2021-2022年高三二模数学试题 含答案
2021-2022年高三第二次模拟考试数学理试题 Word版含答案
2021年高三第二次模拟考试数学理试题 Word版含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合，，则正确的是（）A． B．C． D．2、的展开式中的系数是（）A． B． C． D．3、已知为虚数单位，若数列满足：，且，则复数（）A． B． C． D．4、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．5、已知空间中的直线和两个不同的平面、，且，．若，则命题“”是命题“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6、设函数，，则（）A．B．C．D．7、设随机变量服从正态分布，若方程没有实根的概率是，则（）A．B．C．D．不能确定8、已知，满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．9、过双曲线（，）的上顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为、，若，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．10、把函数在内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，，，，，则对任意正整数必有（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．）（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如全做则按前两题计分．）11、已知在直角坐标系中，圆的方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为．若与相交于，两点，则以为直径的圆的面积是．12、若对任意实数有恒成立，则实数的取值范围是．13、如图，、分别切于点、，点在的劣弧上，且，则．（二）必做题（14~16题）14、如图程序框图若输入，则输出结果是．15、从抛物线上一点（第一象限内）引轴的垂线，垂足为，设抛物线的焦点为，若，则直线、轴与抛物线围成的图形面积是．16、将函数（）的图象沿轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象．则的最小值是；过的直线与函数的两个交点、的横坐标满足，，则的值是．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分12分）已知函数．求在区间上的取值范围；若，求的值．18、（本小题满分12分）xx年2月开始西非爆发了大规模的埃博拉病毒（Ebola virus）疫情．到目前为止，该病毒已导致感染病例超过2万人，死亡近8000人．xx年9月，世卫组织（WHO）称某国科学家正在研究针对埃博拉病毒的两种疫苗（疫苗和疫苗）：用若干个试验组进行对比试验，每个试验组有4只猕猴，并将猕猴编号，其中每组①②号注射疫苗，而③④注射疫苗，然后观察疗效．若在一个试验组中，注射疫苗有效的猕猴的只数比注射疫苗有效的猕猴的只数多，就称该试验组为“控制组”．设每只猕猴注射疫苗有效的概率为，注射疫苗有效的概率为．求一个试验组的每只猕猴注射疫苗后都有效的概率；若观察三个不同的试验组，用表示这三个试验组中“控制组”的个数，求的分布列及其数学期望．19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，，．求证：；点在线段上，且，求的余弦值．20、（本小题满分13分）已知数列满足，．求的值，并证明数列是等比数列；求数列的前项和．21、（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为（），短轴的一个端点为，已知的面积为，且到直线的距离为．求椭圆的方程；过点且斜率不为的直线与椭圆交于，两点，若直线，与直线分别交于，两点，线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过定点．22、（本小题满分13分）已知．若函数在上是增函数，求实数的最小值；若，，使成立，求实数的取值范围．。
2021-2022年高三第二次模拟考试数学理试题 含答案
2021年高三第二次模拟考试数学理试题含答案一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的共轭复数为（）A．﹣3﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．﹣2+2i2．要得到函数y=2sin（2x﹣）的图象，只需将函数y=2sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位3．（已知集合A={x||x+1|＜1}，B{x|y=}，则A∩B=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，﹣1]C．（﹣1，0）D．[﹣1，0）4．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．8﹣2πD．6．若函数f（x）=x3﹣x2+x+1在x=1处的切线的倾斜角为α，则的值是（）A．B．C．﹣D．7．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．4D．8．已知函数f（x）=e x+x，g（x）=lnx+x，h（x）=x﹣的零点依次为a，b，c，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c 9．已知实数x，y满足约束条件，若y≥kx﹣3恒成立，则实数k的数值范围是（）A．[﹣，0]B． [0，]C．（﹣∞，0]∪[，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）10．（若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）A．64πB．16πC．12πD．4π11．如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为（）A．B．9C．D．﹣912．执行如图所示的一个程序框图，若f（x）在[﹣1，a]上的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）命题“∃x＞0，x2+x﹣2≥0”的否定是_________．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，C=45°，1+=，则边c的值为_________．15．（5分）已知P是抛物线y2=4x上的动点，过P作抛物线准线的垂线，垂足为M、N是圆（x﹣2）2+（y﹣5）2=1上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是_________．16．（5分）已知x∈R，y∈[0，5]，我们把满足方程x2+8xsin（x+y）π+16=0的解（x，y）组成的集合记为M，则集合M中的元素个数是_________．三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知{a n}的各项均为正数的数列，其前n项和为S n，若2S n=a n2+a n（n≥1），且a1、a3、a7成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n=2，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n+4=2b．18．（12分）现有一个寻宝游戏，规则如下：在起点P处有A、B、C三条封闭的单向线路，走完这三条线路所花费的时间分别为10分钟、20分钟、30分钟，游戏主办方将宝物放置在B 线路上（参赛方并不知晓），开始寻宝时参赛方在起点处随机选择路线顺序，若没有寻到宝物，重新回到起点后，再从没有走过的线路中随机选择路线继续寻宝，直到寻到宝物并将其带回至P处，期间所花费的时间记为X．（1）求X≤30分钟的概率；（2）求X的分布列及EX的值．19．（12分）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于E点，F，G分别为AD，BC 的中点，AB=2，∠DAB=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使得AC=．（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；（2）求二面角F﹣DG﹣C的余弦值．20．（12分）如图，A，B是双曲线﹣y2=1的左右顶点，C，D是双曲线上关于x轴对称的两点，直线AC与BD的交点为E．（1）求点E的轨迹W的方程；（2）若W与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点分别为M，N，直线y=kx（k＞0）与W的两个交点分别是P，Q（其中P是第一象限），求四边形MPNQ面积的最大值．21．（12分）（xx•洛阳三模）已知函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是5x ﹣4y+1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设g（x）=2ln（x+1）﹣mf（x），若当x∈[0，+∞）时，恒有g（x）≤0，求m的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选项】22．（10分）（xx•洛阳三模）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，以C为切点的切线交AB的延长线于点P，AM⊥CP，垂足为M，CD⊥AB，垂足为D．（1）求证：AD=AM；（2）若⊙O的直径为2，∠PCB=30°，求PC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（xx•洛阳三模）已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）．（1）求直线l的参数方程化为普通方程，将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆C上的点到直线l距离的取值范围．【选修4-5：不等式选项】24．（xx•洛阳三模）已知函数f（x）=2|x+1|﹣|x﹣3|（1）求不等式f（x）≥5的解集；（2）当x∈[﹣2，2]时，关于x的不等式f（x）﹣|2t﹣3|≥0有解，求实数t的取值范围．三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17、解：（Ⅰ）∵2S n=a n2+a n（n≥1），∴n≥2时，2S n﹣1=a n﹣12+a n﹣1，两式相减，得2a n=﹣+a n﹣a n﹣1，整理，得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵a n+a n﹣1≠0，∴）a n﹣a n﹣1=1，又4s1=+a1，即﹣a1=0，解得：a1=1，∴{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．又a1、a3、a7成等比数列．∴=a1a7，即=a1（a1+6），解得a1=2，∴a n=2+（n﹣1）•1=n+1．（2）证明：由（1）得b n==2n+1，∴T n=22+23+…+2n+1==2n+2﹣4，∴T n+4=2n+2=2b n．18．解：（1）X≤30分钟的概率：P（X≤30）=P（B）+P（AB）==．（2）由题意知X的所有可能取值为20，30，50，60，P（X=20）=P（B）=，P（X=30）=P（AB）==，P（X=50）=P（CB）==，P（X=60）=P（ABC）+P（CAB）=，∴X的分布列为：X 20 30 50 60P∴EX=20×+30×+50×+60×=40（分）．19．（1）证明；在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD，△CBD为等边三角形，∵E是BD的中点，∴AE⊥BD，AE=CE=，∵AC=，∴AE2+CE2=AC2，∴AE⊥EC，∴AE⊥平面BCD，又∵AE⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；（2）解：由（1）可知建立以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴的空间直角坐标系E﹣xyz，则D（0，1，0），C（，0，0），F（0，，）G（﹣，1，），平面CDG的一个法向量=（0，0，1），设平面FDG的法向量=（x，y，z），=（0，﹣，），=（﹣，1，）∴，即，令z=1，得x=3，y=，故平面FDG的一个法向量=（3，，1），∴cos==，∴二面角F﹣DG﹣C的余弦值为﹣．20．解：（1）由已知A（﹣2，0），B（2，0），设C（x0，y0），D（x0，﹣y0），则，①由两点式分别得直线AC，BD的方程为：直线AC：，直线BD：，两式相乘，得，②由①，得﹣=，代入②，得：，整理，得﹣4y2=x2﹣4，∴点E的轨迹W的方程．（2）由（1）及已知得M（2，0），N（0，1），联立，得（4k2+1）x2=4，∴P（），Q（﹣），四边形MPNQ的面积S=S△QOM+S△DMP+S△NOP+S△NOQ=2（S△QMP+S△QNP），∴S==2y P+x P==2=2==2，∵k＞0，∴4k+≥4，故当且仅当，即k=时，四边形MPNQ的面积取最大值为2．21．解：（Ⅰ）求导函数，可得．∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是5x﹣4y+1=0．∴，∴，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，∴，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）令h（x）=﹣mx2+（2﹣2m）x+2﹣2m，当m=0时，h（x）=2x+2，在x∈[0，+∞）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上是增函数，则g（x）≥g（0）=0，不满足题设．当m＜0时，∵且h（0）=2﹣2m＞0∴x∈[0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上是增函数，则g（x）≥g （0）=0，不满足题设．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当0＜m＜1时，则△=（2﹣2m）2+4m（2=2m）=4（1﹣m2）＞0，由h（x）=0得；则x∈[0，x2）时，h（x）＞0，g′（x）＞0即g（x）在[0，x2）上是增函数，则g（x2）≥g（0）=0，不满足题设．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当m≥1时，△=（2﹣2m）2+4m（2=2m）=4（1﹣m2）≤0，h（x）≤0，g′（x）≤0，即g（x）在[0，+∞）上是减函数，则g（x）≤g（0）=0，满足题设．综上所述，m∈[1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选项】22．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠ABC+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ABC，∵以C为切点的切线交AB的延长线于点P，∴∠MCA=∠ABC=∠ACD，∵∠AMC=∠ADC=90°，AC=AC，∴△AMC≌△ADC，∴AD=AM；（2）解：∵∠PCB=30°，以C为切点的切线交AB的延长线于点P，∴∠PAC=∠PCB=30°，在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，∴BC=1，∠ABC=60°，∴∠BPC=30°，∴∠BPC=∠BCP，BC=BP=1，由切割线定理得PC2=PB•PA=PB（PB+BA）=3，∴PC=．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．解：（1）由（t为参数）得直线l的普通方程为又∵，∴，∴，即；（2）由得圆心C（1，），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离d=．直线l与圆C相离．∴圆C上的点到直线l的距离的取值范围是．【选修4-5：不等式选项】24、解：（1）f（x）=2|x+1|﹣|x﹣3|=，由式f（x）≥5，可得①，或②，或．解①求得x≥3，解②求得2≤x＜3，解③求得x≤﹣10．故不等式的解集为[2，+∞）∪（﹣∞，﹣10]．（2）当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣4，5]，∵关于x的不等式f（x）﹣|2t﹣3|≥0有解，∴5﹣|2t﹣3|≥0，即﹣5≤2t﹣3≤5，求得﹣1≤t≤4，故t的范围为[﹣1，4]．。
