4-1向量的内积与正交
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向量正交的条件(一)
向量正交的条件(一)向量正交的条件什么是向量正交在线性代数中，向量正交是指两个向量的内积为零。
具体而言，如果向量A和向量B的内积等于零，那么向量A和向量B就被称为正交向量。
向量正交的条件向量正交满足以下条件：1.向量A和向量B的内积等于零，即A·B = 0。
2.向量A和向量B的长度（模）都不为零。
为什么要研究向量正交向量正交在许多领域有广泛的应用，包括线性代数、计算机图形学、信号处理等等。
在这些领域中，向量正交是解决问题的关键要素之一。
向量正交的性质向量正交具有以下性质：1.正交向量的夹角为90度。
2.如果向量A和向量B正交，那么它们的线性组合也正交。
3.如果向量A和向量B正交，那么它们的向量和的模等于它们各自模的和。
如何判断向量正交判断向量是否正交通常可以通过计算它们的内积是否等于零来实现。
如果两个向量的内积等于零，则它们正交；否则，它们不正交。
另外，还可以通过计算向量的长度（模）是否为零来判断向量是否正交。
如果两个向量的长度都不为零，并且它们的内积等于零，则它们正交。
总结向量正交是指两个向量的内积等于零。
它在许多领域有着重要的应用，并且具有许多有趣的性质。
判断向量是否正交可以通过计算它们的内积是否为零或者计算它们的长度是否为零来实现。
希望本文能对你理解向量正交有所帮助。
如果对向量正交还有其他疑问，欢迎继续探索相关的知识。
向量正交的应用向量正交在各个领域都有着广泛的应用，以下简要介绍几个常见的应用领域：1. 线性代数在线性代数中，向量正交对于解决线性方程组、矩阵分解和特征值问题等起着重要的作用。
通过利用向量正交的性质，可以简化算法和计算过程，提高效率和准确性。
2. 计算机图形学在计算机图形学中，向量正交用于描述和计算3D物体的方向、旋转和投影。
同时，向量正交也是计算机图形学中常用的几何变换和碰撞检测算法的基础。
3. 信号处理在信号处理中，向量正交被广泛应用于信号的解耦、滤波和压缩等方面。
§1 向量的内积、长度及正交性
α ⋅ β = 18 = 2 解 ∵ cosθ = 3 2⋅6 2 α β π ∴θ = .
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念
当 ( x, y ) = 0 时 , 称向量 x 与 y 正交 .(orthogonal)
由定义知, 若 x = θ , 则 x 与任何向量都正交 .
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交， 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 非零向量组中的向量两两正交 量组为正交向量组． 量组为正交向量组． 正交向量组
也为R 也为 4的一个规范正交基 .
６ 求规范正交基的方法
设α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 是向量空间 V的一个基 , 要求 V 的一个规范正交基 , 就是要找一组两两正交 的单 位向量 e1 , e 2 ,⋯ , e r , 使e1 , e 2 ,⋯ , e r 与α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 等 价, 这样一个问题 , 称为 把α1,α2 ,⋯,αr 这个基规
把基础解系正交化，即合所求． 把基础解系正交化，即合所求．亦即取
a2 = ξ 1 ,
a3 = ξ −
2
(ξ ,ξ ) (ξ ,ξ
1 1 2 1
ξ. )
1
其中(ξ ,ξ ) = 1, (ξ ,ξ ) = 2, 于是得
1 2 1 1
1 0 1 1 a2 = 0 , a3 = 1 − 0 = − 1 − 1 2 − 1
e , e , e 即为所求 .
1 2 3
例4 已知 α1 = (1,1,1) , 求非零向量 α 2 , α 3使α1 , α 2 , α 3
T
两两正交.
线性代数第4章内积和正交矩阵
2
我们说向量 和 正交(垂直),规定零向量与任何向
量正交.
21
科西
(Cauchy Augustin-Louis)
1789-1857
“每一个在数学研究中 喜欢严密性的人,都应该 读柯西的杰出著作《分 析教程》。”
—阿贝尔 人总是要死的，但他们的 业绩应该永存。
—柯西 22
柯西(Cauchy, Augustin-Louis, 1789－1857),法国数学 家,8月21日生于巴黎,他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法 国波旁王朝的官员,在法国动荡的政治漩涡中一直担任 公职.由于家庭的原因,柯西本人属于拥护波旁王朝的正 统派,是一位虔诚的天主教徒. 他在纯数学和应用数 学的功底是相当深厚的,很多数学的定理、公式都以他 的名字来称呼,如柯西不等式、柯西积分公式.在数学写 作上,他被认为在数量上仅次于欧拉的人,他一生一共著 作了789篇论文和几本书,以《分析教程》（1821年）和 《关于定积分理论的报告》（1827年）最为著名.
9
a1 b1
定义
两个列实向量
a2
,
b2
M M
an
bn
的内积是 (, ) a1b1 a2b2 L anbn.
若( , ) 0,则说 , 正交。 b1
推论 例
(, ) T (a1,L , an
b2
M
T.
bn
a1
a1b1
T
a2
M
(b1
,
b2
我们说向量 和 正交(垂直),规定零向量与任何向
量正交.
21
科西
(Cauchy Augustin-Louis)
1789-1857
“每一个在数学研究中 喜欢严密性的人,都应该 读柯西的杰出著作《分 析教程》。”
—阿贝尔 人总是要死的，但他们的 业绩应该永存。
—柯西 22
柯西(Cauchy, Augustin-Louis, 1789－1857),法国数学 家,8月21日生于巴黎,他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法 国波旁王朝的官员,在法国动荡的政治漩涡中一直担任 公职.由于家庭的原因,柯西本人属于拥护波旁王朝的正 统派,是一位虔诚的天主教徒. 他在纯数学和应用数 学的功底是相当深厚的,很多数学的定理、公式都以他 的名字来称呼,如柯西不等式、柯西积分公式.在数学写 作上,他被认为在数量上仅次于欧拉的人,他一生一共著 作了789篇论文和几本书,以《分析教程》（1821年）和 《关于定积分理论的报告》（1827年）最为著名.
9
a1 b1
定义
两个列实向量
a2
,
b2
M M
an
bn
的内积是 (, ) a1b1 a2b2 L anbn.
