【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.1 Word版含答案
高二数学人教版选修2-1习题第2章圆锥曲线与方程2.4.1Word版含答案
9 2x
或
x2＝
4 3
y.
一、选择题
1．若动点 M(x，y)到点 F (4,0)的距离比它到直线 x＋ 5＝ 0 的距离小 1，则点 M 的轨迹方程是 ( )
A ． x＋ 4＝ 0 B ． x－4＝ 0 C． y2＝ 8x
D ． y2＝16x
[答案 ] D
[解析 ] 依题意可知 M 点到点 F 的距离等于 M 点到直线 x＝－ 4 的距离，因此其轨迹是抛
[解析 ] ∵点 M 到对称轴的距离为 6， ∴设点 M 的坐标为 (x,6)． 又∵点 M 到准线的距离为 10，
62＝ 2px， ∴ x＋ p2＝ 10.
x＝ 9，
x＝ 1，
解得
或
p＝ 2，
p＝ 18.
故当点 M 的横坐标为 9 时，抛物线方程为 y2＝ 4x.
当点 M 的横坐标为 1 时，抛物线方程为 y2＝ 36x.
知， P 点的横坐标 xP＝ 3 2，从而 yP＝ ±2 6，
∴
S△
POF
＝
1 2
|OF
|
·|yP|＝
12×
2×2
6＝2
3.
3．已知抛物线 y2＝ 2px(p>0) 的焦点为 F，点 P1(x1，y1)、P2(x2， y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且
2x2＝ x1＋ x3，则有 ( ) A ． |P1F |＋ |P2F|＝ |FP 3| C． 2|P2F|＝ |P1F |＋ |P3F |
物线，且 p＝ 8，顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上，
∴其方程为 y2＝ 16x，故答案是 D.
2．O 为坐标原点， F 为抛物线 C： y2＝4 2x 的焦点， P 为 C 上一点，若 |PF |＝ 4 2，则△ POF 的面积为 ( )
高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.1 Word版含答案
第二章一、选择题．在平面直角坐标系内，到点()和直线＋＝的距离相等的点的轨迹是( )．直线．抛物线．圆．双曲线[答案][解析]∵点()在直线＋＝上，故所求点的轨迹是过点()且与直线＋＝垂直的直线．．(·山东荷泽高二检测)过点()且与轴相切的圆的圆心的轨迹为( )．圆．椭圆．直线．抛物线[答案][解析]如图，设点为满足条件的一点，不难得出结论：点到点的距离等于点到轴的距离，故点在以点为焦点，轴为准线的抛物线上，故点的轨迹为抛物线，因此选.．(·广东深圳市宝安区高二期末调研)抛物线＝上一点的纵坐标为，则点与抛物线焦点的距离为( )．．．．[答案][解析]解法一：∵＝，∴＝·＝，∴＝±，∴(±)，焦点坐标为()，∴所求距离为＝＝.解法二：抛物线的准线为＝－，∴到准线的距离为，又∵到准线的距离与到焦点的距离相等．∴距离为.．抛物线＝的焦点为，点()在此抛物线上，为线段的中点，则点到该抛物线准线的距离为( )．．．．[答案][解析]∵点()在抛物线上，∴()＝，∴＝，到抛物线准线的距离为－(－)＝，到准线距离为，∴到抛物线准线的距离为＝＝.．已知抛物线＝(>)的准线与圆＋－－＝相切，则的值为( )．．．[答案][解析]抛物线的准线为＝－，将圆方程化简得到(－)＋＝，准线与圆相切，则－＝－，∴＝，故选.．(·黑龙江哈师大附中高二期中测试)设抛物线＝上一点到轴的距离是，则点到该抛物线焦点的距离为( )．．．．[答案][解析]∵点到轴的距离为，∴点到抛物线＝的准线＝－的距离＝＋＝，根据抛物线的定义知点到抛物线焦点的距离为.二、填空题．抛物线＝的准线方程是＝，则的值为[答案]－[解析]抛物线方程化为标准形式为＝，由题意得<，∴＝－，∴＝－，∴准线方程为＝＝－＝，∴＝－.．沿直线＝－发出的光线经抛物线＝反射后，与轴相交于点()，则抛物线的准线方程为(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行)[答案]＝－[解析]由直线＝－平行于抛物线的轴知()为焦点，故准线方程为＝－.三、解答题．若抛物线＝(>)上一点到准线及对称轴的距离分别为和，求点的横坐标及抛物线方程[解析]∵点到对称轴的距离为，∴设点的坐标为()．又∵点到准线的距离为，∴(\\(＝，＋()＝.))解得(\\(＝，＝，))或(\\(＝，＝.))故当点的横坐标为时，抛物线方程为＝.当点的横坐标为时，抛物线方程为＝.．求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－)的抛物线的标准方程[解析]∵点(－)在第二象限，。
【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第2章 圆锥曲线与方程2.2.1 Word版含解析
x2 y2 ＋ 2 ＝ 3 表 示 焦点 在 y 轴 上的 双曲 线 ，则 m 的取 值 范围 是 m－1 m －4
________. 导学号 92600366 [答案] (－∞，－2) [解析] 由题意，方程可化为
2 m －4>0 ∴ ，解得 m<－2. 1－m>0
数学学习总结资料
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C．21 [答案] D
D．26
[解析] |AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8， ∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16， ∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21， ∴△ABF2 的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26. 二、填空题 x2 y2 5．(2016· 浙江丽水高二检测)设双曲线与椭圆 ＋ ＝1 有共同的焦点，且与椭圆相交， 27 36 有一个交点的坐标为( 15，4)，则此双曲线的方程为________. 导学号 92600372 [答案] y2 x2 － ＝1 4 5 x2 y2 ＋ ＝1 的焦点坐标是(0，± 3)，根据双曲线的定义，知 2a＝ 27 36
，
9A＋ 16 B＝1 256 9 A＋25B＝1
225
A＝－16 ，解之得 1 B＝9
1
.
y2 x2 ∴所求双曲线方程为 － ＝1. 9 16
一、选择题 1．已知双曲线中心在原点，一个焦点为 F1(－ 5，0)，点 P 在该双曲线上，线段 PF1 的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是 导学号 92600368 ( x2 A． －y2＝1 4 x2 y2 C． － ＝1 2 3 y2 B．x2－ ＝1 4 x2 y2 D． － ＝1 3 2 )
2016-2017学年高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 第2课时 Word版含答案
第二章 2.4 2.4.2 第2课时一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝导学号 33780596( )A ．2或－2B ．－1C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k 2＝4，即k ＝2. 2．抛物线y ＝14x 2的焦点关于直线x －y －1＝0的对称点的坐标是导学号 33780597( )A ．(2，－1)B ．(1，－1)C ．(14，－14)D ．(116，－116)[答案] A[解析] y ＝14x 2⇒x 2＝4y ，焦点为(0,1)，其关于x －y －1＝0的对称点为(2，－1)．3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是导学号 33780598( )A ．12B ．－12C ．3D ．－3[答案] D[解析] 设A (y 214，y 1)、B (y 224，y 2)，则OA →＝(y 214，y 1)，OB →＝(y 224，y 2)，则OA →·OB →＝(y 214，y 1)·(y 224，y 2)＝y 21y 2216＋y 1y 2，又∵AB 过焦点，则有y 1y 2＝－p 2＝－4，∴OA →·OB →＝(y 1y 2)216＋y 1y 2＝(－4)216－4＝－3，故选D.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线导学号 33780599( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[答案] B[解析] 由定义|AB |＝5＋2＝7， ∵|AB |min ＝4，∴这样的直线有两条．5．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是导学号 33780600( )A ．1B ．2C ．58D ．158[答案] D[解析] 如图所示，设AB 的中点为P (x 0，y 0)，分别过A ，P ，B 三点作准线l 的垂线，垂足分别为A ′，Q ，B ′，由题意得|AA ′|＋|BB ′|＝|AB |＝4，|PQ |＝|AA ′|＋|BB ′|2＝2，又|PQ |＝y 0＋18，∴y 0＋18＝2，∴y 0＝158.6．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于导学号 33780601( )A ．9B ．6C ．4D ．3[答案] B[解析] 设A 、B 、C 三点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)．由题意知F (1,0)，因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3.根据抛物线定义，有|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝3＋3＝6.故选B.二、填空题7．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线，截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15，则抛物线方程为________.导学号 33780602[答案] y 2＝12x 或y 2＝－4x[解析] 设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)① 直线变形为y ＝2x ＋1② 设抛物线截直线所得弦长为AB⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax y ＝2x ＋1消y 得(2x ＋1)2＝ax 整理得4x 2＋(4－a )x ＋1＝0|AB |＝(1＋22)[(a －44)2－4×14]＝15解得a ＝12或a ＝－4∴所求抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .8．已知点F 为抛物线y 2＝－8x 的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，A 在抛物线上，且|AF |＝4，则|P A |＋|PO |的最小值是________.导学号 33780603[答案] 213[解析] 由|AF |＝4及抛物线定义得A 到准线的距离为4. ∴A 点横坐标为－2，∴A (－2,4).又原点关于准线的对称点的坐标为B (4,0)， 所以|P A |＋|PO |的最小值为：|AB |＝36＋16＝213. 三、解答题9．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上且BC ∥x 轴，证明：直线AC 经过原点O .导学号 33780604[解析] 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F (p2，0)，所以经过点F 的直线AB 的方程设为：x ＝my ＋p2代入抛物线方程得：y 2－2pmy －p 2＝0若记A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 1、y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2 因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，所以点C 的坐标为(－p2，y 2)，故直线CO 的斜率为：k ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1，即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点．10．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点.导学号 33780605 (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．[解析] (1)如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)，消去x 得，ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得y 1·y 2＝－1，y 1＋y 2＝－1k .∵A 、B 在抛物线y 2＝－x 上，∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴y 21·y 22＝x 1x 2. ∵k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB .(2)设直线与x 轴交于点N ，显然k ≠0. 令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)．∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(－1k)2＋4. ∵S △OAB ＝10， ∴10＝121k 2＋4，解得k ＝±16.一、选择题1．(2015·山东临沂市高二期末测试)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＋y 22的最小值为导学号 33780606( )A ．4B ．6C ．8D ．10[答案] C[解析] 当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝1，∴y 21＝4，y 22＝4， ∴y 21＋y 22＝8.当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，得ky 2－4y －4k ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋8， ∵k 2>0，∴y 21＋y 22>8，综上可知，y 21＋y 22≥8，故y 21＋y 22的最小值为8.2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为导学号 33780607( )A.12 B ．23C ．34D ．43[答案] D[解析] 由题意知，准线方程为x ＝－2，∴p ＝4， 抛物线方程：y 2＝8x ，焦点坐标(2,0)． 设过A 点的直线为y ＝k (x ＋2)＋3联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x y ＝k (x ＋2)＋3，化简得y 2－8k y ＋24k ＋16＝0①∴Δ＝64k 2－4(24k ＋16)＝0，∴k ＝12，k ＝－2(舍去)．将k ＝12代入方程①，∴y ＝8，∴x ＝8.B 点坐标为(8,8)． ∴k BF ＝88－2＝43. 3．(2016·四川理，8)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 斜率的最大值为导学号 33780608( )A.33 B ．23C.22D ．1[答案] C[解析] 设P (t 22p ，t )，易知F (p2，0)，则由|PM |＝2|MF |，得M (p ＋t 22p 3，t 3)，当t ＝0时，直线OM 的斜率k ＝0，当t ≠0时，直线OM 的斜率k ＝t p ＋t 22p ＝1p t ＋t 2p ，所以|k |＝1p |t |＋|t |2p ≤12p |t |·|t |2p＝22，当且仅当p |t |＝|t |2p 时取等号，于是直线OM 的斜率的最大值为22，故选C.4．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝导学号 33780609( )A.13 B ．23C ．23D ．223[答案] D[解析] 设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)y 2＝8x 消去y 得，k 2x 2＋4x (k 2－2)＋4k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4(2－k 2)k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2， 又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4， ∴4(2－k 2)k 2＝5，∴k 2＝89， ∵k >0，∴k ＝223.