安大附中高二数学单元测试题
安徽高二下学期第一次测评考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知等差数列中，，公差，则等于（ ）． {}n a 13a =3d =-9a A ． B ． C ．24 D ．2721-18-【答案】A【分析】利用等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】因为等差数列中，，公差， {}n a 13a =3d =-所以， ()()199138321d a a =+-=+⨯-=-故选：A2．已知函数，函数的单调递减区间为（ ）．()()2e xf x x =+()f x A ． B ． C ． D ．(),3-∞-(),2-∞-()2,0-()3,0-【答案】A【分析】求导,令求解即可.()f x '()0,f x '<【详解】()()()e 2e 3e x x x f x x x '=++=+令即，解得，()0,f x '<()3e 0xx +<3x <-所以函数的单调递减区间为. ()f x (),3-∞-故选：A3．已知某物体在平面上作变速直线运动，且位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系可用函数：表示，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ）．()2ln 1s t t t =++-2t =A ．米/秒 B ．米/秒 C ．米/秒D ．米/秒73103()ln 32+(ln 3)4+【答案】B【分析】根据导数的概念，直接对位移关于时间的函数求导，代入即可. 2t =【详解】由题得，当时，，故瞬时速度为米/秒， 1211s t t '=+-+2t =103s '=103故选：B.4．已知等比数列的前项和为，则点列在同一坐标平面内不可能的是（ ）{}n a n n S ()(),,,n n n a n SA ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据等比数列通项公式和前项和公式确定正确答案. n 【详解】设等比数列的首项为，公比为， {}n a 1a q A 选项，时，，图象符合.1n a =n S n =B 选项，时，，图象符合.11, 1.1a q ==()11 1.11.1,101.111 1.1nn n n n a S --===--C 选项，时，，图象符合. 11,2a q ==-()()1122,3nn n n a S ---=-=D 选项，由图可知，都是负数，所以， 123,,a a a 10,0,0,0n n a q a S <><<但图象显示时，或为正数，矛盾，所以D 选项图象不符合. 4n ≥n a n S 故选：D5．若函数有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为（ ）．()22ln f x x x a x =-+A ．B ．C ．D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据函数极值点的定义，结合二次函数的性质、数形结合思想、转化法进行求解即可.【详解】由， ()()222112ln 220222()22a f x x x a x f x x a x x x x '=-+⇒=-+=⇒=-+=--+当时，函数单调递增，在时，该函数单调递减， 102x <<()2112()22g x x =--+12x >当时，函数有最大值，且，且函数12x =()2112(22g x x =--+()()010g g ==()2112()22g x x =--+的对称轴为， 12x =所以当时，有两个不同的极值点，等价于直线与函数0x >()22ln f x x x a x =-+y a =有两个不同的交点，所以，()2112(22g x x =--+10,2a ⎛⎫∈⎪⎝⎭故选：B6．已知图象上有且只有三点到直线的距离为a 的值为（ ）． ()ln f x x =y x a =+A ．3 B ．C ．D ．53-5-【答案】B【分析】先求与直线平行的直线与图象相切的切点，再利用点线距离公式即可y x a =+()ln f x x =求解.【详解】 ()()1ln ,f x x f x x'=∴=设与直线平行的直线与图象相切于点 y x a =+()ln f x x =()00,P x y 则点处的切线的斜率为， P ()0011f x x '==解得.则,即. 01x =00y =(1,0)P所以点到直线的距离P y x a =+,解得或, d ==1a =3a =-当时，直线与曲线相离，舍去.1a =1y x =+()ln f xx =所以当时，的图像上有且只有三个点到直线3a =-()f x y x a =+故选：B7．已知函数，若有三个不等零点，则实数a 的取值范围是()e ,0ln ,0x x x f x x x x⎧⋅≤⎪=⎨>⎪⎩()()g x f x a =-（ ）． A ．B ．C ．D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,0⎛⎫- ⎪⎝⎭1e 11,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,e ⎛⎤-∞- ⎝⎦【答案】B【分析】根据题意，将零点问题转化为函数图像交点问题，画出图像，通过图像即可得到()y f x =结果.【详解】因为有三个不等零点，得函数与函数有三个交点，()()g x f x a =-()1y f x =2y a =当时，，由可得，0x ≤()()1e xf x x '=+()0f x '==1x -当时，则，即函数单调递减； 1x <-()0f x '<()f x 当时，则，即函数单调递增；10-<≤x ()0f x ¢>()f x 所以当时，，=1x -()()min 11e f x f =-=-且当时，; x →-∞()0f x →当时，，由可得， 0x >()21ln xf x x -'=()0f x '=e x =当时，则，即函数单调递增； 0e x <<()0f x ¢>()f x 当时，则，即函数单调递减； e x >()0f x '<()f x 且当时，，0x +→()f x →-∞当时，且，当时，， x →+∞()0f x →()0f x >1x =()0f x =画出函数的图像，如图所示，()1y f x =通过图像可得，当时，两函数图像有三个交点，1,0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即有三个不等零点. ()()g x f x a =-故选:B8．已知等差数列满足，，则（ ）．{}n a 3313sin 332a a ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭6611sin 332a a ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭8S =A ． B ． C ． D ．53-2-73-83-【答案】D【分析】由条件变形，构造函数，结合函数的单调性，奇偶性可求得，然后()sin 3f x x x =+36a a +利用等差数列的性质及求和公式求解即可.【详解】，即，3313sin 332a a ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭33111sin 3332a a ⎛⎫⎛⎫+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，6611sin 332a a ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭66111sin 3332a a ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭构造函数，，则在上单调递增，()sin 3f x x x =+()cos 30f x x '=+>()f x R ，即是奇函数，()sin()3sin 3()f x x x x x f x -=--=--=-()f x 而，，3331111sin 33332f a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6661111sin 33332f a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得，故，即，361133f a f a ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭361133a a ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭3623a a +=-因为为等差数列，所以. {}n a 18818368()84()4()23a a S a a a a +==+=+=-故选：D.二、多选题 9．已知函数，下列说法正确的是（ ）． ()32112132f x x x x =--+A ．有两个极值点 B ．的极小值点为 ()y f x =()y f x =1-C ．的极小值为D ．的最大值为()y f x =73-()y f x =136【答案】AC【分析】求出函数的导数，再利用导数求出函数的极值判断ABC ，取特值判断D 作答. ()f x 【详解】函数的定义域为，求导得， ()32112132f x x x x =--+R 2()2(1)(2)f x x x x x ==+'---由得：或，由得：， ()0f x '>1x <-2x >()0f x '<12x -<<因此函数在上单调递增，在上单调递减， ()f x (,1),(2,)-∞-+∞(1,2)-于是函数在处取极大值， ()f x =1x -13(1)6f -=在处取极小值2x =7(2)3f =-对于A ，函数有极大值点和极小值点为，A 正确； ()f x 1-2对于B ，函数有极小值点，B 错误；()f x 2对于C ，函数有极小值，C 正确；()f x 7(2)3f =-对于D ，显然，D 错误.321113(6)6626143326f =⨯-⨯-⨯+=>故选：AC10．已知数列，满足，，为的前n 项和，且，，则{}n a 122n n n a a a ++=+n *∈N n S {}n a 210a =130S =（ ）．A ．数列为等差数列B ．{}n a 214n a n =-+C ．D ．或时，取得最大值215n S n n =-+7n =8n =n S 【答案】AB【分析】根据等差数列的定义、结合等差数列的前n 项和公式、通项公式逐一判断即可.【详解】由，所以数列为等差数列，因此选项A 正确； 122112n n n n n n n a a a a a a a +++++=+⇒-=-{}n a 设该等差数列的公差为，因为，，d 210a =130S =所以有， ()()111101212122141213131202n a d a a n n d a d +=⎧=⎧⎪⇒⇒=+-⋅-=-+⎨⎨=-+⨯⨯=⎩⎪⎩，因此选项B 正确，选项C 不正确；()()211212132n S n n n n n =+-⋅-=-+因为，22131691324n S n n n ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭所以或时，取得最大值，因此选项D 不正确， 7n =6n =n S 故选：AB11．观察图象，下列结论错误的有（）．A ．若图中为图象，则在处取极小值 ()f x ()f x 2x =-B ．若图中为图象，则有两个极值点()f x '()f x C ．若图中为图象，则在上单调递增 ()()2y x f x '=-()f x ()0,2D ．若图中为图象，则的解集为 ()()2y x f x =+()0f x ≤{}22x x -≤≤【答案】ABD【分析】选项A ：若图为 图象，在左右单调性一致，不是极值； ()f x ()f x 2x =-选项B ：若图为 图象，根据导数与0的大小判断单调性，判断极值.()f x '选项C: 若图为 图象,根据图像的正负判断的正负，判断单调性. ()()2y x f x '=-()y f x '=选项D: 若图为 图象, 根据图像的正负判断的正负,解出的解集. ()()2y x f x =+()y f x =()0f x ≤【详解】选项A ：若图为图象，则在两边单调性一致，不是极值，故A 错误； ()f x ()f x 2x =-选项B ：若图为图象， 函数单调递减； ()f x '(),2,x ∈-∞-()0,f x '<函数单调递增；函数单调递减；()2,0,x ∈-()0,f x '>()0,2,x ∈()0,f x '<函数单调递增；故函数有-2,0,2三个极值点，选项B 错误；()2,,∈+∞x ()0,f x '>选项C: 若图为图象，则时，单调性相反，即 函()()2y x f x '=-20x -<(),2,x ∈-∞-()0,f x '>数单调递增；函数单调递减；函数单调递增；当()2,0,x ∈-()0,f x '<()0,2,x ∈()0,f x '>()2,,∈+∞x 单调性一致，函数单调递增；故C 正确；()0,f x '>选项D: 若图为 图象，，图像正负相反，时图像正负一致，()()2y x f x =+20x +<20x +>的解集为，故D 错误；()0f x ≤{}02x x ≤≤故答案为：ABD.12．已知函数，下列结论正确的有（ ）． ()()21ln e 12xx f x =+-A ．是奇函数B ．在上单调递增()y f x =()y f x =1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．无极大值D ．的最小值为()y f x =()y f x =【答案】BC【分析】对于A ，判断是否互为相反数即可;对于B ，根据导函数在这个区间的正负即(),()f x f x -可;对于C ，根据函数的单调性判断有无极大值即可;对于D ，根据函数的单调性可知，在11ln 23x =处，取最小值，代入即可.【详解】对于A ， ()()21ln e 12xx f x -=++-， ()()()()222211()ln e 1ln e 1ln 1e 1022x x x x f x x x e f x --∴+=+++++--=++≠A 错误；对于B ，， ()2222e 132e 122e 1x x xf x =-=-++'当时，， ()23202e 1xf x '=-=+24e 13x +=1112ln ,ln 323x x ==且为增函数，所以在上，单调递减； 2e 1x +11,ln 23⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()2320,2e 1xf x '=-<+()f x 在上，单调递增； 11ln ,23⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()2320,2e 1xf x '=->+()f x 且，故B 正确；111ln 223->对于C ，由单调区间可知， 无极大值，C 正确； ()f x ()f x对于D ，由单调区间可知，，故D()n min 1l 311411ln e 1ln ln ln 4334311ln 23f x f ⎛⎫⎛⎫==+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭错误； 故选：BC.三、填空题 13．曲线在点处的切线方程为__________． 12x y x +=-()1,2-【答案】31y x =-+【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】因为，所以， 12x y x +=-()232y x '=--所以曲线在点处的切线的斜率， 12x y x +=-()1,2-()23312k =-=--所以曲线在点处的切线方程为， 12x y x +=-()1,2-()()231y x --=-⨯-整理得， 31y x =-+故答案为：31y x =-+14．已知数列为等比数列，且，设等差数列的前n 项和为，若，则{}n a 3543a a a ⋅={}n b n S 54b a =__________． 9S =【答案】27【分析】根据等比数列的性质可得，然后结合等差数列的前项和公式，即可得到结果. 4a n 【详解】因为数列为等比数列，且，{}n a 3543a a a ⋅=所以，解得或（舍）235443a a a a ⋅==43a =40a =即，又因为数列为等差数列， 453a b =={}n b 则. ()199599272b b S b +===故答案为:.2715．已知数列通项公式为，则该数列前n 项和取最小值时的n 为{}n a ()2225n n a n n *-=∈-N n S __________． 【答案】12【分析】根据题意，将数列的通项公式分离常数，然后根据的正负性，得到取最小值时{}n a n a n S 的n.【详解】因为，()()12122521212222522522225nn n a n n n -+-===+---可得，即时，；且数列单调递减2250n -<12n ≤()2102225n <-当时，，13n ≥()2102225n >-所以取最小值时的值为. n S n 12故答案为:1216．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则a 的最小值23e a ->2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭212ln 3e 3x a x x a x ≥-+-为__________． 【答案】32e【分析】根据不等式的结构特征，构造新函数，利用导数的性质判断函数的单调性，利用单调性进行求解即可. 【详解】由 212212ln ln ln 3e 33e 3x x a x a x x a x x a x≥-+-⇒+≥-+-， ()122112ln ln ln e ln 2e 33e33x xx a x a a x x a x x⇒++≥-+⇒⋅+≥+因为，所以，2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭312x ≥因为，，所以，2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭23e a ->e 1x a ≥构造新函数，，()1ln ,1f x x x x =+≥()22111x f x x x x-'=-=因为，所以函数单调递增，1x ≥()0f x '≥所以由， ()()11211ln e ln e e 222e 3333x xx x a f a f a a x x x x ⎛⎫ ⎪⋅+≥+⇒⋅≥⇒⋅≥ ⎪ ⎪⎝⎭即，设32ex x a ≥⋅()()3312e 2e x x x xg x g x -'=⋅⇒=⋅当时，单调递减， 1x >()()0,g x g x '<当时，单调递增， 213x <<()()0,g x g x '>所以，因此有，()()max 312eg x g ==32e a ≥故答案为：32e【点睛】关键点睛：根据不等式的结构特征构造新函数，利用导数的性质是解题的关键.四、解答题17．已知数列前n 项和，满足．{}n a n S ()()211n S n n n *=++∈N (1)求出，；1a 2a (2)求数列的通项公式． {}n a 【答案】(1)123,10a a ==(2)23,13,2n n a n n n =⎧=⎨-≥⎩【分析】（1）根据题意，分别令，然后代入计算，即可得到结果； 1,2n n ==（2）根据题意，由与的关系，即可得到结果.n a n S 【详解】（1）因为，()()211n S n n n *=++∈N 令，可得，1n =111213a S ==⨯+=令，可得，解得. 2n =()2122211a a +=++210a =（2）因为，()()211n S n n n *=++∈N 则当时，， 2n ≥()()222111113n n n a S S n n n n n n -⎡⎤⎡⎤=-=++--+=-⎣⎦⎣⎦且由（1）知，13a =所以 23,13,2n n a n n n =⎧=⎨-≥⎩18．求下列函数的导数：(1)； πsin tan 0,2y x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)．()2ln 35y x =+【答案】(1) 21πcos ,0,cos 2y x x x ⎛⎫'=+∈ ⎪⎝⎭(2) ()2223563535xx y x x '+'==++ 【分析】按照导数运算法则和复合函数的求导法则求导即可；【详解】（1） πsin tan 0,2y x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()22cos cos sin sin sin 1πsin cos cos ,0,cos cos 2cos x x x x x y x x x x x x x '⋅-⋅-⎛⎫⎛⎫''=+=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()2ln 35y x =+()2223563535x x y x x '+'==++19．已知数列通项公式为，数列通项公式为，求满{}n a ()132n n a n -*=⨯∈N {}n b ()21n b n n *=-∈N 足下列条件的数列的前n 项和．{}n c n S (1)n n n c a b =-(2)．n n n c a b =【答案】(1)2323n n S n =⨯--(2)3(23)92n n S n =⋅+-【分析】（1）根据等差和等比数列的求和公式，分组求和即可;（2）利用错位相减法即可得到.n S 【详解】（1）且，n n n c a b =- 111323a -=⨯=11b =()123123n n n a a a a b b S b b ∴=+++-+++ ()11213322122n n S n n -+--⨯⨯=--2323n n S n =⨯--（2）；()13212n n n n c n a b --=⨯=，01213123252(21)2n n S n -⎡⎤∴=⨯+⨯+⨯++-⎣⎦ ；12323123252(21)2n n S n ⎡⎤⎣⎦=⨯+⨯+⨯++- 两式相减,得2331222(21)2n n n S n ⎡⎤⎣⎦-=++++--⋅ 222231(21)212n n n S n ⎡⎤⎢⎥-⨯--⋅-⎣=+⎦-3(23)32n n S n ⎡⎤-⎣⎦-=--⋅3(23)92n n S n =⋅+-20．已知函数． ()()ln t f x x t x=+∈R (1)求的极值；()f x (2)若，求在上的最大值． 0t >()f x 2,e e ⎡⎤⎣⎦()g t 【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据极值的定义，讨论和0的大小关系即可;t （2）讨论在不同范围上，在上的单调性以及端点值的大小即可.t ()f x 2,e e ⎡⎤⎣⎦【详解】（1）； 221()t x t f x x x x-'=-=当时，, 在上单调递增，无极值；0t ≤()0f x '>()f x ()0,∞+当时，,在上，，单调递减，0t >()0f t '=()0,t ()0f x '<()f x 在上，，单调递增，有极小值； (),t +∞()0f x '>()f x ()f x ()ln 1f t t =+综上：当时，无极值；当时，有极小值0t ≤0t >()f x ()ln 1f t t =+（2）由（1）知，时，在上， 单调递减，在上，单调递增.0t >()0,t ()f x (),t +∞()f x 所以，当时，； 0<e t ≤()()22e 2e t g tf ==+当时，，， 2e e t <<()e 1e t f =+()}{2max (e),(e )g t f f =若，则， ()()2e ef f =22e 12,e e e 1t t t +=+=-Ⅰ：当时，，； 2e e 1e t <<-212,e e t t +<+2(e)(e )f f <()()22e 2e t g t f ==+Ⅱ：当时，，； 22e e e 1t ≤<-212,e e t t +≥+2(e)(e )f f ≥()()e 1e t g t f ==+当时，； 2e t >()()e 1et g t f ==+综上得： ()222e 2,0e e 1e 1,e e 1t t g t t t ⎧+<<⎪⎪-=⎨⎪+≥⎪-⎩21．已知等比数列的公比为4，且，，成等差数列，又数列满足，{}n a 1a 23a 328a +{}n b 10b =，且数列的前n 项和为． ()()()12,11n n n n a b n n a a *-=≥∈--N {}n b n S (1)求数列的通项公式；{}n a (2)若对任意，恒成立，求m 的最小值．()1n n S m a ≤-2n ≥n *∈N 【答案】(1)4n n a =(2)16675【分析】（1）根据等比数列的通项公式结合等差中项运算求解，即可得结果；（2）根据（1）利用裂项相消法可得，换元，可得原题意4113341n n S ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭()*12,41n n c n n =≥∈-N 等价于对任意，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数运算求解. ()2439n n c c m -<2n ≥n *∈N 【详解】（1）若，，成等差数列，则，1a 23a 328a +()213628a a a =++即，解得，()111241628a a a =++14a =故.1444n n n a -=⨯=（2）当时，由（1）可得：， 2n ≥()()()()111441111341414141n n n n n n n n n a b a a ---⎛⎫===- ⎪------⎝⎭故， 22314111111411034141414141413341n n n n S -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵，即， ()1n n S m a ≤-()411413341n n m ⎛⎫-≤- ⎪-⎝⎭令，即， ()*12,41n n c n n =≥∈-N 4133n n m c c ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭可得， ()2439n n c c m -≤故原题意等价于对任意，恒成立， ()2439n n c c m -≤2n ≥n *∈N ∵的对称轴为， ()2439y x x =-16x =注意到数列为递减数列，且， {}()*2,n c n n ≥∈N 211156n c c ≤=<故当时，取到最大值， 2n =()2439n n c c -241116391515675⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦则，故m 的最小值. 16675m ≥1667522．已知函数． ()()3213log 0,132a f x x x x a a =-+>≠(1)若为定义域上的增函数，求a 的取值范围；()f x (2)令，设函数，且，求证：e a =()()314ln 93g x f x x x x =--+()()120g x g x +=123x x +≥【答案】(1)； 141,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)证明见解析.【分析】（1）由为定义域上的增函数可得恒成立，可转化为，故求()f x ()0f x '≥3213ln x x a≥-+的最大值即可求得答案；32()3h x x x =-+（2）由可得，令求得()()120g x g x +=()()21212121213ln 2x x x x x x x x -+++=-12(0),t x x t =>的值域，从而得到，解不等式即可. ()ln t t t ϕ=-()()212121312x x x x -+++≤-【详解】（1）的定义域为， ()f x ()0,∞+21()3ln f x x x x a'=-+由为定义域上的增函数可得恒成立.()f x ()0f x '≥则由得， 2130ln x x x a -+≥3213ln x x a≥-+令，32()3h x x x =-+2()363(2)h x x x x x '=-+=--所以当时，单调递增；()0,2x ∈()()0,h x h x '>当时，单调递减；()2,x ∈+∞()()0,h x h x '<故,max ()(2)4h x h ==则有 解得. 1140ln ln 4a a ≥⇒<≤141,e a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故a 的取值范围为 141,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦（2） 3213()()4ln 93ln 932g x f x x x x x x x =--+=--+由有 ()()120g x g x +=22111222333ln 93ln 9022x x x x x x --+--+=有 ()()2212121233ln 902x x x x x x -+-++=即 ()()21212121212ln 302x x x x x x x x ⎡⎤-+--++=⎣⎦即. ()()21212121213ln 2x x x x x x x x -+++=-令12(0),()ln t x x t t t t ϕ=>=-由可得当时，单调递增； ()11t tϕ'=-()0,1t ∈()()0,t t ϕϕ'>当时，单调递减；则，()1,t ∈+∞()()0,t t ϕϕ'<()(1)1t ϕϕ≤=-即， ()()212121312x x x x -+++≤-解得(负值舍去)，123x x +≥123x x +≤故123x x +≥【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
安徽省合肥市2023-2024学年高二上学期第一次单元质量检测数学试题含答案