若( , ) 0,则说 , 正交。 b1
推论 例
(, ) T (a1,L , an
b2
M
T.
bn
a1
a1b1
T
a2
M
(b1
,
b2
向量内积的解析-概述说明以及解释
向量内积的解析-概述说明以及解释1.引言1.1 概述向量内积是线性代数中的一个重要概念，它描述了两个向量之间的乘积关系。
在物理学、工程学以及计算机科学等领域中，向量内积广泛应用于问题的建模和求解过程中。
向量内积有时也被称为点积或数量积，其定义如下：对于两个n维向量u和v，它们的内积可以表示为u·v，其中u和v的对应分量相乘后再求和。
也即，u·v = u1*v1 + u2*v2 + ... + un*vn。
向量内积具有以下几个重要性质：1. 对乘法的分配律：对于向量u和v以及标量c，有(cu)·v = cu·v = u·(cv)。
这意味着我们可以在内积运算之前或之后对向量进行标量乘法。
2. 对加法的分配律：对于向量u、v和w，有(u+v)·w = u·w + v·w。
这意味着我们可以在内积运算中对向量进行加法。
3. 对称性：对于向量u和v，有u·v = v·u。
这意味着向量内积的结果与被乘向量的顺序无关。
4. 内积与向量长度之间的关系：对于向量u，其内积u·u等于向量u 的长度的平方，即u·u = u ^2。
这里，u 表示向量u的长度。
向量内积在几何学、物理学和统计学中都有广泛的应用。
在几何学中，内积可以用来计算两个向量之间的夹角，判断两个向量是否正交或平行。
在物理学中，内积可以用来计算力的功或分解力的分量。
在统计学中，内积可以用来计算样本之间的相似度以及进行数据降维。
通过对向量内积的解析，我们可以更好地理解其数学性质和应用价值。
未来，向量内积有望在更多的领域中发挥重要作用，如机器学习、图像处理和信号处理等。
1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论向量内积的解析。
每个部分将涵盖不同的内容，以帮助读者全面理解和掌握向量内积的概念及其应用。
第一部分是引言部分。
在这一部分，我们将概述向量内积的基本概念和重要性，并介绍文章的结构和目的。
线性代数-向量的内积
故k1[1,1] 0,由于1 r是正交向量组，故1 0.
即[1,1] 0,故k1 0.
例1 已知3维向量空间R3中两个向量 a1(1 1 1)T a2(1 2 1)T
正交 试求一个非零向量a3使a1 a2 a3两两正交
解：设a3(x1 x2 x3)T 则a3应满足a1Ta30 a2Ta30
§4.1向量的内积、长度及正交性
例3 ：齐次线性方程组的解集S{x| Ax0} 是一个向量空间(称为齐次线性方程组的解空间)
例4 ： 非齐次线性方程组的解集S{x| Axb} 不是向量空间 这是因为 当S为空集时 S不是向量空间
当S非空集时 若S 则A(2)2bb 知2S
规范正交基 :设n维向量a1 a2 ar是向量空间的一个基 如果a1 a2 ar两两正交 且都是单位向量 则称a1 a2 ar是V的一个规范正交基
• 一、向量的内积及其性质
§4.1
• 二、向量的长度及其性质
向
• 三、正交向量组
量
• 四、规范正交基及其求法
的
• 五、正交矩阵及其性质
内
• 复习小结
积
§4.1向量的内积、长度及正交性
本节概述
前面学习了向量的线性运算：加法和数乘， 但未涉及到向量的度量性质，如长度、距离等等。 从今天开始，我们就来学习一下这方面的概念。当 然学习这些概念也是为了进一步研究矩阵做准备的。
事实上 设a1e12e2 rer 则
eiTaieiTeii 即ieiTa [a ei]
施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组
b1a1
b2
a2
[b1, [b1,
a2] b1]
b1
br
1向量的内积及正交性
n
|| || ( ) ai2 i 1
则|| || 称为向量 的范数 (或长度). 特别地, 当|| || 1时, 称 为单位向量.
向量范数具有下列性质（其中 与 是向量， k 是数）
1) 非负性: 当 0 时, || || 0 ; 当 0 时, || || 0 ;
15 , 2 15 , 15 15
15 , 5
15 15
.
由施瓦兹(Schwarz)不等式, 即[ ]2 [ ] , 当 0 , 0 时, 可得
[ ] 1. || || || ||
定义 1.3 设 是两个 n 维非零向量,称 arccos [ ] 为向量 的夹角. || || || ||
2 2 2 2 .
又 0，所以|| |||| || || || .
证毕
注 1°当 || || 0 时, 用非零向量 的长度去乘以向量 ,得到一个单位向量,这一过
程通常称为把向量 单位化. 即
0 1 , || ||
所含有的向量个数不会超过.
定义 1.6 若向量空间V 的一组基是正交向量组, 则该组基称为向量空间的正交基. 若 向量空间V 的一组基是正交的单位向量组, 则该组基称为向量空间的规范正交基(或标准正
交基).
注
1°如向量组
e1
1 , 2
1 2
T
,
0,
0
, e2
Hale Waihona Puke 1, 21 2例 1.5 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化
|| || ( ) ai2 i 1
则|| || 称为向量 的范数 (或长度). 特别地, 当|| || 1时, 称 为单位向量.
向量范数具有下列性质（其中 与 是向量， k 是数）
1) 非负性: 当 0 时, || || 0 ; 当 0 时, || || 0 ;
15 , 2 15 , 15 15
15 , 5
15 15
.
由施瓦兹(Schwarz)不等式, 即[ ]2 [ ] , 当 0 , 0 时, 可得
[ ] 1. || || || ||
定义 1.3 设 是两个 n 维非零向量,称 arccos [ ] 为向量 的夹角. || || || ||
2 2 2 2 .
又 0，所以|| |||| || || || .
证毕
注 1°当 || || 0 时, 用非零向量 的长度去乘以向量 ,得到一个单位向量,这一过
程通常称为把向量 单位化. 即
0 1 , || ||
所含有的向量个数不会超过.
定义 1.6 若向量空间V 的一组基是正交向量组, 则该组基称为向量空间的正交基. 若 向量空间V 的一组基是正交的单位向量组, 则该组基称为向量空间的规范正交基(或标准正
交基).
