直线与圆、圆与圆复习讲义
直线与圆、圆与圆的位置关系讲义
直线与圆、圆与圆的位置关系讲义一、知识梳理1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离． (2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. (3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( ) (4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( )(5)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()(6)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()题组二：教材改编2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)3．x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．题组三：易错自纠4．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是() A．[－2，2] B．[－22，22]C．[－2－1，2－1] D．[－22－1,22－1]5．设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A．4 B．42C．8 D．826．过点A(3,5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为__________．答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0三、典型例题题型一：直线与圆的位置关系1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定2．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能思维升华：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．题型二：圆与圆的位置关系典例已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为()A.62 B.32 C.94D．23引申探究：1．若将本典例中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值．2．若将本典例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程．思维升华：判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．跟踪训练：如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是 题型三：直线与圆的综合问题 命题点1：求弦长问题典例已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 命题点2：直线与圆相交求参数范围典例 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 命题点3：直线与圆相切的问题典例 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．思维升华：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 跟踪训练 (1)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． (2)过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________． 注意：高考中与圆交汇问题的求解 一、与圆有关的最值问题典例1 (1)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9(2)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33 B ．－33C ．±33D ．－3二、直线与圆的综合问题典例2 (1)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A ．2 B ．42 C ．6D ．210(2)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)πD.54π 四、反馈练习1．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－82．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个3．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－144．若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条5．已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A ．m ∥l ，且l 与圆相交 B ．m ⊥l ，且l 与圆相切 C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离6．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋y ＝2，过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线交l 于点A ，则|P A |的最小值为( ) A.12 B ．1 C.2－1D ．2－27．已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.8．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________．9．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．12．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．13在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是14．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________． π|AB |2≥16(2－1)π.故选C.。
直线与圆的复习课件
这个ppt课件将帮助大家复习直线与圆的基本概念、位置关系、方程、解析几 何、应用等知识点。通过生动的图片和精心设计的布局，让你轻松理解和掌 握这些内容。
直线与圆的基本概念
1 直线的定义及表示方法
2 圆的定义及表示方法
直线是由一系列无限延伸的相连点组成， 可以用两点表示或用方程表示。
自测与总结
1 选择题测试
2 总结归纳主要知识点
通过选择题测试来检验对直线与圆的理解 程度。
对直线与圆的复习进行总结，概括掌握的 重要知识点。
2
圆心与半径的推导
通过方程的系数可以求得圆心的坐标(a, b)和半径的长度r。
直线与圆的解析几何
直线与圆的交点坐标的 求解
通过联立直线和圆的方程， 解方程组可以求得交点的坐 标。
直线与圆的切点坐标的 求解
切线是与圆相切的直线，在 求解交点的同时要满足切线 的条件。
判定直线是否与圆相切、 相离或相交
通过计算直线与圆的距离或 计算圆心到直线的距离，可 以判断它们之间的位置关系。
直线与圆的应用
1
利用相似、对称等方法解决几
2
何问题
在解决几何问题时，可以运用相似三 角形、对称性等方法结合直线与圆的
知识进行推导和分析。
圆的切线及其性质
圆的切线是与圆相切且仅与圆有一交 点的直线，切线的性质有切点在切线 上、切线垂直于半径等。
圆是由距离圆心相等的点组成，可以用圆 心坐标和半径长度表示。
直线与圆的位置关系
直线与圆相交的情况
直线可以与圆相交于两个交点、一个交点的点距离圆心更近，圆外的点距离圆心更远，圆上的点与圆心的距离等于圆的半径。
求解圆的方程
1
点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
