心率公式即可得到所求．【解答】解：由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，相加可得|AF1|+|BF1|﹣|AB|=4a，|AB|=|BF1|且，∴|AF1|=4a，设|BF1|=x，则，，又∵，即有8a2+（2a﹣2a）2=4c2，化简可得（5﹣2）a2=c2，即有e==．故选：B．12．已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜﹣2，f（0）=3，则不等式f（x）＞e x+2的解集是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】问题转化为，令，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．【解答】解：f（x）＞e x+2转化为：，令，则，∴g（x）在R上单调递减，又∵∴g（x）＞0的解集为（﹣∞，0），故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，是夹角为的两个单位向量， =﹣2， =k+，若•=0，则实数k的值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出，列出方程求出k．【解答】解：∵是夹角为的两个单位向量∴∴==∵∴解得故答案为：14．已知的展开式中，x3项的系数是a，则= ．【考点】67：定积分；DB：二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的含x3项的系数a的值，再求定积分，可得要求式子的值．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1=C5r（）r x5﹣2r，令5﹣2r=3则r=1∴x3的系数为，∴dx=lnx|=ln，故答案为：ln15．函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（，）．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象，由数形结合求解．【解答】解：方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象如下，由题意，C（0，﹣），B（1，0）；故k BC =，当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=；设切点A的坐标为（x1，lnx1），则=；解得，x1=；故k AC =；结合图象可得，实数m的取值范围是（，）．故答案为：（，）．16．已知等边三角形ABC的边长为，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△ABC折成直二面角，则四棱锥A﹣MNCB的外接球的表面积为52π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】折叠为空间立体图形，得出四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，利用平面问题求解得出四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，求解即可．【解答】解：由，取BC的中点E，则E是等腰梯形MNCB外接圆圆心．F是△AMN 外心，作OE⊥平面MNCB，OF⊥平面AMN，则O是四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，且OF=DE=3，AF=2．设四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，所以表面积是52π．故答案为：52π．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．（1）求证：；（2）若a=2，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．（1）由正弦定理得：sinBcosC﹣sinCsinB=1，从而sin（B﹣C）=1，由此能证明．【分析】（2）由，得，，由，a=2，利用正弦定理求出b，c，由此能求出三角形△ABC的面积．【解答】证明：（1）由及正弦定理得：…整理得：sinBcosC﹣sinCsinB=1，所以sin（B﹣C）=1，又…所以…解：（2）由（1）及，得，，又因为，a=2…所以，，…所以三角形△ABC的面积…18．康杰中学高三数学学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，在全市高三年级学生中随机抽取100名同学的上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有16人，语文成绩优秀但外语不优秀的有14人，外语成绩优秀但语文不优秀的有10人．（1）根据以上信息，完成下面2×2列联表：（2）能否判定在犯错误概率不超过0.001的前提下认为全市高三年级学生的“语文成绩与外语成绩有关系”？（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从全市高三年级学生成绩中，随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3名学生成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X，求X的分布列和期望E（X）．附：其中：n=a+b+c+d．【考点】BO：独立性检验的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由题意填写列联表即可；（2）计算观测值，对照临界值即可得出结论；（3）根据题意知随机变量X～B（3，），计算对应的概率，写出X的分布列，求出数学期望值．【解答】解：（1）由题意得列联表：…（2）因为，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为全市高三年级学生“语文成绩与外语成绩有关系”；…（3）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的概率是，…则X～B（3，），；…数学期望为．…P﹣ABCD组合而成，．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明：AD⊥平面ABFE，即可证明平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥P﹣ABCD的高．【解答】（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE﹣BCF中，AB⊥平面ADE，所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，所以：AD⊥平面ABFE，AD⊂平面PAD，所以：平面PAD⊥平面ABFE…．（Ⅱ）∵AD⊥平面ABFE，∴建立以A为坐标原点，AB，AE，AD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：设正四棱锥P﹣ABCD的高为h，AE=AD=2，则A（0，0，0），F（2，2，0），C（2，0，2），=（2，2，0），=（2，0，2），=（1，﹣h，1），=（x，y，z）是平面AFC的法向量，则，令x=1，则y=z=﹣1，即=（1，﹣1，﹣1），设=（x，y，z）是平面ACP的法向量，则，令x=1，则y=﹣1，z=﹣1﹣h，即=（1，﹣1，﹣1﹣h），∵二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．∴cos＜，＞===．得h=1或h=﹣（舍）则正四棱锥P﹣ABCD的高h=1．20．已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，若过点M（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）圆心到直线x+y+1=0的距离，由椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，知b=c，由此能求出椭圆方程．（2）当直线l的斜率不存在时，可得t=0；当直线l的斜率存在时，t≠0，设直线l方程为y=kx+2，设P（x0，y0），将直线方程代入椭圆方程得：（k2+2）x2+4kx+2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）由题意，以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为x2+（y﹣c）2=a2，∴圆心到直线x+y+1=0的距离∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b=c，，代入得b=c=1，∴，故所求椭圆方程为…（2）当直线l的斜率不存在时，可得t=0，适合题意．…当直线l的斜率存在时，t≠0，设直线l方程为y=kx+2，设P（x0，y0），将直线方程代入椭圆方程得：（k2+2）x2+4kx+2=0，…∴△=16k2﹣8（k2+2）=8k2﹣16＞0，∴k2＞2．设S（x1，y1），T（x2，y2），则，…由，当t≠0，得…整理得：，由k2＞2知，0＜t2＜4，…所以t∈（﹣2，0）∪（0，2），…综上可得t∈（﹣2，2）．…21．已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的图象在它与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）的图象在它与x轴的交点N处的切线为l2，且l1与l2平行．（1）求a的值；（2）已知t∈R，求函数y=f（xg（x）+t）在x∈[1，e]上的最小值h（t）；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的几何意义，分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率，令其相等解方程即可得a值；（2）令u=xlnx，再研究二次函数u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象是对称轴u=，开口向上的抛物线，结合其性质求出最值；（3）先由题意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，再利用导数工具研究所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，下面对m进行分类讨论：①当m∈（0，1）时，②当m≤0时，③当m≥1时，结合不等式的性质即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣a，y=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=由题意可得k l1=k l2，即a=1；（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，令u=xlnx，在 x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤e，u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，①当u=≤0，即t≥时，y最小=t2﹣t，②当u=≥e，即t≤时，y最小=e2+（2t﹣1）e+t2﹣t，③当0＜＜e，即＜t＜时，y最小=y|u==﹣；（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=≥0，所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，①当m∈（0，1）时，有，α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），∴由f（x）的单调性知 0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2），从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合题设．②当m≤0时，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α），∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符，③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，得|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符，∴综合①、②、③得 m∈（0，1）．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）消参数即可得到普通方程，根据极坐标的几何意义即可得出P的直角坐标；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程得出A，B对应的参数，利用参数得几何意义得出|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ），y=sin=，∴P的直角坐标为；由得cosφ=，sinφ=．∴曲线C的普通方程为．（Ⅱ）将代入得t2+2t﹣8=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣2，t1t2=﹣8，∵P点在直线l上，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==6．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|（1）当a=2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0）求证：m+2n≥4．【考点】R6：不等式的证明；R5：绝对值不等式的解法．【分析】对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．【解答】解：（1）当a=2时，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|，①当x≤1时，原不等式化为2﹣x≥4+（x﹣1），得x≤﹣，故x≤﹣；②当1＜x＜2时，原不等式化为2﹣x≥4﹣（x﹣1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x﹣2≥4﹣（x﹣1），得x≥，故x≥．综合①、②、③知，原不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪[，+∞）．（2）证明：由f（x）≤1得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴∴得a=1，∴ +=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（+）≥2+2=4，当且仅当=即m=2n时及m=2，n=1时，等号成立，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．。
山西省运城市2017届高三4月模拟调研测试数学(理)试题含答案
山西省运城市2017届高三4月模拟调研测试数学（理)试题 第Ⅰ卷（共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合(){}|lg 3A x y x ==+,{}|2B x x =≥，则下列结论正确的是（ ) A 。
3A -∈ B 。
3B ∈ C 。
AB B= D 。
AB B =2.已知复数11iZ i-=+，则21Z Z ++的值是（ ）A ．1B ．-1C ．iD ．i - 3。
命题“||||0x y +≠ ”是命题“0x ≠或0y ≠”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件4。
有五条长度分别为1，3，5,7,9的线段,若从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为（ ）A.110B.310 C 。
12 D 。
7105.在ABC ∆中，13AN NC =，P 是直线BN 上的一点,或34AP mAB AC =+ ,则实数m 的值为( ）A ．—2B ．-4C ．1D ．4 6。
执行下图的程序框图，则输出的n 为（ ）A ．9B ．11C 。
13D ．15 7.已知双曲线22:21C xmy +=的两条渐近线互相垂直,则抛物线2:E y mx =的焦点坐标是( ）A ．10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B 。
10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C 。
()0,1D 。
()0,1-8.如图，网格纸上小正方体的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是（ )． B 。
D ．9. 已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆22234370xy x y ++-=相交于A ，B 两点，且4AC BC ⋅=，则实数a 的值为( ） A 33- B 333 C. 353 D ．33或5310。
抛物线28y x=的焦点为F ，设()11,A x y ,()22,B x y 是抛物线上的两个动点,12234|x xAB ++=则AFB ∠的最大值为( ）A.3π B 。
2017年山西省运城市康杰中学高考数学全真模拟试卷(理科)
2017年山西省运城市康杰中学高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．（5分）设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={x∈Z|x2﹣5x+4≥0}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{2，3}D．{2}2．（5分）已知复数z的实部和虚部相等，且z（2+i）=3﹣bi（b∈R），则|z|=（）A．3 B．2 C．3 D．23．（5分）已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2+6x﹣8y+16=0，则圆C1和圆C2的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切4．（5分）某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法（）A．6 B．12 C．18 D．245．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4=5，a3是a2和a6的等比中项，则数列{a n}的前5项的和为（）A．15 B．20 C．25 D．15或256．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）对x∈R恒成立，当x∈[0，1]时，f（x）=2x，则=（）A．B．C．D．17．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中n表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin75°≈0.1305）（）A．2.598，3，3.1048 B．2.598，3，3.1056C．2.578，3，3.1069 D．2.588，3，3.11088．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．69．（5分）关于函数f（x）=2cos2+sinx（x∈[0，π]）下列结论正确的是（）A．有最大值3，最小值﹣1 B．有最大值2，最小值﹣2C．有最大值3，最小值0 D．有最大值2，最小值010．（5分）点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=，∠ABC=90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π11．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|=2|BF|，则直线AB的斜率为（）A．B．C．或 D．12．（5分）若函数在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n等于（）A．0 B．2 C．4 D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知矩形ABCD，AB=4，AD=1，点E为DC的中点，则=．14．（5分）为了活跃学生课余生活，我校高三年级部计划使用不超过1200元的资金购买单价分别为90元、120元的排球和篮球．根据需要，排球至少买3个，篮球至少买2个，并且排球的数量不得超过篮球数量的2倍，则能买排球和篮球的个数之和的最大值是．15．（5分）学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C或D 作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．16．（5分）我们把满足：的数列{x n}叫做牛顿数列．已知函数f（x）=x2﹣1，数列{x n}为牛顿数列，设，已知a1=2，则a3=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．（I）若∠DAC=30°，求角B的大小；（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=2，求DC的长．18．（12分）某单位280名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．（I）现要从年龄低于40岁的员工中用分层抽样的方法抽取12人，则年龄在第1，2，3组的员工人数分别是多少？（II）为了交流读书心得，现从上述12人中再随机抽取3人发言，设3人中年龄在[35，40）的人数为ξ，求ξ的数学期望；（III）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对从该单位所有员工中按性别比例抽取的40人做“是否喜欢阅读国学类书籍”进行调查，调查结果如下表所示：（单位：人）根据表中数据，我们能否有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？附：，其中n=a+b+c+d19．（12分）如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC与BD交于O点．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=6．（I）求证：平面ODM⊥平面ABC；（II）求二面角M﹣AD﹣C的余弦值．20．（12分）已知点A，B分别为椭圆E：的左，右顶点，点P（0，﹣2），直线BP交E于点Q，且△ABP是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的解析式及单调递减区间；（2）若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+•lnx•f（x）≤a成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4=0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（I）求圆C和直线l的极坐标方程；（II）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2=|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（2）设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|）2017年山西省运城市康杰中学高考数学全真模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．