2021-2022年高三二模数学(文)试卷 含解析
2021-2022年高三二模数学（文）试卷 含解析 考生注意： 本试卷共有23道题，答题前，请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚.一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.已知全集，集合，则集合的补集 .2.指数方程的解是 .3.已知无穷等比数列的首项，公比，则无穷等比数列各项的和是 .4.函数的递增区间为 .5.算法流程图如图所示，则输出的值是 .6.抛物线上一点到焦点的距离为1，则点的横坐标是 .8.关于 的函数2()cos 2cos 1f x θθθ=--的最大值记为，则的解析式为 .9.如图所示，是一个由圆柱和球组成的几何体的三视图，若，则该几何体的体积等于 .10.圆心在直线2x y 7=0上的圆C 与y 轴交于A (0, 4)、B (0, 2) 两点， ( 第5题图 )( 第9题图 )则圆C的方程为 .11.已知△ABC外接圆的半径为，圆心为，且，，则 .12.若不等式组0,34,34xx yx y⎧⎪+⎨⎪+⎩所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 .13.掷两颗均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋n i)(n－m i)(i为虚数单位)为实数的概率为 .14.设关于的实系数不等式对任意恒成立，则 .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15.的展开式中的系数为( )A. 1B.4C.6D.1216.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积，∠A的弧度数为( )A. B. C. D.17.若函数为奇函数，且g(x)=f(x)＋2，已知 f(1) =1，则g(－1)的值为( )A.1B.－1C. 2D.－218.已知实数满足20,0,3,x yx yx+-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩则的最大值为 ( )A. 17B. 15C. 9D. 5三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分)如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF(底面正六边形ABCDEF 的中心为球心).求：正六棱锥P—ABCDEF的体积和侧面积.20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知分别是椭圆(其中)的左、右焦点，椭圆过点且与抛物线有一个公共的焦点.(第19题图)(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于、两点，求线段的长度.21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.一艘游轮以的平均速度在水上旅游线航行(将航线看作直线，码头在第一象限，航线经过).(1)问游轮自码头沿方向开往码头共需多少分钟？(2)海中有一处景点(设点在平面内，，且)游轮无法靠近.求游轮在水上旅游线航行时离景点最近的点C的坐标.(第21题图)22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数，若在区间内有且只有一个实数()，使得成立，则称函数在区间内具有唯一零点.(1)判断函数在定义域内是否具有唯一零点，并说明理由；(2)已知向量，，，证明在区间内具有唯一零点；(3)若函数在区间内具有唯一零点，求实数m的取值范围.23.(本小题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知各项为正的数列是等比数列，且，；数列满足：对于任意，有=.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的通项公式；(3)在数列的任意相邻两项与之间插入个()后，得到一个新的数列. 求数列的前xx项之和.xx 静安区高考数学（文科）二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，并集，补集.【参考答案】【试题分析】{}{}|(1)(4)0|14A x x x x x =--=-≤≤≤，所以,故答案为.2. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数方程和对数方程.【参考答案】【试题分析】令，则有，所以或（舍去），即，故答案为.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限.【参考答案】12【试题分析】因为数列的公比，故数列存在极限，则有118[1()]2lim lim1211()2nnn nS→→⨯--==--∞∞，故答案为12.4. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角函数/正弦函数和余弦函数的性质.【参考答案】【试题分析】因为的递增区间为，所以又因为，所以，故答案为.5. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数基本知识.【知识内容】方程与代数/算法初步/程序框图.【参考答案】5【试题分析】执行第一次，，不满足判断条件，继续循环；，不满足判断条件，继续循环；，不满足判断条件，继续循环；，不满足判断条件，继续循环；，满足判断条件，输出k，故答案为5.6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质.【参考答案】【试题分析】因为，则抛物线的准线方程为，因为抛物线上的点到准线的距离与该点到焦点的距离相等，所以设该点的横坐标为，则有，故答案为.7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/含有绝对值的不等式的解法.【参考答案】【试题分析】即，所以，故答案为.8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的有关概念.【参考答案】【试题分析】 222()cos 2cos 1(cos )1f x x x θθθθ=--=---，因为，所以当时，22()(1)12M x x x x =----=；当，22()(1)12M x x x x =---=-，所以，故答案为.9.【测量目标】空间想象能力/能根据图形想象出直观形象.【知识内容】图形与几何/投影与画图/三视图；图形与几何/简单几何体的研究/柱体，球.【参考答案】 【试题分析】由图形的三视图可知球的半径为，圆柱的高，则几何体的体积324413()()1332233a a V V Vb π=+=π+π=π⨯+π=球圆柱，故答案为. 10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的和基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程与一般方程.【参考答案】【试题分析】设圆的标准方程为，因为点满足圆的方程，则有①，②，由①－②得，，又因为圆心在直线上，故，则 ，把代入得，所以圆的标准方程为，故答案为.11.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】平面向量/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.【参考答案】12【试题分析】如图，取BC 中点D ，联结AD ,则,又因为,所以O 为BC 的中点，因为，所以是等边三角形，，因为ABC 外接圆的半径为2，所以,所以3423122CA CB ⋅=⨯⨯=,故答案为12.第11题图 apto612.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】方程与代数/简单的线性规划/二次一次不等式所表示的平面区域. 【参考答案】【试题分析】不等式组所表示的平面区域如图()，直线恒过的顶点A ,要使得其平分的面积，则其过线段AB 的中点D,由得,,所以,代入得，故答案为.第12题图 apto713.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/等可能事件的概率； 数与运算/复数初步/复数的四则运算.【参考答案】【试题分析】复数22(i)(i)2()i z m n n m mn n m =+-=+-为实数，则，掷两颗骰子，其向上的点数的组合有36种，其中相等的组合有6种，故事件“复数为实数”的概率为. 14.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质;函数与分析/指数函数与对数函数/简单的幂函数、二次函数的性质.【参考答案】9【试题分析】令2()3,()f x ax g x x b =+=-，在同一坐标系下作出两函数的图像： ①如图(1)，当的在轴上方时，，，但对却不恒成立；第14题图(1) apto8②如图(2),,令得，令得，要使得不等式在上恒成立，只需2239,,9b b a b a a =-==.第14题图(2) apto9综上，，故答案为9.二、选择题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关整理与概率统计的基本知识.【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理.【正确选项】C【试题分析】展开式的第项为，所以含的为第3项，其系数为,故答案为C.16.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理.【正确选项】D 【试题分析】因为的面积222111sin ()cos 242S bc A b c a bc A ==+-=,所以,. 17.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质;【正确选项】B【试题分析】因为，所以，又因为为奇函数，所以(1)(1)2(1)+1-=-=-=-，F F f所以，,故答案为B.18.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】方程与代数/简单的线性规划/简单的线性规划.【正确选项】A【试题分析】不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分)，其中直线将其分为的两部分，联立得,联立得,在上，直线在点有最大值，此时，在上，直线在点有最大值，此时，所以的最大值为17，故答案为A.第18题图 apto10三、解答题19.（本题满分12分）【测量目标】空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/球、锥体.【参考答案】设底面中心为O，AF中点为M，连结PO、OM、PM、AO，则PO⊥OM，…………2分HEM62第19题图OM⊥AF，PM⊥AF，∵OA＝OP＝2，∴OM＝，∴.∴. …………6分. …………8分∴. …………12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.（2）运算能力/能够根据条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（2）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.【参考答案】（1）抛物线的焦点为 ………1分所以椭圆的左焦点为， ，………2分又，得，解得（舍去），………4分故椭圆C 的方程为. ………6分（2）直线的方程为． …………………7分 联立方程组222,162y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去并整理得． ……………10分 设，，故． …………………11分则12|||AB x x =-==…………14分 21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.（2）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.【知识内容】（1）图形与几何/平面直线的方程/点到直线的距离、两条相交直线的交点和夹角.（2）图形与几何/平面直线的方程/两条相交直线的交点和夹角、两条直线的平行关系与垂直关系.【参考答案】（1）由已知得：，直线的方程为，………1分设，由及图得，………3分直线的方程为，即，………5分由得即，………6分∴=AB游轮在水上旅游线自码头沿方向开往码头共航行30分钟时间．………8分（2）解法一：点到直线的垂直距离最近，则垂足为. ………10分由（1）知直线的方程为，，则直线的方程为，………12分所以解直线和直线的方程组，得点的坐标为（1，5）．……14分解法2：设游轮在线段上的点处，则，，………10分，，222∴=-+-PC t t(218)(188)，，………12分时，当时，离景点最近，代入得离景点最近的点的坐标为(1,5).………14分22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质；函数与分析/指数函数与对数函数/对数函数的性质与图像.（2）函数与分析/三角函数/函数的图像和性质；图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.（3）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质；函数与分析/指数函数与对数函数/简单的幂函数、二次函数的性质.【参考答案】（1）函数在定义域内不具有唯一零点, ………2分因为当时,都有；………4分(2) 因为1π12cos21sin(2)126m n x x x⋅+=++=++,所以,…………7分的解集为ππ,3A x x k k⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z；因为,所以在区间内有且只有一个实数,使得成立,因此在开区间内具有唯一零点. …………10分(3) 函数在开区间内具有唯一零点，该二次函数的对称轴为．以下分m与区间的位置关系进行讨论．①当即时, 在开区间是增函数,只需解得…………12分② 当即时,若使函数在开区间内具有唯一零点，，所以分三种情形讨论：当时,符合题意；当时, 空集；当时, 只需解得. …………14分③当即时, 在区间是减函数,只需解得.综上讨论，实数m的取值范围是或或．…………16分23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.（2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.（3）数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究，寻求数学对象的规律和联系；能正确地表述探究过程和结果，并予以证明.【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/等比数列.（2）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念.【参考答案】(1)由得， ………2分………4分（2），得. ………5分当时，n n n n n n n n b a b a b a b a b a 2)()(111111⋅=++-++=-- . ………8分 于是. ………10分（3）设数列的第项是数列的第项，即. 当时，(1)[12(1)]2k k k m k k +=++++-=. ………12分 ，，， ………14分设表示数列的前n 项之和.则]62)1(2)1()1[()(6262221163212016b b b a a a S ⋅-++⋅-+-++++= . 其中，.又，则626222162)1(2)1()1(b b b -++-+-=26222262)1(2)1(1)1(-++-+-=)6162(])12()2[()34()12(22222222-++--++-+- m m =(411)(421)(41)(4311)n ⨯-+⨯-++-++⨯- 31(4114311)19532⨯-+⨯-==因此，195121953)22(64642016+=+-=S . ………18分L38541 968D 隍"20319 4F5F 佟=29611 73AB 玫 B~x823360 5B40 孀4r22552 5818 堘。
