【精选】高中数学第一章计数原理1.2排列与组合例题与探究新人教A版选修2_3

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高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式讲义新人教A版选修2_3

高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式讲义新人教A版选修2_3

第1课时组合与组合数公式知识点组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□01合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.知识点组合与组合数公式组合的定义包含两个基本内容:一是“取出元素”;二是“合成一组”,表示与元素的顺序无关,排列与组合的相同点是从n 个不同元素中任取m 个元素,不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”,而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列.因此区分某一问题是组合还是排列,关键是看取出的元素有无顺序.组合数的两个性质,性质1反映了组合数的对称性,在m >n2时,通常不直接计算C mn 而改为C n -m n ,对于性质2,C m n +1=C m n +C m -1n 要会正用、逆用、变形用.1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)从a ,b ,c 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C 23.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积.( ) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合.( ) (4)C 35=5×4×3=60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________. (2)C 1820=________. (3)C 399+C 299=________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700解析 (1)由组合数公式知C 36=6×5×43×2×1=20.(2)C 1820=C 220=20×192×1=190. (3)C 399+C 299=C 3100=100×99×983×2×1=161700.探究1 组合的有关概念 例1 给出下列问题:(1)从a ,b ,c ,d 四名学生中选2名学生完成一件工作,有多少种不同的选法? (2)从a ,b ,c ,d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的选法? (3)a ,b ,c ,d 四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场? (4)a ,b ,c ,d 四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果?(5)某人射击8枪,命中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,不同的结果有多少种? (6)某人射击8枪,命中4枪,且命中的4枪中恰有3枪连中,不同的结果有多少种? 在上述问题中,哪些是组合问题?哪些是排列问题?[解] (1)2名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题. (2)2名学生完成两件不同的工作,有顺序,是排列问题.(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题. (4)冠亚军是有顺序的,是排列问题.(5)命中的4枪均为2枪连中,为相同的元素,没有顺序,是组合问题. (6)命中的4枪中恰有3枪连中,即连中3枪和单中1枪,有顺序,是排列问题. 拓展提升判断是否为组合问题,关键是判断问题是否与顺序有关,可以结合条件理解,也可以选择一个结果,交换这个结果中两个元素先后顺序,看是否对结果产生影响,若无新变化,则是组合问题.总之,与顺序有关是排列问题,若与顺序无关,则是组合问题.[跟踪训练1] 判断下列问题是排列问题,还是组合问题.(1)从集合A ={-1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加,得到的和共有多少个? (2)从集合A ={-1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除,得到的商共有多少个?(3)从a ,b ,c ,d 这四名同学中任取两名同学去参加某一活动,共有多少种不同的选法? (4)四个人互发一个电子邮件,共写了多少个电子邮件?解 (1)从集合A 中取出两个数后,改变两个数的顺序,其和不变.因此此问题,只与取出的元素有关,与元素的顺序无关,故是组合问题.(2)从集合A 中取出两个数相除,若改变其分子、分母的位置,其结果就不同,因此其商的值与元素的顺序有关,是排列问题.(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动,没有顺序,因此是组合问题. (4)四人互发电子邮件,由于发信人与收信人是有区别的,与顺序有关,是排列问题. 探究2 组合数及组合数性质的运用 例2 (1)计算:C 410-C 37·A 33; (2)已知1C m 5-1C m 6=710C m 7,求C m8;(3)求C 38-n3n +C 3n21+n 的值; (4)证明:m C m n =n C m -1n -1. [解] (1)原式=C 410-A 37=10×9×8×74×3×2×1-7×6×5=210-210=0.(2)原方程可化为m !(5-m )!5!-m !(6-m )!6!=7×(7-m )!m !10×7!,即m !(5-m )!5!-m !(6-m )(5-m )!6×5!=7×m !(7-m )(6-m )(5-m )!10×7×6×5!,∴1-6-m 6=(7-m )(6-m )60,即m 2-23m +42=0,解得m =2或21(不符合题意,舍去).∴C m 8=C 28=28.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38-n ≤3n ,3n ≤21+n ,∴9.5≤n ≤10.5,∵n ∈N *,∴n =10, ∴C 38-n3n +C 3n21+n =C 2830+C 3031=30!28!·2!+31!30!·1!=466.(4)证明:m C mn =m ·n !m !(n -m )!=n ·(n -1)!(m -1)!(n -m )!=n ·(n -1)!(m -1)!(n -m )!=n C m -1n -1.拓展提升(1)像排列数公式一样,公式C mn=n (n -1)(n -2)…(n -m +1)m !一般用于计算;而公式C m n =n !m !(n -m )!及C mn =A mn A m m 一般用于证明、解方程(不等式)等.(2)在解决与组合数有关的问题时,要注意隐含条件“m ≤n 且m ,n ∈N *”的运用.如本例(3).(3)要注意公式Am n =C m n A m m 的逆向运用,如本例(1)中可利用“C 37A 33=A 37”简化计算过程. (4)本例(4)所推导的结论“m C m n =n C m -1n -1”以及它的变形公式是非常重要的公式,应熟练掌握.[跟踪训练2] (1)①求值:C 5-n n +C 9-nn +1;②求证:C mn =m +1n -mC m +1n . (2)计算:①C 58+C 98100·C 77; ②C 05+C 15+C 25+C 35+C 45+C 55; ③C n n +1·C n -1n .解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧5-n ≤n ,5-n ≥0,9-n ≤n +1,9-n ≥0,解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *,所以n =4或n =5. 当n =4时,原式=C 14+C 55=5, 当n =5时,原式=C 05+C 46=16.②证明:因为C mn =n !m !(n -m )!,m +1n -m C m +1n =m +1(m +1)!·n !(n -m )(n -m -1)!=n !m !(n -m )!,所以C mn =m +1n -mC m +1n . (2)①原式=C 38+C 2100×1=8×7×63×2×1+100×992×1=56+4950=5006.②原式=2(C 05+C 15+C 25)=2(C 16+C 25)=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6+5×42×1=32. ③原式=C 1n +1·C 1n =(n +1)n =n 2+n . 探究3 简单的组合问题例3 现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名. (1)从中选2名去参加会议,有多少种不同的选法?(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习,有多少种不同的选法? (3)从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法?[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即有C 210=10×92×1=45种不同的选法. (2)可把问题分两类:第1类,选出2名男教师,有C 26种方法;第2类,选出2名女教师,有C 24种方法,即共有C 26+C 24=21种不同的选法.(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种,从4名女教师中选2名的选法有C 24种,根据分步乘法计数原理,共有C 26·C 24=6×52×1×4×32×1=90种不同的选法. 拓展提升解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于:排列问题与取出的元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素的顺序无关.其次要注意两个基本原理的运用,即分类与分步的灵活运用,在分类与分步时,一定要注意有无重复和遗漏.[跟踪训练3] 在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?(1)任意选5人;(2)甲、乙、丙三人必须参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.解 (1)从中任取5人是组合问题,共有C 512=792种不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必须参加,则只需要从另外9人中选2人,是组合问题,共有C 29=36种不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的9人中选5人,共有C59=126种不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,可分两步:先从甲、乙、丙中选1人,有C13=3种选法;再从另外9人中选4人,有C49种选法.共有C13C49=378种不同的选法.1.下列问题不是组合问题的是 ( )A.10个朋友聚会,每两人握手一次,一共握手多少次?B.平面上有2015个不同的点,它们中任意三点不共线,连接任意两点可以构成多少条线段?C.集合{a1,a2,a3,…,a n}的含有三个元素的子集有多少个?D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目,有多少种选法?答案 D解析组合问题与次序无关,排列问题与次序有关,D项中,选出的2名学生,如甲、乙,其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法,因此是排列问题,不是组合问题,选D.2.若C 7n +1-C 7n =C 8n ,则n 等于( ) A .12 B .13 C .14 D .15 答案 C解析 C 7n +1=C 7n +C 8n =C 8n +1,∴n +1=7+8,n =14,故选C. 3.把三张游园票分给10个人中的3人,分法有 ( ) A .A 310种 B .C 310种 C .C 310A 310种 D .30种答案 B解析 三张票没区别,从10人中选3人即可,即C 310,故选B. 4.若C 4n >C 6n ,则n 的集合是________. 答案 {6,7,8,9} 解析 ∵C 4n >C 6n ,∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ,n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n !4!(n -4)!>n !6!(n -6)!,n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2-9n -10<0,n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧-1<n <10,n ≥6.∵n ∈N *,∴n =6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}.5.在6名内科医生和4名外科医生中,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生; (2)既有内科医生,又有外科医生.解 (1)先选内科医生有C 36种选法,再选外科医生有C 24种选法,故有C 36C 24=120种选派方法.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,有C 16C 44+C 26C 34+C 36C 24+C 46C 14=246种选派方法.若从反面考虑,则有C 510-C 56=246种选派方法.。

