人教A版高中数学必修三 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件2 (共36张PPT)
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人教A版高中数学必修三课件高一：2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征.pptx
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
-2-
目标导航
Z D 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
1.掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征. 2.会求众数、中位数、平均数、标准差、方差,并能用来解决有 关问题.
目标导航
题型一 题型二 题型三 题型四
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Z D 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
方差的应用 【例2】 甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果,从中 各抽出10袋,测得其实际质量分别如下(单位:克): 甲:203 204 202 196 199 201 205 197
Z D 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
1.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 剖析:(1)在样本数据的频率分布直方图中,众数的估计值就是最 高矩形上端中点的横坐标. (2)在频率分布直方图中,中位数左右两侧的直方图的面积相等, 但是因为样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的特征, 因而从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图 得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数的值不一致. (3)平均数显然是频率分布直方图的“重心”.在频率分布直方图中, 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小 矩形底边中点的横坐标之和.
5 21 000
工人
3 000 10 30 000
学徒
1 000 1 1 000
合计
35 700 23 107 000
(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数. (2)这个问题中,平均数能客观地反映该工厂人员的月工资水平吗? 为什么?
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2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
-2-
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Z D 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
1.掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征. 2.会求众数、中位数、平均数、标准差、方差,并能用来解决有 关问题.
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典例透析
IANLITOUXI
方差的应用 【例2】 甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果,从中 各抽出10袋,测得其实际质量分别如下(单位:克): 甲:203 204 202 196 199 201 205 197
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典例透析
IANLITOUXI
1.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 剖析:(1)在样本数据的频率分布直方图中,众数的估计值就是最 高矩形上端中点的横坐标. (2)在频率分布直方图中,中位数左右两侧的直方图的面积相等, 但是因为样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的特征, 因而从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图 得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数的值不一致. (3)平均数显然是频率分布直方图的“重心”.在频率分布直方图中, 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小 矩形底边中点的横坐标之和.
5 21 000
工人
3 000 10 30 000
学徒
1 000 1 1 000
合计
35 700 23 107 000
(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数. (2)这个问题中,平均数能客观地反映该工厂人员的月工资水平吗? 为什么?
高中数学 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件 新人教A版必修3
频率 （乙）
0.4 0.3 0.2 0.1
O 4 5 6 7 8 9 10 环数
甲的成绩比较分散，极差较大，乙的 成绩相对集中，比较稳定.
1、标准差
思考: 反映样本数据的分散程度的大小,
最常用的统计量是标准差, 一般用s表示. 假设 样本数据x1, x2, …, xn的平均数为, 则标准差的 计算公式是：
(1)平均来说甲队比乙队防守技术好； (2)乙队比甲队技术水平更稳定； (3)甲队有时表现很差，有时表现又非常 好； (4)乙队很少不失球。
关于统计的有关性质及规律
（1）若x1, x2,...,xn的平均数为x,那么mx1 a, mx2 a,...,mxn a的平均数是_____;
（2）数据x1, x2,...,xn与数据x1 a, x2 a,..., xn a的方差_____;
有两位射击运动员在一次设计测试中 各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙9578768 6 77
如果你是教练，你应当如何对这次射 击情况作出评价？如果这是一次选拔性考 核，你应当如何作出选择？
思考：甲、乙两人射击的平均成绩相等， 观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明 其水平差异在那里吗？
（3）若x1, x2,...,xn的方差为s2, 那么ax1,ax2, ...,axn的方差为_____.
s≥0，标准差为0的样本数据都相等.
【例1】画出下列四组样本数据的条形图, 说明它们的异同点.
（1）5，5，5，5，5，5，5，5，5 （2）4，4，4，5，5，5，6，6，6 （3）3，3，4，4，5，6，6，7，7 （4）2，2，2，2，5，8，8，8，8
2. 标准差的一个应用
2020版人教A数学必修3 课件：2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
1 6
5
42
≈8.4;
4
42
3
42
s 乙=
1 6
1
42
2
42
0
42
≈3.5.
显然两地的平均温度相等,乙地温度的极差、标准差较小,说明了乙地温度波动较小.
因此,乙地比甲地更适合母鸡产蛋.
[备用例2] 某市有210名初中生参加数学竞赛预赛,随机调阅了60名学生
60 有 63 名学生可以进入复赛.
题型三 频率分布直方图中的样本数字特征 [例3] 从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项 质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:
质量指标 [75,
值分组
85)
[85, 95)
[95, 105)
频数
6
26
38
(1)作出这些数据的频率分布直方图;
解:(2)平均数是 x '=1 500+ 28500 18500 2000 2 1500 1000 5 500 3 0 20 33
≈1 500+1 788
=3 288(元). 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元.