二、填空题5．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P (3,1)是一个定点，则|MP |＋|MF |的最小值是____________.导学号 33780610[答案] 4[解析] 过P 作垂直于准线的直线，垂足为N ，交抛物线于M ，则|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MN |＝|PN |＝4为所求最小值．6．在已知抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M 、N 关于直线y ＝kx ＋92对称，则k 的取值范围为________.导学号 33780611[答案] k >14或k <－14[解析] 设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)关于直线y ＝kx ＋92对称， ∴x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，即x 1＋x 2＝－1k .设MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝－12k ，y 0＝k ×(－12k )＋92＝4.因中点P 在y ＝x 2内，有4>(－12k )2⇒k 2>116，∴k >14或k <－14.三、解答题7．已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥ OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长.导学号 33780612[解析] 由A 、B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A (y 216，y 1)、B (y 226，y 2)．因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0.由OA →＝(y 216，y 1)，OB →＝(y 226，y 2)，得y 21y 2236＋y 1y 2＝0.∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36，①∵点A 、B 与点P (4,2)在一条直线上， ∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226， 化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24. 将①式代入，得y 1＋y 2＝－6.②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝610.8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2).导学号 33780613 (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． [解析] (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1， ∴p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x .消去x 得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0， 解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55， 可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 综上知：t ＝1.所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.。
【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第2章 圆锥曲线与方程2.1.2 Word版含解析
选修1-1 第二章 2.1 2.1.2一、选择题1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于导学号 92600326( )A ．4B ．5C ．7D ．8[答案] D[解析] 由题意知，c ＝2，a 2＝m －2，b 2＝10－m ， ∴m －2－10＋m ＝4，∴m ＝8.2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为导学号 92600327( )A ．12B ．13C ．14D ．22 [答案] A[解析] 由题意，得a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.3．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是导学号 92600328( )A ．x 225＋y 220＝1B ．x 220＋y 225＝1C ．x 220＋y 245＝1D ．x 280＋y 285＝1[答案] B[解析] 椭圆9x 2＋4y 2＝36的焦点为(0，5)，(0，－5)， ∵b ＝25，∴a 2＝25，故选B ．4．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为导学号 92600329( )A ．5－12 B ．3－12 C ．32D ．5＋12[答案] A[解析] 设椭圆的焦距为2c ，短轴长为2b ，长轴长为2a ，由题意得(2b )2＝4ac ，即b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac ， ∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝－1±52.∵e ∈(0,1)，∴e ＝5－12. 5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为导学号 92600330( )A ．14B ．12C ．2D ．4[答案] A[解析] 由题意y 21m ＋x 2＝1，且1m＝2， ∴m ＝14.故选A ．6．已知焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 2＝1，其离心率为32，则实数m 的值是导学号 92600331( )A ．4B ．14C ．4或14D ．12[答案] B[解析] 由题意，得a 2＝1，b 2＝m ， ∴c 2＝a 2－b 2＝1－m ， ∴离心率e ＝c a ＝1－m ＝32，∴m ＝14.二、填空题7．已知椭圆的中心在原点，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆标准方程为________.导学号 92600332[答案] x 281＋y 272＝1或x 272＋y 281＝1[解析] ∵椭圆长轴长为18，∴a ＝9. 又两个焦点将长轴三等分，∴a －c ＝2c ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝72. ∵焦点位置不确定，∴方程为x 281＋y 272＝1或x 272＋y 281＝1.8．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.导学号 92600333[答案] 3或163[解析] 当焦点在x 轴上时，e ＝4－m 2＝12， ∴m ＝3.当焦点在y 轴上时，e ＝m －4m＝12，∴m ＝163. 9．已知B 1、B 2为椭圆短轴的两个端点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，若四边形B 1F 1B 2F 2为正方形，则椭圆的离心率为________.导学号 92600334[答案]22[解析] 如图，由已知得b ＝c ＝22a ，∴e ＝c a ＝22.三、解答题10．(2016·江苏苏州高二检测)已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直.导学号 92600335(1)求椭圆的离心率； (2)求△PF 1F 2的面积．[解析] (1)由题意可知a 2＝49，b 2＝24，∴a ＝7，b ＝26，c 2＝a 2－b 2＝25，∴c ＝5，e ＝57.(2)由椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14，由题意可知在Rt △PF 1F 2中有：|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝100，∴2|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝142－100＝96， ∴|PF 1||PF 2|＝48.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24.一、选择题1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为导学号 92600336( )A ．x 2144＋y 2128＝1或x 2128＋y 2144＝1B ．x 26＋y 24＝1C ．x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1D ．x 24＋y 26＝1或x 26＋y 24＝1[答案] C[解析] 由条件知a ＝6，e ＝c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32，故选C ．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为导学号 92600337( )A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1D ．x 212＋y 24＝1[答案] C[解析] 根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b 2＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.3．若直线y ＝x ＋6与椭圆x 2＋y 2m2＝1(m >0且m ≠1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为导学号 92600338( )A ．1B ． 5C ．2D ．2 5[答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋6x 2＋y 2m 2＝1，得(1＋m 2)x 2＋26x ＋6－m 2＝0，由已知Δ＝24－4(1＋m 2)(6－m 2)＝0，解得m 2＝5， ∴椭圆的长轴长为2 5.4．已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为导学号 92600339( )A ．1B ．1或2C ．2D ．0[答案] C[解析] 因为直线过定点(3，－1)且3225＋(－1)236<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l 与椭圆有2个公共点．二、填空题5．若椭圆的一个焦点将其长轴分成3 2两段，则椭圆的离心率为________.导学号 92600340[答案] 5－2 6[解析] 椭圆的一个焦点将其长轴分成a ＋c 与a －c 两段， ∴a ＋c a －c ＝32， ∴(3－2)a ＝(3＋2)c ， ∴e ＝ca＝5－2 6.6．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，则椭圆的方程是________.导学号 92600341[答案] x 212＋y 29＝1[解析] 如图所示，cos ∠OF 2A ＝cos60°＝|OF 2||AF 2|，即c a ＝12.又a －c ＝3， ∴a ＝23，c ＝3， ∴b 2＝(23)2－(3)2＝9. ∴椭圆的方程是x 212＋y 29＝1.三、解答题7．已知斜率为1的直线l 经过椭圆x 2＋4y 2＝4的右焦点交椭圆于A 、B 两点，求弦长|AB |.导学号 92600342[解析] 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由椭圆方程知：a 2＝4，b 2＝1，∴c 2＝3，∴右焦点F (3，0)．∴直线l 的方程为y ＝x －3，代入椭圆方程得 5x 2－83x ＋8＝0. ∴x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，∴|AB |＝2|x 2－x 1|＝2(x 1＋x 2)2－8x 1x 2＝85.8．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率.导学号 92600343[解析] 解法一：设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a 、b 、c ，则焦点为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形.在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2， 即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.解法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.。
【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修2-1习题 综合素质检测2 Word版含答案
第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2015·广东文，8)已知椭圆x225＋y2m2＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝导学号33780631()A．2B．3C．4D．9[答案] B[解析]由题意得：m2＝25－42＝9，因为m＞0，所以m＝3，故选B.2．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－3y＝0的距离是导学号33780632() A．23B．2C. 3 D．1[答案] D[解析]由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝|2－3×0| 12＋(－3)2＝1.3．已知椭圆x2a2＋y225＝1(a>5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为导学号33780633()A．10 B．20C．241 D．441[答案] D[解析]由椭圆定义可知，有|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴△ABF2的周长L＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a.由题意可知b2＝25,2c＝8，∴c2＝16a2＝25＋16＝41，∴a＝41，∴L＝441，故选D.4．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为导学号33780634()A．y＝±2x B．y＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x[答案] C[解析] ∵2b ＝2,2c ＝23，∴b ＝1，c ＝3，∴a 2＝c 2－b 2＝3－1＝2，∴a ＝2，故渐近线方程为y ＝±22x .5．(2015·衡阳高二检测)“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的导学号 33780635( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 若方程x 2m －1＋y23－m＝1表示椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1>03－m >0m －1≠3－m⇒1<m <3且m ≠2，∴选B.6．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为导学号 33780636( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8[答案] C[解析] |AB |＝43，∴准线方程为x ＝－4，∴A (－4，23)在双曲线上设方程x 2a －y 2a 2＝1(a ≠0)，即16a 2－12a2＝1，∴a ＝2，∴实轴长2a ＝4.7．(2015·潮州高二检测)方程mx ＋ny 2＝0与mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)在同一坐标系中的大致图象可能是导学号 33780637( )[答案] A[解析] 方程y 2＝－m n x 表示焦点在x 轴的抛物线，当开口向右时，－mn >0，∴mn <0，∴mx 2＋ny 2＝1表示双曲线，选A.8．