高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式课件新人教A版选修23

高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式课件新人教A版选修23
(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛, 没有顺序,是组合问题.
(4)冠 、亚军是有顺序的,是排列问题. (5)命中的4枪均为2枪连中,为相同的元素,没有顺 序,是组合问题. (6)命中的4枪中恰有3枪连中,即连中3枪和单中1 枪,有顺序,是排列问题.
类型 2 组合数的计算
[典例 2] (1)计算:C9979+C9989+C91900=________; (2)求值:C5n-n+C9n-+n1=________; (3)解不等式 C4n>C6n. 解析:(1)C9979+C9989+C91900=C91800+C91900=C91901=C2101= 101×100 2×1 =5 050.
第一章 计数原理
1.2 排列与组合 1.2.2 组合
第 1 课时 组合与组合数公式
[学习目标] 1.理解组合及组合数的概念(重点). 2. 能利用计数原理推导组合数公式,并会应用公式解决简单 的组合问题(重点、难点).
1.组合的概念 (1)组合:一般地,从n个不同的元素中取出m(m≤n) 个元素合成一组,叫作从n不同元素中取出m个元素的一 个组合. (2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元 素的组合数,用符号Cnm表示.
2.下列计算结果为 21 的是( )
A.A24+C26 B.C77
C.A27
D.C27
解析:C27=72× ×61=21.
答案:D
3.下面几个问题中属于组合问题的是________. ①由 1,2,3,4 构成的双元素集合;②由 1,2,3 构成两位数的方法;③由 1,2,3 组合无重复数字的两位 数的方法. 解析:①中选出的两个元素构成集合,与顺序无关,

