2019-2020学年高中数学高一升高二复习讲义 第3讲 两角和与差及二倍角的三角函数 新人教A版.doc
高考数学一轮复习 第三章 三角函数与解三角形 第3讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式课件
＝
3sin sin
1100°°c－osco1s0°10°＝2sin110°－30°＝－12sin
20°＝－4.
2sin 20°
2sin 20°
答案：D
12/11/2021
(3)4sin 80°－csoins 1100°°等于( )
A. 3
B.－ 3
C. 2
D.2 2－3
解析：4sin
80°－csoins
第3讲 两角和与差及二倍角的 三角函数公式
12/11/2021
课标要求
考情风向标
1.经历用向量的数量积推导出两角差 本节复习时，应准确把握
的余弦公式的过程，进一步体会向量 公式的特征，活用公式
方法的作用. (正用、逆用、变形用、
2.能从两角差的余弦公式导出两角和 创造条件用)；重点解决
与差的正弦、余弦、正切公式，二倍 三角函数式的化简、求
∴2α∈π2，π，α∈π4，π2.∴cos 2α＝－2 5 5.又 β∈π，32π，
∴β－α∈π22α＋(β－α)]＝cos 2α·cos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝
－2
5
5×－3
1010－
55×
1100＝
22.又
α＋β∈54π，2π，故
α＋β
＝74π.故选 A. 答案：A
12/11/2021
难点突破 ⊙利用转化化归的思想探讨三角函数问题
例题：若 sinα－π4＝13，α∈0，π2，则 cos α 的值为(
)
4－ 2 A. 6
4＋ 2 B. 6
7
12
C.18
D. 3
12/11/2021
解析：方法一(推荐解法)，∵α∈0，π2，
高考数学一轮复习第三章第三讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件
3sin 17°＝12.
②解：因为 tan 60°＝tan(25°＋35°)＝1t－ant2an5°2＋5°ttaann3355°°＝ 3，
则原式＝ 3(1－tan 25°tan 35°)＋ 3tan 25°·tan 35°＝ 3.
考向 2 公式的变形
[例
3](1)存在角
θ，已知
(1＋sin θ∈(0，π)，则
答案：12
【题后反思】公式的一些常用变形
①1±sin α＝sin
α 2±cos
α22；
②sin 2α＝s2ins2inα＋αccoossα2α＝ta2nt2aαn＋α 1；
③cos2α＝ccooss22αα＋－ssiinn22αα＝11＋－ttaann22αα；
④tanα±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β). ⑤sin αcos β＝21[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； sin αsin β＝12[cos (α－β)－cos (α＋β)]； cos αcos β＝12[cos (α－β)＋cos (α＋β)]；
【变式训练】
1.(2022 年全国Ⅱ卷)若 sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 2cos α＋π4sin β，
Байду номын сангаас则( )
A.tan(α－β)＝1
B.tan(α＋β)＝1
C.tan(α－β)＝－1
D.tan(α＋β)＝－1
解析：由题意可得，sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β
答案：B
(2)(2023 年宿迁市校级月考)计算下列各式的值：
①2sin
47°－ 2cos
3sin 17°
2020高考数学第三章两角和与差的三角函数二倍角公式(第2课时)三角函数式的化简与求值课件
[解析] (1)∵cosA＝35，0<A<π，∴A 为锐角，且 sinA＝ 1－cos2A＝45.又 sinB ＝153<sinA，∴B<A，
∴B 为锐角且 cosB＝ 1－sin2B＝1123. ∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝6635.故选 D．
考点2 求值问题——多维探究
角度 1 给角求值 例 2 求下列各式的值．
(1)csions77°°＋－csoins1155°°ssiinn88°°； (2)tan20°＋4sin20°.