初三数学总复习点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1.点与圆的位置关系:有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外⇔d＞r．点在圆上⇔d=r．点在圆内⇔d＜r．2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交⇔d＜r，直线与圆相切⇔d=r，直线与圆相离⇔d＞r3.圆与圆的位置关系(1)同一平面内两圆的位置关系：①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.③相切:如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．④相交:如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．(2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．(3)设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则①两圆外离⇔d＞R+r；有4条公切线；②两圆外切⇔d=R＋r；有3条公切线；③两圆相交⇔R－r＜d＜R+r（R＞r）有2条公切线；④两圆内切⇔d=R－r（R＞r）有1条公切线；⑤两圆内含⇔d＜R—r（R＞r）有0条公切线．（注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆）4.切线的性质和判定(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．(3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．（二）：【课前练习】1.△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=6，若以C为圆心，以r为半径作圆，那么：⑴当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是____；⑵当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是____；⑶当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是____.2.两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，那么AB=（） A．3 B．23 C．3 D．43.已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1的半径为3cm，则⊙O2的半径 cm．4.两圆既不相交又不相切，半径分别为3和5，则两圆的圆心距d的取值范围是（） A．d＞8 B．0＜d≤2C．2＜d＜8 D．0≤d＜2或d＞85.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有_____个．二：【经典考题剖析】1.Rt△ABC中，∠C=90°，∠AC=3cm，BC＝4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心1．3 cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2．4cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2．5cm长为半径的圆与AB相交．上述结论中正确的个数是（）A．0个 B．l个 C．2个 D．3个2.已知半径为3cm，4cm的两圆外切，那么半径为6cm且与这两圆都外切的圆共有___个．3.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3crn和5 cm，两圆的圆心距是6 cm，则这两圆的位置关系是（）A．内含 B．外离 C．内切 D．相交4.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（）3344A B C D....45535.如图，已知PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC度数是（）A．70° B．40° C．50° D．20°三：【课后训练】1.在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以3cm长为半径画圆，则对A、B、C、M四点，在圆外的有_________，在圆上的有________，在圆内的有________.2.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有_________个．3.已知两圆的半径分别为3 cm和4 cm，圆心距为1cm，那么两圆的位置关系是（） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切4.如图，A、B是⊙上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝65○，则∠BAC等于（）A．35○B．25○C．50○D．65○5.已知两圆的圆心距是3，两圆的半径分别是方程x 2－3x+2=0的两个根，那么这两个圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切6.如图，已知两同心圆，大圆的弦AB 切小圆于M ，若环形的面积为9π，求AB 的长．7.如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，∠APB=90°，OP=4，求⊙O 的半径．8.如图，△ABO 中，OA= OB ，以O 为圆心的圆经过AB 中点C ，且分别交OA 、OB 于点E 、F ．（1）求证：AB 是⊙O 切线；（2）若△ABO 腰上的高等于底边的一半，且AB=4 3 ，求 ECF的长9.如图，CB 、CD 是⊙O 的切线，切点分别为B 、D ，CD 的延长线与⊙O 的直径BE 的延长线交于A 点，连OC ，ED ．（1）探索OC 与ED 的位置关系，并加以证明；（2）若OD ＝4，CD=6，求tan ∠ADE 的值．10.如图,⊙O 的半径为1,过点A(2,0)的直线切⊙O 于点B,交y 轴于点C (1)求线段AB 的长(2)求以直线AC 为图象的一次函数的解析式C O A B x y。
直线和圆的方程复习课PPT课件
一、知识框架
直线与直线方程
直
线
与
圆
的
方
圆与圆方程
程
直线的倾斜角和斜率 直线的方程
两直线的位置关系 线性规划及应用 求曲线方程 圆的标准方程 圆的一般方程
圆的参数方程
直线与圆、圆与圆的位置关系
2
1、直线的倾斜角
倾斜角的取值范围是 0 180.
2、直线的斜率
k tan, ( 90 )
4.两点间的距离
5.点到直线的距离
d Ax0 By0 C A2 B2
6.平行直线间距离
d C1 C2 A2 B2
11
两直线特殊位置关系练习
1、如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0
平行，则a=（ B ）
A．－3
B．－6
C．
3 2
2
D． 3
2、若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，
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7
点与直线
1、点与直线的位置关系 2、点关于直线对称的点坐标 3、直线关于点对称的直线方程 4、点到直线的距离
练习
8
点与直线练习
1、已知直线 l1 : A1x B1 y 1和 l2 : A2 x B2 y 1
相交于点P(2,3)，则过点 P1( A1, B1), P2 ( A2 , B2 )的直线 方程为 2x+3y=1＿．
2、点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（ A ）
A(－4，－1) B(－5，－2) C(－6，－3) D(－4，－2）
3、已知△ABC的一个顶点为A(3,-1)，∠B被y轴平分，∠C 被直线y=x平分，则直线BC的方程是 （ A ）
直线与圆的位置关系复习
contents
目录
• 直线与圆的基本概念 • 直线与圆的位置关系 • 判断直线与圆的位置关系 • 直线与圆的综合应用 • 经典例题解析
01
直线与圆的基本概念
直线的定义与性质
定义
直线是无限长的，没有端点，表 示为 $L$。
性质
两点确定一条直线；两点之间线 段最短。
圆的定义与性质
实例
在圆内作一条已知长度的弦，可以 先求出弦长的一半，然后利用弦长 公式计算出弦长，最后进行作图。
直线与圆的位置关系在几何作图中的应用
应用场景
在几何作图中，可以利用直线与圆的位置关系来绘制图形或 进行图形的调整。
实例
在绘制一个圆形花坛时，可以利用直线与圆的位置关系来确 定花坛的边界线，以确保花坛的形状符合要求。
应用场景
实例
在一个三角形中，已知其中一边和其 上的高，要证明另外两边相等，可以 通过作三角形的高所对的圆的切线， 利用切线长定理进行证明。
在几何证明和解题中，可以利用切线 长定理来证明线段相等或进行线段计 算。
弦长公式的应用
弦长公式
已知圆的半径和弦长的一半，可 以求出弦长。
应用场景
在几何作图和计算中，可以利用弦 长公式来计算弦长或进行作图。
几何法
01
几何法定义：通过观察直线与圆的图形关系，直观判断它们的位置关 系。
02
步骤
03
1. 画出直线与圆的图形。
04
2. 根据图形判断直线与圆的位置关系：如果直线穿过圆内，则相交； 如果直线与圆相切于一点，则相切；如果直线切线长定理的应用
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，这一点 到切点的线段长相等。
高考数学总复习直线与圆、圆与圆的位置关系PPT课件
16－34k2>0，解得－8
3
38 <k<
3
3，
.
由题易知点(1,2)应在已知圆的外部， 把点代入圆的方程得 1＋4＋k＋4＋k2－15>0， 即(k－2)·(k＋3)>0，解得 k>2 或 k<－3， 则实数 k 的取值范围是－83 3，－3∪2，8 3 3.
[答案]
1．已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上， 直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
解析：选 D 设圆心的坐标为(a,0)(a>0)， 又因为直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切， 所以 |33a2＋＋44|2＝2，解得 a＝2 或－134(舍)， 因此圆的方程为(x－2)2＋y2＝22， 即 x2＋y2－4x＝0.
