“同向不等式”运用
运用同向不等式相加解题的错因分析
运用同向不等式相加解题的错因分析作者：卫保新来源：《试题与研究·教学论坛》2013年第26期教师在课堂教学中，学生在解题过程中经常会遇到应用不等式的性质：同向不等式相加或同向不等式相乘去解决变量、参数的取值范围，求变量及参数的最大、最小值问题，得出的结果常出现范围扩大或取不到最大、最小值的情况。
以下通过解题分析对运用此内容解题进行剖析与反思。
例1 2009高考全国卷22题：设函数f（x）=x3+3bx2+3cx两个极点x1，x2，且x1∈[-1，0]，x2∈[1，2]。
（1）求b，c满足的约束条件，并在坐标系内画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：-10≤f（x2）≤-■解题过程第（1）解答略，第（2）问解答如下解法（一）解：由f′（x）=3x2+6bx+3c，则f′（x2）=3x■■■+6bx2+3c=0，∴b=-■，∴f（x2）=x■■■+3bx■■■+3cx2=-■x■■■+■x2∵θ1≤x2≤2，∴-4≤-■x■■■≤-■，由（1）得-2≤c≤0∴-6≤■x2≤0，∴-10≤-■x■■■+■x2≤-■，即-10≤f（x2）≤-■解法（二）解：由f′（x）=3x2+6bx+3c，则f′（x2）=3x■■■+6bx2+3c=0，所以c=-2x■■■-2bx2，f（x2）=x■■■+6bx■■■+x2（-3x■■■-6bx2）=-2x■■■-3bx■■■θ1≤x2≤2，∴-16≤-2x■■■≤-2，又由（1）得-1≤b≤0，0≤-3bx■■■≤12所以-16≤-2x■■■-3bx■■■≤10，-16≤f（x2）≤10解法（三）解：由f′（x）=3x2+6bx+3c，由题意知x1，x2是方程的由3x2+6bx+3c=0两根，∴x1+x2=-2b，x1x2=c，∴f（x2）=x■■■+3bx■■■+3cx2=-■x■■■+■x1x2，θ1≤x2≤2，∴-4≤-■x■■■≤-■，又-1≤x1≤0，∴-6≤■x1x2≤0∴-10≤-■x■■■+■x1x2≤-■即-10≤f（x2）≤-■问题：为何b，x2用表示f（x2）时，证出的范围扩大了，是解法错误吗？但三种方法用的都是同向不等式相加及同向不等式相乘，运算的过程不错，方法也不错，为何范围扩大了呢？分析错因：1.在解法（二）中，不妨从不等式等号成立的条件分析，不等式右等号成立的条件是-3bx■■■=12且-3x■■■=-2同时成立，若结论中右等号成立，由-3bx■■■=12得b=-1，x2=2，由-2x■■■=-2等号成立则x2=1，故同向不等式不能同时取等号，即结论中右等号不成立，同理左等号也不成立。
几类常见不等式-简单完美总结
)
（答： （ （4）若不等式 (−1) n a < 2 + _____
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7 −1 3 +1 , ） ） ； 2 2
(−1) n +1 对于任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是 n
（答： a = 0 时，{x | x < 0} ； a > 0 时，{x | x >
1 1 或 x < 0} ； a < 0 时，{x | < x < 0} 或 a a
x < 0} ） 提醒： （1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示； （2）不等式 解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 x 的不 x−2 等式 ax − b > 0 的解集为 (−∞,1) ，则不等式 （－1,2） ） > 0 的解集为__________（答： ax + b 十一．含绝对值不等式的性质： a、b 同号或有 0 ⇔ | a + b |= | a | + | b | ≥ || a | − | b ||= | a −b |； a、b 异号或有 0 ⇔ | a − b |= | a | + | b | ≥ || a | − | b ||= | a + b |. 如设 f ( x) = x 2 − x + 13 ，实数 a 满足 | x − a |< 1 ，求证： | f ( x) − f (a ) |< 2(| a | +1) 十二． 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题： 不等式恒成立问题的常规处理方式？ （常 应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结 构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题 若不等式 f ( x ) > A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ( x )min > A 若不等式 f (x ) < B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ( x )max < B 如（1）设实数 x, y 满足 x 2 + ( y − 1) 2 = 1 ，当 x + y + c ≥ 0 时， c 的取值范围是______ ； （答： 2 − 1, +∞ ） （2）不等式 x − 4 + x − 3 > a 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围_____ （答： a < 1 ） ； （3） 若不等式 2 x − 1 > m( x − 1) 对满足 m ≤ 2 的所有 m 都成立， 则 x 的取值范围_____
