《2.4.2抛物线方程及性质的应用(2)》教学课件
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课件4：2.4.2 抛物线的简单几何性质
解:如图记焦点 F ,准线 l ,分别过点 A、B 作 l 的垂线,垂足分别为 M、NM.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB
过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 E. K Q
E
N
在△ AFE 中 EF AF cos .
记 x 轴与准线 l 的交点为 K ,则 KF p
∴ FA = MA KE p FA cos ∴ FA p 1 cos
焦点,与抛物线相交于 A、B ,求线段 AB 的长.
解:设
准线
A(
l:
x1, y1 ) ,
x p
B( x2 , y2 ) ,焦点 F
,分别过点 A、B
(p 2
作
,
l
0) M
的垂
2
( x1 , y1 )
线,垂足分别为 M、N.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB N
( x2 , y2 )
∴ AB
思考(课本第 69 页例 4)
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F ,且与 抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般); 法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算 弦长.
坐标法是一种非常好的证明,你还有 没有其他好方法呢?
本题几何法也是一个极佳的思维!
学习小结: 刚才发现的结论,坐标法起着重要作用. 设而不求,联立方程组,韦达定理这是研究直
线和圆锥曲线的位置关系问题的重要方法.
总结：
判断直线与抛物线位置关系的操作程序： 把直线方程代入抛物线方程
课件13：2.4.2 抛物线的简单几何性质
x2＝2py
x2＝－2py
方程 (p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
焦半径 |PF|＝x0＋p2 |PF|＝p2－ |PF| x0
|PF|＝y0＋p2 |PF|＝p2－y0
焦点弦 |AB|＝x1＋ |AB|＝ |AB|＝y1＋y2＋ |AB|＝
|AB|
x2＋p p－(x1＋x2)
p
p－(y1＋y2)
(5)A，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值， 即 x1·x2＝p42，y1·y2＝－p2. (6)|A1F|＋|B1F|为定值p2.
变式训练 过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线 于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点． (1)如果x1＋x2＝7，求线段AB的长； (2)若点A，B是倾斜角为60°的直线与抛物线的交点， 则|AB|等于多少？
4．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则 其方程为________． 【答案】y2＝8x或y2＝－8x
5．已知点(－2，3)与抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的距离 是 5，则 p＝________．
【解析】因为抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点坐标是p2，0，
类型 3 抛物线几何性质的简单应用
典例 3 已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，
P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若F→P＝
4F→Q，则|QF|＝( )
7
5
A.2
B.2
C.3
D.2
【解析】因为F→P＝4F→Q，所以|F→P|＝4|F→Q|，所以||PPQF||＝43. 示意图如图所示，过点 Q 作 QQ′⊥l，垂足为 Q′，设 l 与 x 轴的交点为 A， 则|AF|＝4，所以||PPQF||＝|Q|AQF|′|＝43. 所以|QQ′|＝3.根据抛物线的定义可知|QQ′|＝|QF|＝3. 【答案】C
课件1：2.4.2 抛物线的简单几何性质
【自主解答】法一 由已知条件可知抛物线的对称轴为 x 轴， ∴设抛物线的方程为 y2＝2px 或 y2＝－2px(p＞0)． 又∵抛物线的焦点到顶点的距离为 5， ∴2p＝5，∴p＝10. ∴所求抛物线的方程为 y2＝20x 或 y2＝－20x.
法二 由已知条件可知抛物线的对称轴为 x 轴． ∴设抛物线的方程为 y2＝mx(m≠0)． 又∵抛物线的焦点到顶点的距离为 5， ∴|m4 |＝5，∴m＝±20. ∴所求抛物线的方程为 y2＝20x 或 y2＝－20x.
【问题导思】 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛
物线的哪些几何性质？ 【提示】范围、对称性、顶点、离心率．
标准 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 方程 (p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
图形
y 0, y R y 0, y R
x轴
y轴
(0,0) 1
(2)当 k＜1，且 k≠0 时，直线 l 与 C 有两个公共点； (3)当 k＞1 时，直线 l 与 C 没有公共点．
规律方法 判断直线与抛物线的位置关系通常使用代数法：将直线的方程 与抛物线的方程联立，整理成关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0. (1)当 a≠0 时，利用判别式解决． Δ＞0⇒相交；Δ＝0⇒相切；Δ＜0⇒相离． (2)当 a＝0 时，方程只有一解 x＝－bc，这时直线与抛物线的对 称轴平行或重合．
双曲线的渐近线方程为 3x－y＝0 或 3x＋y＝0，
则焦点到渐近线的距离 d1＝
| 3×1－0| 3 2＋ －1
2＝ 23或 d2
＝
|
3×31＋2＋0| 12＝
3 2.
