专题12压轴题
备战2024年中考数学压轴题之二次函数篇(全国通用)专题12 二次函数-阿氏圆求最小值(学生版)
第十二讲二次函数--阿氏圆求最值必备知识点点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
如图1所示，⊙O 的半径为r，点A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB 上截取OC 使OC=k·r，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A 与C 为定点,P 为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3所示：知识导航【破解策略详细步骤解析】例题演练1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x ﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣4，﹣4），B（0，4），直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；（2）点H是y轴上一动点，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形？求出此时点E，H的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上以动点，求AM+CM 的最小值．3．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段AB绕点A逆时针旋转120°，点B刚好与点C重合，点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，以点B为圆心，以1为半径画圆，若点Q为⊙B上的一个动点，连接AQ，CQ，求AQ+CQ的最小值．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）如图①，若点D为抛物线的顶点，以点B为圆心，3为半径作⊙B．点E为⊙B上的动点，连接A，DE，求DE+AE的最小值．（2）如图②，若点H是直线AC与抛物线对称轴的交点，以点H为圆心，1为半径作⊙H，点Q 是⊙H上一动点，连接OQ，AQ，求OQ+AQ的最小值；（3）如图③，点D是抛物线上横坐标为2的点，过点D作DE⊥x轴于点E，点P是以O为圆心，1为半径的⊙O上的动点，连接CD，DP，PE，求PD﹣PE的最大值．5．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M．（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+QB的最小值．6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点为C，（1）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；（2）如图，当m＝0时，直线y＝x+2与抛物线交于A、B两点，点A，点B分别在抛物线的对称轴左右两侧；①抛物线的对称轴与直线AB交于点M，点G（1，3），在直线AB上，作B点关于直线MC的对称点B′，以M为圆心，MC为半径作圆，动点Q在圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律；②直接写出B′Q+QB的最小值．7．如图，已知点A（﹣4，0），点B（﹣2，﹣1），直线y＝2x+b过点B，交y轴于点C，抛物线y＝ax2+x+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）D为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ACD＝，求点D的坐标；（3）平面内任意一点P，与点O距离始终为2，连接PA，PC．直接写出PA+PC的最小值．8．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作ED⊥AB，交AB于点D，作EF⊥AC，交AC于点F，交AB于点M，求△DEM的周长的最大值；（3）在（2）的结论下，连接CM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（4）如图2，点N的坐标是（1，0），将线段ON绕点O逆时针旋转得到ON′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接N′A、N′B，求N′A+N′B的最小值．9．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点Q为⊙C上的一个动点，求BQ+FQ的最小值．10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由；（3）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为，求的最小值．。
中考数学重难点专题12 一次函数与几何综合问题(学生版)
中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）专题12一次函数与几何综合问题【典型例题】1．（2022·四川成都·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，AO＝2BO，点C（3，0）（A点在C点的左侧），连接AB，过点A作AB的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知△ABO△△DAC，直线BD交x轴于点E．(1)求直线AD的解析式；(2)直线AD有一点F，设点F的横坐标为t，若△ACF与△ADE相似，求t的值；(3)如图2，在直线AD上找一点G，直线BD上找一点P，直线CD上找一点Q，使得四边形AQPG是菱形，求出G点的坐标．【专题训练】一、选择题1．（2022·山东龙口·七年级期末）对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过点(1，3)B．y的值随x值的增大而增大C．当x＞0时，y＜0D．它的图象与x轴的交点坐标为(13，0)2．（2022·江苏溧阳·八年级期末）如图，直线122y x=-+与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM与△AOB全等时，移的时间t是（）A．2B．4C．2或4D．2或63．（2022·陕西·辋川乡初级中学八年级期末）数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点A（3，2），B（-1，-6），由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：①该函数表达式为y=2x-4；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大：③点P（2a，4a-4）在该函数图象上；④直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中错误的结论是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2022·江苏启东·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）二、填空题5．（2022·江苏滨湖·八年级期末）如图，直线y＝﹣43x+8与坐标轴分别交于A、B两点，P是AB的中点，则OP的长为_____．6．（2021·山东济阳·八年级期中）如图，一次函数y ＝x ＋2的图像与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且△OPC ＝45°，PC ＝PO ，则点P 的坐标为______．7．（2021·湖北阳新·模拟预测）如图，直线AB 的解析式为y ＝﹣x +b 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，点A的坐标为（3，0），过点B 的直线交x 轴负半轴于点C ，且31OB OC ：：，在x 轴上方存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与△ABC 全等，则点D 的坐标为_____．8．（2022·山东龙口·七年级期末）正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示放置，点A 1，A 2，A 3，和点C 1，C 2，C 3，…，分别在直线y ＝kx +b （k ＞0）和x 轴上，已知点B 1，B 2，B 3，B 4的坐标分别为(1，1)，(3，2)，(7，4)，(15，8)，则Bn 的坐标为_____三、解答题9．（2022·江苏海州·八年级期末）已知直线l 1经过点A （3，2）和点B （0，5），直线l 2：y ＝2x ﹣4经过点A 且与y 轴相交于点C ．(1)求直线l 1的函数表达式；(2)已知点M 在直线l 1上，过点M 作MN //y 轴，交直线l 2于点N ．若MN ＝6，请求出点M 的横坐标．10．（2022·广西·桂林市雁山中学九年级期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝mx在第一象限的图象交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D．如果OA＝OB＝OD＝1，求：(1)点A、B、C的坐标；(2)这个反比例函数的表达式；(3)这个一次函数的表达式．11．（2022·江苏溧阳·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中长方形AOBC的顶点A、B坐标分别为(0，8)、(10，0)，点D是BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折，使得点C落在OB上的点E处，点F是直线AD 与x轴的交点，连接CF．(1)点C坐标为____________；(2)求直线AD的函数表达式_______________________；(3)点P是直线AD上的一点，当△CFP是直角三角形时，请你直接写出点P的坐标．。
2020年中考数学冲刺专题卷专题12 压轴题(解析版)
2020年中考数学冲刺专题卷12 压轴题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2019·江苏中考真题）如图，△ABC 中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC 绕点A 逆时针旋转α(0<α<120°)得到AB C ''∆，''B C 与BC ，AC 分别交于点D ，E.设CD DE x +=，AEC ∆'的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接B′C ，作AH ⊥B′C′，垂足为H ，∵AB=AC ，∠B=30°，∴∠C=∠B=30°，∵△ABC 绕点A 逆时针旋转α(0<α<120°)得到AB C ''∆，∴AB′=AB=AC=AC′=2，∠AB′C′=∠C′=30°，∴AH=12AC′=1， ∴223AC AH '-=∴3，∵AB′=AC ，∴∠AB′C=∠ACB′，∵∠AB′D=∠ACD=30°，∴∠AB′C -∠AB′D=∠ACB′-∠ACD ，即∠DB′C=∠DCB′，∴B′D=CD ，∵CD+DE=x ，∴B′D+DE=x ，即B′E=x ，∴C′E=B′C′-B′E=23-x ，∴y=12C E AH 'g =12×(23-x)×1=132x -+， 观察只有B 选项的图象符合题意，故选B.2．（2019·四川中考真题）如图，抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ .则线段OQ 的最大值是（ ）A ．3B ．412C ．72D ．4 【答案】C【解析】∵抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点 ∴A （-4,0），B （4,0），即OA=4.在直角三角形COB 中BC=2222345+=+=OC OB∵Q 是AP 上的中点，O 是AB 的中点∴OQ 为△ABP 中位线，即OQ=12BP 又∵P 在圆C 上，且半径为2，∴当B 、C 、P 共线时BP 最大，即OQ 最大此时BP=BC+CP=7OQ=12BP=72. 3．（2019·山东中考真题）如图，点A 的坐标是(-2,0)，点B 的坐标是(0,6)，C 为OB 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到A B C '''∆．若反比例函数k y x=的图象恰好经过A B '的中点D ，则k 的值是（ ）A ．9B ．12C ．15D ．18【答案】C【解析】作A H y '⊥轴于H ．∵90AOB A HB ABA ∠=∠'=∠'=︒，∴90ABO A BH ∠+∠'=︒，90ABO BAO ∠+∠=︒，∴BAO A BH ∠=∠'，∵BA BA ='，∴()AOB BHA AAS 'V V ≌，∴OA BH =，OB A H ='，∵点A 的坐标是()2,0-，点B 的坐标是()0,6，∴2OA =，6OB =，∴2BH OA ==，6A H OB '==，∴4OH =，∴()6,4A '，∵BD A D ='，∴()3,5D ，∵反比例函数k y x =的图象经过点D ， ∴15k =．故选：C ．4．（2019·四川中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AB DC P ，90ADC ∠=o ，5AB =，3CD AD ==，点E 是线段CD 的三等分点，且靠近点C ，FEG ∠的两边与线段AB 分别交于点F 、G ，连接AC 分别交EF 、EG 于点H 、K ．若32BG =，45FEG ∠=o ，则HK =( )A ．223B ．526C ．322D ．1326【答案】B【解析】∵90ADC ∠=o ，3CD AD ==，∴32AC =∵5AB =，32BG =，∴72AG =， ∵AB DC P ，∴CEK AGK ∆∆:，∴CE CK EK AG AK KG ==， ∴172CK EK AK KG ==，∴27CK EK AK KG ==， ∵32CK AK +=，∴22CK =， 过E 作EM AB ⊥于M ，则四边形ADEM 是矩形，∴3EM AD ==，2AM DE ==，∴32MG =， ∴2235EG EM MG =+=， ∵27EK KG =，∴53EK =， ∵45HEK KCE ∠=∠=o ，EHK CHE ∠=∠，∴HEK HCE ∆∆:，∴55HE EC HK EK ===，∴设3HE x =，5HK x =，∵HEK HCE ∆∆:，∴EH HK HC EH=， ∴532253x x x =+，解得：106x =，∴526HK =， 故选：B ．5．（2019·辽宁中考真题）如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点C ，D ，E 在同一条直线上，顶点B ，C ，G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH ．以下四个结论：①GH ⊥BE ；②△EHM ∽△GHF ；③2BC CG =﹣1；④HOM HOG S S V V ＝2﹣2，其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 【答案】A【解析】如图，∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，∴BC ＝CD ，CE ＝CG ，∠BCE ＝∠DCG ，在△BCE 和△DCG 中，BC CDBCE DCG CE CG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△DCG （SAS ），∴∠BEC ＝∠BGH ，∵∠BGH+∠CDG ＝90°，∠CDG ＝∠HDE ，∴∠BEC+∠HDE ＝90°，∴GH ⊥BE ．故①正确；∵△EHG 是直角三角形，O 为EG 的中点，∴OH ＝OG ＝OE ，∴点H 在正方形CGFE 的外接圆上，∵EF ＝FG ，∴∠FHG ＝∠EHF ＝∠EGF ＝45°，∠HEG ＝∠HFG ，∴△EHM ∽△GHF ，故②正确；∵△BGH ≌△EGH ，∴BH ＝EH ，又∵O 是EG 的中点，∴HO ∥BG ，∴△DHN ∽△DGC ，DN HN DC CG∴= 设EC 和OH 相交于点N ．设HN ＝a ，则BC ＝2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC ＝b ，CD ＝2a ，222b a a a b-∴= 即a 2+2ab ﹣b 2＝0，解得：a ＝b ＝（﹣b ，或a ＝（﹣1b （舍去），212a b∴=1BC CG∴= 故③正确；∵△BGH ≌△EGH ，∴EG ＝BG ，∵HO 是△EBG 的中位线，∴HO ＝12BG ， ∴HO ＝12EG ， 设正方形ECGF 的边长是2b ，∴EG ＝b ，∴HOb ，∵OH ∥BG ，CG ∥EF ，∴OH ∥EF ，∴△MHO △MFE ，∴OM OH EM EF 2b 2===， ∴EMOM ，∴1OM OE ===，∴1HOM HOES S ∆∆= ∵EO ＝GO ，∴S △HOE ＝S △HOG ，∴1HOM HOGS S ∆∆= 故④错误，故选：A ．6．（2019·湖北中考真题）抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①0ab >且0c <；②420a b c -+>；③8>0+a c ；④33c a b =-；⑤直线22y x =+与抛物线2y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x 、，则12125x x x x ++⋅=-.其中正确的个数有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】C【解析】 ∵对称轴在y 轴左侧，图象与y 轴交于y 轴正半轴，∴ab>0，c>0，故①错误，∵图象过点（1，0），对称轴为x=-1，∴图象与x 轴的另一个交点为（-3，0），∵抛物线的开口向下， ∴a<0，∴x=-2时，4a-b+c>0，故②正确，∵对称轴x=2b a -=-1， ∴b=2a ，∵x=1时，a+b+c=0，∴3a+c=0，∴8a+c=5a<0，故③错误，∵3a+c=0，∴c=-3a ，∴3a-3b=3a-3×2a=-3a=c ，故④正确， ax 2+bx+c=2x+2，整理得：ax 2+(b-2)x+c-2=0，∵直线22y x =+与抛物线2y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x 、，∴x 1+x 2+x 1⋅x 2=2b a --+2c a -=22(3)2a a a-++--=-5，故⑤正确，综上所述：正确的结论为②④⑤，共3个.故选C.7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是A．CE=3DE B．CE=2DEC．CE=3DE D．CE=2DE【答案】B【解析】过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵AD=1，BC=2，∴CH=1，根据勾股定理可得DH=AB=2222DC CH-=，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°，∴∠AED+∠ADE=90°，又∵DE⊥CE，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴Rt△ADE∽Rt△BEC，∴AD AE DE BE BC CE==，设BE=x，则AE22x=-，即122xx-=，解得x=2，∴2DECE=，即CE=2DE，故选B．8．（2019·山东中考真题）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF、有以下结论：①AN＝EN，②当AE＝AF时，BEEC＝22，③BE+DF＝EF，④存在点E、F，使得NF＞DF，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解析】①如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°，∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，∴△AMN∽△BME，∴AM MN BM EM，∵∠AMB＝∠EMN，∴△AMB∽△NME，∴∠AEN＝∠ABD＝45°∴∠NAE＝∠AEN＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN＝EN，故①正确；②在△ABE和△ADF中，∵AB ADABE ADF90AE AF︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴CE＝CF，假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，如图2，连接AC，交EF于H，∵AE＝AF，CE＝CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE＝OF，Rt△CEF中，OC＝12EF＝22x，△EAF中，∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°，∴OE＝BE，∵AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），∴AO＝AB＝1，∴AC2＝AO+OC，∴1+22x2，x＝22，∴BEEC＝1(22)22---＝(21)(22)-+＝2；故②不正确；③如图3，∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE，∵∠ABE＝∠ABH＝90°，∴H、B、E三点共线，在△AEF和△AEH中，AE AEFAE HAEAF AH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，故③正确；④△ADN中，∠FND＝∠ADN+∠NAD＞45°，∠FDN＝45°，∴DF＞FN，故存在点E、F，使得NF＞DF，故④不正确；故选B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9．若数a使关于x 的不等式组2122224x x x a-⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程2a y +- 22y-=2有非负数解，则满足条件的整数a 的值是__________． 【答案】-2【解析】解不等式组2122224x x x a -⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩，可得342x a x ≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩，∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴-1≤42a +-<0，∴-4<a ≤-2，解分式方程222a y y +--=2，可得y =22a +， 又∵分式方程有非负数解，∴y ≥0，且y ≠2，即22a +≥0，22a +≠2，解得a ≥-2且a ≠2，∴-2≤a ≤3，且a ≠2， ∴满足条件的整数a 的值为-2，故答案为：-2．10．（2019·江苏中考真题）如图，过点C(3,4)的直线2y x b =+交x 轴于点A ，∠ABC=90°，AB=CB ，曲线0k y x x=>（）过点B ，将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，则a 的值为________．【答案】4【解析】分别过点B 、点C 作y 轴和x 轴的平行线，两条平行线相交于点M ，与x 轴的交点为N ，则∠M=∠ANB=90°，把C(3,4)代入2y x b =+，得4=6+b ，解得：b=-2，所以y=2x-2，令y=0，则0=2x-2，解得：x=1，所以A(1，0)，∵∠ABC=90°，∴∠CBM+∠ABN=90°，∵∠ANB=90°，∴∠BAN+∠ABN=90°，∴∠CBM=∠BAN ，又∵∠M=∠ANB=90°，AB=BC ，∴△ABN ≌△BCM ，∴AN=BM ，BN=CM ，∵C(3，4)，∴设AN=m ，CM=n ，则有413m n m n +=⎧⎨+-=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩， ∴ON=3+1=4，BN=1，∴B(4，1)，∵曲线0k y x x =>（）过点B ，∴k=4，∴4y x=， ∵将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，此时点A 移动后对应点的坐标为(1，a)， ∴a=4，故答案为：4.11．（2019·四川中考真题）如图，反比例函数()0k y x x=>的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB ，BC 于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为12，则k 的值为______．【答案】4【解析】∵E 、M 、D 位于反比例函数图象上，∴12OCE S k ∆=，12OAD S k ∆=， 过点M 作MG y ⊥轴于点G ，作MN x ⊥轴于点N ，∴四边形ONMG 是矩形，∴ONMG S k =矩形，∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，∴44ABCO ONMG S S k ==矩形矩形，∵函数图象在第一象限，∴0k >，∴ABCO S =矩形OCE S ∆+OAD S ∆+S 四边形ODBE =12422k k k ++=， 解得：4k =．故答案为：412．（2019·辽宁中考真题）如图，直线113y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，过点A 作AB AM ⊥，交x 轴于点B ，以AB 为边在AB 的右侧作正方形ABCA 1，延长A 1C 交x 轴于点B 1，以A 1B 1为边在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1C 1A 2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA 1，A 1B 1C 1A 2，…，111n n n n A B C A ---中的阴影部分的面积分别为S 1，S 2，…，S n ，则S n 可表示为_____．【答案】42223n n -． 【解析】在直线113y x =+中，当0x =时，1y =；当0y =时，3x =-； ∴1OA =，3OM =，∴1tan 3AMO ∠=， ∵90OAB OAM ︒∠+∠=，90AMO OAM ︒∠+∠=，∴OAB AMO ∠=∠， ∴1tan 3OB OAB OA ∠==，∴13OB =． ∵正方形ABCA 1中的四个小正方形都与△AOB 全等， ∴第一个阴影正方形的边长为：12133-=， ∴212439S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，同理：111tan tan 3B C CBB OAB BC ∠==∠=， ∴11111333B C BC AC AB ===， ∴1143A B AB =， ∴221141639S S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 同理可得2321161699S S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3431161699S S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，…，11116164999n n n S S --⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭142442422222222222233333n n n n n ----⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：42223n n -． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．（2019·山西中考真题）综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 (1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6，∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =34S △AOC ， ∴S △BCD =39642⨯=， 设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+， ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+（）， ∴239622m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =，∴m 的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况， ∵D 点坐标为15(3,)4，∴点N 点纵坐标为±154， 当点N 的纵坐标为154时，如点N 2， 此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时，如点N 3，N 4， 此时233156424x x -++=-，解得：12114,114x x ==∴315(114,)4N +-，415(114,)4N -， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合， ∵115(1,)4N -，D(3，154)， ∴N 1D=4，∴BM 1=N 1D=4，∴OM 1=OB+BM 1=8，∴M 1(8，0)， 综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(14(14M M M M -，，，，，，，.14．（2019·广东中考模拟）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB=3，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．【答案】（1）详见解析；（2）∠BDE=20°．【解析】（1）如图1，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠DEA=∠ABC，∴BC∥DF，∴∠F=∠PBC，∵四边形BCDF是圆内接四边形，∴∠F+∠DCB=180°，∵∠PCB+∠DCB=180°，∴∠F=∠PCB ，∴∠PBC=∠PCB ，∴PC=PB ；（2）如图2，连接OD ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=90°，∵BG ⊥AD ，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB ，∴BG ∥DC ， ∵BC ∥DE ，∴四边形DHBC 是平行四边形，∴BC=DH=1，在Rt △ABC 中，3tan ∠ACB=3AB BC ∴∠ACB=60°，∴BC=12AC=OD ， ∴DH=OD ，在等腰△DOH 中，∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°，设DE 交AC 于N ，∵BC ∥DE ，∴∠ONH=∠ACB=60°，∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD ）=40°，∴∠DOC=∠DOH ﹣∠NOH=40°，∵OA=OD ，∴∠OAD=12∠DOC=20°， ∴∠CBD=∠OAD=20°，∵BC ∥DE ，∴∠BDE=∠CBD=20°．15．（2019·广西中考真题）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一个动点（点E 与点,A B 不重合），连接CE ，过点B 作BF CE ⊥于点G ，交AD 于点F ．（1）求证：ABF BCE ∆∆≌；（2）如图2，当点E 运动到AB 中点时，连接DG ，求证：DC DG =；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C 作CM DG ⊥于点H ，分别交,AD BF 于点,M N ，求MN NH的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）54MN NH =. 【解析】（1）证明：∵BF CE ⊥，∴90CGB ∠=︒，∴90GCB CBG ∠+∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴90,CBE A BC AB ∠=︒=∠=，∴90FBA CBG ∠+∠=︒，∴GCB FBA ∠=∠，∴()ABF BCE ASA ∆∆≌；（2）证明：如图2，过点D 作DQ CE ⊥于Q ，设2AB CD BC a ===，∵点E 是AB 的中点， ∴12EA EB AB a ===， ∴5CE a =，在Rt CEB ∆中，根据面积相等，得BG CE CB EB ⋅=⋅， ∴25BG =， ∴2255CG CB BG a =-=， ∵90,90DCE BCE CBF BCE ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴DCE CBF ∠=∠，∵,90CD BC CQD CGB =∠=∠=︒，∴()CQD BGC AAS ∆∆≌，∴25CQ BG ==， ∴55GQ CG CQ a CQ =-==， ∵,90DQ DQ CQD GQD =∠=∠=︒，∴()DGQ DCQ SAS ∆∆≌，∴CD GD =；（3）解：如图3，过点D 作DQ CE ⊥于Q ，1122CDG S CG DQ CH DG ∆=⋅=⋅， ∴85CG DQ CH a DG ⋅==， 在Rt CHD ∆中，2CD a = ，∴2265DH CD CH a =-=， ∵90,90MDH HDC HCD HDC ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴MDH HCD ∠=∠，∴CHD DHM ∆∆∽，∴34DH HM H DH C ==， ∴910HM a =， 在Rt CHG ∆中，458,5CG CH a ==， ∴2245GH CG CH a =-=， ∵90,90NGH CGH HCG CGH ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴NGH HCG ∠=∠，∴NGH GCH ∆∆∽，∴HN HG HG CH=， ∴225HG HN a CH ==， ∴12MN HM HN a =-=，∴152245a MNNH a==。
专题12 三角函数(全题型压轴题)-2024年高考数学压轴专题复习(学生版)
.