(2)过点( 2，0)引直线 l 与曲线 y＝ 1－x2相交于 A，B
两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线
l 的斜率等于( )
A. 3 B．－ 3 C．± 3 D．－ 3
3
3
3
[自主解答] (1)圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－ a，圆心 C(－1,1)，半径 r 满足 r2＝2－a，则圆心 C 到直线 x ＋y＋2＝0 的距离 d＝ 12＋1＝ 2，所以 r2＝4＋2＝2－a⇒a ＝－4.
解析：法一：几何法：圆心到直线
的距离为d＝
|0－2| 2
＝
2 ，圆的半径r＝
2，所以弦长l＝2× r2－d2 ＝2 4－2 ＝
2 2.
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
≤ + ，解得−
≤≤
.
−−
+
=
+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(
A.
)
√
C.−
B.5
解析：选C.因为 −
+ −
D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −
+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=
+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.
直线与圆复习讲义
直线与圆复习讲义一、知识点总结(1)①圆的标准方程222()()x a y b r -+-=(0)r >.②圆的一般方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=>＋－.提醒:只有当2240D E F >＋－时,方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22D E --,半. (2)直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-=(0)r >有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断:①代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；②几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d ，则d r <⇔相交；d r >⇔相离；d r =⇔相切。
提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷.(3)两圆1C 与2C 的位置关系的判断法则:(设圆心距d ) 12d r r >+⇔外离; 12d r r =+⇔外切; 1212||r r d r r -<<+⇔相交; 12||d r r =-⇔内切; 12||d r r <-⇔内含;(4)①一般地,如何求圆的切线方程(抓住圆心到直线的距离等于半径);②从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条件,运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求;(5)①弦长问题:圆的弦长的计算:常用弦心距d ,弦长一半12a 及圆的半径r 所构成的直角三角形来解2221()2r d a =+;②解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!二、典型例题1、半径是5，圆心在y 轴，且与直线y ＝6相切的圆的方程为 .2、过点（－4，0）作圆(x ＋7)2＋(y ＋8)2＝9的切线，切线方程为 .3、圆x 2＋y 2＝1上的点到点（3，4）的最短距离为______;最长距离为_______.4、设圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的范围是 .5、若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝36相交，则r 的取值范围是6、圆4)1()3(:221=++-y x C 关于直线02=+-y x 对称的圆2C 的方程为7、已知圆x 2 ＋ y 2＝4关于直线l 对称的圆方程为(x ＋3)2 ＋ (y －3)2＝4，则直线l 的方程是8、若过点P （－2，1）作圆(x －3)2+(y ＋1)2＝r 2的切线有且仅有一条，则圆半径为9、圆x 2＋y 2＝3上的点到直线3x ＋4y ＋25＝0的距离的最小值为_____________.10、过点(－1,1)的直线被圆x 2＋y 2－2x ＝0截得的弦长为2，则此直线的方程为 .11、一条直线被两直线1l ：460x y ++=，2l ：3560x y --=截得的线段的中点恰好是坐标原点，该直线方程为12、已知实数y x ,满足1)3()3(22=-+-y x（1）y x 3+的最大值为（2）22y x +的最小值为（3）xy 4- 的取值范围为13、已知集合M ={(x ,y )|y ＝x ＋a },N ＝{(x ,y )|y ＝1－x 2}，若集合M 和集合N 有两个不同的公共元素，求a 的取值范围14、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是______ _____15、设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有三个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的取值是16、求下列条件所确定的圆的方程：1）圆心为C (3,－5)，与直线x －7y ＋2＝0相切;2) 过点A (3,2),圆心在直线y ＝2x 上，与直线y ＝2x ＋5相切.3）一圆与直线4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (2,5)，求此圆的方程.17、已知圆()22:19C x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点. (1) 当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；(2) 当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程；(3) 当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长.18、已知圆C:(x＋2)2＋(y－2)2＝1,点P(2,－2)，直线P A,PB与圆C相切，A、B为切点，求AB的直线方程.19、已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在求直线，不存在说明理由.。
