直角拐脖问题(张惠良)
解直角三角形的应用——重视创新思维能力的培养
解直角三角形的应用——重视创新思维能力的培养泉港美发中学张惠春前言：先看一个现代版的寓言——三个馒头：有一个人肚子饿子，就吃馒头，吃了一个没有饱，就吃第二个，吃了两个还是没有饱，就吃第三个，吃了三个后肚子饱了。
这时他就后悔了：早知如此，不如就吃第三个馒头了，前面两个都是浪费了。
这虽说是一个寓言，生活中没有人会真的这么想，但在数学教学中就有这种现象。
例如仰角、俯角这两个概念的教学，我们数学老师的大脑里可能会形成了三种不同的教学方法，这三种教学方法各有所长，下面介绍这三种教学方法：方法一：开门见山，仰角，俯角在课本上上课后教师首先介绍仰角，俯角的概念，然后给出一些实际的例子，引导学生对照仰角，俯角的概念去辨别哪些是仰角，哪些是俯角，以巩固概念，接着就是利用仰角，俯角的概念去解决一些解直角三角形的训练：例1 在升旗仪式上，一位同学站在离旗杆24米处，行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30度，若两眼离地面1.5米，则旗杆的高度是否可求？若可求，求旗杆的高，若不可求，说明理由。
（精确到0.1米）分析：学生自己画图，构造直角三角形。
例2 某飞机于空中A处探测到目标B，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角13α，求飞机A到控制点B的距离。
（精确到1米）=16'︒分析：学生自己画图，构造直角三角形。
例3 一名同学站在距地面20米的A楼上向对面B楼顶望去，仰角为30度，向B 楼底望去，俯角为45度，求B楼的高度。
（精确到0.1米）分析：学生自己画图，构造直角三角形。
例4 有一山CD，从山顶C处测得平地上A，B两村的俯角分别为60o，30o，其中点D，A，B在一条水平线上，如果山高CD=1000米，求两村A，B之间的距离。
分析：学生自己画图，构造直角三角形。
设计思想：这种方法，教师首先介绍仰角，俯角的概念，就相当于直接端出了第三个馒头；然后教师带领学生对照定义辨别仰角，俯角的概念，这就相当于教师示范吃第三个馒头；接下去的练习就是学生吃第三个馒头的过程，这是一种比较传统的教学方法，这种方法的特点是，教师比较重视“教”的方案设计，能在较短的时间内完成学习的内容，课堂教学完全按教师课前设计好的程序有序地进行，教师起主导的作用。
冀教版八年级数学上册《17.5反证法》同步测试题带答案
冀教版八年级数学上册《17.5反证法》同步测试题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．我们可以用以下推理来证明“当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）满足a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形”．假设这个三角形是直角三角形，根据勾股定理，一定有a2+b2＝c2，这与已知条件a2+b2≠c2矛盾，因此假设不成立，即这个三角形不是直角三角形．上述推理使用的证明方法是（）A．比较法B．反证法C．综合法D．分析法2．对于命题“如果∠1=∠2=90°，那么∠1=∠2．”能说明它是假命题的反例是（）A．∠1=∠2=45°B．∠1=40°C．∠1=50°，∠2=50°D．∠1=40°3．下列选项中可以用来说明命题“若x2>1，则x>1”是假命题的反例是（）A．x=−1B．x=−3C．x=2D．x=04．用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是（）A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EFC．已知AB∥EF D．假定AB不平行于EF5．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设（）A．三角形中有一个内角小于60°B．三角形中有一个内角大于60°C．三角形中每个内角都大于60°D．三角形中没有一个内角小于60°6．要说明命题“若a>b，则a2>b2” 是假命题，可设（）A．a=3，b=4B．a=4，b=3C．a=－3，b=－4D．a=－4，b=－37．用反证法证明命题“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”的过程如下: 已知: △ABC;求证: △ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明:假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°，则∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°这与“__________” 这个定理相矛盾所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.在证明过程中，横线上应填入的句子是（）A．三角形内角和等于180°B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和C．等边三角形的各角都相等，并且每个角都等于60°D．等式的性质8．小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是谁做了这件事.老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话：小陈：“我没做这件事.”“小张也没做这件事.”小王：“我没做这件事.”“小陈也没做这件事.”小张：“我没做这件事.”“我也不知道谁做了这件事.”已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（）A．小王B．小陈C．小张D．不能确定二、填空题9．用反证法证明“三角形的内角中最多有一个角是直角”时应假设：10．用反证法证明：已知直线a、b被直线c所截，∥1+∥2≠180°．求证：a与b不平行．证明：假设则：∥1+∥2=180°（）这与矛盾，故假设不成立．所以a与b不平行．11．某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“902班得冠军，904班得第三”；乙说：“901班得第四，903班得亚军”；丙说：“903班得第三，904班得冠军”．赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是．三、解答题12．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明．