合肥2023—2024学年第一学期第一次单元质量检测高二年级数学试题卷（试题卷）（考试时间：120分钟满分：150分）（命题教师：）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1.已知()0,0,0O ，()5,1,2N -，()4,2,1A -，若ON AB =，则点B 的坐标为（）．A.（－1，3，－3）B.（9，1，1）C.（1，－3，3）D.（－9，－1，－1）【答案】B 【解析】【分析】由ON AB =，设(),,B x y z 结合空间向量的坐标，得(5,－1,2)＝(x －4,y －2,z ＋1)，即可求B 的坐标.【详解】设(),,B x y z ，由ON AB =得：(5,－1,2)＝(x －4,y －2,z ＋1)，∴452112x y z -=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩,可得911x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以点B 的坐标为（9，1，1）.故选：B 2.直线x =）A.0B.30C.60D.90【答案】D 【解析】【分析】根据直线斜率和倾斜角关系可直接求得结果.【详解】直线x =∴直线x =90 .故选：D.3.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN上，且使2MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG是（）A.111633OG OA OB OC=++ B.112633OG OA OB OC=++C.2233OG OA OB OC=++ D.122233OG OA OB OC=++ 【答案】A 【解析】【分析】连接ON ，利用向量的加法可得出ON关于OB 、OC 的表达式，再由2MG GN = 结合空间向量的减法化简可得出OG关于{},,OA OB OC 的表达式.【详解】连接ON ，则()()111222ON OB BN OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+，因为2MG GN =，则()2OG OM ON OG -=- ，因此，()121121111333232633OG OM ON OB OC OA OB OC =+=⨯+⨯+=++.故选：A.4.若直线1:90l x ay ++=与2:(2)330l a x y a -++=平行，则12,l l 间的距离是（）A.3B.3C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据直线平行的判定列方程求得1a =-，再应用平行线的距离公式求距离即可.【详解】由题设(2)3a a -=，则(1)(3)0a a +-=，可得1a =-或3a =，1a =-时，1:90l x y -+=，2:3330l x y -+-=，满足题设；3a =时，1:390l x y ++=，2:390l x y ++=，显然重合，不满足；所以1a =-，此时1:90l x y -+=，2:10l x y -+=，它们距离为=.故选：C5.直线210x y --=关于直线0y x -=对称的直线方程是（）A.210x y -+=B.210x y +-=C.210x y ++=D.210x y ++=【答案】A 【解析】【分析】在直线210x y --=上任取一点(,)P a b ，设其关于直线0y x -=的对称点为(,)Q x y ，然后根据对称关系列方程可表示出,a b ，再代入210x y --=中化简可得答案【详解】在直线210x y --=上任取一点(,)P a b ，设点P 关于直线0y x -=的对称点为(,)Q x y ，则122y bx ay b x a-⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=⎪⎩，解得a y b x =⎧⎨=⎩，即(,)P y x ，因为点(,)P y x 在直线210x y --=上，所以210y x --=，即210x y -+=，所以所求直线方程为210x y -+=，故选：A.6.已知平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，M ，N 分别为BC ，11C D 的中点，则MN 的长为（）A.2B.3C.D.【答案】D 【解析】【分析】以AD 、1AA 、AB为基底表示出MN ，再根据数据量的运算律计算可得.【详解】因为平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，1160BAD BAADAA ∠=∠=∠=︒，所以1122cos602AB AD AA AD AB AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=，依题意可得1111122MN MC CC C N AD AA AB =++=+-，所以2211122MN AD AA AB ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭222111111442AD AA AB AD AA AD AB AB AA =+++⋅-⋅-⋅2221112222225442=⨯++⨯+-⨯-=，所以MN =.故选：D7.已知直线:10l mx y --=，若直线l 与连接()1,2A -、()2,1B 两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角范围为（）A.ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.3π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据直线过定点，即可根据斜率公式求解边界线的斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解.【详解】直线l 的方程可得01x y =⎧⎨=-⎩，所以，直线l 过定点()0,1P -，设直线l 的斜率为k ，直线l 的倾斜角为α，则0πα≤<，因为直线PA 的斜率为()12101---=--，直线PB 的斜率为11102--=-，因为直线l 经过点()0,1P -，且与线段AB 总有公共点，所以11k -≤≤，即ta 11n α-≤≤，因为0πα≤<，所以π04α≤≤或3ππ4α≤<，故直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭．故选：D ．8.在平面直角坐标系中，已知点(),P a b 满足1a b +=，记d 为点P 到直线20x my --=的距离.当,,a b m 变化时，d 的最大值为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据直线:20l x my --=过定点A 确定出对于给定的一点P ，d 取最大值时PA l ⊥且max d PA =，然后根据点P 为正方形上任意一点求解出max PA ，由此可知max d .【详解】直线:20l x my --=过定点()2,0A ，对于任意确定的点P ，当PA l ⊥时，此时d PA =，当PA 不垂直l 时，过点P 作PB l ⊥，此时d PB =，如图所示：因为PB AB ⊥，所以PA PB >，所以max d PA =，由上可知：当P 确定时，max d 即为PA ，且此时PA l ⊥；又因为P 在如图所示的正方形上运动，所以max max d PA =，当PA 取最大值时，P 点与()1,0M -重合，此时()213PA =--=，所以max 3d =，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析d 取最大值时PA 与直线l 的位置关系，通过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.若直线l 与x 轴交于点A ，其倾斜角为α，直线l 绕点A 顺时针旋转45°后得直线1l ，则直线1l 的倾斜角可能为（）A.45α+︒ B.135α+︒ C.45α-︒ D.135α︒-【答案】BC 【解析】【分析】由倾斜角的定义，分类讨论作出图形，数形结合分析即可.【详解】解析：当45α≥︒时，直线1l 的倾斜角为45α-︒（如直线AC 旋转至直线AD ）；当045α︒≤<︒时，直线1l 的倾斜角为180(45)135αα︒-︒-=︒+（如直线AD 旋转至直线AB ）.故选：BC.10.对于任意非零向量()111,,a x y z = ，()222,,b x y z =，以下说法错误的有A.若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B.若//a b r r，则111222x y z x y z ==C.cos ,a b =><D.若1111===x y z ，则a为单位向量【答案】BD 【解析】【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A 选项的正误；取20x =，20y ≠且20z ≠可判断B 选项的正误；利用空间向量夹角余弦的坐标表示可判断C 选项的正误；求得a r，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为a b ⊥，则1212120a b x x y y z z ⋅=++= ，A 选项正确；对于B 选项，若20x =，且20y ≠，20z ≠，若//a b r r，但分式12x x 无意义，B 选项错误；对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos ,a b =><，C 选项正确；对于D 选项，若1111===x y z，则a == a 不是单位向量，D 选项错误.故选：BD.【点睛】本题考查与空间向量相关的命题真假的判断，考查了空间向量数量积的坐标运算以及空间共线向量的坐标表示，属于基础题.11.已知O 为坐标原点，()2,0A ，()0,2B ，()1,0M ，P ，Q 分别是线段AB ，OB 上的动点，则下列说法正确的是（）A.点M 到直线ABB.若//MQ AB ，则点Q 的坐标为()0,1C.点M 关于直线AB 对称的点的坐标为()2,1D.MPQ周长的最小值为【答案】BCD 【解析】【分析】求出直线AB 的方程利用点到直线的距离公式计算可判断A ；求出过M 且与AB 平行的直线方程，可得Q 点坐标可判断B ；设点M 关于AB 对称的点为()2,M x y ，根据点关于直线对称求出2M 坐标可判断C ；求出点M 关于y 轴对称的点1M 的坐标，利用MPQ 的周长为2112MP PQ QM M P PQ QM M M ++=++≥可判断D ．【详解】对于A ，由题意可得直线AB 的方程为20x y +-=，故M 到AB的距离为22=，故A 错误；对于B ，过M 且与AB 平行的直线方程为10x y +-=，当0x =时，即得()0,1Q ，故B 正确；对于C，如图，设点M 关于AB 对称的点为()2,M x y ，则1112022yx x y ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+-=⎪⎩解得21x y =⎧⎨=⎩，故()22,1M ，故C 正确；对于D ，点M 关于y 轴对称的点1M 的坐标为()1,0-，则MPQ的周长为2112MP PQ QM M P PQ QM M M ++=++≥=．故D 正确．故选：BCD ．12.（多选）在三维空间中，a b ⨯ 叫做向量a 与b的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：①()a ab ⊥⨯ ，()b a b ⊥⨯ ，且a ，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图所示）；②sin ,a b a b a b ⨯= .在正方体1111ABCD A B C D -中，已知其表面积为S ，下列结论正确的有（）A.11AB AC AD DB⨯=⨯ B.AB AD AD AB⨯=⨯C.6S BC AC=⨯D.111AC A D ⨯ 与1BD 共线【答案】ACD 【解析】【分析】运用新定义及空间向量的基本概念对选项一一判断即可得出答案.【详解】设正方体的棱长为a ，如图.对于A ，连接1B C ，因为1AB C V为等边三角形，故21sin 3AB AC π⨯=⨯⨯= ，连接11B D ，因为11//BD B D ，11BD B D =，11AB D 为等边三角形，所以211112sin 3AD DB AD D B π⨯=⨯=⨯⨯= ，故A 正确；对于B ，根据定义，1AB AD AA ⨯= ，1AD AB AA ⨯=-，故B 错误；对于C ，226662BC AC a a S ⨯=⨯⨯⨯== ，故C 正确；对于D ，因为1111AC B D ⊥，而1D D ⊥平面1111A B C D ，所以111D D A C ⊥1111B D DD D ⋂=，则11A C ⊥平面11BB D D ，又1BD ⊂平面11BB D D ，所以111A C BD ⊥，又11A D AD ⊥，1AB A D ⊥，1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1ABD ，所以11BD A D ⊥，结合外积的定义可知111AC A D ⨯ 与1BD共线，故D 正确.故选：ACD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.若点B 是点()3,7,4-在xOz 平面上的射影，则OB等于______.【答案】5【解析】【分析】求出B 的坐标，计算向量OB，即可得到结论．【详解】解： 点B 是点()3,7,4-在xOz 平面上的射影，()3,0,4B ∴-，则()3,0,4OB =-，则5OB = ，故答案为：5【点睛】本题考查了射影、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.在正四面体ABCD 中，2AB =，若2AE AB AC =+ ，则AE AD ⋅=________．【答案】6【解析】【分析】根据空间向量的数量积计算方法即可求解.【详解】(2)2222cos 22cos 633AE AD AB AC AD AB AD AC AD ππ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯+⨯= .故答案为：6.15.直线)20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是_________．【答案】π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U 【解析】【分析】借助倾斜角与斜率的关系及三角函数值域即可得.【详解】tan θα⎡=∈⎣，故π2π0,,π33θ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故答案为：π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U .16.球O 为正四面体ABCD 的内切球，2AB =，MN 是球O 的直径，点P 在正四面体ABCD 的表面运动，则PM PN ⋅的最大值为______．【答案】43【解析】【分析】设球O 的半径为r ，利用正四面体的性质可得6r =，进而可得max 2PO =，然后根据向量线性运算及数量积的运算律可得22P PM P O OM N ⋅=- ，进而即得.【详解】设球O 的半径为r ，由题可知正四面体ABCD3=，所以221142234343r ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得6r =，因为点P 在正四面体ABCD 的表面运动，所以max 2666362PO =-=，所以()()22224263PM PN PO OM PO ON PO OM ⎛⎫⎛⋅=+⋅+=-≤-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故答案为：43.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.a 为何值时，（1）直线1:210l x ay +-=与直线()2:3110l a x ay ---=平行？（2）直线3:22l x ay +=与直线4:21l ax y +=垂直？【答案】（1）当16a =或0时，两直线平行（2）当a ＝0时，两直线垂直【解析】【分析】（1）根据两直线平行所满足的公式得到方程和不等式，求出a 的值；（2）法一：考虑0a =与0a ≠两种情况，根据斜率乘积为-1列出方程，进行求解；法二：根据两直线垂直所满足的12120A A B B +=进行求解.【小问1详解】要使两直线平行，则需()2310a a a -+=，且1310a -+-≠，解得：16a =或0.所以当16a =或0时，两直线平行；【小问2详解】法一：①当a ＝0时,直线3l 的斜率不存在，直线3:10l x -=，直线41:02l y -=，此时满足34l l ⊥；②当0a ≠，直线322:l y x a a =-+与直线41:22a l y x =-+，要使两直线垂直，必有212a a ⎛⎫-⋅-=- ⎪⎝⎭，方程无根，综上①②可得：当a ＝0时,两直线垂直.法二：要使直线3:22l x ay +=和直线4:21l ax y +=垂直，只需220a a +=，解得：a ＝0，所以当a ＝0时，两直线垂直.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面,4,2,ABCD PA AD AB M ===是PD 中点.（1）求证：直线//PB 平面AMC ；（2）求平面ACD 和平面ACM 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用中位线的性质与线面平行的判定定理即可证明；（2）建立适当空间直角坐标系后利用空间向量的坐标运算求解线面夹角即可得.【小问1详解】连接BD 交AC 于点N ，连接NM ，M N 、是PD BD 、的中点，//PB NM ∴，又NM ⊂ 平面,AMC PB ⊂/平面AMC ，//PB ∴平面AMC ；.【小问2详解】以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，可得()0,0,0A ，()2,4,0C ，()0,0,4P ，()0,4,0D ，()0,2,2M ，则()2,4,0AC = ，()0,2,2AM = ，设平面ACM 的法向量为(),,m x y z =，则有00AC m AM m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即240220x y y z +=⎧⎨+=⎩，取2x =，则有1y =-，1z =，即()2,1,1m =- ，由z 轴⊥平面ACD ，则平面ACD 的法向量可为(0,0,1)n = ，设平面ACD 和平面ACM 的夹角为α，则cos ,6m n m n m n ⋅===⋅ ，由图可知面ACD 和面ACM 夹角为锐角，所以6cos 6α=..19.已知直线l 经过点(6,4)P ，斜率为k（Ⅰ）若l 的纵截距是横截距的两倍，求直线l 的方程；（Ⅱ）若1k =-，一条光线从点(6,0)M 出发，遇到直线l 反射，反射光线遇到y 轴再次反射回点M ，求光线所经过的路程．【答案】（1）:230l x y -=或:2160l x y +-=；（2）.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由条件求得直线l 的点斜式方程，求得纵截距和横截距，列方程可求得斜率k ，即可得到直线的方程；（Ⅱ）先求得点M 关于l 的对称点为()10,4，由反射的原理可得光线所经过的路程为2M M ，由两点间的距离公式求解即可．试题解析：（Ⅰ）由题意得0k ≠．直线l 的方程为()()4664y k x y k x -=-=-+，即，令0x =，得64y k =-+令0y =，得46x k=-+∵l 的纵截距是横截距的两倍46426k k ⎛⎫∴-+=-+ ⎪⎝⎭解得23k =或2k =-∴直线()2643l y x =-+的方程为或()264y x =--+，即230x y -=或2160x y +-=（Ⅱ）当1k =-时，直线100l x y +-=的方程为，设点M 关于l 的对称点为()1,M a b ，则1661002b a a y ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+-=⎪⎩，解得104a b =⎧⎨=⎩，()110,4M ∴点的坐标为，()110,4M ∴关于y 轴的对称点为()210,4M -∴光线所经过的路程为2||M M ==点睛：（1）第一问中容易忽视直线过原点的情形；（2）光的反射的问题实际上就是解析几何中的对称问题，由对称的特点，结合垂直、平分可得一对对称点的坐标之间的关系，然后在根据反射原理将光线所经过的路程转化为两点间的距离求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且AD CD ==，BC =2PA =．（1）求证：AB PC ⊥；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为o 45，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；269【解析】【分析】（1）利用直角梯形的性质求出AB ，AC 的长，根据勾股定理的逆定理得出AB AC ⊥，由PA 平面ABCD 得出AB PA ⊥，故AB ⊥平面PAC ，于是AB PC ⊥；（2）假设存在点M ，做出二面角的平面角，根据勾股定理求出M 到平面ABCD 的距离从而确定M 的位置，利用棱锥的体积求出B 到平面MAC 的距离h ，根据勾股定理计算BM ，则即h BM 为所求角的正弦值．【小问1详解】证明：如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由AD CD ==BC =ABC 是等腰直角三角形，即AB AC ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA AB ⊥，又,PA AC A PA AC ⋂=⊂，平面PAC,∴AB ⊥平面PAC ，∴AB PC ⊥．【小问2详解】(方法1)过点M 作MN AD ⊥交AD 于点N ，则//MN PA ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ．过点M 作MG AC ⊥交AC 于点G ，连接NG ，则MGN ∠是二面角M AC D --的平面角．若o 45MGN ∠=，则NG MN =，又AN ==，∴1MN =，∴//MN PA ，12MN PA =，∴M 是PD 的中点．在三棱锥M ABC -中，可得13M ABC ABC V S MN -=⋅ ，设点B 到平面MAC 的距离是h ，则B MAC MAC V S h -=⋅ ，∴ABC MAC S MN S h ⋅=⋅ ，解得h =在Rt BMN △中，可得BM =BM 与平面MAC 所成的角为θ，则sin 9h BM θ==．(方法2)建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A，()C，()0,D ，()002P ,,，()B -，()0,2PD =-，()AC = ．设()01PM tPD t =<< ，则点M的坐标为()0,,22t -，∴(),22AM t =- ．设平面MAC 的法向量是(),,n x y z = ，则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得()0220t z ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩则可取1,1,1n t ⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭ ．又()0,0,1m = 是平面ACD 的一个法向量，∴o cos ,cos 452m n m n m n ⋅==== ，解得12t =，即点M 是线段PD 的中点．此时平面MAC的一个法向量可取(01,n =-，()BM =- ．设BM 与平面MAC 所成的角为θ，则026sin cos ,9n BMθ== ．21.已知直线l 的方程为：()()211740+++--=m x m y m （1）求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；（2）过点M 引直线1l ，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求1l 的方程．【答案】（1）证明见解析（2）360x y +-=【解析】【分析】（1）将直线方程改写成()2740m x y x y +-++-=形式，解方程组27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩即可.（2）设出直线1l 的方程，分别令0x =、0y =求出相对于的y 值、x 值，结合三角形面积公式及基本不等式即可求得结果.【小问1详解】证明：由()()211740+++--=m x m y m 可得：()2740m x y x y +-++-=，令2703401x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，所以直线l 过定点()3,1M ．【小问2详解】由（1）知，直线1l 恒过定点()3,1M ，所以设直线1l 的方程为()()310y k x k =-+<，令0x =，则13=-y k ；令0y =，则13=-x k，所以()()11111339622S k k k k ⎛⎫⎛⎫=--=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1662⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当19k k-=-，即13k =-时，三角形面积最小，此时1l 的方程为360x y +-=．22.如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角形，且ABD △的边长为E 在母线PC 上，且AE =1CE =．（1）求证：直线//PO 平面BDE ，并求三棱锥P BDE -的体积：（2）若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE 的距离．【答案】（1）证明见解析；18P BDE V -=（2）714【解析】【分析】（1）设AC BD F ⋂=，由正弦定理和三角形相似关系可证得EF AC ⊥，结合面面垂直的性质可证得EF ⊥平面ABD ，由此可得//PO EF ，由线面平行的判定可得结论；由平行关系可得P BDE O BDE V V --=，根据棱锥体积公式可求得结果；（2）以F 为坐标原点可建立空间直角坐标系，设OM OP λ= ，根据线面角的向量求法，可确定当12λ=时，sin θ取得最大值，由此可确定MA ，利用点到面的距离的向量求法可求得结果.【小问1详解】设AC BD F ⋂=，连接EF，ABD 为底面圆O的内接正三角形，2πsin 3AC ∴==，F 为BD 中点，又32AF ==，31222CF ∴=-=，213AO AF ==；AE = ，1CE =，222AE CE AC ∴+=，AE EC ∴⊥，AF AE AE AC= ，AEF ∴ ∽ACE △，AFE AEC ∴∠=∠，EF AC ∴⊥；PO ⊥ 平面ABD ，PO ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABD ，平面PAC 平面ABD AC =，EF ⊂平面PAC ，EF ∴⊥平面ABD ，又PO ⊥平面ABD ，//EF PO ∴，PO ⊄ 平面BDE ，EF ⊂平面BDE ，//PO ∴平面BDE ；F 为BD 中点，AF BD ∴⊥，即OF BD ⊥，又EF ⊥平面ABD ，,OF BD ⊂平面ABD ，EF OF ∴⊥，EF BD ⊥，EF BD F = ，,EF BD ⊂平面BDE ，OF ∴⊥平面BDE，2EF === ，EF BD ⊥，1132224BDE S BD EF ∴=⋅=⨯= ，又1122OF AF ==，//PO 平面BDE ，1131133428P BDE O BDE BDE V V S OF --∴==⋅=⨯⨯= .【小问2详解】12OF CF == ，F ∴为OC 中点，又//PO EF ，E ∴为PC 中点，2PO EF =，PO ∴=，2PC =，以F 为坐标原点，,,FB FC FE 正方向为,,x y z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则30,,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,0,02B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，10,,02O ⎛⎫- ⎪⎝⎭，10,2P ⎛- ⎝，3,,022AB ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，30,,22AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(OP =，1,,022DO ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,,022DA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设()()01OM OP λλ==≤≤，31,22DM DO OM ⎛⎫∴=+=- ⎪ ⎪⎝⎭；设平面ABE 的法向量(),,n x y z = ，则30223022AB n x y AE n y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩ ，令1y =-，解得：x =，z =n ∴=- ，设直线DM 与平面ABE 所成角为θ，sin DM n DM n θ⋅∴==⋅ 令32t λ=+，则[]2,5t ∈，23t λ-∴=，()()2222222213147174313332t t t t t t t λλ-++-+⎛⎫∴===- ⎪⎝⎭+，第21页/共21页111,52t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，∴当127t =，即12λ=时，()22min 313114497324λλ+⎡⎤+==⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，()max sin 1θ∴=，此时1,,222DM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，0,1,2MA DA DM ⎛⎫∴=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴点M 到平面ABE的距离1214MA n d n⋅== .【点睛】关键点点睛：本题求解点到面距离的关键是能够通过共线向量和线面角的向量求法，将线面角的正弦值表示为关于变量λ的函数的形式，通过函数最值的求法确定正弦值的最大值，从而确定动点的位置.。
安徽师范大学附属中学2020-2021学年高二下学期5月月考理科数学试题 Word版含答案