【答案】 B
题型二：直线与抛物线的位置关系的判断
(教师参考)高中数学 2.4.2 抛物线的简单几何性质课件2 新人教A版选修2-1
y
6
A5
1
|AB |= |AF|+ |BF |
4
A
3
= |AA1 |+ |BB1 |
2
=(x1+1)+(x2+1) =x1+x2+2=8
B1
F 1
O1
2
3
4
5
6
7
8x
B -1
-2
精选ppt
11
解法4
FA = AA1 KH p FA cos
p
FA
y
1 cos
6
同理 FB p
A5
1
4
A
1cos
第二章 圆锥曲线与方程
2.4.2 抛物线的简单几何性质
一、复习回顾：
1、抛物线的定义：
在平面内,与一个定点F和一条定直线l (l不经
过点F )的距离相等的点的轨迹叫抛物线.
定点F是抛物线的焦点，
y
l
定直线l叫做抛物线的准线.
d .M
K.
OF
x
精选ppt
2
2、抛物线的标准方程：
标准方程 y22p(xp0) y22p(xp0) x22p(yp0) x22p(yp0)
3
AB p p
1 cos 1 cos
2p 22
sin2 sin2 45 8
K
B1
2
F 1
H
O1
2
3
4
5
6
7
8x
B -1
-2
精选ppt
12
例 抛物线y2=4x的焦点为F,
y
5
点M在抛物线上运动, A(2,2), 试求 4
数学课件：第二章 2.4 2.4.2 抛物线的简单几何性质
∴y421p·y222＋y1·y2＝0， ∴b2＋2pb＝0， ∴b＋2p＝0，∴b＝－2p. ∴y1·y2＝－4p2，x1·x2＝b2＝4p2. ∴A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是 4p2 和－4p2. (2)AB 方程为 my＝x－2p，∴AB 过定点(2p,0)．
解决抛物线中定点、定值问题的方法 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值，过定点的问题，解决这类问 题的方法有很多，例如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这类问题 的关键是代换和转化．有时利用数形结合思想能达到避繁就简、化难为易、 事半功倍的效果．
解析：抛物线的焦点F
p2，0
，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－
p 2
，即
x＝y＋
p 2
，将其代入得：y2＝2px＝2p
y＋p2
＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所
以y1＋2 y2＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
答案：x＝－1
探究一 抛物线性质的应用
[典例1]
直线与抛物线的位置关系 将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与 抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件， 利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．
2．已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰 被M(2,1)所平分． (1)求抛物线E的方程； (2)求直线AB的方程．
2.4.2 抛物线的简单几何性质
考纲定位
重难突破
1.掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用．
2.会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合 重点：抛物线的图形和简
问题．
单几何性质．
2.4.2.2抛物线方程及性质的应用 ppt课件(苏教版选修2-1) 2017-2018学年高中数学 苏教版 选修2-1
2.求过点P(0，1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线的方
程.
【解析】1.解题流程: 已 知
直线y=kx-k，抛物线y2=2x(p>O)
分 析
讨 论 结 论 答案：1或2
直线y=kx-k=k(x-1)过定点（1,0）
当k=0时，直线与抛物线只有一个公共点
当k 0时，很明显，直线与抛物线一定有两个交点
抛物线相切，还有直线与抛物线的轴平行 .另外也容易忽视直
线斜率不存在的情况，从而导致漏解的错误.
弦长和焦点弦问题 【技法点拨】 1.弦长公式
直线方程 消去y 由 ax 2 bx c 0 抛物线方程 直线方程 消去x 或 ay 2 by c 0. 抛物线方程
2.焦半径与焦点弦长
(1)抛物线上一点与抛物线的焦点F连线得到的线段叫焦半径，
过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫焦点弦.
(2)若AB为抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦，
A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB=AF+BF=x1+x2+p.
【典例训练】 1.(2011·辽宁高考改编)已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是 该抛物线上的两点，AF+BF=3，则线段AB的中点到y轴的距离为 __________. 2.过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2) 两点，若x1+x2=6,则AB=________.
∴所求抛物线标准方程是y2=3ห้องสมุดไป่ตู้.
当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线
的标准方程是y2=-3x.
综上，抛物线方程为y2=3x或y2=-3x.