6．（2023 春·上海普陀·高一上海市宜川中学校考期中）将函数 y 3sin 2x+ 0 π 的图像向左平移 π 个
6
单位后得到函数 y g x ，若函数 y g x 是 R 上的偶函数，则
．
③三角函数零点问题（解答题）
1．（2023 春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知函数
4．（2023 春·四川成都·高一统考期末）已知函数 f x 3 sin x cos x 1 sin 4 x cos4 x 1 x R ，函数 2
y f x 的图象向左平移 π 个单位，再向上平移 1 个单位得到 y g x 的图象，
6
h x cos x cos x 3m mmR .
3
sin
x
π 6
0
的图象上相邻两个最高点
的距离为 π ．
(1)求函数 f x 的图象的对称轴；
(2)若函数
y
f
x
m
在
0,
π 2
内有两个零点
x1
,
x2
，求
m
的取值范围及 cos x1
x2
的值．
7．（2023
春·江西·高一统考期末）已知函数
f
x 2cos2xcos cos
2sinxcosxsin
B．
π 2
,
17π 24
C．
7π 24
,
19π 24
D．
7π 24
,
17π 24
5．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知定义在
R
上的奇函数
f
(x)
与偶函数
g(x)
满足
f
(x)
专题12 一次函数解答题压轴训练(解析版)八年级数学下学期(人教版)
专题12 一次函数解答题压轴训练（时间：60分钟 总分：120） 班级 姓名 得分一、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点()()1122,,,M x y N x y ，定义如下：点M 与点N 的“直角距离”为1212x x y y -+-，记作MN d ．例如：点()1,5M 与()7,2N 的“直角距离”17529MN d =-+-=．（1）已知点1234311111(1,0),,,,,,222422P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则在这四个点中，与原点O 的“直角距离”等于1的点是__________；（2）如图，已知点()()1,0,0,1A B ，根据定义可知线段AB 上的任意一点与原点O 的“直角距离”都等于1．若点P 与原点O 的“直角距离”1OP d =．请在图中将所有满足条件的点P 组成的图形补全； （3）已知直线2y kx =+，点(),0C t 是x 轴上的一个动点．①当3t =时，若直线2y kx =+上存在点D ，满足1CD d =，求k 的取值范围；①当2k =-时，直线2y kx =+与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段EF 上任意一点H 都满足14CH d ≤≤，直接写出t 的取值范围．【答案】（1）P 1，P 4；（2）见解析；（3）①-1≤k ≤13-；①-2≤t≤0或t=2 【分析】（1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断；（2）根据“直角距离”的定义得|x |+|y |=1，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可； （3）①先根据题意可得点C 的坐标为（3，0），根据d CD =1，并由（2）可得：点D 在正方形EFMN 边上，如图2，通过观察图2可得：k 的最大值是过点E 的直线，k 的最小值是过F ，M 的直线，代入可得结论；①根据k =-2可得直线EF 的解析式为：y =-2x +2，计算点E 和F 的坐标，设H （m ，-2m +2），根据点H 在线段EF 上，可得0≤m ≤1，根据“直角距离”的定义列式得d CH =|t -m |+|-2m +2|=|t -m |-2m +2，列不等式后分两种情况进行讨论可得结论． 【详解】解：（1）①点1234311111(1,0),,,,,,222422P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①d P 1O =|-1|+0=1，d P 2O =31222-+=，d P 3O =113244-+-=，d P 4O =11122-+-=， ①与原点O 的“直角距离”等于1的点是P 1，P 4； 故答案为：P 1，P 4； （2）设P （x ，y ），①点P 与原点O 的“直角距离”d OP =1， ①|x |+|y |=1，当x ＞0，y ＞0时，x +y =1，即y =-x +1， 当x ＞0，y ＜0时，x -y =1，即y =x -1， 当x ＜0，y ＞0时，-x +y =1，即y =x +1， 当x ＜0，y ＜0时，-x -y =1，即y =-x -1， 如图1所示，（3）①当t =3时，点C 的坐标为（3，0），由（2）可得：d CD =1，则点D 在正方形EFMN 边上，如图2，①F（2，0），E（3，1），M（3，-1），N（4，0），又①点D在直线y=kx+2，又直线y=kx+2过点（0，2），由图2可知：当直线y=kx+b过点E时，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k 的最小值是过F，M的直线，把点E的坐标（3，1）代入y=kx+2中，3k+2=1，k=13 -，把点F的坐标（2，0）代入y=kx+2中，2k+2=0，k=-1，故k的取值范围是：-1≤k≤13 -，①当k=-2时，直线的解析式为：y=-2x+2，当x=0时，y=2，当y=0时，x=1，①E（1，0），F（0，2），设H（m，-2m+2）（0≤m≤1），d CH=|t-m|+|-2m+2|=|t-m|-2m+2，①1≤d CH≤4，即1≤|t-m|-2m+2≤4，又0≤-2m+2≤2，即-1≤|m-t|≤4，当t≤m时，有-1≤m-t≤4，①0≤m≤1，①-4≤t≤2，又t≤m，①-4≤t≤1，当t＞m时，有-1≤t-m≤4，①0≤m≤1，①-1≤t ≤5， 又t ＞m ， ①1≤t ≤5，当-4≤t ＜-2时，d CH ＞4，不符合题意， 当0＜t ＜2时，d CH ＜1，不符合题意， 当2＜t≤5时，d CH ＞4，不符合题意， 综上，t 的取值范围为：-2≤t≤0或t=2． 【点睛】本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键．2．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，4OA =，2OC =，点P ，点Q 分别是边BC ，边AB 上的点，连结AC ，PQ ，点B 1是点B 关于PQ 的对称点．（1）若四边形OABC 为长方形，如图1，①若点P ，点Q 分别是边BC ，边AB 上中点，求直线PQ 的解析式； ①若BQ BP =，且点1B 落在AC 上，求点1B 的坐标；（2）若四边形OABC 为平行四边形，如图2，且OC AC ⊥，过点1B 作1//B F x 轴，与对角线AC ，边OC 分别交于点E ，点F ．若11:1:3B E B F =，点1B 的横坐标为m ，求点1B 的纵坐标（用含m 的代数式表示）【答案】（1）①132y x =-+；①8(3，2)3；（2）5或2 【分析】（1）①根据A 、C 坐标和中点的定义得到P 、Q 坐标，再利用待定系数法求解． ①求出直线AC 的解析式，利用待定系数法即可解决问题．（2）分两种情形：①当点1B 在线段FE 的延长线上时，如图2，延长1B F 与y 轴交于点G ，①当点1B 在线段FE （除点E ，F 外）上时，如图3，延长1B F 与y 轴交于点G ，分别求解即可解决问题． 【详解】 解：（1）①4=OA ，2OC =，四边形OABC 是矩形，①BC =4，AB =2， ①B （4，2），又点P 和点Q 是BC 和AB 中点，①P （2，2），Q （4，1），设PQ 的解析式为y kx b =+，则2214k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，①PQ 的解析式为132y x =-+； ①设BP BQ a ==，则1(4,2)B a a --，如图1，设直线AC 的解析式是12y k x =+，把(4,0)A 代入，得1042k =+，解得112k =-，∴直线AC 的解析式是122y x =-+， 把1(4,2)B a a --代入上式，得12(4)22a a -=--+，解得43a =．18(3B ∴，2)3；（2）4=OA ，2OC =，OC AC ⊥，30OAC ∴∠=︒，C ．11:1:3B E B F =，∴有以下两种情况：①当点1B 在线段FE 的延长线上时，如图2，延长1B F 与y 轴交于点G ，由题意可知1(0)B G m m =>，设GF b =，则OG =，2OF b =， 22CF b ∴=-，2(22)44FE b b =-=-，11222B E EF b ∴==-，(44)(22)b b b m ∴+-+-=，解得65mb -=．∴点1B①当点1B 在线段FE （除点E ，F 外）上时，如图3，延长1B F 与y 轴交于点G ，同理可求得1B综上所述，满足条件的1B 的纵坐标为5或2．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 3．已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝kx +3与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，且ABO 的面积为9．（1）如图1，求k 的值；（2）如图2，若点P 是线段AO 上的一动点，过点P 作PC ①AB ，交y 轴于点C ，设点P 的横坐标为t ，线段BC 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，点D 为线段AB 的延长线上一点，连接DO ，DO 与PC的延长线交于点E ，若①BPC ＝2①BOD ，BP ﹣PE ，求点D 的坐标． 【答案】（1）k ＝12；（2）d ＝12t +3；（3）(1，72) 【分析】（1）根据题意先求出点A ，B 的坐标，依据三角形面积列方程求解即可；（2）先根据两直线平行时，其解析式一次项系数相等，求出直线PC 的解析式，进而求出点C 的坐标，即可得到答案；（3）在y 轴的负半轴上取一点F ，使FO ＝BO ＝3，连接PF ，延长DO 交PF 于点G ，过点B 作BH //PF 交OD 于H ，证明①BHD 和①FGO ，过点D 作DT ①y 轴于T ，设D （m ，12m +3），根据题意建立方程求解． 【详解】解：（1）①直线y ＝kx +3与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，①A（﹣3k，0），B（0，3），①OA＝|﹣3k|，OB＝3，①S①ABO＝12•OA•OB＝12×|﹣3k|×3＝92|1k|，①S①ABO＝9，①92|1k|＝9，解得：k＝±12，①由题图知k＞0，①k＝12；（2）①PC//AB，P（t，0），设直线PC的解析式为y＝12x+n，则0=12t+n，①n=-12t，①直线PC的解析式为y＝12x﹣12t，令x＝0，得y＝﹣12t，①C（0，﹣12 t），①BC＝3﹣（﹣12t）＝12t+3，①线段BC的长为d，①d＝12t+3；（3）如图3，在y轴的负半轴上取一点F，使FO＝BO＝3，连接PF，延长DO交PF于点G，①BF ①PO ，FO ＝BO ， ①BP ＝PF ，设①BOD ＝α，①PBO ＝β， ①①BPC ＝2①BOD ，①①BPC ＝2α，①OFG ＝①PBO ＝β，①GOF ＝①BOD ＝α， ①PGE ＝①PFO +①GOF ＝α+β，①①BCE ＝①PBO +①BPC ＝①BOD +①PEO ， ①β+2α＝α+①PEO ， ①①PEO ＝α+β， ①①PEO ＝①PGE ， ①PE ＝PG ，过点B 作BH //PF 交OD 于H ， ①①BHD ＝①PGE ，①BHO ＝①FGO ， ①PC //AB ， ①①BHD ＝①PEO ， ①①BHD ＝①BDH ， ①BD ＝BH ，在①BHO 和①FGO 中，BOH FOG BHO FGO BO FO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①BHO 和①FGO （AAS ），①GF ＝BH ＝BD ，①BP ﹣PE ，BP ＝PF ，PE ＝PG ，①PF ﹣PG ，即GF ，①BD ，过点D 作DT ①y 轴于T ，设D （m ，12m +3），且m ＞0，则TD ＝m ， TB ＝TO ﹣BO ＝12m +3﹣3＝12m ， 在Rt ①BTD 中，TD 2+BT 2＝BD 2，即m 2+（12m ）2）2， 解得：m 1＝1，m 2＝﹣1， 当m ＝1时，12m +3＝12×1+3＝72， ①D (1，72)． 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用．4．一次函数y x +2的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第二象限内作等边①ABC ．（1）求C 点的坐标；（2）在第二象限内有一点M （m ，1），使S ①ABM ＝S ①ABC ，求M 点的坐标；（3）将①ABC 沿着直线AB 翻折，点C 落在点E 处；再将①ABE 绕点E 顺时针方向旋转15°，点B 落在点F 处，过点F 作FG ①y 轴于G ．求①EFG 的面积．【答案】（1）(-4)；（2）(-1)；（3）2【分析】（1）先求得A 、B 的坐标，然后可得到30BAO ∠=︒，依据含30直角三角形的性质可得到24AB OB ==，则90CAO ∠=︒，然后依据勾股定理求得AB 的长，从而可得到点C 的坐标；（2）过点C 作//CM AB ，则ABM ABC S S ∆∆=．设直线CM 的解析式为3y x b =+，将点C 的坐标代入求得b 的值，然后将1y =代入MC 的解析式可求得点M 的横坐标；（3）先求出30FHG ∠=︒，进而表示出FG ，EG ，用勾股定理建立方程求出2a ，最后用面积公式即可得出结论．【详解】解：（1）当0x =时，2y =，(0,2)B ∴．当0y =时，x =-(A ∴-，0)．2OB ∴=，=OA30BAO ∴∠=︒，24AB OB ==．ABC ∆为等边三角形，60ACB ∠=︒∴．90CAO ∴∠=︒．(C ∴-4)．（2）如图，过点C 作//CM AB ．//CM AB ，ABM ABC S S ∆∆∴=．设直线CM 的解析式为3y x b =+，将点C (4b -+=，解得6b =．∴直线CM 的解析式为6y x =+．将1y =代入MC 的解析式得：16x =+，解得：x =-，(M ∴-1)． （3）如图，由（1）知(A -0)，(0,2)B ，4AB ∴=，ABC ∆为等边三角形，4BC AB ∴==，由折叠知，4BE BC ==，由旋转知，4EF BE ==，15BEF ∠=︒，取EG 上取一点H 使，EH FH =，连接FH ，30FHG ∴∠=︒，设FG a =，HG ∴=，2FH a =，2EH a ∴=，2(2EG EH HG a a ∴=+==，在Rt EFG △中，根据勾股定理得，22[(2]16a a +=，2a ∴=211(2222EFG S EG FG a a ∆∴=⨯=+⨯== 【点睛】本题是一次函数的综合题，主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、轴对称路径最短问题，构造出特殊直角三角形是解本题的关键．5．如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4．点P 从点A 出发，沿A →D →C →D 运动，速度为每秒2个单位长度；点Q 从点 A 出发向点B 运动，速度为每秒1个单位长度． P 、Q 两点同时出发，点Q 运动到点B 时，两点同时停止运动，设点Q 的运动时间为t （秒）．连结PQ 、AC 、CP 、CQ ．（1）点P 到点C 时，t = ； 当点Q 到终点时，点P 的运动路程为 ； （2）用含t 的代数式表示PD 的长；（3）设①CPQ 的面积为s ，求s 与t 之间的函数关系式；（4）如图①，当点P 在线段DC 上运动时，将①APQ 沿PQ 折叠，点A 落在平面内的点A ′ 处，PQ 与AC 交于点E ．当QA '与①ACD 的边DC 、AC 平行时，直接写出t 的值．【答案】（1）6，16（2）当0＜t ≤2时，PD = 4－2t ，当2＜t ≤6时PD = 2t －4，当6＜t ≤8时，PD = 20 －2t ；（3）当0＜t ≤2时，s t t =-+210，当2＜t ≤6时，s t =-+424，当6＜t ≤8时，s t =-424；（4）,,t t t t ===-=+12342041243【分析】（1）计算AC 的长，除以速度即可；计算点Q 的运算时间AB ÷速度，得到的时间乘以点P 的速度即可；（2）根据t 的运动特点，分0＜t ≤2，2＜t ≤6，6＜t ≤8三种情形计算；（3）根据（2）的情形，对应计算三角形的面积即可；（4）在2＜t ≤6，6＜t ≤8两种情形下，分别计算QA '∥DC 和QA '∥AC 计算．【详解】解：（1）当点P 到点C 时 ， t =122=6， ①点Q 的运动时间为：8÷1=8，故答案为：6,16；①点P 的运动路程为2×8=16（2）当0＜t ≤2时，①P A =2t ，P A +PD =AD =4，①PD = 4－2t ；当2＜t ≤6时，①P A =2t ，AD +PD =P A ，AD =4，①PD = 2t －4；当6＜t ≤8时， ①2t =AD +CD +PC ，PC +PD =CD ，AD =4，①PD =8-(2t -12)= 20 －2t ；（3）当0＜t ≤2时，s =111482(42)8(8)4222t t t t ⨯-⨯⨯--⨯--⨯ 210t t =-+；当2＜t ≤6时，1(122)44242s t t =-⨯=-+； 当6＜t ≤8时， 1(212)44242s t t =-⨯=-； （4）当2＜t ≤6，且QA '∥AC 时，如图1，根据折叠的意义，得①AQP =①A 'QP ，①四边形ABCD 是矩形，①AB∥CD ，①①AQP =①CPE ，①QA '∥AC ,①①A 'QP =①CEP ，①①AEQ=①CEP，①①AQP=①CPE=①A'QP =①CEP=①AEQ，①AE=AQ，CP=CE，①四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=4①BC=4,①ABC=90°，AC=设点Q运动时间为t，则P A=2t,AQ=t,①CP=12-P A=12-2t，①AE+EC=AC,①AQ+PC=AC,①12-2t+t=①t=12-当2＜t≤6，且QA'∥DC时，如图2，根据折叠的意义，得①AQP=①A'QP=90°，①四边形ABCD是矩形，①①DAQ=90°，①AD∥PQ，①四边形AQPD是矩形，①PD=AQ，设点Q运动时间为t，则P A=2t,AQ=t,①PD=2t-4，①2t-4=t,①t=4；当6＜t≤8，且QA'∥AC时，如图3，根据前面的证明，得到AC=CP=CE,AQ=AE，设点Q运动时间为t，则AQ=t, CP=2t-12，①AE+EC=AC,①AQ+PC=AC,①2t-12+t=①t=4+；3当6＜t≤8，且QA'∥DC时，如图4，根据前面的证明，得到AQ=PD，设点Q运动时间为t，则AQ=t, DP=20-2t，①20-2t =t ,①t =203；综上所得，t 的值为,,t t t t ===-=+12342041243 【点睛】 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，函数的表达式，分类思想，灵活运用分类思想，适当分割图形表示面积是解题的关键． 6．某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要2800元． （1）求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．（2）经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的14，求甲种树苗数量的取值范围． （3）在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？【答案】（1）购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元；（2）200400a ≤≤；（3）购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低【分析】（1）设甲种树苗每棵x 元，乙种树苗每棵y 元，根据：“购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗共需5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需2800元”列方程组求解可得； （2）设购买的甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗()500a -棵，由题意列出一元一次不等式组，则可得出答案；（3）设购买的甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗()500a -棵，总费用为W ，即可得出W 关于a 的函数关系，再根据一次函数的性质可解决最值问题．【详解】解：（1）设购买的甲种树苗的单价为x 元，乙种树苗的单价为y 元．依题意得： 5020500030102800x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解这个方程组得：x 60y 100=⎧⎨=⎩， 答：购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元；（2）设购买的甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗()500a -棵，由题意得，60100(500)4200015004a a a a +-≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩， 解得，200400a ≤≤．①甲种树苗数量a 的取值范围是200400a ≤≤．（3）设购买的甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗()500a -棵，总费用为W ，①60100(500)5000040W a a a =+-=-．①400-<，①W 值随a 值的增大而减小，①200400a ≤≤，①当400a =时，W 取最小值，最小值为500004040034000-⨯=元．即购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低．【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的增减性，熟练掌握方程组，不等式组的解法，灵活运用一次函数的增减性是解题的关键．7．如图，四边形OABC 是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，5OC =，点E 在边BC 上．（1）若点N 的坐标为(3,0)，过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ，将纸片沿直线OE 折叠，顶点C 恰好落在MN 上，并与MN 上的点G 重合．①求点G 、点E 的坐标；①若直线:l y mx n =+平行于直线OE ，且与长方形ABMN 有公共点，请直接写出n的取值范围．（2）若点E 为BC 上的一动点，点C 关于直线OE 的对称点为G ，连接BG ，请求出线段BG 的最小值．