（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．（2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形．13．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．14．用反证法证明“一个三角形中不可能有两个角是钝角”已知：∥ABC求证：∥A、∥B、∥C中不能有两个角是钝角证明：假设．15．判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）：（1）若√a2=3，则a=3；（2）如图，已知BE∥AD，CF∥AD，垂足分别为点E，F，且BE=CF．则AD是∥ABC的中线．16．阅读下列文字，回答问题.题目：在Rt∥ABC中，∥C=90°，若∥A≠45°，所以AC≠BC．证明：假设AC=BC，∵∥A≠45°，∥C=90°，∴∥A≠∥B，∴AC≠BC．这与假设矛盾，所以AC≠BC．上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正.参考答案1．B2．B3．B4．B5．C6．C7．A8．B9．三角形中有两个角是直角10．a∥b；两直线平行，同旁内角互补；∥1+∥2≠180°11．902班12．解：（1）真命题（2）假命题．假设原命题为真命题，那么在∥ABC中，∥A=20°，∥B=30°，∥C=130°，则∥ABC就应该是锐角三角形；而实际上∥ABC就应该是钝角三角形所以假设错误所以原命题为假命题．13．证明：假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°，即都大于60°；那么，这个三角形的三个内角之和就会大于180°；这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾，原命题正确．14．证明：假设∥A、∥B、∥C中有两个角是钝角，不妨设∥A、∥B为钝角∴∥A+∥B＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立原命题正确．15．（1）解：是假命题当a=﹣3时，√a2=3，但a≠3，所以命题（1）是假命题；（2）是真命题证明：∵BE∥AD，CF∥AD∴∥DFC=∥DEB=90°在∥BED和∥CFD中{∠2=∠1∠DFC=∠DEB CF=BE∴∥BED∥∥CFD（AAS）∴BD=CD∴AD是∥ABC的中线∴所以命题（2）是真命题．16．解：有错误. 改正：假设AC=BC，则∥A=∥B，又∥C=90°，所以∥B=∥A=45°，这与∥A≠45°矛盾所以AC=BC不成立所以AC≠BC.。
第一章第2节能得到直角三角形吗的教案
第二节：能得到直角三角形吗上步中学 周荣良一、教学目标：1、掌握直角三角形的判别条件即勾股定理的逆定理，并能进行简单应用。
2、学生经历通过测量三角形的三个内角的度数来获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件的探索过程，激发学生学习的积极性，发展推理能力。
3 用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体现了数学与现实世界的联系。
二、重点：掌握直角三角形的勾股定理的逆定理，并能进行简单应用。
三、难点：通过测量活动来获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件。
四、课型：新授 教法：研习法 教具：绳、尺子、课件五、教学过程：（一）尝试探疑，激活思维：1、阅读材料：古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长12段，一个工匠同时站在绳子的第一结和第13个结，两个助手分别站在第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个三角形，其直角在第4个结处。
按这种做法真能得到一个直角三角形吗？2、小明的爸爸为了画直角三角形，找来了长度分别为12㎝、40㎝ 两条线，利用这两条线，采用固定三边的方法，画出了如下两个图形，他画的直角三角形吗？（二）动手动脑，引出新知：1、量一量：小明的爸爸所画出的两个三角形中的最大角；大家议一议，它们是直角三角形吗？由此你能提出什么猜想？2、做一做：画出两直角边分别为a 、b 的直角三角形ABC ，用勾股定理算出它的斜边c的长；①画一个三角形△DEF ，使它的三边分别为a 、b 、c ；②比一比，两个三角形全等吗？③△DEF 的三边满足：a 2+b 2=c 2它是什么三角形？由此你能得出什么结论？与你同伴交流你的想法，并将其加以总结 。
如果三角形的三边长a 、b 、c ；满足a 2+b 2=c 2，那么这个三3 4 8 15角形是直角三角形（满足a2+b2=c2的三个正数，称为勾股数）作用：通过代数运算，“算”两条边的平方和与第三边的平方值相等，确定三角形是直角三角形。
说课宽城三中崔颖26.4解直角三角形的应用
特殊角的三角函数值
特殊角的三角函数值是三角函数在实际问题中应用的基础，如 30°、45°、60°等角的三角函数值。
掌握特殊角的三角函数值有助于快速解决与直角三角形相关 的实际问题。
03
解直角三角形的方法
直角边与斜边的关系
勾股定理
勾股定理是解直角三角形的基本 定理，它表明直角三角形的两条 直角边长度的平方和等于斜边长 度的平方。
02
基础知识回顾
直角三角形的性质
直角三角形中，直角所对的边 是斜边，其余两边为两腰。
直角三角形中，两锐角互余， 且锐角的大小与对边的比例关 系为正切、余切。
直角三角形的斜边是两腰的平 方和的平方根。
三角函数的概念
01
三角函数是直角三角形中锐角的 正弦、余弦、正切、余切等比值 的统称。
02
三角函数用于描述直角三角形中 边与角的关系，是解决实际问题 的重要工具。
05
课堂互动与讨论
Байду номын сангаас
学生提问环节
学生提问
学生提问
如何在实际问题中判断是否需要解直 角三角形？
如何验证解直角三角形后的答案是否 正确？
学生提问
解直角三角形时如何选择合适的三角 函数？
分组讨论：解直角三角形在实际中的运用
学生分组讨论
如何利用解直角三角形解决生活 中的实际问题，例如测量建筑物
的高度、计算角度等。
定性。
推荐延伸阅读材料
《解直角三角形的应用》
一本详细介绍解直角三角形在实际生活中的应用的书籍， 包括测量、工程、物理等领域的应用实例。
《勾股定理及其应用》
一本系统介绍勾股定理及其在几何学、物理学等领域的应 用的书籍，有助于深入理解解直角三角形的方法。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 三角形中的几何计算及实际应用举例考点例析素材 北师大版必修5