高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合1学案无答案新人教A版选修2_3

高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合1学案无答案新人教A版选修2_3

1.2.2组合(1)【学习目标】1.理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系.2.理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.3.会解决一些简单的组合问题.【重点难点】重 点: 理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系;理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.难 点: 会用组合数解决一些简单的问题.【学法指导】区分组合与排列的异同点,并加以应用.【学习过程】一.复习巩固1、组合定义:一般地,从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2、组合数:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号________表示.3、组合数公式:0(1)(2)(1)!!!()! 1.m m n nm m m n n A n n n n m C m A n C m n m C ---===+=- 我们规定:二.课堂学习与研讨探究 组合数 1: mn m n n C C -=性质731010C C 练习:计算两个组合数 ;问题1:为何上面两个不同的组合数其结果相同?怎样对这一结果进行解释?问题2:上述情况加以推广可得组合数怎样的性质?探究2.组合数性质2:11m m m n n n C C C -+=+一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球(1)口袋里取出3个球,共有多少种取法?(2)从口袋里取出3个球,使其中含有一个黑球,有多少种取法?(3)从口袋里取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?从引例中可以发现一个结论:323877C C C =+对上面的发现(等式)作怎样解释?1211,,,1m n n a a a n m C +++ 一般地,从这个不同的元素中取出个元素的组合数是,组合数性质2:11m m m n n n C C C -+=+ 试用代数法证明性质2?11123111,,,1m n n a a a a a a n m a C -+- 这些组合可分成两类:一类含有,一类不含有,含有的组合是从这个元素中取出个元素与组成的,共有个; 1231,,,m n n a a a a n m C + 不含的组合是从这个元素中取出个元素组成的,共有个 由分类计数原理,得例1 计算例2. 一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛。

高中数学第一章计数原理1.2.1排列概念与排列数公式2课件新人教A版选修2_3

高中数学第一章计数原理1.2.1排列概念与排列数公式2课件新人教A版选修2_3
解析答案
(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种? 解 把位置作为研究对象. 第一步,从甲、乙以外的 5 名同学中选 2 名排在首末 2 个位置,有 A25种方法. 第二步,从未排上的 5 名同学中选出 3 名排在中间 3 个位置上,有 A35种方法. 根据分步乘法计数原理,共有 A25·A35=1 200(种)方法.
排列方法.
解 甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变, 即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的A133. 故有AA7733=840(种)不同的排法.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练3 7名师生排成一排照相,其中老师1人,女生2人,男生4人, 若4名男生的身高都不等,按从高到低的顺序站,有多少种不同的站法? 解 7 人全排列中,4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A44种, 而由高到低有从左到右和从右到左的不同站法, 所以共有不同站法 2·AA4477=420(种).
解析答案
12345
2.6名学生排成两排,每排3人,则不同的排法种数为( C )
A.36
B.120
C.720
D.240
解析 6个人站成两排,每排3人,
分 2 类完成不同的排法有 A36A33=720(种).
解析答案
12345
3.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛,甲不能跑第一棒和 第四棒,问共有________种参赛方案.
所以共有 A37=7×6×5=210(种)不同的送法. (2)有7种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同 的送法?
解 从7种不同的书中买3本书,这3本书并不要求都不相同, 根据分步乘法计数原理,共有不同的送法7×7×7=343(种).
反思与感悟 解析答案

高中数学第一章计数原理1-2排列与组合1-2-2组合优化练习新人教A版选修2-3【2019-2020学年度】

高中数学第一章计数原理1-2排列与组合1-2-2组合优化练习新人教A版选修2-3【2019-2020学年度】
解析:C =4.
答案:B
3.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )
A.12种B.10种
C.9种D.8种
解析:分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有C =2(种)选派方法;
第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有C =6(种)选派方法.
(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场,所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数,所以半决赛共要比赛2A =2×1×2=4(场).
(3)决赛只需比赛1场,即可决出胜负.所以全部赛程共需比赛30+4+1=35(场).
所以n=9.
10.要从6男4女中选出5人参加一项活动,按下列要求,各有多少种不同的选法?
(1)甲当选且乙不当选;
(2)至少有1女且至多有3男当选.
解析:(1)∵甲当选且乙不当选,
∴只需从余下的8人中任选4人,有C =70种选法.
(2)至少有1女且至多有3男当选时,应分三类:
第一类是3男2女,有C C 种选法;
解析:由题意知,所有可能的决赛结果有C C C =6× ×1=60(种).
答案:60
7.50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共有________种.
解析:分两类,有4件次品的抽法有C C 种;有3件次品的抽法有C C 种,所以共有C C +C C =4 186种不同的抽法.
答案:C
3.如图,A,B,C,D为海上的四个小岛,要建三座桥,将这四个小岛连接起来,则不同的建桥方案共有________种.
解析:四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥,其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求,如桥AC,BC,BD符合要求,而围成封闭三角形不符合要求,如桥AC,CD,DA,不符合要求,故共有C -C =16(种).

