尺规作图不能问题略谈
尺规作图不能问题
尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题。
这其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题：■三等分角问题：三等分一个任意角；■倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；■化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。
在2400年前的古希腊已提出这些问题，直至1837年，法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。
1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后，“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题。
【尺规作图不能问题的另类做法】[编辑本段]■总述人们用尺规解几何三大作图题屡遭失败之后，一方面是从反面怀疑它是否可作；另一方面就很自然地考虑，假如跳出尺规作图的框框，也就是不限用尺规，而是借助于另外一些曲线，或者借助于尺规以外的一些工具，是不是可解决这些问题呢？人们发现，一旦跳出了尺规作图的框框，问题的解决将是轻而易举的.这方面的工作已经有许多人做过，而且取得了不少成就，下面的词条内容就择要介绍一二.■关于三等分一任意角问题★作法一尼科梅德斯(Nicomedes，公元前250年左右)方法对于已知锐角∠O，在角的一边上取任意点B，作OB的垂线，交∠O的另一边于点A.以O为定点，BA为定直线，2OA为定长，作出蚌线的右支C.从点A作BA的垂线，和蚌线C相交于点S，那么∠BOS=1/3∠BOA★作法二帕斯卡(Pascal，B.1623—1662)的方法，对于∠AOB，在其一边上取任意长OA做半径，以点O为圆心作一圆(图12).延长AO，和圆O交于点C.以圆O为定圆，以C为定点，以定圆O的半径为定长，作一蚶线蚶线和角的另一边OB相交于点E.连结CE，过点O作OS∥CE，那么∠BOS=1/3∠BOA★作法三帕普斯(Pappus，约公元320年)方法，对于∠AOB，在它的两边上截取OA=OB.连结AB 并三等分，设两分点分别为C和D.以点C为中心，点A、D分别为顶点，作离心率e=√2的双曲线.以点O为圆心，OB为半径作弧，交双曲线于点S.则∠BOS=1/3∠BOA★作法四玫瑰线方法：交∠AOB的两边于点A和B，分别以O和A为圆心，a为半径画弧，两弧交于点S，则有∠BOS=1/3∠BOA■关于立方倍积问题★作法一柏拉图(Plato，公元前427—347年)的方法：作两条互相垂直的直线，两直线交于点O，在一条直线上截取OA=a，在另一条直线上截取OB=2a，这里a为已知立方体的棱长.在这两条直线上分别取点C、D，使∠ACD=∠BDC=90°(这只要移动两根直角尺，使一个角尺的边缘通过点A，另一个角尺的边缘通过点B，并使两直角尺的另一边重合，直角顶点分别在两直线上，这时两直角尺的直角顶点即为点C、D).线段OC之长即为所求立方体的一边.★作法二门纳马斯(Menaechmus，约公元前375—325年)方法：从a∶x=x∶y=y∶2a可得y2=2ax，x2=ay.所以，在直角坐标平面上画出上述两个二次方程所对应的两条抛物线(图16).这两条抛物线交于O、A两点，那么点A在x轴上的投影到原点的距离，就是所求的立方体的棱长.★作法三阿波罗尼(Apollonius de Perge，约公元前260—200年)方法：作一矩形ABCD，这里AB=a、AD=2a.以此矩形对角线交点G为圆心，以适当长度为半径作圆，与AB、AD之延长线分别交于E、F，使E、C、F三点共线，则AB∶DF=DF∶BE=BE∶AD，线段DF之长即为所求立方体的棱长.■化圆为方问题★作法：对于已知圆O，作出它在第一象限的圆积线①l.连结这一圆积线的两个端点B、F，过点B引BF的垂线BG，交x轴于G.在OA上取一点H，使HA=1/2GO.以H为圆心，HG 为半径画弧，交y轴于点K.则以OK为一边的正方形，即为所求作的与圆O等积的正方形．【尺规作图不能问题的积极意义】[编辑本段]我们可以看出，几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决.从历史上看，好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品，特别是开创了对圆锥曲线的研究，发现了一批著名的曲线，等等.不仅如此，三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关系.【尺规作图不能问题的相关趣事】[编辑本段]阿纳克萨戈勒斯是古希腊著名学者,在天文学中,他曾因解释日,月食的成因而闻名遐迩,并且认识到月球自身并不发光.正是他出色的研究成果给他带来了不幸, 在他大约50岁的时候,横祸从天而降,蒙受了冤狱之苦.灾难的起因是他认为太阳是一块炽热的石头.由于当时的宗教早已一口咬定太阳是神灵,而这位学者却无视宗教的权威,说太阳是一块石头,因而被投入监狱.尽管被囚禁的时间并不太长,可是,在被囚禁的日子里冤屈,苦闷,无聊实在让人度日如年.在阴暗,潮湿的牢房里,阿纳克萨戈勒斯看不到外面的朝霞暮霭,每天只有不长时间,阳光能穿过牢房那狭小的方形窗户进入室内.每当阳光进入囚室,在墙壁上撒下一片光亮时,总会引起作为学者的他的种种联想.有一天,他在凝视圆圆的太阳赏赐给他的方形的光亮时,他那习惯于思索的头脑突发奇想:能不能(仅用直尺和圆规)作一个正方形,使其面积与一个已知圆的面积恰好相等呢就这样,一道世界名题——"化圆为方"问题诞生了,它与"立方倍积"问题,"三等分任意角"问题一起被后人称作古希腊几何作图三大难题. 阿纳克萨戈勒斯想到化圆为方问题之后非常兴奋,因为他身边没有书籍,没有笔,很难研究别的问题,而这个问题却不同,只要用草棍在地上画就行了,草棍在牢房里有的是.他在进入高墙之前做梦也没有想到,在他最痛苦的时候,是数学排除了他的几分烦恼.不过,他一生也未能解决他提出的这个问题。
三大作图难题
引人入胜的千古难题——三大尺规作图问题尺规作图是我们熟知的内容。
尺规作图对作图的工具——直尺和圆规的作用有所限制。
直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。
公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规）来作图了。