三角形中的几何计算及实际应用举例【典型例题】考点一：三角形中的几何计算例1. 设D 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的一点，AB=AD ，βα=∠=∠ABC ,CAD 。
（1）求证：sin cos 20αβ+=，（2）若3,AC DC =求β的值。
思路分析：（1）由已知找出α与2β的关系，即22παβ=-，即可证明。
（2）由正弦定理得到关于sin β的方程即可。
解：（1）由AB=AD ,ADB ABC ADB ACB βα⇒∠=∠=∠=+∠,,222ACB ACB ACB ππβαβαββ∴=+∠+∠=∠=-又故：=-.sin sin(2)cos 22παββ∴=-=-①（2）由正弦定理得：3sin 3sin sin sin()DC AC DCβααπβ==⇒=-sin 3αβ⇒=将此式代入①得：2cos 2(12sin )3βββ=-=--②将②整理得：23323sin 30sin sin 232πβββββ--=⇒==-p p 舍），又0，又20π<β< 故3πβ=。
即所求的角是3π例2. 设P 是正方形ABCD 内一点，P 到A 、B 、C 的距离分别是1，2，3，求正方形ABCD 的边长思路分析：设正方形的边长为x ，根据角ABP 与角CBP 互余，可知其余弦的平方和是1，建立关于x 的方程，再求解。
解：设边长是x ，（1<x<3）， ABP α∠=，则CBP ∠=90°－α在三角形ABP 中：由余弦定理得：2222213cos 44x x ABP x x +-+∠==，同理在△CBP 中：25cos 4x CBP x -∠= ，90ABP CBP ∠+∠=由得：90°得：22cos cos 1ABP CBP ∠+∠=即有：222235()()144x x x x+-+= （*）解*522+说明：使用正弦定理或余弦定理或相关的知识点解决几何问题，首先要在已知的图形中构造三角形（已有三角形，不需构造），能构造特殊三角形的尽可能地构造特殊的三角形。
新课标理念下聋校初中数学“翻转课堂”的实践探索--以《圆锥的认
新课标理念下聋校初中数学“翻转课堂”的实践探索———以《圆锥的认识》教学为例●樊莹《聋校义务教育数学课程标准(2016版)》(以下简称《课标》)指出“如何发挥聋生的视觉优势,结合计算机技术,通过动作思维和形象思维,因势利导地培养聋生的数学素养,是聋校义务教育阶段数学教育必须解决的问题”。
聋校课程改革需要新的适宜的教学范式。
由教学转换为导学,由教为中心转换为学为中心,以学定教,是现代教学思想的核心与基本理念,也是“翻转课堂”的核心所在。
教师由原来的讲授者变成了组织者,学生成为学习的主体,真正体现了“以生为本”的课程改革理念。
苏州市盲聋学校成功申报2017年江苏省基础教育前瞻性教学改革实验项目“聋校数学个性化自主学习平台的建设与研究”,经过两年的实践与探索,初步建构出聋校初中数学翻转课堂的教学样式:面向全体聋生,关注学生个体差异,借助现代信息技术、利用学习平台和任务引导,倡导自主、合作、探究等学习方式,将学生课前、课中、课后三个学习阶段有效衔接,使聋生人人都能获得适合的数学教育。
以《圆锥的认识》一课为例,整个教学过程分为三个模块,分别是课前:前置性学习;课中:教师导学+学生互学+适时评价;课后:反思跟进。
一、课前：前置性学习1.学生观看趣味手语微课视频,根据学习素材包思考探究并尝试完成前置性任务(三张任务单任选一张)。
2.独立完成后可以以小组为单位探讨;写出自己的疑惑。
由于听力缺失导致聋生思维发展受限,因此在设计微课视频时要充分利用聋生视觉的相对优势和语言表达特点,创设有趣的动画情境,将关键知识点放大或突出、增加注释,并配以字幕和手语[1],以期达到最少受限制的在线学习环境,培养聋生数学自主学习的能力。
在课前,学生自学手语微课,对所学内容有了初步的了解,然后按照自己的能力水平自主选择前置性作业。
前置性作业是由教师精心设计的兼顾趣味性和开放性的少量问题,是学生通过独立思考以及小组探究能够完成的分【摘要】受听觉障碍的影响,聋生语言发展迟缓,抽象思维能力较弱,在学习过程中往往过于被动,导致了聋校数学课堂教学效果低下。
数学北师大版八年级上册探索勾股定理(一).6探索勾股定理(一)修改稿20
是一个与“勾股定理”有关的图形，
数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与 “外星人”联系的信号．今天我们就来一同
（一）
探 究
探索发现勾股定理
活 动 一
• 在纸上任作出两个直角三角 形，分别测量它们的三边长 ，且动笔算一算，猜想三条 边长的平方有什么样的关系 ？你能发现各图中三个正方形
的面积之间有何关系吗？ 心动 • 学生通过观察
心动
不如行动
解：设斜边上的高为xcm,由勾股定理得：斜 边AB2=52+122=132 AB=13（cm) 13x=5×12 x= • 数形结合方法：可以使复杂问题 • 简单化、抽象问题具体化
当堂检测
抢答题
心动
不如行动
1、下图中的三角形是直角三角形,其余是正 方形,求下列图中字母所表示的正方形的面 积.
心动
不如行动
4.已知在ΔABC中，∠c=90° ，AB=41，BC=9，则 AC= ；若BC=AC，c2 =50时，BC= ； 5.在Rt△ABC中，∠c=90° ，一条直角边为6，斜边 为10，则Rt△ABC的面积为 ；周长为 ； 6.小丰妈妈买了一部29英寸(74cm)电视机,下列对 29英寸的说法中正确的是（ ） - A. 小丰认为指的是屏幕的长度; B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度; C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长; D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度
验证归纳
心动
不如行动
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么 c 2 2 2 a
a b c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。 在西方又称毕达 哥拉斯定理！
勾 弦
关于解直角三角形应用题的基本图形
关于解直角三角形应用题的基本图形
李今
【期刊名称】《政治思想史》
【年(卷),期】2001(000)007
【摘要】@@ 解直角三角形应用题是用数学方法解决实际问题的一类典型题,学习这类问题有助于学生树立"用数学"的意识,提高分析问题、解决问题的能力,而归纳有关基本图形是解决这类问题的重要途径.