注
1°如向量组
e1
1 , 2
1 2
T
,
0,
0
, e2
Hale Waihona Puke 1, 21 2例 1.5 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化
向量的内积、长度及正交性
欧几里得范数
在多维空间中，向量长度可以通过欧几里得范数计算，即 $||vec{a}|| = sqrt{sum_{i=1}^{n} a_i^2}$。
向量模的计算
在数学软件中，如Matlab或Python的NumPy库，可以直接使 用内置函数计算向量长度，如`numpy.linalg.norm()`。
03
02
CHAPTER
向量的长度
向量长度的定义
定义
向量长度是指向量从原点到终点所经 过的距离，通常用符号“||”表示。
几何意义
向量长度等于向量在欧几里得空间中 的模，即以原点为起点、终点为终点 的有向线段的长度。
向量长度的性质
非负性
向量长度总是大于等于0，即对于任意向量$vec{a}$，有 $||vec{a}|| geq 0$。
CHAPTER
向量的正交性
向量正交的定义
两个向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$正交，当且仅当它们的 内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
正交意味着两个向量在所有方向上都 相互垂直，没有共同的行或列。
向量正交的性质
1
正交向量之间的内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
2
正交向量的点积为零，但不意味着它们的长度为 零。
3
正交向量之间没有共同的行或列，即它们是垂直 的。
向量正交的判断方法
01
检查向量的点积是 否为零
如果$bf{a}$和$mathbf{b}$正 交。
02
检查向量的模长是 否为零
向量的内积、长度及正交性
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 向量的长度 • 向量的正交性 • 向量的应用
在多维空间中，向量长度可以通过欧几里得范数计算，即 $||vec{a}|| = sqrt{sum_{i=1}^{n} a_i^2}$。
向量模的计算
在数学软件中，如Matlab或Python的NumPy库，可以直接使 用内置函数计算向量长度，如`numpy.linalg.norm()`。
03
02
CHAPTER
向量的长度
向量长度的定义
定义
向量长度是指向量从原点到终点所经 过的距离，通常用符号“||”表示。
几何意义
向量长度等于向量在欧几里得空间中 的模，即以原点为起点、终点为终点 的有向线段的长度。
向量长度的性质
非负性
向量长度总是大于等于0，即对于任意向量$vec{a}$，有 $||vec{a}|| geq 0$。
CHAPTER
向量的正交性
向量正交的定义
两个向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$正交，当且仅当它们的 内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
正交意味着两个向量在所有方向上都 相互垂直，没有共同的行或列。
向量正交的性质
1
正交向量之间的内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
2
正交向量的点积为零，但不意味着它们的长度为 零。
3
正交向量之间没有共同的行或列，即它们是垂直 的。
向量正交的判断方法
01
检查向量的点积是 否为零
如果$bf{a}$和$mathbf{b}$正 交。
02
检查向量的模长是 否为零
向量的内积、长度及正交性
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 向量的长度 • 向量的正交性 • 向量的应用
第10讲：向量的内积与正交矩阵
方阵A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列（行） 向量都是单位向量且两两正交．
正交矩阵的性质: 设A, B 为 n 阶正交矩阵, 则 (1) A－1 = AT 也为正交矩阵 , 且 |A|=1 或－1. (2) AB 也为正交矩阵.
统计软件分析与应用
线性代数A
4.1 向量的内积与正交矩阵
定义: 若 P 为正交阵, 正交变换.
4.1 向量的内积与正交矩阵
§1 向量的内积、长度及正交性
一、内积的定义及性质
定义: n 维向量 x ( x1 , x2 ,L , xn )T , y ( y1 , y2 ,L , yn )T 的内积
[ x, y] x1 y1 x2 y2 xn yn;
若 x, y为列向量, 则 [x, y] xT y.
a2 b1
] ]
b1
,
统计软件分析与应用
线性代数A
4.1 向量的内积与正交矩阵
b3
a3
[b1 , [b1 ,
a3 b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
,
br
ar
[b1 , ar ] [b1 , b1 ]
b1
[b2 , ar ] [b2 , b2 ]
b2
L
[br 1 [br1 ,
, ar ] br1 ]
二、向量的长度及性质
定义: n 维向量 x 的长度 ( 或范数 )
x [ x, x] x12 x22 xn2 .
长度的性质： 1. 非负性: x 0; x 0 x 0.
2. 齐次性: 对 R 有 x x .
3. 三角不等式: x y x y .
统计软件分析与应用
正交矩阵的性质: 设A, B 为 n 阶正交矩阵, 则 (1) A－1 = AT 也为正交矩阵 , 且 |A|=1 或－1. (2) AB 也为正交矩阵.
统计软件分析与应用
线性代数A
4.1 向量的内积与正交矩阵
定义: 若 P 为正交阵, 正交变换.
4.1 向量的内积与正交矩阵
§1 向量的内积、长度及正交性
一、内积的定义及性质
定义: n 维向量 x ( x1 , x2 ,L , xn )T , y ( y1 , y2 ,L , yn )T 的内积
[ x, y] x1 y1 x2 y2 xn yn;
若 x, y为列向量, 则 [x, y] xT y.
a2 b1
] ]
b1
,
统计软件分析与应用
线性代数A
4.1 向量的内积与正交矩阵
b3
a3
[b1 , [b1 ,
a3 b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
,
br
ar
[b1 , ar ] [b1 , b1 ]
b1
[b2 , ar ] [b2 , b2 ]
b2
L
[br 1 [br1 ,
, ar ] br1 ]
二、向量的长度及性质
定义: n 维向量 x 的长度 ( 或范数 )
x [ x, x] x12 x22 xn2 .
长度的性质： 1. 非负性: x 0; x 0 x 0.
2. 齐次性: 对 R 有 x x .
3. 三角不等式: x y x y .