[解析] (1)原式＝scions1155°°－－88°°＋－csoins1155°°ssiinn88°°
A>B⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB
例 5 (1)设 A，B 是△ABC 的内角，且 cosA＝35，sinB＝153，则 sinC＝
( D)
A．6635或－1665
B．1665
C．1665或－6635
D．6635
(2)(2018·河北唐山一中质检)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A
＋C)，则△ABC的形状一定是
(D)
A．等边三角形
B．不含60°的等腰三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
[ 分 析 ] (1) 由 sinC ＝ sin(A ＋ B) ＝ sinAcosB ＋ cosAsinB 知 求 sinA 、 cosB 即
可．(2)利用cos(B＋C)＝－cosA，sin(A＋C)＝sinB及两角差的正弦经公式求解．
解法二：(从“名”入手，化异名为同名) 原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－12cos2αcos2β ＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－12cos2αcos2β ＝cos2β－sin2αcos2β－12cos2αcos2β ＝cos2β－cos2β(sin2α＋12cos2α) ＝1＋c2os2β－12cos2β＝12.
高考数学复习考点知识讲解课件20 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
2 cos(45°－ 15°) ＝
2×
3 2
＝
6 2.
(3)原式＝coss1in01°－0°co3ss1i0n°10°＝212cossin1100°－°co2s31s0i°n10°
＝4sin30°c2ossin1100°－°cocso1s03°0°sin10°
＝4sins3in02°－0°10°＝4.
— 返回 —
运用和、差、倍角公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用， 如 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
— 20 —
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
角度 2：辅助角公式的运用 【例 2】 化简：(1)sin1π2－ 3cos1π2； (2)cos15°＋sin15°； (3)sin110°－sin830°； (4)3 15sinx＋3 5cosx.
— 18 —
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
[解析]
(1)a ＝
3 2
cos29°－
1 2
sin29°＝
sin(60°－
29°)
＝
sin31°，
b
＝
1－c2os66°＝
2sin16° 2sin2233°＝ sin33°， c ＝ 1＋2tatann1261°6°＝ 1＋cocssoi1ns62211°66°°＝ 2sin16°cos16°＝ sin32°， 显 然
— 7—
(新教材) 高三总复习•数学
2．已知 cosα＝－45，α∈π，32π，则 sinα＋π4等于( C )
A．－
2 10
B．
2 10
2020届高三数学一轮复习 第3讲 两角和与差及二倍角的
第3讲 两角和与差及二倍角的三角函数★知 识 梳理1两角和与差的三角函数公式sin()αβ±=sin sin cos sin αβαβ+±cos()αβ±=cos cos sin sin αβαβm tan()αβ±=tan tan 1tan tan αβαβ±m2.二倍角公式sin 2α=2sin cos αα cos2α=22cossin αα-= 22cos 1α-=212sin α-tan 2α=22tan 1tan αα-3.半角公式2cos 12sin2αα-=， 2cos 12cos 2αα+= ， αααcos 1cos 12tan 2+-= αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+= 4.同角正余弦化积公式sin cos )a x b x x φ+=+，其中sin φ=；cos φ问题1。
不查表求值：=_______________考点1 两角和与差的正弦.余弦.正切题型1: 顺用公式例1:已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于（ ）例2.sin 155°cos35°－ cos25°cos235°=____________.1. cos 43cos77sin 43cos167oooo+的值为 ．2.若(,)2παπ∈，且4sin 5α=，则sin()cos 42παα--= ． 例3．已知()⎪⎭⎫⎝⎛∈==-ππββαπ,2,53sin ,21tan ,求()βα-2tan 的值.1. （07江苏）若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则tan tan αβ=g _____． 2.不查表求值2cos10sin 20cos 20︒-︒︒= ．题型2: 逆用公式例4．sin105cos105o o 的值为（ ）例5．(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)已知：向量1)a =-r，(sin 2,b x =r cos 2)x ，函数()f x a b =⋅r r，若()0f x =且0x π<<，求x 的值；例6．(2008·惠州市高三第三次调研考试第一问)在△ABC 中，已知角A 为锐角，且A A A AA A A f 222cos )2(sin )22(sin )22sin()2sin(]1)2[cos()(+----+--=πππππ.求f (A )的最大值；基础巩固训练1.求oo15tan 115tan 1-+的值.2．(华南师大附中2020届高三综合测试（二）)设2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+=A ．1318B ．1322C ．322D ．163．︒︒+︒︒167cos 43sin 77cos 43cos 的值为 。
高考数学总复习 第三章 第三节两角和与差及二倍角三角函数公式课时精练 理
高考数学总复习 第三章 第三节两角和与差及二倍角三角函数公式课时精练 理1.计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32解析：原式＝cos 45°＝22.故选B. 答案：B2．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值是( ) A.318 B.322 C.1318 D.1322解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 答案：B3．求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案：D4．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13 D.12解析：由tan θ＋1tan θ＝4得，sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，即112sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12.故选D. 答案：D5．cos π9cos 2π9cos 4π9＝( ) A.13 B.14 C.16 D.18解析：cos π9cos 2π9cos 4π9＝12sin π9·2sin π9cos π9cos 2π9·cos 4π9＝12sin π9·sin 2π9cos 2π9cos 4π9＝14sin π9sin 4π9cos 4π9＝18sin π9sin 8π9＝18sin π9sin π9＝18.