在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。
于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。
数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。
尺规作图是对人类智慧的挑战，是培养人的思维与操作能力的有效手段。
所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。
传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。
起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，但经过多次努力还不能办到时，才感到事态的严重。
人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。
这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。
用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。
任意给定一个角，仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任意角是很容易做到的。
于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等分，想必也不会有多大困难。
但是，尽管费了很大的气力，却没能把看来容易的事做成。
于是，第二个尺规作图难题——三等分任意角问题产生了。
正方形是一种美丽的直线形，圆是一种既简单又优美的曲线图形，它们都有面积，能不能用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积等于一个给定的圆的面积？这就是尺规作图三大难题的第三个问题——化圆为方问题。
古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。
数学教育中的尺规作图技巧
数学教育中的尺规作图技巧数学是一门抽象而又具有实用性的学科，而尺规作图作为数学中的一项重要技巧，不仅能够帮助学生加深对几何形状的理解，还能培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
本文将探讨数学教育中的尺规作图技巧，包括其应用、挑战以及如何有效地教授。
首先，尺规作图技巧在数学教育中有着广泛的应用。
在几何学中，尺规作图是通过使用直尺和圆规来构建几何图形的方法。
它不仅可以用于解决各种几何问题，例如求解线段的中点、平分角度以及构建等腰三角形等，还可以用于证明几何定理和推导几何关系。
通过尺规作图，学生可以更加直观地理解几何形状的性质和规律，从而提高数学学习的效果。
然而，尺规作图技巧也存在一定的挑战。
首先，尺规作图需要学生具备一定的几何知识和技巧，例如如何使用直尺和圆规进行测量和构建。
这对于初学者来说可能是一个困难的过程，需要耐心和细心的指导。
其次，尺规作图需要学生具备一定的空间想象能力和手工操作能力，这对于一些学生来说可能是一个挑战。
因此，在教授尺规作图技巧时，教师需要注意引导学生进行适当的练习和巩固，帮助他们克服这些困难。
为了有效地教授尺规作图技巧，教师可以采取一些策略和方法。
首先，教师可以通过示范和演示的方式向学生展示尺规作图的基本步骤和技巧。
通过实际操作，学生可以更好地理解和掌握这些技巧。
其次，教师可以设计一些有趣和具有挑战性的作图问题，激发学生的兴趣和求知欲。
例如，可以设计一些需要使用尺规作图来解决的谜题或者游戏，让学生在解决问题的过程中提高技巧和思维能力。
此外，教师还可以鼓励学生进行合作学习，通过互相交流和讨论来提高尺规作图的技巧和理解。
除了教师的指导外，学生自身的努力和积极性也是学习尺规作图技巧的关键。
学生应该主动参与课堂活动，积极思考和解决问题。
此外，学生还可以利用一些辅助工具和资源来提高尺规作图的技巧。
例如，可以使用一些尺规作图的软件或者在线工具来进行练习和实践，这样可以更加方便和灵活地进行作图，并且可以更好地纠正错误和改进。
几何三大问题为尺规作图不能问题的证明
1.立方倍积问题假设已知立方体的棱长为c，所求立方体的棱长为x.按给定的条件，应有x3=2a3.令a＝1，则上述方程取更简单的形式x3-2=0.根据初等代数知识，如果上述的有理系数三次方程含有有理根，不外是±1，±2.但经逐一代入试验，均不符合.可见方程x3-2=0必不能用尺规作出，这就证明了立方倍积问题是尺规作图不能问题.2.三等分任意角问题对于已知的锐角∠O=θ，设OP、OS是它的三等分角线.以O为圆心，单位长为半径画弧，交∠O的两边于点A、B，交三等分角线OS于点C.过点C作CD⊥OA，交OA于点D.这样，OS能否用尺规来作出，就等价于点C能否用尺规作出，也就是点D能否用尺规来作出.令OD=x，则有4x3-3x-cosθ＝0.如果能证明上述三次方程的根一般不能仅用尺规作出，则点D不可得，于是射线OS也就不能作出.欲证明此事，可选一特例考察之.8x3-6x-1=0.以2x=y代入此方程，可得较简单的形式y3-3y-1=0.根据代数的知识，如果有理系数一元三次方程y3-3y-1=0含有有理根，不外是±1.但经逐一代入试验后，均不符合，可见此方程没有有理根.于是，根据本书第14页定理2可知，方程y3-3y-1=0的任何实根不能用尺规作图来完成，即60°角不能用尺规三等分.三等分60°角尚且不能,这就表明了三等分任意角属于尺规作图不能问题.当然，这个结论是对一般情形而言的，假如θ等于某些特殊值，则作图未必就不可能.例如，当θ=90°时，便有cos90°=0，此时方程4x3-3x-cosθ=0就变为4x3-3x=0.解之，得(见图6).注意，当cosθ取值为无理数时，如θ=30°、45°等，则我们所用的定理2就不再适用了.3.化圆为方问题假设已知圆的半径为r，求作的正方形的边长为x(图7).按条件，应有x2=πr2.令r=1，即得不可作.但π是超越数，自然不是有理系数的代数方程的根，更不是从1出发通过有限次加、减、乘、除及正实数开平方所能表示，即π不能仅用尺规作图来完成，所以化圆为方问题属尺规作图不能问题.4.正七边形和正九边形的作图问题正多边形的作图，亦即等分圆周问题，自古以来就一直吸引着人们.古希腊时期，人们已会运用尺规作出3，4，5，6.10，15边数的正多边形，但是企图作正七边形或正九边形却终归失败.现在来证明正七边形和正九边形都属尺规作图不能问题.(图8).