安师大附中2020-2021学年第二学期高二年级理科数学试题一、单选题（每小题3分，共36分） 1.23242535⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯表示为（ ）A.2335AB.1323AC.1235AD.1335A2.若4名学生报名参加数学.物理.化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A.81种 B.64种 C.24种 D.6种3.5人站成一排，若甲.乙彼此不相邻，则不同的排法种数共有（ ）A.144B.72C.36D.12 4.5人排成一排照相，甲排在乙左边（可以相邻，也可以不相邻）的排法总数为（ ） A.30 B.60 C.120 D.240 5.用数字0，1，2，3可以组成无重复数字的四位偶数（ ）A.20个B.16个C.12个D.10个6.如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第m 行中从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3，则m =（ ）A.40B.50C.34D.327.若2020220200122020(12)(1)(1)(1)x b b x b x b x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，则32020122320202222b b b b +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A.-1B.1C.0D.202021-8.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有不同的选法种数为（ ） A.420 B.660 C.840 D.8809.2020154-被7除后余数是（ ）A.2B.3C.4D.510.疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ） A.60种 B.90种C.150种D.240种11.把14个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为（ ）A.36B.45C.72D.165 12.有7张卡片分别写有数字1，1，1，2，2，3，4，从中任取4张，可排出不同的四位数个数为（ ） A.78B.102C.114D.120二、填空题（每小题4分，共16分）13.若36421818n n C C +-=，则8nC =______.14.()2*nn N ∈展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为______.15.用红、黄、蓝、绿四种颜色给如图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有______种不同的涂色方法.（用数字回答）16.已知数列{}n a ，{1,0,1}i a ∈-，1i =，2，3，4，5，6.满足条件“12345603a a a a a a ≤+++++≤”的数列个数为______.（用数字回答） 三、解答题（共48分）17.（本小题满分8分）已知数列{}n a 是等差数列，且36a =-，60a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足12b a =，2123b a a a =++，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18.（本小题满分10分）已知函数2()22sin f x x x =+. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 19.（本小题满分10分）二项式n的二项式系数和为256. （1）求展开式中二项式系数最大的项： （2）求展开式中各项的系数和；（3）展开式中是否有有理项，若有，求其系数；若没有，说明理由20.（本小题满分10分）已知圆22:(1)13C x y -+=和直线:l y x m =+，l 与圆C 交于A ，B 两点. （1）若1m =，求弦长AB ；（2）O 为坐标原点，若90AOB ∠=︒，求直线l 的方程.21.（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面PDC ⊥平面ABCD ，AC AD PD PC ===，90DAC ∠=︒，M 在PB 上.（1）若点M 是PB 的中点，求证：PA ⊥平面CDM ；（2）在线段PB 上确定点M 的位置，使得二面角D MC B --的余弦值为3-. 理科数学答案与解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1.【答案】D【详解】根据排列数公式可得：133523242535A ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=，故选：D.2.【答案】A【详解】每位学生都有3种选择，则4位学生的报名方式共有4381=种.故选：A. 3.【答案】B【详解】先对除甲.乙两人的其他3人排列，有33A 种，3个人排列后有4个空，然后甲、乙两人从这4个空中选2个空排列即可，所以共有3234324372A A ⋅=⨯⨯⨯=种方法，故选：B4.【答案】B【详解】先5人全排列有55120A =种不同的排法，甲排在乙左边的机会与排在右边的机会相同，所以甲排在乙左边（可以相邻，也可以不相邻）的排法总数为55111206022A =⨯=种. 故选：B 5.【答案】D【详解】由0，1，2，3组成无重复数字的四位偶数，这四个数字全部取出，有两类办法：个位数字为0时，有33A 种；个位数字为2时，先排最高位有12C ，再排除2和最高位数字外的余下两个数字有22A 种，共有1222C A ⋅种，所以成无重复数字的四位偶数有 3123226410A C A +⋅=+=.故选：D6.【答案】C【详解】：二项式展开式第1r +项的系数为1rr m T C +=，∴第m 行的第14个和第15个的二项式系数分别为13m C 与14m C，131423m m C C ∴=，整理得142133m =-，解得34m =， 故选：C. 7.【答案】A【详解】令2020()(12)f x x =-，则20200(1)(1)1b f ==-=，320201202320201022222b b b b b f ⎛⎫++++⋅⋅⋅+== ⎪⎝⎭，因此， 32020122320201(1)01122222b b b b f f ⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-=-=- ⎪⎝⎭.故选：A. 8.【答案】B【详解】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，共有2286840A C ⋅=种选法，其中不含女生的有2264180A C =种选法，所以服务队中至少有1名女生的选法种数为840180660-=.故选：B 9.【答案】C【详解】因为20202020154(114)4-=+-，01222020202020202020202020201414144C C C C =+++⋅⋅⋅+-， 1222020202020202020202011141414C C C =+++⋅⋅⋅+，所以2020154-被7除后余数是4，故选：C10.【答案】C【详解】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1，1，3两种情况；分为1，2，2时安排有1223542322C C C A A ；分为1，1，3时安排有1133543322C C C A A ，所以一共有 12211333542543332222150C C C C C C A A A A +=，故选：C 11.【答案】B【详解】根据题意，先在14个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球放在编号为3的盒子里，此时只需将剩下的11个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里即可；将11个球排成一列，排好后，有10个空位，在10个空位中任取2个，插入挡板，有21045C =种方法，即有45种将11个球分为3组的方法，将分好的3组对应3个盒子，即可满足盒内的球数不小于盒号数，则盒内的球数不小于盒号数的放入方法有45种，故选：B. 12.【答案】C【详解】根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1，2，3，4；此时有4424A =种顺序，可以排出24个四位数.②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1，在2，3，4中取出2个，有233C =种取法，安排在四个位置中， 有2412A =种情况，剩余位置安排数字1，可以排出31236⨯=个四位数同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；③若取出的四张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有246C =种情况，剩余位置安排两个2，则可以排出616⨯=个四位数；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，在2，3，4中取出1个卡片，有133C =种取法，安排在四个位置中，有144C =种情况，剩余位置安排1，可以排出3412⨯=个四位数，则一共有243636612114++++=个四位数，故选C. 二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13.【答案】28【详解】由36421818n n C C +-=，得3642n n +=-或364218n n ++-=，解得2n =，或8n =舍去，2828C =.故答案为：28. 14.【答案】210【详解】由己知()2*nn N ∈展开式中只有第6系数为52n C最大，所以展开式有11项，所以210n =，即5n =，又展开式的通项为5510611010rr rrrr T C C x --+=⋅=，令5506r -=，解得6r =，所以展开式的常数项为641010210C C ==.15.【答案】72【详解】若四种颜色全部用到，则A ，C 同色或BD 同色，则共有44222448A =⨯=种；若只用三种颜色涂色，则A ，C 同色且B 、D 同色，共有3443224A =⨯⨯=种，根据分类加法计数原理可得，共有482472+=种涂色方法.故答案为：72. 16.【答案】233【详解】因为{1,0,1}i a ∈-，1i =，2，3，4，5，6，所以i a 只能取0或1，而12345603a a a a a a ≤+++++≤，所以1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a 中出现0的个数可以是6个、5个、4个、3个，若出现6个0，则数列为常数列，共有1个常数列，若出现5个0，则出现一个1i a =，1i a =±有两种取法，共有16212C ⨯=，若出现4个0，则出现两个1i a =，共有226215460C ⨯=⨯=，若出现3个0，则出现三个1i a =，共有3362208160C ⨯=⨯=，综上所述，数列的个数为11260160233+++=.三、解答题（本大题共4小题，共48分） 17.（本小题满分8分）【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为36a =-，60a =，可得112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得110a =-，2d =，所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-，*n N ∈.（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，因为212323b a a a a =++=，1222128b a ==⨯-=-，解得221233b a q b a ===，所以()()()11813413113n n n n b q S q --⨯-===---.18.（本小题满分10分）【详解】（1）因为()21cos 22sin 216f x x x x π⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭， 令222262k x k πππππ-+≤-≤+，解得63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈所以函数()f x 的单调增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）因为,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的值域为[1,2]-. 19.（本小题满分10分）【解析】因为二项式n的二项式系数和为256，所以2256n=， 解得8n =.（1）8n =，则展开式的通项828318812rrrr r r T C C x --+-⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭.∴二项式系数最大的项为445813528T C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（2）令二项式中的1x =，则二项展开式中备项的系数和为88111122256⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）由通项公式及08r ≤≤且r Z ∈得当1r =，4，7时为有理项；系数分别为118142C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，44813528C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，77811216C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 20.（本小题满分10分）【详解】（1）当1m =时，直线方程为：10x y -+=，圆C 的圆心坐标为(1,0)C，半径r =. 圆心C到直线的距离d ==||AB ==（2）联立22(1)13y x m x y =+⎧⎨-+=⎩，得222(22)120x m x m +-+-=， 由()22(22)8120m m ∆=--->，解得22250m m +-<.（*）设()11 ,A x y ，()22,B x y ，则121x x m +=-，212122m x x -=，由90AOB ∠=︒得()()()21212121212122OA OB x x y y x x x m x m x x m x x m ⋅=+=+++=+++解得：4m =-或3m =，符合（*）.直线l 的方程为：4y x =-或3y x =+. 21.（本小题满分10分）【解析】（1）证明：取DC 的中点O ，连接PO ，OA .则PO DC ⊥，AO DC ⊥，又PO OA O ⋂=，从而CD ⊥平面PAO ，故CD PA ⊥.取PA 的中点N ，连接ON ，MN ，则ON PA ⊥.由M 为PB 中点，得四边形MNOC 为平行四边形，所以2212(1)0m m m m =-+-+=//CM ON ，所以CM PA ⊥.又CM ⊂平面CDM ，CD ⊂平面CDM ，CM CD C ⋂=，所以PA ⊥平面CDM .（2）解：由平面PDC ⊥平面ABCD 得PO ⊥平面ABCD ，故以OA ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设2DC =，由已知得：(0,1,0)D -，(0,1,0)C ，(1,2,0)B ，(0,0,1)P ，设平面MCB 的法向量为()111,,1n x y =，由(1,1,0)CB =，(0,1,1)CP =-，得：111111101 110n CB x y x y n CP y ⎧⋅=+==-⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=-+=⎩⎪⎩，则1(1,1,1)n =-. 设(01)PM PB λλ=<<，则(,2,1)M λλλ-，从而(0,2,0)DC =，(,21,1)CM λλλ=--，设平面DCM 的法向量为()222,,1n x y =，则由2212221120(21)100n DC y x n CM x y y λλλλλ-⎧⋅⎧⎪⎨⎪===⎪⇒⎨⋅=+-+-=⎪=⎩⎩，则21,0,1n λλ-⎛⎫=⎪⎝⎭所以121cos ,n n λ-<>==，解得12λ=. 故当点M 是PB 的中点时，二面角D MC B --的余弦值为3-.。
安徽省安师大附中高二数学上学期期中试题 理
安师大附中2014～2015学年度第一学期期中考查高 二 数 学 试 题（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）A .对立事件B .互斥但不对立事件C .不可能事件D .必然事件 2、在下列四个命题中，其中正确命题的是（ ） A . 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B . 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 C . 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D . 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.3、如图给出的是计算201614121++++ 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）A .8i >?B .9i >?C .10i >?D .11i >?4、从2 014名学生中抽取50名组成参观团，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样从2 014人中剔除14人，剩下的2 000 人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率是( )A .不全相等 B .均不相等C .都相等，且为251007D .都相等，且为1405、如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A B C 、、为其上的三个顶点，则在正方体盒子中，ABC ∠等于（ ）A . 45°B . 60°C . 90°D . 120°6、从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程y ＝0.56x ＋a ，据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为( )A . 70.09B . 70.12C . 70.55D . 71.057、已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是直角三角形,则此几何体的体积为第3题图3311俯视图侧视图主视图5（ ）A .163B .103C .D 8、甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（ ）A .318 B .418 C .518 D .6189、甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一个各条棱都相等的四面体，四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都是a ，若将碳原子和氢原子均视为一个点，则任意两个氢原子之间的距离为（ ）A . a 34B .a 362 C . a 27 D . a 938 10、三棱柱111ABC-A B C 的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,所有棱长都是6,则四面体111A ABC, B ABC, C ABC的公共部分的体积等于（ ）A .B .C .D . 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11、117,182的最大公约数是 ．12、若空间某条直线与某长方体的十二条棱所在直线成角均为α,则cos α= ．13、在某次综合素质测试中，共设有40个考场，每个考场30名考生．在考试结束后， 统计了他们的成绩，得到如图所示的频率分布直方图．这40个考场成绩的众数是 , 中位数是 .14、已知正三棱锥ABC P -，点C B A P ,,,都在半径为4的球面上，若PC PB PA ,,两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________.15、如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,P,Q,R 分别是棱BC,CD,DD 1的中点.下列命题：①过A 1C 1且与CD 1平行的平面有且只有一个； ②平面PQR 截正方体所得截面图形是等腰梯形； ③AC 1与QR 所成的角为60°;④线段EF 与GH 分别在棱A 1B 1和CC 1上运动，且EF+GH =1，则三棱锥E-FGH 体积的最大值是121； ⑤线段MN 是该正方体内切球的一条直径，点O 在正方体表面上运动，则OM ON 的取值范围是[0，2].其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16、 （本小题满分6分）如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，0135ADC ∠=，5AB =，CD =2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积17、（本小题满分6分）斜三棱柱111ABC-A B C 的底面是边长为a 的正三角形，侧棱长等于b ，一条侧棱1AA 与底面相邻两边AB AC 、都成450角，求这个三棱柱的侧面积。
安徽师范大学附属中学高二数学下学期期中考查试题(含解析)
安徽师范大学附属中学2015-2016学年高二下学期期中考查数学一、选择题：共12题1．设函数在其定义域内可导,图象如图所示,则导函数的图象可能为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查函数的单调性以及原函数与其导函数图象正负之间的关系,意在考查学生对基本概念的运用能力.由的图象可判断出在区间上单调递增,在(0,+)上先增后减再增,所以在区间上,在(0,+)上先有再有再有.故选D.2．的二项展开式中,的系数是A.70B.-70C.28D.-28【答案】A【解析】本题主要考查二项式定理的运用,意在考查学生的运算求解能力.根据二项式定理,可得的通项公式为,令=2,则,此时,即的系数是70.故选A.3．设是一个离散型随机变量,其分布列如下表,则的等于A.1B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查离散型随机变量的性质,意在考查学生对基本概念的理解运用.根据离散型随机变量的性质可得:,即,解得,而时,舍去,故.故选C.4．房间有8个人坐成一排,现要调换其中3个人中每一个人的位置,其余5个人的位置不变,则不同的调换方式有A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查的是排列组合的应用,意在考查学生的逻辑思维能力.分步进行考虑,先从8人中选出3人有种方法,3人位置全调,由于不能是自己原来的位置,因此有种排法,故有种调换方式,故选B.5．已知函数,则A. B. C.1 D.0【答案】C【解析】本题主要考查的是函数导数的求法,意在考查学生的运算求解能力.由可得,故,解得,所以故选C.6．已知,猜想的表达式A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查的是等差数列的性质和函数解析式的求法,意在考查学生分析问题和解决问题的能力.由可得所以是为公差的等差数列,所以,又所以即.故选B.7．某射手射击一次命中的概率是0.7,连续两次均射中的概率是0.4,已知某次射中,则随后一次射中的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查的是相互独立事件的概率乘法公式,意在考查学生的计算能力.设“某次射中”为事件,“随后一次的射中”为事件则,所以,故选C.8．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢光,4个红包中有两个2元,两个3元(红包中金额相同视为相同的红包),则甲乙两人都抢到红包的情况有A.35种B.24种C.18种D.9种【答案】C【解析】本题主要考查的是分类计数原理的运用,意在考查学生的逻辑思维能力.若甲乙抢的是一个2元和一个3元,剩下的2个红包,被剩下的3人中2个人抢走,有种情况;若甲乙抢的是两个2元或两个3元,剩下的2个红包,被剩下的3人中2个人抢走,有种情况;根据分类计数原理可得:12+6=18种情况.故选C.9．同时抛掷5枚均匀的硬币80次,设5枚硬币正好出现2枚正面向上,3枚反面向上的次数为,则的数学期望是A.20B.25C.30D.40【答案】B【解析】本题主要考查是二项分布的应用,意在考查学生的计算能力.因为抛掷一次,正好出现2枚正面向上,3枚反面向上的概率为,因为5枚硬币正好出现2枚正面向上,3枚反面向上的概率是相同的,且各次试验中的事件是相互独立的,所以服从二项分布.故选B.10．点在曲线上移动时,过点的切线的倾斜角的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查的是导数的几何意义,意在考查学生的运算求解能力.因为点在曲线上移动,所以过点的切线的倾率,所以k的取值范围是,所以倾斜角的取值范围是,故选D.11．由直线,曲线以及轴所围成的图形面积为A. B.13 C. D.15【答案】A【解析】本题主要考查的是定积分的几何意义,意在考查学生的数形结合能力和运算能力. 由直线,曲线以及轴所围成的图形如图所示:故所围成的图形OAB的面积为:=.故选A.12．已知函数对定义域内的任意都有,且当时其导函数满足,若,则A. B.C. D.【答案】B【解析】本题主要考查的是导数的应用,用导数的正负来判断函数的单调性,意在考查学生的分析问题、解决问题的能力.函数对定义域内的任意都有,即函数图象的对称轴是x=2,又导函数满足,即,所以当时,当时,,即在上递减,在上递增,因为,所以1<,所以.故选B.二、填空题：共4题13．已知与之间的一组数据如表,则与的线性回归方程必过定点________．【答案】(1.5,4)【解析】本题主要考查的是线性回归方程,意在考查学生的运算求解能力.根据表中数据可得:,又线性回归直线必过样本中心点,故答案为(1.5,4).14．小明、小红等4位同学各自申请甲、乙两所大学的自主招生考试资格,则每所大学恰有两位同学申请,且小明、小红没有申请同一所大学的可能性有_______种．【答案】4【解析】本题主要考查简单的排列组合,意在考查学生的整体思想.设小明、小红等4位同学分别为小明、小红没有申请同一所大学,则组合为,,,,故共有4种方法.故答案为4.15．设随机变量服从正态分布,则函数不存在零点的概率为________．【答案】【解析】本题主要考查的是函数的零点以及正态分布曲线的对称性,意在考查学生分析问题、解决问题的能力.因为函数不存在零点,所以∆,因为随机变量服从正态分布,所以曲线关于直线对称,所以.故答案为.16．如图,将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中,使其满足条件:(1)每个自然数“放置”在一个“整点”(横纵坐标均为整数的点)上;(2)0在原点,1在点,2在点,3在点,4在点,5在点,,即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上,则放置数字的整点坐标是_________．【答案】【解析】本题主要考查的知识点是归纳推理,意在考查学生的逻辑推理能力. 观察已知点(0,1)处标1,即;点(-1,2)处标9,即;点(-2,3)处标25,即;由此推断,点处标,故放置数字的整点坐标是三、解答题：共5题17．已知函数．(1)求的单调区间和极值;(2)求曲线在点处的切线方程．【答案】(1),令解得;令解得,故函数的单调增区间为和,单调递减区间为.令,得x=-1或当x在R上变化时,与的变化情况如下:故在R上有极大值,极小值为(2)因为,所以曲线在点处的切线方程为:即【解析】本题主要考查的是函数的极值和单调区间的求法,意在考查学生分析问题、解决问题的能力.(1)先对函数求导,通过判断导数的正负确定函数的单调区间;列表讨论,确定函数的极值;(2)根据导数的几何意义确定直线的斜率,再根据点斜式写出直线的方程.18．甲乙两人各自独立地进行射击比赛,甲、乙两人向射击一次,击中目标的概率分别是和,假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．(1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;(2)求两人各射击3次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．【答案】(1)记“甲连续射击3次至少有1次未击中目标”为事件,由题意,射击3次,相当于3次独立重复试验,由. (2)记“甲射击3 次,恰有2次击中目标”,为事件,“乙射击3次,恰有1次击中目标”为事件,则．由于甲、乙射击相互独立,故．【解析】本题主要考查的是次独立重复试验中恰好发生次的概率,意在考查学生的计算能力.(1)由次独立重复试验中恰好发生次的概率公式计算即可得到答案;(2)分别计算甲恰好击中目标2次,乙恰好击中目标1次的概率,然后用独立事件的计算公式即可得到.19．在各项均为正数的数列中,数列的前项和满足．(1)求;(2)由(1)猜想数列的通项公式,并用数字归纳法证明．【答案】(1)令,有,解得; 令,有,解得或(舍去); 令,有,解得或(舍去);故,(2)猜想,证明:①当时,,命题成立②假设时,成立,则时,,所以,,解得,即时,命题成立．由①②知,时,【解析】本题主要考查的是数列的递推公式以及用数学归纳法证明等式的成立,意在考查学生的计算能力.(1)由题意,将分别代入计算即可求得;(2)检验时等式成立,假设时命题成立,证明当时等式也成立.20．某学校研究性学习小组对该校高二学生视力情况进行调查,在高二的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表.学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在名和名的学生进行了调查,得到如下数据:(1)根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?附:．(2)在(1)中调查的100名学生中,按照分层抽样的不近视的学生中抽取了9人,进一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这9人中任取3人,记名次在的学生人数为,求的分布列和数学期望．【答案】(1),因此能够在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.(2)依题意抽取的9人中年级名次在名和名的分别有3人和6人,可能的取值为0,1,2,3,,,,的分布列为:的数学期望.【解析】本题主要考查的是独立性检验的应用问题以及计算离散型随机变量的分布列与期望的问题,意在考查学生的数据处理能力.(1)根据表中的数据,计算观测值,对照数表,得出结论;(2)列出的可能取值,计算对应的概率,求出的分布列与数学期望值.21．已知函数．(1)若函数在区间上为增函数,求的取值范围;(2)当且时,不等式在上恒成立,求的最大值．【答案】(1)因为,,又函数在区间上为增函数,所以当时,恒成立,所以,即的取值范围为. (2)当时,,故不等式,即对任意恒成立,令则．令,则在上单调递增,因为,所以存在使,即当时,,即,当时,,即,所以在上单调递减,在上单调递增．令,即,所以,因为且.所以的最大值为3.【解析】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值,意在考查学生的化归能力和计算能力.(1)由题意可得当时,恒成立,即,从而求得的取值范围;(2)把不等式在上恒成立转化为对任意恒成立,进而求解.。
安徽省师范大学附属中学高二数学下学期期中考查试题 理