故选D. 答案：D6. 若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α等于( ) A ．－79 B ．－13 C.13 D.79答案：C7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ等于( ) A ．－13 B.13 C ．－79 D.79解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝13， ∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1－2×19＝79. 又cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝－cosπ－π3－2θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ＝－79.故选C. 答案：C8．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β＝________________.解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，cos β＝35， ∴c os α＝45，sin β＝45. ∴cos(α＋β)＝cos αc os β－sin αsin β＝0.∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0＜α＋β＜π，故α＋β＝π2. 答案：π29．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan 2α 的值为______．解析：∵tan α＝－21＝－2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43. 答案：4310．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α＝________.解析：2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134. 答案：13411．若sin(π－α)＝45，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 2α－cos 2α2的值等于________．解析：∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45. 又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝35. ∴sin 2α－cos 2α2＝2 sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝425. 答案：42512．(2013·汕尾二模)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12. (1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数y ＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )的最大值及对应的x 的值．解析：(1)因为角α终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12， 所以sin α＝12，cos α＝－32， 所以tan α＝－33， ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1， ∴y max ＝2－1＝1，此时sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1,2x －π6＝2k π＋π2， 即x ＝k π＋π3，k ∈Z .13．(2013·梅州二模)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，若f (C )＝2,2 sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )，求tan A 的值．解析：(1)函数f (x )＝2cos 2 x ＋23sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， ∴函数的最小正周期为2π2＝π.(2)∵f (C )＝2，∴2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 C ＋π6＋1＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 C ＋π6＝12，∵0＜C ＜π，∴π6<2C ＋π6<2π＋π6，∴2C ＋π6＝5π6，C ＝π3；∵2 sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2 sin A sin C ，∴sin(A ＋C )＝sin A sin C ，即：sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A sin C ，即：t an A ＝sin C sin C －cos C ＝sin π3sin π3－cos π3＝3232－12＝3＋32.。
高考数学一轮复习 3.3两角和与差及二倍角三角函数公式课件 理
A．7
B．－7
栏 目 链 接
π 7 4 (2)已知 cos α－ ＋sin α＝ 3，则 sin α＋6π的值是( 5 6
A．－
2 3 5
2 3 B. 5 4 D. 5
4 C．－ 5
考点探究
点评： (1) 两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同
课前自修
基 础 回 顾
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin αcos β±cos αsin β 简记为Sα±β)； sin(α±β)＝_______________________( 栏 目 链 接
cos(α±β) ＝ _____________________________( 简记为 cos α cos β sin α sin β
π 3 θ＋cos 4 sin θ＝5，即 cos 3 2 18 θ＋sin θ＝ 5 ，平方得 1＋2sin θcos θ＝25， 7 ∴sin 2θ＝－ .故选 B. 25
π 3 π 解析：由 sin ＋θ＝ 得 sin cos 4 4 5
课前自修
π α 1 3．若 cos α＝ ，其中 α∈－ ，0，则 sin 的值是 2 2 2
2tan α tan 2α＝____________( 简记为T2α)． 1－tan2α
课前自修
三、二倍角余弦公式的变式
1＋cos 2α 1－cos 2α 2 1．降幂公式：cos α＝ ，sin α＝ . 2 2
2
2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
栏 目 链 接
4 4 解析：∵tan(π＋2α)＝－ ，∴tan 2α＝－ ，由二倍角公 3 3 2tan α 4 1 式得 ＝－ ，又 α 为第二象限角，∴tan α＝－ . 2 3 2 1－tan α
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第5章三角函数、解三角形 第3节两角和与差的三角函数、二倍角公式
B.tan(α-β)=-1
C.tan(α+β)=1
D.tan(α+β)=-1
解析 因为 tan
sin-cos
β=
,所以
sin+cos
tan
以 1+tan αtan β=tan α-tan β,所以
tan-1
β=
,所以
tan+1
tan αtan β+tan β=tan α-1,所
tan-tan
=
α- α
.