∵7θ=2π，∴3θ=2π-4θ，∴ cos3θ=cos(2π－4θ)＝cos4θ.根据三角恒等式，有cos3θ=4cos3θ-3cosθ，cos4θ=8cos4θ-8cos2θ＋1，所以4cos3θ-3cosθ=8cos4θ-8cos2θ＋1.即8cos4θ-4cos3θ-8cos2θ＋3cosθ＋1=x4-x3-4x2+3x＋2=0.分解因式，得(x-2)(x3+x2-2x-1)=0.x3+x2-2x-1=0.由试验，知±1均不能满足这方程，可见上述三次方程无有理根.于是，运用本书第14页的定理2，可知上述三次方程的任何实根均不能用尺规作图来完成，因而正七边形属于尺规作图不能问题.的作图，而θ=40°角属于尺规作图不能问题(否则，利用作角平分线的办法，可作出20°角，将导致三等分60°角成为可能).所以正九边形也属尺规作图不能问题.由正七边形和正九边形是尺规作图不能问题，可直接推得边数为2n×7和2n×9(n为正整数)的正多边形也是尺规作图不能问题.对于尺规作图不能问题，除了直接应用本书第14页的定理来判断外，通常还有两种间接判断方法：1°有的作图问题，经过分析后发现可以归结为已知的作图不能问题，则可断定该问题也属尺规作图不能问题.例如正九边形属尺规作图不能问题的上述证明所采用的方法就是.2°有时，对问题的一般情形进行讨论既繁且难，而取其特例考察，则简易得多.因此欲决定某题属作图不能问题时，不妨相机证明它的特例不能作图，特例既经证实，一般情形的不能作图便不言而喻了(但特例可行则不等于这问题可作).例如解决三等分角问题时所采用的方法即是.。
专题30 尺规作图问题(解析版) 【2021年中考数学点对点突破的55个特色专题】
专题30 尺规作图问题1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。
2.尺规作图的五种基本情况（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知线段的垂直平分线；（4）作已知角的角平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。
3.对尺规作图题解法写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。
4.中考要求（1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.（2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.（3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.【例题1】（2020•台州）如图，已知线段AB ，分别以A ，B 为圆心，大于12AB 同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD【答案】D【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．【解析】由作图知AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ACBD是菱形，∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，不能判断AB＝CD【对点练习】（2019•丽水模拟题）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B 为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形【答案】B【解析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC 四边的关系进而得出四边形一定是菱形。
剖析尺规作图,探讨破题启示
剖析尺规作图，探讨破题启示符学建[摘要]尺规作图是初中数学较为重要的内容，中考对尺规作图的考查涉及多种形式，有直接考查作图设计的，也有依托尺规作图考查几何问题的，而理解根本的几何原理，了解作图的根本过程，能够从中提炼出几何性质是突破考题的关键.文章探析了中考尺规作图题的根本类型，并展开相应的学习思考.[关键词]尺规作图;几何;设计;思考启示尺规作图指的是，在仅使用圆规和无刻度直尺的情况下进行相应的作图操作.尺规作图，不仅可以归纳一些性质和定理，还可以锻炼学生的实践操作能力.近几年，中考常将尺规作图融入考题，用以考查学生的几何知识和实践分析能力，下面笔者将对尺规作图题进行探析【1】.类型探究，破题评析1.尺规作图与几何计算例1〔2021年淮安中考〕如图1所示，在Rt△ABC中，△C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧的交点分别为P，Q，过P，Q两点作直线交BC于点D，那么CD的长是______.分析上述呈现了垂直平分线的作图过程，即PQ为线段AB的垂直平分线.要求线段CD的长，需要充分利用垂直平分线的性质.连接AD后，由垂直平分线的性质可得AD=BD.假设设AD=x，那么CD=BC-DB=5-x.在Rt△ACD 中由勾股定理可得AD2=AC2+CD2，从而可构建关于x的方程，解方程后即可求得CD的长.解答连接AD，如图2，因为PQ为线段AB的垂直平分线，所以AD=DB.设AD=x，那么CD=BC-DB=5-x.在Rt△ACD中，由勾股定理可得x2=32+〔5-x〕2，解得x=，所以CD=.评析此题将尺规作图与线段求值相结合，考查学生垂直平分线的性质和勾股定理等知识.考题在设计上摒弃了传统的几何特征表达的方式，采用的方式是作图过程描述，解题的关键是理解垂直平分线的作图方法猜想例2〔2021年深圳中考节选〕此题，首先需要理解新定义，并从中提炼满足定义的条件，即菱形的一个角与三角形融合，且对角顶点在三角形上;然后分析尺规作图的过程，提取其中的几何信息.具体证明思路可以是，先证明四边形ACDB为菱形，再结合定义条件证明其为△FEC的亲密菱形.证明上述呈现的是角平分线的尺规作圖过程，即CB 为△ACD的平分线，于是有△ACB=△DCB，AC=CD.因为AB△CD，所以△ABC=△DCB.所以△ACB=△ABC.所以CD=AC=AB.所以四边形ACDB为菱形.因为△ACD与△CFE中的△FCE重合，且对角顶点B在EF边上，所以四边形ACDB为△FEC的亲密菱形.评析此题将尺规作图与新定义题的证明进行有机结合，用作图过程替换了其中的几何条件，在增强应用性的根底上考查了学生的演绎推理能力.