(3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平.因为公司中 少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与中位数偏差 较大,所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平.
(2)用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征的理解 ①样本的基本数字特征包括众数、中位数、平均数、标准差.
②平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是平均数有时也会使 我们作出对总体的片面判断,因为这个平均数掩盖了一些极端的情况, 而这些极端情况显然是不能忽视的.因此,还需要用标准差来反映数 据的分散程度. ③现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,虽然总体的平均数与 标准差客观存在,但是我们无从知道.所以通常的做法是用样本的平 均数和标准差去估计总体的平均数与标准差.虽然样本具有随机性, 不同的样本测得的数据不一样,与总体的数字特征也可能不同,但只 要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接受的.
人教版高中数学必修三第二章第2节 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件(共13张PPT)
乙 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 25.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48
从生产的零件内径的尺寸来看，谁生产的质量较高？
二.方差的概念:
乙
890 960 950 850 860 890
那种水稻的产量比较稳定？
解: 依题意计算可得
x1=900 s1≈23.8
x2=900 s2 ≈42.6
甲乙两种水稻6年平均产量的平均数相同,但 甲的标准差比乙的小,所以甲的生产比较稳定.
2.一个小商店从一家食品有限公司购进21袋白糖，每袋白糖的 标准重量是500g，为了了解这些白糖的重量情况，称出各袋白 糖的重量（单位：g）如下： 486 495 496 498 499 493 493 498 484 497 504 489 495 503 499 503 509 498 487 500 508 求： （1）21袋白糖的平均重量x是多少？标准差s是多少？ （2）重量位于x-s与x+s之间有多少袋白糖？所占的百分比是 多少？
甲运动员
7
7
7
乙运动员
7
7
7
引例 有两位射击运动员ห้องสมุดไป่ตู้一次射击测试中各射靶 十次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙95787686 7 7
如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？ 如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
标准差
定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离， 常用s表示.
定义:标准差的平方叫做方差,
从生产的零件内径的尺寸来看，谁生产的质量较高？
二.方差的概念:
乙
890 960 950 850 860 890
那种水稻的产量比较稳定？
解: 依题意计算可得
x1=900 s1≈23.8
x2=900 s2 ≈42.6
甲乙两种水稻6年平均产量的平均数相同,但 甲的标准差比乙的小,所以甲的生产比较稳定.
2.一个小商店从一家食品有限公司购进21袋白糖，每袋白糖的 标准重量是500g，为了了解这些白糖的重量情况，称出各袋白 糖的重量（单位：g）如下： 486 495 496 498 499 493 493 498 484 497 504 489 495 503 499 503 509 498 487 500 508 求： （1）21袋白糖的平均重量x是多少？标准差s是多少？ （2）重量位于x-s与x+s之间有多少袋白糖？所占的百分比是 多少？
甲运动员
7
7
7
乙运动员
7
7
7
引例 有两位射击运动员ห้องสมุดไป่ตู้一次射击测试中各射靶 十次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙95787686 7 7
如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？ 如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
标准差
定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离， 常用s表示.
定义:标准差的平方叫做方差,
人教A版高中数学必修三2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件
１．标准差
s
1 n
[(x1
x)2
(
x2
x)2
(xn x)2 ]
标准差较大，数据的离散程度较大；标 准差较小，数据的离散程度较小。
２．方差
从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方 （即方差）来代替标准差，作为测量样本数据 分散程度的工具：
s2
1 n
[(
x1
x)2
( x2
x)2
(xn x)2 ]
2.平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数 据的平均水平.