高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合的综合应用练案 新人教A版选修2-

高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合的综合应用练案 新人教A版选修2-

湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 组合的综合应用练案新人教A版选修2-3编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 组合的综合应用练案新人教A版选修2-3)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.2.2组合的综合应用明确排列与组合的联系与区别,能判断一个问题是排列问题还是组合问题;能运用所学的排列组合知识,正确地解决的实际问题.一、选择题1.下列问题中是组合问题的个数是 ( )①从全班50人中选出5名组成班委会;②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员; ③从1,2,3,…,9中任取出两个数求积; ④从1,2,3,…,9中任取出两个数求差或商. A .1 B .2 C .3D .42.从5名男生中挑选3人,4名女生中挑选2人,组成一个小组,不同的挑选方法共有( ) (A )3254C C 种 ( B)3254C C 55A 种 (C)3254A A 种 (D ) 3254A A 55A 种3.某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路,共有6个焊点,若其中某一焊点脱落,电路就不通.现今回路不通,焊点脱落情况的可能有( ) (A )5种 (B )6种 (C)63种 (D )64种4.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有 ( )A .140种B .84种C .70种D .35种5.设凸n (n ≥3)棱锥中任意两个顶点的连线段的条数为f (n ),则f (n +1)-f (n )=( )A .n -1B .nC .n +1D .n +26.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为( )A .85B .56C .49D .28二、填空题7.10名学生,7人扫地,3人推车,那么不同的分工方法有________种. 8.若C 错误!〉6,则m 的取值范围是__________.9.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘,有m 个不同的积;任取两个不同的数相除,有n 个不同的商,则m ∶n =________。

高中数学 第一章 计数原理 1.2.3 排列,组合习题课学案(含解析)新人教A版选修2-3(202

高中数学 第一章 计数原理 1.2.3 排列,组合习题课学案(含解析)新人教A版选修2-3(202

河北省承德市高中数学第一章计数原理1.2.3 排列,组合习题课学案(含解析)新人教A版选修2-3编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(河北省承德市高中数学第一章计数原理1.2.3 排列,组合习题课学案(含解析)新人教A版选修2-3)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.2。

3 排列,组合习题课(2)2人各1本,另外一人4本;(3)分给甲、乙、丙三人,每人至少1本例三 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任意取出4只,试求出现以下结果时各有多少种情况?(1)4只鞋子恰成两双;(2)4只鞋子没有成双的.跟踪训练3 某企业要从其下属6个工厂中抽调8名工程技术人员组成课题攻关小组,每厂至少调1人,则这8个名额的分配方案共有( )A.15种 B.21种 C.30种 D.36种(三)建模求解排列组合问题例四一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O(0,0)出发,沿向上或向右方向爬至点(m,n),(m,n∈N*),记可能的爬行方法总数为f(m,n),则f(m,n)=跟踪训练4 方程x+y+z=12的非负整数解的个数为________.(四)排列、组合综合问题例五有五张卡片,它们的正、反面分别写着0与1、2与3、4与5、6与7、8与9。

将其中任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?后记与感悟:3.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( )A.50种 B.60种 C.120种 D.210种4.(2015·衡水市枣强中学高二期中)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加,则他们发言时不能相邻.那么不同的发言顺序种数为( )A.360 B.520 C.600 D.7205。

高中数学 第一章 计数原理 1_2 排列与组合 1_2_2_1课件 新人教A版选修2-3

高中数学 第一章 计数原理 1_2 排列与组合 1_2_2_1课件 新人教A版选修2-3
(仿照教材P23例6的解析过程)
【解析】(1)从口袋里的8个球中任取5个球,不同取法 的种数是
8 7 6 C C 56. 3 2 1 5个球,其中恰有一个红球, (2)从口袋里的8个球中任取
5 8 3 8
可以分两步完成: 第一步,从7个白球中任取4个白球,有 第二步,把1个红球取出,有
主题2:组合数公式与组合数性质 从1,3,5,7中任取两个相除,
1.可以得到多少个不同的商?
提示: =4×3=12个不同的商.
A
2 4
2.如何用分步乘法计数原理求商的个数? 提示:第1步,从这四个数中任取两个数,有
第2步,将每个组合中的两个数排列,有
步乘法计数原理,可得商的个数为
2 C2 A 4 2
4.计算
CA
3 4
3 3
=________.
3 3 3 4
【解析】
答案:24
C A A 4 3 2 24.
3 4
5.一个口袋里装有7个白球和1个红球,从口袋中任取5 个球. (1)共有多少种不同的取法? (2)其中恰有一个红球,共有多少种不同的取法?
(3)其中不含红球,共有多少种不同的取法?
C 28得
2 n
n n 1 2
=28,所以n=8或n=-7(舍).
2.给出下面几个问题,其中是组合问题的是 ①某班选10名同学参加计算机汉字录入比赛;
(
)
②从1,2,3,4中选出2个数,构成平面向量a的坐标; ③从1,2,3,4中选出2个数分别作为实轴长和虚轴长,构
成焦点在x轴上的双曲线的方程;
4 种取法.C 7
种取法;
C1 1
故不同取法的种数是:
4 1 4 C7 C1 C7 C3 7 35. (3)从口袋里任取5个球,其中不含红球,只需从7个白球