（5分）设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={x∈Z|x2﹣5x+4≥0}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{2，3}D．{2}【解答】解：∵B={x∈Z|x2﹣5x+4≥0}，∴∁U B={2，3}∵集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，∴A∩∁U B={1，2，3}∩{2，3}={2，3}，故选：C．2．（5分）已知复数z的实部和虚部相等，且z（2+i）=3﹣bi（b∈R），则|z|=（）A．3 B．2 C．3 D．2【解答】解：由z（2+i）=3﹣bi，得=，∴6﹣b=﹣2b﹣3，解得b=﹣9．∴z=3+3i，则|z|=．故选：A．3．（5分）已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2+6x﹣8y+16=0，则圆C1和圆C2的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【解答】解：圆C1：x2+y2=4，表示以C1（0，0）为圆心，半径等于2的圆．圆C2：x2+y2+6x﹣8y+16=0，即（x+3）2+（y﹣4）2=9，表示以C2（﹣3，4）为圆心，半径等于3的圆．∴两圆的圆心距d==5=2+3，∵两个圆外切．故选：B．4．（5分）某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法（）A．6 B．12 C．18 D．24【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、从物理，化学，生物三科中选2科，从政治，历史，地理三科中选1科，则有C32•C31=9种选法；②、从物理，化学，生物三科中选1科，从政治，历史，地理三科中选2科，则有C32•C31=9种选法；则一共有9+9=18种选考方法；故选：C．5．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4=5，a3是a2和a6的等比中项，则数列{a n}的前5项的和为（）A．15 B．20 C．25 D．15或25【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a4=5，a3是a2和a6的等比中项，∴，解得a1=﹣1，d=2，或a1=5，d=0，∴数列{a n}的前5项的和为：=5×（﹣1）+5×4=15．或=5×5+0=25．故选：D．6．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）对x∈R恒成立，当x∈[0，1]时，f（x）=2x，则=（）A．B．C．D．1【解答】解：∵f（x+2）=f（x）对x∈R恒成立，∴f（x）的周期为2，（x）是定义在R上的偶函数，∴=f（﹣）=f（）∵当x∈[0，1]时，f（x）=2x，∴f（）=，故选：B．7．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中n表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin75°≈0.1305）（）A．2.598，3，3.1048 B．2.598，3，3.1056C．2.578，3，3.1069 D．2.588，3，3.1108【解答】解：当n=6时，S=×6×sin60°=2.598，输出S=2.598，6＜24，继续循环，当n=12时，S=×12×sin30°=3，输出S=3，12＜24，继续循环，当n=24时，S=×24×sin15°=3.1056，输出S=3.1056，24=24，结束，∴故选B．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，正方体的体积为：8，三棱锥的体积为：××2×2×1=，故组合体的体积V=8﹣=，故选：A．9．（5分）关于函数f（x）=2cos2+sinx（x∈[0，π]）下列结论正确的是（）A．有最大值3，最小值﹣1 B．有最大值2，最小值﹣2C．有最大值3，最小值0 D．有最大值2，最小值0【解答】解：函数f（x）=2cos2+sinx．化简可得：f（x）=cosx+sinx+1=2sin（x+）+1∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，可得sin（x+）∈[，1]∴函数f（x）∈[0，3]，故选：C．10．（5分）点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=，∠ABC=90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π【解答】解：根据题意知，直角三角形△ABC的面积为3．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，不变，高最大时体积最大，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为为S×DQ=3，△ABC即×3×DQ=3，∴DQ=3，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=（）2+（3﹣R）2，∴R=2，则这个球的表面积为：S=4π×22=16π．故选：D．11．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|=2|BF|，则直线AB的斜率为（）A．B．C．或 D．【解答】解：如图，点A在第一象限．过A、B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D、E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线定义可知|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，又∵|AF|=2|BF|，∴|AD|=|CE|=2|BE|，即B为CE中点，∴|AB|=3|BC|，在Rt△ABC中，|AC|=2|BC|，∴直线l的斜率为=2；当点B在第一象限时，同理可知直线l的斜率为﹣2，∴直线l的斜率为±2，故选：C．12．（5分）若函数在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n等于（）A．0 B．2 C．4 D．6【解答】解：∵，∴f（﹣x）=3+=3﹣，∴f（x）+f（﹣x）=6．①又f（x）在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，即无论k取什么样的正实数都应有最大值与最小值的和是一个确定的值，故可令k=1，由于函数在区间[﹣k，k]（k＞0）上是一个增函数，故m+n=f（k）+f（﹣k）由①知，m+n=f（k）+f（﹣k）=6．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知矩形ABCD，AB=4，AD=1，点E为DC的中点，则=﹣3．【解答】解：分别以边AB，AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（4，0），E（2，1）；∴；∴．故答案为：﹣3．14．（5分）为了活跃学生课余生活，我校高三年级部计划使用不超过1200元的资金购买单价分别为90元、120元的排球和篮球．根据需要，排球至少买3个，篮球至少买2个，并且排球的数量不得超过篮球数量的2倍，则能买排球和篮球的个数之和的最大值是12．【解答】解：设买排球x个，篮球y个，买排球和篮球的个数之和z=x+y．则，由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（8，4），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为12．故答案为：12．15．（5分）学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C或D 作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B．【解答】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：B16．（5分）我们把满足：的数列{x n}叫做牛顿数列．已知函数f（x）=x2﹣1，数列{x n}为牛顿数列，设，已知a1=2，则a3=8．【解答】解：∵f（x）=x2﹣1，数列{x n}为牛顿数列，∴=x n﹣=（x n+），∴=ln=ln=2=2a n，又a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a3=2×22=8．故答案为：8．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．（I）若∠DAC=30°，求角B的大小；（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=2，求DC的长．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理，有．因为，所以．又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，所以∠ADC=120°． (3)于是∠C=180°﹣120°﹣30°=30°，所以∠B=60°．…（6分）（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，．于是，，．…（9分）在△ABD中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB，即，得x=2．故DC=2．…（12分）18．（12分）某单位280名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．（I）现要从年龄低于40岁的员工中用分层抽样的方法抽取12人，则年龄在第1，2，3组的员工人数分别是多少？（II）为了交流读书心得，现从上述12人中再随机抽取3人发言，设3人中年龄在[35，40）的人数为ξ，求ξ的数学期望；（III）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对从该单位所有员工中按性别比例抽取的40人做“是否喜欢阅读国学类书籍”进行调查，调查结果如下表所示：（单位：人）根据表中数据，我们能否有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？附：，其中n=a+b+c+d【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得前三组的人数分别为：0.02×5×280=28，28，[1﹣（0.02+0.02+0.06+0.02）×5]×280=112所以前三组抽取的人数分别为，2，8（3分）（II）由上可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，其概率分别为，，（7分）所以，（9分）（Ⅲ）假设H0：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，求得K2的观测值，（11分）查表得P（K2≥6.635）=0.01，从而能有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系（12分）19．（12分）如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC与BD交于O点．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=6．（I）求证：平面ODM⊥平面ABC；（II）求二面角M﹣AD﹣C的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵ABCD是菱形，∴AD=DC，OD⊥AC，△ADC中，AD=DC=12，∠ADC=120°，∴OD=6，又M是BC中点，∴，∵OD2+OM2=MD2，∴DO⊥OM，∵OM，AC⊂面ABC，OM∩AC=O，∴OD⊥面ABC，又∵OD⊂平面ODM，∴平面ODM⊥平面ABC．…（6分）解：（Ⅱ）由题意，OD⊥OC，OB⊥OC，又由（Ⅰ）知OB⊥OD，建立如图所示空间直角坐标系，由条件知：故，设平面MAD的法向量，则，即，令，则x=3，z=9∴由条件知OB⊥平面ACD，故取平面ACD的法向量为所以，由图知二面角M﹣AD﹣C为锐二面角，故二面角M﹣AD﹣C的余弦值为．（12分）20．（12分）已知点A，B分别为椭圆E：的左，右顶点，点P（0，﹣2），直线BP交E于点Q，且△ABP是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：△ABP是等腰直角三角形，a=2，B（2，0），设Q（x0，y0），由，则，代入椭圆方程，解得b2=1，∴椭圆方程为．…（5分）（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在，方程为y=kx﹣2，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，整理得：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，…（8分）由直线l与E有两个不同的交点，则△＞0，即（﹣16k）2﹣4×12×（1+4k2）＞0，解得：k2＞，…①…（9分）由坐标原点O位于以MN为直径的圆外，则，即x 1x2+y1y2＞0，则x1x2+y1y2=x1x2+（kx1﹣2）（kx2﹣2）=（1+k2）x1x2﹣2k×（x1+x2）+4=（1+k2）﹣2k×+4＞0，解得：k2＜4，…②…（11分）综合①②可知：＜k2＜4，解得＜k＜2或﹣2＜k＜﹣，直线l斜率的取值范围（﹣2，﹣）∪（，2）．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的解析式及单调递减区间；（2）若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+•lnx•f（x）≤a成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′（x）=，又由题意有：=，所以m=2，f（x）=．此时，f′（x）=，由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜e，所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1）和（1，e）．…（5分）（2）因为g（x）=aelnx+﹣（a+e）x，由已知，若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+•lnx•f（x）≤a 成立，则只需满足当x∈[e，+∞），g（x）min≤a即可．…（6分）又g（x）=aelnx+﹣（a+e）x，则g′（x）=，…（7分）a≤e，则g′（x）≥0在x∈[e，+∞）上恒成立，∴g（x）在[e，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（e）=﹣，∴a≥﹣，∵a≤e，∴﹣≤a≤e．…（9分）a＞e，则g（x）在[e，a）上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，∴g（x）在[e，+∞）上的最小值是g（a），∵g（a）＜g（e），a＞e，∴满足题意，综上所述，a≥﹣．…（12分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4=0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（I）求圆C和直线l的极坐标方程；（II）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2=|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2=4，∴圆C的极坐标方程ρ=2．点P在直线l：x+y﹣4=0上，直线l的极坐标方程ρ=．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），因为，又因为|OP|2=|OR|•|OQ|，即，∴，∴ρ=．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（2）设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|）【解答】（1）解：根据题意，对x分3种情况讨论：①当x＜0时，原不等式可化为﹣2x+1＜﹣x+1，解得x＞0，又x＜0，则x不存在，此时，不等式的解集为∅．②当0≤x＜时，原不等式可化为﹣2x+1＜x+1，解得x＞0，又0≤x＜，此时其解集为{x|0＜x＜}．③当x≥时，原不等式化为2x﹣1＜x+1，解得≤x＜2，又由x≥，此时其解集为{x|≤x＜2}，综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．（2）证明：∵f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，故|f（x）﹣f（a）|=|x2﹣x﹣a2+a|=|x﹣a|•|x+a﹣1|＜|x+a﹣1|=|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a﹣1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1）．∴|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．。
【数学】山西省2017年高考数学一模试卷理科Word版含解析
【关键字】数学2017年山西省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设单数z满足iz=1+2i，则z的共轭单数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．12．已知实数集R，集合，则M∩（∁RN）=（）A．[﹣1，8）B．（0，5] C．[﹣1，5）D．（0，8）3．已知函数，a为实数，若f（2﹣x）≥f（x），则x的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，﹣1] C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）4．若双曲线的中心在坐标原点O，过C的右顶点和右焦点分别作垂直于x轴的直线，交C 的渐近线于A，B和M，N，若△OAB与△OMN的面积之比为1：4，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．C．y=±2x D．y=±3x5．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）A．B．C．D．6．已知P是圆x2+y2=R2上的一个动点，过点P作曲线C的两条互相垂直的切线，切点分别为M，N，MN的中点为E．若曲线C：+=1（a＞b＞0），且R2=a2+b2，则点E的轨迹方程为．若曲线，且R2=a2﹣b2，则点E的轨迹方程是（）A．B．C．D．7．（﹣+1）7的展开式中x3的系数为（）A．﹣1 B．C．﹣7 D．78．已知椭圆与直线y=x+3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．9．已知函数的部分图象如图所示，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g （x）的图象，则函数y=g（x）在区间上的最大值为（）A．3 B．C．D．10．如图，在△ABC中，AB=BC=，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P﹣BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3πC．5πD．7π11．运行如图所示的程序框图，输出的数称为“水仙花数”．（算术符号MOD表示取余数，如11MOD2=1）．下列数中的“水仙花数”是（）①“水仙花数”是三位数；②152是“水仙花数”；③407是“水仙花数”．A．0 B．C．2 D．312．已知函数（其中k为正整数，a∈R，a≠0），则f（x）的零点个数为（）A．2k﹣2 B．2k C．2k﹣1 D．与a有关二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“∀x∈N，x2＞的否定为．14．在△ABC中，已知AB=2，AC=1，∠A=60°，D为AB的中点，则向量在上的投影为．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则AC边上的高的最大值为．16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知数列{an}满足，，n∈N*，等差数列{bn}满足a1=2b1，a2=b2．（1）求bn；（2）记cn=a2n﹣1b2n﹣1+a2nb2n，求cn；（3）求数列{anbn}前2n项的和S2n．18．某种多面体玩具共有12个面，在其十二个面上分别标有数字1，2，3，…，12．若该玩具质地均匀，则抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等．抛掷该玩具一次，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如9=32，9是完全平方数）”（1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：①甲抛掷一次，若事件A发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A不发生，则甲得0分；②乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分；（ⅰ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的期望；（ⅱ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；（2）抛掷该玩具一次，记事件B=“向上一面的点数不超过k（1≤k≤12）”，若事件A与B相互独立，试求出所有的整数k．19．在三棱柱ABC﹣A1B1中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D为A1B1的中点．（1）证明：A∥平面BC1D；（2）若A=A，点A1在平面ABC的射影在AC上，且BC与平面BC1D所成角的正弦值为，求三棱柱ABC﹣A1B1的高．20．已知抛物线C：y2=4x，直线l：x=﹣1．（1）若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点的距离相等，求Q的坐标；（2）过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点．21．已知函数．（1）若函数为减函数，求a的取值范围；（2）若f（x）≤0恒成立，证明：a≤1﹣b．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．已知曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=r（r ＞0）．