安徽师范大学附属中学2019-2019学年度第二学期期中考查高二数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数11-2+1-2i i +的虚部是（ ）A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-2．下列求导运算正确的是（ ）A ．(cos )sin x x '=B ．1(ln 2)x x'=C ．3(3)3log x xe '= D ．2()2x x x e xe '= 3. 函数()y=f x 在点00(,)x y 处的切线方程为21y=x+ ，则000()(2)lim x f x f x x x∆→--∆∆ 等于（ ）A. －4B. －2C. 2D. 4 4．由曲线,,x x y e y e -== 以及1x =所围成的图形的面积等于（ ）A ．2B ．22e -C ．12e-D ．12e e+- 5．直线12y x b =+是曲线ln y x =的一条切线，则实数b 的值为（ ）A ．2B ．ln2+1C ．ln2﹣1D ．ln26．用数学归纳法证明”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ）A. 12k -B. 21k -C. 2kD. 21k + 7．已知(0,)x ??有下列各式：221442,3,22x x x x x x x+?=++? 3327274,333x x x x x x +=+++?成立，观察上面各式，按此规律若4+5,ax x ³则正数a =（ ）A ．4B ．5C ．44D ．558．设函数()f x 在R 上可导，其导函数'()f x ，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数'()y xf x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若ln 3ln 5ln 6,,,356a b a ===则（ ） A ．a b c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<10．若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13-22（，）B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ． [)1,2D ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．若点(,)P a b 在函数2ln y x x =-+的图象上，点(,)Q c d 在函数2y x =+的图象上，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A ．B ．8C ．2D ．212.若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且11()f x x =，则关于x 的方程23()2()0f x af x b ++=的不同实数根个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上） 13．设复数21iz i-=+，则z 的共轭复数为 ． 14．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“是C 作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ． 15．如图所示的数阵中，第15行第2个数字是．16．以下判断正确的序号是（1）集合{}1,2,M zi =，i 为虚数单位，{}3,4N =，}{4M N ?，则复数4z i =-.（2）4(13)10.x x dx -+-=ò（3）已知函数3()f x x x =+，对任意的[2,2],(2)()0m f mx f x ?-+<恒成立，则x 的取值范围为2(2,)3-．（4）设1()cos f x x =，定义1()n f x +为()n f x 的导数，即'1()=()n n f x f x n N +Î，若△ABC 的内角A 满足1220181()()()3f A f A f A L +++=，则8sin 2.9A = 三、解答题 （本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分8分）已知函数()()ln 3f x ax b x bx =+-+在(1,(1))f 处的切线方程为2y =. （1）求,a b 的值； （2）求函数()f x 的极值. 18．（本小题满分8分） 由下列不等式：112>,111123++>,111312372+++>L ,111122315+++>L,…，你能得到一个怎样的一般不等式？并请加以证明． 19．（本小题满分8分）（1）已知0,0a b >>且2a b +>，求证：1+1,b aa b+中至少有一个小于2；（2）已知110,1,ab a>-> 20. （本小题满分8分）已知函数()3ln af x ax x x=+-. （1）当2a =时，求()f x 的最小值；（2）若()f x 在(]1,e 上为单调函数，求实数a 的取值范围. 21．（本小题满分8分）已知函数(),x e af x a R x-=∈.（1）若()f x 在定义域内无极值点，求实数a 的取值范围；（2）求证：当1,0a x <<>0时，()1f x >恒成立. 22．（本小题满分12分）． 已知函数()(ln 1)f x x x =+ （1）求函数()f x 的最小值；（2）设2'()()()F x ax f x a R =+∈，讨论函数()F x 的单调性；（3） 若斜率为k 的直线与曲线'()y f x =交于1122(,)(,)A x y B x y 、两点，求证：121x x k<<.高二数学（理）参考答案：BBDDC CCABB BA 13.14. B 15.110616. (1) (2)(3)(4) 17.解（1）因为()132f b =-+=，所以1b =；...............................1分 又()1ln ln 1b f x a x a b a x a x x'=++-=++-，..............................2分 而函数()()ln 3f x ax b x bx =+-+在()()1,1f 处的切线方程为2y =， 所以()1110f a '=+-=，所以0a =；......................................3分 （2）由（1）得()ln 3f x x x =-+，()11f x x'=-， 当01x <<时，()0f x '>； 当1x >时，()0f x '<；所以()f x 在()0,1上单调递增，()f x 在()1,+∞上单调递减，....................6分 所以()f x 有极大值()12f =,无极小值．......................................8分 18.解：根据给出的几个不等式可以猜想第n 个不等式，即一般不等式为：．.........2分用数学归纳法证明如下： ①当n=1时，1，猜想正确．②假设n=k 时猜想成立，即， 则n=k+1时，即当n=k+1时，猜想也成立，所以对任意的n ∈N +，不等式成立．......................................8分 19．证明：（1）假设都不小于2，则，∵a ＞0，b ＞0，∴1+b ≥2a ，1+a ≥2b ，两式相加得：2+a+b ≥2（a+b ），解得 a+b ≤2，这与已知a+b ＞2矛盾，故假设不成立，∴中至少有一个小于2．......................................4分 （2）∵﹣＞1，a ＞0，∴0＜b ＜1， 要证＞，只需证•＞1，只需证1+a ﹣b ﹣ab ＞1，只需证a ﹣b ﹣ab ＞0，即＞1．即﹣＞1．这是已知条件，所以原不等式成立．...................................8分20.解：（1）当2a =时，2()23ln f x x x x =+-，∴22223232()2x x f x x x x --'=--=.令()0f x '=，得2x =或1x =-（舍）.x(02)，2 (2+)∞，()f x ' - 0+ ()f x↘极小值(2)f↗又当2x =时，()=(2)53ln 2f x f =-极小，∴当2a =时，函数()f x 的最小值为53ln2-.................................3分（2）∵()3ln a f x ax x x =+-，∴223()ax x af x x --'=，又()f x 在(]1,e 上为单调函数，∴当(]1,x e ∈时，()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，也就是230ax x a --≥或230ax x a --≤对(]1,x e ∀∈恒成立， 即231x a x ≥-或231x a x ≤-对(]1,x e ∀∈恒成立.令23()1xG x x =-，则2223(1)()(1)x G x x -+'=-.∴当(]1,x e ∈时，()0G x '<.∴()G x 在(]1,e 上单调递减，又当1x → 时，()G x →+∞；当x e =时，23()1eG x e =-，................................8分 ∴231e a e ≤-，故()f x 在(]1,e 上为单调函数时，实数a 的取值范围为23,1e e ⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦. 21.解：（1）由题意知()()21x e x af x x -+'=，令()()()1,0x g x e x a x =-+≠，则()x g x e x '=⋅， 当0x <时，()0,()x g g x '<在(),0-∞上单调递减，当0x >时，()0,()x g g x '>在()0,+∞上单调递增， 又()01g a =-，∵()f x 在定义域内无极值点，∴1a >又当1a =时，()f x 在(),0-∞和()0,+∞上都单调递增也满足题意，所以1a ≥ ................................4分（2）()()21x e x af x x-+'=，令()()1x g x e x a =-+，由（1）可知()g x 在()0,+∞上单调递増，又()()01010g a g a ⎧=-<⎪⎨=>⎪⎩，所以()f x '存在唯一的零点()00,1x ∈，故()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递増，∴()()0f x f x ≥由()0010x e x a -+=知()001x f x e =>即当01,0a x <<>时，()1f x >恒成立. ................................8分则2211()(0,)(+)f x e e ∞在上递减，在，上递增 .1)11(ln 1)(,1222min 2ee e xf e x -=+==∴时当 ......................3分).0(1212)(,2ln )()2(22>+=+='++=x xax x ax x F x ax x F .............4分① 0≥a 当时，恒有0)(>'x F ，)(x F 在),0(+∞上是增函数；② 0<a 当时, ;210,012,0)(2ax ax x F -<<>+>'解得即令 我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
安徽师范大学附属中学高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
安徽师范大学附属中学高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．命题“()0000,,ln 1x x x ∞∃∈+=-”的否定是（ ）A. ()0000,,ln 1x x x ∞∃∈+≠-B. ()0000,,ln 1x x x ∞∃∉+=-C. ()0,,ln 1x x x ∞∀∉+=-D. ()0,,ln 1x x x ∞∀∈+≠-2．向量，若，且，则的值为（ ）A. B. 1 C. 3或1 D. 或13．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）A. B. 2 C. 4 D. 84．已知为实数，条件，条件，则是的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件5．在四面体中，点在上，且，为的中点，若，则使与共线的的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D.6．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（ ）A. B. C. D. 7．已知为两个不相等的非零实数，则方程与所表示的曲线可能是（ ）A. B.C. D.8．下列四个命题：①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；②“”是“”的充分不必要条件；③若为假，为真，则有且仅有一个是真命题；④对于命题，使得，则，使得.其中，正确的命题个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9．椭圆的以为中点的弦所在直线的方程是（）A. B. C. D.10．若椭圆与双曲线有相同焦点，是这两条曲线的一个交点，则的面积是（）A. 4 B. 1 C. 2 D.11．如图所示，已知椭圆方程为，为椭圆的左顶点，在椭圆上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.12．抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上的两个动点，且满足.设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值为（ ）A. B. C. D.二、填空题13．若命题“()2,110x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是__________． 14．若圆锥曲线的焦距与实数无关，则它的焦点坐标为__________． 15．已知：如图，在的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直，已知，则__________．16．以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①双曲线与椭圆有相同的焦点； ②在平面内，设为两个定点，为动点，且，其中常数为正实数，则动点的轨迹为椭圆； ③方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有且仅有3条.其中真命题的序号为__________．三、解答题17．设命題方程有两个不相等的负根，命题恒成立. （1）若命题均为真命题，求的取值范围；（2）若命题为假，命题为真，求的取值范围.18．椭圆的两个焦点为，点在椭圆上，且,.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过圆的圆心，交椭圆于两点，且关于点对称，求直线的方程.19．如图，四棱锥的底面为矩形，底面,.为线段的中点，在线段上，且.（1）证明：.（2）求直线与平面所成角的正弦值.20．已知点在抛物线上，为焦点，且.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，求的值.21．在如图所示的五面体中，面ABCD 为直角梯形， 2BAD ADC π∠=∠=,平面ADE ⊥平面ABCD ，244EF DC AB ===， ADE ∆是边长为2的正三角形.（1）证明： BE ⊥平面ACF ；（2）求二面角A BC F --的余弦值.22．已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2.（1）求双曲线C的标准方程；=+与双曲线C相交于,A B两点，（,A B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆（2）若直线:l y kx m过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.数学（理）试题答案一、单选题1．命题“()0000,,ln 1x x x ∞∃∈+=-”的否定是（ ）A. ()0000,,ln 1x x x ∞∃∈+≠-B. ()0000,,ln 1x x x ∞∃∉+=-C. ()0,,ln 1x x x ∞∀∉+=-D. ()0,,ln 1x x x ∞∀∈+≠-【答案】D【解析】命题“()0000,,ln 1x x x ∞∃∈+=-”的否定是()0,,ln 1x x x ∞∀∈+≠-故选：D2．向量，若，且，则的值为（ ）A. B. 1 C. 3或1 D. 或1【答案】D【解析】，又 ，所以解得或，所以或，故选D. 3．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）A. B. 2 C. 4 D. 8【答案】C 【解析】，所以椭圆的右焦点是，二抛物线的焦点是，即，解得，故选C.4．已知为实数，条件，条件，则是的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】条件，解得，命题 ，即，解得 ，，所以是的必要不充分条件，故选B.5．在四面体中，点在上，且，为的中点，若，则使与共线的的值为（）A. 1B. 2C.D.【答案】A【解析】，，假设三点共线，则存在实数使得，比较后可得，解得，故选A.6．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，，所以，，，故选A.7．已知为两个不相等的非零实数，则方程与所表示的曲线可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据曲线的表示可知，或是，①当时，表示椭圆，直线，表示的斜率为正数，纵截距也是正数，A,B 都不正确，②当时，表示斜率为正数，纵截距为负数的直线，曲线表示焦点在轴的双曲线，C 正确；③表示斜率为负数，纵截距为正数的直线，曲线表示焦点在轴的双曲线，D 不正确；故选C. 8．下列四个命题： ①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；②“”是“”的充分不必要条件； ③若为假，为真，则有且仅有一个是真命题；④对于命题，使得，则，使得.其中，正确的命题个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】D【解析】①正确，因为命题“若，则”的逆否命题，是“若，则”；②正确，，可得 ，反过来，可得；③正确，根据真值表可知正确；④正确，满足特称命题否定的形式.9．椭圆的以为中点的弦所在直线的方程是（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】设直线与椭圆交于，则，两式相减得，因为弦的中点坐标，所以，代入得到，所以，即斜率 ，且过点，所以直线方程是 ，化简为，故选D.10．若椭圆与双曲线有相同焦点，是这两条曲线的一个交点，则的面积是（）A. 4B. 1C. 2D.【答案】B【解析】，联立方程，解得，，所以，故选B.11．如图所示，已知椭圆方程为，为椭圆的左顶点，在椭圆上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令椭圆的右端点为点，根据对称性可知，那么，又根据椭圆的对称性可知，点关于轴对称，，设点的横坐标是，代入椭圆方程，解得，即，，因为，所以，即，可得，即，即，故选C.【点睛】本题考查了椭圆性质的综合，其中求圆锥曲线的离心率是重点考查内容，一般可利用几何性质转化为关于的齐次方程，再利用化简求解，本题的关键是利用椭圆的对称性，可知点关于轴对称，以及点关于轴对称，这样得到点的坐标，以及这样的关键条件.12．抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上的两个动点，且满足.设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，如图，根据抛物线的定义，可知，再梯形中，有，中，，又因为，所以 ，所以，故最大值是，故选A.【点睛】本题考查了抛物线的综合，抛物线的性质中最重要的一条是抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，利用这条性质可以做出相应的图形，将边长进行转化，本题的另一个难点是利用余弦定理求，以及利用基本不等式转化为已知焦半径，突破是这两点，本题就迎刃而解了.二、填空题13．若命题“()2,110x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是__________．【答案】13a -≤≤【解析】试题分析：命题“x R ∃∈，使()2110x a x +-+<”的否定是：““ x R ∀∈，使()2110x a x +-+≥”即： ()2140a ∆=--≤，∴13a -≤≤，故答案是13a -≤≤. 【考点】命题的真假判断与应用；一元二次不等式的应用．14．若圆锥曲线的焦距与实数无关，则它的焦点坐标为__________．【答案】【解析】，并且，所以焦点在轴，所以焦点坐标是，故填：.15．已知：如图，在的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直，已知，则__________．【答案】【解析】，所以，所以，故填：.【点睛】本题考查了利用平面向量解决立体几何的问题，也是比较容易忽视的方法，所求的向量用已知向量表示以后，转化为数量积的计算，本题的关键是利用三角形法则的推论，用表示.16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①双曲线与椭圆有相同的焦点；②在平面内，设为两个定点，为动点，且，其中常数为正实数，则动点的轨迹为椭圆；③方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；④过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有且仅有3条.其中真命题的序号为__________．【答案】①④【解析】①正确，②不正确，因为当时表示椭圆，当时表示线段，当时，无轨迹；③不正确，因为方程的两个根式分别是，1不能表示椭圆和双曲线的离心率，能表示椭圆的离心率；④正确，因为如果都是右支上的点，最短的弦长是垂直于轴的线段，长度为，所以只有一条，如果两点各是左右支的一个点，最短的弦长是顶点间的距离，即，所以有两条曲线，这样一共是3条，故正确的命题的序号是①④三、解答题17．设命題方程有两个不相等的负根，命题恒成立. （1）若命题均为真命题，求的取值范围；（2）若命题为假，命题为真，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）首先分析命题：根据方程有两个不相等的负根，可根据判别式和根与系数的关系列式，命题，当均为真命题时，即求两个命题取值范围的交集；（2）若满足条件，根据真值表可知一真一假，分真假，或假真解得的取值范围.试题解析：（1）若命题为真，则有，解得若命题为真，则有，解得若均为真命题，则，即.即的取值范围是.（2）若命题为假，命题为真，则一真一假.当真假，则，解得；当假真，则，解得；所以的取值范围为.18．椭圆的两个焦点为，点在椭圆上，且,.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过圆的圆心，交椭圆于两点，且关于点对称，求直线的方程. 【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义可知，是直角三角形，满足勾股定理，解得，再根据，求得椭圆方程；（2）设直线方程与椭圆方程联立，结合根与系数的关系，利用中点坐标解得斜率，求出直线方程.试题解析：（1）∵∴在中，∴∴∴（2）圆的方程为∴圆心当的斜率不存在时，不符合题意设联立消去，得设，则解得∴直线的方程为19．如图，四棱锥的底面为矩形，底面,.为线段的中点，在线段上，且.（1）证明：.（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：首先根据图中所给的垂直关系建立以为原点的空间直角坐标系，（1）要证明，即证明；（2）先求平面的法向量，再根据公式求解.试题解析：如图，以为原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则,.（1）所以,所以，即.（2）设平面的法向量为，，由，解得取，去平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则由，得.【点睛】本题考查了证明线与线垂直，以及线面角的求解，一般证明线线垂直，利用几何法转化为证明线面垂直，如果利用向量法，转化为两条线的方向向量垂直，即方向向量的数量积为0，而求线面角，一般都可根据向量法求解.20．已知点在抛物线上，为焦点，且.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，求的值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）首先根据焦半径公式，求解，得到抛物线方程；（2）设，设直线，与抛物线方程联立，求得，再利用点在抛物线上得到，从而求得的值.试题解析：（1）抛物线，焦点，由得.∴抛物线得方程为.（2）依题意，可设过点的直线的方程为，由得，设，则，∴，∴.【点睛】本题考查了抛物线的综合，当过轴上的定点的直线与焦点在轴的抛物线相交时，一般设，或是设，这样方程联立以后可得是定值，再利用点在抛物线上，可转化是定值，但需注意直线的两种设法的区别，不能表示过定点的斜率不存在的直线，不能表示轴，使用时需注意.21．在如图所示的五面体中，面ABCD 为直角梯形， 2BAD ADC π∠=∠=,平面ADE ⊥平面ABCD ，244EF DC AB ===， ADE ∆是边长为2的正三角形.（1）证明： BE ⊥平面ACF ； （2）求二面角A BC F --的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 4-【解析】试题分析：（1）取AD 的中点N ，连接,NB NE ，根据条件证明出AC BE ⊥和BE AF ⊥即可；（2）分别以直线,NA NE 为x 轴和z 轴， N 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面BCF 和平面ABC 的法向量，即可求得二面角A BC F --的余弦值. 试题解析：（1）取AD 的中点N ，连接,NB NE ，依题意易知NE AD ⊥， 平面ADE ⊥平面ABCD NE ⇒⊥平面ABCD NE AC ⇒⊥. 又4ANB NAC π∠=∠=AC BN ⇒⊥，所以AC ⊥平面BNE ，所以AC BE ⊥.在Rt AEF ∆和Rt ABE ∆中， 1tan tan 2AEB AFE ∠=∠=BE AF ⇒⊥. 因为AF AC A ⋂=， ,AF AC ⊂平面ACF ，所以BE ⊥平面ACF .（2）分别以直线,NA NE 为x 轴和z 轴， N 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，依题意有： ()1,1,0B ， ()1,2,0C -，(0,F ，设平面BCF 的一个法向量()1,,n x y z =，由1n BC ⊥，得2y x =， 由1n BF ⊥，得30x y -+=，令1x =-，可得11,n ⎛=-- ⎝⎭. 又平面ABC 的一个法向量()20,0,1n =，所以225cos ,n n ==. 所以二面角A BC F --的余弦值为. 注：用其他方法同样酌情给分. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”22．已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，虚轴长为2. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,A B 两点，（ ,A B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) 2214x y -= (2) 证明见解析，定点坐标为10,03⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）求双曲线标准方程，一般方法为待定系数法，即根据题意列出两个独立条件： 22,c b a ==，解方程组得2,1a b ==（2）以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点()2,0D -,等价于0AD BD ⋅=,根据向量数量积得()121212240y y x x x x ++++=，结合直线:l y kx m =+方程得()()()121212240kx m kx m x x x x ++++++=，利用直线方程与双曲线方程联立方程组，消y 得()()222148410k x mkx m ---+=，再利用韦达定理代入等式整理得22316200m mk k -+=，因此2m k =或103k m =.逐一代入得当103k m =时, l 的方程为,直线过定点10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭. 试题解析：（1）设双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>,由已知得22,2c b a ==又222a b c +=,解得2,1a b ==,所以双曲线的标准方程为2214x y -=. （2）设()()1122,,,A x y B x y ,联立22{ 14y kx mx y =+-=,得()()222148410k x mkx m ---+=,有()()()22221222122641614108{0 144114m k k m mk x x k m x x k ∆=+-+>+=<--+=>-,()()()2222121212122414m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=-,以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点()2,0D -,·1AD BD k k ∴=-,即()()222121212122221241416·1,240,4022141414m y y m k mk y y x x x x x x k k k -+-=-∴++++=∴+++=++---,22316200m mk k ∴-+=,解得2m k =或103k m =.当2m k =时, l 的方程为()2y k x =+,直线过定点()2,0-,与已知矛盾；当103k m =时, l 的方程为,直线过定点10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭,经检验符合已知条件, 所以直线l 过定点,定点坐标为10,03⎛⎫-⎪⎝⎭. 【考点】双曲线标准方程，直线过定点【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.。
安徽省安师大附中2017-2018学年高二上学期测考数学理