α+ α
2.两角和与差的正切公式的变形:
(1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);
(2)tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).
3.升幂公式:1±sin 2α=(sin α±cos α)2;1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α.
+
π
2cos(α+ )sin
4
π
2sin(α+ )cos
4
π
2sin[(α+4)+β]=
β.又 sin(α+β)+cos(α+β)=2 2cos
3
sin αcos
1
sin(α-β)=3,cos
αsin
αsin
1
β=6,则
1
β=6,∴sin(α-β)=sin
1
β= . ∵sin(α+β)=sin
2
αcos β-cos αsin β=
αcos β+cos αsin
2 2 1
高考数学一轮复习第三章第3讲两角和与差的三角函数二倍角公式第1课时三角函数公式的基本应用课件
(2)已知 sinα＝35，a∈(π2，π)，tan(π－β)＝12，则 tan(α－β)的值为
A．－121
B．121
C．121
D．－121
( C) ( A)
(3)(2017·山东)已知 cosx＝34，则 cos2x＝
A．－14
B．14
C．－18
D．18
(4)(2017·课标全国Ⅲ)已知 sinα－cosα＝43，则 sin2α＝
名师讲坛
辅助角公式的应用
asinα＋bcosα＝
a2＋b2(sinα·
a2a＋b2＋cosα·
b a2＋b2)
不妨记 cosφ＝ a2a＋b2，sinφ＝ a2b＋b2，
则 asinα＋bcosα＝ a2＋b2(sinαcosφ＋cosαsinφ)＝ a2＋b2sin(α＋φ).
应用 1 求值
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导 公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
〔变式训练 2〕
(1)(2016·全国卷Ⅱ)若 cos(π4－α)＝35，则 sin2α＝
( D)
A．275
B．15
C．－15
D．－275
(2)(2018·山西康杰中学月考)若ssiinnαα＋ －ccoossαα＝3，tan(α－β)＝2，则 tan(β－2α)
(2)(文)∵sin2α＝23，∴cos2(α＋π4)＝1＋cos22α＋π4＝1－s2in2α＝1－2 23＝16，故选 A．
(理)原式＝1－cos22α－π6＋1－cos22α＋π6－1－c2os2α ＝1－cos2α－π3＋c2os2α－cos2α＋π3 ＝1－cos2αcosπ3－sin2αsinπ3＋c2os2α－cos2αcosπ3＋sin2αsinπ3＝12.
【高中数学】两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T (α±β)：tan(α±β)，β，α±β≠π2＋k π，k ∈两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈二倍角是相对的，例如，α2是α43α是3α2的二倍角．二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φsin φ＝b a 2＋b 2，cos φ考点一三角函数公式的直接应用[典例](1)已知sin α＝35，αtan β＝－12，则tan(α－β)的值为()A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin (π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为()A ．－229B ．－429C.229D.429[解析](1)因为sin α＝35，α所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×＝－429.[答案](1)A(2)B[解题技法]应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．[题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α，则cos 2α()A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且αsin α________．解析：因为sin α＝45，且αα所以cos α＝－1－sin 2α＝－＝－35.因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以αsin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350.答案：－24＋7350考点二三角函数公式的逆用与变形用[典例](1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________.[解析](1)∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°·tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3.[答案](1)－12(2)3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；1±sin αsin α2±cos ；sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .2.已知sin α＝435，则________.解析：由sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，∴3sin ＝435，即＝45.答案：453.化简sin sin sin 2α的结果是________．解析：sin 2α＝1－12cos ααsin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.答案：12考点三角的变换与名的变换考法(一)三角公式中角的变换[典例](2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点－35，－若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．[解析]由角α的终边过点－35，－得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案]－5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝考法(二)三角公式中名的变换[典例](2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解](1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法]三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos ()A.12B.13C.14D.15解析：选C由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos ＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.2．(2018·济南一模)若＝7210A sin A 的值为()A.35B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A A ＋π4∈∴＝－210，∴sin A ＝－π4＝cos π4－sin π4＝45.3．