12 掌握用库仑定律和电场叠加原理计算点电荷、点电荷系 …

一、库仑定律 1、内容：相对于惯性参考系，自由空间（真空）中两个静止点电荷的之间的作用力（斥 力或吸力，统称库仑力）与这两个点电荷的电量的乘积成正比，与它们之间 距离的平方成反比，作用力的方向沿着这两个点电荷的连线。
ur qq r F 21 = k 1 2 2 er 21 r21 2、数学表达式： ；
ur
在上一章中我们知道电场对电荷有力的作用，那么，当电荷在电场中移动时，电场力就 要对电荷做功， 根据功能关系， 可知能量和电场有关系， 本章就介绍和静电场相联系的能量 。
§5.8 静电场的保守性
一、静电力做功的特点 1、点电荷： 点电荷 q 固定，电荷
q0 在点电荷 q 的电场中沿任一路径从 P 1 点运动到 P 2 点，则该过
Φe =
∫
S
ur u r E • dS = 0
；
若曲面内有多个点电荷，则由电场的叠加原理可知： E = E1 + E 2 + LL+ E 2 ，
ur
ur
ur
ur
Φe =
则
∫
ur u r E • d S = S
∫
ur u r E • d S + S
1
∫
ur u r E • d S + LL+ S
2
∫
§5.1 电荷
1、电荷：
a 、电荷是物质的一种属性； b 、电荷的种类：正电荷和负电荷； c 、电荷的性质：同种电荷相互排斥、异种电荷相互吸引； d 、电量：带电体所带电荷的多少，用 Q 或 q 表示， SI 单位为：库仑， C
2、起电的方法：
a 、摩擦起电：电荷从一个物体转移到另一个物体上； b 、感应起电：电荷在一个物体上移动；
a 、当 0 ≤ θ ≤ π / 2 时， d Φ e ≥ 0 ； b 、当 π / 2 < θ ≤ π 时， d Φ e < 0 c 、开曲面的电通量：
ur u r Φe = ∫ dΦe = ∫ E • d S
S
d 、封闭曲面的电通量：
Φe =
∫
S
ur u r E • dS
，曲面的法向正方向为由曲面内指向外。
Φe =
2、数学表达式：
ur u r 1 E • d S = ∑ qint ∫S ε0 ； ur E=
3、证明：以静止的点电荷产生的场强为例：
在点电荷的周围取一球面 S 包围点电荷 q ，则该点电荷产生的场强为
q r er 4πε 0 r 2 ，
Φe =
其方向沿球面的径向，从而
'
∫
S
ur u r E • dS =
3、如果库仑定律无平方反比关系，则得不到高斯定律； 区别：1、库仑定律只适用于静电场； 2、高斯定律除适用于静止电荷和静电场外，还是用于运动电荷产生的电场和迅速变 化的电磁场；
§5.7 利用高斯定律求静电场的分布
当电荷分布具有某种对称性时，则电场分布也具有某种对称性，这是可用高斯定律求解 电场 E 的分布。 解题步骤：1、根据电荷分布的对称性，分析电场分布的对称性； 2、选取合适的高斯面，利用高斯定律求解； 选取高斯面的原则：1、要求电场具有高度的对称性； 2、高斯面要经过所研究的场点； 3、高斯面应选取规则形状； 4、高斯面的各点场强大小相等，方向与高斯面的法相一致；或高斯面 上各点的场强大小不等，但场强的方向与高斯面的法相垂直；
−19
C；
4、电荷守恒定律：如果没有净电荷出入系统边界，则该系统的正、负电荷的电量的代数和 将保持不变。 5、电荷的相对论不变性：一个带电体的电量与其运动状态无关。即在不同的参考系中观察， 同一带电体的电量不变。
§5.2 库仑定律与叠加原理
库仑简介： 1806 年 8 月23 库仑——法国工程师、物理学家。 1736 年 6 月 14 日生于法国昂古莱姆， 日在巴黎逝世。早年就读于美西也尔工程学校。离开学校后，进入皇家军事工程队当工程 师。法国大革命时期，库仑辞去一切职务，到布卢瓦致力于科学研究。法皇执政统治期间， 回到巴黎成为新建的研究院成员。1773 年发表有关材料强度的论文，所提出的计算物体上 应力和应变分布情况的方法沿用到现在，是结构工程的理论基础。1777 年开始研究静电和 磁力问题。当时法国科学院悬赏征求改良航海指南针中的磁针问题。库仑认为磁针支架在 轴上，必然会带来摩擦，提出用细头发丝或丝线悬挂磁针。研究中发现线扭转时的扭力和 针转过的角度成比例关系，从而可利用这种装置测出静电力和磁力的大小，这导致他发明 扭秤。1779 年对摩擦力进行分析，提出有关润滑剂的科学理论。还设计出水下作业法，类 —1789 年，用扭秤测量静电力和磁力，导出著名的库仑定律。 似现代的沉箱。1785 1785—