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数；（2）若b＜r＜a，求由两曲线C1与C2交点围成的四边形面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式x|x﹣m|﹣2≥m．（1）当m=0时，求该不等式的解集；（2）当x∈[2，3]时，该不等式恒成立，求m的取值范围．2017年山西省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设复数z满足iz=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：iz=1+2i，∴﹣iiz=﹣i（1+2i），z=﹣i+2则z的共轭复数=2+i的虚部为1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知实数集R，集合，则M∩（∁R N）=（）A．[﹣1，8）B．（0，5]C．[﹣1，5）D．（0，8）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】集合M与N中不等式变形后，分别求出解集确定出M与N，求出M与N补集的并集即可．【解答】解：M={x|0＜x＜27}，N={x|x＜﹣1或x＞5}，∁R N={x|﹣1≤x≤5}，∴M∪（∁R N）={x|0＜x≤5}，故选B．【点评】此题考查了交集及其运算，交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．已知函数，a为实数，若f（2﹣x）≥f（x），则x的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的单调性即可判断．【解答】解：由题意可得函数f（x）在R上为单调递增函数，∵f（2﹣x）≥f（x），∴2﹣x≥x，解得x≤1，故选：A【点评】本题考查函数的单调性的运用：解不等式，属于基础题．4．若双曲线的中心在坐标原点O，过C的右顶点和右焦点分别作垂直于x轴的直线，交C的渐近线于A，B和M，N，若△OAB 与△OMN的面积之比为1：4，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．C．y=±2x D．y=±3x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由三角形的面积比等于相似比的平方，可得=，即可求出渐近线方程．【解答】解：由三角形的面积比等于相似比的平方，则=，∴=4，∴=，∴C的渐近线方程为y=±x，故选：B【点评】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．5．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论．【解答】解：由题意，甲获得冠军的概率为×+×+×=，其中比赛进行了3局的概率为×+×=，∴所求概率为=，故选B．【点评】本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题．6．已知P是圆x2+y2=R2上的一个动点，过点P作曲线C的两条互相垂直的切线，切点分别为M，N，MN的中点为E．若曲线C： +=1（a＞b＞0），且R2=a2+b2，则点E的轨迹方程为．若曲线，且R2=a2﹣b2，则点E的轨迹方程是（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】由椭圆与双曲线的定义中的运算互为逆运算，即可得出结论．【解答】解：由于椭圆与双曲线的定义中的运算互为逆运算，即加法与减法互为逆运算，∴猜想双曲线对应的点E的轨迹方程为，故选A．【点评】本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，正确类比是关键．7．（﹣+1）7的展开式中x3的系数为（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7【考点】二项式系数的性质．【分析】化（﹣+1）7=[1+（﹣）]7，利用展开式通项公式T r，求出（+1﹣）r展开式中x3项的系数即可．【解答】解：（﹣+1）7=[1+（﹣）]7的展开式通项公式为：T r=（﹣）r，+1对于（﹣）r，通项公式为：==（﹣2）m，T m+1令=3，得r=6+3m；根据0≤m≤r≤7，r、m为自然数，求得m=0，r=6；∴（﹣+1）7展开式中x3项的系数为（﹣2）0=7．故选：D．【点评】本题考查了二项式展开式中通项公式的灵活应用问题，是基础题．8．已知椭圆与直线y=x+3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将直线方程代入椭圆方程，由△=0，求得a2+b2=9，由题意的离心率公式，求得=，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程．【解答】解：由题意可知：，整理得：（a2+b2）x2+6a2x+9a2﹣a2b2=0，则△=0，则36a2﹣4（a2+b2）（9a2﹣a2b2）=0，整理得：a2+b2=9，①由题意的离心率e===，则=，②由①②，解得：a2=5，b2=4，∴椭圆C的方程：，故选B．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．9．已知函数的部分图象如图所示，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）在区间上的最大值为（）A．3 B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数的图象求出T，利用周期公式求出ω，利用函数的图象经过的特殊点，集合φ的范围，求出φ得到函数的解析式，进而可求g（x）解析式，利用正弦函数的性质即可得解．【解答】解：由图象可知T=4π，从而ω=，将（，0），（0，﹣）在函数图象上，，|φ|＜，可得：φ=﹣，A=3，f（x）=3sin（﹣），可得：g（x）=3sin[（x+）﹣]=3cos．由x∈，可得：∈[，]，可得：3cos∈[﹣3，]．故选：C．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，考查计算能力，属于基础题．10．如图，在△ABC中，AB=BC=，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P﹣BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3πC．5πD．7π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD⊥平面PCD，求出三棱锥P﹣BDC外接球半径R=，由此能示出该球的表面积．【解答】解：由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD⊥平面PCD，设三棱锥P﹣BDC外接球的球心为O，△PCD外接圆的圆心为O1，则OO1⊥面PCD，∴四边形OO1DB为直角梯形，由BD=，O1D=1，及OB=OD，得OB=，∴外接球半径为R=，∴该球的表面积S=4πR2=4=7π．故选：D．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三棱锥的外接球的性质的合理运用．11．运行如图所示的程序框图，输出的数称为“水仙花数”．（算术符号MOD表示取余数，如11MOD2=1）．下列数中的“水仙花数”是（）①“水仙花数”是三位数；②152是“水仙花数”；③407是“水仙花数”．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】程序框图．【分析】根据本程序框图的含义是：a表示一个数的个位数，b表示其十位数，c 表示其百位数；验证题目中的命题是否正确即可．【解答】解：本程序框图的含义是：a表示一个数的个位数，b表示其十位数，c 表示其百位数；对于①，“水仙花数”是三位数，即100≤m=i≤999，∴①正确；对于②，152是“水仙花数”，由13+53+23≠152，∴②不正确；对于③，407是“水仙花数”，即407=43+03+73，∴③正确；综上，正确的命题有2个．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题的关键是分析出程序的含义，是基础题．12．已知函数（其中k为正整数，a∈R，a≠0），则f（x）的零点个数为（）A．2k﹣2 B．2k C．2k﹣1 D．与a有关【考点】正弦函数的图象．【分析】函数f（x）零点的个数等于方程xcosx﹣sinx=sinx，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）解的个数；设y1=xcosx﹣sinx，y2=sinx，利用导数研究两个函数的单调性与交点个数，即可求出答案．【解答】解：函数f（x）=xcosx﹣sinx﹣sinx，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）的零点的个数等于方程xcosx﹣sinx=sinx，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）解的个数；设y1=xcosx﹣sinx，y2=sinx，∵y1′=﹣xsinx，∴y1=xcosx﹣sinx在…，（﹣5π，﹣4π），（﹣3π，﹣2π），（﹣π，0），（0，π），（2π，3π），（4π，5π），…上单调递减；在…，（﹣4π，﹣3π），（﹣2π，﹣π），（π，2π），（3π，4π），…上单调递增；如图中实线所示；y2′=a，由y1=xcosx﹣sinx的图象可得：a＞0时，y2=sinx的图象，如图中虚线所示；则函数f（x）共有2k﹣1个零点；由函数图象的对称性可得，当a＜0时，函数f（x）零点个数仍为2k﹣1个．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数零点与方程根的应用问题，是难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为∃x0∈N，x02≤1．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为∃x0∈N，x02≤1故答案为：∃x0∈N，x02≤1【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．14．在△ABC中，已知AB=2，AC=1，∠A=60°，D为AB的中点，则向量在上的投影为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用余弦定理可得BC，运用勾股定理逆定理，可得∠ACB=90°，∠ABC=30°，再由共线向量和向量的投影可得向量在上的投影为||cos＜，＞，计算可得．【解答】解：在△ABC中，已知AB=2，AC=1，∠A=60°，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2ABACcosA=4+1﹣2×2×1×=3，即有BC=，由AB2=AC2+BC2，可得∠ACB=90°，∠ABC=30°，D为AB的中点，可得=，即有向量在上的投影为||cos＜，＞=1（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查解三角形的余弦定理和勾股定理的运用，考查向量的投影的概念和求法，考查运算能力，属于中档题．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则AC边上的高的最大值为3．【考点】余弦定理．【分析】由已知及三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得：sinAcosB=sinAsinB，由sinA≠0，可得tanB=，结合B∈（0，π）可求B，利用余弦定理，基本不等式可求12≥ac，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：由sin（A+B）=sinC，及sinC=（sinA+cosA）sinB，可得：sinAcosB=sinAsinB，由于sinA≠0，可得：tanB=，结合B∈（0，π），可得：B=，由b2=a2+c2﹣2accosB，可得：12=a2+c2﹣ac≥ac，=acsinB=ac≤3，可得：S△ABC=bh=h≤3，又由S△ABC可得：h≤3，即AC边上的高的最大值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个斜四棱柱与一个四棱锥的组合体，分别计算体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个斜四棱柱与一个四棱锥的组合体，其直观图如图所示：四棱柱的底面面积为2，高为2，故体积为4；四棱锥的底面面积为2，高为，故体积为：，故组合体的体积V=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，棱柱的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知数列{a n}满足，，n∈N*，等差数列{b n}满足a1=2b1，a2=b2．（1）求b n；（2）记c n=a2n﹣1b2n﹣1+a2n b2n，求c n；（3）求数列{a n b n}前2n项的和S2n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用二倍角公式化简a n，可得a n=．求出数列{b n}的首项和公差，则通项公式可求；（2）直接把{a n}、{b n}的通项公式代入求解；（3）由（2）知，数列{c n}是以36为公差的等差数列，再由等差数列的前n项和公式得答案．【解答】解：（1）由=2+1+cosnπ=3+cosnπ=．于是，，b2=a2=4，∴等差数列{b n}的公差为3，则b n=1+3（n﹣1）=3n﹣2；（2）c n=a2n﹣1b2n﹣1+a2n b2n=2[3（2n﹣1）﹣2]+4[3×2n﹣2]=36n﹣18；（3）由（2）知，数列{c n}是以36为公差的等差数列，则S2n=a1b1+a2b2+…+a2n﹣1b2n﹣1+a2n b2n==．【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．18．某种多面体玩具共有12个面，在其十二个面上分别标有数字1，2，3，…，12．若该玩具质地均匀，则抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等．抛掷该玩具一次，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如9=32，9是完全平方数）”（1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：①甲抛掷一次，若事件A发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A 不发生，则甲得0分；②乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分；（ⅰ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的期望；（ⅱ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；（2）抛掷该玩具一次，记事件B=“向上一面的点数不超过k（1≤k≤12）”，若事件A与B相互独立，试求出所有的整数k．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）（i）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X，Y，X的可能取值为6，24，54，0，分别求出相应的概率，从而能求出甲得分的期望；Y的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，且P（Y=i）=，i=1，2，3，…，12．由此能求出乙得分的期望．（ii）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，甲的得分不低于乙的概率为：P=P（X=6，1≤Y≤6）+P（X=24）+P（X=54），由此能求出结果．（2）抛掷玩具一次，基本事件总数共有12个，则事件A包含3个基本事件，推导出B事件包含的基本事件数必为4的倍数，即k∈{4，8，12}，由此进行分类讨论经，能求出k的所有值．【解答】解：（1）（i）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X，Y，则X的可能取值为6，24，54，0，当X=6时，向上的点数为1，P（X=6）=，当X=24时，向上的点数为4，P（X=24）=，当X=54时，向上的点数为9，P（X=54）=，当X=0时，向上的点数为42，52，…，122，有种情况，P（X=0）=，∴X的分布列为：X624540P∴甲得分的期望为E（X）==7．Y的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，且P（Y=i）=，i=1，2，3， (12)∴Y的分布列为：Y1 2 3456789101112 P∴乙得分的期望为E（Y）=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12）=．（ii）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，甲的得分不低于乙的概率为：P=P（X=6，1≤Y≤6）+P（X=24）+P（X=54）==．（2）抛掷玩具一次，基本事件总数共有12个，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如9=32，9是完全平方数）”记事件B=“向上一面的点数不超过k（1≤k≤12）”，则事件A包含3个基本事件，（1点，4点，9点），记n（AB），n（B）分别表示事件AB，B包含的基本事件个数，由P（AB）=P（A）P（B）及古典概率模型，得：=，∴n（B）=4n（AB），①∴B事件包含的基本事件数必为4的倍数，即k∈{4，8，12}，当k=4时，n（B）=4，AB={1，4}，n（AB）=2，不符合①，当k=8时，n（B）=8，AB={1，4}，n（AB）=2，符合①，当k=12时，n（B）=12，AB={1，4，9}，n（AB）=3，符合①，故k的所有值为8或12．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查概率的求法，考查满足条件的整数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意古典概率模型的合理运用．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D为A1B1的中点．（1）证明：A1C∥平面BC1D；（2）若A1A=A1C，点A1在平面ABC的射影在AC上，且BC与平面BC1D所成角的正弦值为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结B1C交BC1于点E，连结DE．DE∥A1C，得A1C∥平面BC1D；（Ⅱ）取AC的中点O，连结A1O，∵点A1在面ABC上的射影在AC上，且A1A=A1C．则A1O⊥面ABC，则可建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz，设A1O=a．求出面BC1D的法向量，由BC与平面BC1D所成角的正弦值为，即|cos|=||=，可得a=．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结B1C交BC1于点E，连结DE．则E是B1C的中点，又D为A1B1，所以DE∥A1C1，且DE⊂面BC1D，A1C⊄BC1D，∴A1C∥平面BC1D；（Ⅱ）取AC的中点O，连结A1O，∵点A1在面ABC上的射影在AC上，且A1A=A1C．∴A1O⊥面ABC，则可建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz，设A1O=a．∵AC=BC=2，∠ACB=120°，则B（﹣2，，0），C（﹣1，0，0），C1（﹣2，0，a），D（﹣，，a），，．设为面BC1D的法向量，，取y=﹣a，则，由BC与平面BC1D所成角的正弦值为，即|cos|=||=，可得a=．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【点评】本题考查了空间线面平行，向量法求空间角，空间想象能力、计算能力，属于中档题．20．已知抛物线C：y2=4x，直线l：x=﹣1．（1）若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点的距离相等，求Q的坐标；（2）过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设Q（x，y），则（x+1）2=x2+y2，即y2=2x+1，与抛物线方程联立，得Q的坐标；（2）先通过特例求出定点，再证明一般性结论．【解答】（1）解：设Q（x，y），则（x+1）2=x2+y2，即y2=2x+1，与抛物线方程联立，得Q（，）；（2）证明：设直线方程为y﹣t=k（x+1）（k≠0），代入抛物线方程整理得ky2﹣4y+4t+4k=0，△=0，可得k2+kt﹣1=0．特别地，t=0，k=±1，这时切点为A（1，2），B（1，﹣2），AB过定点F（1，0）．一般地，k1+k2=t，k1k2=﹣1，切点为A（，），B（，），∴=（﹣1，），=（﹣1，），∴（﹣1）﹣=﹣1））=0，∴∥，∴AB过点F（1，0），综上所述，直线AB过点F（1，0）．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知函数．（1）若函数为减函数，求a的取值范围；（2）若f（x）≤0恒成立，证明：a≤1﹣b．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数g（x）的导数，根据g′（x）≤0，分离参数a，求出a 的范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，令y=ax2+x+1，通过讨论a的范围，令x0=，根据函数的单调性得到b≤﹣ax0﹣lnx0，a=﹣，从而证出结论即可．【解答】解：（1）∵g（x）=f（x）+=lnx+ax++b，x＞0，g′（x）=+a﹣，x＞0，∵g（x）为减函数，∴g′（x）≤0，即a≤﹣=﹣，∴a≤﹣；（2）证明：f′（x）=++a=，（x＞0），令y=ax2+x+1，a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）递增，不满足f（x）≤0恒成立，当a＜0时，△=1﹣4a＞0，由ax2+x+1=0，得x=＞0或x=＜0，设x0=，函数f（x）在（0，x0）上递增，在（x0，+∞）递减，又f（x）≤0恒成立，故f（x0）≤0，即lnx0+ax0﹣+b≤0，由上式得b≤﹣ax0﹣lnx0，由a+x0+1=0得a=﹣，∴a+b≤﹣ax0﹣lnx0﹣=﹣lnx0+﹣+1，令t=，t＞0，h（t）=lnt+t﹣t2+1，h′（t）=﹣，0＜t＜1时，h′（t）＞0，函数h（t）在（0，1）递增，t≥1时，h′（t）≤0，函数h（t）在（1，+∞）递减，h（t）≤h（1）=1，故a+b≤1，即a≤1﹣b．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．已知曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=r（r ＞0）．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数；（2）若b＜r＜a，求由两曲线C1与C2交点围成的四边形面积的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）方程化为普通方程，即可讨论两曲线公共点的个数；（2）若b＜r＜a，两曲线均关于x，y轴、原点对称，四边形也关于x，y轴、原点对称，即可求由两曲线C1与C2交点围成的四边形面积的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，θ为参数），普通方程为+=1，曲线C2的极坐标方程为ρ=r（r＞0），直角坐标方程为x2+y2=r2，r=a或b时，两曲线有两个公共点；b＜r＜a时，两曲线有四个公共点；0＜r＜b或r＞a时，两曲线无公共点；（2）两曲线均关于x，y轴、原点对称，∴四边形也关于x，y轴、原点对称，设四边形位于第一象限的点为（acosθ，bsinθ），则四边形的面积为S=4acosθbsinθ=2absin2θ≤2ab，当且仅当sin2θ=1，即θ=45°时，等号成立．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，考查三角函数知识的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017山西一模）已知关于x的不等式x|x﹣m|﹣2≥m．（1）当m=0时，求该不等式的解集；（2）当x∈[2，3]时，该不等式恒成立，求m的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据题意，若m=0时，原不等式为：x|x|﹣2≥0，进而变形可得或，解可得x的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，由x∈[2，3]，将原不等式变形可得：|x﹣m|≥，①，分m≤﹣2与m＞﹣2两种情况讨论，分别求出m的取值范围，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，当m=0时，原不等式为：x|x|﹣2≥0，等价于或，解可得x≥，故原不等式的解集为{x|x≥}；（2）当x∈[2，3]时，原不等式变形可得：|x﹣m|≥，①当m≤﹣2时，m+2≤0，①式恒成立；当m＞﹣2时，即m+2＞0时，①式等价于x﹣m≥或x﹣m≤﹣，化简可得：x2﹣2≥m（x+1）或x2+2≤m（x+1），②又由x∈[2，3]，则有x+1＞0且x﹣1＞0，则②可以变形为m≤或m≥；又由=x﹣﹣1，=x﹣1++2；又由x∈[2，3]，则（）min=，（）max=6；则有m≤或m≥6；故m的取值范围是{m|m≤或m≥6}．【点评】本题考查绝对值不等式的运用以及解法，关键是熟练掌握绝对值三角不等式．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