统计软件分析与应用
两个向量正交的定义
两个向量正交的定义向量是线性代数中的基本概念，它可以用来表示空间中的方向和大小。
在数学中，我们经常会遇到两个向量的正交关系。
正交是指两个向量之间的夹角为90度，也称为垂直关系。
本文将从几何和代数两个角度来讲解两个向量正交的定义及其性质。
一、几何角度的正交定义在几何中，我们可以通过两个向量的夹角来判断它们是否正交。
具体而言，如果两个向量的内积为零，则它们是正交的。
向量的内积是指两个向量对应分量的乘积之和，可以用以下公式表示：A·B = |A| |B| cosθ其中，A·B表示向量A和向量B的内积，|A|和|B|分别表示向量A 和向量B的模，θ表示向量A和向量B的夹角。
根据正交的定义，当A·B=0时，夹角θ为90度，即向量A和向量B是正交的。
这意味着它们在空间中相互垂直，无论是在二维平面还是三维空间中都成立。
二、代数角度的正交定义除了几何角度的正交定义外，我们还可以从代数的角度来理解两个向量正交的概念。
在向量的代数表示中，向量可以用坐标形式表示为一个n维向量，其中n表示向量的维数。
设向量A=(a1, a2, ..., an)和向量B=(b1, b2, ..., bn)是n维向量。
如果它们的坐标分量满足以下条件：a1b1 + a2b2 + ... + anbn = 0则向量A和向量B是正交的。
通过代数角度的正交定义，我们可以更方便地判断两个向量是否正交。
只需要计算它们的坐标分量的乘积之和，若结果为零，则可以判断它们是正交的。
三、正交向量的性质两个正交向量的性质如下：1. 正交向量的模长没有直接关系：两个向量是否正交与它们的模长无关。
无论向量的模长如何，只要它们的内积为零，就可以判断它们是正交的。
2. 正交向量的线性无关性：正交向量具有线性无关性。
如果向量A 和向量B是正交的，并且它们不是零向量，那么它们是线性无关的。
即它们不可以由对方线性表示。
3. 正交向量的投影为零：如果向量A和向量B是正交的，那么向量A在向量B上的投影为零，向量B在向量A上的投影也为零。
4-1向量的内积与正交
BB
1
2 0
0 1
1
2 0
0
1 2
则 B 是正交矩阵。
1 0 2
1 0 0
0 1 0 1 0
1 2
0
0 0 1
1
CC
0
0 0
1 0
1 0
0 0
1 0
2 0
0 0
0 0 E
1 0 1 1 0 1 0 0 2
则 C不 是正交矩阵。
19
性质3 设 A、B 都是正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵。
9
例3 1 1,1,1,1T , 2 1,1,1,1T , 3 1,1,1,1T ,
求与 1,2 ,3 都正交的单位向量。
解 设所求向量为 X x1, x2, x3, x4 T
X X
, ,
1 2
0 0
X ,3 0
即
x1 x1
x2 x2
x3 x3
x4 x4
0 0
x1 x2 x3 x4 0
证 因为 A 、B都是正交矩阵，则 A A E BB E
ABAB B A AB B A A B E
则 AB 也是正交矩阵。 性质4 设 A 是正交矩阵，则 A1 与 A, A
也是正交矩阵。 性质5 设 A 是正交矩阵，则 A 1.
20
例6 A 为 n 阶正交阵，则
(1) A 1 或 1 (2) A 是正交矩阵
i j
0, i 1, i
j j
即 A 的 n 个列向量是单位正交向量组。
例5 观察下列矩阵是否为正交矩阵
1 A 0
0
0 1 0
0
1 2
0
B
1 2
向量的内积与正交
向量的内积与正交
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 向量的正交 • 向量的内积与正交的应用 • 向量的点积与叉积 • 总结
01
CHAPTER
向量的内积
向量内积的定义
定义
向量内积是两个向量之间的点乘运算，记作$mathbf{A} cdot mathbf{B}$。 其结果是一个标量，表示两个向量之间的角度余弦值与两个向量模的乘积。
几何意义
叉积的几何意义是垂直于两向量所在平面的第三个向量，其模长等于两向量构成的平行四边形的面积。
性质
叉积满足反交换律，即$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$。
点积与叉积的区别和联系
区别
点积和叉积在定义、几何意义和性质上都有所不同。点积是两向量的内积，结果 是一个标量；叉积是两向量的外积，结果是一个向量。
如果两个向量的方向垂直，则它们正交。
判断两个向量的模长是否 相等
如果两个向量的模长相等，则它们正交。
03
CHAPTER
向量的内积与正交的应用
向量内积在几何中的应用
判断两向量是否垂直
通过计算两向量的内积，若结果为0，则两向量垂直。
计算向量的长度
利用向量内积和向量的模长，可以计算出任意向量的长度。
计算向量的夹角
向量内积的计算方法
坐标表示法
若向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的坐标分别为$(a_1, a_2, ..., a_n)$和$(b_1, b_2, ..., b_n)$，则$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 向量的正交 • 向量的内积与正交的应用 • 向量的点积与叉积 • 总结
01
CHAPTER
向量的内积
向量内积的定义
定义
向量内积是两个向量之间的点乘运算，记作$mathbf{A} cdot mathbf{B}$。 其结果是一个标量，表示两个向量之间的角度余弦值与两个向量模的乘积。
几何意义
叉积的几何意义是垂直于两向量所在平面的第三个向量，其模长等于两向量构成的平行四边形的面积。
性质
叉积满足反交换律，即$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$。
点积与叉积的区别和联系
区别
点积和叉积在定义、几何意义和性质上都有所不同。点积是两向量的内积，结果 是一个标量；叉积是两向量的外积，结果是一个向量。
如果两个向量的方向垂直，则它们正交。
判断两个向量的模长是否 相等
如果两个向量的模长相等，则它们正交。
03
CHAPTER
向量的内积与正交的应用
向量内积在几何中的应用
判断两向量是否垂直
通过计算两向量的内积，若结果为0，则两向量垂直。
计算向量的长度
利用向量内积和向量的模长，可以计算出任意向量的长度。
计算向量的夹角
向量内积的计算方法
坐标表示法
若向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的坐标分别为$(a_1, a_2, ..., a_n)$和$(b_1, b_2, ..., b_n)$，则$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
向量的内积与施密特正交化过程
向量的内积与施密特 正交化过程
目录
• 向量的内积 • 施密特正交化过程 • 向量的模与向量的夹角 • 施密特正交化过程在向量空间中的应用 • 向量内积与线性代数的关系
01
向量的内积
向量内积的定义
定义
向量内积是两个向量之间的点积运算， 记作$mathbf{a} cdot mathbf{b}$。 它等于向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$的各分量相乘后的总和。
征向量等。
THANKS
感谢观看
在信号处理中，施密特正交化过程可以用于将一组信号向量转化为正交基底，以便更好地分析和处理信 号。
在量子力学中，施密特正交化过程可以用于将一组量子态向量转化为正交基底，以便更好地描述量子系 统的状态和演化。
05
向量内积与线性代数的关 系
向量内积与矩阵的关系
向量内积的定义
两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的内积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = ||mathbf{a}|| times ||mathbf{b}|| times cos theta$，其中 $theta$是两向量之间的夹角。