【答案】（1）①G （3，4），E （53，5）；①-15≤n ≤-4；（2）5 【分析】（1）①根据折叠的性质求出OG ，根据勾股定理计算求出GN ，得到点G 的坐标，设CE =x ，根据勾股定理求出x ，求出点E 的坐标；①利用待定系数法求出OE 所在直线的解析式，根据平行的性质求出m ，分别把点M 、点A 的坐标代入解析式求出n ，得到答案；（2）连接OB ，OG ，求出BC =OC =OG =5，推出当O 、B 、G 三点共线时，BG 取得最小值，从而计算．【详解】解：（1）由折叠的性质可知，OG =OC =5，由勾股定理得，GN 4=，①点G 的坐标为（3，4）；设CE =x ，则EM =3-x ，由折叠的性质可知：EG =CE =x ，①GN =4，①GM =5-4=1，在Rt ①EMG 中，222EG EM MG =+，即()22231x x =-+， 解得：x =53， ①点E 的坐标为（53，5）； 设OE 所在直线的解析式为：y =kx ， 则53k =5， 解得，k =3，①OE 所在直线的解析式为：y =3x ，①直线l ：y =mx +n 平行于直线OE ，①m =3，即直线l 的解析式为y =3x +n ，当直线l 经过点M （3，5）时，5=3×3+n ，解得，n =-4，当直线l 经过点A （5，0）时，0=3×5+n ，解得，n =-15，①直线l 与长方形ABMN 有公共点时，-15≤n ≤-4；（3）连接OB ，OG ，①OC =BC =5，①OCB =90°，①BC =①点C 关于直线OE 的对称点为点G ，①OC =OG =5，①BG ≥OB -OG ，①当O 、B 、G 三点共线时，BG 取得最小值，①BG 的最小值为5．【点睛】本题考查的是一次函数的知识、折叠的性质、最短路径问题，掌握待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤，得到O 、B 、G 三点共线时，BG 取得最小值是解题的关键． 8．如图，正方形ABCD 边长10AB =cm ，点E 在边AD 上，且4AE =cm ，点N 从点A 出发，以5cm/s 的速度在A 、B 之间往返匀速运动，同时，点M 从点E 出发，以2cm/s 的速度沿路径E D C →→匀速运动，当点M 运动到点C 时，两点都停止运动，设运动时间为t （单位：s ）．在运动过程中AMN 的面积S （单位：2cm ）随运动时间t 的变化而变化．（1）当点N 运动到点B 时，求t 值及此时AMN ∆的面积．（2）在整个运动过程中，求S 与t 的关系式．【答案】（1）t =2，此时AMN ∆的面积=402cm ；（2）见解析【分析】（1）先根据点N 的运动速度得出时间，再得出AM 的长，再根据三角形的面积公式即可得出答案；（2）分①当0＜t ≤2时，①当2＜t ≤3时，①当3＜t ≤4时，①当4＜t ≤6时，①当6＜t ≤8时，五种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）①当点N 运动到点B 时，10AB =cm ，点N 的速度为5cm /s ， ①t=2s 5=AB ， ①点M 的速度为2cm /s ，①EM =2×2=4cm ，①AM =AE +EM =4+4=8，①AMN ∆的面积=21181040cm 22⨯⨯=⨯⨯=AM AB ． （2）①当点M 运动到点C 时，两点都停止运动， ①20-4t=8s 2=， ①当0＜t ≤2时，AN =5t ，AM =4+2t ，AMN ∆的面积=()2115t 4+2t 5t +10t 22⨯⨯=⨯⨯=AM AN ； ①当2＜t ≤3时，AN =20-5t ，AM =4+2t ，AMN ∆的面积=()()21120-5t 4+2t -5t +10t+4022⨯⨯=⨯=AM AN ； ①当3＜t ≤4时，AN =20-5t ，AMN ∆的高为10cm ，AMN ∆的面积=()110520-5t -25t+1002⨯⨯=⨯=AN ； ①当4＜t ≤6时，AN =5t -20，AMN ∆的高为10cm ，AMN ∆的面积=()11055t-2025t-1002⨯⨯=⨯=AN ； ①当6＜t ≤8时，AN =40-5t ，AMN ∆的高为10cm ，AMN ∆的面积=()110540-5t 25t+2002⨯⨯=⨯=-AN ； 【点睛】本题主要考查了正方形的性质和三角形的面积计算，分类讨论的数学思想，确定点M 、N 所在的位置，是解决本题的关键．9．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴相交于()6,0A 、()0,2B 两点，动点C 在线段OA 上，将线段CB 绕着点C 顺时针旋转90︒得到CD ，此时点D 恰好落在直线AB 上时，过点D 作DE x ⊥轴于点E ．（1）求证：BOC CED ≌；（2）求经过A 、B 两点的一次函数表达式．如图2，将BCD △沿x 轴正方向平移得B C D '''∠，当直线B C ''经过点D 时，求点D 的坐标及B C D '''∠的面积；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得以C 、D 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出P 点的坐标．【答案】（1）证明见解析；（2）123y x=-+，()3,1D，2.5；（3）存在，)1,0P，)1,0P，()5,0P．【分析】(1)由“”AAS即可证明Rt BOC Rt CED≅；(2)由B C D'''∠的面积BCD=∆的面积2BCOBOEDS S=-梯形，即可求解；(3)分PC PD=、PC CD=、PD CD=三种情况，分别求解即可．【详解】解：()190BOC BCD CED∠=∠=∠=︒，①90OCB DCE∠+∠=︒，90DCE CDE∠+∠=︒，①BCO CDE∠=∠，BC CD=，①()Rt BOC Rt CED AAS≅；()2设直线AB解析式为y kx b=+，把()6,0A，()0,2B代入上式得062k bb=+⎧⎨=⎩，解得132kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线AB的解析式为123y x=-+，由BOC CED≅得：CO DE=，设CO DE m==，而2OB CE==，()2,D m m∴+，点D在直线123y x=-+上，把()2,D m m+代入上式并解得1m=，()3,1D ∴，点()1,0C ，B C D '''∠的面积BCD =∆的面积()112123221 2.522BCO BOED S S =-=⨯+⨯-⨯⨯⨯=梯形； ()3存在，理由：设点P 的坐标为(,0)t ，而点C 、D 的坐标分别为()1,0、()3,1，由点P 、C 、D 的坐标得：22(1)PC t =-，22(3)+1PD t =-，22215CD =+=，当PC PD =时，则22(1)(3)1t t -=-+， 解得：94t =， 当PC CD =时，则2(1)5t -=，解得：1t =当PD CD =时，则2(3)15t -+=，解得：1t =(舍去)或5，故点P 的坐标为9,04⎛⎫⎪⎝⎭或)1,0或()1或()5,0． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形全等和面积的计算等，其中(3)要注意分类求解，避免遗漏．10．已知小明的家、体育场、文化宫在同一直线上，下面的图象反映的过程是：小明早上从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文化宫去看书画展览，然后散步回家，图中x 表示时间（单位是分钟），y 表示到小明家的距离（单位是千米）．请根据相关信息，解答下列问题：（1）填表：（2）填空：①小明在文化宫停留了________min ；①小明从家到体育场的速度为________km/min ；①小明从文化宫回家的平均速度为_________km/min ；①当小明距家的距离为0.6km 时，他离开家的时间为_______min ．（3）当045x ≤≤时，请直接写出y 关于x 的函数解析式． 【答案】（1）23，1，0.5；（2）①25；①115；①160①9或42；（3）1(015)151(1530)12(3045)30x x y x x x ⎧≤≤⎪⎪=<≤⎨⎪⎪-+<≤⎩ 【分析】（1）由图可知，前15min 小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 成正比例函数，利用待定系数法解得该正比例函数，再依次代入x =10，x =15解题，从图中可知，当小明离开家的时间为45min 时，小明离家的距离为0.5km ，据此计算填表；（2）①从图中可知，小明离家为45min 时，到达文化馆，小明离家时间为70min 时，离开文化馆，将二者时间相减即可解题；①从图中可知，小明离家时间为15min 时，到达1km 的体育馆，根据速度公式解题；①从图中可知，小明离家时间为70min 时，离开距家0.5km 的文化馆，小明离家时间为100min 时，根据速度公式解题；①从图中可知，小明距家的距离有两次为0.6km ,分别在0min 到15min 和30min 到45min 之间，满足1,(015)15y x x =≤≤令0.6y =，解得他离开家的时间为9min ，由图可知，在30min 到45min 之间小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 成一次函数，利用待定系数法解得此函数，再计算当0.6y =时，x 的值即可解题；（3）由（1）（2）中的解析式解题．【详解】解：（1）由图可知，前15min 小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 成正比例函数， 设小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 的关系式为：(0,015)y kx k x =≠≤≤ 把(15,1)代入得，115k = 1(015)15y x x ∴=≤≤ 当x =10时，1210153y =⨯=， 当x =15时，115115y =⨯=， 从图中可知，当小明离开家的时间为45min 时，小明离家的距离为0.5km ， 故答案为：23；1；0.5； （2）①从图中可知，小明离家为45min 时，到达文化馆，小明离家时间为70min 时，离开文化馆，故小明在文化馆停留了：70-45=25min ；①从图中可知，小明离家时间为15min 时，到达1km 的体育馆，则速度为：11/min 15min 15km km =； ①从图中可知，小明离家时间为70min 时，离开距家0.5km 的文化馆，小明离家时间为100min 时，回到家中，则速度为：0.51/min (10070)min 60km km =-； ①从图中可知，小明距家的距离有两次为0.6km ,分别在0min 到15min 和30min 到45min 之间，满足1,(015)15y x x =≤≤当0.6y =时，即10.615x =， 9x ∴=，则小明第一次距家的距离为0.6km 时，他离开家的时间为9min ，由图可知，在30min 到45min 之间小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 成一次函数， 则设小明离家的距离y 与小明离开家的时间x 的函数关系式为：(0,3045)y kx b k x =+≠≤≤将(30,1),(45,0.5)代入得，301450.5k b k b +=⎧⎨+=⎩ 1302k b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩12(3045)30y x x ∴=-+≤≤ 则当0.6y =时，即120.630x -+= 42x ∴=则小明第二次距家的距离为0.6km 时，他离开家的时间为42min ，故答案为：①25；①115；①160①9或42； （3）由图可知，在15min 到30min 之间小明离家的距离不变1km,由（1）（2）1,(015)15y x x =≤≤和12(3045)30y x x =-+≤≤知， 当045x ≤≤时，1(015)151(1530)12(3045)30x x y x x x ⎧≤≤⎪⎪=<≤⎨⎪⎪-+<≤⎩．【点睛】本题考查函数的图象与性质、待定系数法解一次函数等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．11．2020年江苏开通了多条省内高铁，其中一条可以从南京——镇江——扬州——淮安的高铁线路如图①所示，本线路高铁最高速度不超过每分钟5千米．现有甲、乙两车按以下方式营运，甲车从南京匀速行驶去淮安，在镇江和扬州两站都停靠5分钟；乙车从南京匀速行驶直达淮安，乙车比甲车晚出发20分钟．设甲车出发x分钟后行驶的路程为y1千米，图①中的折线O—A—B—C—D—E表示在整个行驶过程中y1与x的函数图像．（1）甲车速度为千米/分；（2）若乙车行驶1小时到达淮安，则乙车出发多久后与甲车相遇？（3）若乙车行驶的过程中不得与甲车在镇江站与扬州站的站台内相遇，并要在甲之前到达淮安，则乙车速度v乙的范围为．【答案】（1）3；（2）乙车出发30分钟后与甲相遇；（3）307＜v乙＜5或278＜v乙＜154【分析】（1）根据线段OA段然后利用速度=路程÷时间求解即可；（2）首先求出乙车的速度，然后表示出乙车行驶的路程，然后根据甲乙的路程相等即可求出时间；（3）分别求出三种临界状态：①甲、乙两车在镇江站之前相遇；①甲、乙两车在镇江站和扬州站之间相遇，则恰好离开镇江站时速度最大，到达扬州站时速度最小；①甲、乙两车在扬州站和镇江扬州站之间相遇，则恰好离开扬州站时速度最大，到达镇江站时速度最小，然后即可得出乙车的速度的范围．【详解】解：（1）根据线段OA段，30分钟行驶了90千米，①甲车的速度为90303÷=千米/分；（2）①乙车行驶1小时到达淮安，①乙车的速度为27060 4.5÷=千米/分，①y乙＝4.5（x－20），y BC＝90+3（x－35），当y乙＝y BC时，4.5（x－20）＝90+3（x－35）解得：x＝50，50－20＝30．所以，乙车出发30分钟后与甲相遇．（3）①甲、乙两车在镇江站之前相遇，则恰好到镇江站时速度最小，则v乙909 3020>=-，由题意得v乙5≤，故不符合题意；①甲、乙两车在镇江站和扬州站之间相遇，则恰好离开镇江站时速度最大，到达扬州站时速度最小，则150 5520<-v乙903520<-，即307<v乙6<，①v乙5≤，①307<v乙6<①甲、乙两车在扬州站和镇江扬州站之间相遇，则恰好离开扬州站时速度最大，到达镇江站时速度最小，则270 10020<-v乙1506020<-，即278<v乙154<，综上所述，307＜v乙＜5或278＜v乙＜154．【点睛】本题主要考查一次函数与行程问题，利用方程的思想解题是关键．12．问题提出（1）如图①，在Rt①ABC中，①A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将①ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度；问题探究（2）如图①，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a①b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断①AOM与①BON的面积关系，并说明你的理由；解决问题（3）如图①，刘老伯有一个形状为筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）图见解析，52；（2）S①AOM＝S①BON，理由见解析；（3）存在，549y x=-+【分析】（1）当点D是BC的中点时，AD将①ABC分成面积相等的两部分，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一般，可求出AD的长度；（2）根据同底等高的三角形面积相等，再减去相等的部分，就可以得出①AOM与①BON的面积相等；（3）连接AB，过点O作AB的平行线，交CA的延长线于点F，连接BF，交OA于点G，则①OBG的面积等于①AFG的面积，则四边形OACB的面积转化为①BCF的面积，取CF的中点P，求出点P的坐标，即可求出直线BP的表达式．【详解】（1）如图①，取BC边的中点D，连接AD，则线段AD即为所求．在Rt①ABC中，①BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，①BC25AC+=，①点D为BC的中点，①AD＝12BC＝52．（2）S①AOM＝S①BON，理由如下：由图可知，S①AOM＝S①ABM﹣S①AOB，S①BON＝S①ABN﹣S①AOB，如图①，过点M作MD①AB于点D，过点N作NE①AB于点E，①MD①NE，①MDE＝90°，又①MN①DE，①四边形MDEN是矩形，①MD＝NE，①S①ABM＝12AB MD⋅⋅，S①ABN＝12AB NE⋅⋅，①S①ABM＝S①ABN，①S①AOM＝S①BON．（3）存在，直线BP的表达式为：y＝59-x+4．如图①，连接AB，过点O作OF①AB，交CA的延长线于点F，连接BF，交OA于点G，由（2）的结论可知，S ①OBG ＝S ①AFG ，①S 四边形OACB ＝S ①BCF ，取CF 的中点P ，作直线BP ，直线BP 即为所求．①A (4,0)，B (0,4)，C (6,6)，①线段AB 所在直线表达式为：y ＝﹣x +4，线段AC 所在直线的表达式为：y ＝3x ﹣12，①OF ①AB ，且直线OF 过原点，①直线OF 的表达式为：y ＝﹣x ，联立312y x y x =-⎧⎨=-⎩，解得33x y =⎧⎨=-⎩， ①F （3，﹣3），①点P 是CF 的中点，①P 93(,)22，①直线BP 的表达式为：y ＝59-x +4． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形一边上的中线的性质以及待定系数法求一次函数解析式等内容，作出辅助线并进行面积转化是解决本题第三问的关键．13．某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要10张纸，其中4张彩色页，6张黑白页．印刷该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为2200元，印刷费与印数的关系见表．05a <（1）若印制2千册，则共需多少元？（2）该校先印制了x 千册纪念册，后发现统计失误，补印了y （5y ）千册纪念册，且补印时无需再次缴纳制版费，学校发现补印的单册造价便宜了，但两次缴纳费用恰好相同． ①用含x 的代数式表示y ．①若该校没有统计错误，一次性打印全部纪念册，最少需要多少钱？【答案】（1）28600元；（2）①()()1.20.2450.25y x x y x x ⎧=+≤<⎪⎨=+≥⎪⎩；①101200元． 【分析】（1）先根据印制的册数确定彩色页和黑白页的单价，然后计算出彩色页和黑白页的总页数，最后计算需要的钱数即可得到答案．（2）①分05x <≤和5x ≥两种情况进行讨论，根据两次缴纳的费用相同列等量关系即可得到答案；①先算出总册数，然后算出相应的彩色页和黑白页的单价和页数，最后进行计算即可．【详解】解：（1）①印制的册数为2千册，①彩色页的单价为2.1元每张，彩色页的页数=2000×4=8000页，黑白页的单价为0.8元每张，黑白页的页数=2000×6=12000页，①需要的费用=2200+2.1×8000+0.8×12000=28600（元），故一共需要28600元；（2）①第一种情况当05x <≤时， 2.1410000.86100022002410000.561000x x y y ⨯⨯+⨯⨯+=⨯⨯+⨯⨯，13200220011000x y +=，即 1.20.2y x =+，①5y ≥，①1.20.25x +≥即45x ≤<；第二种情况当5x ≥时，2410000.56100022002410000.561000x x y y ⨯⨯+⨯⨯+=⨯⨯+⨯⨯，11000220011000x y +=即0.2y x =+，①()()1.20.2450.25y x x y x x ⎧=+≤<⎪⎨=+≥⎪⎩， ①设两次一共需要印刷的册数为m ，需要的钱数为W ，则m x y =+，()()2410000.5610002200W x y x y =⨯⨯++⨯⨯++，①()110002200W x y =++，①()()()()11000 1.20.2220045110000.222005x x x W x x x ⎧+++≤<⎪=⎨+++≥⎪⎩， ①()()()()11000 1.20.2220045110000.222005x x x W x x x ⎧+++≤<⎪=⎨+++≥⎪⎩， ①()()242004400452200044005x x W x x ⎧+≤<⎪=⎨+≥⎪⎩， 故()()24200444001012004522000544001144005x W x ⎧⨯+=≤<⎪=⎨⨯+=≥⎪⎩最小， 故当4x =，5y =时所需要的的钱数最少为101200元．【点睛】本题主要考查了一次函数与实际问题的应用，解题的关键在于分类讨论各种情况进行分析求解．14．太湖龙之梦动物世界车行区全程总长7200米，某一时刻一辆私家车和一辆观光车同时驶入车行区，行驶过程中均为匀速行驶，私家车在最后一站骆驼观赏区停车投喂后快速离开．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，线段OA 和折线O B C A ---分别为观光车，私家车行驶的路程12,y y （米）和行驶时间x （分）的函数关系的图象．请结合图象解答下列问题：。
专题12三角形内角和定理(原卷版)