解答问题时需注意两点：一是提取作图过程中形成的几何性质;二是严格按照几何证明的逻辑进行推理，由探未知，用推理证猜想方案设计例3〔2021年天门中考〕图4和图5都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点.点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成以下画图.〔1〕在图4中画出△MON的平分线OP;〔2〕在图5中画一个Rt△ABC，使点C在格点上.分析第〔1〕问要求在网格中作出△MON的平分线，考虑到全等三角形的对应角相等，于是可以作出共顶点O和P的两个全等的三角形，如△MOP△△NOP，在网格中可以利用单元菱形的性质来确定等长.第〔2〕问是作Rt△ABC，条件有两个：一是有直角，二是点C在格点上.由于单元图形为菱形，而菱形的两条对角线互相垂直，于是可以借助其特性，通过连线、作平行线的方式来实现.解答〔1〕具体作图如图6，确保△MOP与△NOP全等即可.〔2〕因为点B为单元菱形的一个顶点，所以可以连接该单元菱形的对角线，分别命名为EF和BC，连接AC即可，此时AC△EF，而EF△BC，所以BC△AC.所以△ABC是以△ACB=90°的直角三角形，如图7.评析上述考题要求在网格内作图，属于尺规作图的方案设计题.解决尺规设计题需要把握两点：一是设计的原理，即根据几何定理和性质确定方案;二是按照特定的程序和顺序开展设计，即在绘图时基于原理以一定的顺序进行连线.因此，以尺规作图为载体的方案设计题是对学生几何理解和数学探究能力的综合考查，可见培养实践技能对于该类问题的解答十分重要.4.尺规作图与实际应用例4〔2021年济宁中考〕在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛面积的方法，现有以下工具〔如图8〕：①卷尺;②直棒EF;③T形尺〔CD所在的直线垂直平分线段AB〕.[卷尺][B][D][C][E][A][F][直棒][T形尺][图8]〔1〕在图9中，请你画出用T形尺找大圆圆心的示意图〔保存画图痕迹，不写画法〕;〔2〕如图10，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N 之间的距离，就可以求出环形花坛的面积.如果测得MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积.[图10][O][E][F][M][N]分析上述为应用尺规作图求解实际问题的案例.第〔1〕问利用T形尺找圆心，首先需要理解T形尺的两条边的关系，即长边是短边的垂直平分线.如果将T形尺放入圆内任意位置，那么由其性质可知T形尺的长边必过圆心，于是可以利用两线交点确定一点来到达找圆心的目的.第〔2〕问同样是尺规作图的生活化实践，首先需要结合圆环的求解公式分析所需的线段参数，然后构建模型.解答〔1〕将T形尺的短边沿圆内壁任意位置摆放，记长边为CD，然后换个位置再记长边为C′D′，那么CD与C′D′的交点就是圆心O，如图11所示.〔2〕如图12所示，过圆心O作MN的垂线，垂足为点Q，连接OM.由于MN为内圆的切线，所以S=π·OM2-π·OQ2=π·〔OM2-OQ2〕.结合Rt△MOQ中的勾股定理可得OM2-OQ2=MQ2，于是S=π·MQ2.又MQ=MN=5m，所以S环形=25πm2.评析此题通过探究的方式将尺规作图融入生活实际问题中，用实物量具取代数学尺规工具，可以充分考查学生对数学的理解与应用.同时，这种生活化的作图气氛也是对“知识源于生活，又效劳于生活〞理念的表达.求解时，需要充分利用所学思考问题解决的措施，并结合具体的几何定理来构建问题分析模型.作图思考，学习启示1.强化几何原理尺规作图虽然属于实践操作类问题，但操作的过程是基于对应的几何原理，因此本质上尺规作图是知识与操作综合应用的过程.理解几何的根本性质和定理是进行尺规作图的前提，依据科学理论进行操作才是有意义的【2】.尺规作图最为常用的几何原理有角平分线性质、垂直平分线性质和三角形全等定理等，对于上述内容的学习，不仅需要理解具体的含义，还需要掌握具体的应用过程，能够使用对应的性质、定理进行问题的分析，具体学习时可以多关注教材的实践活动，拓展应用视野.2.理解数学语言一类尺规作图题常以文字表达的形式来呈现作图过程，要求结合作图过程解决相应的问题，如上述考题关于角平分线和垂直平分线的作图问题，其中最为显著的特点是呈现过程，隐含性质，因此理解过程、准确地提取性质是解决问题的关键.教材中对相关作图操作进行描述时使用的是对应的数学语言，即综合符号、字母和文字，因此学习时特别需要注重数学语言与几何作图的对应轉化.如学习角平分线的性质时，不仅要掌握角平分线的作图过程和性质，还需要理解作图语言【3】.掌握数学语言的定理描述，实现几何的标准化操作，是提升尺规作图能力的必要条件.3.提升数学思维数学的解题过程是多种思维活动的过程，作图时需要掌握对应的方法流程和几何原理，所以解决尺规作图题时，需要结合相应的知识进行推理，包括合情推理和演绎推理.尤其是对于较为复杂的作图题，需要进行严格的分析和论证，必要时还需要结合对应的思想方法方法为指引，以根本知识为依托，进行数学思维的推理活动，这才是科学的尺规作图.因此，提升尺规作图能力时，首先要提升数学思维能力，促进自身综合素养的开展.参考文献：【1】冒劼.明晰尺规功能，让明理与得法同行[J].中学数学，2021〔02〕：19-21.【2】仇恒光.尺规作图教学的策略探究[J].中学数学教学参考，2021〔11〕：61-63.【3】杨春霞.简约中蕴新意多途径显深度[J].中学数学教学参考，2021〔25〕：33-35.。
尺规作图题的切入思路
尺规作图题的切入思路任何几何题的解题思路都离不开几何定理，这是永远绕不过去的主线。
尺规作图题当然也一样！今天推荐给同学们一种姜老师自创的解题牛招：钥匙链解题法！也可以称作暗箱秘钥！数学比较抽象晦涩难懂，所以姜老师希望从生活的角度让你去感悟数学，从而降低数学的难度，感觉数学就像我们生活中的一件简单的小事而已。
要学好数学，我们先来聊一聊生活。
看这是我家的一串钥匙，上面系着钥匙链。
当我找不见钥匙的时候，我也可以先尝试着找钥匙链，从而顺腾摸瓜找到那一串钥匙，再从中选择我需要的那把钥匙！(暗箱秘钥，相当于问题) （完整的一串钥匙，相当于解题要用的相关定理）一般思路：1.先找钥匙链：看题目的已知或结论（所求），，，，某个条件就是你要找的钥匙链！一般不会给你完整的钥匙（定理），常被遮挡了一部分（只给定理的一部分词语或图形），让你看的不是很清晰，思路受阻才好！2.找到钥匙串：联想相关定理1,2,3，，，，相关定理就是钥匙串！3.选择你需要的那把钥匙：相关定理是完整的，这时你要做的是：结合完整的定理尝试着把题目中一部分定理补充完整，一部分图形补充完整即可！补完内容或图形后有基础的同学就会豁然开朗，思路来了！例：尺规作图：过一点作已知直线的平行线已知直线AB与直线外一点P求作：过点P且平行于AB的直线.自己尝试一下，给你5分钟时间，开始！思路引导：一般思路：1.先找钥匙链：看题目的已知或结论（所求），，，，某个条件就是你要找的钥匙链！本题中：已知直线AB与直线外一点P求作：过点P且平行于AB的直线.2.找到钥匙串：联想以平行直线为结论的定理：这个很好想！相关定理1,同位角相等，两直线平行2,内错角相等两直线平行，3。
