湖北高三数学理科一轮总复习课件9.3圆的方程
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2022届新教材高考数学一轮复习9.3圆的方程课件
答案：B
角度3|距离型最值问题 [例5] 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大 值和最小值．
类题通法 求形如t＝(x－a)2＋(y－b)2的最值，可转化为圆上的点到定点的距 离的最值，即把(x－a)2＋(y－b)2看作是点(a，b)与圆上的点(x，y)连线 的距离的平方，利用数形结合法求解．
A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2 C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16
答案：B
类题通法
求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求 圆的方程有两种方法：
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方 程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心 三点共线；
类题通法
形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)， 要立足两点：①减少动点的个数；②“曲化直”，即折线段转化为同 一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
答案：A
[预测1] 核心素养——直观想象、数学运算 已知实数x，y满足(x＋2)2＋(y－3)2＝1，则|3x＋4y－26|的最小值 为________．
类题通法
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程． ④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足 的关系式．
巩固训练2：设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以 OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．
高三高考数学复习课件9-3圆的方程
(1)求M的轨迹方程； (2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
【解析】 (1)圆 C 的方程可化为 x2＋(y－4)2＝16，所以圆心 为 C(0，4)，半径为 4.
设 M(x，y)，则C→M＝(x，y－4)，M→P＝(2－x，2－y)． 由题设知C→M·M→P＝0，故 x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0， 即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是(x－1)2＋(y －3)2＝2.
跟踪训练 2 已知点 P(x，y)在圆 C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0 上，
(1)求yx的最大值和最小值； (2)求 x＋y 的最大值与最小值．
【解析】 (1)方程 x2＋y2－6x－6y＋14＝0 可变形为(x－3)2＋ (y－3)2＝4.
yx表示圆上的点 P 与原点连线的斜率，显然当 PO(O 为原点) 与圆相切时，斜率最大或最小，如图所示．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
1．方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆的充要条件的是
()
1 A.4<m<1
B．m<14或 m>1
C．m<41
D．m>1
【解析】 由(4m)2＋4－4×5m>0，得 m<14或 m>1.故选 B. 【答案】 B
2．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a
(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1，3)为圆心， 2为半径的 圆．由于|OP|＝|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在 圆 N 上，从而 ON⊥PM.
因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为－31， 故 l 的方程为 x＋3y－8＝0.
【解析】 (1)圆 C 的方程可化为 x2＋(y－4)2＝16，所以圆心 为 C(0，4)，半径为 4.
设 M(x，y)，则C→M＝(x，y－4)，M→P＝(2－x，2－y)． 由题设知C→M·M→P＝0，故 x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0， 即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是(x－1)2＋(y －3)2＝2.
跟踪训练 2 已知点 P(x，y)在圆 C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0 上，
(1)求yx的最大值和最小值； (2)求 x＋y 的最大值与最小值．
【解析】 (1)方程 x2＋y2－6x－6y＋14＝0 可变形为(x－3)2＋ (y－3)2＝4.
yx表示圆上的点 P 与原点连线的斜率，显然当 PO(O 为原点) 与圆相切时，斜率最大或最小，如图所示．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
1．方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆的充要条件的是
()
1 A.4<m<1
B．m<14或 m>1
C．m<41
D．m>1
【解析】 由(4m)2＋4－4×5m>0，得 m<14或 m>1.故选 B. 【答案】 B
2．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a
(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1，3)为圆心， 2为半径的 圆．由于|OP|＝|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在 圆 N 上，从而 ON⊥PM.
因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为－31， 故 l 的方程为 x＋3y－8＝0.
高中数学理科基础知识讲解《93圆的方程》教学课件
--
考点3
考向4 建立目标函数求最值问题例6设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,当|AB|取最小值时,切线l的方程为 . 思考如何借助圆的几何性质求有关线段长的最值?
x+y-2=0
--
考点3
考向5 利用对称性求最值问题例7(2019河北衡水联考,14)已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是 . 思考如何求解折线段和长的最值问题?
9.3 圆的方程
--
知识梳理
1.圆的定义及方程
定点
定长
(a,b)
r
--
知识梳理
2.点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点在圆上; (2)(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点在圆外; (3)(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点在圆内.