直线与圆的位置关系复习
1BO QCPTD BA直线与圆的位置关系复习一、要点：例：如图，在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，∠B=30，BC=4cm ，以点C 为圆心，2cm 长为半径作圆，则⊙C 与直线AB 的位置关系是2、切线的判定：①经过半径的外端②垂直于半径的直线是圆的切线。
注：判定切线的时候两种情况：①当已知条件中直线与圆已有一个公共点时， 辅助线：是连结圆心和这个公共点。
再证明这条半径与直线垂直 例：如图已知直线AB 过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ， CA ＝CB ，求证：直线ＡＢ是⊙O 的切线②当已知条件中没有明确直线与圆是否有公共点时，辅助线：是过圆心作这条直线的垂线段。
再证明这条垂线段的长等于半径。
例：如图:O 为∠ ABC 平分线上点,OD ⊥AB 于D,以O 为圆心,OD 求证：BC 与作⊙O 相切。
3重要辅助线：连结切点和圆心例：AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙O 于D （1） 求证：AT 平分∠BAC（2） 若AD=2，TC=3，求⊙O 的半径。
4、三角形的内切圆：和三边都相切内心：三条角平分线的交点。
到三边的距离相等。
外心：三条中垂线的交点。
到三个顶点的距离相等。
直角三角形内切圆的半径r=2cb a -+（c 为斜边长）， 等边三角形内切圆的半径a r 63=（a 为边长）rl C ab ah S ABC 21sin 212===∆为三角形内切圆半径，r (l 为三角形周长）例：如图：⊙O 是△ABC 的内切圆，切点是、E 、F ，又AB=AC=10，BC=12，求：、 （1）AD 、BC 的长B2CD （2）ABC S ∆ （3）⊙O 的半径5、圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系的判断。
计算两圆心距 d, 再与 R ± r 来比较。
两圆外离,r R d +> 两圆外切,r R d +=两圆相交,r R d r R +<<-两圆内切,r R d -= ≤0两圆内含,r R d -<注意：两圆相切；分内切与外切，两圆相离；分内含与外离注；相切两圆的连心线必经过切点。
直线与圆知识点归纳高三
直线与圆知识点归纳高三直线与圆知识点归纳直线和圆是解析几何中常见的两种几何图形，它们有着丰富的性质和联系。
本文将对直线和圆的相关知识点进行归纳总结，帮助高三学生复习和掌握这一部分内容。
一、直线的定义和性质1. 直线的定义：直线是由无数个点连成的路径，它没有宽度和长度，可以无限延伸。
2. 直线的性质：(1) 直线上的任意两点可以确定一条直线；(2) 任意一条直线可以通过两个点确定；(3) 直线可以延伸到无穷远，也可以延伸到无穷近。
二、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是由平面上距离某一点固定距离的所有点构成的图形。
2. 圆的性质：(1) 圆上任意两点都在圆周上；(2) 圆心到圆周上的任一点的距离都相等，称为半径；(3) 圆的直径是通过圆心，并且两端点都在圆上的线段，长度为半径的两倍；(4) 圆的周长是圆周的长度，记作C，公式为C = 2πr，其中r 为半径；(5) 圆的面积是圆内部的所有点构成的区域，记作S，公式为S = πr²。
三、直线与圆的关系1. 直线与圆的位置关系：(1) 直线可与圆相交，相切或不相交；(2) 如果直线与圆相交，可能有两个交点，一个交点或没有交点；(3) 如果直线与圆相切，有且只有一个切点；(4) 如果直线不与圆相交或切，那么直线与圆之间的距离等于直线到圆心的距离。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法：(1) 利用勾股定理：如果直线与圆的距离小于半径，那么直线与圆相交；如果直线与圆的距离等于半径，那么直线与圆相切；如果直线与圆的距离大于半径，那么直线与圆不相交也不相切。
(2) 利用方程求解：已知直线和圆的方程，将直线方程代入圆的方程中，求解得到交点或切点。
四、直线和圆的相关定理1. 直径定理：如果一条直线通过圆的圆心，并且两个端点都在圆上，那么这条直线的长度等于圆的直径。
2. 切线定理：过圆外一点引一条直线与圆相交，那么这条直线与圆的切点到圆心的线段垂直于直线。
3. 弦切角定理：相交弦所夹的圆心角等于它们所对的弧所夹的圆心角的一半。
第九章 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
变式训练 2 已知点 A(1，a)，圆 x2＋y2＝4. (1)若过点 A 的圆的切线只有一条，求 a 的值及切线方程； (2)若过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求 a 的 值及切线方程．
解 (1)由于过点 A 的圆的切线只有一条，则点 A 在圆上，故 12＋a2＝4，∴a＝± 3.
(2)解 设直线与圆交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点， 则直线 l 被圆 C 截得的弦长
AB＝ 1＋k2|x1－x2|
＝2 8－14＋k＋k211k2＝2
11－41k＋＋k32 ，
令 t＝41k＋＋k32，则 tk2－4k＋(t－3)＝0，
当 t＝0 时，k＝－34，当 t≠0 时，因为 k∈R，
∴d＝
22r，即|m5|＝
2 2·
5，
解得 m＝±522.
故当 m＝±522时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．
探究提高
(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用 直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来 判断直线与圆的位置关系； (2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法； (3)两半径互相垂直也可利用两直线垂直时斜率 k1·k2＝－1.
