数学必修2第二章知识点小结及典型习题

第二章 点线面位置关系总复习

1、（1）平面含义：平面是无限延展的，没有大小，厚薄之分。另外，注意平面的表示方法。（2）点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉

点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ；点A 在直线l 外，记作A ∉l ；

直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ⊂α；直线l 不在平面α内，记作l ⊄α。 2、四个公理与等角定理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号表示为

A ∈L

B ∈L ⇒ L α A ∈α B ∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内.（只要找到直线的两点在平面内，则直线在平面内） （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2的三个推论：（1）：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

（2）：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 （3）：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L

公理3说明：两个不重合的平面只要有公共点，那么它们必定交于一条过该公共点的直线，且线唯一。

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据，是证明三线共点、三点共线的依据。

即：①判定两个平面相交的方法。 ②说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 ③可以判断点在直线（交线）上，即证若干个点共线的重要依据。 （4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线

a ∥b

c ∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。（表明空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行）

（5）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 3、（1）证明共面问题：

方法1是先证明由某些元素确定一个平面，在证明其余元素也在这个平面内。

方法2是先证明分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合。

（2）证明三点共线问题的方法：先确定其中两点在某两个平面的交线上，再证明第三点是这两个平面的公共点，则第三个点在必然在这两个平面的交线上。

（3）证明三线共点问题的方法：先证明其中两条直线交于一点，再证明第三条直线也经过这个点。

4、异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线。（既不平行也不相交的两条直线） ① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

L A

· α C · B

·

A · α P · α

L β ⇒a ∥c

//a b

//a b

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。

两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。（两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形） 说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理

（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O 是任取的，而和点O 的位置无关。 （3）求异面直线所成角步骤：（一作、二证、三计算）

第一步作角：先固定其中一条直线，在这条直线取一点，过这个点作另一条直线的平行先；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。第二步证明作出的角即为所求角。第三步利用三角形边长关系计算出角。（思路是把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角）

5、空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系 （1）空间两条直线的位置关系有且只有三种：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 （2）直线与平面的位置关系有且只有三种： ①直线在平面内——有无数个公共点

②直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 ③直线在平面平行 —— 没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 三种位置关系的符号表示：a ⊂α a ∩α＝A a ∥α 注意直线与平面的位置关系其他分类：（1）按直线与平面的公共点数分类： （自己补充） （2）按直线是否与平面平行分类：

（3）按直线是否在平面内分类：

（3）平面与平面之间的位置关系有且只有两种：（按有无公共点分类）

①两个平面平行——没有公共点；α∥β。

②两个平面相交——有一条公共直线；α∩β＝b 。 6、空间中的平行问题

（1）线线平行的判定方法：

①线线平行的定义：两条直线共面，但是无公共点 ②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

③线面平行的性质定理：//a a b

αβαβ⊂⋂= ④线面垂直的性质定理： a b α

α

⊥⊥ ⇒

○

5面面平行的性质定理：//a b

αβ

γαγβ⋂=⋂=

⇒ （2）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。线线平行⇒线面平行

证明线面平行，只要在平面内找一条直线b 与直线a 平行即可。一般情况下，我们会用到中位线定理、平行线段成比例问题、平行公理等。

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 线面平行⇒线线平行 性质定理的作用：利用该定理可解决直线间的平行问题

共面直线

//a b