--
考点3
对点训练3(1)(2019湖南长沙模拟,14)已知圆(x+2)2+y2=1,则x-2y的最大值和最小值分别为 . (4)(2019安徽六安一中模拟,14)已知点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,则x2-4y的最小值为 .
-4
--
考点3
--
考点3
--
考点3
(3)因为动点P在直线a:x-2y-2=0上,动点Q在直线b:x-2y-6=0上,直线a:x-2y-2=0与直线b:x-2y-6=0互相平行,动点P在直线a上,动点Q在直线b上,所以PQ的中点M在与a,b平行,且到a,b的距离相等的直线上,设该直线为l,其方程为x-2y+m=0,
考点3
考向4 建立目标函数求最值问题例6设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,当|AB|取最小值时,切线l的方程为 . 思考如何借助圆的几何性质求有关线段长的最值?
x+y-2=0
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考点3
考向5 利用对称性求最值问题例7(2019河北衡水联考,14)已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是 . 思考如何求解折线段和长的最值问题?
9.3 圆的方程
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知识梳理
1.圆的定义及方程
定点
定长
(a,b)
r
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知识梳理
2.点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点在圆上; (2)(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点在圆外; (3)(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点在圆内.
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考点3
对点训练3(1)(2019湖南长沙模拟,14)已知圆(x+2)2+y2=1,则x-2y的最大值和最小值分别为 . (4)(2019安徽六安一中模拟,14)已知点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,则x2-4y的最小值为 .
-4
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考点3
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考点3
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考点3
(3)因为动点P在直线a:x-2y-2=0上,动点Q在直线b:x-2y-6=0上,直线a:x-2y-2=0与直线b:x-2y-6=0互相平行,动点P在直线a上,动点Q在直线b上,所以PQ的中点M在与a,b平行,且到a,b的距离相等的直线上,设该直线为l,其方程为x-2y+m=0,
高三数学一轮复习课件 第九章 9.3 圆的方程
即
|2k＋3| ＝1，解得
k2＋1
k＝－2＋2
3
3或
k＝－2－2
3
3，
∴yx的最大值为－2＋2
3
3，最小值为－2－2
3
3 .
2.在本例的条件下，求 x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值.
解 x2＋y2＋2x－4y＋5＝ x＋12＋y－22，求它的最值可视为求点(x，y) 到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离 与半径的和或差.又圆心到定点(－1,2)的距离为 34，
师生共研
题型二 与圆有关的轨迹问题
例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0).求： (1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解 设 M(x，y)，C(x0，y0)，因为 B(3,0)，M 是线段 BC 的中点，由中点坐标 公式得 x＝x0＋2 3，y＝y0＋2 0， 所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1. 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
该圆的标准方程是
√A.(x－2)2＋(y－1)2＝1
C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1
B.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 D.(x－3)2＋(y－1)2＝1
解析 由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a>0)，又圆与直
线4x－3y＝0相切，
|4a－3| ∴ 5 ＝1，解得
a＝2
或
a＝－21(舍去).
师生共研
(新高考题型版)高三高考数学一轮复习第9章第3讲 圆的方程课件(70张)
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2．求圆的方程，如果借助圆的几何性质，能使解题思路简化减少计算量，常用的几
何性质有：
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(2,3)，3
B．(－2,3)， 3
C．(－2，－3)，13
D．(2，－3)， 13
解析 圆x2＋y2－4x＋6y＝0化成标准形式为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆
心坐标为(2，－3)，半径r＝ 13.故选D.
解析 答案
2．已知A(1,0)，B(0,3)，则以AB为直径的圆的方程是( ) A．x2＋y2－x－3y＝0 B．x2＋y2＋x＋3y＝0 C．x2＋y2＋x－3y＝0 D．x2＋y2－x＋3y＝0
答案 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0 解析 解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意 得
2－a2＋－3－b2＝r2， －2－a2＋－5－b2＝r2， a－2b－3＝0，
a＝－1， 解得b＝－2，
r2＝10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
2 1
＝16得y1
＝0，故D正确．
解析
多角度探究突破
考向三 与圆有关的最值问题
角度 借助几何性质求最值
例3 (1)(2020·北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最
小值为( )
A．4
B．5
高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第三节圆的方程课件
|1-|
则 ≤3,解得
√2
1-3√2≤u≤1+3√2,所以 x-y 的最大值为 1+3√2.