要点梳理
忆一忆知识要点
2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成 直角三角形计算． (2)代数方法 运用韦达定理及弦长公式 AB＝ 1＋k2|xA－xB|＝ (1＋k2)[(xA＋xB)2－4xAxB]. 说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．
变式训练 1 已知直线 l：y＝kx＋1，圆 C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12. (1)试证明：不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长．
圆的方程与专题复习(直线与圆圆与圆的位置关系轨迹问题)知识梳理
圆的方程与专题复习（直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题）知识梳理浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。
一、有关圆的基础知识要点归纳1． 圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心，定长为半径.2． 圆的标准方程① 圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得()()()0222>=-+-r r b y a x ，其中圆心坐标为()b a ,，半径为r ；当0,0==b a 时，即圆心在原点时圆的标准方程为222r y x =+；② 圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。
3． 圆的一般方程①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，022=++++F Ey Dx y x ()0422>-+F E D ；② 圆的一般方程的特点：（1）22,y x 项系数相等且不为0；（2）没有xy 这样的二次项③ 二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件是0≠=C A 且0=B ；二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是0≠=C A 且0=B 且0422>-+AF E D4． 圆的参数方程圆的参数方程是由中间变量θ将变量y x ,联系起来的一个方程. ① 圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是：θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==r y r x 为参数）；② 圆心在()b a ,，半径为r 的圆的参数方程是：θθθ(sin cos ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 为参数）； 5． 圆方程之间的互化022=++++F Ey Dx y x ()0422>-+F E D配方⇔44222222F E D E x D x -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+即圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E ，D ，半径F E D r 42122-+=⇔利用()()222sin cos r r r =+θθ得θθθ(sin cos ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 为参数） 6． 确定圆方程的条件圆的标准方程、圆的一般方程及参数方程都有三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。
最全的直线和圆综合讲义完美版
圆的方程1.已知圆的方程为226490x y x y ++-+=，则圆心坐标为，圆的半径为．2.求圆心在直线23y x =+上，且过点(12)A ，，(2,3)B -的圆的方程．3.圆22220x y x y +-+=的周长是（ ）A． B ．2π CD ．4π4.已知一圆的圆心为点(23)-，，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，求此圆的方程．5.已知ABC ∆三边所在直线方程:60AB x -=，:280BC x y --=，:20CA x y +=，求此三角形外接圆的方程．6.以点(5,4)A -为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为（ ） A ．22(5)(4)16x y ++-= B ．22(5)(4)16x y -++=C ．22(5)(4)25x y ++-=D ．22(5)(4)25x y -++=7.已知圆22:230()C x y x ay a +++-=∈R 上任意一点关于直线:20l x y -+=的对称点都在圆C 上，____a =．8.求过点(5,2)A ，(1,6)B ，且圆心在直线:330l x y --=上的圆的方程．9求以直线34120x y -+=夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程10.半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线(0)y x ≥相切，求这个圆的方程．11.若圆C 经过点(0,4)A ，(4,6)B ，且圆心C 在直线220x y --=上．⑴求圆的方程；⑵若直线34y x b =-+和圆C 相切，求直线的方程．轨迹问题1.已知定点(3,0)B ，点A 在圆221x y +=上运动，M 是线段AB 上的一点，且13AM MB =，则点M 的轨迹方程是．2.设(,0),(,0)(0)A c B c c ->为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值(0)a a >，求P 点的轨迹．3.由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠=︒，则动点P 的轨迹方程是．4.如图，圆1O 与圆2O 的圆心都在x 轴上，半径都是1，124O O =，且两圆关于y 轴对称，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN ，M 、N分别为切点，且PM =，试求动点P 的轨迹方程．5.已知两定点(2,0)A -，(1,0)B ，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的面积等于（ ） A ．π B ．4π C ．8π D ．9π6.已知点(0,0),(,0)(0)O B m m >，动点P 到O 、B 的距离之比为2:1，求⑴ P 点的轨迹方程．⑵ P 点在什么位置时，POB ∆的面积最大，并求出最大面积．7.如图所示，已知圆224O x y+=：与y轴的正方向交于A点，点B在直线2y=上运动，过B做圆O 的切线，切点为C，求ABC∆垂心H的轨迹．8.从抛物线2y x=的顶点引两条互相垂直的弦OA、OB，作OM AB⊥．则点M的轨迹方程为．9.直线y kx=与圆2264100x y x y+--+=相交于两个不同点,A B，当k取不同实数值时，求AB中点的轨迹方程．10.已知直线1y kx=+与圆224x y+=相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，求点P的轨迹方程．11.已知圆的方程为222x y r+=，圆有定点(,)P a b，圆周上有两个动点A、B，使PA PB⊥，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．直线和圆的位置关系1.a为何值时，直线l y a+-=与圆22:4O x y+=：⑴相交；⑵相切；⑶相离．2.直线10x y-+=与圆()2211x y++=的位置关系是（）A．相切B．直线过圆心C．直线不过圆心但与圆相交D．相离3.圆222430x x y y+++-=上到直线10x y++=）Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个4.判断直线210x y-+=和圆2222410x y mx my m+--+-=的位置关系，结论为（）A．相交但直线不过圆心B．相交且直线过圆心C．相交或相切D．相交、相切或相离5.自点()64P-，向圆2220x y+=引割线，所得弦长为6.圆221x y+=与直线2y kx=+没有．．公共点的充要条件是（）A．(k∈B．((2)k∈-∞+∞，，C．(k∈D．((3)k∈-∞+∞，，7.若圆2244100x y x y+---=上至少有三个不同点到直线l：y kx=的距离为k的取值围是_________．8.圆22(3)(3)9x y-+-=上到直线34110x y+-=的距离为1的点有几个？