小试牛刀
甲乙两机床同时加工直径为100厘米的零件, 为检验质量从中抽取6件,测量的数据为: 甲: 99，100，98，100，100，103 乙：99，100，102，99，100，100
分别计算两组数据的平均数。
2.2.2 用样本的数字特征 估计总体的数字特征
众数：最高矩形的中点的横坐标 中位数：中位数左边和右边的直方图的
面积相等，由此估计中位数的值 平均数：等于频率分布直方图中每个小
矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐 标之和
例1为了了解某班学生每周做家务劳动的
时间，某综合实践小组对该班50名学生 进行了调查，有关数据如下：
每周做家 0 务的时间
第2课时
创设情境
在一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各 射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的
更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参 加正式比赛？
探究新知
从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较 高？
课堂小结
人教A版高中数学必修3课件2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件
例题探究
例1 样本(x1，x2，…，xn)的平均数为 x ，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为 y ( x ≠ y ), 1 若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数 z ＝α x ＋(1－α ) y ，其中 0<α < ， 2 则 n，m 的大小关系为 (
A
)
A、n<m B、n>m C、n＝m D、不能确定 解析 利用两个样本平均数表示总体平均数，从而确定系数 α
思考4
从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数
是1.973，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？
答：因为样本数据频率分布直方图只是直观
地表明分布的形状，从直方图本身得不出原始的 数据内容，也就是说频率分布直方图损失了一些 样本数据，得到的是一个估计值，且所得估计值 与数据分组有关，所以估计的值有一定的偏差。
中位数是 1 500 元，众数是 1 500 元。
Байду номын сангаас
(3)在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司员工的工资水平，因为公司少数 人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以 平均数不能反映这个公司员工的工资水平。
反思与感悟：样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中 众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量 信息。平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对 平均数的影响也越大。
思考3 如何在样本数据的频率分布直方图中估计出平均数的值？ 答：平均数是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点，因此，每个小矩形 的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和为平均数。
人教A版高中数学必修三222用样本的数字特征估计总体的数字特征课件1共30张
上面表里的 17个数据可看成是按从小到大的顺序排 列的，其中第 9个数据1.70 是最中间的一个数据，即这 组数据的中位数是 1.70 ；
这组数据的平均数是
答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是 1.75 （米）、 1.70 （米）、1.69 （米）.
二 、众数、中位数、平均数与频率分布直 方图的关系
0.5
1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
月均用水量 /t
4.5
2、在样本中，有 50％的个体小于或等于中 位数，也有 50％的个体大于或等于中位数 ，因此， 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图 的面积应该相等 ，由此可以估计中位数的值。下图 中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此 数据值为 2.02t.
3. 可以从频率分布直方图中估计平均数
平均数的估计值 =频率分布直方图中每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的横坐标之和
0.25 ×0.04+0.75 ×0.08+1.25 ×0.15+1.75 ×0.22+2.25 × 思考0.255：+2平.75均数×是0.1频4+率3.分25布×直方图的“重心”，在城市居 0民.0月6+均3.用75水×量0样.04本+4数.2据5 的×频0.率02分=2布.02直（方图t ）中. ，各个小矩形 的重平心均在数哪是里2.0？2.从直方图估计总体在各组数据内的平均数 分别为多少？
在频率分布直方图中，每个小矩形的面积表示什么？中位 数左右两侧的直方图的面积应有什么关系？
在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，从
左至右各个小矩形的面积分别是 0.04 ，0.08 ，0.15 ，0.22 ， 0.25 ，0.14 ，0.06 ，0.04 ，0.02. 由此估计总体的中位数 是什么？
这组数据的平均数是
答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是 1.75 （米）、 1.70 （米）、1.69 （米）.
二 、众数、中位数、平均数与频率分布直 方图的关系
0.5
1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
月均用水量 /t
4.5
2、在样本中，有 50％的个体小于或等于中 位数，也有 50％的个体大于或等于中位数 ，因此， 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图 的面积应该相等 ，由此可以估计中位数的值。下图 中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此 数据值为 2.02t.
3. 可以从频率分布直方图中估计平均数
平均数的估计值 =频率分布直方图中每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的横坐标之和
0.25 ×0.04+0.75 ×0.08+1.25 ×0.15+1.75 ×0.22+2.25 × 思考0.255：+2平.75均数×是0.1频4+率3.分25布×直方图的“重心”，在城市居 0民.0月6+均3.用75水×量0样.04本+4数.2据5 的×频0.率02分=2布.02直（方图t ）中. ，各个小矩形 的重平心均在数哪是里2.0？2.从直方图估计总体在各组数据内的平均数 分别为多少？
在频率分布直方图中，每个小矩形的面积表示什么？中位 数左右两侧的直方图的面积应有什么关系？
在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，从
左至右各个小矩形的面积分别是 0.04 ，0.08 ，0.15 ，0.22 ， 0.25 ，0.14 ，0.06 ，0.04 ，0.02. 由此估计总体的中位数 是什么？
人教A版高中数学必修三课件《2-2-2用样本的数字特征估计总体的数字》.pptx
(3) x 甲＝ x 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当． 又s2甲>s乙2 ，说明甲战士射击情况波动大． 因此，乙战士比甲战士射击情况稳定．从成绩的稳定性 考虑，应选择乙参加比赛．
高中数学课件
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成才之路·数学
人教A版·必修3
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第二章
统计
第二章
2.2 用样本估计总体
第二章
2．2.2 用样本的数字 特征估计总体的数字特征
课前自主预习 思路方法技巧 探索延拓创新
方随法堂警应示用探练究习 课后强化作业
课前自主预习
温故知新 上一节我们学习了用图表来组织样本数据，并且还学习 了用样本的频率分布估计总体分布．为了更好地把握总体的 规律，我们还需要对总体的数字特征进行研究．
1 n
[(x1－
x
)2＋(x2－
x
)2＋…＋
(xn－ x )2]，得s2甲＝3，s乙2 ＝1.2.