(2015·福建八县一中高二期末测试)经过点P (2，－2)且与双曲线C ：x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是导学号 33780638( )A.x 24－y 22＝1 B ．y 22－x 24＝1C.x 22－y 24＝1 D ．y 24－x 22＝1[答案] B[解析] 设所求双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又∵点P (2，－2)在双曲线上， ∴42－4＝λ，∴λ＝－2. 所求双曲线的方程为y 22－x 24＝1.9．经过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为导学号 33780639( )A ．2B ． 3 C. 2 D ． 5[答案] A[解析] 由条件知，双曲线的渐近线与此直线平行，∴ba ＝tan60°＝3，∴b ＝3a ，代入a 2＋b 2＝c 2中得4a 2＝c 2，∴e 2＝4，∵e >1，∴e ＝2，故选A.10．(2015·天津理，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为导学号 33780640( )A.x 221－y 228＝1 B ．x 228－y 221＝1C.x 23－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝1[答案] D[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，由点(2，3)在渐近线上，所以b a ＝32，双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 准线方程x ＝－7上，所以c ＝7，由此可解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线方程为x 24－y 23＝1，故选D.11．(2015·黑龙江哈师大附中高二期中测试)设P 为椭圆x 29＋y 24＝1上的一点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于导学号 33780641( )A.83B ．163C.433D.833[答案] B[解析] ∵a 2＝9，b 2＝4，∴c 2＝5. 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 1|2＋|FP 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝36. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2＝20， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|PF 1|·|PF 2|＋20， ∴3|PF 1|·|PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝163.12．(2015·重庆文，9)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1、A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B 、C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为导学号 33780642( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．±2[答案] C[解析] 由已知得右焦点F (c,0)(其中c 2＝a 2＋b 2，c >0)，A 1(－a,0)、A 2(a,0)；B (c ，－b 2a)、C (c ，b 2a )；从而A 1B ―→＝(c ＋a ，－b 2a )，A 2C →＝(c －a ，b 2a )，又因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B ―→·A 2C ―→＝0，即(c －a )·(c ＋a )＋(－b 2a )·(b 2a )＝0；化简得到b 2a 2＝1，即双曲线的渐进线的斜率为±1；故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2015·陕西理，14)若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.导学号 33780643[答案] 2 2[解析] 由题意可知，抛物线的准线方程为x ＝－p2，因为p ＞0，所以该准线过双曲线的左焦点，由双曲线的方程可知，左焦点坐标为(－2，0)；故由－2＝－p2可解得p ＝2 2.14．(2016·山东理，13)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.导学号 33780644[答案] 2[解析] 如图，由题意不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2.设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则在Rt △BMN 中，|MN |＝2c ＝2，故|BN |＝|BM |2＋|MN |2＝(32)2＋22＝52.由双曲线的定义可得2a ＝|BN |－|BM |＝52－32＝1，而2c ＝|MN |＝2，所以双曲线的离心率e ＝2c2a＝2.15．(2015·南通高二检测)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－3,0)和C (3,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________.导学号 33780645[答案] 53[解析] 在椭圆x 225＋y 216＝1中a ＝5，b ＝4，c ＝3，∵三角形ABC 顶点A (－3,0)和C (3,0)，顶点B 在x 225＋y 216＝1上，∴BC ＋AB ＝2a ＝10，由正弦定理sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋AB AC ＝2a 2c ＝53.16．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：导学号 33780646①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4； ④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52.其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． [答案] ③④[解析] 显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2015·辽宁沈阳二中高二期中测试)已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹.导学号 33780647[解析] 设点M 的坐标为(x ，y )、点A 的坐标为(x 0，y 0)． 由题意得⎩⎨⎧x ＝4＋x2y ＝3＋y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4y 0＝2y －3，又∵点A (x 0，y 0)在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上， ∴(2x －3)2＋(2y －3)2＝4， 即(x －32)2＋(y －32)2＝1.故线段AB 的中点M 的轨迹是以点(32，32)为圆心，以1为半径的圆．18．(本小题满分12分)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等差数列.导学号 33780648(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．[解析] (1)求椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程式为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2，设A (x 1，y 1)、B (x 1，y 1)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c x 2＋y 2b 2＝1，消去y 化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|， 即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 41＋b 2， 解得b ＝22. 19．(本小题满分12分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7︰3，求椭圆和双曲线的方程.导学号 33780649[解析] ①焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且c ＝13.设双曲线为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，m ＝a －4.因为e 双e 椭＝73，所以a m ＝73，解得a ＝7，m ＝3.因为椭圆和双曲线的半焦距为13， 所以b 2＝36，n 2＝4. 所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.②焦点在y 轴上，椭圆方程为x 236＋y 249＝1，双曲线方程为y 29－x 24＝1.20．(本小题满分12分)如图所示，F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，A 、B 为两个顶点，已知椭圆上的点(1，32)到F 1，F 2两点的距离之和为4.导学号 33780650(1)求椭圆C 的方程．(2)过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，求△F 1PQ 的面积． [解析] (1)由题设知：2a ＝4，即a ＝2，将点(1，32)代入椭圆方程得122＋(32)2b 2＝1，解得b 2＝3，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知A (－2,0)，B (0，3)， 所以k PQ ＝k AB ＝32， 所以PQ 所在直线方程为y ＝32(x －1)， 由⎩⎨⎧y ＝32(x －1)，x 24＋y23＝1，消x 得8y 2＋43y －9＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－32，y 1·y 2＝－98， 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝34＋4×98＝212， 所以S △F 1PQ ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2×212＝212.21．(本小题满分12分)(2015·山东临沂市高二期末测试)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线上，且点M 的横坐标为4，|MF |＝5.导学号 33780651(1)求抛物线的方程；(2)设l 为过点(4,0)的任意一条直线，若l 交抛物线于A 、B 两点，求证：以AB 为直径的圆必过原点．[解析] (1)由题意得|MF |＝4＋p2＝5，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x .(2)当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y 2＝4x ，得y ＝±4. ∴|AB |＝8，∴|AB |2＝4， ∴以AB 为直径的圆过原点．当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)． 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)y 2＝4x ，得k 2x 2－(4＋8k 2)x ＋16k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4＋8k 2k2，x 1x 2＝16.y 1y 2＝k 2(x 1－4)(x 2－4) ＝k 2[x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16] ＝k 2[16－4×4＋8k 2k2＋16]＝k 2(32－16－32k 2k 2)＝－16， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.又OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴OA ⊥OB ， ∴以AB 为直径的圆必过原点． 综上可知，以AB 为直径的圆必过原点．22．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；导学号 33780652(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设椭圆的方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵F (2,0)是椭圆的右焦点，且椭圆过点A (2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝22a ＝3＋5＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ＝4.∵a 2＝b 2＋c 2， ∴b 2＝12，故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程y ＝32x ＋t .由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t x 216＋y212＝1，消去y ，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.∵直线l 与椭圆有公共点， ∴Δ＝(3t )2－12(t 2－12)≥0， 解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离等于4， 可得，|t |94＋1＝4，∴t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，故符合题意的直线l不存在．。
人教版 数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程 附答案