= 2 + 3cos,
(方法 2)由 x +y -4x-2y-4=0,得(x-2) +(y-1) =9,令
0≤θ<2π,
= 1 + 3sin,
2
2
所以 x-y=1+3cos θ-3sin
1+3√2.故选 C.
x2+y2=16.故选 B.
(2)(方法 1)
设 P(x,y).
∵圆心 C(1,1),点 P 是过 A 的弦的中点,∴ ⊥ .
又=(2-x,3-y), =(1-x,1-y),
(-8)2 + 2 ,化简整理得
∴(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0.
∴P 点的轨迹方程为
解析 由题意可设圆心坐标为(a,a),则圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=9,
且|a|=r=3,得a=±3.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=9或(x+3)2+(y+3)2=9.
增素能 精准突破
考点一
求圆的方程
典例突破
例1.(1)以直线ax-y-3-a=0(a∈R)过的定点为圆心,2为半径的圆的方程是
所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=16.
故选D.
= √2,解得 a=6 或 a=2,
方法总结求圆的方程的两种方法
对点训练1(1)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程
则 ≤3,解得
√2
1-3√2≤u≤1+3√2,所以 x-y 的最大值为 1+3√2.
= 2 + 3cos,
(方法 2)由 x +y -4x-2y-4=0,得(x-2) +(y-1) =9,令
0≤θ<2π,
= 1 + 3sin,
2
2
所以 x-y=1+3cos θ-3sin
1+3√2.故选 C.
x2+y2=16.故选 B.
(2)(方法 1)
设 P(x,y).
∵圆心 C(1,1),点 P 是过 A 的弦的中点,∴ ⊥ .
又=(2-x,3-y), =(1-x,1-y),
(-8)2 + 2 ,化简整理得
∴(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0.
∴P 点的轨迹方程为
解析 由题意可设圆心坐标为(a,a),则圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=9,
且|a|=r=3,得a=±3.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=9或(x+3)2+(y+3)2=9.
增素能 精准突破
考点一
求圆的方程
典例突破
例1.(1)以直线ax-y-3-a=0(a∈R)过的定点为圆心,2为半径的圆的方程是
所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=16.
故选D.
= √2,解得 a=6 或 a=2,
方法总结求圆的方程的两种方法
对点训练1(1)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程
高三数学一轮复习第九章平面解析几何第三节圆的方程课件理
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
方法技巧 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同采用以下方法:(1)直接 法:直接根据题设给定的条件列出方程;(2)定义法:根据圆的定义列方程; (3)几何法:利用圆的几何性质列方程;(4)代入法:找出要求的点与已知点 的关系,代入已知点满足的关系式,从而得出方程.
3-1 已知定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,点O是坐标原点,以
解析 易知|PA|的最小值=|PC|的最小值-圆的半径.由例题知圆心C与点 P的最小距离为3.又因为圆x2+y2-2x-2y+1=0的半径为1,所以|PA|的最小 值为3-1=2.
变式2-2 在本例(2)的条件下,求y-x的最大值和最小值.
解析 y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,
纵截距b取得最大值或最小值,此时 | 2 =0 ,解b |得b3=-2± .
6
2
所以y-x的最大值为-2+ 6,最小值为-2- . 6
变式2-3 在本例(2)的条件下,求x2+y2的最大值和最小值. 解析 x2+y2表示圆上的点与原点的距离的平方,由平面几何知识知,在 原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. 又圆心到原点的距离为 (=22,0)2(00)2 所以x2+y2的最大值是(2+ 3)2=7+4 , 3 x2+y2的最小值是(2- 3)2=7-4 .3
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
方法技巧 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同采用以下方法:(1)直接 法:直接根据题设给定的条件列出方程;(2)定义法:根据圆的定义列方程; (3)几何法:利用圆的几何性质列方程;(4)代入法:找出要求的点与已知点 的关系,代入已知点满足的关系式,从而得出方程.
3-1 已知定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,点O是坐标原点,以
解析 易知|PA|的最小值=|PC|的最小值-圆的半径.由例题知圆心C与点 P的最小距离为3.又因为圆x2+y2-2x-2y+1=0的半径为1,所以|PA|的最小 值为3-1=2.
变式2-2 在本例(2)的条件下,求y-x的最大值和最小值.
解析 y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,
纵截距b取得最大值或最小值,此时 | 2 =0 ,解b |得b3=-2± .