高中数学选修2-3(人教A版)第一章计数原理1.2知识点总结含同步练习及答案

高中数学选修2-3(人教A版)第一章计数原理1.2知识点总结含同步练习及答案

1 6 7 12 C0 12 < C12 < ⋯ < C12 > C12 > ⋯ > C12 ,所以 2x − 3 ⩾ 5 且 2x ⩽ 12 解得 4 ⩽ x ⩽ 6.
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− A5 9
= =
8 × 7 × 6 × 5 × (8 + 7) 8 × 7 × 6 × 5 × (24 − 9) = 1.
2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 8×7×6×5×4×3×2×1−9×8×7×6×5
(3)根据原方程,可得
3x(x − 1)(x − 2) = 2(x + 1)x + 6x(x − 1).
0 10 (1)计算:C5 10 ⋅ C10 − C10 ; m−1 (2)证明:mCm n = nCn−1 .
解:(1)原式= (2)证明:因为
10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 1 − 1 = 252 − 1 = 251 ; 5×4×3×2×1
Cm n =
n! , m!(n − m)! (n − 1)! n(n − 1)! n m−1 n n! ⋅ = = . Cn−1 = m m (m − 1)!(n − m)! m ⋅ (m − 1)!(n − m)! m!(n − m)!
正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘,用 n! 表示.另外,我们规定 0! = 1 .所以排列数公 式还可以写成
Am n =
(n − m)!
n!
.
组合的定义 一般地,从 n 个不同元素中取出 m (m ⩽ n )个元素合成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合(combination). 组合数及组合数的公式 从 n 个不同元素中取出 m (m ⩽ n )个元素的所有不同组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的组合数,用符号 Cm n 表示.

【2020】最新高中数学第一章计数原理1-2排列与组合1-2-1第2课时排列的综合应用学案新人教A版选修2-3(1)

【2020】最新高中数学第一章计数原理1-2排列与组合1-2-1第2课时排列的综合应用学案新人教A版选修2-3(1)
[解](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列,因此不同送法的种数是A =5×4×3=60,所以共有60种不同的送法.
(2)由于有5种不同的书,送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法,因此送给3名同学,每人各1本书的不同方法种数是5×5×5=125,所以共有125种不同的送法.
(2)间接法:先不考虑附加条件,计算出总排列数,再减去不合要求的排列数.
3.解简单的排列应用题的基本思想
[基础自测]
1.从n个人中选出2个,分别从事两项不同的工作,若选派的种数为72,则n的值为( )
A.6B.8
C.9D.12
C[由A =72,得n(n-1)=72,解得n=9(舍去n=-8).]
2.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________.
24[分3步进行分析,①先安排两位爸爸,必须一首一尾,有A =2种排法,②两个小孩一定要排在一起,将其看成一个元素,考虑其顺序有A =2种排法,③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列,有A =6种排法.
则共有2×2×6=24种排法.]
5.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛,甲不能跑第一棒和第四棒,问共有多少种参赛方案?
A.36B.120
C.720D.Leabharlann 40C[由于6人排两排,没有什么特殊要求的元素,故排法种数为A =720.]
2.6位选手依次演讲,其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有( )
A.240种B.360种
C.480种D.720种
C[先排甲,有4种方法,剩余5人全排列,有A =120种,所以不同的演讲次序有4×120=480种.]

高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合(2)测标题(无答案)新人教A版选修2-3(2021

高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合(2)测标题(无答案)新人教A版选修2-3(2021

山西省忻州市2016-2017学年高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合(2)测标题(无答案)新人教A版选修2-3编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(山西省忻州市2016-2017学年高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合(2)测标题(无答案)新人教A版选修2-3)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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排列与组合( 2 )本试卷满分60+5分一.选择题(每小题5分,共30分)1.某画廊计划展出9幅不同的画,其中4幅油画,5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,则不同的陈列方式有()A.A错误!A错误!B.A错误!A错误!C.A错误!A错误!D.A错误!A错误!A错误!2.三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举行一场音乐会,演出出场顺序要求两名女歌唱家之间恰有一名男歌唱家,则共有出场方案种数为 ( ) A.6A错误!B.3A错误!C.2A错误!D.A错误!3.用0,1,2,3这四个数组成个位数不是1的没有重复数字的四位数共有( )A.16个B.14个C.12个D.10个4.要排一张有5个独唱节目和3个合唱节目的演出表,如果合唱节目不排头,并且任何两个合唱节目不相邻,则不同的排法种数是 ( )A.A错误!B.A错误!·A错误!·3!C.A错误!·A错误!D.A错误!·A错误!5。

(2014四川)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种 B.216种 C.240种 D.288种6.(2014重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72 B。