同旁内角互补，两直线平行。
好，再把对应的图形画出来，，，，相关定理就是钥匙串！3.选择你需要的那把钥匙：相关定理是完整的，这时你要做的是：结合完整的定理尝试着把题目中一部分定理补充完整，一部分图形补充完整即可！补完内容或图形后有基础的同学就会豁然开朗，思路来了！好，开始，尝试按照定理1补图，看是否条件与定理能匹配！补好的线用彩色虚线画出来啦！补完图啦！再看定理1中的关键词是同位角，好！在补好的图中标出同位角！补完内容或图形后有基础的同学就会豁然开朗，思路来了！，第一步：过点P任化一条与AB相交的直线，产生一个角PQB第二步：作出其同位角，即作一个角等于已知角，通过定理1判定所作直线与已知直线平行！下面是具体做法：作法：1.过点P作直线PQ交AB于点Q；2.以Q为圆心，适当长为半径画弧，交PQ于点D，交AB于点C；3.以P为圆心，同长为半径画弧，交PQ于点F；4.以F为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点G；直线PG，则直线PG为所求，如下图。
阅读材料由尺规作图产生的三大难题
华东师大2011版八年级上册第十三章全等三角形阅读材料由尺规作图产生的三大难题湖北省宜昌市英杰学校袁璐大家好！我今天说课的内容是华东师大2011版八年级上册，第十三章全等三角形，阅读材料——由尺规作图产生的三大难题。
下面，我从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学模式、教具准备、教学过程和板书设计八个方面来说这节课。
一、教材分析尺规作图以严密的逻辑推理，成为数学教学中独具一格的教学内容。
它能够培养学生更加强烈的图形意识,能够更加深入的培养初中生的画图能力,能够给于学生更加强大的空间感。
所以，尺规作图知识虽然篇幅简短，但不可忽略其作用。
在学习尺规作图后，对尺规作图不能问题进行一个简单的探究，对数学历史进行一个简要的介绍，让学生体会到尺规作图的简单美和精确美，从而感受数学独有的文化魅力。
二、学情分析经过本章前一课时的学习，学生已经了解了尺规作图的基本要求，掌握了尺规作图的5种基本作图，能有选择地使用作图工具，完成需要的图形。
学生对尺规作图的接受度较高，对尺规作图的便利性有了较深的体会。
但对尺规作图的研究历史缺乏，对尺规作图还存在片面的认识。
因此，要通过本节课的学习，力争达到以下教学目标。
三、教学目标1、通过阅读材料，了解尺规作图三大难题的具体内容，了解数学发展的历史，渗透数学文化教育，激发学生对数学的热爱；2、在已有的尺规作图经验下，引导学生独立思考、合作交流，通过三等分任意角问题，引导学生发现并初步探究尺规作图不能问题；3、传播数学文化，提高学生的数学史素养，激起学生对数学知识探索的欲望，学习数学家们的永不放弃、不停探索的科学精神。
根据以上教学目标和学生已有的认知基础，我确定了本节课的教学重点，教学难点，及如何突出重点，突破难点。
四、教学重难点：教学重点：尺规作图的基本要求，认识由尺规作图产生的三大难题。
教学难点：提高学生的数学史素养，激起学生对数学知识探索的欲望，学习数学家们的探索精神。
中考数学尺规作图题的探究(共20张PPT)
一、逐史探源 • 方案二：
• （1）高斯被称为“数学王子”，可以说是人类历史上最伟大、最天 才的几位数学家之一，我们从小学就熟悉了他的超凡计算，同学们还 能想起来是什么吗？
• （预设：通过首尾相加快速计算得到1+2+……+99的结果）；
• （2）他的超凡计算仅是他数学贡献中的一小点，同学们知道他自己 一生最引以自豪的贡献是什么吗？
三.真题反馈
2019/10/18
真题反馈
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真题反馈
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真题反馈
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真题反馈
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真题反馈
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真题反馈
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真题反馈
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真题反馈
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真题反馈
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外一点作已知直线的垂线．则对应选项中作法错误的是（ C ）
P
①
A．①
②
B．②
③
C．③
2019/10/18
④
D．④
• 例2、下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺 规作图过程．
• 已知：如图1，直线l及直线l外一点P．
• 求作：直线PQ，使得PQ∥l．
• 作法：如图2，
• ①在直线l上取一点A，作射线
中考数学 尺规作图题的探究
一、逐史探源 • 方案一：
• （1）同学们知道历史上最先明确提出尺规作图的是谁吗？
• （2）第一个用尺规作图完成的作图是哪一个？
• 历史上最先明确提出尺规作图限制的是希腊著名天文学家、数学家 伊诺皮迪斯.他发现以下作图方法，在一己知直线的已知点上做一个 角与已知角相等.伊诺皮迪斯所作这件事的重要性并不在于这个角的 实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决此问题.在伊诺皮迪 斯所作之前，许多几何作图题是不限工具的，伊诺皮迪斯之后，尺 规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》中.
