高考数学(理科)新一轮总复习考点突破课件：4.3平面向量的数量积及应用举例优质课件PPT
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高考理科第一轮复习课件(4.3平面向量的数量积)
【规范解答】（1）选A.由|a·b|＝|a||b|知，a∥b. 所以sin 2x＝2sin2x,即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)， 所以sin x＝cos x，即 x＝ ，故tan x＝1.
4
(2)选A.由题意得，BQ AQ AB 1 AC AB，
5．平面向量数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ ，则
数量积
x1x2＋y1y2 a·b＝_________
2 2 x1＋y1 ①|a|＝_______
模
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2 2 （x1－x 2） ＋（y1－y2） 则 | AB| ＝____________________
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ 为a与b(或e)的夹
角．则
(1)e·a=a·e=|a|cos
a·b=0 (2)a⊥b⇔_______.
θ .
(3)当a与b同向时，a·b=|a|·|b|.
当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|, |a|2 a a 特别地，a·a＝____或者|a|＝____.
第三节 平面向量的数量积
1.两个向量的夹角 定义 范围 向量夹角θ 的范围是 0°≤θ ≤180° _______________, 0°或180° 当θ = ___________时，两向 量共线； 90° 当θ = _____时，两向量垂直， 记作a⊥b（规定零向量可与任 一向量垂直）
非零 已知两个_____向量a,b， 作 OA a,OB b, ∠AOB=θ 叫作向量a与b的 夹角（如图）.
又∵a,b为两个不共线的单位向量，
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：4.3平面向量的数量积及应用举例
【解】 (1)证明：由|a－b|＝ 2得(a－b)2＝2， 即|a|2－2a· b＋|b|2＝2. 又∵|a|2＝|b|2＝1 ∴a· b＝ 0 因此，a⊥b. (2)由 a＋b＝c
cos α＋cos β＝0 得 sin α＋sin β＝1
，
由 cos α＝－cos β，0＜β＜α＜π 得 α＋β＝π. 又 sin α＋sin β＝1， 1 ∴sin α＝sin β＝2. 5π π ∴α＝ 6 ，β＝6.
第3课时
平面向量的数量积及应用举例
• • • • •
(一)考纲点击 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平 面向量的垂直关系．
• •
|x|2 1 当 x≠0 时， 2＝ ； y |b| y2 ＋ 3 ＋1 x x
y ∵x2＋ y 1 3x＋1≥ ， 4
|x|2 ∴|b|2≤4. |x| ∴|b|≤2. 答案：2
易错易混：向量综合运算的问题 → → 【典例】 (2014· 衡阳模拟)已知向量AB＝(2－k，－1)，AC＝(1， k)． (1)若△ABC 为直角三角形，求 k 值； (2)若△ABC 为等腰直角三角形，求 k 值．
1．两个向量的夹角 → 已知两个非零向量 a 和 b(如图)，作OA＝a， → OB＝b，则∠AOB＝θ(0° ≤θ≤180° )叫做向量 a 与 b 的夹角，当 θ＝0° 时，a 与 b 同向；当 θ＝180° 时，a 与 b 反向 ；如果 a 与 b 的夹角是 90° ，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.
b＝0 ； (2)a⊥b⇔ a· －|a||b| ， (3)当 a 与 b 同向时， a· b＝|a|· |b|； 当 a 与 b 反向时， a· b＝
高考数学(浙江版,理)课件：4.3 平面向量的数量积及平面向量的应用
·|b|·cos<a,b>-2|b|2=0.
又∵|a|= 2 2 |b|,∴ 8 |b|2- 2 2 |b|2·cos<a,b>-2|b|2=0.∴cos<a,b>= 2 .∵<a,b>
积(或内积),记作a·b=②|a|·|b|·cos θ .
(3)规定:0·a=0. (4)a·b的几何意义 a.一个向量在另一个向量方向上的投影
设θ是非零向量a与b的夹角,则③|a|cos θ 叫做a在b的方向上的投影,|b
|cos θ叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是 向量.当0°≤θ<90°时,它是正值,当90°<θ≤180°时,它是负值,当θ=90°时,它 是0. b.a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.