【山西省运城康杰中学年】2017学年高考全真模拟(理科)数学年试题
0
C83 C132
1 55
,
P
1
C81C42 C132
12 , P
55
2
C82C41 C132
28 55
, P
3
C83 C132
14 , 55
所以, E 0 1 1 12 2 28 3 14 2 ． 55 55 55 55
4
．
sin cos
（2）设 P,Q, R 的极坐标分别为 1, ,, ,2, ,
因为
1 =
sin
4 cos
,
2
2
,
又因为 OP 2 OR OQ ,即 12 = 2 ,
∴
=
12 2
=
sin
16 cos
2
1 2
,
∴ = 8 ． 1 sin 2
和性别有关系
- 1 - / 16
19．（1）证明：∵ ABCD 是菱形, ∴ AD DC,OD AC , △ADC中,AD DC 12,ADC 120 , ∴ OD 6 ,
又 M 是 BC 中点,∴ OM 1 AB 6, MD 6 2 , 2
∵ OD2 OM 2 MD2 ∴ DO OM , ∵ OM , AC 面 ABC , OM AC O , ∴ OD 面 ABC , 又∵ OD 平面 ODM ,∴平面 ODM 平面 ABC ． （2）解：由题意, OD OC,OB OC , 又由（1）知 OB OD ,建立如图所示空间直角坐标系,
则 x1x2 y1y2 x1x2 kx1 2kx2 2
= 1 k 2 x1x2 2k x1 x2 4
【山西省运城康杰中学年】2017学年高考模拟(理科)数学年试题(二)
山西省运城市康杰中学2017年高考模拟（理科）数学试卷（2）答 案1~5．CABCD6~10．DADCD11~12．AB13． 14．7415．2316．π617．解：（1）∵21n n S a n =+-，∴当2n ≥时，2211(1)[(1)1]n n n n n a S S a n a n --=-=+--+--，化为：121n a n -=-121n a n =-﹣， 又∵1123a =++满足上式，∴21n a n =+，∵113(1)n n n n b n a na ++=+-， ∴11111[(1)][(1)(23)(21)](43) 333n n n n n nb n a na n n n n n ++=+-=++-+=+， 又∵13b =满足上式， ∴11(41)3n n b n -=-1(41) 13n n b n -=-． （2）由（1）可知，211113 17 11 ...(41) 333n n T n -=++++-， 21111113 7 ...(45) (41) 33333n n n T n n -=+++-+-， 错位相减得：21211113 +4(...)(41) 33333n n n T n -=+++--， ∴111(1)3133[34(41) ]12313n n n T n --=+⨯--- 115145 223n n -+=-，111514515149(43) ( )02232233n n n n n n n n T T +-++-+-=----=-<．∴1n n T T +<，即{}n T 为递增数列．又3459647,799T T =<=>， ∴n T <7时，n 的最大值为3．18．解：（1）用A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到B 地”，B i 表示事件“乙选择路径L i 时，50分钟内赶到B 地”，i =1，2．由频率分布直方图及频率估计相应的概率可得：1()(0.010.020.03)100.6P A =++⨯=，2()(0.010.04)100.5P A =+⨯=．∵12()()P A P A >故甲应选择L 1．1()(0.010.020.030.02)100.8P B =+++⨯=，2()(0.010.040.04)100.9P B =++⨯=．∵21()()P B P B >，故乙应选择L 2．（2）用M 、N 分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到B 地，由（1）知()0.6,()0.9P M P N ==，又由题意知，M 、N 相互独立，∴(0)()()()0.40.10.04P X P MN P M P N ====⨯=；(1)()()()()()0.40.90.60.10.42P X P MN M N M P M P N P N ==+=+=⨯+⨯=(2)()()()0.60.90.54P X P MN P M P N ====⨯=∴X 的分布列为∴()00.0410.42E X =⨯+⨯．19．解法1 （1）证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，又AE EB ⊥，EB EF E =，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE ．过D 作EH AE ∥交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE ．∵EG ⊂平面BCFE ，∴DH EG ⊥．∵,AD EF DH AE ∥∥，∴四边形AEHD 平行四边形，∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又,EH BG EH BE ⊥∥，∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥，又,BH DH H BH =⊂平面BDH ，DH ⊂平面BDH ，∴EG ⊥平面BDH ．∵BD ⊂平面BDH ，∴BD EG ⊥．（2）解：∵AE ⊥平面BCFE ，AE ⊂平面AEFD ，∴平面AEFD ⊥平面BCFE由（1）可知GH EF ⊥，∴GH ⊥平面AEFD∵DE ⊂平面AEFD ，∴GH DE ⊥取DE 的中点M ，连接MH 、MG∵四边形AEHD 是正方形，∴MH DE ⊥∵,MH GH H MH =⊂平面GHM ，GH ⊂平面GHM ，∴DE ⊥平面GHM ，∴DE MG ⊥∴GMH ∠是二面角G DE F --的平面角，在GMH △中，2,GH MH MG ===cos GMH ∠=∴平面DEG 与平面DEF ． 解法2（1）证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴,EF AE EF BE ⊥⊥，又AE EB ⊥，∴,,EB EF EA 两两垂直．以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，(0,0,2),(2,0,0),(2,4,0),(0,3,0),(0,2,2),(2,2,0)A B C F D G ．∴(2,2,0),(2,2,2)EG BD ==-,∴ 22220BD EG =-⨯+⨯=，∴BD EG ⊥．（2）解：由已知得(2,2,0)EB =是平面DEF 的法向量．设平面DEG 的法向量为(,,)n x y z ，∵(0,2,2),(2,2,0),ED EG ==∴ 0 0ED n EG n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00y x x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得(1,1,1)n =-． 设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ，则| |cos |cos(,)|||||2n EB n EB n EB θ====∴平面DEG 与平面DEF ．20．解：（1）∵椭圆M ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为12，左焦点F 1到直线2a x c=-的距离为3， ∴由题意知2123c a a cc⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得21a c ==，． ∴b ，∴椭圆M 的方程为22143x y +=， 圆N 的方程为225(1)x y +=-，∵直线l ：y kx m =+(0)k >与椭圆M 只有一个公共点，∴由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(34)84120kx kmx m +-++=，① ∴2222644(34)(412)0k m k m ∆=--+=，整理得2234m k =+，②由直线l ：y kx m =+与N=222255k km m k ++=+，③将②代入③得1km =，④由②④得2k m ==，．∴直线l ：2y x =+．（2）将122k m ==，代入①可得3(1,)2A -，又过切点B 的半径所在的直线l '：22y x =-+， 与直线l 的方程联立得B (0,2)，设00(),P x y ，由||||PB PA =22002200(2)83(1)()2x y x y +-=++-， 化简得720x +720y +001620220x y +=﹣，⑤又00(),P x y 满足2200024x y x +-=，⑥将⑤﹣7×⑥并整理得003250x y +=-， 即00352x y +=，⑦ 将⑦代入⑥并整理得0132290x ++=，解得0x =1-或0x =913-， 所以存在(11)P -，或99(,)1313P -满足条件． 21．解：（Ⅰ）由()e 2x f x k x =-'可知，当0k <时，由于(0,),()e 20x x f x k x ∈+∞'=<-，故函数()f x 在区间(0,)+∞上是单调递增函数．（Ⅱ）当2k =时，2()2e x f x x =-，则()2e 2x f x x '=-令()2e 2x h x x =-，()2e 2x h x '=-由于(0,)x ∈+∞，故()220x h x e -'=>，于是()22x h x e x =-在(0,)+∞为增函数，所以()2e 2(0)20x h x x h >=-=>即()2e 20x f x x -'=>在(0,)+∞恒成立，从而2()2e x f x x =-在(0,)+∞为增函数，故2()2e (0)2x f x x f ->==．（Ⅲ）函数()f x 有两个极值点12,x x ，则12,x x 是()e 20x f x k x '=-=的两个根， 即方程2e xx k =有两个根，设()x ϕ2e x x =，则()x ϕ'22e x x -=, 当0x <时，()0x ϕ'>函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ<； 当01x <<时，()0x ϕ'>函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>；当1x >时，()0x ϕ'<函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>． 要使2e x x k =有两个根，只需0 < <2e(1)k ϕ=． 故实数k 的取值范围是2(0,)e 又由上可知函数()f x 的两个极值点12,x x 满足1201x x <<<，由11()e 20x f x k x -'==，得112e x x k =， ∴11122221111111112()e e (2)2(1)1ex x x x f x k x x x x x x x ==-=-=-+=--+-， 由于1(0,1)x ∈，故，210(1)11x <--+<所以1)1(0f x <<22．解：（1）∵曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）． ∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y y -+=，∴曲线C 的极坐标方程为24sin 0ρρθ-=，即曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（2）设直线l 的参数方程是1 cos 1 sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）① 曲线C 的直角坐标方程是2240x y y -+=，②① ②联立，得22(cos sin )20t t θθ+--=，∴122t t =-，且||2||MA NB =，∴122t t =-，则122,1t t ==-或122,1t t =-=∴AB 的弦长12||||3AB t t -==．23．（1）证明：()1||1|||1||1||11|2f x x x x x x x =-++=-++≥-++=；（2）解：|21||1||211|3||||()b b b b b g b b +--+--=≤=， ∴()3,f x ≥即1||13||x x -++≥1x ≤-时23,x ≥-∴ 1.5x ≤--，∴ 1.5x ≤-；11x -<≤时，23≥不成立；1x >时23x ≥，∴ 1.5x ≥，∴ 1.5x ≥．综上所述 1.5x ≤-或 1.5x ≥．山西省运城市康杰中学2017年高考模拟（理科）数学试卷（二）解 析1．【考点】1D ：并集及其运算．【分析】运用二次不等式的解法，化简集合A ，由绝对值不等式的解法，化简集合B ，再由并集的定义，即可得到所求集合．【解答】解：集合()()2560,23,{|A x x x =+>=∞+∞﹣-，{}()3|||12,4B x x <==﹣，∴22A B ⋃=∞⋃+∞（﹣，）（，）．故选：C ．2．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的计算公式及其性质即可得出． 【解答】解：5i 134i z ==+．故选：A ．3．【考点】CP ：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由条件可知μ=3，再利用对称性计算出P （X >4）．【解答】解：由正态曲线性质知，μ=3， 40.5240.50.682 60.(158 )7P X P X ∴>=≤≤=⨯=﹣（）﹣．故选B ．4．【考点】DB ：二项式系数的性质．【分析】由题意得321444+10aC C C --=-，由此能求出a 的值．【解答】解：∵241a x x x ++（）（﹣）的展开式中含3x 项的系数为﹣10， ∴由题意得321444+10aC C C --=-，解得3a =．故选：C ．5．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】联立方程组，利用抛物线的性质和根与系数的关系列方程得出k ．【解答】解：联立方程组2y (x 2)8k y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得22224840k x k x k ++=﹣（）， ∴12x x +=284k +， ∵直线AB 经过抛物线的焦点（2，0），∴1248||9AB x x =++=+=，又k ＞0，∴k =．故选D6．【考点】L !：由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是正三棱柱，结合图中数据，求出三棱柱的高与侧视图的面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是正三棱柱，且底面正三角形一边上的高为=4，∴三棱柱的体积为V 三棱柱=12×4×=， 三棱柱的高为h =3；∴侧视图的面积为S 侧视图=3=故选：D ．7．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设数列{an }的首项为a1，公比为q ，则log2a1+log2a2+log2a3=3，从而a1a2a3=8，进而a2=2．由b1b2b3=﹣3，得log2a1•log2a2•log2a3=﹣3，从而log2a1•log2a3=﹣3，进而（log2a2﹣log2q ）（log2a2+log2q ）=﹣3，解得q =4，2112a a q ==，由此能求出结果． 【解答】解：设数列{an }的首项为a1，公比为q ，∵b1+b2+b3=3，∴log2a1+log2a2+log2a3=3，∴log2（a1a2a3）=3，∴a1a2a3=8，∴a2=2．∵b1b2b3=﹣3，∴log2a1•log2a2•log2a3=﹣3，∴log2a1•log2a3=﹣3，∴()2222log log 3a a q q=-， 即（log2a2﹣log2q ）（log2a2+log2q ）=﹣3，即（1﹣log2q ）（1+log2q ）=﹣3，解得log2q =±2，又∵q ＞1，∴log2q =2，解得q =4，112a a a q ==， ∴4231422n n n a --=⨯=． 故选：A ． 8．【考点】EF ：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值，利用函数图象即可得解．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数的值，由y=x，在同一坐标系中，分别画出图象，如图：可知有四个交点．故选：D．9．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选C．10．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；H2：正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的对称性求出b=﹣a，然后求出函数的解析式，根据三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：∵函数f（x）的图象关于直线对称，∴f（）=（a﹣b）=，平方得a2+2ab+b2=0，即（a+b）2=0，则a+b=0，b=﹣a，则f（x）=asinx+acosx=sin（x+），又a≠0，则=sin（﹣x+）=sin（π﹣x）=sinx为奇函数，且图象关于点（π，0）对称，故选：D．11．【考点】3T：函数的值．【分析】由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63，化简可得（n+1）（2x0+n+1）=63，由此能求出函数f（x）的“生成点”的个数．【解答】解：由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63所以2（n+1）x0+2（1+2+…n）+（n+1）=63，即（n+1）（2x0+n+1）=63，由x0，n∈N*，得或，解得或，所以函数f（x）的“生成点”为（1，6），（9，2）．故函数f（x）的“生成点”共有2个．故答案为：A．12．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（m，n）处的切线相同，分别求出两个函数的导数，可得切线的斜率相等且f（m）=g（m），解得m=a，求出b关于a的函数，设h（t）=t2﹣3t2lnt（t＞0），求出导数和单调区间，可得极大值，且为最大值，即可得到所求b的范围．【解答】解：设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（m，n）处的切线相同，f′（x）=x+2a，g′（x）=，由题意知f（m）=g（m），f′（m）=g′（m），∴m+2a=，且m2+2am=3a2lnm+b，由m+2a=得，m=a，或m=﹣3a（舍去），即有b=a2+2a2﹣3a2lna=﹣3a2lna，令h（t）=t2﹣3t2lnt（t＞0），则h′（t）=2t（1﹣3lnt），于是：当2t（1﹣3lnt）＞0，即0＜t＜e时，h′（t）＞0；当2t（1﹣3lnt）＜0，即t＞e时，h′（t）＜0．故h（t）在（0，+∞）的最大值为h（e）=e，故b的最大值为e，故选：B．13．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】利用向量坐标运算性质、投影的计算公式即可得出．【解答】解：∵，∴=+（﹣5，1）=（﹣4，2）．∴=（﹣2，1）．则在上的投影为．故答案为：14．【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x+y=a的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可．【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是△AOB，动直线x+y=a（即y=﹣x+a）在y轴上的截距从﹣2变化到1．知△ADC是斜边为3的等腰直角三角形，△EOC是直角边为1等腰直角三角形，所以区域的面积S阴影=S△ADC﹣S△EOC=故答案为：．7 415．【考点】7F：基本不等式．【分析】由∠BAC=60°想到三角形面积公式，可设AD=x，AE=y，利用余弦定理与重要不等式求解．【解答】解：设AD=x，AE=y（0＜x≤4，0＜y≤3），由余弦定理得DE2=x2+y2﹣2xycos60°，即4=x2+y2﹣xy，从而4≥2xy﹣xy=xy，当且仅当x=y=2时等号成立．所以，即的最小值为．故答案为23．16．【考点】LR：球内接多面体；L3：棱锥的结构特征；LG：球的体积和表面积．【分析】设出内切球的半径，利用棱锥的体积求出内切球的半径，即可求解内切球的体积．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60°，△ADB，△DBC都是正三角形，边长为2，三角形的高为：．由题意设内切球的半径为r，四棱锥的高为：h，∴h==，斜高为：棱锥的体积为：V=S底•h==．连结球心与底面的四个顶点，组成5个三棱锥，题目的体积和就是四棱锥的体积，∴S全=4×+2×2sin60°=6．∴=，r =．球的体积为：==．故答案为：π617．