第二章2.4.2抛物线的几何性质PPT课件
焦点
F ( p ,0) 2
F ( p ,0) 2
F (0, p ) 2
F (0, p ) 2
准线
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2 •2
练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）
方程
y2 6x y2 4x
焦点
准线
F
(3Βιβλιοθήκη 2,0)x3 2
F(1,0) x 1
开口方向
开口向右
开口向左
x2 4y F(0,1) y 1
例3.斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x 的焦点,且与抛物线相交于A，B两点， 求线段AB的长。
结论：直线l 经过抛物线y2=2px的焦点, 且与抛物线相交于A，B两点，则线段 AB的长|AB|=x1+x2+P.
•20
练习3：已知过抛物线y2=9x的焦点的 弦长为12,则弦所在直线的倾斜角是
A.6或56.................B.4或34 C.3或23..................D.2
A.43........................B.75 C.85.........................D.3
•27
（三）、例题讲解：
变式题6：已知直线y=x+b与抛物线 x2=2y交于A,B两点,且OA⊥OB(O为 坐标原点),求b的值.
A.23.......................B.2
C.52.......................D.
3 2
•28
y P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有
两个顶点不同。
课件5：2.4.2 抛物线的简单几何性质
(2)|AB|＝2(x0＋p2)＝x1＋x2＋____p______； ＝__(_3_)_Ap_4、2__B_两__点_，的y横1·y坐2＝标__之__积－__、p_2_纵__坐. 标之积为定值，即x1·x2
1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的
距离，则点P的坐标为( )
A．(14，±
F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若
→ FP
＝4F→Q，则|QF|＝( )
7 A.2
B．3
5 C.2
D．2
[答案] D
[解析] 抛物线的焦点坐标是F(2,0)，过点Q作抛物线的准
线的垂线，垂足是A，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x轴的交
点为G，因为
→ FP
＝4
→ FQ
，则点Q是PF的三等分点，由于三角形
5．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A、B两点，若该抛物线 上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为______．
[答案] a≥1 [解析] 本题考查了直角三角形的性质．抛物线的范围以 及恒成立问题，不妨设A( a，a)，B(－ a，a)，C(x0，x20)，则 C→B＝(－ a－x0，a－x20)，C→A＝( a－x0，a－x20)， ∵∠ACB＝90°. ∴C→A·C→B＝( a－x0，a－x20)·(－ a－x0，a－x20)＝0. ∴x20－a＋(a－x20)2＝0，∵x20－a≠0. ∴(a－x20)(a－x20－1)＝0，∴a－x20－1＝0. ∴x20＝a－1，又x20≥0.∴a≥1.
2.4.2 抛物线的简单几何性质
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4 课时作业
1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的
距离，则点P的坐标为( )
A．(14，±
F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若
→ FP
＝4F→Q，则|QF|＝( )
7 A.2
B．3
5 C.2
D．2
[答案] D
[解析] 抛物线的焦点坐标是F(2,0)，过点Q作抛物线的准
线的垂线，垂足是A，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x轴的交
点为G，因为
→ FP
＝4
→ FQ
，则点Q是PF的三等分点，由于三角形
5．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A、B两点，若该抛物线 上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为______．
[答案] a≥1 [解析] 本题考查了直角三角形的性质．抛物线的范围以 及恒成立问题，不妨设A( a，a)，B(－ a，a)，C(x0，x20)，则 C→B＝(－ a－x0，a－x20)，C→A＝( a－x0，a－x20)， ∵∠ACB＝90°. ∴C→A·C→B＝( a－x0，a－x20)·(－ a－x0，a－x20)＝0. ∴x20－a＋(a－x20)2＝0，∵x20－a≠0. ∴(a－x20)(a－x20－1)＝0，∴a－x20－1＝0. ∴x20＝a－1，又x20≥0.∴a≥1.
2.4.2 抛物线的简单几何性质
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4 课时作业
课件15：2.4.2 抛物线的简单几何性质
2
2
所以其标准方程为 y2＝4x.
名师指导
抛物线各元素间的关系,抛物线的焦点始终在对
称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始
终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于
顶点对称，顶点到焦点的距离为 .
2
跟踪训练
1.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶
点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长.
C
2.若抛物线 y2＝2x 上有两点 A，B 且 AB 垂直于 x 轴，若
|AB|＝2 2，则抛物线的焦点到直线 AB 的距离为(
1
A.2
1
B.4
1
C.6
1
D.8
)
【解析】
线段 AB 所在的直线的方程为 x＝1，抛物线的
1
焦点坐标为2，0，则焦点到直线
【答案】
A
1 1
AB 的距离为 1－2＝2.