【总页数】3页(P13-15)
【作者】李今
【作者单位】天津市青年路中学,300102
【正文语种】中文
【相关文献】
1.由一道解直角三角形应用题探究解直角三角的一些问题 [J], 刘静;
2.数学思想在初中数学应用题中的渗透——“解直角三角形在观测问题中的应用”教学案例及评析 [J], 李波; 黄汉军; 吴志勇; 刘小妹
3.解直角三角形创新应用题两例 [J], 谢勇
4.解直角三角形应用题的教学研究 [J], 贝平
5.解直角三角形应用题的关键——恰当地作高 [J], 姜淑华
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数学(北京课改版)八年级上册名师课堂导学：12.12勾股定理的逆定理
名师导学典例分析例1 判断边长为12，20，16的三角形是否是直角三角形.思路分析：判断一个三角形是否为直角三角形，主要看它较小的两边的平方和是否等于较长一边的平方，即满足：a 2+b 2=c 2.解：∵12<16<20，∴122+162＝400，202＝400，∴122+162＝202，∴这个三角形是直角三角形.例2 已知：如图13.12—2，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，求四边形ABCD 的面积.思路分析：我们不知道这个四边形是否为特殊的四边形，所以将四边形分割为两个三角形，只要求出这两个三角形的面积，四边形的面积就等于这两个三角形的面积和. 解：联结AC ，∵∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，∴AC 2＝AB 2+BC 2＝25，∴AC ＝5，∵AC 2+CD 2＝169，AD 2＝132＝169，∴AC 2+CD 2＝AD 2，∴∠ACD ＝90°， ∴362121=∙+∙=+=∆∆CD AC BC AB S S S ACD ABC ABCD 四边形. 例3 如图13.12—3所示，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 在CD 上，且CF ＝41CD.求证：△AEF 是直角三角形.思路分析：要证△AEF 是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证出AE 2+EF 2＝AF 2即可.解：设正方形ABCD 的边长为a ，则BE ＝CE ＝21a ，CF ＝a 41，DF ＝a 43，在Rt △ABE 中，AE 2＝AB 2+BE 2=a 2+2245)21(a a =，同理，在Rt △AFD 中， 2222221625)43(a a a DF AD AF =+=+=. 在Rt △CEF 中，222222165)41()21(a a a CF CE EF =+=+=, ∴AF 2=AE 2+EF 2∴△AEF是直角三角形.规律总结善于总结★触类旁通1 误区点拨：本题容易出现122+202≠162，得出不是直角三角形.产生错误的原因在于忽视“斜边是直角三角形中最长的边”.2 方法点拨：将求四边形的面积问题转化为两个三角形的面积问题，在此利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形.3 方法点拨：利用代数方法(即勾股定理逆定理)，计算三角形的三边长是否符合a2+b2=c2，来判断三角形是否为直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一.。
两类常见的解直角三角形问题（初三）
两类常见的解直角三角形问题（初三）
刘家良
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2017(000)006
【摘要】关于解直角三角形的中考应用题,有两类常见图形,如图1,2.其中都有两个直角三角形,且都有一条公共直角边（一般需要作辅助线得到）,不同点是图1中的两个直角三角形位在公共边的同侧,图2中的两个直角三角形位在公共边的两侧.例1如图3,某校数学兴趣小组为测量校园里旗杆AB的高度,在操场的平地上选择一点C,测得旗杆顶端A的仰角为30°,再向旗杆的方向前进16米,到达点D处（C,【总页数】2页(P20-21)
【作者】刘家良
【作者单位】天津市静海区沿庄镇中学,301605
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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解直角三角形在实际生活中的应用
解直角三角形在实际生活中的应用山东 李浩明在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.下面举例说明，供大家参考．一、航空问题例1．（2008年桂林市）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图1）．求A 、B1.414 1.732==）分析:要求A 、B 两个村庄间的距离,由题意知AB =PB ，在Rt △PBC 中,可求得60PBC ∠=︒，又因为PC =450，所以可通过解直角三角形求得PB.解：根据题意得：30A ∠=︒，60PBC ∠=︒，所以6030APB ∠=︒-︒，所以A P B A ∠=∠，所以AB =PB .在Rt BCP ∆中，90,60C PBC ∠=︒∠=︒，PC =450，所以PB=450sin 60==︒.所以520AB PB ==≈(米) 答：A 、B 两个村庄间的距离为520米． 二、测量问题例2.（2008年湛江市）如图2所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，QB CP A 45060︒30︒图1用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高(精确到0.1米) ．分析:要求AB 的高,由题意知可知CD=BE ,先在Rt △ADE 中求出AE 的长,再利用AB=BE +AE 求出AB 的长.解：在Rt △ADE 中，tan ∠ADE =DEAE. ∵DE =10，∠ADE =40︒.∴AE =DE tan ∠ADE =10tan 40︒≈100.84⨯=8.4. ∴AB =AE +EB =AE +DC =8.4 1.59.9+=.