(2)向量a在b方向上的射影为|a|·cos<a,b>= a b |b|
,又a·b=(e1+3e2)·2e1=2e 12
+6e1
·e2=2+6× 1 =5,|b|=|2e1|=2,∴|a|·cos<a,b>= 5 .
2
2
平面向量数量积问题的类型及求法 (1)已知向量a,b的模及夹角θ,利用公式a·b=|a||b|·cos θ求解. (2)已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解.
∴向量 AB在 CD 方向上的投影为| AB |·cos< AB ,C D >= 5 × 3 10 = 3 2 .选A. 10 2
两平面向量的夹角与垂直
典例2 (1)(2015重庆,6,5分)若非零向量a,b满足|a|= 2 2 |b|,且(a-b)⊥(3a+ 3
又∵|a|= 2 2 |b|,∴ 8 |b|2- 2 2 |b|2·cos<a,b>-2|b|2=0.∴cos<a,b>= 2 .∵<a,b>
积(或内积),记作a·b=②|a|·|b|·cos θ .
(3)规定:0·a=0. (4)a·b的几何意义 a.一个向量在另一个向量方向上的投影
设θ是非零向量a与b的夹角,则③|a|cos θ 叫做a在b的方向上的投影,|b
|cos θ叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是 向量.当0°≤θ<90°时,它是正值,当90°<θ≤180°时,它是负值,当θ=90°时,它 是0. b.a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.
(2)向量a在b方向上的射影为|a|·cos<a,b>= a b |b|
,又a·b=(e1+3e2)·2e1=2e 12
+6e1
·e2=2+6× 1 =5,|b|=|2e1|=2,∴|a|·cos<a,b>= 5 .
2
2
平面向量数量积问题的类型及求法 (1)已知向量a,b的模及夹角θ,利用公式a·b=|a||b|·cos θ求解. (2)已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解.
∴向量 AB在 CD 方向上的投影为| AB |·cos< AB ,C D >= 5 × 3 10 = 3 2 .选A. 10 2
两平面向量的夹角与垂直
典例2 (1)(2015重庆,6,5分)若非零向量a,b满足|a|= 2 2 |b|,且(a-b)⊥(3a+ 3
高考理科数学复习平面向量的数量积及应用举例课件
2.向量的数量积在平面几何应用中的解题策略 (1)利用运算律结合图形先化简再运算. (2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等 还是互补).
【拓展】三角形四心的向量表示
在三角形ABC中,点O为平面内一点,若满足:
1.
uuur OA
uuur OB
= 0Ouu,Cur则点O为三角形的重心.
11
答案: 3
11
(2)已知O,N,P在△ABC所在平面内,且|OuuAur |=|OuuBur|=| OuuCu|r ,
uuur NA
uuur NB
=uN0uC,ur且
uuur uur PAgPB
PuuB,r则gPuuC点r OPuu,CrNgPu,uPAur依
次是△ABC的 ( )
A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心
【对点训练】
1.如图,AB是半圆O的直径,P是A»B上的点,M,N是直径AB 上关于O对称的两点,且AB=6,MN=4,则PuuMur ·PuuNur 等于
()
A.13
B.7
C.5
D.3
【解析】选C.连接AP,BP,则PuuMur
uuur PA
uuur uuur AM，PN
uur PB
uuur BN
第三节 平面向量的数量积及应用举例
(全国卷5年6考)
【知识梳理】
1.向量的夹角
(1)定义:已知两个非零向量a和b,作
uuur OA
a，Ou则uBur__b_,____=θ叫
做∠向AO量Ba与b的夹角.
(2)范围:向量夹角θ的范围是___0_°__≤__θ_≤__1__8_0_°. 当a与b_同__向__时,θ=0°;a与b__反__向_时,θ=180°;a与b _垂__直__时,θ=90°.