9.点00(,)M x y是圆222(0)x y a a+=>不为圆心的一点，则直线200x x y y a+=与该圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交10.圆22(2)(3)4x y-++=上与直线20x y-+=距离最远的点的坐标是_________11.圆2244100x y x y+---=上的点到直线140x y+-=的最大距离与最小距离的差是_________．12.圆222430x y x y+++-=上到直线10x y++=）．A．1个B．2个C．3个D．4个13.已知a b≠，且2πsin cos04a aθθ+-=，2πsin cos04b bθθ+-=，则连接2(,)a a，2(,)b b两点的直线与单位圆的位置关系是A．相交B．相切C．相离D．不能确定14.已知直线l 方程为cos sin 10x y θθ++=，则l （ ）A ．恒过一个定点B ．恒平行于一条直线C ．恒与一个定圆相切D ．恒与两个坐标轴相交圆与圆的位置关系1.已知圆221:2610C x y x y ++-+=和圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．2.求与已知圆227100x y y +-+=相交，所得公共弦平行于已知直线2310x y --=且过点(23)-，、(14)，的圆的方程．3.已知圆222:2210M x y mx ny m +--+-=和圆22:2220N x y x y +++-=交于,A B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆M 的圆心M 的轨迹方程，并求出圆M 的半径最小时圆M 的方程．4.已知圆C ：()2244x y ++=，圆D 的圆心D 在y 轴上，且与圆C 外切，圆D 与y 轴交于两点,A B ，点P 为(3,0)-，⑴ 若点D 的坐标为(0,3)，求APB ∠的正切值． ⑵ 当点D 在y 轴上运动时，求APB ∠的最大值．5.已知P 是直线1y x =+上一点，M ，N 分别是圆()()221331C x y -++=∶与圆()()222441C x y ++-=∶上的点则PM PN -的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16.求与圆()22549A x y ++=∶和圆()2251B x y -+=∶都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为．7.两圆相交于点(13)A ，、(1)B m -，，两圆的圆心均在直线0x y c -+=上，则m c +的值为（ ）A ．1-B ．2C ．3D ．0圆的规划问题1.如果实数x 、y 满足22(2)3x y -+=，则yx 的最大值为（ ） A ．12BCD【答案】D ；2.若集合3cos ()(0π)3sin x M x y y θθθ⎧=⎧⎫⎪=<<⎨⎨⎬=⎩⎭⎪⎩，，集合{}()|N x y y x b ==+，且MN ∅≠，则b 的取值围为______________．【答案】3b -<≤3.试求圆2cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到点(3,4)A 距离的最大（小）值．【答案】最大值为7，最小值为4．4.已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 在圆22(3)(4)4x y -+-=上运动，则22PA PB +的最小值是．【答案】26．5.已知圆22:(2)1C x y ++=，(,)P x y 为圆上任一点，求21y x --的最大、最小值，求2x y -的最大、最小值．【答案】最大值为2-2-6.求函数sin 12cos 4x y x -=+的值域．【答案】2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7.设||1a ≤，,a b ∈R，求22()25)a b b -+-的最小值．【答案】6-8.实数,x y 满足221x y +=，求22x y u x y ++=-+的最大值与最小值．【答案】最大值为229.已知圆22(3)(4)1C x y -+-=：，(,)P x y 为圆C 上的动点，求22d x y =+的最大、最小值． 【答案】最大值为36，最小值为16．10.若220x y -+=，求函数2224u x y x y =+-+的最小值．【答案】245．11.设点(,)P x y 是圆221x y +=是任一点，求21y u x -=+的取值围． 【答案】34u -≤．12.已知对于圆22(1)1x y +-=上任一点(,)P x y ，不等式0x y m ++≥恒成立，数m 的取值围．【答案】1m ．13.实数x 、y 满足2286210x y x y +--+=，求yx的取值围．y x14.已知点(,)P x y 在圆22(1)1x y +-=上运动．⑴ 求12y x --的最大值与最小值； ⑵ 求2x y +的最大值与最小值． 【答案】⑴12y x --，最小值为⑵2x y +的最大值为11-．314x a +-的解集为[4,0]-，求a 的取值围．16.求函数y x =+【答案】[)31,2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．17.设90XOY ∠=︒，P 为XOY ∠一点，且1OP =，30XOP ∠=︒，过P 任意作一条直线分别交射线OX 、OY 于点M 、N ，求OM ON MN +-的最大值．【答案】021r =18.设90XOY ∠=︒，P 为XOY ∠一点，且1OP =，XOP θ∠=，过P 任意作一条直线分别交射线OX 、OY 于点M 、N ，求：⑴ OM ON MN +-的最大值m 与θ的函数关系式；⑵ 当θ在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦变化时，求m 的取值围．【答案】⑴求得2(sin cos m θθ=+-π4θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⑵)2,21⎡⎤⎣⎦19.已知实数x 、y 满足()2233x y -+=，则1yx -的最大值是．20.不论k 为何实数，直线1y kx =+与曲线2222240x y ax a a +-+--=恒有交点，则实数a 的取值围是．【答案】13a -≤≤21.如果实数x 、y 满足22(2)3x y -+=，则yx的最大值为．22.函数sin 2cos xy x=+的最大值为________，最小值为________．，最小值为． 23.若直线y x m =-与曲线y =m 的取值围是___________．【答案】(1]m ∈- 24.曲线1y =+(22)x -≤≤与直线(2)4y k x =-+有两个交点时，实数k 的取值围是．【答案】53124k <≤ 25.过点(1的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k =． 26.一束光线从点()11A -，发出，经x 轴反射到圆()()22231C x y -+-=∶上，其最短路程是（ ） A ．4B ．5 C．1 D．【答案】A27.若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值围是A．11⎡-+⎣， B．11⎡-+⎣ C．13⎡⎤-⎣⎦D．13⎡⎤⎣⎦ 【答案】C ；28.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值围是．【答案】()13,13-；直线与圆综合1.如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ）A ．AB B ．BC C ．CD D ．DA2.求半径为4，与圆224240x y x y +---=相切，且和直线0y =相切的圆的方程．3.据气象台预报：在A城正300km的海面B处有一台风中心，正以每小时40km的速度向西北方向移动，在距台风中心250km以的地区将受其影响．从现在起经过约h，台风将影响A城，持续时间约为h．（结果精确到0.1h）4.有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍．已知A、B两地距离为10千米，顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线、曲线外的居民应如何选择购货地点．5.设有半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇．设A、B两人速度一定，其速度比为3:1，问两人在何处相遇？6.已知：过点(0,1)A斜率为k的直线l与⊙C：22(2)(3)1x y-+-=相交与M、N两点．⑴数k的取值围；⑵求证：AM AN⋅为定值；⑶若O为坐标原点，且12OM ON⋅=，求k的值．专题一圆系问题的方程称为圆系方程。
直线与圆专题复习讲义
线 l 对称，则点 B 的坐标为
.