例3
过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，
求AB所在直线的方程.
【解】
法一：设以 Q 为中点的弦 AB 的端点坐标为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 y12＝8x1，y22＝8x2，
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2).
又 y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，
即r＝|1－(－1)|＝2，
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
探究点 抛物线的焦点弦及其它弦的问题
探究 1 直线过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F，与抛物线
2
所以其标准方程为 y2＝4x.
名师指导
抛物线各元素间的关系,抛物线的焦点始终在对
称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始
终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于
顶点对称，顶点到焦点的距离为 .
2
跟踪训练
1.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶
点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长.
C
2.若抛物线 y2＝2x 上有两点 A，B 且 AB 垂直于 x 轴，若
|AB|＝2 2，则抛物线的焦点到直线 AB 的距离为(
1
A.2
1
B.4
1
C.6
1
D.8
)
【解析】
线段 AB 所在的直线的方程为 x＝1，抛物线的
1
焦点坐标为2，0，则焦点到直线
【答案】
A
1 1
AB 的距离为 1－2＝2.
例3
过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，
求AB所在直线的方程.
【解】
法一：设以 Q 为中点的弦 AB 的端点坐标为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 y12＝8x1，y22＝8x2，
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2).
又 y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，
即r＝|1－(－1)|＝2，
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
探究点 抛物线的焦点弦及其它弦的问题
探究 1 直线过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F，与抛物线
人教版高中数学选修2.4.2-抛物线的简单几何性质 (2)ppt课件
y
2 1
-1
O1
2
3
4
x
-1
-2
-3
y
2 1
-1
O1
2
3
4
x
-1
-2
-3
例1. 已知抛物线关于x轴对称, 顶点在坐标原点, 并且过点
M(2,
), 求它的标2准2方程.
因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M
解: （２，
），
2 2
所以设方程为：
y 2 2 px ( p 0)
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
OF
x
FO
x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
关于x轴对称
关于x轴对称
关于y轴对称
关于y轴对称
（0,0） e=1
三、典例精析
例1. 已知抛物线关于x轴对称, 顶点在坐标原点, 并且过点 M(2, ), 求它的 标2准2方程.
y x 1
y2
4x
x2
6x
1
0
x1
3
2
2
或
x2
32
2
y1 2 2 2
y2 2 2 2
AB = (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2 = 8
解法2 F1(1 , 0),
l的方程为：y x 1
y x 1
6x
1
0
⇒x1 + x2 = 6, x1x2 = 1
高中数学第2章2.4.2抛物线的简单几何性质课件新人教A选修21.ppt
变式训练 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称
轴为 x 轴，且与圆 x2＋y2＝4 相交于 A、B 两点， |AB|＝2 3，求抛物线方程．
解：由已知抛物线的焦点可能在x轴正半轴上， 也可能在负半轴上． 故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)． 设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点为A(x1，y1)， B(x2，y2)． ∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴 对称，∴点A与B关于x轴对称，
例1 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且 垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标 原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标 准方程．
【思路点拨】 设抛物线方程y2＝2pxp≠0 →
求A、B两点的坐标 → 求出弦长AB →
写出△OAB的面积，利用面积列方程解p → 得结果
【解】 由题意，抛物线方程为 y2＝2px(p≠0)， 焦点 Fp2，0，直线 l：x＝p2， ∴A、B 两点坐标为p2，p，p2，－p，∴|AB|＝2|p|. ∵△OAB 的面积为 4， ∴12·|p2|·2|p|＝4，∴p＝±2 2. ∴抛物线方程为 y2＝±4 2x.
【思路点拨】 求 x1x2 及 y1y2 的值可考虑用根与 系数的关系；证明 OM⊥ON，可用 kO M·kON＝－1 或O→M·O→N＝0 来证明．
【解】 (1)直线 l 的方程为 y＝k(x－2)．(k≠0)
y＝kx－2 (2)由y2＝2x
消去 y 并整理可得 k2x2－2(2k2
＋1)x＋4k2＝0， ∴x1x2＝4kk22＝4，y21·y22＝4x1x2＝16，
而 y1y2<0，
∴y1y2＝－4.
(3)证明：设 OM，ON 的斜率分别为 k1，k2， 则 k1＝xy11，k2＝xy22， 由(2)知，y1y2＝－4，x1x2＝4， ∴k1·k2＝－44＝－1，即 OM⊥ON.