2021-2022学年北师大版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题12三角形内角和定理一．选择题1．（2021春•曹县期末）如图，在△ABC中，DF∥AB交AC于点E，交BC于点F，连接DC，∠A＝70°，∠D＝38°，则∠DCA的度数是（）A．42°B．38°C．40°D．32°2．（2021春•仁寿县期末）如图，∠CBA＝∠ACB＝65°，∠ACE＝15°，则∠AEC的度数是（）A．35°B．50°C．65°D．80°3．（2021春•济南期中）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°4．（2021春•海陵区校级期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°5．（2021春•建平县期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为48°，那么这个“特征角”α的度数为（）A．48°B．96°C．88°或48°D．48°或96°或88°6．（2021春•青山区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF 交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③④B．①②③C．②④D．①③二．填空题7．（2021春•盘龙区期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，则∠CDF＝．8．（2021春•遂宁期末）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC 交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．下列结论：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的是．9．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°．将三角形沿EF翻折，使点C与边AB上的D点重合．若∠EFD＝2∠AED，则∠AED的度数为．10．（2021春•沙坪坝区校级期中）将一副三角板如图放置，其中∠C＝30°，∠D＝45°，点E在BC边上，M，N分别为AB，DF上的点，G为三角板外一点，连接GM，GN，若∠G＝50°，则∠GMB+∠BED+∠DNG＝．11．（2020秋•沙坪坝区校级期末）如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝．12．（2021春•射阳县校级期末）如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A＝°．13．（2021春•淮阳区校级期末）如图，∠B＝36°，∠E＝48°，∠BAE的平分线与∠BDE的平分线交于点F，则∠F＝°．14．（2021春•江都区校级期末）△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC ＝．15．（2019春•江汉区期中）如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是．16．（2019秋•临安区期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，分别交AB、AD、AC、BC的延长线于E、H、F、G，已知下列四个式子：（1）∠1＝（∠2+∠3）；（2）∠1＝2（∠3﹣∠2）；（3）∠4＝（∠3﹣∠2）；（4）∠4＝∠1．其中有两个式子是正确的，它们是和．17．（2018春•靖江市校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠DCE＝∠DEC，点F在AC、点G在DE的延长线上，∠DFG＝∠DGF．若∠EFG＝35°，则∠CDF的度数为．三．解答题18．（2021春•朝阳区校级期末）如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）如图1，若∠MON＝90°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝°；（2）如图2，若∠MON＝n°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝°；（3）如图2，若∠MON＝n°，△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB与∠ADB 之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；（4）如图3，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E．试问：随着点A、B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会，请说明理由．19．（2021春•海陵区校级期末）如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G．（1）求∠AGF的度数；（2）求∠EAD的度数．20．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．AD为△ABC的角平分线．点E为BC上一点，过点E作射线EF，交AC于点G．（1）若∠C＝30°，求∠BAD的度数；（2）若∠FGC+∠BAD＝180°，求证：EF∥AD．21．（2021春•大英县期末）在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．（1）如图1，若∠B＝70°，∠C＝34°，求∠DAE的度数．（2）探索∠B，∠C，∠DAE之间的数量关系（如图1，∠B＞∠C），请证明你的结论．（3）如图2、3，设点F为AE所在直线上一动点，当它在AE上运动，AD变成FD时，探索∠DFE，∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论．22．（2021春•市中区期末）在△ABC中，∠BCA＞∠BAC，三个内角的平分线交于点O．（1）填空：如图1，若∠BAC＝36°，则∠BOC的大小为；（2）点D在BA，AC边上运动．①如图2，当点D在BA边上运动时，连接OD，若OD⊥OB．试说明：∠ADO＝∠AOC；②如图3，BO的延长线交AC于点E，当点D在AC边上运动（不与点E重合）时，过点D作DP⊥BO，垂足为点P，请在图3中画出符合条件的图形，并探索∠ADP、∠ACB、∠BAC者之间的数量关系．23．（2021春•广陵区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）若∠A＝40°，∠BDC＝60°，求∠BED的度数；（2）若∠A﹣∠ABD＝20°，∠EDC＝65°，求∠A的度数．24．（2021春•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，∠1＝100°，∠C＝80°，∠2＝∠3，BE平分∠ABC 交AD于E，求∠4的度数．25．（2021春•高邮市期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CP．（1）当∠B＝72°时；①若∠CPB＝54°，则△ACP“倍角三角形”（填“是”或“否”）；②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数；（2）当△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数．26．（2021春•江阴市校级月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．27．（2021春•太康县期末）【问题背景】如图1，在三角形ABC中，直线EF经过点A且EF∥BC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°；【尝试应用】如图2，直线l1与直线l2相交于点O，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l1上方，点A 在O点左侧运动，点E在射线CO上运动（不与C、O重合）．①当α＝60°时，AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直线AG于点G，求∠AGE；【拓展创新】②如图3，点E在线段CO上运动（不与C、O重合），∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，m+2n＝1，EF交AG于点G，当n为何值时，∠AGE不随∠EAB的变化而变化，并用含α的代数式表示∠AGE的值（写出解答过程）．当点E在线段CO的延长线上时，直接写出∠AGE＝．。
中考数学复习重难点与压轴题专题12 新定义型几何图形综合问题(重点突围)(原卷版)
专题12 新定义型几何图形综合问题【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一 与三角形有关的新定义型问题】..................................................................................................... 1 【考向二 与四角形有关的新定义型问题】..................................................................................................... 5 【考向三 三角形与圆综合的新定义型问题】 ................................................................................................. 8 【考向四 四角形与圆综合的新定义型问题】 .. (10)【直击中考】【考向一 与三角形有关的新定义型问题】例题：（2022·江西抚州·统考一模）定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我么就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”．例如：如图1，AD 把△ABC 分成△ABD 和△ADC ，若△ABD 是等腰三角形，且△ADC ∽△BAC ，那么AD 就是△ABC 的“华丽分割线”． 【定义感知】(1)如图1，在ABC 中，40B ∠=︒，110BAC ∠=︒，AB=BD ．求证：AD 是ABC 的“华丽分割线”． 【问题解决】(2)①如图2，在ABC 中，46B ∠=︒，AD 是ABC 的“华丽分割线”，且ABD △是等腰三角形，则C ∠的度数是________；②如图3，在ABC 中，AB =2，AC =3，AD 是ABC 的“华丽分割线”，且ABD △是以AD 为底边的等腰三角形，求华丽分割线AD 的长．【变式训练】1．（2022·山东济宁·三模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）．如图，在ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时sad BCA AB==底边腰，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解答下列问题：(1)sad60︒=___________，sad90︒=___________；(2)如图，已知3sin 5A =，其中A ∠为锐角，试求sad A 的值．2．（2022春·福建龙岩·九年级校考期中）在一个三角形中，如果有两个内角α与β满足290αβ+=︒，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然90αβ+<︒，则这个三角形的第三个角为()18090αβ︒-+>︒，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．(1)【尝试运用】:若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为100︒，请求出它的两个锐角的度数； (2)【尝试运用】:如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，8BC =，点D 在边BC 上，连接AD ，且AD 不平分BAC ∠．若ABD △是“亚直角三角形”，求线段AD 的长；(3)【素养提升】:如图2，在钝角ABC 中，90ABC ∠>︒，5AB =，35BC =，ABC 的面积为15，求证：ABC 是“亚直角三角形”．3．（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）【理解概念】定义：如果三角形有两个内角的差为90︒，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． (1)已知△ABC 是“准直角三角形”，且90C ∠>︒． ①若60A ∠=︒，则B ∠=______︒； ②若40A ∠=︒，则B ∠=______︒； 【巩固新知】(2)如图①，在Rt ABC △中，9062ACB AB BC ∠=︒==，，，点D 在AC 边上，若ABD △是“准直角三角形”，求CD 的长；【解决问题】(3)如图②，在四边形ABCD 中，58CD CB ABD BCD AB BD =∠=∠==，，，，且ABC 是“准直角三角形”，求BCD △的面积．4．（2022·山东青岛·统考中考真题）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图①．在ABC 和A B C '''中，,AD A D ''分别是BC 和B C ''边上的高线，且AD A D ''=，则ABC 和A B C '''是等高三角形．【性质探究】 如图①，用ABCS ，A B C S'''分别表示ABC 和A B C '''的面积．则11,22ABC A B C S BC AD S B C A D '''=⋅=''⋅''△△， ∽AD A D ''=∽::ABC A B C S S BC B C ''=''△△． 【性质应用】(1)如图②，D 是ABC 的边BC 上的一点．若3,4BD DC ==，则:ABD ADC S S =△△__________；(2)如图③，在ABC 中，D ，E 分别是BC 和AB 边上的点．若:1:2BE AB =，:1:3CD BC =，1ABC S =△，则BEC S =△__________，CDE S =△_________；(3)如图③，在ABC 中，D ，E 分别是BC 和AB 边上的点，若:1:BE AB m =，:1:CD BC n =，ABCS a =，则CDE S =△__________．【考向二 与四角形有关的新定义型问题】例题：（2022·陕西西安·校考三模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．(1)问题发现：如图1，筝形ABCD 中，AD CD =，AB CB =，若12AC BD +=，求筝形ABCD 的面积的最大值；(2)问题解决：如图2是一块矩形铁片ABCD ，其中60AB =厘米，90BC厘米，李优想从这块铁片中裁出一个筝形EFGH ，要求点E 是AB 边的中点，点F 、G 、H 分别在BC 、CD 、AD 上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形EFGH 的面积最大？若存在，求出筝形EFGH 的面积最大值，若不存在，请说明理由．【变式训练】1．（2022·吉林长春·校考模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，我们称这个四边形为对角互余四边形．(1)问题1．利用下面哪组图形可以得到一个对角互余四边形（ ）①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个直角三角形；④两个全等三角形．(2)如图①，在对角互余四边形ABCD 中，30D ∠=︒，且AC BC ⊥，AC AD ⊥．若1BC =，求四边形ABCD 的面积和周长．(3)问题2．如图②，在对角互余四边形ABCD 中，AB BC =，13BD =，90ABC ADC ∠+∠=︒，8AD =，6CD =，求四边形ABCD 的面积和周长．(4)问题3．如图③，在对角互余四边形ABCD 中，2BC AB =，3sin 5ABC ∠=，90ABC ADC ∠+∠=︒，10BD =，求ACD 面积的最大值．2．（2023春·江西抚州·九年级金溪一中校考阶段练习）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．【问题探究】(1)如图①，已知矩形ABCD 是“等邻边四边形”，则矩形ABCD ___________（填“一定”或“不一定”）是正方形；(2)如图②，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，4AB =，动点M 、N 分别在AD 、CD 上（不含端点），若60MBN ∠=︒，试判断四边形BMDN 是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；此时，四边形BMDN 的周长的最小值为___________； 【尝试应用】(3)现有一个平行四边形材料ABCD ，如图③，在ABCD 中，17AB =，6BC =，tan 4B =，点E 在BC 上，且4BE =，在ABCD 边AD 上有一点P ，使四边形ABEP 为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值___________．3．（2022·江西赣州·统考二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，B C ∠=∠，则四边形ABCD 为“等邻角四边形”．(1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是___________． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形． (2)深入探究：①已知四边形ABCD 为“等邻角四边形”，且120100A B ∠=︒∠=︒，，则D ∠=________．②如图②，在五边形ABCDE 中， DE BC ∥，对角线BD 平分ABC ∠，求证：四边形ABDE 为等邻角四边形．(3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形ABCD 中，B C ∠=∠，点P 为边BC 上的一动点，过点P 作PM AB PN CD ⊥⊥，，垂足分别为M ，N ．在点P 的运动过程中，PM PN +的值是否会发生变化？请说明理由．【考向三 三角形与圆综合的新定义型问题】例题：（2022·江西上饶·统考一模）定义：如果一个三角形有一个内角的平分线与这个角的对边的夹角是60︒，那么称该三角形为“特异角平分三角形”，这条角平分线称为“特异角平分线”．(1)如图1，ABC 是一个“特异角平分三角形”，AD 是一条“特异角平分线” ①当90C ∠=︒时，试求:AD BD 的值．②在ABC 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ，延长至点H ，HE DE =，若:3:3DE AE =，证明：AHE ADC ≌． (2)如图2．BD 是O 的直径，AC 是O 的切线，点C 为切点，AB AC ⊥于点A 且交O 于点H ，连接DH 交BC 于点E ，4BD =，3AB =．试证明DBH △是一个“特异角平分三角形”．【变式训练】1．（2022春·九年级课时练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“好角”．(1)如图1，∽E 是ABC 中∽A 的“好角”，若A α∠=，则E ∠=______；（用含α的代数式表示）(2)如图2，四边形ABCD 内接于O ，点D 是优弧ACB 的中点，直径BF ⊥弦AC ，BF 、CD 的延长线于点G ，延长BC 到点E ．求证：∽BGC 是ABC 中∽BAC 的“好角”．(3)如图3，ABC 内接于O ，∽BGC 是ABC 中∽A 的“好角”，BG 过圆心O 交O 于点F ，O 的直径为8，45A ∠=︒，求FG ．2．（2022·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考一模）我们不妨定义：有两边之比为1：3的三角形叫敬“勤业三角形”．(1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号）①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30︒角的直角三角形；④含120︒角的等腰三角形．(2)如图1，∽ABC 是∽O 的内接三角形，AC 为直径，D 为AB 上一点，且2BD AD =，作DE OA ⊥，交线段OA 于点F ，交∽O 于点E ，连接BE 交AC 于点G ．试判断∽AED 和∽ABE 是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出EDBE的值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，当AF ：FG ＝2：3时，求BED ∠的余弦值．【考向四 四角形与圆综合的新定义型问题】例题：（2022秋·九年级课时练习）定义：有一个角为45°的平行四边形称为半矩形．(1)如图1，若∽ABCD 的一组邻边AB ＝4，AD ＝7，且它的面积为142．求证：∽ABCD 为半矩形． (2)如图2，半矩形ABCD 中，∽ABD 的外心O （外心O 在∽ABD 内）到AB 的距离为1，∽O 的半径＝5，求AD 的长．(3)如图3，半矩形ABCD 中，∽A ＝45° ①求证：CD 是∽ABD 外接圆的切线； ②求出图中阴影部分的面积．【变式训练】1．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．(1)如图1，在“对角互余四边形” ABCD 中， 6.5AD CD BD ==，，9043ABC ADC AB CB ∠+∠=︒==，，，求四边形ABCD 的面积．(2)如图2，在四边形ABCD 中，连接AC ，90BAC ∠=︒，点O 是ACD 外接圆的圆心，连接OA ，OAC ABC ∠∠=．求证：四边形ABCD 是“对角互余四边形”；(3)在（2）的条件下，如图3，已知3AD a DC b AB AC ===，，，连接BD ，求2BD 的值．（结果用带有a ，b 的代数式表示）2．（2022·江苏淮安·统考一模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．(1)请在特殊四边形中找出一个圆美四边形，该四边形的名称是 ；(2)如图1，在等腰Rt ∽ABC 中，∽BAC =90°，经过点A 、B 的∽O 交AC 边于点D ，交BC 于点E ，连接DE ，若四边形ABED 为圆美四边形，则AB DE的值是 (3)如图2，在∽ABC 中，经过点A 、B 的∽O 交AC 边于点D ，交BC 于点E ，连接AE 、BD 交于点F ，若在四边形ABED 的内部存在一点P ，使得∽PBC =∽ADP =α，连接PE 交BD 于点G ，连接P A ，若P A ∽PD ，PB ∽PE ． ①试说明：四边形ABED 为圆美四边形；②若2tan 3α=，8PA PE +=，33CD BC =，求DE 的最小值．。
2022年高考数学小题压轴题专练12—抛物线(1)