『二模』2021-2022学年福建省厦门市高三毕业班第二次质量检测数学试题+答案解析(附后)
『二模』2021-2022学年福建省厦门市高三毕业班第二次质量检测数学试题1. 复数的虚部为( )A. B. C. 2 D. 42. 一个斜边长为的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的体积为.( )A. B. C. D.3. 某校高三有1000人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布，且成绩优良不低于120分的人数为360，则此次考试数学成绩及格不低于90分的人数约为( )A. 360B. 640C. 720D. 7804. 点在抛物线上，F为焦点，直线MF与准线相交于点N，则( )A. B. C. 4 D.5. 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球大圆的周长：如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向这是从日光直射进该处一井内而得到证明的同时在亚历山大城该处与赛伊尼几乎在同一子午线上，其天顶方向与太阳光线的夹角测得为因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的．已知骆驼一天走100个视距段，从亚历山大城到赛伊尼须走50天，一般认为一个视距段等于157米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为( )A. 37680千米B. 39250千米C. 41200千米D. 42192千米6. 为充分感受冬奥的运动激情，领略奥运的拼搏精神，甲、乙、丙三人进行短道速滑训练赛．已知每一场比赛甲、乙、丙获胜的概率分别为，，，则3场训练赛过后，甲、乙获胜场数相同的概率为( )A. B. C. D.7. 平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为( )A. B. C. D.8. 已知，，，则( )A. B. C. D.9. 四棱台的底面ABCD是正方形，平面ABCD，则( )A. 直线AD与直线所成角为B. 直线与直线异面C.平面平面 D.10. 定义在R上的奇函数满足，且当时，，则( )A. 是周期函数B. 在上单调递减C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称11. 已知P是圆O：上任意一点，定点A在x轴上，线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当P在圆O上运动时，Q的轨迹可以是( )A. 直线B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线12. 已知数列满足，，则下列选项正确的是( )A.是递增数列 B.C. D.13. 集合，，若，则实数a的范围是__________.14. 2021年秋季，教育部明确要求在全国中小学全面推行课后延时服务，实行“”服务模式．某校开设了篮球、围棋和剪纸三门课后延时服务课程，某班的4个同学每人选择了其中的一门课程，若每门课程都有人选，则不同的选课方案种数为__________用数字作答15. 若函数和R的图象有且仅有一个公共点P，则在P处的切线方程是__________.16. 函数的图象关于点对称，且，则__________，的最小值为__________.17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知求A；若，D为BC的中点，，求的面积．18.已知等差数列和递增的等比数列满足，，求和的通项公式；若，记数列的前n项和为，证明：19. 在三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面ABC，平面与平面的交线为证明：；已知，上是否存在点P，使与平面ABP所成角为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由．20. 一个车间为了规定工时定额，需要确定一台机器持续加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如表所示：零件数个102030405060708090100时间分钟76859295100110115121125131通过数据分析，发现y与x之间呈线性相关关系，求y关于x的回归方程，并预测持续加工480个零件所花费的时间；机器持续工作，高负荷运转，会影响产品质量．经调查，机器持续工作前6小时内所加工出来的零件的次品率为，之后加工出来的零件的次品率为机器持续运行时间不超过12小时已知每个正品零件售价100元，次品零件作废，持续加工x个零件的生产成本单位：元根据的回归方程，估计一台机器持续工作多少分钟所获利润最大？利润=零件正品数售价-生产成本参考数据：，，附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，21. 已知是函数的导函数．讨论的单调性；若有两个极值点，，且，求a的取值范围．22. 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且的周长为求的方程；若轴于点M，轴于点N，直线AN与BM交于点C，求面积的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的概念与四则运算，属于基础题.通过复数的运算化简即可解得.【解答】解：，故虚部为故选：2.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积，属于基础题．根据题意可知几何体为圆锥，根据圆锥体积公式计算即可.【解答】解：斜边长为的等腰直角三角形，绕直角边旋转一周所形成几何体是：底面半径为，高的圆锥，故该几何体的体积故选3.【答案】B【解析】【分析】本题考查正态分布曲线的特点以及频率与频数的关系，属于基础题．由，求出，进而求出此次考试数学成绩及格不低于90分的人数．【解答】解：数学成绩近似服从正态分布，，则，所以此次考试数学成绩及格不低于90分的人数约为故选：4.【答案】C【解析】【分析】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.由M的坐标求出抛物线方程，得到F的坐标，由抛物线的定义可知，M到准线距离为4，利用相似三角形，可求【解答】解：将点代入抛物线中，得，故抛物线方程为，焦点坐标，由抛物线定义可知，点M到准线的距离也为4，又焦点到准线的距离为2，由相似三角形性质可知故选：5.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识要点：比例的性质，圆的周长公式，主要考查运算能力，属于基础题．直接利用比例的性质，圆的周长公式的应用求出结果．【解答】解：由题意知，太阳光线互为平行线，则亚历山大城、赛伊尼与地球中心所成角和天顶方向与太阳光线的夹角为同位角，则亚历山大城、赛伊尼与地球中心所成角为，且亚历山大城、赛伊尼间距离为米千米，所以地球周长为千米故选：6.【答案】C【解析】【分析】本题考查两个计数原理的综合应用，概率的计算，考查学生对概率的实际应用，属于基础题.甲、乙获胜场数相同分为两种情况，甲、乙获胜场数都为0场，甲、乙获胜场数都为1场，由分类加法计数原理，再将两个概率相加即可.【解答】解：甲、乙获胜场数相同分为以下两种情况：甲、乙获胜场数都为0场，则丙获胜3场，概率为：；甲、乙获胜场数都为1场，则丙获胜1场，概率为：由分类加法计数原理，甲、乙获胜场数相同的概率为：故选：7.【答案】D【解析】【分析】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，三角函数的性质，向量的数量积，属于中档题.设，先求出，，，，在中由正弦定理得，然后利用数量的向量积和三角函数的性质进行求解可得.【解答】解：设，因为，，，所以，，，，因为，所以可得，在中，由正弦定理得，即，即，即可得，所以，，故选：8.【答案】B【解析】【分析】本题考查对数函数的性质，属于基础题.先利用对数的运算与函数的性质比较a，b大小，再利用函数的图象比较a，c的大小，可得结果.【解答】解：，，且，所以，又，对于函数的图象如图所示，当时，，则，所以所以故选：9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了立体几何的异面直线夹角以及线线垂直和面面垂直的判定，属于基础题.根据题意，逐一判定求解即可．【解答】解：对于A ，四棱台的底面ABCD是正方形，所以所以即为直线AD与直线所成角，又ABCD是正方形，所以直线AD与直线所成角为，故A正确；对于B，因为四棱台的底面ABCD是正方形，则，故A，，，C四点共面，故B错误；对于C，平面ABCD，面BCD，所以，又是正方形，，又，平面所以平面，又平面所以平面平面故C正确；对于D，因为四棱台的底面ABCD是正方形，所以，又因为不垂直所以不与AD垂直，故D错误.故选：10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性、周期性、单调性、最值以及图象的对称性，属于中档题.因为是R上的奇函数，所以，又因为，所以，于是可判断A；由可判断B，由，可判断C，由可判断【解答】解：因为是R上的奇函数，所以，对于A，又因为，所以，可见是周期为4的周期函数，所以A正确；对于B，当时，，为奇函数，则，所以B不正确；对于C，因为，则的图象关于直线对称，所以C正确；对于D，由，所以的图象关于点对称，D正确.故选：11.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查椭圆的定义、双曲线的定义，轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．根据题意，分类讨论定点A在圆上，圆内和圆外，判断Q点的轨迹.【解答】解：当定点A在x轴且在圆上时，此时线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点O，即Q的轨迹是一个点;当定点A在x轴且在圆内时，此时，故Q的轨迹是以点O和点A为焦点的椭圆;当定点A在x轴且在圆外时，此时，故Q的轨迹是以点O和点A为焦点的双曲线.12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了数列函数特性、数列的递推公式、裂项相消法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．先判断是正项数列，再由，则是递增数列，判断A，.根据已知条件进行变形，判断由，可得判断C，由，得，变形再累加一起，然后判断【解答】解：，可得数列为正项数列，，则是递增数列，故A正确.，故B正确.由选项A正确，是递增数列，可得，所以，故C错误；由，得，则，，，故D正确.故选：13.【答案】【解析】【分析】本题考查了集合基本关系，属于基础题.根据，求解a的取值范围【解答】解：由题意，集合，若则14.【答案】36【解析】【分析】本题考查了排列组合的应用，分步计数原理，属于中档题.先从四个学生中任选2人“捆绑起来”看作一个组合，这个组合跟其他两人共三个做一次全排列，即可得到答案，【解答】解：先从四个学生中任选2人“捆绑起来”看作一个组合，有种选法，这个组合跟其他两人共三个做一次全排列，有种排法，对应三门课后延时服务课程，故共有种选法，所以不同的选课方案种数为故答案为：15.【答案】【解析】【分析】本题考查了导数的几何意义，函数切线方程的求法，考查了分析和运用能力，属于中档题.设公共点，则，再根据，，得到，即，建立方程组求出a，m即可求解.【解答】解：由题意，设公共点，则，①又，，则，即，②联立①②解得，切线斜率，，切线方程为故答案为：16.【答案】； 4【解析】【分析】本题主要考查正弦函数的单调性以及图象的对称性，属于中档题.由题意利用正弦函数的单调性以及图象的对称性，可得，，又且，所以图像关于点对称，由此求得、的值．【解答】解：函数的图象关于点对称，，又且，所以图像关于点对称所以，；要使得最小即T应该最大，所以，，最小值为4；又，，最小值为故本题填：；17.【答案】解：因为，所以由正弦定理可得，即可得，所以，又，所以，因为，所以因为D为线段BC中点，所以，所以化简得，①在中，由余弦定理得，即，②又，③联立①②③，解得，所以【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角形的和差公式，考查计算转化能力，属于基础题.利用正弦定理和三角形的和差公式进行求解可得；利用数量积和余弦定理，求出，再求解三角形的面积.18.【答案】解：设数列的公差为d，数列的公比为q，，依题意有，解得，，，，所以，证明：，当时，，当时，，所以，，，，，，…，而，，故最小，从开始逐渐增大，当时，，所以的最大值为，综上可知【解析】本题考查了数列的函数特征、等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、裂项相消法求和，属于中档题.结合条件列方程组求出基本量，再求数列的通项公式；结合数列的通项公式判定各项的符号，进而得到数列的各项符号，从而判定的最大值及最小值即可证明.19.【答案】证明：因为四边形为菱形，所以，平面平面ABC，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以解：l上不存在点P，使与平面ABP所成角为理由如下：取中点D，连接AD，因为，所以，又，所以为等边三角形，所以，因为，所以，又平面平面ABC，平面平面平面，所以平面ABC，以A为原点，以方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，，因为平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，假设l上存在一点P，使与平面ABP所成角为，设，则，所以，设为平面ABP的一个法向量，则，即，令，则，可取，又，所以，即，此方程无解，因此，l上不存在点P，使与平面ABP所成角为【解析】本题考查线面垂直的判定与性质，线面平行的判定与性质，考查利用空间向量求线面角，属于中档题.由已知可得，可证平面，得到，进而可证平面，即可得证；取的中点D，连接AD，，平面ABC，以A为坐标原点，以AB，AC，AD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求出平面ABP的法向量，利用与平面ABP所成角为，得到P的坐标，判断结果即可.20.【答案】解：根据题意可知，，，所以，所以回归直线，当时，，所以预测加工480个零件所花费时间为360分钟.根据的结果，由得，①当，时，依题意，利润，所以当时，z取最大值9216②由得，所以当4801080，时，依题意，利润，所以当时，z取最大值9700，因为，所以一台机器持续加工700个零件时此时加工时间，即估计一台机器持续工作492分钟所获利润最大.【解析】本题考查线性回归系数的方程，函数的最值，二次函数的性质，考属中档题．首先求出，再根据参考数据求出、，即可求出回归直线方程，再令，求出y 的值，即可预测加工480个零件所花费时间；令与求出所对应的x的范围，分别求出利润函数，再根据二次函数的性质计算可得．21.【答案】解：，，，①当时，，所以在上单调递增，②当时，由得由得所以在上单调递增，在上单调递减综上，当时，在上单调递增;当时，在上单调递增，在上单调递减.函数有两个极值点，则有两个不相等的零点，由得，令，，由得，由，得，即在上单调递增，在上单调递减，又，当时，，当时，作出图象，如图所示：作出图象，如图所示，则，又，，则，设，则，即在上单调递增，又，，所以，又在上单调递减，所以，综上，【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值、零点，属于中档题.对求导得到，再分类讨论求得的单调性即可；将的极值点问题转换为的零点问题，变量分离构造函数，再利用导数研究函数的单调性即可求解．22.【答案】解：根据椭圆的定义可知的周长等于4a，所以，，又离心率，所以，，所以椭圆C的方程为；根据题意，设直线AB方程为，联立得，易知，设，，则，因为轴，轴，所以，所以直线①，直线②，设，联立①②解得因为，所以，所以，又因为，所以，设，则，当且仅当，即时，等号成立，故面积的最大值为【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查二次函数的性质，考查转化能力与运算求解能力，属于拔高题.根据题意，求出，，即可求出椭圆的标准方程；根据题意，设直线l：，联立，运用一元二次方程根与系数的关系，设而不求，利用函数性质即可求取值范围.。