第2章2.4 2.4.2 抛物线的简单几何性质课件人教新课标
y＝－p2
y＝p2
性质 范围
x≥0 y∈R
， x≤0，y∈R
_y_≥_0_，__x_∈__R__ y_≤_0_，__x_∈__R_
对称轴
__x_轴_____
__y_轴___
顶点
_(_0_，__0_)__
离心率
e＝___1___
2.焦点弦
直线过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F，与抛物线交于 A(x1，y1)、
法 二 ： 设 弦 AB 所 在 直 线 的 方 程 为 y ＝ k(x － 4) ＋ 1. 联 立 yy2＝＝k8（x，x－4）＋1，消去 x，得 ky2－8y－32k＋8＝0，
此方程的两根就是线段端点 A，B 两点的纵坐标， 由根与系数得 y1＋y2＝8k. 又 y1＋y2＝2，∴k＝4. ∴所求弦 AB 所在直线的方程为 4x－y－15＝0.
(Ⅱ)：当 k≠0 时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k2＋k－1)． a．由 Δ＝0，即 2k2＋k－1＝0，解得 k＝－1 或 k＝12，所以方程 ①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线 l 与抛物线只有 一个公共点．
b．由 Δ>0，即 2k2＋k－1<0，解得－1<k<12， 于是，当－1<k<12，且 k≠0 时，方程①有两个解， 从而方程组(*)有两个解，这时直线 l 与抛物线有两个公共点．
抛物线各元素间的关系 抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交 点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对 称，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为p2.
1．边长为 1 的等边三角形 AOB，O 为坐标原点，AB⊥x 轴，以
O 为顶点且过 A，B 的抛物线方程是( )
课件2：2.4.2 抛物线的几何性质
[例 3] 设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，F 为抛物 线焦点．
(1)设点 P 到直线 x＝－1 的距离为 d，A(－1,1)，求|PA| ＋d 的最小值；
(2)若 B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
[解析]
(1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程是 x＝－1，由 抛物线的定义知：|PF|＝d.于是，问题转化为：在曲线上求一点 P，使|PA|＋|PF|最小．显然，连 AF 交抛物线于 P 点，故最小值 为 22＋12，即 5.
由此可得|y1|＝|y2|， 即线段 AB 关于 x 轴对称． 由于 AB 垂直于 x 轴，且∠AOx＝30°. ∴yx11＝tan30°＝ 33，而 y12＝2px1，∴ y1＝2 3p 于是|AB|＝2y1＝4 3p.
[点评](1)求边长并不困难，往往会直观上承认抛物线与正 三角形的对称轴是公共的而忽略了它的证明．但在选择题 中可直接利用．
3．顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的_顶__点__．在方程 y2＝2px(p>0)中，当 y＝0 时，x＝0，因此这条抛物线的顶点就 是__坐__标__原_点__． 4．离心率 抛物线上的点与焦点和准线的距离的比，叫做抛 物线的_离__心__率__，用 e 表示，按照抛物线的定义，e＝__1. 5．通径 过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为 2p .
[解析] 如图，由抛物线的标准方程可知，焦点 F(1,0)， 准线方程 x＝－1.
由题设，直线 AB 的方程为：y＝2x－2. 代入抛物线方程 y2＝4x，整理得：x2－3x＋1＝0.
设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于点 A 到准线 x＝－1 的距离|AA′|， 即|AF|＝|AA′|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5.
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(2)方法一：抛物线的焦点为F(1,0)，倾斜角为60°的直线的 斜率为k=tan 60°= 3, 所以直线方程为y= 3 (x-1),
代入抛物线方程整理得3x2-10x+3=0,
所以 x1 x 2
10 . 3
由抛物线的焦点弦长公式得所求弦长为
x1 x 2 p 10 16 2 . 3 3
2.可利用 AB 1 k 2 | x1 x 2 | 或 AB 1 12 | y1 y2 | 或
k
|AB|=x1+x2+p等.
【自主解答】(1)设抛物线的方程为y2=ax(a≠0), 将y=2x-4代入得: 4x2-(a+16)x+16=0.① 设A(x1,y1),B(x2,y2), 即x1,x2为方程①的两根,
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【方法技巧】直线与抛物线相交的弦长问题
直线和抛物线相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，直线的斜率
为k.
(1)一般的弦长公式:|AB|= 1 k 2 x1 x 2 .
(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线 y2=2px(p＞0)的焦点 时，弦长|AB|=x1+x2+p.