6
2
所以y-x的最大值为-2+ 6,最小值为-2- . 6
变式2-3 在本例(2)的条件下,求x2+y2的最大值和最小值. 解析 x2+y2表示圆上的点与原点的距离的平方,由平面几何知识知,在 原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. 又圆心到原点的距离为 (=22,0)2(00)2 所以x2+y2的最大值是(2+ 3)2=7+4 , 3 x2+y2的最小值是(2- 3)2=7-4 .3
高考数学(理)一轮资源库 第九章 9.3圆的方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
题型一
求圆的方程
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 根据下列条件，求圆
的方程：
解 (1)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋ Ey＋F＝0，
(1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)
将 P、Q 两点的坐标分别代入得
两点，并且在 x 轴上截得的弦 2D－4E－F＝20，
①
长等于 6；
3D－E＋F＝－10.
4.圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 D2＋E2－4F>0 ，
其中圆心为 －D2 ，－E2，半径 r＝
D2＋E2－4F 2
.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
5.确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为
的方程：
(1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)
两点，并且在 x 轴上截得的弦
长等于 6；
(2)圆心在直线 y＝－4x 上，且
与直线 l：x＋y－1＝0 相切于
点 P(3，－2).
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
求圆的方程
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 根据下列条件，求圆
|x30－＋xy020－2＋1|＝－r2，－y02＝r2，
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
求圆的方程
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 根据下列条件，求圆
的方程： (1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)
题型一
求圆的方程
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 根据下列条件，求圆
的方程：
解 (1)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋ Ey＋F＝0，
(1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)
将 P、Q 两点的坐标分别代入得
两点，并且在 x 轴上截得的弦 2D－4E－F＝20，
①
长等于 6；
3D－E＋F＝－10.
4.圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 D2＋E2－4F>0 ，
其中圆心为 －D2 ，－E2，半径 r＝
D2＋E2－4F 2
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基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
5.确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为
的方程：
(1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)
两点，并且在 x 轴上截得的弦
长等于 6；
(2)圆心在直线 y＝－4x 上，且
与直线 l：x＋y－1＝0 相切于
点 P(3，－2).
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
求圆的方程
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 根据下列条件，求圆
|x30－＋xy020－2＋1|＝－r2，－y02＝r2，
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
求圆的方程
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 根据下列条件，求圆
的方程： (1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)
湖北高三数学文科一轮总复习课件9.3圆的方程
������ 2
������2 + ������ 2 -4F
基础梳理
自我检测
考点基础
基础梳理
1
2
3
2.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点 M(x0,y0) (1)点 M 在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2; (2)点 M 在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2>r2; (3)点 M 在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2<r2.
1 2 1 2
)
B.m<10 D.m≤
1 2
C.m>
答案:A 解析:若方程表示圆,则必须满足 12+12-4m>0, 故 m< .
1 2
基础梳理
自我检测
7
考点基础
自我检测
1
2
3
4-5
3.若点 P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1 的内部,则实数 a 的取值范围是( A.{a||a|<1} C. a |a| < 答案:D 解析:当点 P 在圆的内部时,点 P 到圆心的距离小于该圆的半径,即有 (5a)2+(12a)2<1⇒ a2<
1 2
D2 + E 2 -4F =
1 2
16 + 36 + 12=4.
方法二:方程配方后可化为(x+2)2+(y-3)2=16, 所以圆心坐标为 (-2,3),半径为 4.
基础梳理
自我检测
考点基础
自我检测
1
2
3
4-5
2.若方程 x2+y2-x+y+m=0 表示圆,则实数 m 的取值范围是( A.m<
高考数学一轮总复习 9.3 圆的方程精品课件 理 新人教版
考点一 考点二 考点三
探究突破
-14-
举一反三 1 圆心在抛物线 x2=2y(x>0)上,并且与抛物线的准线及 y 轴
都相切的圆的方程是(
)
A.x2+y2-x-2y+1=0
B.x2+y2-2x-y+1=0
设圆C心.x坐2+标y2为-x-2������y0+, ���2���1402=0(x0>0),∵抛物线 x2=2y 的准线方程为 y=-12,
叫做
梳理自测
-4-
3.圆的一般方程 对于方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,
(1)当
D2+E2-4F>0
时,表示圆心为
-
������ 2
,-
������ 2
,半径长为
1 2
������2 + ������2-4F的圆;
(2)当
D2+E2-4F=0
时,表示一个点
-
������ 2
,-
������ 2
|������|-1 ≥ 0.