解法二：由方差公式s2＝
1 n
[(x′
2 1
＋x′
2 2
＋…＋x′
2 n
)－n
x
′2]，计算s2甲，s乙2 ，其中s′i＝xi－a， x ′＝1ni＝n1x′i.由于两组
原始数据都在数字7附近且平均数都是7，所以选取a＝7.
(1)一组数据：－2，－1,3,1，－7,0的平均数是______ __．
[答案] －1
[解析] 平均数 x ＝－2－1＋36＋1－7＋0＝－1.
(2)在一组数据中，共有10个数，其中3出现2次，9出现4 次，－3出现1次，5出现3次，则这组数据的平均数为 ________．
[答案] 5.4
人教A版高中数学必修三课件2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(共29张PPT)
那么标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有 何特点？ s≥0，标准差为0的样本数据都相等.
计算甲、乙两名运动员的射击成绩的标准差，比较其射击 水平的稳定性. 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
s甲=2，s乙≈1.095.
例1 画出下列四组样本数据的条形图， 说明它们的异同点. (1) ５，５，５，５，５，５，５，５，５； (2) ４，４，４，５，５，５，６，６，６；
频率分布直方图，你能说明其水平差异在哪里吗？
频率 （甲）
频率 （乙）
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
O 4 5 6 7 8 9 10 环数 O 4 5 6 7 8 9 10 环数
甲的成绩比较分散，极差较大;
乙的成绩相对集中，比较稳定.
思考3：对于样本数据x1，x2，…，xn，设想通过各数据到 其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这 个平均距离如何计算？
解： x » 25.401,
甲
x » 25.406, 乙
s » 0.037, 甲
s » 0.068. 乙
甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定程度较高，故
甲生产的零件质量较高. 说明：生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来 衡量，但甲、乙两个总体的平均数与标准差都是不知道的， 我们就用样本的平均数与标准差估计总体的平均数与标准 差.
思考2：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图
中，你认为众数应在哪个小矩形内？由此估计总体的众数是
什么？
频率/组距
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10
计算甲、乙两名运动员的射击成绩的标准差，比较其射击 水平的稳定性. 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
s甲=2，s乙≈1.095.
例1 画出下列四组样本数据的条形图， 说明它们的异同点. (1) ５，５，５，５，５，５，５，５，５； (2) ４，４，４，５，５，５，６，６，６；
频率分布直方图，你能说明其水平差异在哪里吗？
频率 （甲）
频率 （乙）
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
O 4 5 6 7 8 9 10 环数 O 4 5 6 7 8 9 10 环数
甲的成绩比较分散，极差较大;
乙的成绩相对集中，比较稳定.
思考3：对于样本数据x1，x2，…，xn，设想通过各数据到 其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这 个平均距离如何计算？
解： x » 25.401,
甲
x » 25.406, 乙
s » 0.037, 甲
s » 0.068. 乙
甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定程度较高，故
甲生产的零件质量较高. 说明：生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来 衡量，但甲、乙两个总体的平均数与标准差都是不知道的， 我们就用样本的平均数与标准差估计总体的平均数与标准 差.
思考2：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图
中，你认为众数应在哪个小矩形内？由此估计总体的众数是
什么？
频率/组距
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10
人教版高中数学必修三用样本的数字特征估计总体的数字特征课件PPT
300
=3,则该
100
均成绩为
100 人成绩的标准差为
1
[(5-3)2 × 20 + (4-3)2 × 10 + (3-3)2 × 30 + (2-3)2 × 30 + (1-3)2 × 10]
100
2 10
.
5
2 10
答案:
5
=
求一组数据的方差和标准差的步骤如下:
①先求平均数.
②代入公式得方差和标准差
为:45,93,95,96,98,中位数是 95,较为合理地反映了小明的数学水平,
因而应该用中位数来衡量小明的数学成绩.
正解:小明 5 次考试成绩,从小到大排列为 45,93,95,96,98,中位数是 95,
应评定为“优秀”.
1 如图,是某篮球运动员在一个赛季的 30 场比赛中得分的茎叶图,
则得分的中位数与众数分别为(
.