3. 已知直线 l：2x - 3y + 1 = 0，点 A( -1，-2)，则直线 l 关于点
·2·
再结合函数的单调性或基本不等式求解．
考点四 两条直线的位置关系
已知过点 A( -2，m) 和点 B(m,4) 的直线为 l1，直线 2x + y 1 = 0 为 l2，直线 x + ny + 1 = 0 为 l3. 若 l1 ∥ l2，l2 ⊥ l3，则实数 m + n 的值为
A. - 10
3．两种距离的求解思路 (1) 点到直线的距离的求法 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为 一般式． (2) 两平行线间的距离的求法 ①利用 “ 转化法 ” 将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意 一点到另一条直线的距离． ②利用两平行线间的距离公式 ( 利用公式前需把两平行线方程中 x，y
据斜率公式
k
=
y2-y1 x2 - x1
(x1
≠
x2)
求斜率．
考点二 直线的方程
根据所给条件求直线的方程：
1.
直线过点
(
-4,0)
，倾斜角的正弦值为
10 10
；
2. 经过点 P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；
设
3. 直线过点 (5,10)，到原点的距离为 5.
计
【方法技巧】
求直线方程的注意事项 ：
·3·
的系数化为相同的形式 )．
考点六 对称问题
1. 过点 P(0,1) 作直线 l 使它被直线 l1：2x + y - 8 = 0 和 l2：x 3y + 10 = 0 截 得 的 线 段 被 点 P 平 分 ，则 直 线 l 的 方 程 为 .
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圆的方程1．方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是 （ ）()A 2a <- ()B 203a -<<()C 20a -<< ()D 223a -<<2．求满足下列各条件圆的方程：（1）以)9,4(A ，)3,6(B 为直径的圆；（2）与,x y 轴均相切且过点(1,8)的圆； （3）求经过)2,5(A ，)2,3(-B 两点，圆心在直线32=-y x 上的圆的方程。
（4）过点P （2，－1），圆心在直线2x ＋y =0上，与直线x －y －1=0相切. 3．已知曲线22:2(410)10200C x y kx k y k ++++++=，其中1k ≠-； （1）求证：曲线C 都是圆，并且圆心在同一条直线上； （2）证明：曲线C 过定点；（3）若曲线C 与x 轴相切，求k 的值； 4．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0与x 轴切于原点，则有…………………………（ ）(A )F =0，DE ≠0 (B )E 2＋F 2=0，D ≠0 (C )D 2＋F 2=0，E ≠0 (D )D 2＋E 2=0，F ≠0 5、方程|x |－1=21y -表示的曲线是…………………………………………（ ）(A )一条直线 (B )两条射线 (C )两个圆 (D )两个半圆6．已知平面区域00240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩恰好被面积最小的圆222:()()C x a y b r -+-=及其内部所覆盖．(Ⅰ)试求圆C 的方程.(Ⅱ)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点,.A B 满足CA CB ⊥,求直线l 的方程. 解:(1)由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)O P Q 构成的三角形及其内部,且△OPQ 是直角三角形, ……………………………………………………3分 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),………………5分 所以圆C 的方程是22(2)(1)5x y -+-=. …………………………………………7分 (2)设直线l 的方程是:y x b =+. ……………………………………………………8分因为CA CB ⊥ ,所以圆心C 到直线l, ……………………………10分……………………………………………………12分 解得:1b =-±……………………………………………………13分 所以直线l 的方程是:1y x =-………………………………………………15分直线与圆相交1．直线y x m =-+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同交点，则m 的取值范围是（ ）()A 0m << ()B 1m <<()C 1m ≤≤()D m <2．若曲线1y =(22)x -≤≤与直线(2)4y k x =-+有两个交点时，则实数k 的取值范围是______。
3．已知直线:2830Lmx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=； （1）m R ∈时，证明L 与C 总相交。
（2）m 取何值时，L 被C 截得弦长最短，求此弦长。
4．已知x 2+y 2+8x －6y+21=0和直线y=mx 相交于P,Q 两点，求→PQ ·→OQ 的值 5．圆x 2+y 2-2axcos θ-2bysin θ-a 2sin 2θ=0在x 轴上截得的弦长为 ( )A. 2aB. 2aC.a 2D. 4a6．由点P(0,1)引圆x 2+y 2=4的割线l 7（O 为原点），求直线l 的方程。
7.已知圆满足：①截y 轴所得弦长为23∶1；③圆心到直线l ：x －2y=0*7.已知圆C 满足以下三个条件,求圆C 的方程（1997年高考题） ⑴截y 轴所得的弦长为2；⑵被x 轴分成的两段弧长之比为1：3； ⑶圆心到直线l ：x －2y=0的距离最小.8、若直线l ：x ＋2y －3=0与圆x 2＋y 2－2mx ＋m =0相交于P 、Q 两点并且OP ⊥OQ ，求实数m 之值.直线与圆相切1． 过⊙:x 2+y 2=2外一点P(4,2)向圆引切线，（1）求过点P 的圆的切线方程；(2）若切点为P 1,P 2，求过切点P 1,P 2的直线方程。