高考数学(理)一轮复习课件：4-3平面向量的数量积及向量的应用(人教A版)
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b 在a的方向上的投影|b|cosθθ 的乘积．
(4)数量积的性质： ①设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a＝a·e＝ |a|cosθ ； ②当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝ －|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝ a2；
＝6×(－23)＝－4，故选A.
2. [2011·福建]若向量a＝(1，1)，b＝(－1，2)，则 a·b等于________．
答案：1 解析：由向量的数量积等于对应坐标之积的和， 可得a·b＝1×(－1)＋1×2＝1.
3. [2011·江西]已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－
[变式探究1] [2012·山东聊城外国语学校一模]平
面上有四个互异的点A、B、C、D，满足( A→B － B→C )·( A→D
－C→D)＝0，则三角形ABC是( )
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形
答案：B
解析：由(A→B－B→C)·(A→D－C→D)＝0得(A→B－B→C)·(A→D＋ D→C )＝0，即(A→B－B→C)·A→C＝0，(A→B－ B→C)·( A→B＋B→C)＝ 0，即A→B2－B→C2＝0，所以|A→B|＝|B→C|，故为等腰三角形.
则cosθ＝|aa|··b|b|＝12，又0≤θ≤π，故θ＝π3 .
[答案]
π 3
[规律总结] 当a、b是非坐标形式时，求a与b的夹角， 需求出a·b和|a|、|b|或直接得出它们之间的关系．若a、b是坐
标形式，则可直接利用公式cosθ＝ x21＋x1xy212·＋y1xy222＋y22.
专题28平面向量的数量积及应用(PPT)-2025年新高考数学一轮考点题型精准复习(新高考专用)
即
a
b
2 ，设 a 与 b
的夹角为 ，则 a b
a
b cos
1 ，即 cos
1 ab
，
且
a
b
2 ，则 cos
1 2
，所以
π 3
，则 a 与 b
的夹角可以为
π 6
，
2π 7
.
故选：AB
例 15．（2023 春·陕西榆林·高二绥德中学校考阶段练习）已知非零向量 a ， b 满足 a 2 b ，且 a b b ，
a b a b x1x2 y1y2 0
考点一 平面向量数量积的基本概念及运算
例 1．（2023 春·辽宁沈阳·高一沈阳市第十一中学校考阶段练习）已知向量 a b
则ab bc ca （ ）
A． 17 B． 15 C． 17 D． 15
2
2
2
2
解：因为 a b c ，则 a b 2 c 2 ，
则 a 与 b 的夹角为（ ）
A． π B． π C． 2π
6
3
3
D． 5π 6
解：设 a ， b 的夹角为 ， 0, π，
因为 a 2 b ， a b b ，
所以
ab
b
a
b
2
b
2
b
b
cos
b
2
0
，
则 cos 1 ， π .
2
3
故选：B.
考点四 两个向量的垂直关系
例 16．（2022·陕西西安·统考模拟预测）若向量 a 2, x ，b 2,1不共线，且 a b a b ，则 a b
c m,2 ，且 a b ∥a 2c ．
(1)求实数 n 关于 m 的表达式； (2)当 b c 的值最小时，求向量 a 和 b 的夹角的余弦值．
【恒心】高考数学(理科)一轮复习突破课件004003-平面向量的数量积
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角． (1)数量积：a· b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. 2 (2)模：|a|＝ a· a＝ x2 ＋ y 1 1. x1x2＋y1y2 a· b (3)夹角：cos θ＝ ＝ 2 2 2 2. |a||b| x1＋y1· x2＋y2 (4)两非零向量 a⊥b 的充要条件：a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a· b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立) 2 2 2 2 ⇔|x1x2＋y1y2|≤ x1 ＋y1 · x2 ＋y2 .