1
解析:由平均数为 10,得(x+y+10+11+9)×5=10,
则 x+y=20;
又由于方差为 2,则
2
2
2
2
1
]×5=2,
2
[(x-10) +(y-10) +(10-10) +(11-10) +(9-10)
整理得 x2+y2-20(x+y)=-192,
则 x2+y2=20(x+y)-192=20×20-192=208.
资(元)
人数
1
6
5
10
合计
22000 15000 11000 20000
学徒 合计
1000 29700
=3,则该
100
均成绩为
100 人成绩的标准差为
1
[(5-3)2 × 20 + (4-3)2 × 10 + (3-3)2 × 30 + (2-3)2 × 30 + (1-3)2 × 10]
100
2 10
.
5
2 10
答案:
5
=
求一组数据的方差和标准差的步骤如下:
①先求平均数.
②代入公式得方差和标准差
为:45,93,95,96,98,中位数是 95,较为合理地反映了小明的数学水平,
因而应该用中位数来衡量小明的数学成绩.
正解:小明 5 次考试成绩,从小到大排列为 45,93,95,96,98,中位数是 95,
应评定为“优秀”.
1 如图,是某篮球运动员在一个赛季的 30 场比赛中得分的茎叶图,
则得分的中位数与众数分别为(
.
1
解析:由平均数为 10,得(x+y+10+11+9)×5=10,
则 x+y=20;
又由于方差为 2,则
2
2
2
2
1
]×5=2,
2
[(x-10) +(y-10) +(10-10) +(11-10) +(9-10)
整理得 x2+y2-20(x+y)=-192,
则 x2+y2=20(x+y)-192=20×20-192=208.
资(元)
人数
1
6
5
10
合计
22000 15000 11000 20000
学徒 合计
1000 29700
2017-2018学年人教A版必修三 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件(80张)
探究 1:众数、中位数、平均数的应用 【例 1】据报道,某公司的 33 名职工的月工资(单位:元)如 下: 副 董 总 管 职 董 董 经 职 事 经 理 务 事 事 理 员 长 理 员 长 人 1 1 2 1 5 3 20 数 工 550 500 350 300 250 200 150 资 0 0 0 0 0 0 0
预学 4:在频率分布直方图中确定众数、中位数、平均数 最高的矩形中点的横坐标即为众数. 在样本数据中,有 50%的个体小于或等于中位数,也有 50%的 个体大于或等于中位数.在频率分布直方图中,矩形的面积大小 正好表示频率的大小,即中位数左边和右边的直方图的面积应该 相等,由此可以估计出中位数的值. 样本的频率分布直方图可以用来估计样本的平均数,平均数 等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点 的横坐标之和.
− − 1 1 【解析】(1)������甲 =6×(7+1-5+5-7-1)+180=180(cm),������乙 =20 ×
(0-1+2+4+3+3+3-4-4+1-3-3-2+0-3+4-3+3-3+3)+180=180(cm).
2 2 2 2 (2)������甲 =25,������乙 =8.2,������乙 <������甲 ,这说明乙队队员的身高更整齐.
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数.(精确到 元) (2)假设副董事长的工资从 5000 元提升到 20000 元,董事长 的工资从 5500 提升到 30000 元,那么新的平均数、中位数、众数 又是多少?(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平? 【方法指导】按照平均数、中位数、众数的概念来计算相应 取值即可.三种数字特征在反映统计现象时各有优缺点,在选用 时注意有无极端值等具体信息.
高中数学必修三课件-2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征22-人教A版
频率 组距
4、如何在频率分布直方图中估计中位数？
0.6
前四个小矩形的 面积和=0.49
0.5-0.49=0.01 0.01÷0.5=0.02，中位数是2.02.
0.5
后四个小矩形的
0.4
面积和=0.26
0.25
0.3 0.22
0.2 0.15
0.1
0.08
0.04
0
0.5
1
1.5
0.14
2
2.5
2.02
小结
1.用样本的数字特征估计总体的数字特征: 用样本平均数估计总体平均数。
2.平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据 的平均水平。
集中点
特征
中位数 不受少数极端值的影响 不受少数极端值的
影响有时也是缺点
平均数
与每一个数据有关，更 受少数极端值的影 能反映全体的信息. 响较大，使其在估
计总体时的可靠性 降低.