2021-2022年高三下学期二模考试数学理(A)试题含答案
2021年高三下学期二模考试数学理（A ）试题含答案一.选择题：(5′×12=60′)1.已知A=｛x|x≥k｝，B=｛x|<1｝，若AB 则实数k 的取值范围为（ ） A.(1,+∞)B.(-∞,-1)C.(2,+∞)D.[2,+∞)2.复数的共轭复数=（ ） A.2+B.2-C.1+2D.1-23.设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时恒有f(x+2)=f(x)，当x ∈[0,2]时， f(x)=e x 1，则f(xx)+f(-xx)=（ ） A.1-eB.e-1C.-1-eD.e+14.在锐角三角形ABC 中，BC=1， B=2A ，则的值为（ ） A.6B.4C.2D.25.一个算法的程序框图如右图所示，若输入的x 值为xx ， 则输出的值为（ ） A.3B.5C.6D.96.a=b 是直线y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知向量与的夹角为120°，||=3，|+|=，则||=（ ） A.5B.4C.3D.18.设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，给出四个结论： (1)a 2+a 8≠a 10(2)S n =an2+bn (a≠0)(3)若m,n,p,q ∈N +，则a m +a n =a p +a q 的充要条件是m+n=p+q (4)若S 6=S 11，则a 9=0 其中正确命题的个数为（ ）A.1B.2C.3D.49.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F 1(-c,0)，F 2(c,0)，若直线y=2x 与双曲线的 一个交点的横坐标为c ，则双曲线的离心率为 A.+1B.+1C.+D.10.若a>0,b>0，lga+lgb=lg(a+b)，则a+b 的最小值为（ ）A.8B.6C.4D.211.若二项式()6的展开式中的常数项为m ，则=（ ）xa =1=i b a =1+=i i xb ≠ab -=11i1 3 35 6 57 11 11 79 18 22 18 9 — — — — — — —A. B.- C. D.-12.定义在[0,+∞)的函数f(x)，对任意x≥0，恒有f(x)>f´(x)，a=，b=， 则a 与b 的大小关系为（ ） A.a>bB.a<bC.a=bD.无法确定第Ⅱ卷（共90分）二．填空题：(5′×4=20′)13.一个类似杨辉三角形的数阵：则第九行的第二个数为14.中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为15.已知满足条件⎪⎩⎪⎨⎧>≥≤+≥)0(20k kx y y x x 的动点(x,y)所在的区域D 为一直角三角形区域，则区域D 的面积为16.已知函数f(x)对一切实数a 、b 满足f(a+b)=f(a)·f(b)，f(1)=2，(且f(x)恒非零)，数列｛a n ｝的通项a n =(n ∈N +)，则数列{a n }的前n 项和=三.解答题: （12′×5+10′=70′）17.已知函数f(x)=sin(x+)cos(x+)+sin 2(x+)(0<φ<)的图象经过点(,1) (1)求f(x).(2)在△ABC 中，A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，a=，S △ABC =2，角C 为锐角且 f()=，求C 边长18.某同学参加语、数、外三门课程的考试，设该同学语、数、外取得优秀成绩的概率分别为，m ，n(m>n)，设该同学三门课程都取得优秀成绩的概率为，都未取得优秀成绩的概率为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。
2021-2022年高三第二次模拟考试文科数学含答案
2021-2022年高三第二次模拟考试文科数学含答案高三数学（文科） xx.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数（A）（B）（C）（D）2．已知向量，．若与共线，则实数（A）（B）（C）（D）3．给定函数：①；②；③；④，其中奇函数是（A）①（B）②（C）③（D）④4．若双曲线的离心率是，则实数（A）（B）（C）（D）5．如图所示的程序框图表示求算式“”之值，则判断框内可以填入（A）（B）（C）（D）6．对于直线，和平面，，使成立的一个充分条件是（A），∥（B）∥，（C），，（D），，7．已知函数．若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）8．已知集合的非空子集具有性质：当时，必有．则具有性质的集合的个数是（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知直线，．若∥，则实数______．10．右图是甲，乙两组各名同学身高（单位：）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为和，则______．（填入：“”，“”，或“”）11．在△中，，，，则______；△的面积是______．12．设，随机取自集合，则直线与圆有公共点的概率是______．13．已知命题函数在上单调递增；命题不等式的解集是．若且为真命题，则实数的取值范围是______．14．在直角坐标系中，已知两定点，．动点满足则点构成的区域的面积是______；点构成的区域的面积是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知等比数列的各项均为正数，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设．证明：为等差数列，并求的前项和．16．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记△ 的面积为，△的面积为．若，求角的值．17．（本小题满分14分）如图1，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体的体积； （Ⅱ）证明：∥平面； （Ⅲ）证明：平面平面．18．（本小题满分13分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求在区间上的最小值． 19．（本小题满分14分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．（Ⅰ）若点的坐标为，求的值；（Ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求的取值范围．20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =是正整数的一个排列，函数对于，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈，，称为的满意指数．排列为排列的生成列． （Ⅰ）当时，写出排列的生成列；（Ⅱ）证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于中的排列，进行如下操作：将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加．北京市西城区xx 高三二模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准xx.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1． A ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．C ； 7．B ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．； 10．； 11．，； 12．； 13．； 14．，． 注：11、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列的公比为，依题意 ． ………………1分 因为 ，，两式相除得 ， ………………3分解得 ， 舍去 ． ………………4分 所以 ． ………………6分 所以数列的通项公式为 ． ………………7分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ． ………………9分因为 1211222n n n n b b +++-=-=， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． ………………11分所以 21(1)324n n n n nS nb d -+=+=． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 ，． ………………2分因为 ，，所以 sin 3==α． ………………3分所以 21cos()cos 32x π=+==αα-α． （Ⅱ）解：依题意得 ，． 所以 111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα．……………9分依题意得 ，整理得 ． ………………11分 因为 ， 所以 ，所以 ， 即 ． ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由左视图可得 为的中点，所以 △的面积为 ．………………1分 因为平面， ………………2分 所以四面体的体积为………………3分． ………………4分 （Ⅱ）证明：取中点，连结，． ………………5分由正（主）视图可得为的中点，所以∥，．………6分又因为∥，，所以∥，．所以四边形为平行四边形，所以∥．………………8分因为平面，平面，所以直线∥平面．………………9分（Ⅲ）证明：因为平面，所以．因为面为正方形，所以．所以平面．………………11分因为平面，所以．因为，为中点，所以．所以平面．………………12分因为∥，所以平面．………………13分因为平面，所以平面平面.………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：的定义域为，且．………………2分当时，，，所以曲线在点处的切线方程为，即．………………4分（Ⅱ）解：方程的判别式，………………5分令，得，或．………………6分和的情况如下：故的单调增区间为，；单调减区间为．………………9分①当时，，此时在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是．………………10分②当时，，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是．………………12分③当时，，此时在区间上单调递减，所以在区间上的最小值是． ………………13分综上，当时，在区间上的最小值是；当时，在区间上的最小值是；当时，在区间上的最小值是．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，是线段的中点，因为，，所以 点的坐标为． ………………2分由点在椭圆上，所以 ， ………………4分解得 ． ……………6分 （Ⅱ）解：设，则 ，且．① ………………7分因为 是线段的中点，所以 ． ………………8分 因为 ， 所以 ．② ………………9分由 ①，② 消去，整理得 ． ………………11分 所以001116242(2)82m x x =+≤-++-+， ………………13分 当且仅当 时，上式等号成立． 所以 的取值范围是． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当时，排列的生成列为． ………………3分 （Ⅱ）证明：设的生成列是；的生成列是与．从右往左数，设排列与第一个不同的项为与，即：，，，，． 显然 ，，，，下面证明：．………………5分由满意指数的定义知，的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数．由于排列的前项各不相同，设这项中有项比小，则有项比大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列中有项比小，则有项比大，从而． 因为 与是个不同数的两个不同排列，且， 所以 ， 从而 ．所以排列和的生成列也不同． ………………8分（Ⅲ）证明：设排列的生成列为，且为中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-． ………………9分依题意进行操作，排列变为排列1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+，设该排列的生成列为． ………………10分所以 1212()()n n b b b b b b '''+++-+++121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++- 1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++-．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加．………………13分26945 6941 楁 24628 6034 怴^.34536 86E8 蛨37661 931D 錝29540 7364 獤:d35344 8A10 訐28285 6E7D 湽38554 969A 隚。
2021-2022年高三二模数学理试题 含答案
解：（Ⅰ）设事件为“甲同学选中课程”，事件为“乙同学选中课程”．
则，．
因为事件与相互独立，
所以甲同学选中课程且乙同学未选中课程的概率为
．…………………4分
（Ⅱ）设事件为“丙同学选中课程”．
则．
的可能取值为：．
．
．
．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
．
为分布列为：
．………13分
（17）（共14分）
（Ⅰ）证明：连接与相交于，则为的中点，连接．
2021年高三二模数学理试题 含答案
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
（1）
（A）（B）
（C）（D）
（2）设，，，则，，的大小关系是
（A）（B）
（C）（D）
（3）已知为各项都是正数的等比数列，若，则
（A）（B）
（C）（D）
（4）甲、乙两名同学次数学测验成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的平均数，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的标准差，则有
所以是首项为，公比为等比数列．
所以．………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，
．
因为，
所以，且．
所以的最小值为．………9分
（Ⅲ）由(Ⅰ)当时，
当时，，，
所以对正整数都有．
由，，(且)，只能是不小于3的奇数．
2021-2022年高三第二次模拟考试数学(理)试题 含答案