3．平面向量数量积的运算律
(1)a· b＝b· a(交换律)． (2)λa· b＝λ(a· b)＝a· (λb)(结合律)． (3)(a＋b)· c＝a· c＋b· c(分配律)．
1．对平面向量的数量积的认识
(1)两个向量的数量积是一个向量，向量加、减、数乘运算的 结果是向量．( ) (2)(2013· 湖北卷改编)已知点 A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)， 3 2 D(3,4)，则向量 A→ B 在 C→ D 方向上的投影为－ .( ) 2 (3)若 a· b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a· b＜0，则 a 和 b 的夹角为钝角．( )
平面向量数量积的运算
考 点
【例 1】 (1)(2014· 威海期末考试)已知 a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)，则 a· b＝( D )．A．2 B．3 C．4 D．5 π (2)(2013· 江西卷)设 e1，e2 为单位向量，且 e1，e2 的夹角为 ， 3 5 若 a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量 a 在 b 方向上的射影为________ ． 2
2023年高考数学(理科)一轮复习课件——平面向量的数量积及平面向量的应用
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点一 向量数量积的基本概念及运算
1.已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2 3，a 与 b 的夹角的余弦值为 sin 173π，则 b·(2a
－b)等于( D )
A.2
B.－1
C.－6
D.－18
解析 由题意知 cos〈a，b〉＝sin 173π＝sin6π－π3＝－sin π3＝－ 23， 所以 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×2 3×－ 23＝－3， b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.
解析 法一 ∵A→P＝12(A→B＋A→C)，∴P 为 BC 的中点. 以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)， P(2，1)， ∴|P→D|＝ （2－0）2＋（1－2）2＝ 5. 易得P→B＝(0，－1)，P→D＝(－2，1)， ∴P→B·P→D＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.
索引
考点二 向量数量积的性质及应用
角度1 夹角与垂直
例 1 (1)已知向量 a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，则向量 a，b 的夹角为( C )
π
π
π
π
A.3
B.6
C.4
D.2
解析 设向量 a 和 b 的夹角为 θ，因为 a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，
所以 b＝(4，2)－2(1，1)＝(2，0)，
索引
2.若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝( D )
A.0
B.4
C.－92
D.－127
解析 由题意得(2k－1)×1－4×k＝0，解得 k＝－12，即 m＝－2，－12， 所以 m·n＝－2×4＋－12×1＝－127.
考点一 向量数量积的基本概念及运算
1.已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2 3，a 与 b 的夹角的余弦值为 sin 173π，则 b·(2a
－b)等于( D )
A.2
B.－1
C.－6
D.－18
解析 由题意知 cos〈a，b〉＝sin 173π＝sin6π－π3＝－sin π3＝－ 23， 所以 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×2 3×－ 23＝－3， b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.
解析 法一 ∵A→P＝12(A→B＋A→C)，∴P 为 BC 的中点. 以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)， P(2，1)， ∴|P→D|＝ （2－0）2＋（1－2）2＝ 5. 易得P→B＝(0，－1)，P→D＝(－2，1)， ∴P→B·P→D＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.
索引
考点二 向量数量积的性质及应用
角度1 夹角与垂直
例 1 (1)已知向量 a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，则向量 a，b 的夹角为( C )
π
π
π
π
A.3
B.6
C.4
D.2
解析 设向量 a 和 b 的夹角为 θ，因为 a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，
所以 b＝(4，2)－2(1，1)＝(2，0)，
索引
2.若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝( D )
A.0
B.4
C.－92
D.－127
解析 由题意得(2k－1)×1－4×k＝0，解得 k＝－12，即 m＝－2，－12， 所以 m·n＝－2×4＋－12×1＝－127.
高考数学理一轮总复习教师课件4.3平面向量的数量积及平面向量的应用
解析：选D.由a＝(1，－1)，b＝(2，x)，可得a· b＝
2－x＝1，故x＝1.
