广东省广州市天河区2020届高三数学一模试题文(含解析)

广东省广州市天河区2020届高三数学一模试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{1A =-，0，1，2，3}，2{|20}B x x x =->，则(A B =I ) A ．{3}B ．{2，3}C ．{1-，3}D ．{0，1，2}2．（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作试验基地，这n 座城市共享单车的使用量（单位；人次/天）分别为1x ，2x ，n x ⋯，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( )A ．1x ，2x ，n x ⋯的平均数B ．1x ，2x ，n x ⋯的标准差C ．1x ，2x ，n x ⋯的最大值D ．1x ，2x ，n x ⋯的中位数3．（5分）若复数2()1a ia R i-∈+为纯虚数，则|3|(ai -= ) AB ．13C ．10 D4．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于( ) A ．18B ．36C ．45D ．605．（5分）已知4cos()25πθ+=，322ππθ<<，则sin 2θ的值等于( )A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-6．（5分）若实数x ，y 满足001x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩……„，则2z y x =-的最小值为( ) A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-7．（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱)色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2⨯勾⨯股+（股-勾）24=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为( )A ．866B ．500C ．300D ．1348．（5分）已知121231,,2x ln x e x -==满足3x e lnx -=，则( )A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<9．（5分）如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aC 2aD 2a 10．（5分）已知函数()3)(0f x x ωϕω=+>，)22ππϕ-<<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是( )A ．2(23k -，42)3k +，k Z ∈ B ．2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C ．2(43k -，44)3k +，k Z ∈ D ．2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈11．（5分）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( ) A ．17(1)a r +B ．17[(1)(1)]ar r r +-+C ．18(1)a r +D ．18[(1)(1)]ar r r+-+12．（5分）已知函数244()()x f x k lnx k x-=++，[4k ∈，)+∞，曲线()y f x =上总存在两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，使曲线()y f x =在M ，N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为( ) A ．8(,)5+∞B ．16(,)5+∞C ．8[,)5+∞D ．16[,)5+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知向量(3,2)a =-r，(,1)b m =r ．若向量(2)//a b b -r r r ，则m = ．14．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，111(*,2)n n a a a n N n -=++⋯+∈…，则当1n …时，n a = ．15．（5分）如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45︒、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为 ．16．（5分）已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为52π，1AB =，若ABC ∆外接圆的圆心1O 在AC 上，半径11r =，则直三棱柱111ABC A B C -的体积为 ．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一）必考题：共60分。

17．（12分）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75)，第二组[75，85)，⋯⋯第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．18．（12分）在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足32a =，132435225a a a a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当1212n S S S n++⋯+取最大值时，求n 的值．19．（12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且22sin 22cos 30C C -++=．（1）求角C 的大小；（2）若2b a =，ABC ∆的面积为2sin sin A B ，求sin A 及c 的值．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAB 是正三角形，2AB =，2BC =，6PC =．E 、H 分别为PA 、AB 的中点．（1）求证：PH AC ⊥；（2）求点P 到平面DEH 的距离．21．（12分）已知函数2()f x lnx mx =-，21()2g x mx x =+，m R ∈，()()()F x f x g x =+．（1）讨论函数()f x 的单调区间及极值；（2）若关于x 的不等式()1F x mx -…恒成立，求整数m 的最小值．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (sin x y ααααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()26πρθ+=．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 与y 轴的交点为P ，经过点P 的动直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，证明：||||PA PB g 为定值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|1||2|()=-++∈．f x x x m m R（1）若2f x„；m=时，解不等式()3（2）若关于x的不等式()|23|x∈，1]上有解，求实数m的取值范围．f x x-„在[02020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{1A =-，0，1，2，3}，2{|20}B x x x =->，则(A B =I ) A ．{3}B ．{2，3}C ．{1-，3}D ．{0，1，2}【解答】解：由B 中不等式变形得：(2)0x x ->， 解得：0x <或2x >，即{|0B x x =<或2}x >， {1A =-Q ，0，1，2，3}， {1A B ∴=-I ，3}，故选：C ．2．（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作试验基地，这n 座城市共享单车的使用量（单位；人次/天）分别为1x ，2x ，n x ⋯，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( )A ．1x ，2x ，n x ⋯的平均数B ．1x ，2x ，n x ⋯的标准差C ．1x ，2x ，n x ⋯的最大值D ．1x ，2x ，n x ⋯的中位数【解答】解：表示一组数据1x ，2x ，n x ⋯的稳定程度是方差或标准差． 故选：B ． 3．（5分）若复数2()1a ia R i-∈+为纯虚数，则|3|(ai -= )AB ．13C ．10 D【解答】解：由2(2)(1)(2)(2)221(1)(1)222a i a i i a a i a a i i i i ----+---+===-++-． 因为复数2()1a i a R i -∈+为纯虚数，所以202202a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得2a =．所以|3||32|ai i -=-． 故选：A ．4．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于( ) A ．