已知sin α＝－45，α∈3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝()A.613B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈3π2，2π，∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2，∴sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝()A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋1，则cos 2x ＝()A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.3．(2018·山西名校联考)若＝－33，则cos α＝()A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ＝－1.4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝()A.3B.2C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33.5．若α3cos 2α＝sin 2α的值为()A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C由3cos 2α＝3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.6．已知sin 2α＝13，则cos ()A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选Dcos ＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23.7．已知＝12，α－π2，cos________．解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以＝12cos α＋32sin α＝－12.答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cosαsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝＋π4＝tanπ41－tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－111．已知tan α＝2.(1)求tan(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解：(1)∵α，β，∴－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×＝91050.B 级1．(2019·广东五校联考)若4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan2θ＝________.解析：∵4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ，又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14，∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157.答案：1572．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，＝35，则________.解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，＝35，所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，＝－45，可得cos (A ＋B )＝－2425×＋725×35＝117125.答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝x ∈R.(1)求f(2)若cos θ＝45，θf θ解：(1)－π4＋＝－12.(2)θθ－π3＋θ＝22(sin 2θ－cos 2θ)．因为cos θ＝45，θsin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以θ＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×＝17250.。
2019-2020学年高考数学总复习 基础知识 第三章 第三节两角和与差及二倍角三角函数公式 文.doc.doc
2019-2020学年高考数学总复习 基础知识 第三章 第三节两角和与差及二倍角三角函数公式 文1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．知识梳理一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝________________(简记为S α±β)； cos(α±β)＝________________(简记为C α±β)； tan(α±β)＝________________(简记为T α±β)． 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin 2α＝________(简记为S 2α)；cos 2α＝____________________________(简记为C 2α)； tan 2α＝________(简记为T 2α)． 三、二倍角余弦公式的变式1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. 四、辅助角公式 a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin ()x ＋φ其中φ角所在的象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定．一、sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin βtan α±tan β1∓tan αtan β二、2sin αcos α cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α基础自测1．(2013·江西卷)若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.23解析：cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×13＝13.答案：C2．(2012·石家庄二模)1－tan 15°1＋tan 15°＝( )A ．1B.33C.22D.3解析：1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 15°tan 45°＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝33.故选B.答案：B3．若cos α＝12，其中α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin α2的值是____________．解析：sin 2α2＝1－cos α2＝14，又α2∈⎝⎛⎭⎫－π4，0， ∴sin α2＝－12.答案：－124．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.解析：∵tan(π＋2α)＝－43，∴tan 2α＝－43，由二倍角公式得2tan α1－tan 2α＝－43，又α为第二象限角，∴tan α＝－12.答案：－121．