2．(教材习题改编)已知 |a|＝3，|b|＝2，若 a· b＝－ 3，则 a 与 b 的夹角为( π A. 3 2π C. 3 ) π B. 4 3π D. 4
－3 a· b 1 解析：选 C.cos〈 a，b〉＝ ＝ ＝－ . 2 |a||b| 3×2 2π ∴〈a， b〉＝ . 3
|a|cosθ (1)e· a＝ a· e＝ _____________.
|a||b| (2)当 a 与 b 同向时， a· b＝ _________ ；当 a 与 b 反向
2 | a | － | a || b | 时，a· b＝ ___________.特别地，有 a· a＝________或 |a|
a· a ＝ __________.
a· b＝0 (3)a⊥b⇔____________ . a· b |a||b| (4)cos θ＝ _________.
(5)|a· b|≤ |a||b|.
4．数量积的运算律
(1)a· b＝b· a； λ(a· b) ＝a· (2)(λa)· b＝_______ (λb)； a· c＋b· c (3)(a＋b)· c＝____________.
提示：不正确．求两向量的夹角时，两向量起点应 相同，向量a与b的夹角为π－∠ABC.
2．数量积的概念
(1) 定义：已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为 θ ，则 |a||b|· cosθ 叫做 a 与 b 的数量积 ( 或内积 ) ，记作 a· ____________ b ，即 |a||b|· cosθ ； a· b＝____________ (2)几何意义：数量积 a· b等于 a 的长度与b 在 a方向上的投
2015高考数学一轮总复习课件：4.3 平面向量的数量积及平面向量应用举例
例 2. （1）已知 a＝（－2，1），b＝（0，2），若向量 a＋λb 与 2a＋b 垂
直，则实数 λ 的值为
；
（2）设向量 a，b 的夹角为 θ，且 a＝（3，3），2b－a＝（－1，1），则
cos θ＝
思路点拨：（1）把向量 a＋λb 与 2a＋b 用 a，b 的坐标表示出来，利用 a⊥b ⇔x1x2＋y1y2＝0 列方程求解.（2）首先利用加减法的坐标运算求出向量 b， 再求出向量的模和数量积，代入 cos 〈a，b〉公式求解.
（2）以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，
则A→B＝（ 2，0）.设A→F＝（x，2），则由条件得 2x＝ 2，得 x＝1， 从而 F（1，2），A→E＝（ 2，1），B→F＝（1－ 2，2）， 于是A→E·B→F＝ 2.
第二十页，编辑于星期五：十二点 三十三分。
题型2 ·平面向量的垂直与夹角问题
拓展提升
向量与实数的相关概念及运算的区别 设 a，b，c 是实数，p，q，r 为向量，则： （1）由 a·b＝0，可得 a＝0 或 b＝0；但 p·q＝0 却不能得出 p＝0 或 q＝0. （2）若 a≠0，则由 ab＝ac 可得 b＝c；但若 p≠0，由 p·q＝p·r 却不能推出 q ＝r. （3）a（bc）＝（ab）c（结合律）成立；但（p·q）·r 与 p·（q·r）一般是不 相等的，向量的数量积是不满足结合律的. （4）|a·b|＝|a|·|b|，但|p·q|≤|p||q|，等号当且仅当 p∥q 时成立
解析：设 a 与 b 的夹角为 θ，依题意有（a＋2b）·（a－b）＝a2＋a·b－2b2
1
π
＝－7＋2cos θ＝－6，∴cos θ＝2，∵0≤θ≤π，∴θ＝3
高考数学一轮总复习 4.3平面向量数量积及平面向量应用举例课件
2．平面向量数量积的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的投影_|_b_|c_o_s_θ___ 的乘积．
知识点二
平面向量数量积的性质及运算律
1.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝ a·a＝ x12＋y21. (3)夹角：cosθ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1xy2＋12·yx1y22＋2 y22.
理教材 夯基础 厚积薄发
知识点一
知识梳理 平面向量数量积的概念
1．平面向量的数量积
若两个__非__零___向量a与b，它们的夹角为θ，则数量 _|a_|_|b_|c_o_s_θ__叫做a与b的数量积(或内积)，记作_a__·b_＝__|_a_||_b_|c_o_s_θ_.