高考数学总复习 不等式的概念与性质
高考数学总复习 不等式的概念与性质一．不等式的概念：1、 不等式的意义：a>b ⇔a-b>0；a=b ⇔a-b=0；a<b ⇔a-b<0.2、 同向不等式：如果两个不等式中，每一个的左边都大于（或小于）右边，则这两个不等式称为同向不等式。
3、 异向不等式：如果两个不等式中，一个是左边大于右边，一个是左边小于右边，则这两个不等式称为异向不等式。
二、不等式的性质：(1)反对称性：若a>b,则b<a ；若b<a,则a>b.(2) 传递性：若a>b,b>c,则a>c.(3)同加原理：若a>b,则a+c>b+c.(4)同向相加原理：若a>b,c>d,则a+c>b+d.(5）同乘原理：若a>b,c>0,则ac>bc ；若a>b,c<0,则ac<bc.(6)同向相乘原理：若a>b>0,c>d>0,则ac>bd.(7)乘方原理：若a>b>0,则a n >b n .(8)开方原理：若a>b>0,则n n b a >.(9)倒数原理：若a>b>0，则b a 11<；若b<a<0,则ba 11<. 注意：（1）不等式的性质是解（证）不等式的基础，对任意两实数a,b,有：a>b ⇔a-b>0；a=b ⇔a-b=0；a<b ⇔a-b<0.这既是比较大小的理论依据，也是学习不等式的基础。
（2）对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件与结论之间的相互联系。
（3）不等式的性质应用于证明不等式，往往是从条件推出结论的变换关系，而解不等式则要求等价变形。
高考数学一轮复习(七) 不等式(定稿)
高考数学一轮复习（七）不等式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a bc d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
例：（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______ 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
高中数学不等式典型例题解析
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d>）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或>4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______（答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭）二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
第五讲 不等式性质及解法
博通教育辅导讲义年 级 高一辅导科目 数学 学科教师 课次数 课 题第五讲 不等式的基本性质及解法主管审核教 学 内 容知识点及例题精讲一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或n n a b >；4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
[例1]（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦bc ba c ab ac ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______ 二、一元二次不等式解法1.一元二次不等式(1)一元二次不等式经过变形，可以化成如下标准形式： ①ax 2+bx+c ＞0(a ＞0);②ax 2+bx+c ＜0(a ＞0).2.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集对比表二次函数△情况一元二次方程一元二次不等式y=ax2+bx+c(a＞0) △=b2-4ac ax2+bx+c=0(a＞0)ax2+bx+c＞0(a＞0)ax2+bx+c＜0(a＞0)图像与解△＞0x1=x2=不等式解集为｛x｜x＜x1或x＞x2＝不等式解集为｛x｜x1＜x＜x2＝△=0x1=x2=x0=不等式解集｛x｜x≠x0,x∈R｝解集为△＜0 方程无解不等式解集为R(一切实数)解集为a＜0的情况自己完成3.一元n次不等式(x-a1)(x-a2)…(x-a n)＞0,(x-a1)(x-a2)…(x-a n)＜0，其中a1＜a2＜…＜a n.把a1,a2,…a n按大小顺序标在数轴上，则不等式的解的区间如图所示：综合可知，一元二次不等式的解法充分运用了“函数与方程”，“数形结合”及“化归”的数学思想，一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值为零时对应的x值，一元二次不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于零或小于零时x的取值范围，因此解一元二次方程ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0一般要画与之对应的二次函数y=ax2+bx+c的图像.例1解下列关于x的不等式：(1)2x+3-x2＞0;(2)x(x+2)-1≥x(3-x);(3)x2-2x+3＞0;(4)x2+6(x+3)＞3;例2解不等式≥2.