(2013·四川卷)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：因为sin 2α＝－sin α，所以sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin α≠0， 2cos α＋1＝0即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 答案： 32．(2013·广东卷)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫θ－π6.解析：(1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4＝1. (2)因为cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，sin θ＝－1－cos 2θ＝－45，所以f ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2cos θcos π4＋sin θsin π4＝－15.1．(2013·韶关二模)已知f (x )＝3cos 2x ＋2 sin x cos x ，则f ⎝⎛⎭⎫13π6( ) A.3 B ．－ 3 C.32D ．－32解析：函数y ＝2sin x cos x ＋3cos 2x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， f ⎝⎛⎭⎫13π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×13π6＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫14π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＝ 3.故选A. 答案：A2．(2012·南京、盐城三模)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos α＝__________.解析：sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，所以sin αcos π3＋cos αsin π3＋sin α＝－435，化简得32sin α＋32cos α＝－435，32sin α＋12cos α＝－45，即sin α＋π6＝－45.因为－π2＜α＜0，所以－π3＜α＋π6＜π6，故cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 因此cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6＝33－410.答案：33－410。
两角和与差及二倍角公式讲义
女口： sin cos5.公式的使用技巧两角和与差及二倍角公式一. 【复习要求】1. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联2. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 .2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明二、 【知识回顾】1 .两角和与差的三角函数 sin( ) ;sin( ) cos( ) :cos( ) tan( ) ;tan( )2 .二倍角公式：在 sin( ),cos( ),tan(）中令,可得相应的二倍角公式。
sin 2 cos2 tan23 .降幕公式sin 2 cos 2注意：二倍角公式具有“升幕缩角“作用，降幕公式具有“降幕扩角”作用 4.辅助角公式y a si nx bcosxa 2b 2 s in(x ),(其中 a, b 不能同时为 0)sin x ■: 2 2cosx ■. a b (— a ---- s in xa 2b 2 a 2 b 2 (cos sin x sin cosx)a 2b 2 sin(x )ab- =,tan证明：y其中，cos2 2b b ―- —cosx)a b 2 2 2a b在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一） -且角 a 思想终边过点（a,b ）（1）连续应用：sin （sin[( sin ()cos cos( )sin(2) “1 ”的代换：sin 2cos 2 （3）收缩代换：y si nxcosxsin cos1, sin_____ 2 a2 b2sin(x 1,ta n—4 （其中a,b不能同时为0）(4)公式的变形: ,,、 tan tantan()1 tan tantan(如：ta n95otan 35o、、3ta n95ota n35o。
tan 70o tan 50o、、3 tan 70o tan50o。
(5 )角的变换(拆角与配角技巧)2 , ( ), ( 2),1[( )( 2 )],( ),( ),44 4 2 4(6 )二倍角公式的逆用及常见变形 1 -[( 2)( )],二倍角的正用、逆用、变形应用是公式的三种主要使用方法，特别是二倍角的余弦公式, 它在求值、化简、证明中有广泛的应用，解题时应根据不同的需要，灵活选取。
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题3.4 两角和差和二倍角(原卷版)
第四讲 两角和差与二倍角1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 三．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a.考向一 公式的简单运用【例1】 计算：（1）sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° （2）cos20°cos10°–sin160°sin10°(3)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30° (4)3＋tan 15°1－3tan 15°；【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下（5） sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155° （6）2cos 10°－sin 20°sin 70°【举一反三】1.sin 10°1－3tan 10°＝ .2.若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ .3.tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ .4．化简1tan151tan15︒︒+-等于 。
2020版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第3讲两角和与差的三角函数二倍角公式课件
A．12
C．
3 2
[解析]
cos2π8－sin2π8＝cosπ4＝
2 2.
B．
2 2
D．－
2 2
(B )
4．(2018·课标Ⅲ，4)若 sinα＝13，则 cos2α＝
(B )
A．89
B．79
C．－79
D．－89
[解析] 本题考查三角恒等变换．因为 sinα＝13，所以 cos2α＝1－2sin2α＝1
2 2
[解析]
D．
3 2
原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.故选
A．
另解：原式＝cos47°cos13°－sin47°sin13°＝cos(47°＋13°)＝cos60°＝12.故选 A．
2．(2018·湖北枣阳模拟)若 sinα＝35(0<α<π2)，则 sin(α＋π6)＝
－2×(13)2＝1－29＝79.故选 B．
5．化简cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ的结果为
A．sin(2α＋β)
B．cos(α－2β)
C．cosα
D．cosβ
[解析] 原式即cos(α－β＋β)＝cosα.