∫
S
q q q dS = 4π r 2 = 2 2 4πε 0 r 4πε0 r ε0 ，
'
任选一曲面 S 包围点电荷 q ，由电场线的连续性可知，通过球面 S 和曲面 S 的电场线 的条数相等，故其电通量也相等，都是
q / ε0 ；
若曲面不包围点电荷 q ，则电场线从一个侧面进入，又从另一个侧面穿出，故曲面内 的静电场线为零，即
a 、物理学和地磁学中，关于静电学、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、
质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究；
b 、利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学； c 、天文学和大地测量学中，如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等； d 、结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高
斯误差曲线。此外，在纯数学方面，对数论、代数、几何学的若干基本定理作出严格 证明； 在 CGS 电磁系单位制（ emu）中磁感应强度的单位定为高斯（1932 年以前曾经用高斯 作为磁场强度单位） ，便是为了纪念高斯在电磁学上的卓越贡献。
一、高斯定律 1、内容：在真空中的静电场，通过任意封闭区面的电通量等于该封闭区面所包围的电 荷的电量的代数和的 1/ ε 0 倍。
c 、空间的两条电力线不可能相交； d 、电力线起始于正电荷、终止于负电荷，即电力线有头有尾，不是闭合曲线，在没
有电荷的地方，电力线不可能终止；
e 、沿着电力线的方向就是电势降低的方向；
2、电通量：通过某一曲面的电力线的条数就叫做通过该曲面的电通量。
ur u r d Φ = EdS = EdS cos θ ⇒ d Φ = E • d S e e 表达式：
3、表达式：
n uu ur ur ur r F = F 1 + F 2 + LL + ∑ Fi i =1
ur n q0 qi uuu r F =∑ e r 0 i 2 i =1 4πε 0 r0 i ；即：
§5.3 电场和电场强度
电荷 电场
一、电场的物质性：电场具有动量、能量、质量； 1、电场对放入其中的带电体有力的作用； 2、当带电体在电场中移动时，电场力对带电体做功，则电场具有能量； 3、变化的电场以光速向空间传播，表明电场具有动量；
9 2 2 r 比例系数 k ≈ 9 ×10 N • m / C ， 21 ：两电荷之间的距离；
r ur e r 21 ：从电荷 q1 指向电荷 q2 的单位矢量； F 21 ：电荷 q2 受电荷 q1 的作用力； ur qq r F 21 = 1 2 2 er 21 4πε 0 r21 等价表达式： ，
ur r q < 0 时， E 与 r 反向，即在负电荷的周围； ur n E=∑
i =1
2、点电荷系的电场：
qi r eri 4πε 0 ri 2 ；
ur dE = ur ur dq r dq r e ⇒ E = d E = r ∫ ∫ 4πε0r 2 er 4πε 0 r 2 ；
3、电荷连续分布的带电体的电场：
电荷线分布时： dq = λdl ；电荷面分布时： dq = σ dS ；电荷体分布是： dq = ρ dV ；
§5.5 电场线和电通量
1、电力线：为形象描绘静电场而引入的一组空间曲线；
a 、曲线上某点的切线方向为该点的场强方向； b 、曲线的疏密表示场强的大小；
电场中某点场强的大小等于该点处的电力线的数密度， 即该点附近垂直于电场方向的单 位面积上所通过的电场线的条数。 E = dφe / dS
ur
Φ e = 0 ，不一定封闭曲面内无电荷，可能电荷的代数和等于零； Φ e = 0 ，不一定高斯面各点的场强为零；