施密特正交化过程的定义
01
施密特正交化过程是一种数学 方法，用于将一组线性无关的 向量转换为正交基。
02
正交基是指一组两两正交的向 量，即它们的内积为0。
03
通过施密特正交化过程，我们 可以得到一组标准正交基，即 它们的长度为1且两两正交。
施密特正交化过程的应用
在线性代数中，施密特正交化过程常 用于将一组给定的线性无关向量转换 为标准正交基，从而方便进行向量运 算和矩阵表示。
矩阵与向量内积的关系
矩阵乘法可以看作是线性变换的一种表示，而向量内积则是描述向量之间角度 和长度关系的工具，因此向量内积在矩阵乘法中有着重要的应用。
目录
• 向量的内积 • 施密特正交化过程 • 向量的模与向量的夹角 • 施密特正交化过程在向量空间中的应用 • 向量内积与线性代数的关系
01
向量的内积
向量内积的定义
定义
向量内积是两个向量之间的点积运算， 记作$mathbf{a} cdot mathbf{b}$。 它等于向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$的各分量相乘后的总和。
征向量等。
THANKS
感谢观看
在信号处理中，施密特正交化过程可以用于将一组信号向量转化为正交基底，以便更好地分析和处理信 号。
在量子力学中，施密特正交化过程可以用于将一组量子态向量转化为正交基底，以便更好地描述量子系 统的状态和演化。
05
向量内积与线性代数的关 系
向量内积与矩阵的关系
向量内积的定义
两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的内积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = ||mathbf{a}|| times ||mathbf{b}|| times cos theta$，其中 $theta$是两向量之间的夹角。
施密特正交化过程的定义
01
施密特正交化过程是一种数学 方法，用于将一组线性无关的 向量转换为正交基。
02
正交基是指一组两两正交的向 量，即它们的内积为0。
03
通过施密特正交化过程，我们 可以得到一组标准正交基，即 它们的长度为1且两两正交。
施密特正交化过程的应用
在线性代数中，施密特正交化过程常 用于将一组给定的线性无关向量转换 为标准正交基，从而方便进行向量运 算和矩阵表示。
矩阵与向量内积的关系
矩阵乘法可以看作是线性变换的一种表示，而向量内积则是描述向量之间角度 和长度关系的工具，因此向量内积在矩阵乘法中有着重要的应用。
§1向量的内积,长度及正交性
例
1 2 1 2 0 0
e1
1
0
2
,
e2
1 0
2
,
e3
1
0
2
,
e4
1
0 2
.
0 0 1 2 1 2
就是R4的一个规范正交基.
§1 向量的内积、长度及正交性
定义: 设a1 ,a2 ,…,ar 是向量空间V的一个基,要
求V的一个规范正交基.也就是要找一组两两 正交的单位向量e1 ,e2 ,…,er,使e1 ,e2 ,…,er 与a1 ,a2 ,…,ar 等价.这样的问题称为把 a1 ,a2 ,…,ar这个基规范正交化.
§1 向量的内积、长度及正交性
主要内容： 一、向量内积的定义及其性质 二、向量的长度及其性质 三、正交向量组的定义及其性质 四、正交向量组的求解 五、正交矩阵的定义及其性质 六、正交变换的定义
§1 向量的内积、长度及正交性
定义:设有n维向量
x1
x
x2
,
M
xn
y1
y
y2
,
M
0
0
,
1 1 1 r 1 0 1
A 1
2
1 :
0
1
0
B
B所对应的方程组为
x1
x2
x3
0
0 ,
1
1
解得基础解系
0
,
取a3
0
即合所求.
1
1
§1 向量的内积、长度及正交性
定义:设n维向量e1 ,e2 ,…,er是向量空间V( V Rn )的一个 基,如果e1 ,e2 ,…,er两两正交,且都是单位向量,则称 e1 ,e2 ,…,er是V的一个规范正交基.
同济版线性代数课件-1向量的内积、长度及正交性
在解析几何中，正交向量可以用来描述平面或空间中的点或线，并帮助解 决几何问题。
在物理中，正交向量可以用来描述相互垂直的力、速度或加速度等物理量 ，并用于解决物理问题。
在信号处理中，正交向量可以用来表示信号的频率分量和相位信息，并用 于信号分析和处理。
04
CATALOGUE
线性无关性及向量组的秩
线性无关的定义及性质
向量长度在几何中的应用
点到点距离 线段长度 角度测量
向量模的平方
向量的长度可以用来计算两点之间的距离，即连接两点的线段 的长度。
向量的长度可以用来计算线段的长度，即线段两端点之间的距 离。
向量的长度可以用来测量两个向量之间的夹角，通过计算两个 向量的内积可以得到夹角的余弦值。
向量的长度平方等于向量与自身的内积，即$|mathbf{a}|^2 = mathbf{a} cdot mathbf{a}$。
通过行变换或列变换将向量组转化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的个数即 为向量组的秩。
秩的应用及意义
要点一
秩的应用
在解决线性方程组、向量空间、矩阵分解等问题中，秩的 概念具有重要应用。
要点二
秩的意义
秩是描述向量组中独立分量个数的量，反映了向量组内部 的结构特性，是线性代数中重要的概念之一。
05
CATALOGUE
特征值和特征向量
特征值和特征向量的定义及性质
特征值和特征向量的定义
对于给定的矩阵A，如果存在一个非零向量 x，使得Ax=λx成立，则称λ为矩阵A的特征 值，x为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量 。
特征值的性质
特征值是实数，特征向量是相应的特征Байду номын сангаас程 的解，特征向量与特征值是对应的。
在物理中，正交向量可以用来描述相互垂直的力、速度或加速度等物理量 ，并用于解决物理问题。
在信号处理中，正交向量可以用来表示信号的频率分量和相位信息，并用 于信号分析和处理。
04
CATALOGUE
线性无关性及向量组的秩
线性无关的定义及性质
向量长度在几何中的应用
点到点距离 线段长度 角度测量
向量模的平方
向量的长度可以用来计算两点之间的距离，即连接两点的线段 的长度。
向量的长度可以用来计算线段的长度，即线段两端点之间的距 离。
向量的长度可以用来测量两个向量之间的夹角，通过计算两个 向量的内积可以得到夹角的余弦值。
向量的长度平方等于向量与自身的内积，即$|mathbf{a}|^2 = mathbf{a} cdot mathbf{a}$。
通过行变换或列变换将向量组转化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的个数即 为向量组的秩。
秩的应用及意义
要点一
秩的应用
在解决线性方程组、向量空间、矩阵分解等问题中，秩的 概念具有重要应用。
要点二
秩的意义
秩是描述向量组中独立分量个数的量，反映了向量组内部 的结构特性，是线性代数中重要的概念之一。
05
CATALOGUE
特征值和特征向量
特征值和特征向量的定义及性质
特征值和特征向量的定义
对于给定的矩阵A，如果存在一个非零向量 x，使得Ax=λx成立，则称λ为矩阵A的特征 值，x为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量 。
特征值的性质
特征值是实数，特征向量是相应的特征Байду номын сангаас程 的解，特征向量与特征值是对应的。
线性代数第12讲
15
α = x1l1 + L + xr lr β = y1l1 + L + yr lr
r r (α, β ) = ∑ xi li , ∑ y j l j j =1 i =1
= ∑∑ xi y j ( li , l j )
i =1 j =1 r
r
r
= ∑ xi yi
即此时α与β的内积只要考虑它们的坐标的 运算即可.