故原方程表示两个半圆.
D
-9-
关闭
关闭
解析 答案
梳理自测
-10-
4.圆心在原点且与直线 x+y-2=0 相切的圆的方程为 .
设圆的方程为 x2+y2=a2(a>0),由 |1-2+|1=a,∴a= 2. ∴x2+y2=2. x2+y2=2
关闭
关闭
解析 答案
梳理自测
5.圆 C:x2+y2-2x-4y+4=0 的圆心到直线 3x+4y+4=0 的距离 d=
高考数学一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程课件理新人教A版
[典题 6] 设定点 M(－3,4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动， 以 OM，ON 为邻边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹．
[解] 如图所示，设 P(x，y)，N(x0，y0)，
则线段 OP 的中点坐标为x2，2y， 线段 MN 的中点坐标为x0－ 2 3，y0＋ 2 4.
[点石成金] 求解与圆有关的最值问题的两大规律 (1)借助几何性质求最值 处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根 据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解． (2)建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根 据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不 等式求最值是比较常用的．
所以所求圆的圆心坐标为(2,1)，半径 r＝12|AB|＝12 42＋22＝ 5，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
2．求圆的一般方程：待定系数法．
△ABC 的三个顶点分别为 A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)， 其外接圆的方程为____x_2_＋__y_2－ __4_x_－ __2_y_－ __2_0_＝ __0_____．
经检验都满足题意，所以 a＝0 或 1.
[典题 1] (1)求经过点 P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦长等于 6 的圆的方程．
[解] 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞ 0)，
将 P，Q 两点的坐标分别代入得
2D－4E－F＝20，① 3D－E＋F＝－10.② 又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.③
考点 3 与圆有关的轨迹问题
(1)[教材习题改编]已知点 P 与两个定点 O(0,0)，A(－3,3)的 距离之比为12，则点 P 的轨迹方程是___x_2＋ __y_2_－__2_x_＋__2_y－ __6_＝ __0___．
2025年高考数学一轮复习-9.3-圆的方程【课件】
4.(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程
2+(y+1)2=5
(x-1)
为__________________.
【命题意图】本题主要考查求圆的标准方程的方法,关键是确定圆心和半径.
【解析】因为点M在直线2x+y-1=0上,所以设点M为(a,1-2a),
(2)没有xy项;(3)D2+E2-4F>0.
2.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:
2+(y -b)2>r2
(x
-a)
0
0
(1)若M(x0,y0)在圆外,则________________.
2+(y -b)2=r2
(x
-a)
0
0
(2)若M(x0,y0)在圆上,则________________.
第九章
直线与圆、圆锥曲线
第三节
圆的方程
必备知识·逐点夯实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.掌握圆的标准方程的特征,能根据所给条件求圆的标准方程.
2.掌握圆的一般方程,能对圆的一般方程与标准方程进行互化,了解二元二次方程表
示圆的条件.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
圆的方程高考一般不单独考查,它常与直线、平面向量及圆锥曲
考点一 求圆的方程
[例1](1)(一题多法)过点A(1,-1)与B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程
为(
)
A.(x-3)2+(y+1)2=4
9.3圆的方程-2021届高三数学一轮复习考点突破课件(共34张PPT)
评析 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略： ①与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离 的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解. ②与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法. (i)形如 u＝yx－－ba型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直 线的斜率的最值问题； (ii)形如 t＝ax＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问 题； (iii)形如(x－a)2＋(y－b)2 型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b) 的距离的平方的最值问题.
为中点的弦长为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解：依题意可知，直线过圆心(1，－2)，即 3＋4a－11＝0， a＝2.故(a2，－a2)＝(1，－1)．
圆 C 的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，(1，－1)与圆心距
离为 1，故弦长为 2 5－1＝4.故选 D.