答：旗杆AB 的高为9.9米． 三、建桥问题例4.（2008年河南）如图所示，A 、B 两地之间有一条河，原来从A 地到B 地需要经过DC ，沿折线A →D →C →B 到达，现在新建了桥EF ，可直接沿直线AB 从A 地到达B 地．一直BC =11km ，∠A =45°，∠B =37°．桥DC 和AB 平行，则现在从A 地到达B 地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km ．参考数据： 1.412≈，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）. 分析:要求现在比原来少走多少路程，就需要计算两条路线路程之差，如图构造平行四边形DCBG ，将两条路线路程之差转化为AD DG AG +-，作高线DH ,将△ADG 转化为两个直角三角形，先在在Rt DGH △中求DH 、GH ，再在Rt ADH △中求AD 、AH,此题即可得解.解：如图，过点D 作DH AB ⊥于H ，DG CB ∥交AB 于G ．DC AB ∥，∴四边形DCBG 为平行四边形．∴DC GB =，11GD BC ==．∴两条路线路程之差为AD DG AG +-． 在Rt DGH △中，sin37110.60 6.60DH DG =⋅≈⨯=， cos37110.808.80GH DG =⋅⨯≈≈．在Rt ADH △中，1.41 6.609.31AD =⨯≈≈．6.60AH DH =≈．∴(9.3111)(6.608.80)AD DG AG +-=+-+≈即现在从A 地到B 地可比原来少走约4.9km ． 四、图案设计问题例4.（2008年上海市）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图4所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．分析:要求圆O 的半径r 的值，需在直角三角形ODH 中来解决,而已知的条件太少，需要先在直角三角形CEH 中，根据条件5CE =、坡面CE 的坡度1:0.75i =求出EH 、CH ，然后在直角三角形ODH 中利用勾股定理列出方程，从而求出r 的值．解：由已知OCDE ⊥，垂足为点H ，则90CHE ∠=．图41:0.75i =，43CH EH ∴=． 在Rt HEC △中，222EH CH EC +=．设4CH k =，3(0)EH k k =>，又5CE =，得222(3)(4)5k k +=，解得1k =．∴3EH =，4CH =．∴7DH DE EH =+=，7OD OA AD r =+=+，4OH OC CH r =+=+． 在Rt ODH △中，222OH DH OD +=，∴222(4)7(7)r r ++=+． 解得83r =．航海中的安全问题船只在海上航行，特别要注意安全问题，这就需要运用数学知识进行有关的计算，以确保船只航行的安全性.请看下面两例.例1 （深圳市）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．分析：问题的关键是弄清方位角的概念，过点C 作CD ⊥AB 于D ，然后通过解直角三角形求出CD 的长，通过列方程解决几何问题也是一种常用方法.解：由已知，得AB=24×21=12，∠CAB=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，所以∠C=30°，所以∠C=∠CAB ，所以CB=AB=12.在Rt △CBD 中，sin ∠CBD=CB CD ，所以CD=CB ·sin ∠CBD=12×3623=.∵936> 所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险．例2 如图2，一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，已知小岛C 周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C 在北偏东60°方向上，这时渔船改变航线向正东（即BD ）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？分析：先将实际问题转化为解直角三角形的问题.可有如下两种方法求解. 解法一：如图3，过点B 作BM ⊥AH 于M ，则BM//AF.所以∠ABM=∠BAF=30°. 在Rt △BAM 中，AM=21AB=5，BM=35. 过点C 作CN ⊥AH 于点N ，交BD 于K. 在Rt △BCK 中，∠CBK=90°-60°=30°. 设CK=x ，则BK=3x.在Rt △CAN 中，因为∠CAN=90°-45°=45°，所以AN=NC.所以AM+MN=CK+KN. 又NM=BK ，BM=KN ，所以x+35=5+3x.解得x=5. 因为5>4.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.解法二：如图4，过点C 作CE ⊥BD 于E.所以CE//GB//FA. 所以∠BCE=∠GBC=60°，∠BCA=∠FAC=45°. 所以∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°. 又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°，D图2图3图4所以∠BCA=∠BAC.所以BC=AB=10.在Rt △BCE 中，CE=BC ·cos ∠BCE=BC ·cos60°=10×21=5. 也5>4.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.实际中的仰角和俯角问题在进行测量时，从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.计算原理:视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角、俯角和另一边，利用解直角的知识就可以求出物体的高度.梳理总结：⑴仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”.在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题.