选修2-1第二章 圆锥曲线与方程 附答案一、选择题1．若平面内一条直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，则下列命题：(1)若C 是圆，则l 与C 一定相切；(2)若C 是抛物线，则l 与C 一定相切；（3）若C 是椭圆，则l 与C 一定相切；（4）若C 是双曲线，则l 与C 一定相切．其中正确的有( )．A ．1 个B ．2个C ．3个D ．4个2．过抛物线x 2＝4y 的焦点且与其对称轴垂直的弦AB 的长度是( )． A ．1B ．2C ．4D ．83．双曲线1 ＝ 4－922y x 与直线m x －y ＋ 32＝(m ∈R )的公共点的个数为( )．A ．0B ．1C ．0或1D ．0或1或24．在直角坐标平面内，已知点F 1(－4，0)，F 2(4，0)，动点M 满足条件：|MF 1|＋|MF 2|＝8，则点M 的轨迹方程是( )．A ．1 ＝ 9＋1622y xB ．x =0C ．y ＝0(－4≤x ≤4)D ．1＝ 16＋1622 y x 5．已知经过椭圆1 ＝ ＋522y x 的焦点且与其对称轴成45º的直线与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝( )．A ．352 B ．310C ．25D ．106．已知点A (3，0)、B (－3，0)，|AC |－|BC |＝4，则点C 轨迹方程是( )． A ．1 ＝ 5422y －xB ．1 ＝ 5422y －x (x ＜0)C ．1 ＝ 5422y －x (x ＞0)D ．0 ＝ 5422y －x (x ＜0)7．方程mx 2＋(m ＋1)y 2＝m (m ＋1)，m ∈R 表示的曲线不可能是( )． A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．若椭圆1 ＝9＋ 1622x y 上的点到直线y ＝x ＋m 的最短距离是2，则m 最小值为( )．A ．－1B ．3-C ． 7-D ．19．直线y ＝x －k 与抛物线x 2＝y 相交于A ，B 两点，若线段AB 中点的纵坐标为1，则k 的值为( )．A ．－21 B ．21C ．－41D ．－110．设椭圆22＋10y x ＝1和双曲线22－8y x ＝1的公共焦点分别为F 1，F 2，P 是这两曲线的交点，则△PF 1F 2的外接圆半径为( )．A ．1B ．2C ．22D ．3二、填空题11．直线m y 2 ＝ 与曲线 222218＝ ＋ 9m y x m (m ∈R ，m ≠0)有 个公共点． 12．到点(－4，0)与到直线x ＝－425的距离之比为54的动点的轨迹方程是 ．13．与14922=-y x 有相同渐近线且实轴长为10的双曲线方程是 ． 14．已知△ABC 的两个顶点为A (0，0)、B (6，0)，顶点C 在曲线1 ＝ 91622y －x 上运动，则△ABC 的重心的轨迹方程是 ．15．若点P ，Q 在抛物线y 2＝4x 上，O 是坐标原点，且OP ·＝0，则直线PQ 恒过的定点的坐标是 ．16．已知正三角形ABC ，若M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则以B ，C 为焦点，且过M ，N 的椭圆与双曲线的离心率之积为 ．三、解答题 17．若过椭圆1 ＝ ＋2222by ax (a ＞b ＞0)左焦点的直线与它的两个交点及其右焦点构成周长为16的三角形，此椭圆的离心率为0.5，求这个椭圆方程．18．已知直线1＋ ＝x y k 与双曲线x 2－y 2＝1的左支相交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为点M ，定点C (－2，0)．(1)求实数k 的取值范围；(2)求直线MC 在y 轴上的截距的取值范围．19．若点P 在抛物线y 2＝2x 上，A (a ，0)， (1)请你完成下表：(2)若a ∈R ，求||PA 的最小值及相应的点P 坐标20．若点P 在以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，且PF ⊥FO ，|PF |＝2，O 为原点．(1)求抛物线的方程；(2)若直线x －2y ＝1与此抛物线相交于A ，B 两点，点N 是抛物线弧AOB 上的动点，求△ABN 面积的最大值．参考答案一、选择题 1．B 2．C3．C解析：双曲线1 ＝ 4－922y x 的渐近线方程为y ＝±32x 与已知直线平行或重合，而当m ＝0时，重合；此时，公共点个数为0；m ≠0时，公共点个数为1．4．C 5．A 6． B 7．D 8．C 9．A10．D解析：由椭圆与双曲线的定义可得1||PF 与2||PF 的方程组，进一步可知△PF 1F 2为直角三角形．二、填空题 11．2．12．1 ＝ 9＋2522y x ．13．1 ＝ 9－2522y x 或1 ＝ 4225－2522x y ． 14．1 ＝ 162 922y －－x )((y ≠0)． 15．(4，0)． 16．2． 三、解答题 17．1 ＝ 12＋1622y x ．解：如图，由椭圆定义可知|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ．△ABF 2的周长＝|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16．∴a ＝4， 又∵ e ＝ac＝0.5，（第17题）∴ c ＝2，∴ b ＝3＝ 222－c a ． 椭圆方程为1 ＝ 12＋1622y x ．18．(1)1＜k ＜2．解：把直线y ＝k x ＋1代入双曲线x 2－y 2＝1整理有 (1－k 2)x 2－2k x －2＝0，∵设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由韦达定理可知x 1＋x 2＝2－12k k ＜0， ① x 1·x 2＝2－12k－＞0． ②且 ∆＝(－2k )2－4(1－k 2)·(－2)＝4k 2－8 k 2＋8＞0得 －2＜k ＜2.③ ∴ 1＜k ＜2.(2)∵ M ⎪⎭⎫ ⎝⎛2＋ 2＋2121y y ，x x ， M ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1＋－1 －1222k k k k ，，即M ⎪⎭⎫ ⎝⎛22－11 －1k k k ，. ∴MC ：y ＝2＋＋212k k －x ＋2＋＋222k k －.在y 轴线截距为y m ＝2＋＋222k k －，当k ∈(1，2)，有y m ＞2或y m ＜－2－2. 19．(1)(2)当a ≤1时，|P A |的最小值＝|a |，相应的点P (0，0)；当a ＞1时，|P A |的最小值＝12-a ，相应的点P (a －1，±22-a )． 20．(1)x y 4＝2；（第18题）O解：由PF ⊥FO ，|PF |＝2可知当x ＝2p时，y ＝2. 即2p ·2p＝4，∴ p ＝2. ∴抛物线方程为y 2＝4x . (2)510．解：由(1)可知，直线AB 过焦点F (1，0). 把直线x －2y ＝1代入抛物线y 2＝4x . 有x 2－18 x ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). |AB |＝21－41＋1x x ＝2058 25＝－4＋ 41＋ 121221＝ ·）( ·x x x x . 设N (x 0，20x )，点N 到AB 的距离h ＝51400－x －x .S △ABN ＝21·|AB |·h ＝21·20·51400－x －x .当0x ＝2时，S △ABN 取得最大值，此时S △ABN ＝105.（第20题）。
高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 第2课时 含答案
第二章 2.2 2.2.2 第2课时一、选择题1．若点P(a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为导学号 33780406( )A ．(－233，233) B ．(233，＋∞)∪(－∞，－233) C ．(43，＋∞) D ．(－∞，－43) [答案] B[解析] 因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123>1，解得a>233或a<－233，故选B.2．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB 的面积最大值是导学号 33780407( )A ．b 2B ．bcC ．abD ．ac[答案] B[解析] S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF|·|y A －y B |， 当A 、B 为短轴两个端点时，|y A －y B |最大，最大值为2b. ∴△ABF 面积的最大值为bc.3．已知以F 1(－2,0)、F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为导学号 33780408( )A ．32 B ．2 6 C ．27 D ．4 2 [答案] C[解析] 设椭圆方程mx 2＋ny 2＝1(m ≠n>0)⎩⎪⎨⎪⎧ mx 2＋ny 2＝1x ＋3y ＋4＝0消x 得(3m ＋n)y 2＋83my ＋16m －1＝0Δ＝192m 2－4(16m －1)(3m ＋n)＝0整理得3m ＋n ＝16mn即3n ＋1m＝16 ① 又c ＝2，焦点在x 轴上∴1m －1n＝4 ②由①②解得m ＝17，n ＝13， ∴长轴长为27. 4．点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P 点的坐标为导学号 33780409( )A ．(±152，1) B ．(152，±1) C ．(152，1) D ．(±152，±1)[答案] D[解析] 设P(x 0，y 0)，∵a 2＝5，b 2＝4，∴c ＝1，∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝|y 0|＝1，∴y 0＝±1， ∵x 205＋y 204＝1， ∴x 0＝±152.故选D. 5．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为导学号 33780410( )A.22 B ．33。
高二数学 人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 第1课时 Word版含答案
第二章 2.2 2.2.2 第1课时一、选择题1．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2)[答案] D[解析] 由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0a >－6，解得a >3或－6<a <－2，故选D.2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为( )A.12 B ．13 C.14 D.22[答案] A[解析] 由题意，得a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.3．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k＝1 (0<k <9)有( )A ．等长的长轴B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．等长的短轴[答案] B[解析] 依题意知椭圆C 2的焦点在y 轴上，对于椭圆C 1：焦距＝225－9＝8，对于椭圆C 2：焦距＝2(25－k )－(9－k )＝8，故选B.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B ．x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 [答案] A[解析] 根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.5．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )A.13 B ．12 C.33 D ．22[答案] D[解析] 依题意椭圆的焦距和短轴长相等，故b ＝c ，a 2－c 2＝c 2，∴e ＝22. 6．已知A ＝{1,2,4,5}，a 、b ∈A ，则方程x 2a 2＋y 2b2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率为( )A.34 B ．38 C.316 D ．12[答案] B[解析] ∵a 、b ∈A ，∴不同的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1共有16个．由题意a 2<b 2，∴a ＝1时，b ＝2、4、5；a ＝2时，b ＝4、5； a ＝4时，b ＝5，共6个，∴所求概率P ＝616＝38.二、填空题7．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________.[答案] y 216＋x 2＝1[解析] 由已知，2a ＝8,2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15，∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1， ∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.8．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________. [答案] (2,4][解析] ∵b ＝1，∴c 2＝a 2－1，又c 2a 2＝a 2－1a 2＝1－1a 2≤34，∴1a 2≥14，∴a 2≤4， 又∵a 2－1>0，∴a 2>1， ∴1<a ≤2，故长轴长2<2a ≤4. 三、解答题9．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.[解析] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >mm ＋3.即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3.由e ＝32得，m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1(－32，0)、F 2(32，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)、A 2(1,0)、B 1(0，－12)、B 2(0，12)．10．已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x 轴的距离等于短半轴长的23，求椭圆的离心率.[解析] 解法一：设焦点坐标为F 1(－c ，0)、F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，依题意设M 点坐标为(c ，23b )．在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2， 即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2，而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab . 又c 2＝a 2－b 2,3b ＝2a .∴b 2a 2＝49. ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53. 解法二：设M (c ，23b )，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，∴c 2a 2＝59，∴c a ＝53，即e ＝53.一、选择题1．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8、6B ．4、3C ．2、3D ．4、2 3[答案] B[解析] 椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是2b 2a .∴最长的弦为2a ＝4，最短的弦为2b 2a ＝2×32＝3，故选B.2．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|︰|PF 2|＝2︰1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1[答案] B[解析] 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|︰|PF 2|＝2︰1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14 B ．55 C.12 D ．5－2 [答案] B[解析] ∵A 、B 分别为左右顶点，F 1、F 2分别为左右焦点，∴|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|BF 1|＝a ＋c ，又由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列得(a －c )(a ＋c )＝4c 2，即a 2＝5c 2，所以离心率e ＝55. 4．焦点在y 轴上的椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率为32，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] D[解析] 椭圆的方程mx 2＋y 2＝1化为标准方程为x 21m ＋y 2＝1，由题意得，a 2＝1，b 2＝1m ，∴c 2＝a 2－b 2＝1－1m ，∴离心率e ＝ca ＝1－1m ＝32，∴m ＝4. 二、填空题5．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________.[答案] x 236＋y 29＝1[解析] 设椭圆G 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，半焦距为c ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝12c a ＝32，∴⎩⎨⎧a ＝6c ＝33. ∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9， ∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.6．椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________.[答案] 3[解析] 如图，当直线x ＝m ，过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x 24＋y 23＝1，解得y ＝±32，∴|AB |＝3∴S ＝12×3×2＝3.三、解答题7．已知点P (x 0，y 0)是椭圆x 28＋y 24＝1上一点，A 点的坐标为(6,0)，求线段P A 中点M 的轨迹方程.[解析] 设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x 0＋62＝x y 0＋02＝y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6y 0＝2y ，∵点P 在椭圆x 28＋y 24＝1上，∴x 208＋y 204＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6y 0＝2y ，代入x 208＋y 204＝1，得(2x －6)28＋(2y )24＝1，即(x －3)22＋y 2＝1为所求．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，离心率e ＝22，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 、B 是直线l ：x ＝22上的不同两点，若AF 1→·BF 2→＝0，求|AB |的最小值．[解析] (1)由题意得：⎩⎨⎧e ＝c a ＝22a 2＝b 2＋c2S ＝12×(2a )×(2b )＝42，解得：⎩⎨⎧a ＝2b ＝2c ＝2.所以椭圆的标准方程为：x 24＋y 22＝1.(2)由(1)知，F 1、F 2的坐标分别为F 1(－2，0)、F 2(2，0)，设直线l ：x ＝22上的不同两点A 、B 的坐标分别为A (22，y 1)、B (22，y 2)，则AF 1→＝(－32，－y 1)、BF 2→＝(－2，－y 2)，由AF 1→·BF 2→＝0得y 1y 2＋6＝0，即y 2＝－6y 1，不妨设y 1>0，则|AB |＝|y 1－y 2|＝y 1＋6y 1≥26，当y 1＝6、y 2＝－6时取等号，所以|AB |的最小值是2 6.。