安师大附中2017-2018学年度上学期测考卷高二数学（理科）试题 第I 卷（选择题）一、选择题1.直线1L ：3)1(=-+y a ax 与2L ：2)32()1(=++-y a x a 互相垂直，则a 的值为 A.3- B.1 C.230-或 D.31-或 2.已知抛物线的方程为y ＝2ax 2，且过点（1,4），则焦点坐标为 A ．1016⎛⎫⎪⎝⎭ ， B ．1016⎛⎫⎪⎝⎭， C ．（1,0） D ．（0,1） 3.点()y x M ,在函数82+-=x y 的图象上，当x ∈[2，5]时，11++x y 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,61 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡35,0 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-35,61 D ．[]4,2 4.过双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左焦点F 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A B 、，双曲线左顶点为M ，若0120AMB ∠=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．3D ．25.已知圆22(1)(1)4x y -+-=上到直线y x b =+的距离等于1的点有且仅有2个，则b 的取值范围是（ ）A ．((0,2)B ．(-C ．((2,32)-D ．((2,32]-6.设两圆12C C 、都和两坐标轴相切，且都过点()4,1，则两圆心的距离12C C 等于（ ）A. 4B.C. 8D. 7.已知圆的方程为，直线的方程为，过圆上任意一点作与夹角为的直线交于，则的最小值为（ ）A. B. C.D.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为y x =，若顶点到渐近线的距）A. 223144x y -=B. 221124x y -=C. 221412x y -=D. 223144x y -= 9.过双曲线2221(0)y x b b-=>的右焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E , O 为坐标原点，若2,OFE EOF ∠=∠则b =（ ）A.12B. C. 2 D.10.已知F 是双曲线C ：x 2-23y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则△APF 的面积为 A.13 B. 12 C. 23 D. 3211.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A.B. C.D.12. 已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）A. B.C. D.第II 卷（非选择题）二、填空题13. “0.20.2log log a b <”是“a b >”的（ ）条件．14. 椭圆22221x y a b+=（a >0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过2F 作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为M ，若1MF 垂直于2MF ，则椭圆的离心率为 ． 15.圆22221x y +=与直线10mx y +-=的位置关系是相离，则m 的取值范围是__________． 16. 给出下列命题：①直线10x -=的倾斜角是23π； ②已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与抛物线C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则有221212,4p x x y y p ==-； ③已知1F 、2F 为双曲线C ： 22221x y a b-=的左、右焦点，点P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，则12PF F ∆的内心I 始终在一条直线上．其中所有正确命题的序号为 ．三、解答题17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为12，且原点到过椭圆C 的上顶点与右顶点的直线的距离为7． （1）求椭圆C 的方程；（2）设()4,0,,P A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点Q ．18.已知:p 2228200,:210(0)x x q x x a a --<-+-≤>，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）与直线l ： x m=（R m ∈），四点3,1（）， 3,1-（），()-，中有三个点在椭圆C 上，剩余一个点在直线l 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若动点P 在直线l 上，过P 作直线交椭圆C 于M ， N 两点，使得PM PN =，再过P 作直线'l MN ⊥，证明：直线'l 恒过定点，并求出该定点的坐标.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ： ()22116x y ++=，点()1,0A ，点(),0B a （3a >），以B 为圆心， BA 为半径作圆，交圆C 于点P ，且PBA ∠的平分线交线段CP 于点Q.（1）当a 变化时，点Q 始终在某圆锥曲线τ上运动，求曲线τ的方程；（2）已知直线l 过点 C ，且与曲线τ交于 ,M N 两点，记OCM ∆面积为1S ， OCN ∆ 面积为0,02πρα><<，求12S S 的取值范围. 21.已知圆C:x 2+y 2-8y+12=0,直线l 经过点D(-2,0),且斜率为k. (1)求以线段CD 为直径的圆E 的方程. (2)若直线l 与圆C 相离,求k 的取值范围.22.已知229x y +=的内接三角形ABC 中， A 点的坐标是()3,0-，重心G 的坐标是1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求 （1）直线BC 的方程；（2）弦BC的长度.参考答案1.D2.A3.C4.D5.C6.C7.D8.B9.D10.D11.D12.C 13 .充分不必要条件14.115.11m -<< 16. ②③ 17.（1）由题意知12c e a ==，所以22222214c a b e a a -===，即2243a b =．① 取过两端的直线1x ya b +=，即0bx ay ab +-=7= ①入②，224,3a b ==．故椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为()4y k x =-，由()224{ 143y k x x y =-+=， 得()2222433264120k x k x k +-+-=，①设点()()1122,,,B x y E x y ，则()11,A x y -， 直线AE 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--，令0y =得， ()221221y x x x x y y -=-+．将()()11224,4y k x y k x =-=-代入整理得， 得()121212248x x x x x x x -+=+-，②由①得22121222326412,4343k k x x x x k k -+==++，代入②整理得1x =，所以直线AE 与x 轴相交于定点()1,0Q ． 18.222:8200210,:21011p x x x q x x a a x a --<⇔-<<-+-≤⇔-≤≤+， ∵,p q q p ⇒≠，∴{|210}{|11}x x x a x a -<<⊄-≤≤+，故有12{110 0a a a -≤-+≥>，解得9a ≥，因此，所求实数的取值范围是[)9,+∞． 19.（Ⅰ）解：由题意有3个点在椭圆C 上，根据椭圆的对称性，则点()3,1， ()3,1-一定在椭圆C 上， 即22911a b +=，①若点()0-在椭圆C 上，则点()0-必为椭圆C 的左顶点，而3＞()0-一定不在椭圆C 上，故点在椭圆C上，点()0-在直线l 上， 所以22331a b+=，② 联立①②可解得212a =， 24b =，所以椭圆C 的方程为221124x y +=． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得直线l的方程为x =-设()0P y -，0y ⎛∈ ⎝⎭， 当00y ≠时，设()11M x y ，， ()22N x y ，，显然12x x ≠，联立221122221124{1124x y x y+=+=，， 则222212120124x x y y --+=，即121212121·3y y x xx x y y -+=--+， 又PM PN =，即P 为线段MN 的中点， 故直线MN的斜率为0013-=， 又l MN '⊥，所以直线l '的方程为0y y x -=+，即y x ⎛=⎭， 显然l '恒过定点0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭； 当00y =时，直线MN即x =-l '为x轴亦过点0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 综上所述， l '恒过定点03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 20.（1）∵BA BP =， BQ BQ =， PBQ ABQ ∠=∠， ∴QAB ∆≌QPB ∆，∴QA QP =，∵,4CP CQ QP QC QA QC QA =+=++=，由椭圆的定义可知， Q 点的轨迹是以C ， A 为焦点， 24a =的椭圆，故点Q 的轨迹方程为22143x y +=. （2）由题可知，设直线 l ： 1x my =-，不妨设 ()11,M x y ， ()22,N x y ∵112211,,22OMC ONC S S OC y S S OC y ∆∆==⨯⨯==⨯⨯111222y S y S y y ==-， ∵221{ 143x my x y =-+=，∴()2234690m y my +--=， 21441440m ∆+>， ∴122122634{934my y m y y m +=+=-+， ∵()221221244,0343y y m y y m +-⎛⎤=∈- ⎥+⎝⎦，即122142,03y y y y ⎛⎤++∈- ⎥⎝⎦， ∴1213,3y y ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， ∴12S S 121,33y y ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.21.(1)圆C 的方程可化为x 2+(y-4)2=4, 所以圆心为C(0,4),半径为2，所以CD 的中点坐标为E(-1,2),且所以圆E 的半径故所求圆E 的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.(2)由题意得直线l 的方程为y-0=k(x+2),即kx-y+2k=0. 因为直线l 与圆C 相离, 所以有圆心C 到直线l2>,解得3k 4<. 所以k 的取值范围3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。
2024届安徽师范大学附中数学高二上期末统考模拟试题含解析
2024届安徽师范大学附中数学高二上期末统考模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()()2ln 2x f x xx =-+的单调递减区间为（ ）A.)2B.()1,+∞C.()1,2D.( 2．在等差数列{}n a 中，11a =，81010a a +=，则5a =（）A.2B.3C.4D.53．已知0m n <<，则下列说法中一定正确的是（）A.22m n >B.11m n <C.2mn m ><4．若直线()2200,0ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b+的最小值为（ ） A.14 B.12C.2D.45．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2020a 等于（ ） A.12 B.12-C.1-D.2 6． “0mn >”是“方程221x y m n-=为双曲线方程”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7．某制药厂为了检验某种疫苗预防的作用，把1000名使用疫苗的人与另外1000名未使用疫苗的人一年中的记录作比较，提出假设0H ：“这种疫苗不能起到预防的作用”，利用22⨯列联表计算得2 3.918K ≈，经查对临界值表知()2 3.8410.05P K ≥≈.则下列结论中，正确的结论是（）A.若某人未使用该疫苗，则他在一年中有95%的可能性生病B.这种疫苗预防的有效率为95%C.在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”D.有95%的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用 8．已知椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()2222222210x y a b a b -=>>有相同的焦点1F 、2F ，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，点P 为椭圆1C 与双曲线2C 的交点，且123F PF π∠=，则1223e e +的最大值为（）B.C.D.9．中国古代有一道数学题：“今有七人差等均钱，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，问戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱，所分得的钱数构成等差数列，甲、乙两人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，则戊、己两人各分得多少文钱？则下列说法正确的是（ ）A.戊分得34文，己分得31文B.戊分得31文，己分得34文C.戊分得28文，己分得25文D.戊分得25文，己分得28文 10．数列1,） A.8项B.7项C.6项D.5项11．若公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，37a =，且2a ，5a ，6a 为等比数列，则使0n S >成立的最大n 是（）A.6B.10C.11D.1212．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽师范大学附属中学新高二开学考试试题参考答案
安徽师范大学附属中学高二开学数学检测试题参考答案三、 填空题13.___0.6____ 14.____1____ 15.____8_____ 16._____2_____四、解答题17.解：(1)∵(1,0),(2,1),a b =∴(2,1),ka b k −=−− 2(5,2),a b +=又∵(2,1)ka b k −=−− 与2a b + 共线，∴52(2)0,k −−−=即1;2k =− (2)∵23(8,3),AB a b =+= (21,),BC a m b m m =+=+∵,AB BC 垂直，∴8(21)30m m ×++=，则819m =− 18.解：(1)∵3cos 5C =，且0C π<<，∴4sin ,5C =又∵4a =，∴a c = (2)∵11b =，∴由余弦定理得2222cos ,c a b ab C =+−即22222235112,11,516c c c =+−×=+−整理得258800,c +−=解得c 负值舍去)，∴5,a =∴114sin 51122.225ABC S ab C ∆==×××= 19.证明：(1)在正方体1111ABCD A B C D −中，因为11//AC A C ，AC ⊄平面11A BC ，11A C ⊂平面11A BC ， //AC 平面11A BC .(2)在正方体1111ABCD A B C D −中，易知1BB ⊥平面1111A B C D 中，又因为11A C ⊂平面1111A B C D ， 所以1BB ⊥11A C ，又因为11B D ⊥11A C ，1111,BB B D B = 111,BB B D ⊂平面11,BB D D 所以11A C ⊥平面11,BB D D又因为11A C ⊂平面11A BC ，所以平面11A BC ⊥平面11.BB D D20.解：(1)因为第三、四、五组得频率之和为0.7，所以(0.0450.020)100.7,a ++×=解得0.005,a =所以前两组的频率之和为1-0.7=0.3，即()100.3,a b +×=所以0.025.b =由频率分布直方图可得众数为70，(2)平均数为500.05600.25700.45800.2900.0569.5,×+×+×+×+×= 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第60百分位数在第三组，且为0.60.3651071.7;0.45−+×≈ (3)第四、五两组志愿者分别有20人，5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为,,,,a b c d 第五组志愿者人数为1，设为,e这5人中选出2人，所有情况有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e b c b d b e (,),(,),(,)c d c e d e 共10种情况，其中选出的2人来自同一组的有(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d b c b d c d 共6种情况,故选出的2人来自同一组的概率为63.105P== 21.(1) 证明：在三棱锥A BCD −中，因为O 为BD 中点，且AB AD =，则,OA BD ⊥ 又平面ABD ⊥平面,BCD 平面ABD 平面,BCD BD = 又OA ⊂平面,ABD 所以OA ⊥平面,BCD而CD ⊂平面,BCD 所以.OA CD ⊥(2)因为OCD ∆是边长为1的等边三角形，所以OCD S ∆=则BCD S ∆= 因为AO ⊥平面BCD ，所以AO 为三棱锥A BCD −的高，设为,h所以13A BCD BCD V S h −∆==所以1,h = 所以1,OA OB OC OD CD =====即有1,2OC BD = 所以,CD CB ⊥作EF BD ⊥于F ，作FM BC ⊥于M ，连,EM 则//,AO EF 因为AO ⊥平面BCD ，所以EF ⊥平面BCD ， 又BC ⊂平面BCD ，则EF ⊥BC ，因为,,,FM BC FM EF F FM EF ⊥=⊂ 平面EFM ， 所以BC ⊥平面EFM ，而ME ⊂平面EFM ，故BC ⊥ME ， 则EMF ∠为二面角E BC D −−的平面角.又2,DE EA =所以22,33EF AO == 在BCD ∆中，,,FM BC CD CB ⊥⊥所以//,FM CD由OA OD =知,4ODA π∠=故2,3DF EF == 所以4,3BF =即2,3BF BD =所以22,33FM CD ==从而23EF FM ==， 又因为在EMF ∆中，,EF FM ⊥所以EMF ∆为等腰直角三角形， 所以,4EMF π∠=即二面角E BC D −−的大小为4π.。
安徽省合肥市安徽大学附属学校高二数学理月考试卷含解析
安徽省合肥市安徽大学附属学校高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 命题“?x∈R，2x＞0”的否定是（）A．?x0∈R，2＞0 B．?x0∈R，2≤0C．?x∈R，2x＜0 D．?x∈R，2x≤0参考答案：B【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“?x∈R，2x＞0”的否定是?x0∈R，2≤0．故选：B2. 设m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是( ) A.0＜m＜3 B.1＜m＜3 C.3＜m＜4 D.4＜m＜6参考答案：B3. 一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且在5秒内速度与时间t（）的关系近似表示为，则汽车在时刻秒时的加速度为（）A．9 B．9 C．8 D ．7参考答案：C略4. 文科）已知平面平面，和是夹在、间的两条线段，，直线与成角，则线段的最小值是（）A．B．C．D．参考答案：A略5. 已知点M(，0)，椭圆与直线y＝k(x＋)交于点A、B，则△ABM的周长为（）A.4B.8C.12D.16参考答案：B略6. 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是()A． B.C. D．参考答案：D7. 已知点（，）（N*）都在函数（）的图象上，则与的大小关系是( )A．＞B．＜C．＝D．与的大小与有关ks5u参考答案：A8. 若复数是纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．-1参考答案：B略9. 已知P：不等式恒成立，Q：指数函数为增函数，则P是Q 的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略10. 矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE 的概率等于（）A．B．C．D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知集合A＝{ x | 2x2－x－3＜0}，B＝{ x | }，在区间 (－3，3)上任取一实数x，则x∈(A∩B)的概率为___________________．参考答案：．依题意可得，B＝(－3，1)，故A∩B＝(－1，1)，又由x∈(－3，3)则.12. 赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=（元）．参考答案：0.2【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论．【解答】解：赌金的分布列为所以Eξ1=（1+2+3+4+5）=3，奖金的分布列为：若两张卡片上数字之差的绝对值为1，则有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），4种，若两张卡片上数字之差的绝对值为2，则有（1，3），（2，4），（3，5），3种，若两张卡片上数字之差的绝对值为3，则有（1，4），（2，5），2种，若两张卡片上数字之差的绝对值为4，则有（1，5），1种，则P（ξ2=1.4）==，P（ξ2=2.8）==，P（ξ2=4.2）==，P（ξ2=5.6）==所以Eξ2=1.4×（×1+×2+×3+×4）=2.8，则Eξ1﹣Eξ2=3﹣2.8=0.2元．故答案为：0.2【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键．13. 已知是定义在的等调递增函数，且，则不等式的解集为。
安徽安徽师范大学附属中学高二数学等差数列练习试题百度文库
一、等差数列选择题1．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ） A ．9 B ．12 C ．15 D ．18 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8B ．10C ．12D ．143．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10-B ．8C ．12D ．144．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11B ．10C ．6D ．35．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 7．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4SB ．5SC ． 6SD ． 7S8．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10B ．9C ．8D ．79．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161B ．155C ．141D ．13910．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +11．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ）A ．24B ．39C ．104D ．5212．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） A ．48B ．60C ．72D ．2413．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ） A ．4B ．6C ．7D ．814．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（ ） A ．21B ．15C ．10D ．615．在等差数列{}n a 中，()()3589133224a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（ ） A ．13B ．26C ．52D ．5616．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36B ．48C ．56D ．7217．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ）A ．3、8、13、18、23B ．4、8、12、16、20C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2218．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱 19．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（ ） A ．2019B ．4040C ．2020D ．403820．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ）A ．214a =-B ．648211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++ 二、多选题21．题目文件丢失！22．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ）A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 23．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．224．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =25．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >D ．数列{}na 也是等差数列26．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--27．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =28．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列29．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ） A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+30．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则280S S +=；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大D ．若78S S <，则89S S <【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．A 【分析】在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6， 所以95132a a a =+，所以139522639a a a =-=⨯-=， 故选：A 2．C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列，S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=， 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=， 所以62612a =⨯=. 故选：C 3．D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=，则()177477142a a S a +=== 故选：D 4．A【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ，代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=，23a =， 又{}n a 为等差数列， 得39121014a a a d +=+=，213a a d =+=，解得12,1a d ==， 则101+92911a a d ==+=； 故选：A. 5．B 【分析】设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断D ． 【详解】设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ⨯+≥⨯+，所以2d ≤-，A 正确；所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=，B 错误；1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得101n d≤-+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d≥-， 所以10101n d d-≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤， 当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =⨯+⨯-=，当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =⨯+⨯-=，C 正确． 