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（1）21n n S a n =+-，当n ≥2时，1n n n a S S --=，1n =时满足上式，可得112 1.31n n n n n a n b n a na ++=+=+（）﹣，可得()()111114333n n n n nb n a na n ++=⎡+-⎤=+∙⎣⎦，又1b =3满足上式，可得()11413n n b n -=-． （2）利用错位相减法与等比数列的求和公式可得n T ．可得n T ﹣1n T +<0．即可得出．【解答】解：（1）∵21n n S a n =+-，∴当2n ≥时，()()2211111n n n n n a S S a n a n ==+⎡⎤----⎦+-⎣﹣﹣，化为：121na n =-﹣， 又∵1123a =+=满足上式，∴21n a n =+()()()()()1111232143n n n b n a na n n n n n ++=+=⎡++-+⎤=⎣-⎦⎡⎤⎦+⎣，∵1131nn n n b n a na ++=+-（），∴1n b +=13n ()11n n n a na +⎡+-⎤⎣⎦=13n ()()()()1232143n n n n n ⎡++-+⎤=+⎣⎦•13n， 又∵13b =满足上式， ∴()41n b n =-•113n -． （2）由（1）可知，()1111317141333n n T n -=∙+∙+∙++-∙， ()2111137413333n n T n =∙+∙++-∙，错位相减得：()21211134413333n n nT n -⎛⎫=+++--∙⎪⎝⎭， ∴n T =n-11113333+4(4n 1)1213⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⨯--⎢⎥-⎢⎥⎣⎦n-111131333+4(4n 1)12313n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⨯--⎢⎥-⎢⎥⎣⎦n-11113333+41213⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⨯⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ =115145223n n -+-， n T -1n T +=-115145223n n -+--15149(4n 3)2233n n n +-+⎛⎫-∙= ⎪⎝⎭0<． ∴1n n T T +<，即{}n T 为递增数列． 又35979T =<，46479T =>， ∴n T <7时，n 的最大值为3．18．【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图；CG ：离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）用Ai 表示事件“甲选择路径Li 时，40分钟内赶到B 地”，Bi 表示事件“乙选择路径Li 时，50分钟内赶到B 地”，i =1，2．由频率分布直方图及频率估计概率求出P （A1）＞P （A2），从而甲应选择L1，P （B2）＞P （B1），从而乙应选择L2．（2）用M ，N 分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到B 地，P （M ）=0．6，P （N ）=0．9，M ，N 相互独立，由题意X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E （X ）．【解答】解：（1）用Ai 表示事件“甲选择路径Li 时，40分钟内赶到B 地”， Bi 表示事件“乙选择路径Li 时，50分钟内赶到B 地”，i =1，2．… 由频率分布直方图及频率估计相应的概率可得：()()10.010.020.03100.6P A =++⨯=， ()()20.010.04100.5P A =+⨯=．∵()()12P A P A >，故甲应选择L1．…()()10.010.020.030.02100.8P B =+++⨯=， ()()20.010.040.04100.9P B =++⨯=．∵()()21P B P B >，故乙应选择L2．…（2）用,M N 分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到B 地， 由（1）知()()0.60.9P M P N ==，，又由题意知，,M N 相互独立，… ∴()0P X ==()()()0.40.10.04P MN P N M P =⨯=；()()()()()()10.40.90.60.10.42M P X P MN M N P M P N P N ==+=+=⨯+⨯=()()()()20.60.90.54P X P MN P M P N ====⨯=．…∴X 的分布列为∴()00.0410.4220.54 1.5E X =⨯+⨯+⨯=．…19．【考点】MR ：用空间向量求平面间的夹角；LX ：直线与平面垂直的性质． 【分析】解法1（1）证明BD ⊥EG ，只需证明EG ⊥平面BHD ，证明DH ⊥EG ，BH ⊥EG 即可；（2）先证明∠GMH 是二面角G ﹣DE ﹣F 的平面角，再在GMH △中，利用余弦定理，可求平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值；解法2（1）证明EB ，EF ，EA 两两垂直，以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系用坐标表示点与向量，证明0BD EG =，可得BD ⊥EG ；（2）由已知得(2,0,0)EB =是平面DEF 的法向量，求出平面DEG 的法向量()1,1,1N =-，利用向量的夹角公式，可求平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值． 【解答】解法1 （1）证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥， 又AE EB ⊥，EBEF E =，EB EF ，⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE ．…过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE ． ∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥．…∵////AD EF DH AE ，，∴四边形AEHD 平行四边形，∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又////EH BG EH BE ，， ∴四边形BGHE 为正方形， ∴BH EG ⊥，… 又,BHDH H BH =⊂平面,BHD DH ⊂平面BHD ，∴EG ⊥平面BHD ．… ∵BD ⊂平面BHD ， ∴BD EG ⊥．…（2）解：∵AE ⊥平面BCFE ，AE ⊂平面AEFD ，∴平面AEFD ⊥平面BCFE 由（1）可知GH EF ⊥，∴GH ⊥平面AEFD ∵DE ⊂平面AEFD ，∴GH DE ⊥… 取DE 的中点M ，连接MH MG ， ∵四边形AEHD 是正方形，∴MH DE ⊥ ∵,MHGH H MH =⊂平面,MH GH H MH =⊂平面GHM DE ∴⊥，平面GHM DE MG ∴⊥， ∴GMH ∠是二面角G DE F --的平面角，…在GMH △中，2,GH MH MG ===∴cosGMH =∠…∴平面DEG 与平面DEF ．… 解法2（1）证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面,AEB BE ⊂平面AEB ， ∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥，∴EB EF EA ，，两两垂直．…以点E 为坐标原点，EB EF EA ，，分别为x y z ，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知得，()()()()()(),,,0,0,22,0,02,4,00,3,00,2,2,,2,2,0A B C F D G ．… ∴()()2,2,0,2,2,2EG BD ==-,… ∴22220BD EG =-⨯+⨯=，… ∴BD EG ⊥．…（2）解：由已知得()2,0,0EB 是平面DEF 的法向量．… 设平面DEG 的法向量为(,,)n x y z ， ∵()()2,0,0,2,2,0,ED EG ==∴00ED n EG n ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，即00y x x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得(1,1,1)n =-．…设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ，则cos cos ,2n EB n EB nEBθ===∴平面DEG 与平面DEF ．…20．【考点】KL ：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的离心率为12，左焦点F1到直线2a x c =-的距离为3，列出方程组，求出a ，b ，由此能求出椭圆M 的方程；由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2223484k x kmx m +++（）120=﹣，由此利用根的判别式、点到直线距离公式能求出直线l 的方程． （2）将k =12，m =2代入，得A （﹣1，32），过切点B 的半径所在的直线l ′：y =﹣2x +2，与直线l 的方程联立得B （0，2），设P （x0，y0），由PB PA=72x +72y +16x0﹣20y0+22=0，再由P （x0，y0）满2200024x y x +-=，能求出存在P （﹣1，1）或P （﹣913，1913）满足条件． 【解答】解：（1）∵椭圆M ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为12，左焦点F1到直线2a x c =-的距离为3，∴由题意知2123c a a c c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得21a c ==，．…∴b，∴椭圆M 的方程为22143x y +=，…圆N 的方程为()2251x y +=-，∵直线l ：y kx m =+()0k >与椭圆M 只有一个公共点，∴由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484120k x kmx m +-++=，① ∴()()2222644344120k m km∆=+-=-，整理得2234m k =+，②…由直线l ：y kx m =+与N=222255k km m k ++=+，③将②代入③得1km =，④由②④得2k m ==，． ∴直线l ：2y x =+．…（2）将2k m ==，代入①可得31,2A ⎛-⎫ ⎪⎝⎭， 又过切点B 的半径所在的直线l ′：22y x =-+， 与直线l 的方程联立得B ()0,2，…设()00,P x y ，由PB PA=()()2200220028312x y x y +-=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，化简得72x +72y +001620220x y +=﹣，⑤…又()00,P x y 满足2200024x y x +-=，⑥将⑤﹣7×⑥并整理得003250x y +=-， 即00352x y +=，⑦ 将⑦代入⑥并整理得0132290x ++=，解得0x =1-或0x =913-… 所以存在()11P -，或99,1313P ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足条件．… 21．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6C ：函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）求导数f x '（），由于f x '（）＜0，即得f x （）在区间（0，+∞）上单调递减；（Ⅱ）根据导函数即可判断在f x （）（0，+∞）上的单调性，由单调性即可比较f （x ）与2的大小；（Ⅲ）先求导数f x '（），由题意知12x x 、是方程f x '（）=0的两个根，令2=xxx eϕ（），利用导数得到函数x ϕ）（）x ϕ（）的单调区间，继而得到k 的取值范围，由10f x '=（），则得112x xk e =，又由21111110101f x x x f x =+∈（）﹣（﹣），（，），即可得到＜（）＜． 【解答】解：（Ⅰ）由()1120x f x ke x '-==()2x f x ke x =-'可知， 当0k <时，由于()()0,,20xx f x ke x -∈+∞'=<，故函数()f x 在区间()0,+∞上是单调递增函数．（Ⅱ）当2k =时，()22x f x e x -=，则()22x f x e x =-' 令()22x h x e x -=，()22xh x e '=-由于()0,x ∈+∞，故()220xh x e -'=>，于是22x h x e x =-（）在()0,+∞为增函数，所以()()22020x h x e x h >=-=>即()220xf x e x =-'>在()0,+∞恒成立，函数()f x 有两个极值点12,x x ，则12,x x 是()20xf x ke x -'==的两个根 从而()22x f x e x -=在()0,+∞为增函数， 故()()222x f x e x f ->==0．（Ⅲ）即方程2xxk e =有两个根，设()x ϕ2x x e =，则()x ϕ'22x x e -=,当0x <时，()0x ϕ'>函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ<； 当01x <<时，()0x ϕ'>函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>；当1x >时，()0x ϕ'<函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>． 要使2x x k e=有两个根，只需()0 < <12k ϕ=e ． 故实数k 的取值范围是20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭2e又由上可知函数()f x 的两个极值点12,x x 满足1201x x <<<， 由()1120x f x ke x '-==，得112x x k e=， ∴，()()1221111x f x ke x x '==--+-由于()10,1x ∈，故，()210111x <--+< 所以()101f x <<22．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由曲线C 的参数方程先求出曲线C 的直角坐标方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程． （2）先求出直线l 的参数方程，与曲线C 的直角坐标方程联立，得2220t cos sin t θθ+=（﹣）﹣，由此能求出AB 的弦长．【解答】解：（1）∵曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）． ∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y y -+=，∴曲线C 的极坐标方程为24sin 0ρρθ-=，即曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．…5分（2）设直线l 的参数方程是1cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）① 曲线C 的直角坐标方程是2240x y y -+=，②②联立，得()22cos sin 20t t θθ+--=，∴122t t =-，且1222MA NB t t =∴=-，则122,1t t ==-或AB 的弦长12|3AB t t -==．…10分23．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用三角不等式证明：f （x ）≥2；（2）g （b ）=211b b b +-+≤211b b b +--=3，可得3f x ≥（），即1|13|x x ++≥﹣，分类讨论，求x 的取值范围．【解答】（1）证明：()1111112||f x x x x x x x =-++=-++≥-++=； （2）解：()2112113b bbb b g b b +-++--≤==，∴()3,f x ≥即1|13|x x -++≥1x ≤-时23, 1.5 1.5x x x ≥∴≤-∴≤--，； 11x -<≤时23≥不成立；1x >时23 1.5 1.5x x x ≥∴≥∴≥，，．综上所述 1.5x ≤-或 1.5x ≥．。
山西省康杰中学2017届高三模拟试题(三)(理数)
山西省康杰中学2017届高三模拟试题（三）数学（理科）【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题（5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号） 1. 已知集合{}{}1|,)1lg(|-≥=-==y y B x y x A ，那么=B A A. []1,0- B. [)1,1-C. ()1,-+∞D. (]0,12. 复数3201611i i i z +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=（i 为虚数单位）的共轭复数为A. 12i +B. 1i +C. 1i -D. 12i -3. 下列有关命题说法错误的是A. 命题“若1,012==-x x 则”的逆否命题是：“若01,12≠-≠x x 则”B. “1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件 C. 若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题D. 对于命题01,:2<++∈∃x x R x p 使，则01,:2≥++∈∀⌝x x R x p 均有4. 在一次数学竞赛选拔测试中，每人解3道题，至少解对2道题才能通过测试被选上，设某同学解对每道题的概率均为p （10<<p ），且该同学是否解对每道题互相独立，若该同学通过测试被选上的概率恰好是p ，则p 的值为 A.21B.31 C. 32D.525. 如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后得几何体的三视图，其体积为332916+π，则圆锥的母线长为 A. 22B. 32正视图俯视图C. 4D.32+6. 在等差数列{}n a 中，8386=+a a ， 则=+105a aA. 16B. 12C. 8D. 47. 函数)1ln()(xx x f -=的图像大致是8. 在ABC ∆中，4,5=⋅=⋅,则=AB A. 9B. 3C. 2D. 19. 已知a 为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式6)1(xx a -的展开式中常数项是A. 20B. 52-C. 192-D. 160-10. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右两个焦点分别为21,F F ,P 是双曲线上的一个动点，满足212F F PF =，直线1PF 与圆222a y x =+相切，则双曲线的离心率为A.45B.3C.332 D.3511. 定义：用{}x 表示不小于x 的最小整数，例如{}{}{}11.1,22.1,22-=-==，已知数列{}n a 满足：n n n a a a a +==+211,1，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++++++111111201621a a aA. －1B. 0C. 1D. 212. 已知函数)(x f 的定义域为R ，)2()(),()(x f x f x f x f -==-，当[]1,0∈x 时，3)(x x f =，则函数)()cos()(x f x x g -=π在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,21上的所有零点的和为A.7 B . 6 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知变量y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤--≤-00063203y x x y y x ，则2-2yx z =的最小值为 .14. 已知ABC ∆的三个顶点在以O 为球心的球面上，且︒=∠90BAC ，2==AC AB ,球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为 .15. 已知抛物线x y 82=的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线分别交于B A ,两点，若点M 满足）（OB OA OM +=21，过点M 作y 轴的垂线与抛物线交于点P ，若4=PF ，则M 的横坐标为 .16.已知函数)(x f y =在()∞+，0上可导，且满足[])1(0)()(2)1(≠>'+-x x f x x f x 恒成立，2)1(=f ，若曲线)(x f 在点)2,1(处的切线为)(x g y =且2016)(=a g ，则a = .三、解答题（本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17.（本小题满分12分）已知)2cos 3,(cos ,21,sin ,)(x x x x f ==⋅=）（其中，将函数)(x f 的图像向右平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的21，纵坐标不变，得到函数)(x g 的图像.（1）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,0πx ，求)(x g 的单调区间；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且,3),2,0(,0)(=∈=b B B f π求c a +的范围.18.（本小题满分12分）一超市在销售一批大小相近的某时令水果时，由于存放的时间对口味影响较大，超市根据调研决定最多销售5天，第6天就会扎成果汁。
2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷(理科)