2022年高考数学小题压轴题专练12—抛物线（1）一、单选题1．已知实数a ，b ，c 成等差数列，记直线0ay bx c ++=与曲线2111822y x x =--的相交弦中点为P ，若点A ，B 分别是曲线22102250x y x y +--+=与x 轴上的动点，则||||PA PB +的最小值是()A ．2B ．3C ．4D ．5解：因为实数a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，则直线0ay bx c ++=化为02a cay x c +++=，即(2)(2)0a y x c x +++=，所以直线0ay bx c ++=过定点(2,1)Q -，又点Q 在曲线2111822y x x =--上，所以直线0ay bx c ++=与曲线2111822y x x =--相交的一个交点为Q ，设另一个交点为1Q ，设(,)P m n ，则1(22,21)Q m n +-，又1Q 在曲线2111822y x x =--上，化简得24m n =，即P 在抛物线24x y =上运动，设抛物线24x y =的焦点为(0,1)F ，设(P P x ，)P y ，||11||1min P P PB y y PF ==+-=-，曲线22102250x y x y +--+=，得22(5)(1)1x y -+-=，记圆心(5,1)M 所以||||||||1||1||1||11523PA PB PA PF PM PF MF ++-=-+----= ．故选：B ．2．已知抛物线2:8C y x =，点P ，Q 是抛物线上任意两点，M 是PQ 的中点，且||10PQ =，则M 到y 轴距离的最小值为()A ．9B ．8C ．4D ．3解：法-：由题意可知直线l 的斜率不为零，设:l x my n =+，设点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，则点12(2x x M +，12)2y y +，点M 到x 轴的距离为122y y +．由28x my ny x=+⎧⎨=⎩，整理得2880y my n --=．△264320m n =+>，由韦达定理得128y y m +=，128y y n =-．12||||10AB y y =-==，可得222528(1)n m m =-+， 1242y y m +=，∴2222121222225252544222(1)22523228(1)8(1)8(1)x x y y m n m m n m m m m m m m ++=+=+=+-=+=++-=-=+++ ；当且仅当22252(1)8(1)m m +=+，即当12m =±时，等号成立，此时2225228(1)n m m =-=+，△264320m n =+>成立，合乎题意！因此，点M 到y 轴的距离的最小值为3，此时，直线l 的方程为12x ±20y -=．法二：因为：1212||106PQ PF QF x x p x x p +=++⇒+-= ；PQ ∴的中点M 到y 轴距离的值为：1232x x + ；即最小值为3．故选：D ．3．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，A 是抛物线C 上异于坐标原点的任意一点，过点A 的直线l 交y 轴的正半轴于点B ，且A ，B 同在一个以F 为圆心的圆上，另有直线//l l '，且l '与抛物线C 相切于点D ，则直线AD 经过的定点的坐标是()A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,0)D ．(2,0)解：设21(,)4A m m ，(0,)B n ，抛物线2:4C x y =的焦点为(0,1)F 又A ，B 同在一个以F 为圆心的圆上，||||BF AF ∴=21114n m ∴-==+2124n m ∴=+∴直线l 的斜率2124m nk m m -==-直线//l l '，∴直线l '的斜率为k ，设点21(,)4D a a ，214y x = ，12y x ∴'=，12k a ∴=，∴122a m =-，4a m ∴=-∴直线AD 的斜率为2221144444m am a m m a m-+-===-，∴直线AD 的方程为2214()44m y m x m m --=-，整理可得2414m y x m-=+，故直线AD 经过的定点的坐标是(0,1)，故选：A ．4．已知直线l 与椭圆221:184x y C +=切于点P ，与圆222:16C x y +=交于点AB ，圆2C 在点AB 处的切线交于点Q ，O 为坐标原点，则OPQ ∆的面积的最大值为()A ．22B ．2C 2D ．1解：设0(P x ，0)y ，(,)Q m n ，由AQ AO ⊥，BQ BO ⊥，可得四点Q ，A ，O ，B 共圆，可得以OQ 为直径的圆，方程为2222()()224m n m n x y +-+-=，联立圆222:16C x y +=，相减可得AB 的方程为160mx ny +-=，又AB 与椭圆相切，可得过P 的切线方程为00184x x y y+=，即为0024160x x y y +-=，由两直线重合的条件可得02m x =，04n y =，由于P 在椭圆上，可设022x α=，02sin y α=，02απ< ，即有42m α=，8sin n α=，可得220016cos 16sin 16OP OQ mx ny αα=+=+=，且222||8421OP cos sin cos ααα=+=+ ，222||3264421OQ cos sin sin ααα=+=+ ，即有1||||sin 2OPQ S OP OQ OP ∆=< ，OQ >===sin 2|α== sin 21α=±即4πα=或34π或54π或74π时，OPQ S ∆的面积取得最大值故选：A ．5．已知不过原点的动直线l 交抛物线2:2(0)C y px p =>于M ，N 两点，O 为坐标原点，F 为抛物线C 的焦点，且||||OM ON OM ON +=- ，若MNF ∆面积的最小值为27，则(p =)A ．2B ．3C ．4D ．6解：①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，0b ≠；1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，||||OM ON OM ON +=- ，∴两边平方可得0OM ON =，联立22y kx b y px=+⎧⎨=⎩消去y 并整理得：222(22)0k x kb p x b +-+=，12222kb px x k -∴+=-，2122b x x k=，22121212122()()()pby y kx b kx b k x x kb x x b k∴=++=+++=，∴21212220b pbOM ON x x y y k k=+=+= ，0b ≠ ，0k ≠，20b pk ∴+=，2b pk=-12|||y y -=====2121123||||||4322224MNFp b p pk p S y y p p k k ∆∴=+-=-⨯=，②当直线l 的斜率不存在时，设直线0:l x x =，设0(M x ，1)y ，0(N x ，2)y ，则2102y px =，2202y px =，220120020OM ON x y y x px =+=-= ，解得02x p =，21213(2)||43224MNF p pS p y y p p ∆∴=--== ，MNF ∆面积的最小值为23p ，依题意2327p =，3p =．故选：B ．6．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到准线的距离为2，直线1y kx =+与抛物线C 交于M ，N 两点，若存在点0(Q x ，1)-使得QMN ∆为等边三角形，则||(MN =)A ．8B ．10C ．12D ．14解：抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到准线的距离为2，则2p =，即抛物线方程为24x y =，其焦点坐标为(0,1)，则直线1y kx =+过焦点F ，设点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，将直线MN 的方程与抛物线的方程联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 得2440x kx --=，由韦达定理可得124x x k +=，124x x =-．所以，2121212||2112()444MN y y kx kx k x x k =++=++++=++=+，线段MN 的中点为2(2,21)P k k +，由于QMN ∆是等边三角形，则PQ MN ⊥，所以，直线PQ 的斜率为PQ k =，得202212PQk k k x k+==--，解得3024x k k =+，则点Q 的坐标为3(24k k +，1)-，由两点间的距离公式得||PQ ==，得||tan ||PQ PMQ PM ∠==，即||||2PQ PM MN ==，所以，24(1)2k =⨯+，解得22k =，因此，2||4(1)12MN k =+=．故选：C ．7．抛物线2:4C y x =与直线:(2)l y k x =-交于点M ，N 二点，过点M 作x 轴的平行线与ON 交于A 点，过点A 作抛物线C 的切线，切点为B ，切线AB 与直线:2l x '=交于D 点．已知点(2,0)E ，则22(DE AE -)A ．8B ．8-C ．16D ．16-解：联立24(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩得：2224(1)40k x k x k -++=，设1(M x ，1(2))k x -，2(N x ，2(2))k x -，1224(1)k x x k +∴+=，124x x =∴直线1:(2)MA y k x =-①，直线22(2):k x ON y x x -=②联立①②得A 的坐标，212(2)(2x x A x --，1(2))k x -，又124x x = ，∴212(2)22x x x -=--，(2A ∴-，1(2))k x -设切点2(B b ，2)(0)b b ≠，则过点B 的抛物线的切线方程为：242x b y += ，即2by x b =+，该切点过点A ，21(2)2bk x b ∴-=-+，12(2)b k x b∴-=-，∴交点22(2,b D b +，又(2A - ，1(2))k x -，(2,0)E 2222212([16((2))]b DE AE k x b+∴-=-+-2222()[16(]8b b b b=+-+-=-，故选：B ．8．已知F 为抛物线212y x =的焦点，过F 作两条夹角为45︒的直线1l ，2l ，1l 交抛物线于A ，B 两点，2l 交抛物线于C ，D 两点，则11||||AB CD +的最大值为()A．14B．12+C．1+D．2+解：由物线212y x =，可得其焦点1(,0)8F ．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ．由对称性，不妨设直线1l 的斜率10t>．设直线1l 的方程为18ty x =-，联立21812ty x y x⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化为216810y ty --=，122t y y ∴+=，12116y y =-．21||2t AB +∴=．直线2l 的方程为1118t y x t -=-+，联立2111812t y x t y x-⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，化为216(1)8(1)(1)0t y t y t +---+=，3412(1)t y y t -∴+=+，34116y y =-，221||(1)t CD t +∴==+．∴2222112(1)2(1)1||||111t t AB CD t t t +++=+=++++，令22(1)()(0)1t f t t t +=>+，222[(21)](12)()(1)t t f t t ---++'=+，可得1t =-时，函数()f t取得最大值，1)1f -=+．∴11||||AB CD +的最大值为22+．故选：D ．9．已知抛物线2:4E y x =和直线:30l x y m ++=在第一象限内的交点为1(M x ，1)y ．设2(N x ，2)y 是抛物线E 上的动点，且满足210y y <<，记2222|3|x x y m t +++=，则()A ．当103x <<时，t 的最小值是|1|m +B ．当103x <<时，t 的最小值是|1|2m +-C ．当13x >时，t 的最小值是|1|m +D ．当13x >时，t 的最小值是|1|2m +-解：如右图所示，点2(N x ，2)y 到直线:30l x m ++=的距离221|3|2x m d ++=，222212|3|2()t x x y m x d ∴=+++=+，又抛物线2:4E y x =的焦点为(1,0)F ，根据抛物线的定义知2||1NF x =+，故112||222(||)2t NF d NF d =+-=+-，又点F 到直线:0l x m ++=的距离2|1|2m d +=，∴当13x >时，222|1|2t d m -=+- ，故选：D ．10．已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>，从点(4M ，)(0)a a >发出，平行于x 轴的光线与Γ交于点A ，经Γ反射后过Γ的焦点N ，交抛物线于点B ，若反射光线的倾斜角为23π，||2AN =，则ABM ∆的重心坐标为()A ．(2,B ．3(,0)2C ．(3,3-D ．(2,)3-解：如图所示，过点N 作NC AM ⊥，垂足为C ，因为||2AN =，反射光线的倾斜角为23π，所以||1AC =，||NC =，可得12A px =-，A y =，即(12pA -，M ，将点(12p A -代入22y px =中，可得32(1)2pp =-，解得3(1p =-舍去），所以抛物线的方程为26y x =．直线AB 的方程为3)2y x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y，联立23)26y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去x260y +-，显然△360=+>，12y y +=-，又因为12123)y y x x +=+-，所以125x x +=，设ABM ∆的重心坐标为(,)x y ，所以12433x x x ++==，y ==所以ABM ∆的重心坐标为(3,3-，故选：C．二、多选题11．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为AB 的中点，则()A ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切B ．当2AF FB = 时，9||2AB =C ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离D ．||AB 的最小值为3解：当直线AB 的斜率不存在时，以线段BM 为直径的圆与y 轴相切；当直线AB 的斜率存在且不为0，可设直线AB 的方程为y x =-k k ，联立24y x =，可得2222(24)0x x -++=k k k ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得12242x x +=+k ，121x x =，设13x =+，23x =-，可得M 的横坐标为221+k ，MB 的中点的横坐标为2212(1)2x ++k ，222|||1|BM x =--k ，当1=k 时，MB 的中点的横坐标为52，1||22MB =，得以线段BM 为直径的圆与y 轴相交，故A 错；以F 为极点，x 轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为21cos ρθ=-，设1(A ρ，)θ，2(B ρ，)πθ+，可得121cos ρθ=-，221cos()ρπθ=-+，可得111cos 1cos 1||||22AF BF θθ-++=+=，又||2||AF FB =，可得||3AF =，3||2FB =，则9||||||2AB AF FB =+=，故B 正确；24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设A ，B ，M 在准线上的射影为A '，B '，M '，由||||AF AA '=，||||BF BB '=，111||(||||)(||||)||222MM AA BB AF FB AB '''=+=+=，可得线段AB 为直径的圆与准线相切，与直线y 轴相交，故C 正确；当直线AB 垂直于x 轴，可得||AB 为通径，取得最小值4，故D 错误．故选：BC ．12．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M 、N 两点，则()A ．若抛物线上存在一点(2,)E t 到焦点F 的距离等于3，则抛物线的方程为24y x=B ．若||2||AF BF =，则直线l 的斜率为22C ．若直线l 34||3p AB =D ．设线段AB 的中点为P ，若点F 到抛物线准线的距离为2，则sin PMN ∠的最小值为12解：对于A ，抛物线22(0)y px p =>的焦点为(2pF ，0)，准线方程为2p x =-，由抛物线的定义可得||232pEF =+=，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，故A 正确；对于B ，可设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线AB 的方程为2px my =+，与抛物线22y px =联立，消去x ，可得2220y pmy p --=，可得122y y pm +=，212y y p =-，①由||2||AF BF =，即为2AF FB =，可得122y y -=，②，由①②可得22y pm =-，2222y p -=-，则2228p m p =，可得4m =±，即有直线l的斜率为1m =±故B 错误；对于C ，若直线l，由选项B可得m =12y y +=，由抛物线的弦长公式可得121228||)2233pAB x x p y y p p p =++=++=+=，故C 错误；对于D ，抛物线的焦点F 到准线的距离为2p =，则该抛物线的方程为24y x =，设直线l 的方程为1x my =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立214x my y x =+⎧⎨=⎩可得2440y my --=，△216160m =+>，124y y m +=，所以21212()242x x m y y m +=++=+，212||24(1)AB x x m =++=+，P 到y 轴的距离为212212x x d m +==+，所以22221111sin 111222(1)22||2dm PMN m m AB +∠===--=++ ，当且仅当0m =时，取得等号，故D 正确．故选：AD ．13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ．设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QM PE ⊥于M ，过Q 作QN PE ⊥交线段EP 的延长线于点N ，则()A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =解：由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，所以由题意可得||||PF PE =，即A 正确；PQ 为EPF ∠的外角平分线，所以FPQ NPQ ∠=∠，又//EP FQ ，所以NPQ PQF ∠=∠，所以FPQ PQF ∠=∠，所以||||PF QF =，所以B 正确；连接EF ，由上面可得：PE PF QF ==，//PE FQ ，所以四边形EFQP 为平行四边形，所以EF PQ =，//EF PQ所以EFK PQF QPN ∠=∠=∠，在EFK ∆中，cos KF EF EFK =∠ ，PQN ∆中，cos PN PQ QPN =∠ ，所以FK PN =；所以D 正确；C 中，若PN MF =，而PM PN =，所以M 是PF 的中点，PM PF ⊥，所以PQ FQ =，由上面可知PQF ∆为等边三角形，即60PFQ ∠=︒，而P 为抛物线上任意一点，所以PFQ ∠不一定为60︒，所以C 不正确；故选：ABD ．14．如图，已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M ，N两点，连接NO ，MO 并延长分别交1C 于A ，B 两点，连接AB ，OMN ∆与OAB ∆的面积分别记为OMN S ∆，OAB S ∆．则在下列命题中，正确的是()A ．若记直线NO ，MO 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 的大小是定值为14-B ．OAB ∆的面积OAB S ∆是定值1C ．线段OA ，OB 长度的平方和22||||OA OB +是定值5D ．设OMNOABS S λ∆∆=，则2λ 解：(0,1)F ，设直线MN 的方程为1y kx =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．联立方程组214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消元得：2440x kx --=，124x x k ∴+=，124x x =-，212121212(1)(1)()11y y kx kx k x x k x x ∴=++=+++=，211212211214y y y y k k x x x x ∴===- ，故A 正确；设直线OA 的方程为(0)y mx m =>，则直线OB 的方程为14y x m=-，联立方程组2214y mxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得22414x m =+，不妨设A在第三象限，则(A，，用14m-替换m可得(B 12m ，A ∴到OB的距离22d =，又||OB =，211||122OABS OB d ∆∴=== ，故B 正确；又2222224444||141414m m OA m m m +=+=+++，222161||41m OB m +=+，2222520||||514m OA OB m +∴+==+，故C 正确；联立方程组24y mxx y =⎧⎨=⎩，可得(4)0x x m -=，故2(4,4)N m m，||4ON ∴=，14m -替换m 可得1(M m -，214m ，M ∴到直线OA 的距离2211|1|144m m h --+==2111||2(1)22242OMN S ON h m m m m ∴==+=+ ，当且仅当122m m =即12m =时取等号．2OMNOMN OABS S S λ∆∆∴== ，故D 正确．故选：ABCD ．三、填空题15．已知曲线M 上任意一点P 到点(0,2)F 的距离比到x 轴的距离大2，直线:2l y x =+k 与曲线M 交于A ，D 两点，与圆22:430N x y y +-+=交于B ，C 两点(A ，B 在第一象限），则||4||AC BD +的最小值为23．解： 曲线M 上任意一点P 到点(0,2)F 的距离比到x 轴的距离大2，∴曲线M 上任意一点P 到点(0,2)F 的距离与到直线2y =-的距离相等，则曲线M 为抛物线，其方程为28x y =，焦点为(0,2)F ，则直线2y x =+k 过抛物线的焦点F ，当0=k 时，||||4AF DF ==，则111||||2AF DF +=，当0≠k 时，如图，过A 作AK y ⊥轴于K ，设抛物线的准线交y 周于E ，则||||||||cos ||EK EF FK p AF AFK AF =+=+∠=，得||1cos pAF AFK=-∠，则11cos ||AFK AF p -∠=，同理可得11cos ||AFKDF p +∠=，∴1121||||2AF DF p +==，化圆22:430N x y y +-+=为22(2)1x y +-=，则圆N 的圆心为F ，半径为1，||4||||14(||1)||4||5AC BD AF DF AF DF +=+++=++11||4||2(||4||)()52(5)5||||||||AF DF AF DF AF DF DF AF =+⨯++=+++2(5523++= ．当且仅当||2||AF DF =时上式等号成立．||4||AC BD ∴+的最小值为23，故答案为：23．16.过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于A ．B 两点，且A ，B 两点在准线上的射影分别为M ，N ，AFM ∆的面积与BFN ∆的面积互为倒数，则MFN ∆的面积为2．解：设直线AB 的倾斜角为θ，则MAF θ∠=，NBF πθ∠=-，设||AF m =，||BF n =，由抛物线的定义知，||AM m =，||BN n =，211||||sin sin 22AFM S AM AF MAF m θ∆∴=⋅∠=，211||||sin sin 22BFN S BF BN NBF n θ∆=⋅∠=，AFM ∆ 的面积与BFN ∆的面积互为倒数，2222111sin sin ()sin 1224AFM BFN S S m n mn θθθ∆∆∴⋅=⋅==，即22()sin 4mn θ=，在AFM ∆中，由余弦定理知，222222||||||2||||cos 22cos 2(1cos )FM AM AF AM AF MAF m m m θθ=+-⋅∠=-⋅=-，在BFN ∆中，由余弦定理知，222222||||||2||||cos 22cos()2(1cos )FN BF BN BF BN NBF n n n πθθ=+-⋅∠=-⋅-=+，222222||||4()(1cos )4()sin 16FM FN mn mn θθ∴⋅=-==，即||||4FM FN ⋅=，////AM BN x 轴，且||||AM AF =，||||BN BF =，AFM AMF MFO ∴∠=∠=∠，BFN BNF NFO ∠=∠=∠，1()22MFN MFO NFO AFO BFO π∴∠=∠+∠=∠+∠=，11||||4222MFN S FM FN ∆∴=⋅=⨯=．故答案为：2．17．直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为1-，以线段AB 的中点为圆心，为半径的圆与直线l 交于P 、Q 两点，(6,0)M ，则22||||MP MQ +的最小值为10．解：设直线AB 的方程为x my t =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立24x my t y x=+⎧⎨=⎩，整理得2440y my t --=，△2(4)4(4)0m t =--⨯->，即20t m +>，则124y y m +=，124y y t =-，因此21212()242x x m y y t m t +=++=+，221212()16y y x x t ==，由题意可知：0OA OB ⋅= ，则12120x x y y +=，即240t t -=，则4t =，∴直线AB 的方程为4x my =+，直线过点(4,0)，2124(2)x x m ∴+=+，则圆的圆心为2(24)O m '+，2)m ，由三角形的中线长定理可知：22222(||||)||||4MP MQ PQ MO +-'=，2222222422(||||)4||||4[4(1)4]816(1)8MP MQ MO PQ m m m m ∴+='+=-++=-++，∴当212m =，即2m =±时，222||||MP MQ +取最小值，最小值为20，则22||||MP MQ +的最小值为10．故答案为：10．18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线l 交x 轴于点K ，过F 作倾斜角为α的直线与C 交于A ，B 两点，若60AKB ∠=︒，则sin α=．解：抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p F ，准线2p x =-，(,0)2p K -，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，令12y y >，:2AB p l x my =+，联立有222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得，2220y px p --=，则222122124402p m p y y pm y y p ⎧=+>⎪+=⎨⎪⋅=-⎩ ，所以112AK y p x =+k ，222BK y p x =+k ，则tan tan()1AK BK AK BK AKB AKF BKF -∠=∠+∠==+⋅k k k k ，即121212)(2222y y pp x x -=++++，化简得22121212()1)()p y y m y y y y -=++++，222221)m p m =++，消去2p 得221)m =+++，即2，所以423440m m --=，解得22m =，即m =，所以tan 2α=或2，则222213112sin tan cos cos αααα+=+==，则223cos α=，22113sin cos αα=-=，[0α∈ ，)π，sin 0α∴>，则sin 3α=．。