⑵在测量山的高度时，要用“化曲为直”的原则把曲的山坡“化整为零地分成一些小段，把每一小段山坡长近似地看作直的，测出仰角求出每一小段山坡对应的高，再把每部分高加起来，就得到这座山的高度.例1 (成都)如图2，甲、乙两栋高楼的水平距离BD 为90米，从甲楼顶部C 点测得乙楼顶部A 点的仰角α为30︒，测得乙楼底部B 点的俯角β为60︒，求甲乙两栋高楼各有多高？(计算过程和结果都不取近似值.分析:过点C 作CE ⊥AB 于点E, 在Rt △BCE 和Rt △ACE 中, BE 和AE 可用含CE(即为水平距离)的式子表示出来,从而求得两楼的高.解:作CE ⊥AB 于点E,∵CE ∥DB,CD ∥AB,且∠CDB=090,∴四边形BECD 是矩形. ∴CD=BE,CE=BD.图 1 E图2在Rt △BCE 中, ∠β=060,CE=BD=90米. ∵,tan CEBE=β∴BE=CE 39060tan 90tan 0=⨯=⋅β(米). ∴CD=BE=390(米).在Rt △ACE 中, ∠α=030,CE=90米. ∵ ,tan CEAE=α∴AE=CE 330339030tan 90tan 0=⨯=⨯=⋅α(米). ∴AB=AE+BE=3120390330=+(米). 答:甲楼高为390米,乙楼高为3120米.反思:仰角和俯角问题是解直角三角形中的常见题型,作辅助线构造直角三角形(一般同时得到两个直角三角形)并解之是解决这类问题的常用方法.例2 （乐山）如图3，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离AB ．要求：⑴画出测量示意图；⑵写出测量步骤（测量数据用字母表示）； ⑶根据（2）中的数据计算AB ．分析：要测量底步不能到达的物体的高度,要转化为双直角三角形问题,测量方案如图2,计算的关键是求 AE,可设AE=x,则在Rt △AGF 和 Rt △AEF 中, 利用三角函数可得αtan x HE =,βtan x EF = ,再根据HE-FE=CD=m 建立方程即可. 解：（1）测量图案（示意图）如图4所示（2）测量步骤：第一步：在地面上选择点C 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角AHE α=∠;第二步：沿CB 前进到点D ，用皮尺量出C D ，之间的距离CD m =;AB图3AE F H CDB图4第三步：在点D 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角AFE β=∠; 第四步：用皮尺测出测角仪的高h . （3）计算： 令AE=x,则,tan HE x =α得αtan x HE =,又,tan EF x =β得βtan xEF =, ∵HE-FE=HF=CD=m, ∴,tan tan m xx =-βα 解得αββαtan tan tan tan -⋅=m x ，∴AB=.tan tan tan tan h m +-⋅αββα反思：在多个直角三角形中一定要认真分析各条线段之间的关系(包括三角函数关系、相等关系),运用方程求解,有时可起到事半功倍之效.快乐套餐:1.(泰安)如图5，一游人由山脚A 沿坡角为30的山坡AB 行走600m ，到达一个景点B ，再由B 沿山坡BC 行走200m 到达山顶C ，若在山顶C 处观测到景点B 的俯角为45，则山高CD 等于 （结果用根号表示）2.(安徽)如图6，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲乙两人分别在相距8米的A 、B 两处测得D 点和C 点的仰角分别为45°°和60°，且A 、B 、E 三点在一条直线上，若BE=15米，求这块广告牌的高度．(1.73，计算结果保留整数)ABCD图5第19题图EDCB A450600图6参考答案:1. (300 .2. ∵AB＝8，BE＝15，∴AE＝23，在Rt△AED中，∠DAE＝45°,∴DE＝AE＝23.在Rt△BEC中，∠CBE＝60°,∴CE＝BE·tan60°＝CD＝CE－DE＝23≈2.95≈3.即这块广告牌的高度约为3米.。
2021年重庆B卷第26题解析——“整体反转”出奇招，“反向瓜豆”显神威
2021年重庆B卷第26题解析——“整体反转”出奇招，“反向瓜豆”显神威1 真题重现2 分析与简解这是典型的以图形变换（旋转）为背景的中考动态压轴题，三个问题层层递进，从确定的特殊状态，到变化中的不变关系，最后过渡到变化中的最值问题，体现“变中有恒”、“变中有最”的命题风格，这种阶梯式的命题方式，既能关注到试题的信度与效度，也能关注到考生的区分度，总体上符合压轴题的命题要求．2．1 分析（怎么想）第（1）①问是一个特殊状态，整个图形是确定的，所有的元素（边、角等）均可求．要求DG的长，一般要将目标线段置于可解的（直角）三角形中或转化为其他可求线段．为此，可连接AG构造Rt△ADG或者解确定的△BDG．第（1）②问是一般状态，需要识别或构造基本图形结构，通过线段的转化证明变中不变的关系．若识别“BF平分∠EBH”结构，可利用角平分线的处理策略（构造两条垂线段，得相等）；若识别“∠EBH ＋∠EFH＝180°”结构，可利用“对角互补”模型，考虑旋转策略（构造“共顶角顶点的两个等腰三角形”，得全等）．第（2）问有动有静，需要动静结合分析，基于点变换与形变换之间的捆绑联系（即所谓“瓜豆原理”），可判断出从动点P在一条射线上运动，然后借助“两点确定一条直线”，主动找点，确定目标动点P的运动轨迹，最终识别所谓“胡不归”模型．基于以上图形结构的分析，下面给出每个小问的几种思路：2．2 简解（怎么解）点评：基于确定性分析，该问给出了一个确定的特殊状态，图中所有边、角元素都是确定的，必可求．对于线段的长度问题，通常识别或构造直角三角形，利用勾股定理求解．前两种方法都是通过解Rt△ADG实现的，前者通过导边导角，利用垂直平分线的性质转化线段，后者通过“手拉手”全等结构转化线段；方法三则通过解确定的△BDG实现目标．对于此类图形结构确定的问题，确定性分析显得至关重要，需要形成确定性分析的意识，养成确定性思考的习惯．点评：基于图形结构分析，该问蕴含多种常见的基本图形，通过不同的结构入手，可获得不同的解决方法．方法一通过识别角平分线结构，利用角平分线的对称性，作两条垂线段，构造全等转化线段；后两种方法则通过识别对角互补四边形，利用旋转策略思构辅助线．