2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知，则有（）A．M∩N=N B．M∩N=M C．M∪N=N D．M∪N=R2．已知复数z满足=1﹣i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣13．已知α为锐角，若sin（α﹣）=，则cos（α﹣）=（）A．B．C．D．4．给定下列三个命题：p1：函数y=a x+x（a＞0，且a≠1）在R上为增函数；p2：∃a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0；p3：cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β（k∈Z）．则下列命题中的真命题为（）A．p1∨p2B．p2∧p3C．p1∨￢p3D．￢p2∧p35．若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．[2，+∞）C．（1，]D．[，+∞）6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，则S15：S5=（）A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：37．已知非零向量、满足|+|=|﹣|=||，则+与﹣的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是10，则判断框内m的取值范围是（）A．（56，72]B．（72，90]C．（90，110]D．（56，90）9．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．2 B．C．D．410．已知不等式组（a＞0）表示的平面区域的面积为，则a=（）A．B．3 C．D．211．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．212．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．在区间（0，4），上任取一实数x，则2＜2x﹣1＜4的概率是．14．空间四边形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，且MN=7，则异面直线AC与BD 所成的角为．15．设函数y=f （x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，满足x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点Q为函数y（x）=f（x）图象的对称中心，研究并利用函数f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）的对称中心，可得f（）+f（）+…+f（）=．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2B+sin2B=1，若|+|=3，则的最小值为．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（Ⅰ）求等差数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．18．微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．（1）确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望．频数频率使用微信时间（单位：小时）（0，0.5]30.05（0.5，1]x p（1，1.5]90.15（1.5，2]150.25（2，2.5]180.30（2.5，3]y q合计60 1.0019．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=CD，AB∥CD，∠ADC=90°．（Ⅰ）在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ∥平面PAD？证明你的结论；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．20．已知动点M到定点F（1，0）和定直线x=4的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点F作斜率不为0的任意一条直线与曲线C交于两点A，B，试问在x轴上是否存在一点P（与点F不重合），使得∠APF=∠BPF，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为．（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值；（Ⅱ）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（理科）（6）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知，则有（）A．M∩N=N B．M∩N=M C．M∪N=N D．M∪N=R【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据题意，解x2﹣x≤0可得集合M，解＜0可得集合N，分析可得N⊆M，由子集的性质可得有M∩N=N、M∪N=M成立，分析选项可得答案．【解答】解：x2﹣x≤0⇔0≤x≤1，则M={x|0≤x≤1}，＜0⇔0＜x＜1，则N={x|0＜x＜1}，有N⊆M，则有M∩N=N，M∪N=M，分析选项可得A符合；故选A．2．已知复数z满足=1﹣i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z满足=1﹣i，∴z=﹣1+2i（1﹣i）=1+2i，∴z的虚部为2．故选：A．3．已知α为锐角，若sin（α﹣）=，则cos（α﹣）=（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵α为锐角，若sin（α﹣）=，∴0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，则cos（α﹣）=cos[（α﹣）﹣]=cos（α﹣）cos+sin （α﹣）sin=+=，故选：C．4．给定下列三个命题：p1：函数y=a x+x（a＞0，且a≠1）在R上为增函数；p2：∃a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0；p3：cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β（k∈Z）．则下列命题中的真命题为（）A．p1∨p2B．p2∧p3C．p1∨￢p3D．￢p2∧p3【考点】2E：复合命题的真假；2K：命题的真假判断与应用．【分析】p1：当0＜a＜1时，函数y=a x+x（a＞0，且a≠1）在R上不是增函数，即可判断出真假；p2：∀a，b∈R，a2﹣ab+b2=≥0，不存在a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0，即可判断出真假；p3：cosα=cosβ⇔α=2kπ±β（k∈Z），即可判断出真假．【解答】解：p1：当0＜a＜1时，函数y=a x+x（a＞0，且a≠1）在R上不是增函数，是假命题；p2：∀a，b∈R，a2﹣ab+b2=≥0，因此不存在a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0，是假命题；p3：cosα=cosβ⇔α=2kπ±β（k∈Z），因此cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β（k∈Z），是真命题．因此p1∨p2，p2∧p3，p1∨￢p3是假命题；￢p2∧p3是真命题．故选：D．5．若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．[2，+∞）C．（1，]D．[，+∞）【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，⇔圆心（0，2）到渐近线的距离≥半径r．解出即可．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=1的圆心（0，2），半径r=1．∵双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，∴≥1，化为b2≤3．∴e2=1+b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2，∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．故选：A．6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，则S15：S5=（）A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：3【考点】8G：等比数列的性质．【分析】本题可由等比数列的性质，每连续五项的和是一个等比数列求解，由题设中的条件S10：S5=1：2，可得出（S10﹣S5）：S5=1：1，由此得每连续五项的和相等，由此规律易得所求的比值选出正确选项【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，∴（S10﹣S5）：S5=﹣1：2，由等比数列的性质得（S15﹣S10）：（S10﹣S5）：S5=1：（﹣2）：4，所以S15：S5=3：4故选A．7．已知非零向量、满足|+|=|﹣|=||，则+与﹣的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】欲求（+）与（﹣）的夹角，根据公式cos＜，＞=，需表示（+）（﹣）及|+|•|﹣|；由于|+|•|﹣|易于用||表示，所以考虑把（+）（﹣）也用||表示，这需要把已知等式都平方整理即可．【解答】解：∵|+|=|﹣|=||∴（+）2=（﹣）2=2整理得•=0，2=2．设（+）与（﹣）的夹角为α，则（+）（﹣）=|+|•|﹣|cosα=2cosα，且（+）（﹣）=2﹣2=2．∴cosα=，解得α=60°．故选B．8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是10，则判断框内m的取值范围是（）A．（56，72]B．（72，90]C．（90，110]D．（56，90）【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中该程序的功能是计算2+4+6+…值，由循环变量的初值为1，步长为1，最后一次进入循环的终值为10，由此易给出判断框内m的取值范围．【解答】解：由于程序的运行结果是10，所以可得解得72＜m≤90．故选：B．9．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．2 B．C．D．4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知三视图得到几何体形状，根据图中数据计算体积．【解答】解：该几何体是一个正方体去掉两个三棱锥，如图所示，所以V=2×2×2﹣2××2×1=．故选：B．10．已知不等式组（a＞0）表示的平面区域的面积为，则a=（）A．B．3 C．D．2【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】画出约束条件表示的可行域，如图求出交点坐标，然后求出两个三角形面积，列出关于a的方程，再求出a即可．【解答】解：画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分，由题意B（2，0），A（x，y）不等式组所表示的平面区域的面积为：=∴y=，x=代入直线方程x+ay=2，∴a=故选A．11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．2【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K8：抛物线的简单性质．【分析】设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴2+3cosθ=3∴cosθ=∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面积为S==故选C．12．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．在区间（0，4），上任取一实数x，则2＜2x﹣1＜4的概率是．【考点】CF：几何概型．【分析】解不等式，求出x的范围，根据区间的长度的比值求出满足条件的概率即可．【解答】解：解不等式2＜2x﹣1＜4，得：2＜x＜3，所以，故答案为：．14．空间四边形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，且MN=7，则异面直线AC与BD所成的角为60°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】首先通过平行线把异面直线转化为共面直线，利用解三角形知识中的余弦定理求出异面直线的夹角．【解答】解：取BC的中点G，连接GM，GNM、N分别是AB、CD的中点，对角线AC=10，BD=6，所以：GM==5，GN=在△GMN中，EF=7，GM=5，GN=3利用余弦定理得： |=即：cos所以：∠MGN=120°所以：异面直线AC与BD所成的角为60°故答案为：60°15．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，满足x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点Q为函数y（x）=f（x）图象的对称中心，研究并利用函数f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）的对称中心，可得f（）+f（）+…+f（）=﹣8066．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）=（x﹣1）3﹣sin（πx）﹣3（x﹣1）﹣2，分析可得x1+x2=2，则f（x1）+f（x2）=﹣4，由此计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）=（x﹣1）3﹣sin（πx）﹣3（x ﹣1）﹣2，分析可得：若x1+x2=2，则f（x1）+f（x2）=﹣4，=；故答案为：﹣8066．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2B+sin2B=1，若|+|=3，则的最小值为．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】推导出sin（2B+）+=1，从而，由，两边平方，利用余弦定理得b=3，由此能求出的最小值．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2B+sin2B=1，∴+=sin（2B+）+=1，∵0＜B＜π，∴，∵，∴两边平方得a2+c2﹣2accosB=9=b2，∴b=3，∵，∴ac≤，∴≥．∴的最小值为．故答案为：．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（Ⅰ）求等差数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．【考点】8F：等差数列的性质；8E：数列的求和．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8，利用等差数列的通项公式列出方程组，求公差和首项，由此能求出等差数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）和a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4，成等比数列，知|a n|=|3n﹣7|=，由此能求出数列{|a n|}的前n项和为S n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d，∵等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8，∴，解得，或，所以由等差数列通项公式，得a n=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5，或a n=﹣4+3（n﹣1）=3n﹣7．故a n=﹣3n+5，或a n=3n﹣7．（Ⅱ）当a n=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2，不成等比数列；当a n=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4，成等比数列，满足条件．故|a n|=|3n﹣7|=，记数列{|a n|}的前n项和为S n．当n=1时S1=|a1|=4；当n=2时，S2=|a1|+|a2|=5；当n≥3时，S n=S2+|a3|+|a4|+…+|a n|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）=5+=．当n=2时，满足此式．综上所述，．18．微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．（1）确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望．频数频率使用微信时间（单位：小时）（0，0.5]30.05（0.5，1]x p（1，1.5]90.15（1.5，2]150.25（2，2.5]180.30（2.5，3]y q合计60 1.00【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据分布直方图、频率分布表的性质，列出方程组，能确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图．（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有4人，“非网购达人”有6人，ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）根据题意，有，解得x=9，y=6，∴p=0.15，q=0.10，补全频率分布图有右图所示．（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有10×=4人，“非网购达人”有10×=6人，∴ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ0123PEξ==．19．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=CD，AB∥CD，∠ADC=90°．（Ⅰ）在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ∥平面PAD？证明你的结论；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）当Q为侧棱PC中点时，取PD的中点E，连结AE、EQ，推导出四边形ABQE为平行四边形，从而BQ∥AE，由此能证明BQ∥平面PAD．（Ⅱ）法一：设平面PAD∩平面PBC=l，则BQ∥l，推导出l⊥PD，l⊥PC，则∠DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角，由此能求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．法二：建立空间直角坐标系，设PA=AB=AD=1，CD=2，利用向量法能求出平面PAD 与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（I）当Q为侧棱PC中点时，有BQ∥平面PAD．证明如下：如图，取PD的中点E，连结AE、EQ．∵Q为PC中点，则EQ为△OCD的中位线，∴EQ∥CD，且EQ=CD．∵AB∥CD，且AB=CD，∴EQ∥AB，且EQ=AB，∴四边形ABQE为平行四边形，则BQ∥AE．…∵BQ⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，∴BQ∥平面PAD．…（Ⅱ）解法一：设平面PAD∩平面PBC=l．∵BQ∥平面PAD，BQ⊂平面PBC，∴BQ∥l．∵BQ⊥平面PCD，∴l⊥平面PCD，∴l⊥PD，l⊥PC．故∠DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．…∵CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．设PA=AB=AD=，则PD==，PC==，故cos．∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．…解法二：如图建立空间直角坐标系，设PA=AB=AD=1，CD=2，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），P（0，0，1），则=（0，1，﹣1），=（﹣1，1，0）．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1）．…由CD⊥平面PAD，AB∥CD，知AB⊥平面PAD，∴平面PAD的法向量为．…设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，则cosθ===．…∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．…20．已知动点M到定点F（1，0）和定直线x=4的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点F作斜率不为0的任意一条直线与曲线C交于两点A，B，试问在x轴上是否存在一点P（与点F不重合），使得∠APF=∠BPF，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设点M（x，y），利用条件可得等式=|x﹣4|，化简，可得曲线C的轨迹方程；（2）通过设存在点P（x0，0）满足题设条件，分AB与x轴不垂直与不垂直两种情况讨论，利用韦达定理化简、计算即得结论．【解答】解：（1）设点M（x，y），则据题意有=|x﹣4|则4[（x﹣1）2+y2]=（x﹣4）2，即3x2+4y2=12，∴曲线C的方程：．（2）假设存在点P（x0，0）满足题设条件，①当AB与x轴不垂直时，设AB的方程为y=k（x﹣1）．当AB与x轴不垂直时，设AB所在直线的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程化简得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，可知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，若∠APF=∠BPF，则k AP+k BP=0，则k AP+k BP==∵（x1﹣1）（x2﹣x0）+（x2﹣1）（x1﹣x0）=2x1x2﹣（1+x0）（x1+x2）+2x0=0∴整理得：k（x0﹣4）=0，因为k∈R，所以x0=4；②当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠APF=∠BPF，满足题意；综上，在x轴上存在点P（4，0），使得∠APF=∠BPF．21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可；法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可；（Ⅱ）令h（x）=xlnx+a，通过讨论a的范围，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．由，得．…因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…当x=a时，[f（x）]min=lna+1．…当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…所以实数a的取值范围为．…法2：函数的定义域为（0，+∞）．由，得a=﹣xlnx．…令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx+1）．当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…故时，函数g（x）取得最大值．…因而函数有零点，则．…所以实数a的取值范围为．…（Ⅱ）证明：令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx+1．当时，h'（x）＜0；当时，h'（x）＞0．所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．当时，．…于是，当a≥时，．①…令φ（x）=xe﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当x=1时，．…于是，当x＞0时，．②…显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．故当x＞0，时，xlnx+a＞xe﹣x．…因为b＞1，所以lnb＞0．所以lnb•ln（lnb）+a＞lnb•e﹣lnb．…所以，即．…[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为．（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）根据直线参数方程的一般式，即可写出，化简圆的极坐标方程，运用ρcosθ=x，ρsinθ=y，即可普通方程；（Ⅱ）求出过点P（2，0）作斜率为1直线l的参数方程，代入到圆的方程中，得到关于t的方程，运用韦达定理，以及参数t的几何意义，即可求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由，可得ρ=4cosθ﹣4sinθ，∴ρ2=4ρcosθ﹣4ρsinθ，∴x2+y2=4x﹣4y，即（x﹣2）2+（y+2）2=8；（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l的参数方程为代入（x﹣2）2+（y+2）2=8得t2+2t﹣4=0，A，B对应的参数为t1、t2，则t1+t2=﹣2，t1t2=﹣4，由t的意义可得=+==．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值；（Ⅱ）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值．（Ⅱ）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）≤m，∴|x﹣a|≤m，即a﹣m≤x≤a+m，∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得a=2，m=3．（Ⅱ）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0≤x≤成立．当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．综上不等式的解集为（﹣∞，]．2017年8月10日。