例3若函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)对任意的实数t,都有f(2+t)=f(2-t)，下列不等式成立的是( ) A.f(1)＜f(2)＜f(4) B.f(2)＜f(1)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)例4已知不等式ax2+bx+2＞0的解为-＜x＜，求a，b值.例5若x2+qx+q＞0的解集是｛x｜2＜x＜4｝，求实数p、q的值.例6设A=｛x｜-2＜x＜-1,或x＞1｝，B=｛x｜x2+ax+b≤0｝，已知A∪B=｛x｜x＞-2｝，A∩B=｛x｜1＜x≤3｝，试求a,b 的值.例7已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.(1)如果对一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围.(2)如果对x∈〔-3，1〕，f(x)＞0成立，求实数a的取值范围.例8公园要建造一个圆形喷水池.在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如下左图所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离为1米处达到距水平最大高度为2.25米，如果不计其他因素，那么水池半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?巩固练习与随堂测验一、选择题1.已知集合A=｛x｜x2-2x-3＜0 ，B=｛x｜｜x｜＜a ，若B A，则实数a的取值范围是( )A.0＜a≤1；B.a≤1；C.-1＜a≤3；D.a＜1.2.集合A=｛x｜x2-3x-10≤0，x∈Z｝，B=｛x｜2x2-x-6＞0，x∈Z｝，则A∩B的子集的个数为( )A.16；B.8；C.15；D.7.3.不等式≥0的解集是( )A.｛x｜-1≤x≤3｝B.｛x｜x≤-1，或x＞3｝C.｛x｜x≤-1，或x≥3｝D.｛x｜-1≤x＜3｝4.若对于任何实数，二次函数y=ax2-x+c的值恒为负，那么a、c应满足( )A.a＞0且ac≤B.a＜0且ac＜C.a＜0且ac＞D.a＜0且ac＜0二、填空题2.不等式ax2+bx+2＞0的解集是｛x｜- ＜x＜,则a+b=________ .3.不等式≤1的解集是 __________________ .4.不等式-4≤x2-3x＜18的整数解为____________________ .5.已知关于x的方程ax2+bx+c＜0的解集为｛x｜x＜-1或x＞2｝.则不等式ax2-bx+c＞0的解集为___________________________________ .三、解答题1.求不等式x2-2x+2m-m2＞0的解集.4.已知a＞1解关于x的不等式组5.解不等式课后作业1.解关于x的不等式x2-x-a2+a＞02.已知函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图像都在x轴上方，求实数k的取值范围.3.已知A=｛x｜x2-3x+2≤0｝,B=｛x｜x2-(a+1)x+a≤0｝.(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B A，求a的取值范围；(3)若A∩B为仅含有一个元素的集合，求a的值.4不等式＞1解集是 .5如下图，铁路线上AB段长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千米.现要在AB上某一点D处向C修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为3∶5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最少，D点应选在何处?6要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形的窗户(如下图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸?。
不等式的性质（1）同向不等式可以相加
不等式1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或>（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若；⑤b aa b b a ><<则若,0；⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______（答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭）2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。
不等式知识点及其解题技巧
不等式知识点及其解题技巧不等式知识点及其解题技巧不等式的性质：1.同向不等式可以相加；异向不等式可以相减。
例如，若a>b,c>d，则a+c>b+d（若a>b,cb-d），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2.左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘。
例如，若a>b>0,c>d>0，则ac>bd（若a>b>0,0<c<d，则ab<cd）；3.左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方。