2021-2022年高三第二次模拟考试数学（理）试题 含答案数学（理科） xx.4本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：① 体积公式：13V S h V S h =⋅=⋅柱体锥体，，其中分别是体积、底面积 和高；② 平面上两点的距离公式:212212)()(||y y x x AB -+-=一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数的定义域为, ,则( )A ．B ．C ．D ．2. 如图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若80分以上为优秀，根据图形信息可知：这次考试的优秀率为（）A． B． C．D．3. 已知向量，，，若，则实数的值为 ( )A． B． C． D．4．将函数y＝2cos2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为( )A．y＝cos2x B．y＝－2cos x C．y＝－2sin4x D．y＝－2cos4x5. 已知圆C：的圆心为抛物线的焦点，直线3x＋4y＋2＝0与圆C相切，则该圆的方程为( )A． B．C． D．6.如图，在由x＝0，y＝0，x＝及y＝围成区域内任取一点，则该点落在x＝0，y＝sinx及y＝cosx围成的区域内（阴影部分）的概率为( )A、1－B、－1C、D、3－27．把边长为的正方形沿对角线折起，形成的三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )A． B． C． D．8．已知在平面直角坐标系中有一个点列：，……．若点到点的变化关系为：，则等于 ( )A. B． C． D．二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分(一)必做题(9～13题)9.若,则关于的一元二次方程的根为 .10. 命题“”的否定是 .11．若关于、的不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域 是一个三角形，则的取值范围是 .12．执行如右图所示的程序框图,若输入的值为常数,则输出的的值为 (用表示) .13.关于的不等式的解集为,那么的取值范围是 .（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. （坐标系与参数方程选做题） 已知直线L:与圆M:2cos 2([0,2]2sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=⎩相交于AB ，则以AB 为直径的圆的面积为 。
2021-2022年高三第二次高考模拟数学理试题 含答案
2021年高三第二次高考模拟数学理试题含答案本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式：锥体的体积公式是,其中是锥体的底面积,是锥体的高.一、选择题。
（本大题共10小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集UR，则正确表示集合M＝{0，1，2}和N＝{}关系的韦恩（Venn）是（）2．函数的定义域是（）A． B． C． D．3、曲线f（x）＝xlnx在点x＝1处的切线方程为（）A、y＝2x＋2B、y＝2x－2C、y＝x－1 C、y＝x＋14、如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（）A、1B、C、2D、5、“｜x－1｜＜2成立”是“x（x－3）＜0成立”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件6、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是（）A、5B、4C、3D、27、向量，若与的夹角等于，则｜｜的最大值为（）A、4B、2C、2D、8、方程＝－1的曲线即为函数y＝f（x）的图象，对于函数y＝f（x），有如下结论：①f（x）在R上单调递减；②函数F（x）＝4f（x）＋3x不存在零点；③函数y＝f（x）的值域是R；④f（x）的图象不经过第一象限，其中正确的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个二、填空题。
（每小题5分，满分30分）（一）必做题（9～13题）9、已知复数z满足（1＋i）z＝1－i，则复数z的共轭复数为＿＿＿＿10、某项测量中，测量结果服从正态分布N （1，2）（＞0），若在（0,1）内取值的概率为0.4，则在（0,2）内取值的概率为＿＿＿＿11、若则（数字作答）12、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为＿＿＿13、若对任意,,(,)(,),(,)x A y B A B f x y f x y ∈∈⊆⊆R R 有唯一确定的与之对应则称为关于x 、y 的二元函数。
『二模』2021-2022学年河北保定高三二模数学试卷+答案解析(附后)
『二模』2021-2022学年河北保定高三二模数学试卷1. 若，则( )A. 0B. 1C. D. 22. 已知，，且，那么实数m的取值范围是( )A.B.C.D.3. 已知E ，F ，G ，H 为空间中的四个点，设命题甲：点E ，F ，G ，H 不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，那么( )A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件4.等比数列的前n 项和为，已知，，则( )A. B. C. D.5. 已知，，则( )A. B.C.D.6. 已知，则二项式的展开式中项的系数为( )A. 120B. 135C. 140D. 1007.设双曲线的左、右焦点分别为，，O 为坐标原点．若双曲线上存在点M 满足，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 4D.8. 设，，，其中e 是自然对数的底数，则( )A.B.C. D.9. 为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，某贫困村主要产业是种植蜜柚，由于销售渠道单一，导致蜜柚滞销或低价出售．其定点扶贫单位为帮助该村真正脱贫，为该村建立多种销售渠道，一年后该村的蜜柚销售收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该村的蜜柚销售收入变化情况，统计了该村扶贫前后的蜜柚销售收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是( )A. 扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入减少B. 扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上C. 扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍D. 扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的四倍10. 已知点P在圆C：上，直线l：，则( )A. 直线l过定点B. 存在实数，使直线l与圆C相切C. 点P到直线l距离的取值范围为D. 直线l与圆C相交的弦长取值范围为11. 已知正方体的棱长为4，点M是棱的中点，点P在面ABCD内包含边界，且，则( )A. 点P的轨迹的长度为B. 存在P，使得C.直线MP与平面所成角的正弦值最大为D. 沿线段MP的轨迹将正方体切割成两部分，挖去体积较小部分，剩余部分几何体的表面积为12. 已知，则( )A. 存在a使得恒成立B. 存在a使得在R上恰有3个单调区间C. ，在R上不可能有4个零点D. ，不存在小于0的极大值点13. 已知平面向量，，且，则__________.14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是__________.15. 设函数是奇函数的导函数，当时，，则不等式的解集为__________.16. 已知球O的半径为，以球心O为中心的正四面体的各条棱均在球O的外部，若球O的球面被的四个面截得的曲线的长度之和为，则正四面体的体积为__________.17. 在条件①②③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在中，角的对边分别是求的面积.18. 已知数列的前n项和，且证明：数列为等差数列；若，求数列的前n项和19. 第24届冬季奥林匹克运动会即2022年北京冬季奥运会，共开设7个大项，15个分项，109个小项，是我国2022年标志性大型活动，而冬奥会的成功举办离不开冰雪运动的蓬勃发展，也是全民普及发展冰雪运动的契机．某商场按月订购一批滑雪设备，每销售一台获利润200元，未销售的设备返回厂家，返回厂家便会每台亏损50元，根据数据统计，每天的设备需求量与当天的最低温度有关，若最低气温位于区间需求量为100台；最低气温位于区间需求量为200台；最低气温位于区间需求量为300台．公司销售部为了确定2022年11月份的订单计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：最低气温天数112536162以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率．若现有甲、乙两地，根据气象报告，甲、乙两地于冬奥会开幕式当天最低温度在的概率分别为和，两地同时在此最低温度区间的概率为，求乙地在此区间时，甲地也为此区间的概率是多少？若公司销售部以每日销售利润单位：元的数学期望为决策依据，计划2022年11月份每日订购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？并对应列出每日销售利润Y的分布列．20. 如图，在四边形PDCB中，，，，沿BA将翻折到的位置，使得作出平面SCD与平面SBA的交线l，并证明平面点Q是棱SC上异于S，C的一点，连接QD，当二面角的余弦值为时，求此时三棱锥的体积．21. 如图，已知椭圆：，且离心率为，抛物线：点是椭圆与抛物线的交点．求曲线和曲线的方程．过点P作斜率为的直线交椭圆于点A，交抛物线于点点A，B异于点过点P作与直线的倾斜角互补的直线，且直线交抛物线于点C，交椭圆于点点C，D异于点记的面积为，的面积若，求k的取值范围．22. 已知当时，判断的单调性；若对恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的运算和模，考查计算能力，属于基础题.利用复数的运算法则和模长公式即可求解.【解答】解：由题意，得，故，故选2.【答案】D【解析】【分析】本题考查含参数的交集运算问题，解含参的一元二次不等式，绝对值不等式，区间，属于较易题．求出集合，集合，由，可得，列出不等式组，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：不等式，可化为，解得，即集合，因为集合，因为，所以，则，解得，即实数m的取值范围是故选：3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了空间中的共面问题，充分、必要、充要条件的判断，属于较易题．利用公理2可知四点不共面，则由它们确定的直线一定不相交，根据充分、必要、充要条件的判断，可知甲是乙的充分不必要条件．【解答】解：，F，G，H是空间四点且不共面，直线EF和GH不相交，甲是乙成立的充分条件，若直线EF和GH不相交，则它们可能平行，，F，G，H四点共面，甲是乙成立的不必要条件，故甲是乙成立的充分不必要条件．故选：4.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式及其前n项和公式，等比数列的性质，属于较易题.方法一：当时，不成立；当，利用等比数列的前n项和公式以及通项公式，结合求出，由即可求出.方法二：由求出，利用等比数列的性质可得，进而求出.【解答】解：方法一由题意知，，，当时，，，，当，则，化简可得，又，故.方法二由，可得，又，故.故选：C.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二倍角正切公式，利用同角三角函数基本关系化简，两角和与差的正弦公式，属于较易题．利用同角三角函数基本关系求出的值，根据求出的值，利用同角三角函数基本关系分别求出与的值，利用二倍角正切公式即可求出的值．【解答】解：，且，，，，，，，故选：6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的综合运用，属于中档题.结合二项式定理的性质求出n的值，然后通过二项展开式的通项公式求出项的系数即可.【解答】解：因为，所以，则二项式，因为的展开式的通项为，故分别令，，可得展开式中项的系数为故选：7.【答案】D【解析】【分析】本题考查求双曲线的离心率，双曲线的定义，利用余弦定理解三角形，属于中档题．设，由题意得，，由双曲线定义可知，利用余弦定理可得c与a的关系式，进而由即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设，则，，由双曲线定义可知，则，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，因为，所以，即，所以故选：8.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用导数判断已知函数的单调性，利用导数比较大小，属于中档题.设，利用导函数判断函数的单调性，，，，利用函数的单调性即可得到a，b，c的大小顺序.【解答】解：设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，，，，因为，所以，所以，所以.故选：A.9.【答案】BC【解析】【分析】本题考查了扇形图，属于基础题．根据统计图表中的信息，设扶贫前销售收入为a，则扶贫后销售收入为2a，对四个选项逐一计算判断即可得到答案．【解答】解：设扶贫前销售收入为a，扶贫后销售收入为2a，对于A，扶贫前该村的城乡集贸市场销售渠道的收入为，扶贫后该村的城乡集贸市场销售渠道的收入，所以扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入增加，故选项A错误；对于B，扶贫前该村的自媒体销售渠道的收入为，扶贫后该村的自媒体销售渠道的收入为，所以扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上，故选项B正确；对于C，扶贫前该村的农产品批发市场销售渠道的收入为，扶贫后该村的农产品批发市场销售渠道的收入，所以扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍，故选项C正确；对于D，扶贫前该村的农产品电商销售渠道收入为，扶贫后该村的农产品电商销售渠道收入，所以扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的八倍，故选项D错误．故选：10.【答案】AD【解析】【分析】本题考查直线与圆的交点坐标、弦长，直线与圆的位置关系的判断及求参，直线过定点问题，两条直线的交点坐标，点与圆的位置关系的判定，属于中档题．把直线l的方程化为，令，求出定点坐标，即可判断A；验证定点在圆C内，即可判断B；求出点P到直线l的最小值为0，即可判定C；根据弦长分别求出其最大值与最小值，即可判断【解答】解：直线l：，令，解得，即直线l过定点，故A正确；由，故点在圆C内，则直线l过圆C内定点，即直线l与圆相交恒成立，且点P到直线l距离最小值为0，故B错误，C错误；圆心，，定点，则，则圆心C到直线l距离d的最大值为，此时弦长取最小值为，弦长最大值为圆的直径为4，故D正确．故选：11.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查直线与平面所成角的向量求法，空间向量的数量积运算，简单组合体柱、锥、台的表面积与体积，线面垂直的性质，求正弦型函数的最值，属于较难题.