高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合预习案 新人教A版选修2-3(2021年整理)

高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合预习案 新人教A版选修2-3(2021年整理)

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1。

2 排列与组合§1。

2.1 排列与组合-排列(一)【教学目标】1.知识与技能①理解排列的概念;②能推导出排列数公式,并熟记排列数公式(两个)。

③能解决简单的排列问题。

2.过程与方法通过计数原理能推导出排列数公式,通过实例,理解排列与顺序有关的特征。

3.情感、态度、价值观排列是日常生活中常用的一种计数方法,也是本章的一个重点知识也是高考考点。

【预习任务】阅读教材P14-P18,完成下列问题:1.(1)写出排列的概念并列出排列定义中的要点.(2)请举出日常生活中与排列有关的实例(至少两个).2.(1)写出排列数的定义并说明排列和排列数的区别。

(2)排列数公式的推导的根据是什么?涉及的数学思想是什么?(3)写出排列数的计算公式,并总结公式特征(两个):【自主检测】1.课本P20练习2、3、42.集合},|{4N m A x x P m∈==中的元素个数为_______。

【组内互检】排列数的计算公式(两个)§1.2。

2 排列与组合-排列(二)【教学目标】1.知识与技能①能根据排列“有序”的特征识别排列问题,会解排列中“在”与“不在”、“相邻"与“不相邻”问题。

高中数学第一章计数原理1.2.2组合课件新人教A版选修2_3

高中数学第一章计数原理1.2.2组合课件新人教A版选修2_3

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随堂练习
UITANG LIANXI
【做一做 2】从 9 名学生中选出 3 名参加“希望英语”口语比赛,不同选 法的种数为( )
A.504
29
C.84
D.27
解析:只需从 9 名学生中选出 3 名即可,从而有C93 = AA9333=84 种选法.
1.对组合的定义理解要注意哪些问题 剖析:(1)如果两个组合中的元素完全相同,那么,不管它们的顺序如何 都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不 同),就是不同的组合. 例如从 a,b,c 三个不同的元素中取出两个元素的所有组合有 3 个,它们 分别是 ab,ac,bc.ba,ab 是相同的组合,而 ab,ac 是不同的组合. (2)区分某一问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素是否与 顺序有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,而交换 任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题. 例如,在数的运算当中,加法运算和乘法运算就是组合问题,减法运算和 除法运算则是排列问题;“寄信”是排列问题,“握手”是组合问题等.
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UITANG LIANXI
【做一做 1】(1)从 1,3,5,7 中任取两个数相除,可以得到多少个不同的
商?
(2)从 1,3,5,7 中任取两个数相乘,可以得到多少个不同的积?
(3)请指出问题(1)和问题(2)的不同之处.
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
随堂练习
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1.2 排列与组合典题精讲【例1】用1、2、3、4、5、6这六个数字可组成多少个无重复数字且不能被5整除的五位数?思路分析:组成符合条件的五位数可分两步,首先确定个位数字,然后再确定其他各位数字;或按是否含有5这个特殊的数字,分为两类;或由所有1—6这6个数组成的五位数,去掉1—6这6个数组成可被5整除的五位数.解法一:不能被5整除,末位只能从1、2、3、4、6五个数字中选1个,有种方法;再从余下5个数字中选4个放在其他数位,有种方法.由乘法原理,所求五位数有=600(个).解法二:不含有数字5的五位数有个;含有数字5的五位数,末位不选5有种方法,其余数位有种选法,含有5的五位数有个.因此可组成不能被5整除的无重复数字的五位数有+=600(个).解法三:由1—6组成的无重复数字的五位数有个,其中能被5整除的有个.因此,所求的五位数共有-=720-120=600(个).绿色通道:若从最高位数字开始考虑,则问题就无法解决.被5整除的数,个位数字必须是0或5,因此,被5整除的问题,一般从个位数字开始考虑.变式训练1 用0、1、2、3、4、5这六个数字可组成多少个无重复数字且能被5整除的五位数?思路解析:分为两类:一类是个位数字为0,再从余下的5个数字中选4个放在其余数位上有种方法;另一类是个位数字为5,由于0不能放在首位,所以在1、2、3、4中选一个数放在首位有4种方法,然后从余下的4个数中选3个放在中间三个数位上有种方法,此时有4种方法.故由加法原理可得能被5整除的五位数有+4=216(个).答案:216.变式训练2 用0、1、2、3、4、5这六个数字可组成多少个无重复数字的五位偶数?思路解析:分为两类:一类是个位数字为0,再从余下的5个数字中选4个放在其余数位上有种方法;另一类是个位数字为2或4,由于0不能放在首位,所以余下4个数中选一个数放在首位有4种方法,然后余下的4个数选3个放在中间三个数位上有,此时有2×4×种方法.故由加法原理可得五位偶数有+2×4×=312(个).答案:312.【例2】从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种思路解析:取出的3台电视机中要求至少有甲型与乙型各1台,它包括两种可能:2台甲型与1台乙型、1台甲型与2台乙型,所以可用分类原理和分步原理来解决,另外也可以用间接法解决.方法一:从4台甲型电视机中取2台和5台乙型电视机中取1台有·种取法;从4台甲型电视机中取1台和5台乙型电视机中取2台有·种取法.所以共有·+· =70(种),故应选C.