(C)
6．(1＋tan17°)(1＋tan28°)的值为
(D)
A．－1
B．0
C．1
D．2
[解析] 原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°＝1＋tan45°(1－
tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28°＝1＋1＝2.故选D．
A．3Βιβλιοθήκη 3－4 10B．3
3＋4 10
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020学年高中数学高一升高二复习讲义 第3讲 两角和与差及二倍角的三角函数 新人教A 版一、复习旧知1、知识点1两角和与差的三角函数公式 2.二倍角公式 3.半角公式 2、作业评讲 二、新课讲解重点：运用三角公式对式子进行等价变形，处理化简、求值和恒等式证明等问题难点：利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，准确合理的使问题获解。
考点：通过审题分析已知条件和待求结论之间差异，灵活应用所学公式进行求值证明。
易混点： 通过审题分析已知条件和待求结论之间差异，灵活应用所学公式进行求值证明。
知识点：1两角和与差的三角函数公式sin()αβ±=sin sin cos sin αβαβ+±cos()αβ±=cos cos sin sin αβαβ tan()αβ±=tan tan 1tan tan αβαβ±2.二倍角公式sin 2α=2sin cos ααcos 2α=22cos sin αα-= 22cos 1α-=212sin α-tan 2α=22tan 1tan αα-3.半角公式2cos 12sin2αα-=， 2cos 12cos 2αα+= ， αααcos 1cos 12tan 2+-= αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=（1）两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律问题1。
不查表求值：s i n c o s s i n c o s s i n s i n 71587158+⋅-⋅=_______________ 解法一原式=-+⋅--⋅s i n ()c o s s i n c o s ()s i n s i n 158158158158 =⋅⋅s i n c o s c o s c o s 158158tan15tan(4530)==- =-+=-+=-133133333323 解法二1sin 7(sin 23sin 7)21cos 7(cos 23cos 7)2sin 23sin 7cos 23cos 72sin15cos82cos15cos8tan15+-=+-+=+=⋅==原式…（余同解法一）(2)准确估算角的范围 问题2. 已知是方程x 2+33x+4=0(-2,2ππ)+=（ ）A ．3πB ．3π或-π32 C ．-3π或π32D ．-π32错解：B. 正解：D.三、【典型例题】考点1 两角和与差的正弦.余弦.正切 题型1: 顺用公式例1:已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于（ ）A ．17B ．7C ．17-D ．7- 【解题思路】直接用两角和的正切公式 解：B ．∵(,)2παπ∈，3sin 5α=， ∴ 4cos 5α= ， 3tan 4α=，∴ 31tan 14tan()7341tan 14πααα+++===-- ．【名师指引】熟练掌握两角和与差的三角函数公式的结构特点是解决此类题的关键. 题型2: 逆用公式例2.（广东省实验中学2009届高三第二次阶段测试）sin 155°cos35°－ co s25°cos235°=____________.【解题思路】注意到15518025;23527025︒︒︒=︒-︒=-︒ 解析:原式=sin(18025)cos35cos25cos(27025)︒︒︒︒--︒-︒sin 25cos35cos 25sin 35sin 602︒︒+︒︒=︒=【名师指引】三角求值题解题的一般思路是“变角、变名、变式”变角：它决定变换的方向，通过找出已知条件和待求结论中的差异，分析角之间的联系，决定用哪一组公式，是解决问题的关键；变名：在同一个三角式中尽可能使三角函数的种类最少，一般考虑化弦或化切（用同角三角函数的关系式或万能公式）；变式：由前二步对三角式进行恒等变形，或逆用、变形用公式，使问题获解；【新题导练】1. cos 43cos77sin 43cos167oooo+的值为 ． 解析．诱导公式变角，再逆用三角公式切入，cos 43cos77sin 43cos167+=();21120cos 77sin 43sin 77cos 43cos 00000-==-+2. (华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试)若(,)2παπ∈，且4sin 5α=，则sin()cos 42παα--= ．考点2 二倍角的正弦.余弦.正切题型1：顺用公式例3．(执信中学2008-2009学年度第一学期高三期中考试) 已知()⎪⎭⎫⎝⎛∈==-ππββαπ,2,53sin ,21tan ,求()βα-2tan 的值. 【解题思路】先由诱导公式求出tan α，再由二倍角公式求解。
解析()342tan ,21tan ,21tan -=∴-=∴=-αααπ .又53sin =β ,且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππβ,2-=∴βcos ()247tan 2tan 1tan 2tan 2tan ,43tan ,54-=+-=-∴-=∴βαβαβαβ 【名师指引】在三角函数的过程中,观察条件中的角和结论中的角之间的内在联系是解决此类题的关键.题型2: 逆用公式例4．sin105cos105的值为（ ） Ａ．14Ｂ．－14【解题思路】联想二倍角的正弦公式解析：11sin105cos105sin 75cos75sin15024=-︒︒=-︒=-【名师指引】见sin cos x x 就联想到1sin 22x 是三角变换中常用的手段。