浅谈尺规作图
浅谈尺规作图第一篇：浅谈尺规作图浅谈尺规作图所属县：广西百色市凌云县单位：广西百色市凌云县凌云中学姓名：唐奕清内容提要：尺规作图，具有悠久的历史渊源、丰富的教学意义和现实内涵。
但由于各种原因，尺规作图的教学存在着许多不利因素。
我们需正视困难和问题，寻找解决问题的途径，提高尺规作图的教学质量。
关键词：尺规作图教学意义教学困难提高途径尺规作图，是指有限次使用无刻度的直尺和圆规来解决不同的几何作图问题。
尺规作图有着悠久的历史，古希腊人最早提出了尺规作图。
后经希腊数学家欧几里德在《几何原本》一书中以理论形式加以明确，并被人们一直所遵守，进而流传至今。
在我国，关于尺规作图的教学一直有着优良的教学传统。
根据张景中院士的回忆，在1978年举行的全国中学生数学竞赛中，数学家苏步青就曾写信向主持命题工作的数学大师华罗庚建议，出一道有关尺规作图的题目作为考试试题。
[1]这种重视尺规作图的意识，进一步在《全日制九年义务教育数学课程标准》中得到了体现。
《标准》中明确要求学生能完成一些基本的尺规作图，并能根据一些基本作图探索一些问题；对于尺规作图的过程，要求能写出已知、求作和作法。
尺规作图不仅有悠久的历史渊源，也拥有着丰富的教学意义和现实内涵。
首先，尺规作图能够丰富教学情境，培养学生的实践能力。
众所周知，尺规作图是一种由学生实际执行的操作，具有不可替代的直观性，十分符合让学生自己动手解决问题的教学理念。
在实际教学中，尺规作图是一种情境的创设，即要求在某种条件下，由学生自己动手解决问题。
学生能作出一张符合要求的图形，是一种具有挑战性的创造活动，能够激发学生的创造性。
因此，在几何教学中强调“观察、操作、推理”的今天，尺规作图理应得到足够的重视.[2] 其次，尺规作图能培养学生严谨的学习习惯、严密的逻辑思维和空间想象能力。
尺规作图的一般步骤如下：①要求学生画出草图，假设图形已作出；②根据图形分析画法；③利用尺规严格操作并写出作法；④若要求证明，就给出证明；否则就写出结论。
初中阶段尺规作图教学的反思和建议
初中阶段尺规作图教学的反思和建议摘要：本文对初中阶段尺规作图教学进行了反思和建议，总结了当前尺规作图教学存在的问题，并提出了加强实践性和综合性、培养学生的空间想象力和创造能力、合理利用技术手段提升教学效果等方面的建议。
通过这些改进措施，可以提升尺规作图教学的效果，促进学生的学习兴趣和能力发展。
关键词：初中阶段；尺规作图教学；反思和建议引言尺规作图是初中阶段数学教学的重要内容之一，它对于培养学生的几何思维、空间想象力和创造能力具有重要意义。
然而，在当前的尺规作图教学中，存在着一些问题，如教学内容抽象、教学方法单一、学生兴趣不高等。
为了提高教学效果，本文将从实践性和综合性、空间想象力和创造能力的培养、技术手段的合理利用等方面提出相关建议。
一、反思当前尺规作图教学存在的问题在初中阶段的尺规作图教学中，存在一些问题需要反思。
尺规作图的教学内容过于抽象，缺乏实际应用的情境和案例。
学生往往难以理解尺规作图的实际意义和应用，导致学习兴趣不高。
教学方法和工具支持也不够，缺乏有效的教学策略和激励机制。
传统的黑板教学模式难以激发学生的主动性和创造力。
使学生对尺规作图缺乏兴趣和动力，难以主动参与课堂学习。
这可能是因为他们认为尺规作图是枯燥的和无趣的，无法体会到其实际的价值和意义。
此外，学生对尺规工具的使用不熟练。
学生在使用尺规时往往存在误差，无法准确地绘制图形。
这会影响到他们对尺规作图的理解和掌握程度，进而影响到他们在几何学习中的整体成绩。
另外，尺规作图教学中缺乏足够的个性化和差异化教学。
每个学生的学习进度和能力不同，但教师在教学过程中往往只关注整体班级的进度，无法满足个体学生的学习需求。
且尺规作图教学缺乏与其他学科的整合。
尺规作图是数学几何学的一部分，但与其他学科如地理、物理等的联系较少。
这影响了学生对尺规作图的综合应用和实际意义的理解。
二、加强尺规作图教学的实践性和综合性在初中阶段的尺规作图教学中，尺规作图应与实际问题结合，将其应用于实际生活中的场景中，帮助学生理解和体会尺规作图的实际意义。
浅谈初中数学尺规作图教学策略
浅谈初中数学尺规作图教学策略作者：丁金海来源：《中学课程辅导·教学研究》2020年第19期摘要：在九年义务教育的初中阶段，数学知识有所加深，同时初中的数学知识也多涉及空间几何。
所以若想有效地提高学生的学习效率，就必须加强他们对数学知识的理解以及动手操作能力。
而在数学教学过程中，尺规作图是训练学生动手能力的主要方式，所以初中数学尺规作图教学就显得十分重要。
本文便对如何进行尺规作图教学进行了探讨。
关键词：初中数学；尺规作图；教学探讨中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）10-0139在初中数学的教学教材中，具体讲述尺规作图的内容涉及较少，但是在整个初中阶段，却往往离不开尺规作图。
很多教师在教学过程中忽略了尺规作图的重要性，从而导致学生作图能力下降，进而造成教师教学效率低下。
面对这种情况，笔者根据自身的教学经验，提出了以下几种解决方案，希望可以为大家提供参考。
一、打好尺规作图基础在初中数学教学过程中，综合作图是由许多基本作图相互组合而构成的，所以若想培养学生的综合作图能力，教师首先就要讲述相关作图步骤，使学生逐渐了解尺规作图的相关步骤，为日后的几何图形教学创造便利条件。
尺规作图虽然一气呵成，但是在教学过程中，教师可以将作图过程拆分成几个小步骤，以便学生理解学习。
在初中数学尺规作图的教学中，一般可以将传统的尺规作图分为五个小步骤。
即，1.在教师的带领下，监督学生做一条适当长度的线段，作为已知线段。
在这个过程中，教师可以让学生相互监督，节约教学时间。
2.作一个简单的角作为已知角，教师可以首先在黑板上绘制这个已知角，使学生理解相关步骤。
教师还可以播放相关的视频，加深学生对已知角绘制步骤的记忆。
3.用一条射线将这个已经绘制的已知角进行平分，教师可以适当进行知识迁移，讲述直线、线段、射线的知识，帮助学生构建相关的知识网络。
同时，教师还应展示平分角的过程，降低学生的绘图难度。