12
1 1 1, α = 2是正交的, 试 例 4.1 已知 α1 = 2 1 1 求α3, 使α1,α2,α3 两两正交. 解 求解齐次线性方程组: x1 1 1 1 0 1 2 1 x3 = 0 x 3
13
1 1 1 1 2 1
x1 x = 0 3 0 x 3
23
三, 正交矩阵
24
设在Rn中有一组规范正交基l1,Λ,ln, 即有
1, ( li , l j ) = δ ij = 0, j = i, j ≠ i.
把l1,Λ,ln排成矩阵A, 即A=(l1,Λ,ln), 则有
l1T l1T l1 l1T l2 L l1T ln T T T T l2 l2 l1 l2 l2 L l2 ln T A A= (l1 , l2 ,L, ln ) = =E M M M M T T T T ln ln l1 ln l2 L ln ln
第四章 矩阵的对角化 §1 向量内积与正交矩阵
1
一, 向量内积 定义4.1 设有n维向量 定义 x1 y1 M , y = M ∈ Rn . x= x y n n 定义 (x,y)=xTy=x1y1+Λ+xnyn 称其为向量x与y的内积 内积. 内积
2
由此定义可知, 两个n维实向量之内积是 一个实数. 且易验证, 此内积满足性质: (1)对称性: (x,y)=(y,x); (2)线性: (x+y,z)=(x,z)+(y,z),z∈Rn, (kx,y)=k(x,y), k∈R; (3)正定性: (x,x)≥0, (x,x)=0x=0
α = x1l1 + L + xr lr β = y1l1 + L + yr lr
r r (α, β ) = ∑ xi li , ∑ y j l j j =1 i =1
= ∑∑ xi y j ( li , l j )
i =1 j =1 r
r
r
= ∑ xi yi
即此时α与β的内积只要考虑它们的坐标的 运算即可.
12
1 1 1, α = 2是正交的, 试 例 4.1 已知 α1 = 2 1 1 求α3, 使α1,α2,α3 两两正交. 解 求解齐次线性方程组: x1 1 1 1 0 1 2 1 x3 = 0 x 3
13
1 1 1 1 2 1
x1 x = 0 3 0 x 3
23
三, 正交矩阵
24
设在Rn中有一组规范正交基l1,Λ,ln, 即有
1, ( li , l j ) = δ ij = 0, j = i, j ≠ i.
把l1,Λ,ln排成矩阵A, 即A=(l1,Λ,ln), 则有
l1T l1T l1 l1T l2 L l1T ln T T T T l2 l2 l1 l2 l2 L l2 ln T A A= (l1 , l2 ,L, ln ) = =E M M M M T T T T ln ln l1 ln l2 L ln ln
第四章 矩阵的对角化 §1 向量内积与正交矩阵
1
一, 向量内积 定义4.1 设有n维向量 定义 x1 y1 M , y = M ∈ Rn . x= x y n n 定义 (x,y)=xTy=x1y1+Λ+xnyn 称其为向量x与y的内积 内积. 内积
2
由此定义可知, 两个n维实向量之内积是 一个实数. 且易验证, 此内积满足性质: (1)对称性: (x,y)=(y,x); (2)线性: (x+y,z)=(x,z)+(y,z),z∈Rn, (kx,y)=k(x,y), k∈R; (3)正定性: (x,x)≥0, (x,x)=0x=0
向量的内积、正交性
| OP |
2 2 2 x1 x2 x3 [ x , x ]
向量的长度 定义：令
|| x || [ x , x ]
2 2 2 x1 x2 xn
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质：
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．
回顾：线段的长度
P(x1, x2)
x2
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
若令 x = (x1, x2)T，则
| OP |
2 2 x1 x2 [ x , x ]
O
x1
P 若令 x = (x1, x2, x3)T，则 x3 x2 x1 O
|| e1 || [e1 , e1 ] 1
从而 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个规范正交基．
1 1 4 例：设 a1 2 , a2 3 , a3 1 ，试用施密特正交化 1 1 0 过程把这组向量规范正交化．
x1 x 3 得 x2 0
1 1 从而有基础解系 0 ，令 a3 0 ． 1 1
定义： n 维向量e1, e2, …, er 是向量空间 V R n中的向量， 满足 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； e1, e2, …, er 两两正交； e1, e2, …, er 都是单位向量， 则称 e1, e2, …, er 是V 的一个规范正交基．
说明：
• 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数． • 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时， [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y ．
2 2 2 x1 x2 x3 [ x , x ]
向量的长度 定义：令
|| x || [ x , x ]
2 2 2 x1 x2 xn
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质：
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．
回顾：线段的长度
P(x1, x2)
x2
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
若令 x = (x1, x2)T，则
| OP |
2 2 x1 x2 [ x , x ]
O
x1
P 若令 x = (x1, x2, x3)T，则 x3 x2 x1 O
|| e1 || [e1 , e1 ] 1
从而 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个规范正交基．
1 1 4 例：设 a1 2 , a2 3 , a3 1 ，试用施密特正交化 1 1 0 过程把这组向量规范正交化．
x1 x 3 得 x2 0
1 1 从而有基础解系 0 ，令 a3 0 ． 1 1
定义： n 维向量e1, e2, …, er 是向量空间 V R n中的向量， 满足 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； e1, e2, …, er 两两正交； e1, e2, …, er 都是单位向量， 则称 e1, e2, …, er 是V 的一个规范正交基．
说明：
• 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数． • 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时， [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y ．
线性代数习题4.1向量的内积与正交向量组 (1)
线性代数
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8 14 T T 0,2,1,3 3,5,1,1 1,1,1,1 4 14
T
[ 1 , a3 ] [ 2 , a3 ] 3 a3 1 2 [ 1 , b1 ] [ 2 , 2 ]
1,1,2,0
，
线性代数
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§4.1 向量的内积与正交向量组
k k 将向量单位化的方法：
1
1
1
1
为单位向量。 单位化得
1 1 2 14 3
三、正交向量组 称 arccos
[ , ]
1 2 如： 3
2内积是两个向量之间的一种运算，其结果 是一个实数，它也可以看着矩阵的乘积， 即有 T
,
线性代数
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§4.1 向量的内积与正交向量组
内积的运算性质 （其中 , , R , k , l R)
n
(1)
(2)
.