题型3: 变形用公式例5．(2008·惠州市高三第三次调研考试第一问)在△ABC 中，已知角A 为锐角，且A A A A A A A f 222cos )2(sin )22(sin )22sin()2sin(]1)2[cos()(+----+--=πππππ.求f (A )的最大值；【解题思路】联想到降幂公式：21cos cos22αα+=，21cos sin 22αα-=A A AA A A A A A A A A f 22222cos cos 2cos2sin cos 2cos 2sin 2cos 2cos 2sin )12(cos )(+=+-+=.21)42sin(22)12cos 2(sin 21cos 2sin 212++=++=+=πA A A A A ∵角A 为锐角，.45424,20ππππ<+<<<∴A A )(,242A f A 时当ππ=+∴取值最大值，其最大值为.212+ 【名师指引】在研究三角函数性质时经常使用“见平方就降次，见切割就化弦”这一手段。
【新题导练】3．,02sin )152(sin 5,2=++-∆A A ABC 中A 是锐角,求A 2tan 的值； 解：（由条件，得.0)2)(sin 1sin 5(=--A A.55sin ,01sin 5,2sin ==-∴≠A A A 即∵A 在锐角，21tan ,552sin 1cos 2==-=∴A A A ，4．已知cos 23θ=，则44sin cos θθ+的值为（ ） A1813 B 1811C 97D 1-解析:选B 442222221sin cos (sin cos )2sin cos 1sin 22θθθθθθθ+=+-=- 21111(1cos 2)218θ=--=.34tan 1tan 22tan 2=-=∴A A A四、巩固练习1．( 2009届广东五校高三第二联考试卷)已知,21tan =α则α2cos 的值为（ ） A ．51-B ．53- C ． 54D ． 53解析:选D ：221tan 3cos 21tan 5ααα-==+ 2．(华南师大附中2009届高三综合测试（二）)设2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+=A ．1318B ．1322C ．322D ．16解析: tan()tan()34tan()tan[()()]44221tan()tan()4παββππααββπαββ+--+=+--==++-选C 3．︒︒+︒︒167cos 43sin 77cos 43cos 的值为 。
解析：原式=cos 43cos77sin 43cos(9077)cos 43cos77sin 43sin 77︒︒+︒︒+︒=︒︒-︒︒cos(4377)cos120=︒+︒=︒=－124．已知11tan ,tan 6263ππαββ⎛⎫⎛⎫++=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭解析： tan()tan()66tan tan 13361tan()tan()66ππαββπππααββππαββ++--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++--== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦+++⋅-5．(2008-2009年汕头金山中学摸底考试)已知函数()sin sin(),2f x x x x R π=++∈.若3()4f α=，求sin 2α的值. 解:()sin cos f x x x =+由3()4f α=得:39sin cos ,12sin cos 416αααα+=+=7sin 216α∴=-五、过关检测1．(广东省2009届高三第一次六校联考试卷数学)已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，22ππθ-<<．（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值．解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0， 2分 由此得 tan θ＝－1（22ππθ-<<），所以 θ＝4π-； 6分（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)， 10分当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1． 12分2．(惠州市2009届高三第三次调研考试数学试题)已知02cos 22sin =-xx ．（1）求x tan 的值；（2）求xx xsin )4cos(22cos ⋅+π的值．解：（1）由02cos 22sin =-x x , 22tan =⇒x，3421222tan12tan2tan 22-=-⨯=-=∴x x x ．（2） 原式＝x x x x x sin )sin 22cos 22(2sin cos 22--xx x x x x x sin )sin (cos )sin )(cos sin (cos -+-=x xx sin sin cos +=1cot +=x31()144=-+=．3．已知向量),cos ,(sin αα=a )sin ,(cos ββ=b ，)0,cos 2(β=+c b ，21=⋅b a ，31=⋅c a ，求βαβαcot tan )(2cos ⋅++的值.解：设(,),c x y =则(cos ,sin )(2cos ,0)b c x y βββ+=++=，∴(cos ,sin ).c ββ=-∵1,2a b ⋅=1,3a c ⋅=∴1sin cos cos sin 21sin cos cos sin 3αβαβαβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，∴5sin cos 121cos sin 12αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1tan cot 5,sin(),2αβαβ⋅=+=∴21cos2()12sin ()2αβαβ+=-+=， ∴111cos2()tan cot 522αβαβ++⋅=+=.。