初中一年级数学尺规作图易错题分析
初中一年级数学尺规作图易错题分析初中阶段要求的尺规作图为5种基本作图：（1）做一条线段等于已知线段（2）做一个角等于已知角（3）做线段的垂直平分线（4）做角平分线（5）过一个已知点作一条直线的垂线在尺规作图中我们又根据以下定理对其进行运用：（1）两点之间，线段最短。
（2）点到直线的距离，线段最短。
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等（4）角平分线上点到角两边的距离相等根据以上定理，我们主要运用于以下例题中：例1：一个人在A处要去河边取水，请问该怎样走才能最快到达？解：过A作A B⊥l,交l于B因为点到直线的距离线段最短.AlB例2 :在AB 上找一点P ，使P 到M 、N 两点的距离相等。
错解: 找出AB 的中点,认为AB 的中点就是点P原因: 学生认为AB 的中点到A. B 两点的距 相等,那么到M , N 的距离也应相等.例3、在直线MN 上找一点P 点，使P 到射线OA 和OB 的距离相等。
例4、如图，l 1、l 2交于A 点，P 、Q 的位置如图所示，试确定M 点，使它到l 1、l 2的距离相等，且到P 、Q 两点的距离也相等。
例5: 如图,A 、B 、C 三点表示三个镇的地理位置, 随着乡镇工业的发展需要, 现三镇联合建造一 所变电站,要求变电站到三镇的距离相等 , 请画出变电站的位置(用P 点表示) B O A NM 作图思路：到两点距离相等应作连接这两点的线段的中垂线EF, 到两条相交射线的距离相等的点应是角平线上的点,两个条件要同时满足,则应是这两条线的交点. A B M N作图思路：到两点距离相等应作连接这两点的线段的中垂线,中垂线与AB 的交点就是点P.A B M NP作图思路：到两条相交射线的距离相等的点应是角平线上的点,所以就作出∠AOB 的角平分线OC,OC 与MN 的交点就是所要求的点. C B 错解:(1)认为线段PQ 的中点就是所要求的点. (2)认为角平分线与线段的交点就是所要求的点.原因:学生对中垂线和角平分线的性质的理解不够.A B 作图思路：到两点距离相等应作连接这两点的线段的中垂线，到三点的距离相等，则应是这两条线段中垂线的交点。
八年级数学上册 13.4 三角形的尺规作图 尺规作图不能问题素材 (新版)冀教版
尺规作图不能问题尺规作图三大难题历经2000多年，早已得到解决，即它们都是尺规作图不能问题。
但我们经常收到一些同学的来信,声称他们能用尺规三等分一个角.下面附一段有关小资料，如各位有兴趣，可以查阅更多资料。
在爱琴海上有个小岛，叫提洛岛。
传说，很久以前，鼠疫袭击提洛岛，一个预言者说已经得到神的谕示，必须将立方体的阿波罗祭坛加倍，瘟疫方能停息。
一个工匠简单地将祭坛的各边加倍，体积变为原来的8倍，这并不符合神的意旨，因此瘟疫更加加猖獗。
作一个立方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍。
这就是古希腊几何作图的三大难题之一——倍立方问题。
另外两个难题是：化圆为方问题——作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积；三等分任意角问题——任意给一个角，作一个角，使它等于已知角的三分之一。
当然，“神的谕示”仅仅只是一个传说。
实际上，这三个问题是古希腊人在解出了一些作图题之后所作的一种引伸。
例如，因为任意角可以二等分，于是就想会想到任意角能不能三等分；因为容易作出一个正方形，它的面积是给定正方形面积的二倍，因此就想到倍立方的问题。
从表面上看，这三个问题都很简单，似乎应该可用尺规作图来完成，因此两千多年来曾经有许许多多数学家为此花费了大量的时间和精力。
虽然有些人不时声称自己获得了成功，但后来发现，他们不是用了错误的方法，就是违背了尺规作图的限制。
当然，某些特殊角还是可以用尺规进行三等分的，如90°角和45°角。
一般地，180/2n (n是正整数)的角都可以用尺规三等分。
1837年旺策尔(P.L.Wantzel， 1814—1848)首次证明了三等分任意角和立方倍积这两个问题不能用尺规作图来完成，1882年，林德曼(C.L.F.von Lindemann， 1852—1939)证明了化圆为方也是尺规作图不能问题。
1895年克莱因(F.Klein， 1849—1925)在总结前人研究成果的基础上，给出了几何三大问题不可能用尺规完成的简单而明晰的证法，从而使两千多年没有解决的疑难问题告一段落。
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正多边形的尺规作图是大家感兴趣的.正三边形很好做; 正四边形稍难一点;正六边形也很好做;正五边形就更难一 点，但人们也找到了正五边形的尺规作图方法.确实，有 的困难一些，有的容易一些. 人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图 问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不 出结论来.这个悬案一直悬而未决两千余年.
正五边形作法： 1）作OA的中点M。 2）以M点为圆心，M1为半径作弧，交水平直径于K点。 3）以1K为边长，将圆周五等分，即可作出圆内接正五边形
为什么没有正七边形的尺规作图呢？
尺规作图不能问题
尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完 成的作图问题。 这其中最著名的是被称为几何三大问题的古 典难题：三等分角问题：三等分一个任意角；倍 立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立 方体的体积的两倍；化圆为方问题：作一个正方 形，使它的面积等于已知圆的面积。
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二、熟练掌握尺规作图题的规范语言 用直尺作图的几何语言： ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； ②连结两点××；或连结××；