4.在平面直角坐标系中，三点 O(0，0)，A(2，4)，
变式 1 (1)对于 a∈R，直线(1－a)x＋y＋2a－1＝0 恒过 定点 P，则以 P 为圆心，2 为半径的圆的方程是( )
A.x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 B.x2＋y2－4x＋2y＋3＝0 C.x2＋y2＋4x－2y＋1＝0 D.x2＋y2＋4x－2y＋3＝0
解：由条件知(1－a)x＋y＋2a－1＝0，可以整理为 x＋y－1＋ (2－x)a＝0，故直线过定点 P(2，－1)，所求圆的方程为(x－2)2＋ (y＋1)2＝4，化为一般方程为 x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.故选 A.
(2)一个圆经过椭圆1x62 ＋y42＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的
正半轴上，则该圆的标准方程为
.
解：由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0)．
高三数学一轮总复习第九章平面解析几何第三节圆的方程课件理ppt版本
第三节 圆的方程
1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心：(a，b)，半径： r 方程
一般 方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， (D2＋E2－4F＞0)
圆心： －D2 ，－E2 ，
半径： 1 2
D2＋E2－4F
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 . (2)若M(x0，y0)在圆上，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 . (3)若M(x0，y0)在圆内，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 .
∴r2＝3，
[由题悟法] 与圆有关的轨迹问题的 4 种求法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程． (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点 满足的关系式等．
[即时应用] 经过点A(4,0)作圆O：x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC 的中点P的轨迹方程．
解：法一：(直接法)设点 P 的坐标为(x，y)，连结 OP.
当 x≠法0二时：，(定OP义，法AP)取所O在A直的线中的点斜为率M均，存则在点，M的坐
则 又
kOO标 由 PP⊥＝为 圆xBy的，(C2，,k定0A)∴P，义＝k且，xO－ PPy知·kM4A点.P＝＝P12－的O1A轨，＝迹即2方.yx·x程－y是4＝(x－－12，)2＋y2＝
考点三 与圆有关的轨迹问题重点保分型考点——师生共研
[典例引领] 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段 长为2 2，在y轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P的轨迹方程； (2)若P点到直线y＝x的距离为 22，求圆P的方程．
1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心：(a，b)，半径： r 方程
一般 方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， (D2＋E2－4F＞0)
圆心： －D2 ，－E2 ，
半径： 1 2
D2＋E2－4F
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 . (2)若M(x0，y0)在圆上，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 . (3)若M(x0，y0)在圆内，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 .
∴r2＝3，
[由题悟法] 与圆有关的轨迹问题的 4 种求法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程． (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点 满足的关系式等．
[即时应用] 经过点A(4,0)作圆O：x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC 的中点P的轨迹方程．
解：法一：(直接法)设点 P 的坐标为(x，y)，连结 OP.
当 x≠法0二时：，(定OP义，法AP)取所O在A直的线中的点斜为率M均，存则在点，M的坐
则 又
kOO标 由 PP⊥＝为 圆xBy的，(C2，,k定0A)∴P，义＝k且，xO－ PPy知·kM4A点.P＝＝P12－的O1A轨，＝迹即2方.yx·x程－y是4＝(x－－12，)2＋y2＝
考点三 与圆有关的轨迹问题重点保分型考点——师生共研
[典例引领] 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段 长为2 2，在y轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P的轨迹方程； (2)若P点到直线y＝x的距离为 22，求圆P的方程．
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基础梳理
自我检测
考点基础
自我检测
1
2
3
4-5
1.圆 x2+y2+4x-6y-3=0 的圆心和半径分别为( A.(4,-6),16 C.(-2,3),4 答案:C B.(2,-3),4 D.(2,-3),16
D 2 E 2
)
解析:方法一:设圆心坐标为(a,b),则 a=- =-2,b=- =3,即圆心为 (-2,3),r=
考点基础
基础梳理
1
2
3
1.圆的定义及方程
定义 标准 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 (x-a)2+(y-b)2 =r2(r>0) 圆心 C(a,b) 半径为 r 充要条件:D2+E2-4F>0 方程 一般 x +y +Dx+ Ey+F=0 半径 r=
1 2
2 2
圆心坐标: - ,2
������
������ 2
������2 + ������ 2 -4F
基础梳理
自我检测
考点基础
基础.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点 M(x0,y0) (1)点 M 在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2; (2)点 M 在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2>r2; (3)点 M 在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2<r2.
1
2⇒ |a|< .