, , ; , , ;
§4.1 向量的内积与正交向量组
第四章
矩阵的特征值与特征向量
§4.1 向量的内积与正交向量组
线性代数
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§4.1 向量的内积与正交向量组
一、向量的内积
定义4.1.1 设n维向量 (1 , 2 ,, an )T T n (b1 , b2 ,, bn ) R 记
由于
[ei , e j ] 0, i j且i, j 1, 2,3, 4. [ei , e j ] 1, i j且i, j 1, 2,3, 4.
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8 14 T T 0,2,1,3 3,5,1,1 1,1,1,1 4 14
T
[ 1 , a3 ] [ 2 , a3 ] 3 a3 1 2 [ 1 , b1 ] [ 2 , 2 ]
1,1,2,0
，
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§4.1 向量的内积与正交向量组
k k 将向量单位化的方法：
1
1
1
1
为单位向量。 单位化得
1 1 2 14 3
三、正交向量组 称 arccos
[ , ]
1 2 如： 3
2内积是两个向量之间的一种运算，其结果 是一个实数，它也可以看着矩阵的乘积， 即有 T
,
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§4.1 向量的内积与正交向量组
内积的运算性质 （其中 , , R , k , l R)
n
(1)
(2)
.
, , ; , , ;
§4.1 向量的内积与正交向量组
第四章
矩阵的特征值与特征向量
§4.1 向量的内积与正交向量组
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§4.1 向量的内积与正交向量组
一、向量的内积
定义4.1.1 设n维向量 (1 , 2 ,, an )T T n (b1 , b2 ,, bn ) R 记
由于
[ei , e j ] 0, i j且i, j 1, 2,3, 4. [ei , e j ] 1, i j且i, j 1, 2,3, 4.
向量的内积
[ , ]
0
§4.1 向量的内积
定义4： 、 为任意两个向量，若内积 设
[ , ] 0
则称 与 正交或互相垂直，记作 .
注：
① 零向量与任意向量正交. ②
2 , 即 co s 0
.
§4.1 向量的内积
例1. 已知
称 [ , ] 为内积.
注：内积可用矩阵乘积表示为
[ , ] .
T
§4.1 向量的内积
内积的基本性质
1) 2) 3) [ , ] [ , ]; [ k , ] k [ , ]; [ , ] [ , ] [ , ]; [ , ] 0，当且仅当 0 时, [ , ] 0 .
T T
T
化成单位正交的向量组. 解：令 1 1 (1, 1, 1, 1)
2 2
[ 2 , 1 ] [ 1 , 1 ]
T
正交化
1 ( 2 , 2 , 2 , 2 )T
[ 3 , 2 ] [ 2 , 2 ]
3 3
[ 3 , 1 ] [ 1 , 1 ]
4)
§4.1 向量的内积
向量的长度
定义2
( x 1 , x 2 , , x n ) ,
T
[ , ]
x1 x 2 x n ,
2 2 2
称为向量 的长度. 特别地，当 1时，称 为单位向量.
1) 2)
0， 0 0 ；
1
2 ( 1, 1, 1, 1)
T
§4.1 向量的内积
第4章 4.1向量的内积
设 1 ,2 ,,r 是向量空间V的一组基，要求V的一 组规范正交基，也就是要找一组两两正交的单位 向量 e1 , e2 ,, er , 使 e1 , e2 ,, er 与 1 ,2 ,,r 等价. 这一过程称为把基 1 ,2 ,,r 规范正交化.
施密特(Schmidt)正交规范化方法 -----------将线性无关向量组改造为规范正交组
例：
1 0 0 0
e1
0 0
,
e2
1 0
,
e3
0 1
,
e4
0
0
0 0 0 1
是 R4 的一个规范正交基．
e1
1
1
0
2
2
,
e2
1
1
0
2
2
,
e3
1
0 0
2
,
e4
0 0 12
0
0
1 2
1 2
也是 R4 的一个规范正交基．
同 理 A为正交矩阵的充要条件是 A的行向量
是两两正交的单位向量．
练习: 判断下列矩阵是否为正交矩阵.
1
1 1 2 3
（1）
1
2
1
1
2
×
1 3
1 2
1
1 8 4
（2） 9 9 9
8
9
1 9
4
9
√
4 9
4 9
7 9
（3）设 1 ,2 ,3 是一个规范正交组，求 41 72 43
然后将其正交化，得
2
(1, 0, 1)T
,3
1 (1, 2, 1)T 2
,则2 , 3为所求.
练习：将下列向量规范正交化
施密特(Schmidt)正交规范化方法 -----------将线性无关向量组改造为规范正交组
例：
1 0 0 0
e1
0 0
,
e2
1 0
,
e3
0 1
,
e4
0
0
0 0 0 1
是 R4 的一个规范正交基．
e1
1
1
0
2
2
,
e2
1
1
0
2
2
,
e3
1
0 0
2
,
e4
0 0 12
0
0
1 2
1 2
也是 R4 的一个规范正交基．
同 理 A为正交矩阵的充要条件是 A的行向量
是两两正交的单位向量．
练习: 判断下列矩阵是否为正交矩阵.
1
1 1 2 3
（1）
1
2
1
1
2
×
1 3
1 2
1
1 8 4
（2） 9 9 9
8
9
1 9
4
9
√
4 9
4 9
7 9
（3）设 1 ,2 ,3 是一个规范正交组，求 41 72 43
然后将其正交化，得
2
(1, 0, 1)T
,3
1 (1, 2, 1)T 2
,则2 , 3为所求.