【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 第2课时 Word版含答案
第二章 2.3 2.3.2 第2课时一、选择题1．(2015·贵州安顺高二检测)已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为导学号 33780504( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] B[解析] 由双曲线的方程知，点P (1,0)为双曲线的一个顶点，过点P (1,0)有一条直线l 与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点．2．(2016·山东济宁高二检测)直线l 经过P (1,1)且与双曲线x 2－y 22＝1交于A 、B 两点，如果点P 是线段AB 的中点，那么直线l 的方程为导学号 33780505( )A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．不存在[答案] D[解析] 当斜率不存在时，方程为x ＝1，与双曲线相切不符合题意，当斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入双曲线方程得⎩⎨⎧x 21－y 212＝1.x 22－y222＝1，两式相减的x 21－x 22＝12(y 21－y 22)，整理求出k ＝2，则直线方程为y ＝2x －1，联立直线方程与双曲线方程后检验Δ<0，方程无解，所以不存在．3．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是导学号 33780506( )A ．(－153，153) B ．(0，153) C ．(－153，0) D ．(－153，－1) [答案] D[思路分析] 直线与双曲线右支交于不同两点，则由直线与双曲线消去y 得到的方程组应有两正根，从而Δ>0，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0，二次项系数≠0.[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0Δ＝16k 2＋40(1－k 2)>04k1－k 2>010k 2－1>0，解得－153<k <－1. 4．若ab ≠0，则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是下图中的导学号33780507( )[答案] C[解析] 方程可化为y ＝ax ＋b 和x 2a ＋y 2b ＝1.从B ，D 中的两椭圆看a ，b ∈(0，＋∞)，但B中直线有a <0，b <0矛盾，应排除；D 中直线有a <0，b >0矛盾，应排除；再看A 中双曲线的a <0，b >0，但直线有a >0，b >0，也矛盾，应排除；C 中双曲线的a >0，b <0和直线中a 、b 一致．应选C.5．(2016·浙江杭州高三模拟)设离心率为e 的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 过点F 且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支相交的充要条件是导学号 33780508( )A ．k 2－e 2>1B ．k 2－e 2<1C ．e 2－k 2>1D ．e 2－k 2<1[答案] C[解析] 直线l 与双曲线C 的左、右两支相交的充要条件是直线l 的斜率－b a <k <ba，两边平方得，k 2<b 2a 2＝c 2－a2a2＝e 2－1，即e 2－k 2>1.6．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝导学号 33780509( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9[答案] C[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0， ∴b a ＝32，∵b ＝3，∴a ＝2. 又||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝4， ∴|3－|PF 2||＝4.∴|PF 2|＝7或|PF 2|＝－1(舍去)． 二、填空题7．已知直线l ：x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A 、B ，若线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，则m 的值是________.导学号 33780510[答案] ±1[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0x 2－y 22＝1，消去y 得x 2－2mx －m 2－2＝0.Δ＝4m 2＋4m 2＋8＝8m 2＋8>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝4m ，∴线段AB 的中点坐标为(m,2m )，又∵点(m,2m )在圆x 2＋y 2＝5上，∴5m 2＝5，∴m ＝±1.8．(2016·安徽合肥高二检测)过双曲线x 220－y 25＝1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为5，这样的直线有________条.导学号 33780511[答案] 1[解析] 依题意得右焦点F (5,0)，所以过F 且垂直x 轴的直线是x ＝5，代入x 220－y 25＝1，得y ＝±52，所以此时弦长为52×2＝ 5.当不垂直于x 轴时，如果直线与双曲线有两个交点，则弦长一定比5长．因为两顶点间距离为45，即左右两支上的点的最短距离是45，所以如果交于两支的话，弦长不可能为5，故只有一条．三、解答题9．(2015·福建八县一中高二期末测试)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为4，且过点(－3,26).导学号 33780512(1)求双曲线方程和其渐近线方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 有且只有一个公共点，求实数k 的取值范围．[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝49a 2－24b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝3.∴双曲线方程为x 2－y 23＝1，其渐近线方程为y ＝±3x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 2－y 23＝1，得(3－k 2)x 2－4kx －7＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－k 2≠0Δ＝16k 2＋28(3－k 2)＝0， ∴k 2＝7，∴k ＝±7.当直线l 与双曲线C 的渐近线y ＝±3x 平行，即k ＝±3时，直线l 与双曲线C 只有一个公共点，∴k ＝±7或k ＝±3.10．(2016·山东荷泽高二检测)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点.导学号 33780513(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线l ，直线l 与双曲线交于不同的A ，B 两点，求AB 的长．[解析] (1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴ca ＝3，a ＝3，解得c ＝3，又c 2＝a 2＋b 2，b ＝6， ∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴直线l 的方程为y ＝33(x －3)， 联立⎩⎨⎧x 23－y 26＝1，y ＝33(x －3)，得5x 2＋6x －27＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275，所以|AB |＝1＋13·(－65)2－4×(－275)＝1635.一、选择题1．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有导学号 33780514( )A.1e 21＋1e 22＝4 B ．e 21＋e 22＝4C.1e 21＋1e 22＝2 D ．e 21＋e 22＝2[答案] C[解析] 设椭圆长半轴长为a ，双曲线实半轴长为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ①||PF 1|－|PF 2||＝2m ②①2＋②2得：2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝4a 2＋4m 2， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2代入上式得4c 2＝2a 2＋2m 2， 两边同除以2c 2得2＝1e 21＋1e 22，故选C.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点到其渐近线的距离不大于255a ，其离心率e的取值范围为导学号 33780515( )A ．[3，＋∞)B ．[5，＋∞)C ．(1，3]D ．(1，5][答案] D[解析] 依题意(a,0)到渐近线bx ＋ay ＝0的距离不大于255a ， ∴|ba ＋0|b 2＋a 2≤255a ，解得e ≤5，又e >1，∴1<e ≤5，故选D.3．已知实数4、m 、9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为导学号 33780516( )A.306 B ．7 C.306或7 D ．56或7[答案] C[解析] ∵4、m 、9成等比数列，∴m 2＝36，∴m ＝±6.当m ＝6时，圆锥曲线方程为x 26＋y 2＝1，其离心率为306；当m ＝－6时，圆锥曲线方程为y 2－x 26＝1，其离心率为7，故选C. 4．F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左右焦点，过点F 1的直线l 与双曲线的左．右两支．．．分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为导学号 33780517( )A.2 B ．3 C. 5 D ．7[答案] D[解析] 如图，由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|AB |＝|BF 1|－|AF 1|＝|BF 1|－|AF 1|＋|AF 2|－|BF 2|＝(|BF 1|－|BF 2|)＋(|AF 2|－|AF 1|)＝4a ，∴|BF 2|＝4a ，|BF 1|＝6a ， 在△BF 1F 2中，∠ABF 2＝60°，由余弦定理，|BF 1|2＋|BF 2|2－|F 1F 2|2＝2|BF 1|·|BF 2|·cos60°， ∴36a 2＋16a 2－4c 2＝24a 2，∴7a 2＝c 2， ∵e >1，∴e ＝ca ＝7，故选D.二、填空题5．设F 1、F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________.导学号 33780518[答案]3[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝6a |PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝4a|PF 2|＝2a，又|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|最小．由余弦定理(4a )2＋4c 2－4a 22×4a ×2c＝cos30°，∴23ac ＝3a 2＋c 2，等式两边同除以a 2得e 2－23e ＋3＝0， ∴e ＝ 3.6．双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x轴的距离为__________.导学号 33780519[答案] 3.2[解析] 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >n )，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义知，m －n ＝2a ＝6，又PF 1⊥PF 2.∴△PF 1F 2为直角三角形． 即m 2＋n 2＝(2c )2＝100.由m －n ＝6，得m 2＋n 2－2mn ＝36， ∴2mn ＝m 2＋n 2－36＝64，mn ＝32. 设点P 到x 轴的距离为d ， S △PF 1F 2＝12d |F 1F 2|＝12|PF 1|·|PF 2|，即12d ·2c ＝12mn .∴d ＝mn 2c ＝3210＝3.2， 即点P 到x 轴的距离为3.2. 三、解答题7．已知曲线C ：x 2－y 2＝1和直线l ：y ＝kx －1.导学号 33780520 (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠04k 2＋8(1－k 2)>0， 解得－2<k <2，且k ≠±1，∴k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)结合(1)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝(1＋k 2)(8－4k 2)(1－k 2)2.∵点O 到直线l 的距离d ＝11＋k 2， ∴S △AOB ＝12|AB |d ＝128－4k 2(1－k 2)2＝2，即2k 4－3k 2＝0. ∴k ＝0或k ＝±62.∴适合题意的k 的取值为0、62、－62. 8．已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点.导学号 33780521 (1)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；(2)是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线y ＝12x 对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋13x 2－y 2＝1，消去y 得，(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.①依题意⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3② 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2③x 1x 2＝－23－a 2④∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB . ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，但y 1y 2＝a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1， 由③④知，∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a 3－a 2＋1＝0. 解得a ＝±1且满足②.(2)假设存在实数a ，使A 、B 关于y ＝12x 对称，则直线y ＝ax ＋1与y ＝12x 垂直，∴a ＝－2.直线l 的方程为y ＝－2x ＋1. 将a ＝－2代入③得x 1＋x 2＝4. ∴AB 中点横坐标为2， 纵坐标为y ＝－2×2＋1＝－3.但AB 中点(2，－3)不在直线y ＝12x 上．即不存在实数a ，使A 、B 关于直线y ＝12x 对称．。