山西省运城市康杰中学高考数学模拟试题(一)理
康杰中学2017—2018高考数学（理）模拟题（一）【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}22,1,0,2,3,|1,A B y y x x A =--==-∈，则A B 中元素的个数是A.2B.3C.4D.52．i 是虚数单位，复数()z a i a R =+∈满足i z z 312-=+，则z =B.2或553．设向量a 与b 的夹角为θ，且)1,2(-=a ，)3,2(2=+b a ，则θcos ＝A. 35- B.35 4．已知1tan 2θ=，则tan 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.7B.7-C.17D.17-5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 A. 4B. 6+C. 4+D. 26．已知数列{}{},n n a b 满足1n n n b a a +=+，则“数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件7．执行如图所示的程序框图，则输出的a = A.1 B.1- C. 4- D.52-8．在()102x -展开式中，二项式系数的最大值为a ，含7x 项的系数为b ，则b a= A.8021B.2180C.2180-D.8021-9．设实数,x y 满足约束条件250403100x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则22z x y =+的最小值为B.10C.8D.510．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为A.3πB.6πC.8πD.4π11．已知O 为坐标原点，F 是双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左焦点，B A ,分别为Γ的左、右顶点，P 为Γ上一点，且x PF ⊥轴， 过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若2OE ON =，则Γ的离心率为A.3B.2C.32 D.4312．已知函数 ()()2ln x x f x e e x -=++，则使得()()23f x f x >+ 成立的x 的取值范围是A.()1,3-B.()(),33,-∞-+∞C.()3,3-D.()(),13,-∞-+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省康杰中学2017届高三模拟(三)考试理科综合试题含答案
康杰中学2017年理综模拟试题（三）本试卷分第I 卷（选择题)和第II 卷（非选择题)两部分，共300分，考试时间150分钟。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 Al 27 S 32第Ⅰ卷（选择题 共126分）一、选择题:本题共13小题，每小题6分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 图中①~④表示的是生物体细胞内4种有机成分的结构。
下列有关说法正确的是① ② ③ ④A. ①～④存在于所有植物细胞中B. ②中也含有与a 类似的结构a结合氨基酸碱基配对反密码子C。
细胞中没有①就不能产生③D. 没有③或其功能类似物时，细胞仍能合成②2。
癌症是严重威胁人类健康的疾病之一,下列关于细胞癌变的叙述正确的是A. 癌症的发生是细胞中单一基因突变的结果B。
正常基因突变成原癌基因导致细胞癌变C。
病毒癌基因可以整合到宿主细胞的基因组中,从而诱发癌变D。
细胞癌变是所有细胞都要经历的一个阶段3。
某生物技术公司发明一种生物打印机，可利用患者自身细胞“打印”出“静脉”等器官，这为解决器官移植面临的供体不足、免疫排异等问题提供了美好前景.下列叙述正确的是A。
排异反应主要是浆细胞识别特异抗原后分泌的抗体的作用结果B. 拍摄患者自身细胞的显微照片就是建构了细胞的物理模型C。
用细胞“打印”出器官的过程中，细胞的DNA和mRNA均发生变化D. 免疫抑制剂可用于对供体器官免疫排异的患者和自身免疫疾病的患者4。
下列是人类探索遗传奥秘的几个经典实验，其中表述合理的是A. 孟德尔通过豌豆杂交实验发现了基因,摩尔根用实验证明了基因在染色体上B。
格里菲思用肺炎双球菌感染小鼠的实验，证明了 DNA 是转化因子C. 沃森和克里克发现了 DNA 双螺旋结构，提出了 DNA 半保留复制方式的假说D。
许多科学家相继发现了逆转录和 RNA 复制过程，从而推翻了传统的中心法则5. 下列有关生物进化的叙述正确的是A. 生物多样性的形成也就是新的物种不断形成的过程B. 在自然选择过程中,黑色与灰色桦尺蠖表现为共同进化C. 基因型为Dd的高茎豌豆逐代自交的过程中，纯种高茎的基因型频率在增加,表明豌豆正在进化D．物种大都是经过长期的地理隔离,最后出现生殖隔离而形成的6。
山西省康杰中学2017届高三10月月考理数试题Word版含解析
康杰中学2017届高三第一次月考数学（理）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U R =，集合{|A x Z y =∈=，{}|5B x x =>，则()U A B =ð（ ）A ．[]3,5B ．[3,5)C ．{}4,5D ．{}3,4,5 【答案】D考点：集合的基本运算.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2.已知函数()f x 的定义域为(0,2]，则函数f 的定义域为（ ）A ．[1,)-+∞B ．(1,3]-C ．D ． 【答案】B 【解析】试题分析：由0213x <≤⇒-<≤，故选B.考点：函数的定义域.3.对于实数a ，b ，命题：若0ab =则0a =的否定是（ ） A ．若0ab =则0a ≠B ．若0a ≠则0ab ≠C ．存在实数a ，b ，使0ab =时0a ≠D ．任意实数a ，b ，若0ab ≠则0a ≠【答案】C 【解析】试题分析：原命题的否定应为：存在实数a ，b ，使0ab =时0a ≠，故选C. 考点：命题的否定. 4.若12log 3a =，31log 2b =，0.32c =，则（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．a c b << 【答案】A 【解析】 试题分析：由1112221log 2log 3log 10,a -=<=<=3311log log 1,23b =<=-0.320c =>⇒a b c <<，故选A.考点：实数的大小比较.5.已知函数()ln(1)f x ax =-的导函数是'()f x 且'(2)2f =，则实数a 的值为（ ） A ．12 B ．23 C ．34D ．1 【答案】B考点：导数.6.已知(12),1()1log ,13x a a x f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，当12x x ≠时，1221()()0f x f x x x ->-，则a 的取值集合是（ ）A ．∅B ．1(0,]3 C ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1(0,)3【答案】B 【解析】 试题分析：1221()()0f x f x x x ->⇒-1212()()'()0()f x f x f x k f x x x -==<⇒-在R 上是减函数121101031123a a a a ⎧⎪-<⎪⇒<<⇒<≤⎨⎪⎪-≥⎩，故选B.考点：函数的单调性.7.设[]2[1,1)()1,1,2x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则21()f x dx -⎰的值为（ ）A ．4+23πB ．32π+C ．443π+D ．34π+【答案】A考点：定积分.8.函数2()(1)m f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则m 的值可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 试题分析：令121'()(1)2(1)(1)[(2)]00,1m m m f x amx x ax x ax x m x m x x --=-+-=-+-=⇒==或，或2m x m =+，再由图可得010212mm m m <<⇒<<⇒=+，故选A. 考点：导数.9.定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0()(1)(2),0x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩，则(2017)f 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】A 【解析】 试题分析：(6)(5)(4)(4)(3)(4)(3)[(2)(1)]f x f x f x f x f x f x f x f x f x +=+-+=+-+-+=-+=-+-+22[(1)()(1)]()(2017)(1)(0)(1)log 1log 21f x f x f x f x f f f f =-+--+=⇒==--=-=-，故选A.考点： 1、函数的解析式；2、函数的周期性.10.若函数2()2(2)||f x x x a x a =+--在区间(3,1)-上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．[]4,1-B ．[]3,1-C ．()6,2-D ．()6,1- 【答案】C考点：函数的单调性.11.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[]2,0x ∈-时，1()()12xf x =-，若在区间(2,6)-内关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=(1)a >恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,2 B．)2 C．D． 【答案】C 【解析】试题分析：利用奇偶性和周期性作图如下可得1log (22)32]log (42)3a aa a >⎧⎪+<⇒∈⎨⎪+≥⎩，故选C.考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、函数与方程.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性和函数与方程，涉及从数形结合思想、函数与方程思想和转化思想，考查逻辑推理能力、转化能力和计算能力，具有一定的综合性，属于较难题型.首先利用数形结合思想做出上图，再利用转化化归思想，结合奇偶性和周期性将条件转化为1log (22)3log (42)3a aa >⎧⎪+<⎨⎪+≥⎩，进一步求得正解.12.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有1212()()1f x f x x x ->--，且(1)1f =，则不等式22(log |31|)2log |31|x x f -<--的解集为（ ） A ．(),0-∞ B ．(),1-∞ C ．()()1,00,3-D ．()(),00,1-∞【答案】D考点：函数与不等式.【方法点晴】本题主要考查函数的图像与不等式，涉及从一般到特殊思想、数形结合思想、函数与不等式思想和转化思想，考查逻辑推理能力、转化能力和计算能力，具有一定的综合性，属于较难题型.首先利用从一般到特殊思想取()f x x =，进而利用转化思想将原不等式转化为22log |31|2log |31|x x -<--，进而化简为2log |31|1x -<，可化为|31|2,0x x -<≠且，解得x ∈()(),00,1-∞.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.若正数a ，b 满足2362log 3log log ()a b a b +=+=+，则11a b+= ． 【答案】108 【解析】试题分析：设232362log 3log log ()2,3,6t t t a b a b t a b a b --+=+=+=⇒==+=⇒11a b a b ab++= 23610823tt t --==∙. 考点：指数与对数运算.14.函数()log (2)a af x x=-（0a >且1a ≠）在()1,2上单调递增，则a 的取值范围为 . 【答案】(1,2] 【解析】试题分析：由已知可得11220a a a >⎧⇒<≤⎨-≥⎩．考点：复合函数的单调性.15.已知曲线C ：y =（20x -≤≤）与函数()log ()a f x x =-及函数()xg x a -=（1a >）的图象分别交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则2212x x +的值为 ． 【答案】4考点：1、函数的图象与性质；2、函数与方程.【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质、函数与方程，涉及从一般到特殊思想、数形结合思想、函数与方程思想和转化思想，考查逻辑推理能力、转化能力和计算能力，具有一定的综合性，属于较难题型.首先观察()f x 及函数()g x 的图象可得11(,)A x y ， 22(,)B x y 关于直线y x =-对称，再利用函数与方程思想可得222212128()y y x x +=-+，进而求得22124x x +=.16.对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++（0a ≠），给出定义：设'()f x 是()f x 的导数，''()f x是'()f x 的导数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探索发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数32115()33212f x x x x =-+-，请你根据这一发现，计算 1220152016()()()()2017201720172017f f f f ++++=… ． 【答案】2016考点：1、函数的图象与性质：2、导数的应用.【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质和导数的应用，涉及从一般到特殊思想、数形结合思想和转化思想，考查逻辑推理能力、转化能力和计算能力，综合性强，属于较难题型.首先通过两次求导，再令''()210f x x =-=，解得12x =,从而求得()f x 的对称中心1(,1)2，进而转化为：当121x x +=时，12()()2f x f x +=，从而求得：原式101322016=⨯=. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知奇函数()f x 的定义域为[]2,2-，且在[]2,0-内递减，求满足：2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围． 【答案】11m -≤<． 【解析】试题分析：由()f x 的定义域可得2212,212,m m -≤-≤⎧⎨-≤-≤⎩⇒1m -≤≤再根据奇偶性和单调性可得211m m ->-⇒21m -<<⇒11m -≤<．试题解析：∵()f x 的定义域为[]2,2-，∴有2212,212,m m -≤-≤⎧⎨-≤-≤⎩解得1m -≤≤①又()f x 为奇函数，且在[]2,0-上递减，∴在[]2,2-上递减，∴22(1)(1)(1)f m f m f m -<----，∴211m m ->-，即21m -<< ② 综合①②可知，11m -≤<．考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性；3、函数的奇偶性.18.已知22()x x af x x++=，[1,)x ∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围． 【答案】（1）7(1)2f =；（2）3a >-．试题解析：（1）当12a =时，1()22f x x x=++， 联想到1()g x x x=+的单调性，猜想到求()f x 的最值可先证明()f x 的单调性， ()f x 在[1,)+∞上是增函数．所以()f x 在[1,)+∞上的最小值为7(1)2f =． （2）用转化化归思想和函数思想解题．在区间[1,)+∞上，22()0x x af x x++=>恒成立，即220x x a ++>恒成立． 设2()2g x x x a =++，则()g x 在[1,)+∞上的最小值()0a ϕ>，2()2g x x x a =++在[1,)+∞上递增，所以()g x 在[1,)+∞上的最小值为(1)3g a =+， 由30a +>，得3a >-．考点：1、函数的最值；2、函数与不等式.19.已知函数2()x f x e x x =+-，若对任意1x ，[]21,1x ∈-，12|()()|f x f x k -≤恒成立，求k 的取值范围． 【答案】1k e ≥-．考点：1、函数的最值；2、函数与不等式.20.已知函数()log a f x m x =+（0a >且1a ≠）的图象过点(8,2)，点(3,1)P -关于直线2x =的对称点Q 在()f x 的图象上． （1）求函数()f x 的解析式；（2）令()2()(1)g x f x f x =--，求()g x 的最小值及取得最小值时x 的值． 【答案】（1）2()1log f x x =-+；（2）1. 【解析】试题分析：（1）由对称性可得(1,1)Q -，从而(8)2,(1)1,f f =⎧⎨=-⎩得log 82,log 11,a a m m +=⎧⎨+=-⎩⇒1m =-，2a =⇒2()1log f x x =-+；（2）化简()2()(1)g x f x f x =--22log 11x x =--（1x >）， 又21x x-1(1)2241x x =-++≥=-，再在结合单调性可得222log 1log 4111x x -≥-=-，故当2x =时，函数()g x 取得最小值1．试题解析：（1）点(3,1)P -关于直线2x =的对称点Q 的坐标为(1,1)Q -．由(8)2,(1)1,f f =⎧⎨=-⎩得log 82,log 11,a a m m +=⎧⎨+=-⎩解得1m =-，2a =，故函数解析式为2()1log f x x =-+．考点：1、函数的对称性；2、函数的解析式；3、函数的最值；4、重要不等式.【方法点晴】本题主要函数的对称性、函数的解析式、函数的最值和重要不等式，属于较难题型.使用重要不等式公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.21.已知函数()y f x =的图象与函数1x y a =-（1a >）的图象关于直线y x =对称． （1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在区间[],m n （1m >-）上的值域为log ,log a a p p m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数p 的取值范围；（3）设函数2()log (33)a g x x x =-+，()()()f x g x F x a -=，其中1a >，若()F x ω≥对(1,)x ∀∈-+∞恒成立，求实数ω的取值范围． 【答案】（1）()log (1)a f x x =+；（2）104p -<<；（3）ω≥ 【解析】试题分析：（1）由已知得()log (1)a f x x =+；（2）由在()f x (1,)-+∞上为单调递增函数可得()log (1)log a ap f m m m =+=，()log (1)log a a p f n n n =+=⇒1p m m +=，1pn n+=，1n m >>-⇒m ，n 是方程1px x+=⇒20x x p +-=，(1,0)(0,)x ∈-+∞有两个相异的解⇒22140,(1)(1)0,11,2000,p p p ∆=+>⎧⎪-+-->⎪⎪⎨->-⎪⎪+->⎪⎩⇒104p -<<；（3）化简21()33x F x x x +=-+，1x >-．再利用重要不等式公式可得()Fx ∈，⇒max ()1)F x F ==⇒ω≥（3）2log (1)log (33)()()21()33a a x x x f x g x x F x a ax x +--+-+===-+，1x >-．因为7(1)551x x ++-≥+，当且仅当1x 时等号成立，所以211733(1)51x x x x x +=∈-+++-+，所以max 5()1)3F x F ==， 因为()F x ω≥恒成立，所以max ()F x ω≥，所以53ω≥为所求． 考点：1、函数的单调性；2、函数的对称性；3、函数与不等式.22.已知函数4()log (41)x f x kx =++（k R ∈）是偶函数． （1）求k 的值；（2）设44()log (2)3xg x a a =⋅-，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范 围．【答案】（1）12k =-；（2）1a >或3a =-．试题解析：（1）∵函数4()log (41)x f x kx =++（k R ∈）是偶函数，∴4414()log (41)log ()4xxx f x kx kx-+-=+-=-44log (41)(1)log (41)x x k x kx =+-+=++恒成立，∴(1)k k -+=，则12k =-． （2）44()log (2)3xg x a a =⋅-，函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，即方程()()f x g x =只有一个解，由已知得4414log (41)log (2)23x x x a a +-=⋅-，∴44414log log (2)23x xx a a +=⋅-方程等价于420,34142.23x xx xa a a a ⎧⋅->⎪⎪⎨+⎪=⋅-⎪⎩ 设2xt =（0t >），则有关于t 的方程24(1)103a t at ---=， 若10a ->，即1a >，则需关于t 的方程24(1)103a t at ---=只有一个大于43正数解，设24()(1)13h t a t at =---，∵(0)10h =-<，4()03h <，∴恰好有一个大于43的正解， ∴1a >满足题意；若10a -=，即1a =时，解得0t <，不满足题意；若10a -<，即1a <时，由24()4(1)03a a ∆=-+-=，得3a =-或34a =， 当3a =-时，则需关于t 的方程24(1)103a t at ---=只有一个小于43的整数解．解得12t =满足题意；当34a =时，2t =-不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是1a >或3a =-．考点：1、函数的奇偶性；2、函数与方程；3、函数与不等式.【方法点晴】本题考查函数的奇偶性、函数与方程、函数与不等式，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 第二小题，先用转化思想将原命题转化为41log (41)2xx +-= 44log (2)3x a a ⋅-只有一个解，再进一步转化为 420,34142.23xx x xa a a a ⎧⋅->⎪⎪⎨+⎪=⋅-⎪⎩，再利用换元思想和分类讨论思想解题.。