又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得．6．D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，∴当1n =时，有110S a a ==≠；当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅， 又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 7．B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩，所以015n a n >⇒≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 8．A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ． 【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A9．B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选：B. 10．C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C. 【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 11．D 【分析】根据等差数列的性质计算求解． 【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，74a =，∴11313713()13134522a a S a +===⨯=． 故选：D ． 12．A 【分析】根据条件列方程组，求首项和公差，再根据107891093S S a a a a -=++=，代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选：A 13．A 【分析】由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值 【详解】 解：由题意得15452252a ⨯+⨯=，解得11a =， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-， 因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =， 故选：A 14．C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩，所以122222a d d +=⎧⎨=⎩，所以101a d =⎧⎨=⎩，所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=， 故选：C. 15．B 【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质，可得3542a a a +=，891371013103a a a a a a a ++=++=，因为()()3589133224a a a a a ++++=， 可得410322324a a ⨯+⨯=，即4104a a +=， 故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选：B. 16．A 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =， 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 17．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列， 则171,25a a ==，则712514716a a d --===-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 18．C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=， 故选：C . 19．B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选：B 20．D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120nn n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由221a S S =-可判断A 选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-， 由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=， 整理得1112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111424a S S =-=-=-，A 选项正确； B 中，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确；C 中，记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++， ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=，C 选项正确； D 中，12n n S =，()()2212n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.故选：D ． 【点睛】关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在变形过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解.二、多选题 21．无22．ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122xf x x x-'=-=--， 所以当01x <<时，0f x，即()f x 在0,1上为单调递增函数，所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数， 即()()102f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=， 所以()112f x << ， 即11(2)2n a n <<≥， 所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题. 23．ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n<+≤，所以2a -≤，即2a ≥-， 当n 为偶数时有：12a n<-恒成立， 由12n -第增，且31222n≤-<，所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 24．BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，46a =，所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩， 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=， 故选：BC 25．AB 【分析】根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，1149249,2a d a d =-=-. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，1492a d =-，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭，令0n a ≥得51510,22n n -≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确. 对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列{}na 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误.故选：AB 【点睛】等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解. 26．AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos 2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC 27．BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解. 28．ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121nn n a a a +=+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确.对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题. 29．AC 【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式 【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=， 所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-.故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力. 30．BC 【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案. 【详解】A 选项，若1011091002S a d ⨯=+=，则1290a d +=， 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确； B 选项，若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++++=+=，又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负， 因为()()116168916802a a S a a +==+=， 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确； C 选项，若()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<， 则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大.故C 正确；D 选项，若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选：BC . 【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型.。
安徽安徽师范大学附属中学高二数学复数练习试题百度文库
一、复数选择题1．i =（ ）A ．i -B ．iC i -D i2．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（ ） A ．97- B ．7 C ．97D ．7-3．))5511--+＝（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-24．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（ ）A．1 B ．iC iD i5．若复数1211iz i+=--，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知复数z 满足202122z i i i+=+-+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知复数z 满足22z z =，则复数z 在复平面内对应的点(),x y （ ） A ．恒在实轴上 B ．恒在虚轴上C ．恒在直线y x =上D ．恒在直线y x=-上 8．若1i iz ，则2z z i ⋅-=（ ）A ．B ．4C ．D ．89．复数12iz i=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．43π 11．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ） A ．68i +B ．68i -C ．68i --D ．68i -+12．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（ ） A ．17i -B ．16i -C ．16i --D ．17i --13．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 14．已知i 是虚数单位，2i z i ⋅=+，则复数z 的共轭复数的模是（ ）A ．5 BC D ．315．若复数11iz i，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．0B ．12C ．1D ．2二、多选题16．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =17．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 18．下列四个命题中，真命题为（ ） A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =19．复数z 满足233232iz i i+⋅+=-，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的实部为3-B ．z 的虚部为2C ．32z i =-D ．||z =20．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数zw z=，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 的虚部为2i 21．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ） A ．若12z z =，则12=z z B ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >22．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =- D ．对任意的复数z ，都有20z23．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限24．已知复数()(()()211z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（ ）A．若0m =，则共轭复数1z =- B ．若复数2z =，则m C ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++=25．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z =26．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --27．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅ D ．12z z =的充要条件是12=z z28．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( ) A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y == B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数 29．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上30．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A ．z 不可能为纯虚数 B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．B 【分析】由复数除法运算直接计算即可. 【详解】 . 故选：B. 解析：B 【分析】由复数除法运算直接计算即可. 【详解】()21ii i +==-. 故选：B.2．B 【分析】先求出，再解不等式组即得解. 【详解】 依题意，，因为复数为纯虚数， 故，解得. 故选：B 【点睛】易错点睛：复数为纯虚数的充要条件是且，不要只写.本题不能只写出，还要写上.解析：B 【分析】先求出321795858m m z i -+=+，再解不等式组3210790m m -=⎧⎨+≠⎩即得解.【详解】 依题意，()()()()3373321793737375858m i i m i m m z i i i i +++-+===+--+， 因为复数z 为纯虚数， 故3210790m m -=⎧⎨+≠⎩，解得7m =.故选：B 【点睛】易错点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数的充要条件是0a =且0b ≠，不要只写0b ≠.本题不能只写出790m +≠，还要写上3210m -=.3．D 【分析】先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】 ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， 故选：D.解析：D 【分析】先求)1-和)1+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.【详解】∵)211-=--，)2+1=-，∴)()42117-=--=-+，)()42+17=-=--，∴)()51711-=-+-=--， )()51711+=--+=-，∴))55121-+=--，故选：D.4．D【分析】先对化简，求出，从而可求出 【详解】 解：因为， 所以， 故选：D解析：D 【分析】先对1z i i =+-化简，求出z ，从而可求出z 【详解】解：因为1z i i i i =+-==，所以z i =，故选：D5．B 【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可 【详解】 ，所以，在复平面内的对应点为，则对应点位于第二象限 故选：B解析：B 【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可 【详解】()()12i 1i 12i 33i 33i111i 2222z +++-+=-=-==-+-，所以，z 在复平面内的对应点为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对应点位于第二象限故选：B6．C 【分析】由已知得到，然后利用复数的乘法运算法则计算，利用复数的周期性算出的值，最后利用复数的几何意义可得结果． 【详解】 由题可得，，所以复数在复平面内对应的点为，在第三象限，故选：C ．解析：C 【分析】由已知得到2021(2)(2)i i i z -++-=，然后利用复数的乘法运算法则计算(2)(2)i i -++，利用复数n i 的周期性算出2021i 的值，最后利用复数的几何意义可得结果． 【详解】由题可得，2021(2)(2)5i z i ii -+=+-=--，所以复数z 在复平面内对应的点为(5,1)--，在第三象限， 故选：C ．7．A 【分析】先由题意得到，然后分别计算和，再根据得到关于，的方程组并求解，从而可得结果． 【详解】由复数在复平面内对应的点为得，则，， 根据得，得，.所以复数在复平面内对应的点恒在实轴上， 故解析：A 【分析】先由题意得到z x yi =+，然后分别计算2z 和2z ，再根据22z z =得到关于x ，y 的方程组并求解，从而可得结果． 【详解】由复数z 在复平面内对应的点为(),x y 得z x yi =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+，根据22z z =得222220x y x y xy ⎧-=+⎨=⎩，得0y =，x ∈R .所以复数z 在复平面内对应的点(),x y 恒在实轴上， 故选：A ．8．A 【分析】化简复数，求共轭复数，利用复数的模的定义得． 【详解】 因为，所以，所以 故选：A解析：A 【分析】化简复数z ，求共轭复数z ，利用复数的模的定义得2i z z --． 【详解】 因为1111i z i i i+==+=-，所以1z i =+，所以()()211222z z i i i i i ⋅-=-+-=-= 故选：A9．A 【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】 由，知在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题解析：A 【分析】对复数z 进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】 由()()()122112121255i i i z i i i i -===+++-， 知在复平面内对应的点21,55⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题.10．C 【分析】写出复数的三角形式，绕原点逆时针方向旋转得到复数的三角形式，从而求得的三角形式得解. 【详解】 ,,所以复数在第二象限，设幅角为， 故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三解析：C 【分析】写出复数11z =的三角形式1cos 0sin 0z i =+，绕原点O 逆时针方向旋转3π得到复数2z 的三角形式，从而求得212z z -的三角形式得解. 【详解】11z =,1cos 0sin 0z i ∴=+,121(cos sin )3322Z i O OZ ππ=+=+2111()2222z z i --∴=+所以复数在第二象限，设幅角为θ，tan θ=23πθ∴=故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键.11．D 【分析】设，根据复数对应的向量与共线，得到，再结合求解. 【详解】 设，则复数对应的向量， 因为向量与共线， 所以， 又， 所以， 解得或，因为复数对应的点在第三象限，所以， 所以，，解析：D 【分析】设(,)z a bi a R b R =+∈∈，根据复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，得到43a b =，再结合10z =求解.【详解】设(,)z a bi a R b R =+∈∈， 则复数z 对应的向量(),OZ a b =， 因为向量OZ 与(3,4)a =共线， 所以43a b =， 又10z =， 所以22100+=a b ， 解得68a b =-⎧⎨=-⎩或68a b =⎧⎨=⎩，因为复数z 对应的点在第三象限， 所以68a b =-⎧⎨=-⎩， 所以68z i =--，68z i =-+， 故选：D12．A 【分析】根据复数的几何意义得出坐标，由平行四边形得点坐标，即得点对应复数，从而到共轭复数． 【详解】 由题意，设，∵是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同， ∴，即，∴点对应是，共轭复数为．解析：A 【分析】根据复数的几何意义得出,A C 坐标，由平行四边形得B 点坐标，即得B 点对应复数，从而到共轭复数． 【详解】由题意(2,5),(3,2)A C -，设(,)B x y ，∵OABC 是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴023052x y +=-+⎧⎨+=+⎩，即17x y =⎧⎨=⎩，∴B 点对应是17i +，共轭复数为17i -． 故选：A ．13．A【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的乘法可得出结论.【详解】，因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.解析：A【分析】利用复数的乘法化简复数z ，利用复数的乘法可得出结论.【详解】()()221223243z i i i i i =-+=+-=+，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.14．C【分析】首先求出复数的共轭复数，再求模长即可.【详解】据题意，得，所以的共轭复数是，所以.故选：C.解析：C【分析】首先求出复数z 的共轭复数，再求模长即可.【详解】 据题意，得22(2)12121i i i i z i i i ++-+====--，所以z 的共轭复数是12i +，所以z =.故选：C.15．C【分析】由复数除法求出，再由模计算．【详解】由已知，所以．故选：C ．解析：C【分析】由复数除法求出z ，再由模计算．【详解】 由已知21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-， 所以1z i =-=．故选：C ．二、多选题16．AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数，所以z 的虚部为1，，故AC 错误，BD 正确.故选：AC解析：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】 因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC17．ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为22112222z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，12z =，所以2z z ≠，所以B 错误；因为321112222z z z i ⎛⎫⎛⎫=⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.18．AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确；对选项B ，若复数满足，设，其中，且，则，则选项B 正确；对选项C ，若复数满足，设解析：AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z =，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确；对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误； 对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误；故答案选：AB【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.19．AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；，C 错误；，D 正确；故选:A解析：AD【分析】由已知可求出32z i =--，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】 解：由233232i z i i +⋅+=-知，232332i z i i +⋅=--，即()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+ 39263213i i --==--，所以z 的实部为3-，A 正确；z 的虚部为-2，B 错误；32z i =-+，C 错误；||z ==D 正确； 故选:AD.【点睛】 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.20．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=2w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-1=2w ∴===-.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 的虚部为2,所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】 本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确；当两个复数的模相等时，复数不一定相等， 比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.22．AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题． 23．AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误.故选解析：AB【分析】 求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项. 【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确；2211312442ω⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；22111122212ω---====-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,2⎛- ⎝⎭，在第三象限，故D 选项错误.故选：AB【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.24．BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，时，，则，故A 错误；对于B ，若复数，则满足，解得，故B 正确；对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足，解得，解析：BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，0m =时，1z =-，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z =，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m ，故B 正确； 对于C ，若复数z为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误； 对于D ，若0m =，则1z =-+，()()221420412z z ++=+--+=+，故D 正确.故选：BD.【点睛】 本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.25．AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】 利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z=224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A: 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B: 1z =-选项C: 1z =-的共轭复数为1z =--选项D: 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．26．ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】 因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-， 对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.27．AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.28．BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.29．AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.30．BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