③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；
或延长××交××于点×；
用圆规作图的几何语言：
①在××上截取××＝××； ②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧） ； ③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×； ④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交 于点×、×
1900年左右，Hermes花费十年的功夫用尺规作图作出正65537 边形，他的手稿装满一大皮箱，可以说是最复杂的尺规作图。
约翰· 卡尔· 弗里德里希· 高斯（C.F.Gauss，1777年4 月30日－1855年2月23日），男，德国著名数学家、物理 学家、天文学家、大地测量学家。高斯是一对贫穷夫妇的 唯一的儿子。母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明， 但却没有接受过教育。在她成为高斯父亲的第二个妻子之 前，她从事女佣工作。他的父亲曾做过园丁，工头，商人 的助手和一个小保险公司的评估师。是近代数学奠基者之 一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有 “数学王子”之称。高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三 大数学家。一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的 成果达110个，属数学家中之最。高斯在历史上影响巨大， 可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。
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五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段；
2、作一个角等于已知角；
3、作已知线段的垂直平分线；
4、作已知角的角平分线；
5、过一点作已知直线的垂线；
思考1：已知三边作三角形。
已知：线段a，b，c. 求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.
思考2：已知两角及夹边作三角形。
思考3：已知两边及夹角作三角形。
几何三大问题如果不限制作图工具，便 很容易解决.从历史上看，好些数学结果是 为解决三大问题而得出的副产品，特别是 开创了对圆锥曲线的研究，发现了一批著 名的曲线等等.不仅如此，三大问题还和近 代的方程论、群论等数学分支发生了关系. 尺规作图还可以做出很多漂亮的图案。
只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目， 曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形已被证明是不能由 尺规作出的。
只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用 直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的。
问题的解决:高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法， 并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数 目必须是2的非负整数次方乘以不同的费马素数的积，解决了两千年 来悬而未决的难题。 1832年，Richelot与Schwendewein给出正257边形的尺规作法。
你认为如何用尺规作正三角形、正方形、 正五边形、正六边形、正八边形呢？
1、等分弧 2、利用垂线或角平分线
正五边形的画法 圆内接正五边形的画法如下: 1、任作一圆O 2、任作圆O中互相垂直的两直径AB、CD 3、作OD的垂直平分线交OD于E 4、以E为圆心，EA长为半径作弧，交CD于F 5、在圆O上顺序作弦AG=GH=HM=MN=NA=AF 则得正五边形AGHMN
尺规作图
一、理解“尺规作图”的含义
1.
在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其
中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规 图与般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过 程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．
三、了解尺规作图题的一般步骤 尺规作图题的步骤：
1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；
2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； 3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程。当不要求写作法时，一般要保留作图 痕迹
Hale Waihona Puke 对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找 作法。 在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了， 而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图 时，保留作图痕迹很重要。