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2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（理科）（1）一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}，则集合（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．（5分）已知复数Z的共轭复数=，则复数Z的虚部是（）A．B．i C．﹣ D．﹣i3．（5分）命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤0 4．（5分）已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l 的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=05．（5分）五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（）A．12 B．24 C．36 D．486．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．B．C．6 D．77．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}，它的前n项和是S n，，a3=5，则取最小值时n=（）A．6 B．7 C．8 D．98．（5分）已知，则y=f（x）的对称轴为（）A．B． C．D．9．（5分）算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n为（）A．2 B．3 C．7 D．1110．（5分）设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a ＞0，b＞0）的x≥0，y≥0最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．411．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，连结AF1、BF1，若|AB|=|BF1|且，则双曲线的离心率为（）A．B． C．D．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜﹣2，f（0）=3，则不等式f（x）＞e x+2的解集是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k +，若•=0，则实数k的值为．14．（5分）已知的展开式中，x3项的系数是a ，则=．15．（5分）函数f（x）=，若方程f（x）=mx ﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．16．（5分）已知等边三角形ABC的边长为，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△ABC折成直二面角，则四棱锥A﹣MNCB的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．（1）求证：；（2）若a=2，求△ABC的面积．18．（12分）康杰中学高三数学学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，在全市高三年级学生中随机抽取100名同学的上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有16人，语文成绩优秀但外语不优秀的有14人，外语成绩优秀但语文不优秀的有10人．（1）根据以上信息，完成下面2×2列联表：（2）能否判定在犯错误概率不超过0.001的前提下认为全市高三年级学生的“语文成绩与外语成绩有关系”？（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从全市高三年级学生成绩中，随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3名学生成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X，求X的分布列和期望E（X）．附：其中：n=a+b+c+d．19．（12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（1）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（2）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．20．（12分）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，若过点M（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的图象在它与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）的图象在它与x轴的交点N处的切线为l2，且l1与l2平行．（1）求a的值；（2）已知t∈R，求函数y=f（xg（x）+t）在x∈[1，e]上的最小值h（t）；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，+=a（m＞0，n＞0）求证：m+2n≥4．2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}，则集合（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}=（0，2），B={x|x＜1}=（﹣∞，1），∴∁U A=（﹣∞，0]∪[2，+∞）；∴（∁U A）∩B=（﹣∞，0]．故选：B．2．（5分）已知复数Z的共轭复数=，则复数Z的虚部是（）A．B．i C．﹣ D．﹣i【解答】解：由==，得，∴复数Z的虚部是．故选：A．3．（5分）命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是∀x≤0，x2＜0．故选：A．4．（5分）已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l 的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=0【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心C（1，2），∵直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，∴当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时坐标原点到直线l的距离为1，不成立；当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，且=，解得k=﹣，∴直线l的方程为y=﹣（x﹣1）+2，即x+2y﹣5=0．故选：C．5．（5分）五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（）A．12 B．24 C．36 D．48【解答】解：根据题意，甲乙必须相邻，将甲乙看成一个元素，考虑其顺序，有A22=2种情况，将甲乙与剩余的3个人进行全排列，有A44=24种情况，则甲和乙坐在一起有2×24=48种不同的排法，其中，如果乙和丙坐在一起，则必须是乙在中间，甲和丙在乙的两边，将3个人看成一个元素，考虑其顺序，有A22=2种情况，将甲乙丙与剩余的2个人进行全排列，有A33=6种情况，则甲乙相邻且乙和丙坐在一起的排法有2×6=12种；故甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起排法有48﹣12=36种；故选：C．6．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．B．C．6 D．7【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V正方体﹣2V棱锥侧=．故选：A．7．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}，它的前n项和是S n，，a3=5，则取最小值时n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵公差不为0的等差数列{a n}，它的前n项和是S n，，a3=5，∴a3=a1+2d=5，且（a1+d）2=a1（a1+4d），由d≠0，解得a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1，∴，∴，∴当n=7的取等号，故选：B．8．（5分）已知，则y=f（x）的对称轴为（）A．B． C．D．【解答】解：，∴对称轴方程为，∴x=﹣，令k=1，得x=，故选：B．9．（5分）算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n为（）A．2 B．3 C．7 D．11【解答】解：由程序框图知：算法的功能利用辗转相除法求m、n的最大公约数，当输入m=210，n=119，则210=119+91；119=91+28；91=3×28+7，；28=4×7+0．∴输出n=7．故选：C．10．（5分）设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a ＞0，b＞0）的x≥0，y≥0最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4【解答】解：约束条件表示的平面区域如图所示；由，解得D（4，6），目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则Z max在点D处取得最大值；即4a+6b=12，所以2a+3b=6，所以，当且仅当a=b=时取“=”．故选：A．11．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，连结AF1、BF1，若|AB|=|BF1|且，则双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，相加可得|AF 1|+|BF1|﹣|AB|=4a，|AB|=|BF1|且，∴|AF1|=4a，设|BF1|=x，则，，又∵，即有8a2+（2a﹣2a）2=4c2，化简可得（5﹣2）a2=c2，即有e==．故选：B．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜﹣2，f（0）=3，则不等式f（x）＞e x+2的解集是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）【解答】解：f（x）＞e x+2转化为：，令，则，∴g（x）在R上单调递减，又∵∴g（x）＞0的解集为（﹣∞，0），故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若•=0，则实数k的值为．【解答】解：∵是夹角为的两个单位向量∴∴==∵∴解得故答案为：14．（5分）已知的展开式中，x3项的系数是a，则=．【解答】解：的展开式的通项公式为T r=C5r（）r x5﹣2r，+1令5﹣2r=3则r=1∴x3的系数为，∴dx=lnx|=ln，故答案为：ln15．（5分）函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（，）．【解答】解：方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象如下，由题意，C（0，﹣），B（1，0）；故k BC =，当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=；设切点A的坐标为（x1，lnx1），则=；解得，x1=；故k AC =；结合图象可得，实数m的取值范围是（，）．故答案为：（，）．16．（5分）已知等边三角形ABC的边长为，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△ABC折成直二面角，则四棱锥A﹣MNCB的外接球的表面积为52π．【解答】解：由，取BC的中点E，则E是等腰梯形MNCB外接圆圆心．F 是△AMN外心，作OE⊥平面MNCB，OF⊥平面AMN，则O是四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，且OF=DE=3，AF=2．设四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，所以表面积是52π．故答案为：52π．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．（1）求证：；（2）若a=2，求△ABC的面积．【解答】证明：（1）由及正弦定理得：…（2分）整理得：sinBcosC﹣sinCsinB=1，所以sin（B﹣C）=1，又…（4分）所以…（6分）解：（2）由（1）及，得，，又因为，a=2…（8分）所以，，…（10分）所以三角形△ABC 的面积…（12分）18．（12分）康杰中学高三数学学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，在全市高三年级学生中随机抽取100名同学的上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有16人，语文成绩优秀但外语不优秀的有14人，外语成绩优秀但语文不优秀的有10人．（1）根据以上信息，完成下面2×2列联表：（2）能否判定在犯错误概率不超过0.001的前提下认为全市高三年级学生的“语文成绩与外语成绩有关系”？（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从全市高三年级学生成绩中，随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3名学生成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X ，求X 的分布列和期望E （X ）．附：其中：n=a +b +c +d ．【解答】解：（1）由题意得列联表：…（3分） （2）因为，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为全市高三年级学生“语文成绩与外语成绩有关系”； …（7分）（3）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的概率是，…（8分） 则X ～B （3，），；…（10分）X 的分布列为…（11分） 数学期望为．…（12分）19．（12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE ﹣BCF 和一个正四棱锥P ﹣ABCD 组合而成，AD ⊥AF ，AE=AD=2． （1）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（2）求正四棱锥P ﹣ABCD 的高h ，使得二面角C ﹣AF ﹣P 的余弦值是．【解答】（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE﹣BCF中，AB⊥平面ADE，所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，所以：AD⊥平面ABFE，AD⊂平面PAD，所以：平面PAD⊥平面ABFE…．（6分）（Ⅱ）∵AD⊥平面ABFE，∴建立以A为坐标原点，AB，AE，AD分别为x，y，z 轴的空间直角坐标系如图：设正四棱锥P﹣ABCD的高为h，AE=AD=2，则A（0，0，0），F（2，2，0），C（2，0，2），=（2，2，0），=（2，0，2），=（1，﹣h，1），=（x，y，z）是平面AFC的法向量，则，令x=1，则y=z=﹣1，即=（1，﹣1，﹣1），设=（x，y，z）是平面ACP的法向量，则，令x=1，则y=﹣1，z=﹣1﹣h，即=（1，﹣1，﹣1﹣h），∵二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．∴cos＜，＞===．得h=1或h=﹣（舍）则正四棱锥P﹣ABCD的高h=1．20．（12分）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，若过点M（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．【解答】解：（1）由题意，以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为x2+（y﹣c）2=a2，∴圆心到直线x+y+1=0的距离∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b=c，，代入得b=c=1，∴，故所求椭圆方程为…（4分）（2）当直线l的斜率不存在时，可得t=0，适合题意．…（5分）当直线l的斜率存在时，t≠0，设直线l方程为y=kx+2，设P（x0，y0），将直线方程代入椭圆方程得：（k2+2）x2+4kx+2=0，…（6分）∴△=16k2﹣8（k2+2）=8k2﹣16＞0，∴k2＞2．设S（x1，y1），T（x2，y2），则，…（7分）由，当t≠0，得…（8分）整理得：，由k2＞2知，0＜t2＜4，…（10分）所以t∈（﹣2，0）∪（0，2），…（11分）综上可得t∈（﹣2，2）．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的图象在它与x轴异于原点的交点M处的切线为l 1，g（x﹣1）的图象在它与x轴的交点N处的切线为l2，且l1与l2平行．（1）求a的值；（2）已知t∈R，求函数y=f（xg（x）+t）在x∈[1，e]上的最小值h（t）；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．．【解答】解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣a，y=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=由题意可得k l1=k l2，即a=1；（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，令u=xlnx，在x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤e，u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，①当u=≤0，即t≥时，y最小=t2﹣t，②当u=≥e，即t≤时，y最小=e2+（2t﹣1）e+t2﹣t，③当0＜＜e，即＜t＜时，y最小=y|u==﹣；（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=≥0，所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，①当m∈（0，1）时，有，α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），∴由f（x）的单调性知0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2），从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合题设．②当m≤0时，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α），∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符，③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，得|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符，∴综合①、②、③得m∈（0，1）．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ），y=sin=，∴P的直角坐标为；由得cosφ=，sinφ=．∴曲线C的普通方程为．（Ⅱ）将代入得t2+2t﹣8=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣2，t1t2=﹣8，∵P点在直线l上，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==6．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，+=a（m＞0，n＞0）求证：m+2n≥4．【解答】解：（1）当a=2时，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|，①当x≤1时，原不等式化为2﹣x≥4+（x﹣1），得x≤﹣，故x≤﹣；②当1＜x＜2时，原不等式化为2﹣x≥4﹣（x﹣1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x﹣2≥4﹣（x﹣1），得x≥，故x≥．综合①、②、③知，原不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪[，+∞）．（2）证明：由f（x）≤1得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴∴得a=1，∴+=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（+）≥2+2=4，当且仅当=即m=2n时及m=2，n=1时，等号成立，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。