例如，若a>b>0，则a>b或ad>0，则c>d或c<d；4.若a>b>0,c>d>0，则a+c>b+d；若a>b>0,0b-d；5.若ab或ab；6.若ab；若a<b<0，则a<b；7.若c>a>b>d，则c-d>a-b；若a>b,0b。
例如：1.对于实数a,b,c中，给出下列命题：①若a>b，则ac>bc；②若ac>bc，则a>b；③若ab>c；④若a<b<c，则a<c；⑤若ab；⑥若ab；⑦若c>a>b>d，则c-d>a-b；⑧若a>b,0b。
其中正确的命题是②③⑥⑦⑧。
2.已知-1≤x+y≤1，1≤x-y≤3，则3x-y的取值范围是1≤3x-y≤7.3.已知a>b>c，且a+b+c=1，则$\frac{c-2a}{2a}$的取值范围是$(-2,-1)$。
不等式大小比较的常用方法：1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2.作商（常用于分数指数幂的代数式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6.利用函数的单调性；7.寻找中间量或放缩法；8.图象法。
运用同向不等式相加解题的错因分析
一
１ ０ ≤ ， ） ≤一 一 １
２
ｌ 厂 （ ０ ） ＝ ｃ
解法（ 二）
解： （ ） ＝ ３ 。 ＋ ６ ｂ ｘ ＋ ３ ｃ ， 则厂 （ Ｘ ２ ） ＝ ３ ｘ ￣ ＋ ６ ｂ ｘ ２ ＋ ３ ｃ ＝
・ ．
．
ｃ ＝ 一 ２ ； 一 ２ ｂ ｘ ２ ｌ ２ ） ＝ ｉ ＋ ６ ６ ； ＋ ２ （ 一 ３ ！ 一 ６ ｂ ｘ ２ ） ＝ 一 ２ ｘ ｉ
一
３ ｂ ｘ ；
Ｏ ｌ ≤ ２ ≤２ ． 一 １ ６ ≤一 ２ ｉ ≤一 ２ ， 又 由（ １ ） 得一 １ ≤６ ≤
’ ．
－ ｌ 吉 ｎ ｌ ≤ ｊ ， （ １ ） Ｉ ＋ ｏ ） ｌ ＋ ｌ 吉 ） ｌ ≤ ８
—
ｌ ２’
０ １ ． ・ ． 一 ４ ≤ 一 丢 臻一 １ ２ ， 又 一 １ ． ・ ， 一
６≤ 础 ≤０ ｌ ０≤ 一 １
＿
一
３
．
．
： ≤ 一
Ｏ ． ０≤ 一 ３ ｂ ｘ ； ≤１ ２
２ ｌ ｆ １１ ） １
由已知得 ０ ） Ｉ ≤２ ， Ｉ ， （ １ ） ｌ ≤２ ， Ｉ ， （ 一 １） ｌ ≤２
２
’ ．
所以一 １ ６ ≤一 ２ ｉ 一 ３ ６ ｉ ≤１ ０ ， 一 １ ６ ≤ ２ ） ≤１ ０
解法（ 三） 解： 由厂（ ） ＝ ３ ｘ ＋ ６ ｂ ｘ ＋ ３ ｃ ， 由题 意 知 Ｘ ２ 是 方程 的 由３ ｘ ２ ＋ ６ ｂ ＋ ３ ｃ ＝ ０ 两根 ， － ＋ ２ ： 一 ２ ６ ， ： ： ｃ ： ） ＝ ３ ｂ ｊ ＋ ３ ｃ ２ ＝ 一 １
高中数学复习系列---不等式(基础知识总结) (学)
高中数学复习系列---不等式（基础知识总结）【不等式的基础知识总结】一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
训练1：（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④ba b a 11,0<<<则若；⑤b a a b b a ><<则若,0；⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
必修五 不等式
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；4．若，，则；若，，则。
如（1）对于实数中，给出下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，则。
其中正确的命题是______（2）已知，，则的取值范围是______（3）已知，且则的取值范围是______二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
如（1）设，比较的大小（2）设，，，试比较的大小（3）比较1+与的大小三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。
如（1）下列命题中正确的是A、的最小值是2B、的最小值是2C、的最大值是D、的最小值是（2）若，则的最小值是______（3）正数满足，则的最小值为______4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、c R，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。
如如果正数、满足，则的取值范围是_________五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。
).常用的放缩技巧有：如（1）已知，求证：；(2) 已知，求证：；（3）已知，且，求证：；(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：；（5）已知，求证：；(6)若，求证：；(7)已知，求证：；（8）求证：。
6.1不等式的性质
9
课堂练习：
3. 当a > b > c时，下列不等式恒成立
的是
( B)
A．ab > ac B．(a b)|c b| > 0
C．a| c | > b| c | D．| ab | > | bc |
4.已知a、b为实数，则“a + b > 2”是 “a、b中至少有一个大于1”的(A )条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．不充分也不必要
能否加强条件得出ac > bd呢?