值得一提的是，由于四边形BEFH中并未提供相等的邻边，这里都借助构造等腰三角形（△BFE′或△BFF′）的方式，达到与旋转同样效果的辅助结构．对于此类基本图形丰富的问题，识图、构图显得至关重要，需要形成寻找基本图形结构的意识，养成基本图形分析的习惯．点评：基于点的运动分析，从动点P可看作主动点F绕定点E顺时针旋转60°得到，再结合局部（点）变换与整体（图形）变换之间的捆绑联系，当主动点F在射线QD上运动时，从动点P也必然在一条射线上运动，并且该射线可看作由射线QD绕定点E顺时针旋转60°得到（即所谓“瓜豆原理”），故这里将起点Q绕定点E作相同的旋转变换得到的点M即为从动点P的运动起点，借助夹角定位法即可说明点P的运动轨迹．接下来还要识别系数不为1的两线段之和最小值问题，即为所谓的“胡不归”模型，通过构造特殊角，借助正弦处理不为1的系数，最终利用“垂线段最短”原理寻得最值，剩下的就是计算问题而已．对于此类模型化问题，熟悉“套路”是捷径，需要理解模型背后的原理，理清来龙去脉，养成“识模、用模”的习惯．2．3 再思考（还可以怎么解）至此，这道中考压轴题看似已经完全解决，但若深思下去，“解题处处有奇思”．上面采取了所谓“瓜豆原理”，结合“胡不归”模型解决了最后一问，其难点是确定点P的运动轨迹，将“隐线”显现出来，方能解决．那么，有没有不需要确定点P运动轨迹的方法呢？事实上，只需要将与目标有关的点作相应的反向旋转即可，如图12所示，可知△MEQ、△ADE、△NEN′均为等边三角形，则△AEN′≌△DEN（SAS），故AN′＝DN＝2，∠EAN′＝∠EDN＝120°，从而AN′∥BC；点评：基于动点之间变换关系的分析，然后反其道而行，将与目标有关的所有点、线等图形作整体反向变换，往往可以“化腐朽为神奇”，给人“处处有精彩”之惊喜．这种整体反向变换思路最大的优势在于无需再将从动点的轨迹显现，从而突破了寻找轨迹的难点．这在双关的动点最值问题中常常可起到意想不到的简化之效，需要养成用变换的眼光看“点”想“形”的习惯．弗赖登塔尔曾精辟指出，“没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平”．波利亚也说过，“好问题类似于采磨菇，采到一个后还应四处看看，也许还有更多．”一道题解决后还可以进一步反思或者进行相关变式或者与其他问题进行类比总结，就本题而言，大家还可以从以下三方面思考：①变结论；②变条件；③变考题.这样方能真正提升自己的解题能力，实现所谓“做一道题、通一类题、变多道题”的效果（时间原因，不再展开，留给大家一个开放型的结尾，可以让大家有更多的想象空间）！。
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直角拐脖的接口问题
——关于正弦函数图象和性质的一个应用
江苏省太仓高级中学（215400）张惠良
在日常生活和生产中，我们常常见到图形管道需要作直角形转弯。
管子弯头，就是今天我们要研究的问题。
问题1：如何由一根管子做成一个直角形状的接口？
教师首先让每个学生小组（4人一小组）拿出准备好的粗一些的硬纸管，并思考上述问题1。
各小组学生经过几分钟探讨后，提出如下观点：如果用平面在两个筒上各截出一个45゜的截面，问题就可以解决。
这时，不少学生已经按耐不住、跃跃欲试，拿出准备好的钢锯、剪刀一试身手。
当他们顺利地将切口完成好直角形状的对接后，学生们都喜形于色。
问题2：如何直接在材料上进行放样？
正当学生沉浸在成功的喜悦时，教师再次提问：铁匠师傅用铁皮打造烟囱的“拐脖”，是将铁皮打造成一根管子后再锯，还是直接在铁皮上放样？学生认为应该是直接在铁皮上放样。
教师又提问：如何直接在材料上进行放样？这可真难倒了在座的学生，这时教师指出：技术熟练的技工凭经验先在铁皮上画样，尔后将相对的直边弥合弯成筒状，两个这样的筒将斜面弥合便成形。
但是这样做常常要对曲线进行修剪，才能使拐脖恰成直角且吻合得恰倒好处，材料的浪费经常是难免的。
能不能准确地在板材上放样呢？这就取决于对曲线的性质的研究。
于是，就有了下面的问题。
问题3：这到底是条什么曲线呢？
学生议论纷纷，有的学生就提出：何不将刚才做好的带斜面的圆筒沿一条直线剪开铺平后，再看看到底是什么曲线？这位学生的意见赢得了大家的认同，于是每个小组的4位学生又忙乎起来，教师也将铺平后的这条曲线画在黑板上，让学生仔细观察。
教师引导学生思考：这条曲线是我们学过的一种曲线。
在此提示下，有的学生猜想是圆弧与圆弧的连接，也有的认为是抛物线弧与抛物线弧的连接，这时，不少学生争论起来，可谁也说服不了谁，他们就请老师来裁决。
可教师也不作正面回答，只是淡淡地说：“中国不是有句古话，是骡子还是马，不妨牵出来溜溜。
我想你们会理解这句话的含义的。
”学生随后就明白了，何不用纸片照此（圆弧、抛物线弧）仿样、制作，看接口是否吻合，然而效果很不尽如人意，因而答案也就否定了。
正当大多数学生苦思旻想之际，有一位学生道出了答案：其实这就是我们刚学过的正弦曲线。
大家针对曲线看了又看，感到它确实像正弦曲线。
学生再通过放样又取得了成功，大家沉浸于发现的快乐之中。
问题4：你能证明上述结论吗？
对于“圆柱形斜口展开后的边界是正弦曲线”这一结论，结合有关图形引导学生给予证明。
建立如图所示的直角坐标系，设p(x,y)是圆柱形斜口上任意一点，过p点作PE⊥圆O’所在的平面，垂足为E，作EF⊥CD，垂足为F。
则 CE = x , PE = y
∴∠CO’E = x / R ，其中R是圆柱底面圆的半径。
∴EF =R sin x / R
而∠PEF = 45゜，∴ PE = EF 。
∴y = R sin x / R
所以圆柱形斜口展开后的边界是一条正弦曲线。
问题5：通过本次研究活动，你有什么感想与体会？
学生1：动手做一些有意义的实验制作，比单纯做几个题目更有意思。
注：教学本身就是一种活动。
教一个活动最好方法是演示，学一个活动的最好方法是做。
学生2：这一节课使我最难忘的是享受到了成功体验的乐趣。
注：这种以教师引导学生动手实践、自主探索的教学方法，能使学生在“教、学、做合一”中尝试由探索自然奥秘带来的成功喜悦，以达到激发学生的创造因素，培养他们的创造精神为目的。
学生3：我觉得一开始的截出45゜的切口，干脆将纸包在胡萝卜上，然后直接用刀到切更方便。
注：应当鼓励学生有自己的想法，敢想、敢做才能有所创造。
我们从科学史中不难发现，几乎所有的科学巨匠都有很鲜明的个性和带有个性色彩的智慧。
学生4：这种研究活动使我学会了思考，学会了如何从实际生活中发现问题和解决问题?