【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第2章 圆锥曲线与方程2.3.1 Word版含解析
p＝4 p＝4 解得 ，或 m＝2 6 m＝－2 6
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∴所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝± 2 6. 解法二：设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)， p p 则焦点坐标 F(－ ，0)，准线方程 x＝ . 2 2 由抛物线定义知，点 M 到焦点的距离等于 5， 即点 M 到准线的距离等于 5， p 则 3＋ ＝5，∴p＝4，∴抛物线方程为 y2＝－8x. 2 又点 M(－3，m)在抛物线上， ∴m2＝24，∴m＝± 2 6， ∴所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝± 2 6. 8．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保安全，要 求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在坚直方向上高度之差至少要 0.5 m．若行驶车道总 宽度 AB 为 6 m， 计算车辆通过隧道的限制高度是多少米？(精确到 0.1 m) 导学号 92600441
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1 C． 0，8 [答案] C
1 D． 0，4
1 1 [解析] 抛物线的标准方程为 x2＝ y，∴p＝ ，且焦点在 y 轴的正半轴上，故选 C． 2 4 5．抛物线 y2＝4x 上一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是 导学号 92600428 ( ) A．0 7 C． 8 [答案] A [解析] 设 M(x0，y0)，则 x0＋1＝1，∴x0＝0，∴y0＝0. 6．从抛物线 y2＝4x 图象上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且|PM|＝5，设抛 物线焦点为 F，则△MPF 的面积为 导学号 92600429 ( A．10 C．6 [答案] A [解析] 设 P(x0，y0)，∵|PM|＝5，∴x0＝4，∴y0＝± 4， 1 ∴S△MPF＝ |PM|· |y0|＝10. 2 二、填空题 7 ． 若 抛 物 线 y2 ＝ 2px 的 焦 点 坐 标 为 (1,0) ， 则 p ＝ ________ ， 准 线 方 程 为 ________. 导学号 92600430 [答案] 2 x＝－1 p [解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由 ＝1 知 p＝2，则准线方程为 x＝－ 2 p ＝－1. 2 8．以双曲线 x2 y2 － ＝1 的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是 16 9 B ．8 D．4 ) 15 B． 16 17 D． 16
【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 Word版含答案
第二章 2.2 2.2.1一、选择题1．设F 1、F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是导学号 33780342( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段[答案] D[解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．(2015·黑龙江哈师大附中高二期中测试)中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为导学号 33780343( )A.x 24＋y 22＝1 B ．y 24＋x 22＝1C.y 216＋x 24＝1 D ．x 216＋y 24＝1[答案] D[解析] 解法一：验证排除：将点(4,0)代入验证可排除A 、B 、C ，故选D. 解法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧16m ＝14n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝116n ＝14，故选D.3．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O为坐标原点，那么线段ON 的长是导学号 33780344( )A ．2B ．4C ．8D ．32[答案] B[解析] 设椭圆左焦点F ，右焦点F 1，∵2a ＝10，|MF |＝2，∴|MF 1|＝8，∵N 为MF 中点，O 为FF 1中点，∴|ON |＝12|MF 1|＝4.4．(2015·福建八县一中高二期末测试)“1<m <2”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的导学号 33780345( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 方程x 2m －1＋y23－m＝1表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1>03－m >03－m >m －1，∴1<m <2，故选C.5．中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到两焦点的距离之和为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是导学号 33780346( )A.x 281＋y 245＝1 B ．x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 272＝1 D ．x 281＋y 236＝1[答案] C[解析] 椭圆上的点到两焦点的距离之和为18知a ＝9，∵两个焦点将长轴长三等分，∴2c ＝13(2a )＝6，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝72，故选C.6．直线2x ＋by ＋3＝0过椭圆10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 的值为导学号 33780347( )A ．－1B ．12C ．－1或1D ．－12或12[答案] C[解析] 椭圆方程化为标准形式为x 2＋y 210＝1，∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b ＝－1；当直线过焦点(0，－3)时，b ＝1.二、填空题7．(2015·江苏泰州市姜堰区高二期中测试)椭圆x 25＋y 24＝1的焦点坐标是________.导学号 33780348[答案] (－1,0)、(1,0)[解析] ∵a 2＝5，b 2＝4，∴c 2＝a 2－b 2＝1， ∴椭圆x 25＋y 24＝1的焦点坐标是(－1,0)、(1,0)．8．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________.导学号 33780349[答案] x 24＋y 23＝1[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3a －c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1. 故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程.导学号 33780350 [解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b 2＝1，又a ＝3b ，解得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆的方程为x 29＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9b 2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2＝9，故椭圆的方程为y 281＋x 29＝1. 故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29＋y 2＝1.10．已知点A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程.导学号 33780351[解析] 如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2，∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |， ∴动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆， ∴a ＝1，c ＝12，b 2＝34.∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1.一、选择题1．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是导学号 33780352( )A ．m <2B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <2D ．m <－1或1<m <32[答案] D[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|m |－1>0，2－m >0，2－m >|m |－1.即⎩⎪⎨⎪⎧m >1或m <－1，m <2，m <32.∴1<m <32或m <－1，故选D.2．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为导学号 33780353( )A.x 225＋y 29＝1 B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0)C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0)[答案] D[解析] ∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D.3．已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是导学号 33780354( )A ．圆B ．椭圆C ．射线D ．直线[答案] A[解析] ∵|PQ |＝|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PQ |＋|PF 1|＝2a ， 又∵F 1、P 、Q 三点共线， ∴|PF 1|＋|PQ |＝|F 1Q |，∴|F 1Q |＝2a . 即Q 在以F 1为圆心，以2a 为半径的圆上．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (0，－2)和C (0,2)，顶点B 在椭圆y 212＋x 28＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值是导学号 33780355( ) A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．4[答案] A[解析] 由椭圆定义得|BA |＋|BC |＝43， 又∵sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝434＝3，故选A.二、填空题5．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，若|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则该椭圆的方程是________.导学号 33780356[答案] x 24＋y 23＝1[解析] 由题意得2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|， ∴4c ＝2a ，∵c ＝1，∴a ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝3， 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.6．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.导学号 33780357[答案] 35[解析] 设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知， |P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，∴原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋12(|P 4F |＋|P 4F ′|)＝7a ＝35.三、解答题7．求满足下列条件的椭圆的标准方程：导学号 33780358 (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)a ︰c ＝13︰5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析] (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又a c ＝135，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.8．已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积.导学号 33780359[解析] 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 根据椭圆定义有m ＋n ＝20，又c ＝100－64＝6，∴在△F 1PF 2中， 由余弦定理得m 2＋n 2－2mn cos π3＝122，∴m 2＋n 2－mn ＝144，∴(m ＋n )2－3mn ＝144， ∴mn ＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×2563×32＝6433.。
2016-2017学年高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1 Word版含答案