3
2、不等式的性质： 推论1 如果a > b > 0，且c > d > 0，
那么ac > bd．(相乘法则) 说明：(1) 上述证明是两次运用定理4， 再用定理2证出的；
(2) 所有的字母都表示正数，如果仅有 a > b，c > d，就推不出ac > bd的结论；
10
小结 1．通过本节学习，大家要掌握不等 式性质的应用及反证法证明思路，为以 后不等式的证明打下一定的基础．
2．同向不等式可以相加、相乘，所 得不等式与原不等式同向，但不能相减 或相除；异向不等式可以相减、相除， 所得不等式与被减或被除不等式同向， 但不能相加或相乘．相乘、相除时，要 求不等式两边均为正数．
不等式中不正确的是 A．a d > b c C．a + d > b + c
BD( ．．Cada c)>bc bd
2. 如果a、b为非0实数，则不等式 1 1
成立的充要条件是 ( D )
ab
A．a > b且ab < 0 B．a < b且ab > 0
பைடு நூலகம்
2022高考数学知识考点精析18 不等式
第十八讲不等式一、不等式的性质（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：a ＞b,c ＞d ，则 ac ＞bd, （a>b ,cb －d ），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘但不能相除；异向不等式可以相除但不能相乘：a>b>0 c>d>0 a>b, cbd （或db c a ） （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方 a>b>0则a n>b n或n n b a （4）ab>0,则a>b b a 11 ⇔,abb 11a b⇔ 二、均值不等式：算术平均数与几何平均数常用公式及变形：（1）()())()22222222,22,22,,2,222112a b a b a b R a ba b R a b ab a b R a b ab a b ab a b R ab a b a b a b a b ++⎧++⎛⎫≥∈⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪+≥∈⎪⎪+≥∈⇒⎨+⎪≤⎪⎪+⎛⎫⎪≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩+=≤≤≤+≤++或或（2）()3333,,a b c abc a b c R a b c ++≥∈⇒++≥注、对于两个正数,，若已知,,22111,,x y x y xy++中的某一个为定值，可求出其余各个的最值，如：（1）当＝P 22112,x y p x y +≥+≥241S 222211411,,4,2S x y x y S xy S +≥+≥≥⨯221112,2p xy x y xy p ≥+≥≤ba⇐⇐⇐⇐⇐⇒⇒⇒211111111(1)(1)1n n n n n n n n n -=<<=-++--=<<=()()111!!1!n n n n =-++22,,x y a x y αα+===常设(()()()()()()()()()21200f x f x g x g x g x f x g x ⎧≥≥⎧⎪⎪≥⎨⎨⎪⎪⎩⎩一化为或(()()()()()200f x g x g x f x g x ⎧≥⎪⇒≥⎨⎪⎩二()()21.log 1x x -+2log 0a x x-211111.1,.1,.0,.016161616A a B a C a D a ≤≤()()()(){}()()()()211010,510,1,20,10,11,11121,130111130101ax a x x a x x a x a aa x x a x x a a a x x x x x a a φ-++<-<⎛⎫=>>-<==⇒ ⎪⎝⎭⎧⎫⎧⎫⇒<<<<⇒<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎛⎫<⇒-->⇒><⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭化为ax-1分三大类二个层次个小类：11化为x-a 或()()1121022a x a x a x x ---+⇒--()()()()()210,2,20,1230,1241,,2,1a a a a a a a a a φ-⎛⎫<=⎪-⎝⎭-⎛⎫<α<1,2, ⎪-⎝⎭-⎛⎫>-∞+∞ ⎪-⎝⎭当时，原不等式的解集是当时原不等式的解集是当时原不等式的解集是当时原不等式的解集是()()52∞当a=1时,原不等式的解集是，＋)(x f m ≥],[b a x ∈max)(x f m ≥)(x f m <],[b a x ∈min )(x f m <)(x f m ≥],[b a x ∈min )(x f m ≥)(x f m >],[b a x ∈min )(x f m ≤m )()(x g x f >],[b a x ∈],[b a x ∈min )(x f max)(x g 0)()()(min >-=x g x f x h )(x h ],[b a x ∈)(x f )(x g ,n]内恒有f>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于 ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f同理，若在[m,n]内恒有f<0，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f（2）二次函数型：若二次函数=a 2bc=0a ≠0大于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆>00a 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
同向不等式
同向不等式是一类常见的不等式，指对于两个或几个不等式，若大于或小于是同方向的，即同是>或同是<的不等式。
方向相反的两个不等式称为异向不等式。
在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边（或者每一个的左边都小于右边），那么这样的两个不等式就是同向不等式，例：2x+5>3与3x-2>5是同向不等式。
运算性质
两同向不等式间只能相加，不能相减；只能相乘，不能相除。
两异向不等式不可以直接做减法，不等式没有减法法则。
可以先取负号，变成同向不等式，再相加。
—1—。
必修5数学不等式典型例题解析