注：有意识地、经常地引导学生把所学的抽象知识与生活生产实际联系起来，使学生看到数学的力量，思考的价值，看到数学理论来源于实际，又转过来为实际服务的真理，这对激发学生的学习兴趣，增强他们的求知欲，有着极其重大的作用。
学生5：今天我们研究的直角拐脖在实际生活
中确定较多，但更多的似乎是如下形状的直角拐脖。
注：数学知识源于自然，因认识、解释、利用
和改造自然的需要而存在，并有利于在利用、改造
自然的过程中得以发展和完善，在教学过程中应该让学生学会用所学知识解释自然现象、分析实际问题。
学生在原问题研究的基础上，提出了新的问题，引
发了新的思索，这是一个可喜的现象。
教师针对学生提出的新型直角拐脖，建议学生课外继续研究。
最后布置有关作业
1、将课上的“直角拐脖接口问题”作一些整理，就某一具体的方面写一篇小论文。
2、设计几组不同直径的“直角拐脖”放样纸板，用于具体的实际生活中。
3、写一篇具有创新意义的“直角拐脖接口问题”的再研究这类小论文。
以上三题，任选一题即可。
附：学生课后研究小论文
1、烟囱拐脖的制作
烟囱拐弯的地方，必须有一个烟囱拐脖。
烟囱拐脖是由两个斜截圆柱面组成的。
我们沿着斜截圆柱面的一条母线MN把它剪开摊平，可以看见截口就是一条正弦曲线。
我们选择不同位置的母线作剪开线，
可以得到不同形状的正弦曲线。
但是，
不管它的形状怎样不同，它门都是一个
周期的正弦曲线。
要是让你动手制作一个烟囱拐脖，你要先量准烟筒的直径；看一看接口处的情况；然后根据铁皮的大小，选用一个周期的正弦曲线，把它画在铁皮上，沿着画好的正弦曲线剪下来，围成一个圆柱面，就可以得到一个斜截圆柱面。
用两个同样的斜截面对接起来，就成了一个烟筒拐脖了。
具体过程见下图所示：
要注意的一点：斜截平面和水平面
的夹角必须是45゜，才能保证拐脖是直
角，否则拐脖就要拐成别的角度了。
怎
样使这个夹角是直角呢？让正弦曲线振
幅的二倍等于烟筒的直径长就行了。
2．虾米腰拐脖
如果你到工厂或者医院去，可能看到一种直径比较粗的排气管。
即使你足不出户，在家庭的脱排油烟机、燃气热水器也能看
到这样的排气管。
这种排气管的拐脖，形状和一般
烟囱的拐脖不一样，它不是直接拐成一个直角，而
是逐渐拐弯的。
人们形象地把这种拐脖叫做“虾米
腰”。
也许最初设计这种拐脖，真是从虾米的腰部构
造得到启示。
把拐脖做成虾米腰，可以使排气的速度比较快。
如果拐脖是直接做成直角的，一部分气流会迎面撞到拐脖的内壁，结果会被顶回来，这就会使气流不能顺利通过。
如果把拐脖做成了虾米腰，气流就会沿着曲线的方向逐渐拐弯，比较通畅地流出去了；同时对拐脖的内壁的撞击力也比较小，可以延长拐脖的使用寿命。
虾米腰是一节套一节弯成的。
要是我们
展开其中一节，可以看到他是由一上一下两
条对称的正弦曲线组成。
工人师傅制作这种虾米腰，不但要考虑怎
样画正弦曲线，才能使拐脖对接得好，拐弯拐
得好，还要考虑如何节约原材料。
像右下图那
样来使用材料，四周都没用了，那就要造成很
大浪费。
工人师傅采用了一种叫做鱼形下料的
方法，可以节约大量的材料。
按着这种下料方
法，画出来的虾米腰，每一节的样子都像一条
鱼，这一条一条由正弦曲线组成的鱼排列起来，
严丝合缝，一点空隙也没有，没用的部分就大
为减少了。
从图中可以看出，鱼画的越多越省
料。
真是实践出真知，工人师傅把正弦曲线的
形状琢磨透了。
参考文献：
1．李毓佩著.奇妙的曲线，中国少年儿童出版社，1979，2
2．张思明著.中学数学建模教学的实践与探索，北京教育出版社，1998
3．田中.实现数学素质教育目标重在教学设计（下），数学通报，2002，3。