方法二：抛物线的焦点为F(1,0)，倾斜角为60°的直线的斜率 为k=tan 60°= 3, 所以直线方程为y= 3 (x-1), 代入抛物线方程整理得3x2-10x+3=0, 解得x1=3或x2= 1 ,
3
代入y= 3 (x-1),
得 y1 2 3 或 y 2
2 3, 3 3
所以|AB|= x1 x 2 2 y1 y 2 2 16 .
k 0, 即 16 4k 8 12k 0, 解得 k 1 或k=-1. 3 则直线方程为 y 2 1 (x 3) 或y-2=-(x+3), 3
即x-3y+9=0或x+y+1=0. 故所求直线有三条，其方程分别为y=2或x-3y+9=0或x+y+1=0.
【补偿训练】直线ax-y-a=0与抛物线y2=2px(p>0)的公共点的 个数为 .
【解题探究】1.题(1)过定点的直线与抛物线有几个公共点,关 键条件是什么? 2.题(2)直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)都有哪几种位置关系?
【探究提示】1.过定点的直线与抛物线有几个公共点,关键要
看定点与抛物线的位置关系.
2.直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)有相交、相切、相离三种
y 2 k x 3 , 由 消去x,整理得 2 y 4x,
ky2-4y+8+12k=0.
①
(1)当k=0时，方程①化为-4y+8=0,即y=2,
此时过(-3,2)的直线方程为y=2,满足条件. (2)当k≠0时，方程①应有两个相等的实根， 所以
k 0, 0,
线的对称轴或与对称轴重合.
(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;
当Δ<0时,直线与抛物线相离,无公共点.
【变式训练】过点 (-3,2)的直线与抛物线y2=4x只有一个公共 点，求此直线方程. 【解析】显然，直线斜率k存在， 设直线方程为y-2=k(x+3),
位置关系.
【自主解答】(1)选D.因为点(0，-1)在抛物线内部，故过该点 的直线斜率不存在时，与抛物线有一个公共点，是相交的；斜 率存在时，有两个公共点，因此公共点的个数是1或2.
y k x 1 , (2)由方程组 消去y得 2 y 4x,
k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
记Δ=(2k2-4)2-4k4=16(1-k2),
①若直线与抛物线有两个交点,
则k2≠0且Δ>0,即k2≠0,且16(1-k2)>0,
解得k∈(-1,0)∪(0,1). 所以当k∈(-1,0)∪(0,1)时，直线l和抛物线C有两个交点.
②若直线与抛物线有一个交点， 则k2=0或k2≠0时，Δ=0. 解得k=0或k=〒1. 所以当k=0或k=〒1时，直线l和抛物线C有一个交点. ③若直线与抛物线无交点， 则k2≠0且Δ<0.
解得k>1或k<-1.
所以当k>1或k<-1时，直线l和抛物线C无交点.
【方法技巧】直线与抛物线位置关系的判断方法
设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物
线方程联立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.
(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物
【解析】由ax-y-a=0,得y=a(x-1), 故直线恒过定点(1,0), 又定点(1,0)在抛物线y2=2px的对称轴上, 故当直线与对称轴重合时有一个交点,当直线与对称轴不平行 或不重合时,有两个交点. 答案:1或2
类型二
抛物线的弦长问题
【典例2】
(1)顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得弦长
第2课时 抛物线方程及性质的应用
【题型示范】
类型一 直线与抛物线的位置关系
【典例1】
(1)过点(0,-1)的直线与抛物线x2=-2y公共点的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.1或2
(2)已知直线l:y=k(x+1)与抛物线C:y2=4x.问:k为何值时,直线l
与抛物线C有两个交点,一个交点,无交点?
|AB|= 3 5, 则抛物线方程为__________.
(2)过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为60°的直线与抛物线相
交，求直线被抛物线截得的弦长.
【解题探究】1.题(1)顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线方程 如何设？
2.题(2)求过焦点的弦长，有哪些公式可用？
【探究提示】1.可设抛物线的方程为y2=ax(a≠0).
由根与系数的关系知
x1 x 2 a 16 , x1x 2 4, 4
所以|x1-x2|=
x1 x 2 4x1x 2 (
2
a 16 2 ) 16 4
所以|AB|= 1 k 2 x x 5 g ( a 16 ) 2 16, 1 2
4
又|AB|= 3 5, 所以a=4或a=-36, 所以所求抛物线方程为y2=4x或y2=-36x. 答案：y2=4x或y2=-36x