安徽安徽师范大学附属中学高二数学等比数列练习试题百度文库
一、等比数列选择题1．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕=大吕=太簇．据此，可得正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）A．n -B．n -C． D． 2．若1，a ，4成等比数列，则a =（ ） A ．1B ．2±C ．2D ．2-3．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若2(1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．()1,3-C ．93,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭4．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项 5．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ）A ．2±B ．2C ．3±D ．36．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24- B ．3-C ．3D ．87．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ）A ．40B ．81C ．121D ．2428．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，102103101a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ）A ．102B ．203C ．204D ．2059．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知等比数列{}n a 的前5项积为32，112a <<，则35124a a a ++的取值范围为（ ） A ．73,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()3,+∞C ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)3,+∞11．题目文件丢失！12．已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，10.2b =，111233n n n a b a ++=+，11344n n n b a b +=+，则使0.01n n a b -<成立的最小正整数n 为（ ） A ．5B ．7C ．9D ．1113．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34B ．35C ．36D ．3714．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，226598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是（ ） A ．25B ．254 C ．5 D ．25 15．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 16．在等比数列{}n a 中，12345634159,88a a a a a a a a +++++==-，则123456111111a a a a a a +++++=（ ） A ．35B ．35C ．53D ．53-17．设b R ∈，数列{}n a 的前n 项和3nn S b =+，则（ ） A ．{}n a 是等比数列B ．{}n a 是等差数列C ．当1b ≠-时，{}n a 是等比数列D ．当1b =-时，{}n a 是等比数列18．数列{}n a 满足：点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上，则{}n a 的前10项和为（ ）A ．4092B ．2047C ．2046D ．102319．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若364,12S S ==，则12S =（ ） A ．50B ．60C ．70D ．8020．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*2n n S a n n N =+∈，则3a=（ ）A ．7-B ．3-C ．3D ．7二、多选题21．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---22．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．101a <<B ．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥23．已知等比数列{}n a 公比为q ，前n 项和为n S ，且满足638a a =，则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 为单调递增数列B ．639S S = C ．3S ，6S ，9S 成等比数列D ．12n n S a a =-24．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列 B ．若4123,27,a a ==则89a =± C ．若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D ．若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-125．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列D ．3a ，6a ，9a 成等比数列26．记单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-= B ．12n n aC ．21nn S =-D ．121n n S -=-27．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为（ ）A ．8B ．12C ．－8D ．－1228．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（ ） A ．此人第六天只走了5里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍29．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ）A ．()21121n nS n a -=-⋅ B ．212n n S S =C ．2311222n n n S S ≥-+ D ．212n n S S ≥+30．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．8601a a <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T31．设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件1201920201,1a a a >>,20192020101a a -<-,下列结论正确的是（ ）A ．S 2019<S 2020B ．2019202010a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值32．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路33．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S =B ．若2q >，则n n T S >C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 34．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 35．等比数列{}n a 中，公比为q ，其前n 项积为n T ，并且满足11a >.99100·10a a ->，99100101a a -<-，下列选项中，正确的结论有（ ） A ．01q << B ．9910110a a -< C ．100T 的值是n T 中最大的D ．使1n T >成立的最大自然数n 等于198【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】根据题意，由等比数列的通项公式，以及题中条件，即可求出结果. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11nn a a q -=，所以q = 所以111111k k n n k a a a a a ---⎛⎫ ⎪⎛== ⎭⎝⎝1111n k k n n na a----==⋅ 故选：C. 2．B【分析】根据等比中项性质可得24a =，直接求解即可. 【详解】由等比中项性质可得：2144a =⨯=，所以2a =±， 故选：B 3．D 【分析】由2n n S a =-利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将2(1)0nn n S T λ-->恒成立，转化为()()321(1)210nnnλ---+>对*n N ∈恒成立，再分n 为偶数和n 为奇数讨论求解.【详解】当1n =时，112S a =-，得11a =； 当2n ≥时，由2n n S a =-， 得112n n S a --=-，两式相减得112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列. 因为112n n a a -=， 所以22114n n a a -=. 又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列， 所以1112211212nn n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 由2(1)0nnn S T λ-->，得214141(1)10234nnnλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以221131(1)1022nn nλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---->⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以211131(1)110222n n nnλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+>⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.又*n N ∈，所以1102n⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以1131(1)1022n nnλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即()()321(1)210nnnλ---+>对*n N ∈恒成立，当n 为偶数时，()()321210nnλ--+>，所以()()321321663212121nnn n n λ-+-<==-+++， 令6321n n b =-+，则数列{}n b 是递增数列，所以22693215λb <=-=+； 当n 为奇数时，()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121nnn n n λ-+--<==-+++，所以16332121λb -<=-=-=+， 所以1λ>-.综上，实数λ的取值范围是91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题. 4．B 【分析】首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得n T ，根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项. 【详解】设等比数列{}n a 为q ，则等比数列的公比414141328a q a -===，所以12q =， 则其通项公式为：116113222n n n n a a q ---⎛⎫=⋅=⨯= ⎪⎝⎭，所以()()5611542212622222nn +n n n n n T a aa ---==⨯==，令()11t n n =-，所以当5n =或6时，t 有最大值，无最小值，所以n T 有最大项，无最小项. 故选：B. . 5．D 【分析】根据等比数列定义知3813q =，解得答案.【详解】4个数成等比数列，则3813q =，故3q =.故选：D. 6．A 【分析】根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2326a a a =，即2(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)661(2)2422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-. 故选：A 7．C 【分析】根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出5S 的结果.【详解】因为12234,12a a a a +=+=，所以23123a a q a a +==+，所以1134a a +=，所以11a =， 所以()5515113121113a q S q--===--， 故选：C. 8．C由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由10210310a a ->，即1021031a a >，则有21021a q ⨯>，即0q >。
2022-2023学年安徽师范大学附属中学高二上学期入学考试数学试题+答案解析(附后)
2022-2023学年安徽师范大学附属中学高二上学期入学考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.按从小到大顺序排列的9个数据：10，16，25，33，39，43，m，65，若这组数据的第一四分位数与第三四分位数的和是73，则m等于( )A. 40B. 48C. 50D. 573.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A. 若，，则B. 若，，，则C. 若，，则D. 若，，，则4.已知长方体的表面积是，过同一顶点的三条棱长之和是6 cm，则它的体对角线长是( )A. B. 4 cmC. D.5.三棱锥中，M是棱BC的中点，若、y、，则值为( )A. 0B.C. 1D.6.锐角的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，某数学兴趣小组探究该三角形时，提出以下四个论断：甲：乙：丙：丁：若上述四个论断中有且只有一个是正确的，则正确的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7.如图，在平面四边形ABCD中，，，则向量在向量上的投影向量为A. B. C. D.8.已知定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，且满足若当时，总有，则满足的实数m 的取值范围为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.AQI表示空气质量指数，AQI的数值越小，表明空气质量越好.当AQI的数值不大于100时称空气质量为“优良”，大于100时称空气质量为“污染”.某地2022年5月1日到20日AQI数值的统计数据的折线图如下，则下列说法正确的是( )A. 这20天中，有10天空气质量为“优良”，上旬的空气质量比中旬的好B. 这20天中，空气质量最好的是5月15日，最差的是5月19日C. 这20天AQI的数值的中位数大于100D. 这20天AQI的数值中，上旬数值的方差大于中旬数值的方差10.设复数，R，i为虚数单位，是z的共轭复数，则下列说法正确的是( )A. 若，则B. 若，，则C. D.11.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成如图所示，若它所有棱的长都为2，则( )A. 平面ABEB. 该二十四等边体的体积为C. 与的夹角为D. 该二十四等边体的外接球的表面积为12.在中，是AC的中点，则下列说法正确的是( )A. 若，点D在线段BC的延长线上，则B. 若E是AB的中点，BF与CE相交于点Q，则C. 若点P在线段AC上，则的值可以是D. 若E是线段AB上一动点，则为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽安徽师范大学附属中学高二数学等差数列练习试题百度文库
一、等差数列选择题1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ）A ．48B ．60C ．72D ．242．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米 3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列4．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．167．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸D ．二丈二尺五寸8．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 9．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4D ．-410．已知数列{}n a 的前项和221n S n =+，n *∈N ，则5a =（ ）A ．20B ．17C ．18D ．1911．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ） A ．24B ．39C ．104D ．5212．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（ ）人A ．225B ．255C ．365D ．46513．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25B ．11C ．10D ．914．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．1015．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51B ．57C ．54D ．7216．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ）A ．3、8、13、18、23B ．4、8、12、16、20C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2217．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱 18．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，则10a 等于（ ） A ．10BC ．64D ．419．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．420．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．320二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！23．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值26．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．827．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值28．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <29．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列30．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =D ．15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．A 【分析】根据条件列方程组，求首项和公差，再根据107891093S S a a a a -=++=，代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选：A 2．B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选：B. 3．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 4．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =， 则公差为31322a a d -==， 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 5．B 【分析】设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断D ． 【详解】设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ⨯+≥⨯+，所以2d ≤-，A 正确；所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=，B 错误；1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得101n d≤-+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d≥-， 所以10101n d d-≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤， 当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =⨯+⨯-=，当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =⨯+⨯-=，C 正确． 又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得．6．A 【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22nn n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22nn n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 7．D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和． 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-，则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ． 8．D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D. 9．A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.10．C 【分析】根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果． 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈， 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=． 故选：C ． 11．D 【分析】根据等差数列的性质计算求解． 【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，74a =，∴11313713()13134522a a S a +===⨯=． 故选：D ． 12．B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和 【详解】解：当n 为奇数时，2n n a a +=，当n 为偶数时，22n n a a +-=， 所以13291a a a ==⋅⋅⋅==，2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=， 故选：B 13．D 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ． 14．D 【分析】由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ，即可求得5a . 【详解】解：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由542S S =，248a a +=，得：111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩，即{1132024a d a d +-+=， 解得：{123a d =-=，51424310a a d ∴=+=-+⨯=.故选：D. 15．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选：B 16．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则712514716a a d --===-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 17．C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +， 则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=， 故选：C . 18．D 【分析】利用等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}3n a 的公差，可求得310a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，由于11a =，22a =，则数列{}3n a 的公差为33217d a a =-=，所以，33101919764a a d =+=+⨯=，因此，104a .故选：D. 19．B 【分析】 由题意可得221114n na a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n na a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，所以2114(1)43nn n a =+-=-，因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14n b ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题 20．C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。
安徽安徽师范大学附属中学高二数学平面向量及其应用练习试题百度文库
C．若 ，则 为等腰三角形
D．在 中，若 ， ，三角形面积 ，则三角形外接圆半径为
9．设P是 所在平面内的一点， 则（）
A． B．
C． D．
10．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ）
A．在 ABC中，a：b：c＝sinA：sinB：sinC
B．在 ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
一、多选题
1．已知非零平面向量 ， , ,则（）
A．存在唯一的实数对 ，使 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2．正方形 的边长为 ，记 ， ， ，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．
3．已知 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）
A．
B．若 且 ，则
C．两个非零向量 ， ，若 ，则 与 共线且反向
中，若 ， ，三角形面积 ， ， ，∴ ， ，
∴ ， ，D错．
故选：AB．
【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．
9．CD
【分析】
转化为，移项运算即得解
【详解】
由题意：
故
即
,
故选：CD
【点睛】
本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.