根据条件可得P点的轨迹，以点A为原点，AB、AD、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图2所示的空间直角坐标系对于A，求出点P的轨迹的长度，即可判断A；对于B，设点，分别求出与，进而求出的值，即可判断B；对于C，取平面的法向量为，根据求出直线MP与平面所成角的正弦值，即可判断C；对于D，挖去部分为半圆锥，求出原正方体的表面积和挖去部分面积，可得新增部分面积，即可判断【解答】解：如图，取AD的中点N，则面ABCD，又面ABCD，即，因为，，所以点P的轨迹是以点N为圆心，半径为2的圆位于正方形ABCD内的部分，如图1所示，以点A为原点，AB、AD、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，则，，，设点，选项A，点P的轨迹的长度为，故A正确；选项B，，，，故B错误；选项C，取平面的法向量为，，当且仅当时，等号成立，故C正确；选项D，如图1，挖去部分为半圆锥，原正方体的表面积为，挖去部分面积为，新增部分面积为，所以新几何体的表面积为，故D正确．故选：12.【答案】AD【解析】【分析】本题考查利用导数判断已知函数的单调性，利用导数研究函数的零点，利用导数求已知函数的极值点含参，一元二次不等式存在性问题，属于较难题．利用不等式恒成立问题可判断A，利用导数判断已知函数的单调性可判断B，利用韦达定理及函数的零点可判断C，利用导数研究函数的极值点可判断【解答】解：，令，则，令，则，恒成立，所以恒成立，故A正确；，当或1时，有2个单调区间，当且时，有4个单调区间，故B错误；取，则，令，则，，所以有两个零点，，又，所以，，故有4个零点，，故C错误；，若存在小于0的极大值点，则，且时，，所以为的极小值点，矛盾，故D正确．故选：13.【答案】2或4【解析】【分析】本题考查向量平行共线关系的坐标表示，属于较易题．由得出关于m的方程，即可求得m的值．【解答】解：由题意可得，化简可得，即，解得或故答案为：2或14.【答案】【解析】【分析】本题考查利用正弦型函数的单调性解决参数问题，属于中档题．由题意结合正弦型函数的单调增区间，列关于的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围．【解答】解：由题意知，函数，令，可得，当时，则，则函数在上单调递增，由于函数在上单调递增，可得，解得故答案为：15.【答案】【解析】【分析】本题考查利用导数判断已知函数的单调性，利用函数的奇偶性求函数值，属于中档题．构造新函数，利用导数判断函数的单调性，由函数的奇偶性，即可得出不等式的解集．【解答】解：因为函数为奇函数，且，所以，当时，，两边同时乘，可得，即，令，由题意可知，在单调递减，且，所以当时，，时，，从而当时，，时，，由于是奇函数，所以当时，，时，，因此的解集是故答案为：16.【答案】【解析】【分析】本题考查了空间几何体的截面问题，棱锥的体积，属于中档题．设正四面体棱长为a，用a表示出斜高和体高，在和中，由可得a的值，进而得出棱锥的体积．【解答】解：由题意知，正四面体截球面所得曲线为四个半径相同的圆，每个圆的周长为，半径为1，则球心O到正四面体各面的距离为，设正四面体棱长为a，如图所示，则斜高，正四面体的高，在和中，，即，故，故故答案为：17.【答案】解：若选①：由正弦定理得，即，所以，因为，所以又，，，所以，所以若选②：由正弦定理得因为，所以，，化简得，即，因为，所以又因为，所以，即，所以若选③：由正弦定理得，因为，所以，所以，又因为，所以，因为，，所以，所以，得，所以又，，，所以，所以【解析】本题考查三角形面积公式，正弦定理及变形，利用余弦定理解三角形，由三角函数值求角，正余弦齐次式的计算，利用诱导公式化简，属于中档题．任选一条件，由正弦定理求得角A的大小，利用余弦定理求得bc的值，利用三角形面积公式即可求得的值．18.【答案】解：当时，由，得或，因为，所以，由，得①当时，②由①-②，得，整理得，因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，由得，，所以数列的前n项和【解析】本题考查裂项相消法求和，等差数列的判定，数列的前n项和及与的关系，属于一般题．由已知数列递推关系式，利用，，可得，，即可证明数列为等差数列．由可以求出，进而可得数列的通项公式，利用裂项消项法求和，即可得到数列的前n项和19.【答案】解：设甲地温度在的概率为，乙地温度在的概率为，根据题意，，，；设11月份这种滑雪设备每日需求量为X台，，，，①当每日定购200台时，时，，则，时，，则，时，，则，利润Y的分布列为：Y150004000040000P所以元；②当每日定购250台时：时，，则，时，，则，时，，则，所以利润Y的分布列为：Y125003750050000P所以元，因为，所以选择订购250台时利润最大.【解析】本题考查条件概率的乘法公式，离散型随机变量的分布列及其均值，属于中档题.利用条件概率公式进行计算，即可得到所求事件的概率；先分别求出每日订购200台或250台的分布列，利用随机变量的期望公式求出、，再比较与的大小即可得出结论.20.【答案】证明：如图，延长BA，CD相交于点E，连接SE，则SE为平面SCD与平面SBA的交线在中，，，，则，故，，，，SA，AB均在平面SAB内，平面SAB，，平面SAB，在平面SAB内，则，，，，，，，又，BS与BC均在平面CSB内，平面CSB，即平面CSB；解：由知，，，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，设，则，则，设是平面QBD的一个法向量，则，取，可得，是平面CBD的一个法向量，则，解得，所以点Q是SC的中点，所以综上所述：当二面角的余弦值为时，三棱锥的体积为【解析】本题考查棱锥的体积，平面与平面所成角的向量求法，线面垂直的判定，线面垂直的性质，属于较难题．延长BA，CD相交于点E，连接SE，则SE为平面SCD与平面SBA的交线l；在中，求解三角形可得，进一步证明平面SAB，得到平面SAB，则，再证明，即可得到平面CSB，从而可得平面CSB；由知，，，，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，分别求出平面QBD的一个法向量与平面CBD的一个法向量，由二面角的余弦值为可得点Q是SC的中点，进而可得三棱锥的体积．21.【答案】解：因为曲线过点，代入得，所以曲线的方程为，因为曲线过点，且离心率为，所以，，又因为，所以，，所以曲线的方程为设点，，，，由题意可设直线的方程为，由，得，所以，即，由，得，所以，即，因为直线与直线的倾斜角互补，所以直线的方程为，同理可得，，所以，，因为，所以，因为，所以，即，所以，又因为，所以【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系及其应用，直线与抛物线位置关系及其应用，椭圆的标准方程，抛物线的标准方程，三角形面积公式，属于困难题．由曲线过，代入求出p的值，可得抛物线方程；由曲线过，且离心率为，可得可得a、b、c的关系式，结合求出a、b、c的值，即可得到椭圆的标准方程；①设点点，，，，设直线的方程为，分别将直线与椭圆的方程、直线与抛物线的方程联立，先由根与系数的关系求出与，同理求出与，再求出与，进而得到关于k的表达式，根据可得关于k的不等式组，解不等式即可得到k的取值范围．22.【答案】解：当时，，则，令，则，因为，时，，时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以函数在R上单调递增．，则，由可知，则，当时，则，当时，，所以函数在上单调递增，时，，时，.当时，在时恒成立.当时，令，则，令，则，因为时，，所以，所以导函数在上单调递增，因为，时，，时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，，由零点存在定理可知，存在使，且时，，所以在上单调递减，所以，所以，与条件矛盾.综上：m取值范围是.【解析】本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题，利用导数求函数的单调区间不含参，属于较难题.第21页，共21页当时，函数，求出导函数，令，利用导数求函数单调性，即可得证.求出导函数，由可知，则，利用导数判断函数在上单调性.当时，在时恒成立.当时，令，证明导函数在上单调递增，由，，根据零点存在定理可知存在使，时，，则函数在上单调递减，推出与条件矛盾.综合上述两种情况即可得到实数m 的取值范围.。
2021-2022年高三第二次质量调查(二模)数学(理)
2021-2022年高三第二次质量调查（二模）数学（理）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}2|4,|4A x x B x x =≤=>，则A ．B ．C ．D ．2.设变量满足约束条件2602600x y x y y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则目标函数的最小值为A ．6B ． 10C ．12D ．183.在中，若2,60,AB B ABC =∠=∆的面积为，则A ． B. C ． D ．4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为A ．22B ．24C ． 39D ．415.对于实数，“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.若双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的一个焦点为，过F 点的直线与双曲线交于A,B 两点，且的中点为，则E 的方程为A ．B ．C ．D ．7.如图，等腰梯形中，若分别是上的点，且满足，当时，则有A ．B ．C ．D ．8.定义一种运算，若，当有5个不同的零点时，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上。
.9. 已知复数，则复数的虚部是 . 10.的展开式中的常数项为 .（用数字作答）11. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .12.已知抛物线的参数方程为（t 为参数），焦点为F,直线与该抛物线交于A,B 两点，则的面积为 .13.设是定义在R 上连续的偶函数，且当时，是单调函数，则满足条件的所有之积是 .14．已知是奇函数，当时，则曲线在点处的切线方程是 .三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、（本小题满分13分）已知函数()22sin 4sin22x f x x m ωω=-++（其中），且当时，的图象在轴右侧得到第一个最高点.（1）求函数的最小正周期；（2）若在上的最大值为5，最小值为p ，求m 和p 的值.16、（本小题满分13分）某商场搞促销活动，规定顾客购物达到一定金额可抽奖，最多有三次机会.每次抽中，可依次分别获得20元，30元和5元的奖金，顾客每次抽中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可以选择继续抽奖，若有任何一次没有抽中，则连同前面所得奖金也全部归零，结束抽奖.顾客甲第一次、第二次、第三次抽中的概率分别为，选择继续抽奖的概率均为，且每次是否抽中互不影响.（1）求顾客甲第一次抽中，但所得奖金为零的概率；（2）设该顾客所得奖金总数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.17、（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，平面，平面,且为的中点，为的中点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值.18、（本小题满分13分）已知等差数列满足的前项和为（1）求数列的通项公式及前项和；（2）令，求数列的前项和.19、（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>经过点，且离心率为 （1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的右顶点为A,若直线与椭圆E 相交于M,N 两点（异于A 点），且满足，试证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.20、（本小题满分14分）已知函数()()2ln 0.a f x ax x a x=-->（1）当时，求函数零点的个数；（2）讨论的单调性；（3）设函数，若在上至少存在一个点，使得成立，求实数的取值范围.V 33337 8239 船23960 5D98 嶘l]%36462 8E6E 蹮31189 79D5 秕28063 6D9F 涟{25215 627F 承。
2021-2022年高三第二次模拟考试理数卷 含答案
2021年高三第二次模拟考试理数卷含答案注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合，，若，则等于（A）（B）（C）或（D）或（2）已知复数，则=（A）（B）（C）（D）（3）下列命题中的假命题是（A）, （B）,（C）, （D）,（4）将4名学生分到三个不同的班级，在每个班级至少分到一名学生的条件下，其中甲、乙两名学生不能分到同一个班级的概率为（A）（B）（C）（D）（5）等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则公比为（A）或（B）（C）（D）或开始a输入1,0k S==1(21)(21)S Sk k=+-+1k k=+?S a>是否k输出结束（6）阅读如图所示的程序框图，若输入，则输出的是（A）（B）（C）（D）（7（为坐标原点），则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）（8）已知角的终边在射线上,则（A）（B）（C）（D）（9）一个几何体的三视图如图所示,（A）（B）（C）（D）（10）函数的图象可能是下列图象中的（A）（B）（C）（D）（11）已知是抛物线上的一个动点，是椭圆上的一个动点，是一个定点，若∥轴，且，则的周长的取值范围为（A）（B）（C）（D）（12）已知定义在上的函数满足，且，，则方程在区间上的所有实数根之和为（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）二项式的常数项为 .(用数字作答)（14）已知正方体的各顶点都在同一球面上，若四面体的表面积为，则球的体积为____________.（15）已知，,，点在内，且，设，则等于__________.（16）已知函数是定义在上不恒为的函数，且对于任意的实数满足，，，，给出下列命题：①；②为奇函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列.222正视图侧视图俯视图22C 1B 1A 1DE CBA其中正确的命题是___________.(写出所有正确命题的序号) 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，已知. （I ）求角；（II ）若,求的取值范围.（18）（本小题满分12分）已知侧棱垂直于底面的三棱柱的所有棱长都相等，为中点，在棱上，且平面. （I ）证明：平面平面； （II ）求二面角的余弦值.（19）（本小题满分12分）某校有1400名考生参加市模拟考试，现采取分层抽样的方法从文、理考生中分别抽取20份和50份数学试卷，进行成绩分析，得到下面的成绩频数分布表：（I ）估计文科数学平均分及理科考生的及格人数（90分为及格分数线）； （II ）在试卷分析中，发现概念性失分非常严重，统计结果如下：（i ）问是否有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关？（ii ）从文科这20份试卷中随机抽出2份，设为“概念失分”的份数，求的分布列和数学期望.附：2.072 2.7063.841 6.635（20）（本小题满分12分）已知抛物线方程为，过点作直线与抛物线交于两点,，过分别作抛物线的切线，两切线的交点为.（I）求的值；（II）求点的纵坐标；（III）求△面积的最小值.（21）（本小题满分12分）已知函数(为非零常数).（I）当时，求函数的最小值；（II）若恒成立，求的值；（III）对于增区间内的三个实数(其中)，证明：.请考生在第（22）～（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆的直径，是延长线上一点，，割线交圆于点,，过点作的垂线，交直线于点，交直线于点.（I）求证：;（II）求的值.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线:，在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的极坐标方程为.