对点练习 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生，将其 数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到 如图 所示的部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问 题：
6.如何在频率分布直方图中估计平均数？
频率
组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月平均用水量(t)
可将平均数看作整个直方图面积的 “重心”
=2.02
x
1 100 (x1
x2
x100 )
1 100
(x1
x4)
(x5
x12 )
(x99
一.众数、中位数、平均数的概念
人教版高中数学必修三第二章第2节 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件(共13张PPT)
布直方图中，你认为众数应在哪个小矩形内？取
哪个值比较好？
频率/组距
0.6 0.5 0.4
取最高矩形底边 中点的横坐标 2.25作为众数.
0.3
0.2
0.1
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
4.5
月均用水量/t
知识探究（一）：从频率分布直方图中估计众数
问题4. 请大家翻回到课本看看原来抽样的数 据中有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定 义,2.25怎么会是众数呢？为什么？
课堂小结
1.利用频率分布直方图估计众数、中位数、 平均数，进而估计总体的数字特征
2.众数、中位数、平均数的特点
课下作业 课本P74 练习
当一个人用工作去迎接光明，光明很快就会来照耀着他。人在身处逆境时，适应环境的能力实在惊人。人可以忍受不幸，也可以战胜不幸，因为人有着惊人的 挥它，就一定能渡过难关。倘若你想达成目标，便得在心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。心等待,就可以每一个人都具有特殊能力的电路， 知道，所以无法充分利用，就好像怀重宝而不知其在；只要能发掘出这项秘藏的能力，人类的能力将会完全大改观，也能展现出超乎常人的能力我这一生不曾 和伟大的著作都来自于求助潜意识心智无穷尽的宝藏。那些最能干的人，往往是那些即使在最绝望的环境里，仍不断传送成功意念的人。他们不但鼓舞自己， 成功，誓不休止。灵感并不是在逻辑思考的延长线上产生，而是在破除逻辑或常识的地方才有灵感。真正的强者，善于从顺境中找到阴影，从逆境中找到光亮 进的目标。每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。什么叫做失败？失败是到达较佳境地的第一步。失败是坚忍的最后考验。对于不屈不 失败这回事。一次失败，只是证明我们成功的决心还够坚强。失败也是我需要的，它和成功对我一样有价值。我们关心的，不是你是否失败了，而是你对失败 失败？失败是到达较佳境地的第一步。没有人事先了解自己到底有多大的力量，直到他试过以后才知道。对于不屈不挠的人来说，没有失败这回事。要成功不 能，只要把你能做的小事做得好就行了。成功的唯一秘诀——坚持最后一分钟。只有胜利才能生存，只有成功才有代价，只有耕耘才有收获。只有把抱怨环境 的力量，才是成功的保证。不要为已消尽之年华叹息，必须正视匆匆溜走的时光。 当许多人在一条路上徘徊不前时，他们不得不让开一条大路，让那珍惜时间 面去。 敢于浪费哪怕一个钟头时间的人，说明他还不懂得珍惜生命的全部价值。成功＝艰苦劳动＋正确的方法＋少说空话。合理安排时间，就等于节约时间。
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信息 ，但平均数受数据中 极端值 的影响较大，使平均数在估
计总体时可靠性降低．
2018/6/20
(2)在一组数据中，共有10个数，其中3出现2次，9出现4 次，－3出现1次，5出现3次，则这组数据的平均数为 ________．
[答案] 5.4
2018/6/20
[规律]
一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为
2018/6/20
思考讨论以下问题：
1、2.02这个中位数的估计值，与样本的中 位数值2.0不一样，你能解释其中原因吗？
答：2.02这个中位数的估计值,与样本的中 位数值2.0不一样，这是因为样本数据的频 率分布直方图，只是直观地表明分布的形 状，但是从直方图本身得不出原始的数据 内容，直方图已经损失一些样本信息。所 以由频率分布直方图得到的中位数估计值 往往与样本的实际中位数值不一致.