4、由高斯定律说明静电场是有源场，即静电场是由电荷产生的；
三、高斯定律与库仑定律的联系与区别 联系：1、高斯定律是由库仑定律导出来的；
2 2、高斯定律反映了库仑定律的平方反比关系，即 F ∝ 1/ r ；
ur u r E • d S S
n
= Φ e1 + Φ e 2 + LL + Φ en = ∑ q int / ε 0
二、注意几点 1、高斯定律中 E 是曲面上各点的场强，由空间所有电荷（曲面内的和曲面外的电荷） 产生场强的叠加； 2、所选得高斯面为封闭曲面； 3、通过封闭曲面的总电通量只由该曲面所包围的电荷决定，与封闭曲面外的电荷无关；
封闭曲面的电通量就是净穿出封闭曲面的电力线的条数。
§5.6 高斯定律
高斯简介： 高斯（Carl Friedrich Gauss 1777-1855） 德国数学家和物理学家。1777 年 4 月 30 99 日生于德国布伦瑞克， 幼时家境贫困， 聪敏异常， 受一贵族资助才进学校受教育。 1795-17 1795-1799
其中
ε0 =
1 = 8.85 × 10−12 C 2 /( N • m2 ) 4π k ——真空电容率（真空介电常数）
3、适用条件：
a 、真空；
例题：见书 二、电力的叠加原理
b 、静止的点电荷；
1、力的独立性原理：两个点电荷之间的作用力并不因第三个点电荷的存在而有所改变。 2、力的叠加原理：两个或两个以上的点电荷对一个点电荷的作用力等于各个点电荷单 独存在时对该点电荷的作用力的矢量和。
二、电场强度的定义：
ur ur ur E = F / q0 ，电场强度 E 是描述电场性质的物理量； q0 ：检验电荷； 1、定义式：
2、注意几点：
a 、电场强度与检验电荷无关，只与场源电荷和场点的位置有关； b 、检验电荷的电量和线度要很小； c 、电场强度的方向与放入其中的正电荷所受的电场力的方向相同； d 、电场强度的国际制单位为：牛/库， N / C ；或伏/米， V / m ；
第五章
静电场
学习要点： 1、了解静电现象和电荷量子化的概念； 2、掌握用库仑定律和电场叠加原理计算点电荷、点电荷系和几何形 状简单的带电体形成的电场； 3、掌握电通量的概念，理解并能应用高斯定理计算电荷均匀分布的 带电系统的电场强度； 4、了解静电场做功的特点，即静电场的保守性； 5、掌握静电环路定理； 6、掌握电势和电势差的定义以及电势叠加原理，理解电势与场强的 微分关系，能计算一些简单问题中的电势； 7、理解电荷在外电场中的静电势能，电荷系的静电势能以及静电场 的能量；
年在哥廷根大学学习， 1799 年获博士学位。1833 年和物理学家 W.E. 韦伯共同建立地磁观测 台，组织磁学学会以联系全世界的地磁台站网。1855 年 2 月 23 日在哥廷根逝世。 高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研究，著 述丰富，成就甚多。他一生中共发表 323 篇（种）著作，提出 404 项科学创见（发表 178 项） ，在各领域的主要成就有：
4 14 17 1 c 、原子核反应： 2 He + 7 N → 8 O + 1 H ；
3、电荷的量子性：物体带电量都是基本电荷的整数倍； 基本电荷：一个电子所带电量的绝对值，即 e = 1.60 × 10 是密立根在 1913 年的著名的油膜实验中测得的。 点电荷：带电体本身的线度 所研究的问题（理想模型）
r ur r r P2 ur P2 P2 ur A12 = ∫ F • d r = ∫ q0 E • d r = q0 ∫ E • d r
三、电场的叠加原理： 1、内容：在 n 个点电荷产生的电场中某点的电场强度等于每个点电荷单独存在时在该 点产生的电场强度的矢量和。
2、表示wk.baidu.com： 例题：见书
ur n uu r E = ∑ Ei
i =1
§5.4 静止的点电荷的电场及其叠加
ur qq0 r ⎫ F= er ur q r 4πε 0 r 2 ⎪ ⇒E= er ⎬ 2 ur ur 4 πε r 0 ⎪ E = F / q0 ⎭ 1、点电荷的电场： ，具有球对称性； ur r q > 0 时， E 与 r 同向，即在正电荷的周围；