A．
B．若 ，则
C． ，其中 为 外接圆的半径
D．若 为非直角三角形，则
6．已知在平面直角坐标系中，点 ， .当 是线段 的一个三等分点时，点 的坐标为（）
A． B． C． D．
7．已知点 ， ，与向量 平行的向量的坐标可以是（ ）
安徽安徽师范大学附属中学高二数学复数练习试题百度文库
一、复数选择题1．已知复数()2m m m iz i--=为纯虚数，则实数m =（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．0或12．212ii+=-（ ） A ．1B ．−1C ．i -D ．i3．已知i 是虚数单位，则复数41ii+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知复数5i5i 2iz =+-，则z =（ ）A B ．C ．D ．5．若复数1211iz i+=--，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知复数()211i z i-=+，则z =（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i +D ．1i -7．若1m ii+-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）．A ．1-B ．0C ．1D8．设复数2i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．若复数2i1ia -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ）A B C ．3D ．510．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（ ）A B ．2C ．10D11．复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．43π12．设复数z 满足41iz i=+，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ） A ．68i + B ．68i - C ．68i -- D ．68i -+ 14．已知i 是虚数单位，2i z i ⋅=+，则复数z 的共轭复数的模是（ ）A ．5BC D ．315．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi -的模等于（ ）A BC D二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限 17．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ） A ．0B ．2-C ．2iD ．2i -18．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ） A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =19．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为220．复数z 满足233232iz i i+⋅+=-，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的实部为3-B ．z 的虚部为2C ．32z i =-D ．||z =21．若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．|z |=B ．z 的实部是2C ．z 的虚部是1D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限22．下列结论正确的是（ ）A ．已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ9.49.1yx =+，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1B ．在两个变量y 与x 的回归模型中，用相关指数2R 刻画回归的效果，2R 的值越大，模型的拟合效果越好C ．若复数1z i =+，则2z =D ．若命题p ：0x R ∃∈，20010x x -+<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x -+≥23．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ） A ．若12z z =，则12=z z B ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >24．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）．A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 25．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ） A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122-C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为226．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限27．下面四个命题，其中错误的命题是（ ） A ．0比i -大 B ．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C ．1x yi i +=+的充要条件为1x y ==D ．任何纯虚数的平方都是负实数 28．（多选）()()321i i +-+表示( )A ．点()3,2与点()1,1之间的距离B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模29．已知复数z ，下列结论正确的是（ ） A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件 B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件 C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件 D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件30．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．C 【分析】结合复数除法运算化简复数，再由纯虚数定义求解即可 【详解】解析：因为为纯虚数，所以，解得， 故选：C. 解析：C 【分析】结合复数除法运算化简复数z ，再由纯虚数定义求解即可 【详解】 解析：因为()()22m m m iz m m mi i--==--为纯虚数，所以200m m m ⎧-=⎨≠⎩，解得1m =，故选：C.2．D【分析】利用复数的除法运算即可求解. 【详解】 ，解析：D 【分析】利用复数的除法运算即可求解. 【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i ii i i i i +++++====--+-， 故选：D3．A 【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】，所以复数对应的坐标为在第一象限， 故选：A解析：A 【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】44(1)2(1)12i i i i i -==++，所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限， 故选：A 4．B 【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】 由题，得，所以. 故选：B.解析：B 【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】由题，得()()()5i 2+i 5i5i 5i 1+7i 2i 2i 2+i z =+=+=---，所以z == 故选：B.5．B 【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可，所以，在复平面内的对应点为，则对应点位于第二象限 故选：B解析：B 【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可 【详解】()()12i 1i 12i33i 33i 111i 2222z +++-+=-=-==-+-， 所以，z 在复平面内的对应点为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对应点位于第二象限 故选：B6．B 【分析】根据复数的除法运算法则求出复数，然后根据共轭复数的概念即可得解. 【详解】 由题意可得，则. 故答案为：B解析：B 【分析】根据复数的除法运算法则求出复数z ，然后根据共轭复数的概念即可得解. 【详解】由题意可得()()()()()212111111i i i z i i i ii i ---===--=--++-，则1z i =-+.故答案为：B7．C 【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题是纯虚数， 为纯虚数， 所以m=1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟解析：C对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题1m ii+-是纯虚数， ()()()()()()21111111222m i i m m i i m m i m i i i i +++++++-===+--+为纯虚数， 所以m =1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则.8．D 【分析】先求出，再求出，直接得复数在复平面内对应的点 【详解】因为，所以，在复平面内对应点，位于第四象限. 故选：D解析：D 【分析】先求出z ，再求出z ，直接得复数z 在复平面内对应的点 【详解】 因为211i z i i==++，所以1z i -=-，z 在复平面内对应点()1,1-，位于第四象限.故选：D9．B 【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模. 【详解】 由复数（）为纯虚数，则 ，则 所以 故选：B解析：B 【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模.由()()()()()()21i 2221112a i a a ia i i i i ----+-==++- 复数2i1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则202202a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩ ，则2a =所以112ai i -=-=故选：B10．D 【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】 因为， 所以，， 所以， 故选:D.解析：D 【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】 因为1z i =+，所以1z i =-，12z i +=+，所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-== 故选:D.11．C 【分析】写出复数的三角形式，绕原点逆时针方向旋转得到复数的三角形式，从而求得的三角形式得解. 【详解】 ,,所以复数在第二象限，设幅角为， 故选：C在复平面内运用复数的三解析：C 【分析】写出复数11z =的三角形式1cos 0sin 0z i =+，绕原点O 逆时针方向旋转3π得到复数2z 的三角形式，从而求得212z z -的三角形式得解. 【详解】11z =,1cos 0sin 0z i ∴=+,121(cos sin )3322Z i O OZ ππ=+=+2111()222z z --∴=+所以复数在第二象限，设幅角为θ，tan θ=23πθ∴=故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键.12．D 【分析】先对化简，从而可求出共轭复数，再利用复数的几何意义可得答案 【详解】 解：因为， 所以，所以共轭复数在复平面内的对应点位于第四象限， 故选：D解析：D 【分析】先对41iz i=+化简，从而可求出共轭复数z ，再利用复数的几何意义可得答案 【详解】解：因为244(1)4(1)=2(1)22221(1)(1)2i i i i i z i i i i i i i i --===-=-=+++-， 所以22z i =-，所以共轭复数z 在复平面内的对应点位于第四象限， 故选：D13．D 【分析】设，根据复数对应的向量与共线，得到，再结合求解. 【详解】 设，则复数对应的向量， 因为向量与共线， 所以， 又， 所以， 解得或，因为复数对应的点在第三象限， 所以， 所以，，解析：D 【分析】设(,)z a bi a R b R =+∈∈，根据复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，得到43a b =，再结合10z =求解.【详解】设(,)z a bi a R b R =+∈∈， 则复数z 对应的向量(),OZ a b =， 因为向量OZ 与(3,4)a =共线， 所以43a b =， 又10z =， 所以22100+=a b ， 解得68a b =-⎧⎨=-⎩或68a b =⎧⎨=⎩， 因为复数z 对应的点在第三象限，所以68a b =-⎧⎨=-⎩，所以68z i =--，68z i =-+， 故选：D14．C 【分析】首先求出复数的共轭复数，再求模长即可.【详解】据题意，得，所以的共轭复数是，所以.故选：C.解析：C【分析】首先求出复数z 的共轭复数，再求模长即可.【详解】 据题意，得22(2)12121i i i i z i i i ++-+====--，所以z 的共轭复数是12i +，所以z =.故选：C.15．C【分析】首先根据复数相等得到，，再求的模即可.【详解】因为，所以，.所以.故选：C解析：C【分析】首先根据复数相等得到1a =-，2b =，再求a bi -的模即可.【详解】因为()21a i b i i bi +=+=-+，所以1a =-，2b =.所以12a bi i -=--==故选：C 二、多选题16．AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.18．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 19．ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确； 易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 20．AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；，C 错误；，D 正确；故选:A解析：AD【分析】由已知可求出32z i =--，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】 解：由233232i z i i +⋅+=-知，232332i z i i +⋅=--，即()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+ 39263213i i --==--，所以z 的实部为3-，A 正确；z 的虚部为-2，B 错误；32z i =-+，C 错误；||z ==D 正确； 故选:AD.【点睛】 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.21．ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.【详解】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复解析：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，根据共轭复数概念得到z ，即可判断.【详解】(1i)3i z +=+，()()()()3134221112i i i i z i i i i +-+-∴====-++-，z ∴==，故选项A 正确，z 的实部是2，故选项B 正确，z 的虚部是1-，故选项C 错误， 复数2z i =+在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限，故选项D 正确.故选：ABD .【点睛】本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.22．ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当时，，则该方程相应于点（2，29）的残差为，则A 正确；在两个变量解析：ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当2x =时，ˆ9.429.127.9y=⨯+=，则该方程相应于点（2，29）的残差为2927.9 1.1-=，则A 正确；在两个变量y 与x 的回归模型中，2R 的值越大，模型的拟合效果越好，则B 正确；1z i =-，z ==C 错误；由否定的定义可知，D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了残差的计算，求复数的模，特称命题的否定，属于中档题. 23．BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确； 当两个复数的模相等时，复数不一定相等，比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.24．AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D.【详解】，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；，则，解析：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误； 令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣，=，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.25．ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确 选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误 选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确 选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围26．AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误.故选解析：AB【分析】 求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项. 【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确；2211312242422ω⎛⎫=-+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；221111222212ω---====--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,2⎛- ⎝⎭，在第三象限，故D 选项错误. 故选：AB【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.27．ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，解析：ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，A 选项错误；对于B 选项，()()123i i ++-=，但1i +与2i -不互为共轭复数，B 选项错误； 对于C 选项，由于1x yi i +=+，且x 、y 不一定是实数，若取x i =，y i =-，则1x yi i +=+，C 选项错误；对于D 选项，任取纯虚数()0,ai a a R ≠∈，则()220ai a =-<，D 选项正确. 故选：ABC.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.28．ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确,故选:ACD【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模29．BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数， 所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件； 若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.30．AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
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安大附中高二数学单元测试题. 总分:150分 时间:120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 请把答案填在答题卡上 1．与命题“若M a ∈，则M b ∉”等价的命题是 A ．若M a ∈，则M b ∈ B ．若M b ∉，则M a ∈ C ．若M a ∉，则M b ∈ D ．若M b ∈，则M a ∉2．命题 q 为简单命题，则“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数xx x x x f --+=||)2ln()(2的定义域为A ．1(-，)2B ．1(-,0()0 ,)2C ．1(-，)0D ．0(，)24．已知 B C 是三角形的三个顶点，CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为A ．等腰三角形B ．直角三角开C ．等腰直角三角形D ．既非等腰三角形又非直角三角形5．集合a B A {= ，}b ，a B A {= ，b ，c ，}d ，则满足上述条件的集合B 有A ．3对B ．4对C ．6对D ．8对6． R n ∈，a b c 是共起点的向量，a b 不共线，b n a m c +=，则ab c 的终点共线的充分必要条件是A ．1-=+n mB ．0=+n mC ．1=-n mD ．1=+n m7．关于函数21)43sin(2-+=πx y ，有以下三种说法：①图象的对称中心是点123(ππ-k ，))(0Z k ∈ ②图象的对称轴是直线)(123Z k k x ∈-=ππ③函数的最小正周期是32π=T 其中正确的说法是： A ．①②③ B ．②③C ．①③D ．③8．设)(x f 是以3为周期的周期函数，且0(∈x ，]3时x x f lg )(=，N 是)(x f y =图象上的动点，2(=，)10，则以M 点的轨迹为图象的函数在1(，]4上的解析式为A ．10)1lg()(--=x x g ，1(∈x ，]4B ．10)1lg()(+-=x x g ，1(∈x ，]4C ．10)5lg()(+-=x x g ，1(∈x ，]4D ．10)2lg()(-+=x x g ，1(∈x ，]49．已知4log )tan(32=+βα，2log 9log 115log 40log )4tan(3222⨯⨯-=+πα，则=-)4tan(πβA ．51B ．41C ．1813 D ．2213 10．函数|log |)(3x x f =在区间a [，]b 上的值域为[0，1]，则a b -的最小值为 A ．2B ．1C ．31D ．32 11．已知连续函数)(x f 是R 上的增函数，且点1(A ，)3 1(-B ，)1在它的图象上，)(1x f -为它的反函数，则不等式1|)(log |21<-x f 的解集是 A ．1(，)3B ．2(，)8C ．1(-，)1D ．2(，)912．某地2000年底，人口为500万，人均住房面积为6平方米，如果该地的人口年平均增长率为1%，为使该地到2010年底，人均住房面积达到7平方米，那么平均每年比上一年应新增住房面积（精确到 1万平方米，已知105.101.110=）A ．86 8万平方米B ．19 3万平方米C ．15 8万平方米D ．17 3万平方米安大附中高二数学单元测试题.答题卷一二 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 请把答案填在题中横线上13．利用指数函数在同一坐标系中的图象比较大小可得8.07.0_____.08.014．在直角坐标平面内，已知点列1(1P ，2 2(2P ，)22 3(3P ，)23，…，n P n (，)2n ，……如果k 为正偶数，则向量k k P P P P P P P P 1654321-++++ 的坐标（用k 表示）为________15．已知数列}{n a 中，31=a ，2≥n 时341+=-n n a a ，则}{n a 的通项公式n a16．已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且)(1)(1)2(x f x f x f -+=+，若32)1(+=f ，则)2005(f =____________三 解答题：本大题共6小题，共74分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）已知函数)(x f )(x g 对任意实数 y 分别满足①)(3)1(x f x f =+且31)0(=f ；②y xg y x g 2)()(+=+且15)6(=g ，n 为正整数 （1）求数列({n f )}({n g 的通项公式； （2）设)]([n f g c n =，求数列}{n c 的前n 项和18．（本小题满分12分）已知函数xx x x x f cos 2)cos (sin 2sin )(+=λ，83[π-∈x ，]4π，)0(≠λ(1)求函数)(x f 的单调递增区间；(2)当2=λ时，写出由函数x y 2sin =的图象变换到与)(x f y =的图象重叠的变换过程 19．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三边a b c 成等比数列，且774cot cot =+C A ，=+c a （1）求B cos ； （2）求ABC ∆的面积20．（本小题满分12分）已知定义域为[0，1]的函数)(x f 同时满足以下三条：①对任意的∈x [0，1]，总有0)(≥x f ；②1)1(=f ；③若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则有)()()(2121x f x f x x f +≥+成立 解答下列各题：（1）求)0(f 的值；（2）函数12)(-=x x g 在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明； （3）假定存在∈0x [0，1]，使得∈)(0x f [0，1]且00)]([x x f f =，求证0)(x x f =21．（本小题满分14分）已知向量α(cos =，)sin α，β(cos =，)sin β且||3||k -=+，31->k ，R k ∈（1）用k 表示b a ⋅；（2）当⋅最小时，求向量+与向量k -的夹角θ22．（本小题满分12分）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且函数)(x f y =与)(x g y =的图象关于直线1=x 对称，当2>x 时，a x x a x g ()2()2()(3---=为常数）（1）求)(x f 的解析式；（2）若)(x f 对区间1[，)+∞上的每个x 值，恒有a x f 2)(-≥成立，求a 的取值范围高二年级数学（理）参考答案一 DACBBD DABDBC二 13．<14．2(k，)3221-+k 15．14-n 16．23-三 17．（1）由)(3)1(x f x f =+，1)0(3)01()1(==+=f f f ，知)}({n f 成等比数列，11331)(--=⋅=n n n f ……………………………………………………3分由②中令n x =，1=y ，得2)()1(+=+n g n g ，知)}({n g 成等差数列，322)6()6()(+=⋅-+=n n g n g ，即32)(+=n n g ……………………6分（2）3323)(2)]([1+⨯=+=-n n f n f g ………………………………………9分 133313132321-+=+--⋅=++++∴n n c c c c n n n ……………………12分18．2)42sin(22)(λπλ+-=x x f ，83[π-∈x ，]4π ……………………………4分 （1）483ππ≤≤-x 442πππ≤-≤-∴x当0>λ时，由4422πππ≤-≤-x 得单调增区间为8[π-，]4π………6分同理，当0<λ时，函数的单调递增区间为83[π-，]8π……………8分注：单调区间写成开区间，半开区间均给全分（2）当2=λ时，1)42sin(2)(+-=πx x f ，83[π-∈x ，]4π将x y 2sin =的图象右移8π个单位可得)42sin()8(2sin ππ-=-=x x y 的图象，再将图象上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，而横坐标保持不变， 可得)42sin(2)(π-=x x f 的图象，再将所得图象上移一个单位，可得1)42sin(2)(+-=πx x f 的图象 ……………………………………12分19．（1）由774sin sin )sin(774cot cot =+⇒=+CA C A C AB C A 2sin sin sin = ，B C A sin )sin(=+774sin sin 2=∴BB 47s i n =B ………………………………………5分由 b c 成等比数列，知ac b =2，且b 不是最大边43471sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∴B B …………………………………6分 （2）由余弦定理 B ac c a b cos 2222-+=得ac c a ac c a ac 27)(432222-+=⋅-+=得2=ac …………………………………………………………………11分47sin 21==∴∆B ac S ABC ………………………………………………12分20．（1）取021==x x 得0)0()0()0()0(≤⇒+≥f f f f又由①0)0(≥f ，故0)0(=f …………………………………………4分 （2）显然12)(-=x x g ，在[0，1]满足①0)(≥x g ；满足②1)1(=g 若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则]1212[12)]()([)(21212121-----=+-++x x x x x g x g x x g 0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x故)(x g 适合①②③……………………………………………………8分 （3）由③知任给 ∈n [0，1]，n m <时)()(n f m f ≤事实上 ∈n [0，1]，n m <知∈-m n [0，1])()()()()(m f m f m n f m m n f n f ≥+-≥+-=∴……………………10分 若)(00x f x <，则000)]([)(x x f f x f =≤ 前后矛盾 若)(00x f x >，则000)]([)(x x f f x f =≥ 前后矛盾故)(00x f x = ………………………………………………………12分 21．（1）22||3||b k a b a -=+])sin (sin )cos [(cos 3)sin (sin )cos (cos 2222βαβαβαβαk k +++=+++∴得 131321)c o s (2++=-k k βα………………………………………………4分由31->k 及1|)cos(|≤-βα 得33213321+≤≤-k)cos(sin sin cos cos βαβαβα-=+=⋅∴1313212++=k k ，3321[-∈k ，]3321+……………………………6分令t k =+13，则0>t ，)1(31-=t k 代入上式可得31)242(61)24(6142612=-≥-+=+-=⋅t t tt t b a当且仅当2=t ，即31=k 时，取“=”，31)(min =⋅b a …………………10分（2）此时)1()(cos b a b a -⋅+==θb a b a ⋅+-=2122………………………12分将12=a ，12=b ，31=⋅b a 代入上式可得 33cos =θ， 33arccos=θ即b a +与b k a -的夹角为33arccos …………………………………14分22．（1）1°当0<x 时，22>-x ，设x P (，)0)(<x y 为)(x f y =上的任一点，则它关于直线1=x 的对称点为11(x P ，)1y ，满足 112x x y y=-⎧⎨=⎩且11(x P ，)1y 适合)(x g y =的表达式3111)2()2(---=∴x x a y 即3x ax y +-=……………………………4分 2°当0>x 时，0<-x ，)(x f 为奇函数33])()([)()(x ax x x a x f x f +-=-+---=--=∴………………………5分 3°当0=x 时，3000)(+⨯-==a x f综上 3)(x ax x f +-=，R x ∈………………………………………6分 （2）由题意1[∈x ，)+∞时，a x f 2)]([min -≥23)('x a x f +-=，当0≤a 时，0)('≥x f 恒成立，)(x f 在1[，)+∞是增函数a a f 21)1(-≥+-=∴得1-≥a ，即01≤≤-a …………………………8分当0>a 时，令0)('=x f 得31a x -=，32a x =若13<a ，即30<<a 时，则)('x f 在1[，)+∞大于零，)(x f 在1[，)+∞是增函数，a a f 21)1(-≥+-=∴得30<<a …………………………………10分 若13≥a ，即3≥a 时，则)(x f 在1[，)+∞的最小值是3323333a a a a a a f -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛令a a f 23-≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 得273≤≤a …………………………………………11分 综上 271≤≤-a ………………………………………………………12分11。