18B ．36C ．45D ．60【解答】解：28515a a a +=-Q ，55a ∴=，9592452S a ∴=⨯=．故选：C ．5．（5分）已知4cos()25πθ+=，322ππθ<<，则sin 2θ的值等于( )A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-【解答】解：4cos()sin 25πθθ+=-=Q ，4sin 5θ∴=-，Q322ππθ<<，3cos 5θ∴=-，3424sin 22sin cos 2()()5525θθθ∴==⨯-⨯-=． 故选：C ．6．（5分）若实数x ，y 满足001x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩……„，则2z y x =-的最小值为( ) A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图：由图可知，2z y x =-在1x y +=与x 轴的交点(1,0)处取得最小值，即022z =-=-． 故选：B ．7．（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱)色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2⨯勾⨯股+（股-勾）24=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为( )A ．866B ．500C ．300D ．134【解答】解：如图，设勾为a ，则股为3a ，∴弦为2a ，则图中大四边形的面积为24a ，小四边形的面积为222(31)(423)a a -=-， 则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为2(423)31a -=-． ∴落在黄色图形内的图钉数大约为31000(1)134-≈． 故选：D ．8．（5分）已知121231,,2x ln x e x -==满足3x e lnx -=，则( )A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<【解答】解：0x e ->Q ； 30lnx ∴>；31x ∴>；又102110,012ln ln e e -<=<<=；123x x x ∴<<．故选：A ．9．（5分）如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aC 2aD 2a 【解答】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI又1//B F Q 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD ∴==．即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2a ． 故选：D ．10．（5分）已知函数()3)(0f x x ωϕω=+>，)22ππϕ-<<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是( )A ．2(23k -，42)3k +，k Z ∈ B ．2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C ．2(43k -，44)3k +，k Z ∈ D ．2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈【解答】解：函数()3)(0f x x ωϕω+>，)22ππϕ-<<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，∴222(23)()42T +=，即221216πω+=，求得2πω=．再根据123k πϕπ+=g ，k Z ∈，可得6πϕ=-，()3sin()26f x x ππ∴-．令222262k x k ππππππ--+剟，求得244433k x k -+剟， 故()f x 的单调递增区间为2(43k -，44)3k +，k Z ∈， 故选：C ．11．（5分）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( ) A ．17(1)a r +B ．17[(1)(1)]ar r r +-+C ．18(1)a r +D ．18[(1)(1)]ar r r+-+【解答】解：根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +，同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +，孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +，⋯⋯孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和， 此时将存款（含利息）全部取回， 则取回的钱的总数：17171718(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a S a r a r a r r r r r++-=++++⋯⋯++==+-++-；故选：D ．12．（5分）已知函数244()()x f x k lnx k x-=++，[4k ∈，)+∞，曲线()y f x =上总存在两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，使曲线()y f x =在M ，N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为( ) A ．8(,)5+∞B ．16(,)5+∞C ．8[,)5+∞D ．16[,)5+∞【解答】解：函数244()()x f x k lnx k x -=++，导数2414()()1f x k k x x'=+--g ．由题意可得121()()(f x f x x '='，20x >，且12)x x ≠． 即有221122444411k k k k x x x x ++--=--， 化为121244()()x x k x x k+=+，而21212()2x x x x +<， 2121244()()()2x xx x k k +∴+<+，化为12164x x k k+>+对[4k ∈，)+∞都成立，令4()g k k k=+，[4k ∈，)+∞， 24()10g k k '=->，对[4k ∈，)+∞恒成立， 即()g k 在[4，)+∞递增， ()g k g ∴…（4）5=，∴161645k k+„， 12165x x ∴+>，即12x x +的取值范围是16(5，)+∞．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知向量(3,2)a =-r ，(,1)b m =r ．若向量(2)//a b b -r r r ，则m = 32- ．【解答】解：Q 向量(3,2)a =-r，(,1)b m =r ，∴2(32,4)a b m -=--r r，(2)//a b b -r r rQ ，432m m ∴-=-， 32m ∴=-．故答案为：32-．14．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，111(*,2)n n a a a n N n -=++⋯+∈…，则当1n …时，n a = 12n - ．【解答】解：Q 数列{}n a 满足11a =，111n n a a a -=++⋯+ *(n N ∈，2)n …，则0112a ==，1222a ==，2342a ==，3482a ==，⋯由此可得当1n …时，12n n a -=． 故答案为：12n -．15．（5分）如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45︒、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为．【解答】解：如图所示，在ABC ∆中，302AB =，20AC =，120BAC ∠=︒，由余弦定理得2222cos1353400BC AB AC AB AC =+-︒=g g ， 所以1034BC =由正弦定理得334sin sin AB ACB BAC BC ∠=∠=g 由135BAC ∠=︒知ACB ∠为锐角，故534cos ACB ∠=故3343342217cos cos(45)cos cos45sin sin 45()ACB ACB ACB θ=∠+︒=∠︒-∠︒=． 21716．（5分）已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为52π，1AB =，若ABC ∆外接圆的圆心1O 在AC 上，半径11r =，则直三棱柱111ABC A B C -的体积为 24 ．【解答】解：如图，ABC ∆Q 外接圆的圆心1O 在AC 上，1O ∴ 为AC 的中点，且ABC ∆是以ABC ∠为直角的直角三角形，由半径11r =，得2AC =，又1AB =，3BC ∴=．把直三棱柱111ABC A B C -补形为长方体，设1BB x =，则其外接球的半径22211(3)2R x =++． 又直三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为52π，2452R ππ∴=，即13R =．22211(3)132R x ∴=++=，解得163x =． ∴直三棱柱111ABC A B C -的体积为113163242⨯⨯⨯=．故答案为：24．三、解答题：共70分。