方法二:从所有的9台电视机中取3台有种取法,其中全部为甲型的有种取法,全部为乙型的有种取法,则至少有甲型与乙型各1台的取法共有--=70(种),故应选C.答案:C黑色陷阱:解决这类问题最容易出现的错误就是产生重复,比如首先从4台甲型电视机与乙型电视机中各取1台,有·种取法,再在剩下的7台电视机中任取1台,有种取法,所以不同的取法共有··=140种.这种看起来很不错的解法实际上是错误的,因为它产生了重复.避免产生重复的方法就是“先分类后分步”.变式训练1 假设200件产品中有3件次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有( )A.种B.()种C.种D.(+)种思路解析:已知200件产品中有3件次品,197件合格品,则至少有2件次品的抽法为2件次品、3件合格品或3件次品、2件合格品,所以其抽法有.答案:D变式训练2 某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机,从中选购5台,且至少有品牌机和兼容机各2台,则不同的选购方法有( )A.1 050种B.700种C.350种D.200种思路解析:分两类:(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台; (2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台.所以不同的选购方法有+=350(种).答案:C【例3】(1)写出从5个元素a,b,c,d,e中任取三个元素的所有组合,并求出其组合数.思路分析:考虑画出如下树形图,注意按给出字母从左到右的顺序来考虑.解:根据树形图,所有组合为abc,abd,abe,acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde.组合数为=10(个).(2)将A,B,C,D四名同学按一定顺序排成一行,要求自左向右,且A不排在第一,B不排在第二,C不排在第三,D不排在第四.试写出他们四人所有不同的排法.思路分析:由于A不排在第一,所以第一只能排B,C,D中的一个.据此可分为三类,作树图可得解:所有的排法为BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA.绿色通道:写符合条件的组合或排列要运用树图,利用它可以具体列出各种情况,从而避免重复或遗漏,能把抽象问题具体化,使解题思路明朗.其中排列的树形图与组合的树形图是有区别的,排列的树形图中其元素不能重复出现但可任意排列,而组合的树形图中其元素也不能重复出现,但元素出现的次序一般按照从左到右的顺序来考虑,否则容易出现重复或遗漏. 变式训练1 a,b,c,d四人排成一列,a不在排头,d不在排尾,写出所有的排列.思路分析:作出树图.图中,有4层分枝的树叶,对应一个合要求的排列,共有14个.解:badc,bcda,bdac,bdca,cadb,cbda,cdab,cdba,dabc,dacb,dbac,dbca,dcab,dcba.变式训练2 利用树图,写出用数字1、2组成的所有四位数.(数字可以重复)思路分析:因为每个数位上的数字只可能是1或2,所以在树图中,每个分枝都只有两个分叉,左边写1右边写2,经过四次分叉即可写出全部的四位数.图中,共有16片“树叶”,对应着16个四位数.解:1 111,1 112,1 121,1 122,1 211,1 212,1 221,1 222,2 111,2 112,2 121,2 122,2 211,2 212,2 221,2 222.【例4】三个女生和五个男生排成一排,(1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法?(2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法?(3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法?(4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法?思路分析:(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样同五个男生合一起共有六个元素,排成一排有种不同排法.对于其中的每一种排法,三个女生之间又都有种不同的排法,因此共有·=4 320(种)不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空当.这样共有4个空当,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女生插入这六个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有种方法,因此共有·=14 400(种)不同的排法. (3)方法一:(位置分析法)因为两端不能排女生,所以两端只能挑选5个男生中的2个,有种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有种排法,所以共有·=14 400(种)不同的排法.方法二:(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有种不同的排法,从中扣除女生排在首位的·种排法和女生排在末位的·种排法,但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次,在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次,所以还需加一次回来,由于两端都是女生有·种不同的排法,所以共有-2·+·=14 400种不同的排法.方法三:(元素分析法)从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入,有种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余5个位置又都有种不同的排法,所以共有·=14400种不同的排法.(4)方法一:因为只要求两端不都排女生,所以如果首位排了男生,则末位就不再受条件限制了,这样可有·种不同的排法;如果首位排女生,有种排法,这时末位就只能排男生,有种排法,首末两端任意排定一种情况后,其余6位都有种不同的排法,这样可有··种不同排法.