规定：零向量与任一向量的数量积为___0____. 两个非零向量a与b垂直的充要条件是___a_·b_＝__0___，两个非零 向量a与b平行的充要条件是___a_·_b_＝__±_|a_|_|b_|_____.
答案 (1)× (2)× (3)×
4．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b| ＝( )
A. 5 C．2 5
B. 10 D．10
解析 ∵a⊥b，∴a·b＝0， 即x－2＝0，∴x＝2. ∴a＝(2,1)， ∴a2＝5，b2＝5，|a＋b|＝ a＋b2 ＝ a2＋2a·b＋b2＝ 5＋5＝ 10.
高频考点
考点一
平面向量数量积的运算
【例1】 (1)(2014·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD中，已
高考数学一轮复习平面向量的数量积及应用举例课件
;22
a⊥b充要条件
a·b＝______
0
x1x2＋y1y2
_______________＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤ 12 + 12 ⋅ 22 + 22
常用结论
求平面向量的模的公式
(1) a2＝a·a＝|a|2或|a|＝ Ԧ ⋅ ＝
互相垂直
当θ＝90°时，a与b___________．
2．向量的数量积
(1)条件：两个向量a与b，夹角θ，
结论：数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，
即a·b＝|a||b|cosθ．
(2) 数量积的几何意义
|b|cosθ
条件：a的长度|a|，b在a方向上的投影__________
积判断两个平面向量的垂直关系．
5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些
实际问题．
1．平面向量数
量积的运算．
2．平面向量数
量积的性质．
3．平面向量与
三角函数的综
合问题．
1．数学运算．
2．逻辑推理．
课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量. ( √ )
2
＝
D．
1
.
2
3
4
(2)(多选)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，＋ ＋ ＝0，
且| |＝| |，下列结论正确的是(BCD)
＝－ ＝
A. 在方向上的投影长为－ 3
B. · ＝ ·
a⊥b充要条件
a·b＝______
0
x1x2＋y1y2
_______________＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤ 12 + 12 ⋅ 22 + 22
常用结论
求平面向量的模的公式
(1) a2＝a·a＝|a|2或|a|＝ Ԧ ⋅ ＝
互相垂直
当θ＝90°时，a与b___________．
2．向量的数量积
(1)条件：两个向量a与b，夹角θ，
结论：数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，
即a·b＝|a||b|cosθ．
(2) 数量积的几何意义
|b|cosθ
条件：a的长度|a|，b在a方向上的投影__________
积判断两个平面向量的垂直关系．
5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些
实际问题．
1．平面向量数
量积的运算．
2．平面向量数
量积的性质．
3．平面向量与
三角函数的综
合问题．
1．数学运算．
2．逻辑推理．
课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量. ( √ )
2
＝
D．
1
.
2
3
4
(2)(多选)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，＋ ＋ ＝0，
且| |＝| |，下列结论正确的是(BCD)
＝－ ＝
A. 在方向上的投影长为－ 3
B. · ＝ ·
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2021/02/02
4
对点演练
已知|a|＝4，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，则 b 在 a 方向上的 投影为
A．2
3 B.2
()
C．－2
D．－32
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5
解析：如图 b 在 a 方向上的投影为： －|b|cos 60°＝－3×12＝－32. 答案：D
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对点演练
(1)已知向量 a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若 a·b＝1，则 x 等于
()
A．－1
B．－12
1 C.2
D．1
解析：a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1⇒x＝1.