2018/6/20
如何在频率分布直方图中估计众数
频率 组距
众数在样本数据的频率分布直方图中，
就是最高矩形的中点的横坐标。
0. 5 0. 4 0.3
0. 2 0. 1 O 0.5 1 1.5 月平均用水量(t)
2018/6/20
2
2.5
3
3.5
4
4.5
[破疑点]
众数体现了样本数据的最大集中点，但它对
[2.5, 3) 0.14
， [3, 3.5) 0.06
（0.5 - 0.49） 0.5 0.02 x 0.02
中位数
[3.5, 4) 0.04
[4, 4.5] 0.02 合计 1
)
2 0.02 2.02
2018/6/20
[破疑点]
中位数不受少数几个极端值的影响，这在某
些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺 点．
第二章
2．2.2 用样本的数字 特征估计总体的数字特征
2018/6/20
温故知新 上一节我们学习了用图表来组织样本数据，并且还学习 了用样本的频率分布估计总体分布．为了更好地把握总体的 规律，我们还需要对总体的数字特征进行研究．
2018/6/20
在初中，我们已经学过平均数描述了数据的 平均 水平， 定量地反映了数据的集中趋势所处的水平．我们也知道可以 用样本的平均数去估计总体的平均水平，而样本数据的方 差、标准差则反映了数据的离散程度．方差或标准差越 小 ， 数据越集中，总体越均衡；方差或标准差越 大 ，数据越分 散，总体越不均衡．而中位数则是指样本数据按从小到大(或 从大到小)的顺序排列后，处于 中间 位置的一个量，当样本数 据个数为奇数时， 中间一个数据 就是中位数，它是样本数
4 8 2 x 14 x 512 x 99100 100 100 100
0 0.5 0.5 1 4 4.5 0.04 0.08 0.02 2 2 2
平均数的估计值等于频率分 布直方图中每个小矩形的面 积乘以小矩形底边中点的横 坐标之和。
=2.02
p1，p2，…，pn，则其平均数为 x ＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋…＋ xnpn(其中p1＋p2＋…＋pn＝1)． 像这样运用频率计算的平均值称为加权平均数．
2018/6/20
如何在频率分布直方图中估计平均数
2018/6/20
1 1 ( x1 x4 ) ( x5 x12 ) ( x99 100 ) x ( x1 x2 x100 ) 100 100
分组
频率 在样本中中位数的左右各有50%的样本数， 条形面积各为0.5,所以反映在直方图中位数 左右的面积相等.
[0, 0.5) 0.04
[0.5, 1) 0.08
[1, 1.5) 0.15 [1.5, 2) 0.22
0.04 0.08 0.15 0.22 0.49
[2, 2.5) 0.25
2018/6/20
3．平均数 (1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据
x1＋x2＋…＋xn n x1，x2，…，xn的平均数为 x n＝ .
2018/6/20
(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数 据的 平均水平． 任何一个数据的改变都会引起平均数的变 化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位 数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的
2018/6/20
据；当样本数据个数为偶数时，中位数则是中间两个数据的
平均数 ，当这两个数据相等时，中位数是样本数据，否则
它不是样本数据，众数则是指在样本数据中出现次数 最多 的 数据，众数不一定 唯一．通过本节的学习，我们会更深刻地 理解这些数字特征，并能通过频率分布直方图去估算它们， 这也是我们学习的重点和难点所在．
2018/6/20
7．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80 名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所 示．
2018/6/20
(1)求这次测试数学成绩的众数； (2)求这次测试数学成绩的中位数； (3)求这次测试数学成绩的平均分． [分析] 根据直方图中的数据及众数、中位数、平均数
频率 组距
如何在频率分布直方图中估计中位数
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
前四个小矩形的 面积和=0.49
后四个小矩形的 面积和=0.26
0.2 5 0.2 2
2018/6/20
0.0 4 0. 5
0.0 8 1
0.1 5
0.1 4 0.0 6 1. 5 2 2. 2.025 3 0.0 0.0 3. 4 4 2 4. 5 月均用水量/t 5
2018/6/20
• 二、众数、中位数、平均数与频率分布直 方图的关系
2018/6/20
自主预习 阅读教材P71－78，回答下列问题 1．众数 (1)定义：一组数据中出现次数 最多 的数称为这组数据的 众数． (2)特征：一组数据中的众数可能 不止一 个，也可能没 有，反映了该组数据的 集中趋势．
其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征．
2018/6/20
2．中位数 (1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于
中间
位置的数称为这组数据的中位数． (2)特征：一组数据中的中位数是 唯一 的，反映了该组数
据的 集中趋势． 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的 直方图的面积 相等．
2018/6/20
计总体时可靠性降低．
2018/6/20
(2)在一组数据中，共有10个数，其中3出现2次，9出现4 次，－3出现1次，5出现3次，则这组数据的平均数为 ________．
[答案] 5.4
2018/6/20
[规律]
一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为
2018/6/20
思考讨论以下问题：
1、2.02这个中位数的估计值，与样本的中 位数值2.0不一样，你能解释其中原因吗？
答：2.02这个中位数的估计值,与样本的中 位数值2.0不一样，这是因为样本数据的频 率分布直方图，只是直观地表明分布的形 状，但是从直方图本身得不出原始的数据 内容，直方图已经损失一些样本信息。所 以由频率分布直方图得到的中位数估计值 往往与样本的实际中位数值不一致.