)
B. a |a| <
1 12
1 5 1 13
D. a |a| <
13
1 13
基础梳理
自我检测
考点基础
自我检测
1
2
3
4-5
4.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A.x2+(y-2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 答案:A B.x2+(y+2)2=1 D.x2+(y-3)2=1
题型一 题型二 题型三 解题策略
重点难点
题型一
求圆的方程
例1
点拨提示
迁移训练1
(2)方法一:如图,设圆心为(x0,-4x0),依题意得 则 x0=1,即圆心坐标为(1,-4),半径 r=2 2. 故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 方法二:设所求方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2, y0 = -4x0 , 2 2 ( 3 x ) + (2 y ) = r2, 0 0 根据已知条件得 x 0 = 1, 解得 y0 = -4, r = 2 2. 因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
1 2 1 2
)
B.m<10 D.m≤
1 2
C.m>
答案:A 解析:若方程表示圆,则必须满足 12+12-4m>0, 故 m< .
1 2
基础梳理
自我检测
7
考点基础
自我检测
1
2
3
4-5
3.若点 P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1 的内部,则实数 a 的取值范围是( A.{a||a|<1} C. a |a| < 答案:D 解析:当点 P 在圆的内部时,点 P 到圆心的距离小于该圆的半径,即有 (5a)2+(12a)2<1⇒ a2<
题型一 题型二 题型三 解题策略
4x0 -2 =1, 3-x0
|x0 +y0 -1| 2
= r,
11
重点难点
题型一
求圆的方程
例1
点拨提示
迁移训练1
求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有 两种方法:①几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.②代数法,即设出 圆的方程,用待定系数法求解.
基础梳理 自我检测
重点难点
题型一
求圆的方程
例1
点拨提示
迁移训练1
根据下列条件,求圆的方程: (1)经过 P(-2,4),Q(3,-1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6; (2)圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2). 思路分析：(1)设圆的一般方程,利用待定系数法求解. (2)求圆心和半径,确定圆的标准方程. 解:(1)设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 2D-4E-F = 20, ① 将 P,Q 点的坐标分别代入得 3D-E + F = -10. ② 又令 y=0,得 x2+Dx+F=0.③ 设 x1,x2 是方程③的两根,由|x1-x2|=6 有 D2-4F=36,④ 由①、②、④解得 D=-2,E=-4,F=-8,或 D=-6,E=-8,F=0. 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-8=0,或 x2+y2-6x-8y=0.
基础梳理
自我检测
考点基础
基础梳理
1
2
3
3.确定圆的方程的方法和步骤 求圆的方程常用待定系数法 ,其步骤为: (1)根据题意选择标准方程或一般方程 ; (2)根据题设条件列出关于 a,b,r 或 D,E,F 的方程组; (3)由方程组求出待定的系数 ,代入所设的圆的方程.
温馨提示
确定圆的方程必须有三个独立条件 不论是圆的标准方程还是一般方程 ,都有三个字母(a,b,r 或 D,E,F)的值需要 确定,因此需要三个独立的条件 .利用待定系数法得到关于 a,b,r 或 D,E,F 的三个 方程组成的方程组,解之得到待定字母系数的值 .
第3讲 圆的方程
考纲考向
考纲展示 掌握确定圆的几何 要素 , 掌握圆的标准 方程与一般方程 .
命题分析 1.求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标、半径是高考 的热点,多与直线相结合命题,着重考查待定系数法求圆 的方程,同时注意方程思想和数形结合思想的运用. 2.多以选择题、填空题的形式出现,属中、低档题.
)
解析:设圆心坐标为(0,b),则由题意知 (0-1)2 + (b-2)2 =1,解得 b=2. 故所求圆的方程为 x2+(y-2)2=1. 5.若圆 x2+y2-2x+6y+5a=0 关于直线 y=x+2b 成轴对称图形,则 a-b 的取值范 围是 答案:(-∞,4) .
解析:由题意得圆心(1,-3),且(-2)2+62-4× 5a>0,即 a<2. 由圆心在直线上,可得 b=-2.故 a-b<4.
1 2
D2 + E 2 -4F =
1 2
16 + 36 + 12=4.
方法二:方程配方后可化为(x+2)2+(y-3)2=16, 所以圆心坐标为 (-2,3),半径为 4.
基础梳理
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考点基础
自我检测
1
2
3
4-5
2.若方程 x2+y2-x+y+m=0 表示圆,则实数 m 的取值范围是( A.m<