答案：D
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(2)(2013·山东)已知O→A＝(－1，t)，O→B＝(2,2)，若∠ABO＝90°，则 实数 t 的值为________． 解析：A→B＝O→B－O→A＝(3,2－t)，由∠ABO＝90°得A→B⊥O→B. ∴A→B·O→B＝0 即 6＋2(2－t)＝0，∴t＝5. 答案：5
3．计算数量积时利用数量积的 几何意义 是一种重要方法．
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题型一 数量积的基本运算 (2013·全国)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中
点，则A→E·B→D＝________. 【解析】 设A→B＝a，A→D＝b，则A→B·A→D＝0，即 a·b＝0， |a|＝|b|＝2，于是A→E·B→D＝12a＋bb－a ＝|b|2－12|a|2＝4－12×4＝2. 【答案】 2
3 15 B. 2
C．－3
2 2
D．－3
15 2
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解析：A→B＝(2,1)，C→D＝(5,5)，|C→D|＝5 2，A→B·C→D＝15
A→B在C→D方向上的投影为：A→B→·C→D＝5152＝3 2
2 .
|CD|
答案：A
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4．向量数量积的性质 设 a、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ 为 a 与 b(或 e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ ； (2)a⊥b⇔ a·b＝0 ； (3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a|·|b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b| ， 特别的，a·a＝|a|2 或者|a|＝ a·a； (4)cos θ＝|aa|·|bb|； (5)|a·b|≤|a||b|.
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3
1．两个向量的夹角
已知两个非零向量 a 和 b(如图)，作O→A＝a，
O→B＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量
a 与 b 的夹角，当 θ＝0°时，a 与 b 同向；当 θ＝180°时，a 与 b 反向 ；如果 a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a
与 b 垂直，记作 a⊥b.
第3课时 平面向量的数量积及应用举例
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• (一)考纲点击
• 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意 义．
• 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关 系．
• 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面 向量数量积的运算．
• 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会
用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
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2
• (二)命题趋势
• 1．数量积是高考命题的热点，主要考查数 量积的运算、几何意义、模与夹角、垂直 等问题，或运用向量的数量积来判断位置 关系、判断三角形的形状、利用数量积求 参数的值等．
• 2．从题型看，多以选择题、填空题的形式 出现，以中低档题为主；有时也出现在解 答题中，主要与函数、解析几何综合在一 起命题．
•( )
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6．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为 θ，则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)|a|＝ x12＋y21； (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1xy2＋21·yx1y22＋2 y22； (4)a⊥b⇔a·b⇔0⇔x1x2＋y1y2＝0.
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• 3．向量数量积的几何意义
• 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向 上的投影|b|cos θ的数量积．
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对点演练
(2013·湖北)已知点 A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则
向量A→B在C→D方向上的投影为：
()
32 A. 2
6
• 2．两个向量的数量积的定义
• 已知两个非零向量a与b，它们的夹|a角||b|c为osθθ，
则
叫做a与b的数量积(或|a内||b|积cos)θ，记
作a·b即a·b＝
，规定零向量与任一
向量的数量积为0，即0·a＝0.
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对点演练
已知向量 a 和向量 b 的夹角为 135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量 a 和向量 b 的数量积 a·b＝________. 答案：－3 2
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• 5．向量数量积的运算律 • (1)a·b＝b·a； • (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； • (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
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• 对点演练
• 若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列 等式不一定成立的是
• A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) • B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c • C．m(a＋b)＝ma＋mb • D．(a·b)·c＝a·(b·c) • 答案：D
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• 1．向量的数量积是一个实数
• 两个向量的数量积数是量一个 ，这个数 量的大小与两个向余量弦的值 长度及其夹角的 有关，在运用向量的数量积解题时，一定 要注意两向量夹角的范围．
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2．a·b＞0 是两个向量 a·b 夹角为锐角的必要不充分条件．因为若 〈a，b〉＝0，则 a·b＞0，而 a，b 夹角不是锐角；另外还要注 意区分△ABC 中，A→B、B→C的夹角与角 B 的关系．
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对点演练 设|a|＝|b|＝ 2，且(a－b)⊥a，则 a 与 b 的夹角是
π
π
A.3
B.2
C．0
π D.6
()
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解析：∵(a－b)⊥a， ∴(a－b)·a＝a2－a·b＝0 即|a|2＝a·b＝|a||b|cos θ， ∴cos θ＝||ab||＝1，∴θ＝0. 答案：C