2．已知直线ax+by+c=0(abc ≠0)与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为c b a ,,的三角形( )A. 是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在3． “a =b ”是“直线222()()2y x x a y b =+-++=与圆相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件4．过点(2,3)P --作圆22:(4)(2)9C x y -+-=的两条切线，切点分别为,A B ；求： （1）经过圆心C ，切点,A B 这三点圆的方程；（2）直线AB 的方程；（3）线段AB的长。
*5、如果经过A （0，1）、B （4，m ）并且与x 轴相切的圆有且只有一个，求实数m 的值.6.已知圆x 2＋（y －1）2＝1的圆外一点P （－2，0），过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 ．7.已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为 ． 8.已知圆M ：22(2)1x y +-=，设点,B C 是直线l ：20x y -=上的两点，它们的横坐标分别是,4()t t t R +∈，点P 在线段BC 上，过P 点作圆M 的切线PA ，切点为A ．（1）若0t =，MP =PA 的方程；（2）经过,,A P M 三点的圆的圆心是D ，求线段DO 长的最小值()L t ． 解：（1）设(2,)(02).P a a a ≤≤(0,2),M MP =解得1a =或15a =-（舍去）.(2,1).P ∴由题意知切线P A 的斜率存在，设斜率为k .所以直线P A 的方程为1(2)y k x -=-，即210.kx y k --+=直线P A 与圆M 相切，1=，解得0k =或4.3k =-∴直线P A 的方程是1y =或43110.x y +-= （2）设(2,)(24).P a a t a t ≤≤+PA 与圆M 相切于点A ，.PA MA ∴⊥∴经过,,A P M 三点的圆的圆心D 是线段MP 的中点.(0,2),M D ∴ 的坐标是(,1).2aa +设222225524().()(1)1().24455aDO f a f a a a a a =∴=++=++=++当225t >-，即45t >-时，2min 5()()1;2162t tf a f t ==++ 当22252t t ≤-≤+，即24455t -≤≤-时，min 24()();55f a f =-= 当2225t +<-，即245t <-时 22min 515()(2)(2)(2)138242216t t t f a f t t =+=++++=++则45244()55245t L t t t >-=-≤≤-⎪<-.几何性质的应用1．圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是（ ） ()A 22(7)(1)1x y +++= ()B 22(7)(2)1x y +++=()C 22(6)(2)1x y +++= ()D 22(6)(2)1x y ++-= 2．设圆上的点(2,3)A 关于直线20x y +=的对称点仍在圆上，且与直线10x y -+=相交的弦长为3．设M 是圆22(5)(3)9x y -+-=上的点，则M 点到直线3420x y +-=的最短距离是 。
4．圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=的点共有 个。
变：求圆半径的范围。
5、实数x 、y 满足：x 2＋y 2－4x ＋1=0，求⑴xy 的最小值.⑵12+-x y 的值域.圆与圆的位置关系 1．已知圆221:2280C x y x y +++-= 与222:210240C x y x y +-+-= 相交于,A B两点，（1）求公共弦AB 所在的直线方程；（2）求圆心在直线y x =-上，且经过,A B 两点的圆的方程；（3）求经过,A B 两点且面积最小的圆的方程。
2、圆2222440,2120x y x y x y x ++-=++-=相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程是 .3．如图，已知圆心坐标为)1,3(M 的圆M 与x 轴及直线x y 3=均相切，切点分别为A 、B ，另一圆N 与圆M 、x 轴及直线x y 3=均相切，切点分别为C 、D ．（1）求圆M 和圆N 的方程；（2）过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．解：（1）由于⊙M 与∠BOA 的两边均相切，故M 到OA 及OB 的距离均为⊙M 的半径，则M 在∠BOA 的平分线上，同理，N 也在∠BOA 的平分线上，即O ，M ，N 三点共线，且OMN 为∠BOA的平分线，∵M 的坐标为)1,3(，∴M 到x 轴的距离为1，即⊙M 的半径为1， 则⊙M 的方程为1)1()3(22=-+-y x ，------------------------------------4分设⊙N 的半径为r ，其与x 轴的的切点为C ，连接MA 、MC ， 由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ：ON=MA ：NC ， 即313=⇒=+r rr r ， 则OC=33，则⊙N 的方程为9)3()33(22=-+-y x ；----------------8分 （2）由对称性可知，所求的弦长等于过A 点直线MN 的平行线被⊙N 截得的弦的长度，此弦的方程是)3(33-=x y ，即：033=--y x ， 圆心N 到该直线的距离d=23，--------------------- -------------------------11分 则弦长=33222=-d r ．----------------------------------------------------14分 另解：求得B （23,23），再得过B 与MN 平行的直线方程033=+-y x ，圆心N 到该直线的距离d '=23，则弦长=33222=-d r ． （也可以直接求A 点或B 点到直线MN 的距离，进而求得弦长）有关圆的轨迹问题1．若半径为1的动圆与圆224x y +=相切，则动圆圆心的轨迹方程是 。