第二章 2.3 2.3.1一、选择题1．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程的曲线是导学号 33780440( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线[答案] D[解析] 方程mx 2－my 2＝n 可化为：y 2－n m －x 2－n m＝1，∵mn <0，∴－nm>0，∴方程的曲线是焦点在y 轴上的双曲线．2．双曲线x 225－y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为导学号 33780441( )A ．22或2B ．7C ．22D ．2[答案] A[解析] ∵a 2＝25，∴a ＝5，由双曲线定义可得||PF 1|－|PF 2||＝10，由题意知|PF 1|＝12，∴|PF 1|－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝22或2.3．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是导学号 33780442( )A ．－3<k <－2B ．k <－3C ．k <－3或k >－2D ．k >－2 [答案] A[思路分析] 由于方程表示焦点在x 轴上的双曲线，故k ＋3>0，k ＋2<0.[解析] 由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3>0k ＋2<0，解得－3<k <－2.4．椭圆x 24＋y 2m 2＝1与双曲线x 2m 2－y 22＝1有相同的焦点，则m 的值是导学号 33780443( )A ．±1B ．1C ．－1D ．不存在[答案] A[解析] 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1， 对椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3. 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3， 故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上， 故4－m 2＝m 2＋2. ∴m 2＝1，即m ＝±1.5．(2015·福建八县一中高二期末测试)△ABC 中，A (－5,0)、B (5,0)，点C 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin A －sin Bsin C＝导学号 33780444( )A.35 B ．±35C ．－45D ．±45[答案] D[解析] 在△ABC 中，sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R ＝102R. ∴sin A －sin B sin C ＝|BC |－|AC |2R 102R ＝|BC |－|AC |10.又∵|BC |－|AC |＝±8， ∴sin A －sin B sin C ＝±810＝±45.6．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是导学号 33780445( )A ．16B ．18C ．21D ．26[答案] D[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5 ＝26. 二、填空题7．双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点A (－5，6)，则双曲线的标准方程为________.导学号 33780446[答案] y 216－x 220＝1[解析] 解法一：由已知得，c ＝6，且焦点在y 轴上，则另一焦点坐标是(0,6)． 因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即 2a ＝|(－5)2＋(6＋6)2－(－5)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求的双曲线标准方程是y 216－x 220＝1.解法二：由焦点坐标知c ＝6，∴a 2＋b 2＝36， ∴双曲线方程为y 2a 2－x 236－a 2＝1.∵双曲线过点A (－5,6)，∴36a 2－2536－a 2＝1，∴a 2＝16，b 2＝20. 双曲线方程为y 216－x 220＝1.8．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为________.导学号 33780447[答案] y 24－x 25＝1[解析] 椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，且c ＝3，a 2＋b 2＝9.由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A (15，4)、B (－15，4)，由点A 在双曲线上知，16a 2－15b2＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝916a 2－15b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝5.∴所求曲线的方程为y 24－x 25＝1.三、解答题9．已知双曲线经过两点M (1,1)、N (－2,5)，求双曲线的标准方程.导学号 33780448 [解析] 设所求双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，将点M (1,1)、N (－2,5)代入上述方程，得到⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝14m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝87n ＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.10．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.导学号 33780449[解析] 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有 |MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3.∴M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线左支，且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝c 2－a 2＝914.∴双曲线方程为4x 29－4y 291＝1(x ≤－32).一、选择题1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)为定点，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a ＝3和a ＝5时，P 点的轨迹分别为导学号 33780450( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线的一支和一条直线C ．双曲线和一条射线D ．双曲线的一支和一条射线 [答案] D [解析] |F 1F 2|＝(－8－2)2＋(3－3)2＝10a ＝3时，|PF 1|－|PF 2|＝6<10 ∴P 点轨迹为靠近F 2的双曲线一支 a ＝5时，|PF 1|－|PF 2|＝10＝|F 1F 2| ∴P 点轨迹为靠近F 2的一条射线．2．已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于导学号 33780451( )A.23 B ．1 C ．2 D ．4[答案] D[解析] NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12|MF 1|，又由双曲线定义知，|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D.3．设F 1、F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于导学号 33780452( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48[答案] C[解析] 由3|PF 1|＝4|PF 2|知|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又c 2＝a 2＋b 2＝1＋24＝25，∴c ＝5，∴|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24.4．设F 为双曲线x 216－y 29＝1的左焦点，在x 轴上F 点的右侧有一点A ，以F A 为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M 、N ，则|FN |－|FM ||F A |的值为导学号 33780453( )A.25 B ．52C.54 D ．45[答案] D[解析] 对点A 特殊化，不妨设点A 为双曲线的右焦点，依题意得F (－5,0)，A (5,0)， |FN |－|NA |＝8，|FM |＝|NA |， 所以|FN |－|FM |＝8，|FN |－|FM ||F A |＝810＝45，选D.二、填空题5．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________.导学号 33780454[答案] 9[解析] ∵F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，∴a ＝2，b ＝23，c ＝4，F (－4,0)，右焦点H (4,0) 由双曲线定义|PF |＋|P A |＝2a ＋|PH |＋|P A |≥2a ＋|AH | ＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝96．(2015·潍坊高二检测)已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF →·PF 2→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________.导学号 33780455[答案] x 24－y 2＝1[解析] 双曲线焦点在x 轴上，|F 1F 2|＝2c ＝2 5 由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2a ∴|PF 1|2－2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2 ① ∵PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝20代入①式 ∴a 2＝4，又c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝1 ∴双曲线方程x 24－y 2＝1.三、解答题7．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？导学号 33780456 [解析] (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝1和x ＝－1. (2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1.①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45°<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝1和y ＝－1.(4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．8．在△ABC 中，A 、B 、C 所对三边分别为a 、b 、c ，B (－1,0)、C (1,0)，求满足sin C －sin B ＝12sin A 时，顶点A 的轨迹，并画出图形.导学号 33780457 [解析] ∵sin C －sin B ＝12sin A ，∴c －b ＝12a ＝12×2＝1，即|AB |－|AC |＝1<|BC |＝2.∴动点A (x ，y )的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线 ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ′＝12c ′＝2b ′2＝c ′2－a ′2，∴⎩⎨⎧a ′＝12b ′＝32.∴A 点轨迹方程为x 214－y 234＝1.由于c >b 就是|AB |>|AC |，可知A 点的轨迹是双曲线的右支，还需除去点(12，0)如图所示．。
高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1 Word版含答案
第二章一、选择题．在方程－＝中，若<，则方程的曲线是( )．焦点在轴上的椭圆．焦点在轴上的双曲线．焦点在轴上的椭圆．焦点在轴上的双曲线[答案][解析]方程－＝可化为：－＝，∵<，∴－>，∴方程的曲线是焦点在轴上的双曲线．．双曲线－＝上的点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为( ) ．或．．．[答案][解析]∵＝，∴＝，由双曲线定义可得－＝，由题意知＝，∴－＝±，∴＝或. ．若∈，方程＋＝表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是( )．－<<－．<－．<－或>－．>－[答案][思路分析]由于方程表示焦点在轴上的双曲线，故＋>，＋<.[解析]由题意可知，(\\(＋>＋<))，解得－<<－.．椭圆＋＝与双曲线－＝有相同的焦点，则的值是( )．±．．－．不存在[答案][解析]验证法：当＝±时，＝，对椭圆来说，＝，＝，＝.对双曲线来说，＝，＝，＝，故当＝±时，它们有相同的焦点．直接法：显然双曲线焦点在轴上，故－＝＋.∴＝，即＝±.．(·福建八县一中高二期末测试)△中，(－)、()，点在双曲线－＝上，则＝( )．±．－．±[答案][解析]在△中，＝，＝，＝＝.∴＝＝.又∵－＝±，∴＝±＝±.．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左支交于、两点，线段的长为，若＝，那么△的周长是( )．．．．[答案][解析]－＝＝，－＝＝，∴＋－(＋)＝，∴＋＝＋＝，∴△的周长为＋＋＝＋＝.二、填空题．双曲线的一个焦点坐标是(，－)，经过点(－，)，则双曲线的标准方程为[答案]－＝[解析]解法一：由已知得，＝，且焦点在轴上，则另一焦点坐标是()．因为点(－)在双曲线上，所以点与两焦点的距离的差的绝对值是常数，即＝－＝－＝，得＝，＝－＝－＝.因此，所求的双曲线标准方程是－＝.解法二：由焦点坐标知＝，∴＋＝，∴双曲线方程为－＝.∵双曲线过点(－)，∴－＝，∴＝，＝.双曲线方程为－＝.．已知双曲线与椭圆＋＝有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为，则双曲线的方程为[答案]－＝[解析]椭圆的焦点为(，－)，()，故可设双曲线方程为－＝(>，>)，且＝，＋＝.。
高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 第1课时 Word版含答案
第二章第课时一、选择题．如果方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是( )．(，＋∞)．(－∞，－)．(，＋∞)∪(－∞，－)．(，＋∞)∪(－，－)[答案][解析]由于椭圆的焦点在轴上，所以(\\(>＋＋>))，即(\\((＋((－(>>－))，解得>或－<<－，故选.．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )．[答案][解析]由题意，得＝，∴＝＝.．椭圆：＋＝和椭圆：＋＝(<<)有( )．等长的长轴．相等的焦距．相等的离心率．等长的短轴[答案][解析]依题意知椭圆的焦点在轴上，对于椭圆：焦距＝＝，对于椭圆：焦距＝＝，故选.．(·大纲全国理，)已知椭圆：＋＝(>>)的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交于、两点，若△的周长为，则的方程为( )＋＝．＋＝＋＝．＋＝[答案][解析]根据条件可知＝，且＝，∴＝，＝，＝，椭圆的方程为＋＝.．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )．．[答案][解析]依题意椭圆的焦距和短轴长相等，故＝，－＝，∴＝.．已知＝{}，、∈，则方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆的概率为( )．．[答案][解析]∵、∈，∴不同的方程＋＝共有个．由题意<，∴＝时，＝、、；＝时，＝、；＝时，＝，共个，∴所求概率＝＝.二、填空题．已知椭圆的焦点在轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为，焦距为，则此椭圆的标准方程为[答案]＋＝[解析]由已知，＝＝，∴＝，＝，∴＝－＝－＝，∴椭圆的标准方程为＋＝.．已知椭圆的短半轴长为，离心率<≤.则长轴长的取值范围为[答案](][解析]∵＝，∴＝－，又＝＝－≤，∴≥，∴≤，又∵－>，∴>，∴<≤，故长轴长<≤.三、解答题．已知椭圆＋(＋)＝(>)的离心率＝，求的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标[解析]椭圆方程可化为＋＝，∵－＝>，∴>.即＝，＝，＝＝.由＝得，＝，∴＝.∴椭圆的标准方程为＋＝，∴＝，＝，＝.∴椭圆的长轴长为，短轴长为；两焦点坐标分别为(－，)、(，)；四个顶点分别为(－)、()、(，－)、(，)．．已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到轴的距离等于短半轴长的，求椭圆的离心率。
高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 Word版含答案