（I）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的倍、倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；（II）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（I）当时，求的解集；（II）当时，恒成立，求实数的集合.数学试题参考答案及评分标准（理科）说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一．选择题二．填空题（13）；（14）；（15）；（16）①②③④.三. 解答题（17）（本小题满分12分）解：（I）由已知得, ……………………………………2分∴，∵，∴. …………………………………4分（II）法一：由余弦定理得，……………………………6分∴（当且仅当时取等号），…………9分解得. ………………………………11分F A BC ED A 1B 1C1又，∴，∴的取值范围是. …………………………………12分 法二：由正弦定理得， ……………………………6分又，∴)]sin([sin 34)sin (sin 34B A A C A c a ++=+=+， ………7分， ……………8分. ………………………………………10分 ∵，∴，∴∴的取值范围是. …………………………………………………12分（18）（本小题满分12分） 解法1：（I ）证明：取中点为,连结. ∵∥,∥，∴∥，且确定平面. ∵平面，平面， 平面平面，∴， …………………………2分 ∴四边形为平行四边形.∵，∴为的中点. ……3分连结，可知.为中点，∴，∵平面， ∴∵，∴平面. …………………5分∴平面，∵平面，∴平面平面. ………………………………………6分 （II ）如图,以为坐标原点建立空间直角坐标系,设棱长为. ,.()()()11113,,2,0,2,,0,2,0BC a a a DC a a AC a =-==, 设平面的法向量为,由即取，得平面的一个法向量. …………10分同理设平面的法向量为, 由得平面的一个法向量为 ， ………11分设所求二面角为，则. …………………………12分 解法2：（I ）设线段的中点为，连接. 以所在的直线为轴，所在的直线为轴， 过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系. …1分 设棱柱的棱长为, 则由已知可得：,,,, ,,,， ∴, …………………4分 设平面的法向量为，则有即取,则，∴.………………………………………6分连接, 则由已知条件可知. ∴平面的法向量为.333(2)(,,0)02222m EA a a a⋅=--⋅--=-=,∴，∴平面平面. ………………………………………8分(II) 设平面的法向量为. ∵,,∴即取，则，∴.…………………………………………10分设二面角的大小为,则由图形可知为锐角,且.∴二面角的余弦值为. ……………………………………………12分（19）（本小题满分12分）解: （I）∵1524547581053135376.520⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴估计文科数学平均分为. ………………………………………………2分∵，，∴理科考生有人及格. …………………………………………………4分（II）（i）706.24.145255020)3052015(7022<=⨯⨯⨯⨯-⨯=K，………………………………5分故没有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关. …………………………6分（ii），………………………………………………7分,,. ………10分的分布列为……………………………11分的数学期望为. ………………………12分（20）（本小题满分12分）解：（I）由已知直线的方程为，代入得，，∴，. …………………………2分由导数的几何意义知过点的切线斜率为，…………………………3分∴切线方程为，化简得①………………4分同理过点的切线方程为②…………………6分由，得，③将③代入①得，∴点的纵坐标为. ………………………7分（III）解法1：设直线的方程为，由（I）知，，∵点到直线的距离为，………………………………………8分线段的长度为22122122114)(1kxxxxkxxAB+⋅-+=+-=. …………………………………………9分28)2(4124142212322222≥+=+⋅+⋅++⋅=∆k k k k k S PAB， ………………11分当且仅当时取等号，∴△面积的最小值为. …………………12分解法2：取中点，则点的坐标为， ………………8分4282)(4282)(282121212212221=++-⋅≥++-=++=x x x x x x x x x x PQ ，………9分， ……………………………………………………11分△的面积（当且仅当时取等号），∴△面积的最小值为. ………………………………………………12分 （21）（本小题满分12分） 解：（I ）由，得， …………………………………1分 令，得. 当，知在单调递减； 当，知在单调递增；故的最小值为. …………………………………………3分 （II ），当时，恒小于零，单调递减. 当时，，不符合题意. ……………………………………4分 对于，由得 当时，，∴在单调递减； 当时，，∴在单调递增；于是的最小值为. ………………………………6分 只需成立即可，构造函数.∵，∴在上单调递增，在上单调递减，则，仅当时取得最大值，故，即. …………8分 （III ）解法1： 由已知得：，∴， 先证，，()()()()2212212121()()(2)kx f x f x f x f x f x x x ke x x -'<⇔-<---. ………………………………9分 设，∴在内是减函数，∴，即. …………………………………11分 同理可证，∴. ……12分 （III ）解法2： 令得. 下面证明.令，则恒成立，即为增函数. ……9分))]()(()()[(1)()()(122121212122x f x f x f x x x x x x x f x f x f --'--=---'，构造函数（），，，故时，，即得，同理可证. ……………………………………10分 即，因为增函数，得，即在区间上存在使； 同理，在区间上存在使，由为增函数得. ……………………………12分 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解法1：（I ）连接，则， 即、、、四点共圆.∴. …………………………3分 又、、、四点共圆，∴∴. ………………………5分 ∵， ∴、、、四点共圆， ………………7分 ∴，又， ………9分. ………………………………………10分 解法2：（I ）连接，则，又 ∴90=∠+∠=∠+∠EAP PEA PDB PDF ，∵，∴. ………5分 （II ）∵，， ∴∽，∴,即, …………7分又∵， …………………9分∴. ………………………………………10分（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（I ）由题意知，直线的直角坐标方程为， …………………2分 由题意知曲线的直角坐标方程为， ………………………4分 ∴曲线的参数方程为（为参数）. …………………………6分 （II ）设，则点到直线的距离56)3sin(456sin 2cos 32--=--=ϕπϕϕd ， …………………………8分当时，即点的坐标为时，点到直线的距离最大，此时. ………………………………………10分 （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（I ）解：原不等式可化为， 当时，，则，无解； …………………………1分当时，，则，∴；………………………3分当时，，则，∴，………………………5分综上所述:原不等式的解集为．…………………………6分（II）原不等式可化为，∵，∴，……………………………7分即，故对恒成立，当时，的最大值为，的最小值为，∴实数的集合为．…………………………………10分。
2021-2022年高三第二次质量检测理科数学含答案
2021-2022年高三第二次质量检测理科数学含答案理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．抛物线的准线方程是，则的值为（）A．4 B．C．D．2.已知命题,使命题,都有给出下列结论：①命题“”是真命题②命题“”是假命题③命题“”是真命题④命题“”是假命题其中正确的是A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③3．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题正确的 A. B. C.D.4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. B.B.C. 1 D. 25.设等差数列的前项和为、是方程的两个根，则等于A. B.5 C. D.-56. 已知圆的圆心为抛物线的焦点,且与直线相切,则该圆的方程为A. B.C. D.7. 直线与抛物线所围成封闭图形的面积是( )俯视图侧视图正视图A． B． C．D．8．把函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是( ) A． B． C． D．9.已知(3)4,1()log,1aa x a xf xx x--⎧=⎨≥⎩＜，是（-，+）上的增函数，那么的取值范围是A．(1，+) B.(-,3) C.[，3) D.(1,3)10．定义在上的奇函数对任意都有，当时，，则的值为( )A． B． C．2 D．11. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是( )A． B． C． D．12．设x，y满足条件20360,(0,0)0,0x yx y z ax by a bx y-+≥⎧⎪--≤=+>>⎨⎪≥≥⎩若目标函数的最大值为12，则的最小值为A．B．C．D．4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.已知圆的圆心在直线上,其中，则的最小值是.14.已知向量,，若函数在区间上存在增区间，则的取值范围为.15. 已知直线与曲线相切，则a的值为_________.16．对正整数n，设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则的前n项和是.三、解答题（17-21题各12分，22题14分，共74分.请详细写出解题过程，否则不得分）17. （本小题满分12分）已知的角A、B、C所对的边分别是，设向量, , （Ⅰ）若∥，求证：为等腰三角形；（Ⅱ）若⊥，边长，，求的面积.18. （本小题满分12分）已知各项都不相等的等差数列的前6项和为60，且为和的等比中项. ( I ) 求数列的通项公式；(I I ) 若数列满足，且，求数列的前项和. 19．（本小题满分12分） 已知函数23()sin cos 3cos 2f x x x x ωωω=⋅+-（），直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为． （I ）求的表达式；（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 20．（本题满分12分）如图，四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是与的交点，平面，是侧棱的中点，异面直线和所成角的大小是60.（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值. 21．（本小题满分12分） 已知函数21()3(1)ln 2f x x x a x =-+-，，，其中且. （I ）求函数的导函数的最小值；（II ）当时，求函数的单调区间及极值；（III ）若对任意的，函数满足，求实数的取值范围.22. （本小题满分14分）已知动圆过定点，且与直线相切，椭圆的对称轴为坐标轴，一个焦点为，点在椭圆上. (1)求动圆圆心的轨迹的方程及椭圆的方程；(2)若动直线与轨迹在处的切线平行，且直线与椭圆交于两点，试求当面积取到最大值时直线的方程.沂南一中高三第二次质量检测考试试题理科数学答案一、选择题CDBCA CCDCA AD二、填空题13.4 14、 15、2 16. 三．17. (Ⅰ) ∵∥， ∴，由正弦定理可知，，其中R 是外接圆的半径，∴.因此，为等腰三角形.……6分（Ⅱ）由题意可知，，即(2)(2)0,.a b b a a b ab -+-=∴+= 由余弦定理可知，2224()3,a b ab a b ab =+-=+-即，(舍去)∴11sin 4sin 223S ab C π==⋅⋅=…………12分 18.解：（Ⅰ）设等差数列的公差为()，则()()1211161560,205,a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩…2 解得 (4)分∴． ………………5分（Ⅱ）由，∴，……………6分()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+()()()11432n n n n =--++=+． ∴…8分∴()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭…10分 111111123242n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭()()21311352212412n n n n n n +⎛⎫=--=⎪++++⎝⎭…12分. 19.解：（Ⅰ）11()sin 2sin 22sin(2)223f x x x x x πωωωω=+==+3分由题意知，最小正周期，，所以， ∴ ----------6分（Ⅱ）将的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象.()sin(2).6g x x π=-所以 ------------------------9分令，∵,∴，在区间上有且只有一个实数解，即函数与在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图像可知或∴或. --------------------------------------12分 20.解：（Ⅰ）连结，……1分四边形是正方形，是的中点，…2分 又是侧棱的中点，//.又平面，平面，直线//平面.…………4分 （Ⅱ）所成角为，,为等边三角形......5分在中，,建立如图空间坐标系，(0,22,0),(0,0,22),(22,0,0).B S C -(0,42,0),(22,22,0),BD BC ∴=-=--…………………7分 设平面的法向量，则有 即 解得…………9分直线与平面所成角记为，则423sin .342nBD n BDθ===⨯…12分 21. 解：（I ）11()33a a f x x x x x--'=-+=+-，其中. 因为，所以，又，所以，当且仅当时取等号，其最小值为. 2……………………4分 （II ）当时，，2(1)(2)()3x x h x x x x--'=+-=.…5分 的变化如下表：0 0所以，函数的单调增区间是，；单调减区间是.……7分 函数在处取得极大值，在处取得极小值.……8分 （III ）由题意，21()(1)ln (1)2h x x a x ax a =+-->. 不妨设，则由得. 令21()()(1)ln 2F x h x x x a x ax x =+=+--+，则函数在单调递增.10分 21(1)1()(1)0a x a x a F x x a x x ---+-'=--+=≥在恒成立.即2()(1)10G x x a x a =--+-≥在恒成立. 因为1(0)10,02a G a -=->>，因此，只需. 解得. 故所求实数的取值范围为. …12分 22.解：（1）过圆心M 作直线的垂线，垂足为H. 由题意得，|MH|=|MF|,由抛物线定义得，点M 的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为....................3分设椭圆方程为，将点A 代入方程整理得解得 .故所求的椭圆方程为...............5分（2）轨迹的方程为，即.则，所以轨迹在处的切线斜率为，......7分 设直线方程为，代入椭圆方程得2222)24,440m x x m ++=++-=即因为 22)44(4)0m ∆=-⨯⨯->，解得；............9分设2121244m x x x x -+==所以||BC ==点A 到直线的距离为................12分.所以11 1.22ABCS ∆=≤= 当且仅当，即时等号成立，此时直线的方程为 ..................................14分31339 7A6B 穫M23302 5B06 嬆21069 524D 前; 21516 540C 同25896 6528 攨27767 6C77 汷~ 5Qd38845 97BD 鞽。