专题12多次使用基本不等式(压轴题解法分析与强化训练)
专题12 多次使用基本不等式[真题]例1 （2020·江苏考试研究会·14）设41(0,0)x y x y +=>>，0s t >>，则22221x s ys xy st t ++- 的最小值为 . 【分析】所求22221x s ys xy st t ++-变形为2221x y s xy st t ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭.三次使用基本不等式，第一次，在条件41(0,0)x y x y +=>>下，求2x y xy+最小值，需使用“1”的代换化齐次；第二次，在条件0s t >>下，求2st t -最小值，为达到消t 的目的，需拆凑放缩（解答所给方法）或直接使用基本不等式()()222+==24t s t s st t t s t -⎡⎤--≤⎢⎥⎣⎦；第三次，直接运用互倒型，使用基本不等式.三次使用基本不等式取等条件相互独立，从而最小值能够取得.【解析】由题x +4y =1(x ＞0，y ＞0)，x 2+y xy =x 2+(x +4y )y xy =x y +1+4y x ≥4+1=5，当且仅当x =13，y =16时，“=”成立． 因为0＜t ＜s ，则1ts －t 2=4s 2－(s －2t )2≥4s 2，当且仅当s =2t 时，“=”成立． 于是x 2s 2+ys 2xy +1ts －t 2≥5s 2+4s 2≥45， 当且仅当x =13，y =16，s =255，t =55时，“=”成立．所以x 2s 2+ys 2xy +1ts －t 2的最小值为45． 点评:多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考命题的热点，其解法灵活多变，较难把握.当目标式中有的变量间彼此独立，相互间没有制约条件时，使用分离变量法，多次使用基本不等式即可.例2 （2020·徐州打靶卷·14）已知正数a ,b 满足ab a+2b ≥1，则(a +1)2+(b +2)2的最小值是 ． 【答案】22+12√2【解析】由平方均值不等式得√(a+1)2+(b+2)22≥(a+1)+(b+2)2，当且仅当a =b +1时，“=”成立由ab a+2b ≥1变形得2a +1b ≤1所以a +b ≥(a +b )(2a +1b )=3+(2b a +ab )≥3+2√2 ，当且仅当a =√2b ，即a =2+√2 ，b =1+√2时，“=”成立将a =2+√2 ，b =1+√2代入得(a +1)2+(b +2)2=22+12√2.所以(a +1)2+(b +2)2的最小值是22+12√2．例3 已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a ＋b ＝2，那么ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________． 【答案】10＋5【解析】因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋1ab －12＝a b ＋(a ＋b )24ab －12＝a b ＋a 2＋2ab ＋b 24ab －12＝5a 4b ＋b 4a ≥52，当且仅当b ＝5a 时等号成立．又因为c ＞2，由不等式的性质可得ac b ＋c ab －c 2＋5c －2＝c ⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12＋5c －2≥52c ＋5c －2. 又因为52c ＋5c －2＝52(c －2)＋5c －2＋5≥10＋5，当且仅当c ＝2＋2时等号成立， 所以ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为10＋ 5. 点评：本题中有三个变量,其中两个变量间有约束条件.先求出其最值，然后使用不等式的性质放缩，再使用一次基本不等式.[强化训练]1.（2020·扬州五月调研·12）已知x ＞0，y ＞0，则16y x x xy++的最小值为 ． 2.已知0a b >>，则264()a b a b +-的最小值为 ．3.（2019·苏北三市第一学期期末联考·14）已知0x >，0y >，0z >，且6x z ++=，则323x y z ++的最小值为 ．4. （2020·海安中学12月考·11） 设正实数x ，y 满足x y xy x y+=-，则实数x 的最小值为 ． 5.（2020·镇江八校第二次联考·13） 已知正数,a b 满足2(2)4a b a b +=，则a b +的最小值为 ．6. 若0x y >>323xy y +-的最小值为 ▲ ． 【答案或提示】1.【答案】【解析】所求变形为16116=()y x x y x xy x y++++ ∵y ＞0∴168y y +≥=，当且仅当4y =时，等号成立， ∵x ＞0，168y y+≥∴168y x x x xy x ++≥+≥=x = ∴16y x x xy ++的最小值为，当且仅当x =，4y =成立． 2.【答案】32【解析】∵22()()24b a b a b a b +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =时，等号成立，∴222646432()4a a ab a b +≥+≥=-，当且仅当4a =时，等号成立， ∴264()a b a b +-的最小值为32，当且仅当4a =，2b =成立． 3. 【答案】374【解析】先减元323x y z ++＝323(6)x y x ++-＝32453()24x x y -+-+ 令3()3f x x x =-，245()(4g y y =+， 2'()333(1)(1)f x x x x =-=-+，0x >，()f x 在（0,1）上递减，在（1，＋∞）上递增，所以，min ()f x ＝f （1）＝－2当y时，()g y 有最小值：min 45()4g y = 所以323x y z ++的最小值为－2＋454＝374.4.1．【解析】由正实数x ，y 满足x y xy x y+=-，化为11x y x y xy y x +-==+， 为求x 的最小值，将含“x ”项用“y ”的函数表示得：11x y x y x xy y +-==+∵1y y +≥（当且仅当1y =，“=”成立） ∴12x x -≥，解得21x +．∴实数x 1．5.【答案】2【解析】将已知条件2(2)4a b a b +=视为关于b 的一元二次方程，利用解方程分离元来实施减元.由2(2)4a b a b +=解得=b a -+∴2a b +=，当且仅当a =. 6. 【答案】10【提示】4)(22x y x y y xy ≤-=-，3212()f x x ≥+，再利用导数知识解决.。
九年级数学上学期期末专题12 选择压轴题分类练(七大考点)
专题12 选择压轴题分类练（七大考点）一．新定义1．若min{a，b，c}表示a、b、c三个数中的最小值，则当x≥0且y＝min{x2，x+2，7﹣x}时，y的最大值为（）A ．15−√292B ．4C ．112D ．922．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形；②使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动； ③图2中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为2π；④图3中，在△ABC 中随机取一点，则该点取自勒洛三角形DEF 部分的概率为√3π−26．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④二．最值--相似3．如图，在平面直角坐标系中，已知A （﹣2，4）、P （﹣1，0），B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC ，使点C 在x 轴上，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，则PM 的最小值为（ ）A ．√172B ．√17C ．4√55D ．√5三．相似与三角函数的融合。
4．如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线l 3，l 4，l 2，l 1上．若直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4且间距相等，AB ＝5，BC ＝3，则tan α的值为（ ）A ．310B ．35C ．√612D ．√525．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，以点A 为旋转中心将矩形ABCD 旋转，旋转后的矩形记为AEFG ，如图所示．CD 所在直线与AE 、GF 交于点H 、I ，CH ＝IH ．则线段HI 的长度为（ ）A ．3√2B ．2√2C ．5D ．526．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，将△ABC 绕直角边AC 的中点O 旋转，得到△DEF ，连接AD ，若DE 恰好经过点C ，且DE 交AB 于点G ，则tan ∠DAG 的值为（ ）A ．524B ．513C ．512D ．724四．动点（线）轨迹。
专题12二次函数与动点综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(原卷版)
专题12二次函数与动点综合问题【例1】（2021•黄冈）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点N（n，0）是x轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若n＜3，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线BC于点G．过点P作PD⊥BC于点D，当n为何值时，△PDG≌△BNG；（3）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转，它恰好经过线段OC的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线OB1．①tan∠BOB1＝；②当点N关于直线OB1的对称点N1落在抛物线上时，求点N的坐标．【例2】（2021•雅安）已知二次函数y＝x2+2bx﹣3b．（1）当该二次函数的图象经过点A（1，0）时，求该二次函数的表达式；（2）在（1）的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B 出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；（3）若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．【例3】（2021丹东）如图，已知点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），直线y＝2x+m过点B 交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线y＝ax2+x+c经过点A、C、D，连接AB、AC．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）E为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ECA＝，求点E的坐标；（4）N为线段AC上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N，再以每秒个单位长度的速度沿线段NC运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．【例4】（2020•随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x=3 2，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；（2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N 以每秒√2个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q 为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）【例5】（2020•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2−154x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N 为顶点的三角形相似，求t的值；（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．【例6】（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（−√2，0），直线BC的解析式为y=−√23x+2．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移√2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【题组一】1．（2021•长沙模拟）在一个三角形中，如果其中某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，则称该三角形为“调和三角形”例如我们学过的等边三角形就是“调和三角形”．（1）已知一个“调和三角形”三条边的长度分别为4，6，m﹣1，求m的值．（2）已知Rt△ABC是“调和三角形”，它的三边长分别为a，b，c，且a＜b＜c．①求a：b：c的值；②若△ABC周长的数值与面积的数值相等，求a，b，c的值．（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发以每秒2个单位c长度的速度沿路线A→B →C运动，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，设y＝PQ2．①求y关于t的函数关系式；②求y的最小值．2．（2021•广东模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC中，∠ABC＝90°，B（4，0），C（8，0），tan∠ACB＝2，抛物线y＝ax2+bx经过A，C两点．（1）求点A的坐标及抛物线的解析式；（2）如图2，过点A作AD⊥AB交BC的垂线于点D，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E．①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG取得最大值？最大值是多少？②连接EQ，在点P，Q运动过程中，t为何值时，使得△CEQ与△ABC相似？3．（2020•密云区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点B的坐标为（3，0），将直线y＝kx 沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；（3）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线C2：y＝ax2﹣2（a≠0）与线段AE 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．4．（2021•武汉模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数的表达式；（2）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（3）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．【题组二】5．（2020•香洲区校级一模）如图1，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴和y轴上，且B （0，8），D（10，0）．点E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处．（1）若抛物线y＝ax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；（2）若点M是（1）中抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使△AME为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线D﹣C﹣A以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线l⊥x轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），△QFG的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．（t的取值应保证△QFG的存在）6．（2021•饶平县校级模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．7．（2020•山西模拟）综合与实践如图，抛物线y＝与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点D从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点E同时从点B出发以相同的速度向点C运动，设运动的时间为t秒．（1）求点A，B，C的坐标；（2）求t为何值时，△BDE是等腰三角形；（3）在点D和点E的运动过程中，是否存在直线DE将△BOC的面积分成1：4两份，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．8．（2020•雁塔区校级模拟）将抛物线C1：y＝﹣x2+3沿x轴翻折，得抛物线C2．（1）请求出抛物线C2的表达式；（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x 轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【题组三】9．（2020•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N 为顶点的三角形相似，求t的值；（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．10．（2020•丹东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，4），直线y＝﹣x+m与抛物线交于B，D两点．（1）求抛物线的函数表达式．（2）求m的值和D点坐标．（3）点P是直线BD上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点F，过点D作x轴的平行线，交PH于点N，当N是线段PF的三等分点时，求P点坐标．（4）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为（﹣，0）．动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为t（t＞0），连接AD，过M作MG⊥AD 于点G，以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′，点M在运动过程中，线段A′Q′的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围．11．（2020•香洲区校级一模）如图1，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴和y轴上，且B（0，8），D（10，0）．点E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处．（1）若抛物线y＝ax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；（2）若点M是（1）中的抛物线对称轴上的一点，点N是坐标平面内一点，是否存在M，N使以A，M，N，E为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线D﹣C﹣A以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线l⊥x轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），△QFG的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．（t的取值应保证△QFG的存在）12．（2020•清江浦区二模）在平面直角坐标系中，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AB∥x轴，如图1，C（1，0），且OC：OA＝AC：BC＝1：2．（1）A点坐标为（0，2），B点坐标为（5，2）；（2）求过A、B、C三点的抛物线表达式；（3）如图2，抛物线对称轴与AB交于点D，现有一点P从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一点Q从点D与点P同时出发，以每秒5个单位在抛物线对称轴上运动．