第二章一、选择题．设、为定点，＝，动点满足＋＝，则动点的轨迹是( )．椭圆．直线．圆．线段[答案][解析]∵＋＝，＝，∴＋＝，∴点的轨迹是线段.．(·黑龙江哈师大附中高二期中测试)中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点()、()的椭圆方程为( )＋＝．＋＝＋＝．＋＝[答案][解析]解法一：验证排除：将点()代入验证可排除、、，故选.解法二：设椭圆方程为＋＝(>，>)，∴(\\(＝＝))，∴(\\(＝()＝()))，故选.．已知椭圆＋＝上的点到该椭圆一个焦点的距离为，是的中点，为坐标原点，那么线段的长是( ) ．．．．[答案][解析]设椭圆左焦点，右焦点，∵＝，＝，∴＝，∵为中点，为中点，∴＝＝.．(·福建八县一中高二期末测试)“<<”是“方程＋＝表示的曲线是焦点在轴上的椭圆”的( )．必要不充分条件．充分不必要条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件[答案][解析]方程＋＝表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，∴(\\(－>－>－>－))，∴<<，故选.．中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到两焦点的距离之和为，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是( )．＋＝＋＝＋＝．＋＝[答案] [解析]椭圆上的点到两焦点的距离之和为知＝，∵两个焦点将长轴长三等分，∴＝()＝，∴＝，∴＝－＝，故选.．直线＋＋＝过椭圆＋＝的一个焦点，则的值为( )．．－．－或．－或[答案] [解析]椭圆方程化为标准形式为＋＝，∴焦点坐标为(，±)，当直线过焦点()时，＝－；当直线过焦点(，－)时，＝.二、填空题．(·江苏泰州市姜堰区高二期中测试)椭圆＋＝的焦点坐标是[答案](－)、()[解析]∵＝，＝，∴＝－＝，∴椭圆＋＝的焦点坐标是(－)、()．．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆与轴的一个交点到两焦点的距离分别为和，则椭圆的标准方程为[答案]＋＝[解析]由题意可得(\\(＋＝－＝))，∴(\\(＝＝)).故＝－＝，所以椭圆方程为＋＝.三、解答题．已知椭圆的中心在原点，且经过点()，＝，求椭圆的标准方程[解析]当焦点在轴上时，设其方程为＋＝(>>)．由椭圆过点()，知＋＝，又＝，解得＝，＝，故椭圆的方程为＋＝.当焦点在轴上时，设其方程为＋＝(>>)．由椭圆过点()，知＋＝，又＝，联立解得＝，＝，故椭圆的方程为＋＝.故椭圆的标准方程为＋＝或＋＝.．已知点(－，)，是圆：(－)＋＝(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于，求动点的轨迹方程[解析]如图所示，由题意知，。
高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 第2课时 Word版含答案
第二章第课时一、选择题．若点()在椭圆＋＝的外部，则的取值范围为( )．(－，)．(，＋∞)∪(－∞，－)．(，＋∞)．(－∞，－)[答案][解析]因为点在椭圆＋＝的外部，所以＋>，解得>或<－，故选.．为过椭圆＋＝中心的弦，()为椭圆的左焦点，则△的面积最大值是( )．．．．[答案][解析]△＝△＋△＝·－，当、为短轴两个端点时，－最大，最大值为.∴△面积的最大值为.．已知以(－)、()为焦点的椭圆与直线＋＋＝有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．．．．[答案][解析]设椭圆方程＋＝(≠>)(\\(＋＝＋()＋＝))消得(＋)＋＋－＝Δ＝－(－)(＋)＝整理得＋＝即＋＝①又＝，焦点在轴上∴－＝②由①②解得＝，＝，∴长轴长为.．点为椭圆＋＝上一点，以点及焦点、为顶点的三角形的面积为，则点的坐标为( )．(±，) ．(，±)．(，) ．(±，±)[答案][解析]设(，)，∵＝，＝，∴＝，∴△＝·＝＝，∴＝±，∵＋＝，∴＝±.故选.．过椭圆＋＝(>>)的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若∠＝°，则椭圆的离心率为( )．．．[答案][解析]把＝－代入椭圆方程可得＝±，∴＝，∴＝，故＋＝＝，即＝.又∵＝＋，∴(－)＝，∴()＝，即＝.．如图、分别是椭圆＋＝(>>)的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△是等边三角形，则椭圆的离心率为( )．．－．[答案][解析]连接，由圆的性质知，∠＝°，又∵△是等边三角形，∴∠＝°，∴＝，＝，∴＝＝＝＝－.故选.二、填空题．(·黑龙江哈师大附中高二期中测试)若过椭圆＋。
高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 第1课时 Word版含答案
第二章第课时一、选择题．(·河南洛阳市高二期末测试)过抛物线＝的焦点作直线交抛物线于(，)、(，)两点，若＋＝，则弦的长度为( )．．．．[答案][解析]设抛物线的焦点为，则＝＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.．抛物线＝－的通径为线段，则长是( )．．．．[答案][解析]抛物线＝－，通径为－＝，∴选.．(·阜新高二检测)已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，＝，点为的准线上一点，则△的面积为( )．．．．[答案][解析]设抛物线方程＝(>)即通径为∴＝，∴＝，点到的距离为＝，∴△＝××＝.．已知过抛物线＝焦点的弦长为，则该弦所在直线的倾斜角是( )或．或或．[答案][解析]解法一：∵抛物线＝，∴＝，∴＝，即焦点坐标(，)设所求直线方程为＝(－)与抛物线＝消去，得－(＋)＋＝设直线交抛物线于(，)，(，)∴＋＝∵直线过抛物线＝焦点，弦长为.∴＋＋＝，∴＋＝即＝，解得＝＝α＝±，∵α∈[，π)∴α＝或解法二：弦长＝(α为直线倾斜角)∴＝，∴α＝α＝±，∴α∈[，π)，∴α＝或α＝.．(·安庆高二检测)设抛物线＝与过焦点的直线交于、两点，则·的值是( )．－．．－[答案][解析]抛物线＝焦点(，)当直线斜率不存在时，可得(，)，(，－)·＝(，)·(，－)＝－＝－，∴选.．设抛物线的顶点在原点，其焦点在轴上，又抛物线上的点(，－)与点的距离为，则等于( )．．或－．－．－或[答案][解析]由题设条件可设抛物线方程为＝－(>)，又点在抛物线上，则＝，∵＝∴＋＝，即＝，∴＝±.二、填空题．一个正三角形的两个顶点在抛物线＝上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为，则＝[答案]±[解析]设正三角形边长为.＝°，∴＝.当>时，将(，)代入＝得＝，当<时，将(－，)代入＝得＝－，故＝±.．已知点()、()，动点在抛物线＝－上运动，则·取得最小值时的点的坐标是[答案]()。
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第二章 2.1一、选择题1．方程(2x －y ＋2)·x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是导学号 33780312( ) A ．一个点与一条直线 B ．两条射线和一个圆 C ．两个点D ．两个点或一条直线或一个圆 [答案] B[解析] 原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0x 2＋y 2－1≥0，故选B.2．若方程x －2y －2k ＝0与2x －y －k ＝0所表示的两条直线的交点在方程x 2＋y 2＝9的曲线上，则k 等于导学号 33780313( )A ．±3B ．0C ．±2D ． 一切实数[答案] A[解析] 两直线的交点为(0，－k )，由已知点(0，－k )在曲线x 2＋y 2＝9上，故可得k 2＝9，∴k ＝±3.3．在直角坐标系中，方程|x |·y ＝1的曲线是导学号 33780314( )[答案] C[解析] 由|x |·y ＝1知y >0，曲线位于x 轴上方，故选C.4．命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是导学号 33780315( )A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是CB ．方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 C ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是CD ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上 [答案] C[解析] 不论方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程，还是曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：(1)曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A 、B 、D 错误．5．已知A (－2,0)、B (2,0)，△ABC 的面积为10，则顶点C 的轨迹是导学号 33780316( ) A ．一个点 B ．两个点 C ．一条直线 D ．两条直线[答案] D[解析] 设顶点C 到边AB 的距离为d ，则12×4×d ＝10，∴d ＝5.∴顶点C 到x 轴的距离等于5.故顶点C 的轨迹是直线y ＝－5和y ＝5.6．动点在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是导学号 33780317( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(x ＋32)2＋y 2＝1[答案] C[解析] 设P 点为(x ，y )，曲线上对应点为(x 1，y 1)，则有x 1＋32＝x ，y 1＋02＝y .∴x 1＝2x －3，y 1＝2y .∵(x 1，y 1)在曲线x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1即(2x －3)2＋4y 2＝1. 二、填空题7．方程y ＝x 2－2x ＋1所表示的图形是________.导学号 33780318 [答案] 两条射线x ＋y －1＝0(x ≤1)和x －y －1＝0(x ≥1)[解析] 原方程等价于y ＝|x －1|⇔x ＋y －1＝0(x ≤1)和x －y －1＝0(x ≥1)． 8．给出下列结论：导学号 33780319 ①方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线； ②到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2；③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点．正确的结论的序号是________． [答案] ③[解析] 方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线且扣除点(2,0)，故①错；到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2或y ＝2，故②错；方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)，故③正确．三、解答题9．画出方程(x ＋y －1)x －y －2＝0所表示的曲线.导学号 33780320[解析] 方程(x ＋y －1)x －y －2＝0可等价变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0.或x －y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x ≥32.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0.表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)．∴原方程表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)和直线x －y －2＝0，如下图所示．10.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.导学号 33780321[解析] 设所作弦的中点为P (x ，y )，连接CP ，则CP ⊥OP ，|OC |＝1，OC 的中点M (12，0)，∴动点P 的轨迹是以点M 为圆心，以OC 为直径的圆，∴轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14.∵点P 不能与点O 重合，∴0<x ≤1，故所作弦的中点的轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x ≤1).一、选择题1．方程x 2＋xy ＝x 所表示的图形是导学号 33780322( ) A ．一个点 B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线[答案] C[解析] 原方程等价于x (x ＋y －1)＝0⇔x ＝0或x ＋y －1＝0，故原方程所表示的图形是两条直线．2．设圆M 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝2，直线l 的方程为x ＋y －3＝0，点P 的坐标为(2,1)，那么导学号 33780323( )A ．点P 在直线l 上，但不在圆M 上B ．点P 在圆M 上，但不在直线l 上C ．点P 既在圆M 上，也在直线l 上D ．点P 既不在圆M 上，也不在直线l 上 [答案] C[解析] 将P (2,1)代入圆M 和直线l 的方程得，(2－3)2＋(1－2)2＝2且2＋1－3＝0， ∴点P (1,2)既在圆(x －3)2＋(y －2)2＝2上也在直线l ：x ＋y －3＝0上，故选C.3．平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是导学号 33780324( )A ．x ＋y ＝4B ．2x ＋y ＝4C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1[答案] C[解析] 由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1,2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4，x ＋2y ＝4即为所求轨迹方程，故选C.4．平行四边形ABCD 的顶点A 、C 的坐标分别为(3，－1)、(2，－3)，顶点D 在直线3x －y ＋1＝0上移动，则顶点B 的轨迹方程为导学号 33780325( )A ．3x －y －20＝0B ．3x －y －10＝0C ．3x －y －12＝0D ．3x －y －9＝0 [答案] A[解析] 设AC 、BD 交于点O ， ∵A 、C 分别为(3，－1)、(2，－3)，∴O 点坐标为(52，－2)，设B 点坐标为(x ，y )，∴D 点坐标为(5－x ，－4－y )，∵D 在直线3x －y ＋1＝0上，∴15－3x ＋4＋y ＋1＝0， 即3x －y －20＝0，故选A. 二、填空题5．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为______.导学号 33780326[答案] x 2＋y 2＝4[解析] 设P (x ，y )，x 2＋y 2＝1的圆心为O ， ∵∠APB ＝60°，OP 平分∠APB ，∴∠OPB ＝30°， ∵|OB |＝1，∠OBP 为直角，∴|OP |＝2，∴x 2＋y 2＝4.6．M 为直线l ：2x －y ＋3＝0上的一动点，A (4,2)为一定点，又点P 在直线AM 上运动，且|AP |︰|PM |＝3，则动点P 的轨迹方程为________.导学号 33780327[答案] 8x －4y ＋3＝0或4x －2y ＋15＝0[解析] 设点M 、P 的坐标分别为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题设可得AP →＝34AM →或AP →＝32AM →，∴⎩⎨⎧x 0＝4x －43y 0＝4y －23，或⎩⎨⎧x 0＝2x ＋43y 0＝2y ＋23，因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，所以2×4x －43－4y －23＋3＝0或2×2x ＋43－2y ＋23＋3＝0，即8x －4y ＋3＝0或4x －2y ＋15＝0.从而点P 的轨迹方程为8x －4y ＋3＝0或4x －2y ＋15＝0. 三、解答题7．设△ABC 的两顶点分别是B (1,1)、C (3,6)，求第三个顶点A 的轨迹方程，使|AB |＝|BC |.导学号 33780328[解析] 设A (x ，y )为轨迹上任一点，那么 (x －1)2＋(y －1)2＝(3－1)2＋(6－1)2， 整理，得(x －1)2＋(y －1)2＝29.因为A 点不在直线BC 上，虽然点C (3,6)及点C 关于点B 的对称点C ′(－1，－4)的坐标是这个方程的解，但不在已知曲线上，所以所求轨迹方程为(x －1)2＋(y －1)2＝29(去掉(3,6)和(－1，－4)两个点)．8．已知△ABC 的两个顶点坐标为A (－2,0)、B (0，－2)，第三个点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 重心的轨迹方程．(注：设△ABC 顶点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，则△ABC 重心坐标为G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．)导学号 33780329[解析] 设C (x 1，y 1)，重心G (x ，y )，由重心坐标公式得3x ＝－2＋0＋x 1,3y ＝0－2＋y 1， 即x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2，∵C(x1，y1)在曲线y＝3x2－1上，∴3y＋2＝3(3x＋2)2－1.化简得y＝9x2＋12x＋3.故△ABC的重心的轨迹方程为y＝9x2＋12x＋3.(不包括和直线AB的交点)。