因此共有·+··=36 000种不同的排法.方法二:3个女生和5个男生排成一排有种排法,从中减去两端都是女生排法·种,就能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有-·=36 000种不同的排法.解:(1)·=4 320(种).(2)·=14 400(种).(3)·=14 400(种)或-2·+·=14 400(种)或·=14 400(种).(4)·+··=36 000(种)或-·=36 000(种).绿色通道:解决排列、组合应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法. 若以位置为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置,有两个以上约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件.若以元素为主,需先满足特殊元素要求再处理其他的元素.间接法也称做排除法或排异法,有时用这种方法解决问题来得简单、明快.捆绑法、插入法对于有的问题的确是适用的好方法,要认真搞清在什么条件下使用.变式训练1 某小组6个人排队照相留念.(1)若分成两排照相,前排2人,后排4人,有多少种不同的排法?(2)若分成两排照相,前排2人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法?(3)若排成一排照相,甲、乙两人必须在一起,有多少种不同的排法?(4)若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相邻,有多少种不同的排法? 解:(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样,只不过把第3—6个位子看成是第二排而已,所以实际上是6个元素的全排列问题.故有=720种.先确定甲的排法,有种;再确定乙的排法,有种;最后确定其他人的排法,有种,因为这是分步的问题,所以用乘法原理,有··=2×4×24=192种不同排法.采用“捆绑法”,即先把甲、乙两人看成一人,这样有种不同排法,然后甲、乙两人之间再排队,有种排法,因为是分步问题,应当用分步计数原理,所以有·=120×2=240种排法.(4)采用“插入法”,把3个女生的位子拉开,在两端和她们之间放进4张椅子,如___________女___________女___________女___________,再将3个男生放到这4个位子上,就保证任何两个男生都不会相邻了.这样,男生有种排法,女生有种排法,因为是分步问题,应当用乘法原理,所以共有·=24×6=144种排法.变式训练2 5名男生、2名女生站成一排照相.(1)两名女生要在两端,有多少种不同的站法?(2)两名女生都不站在两端,有多少不同的站法?(3)两名女生不相邻,有多少种不同的站法?(4)女生甲要在女生乙的右方,有多少种不同的站法?解:(1)两端的两个位置,女生任意排,中间的五个位置男生任意排:·=240(种). (2)中间的五个位置任选两个排女生,其余五个位置任意排男生:·=2 400(种). (3)把男生任意全排列,然后在六个空中(包括两端)有顺序地插入两名女生:·=3600(种).(4)七个位置中任选五个排男生,问题就已解决,因为留下两个位置女生排法是既定的:=2 520(种).【例5】解方程:(1)3A x8=4·;(2).思路分析:利用排列数公式和组合数公式,消掉,转化为x的代数方程再求解;同时注意排列数或组合数的方程或不等式中未知数的取值范围;对于排列数或组合数公式的两种形式能合理运用:一般连乘形式用于求值,而阶乘形式常用于化简和证明.解:(1)由排列数公式,原方程可化为,化简得x2-19x+78=0,解得x1=6,x2=13.因为x≤8且x-1≤9,x∈N*,所以原方程的解是x=6.(2)由组合数公式,原方程可化为.化简得6-(6-x)=,解得x1=2,x2=21.因为x≤5且x≤6,x≤7,x∈N*,所以原方程的解是x=2.变式训练1 解方程:.解:由排列数公式,得3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1).因为x≥3,所以3(x-1)(x--1),3x2-17x+10=0.解之,得x=5,x=,所以x=5.变式训练2 解不等式:.解:由组合数公式,原方程可化为.化简得n2-9n-10<0,解得-1<n<10.因为n≥6,n∈N*,所以不等式的解集为{6,7,8,9}.问题探究问题1:在解决排列和组合问题中都用到“树图”,它起到什么作用?导思:树图法虽然在解决排列和组合问题中不是用的很多或许有时根本不去理会它,但是它在教材中还是占有一定的比例去介绍,对教材前后内容的联系起着铺垫的作用,是解决排列和组合问题的基础方法.虽然解决排列和组合问题的方法很多,但都是一些技巧性较强、适用性很窄的方法,从而会让学生感到做题无从选择、举棋不定.树图法虽操作啰嗦,但适应性很广泛,思路明确清晰,有利于我们打开困惑,找出规律,为解题开拓新的局面.对此我们应不能低估其作用,而片面追求各种各样的技巧性方法.探究:“树”是图论中的一个概念,它指的是一个连通的无圈图.“树图”就是“数”的图形,好象一颗树一样,从树干上长出几个主枝,主枝又可分叉长出分枝,分枝再分叉成小分枝……最后一次分枝出的小分枝我们称为“树叶”.利用树图可以把排列组合问题直观化、形象化、具体化,起到了“数形结合”中“形”的作用,从而很容易不遗漏、不重复地写出所有的排列或组合,一般适用于数字不太大的情况.若对于数字较大的排列组合问题,先缩减数字,用树图帮助我们思考,找出规律,也不失为一种较好的方法.问题2:计数原理中学过两种方法:加法与乘法原理,但是在解决排列组合过程中发现有些计数问题中会出现除法,这是何故呢?导思:由此启发我们想到:对于某些比较生疏或困难的问题,可以采用这种补充一个步骤,使它变为已学过的熟悉的问题,反过来再用除法求原问题的解,即原问题+补充一个步骤=熟悉的问题,若原问题方法数为x,补充步骤的方法数为y,熟悉的问题方法数为z,根据乘法原理:x·y=z,所以x=,即原问题的方法数=.探究:其实在组合数的计算中就出现了除法:.这是因为把组合问题补充上一个排序步骤后,就变成了排列问题.根据分步乘法计数法=·,所以.。

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