当点P到达B点时，点P、Q同时停止运动，问点P、Q运动到何处时，△PQB面积最大，试求出最大面积．【题组四】13．（2019•西宁）如图①，直线y=−√3x+2√3与x轴，y轴分别交于A，B两点，以A为顶点的抛物线经过点B，点P是抛物线上一点，连接OP，AP．（1）求抛物线的解析式；（2）若△AOP的面积是3√3，求P点坐标；（3）如图②，动点M，N同时从点O出发，点M以1个单位长度/秒的速度沿x轴正半轴方向匀速运动，点N以√3个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向匀速运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，过点N作NE∥x轴交直线AB于点E．若设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使四边形AMNE是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．14．（2019•乐山）如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB=32．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；②在①的条件下，当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；③在①的条件下，当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ 与抛物线有两个交点，求t的取值范围．15．（2019•兰州）二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象交x 轴于点（﹣1，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ．动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN ⊥x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数y ＝ax 2+bx +2的表达式；（2）连接BD ，当t =32时，求△DNB 的面积；（3）在直线MN 上存在一点P ，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标；（4）当t =54时，在直线MN 上存在一点Q ，使得∠AQC +∠OAC ＝90°，求点Q 的坐标．16．（2018•扬州）如图1，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，6），点P 从点O 出发，沿OA 以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，同时点Q 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，当点P 与点A 重合时运动停止．设运动时间为t 秒．（1）当t ＝2时，线段PQ 的中点坐标为 （52，2） ； （2）当△CBQ 与△P AQ 相似时，求t 的值；（3）当t ＝1时，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，抛物线的顶点为K ，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D ，使∠MQD =12∠MKQ ？若存在，求出所有满足条件的D 的坐标；若不存在，说明理由．【题组五】17．（2020•项城市三模）如图，抛物线y=ax2+bx+152(a≠0)经过A（﹣3，0），C（5，0）两点，点B为抛物线顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t，过点P作PM⊥BD，交BC于点M，以PM为正方形的一边，向上作正方形PMNQ，边QN交BC于点R，延长NM交AC于点E．①当t为何值时，点N落在抛物线上；②在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ为平行四边形？若存在，求出此时刻的t值；若不存在，请说明理由．18．（2020•市中区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，D（4﹣4√2，0）．动点P从点A出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动．（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）在第一象限的抛物线上取一点G，使得S△GCB＝S△GCA，再在抛物线上找点E（不与点A、B、C重合），使得∠GBE＝45°，求E点的坐标．19．（2020•南充一模）如图，抛物线y =−12（x +1）（x ﹣n ）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为5．动点P 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位的速度向点B 运动，过P 作PN ⊥x 轴交BC 于M ，交抛物线于N ．（1）求抛物线的解析式； （2）当M 在线段BC 上，MN 最大时，求运动的时间；（3）经过多长时间，点N 到点B 、点C 的距离相等？20．（2020•潮州模拟）如图1，已知抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝2OA ＝4．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）设P 是（1）中抛物线上的一个动点，当直线OC 平分∠ACP 时，求点P 的坐标；（3）如图2，点G 是线段AC 的中点，动点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，动点F 从点B 出发，以每秒√2个单位长度的速度向终点C 运动，若E 、F 两点同时出发，运动时间为t 秒．则当t 为何值时，△EFG 的面积是△ABC 的面积的13？。
专题12 多边形的内角与外角和【2022春北师大版八下数学压轴题突破专练】(解析版)
【2022春北师大版八下数学压轴题突破专练】专题12 多边形的内角与外角和一．选择题1．（2021秋•黄石期末）将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（）A．360°B．540°C．720°D．730°【思路引导】根据多边形的内角和公式解决此题．【完整解答】解：设将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形的边数分别为x、y．∴这两个多边形的内角和之和为180°（x﹣2）+180°（y﹣2）＝180°（x+y﹣4）．∴180°整除这两个多边形的内角和之和．∵360°＝180°×2，540°＝180×3，720°＝180°×4，180°不整除730°，∴这两个多边形的内角和之和不可能是730°．故选：D．2．（2021•连州市模拟）六角螺母的横截面是正六边形，这个正六边形的内角为（）A．100°B．120°C．60°D．90°【思路引导】根据多边形的外角和等于360°解答即可．【完整解答】解：∵这个正六边形的外角和等于360°，∴每个外角＝360°÷6＝60°．∴故这个正六边形的每一个内角的度数为＝180°﹣60°＝120°．故选：B．3．（2021秋•赞皇县期中）一个多边形每个外角都等于36°，则从这个多边形的某个顶点画对角线，最多可以画出几条（）A．7条B．8条C．9条D．10条【思路引导】若要确定从这个多边形的某个顶点画对角线的条数，需确定该多边形的边数．由一个多边形每个外角都等于36°，得这个多边形的边数为10，从而解决此题．【完整解答】解：∵此多边形每个外角都等于36°，∴该多边形的边数为＝10．∴从这个多边形的某个顶点能画的对角线的条数为10﹣3＝7（条）．故选：A．4．（2021•株洲）如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI ＝（）A．10°B．12°C．14°D．15°【思路引导】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论．【完整解答】解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABGHI中，∠FAB＝120°，∠IAB＝108°，∴∠FAI＝∠FAB﹣∠IAB＝120°﹣108°＝12°，故选：B．5．（2021•黄埔区二模）如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转45°，再沿直线前进6米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）米．A．60 B．72 C．48 D．36【思路引导】根据多边形的外角和即可求出答案．【完整解答】解：根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，所以一共走了8×6＝48（米）．故选：C．6．（2019秋•猇亭区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（）A．10°B．15°C．30°D．40°【思路引导】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC＝150°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PAB+∠ABP的度数，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P 的度数即可．【完整解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝150°．又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°，∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．故选：B．7．（2021•昆明模拟）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于（）A．30°B．35°C．45°D．60°【思路引导】利用全等三角形的性质和正六边形的定义可判断六边形花环为正六边形，根据多边形的内角和定理可计算出∠ABD＝120°，然后把∠ABD减去90°得到∠ABC的度数．【完整解答】解：如图，∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，∴六边形花环为正六边形，∴∠ABD＝＝120°，而∠CBD＝∠BAC＝90°，∴∠ABC＝120°﹣90°＝30°．故选：A．二．填空题8．（2021秋•德城区期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝68°，则∠CAD的度数是22°．【思路引导】通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得∠ABD＝∠ACD＝72°，由直角三角形的性质可求解．【完整解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴点A，点B，点C，点D四点共圆，∴∠ABD＝∠ACD＝68°，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝22°，故答案为：22°．9．（2021秋•大洼区期末）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10m向左转30°再沿直线前进10m，又向左转30°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了120 m．【思路引导】根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用360°除以30°求出边数，然后再乘以10m即可．【完整解答】解：∵小亮每次都是沿直线前进10m后向左转30度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷30°＝12，∴他第一次回到出发点A时，一共走了12×10＝120m．故答案为：120．10．（2021•城固县二模）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、BD交于点O，则∠AOD的度数为108°．【思路引导】由∠BOC与∠AOD是对顶角，欲求∠AOD，可求∠BOC．由五边形ABCDE是正五边形，得AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，那么∠CBD＝∠CDB，∠CBD+∠CDB＝72°，故∠CBD＝∠CDB＝36°．同理可得∠BCA＝∠BAC＝36°，根据三角形内角和定理求得∠BOC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCA＝108°．【完整解答】解法1：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝180°﹣＝108°．∴∠CBD＝∠CDB，∠CBD+∠CDB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CBD＝∠CDB＝36°．同理可得：∠BCA＝∠BAC＝36°．∴∠BOC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCA＝180°﹣36°﹣36°＝108°．∵∠BOC与∠AOD是对顶角，∴∠BOC＝∠AOD＝108°．故答案为：108°．解法2：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠E＝108°．∴∠BCA＝∠BAC＝＝36°．∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝72°．∴∠ACD+∠CDE＝180°．∴AC∥DE．同理可得：BD∥AE．∴四边形AODE是平行四边形．∴∠AOD＝∠E＝108°．故答案为：108°．11．（2021•济南）如图，正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边AB上，则∠PAE＝18°．【思路引导】根据多边形内角和公式，计算出正五边形ABCDE中，∠EAB＝＝108°，正方形AMNP中，∠PAM＝90°，∠PAE＝∠EAB﹣∠PAM即可．【完整解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠EAB＝＝108°，∵四边形AMNP为正方形，∴∠PAM＝90°，∴∠PAE＝∠EAB﹣∠PAM＝108°﹣90°＝18°．故答案为：18°．12．（2021春•安徽期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1260°，则原多边形的边数是为8或9或10．．【思路引导】根据多边形内角和公式求出截去一角后的多边形边数，再根据截去一角后多边形的边数变化情况求解．【完整解答】解：设截去一个角后，多边形的边数为n，由题意得（n﹣2）×180°＝1260°，解得n＝9．因为多边形截去一角后边数可能不变，可能增加1，可能减小1，∴原多边形可能为8或9或10．故答案为：8或9或10．13．外角和等于内角和的多边形一定是四边形．对．（判断对错）【思路引导】任意多边形的外角和为360°，然后依据多边形的内角和公式求得多边形的边数，从而可作出判断．【完整解答】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n﹣2）×180°＝360°．解得：n＝4．所以该多边形为四边形．故答案为：对．14．如果一个多边形的内角和等于1800°，则这个多边形是十二边形；如果一个n边形每一个内角都是135°，则n＝8 ；如果一个n边形每一个外角都是36°，则n＝10 ．【思路引导】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【完整解答】解：这个正多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝1800°，解得：n＝12，则这个正多边形是12．如果一个n边形每一个内角都是135°，∴每一个外角＝45°，则n＝＝8，如果一个n边形每一个外角都是36°，则n＝＝10，故答案为：十二，8，10．15．（2021•温州开学）如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B＝240°，则∠1+∠2+∠3＝240°．【思路引导】延长EA、AB构造外角∠4、∠5，根据一个顶点上的外角和内角的关系与多边形的外角和，计算得结论．【完整解答】解：如图，延长EA、AB．∵∠EAB+∠4+∠ABC+∠5＝360°，又∵∠EAB+∠ABC＝240°，∴∠4+∠5＝120°．∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝240°．故答案为：240°．三．解答题16．（2021秋•通榆县期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍还多180°，那么这个多边形的边数是多少？【思路引导】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1260度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【完整解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）•180＝360×3+180，解得：n＝9．则这个多边形的边数是9．17．（2021春•淅川县期末）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是∠1＝2∠A；【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A的大小为28°．【思路引导】（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题．（2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题（3）运用三角形的外角性质即可解决问题．【完整解答】解：（1）如图①，∠1＝2∠A．理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；∵∠1＝∠A+∠EA′D，∴∠1＝2∠A．（2）如图②，2∠A＝∠1+∠2．理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，由折叠知识可得：∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2．（3）如图③，∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A′+∠2，∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，∴2∠A＝∠1﹣∠2＝56°，解得∠A＝28°．故答案为：∠1＝2∠A；28°．18．（2021秋•新罗区校级月考）一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角都等于它的相邻内角的，求这个多边形的边数及内角和？【思路引导】根据题意得出内角的度数，进而得出边长，即可得出答案．【完整解答】解：设这个多边形的一个外角的度数为x，由x＝（180°﹣x）解得：x＝36°，360÷36＝10，（10﹣2）×180°＝1440°，此多边形为十边形，内角和为1440°．19．（2021春•太康县期末）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，（1）求这个多边形的边数；（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？【思路引导】（1）设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，根据内角与其相邻的外角的和是180度列出方程，求出α的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数为360°÷α；（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案．【完整解答】解：（1）设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，由题意，得（3α+20）+α＝180°，解得α＝40°．即多边形的每个外角为40°．又∵多边形的外角和为360°，∴多边形的外角个数＝＝9．∴多边形的边数＝9，答：这个多边形的边数是9；（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，当截线为经过对角2个顶点的直线时，多边形的边数减少了1条边，内角和＝（9﹣2﹣1）×180°＝1080°；当截线为经过多边形一组对边的直线时，多边形的边数不变，内角和＝（9﹣2）×180°＝1260°；当截线为只经过多边形一组邻边的一条直线时，多边形的边数增加一条边，内角和＝（9﹣2+1）×180°＝1440°．答：将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是1080°或1260°或1440°．20．（2021秋•连城县期中）一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？（要求：列方程解，要有解题过程）【思路引导】根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可．【完整解答】解：设这个多边形是n边形，则根据题意，得：（n﹣2）•180°＝3×360°，解得n＝8，答：这个多边形是八边形；21．（2021秋•上杭县期中）如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F．（1）若∠F＝70°，则∠ABC+∠BCD＝220 °；∠E＝110 °；（2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E＝∠F，所添加的条件为AB∥CD．【思路引导】（1）先根据三角形内角和定理求出∠FBC+∠BCF＝180°﹣∠F＝110°，再由角平分线定义得出∠ABC＝2∠FBC，∠BCD＝2∠BCF，那么∠ABC+∠BCD＝2∠FBC+2∠BCF ＝2（∠FBC+∠BCF）＝220°；由四边形ABCD的内角和为360°，得出∠BAD+∠CDA＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝140°．由角平分线定义得出∠DAE＝∠BAD，∠ADE＝∠CDA，那么∠DAE+∠ADE＝∠BAD+∠CDA＝（∠BAD+∠CDA）＝70°，然后根据三角形内角和定理求出∠E＝180°﹣（∠DAE+∠ADE）＝110°；（2）由四边形ABCD的内角和为360°得到∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD＝360°，由角平分线定义得出∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF＝180°，又根据三角形内角和定理有∠DAE+∠ADE+∠E＝180°，∠FBC+∠BCF+∠F＝180°，那么∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F＝360°，于是∠E+∠F＝360°﹣（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）＝180°；（3）由（2）可知∠E+∠F＝180°，如果∠E＝∠F，那么可以求出∠E＝∠F＝90°，根据三角形内角和定理求出∠DAE+∠ADE＝90°，再利用角平分线定义得到∠BAD+∠CDA＝180°，于是AB∥CD．