练习：将下列向量规范正交化
4.1向量的内积(1)
• 定理2. A为正交矩阵的充要条件是 A的行（列）向量组为单位正交向量 组。
• 定理3. 设A、B为同阶正交矩阵 ，则AT、A-1、AB也是正交矩阵， 且︱A︱=1或-1.
作业
• 118页，第5、6、12、14、15题，其中 第12题改为“将向量组标准正交化” 。
, 0， 且, 0 0
• 定义2. , a12 a22 an2
称为向量的长度（模）。
• 性质1. 非负性 0 • 性质2. 齐次性 k k
• 性质3. Cauchy-Schwarz不等式
,
• 性质4. 三角不等式
且
, 0
• 定义3.
设, 为非零向量，称 , arccos (, ) 为与的夹角。
• 定义4. 当, 0时，称向量，
正交（垂直），记为 。
• 定义5. 一组非零的两两正交的向量 称为正交向量组，如果其中每个向量 都是单位向量，则称之为单位正交向 量组（标准正交向量组，正交规范向 量组）。
第四章
特征值与 特征向量
第1节
向量的内积
一、向量的内积
•
定义1.
设
a1
a2
,
b1
b2
R
n，称
,
an
bn
T T a1b1 a2b2 anbn 为向量与的内积。
• 性质1. • 性质2. • 性质3. • 性质4.
α, β = β,α kα, β = k α, β α Ư. 正交向量组线性无关。
二、Schmidt正交化方法
线性无关向量组
正交向量组
单位正交向量组 （保持等价关系）
• 步骤.
已知1, 2 ,
,
线性无关
• 定理3. 设A、B为同阶正交矩阵 ，则AT、A-1、AB也是正交矩阵， 且︱A︱=1或-1.
作业
• 118页，第5、6、12、14、15题，其中 第12题改为“将向量组标准正交化” 。
, 0， 且, 0 0
• 定义2. , a12 a22 an2
称为向量的长度（模）。
• 性质1. 非负性 0 • 性质2. 齐次性 k k
• 性质3. Cauchy-Schwarz不等式
,
• 性质4. 三角不等式
且
, 0
• 定义3.
设, 为非零向量，称 , arccos (, ) 为与的夹角。
• 定义4. 当, 0时，称向量，
正交（垂直），记为 。
• 定义5. 一组非零的两两正交的向量 称为正交向量组，如果其中每个向量 都是单位向量，则称之为单位正交向 量组（标准正交向量组，正交规范向 量组）。
第四章
特征值与 特征向量
第1节
向量的内积
一、向量的内积
•
定义1.
设
a1
a2
,
b1
b2
R
n，称
,
an
bn
T T a1b1 a2b2 anbn 为向量与的内积。
• 性质1. • 性质2. • 性质3. • 性质4.
α, β = β,α kα, β = k α, β α Ư. 正交向量组线性无关。
二、Schmidt正交化方法
线性无关向量组
正交向量组
单位正交向量组 （保持等价关系）
• 步骤.
已知1, 2 ,
,
线性无关
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为
的规范化(单位化)向量。
例2 解
1 将向量 2 2
单位化。
1 1 2 3 2
1 22 22 3
二、正交向量组 设有非零向量组 同的向量都是正交的，即 如果其中任意两个不
则称该向量组为正交向量组。
性质 设
都是 n 维向量， 为实数则有 K
当且仅当
时等式成立
下面证明 30。
,
, ,
定义2 设
称
当 定义3 显然，若 时， 称为单位向量。 当 时， 称
为 的长度。
与 正交。
那么
与任何向量都正交。
例1 对于
称
例3
求与
都正交的单位向量。
解 设所求向量为
即
1 0 0 1 1 1 1 1 令 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 得 1 1 1 1 为所求的向量 单位化得
定义4 在欧氏空间
中，若
满足 为标准正交基。
称
例如 在 中，
同样可得正交向量
仍可得标准正交向量组
然后再标准化，
三、正交矩阵 定义5 性质1 性质2 是n阶方阵,若 设 是正交矩阵 标准正交基) 称 是正交矩阵
是正交矩阵则A可逆且
的列(行)向量组为正交单位向量组 证明 设 则
A 为正交阵
i , j i j
即 A 的 n 个列向量是单位正交向量组。 例5 观察下列矩阵是否为正交矩阵
第四章 相似矩阵与二次型
一、向量的内积与正交 二、方阵的特征值与特征向量 三、相似矩阵 四、实对称矩阵的对角化 五、二次型及其矩阵表示 六、化二次型为标准形
第一节
向量的内积与正交
一、向量的内积 二、正交向量组 三、正交矩阵
一、向量的内积 定义1 设 称
为向量
与
的内积 .
叫做欧氏空间 。
定义了内积的向量空间 ， 为行向量，简记 ， 为列向量，简记
定理1
中两两正交、非零向量组 一定线性无关。
证明
使
设有一组数 两边与
作内积
故
线性无关。
但线性无关 注：正交向量组是线性无关的向量组，
向量组却不一定是正交向量组。 例如
是线性无关的向量组，但是由于
1, 2 1
2 ,3 2
1 , 3 1
因此，它不是正交向量组。
解 AA E 则 A 是正交矩阵。
则 B 是正交矩阵。
则 C不 是正交矩阵。
性质3
证
设 A、B 都是正交矩阵， AB 也是正交矩阵。 则
因为 A 、B都是正交矩阵，则 A A E B B E
B A A B E AB AB B A AB
及 都是的标准正交基。
例4
求
在标准正交基
下的坐标。
解 两边与 作内积
x1 (1 , 1 ) x1 x2
x3
施密特正交化方法
定理2 设 是欧氏空间 中的一个
线性无关向量组。
令 …
则 并且
是正交向量组， 与
等价。
例5 试用施密特正交化过程将线性无关的向量组 化成标准正交基.
Байду номын сангаас
解
先将
则 AB 也是正交矩阵。
性质4
设 A 是正交矩阵，则 A1 与 A , A
也是正交矩阵。
性质5
设 A 是正交矩阵，则
A 1.
例6 (1) 证明 (1) (2)
为
阶正交阵，则
或
(2)
是正交矩阵
可逆，
从而
‘
作业
P229 1 3(1) 4(1)(2) 5 6(1)
正交化，取
单位化
为等价的单位正交化向量组。 即是一组标准正交基。
在本例的计算过程中，
的分量是分数，为了计算
1 1 2 方便，我们也可以取 2 1 来代替 2 3 1 2 2 此时 1 与 2 仍正交，再令