2021-2022年高三上学期二模考试数学理科试题含答案
2021年高三上学期二模考试数学理科试题含答案xx第一学期高三年级第二次模拟考试数学（理科）试题一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.已知全集U=R，集合A=｛x｜＞1｝，B=｛x｜x2+3x-4<0｝，则A∩B等于（）A.（0，1）B.（1，＋）C.（一4，1）D.（一，一4）2．已知复数z满足( i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是（）A. B. C. D.3．若向量，满足，，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．4．的展开式中常数项是（）A．5 B． C．10 D．5．下列说法中，正确的是（）A．命题“若，则”的逆命题是真命题B．命题“存在，”的否定是：“任意，”C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知，则“”是“”的充分不必要条件6.点在直线上移动，则的最小值是（）A.8B. 6C.D.7、执行如图的算法框图，如果输入p=5，则输出的S等于（）A. B. C. D.8.如图，矩形内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成，向矩形内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是( )A . B. C . D.9．在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）A．36个 B．24个 C．18个 D．6个10．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、一位同学种了甲、乙两种树苗各一株，分别观察了9次、10次得到树苗的高度数据的茎叶图如图（单位：厘米），则甲乙两种树苗高度的数据中位数和是12．观察各式：3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=，则依次类推可得；13．设函数f （x ）=则满足的x 的取值范围是________14． 若实数、满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且的最小值为，则实数的值为__15.选做题（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分） A （极坐标系与参数方程）极坐标系下曲线表示圆，则点到圆心的距离为 ； B （几何证明选讲）已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径 ．C （不等式选讲）若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数()()22sin cos 2cos 2f x x x x =++-．（1）求函数的最小正周期；（2） 当时,求函数的最大值,最小值．17. （12分）已知在等比数列中，，且是和的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和．18、(12分)如图，直三棱柱，，点M ，N 分别为和的中点．(1)证明：∥平面；(2)若二面角为直二面角，求的值．19. （12分）某市为响应国家节能减排建设的号召，唤起人们从自己身边的小事做起，开展了以“再小的力量也是一种支持”为主题的宣传教育活动，其中有两则公益广告：（一）80部手机，一年就会增加一吨二氧化氮的排放。
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2021年高三二模数学试题 含答案一、填空题（每小题4分，共56分）1．已知集合{}{}221,,0,1<<=-=x x B a A ，若，则实数的取值范围是2．函数cos ()sin ()y x x ππ22=+-+44的最小正周期为 ． 3．在等差数列中，已知则 ．4．若，是直线的倾斜角，则= ．（用的反正切表示） 5．设（i 为虚数单位），则 ．6．直角坐标系内有点A （2，1），B （0，2），将线段绕直线旋转一周，所得到几何体的体积为 ．7.已知平面向量，若，则8．设，行列式34210231D -=xa 中第3行第2列的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则a= ．9．某学生参加3门课程的考试。
假设该学生第一门、第二门及第三门课程取得合格水平的概率依次为，，且不同课程是否取得合格水平相互独立。
则该生只取得一门课程合格的概率为 ．10．已知是椭圆上的一点，为椭圆的左、右焦点，则的最小值为 ． 11．已知是等差数列，设．某学生设计了一个求的算法框图（如图），图中空白处理框中是用的表达式对赋值，则空白处理框中应填入：←____________．12．不等式对一切非零实数均成立，则实数的范围为13．平面直角坐标系中，为坐标原点.定义、两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y ，已知点，点M 是直线30(1)kxykk上的动点，的最小值为 ．14．当为正整数时，用表示的最大奇因数，如，设(1)(2)(3)(4)(21)(2)n n n S N N N N N N =+++++-+，则数列的前项（第11题图）和的表达式为 ．二、选择题（每小题5分，共20分）15．已知，是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（ ） （A ） 若, , 则； （B ）若, , 则 ； （C ）若, , 则 ； （D ） 若, , 则 ；16．以下是科学家与之相研究的领域不匹配的是（ ） （A ）笛卡儿—解析几何； （B ）帕斯卡—概率论；（C ）康托尔—集合论；（D ）祖暅之—复数论；17．已知各项均不为零的数列,定义向量，，. 下列命题中真命题是（ ） (A) 若总有成立，则数列是等差数列(B) 若总有成立，则数列是等比数列 (C) 若总有成立，则数列是等差数列(D) 若总有成立，则数列是等比数列 18．方程的正根从小到大地依次排列为，则正确的结论为（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）三、解答题（12+14+14+16+18，共74分）19．已知向量()()wx a b wx a sin 3,1,1,cos 1+=+=（为常数且），函数在上的最大值为．（1）求实数的值；（2）把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，若在上为增函数，求的最大值．20．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，11,,AA AB AC AB AC M ===⊥是的中点，是的中点，点在上，且满足（1）证明：；（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角的最大值的正切值。
B21．近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售价格平均为100元，生产成本为80元。
从今年起工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。
设第n年每件小挂件的生产成本元，若玉制产品的销售价格不变，第n年的年利润为万元（今年为第1年）（1）求利润的表达式;（2）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？22．存在对称中心的曲线叫做有心曲线．显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线．若有心曲线上两点的连线段过中心，则该线段叫做有心曲线的直径．（1）已知点，求使面积为时，椭圆的直径所在的直线方程；（2）若过椭圆的中心作斜率为的直线交椭圆于两点，且椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，长度为半径作⊙，问是否存在定圆⊙，使得⊙恒与⊙相切？若存在，求出⊙的方程。
若不存在，请说明理由。
（3）定理：若过圆的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值．请对上述定理进行推广．说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分．23．已知数列中，，（1）试求的值，使数列是一个常数列； （2）试求的取值范围，使得数列是单调增数列；（3）若不为常数列，设，为数列的前项和，请你写出的一个值， 使得恒成立，并说明理由。
上海市普陀区xx 高三数学二模试卷答案一、填空题（每小题4分，共56分）1．已知集合{}{}221,,0,1<<=-=x x B a A ，若，则实数的取值范围是 2．函数cos ()sin ()y x x ππ22=+-+44的最小正周期为 ． 3．在等差数列中，已知则 ．4．若，是直线的倾斜角，则= ．（用的反正切表示） 5．设（i 为虚数单位），则 ．6．直角坐标系内有点A （2，1），B （0，2），将线段绕直线旋转一周，所得到几何体的体积为 ．7.已知平面向量，若，则8．设，行列式34210231D -=xa 中第3行第2列的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则 ．9．某学生参加3门课程的考试。
假设该学生第一门、第二门及第三门课程取得合格水平的概率依次为，，且不同课程是否取得合格水平相互独立。
则该生只取得一门课程合格的概率为 ．10．已知是椭圆上的一点，为椭圆的左、右焦点，则的最小值为 ． 11．已知是等差数列，设．某学生设计了一个求的算法框图（如图），图中空白处理框中是用的表达式对赋值，则空白处理框中应填入：←______．12．不等式对一切非零实数均成立，则实数的范围为13．平面直角坐标系中，为坐标原点.定义、两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y ，已知点，点M 是直线30(1)kxy k k 上的动点，的最小值为 ．14．当为正整数时，用表示的最大奇因数，如，设(1)(2)(3)(4)(21)(2)n n n S N N N N N N =+++++-+，则数列的前项和的表达式为 ．二、选择题（每小题5分，共20分）15．已知，是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（ ） （A ） 若, , 则； （B ）若, , 则 ； （C ）若, , 则 ； （D ） 若, , 则 ；16．以下是科学家与之相研究的领域不匹配的是（ ） （A ）笛卡儿—解析几何；（B ）帕斯卡—概率论；（C ）康托尔—集合论； （D ）祖暅之—复数论；17．已知各项均不为零的数列,定义向量，，. 下列命题中真命题是（ ） (A) 若总有成立，则数列是等差数列 (B) 若总有成立，则数列是等比数列 (C) 若总有成立，则数列是等差数列 (D) 若总有成立，则数列是等比数列18．方程的正根从小到大地依次排列为，则正确的结论为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）三、解答题（12+14+14+16+18，共74分）19．已知向量()()wx a b wx a sin 3,1,1,cos 1+=+=（为常数且），函数在上的最大值为．（1）求实数的值； （2）把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，若在上为增函数，求的最大值．20．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，11,,AA AB AC AB AC M ===⊥是的中点，是的中点，点在上，且满足（1）证明：；（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角的最大值的正切值。
21．近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售价格平均为100元，生产成本为80元。
从今年起工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。
设第n年每件小挂件的生产成本元，若玉制产品的销售价格不变，第n年的年利润为万元（今年为第1年）（1）求利润的表达式;（2）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？22．存在对称中心的曲线叫做有心曲线．显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线．若有心曲线上两点的连线段过中心，则该线段叫做有心曲线的直径．（1）已知点，求使面积为时，椭圆的直径所在的直线方程；（2）若过椭圆的中心作斜率为的直线交椭圆于两点，且椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，长度为半径作⊙，问是否存在定圆⊙，使得⊙恒与⊙相切？若存在，求出⊙的方程。
若不存在，请说明理由。
（3）定理：若过圆的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值．请对上述定理进行推广．说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分．23．已知数列中，，（1）试求的值，使数列是一个常数列； （2）试求的取值范围，使得数列是单调增数列；（3）若不为常数列，设，为数列的前项和，请你写出的一个值， 使得恒成立，并说明理由。
1、 2、 3、42 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、C 16、D 17、A 18、B 解：（1）()1cos 2sin()16f x x a x x a πωωω=+++=+++因为函数在上的最大值为，所以故 （2）由（1）知：，把函数的图象向右平移个单位，可得函数又在上为增函数，的周期即所以的最大值为2解：(1)以分别为轴，建立空间直角坐标系则111111(,,1),0,1,.()0110,222222PN AM PN AM PN λλ⎛⎫=--=⋅=-⨯+⨯-⨯=∴ ⎪⎝⎭（2）显然平面的一个法向量为则sin cos ,(PN n PN n PN nθλ⋅=<>==*）于是问题转化为二次函数求最值，而，当最大时，最大，即最大，由（*）式：解：（1）()(10)100(10)1001000f n n n n =+⨯-+=（2），故1000y =-，当时， 最大，最高利润为520万元。
B时，max max (sin ),(tan )25θθ==解：（1）设直线的方程为，代入椭圆方程得，则d AB ==解2S ===得 故直线的方程为 （2）存在⊙：与⊙恒相切，圆心为椭圆的左焦点由椭圆的定义知，两圆相内切。
（3）根据结论的一般性程度给与不同的评分．（问题1-4层）过圆的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值．②若过圆()()()2220x a y b r r -+-=>的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值．③过椭圆的一条直径的两个端点与椭圆任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值．④过有心圆锥曲线的一条直径的两个端点与曲线上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值．证明：设曲线上任一直径为异于的曲线上任一点。