不等式一．不等式的性质：1．同向不等式能够相加；异向不等式能够相减：假设,a b c d >>，那么a c b d +>+（假设,a b c d ><，那么a c b d ->-），但异向不等式不能够相加；同向不等式不能够相减；2．左右同正不等式：同向的不等式能够相乘，但不能相除；异向不等式能够相除，但不能相乘：假设0,0a b c d >>>>，那么ac bd >（假设0,0a b c d >><<，那么a bc d>）；3．左右同正不等式：两边能够同时乘方或开方：假设0a b >>，那么n na b >>4．若0ab >，a b >，那么11a b <；若0ab <，a b >，那么11a b>。
如 （1）关于实数c b a ,,中，给出以下命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若； ⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，那么0,0a b ><。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，那么3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______ （答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭）二．不等式大小比较的经常使用方式：1．作差：作差后通过度解因式、配方等手腕判定差的符号得出结果； 2．作商（经常使用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方式；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻觅中间量或放缩法 ；8．图象法。
高考数学复习备忘录(八)不等式
高考数学备忘录（八）不等式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a cb d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>二．不等式大小比较的常用方法：(1)作差法：其基本步骤为：作差、变形、判断符号、得出结论。
用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法．(2)作商法：即判断商与1的关系，得出结论。
要特别注意商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负进行判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤．若a b >1，b >0，则a >b ，若a b>1，b <0，则a <b ．(3)单调性法：利用有关函数的单调性比较大小．(4)特值验证法：对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特值验证法比较大小．三．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根与一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0的解集的关系，可归纳为：四、常用不等关系式①重要不等式：()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.变形公式：22.2a b ab +≤②基本不等式： 2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式： a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭注：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.① 三个正数均值不等式：3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.变形公式： a b c ++≥ 33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭()a b c R +∈、、【拓展】①n 的正数的均值不等式：12+…n a a a n++≥12(,,)…,n a a a R +∈变形公式： 1212+……nn n a a a a a a n ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭12(,,)…,n a a a R +∈②不等式链：1122a b a b --+≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）. （即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）② 糖水不等式：若0,0a b m >>>，则b b m a a m+<+（糖水的浓度问题） 五、绝对值不等式的解法与绝对值三角不等式：(1)含绝对值的不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解法.①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ；②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c . (3)|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法．方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．（4）绝对值三角不等式定理1.如果a 、b 是实数，那么|a ＋b |≤|a |＋|b | ，当且仅当ab ≥0 时，等号成立．定理2.如果a ，b 是实数，那么||a |－|b ||≤|a ＋b | ，当且仅当ab ≤0 时，等号成立． 六．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。
不等式同向相加
不等式同向相加
不等式同向相加是数学中一个非常基本的概念。
当我们面对两个或多个不等式的情况时，如果它们的符号相同，我们就可以把它们相加，得到一个新的不等式。
这个新的不等式的符号依然保持原有的不等式的符号。
比如说，如果我们有两个不等式 a < b 和 c < d，如果我们知道 a 和 c 的值都比 b 和 d 的值小，那么我们就可以把这两个不等式同向相加。