2018/6/20
如何在频率分布直方图中估计众数
频率 组距
众数在样本数据的频率分布直方图中，
就是最高矩形的中点的横坐标。
0. 5 0. 4 0.3
0. 2 0. 1 O 0.5 1 1.5 月平均用水量(t)
2018/6/20
2
2.5
3
3.5
4
4.5
[破疑点]
众数体现了样本数据的最大集中点，但它对
[2.5, 3) 0.14
， [3, 3.5) 0.06
（0.5 - 0.49） 0.5 0.02 x 0.02
中位数
[3.5, 4) 0.04
[4, 4.5] 0.02 合计 1
)
2 0.02 2.02
2018/6/20
[破疑点]
中位数不受少数几个极端值的影响，这在某
些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺 点．
第二章
2．2.2 用样本的数字 特征估计总体的数字特征
2018/6/20
温故知新 上一节我们学习了用图表来组织样本数据，并且还学习 了用样本的频率分布估计总体分布．为了更好地把握总体的 规律，我们还需要对总体的数字特征进行研究．
2018/6/20
在初中，我们已经学过平均数描述了数据的 平均 水平， 定量地反映了数据的集中趋势所处的水平．我们也知道可以 用样本的平均数去估计总体的平均水平，而样本数据的方 差、标准差则反映了数据的离散程度．方差或标准差越 小 ， 数据越集中，总体越均衡；方差或标准差越 大 ，数据越分 散，总体越不均衡．而中位数则是指样本数据按从小到大(或 从大到小)的顺序排列后，处于 中间 位置的一个量，当样本数 据个数为奇数时， 中间一个数据 就是中位数，它是样本数
4 8 2 x 14 x 512 x 99100 100 100 100
0 0.5 0.5 1 4 4.5 0.04 0.08 0.02 2 2 2
平均数的估计值等于频率分 布直方图中每个小矩形的面 积乘以小矩形底边中点的横 坐标之和。
=2.02
p1，p2，…，pn，则其平均数为 x ＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋…＋ xnpn(其中p1＋p2＋…＋pn＝1)． 像这样运用频率计算的平均值称为加权平均数．
2018/6/20
如何在频率分布直方图中估计平均数
2018/6/20
1 1 ( x1 x4 ) ( x5 x12 ) ( x99 100 ) x ( x1 x2 x100 ) 100 100
分组
频率 在样本中中位数的左右各有50%的样本数， 条形面积各为0.5,所以反映在直方图中位数 左右的面积相等.
[0, 0.5) 0.04
[0.5, 1) 0.08
[1, 1.5) 0.15 [1.5, 2) 0.22
0.04 0.08 0.15 0.22 0.49
[2, 2.5) 0.25
2018/6/20
3．平均数 (1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据
x1＋x2＋…＋xn n x1，x2，…，xn的平均数为 x n＝ .
2018/6/20
(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数 据的 平均水平． 任何一个数据的改变都会引起平均数的变 化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位 数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的
2018/6/20
据；当样本数据个数为偶数时，中位数则是中间两个数据的
平均数 ，当这两个数据相等时，中位数是样本数据，否则
它不是样本数据，众数则是指在样本数据中出现次数 最多 的 数据，众数不一定 唯一．通过本节的学习，我们会更深刻地 理解这些数字特征，并能通过频率分布直方图去估算它们， 这也是我们学习的重点和难点所在．
2018/6/20
7．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80 名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所 示．
2018/6/20
(1)求这次测试数学成绩的众数； (2)求这次测试数学成绩的中位数； (3)求这次测试数学成绩的平均分． [分析] 根据直方图中的数据及众数、中位数、平均数
频率 组距
如何在频率分布直方图中估计中位数
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
前四个小矩形的 面积和=0.49
后四个小矩形的 面积和=0.26
0.2 5 0.2 2
2018/6/20
0.0 4 0. 5
0.0 8 1
0.1 5
0.1 4 0.0 6 1. 5 2 2. 2.025 3 0.0 0.0 3. 4 4 2 4. 5 月均用水量/t 5
2018/6/20
• 二、众数、中位数、平均数与频率分布直 方图的关系
2018/6/20
自主预习 阅读教材P71－78，回答下列问题 1．众数 (1)定义：一组数据中出现次数 最多 的数称为这组数据的 众数． (2)特征：一组数据中的众数可能 不止一 个，也可能没 有，反映了该组数据的 集中趋势．
其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征．
2018/6/20
2．中位数 (1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于
中间
位置的数称为这组数据的中位数． (2)特征：一组数据中的中位数是 唯一 的，反映了该组数
据的 集中趋势． 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的 直方图的面积 相等．
2018/6/20