这个概念在数学中非常重要，因为它可以帮助我们简化不等式的表达式，从而更好地解决数学问题。
同时，在很多实际的问题中，同向相加也常常会出现。
比如，当我们想要计算某个公司的累计销售额时，我们需要对每个季度的销售额进行相加。
同向相加在这种情况下也非常有用。
总而言之，不等式同向相加在数学和实际问题中都有着重要的应用。
它是数学学习的基础，也是解决实际问题的重要工具。
我们应该认真掌握这个概念，并善于运用它解决各种数学和实际问题。
高中数学不等式的应用
不等式性质的应用不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。
教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。
教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。
只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。
1．不等式性质成立的条件运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。
对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。
例1：若0<<b a ，则下列不等关系中不能成立的是（ ）A ．b a 11> B ．ab a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 解：∵0<<b a ，∴0>->-b a 。
由b a -<-11，ba 11>，∴（A ）成立。
由0<<b a ，||||b a >，∴（C ）成立。
由0>->-b a ，22)()(b a ->-，22b a >，∴（D ）成立。
∵0<<b a ，0<-b a ，0<-<b a a ，0>->-a b a ，)(11b a a --<-，ba a ->11，∴（B ）不成立。
故应选B 。
例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。
（1）若0<<b a ，则0<<b a ；（2）若0<<b a ，则0<<b a ； （3）0<<b a ，0<<b a ，则0<<b a ；（4）若0<<b a ，则0<<b a 。
分析：解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质就是看是否满足性质所需要的条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈“同向不等式”的运用
摘要：本文从同向不等式相加、相乘的适用范围，同向不等式相加、相乘的不可逆性两个方面阐述了“同向不等式”相加、相乘在使用过程中的注意事项以及缘由，并结合实例说明了同向不等式在教学中的应用。
关键词：同向不等式同向相加同向相乘
中图分类号： g718 文献标识码： c 文章编号：1672-1578（2011)08-0165-01
同学们在解决不等式的各类问题中，经常会用到同向不等式的性质，如同向相加这一性质，即若ɑ>b，c>d，则ɑ+c>b+d，则，再如在正数范围内，同向相乘这一性质，即若ɑ>b>0，c>d>0，则ɑc>bd。
在使用这两个性质时，常常因为对这些性质没有深刻透彻的理解，而出现各种失误。
下面，笔者就这些性质在应用时应注意的两点要求，举例说明。
1 同向相加、相乘的适用范围
同向不等式相加、相乘这些性质不是可以随意使用的，是有一定的适用范围的。
对于有限个同向不等式中的各个变量，如果他们都是互相独立的，互不影响的，那么可以适用同向不等式相加、相乘这些性质，如果各个变量之间并不独立，互相影响的，那么同向不等式相加、相乘这些性质不一定适用了。
以同向不等式相加为例，例如，1<x<2，3<y<4，因为x、y这两个变量在没有任何条件限制下，它们独立，互不影响，故利用同向不等式相加性质，可得
1+3<x+y<2+4，即4<x+y<6。
再如■<x<2，■<■<3，如果利用同向不等式相加性质，得出结论■<x+■<5显然是错误的，因为当x取最小值■时，■不能同时取最小值■，同理最大值也无法同时取得，也正因为x、■这两个变量是不独立的，互相制约的。
在正数范围内，同向不等式相乘也是如此。
2 注意同向相加、相乘的不可逆性
同向不等式相加、相乘这些性质是单向的，不具有可逆性，因为相加、相乘后的不等式与原不等式中的变量是不独立的，互相制约的。
以同向不等式相加为例，如已知条件：1<x<2①，3<y<4②，通过①+②得4<x+y<6③，①式不等式三边同乘-1，得
-2<-x<-1④，③+④得2<y<5⑤，显然⑤与已知条件②矛盾，这是因为③与④中的变量是不独立的，互相制约的。
在正数范围内，同向不等式相乘也是如此。
正因为如此，在求函数的值域或某些取值范围时，一般不宜用同向不等式相加、相乘这些性质，若用可能使函数的值域或所求取值范围扩大。
例: 已知函数f(x)=ɑx2-c，-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。
分析：根据题意,将f(3)用f(1),f(2)来表示, 然后利用不等式性质求解.
误点警示：由-4≤ɑ-c≤-1（1），-1≤4ɑ-c≤5（2），加减消元得0≤ɑ≤3（3），1≤ɑ≤7（4）时，不是等价变形，致使f(3)范围扩
大了。
其中“ɑ-c”、“4ɑ-c”应是一个整体，由条件式控制。
事实上：由0≤ɑ≤31≤ɑ≤7与（1）（2）不等价。
解：因为f（x）=ɑx2-c
所以f(1)=ɑ-cf(2)=4ɑ-c 即ɑ-c=f(1)4ɑ-c=f(2)
解得ɑ=■[f(2)-f(1)]c=■f(2)-■f(1)
所以f(3)=9ɑ-c=■f(2)-■f(1)
因为-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，
所以■≤-■f(1)≤■……①
-■≤■f(2)≤■……②
把①和②的各边分别相加，得
-1≤-■f(2)-■f(1)≤20
即-1≤f(3)≤20。
利用不等式性质求解不等式范围问题, 多次利用同向不等式相加、相乘性质应注意变形过程的等价性，否则容易导致错解.如本题的方法是先利用等式将已知条件与求解目标进行转化,再利用不等式性质求解。
参考文献：
[1]王林全，吴有昌主编.中学数学解题研究[m].科学出版社，2009.3.1.
[2]何小亚，姚静主编.中学数学教学设计[m].科学出版社，2008.7.1.
作者简介：翟正勇，籍贯江苏无锡，2005年7月毕业于苏州科技
学院数学系，2005年8月进入江苏省无锡立信中等专业学校担任数学教师，至今仍是助理讲师。