【完整解答】解：（1）∵∠F＝70，∴∠FBC+∠BCF＝180°﹣∠F＝110°．∵∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F，∴∠ABC＝2∠FBC，∠BCD＝2∠BCF，∴∠ABC+∠BCD＝2∠FBC+2∠BCF＝2（∠FBC+∠BCF）＝220°；∵四边形ABCD的内角和为360°，∴∠BAD+∠CDA＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝140°．∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∴∠DAE＝∠BAD，∠ADE＝∠CDA，∴∠DAE+∠ADE＝∠BAD+∠CDA＝（∠BAD+∠CDA）＝70°，∴∠E＝180°﹣（∠DAE+∠ADE）＝110°；（2）∠E+∠F＝180°．理由如下：∵∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD＝360°，∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F，∴∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF＝180°，∵∠DAE+∠ADE+∠E＝180°，∠FBC+∠BCF+∠F＝180°，∴∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F＝360°，∴∠E+∠F＝360°﹣（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）＝180°；（3）AB∥CD．故答案为220°；110°；AB∥CD．22．（2021秋•太和县校级月考）（1）如图①②，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；（2）如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；（3）用你发现的结论解决下列问题：如图③，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C＝240°，求∠E的度数．【思路引导】（1）根据四边形的内角和等于360°用∠5+∠6表示出∠3+∠4，再根据平角的定义用∠5+∠6表示出∠1+∠2，即可得解；（2）从外角的定义考虑解答；（3）根据（1）的结论求出∠MDA+∠NAD，再根据角平分线的定义求出∠ADE+∠DAE，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．【完整解答】（1）解：∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角，∴∠3+∠4+∠5+∠6＝360°，∴∠3+∠4＝360°﹣（∠5+∠6），∵∠1+∠5＝180°，∠2+∠6＝180°，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠5+∠6），∴∠1+∠2＝∠3+∠4；（2）答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；（3）解：∵∠B+∠C＝240°，∴∠MDA+∠NAD＝240°，∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线，∴∠ADE＝∠MDA，∠DAE＝∠NAD，∴∠ADE+∠DAE＝（∠MDA+∠NAD）＝×240°＝120°，∴∠E＝180°﹣（∠ADE+∠DAE）＝180°﹣120°＝60°．23．（2020秋•上杭县校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，且∠D+∠C＝220°，求∠AOB的度数．【思路引导】首先根据四边形内角和为360度计算出∠DAB+∠ABC＝360°﹣220°＝140°，再根据∠1＝∠2，∠3＝∠4计算出∠2+∠3＝70°，然后利用三角形内角和为180度计算出∠AOB的度数．【完整解答】解：∵∠D+∠C+∠DAB+∠ABC＝360°，∠D+∠C＝220°，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣220°＝140°，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝70°，∴∠AOB＝180°﹣70°＝110°．24．（2020秋•朝阳期中）已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°．（1）甲同学说，θ能取720°；而乙同学说，θ也能取820°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n，若不对，说明理由；（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．【思路引导】（1）根据多边形内角和公式，列出方程求得θ的值，判断是否为整数即可；（2）根据题意，列出方程（n﹣2）×180°+360°＝（n+x﹣2）×180°，求得x的值即可．【完整解答】解：（1）甲对，乙不对．理由：∵当θ取720°时，720°＝（n﹣2）×180°，解得θ＝6；当θ取820°时，820°＝（n﹣2）×180°，解得θ＝；∵n为整数，∴θ不能取820°；（2）依题意得，（n﹣2）×180°+360°＝（n+x﹣2）×180°，解得x＝2．25．（2020秋•恩施市期中）从一个五边形中切去一个三角形，得到一个三角形和一个新的多边形，那么这个新的多边形的内角和等于多少度？请画图说明．【思路引导】从一个五边形中切去一个三角形，得到的可能是四边形、可能是五边形、可能是六边形．再根据多边形的内角和的公式求解．【完整解答】解：分三种情况：①若新多边形为四边形，则内角和为360°；②若新多边形为五边形，则内角和为（5﹣2）×180°＝540°；③若新多边形为六边形，则内角和为（6﹣2）×180＝720°．26．（2019春•永年区期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．【思路引导】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解；③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．【完整解答】解：（1）如图所示：（2）设新多边形的边数为n，则（n﹣2）•180°＝2520°，解得n＝16，①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，故原多边形的边数可以为15，16或17。
中考数学总复习专题十二几何压轴题课件
[对应训练] 1．(导学号 )(2014·陕西)问题探究 (1)如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果BC边上存在点P，使 △APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形APD，并求出此时 BP的长； (2)如图②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的高，E，F分 别为边AB，AC的中点，当AD＝6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF＝90°，求此 时BQ的长； 问题解决 (3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段 CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB.现只要使∠AMB大约为60°，就可以 让监控装置的效果达到最佳．已知∠A＝∠E＝∠D＝90°，AB＝270 m，AE＝400 m，ED＝285 m，CD＝340 m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB＝60°？若 存在，请求出符合条件的DM的长；若不存在，请说明理由．
【分析】 (1)作B关于AC 的对称点D，连接AD，CD，△ACD即为所求；
(2)作E关于CD的对称点E′，作F关于BC的对称点F′，连接E′F′，此时得到 四边形EFGH的周长最小，根据轴对称的性质得到BF′＝BF＝AF＝2，DE′＝DE ＝2，∠A＝90°，于是得到AF′＝6，AE′＝8，求出E′F′＝10，EF＝2即可得 到结论；
∴F，O，H′，C 在一条直线上，∵EG＝ 10，∴OF＝EG＝ 10，∵CF＝2 10， ∴OC＝ 10，∵OH′＝OE＝FG＝ 5，∴OH′＜OC，∴点 H′在矩形 ABCD 的内 部，∴可以在矩形板材 ABCD 中，裁得符合条件的面积最大的四边形 EFGH′部 件，这个部件的面积＝12EG·FH′＝12× 10×( 10＋ 5)＝(5＋5 2 2)(平方 米)，∴当所裁得的四边形部件为四边形 EFGH′时，裁得了符合条件的最大部 件，这个部件的面积为(5＋5 2 2)平方米
专题12 电荷间的相互作用规律-2021高考物理一轮复习压轴题剖析(电磁学部分)(解析版)
专题12电荷间的相互作用规律压轴题一、单选题1．如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为0k 的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A 球连接。
A 、B 、C 三小球的质量均为M ，A 00q q =>，B 0q q =-，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。
已知静电力常量为k ，则（）A ．0C 47q q =B ．弹簧伸长量为sin Mg k αC ．A 球受到的库仑力大小为2Mg D．相邻两小球间距为q 【答案】A【解析】AD ．三小球间距r 均相等，对C 球受力分析可知C 球带正电，根据平衡条件：0C 0C22sin (2)q q q q Mg kk r r α+=对B 小球受力分析，根据平衡条件：20C 022sin q q q Mg k k r rα+=两式联立解得：0C 47q q =，r q =A 正确，D 错误；B ．对A 、B 、C 三小球整体受力分析，根据平衡条件：03sin Mg k xα=弹簧伸长量：03sin Mg x k α=，故B 错误；C ．对A 球受力分析，根据平衡条件：sin Mg F kx α+=库解得A 球受到的库仑力为：2sin F Mg α=库故选A ．2．如图所示质量为m 、电荷量为q 的带电小球A 用绝缘细线悬挂于O 点，带有电荷量也为q 的小球B 固定在O 点正下方绝缘柱上.其中O 点与小球A 的间距为l ．O 点与小球B ，当小球A 平衡时，悬线与竖直方向夹角30θ=︒，带电小球A 、B 均可视为点电荷，静电力常量为k ，则()A ．A 、B 间库仑力大小222kq F l=B ．A 、B 间库仑力3F =C ．细线拉力大小223T kq F l=D ．细线拉力大小T F =【答案】B【解析】A 的受力如图所示，几何三角形OAB 与力三角形相似，由对应边成比例T F mg =，则3T F =，由余弦定律AB l ==，则2233T kq F F l===，故B 正确．3．如图所示，两个相同的小球AB 用等长的绝缘细线悬挂在竖直绝缘的墙壁上的O 点，将两小球分别带上同种电荷，其中小球A 的电荷量为q 1，由于库仑力，细线OA 恰好水平．缓慢释放小球A 的电荷量，当细线OA 与竖直方向夹角为60°时，小球A 的电荷量为q 2．若小球B 的电荷量始终保持不变，则q 1：q 2的值为（）A．BC:1D．【答案】D【解析】受力分析如图所示，利用相似三角形可知2sin 2C F mg L L θ=，由库仑定律可知22sin 2C kQqF L θ=（），可得q =238sin 2mgL kQ θ，即331212:sin:sin :122q q θθ==，故D 正确；ABC 错误；故选D 4．如图所示，A 、B 是两个带异号电荷的小球，其质量相等，所带电荷量分别为q 1，q 2，A 球刚绝缘细线悬挂于O 点，A 、B 球用绝缘细线相连，两细线长度相等，整个装置处于水平匀强电场中，平衡时，两细线张紧，且B 球恰好处于O 点正下方，则可以判定，A 、B 两球所带电荷量的关系为（）A ．q l =-q 2B ．q l =-2q 2C ．2q 1=-q 2D ．q 1=-3q 2【答案】D【解析】设OA 绳子对A 球的作用力为1F ，AB 球之间的作用力为2F ，对A 和B 整体分析，有平衡条件可得1cos 2F mg θ=，112sin F q E q E θ=-，对B 球受力分析，有平衡条件可得2cos F mg θ=，22sin F q E θ=，由以上4式可得两球的电荷量的关系为123q q =，又因为两球是异种电荷，所以D 正确．5．A 、B 两带电小球，质量分别为m A 、m B ，电荷量分别为q A 、q B ，用绝缘不可伸长的细线如图悬挂，静止时A 、B 两球处于同一水平面．若B 对A 及A 对B 的库仑力分别为F A 、F B ，则下列判断正确的是（）A ．F A <F BB ．AC 细线对A 的拉力2ATA m F g =C ．OC 细线的拉力F TC =(m A +m B )gD ．同时烧断AC 、BC 细线后，A 、B 在竖直方向的加速度不相同【答案】C【解析】A 、两球间的库仑力是作用力与反作用力，大小一定相等，与两个球是否带电量相等无关，故A 错误；B 、对小球A 受力分析，受重力、静电力、拉力，如图：根据平衡条件，则有：30A TA m g F cos =︒，因此：233TA A F m g =，故B 错误；C 、由整体法可知，细线OC 的拉力等于两球的重力，故C 正确；D 、同时烧断AC 、BC 细线后，A.B 在竖直方向重力不变，所以加速度相同，故D 错误；故选C ．6．用等长的两根轻质绝缘细线，把两个带异种电荷的小球a 、b 悬挂起来，已知2a b m m =，3a b q q =，如果该区间加一水平向右的匀强电场，且绳始终拉紧．最后达到的平衡状态可以表示为图中的（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对整体分析，整体的受力分析图如左图所示，可知绳子拉力方向斜向左上方，与竖直方向的夹角：2tan 3qEmgα=；隔离对b 分析，b 受力图如右图所示，绳子拉力方向斜向右上方．绳子与竖直方向的夹角tan tan qEmgβα=>，即β>α，所以b 球处于虚线左侧位置．故A 正确，BCD 错误．故选A ．7．如图a 所示是卡文迪许扭秤实验（实验Ⅰ）和库伦扭秤实验（实验Ⅱ）的原理图，同学们在仔细观察这两个实验后发现：实验Ⅰ测量的是两组质量为分别为M 和m 的两球之间的引力；实验Ⅱ测量的只有一组点电荷Q 与q 之间的引力，扭秤另外一端小球不带电．分析两实验的区别，同学们发表了以下观点，正确的是：（）A ．甲同学认为：实验Ⅰ需要两组小球而实验Ⅱ只需要一组带电小球的原因是质点间的万有引力很小，而电荷间的静电力很大B ．乙同学认为：实验Ⅰ需要两组小球而实验Ⅱ只需要一组带电小球的原因是实验Ⅰ是在空气中完成的，而实验Ⅱ需要在真空进行C ．丙同学认为：在实验Ⅰ中若只用一组小球进行实验，如图b 所示，则对实验结果并无影响D ．丁同学认为：在实验Ⅱ中无论用两组还是一组带电小球进行实验，对实验结果并无影响，但在实验Ⅰ中若按图b 只用一组小球进行实验，则对实验结果产生较大影响【答案】D【解析】在实验Ⅰ中必须要有两组小球，假设只有一组小球，则受力情况如图所示：此时扭称无法扭转，实验无法完成．实验Ⅱ中，由于另一个小球不带电，故一组带点小球也可完成实验．故D 正确，ABC 错误．8．如图所示，直径为L 的光滑绝缘半圆环固定在竖直面内，电荷量为q 1、q 2的两个正点电荷分别置于半圆环的两个端点A 、B 处，半圆环上穿着一带正电的小球（可视为点电荷），小球静止时位于P 点，PA 与AB 间的夹角为α．若不计小球的重力，下列关系式中正确的是（）A ．321tan q q α=B ．221tan q q α=C ．312tan q q α=D ．212tan q q α=【答案】A【解析】对小球进行受力分析如图所示：根据库仑定律有：F 1=k 121 q q r ，r 1=Lcosα…①F 2=k 222q q r ，r 2=Lsinα…②根据平衡条件有：F 1sinα=F 2cosα…③联立①②③解得：tan 3α=21q q ，故BCD 错误，A 正确．故选A ．二、多选题9．如图所示，绝缘底座上固定一电荷量为8×10-6C 的带正电小球A ，其正上方O 点处用轻细弹簧悬挂一质量为m =0.06kg 、电荷量大小为2×10-6C 的小球B ，弹簧的劲度系数为k =5N/m ，原长为L 0=0.3m 。
2024年中考数学二次函数压轴题专题12菱形的存在性问题(学生版)
专题12菱形的存在性问题_、知识导航作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：(1)有一组邻边相等的平行四边形菱形；(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(3)四边都相等的四边形是菱形.坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法.和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直"或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCQ是菱形，则其4个点坐标需满足：工人++X D<Zi+%=%+为W a-乌尸+(为-％尸=j(Xc-乌尸+(%-无尸考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等.即才艮据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同.因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：(1)2个定点+1个半动点+1个全动点(2)1个定点+3个半动点解决问题的方法也可有如下两种：思路1:先平四，再菱形设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+O8+Q”(AC、BQ为对角线)，再结合一组邻边相等，得到方程组.思路2:先等腰，再菱形在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点.1.看个例子：如图，在坐标系中，A点坐标（1,1）,B点坐标为（5,4）,点。
在尤轴上，点。
在平面中，求。
点坐标，使得以A、B、C＞。
为顶点的四边形是菱形.2BA思路1：先平四，再菱形设。
点坐标为（秫，0）,。
点坐标为（p,q）.（1）当AB为对角线时，由题意得：（AB和CQ互相平分及AC=BC）l+5=m+p<1+4=0+q,解得: (m-1)2+(0-1)2=(m-5)2+(0-4)239 m=一89 p=-8 g=5（2）当AC对角线时，由题意得：（AC和BD互相平分及BA=BC）1+秫=5+p m=2fm=8l+0=4+g,解得：<Q=-2或<p=4(1-5)2+(1—4)2=(秫—5)2+(0—4)2q=—3q=—3（3）当AD为对角线时，由题意得：1+p=5+m m=1+2^/^m=1-2^6 l+q=4+0,解得：L=5+2#<L=5-2^ (1-5)2+(1—4)2=(1—弑+(1—0)2q=3q—3思路2:先等腰，再菱形先求点G点C满足由A、B、。
12专题、相对运动在压轴题中的妙用
相对运动解题
【知识要点】
【例题讲解】
类型一、几何最值中的相对应用巧解
例题1、成都中考题24题
24. 如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 方向平移得到△'''A B D ，分别 连接'A C ，'A D ，'B C ，则''A C B C 的最小值为______.
类型二、函数综合题中的相对运动
先来解决一道反比例函数题目
1、(2019•金牛区校级模拟）如图，反比例函数y ＝ 图象与直线y ＝−x 交于A ，B 两点，
将双曲线右半支沿射线AB 方向平移与左半支交于C ，D ．点A 到达A ′点，A ′B ＝BO ，CE ＝6根号2，则k ＝
D'
B
25．（成都中考25题4分）设双曲线y=k
x（k＞0）与直线y＝x交于A，B两点（点A在第
三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，
PQ为双曲线的“眸径“，当双曲线y=k
x（k＞0）的眸径为6时，k的值为．
【变式训练】
2、如图，已知∠MON＝45°，矩形ABCD的顶点A、D分别是边OM、ON边上的动点，且AD＝4，AB＝2，则OB长的最大值为（）
【课堂总结】
1.
2.
3.
4.。
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专题12 压轴题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB 于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是2．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是A．y=–（x+1）2+2 B．y=–（x–1）2+4C．y=–（x–1）2+2 D．y=–（x+1）2+43．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤4．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是A．4.8 B．5C．6 D．7.25．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为A．6 B．C．2 D．6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（1-，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c>3b；③8a+7b+2c>0；④若点A（–3，y1）、点B（12-，y2）、点C（72，y3）在该函数图象上，则y1<y3<y2；⑤若方程a（x+1）（x–5）=–3的两根为x1和x2，且x1<x2，则x1<–1<5<x2．其中正确的结论有A．2个B．3个C．4个D．5个7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是A．CE B．CE DEC．CE=3DE D．CE=2DE8．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CADA．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9．已知点D为∠ABC的一边BC上一定点，且BD=5，线段PQ在∠ABC另一边AB上移动且PQ=2，若sin∠B=35，则当∠PDQ达到最大值时PD的长为__________．10．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x–6上时，线段BC扫过的面积为．11．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=CB=12，∠ABC=90°，点D为AC上一点，tan∠ADB=3，过D作ED ⊥BD，且DE=BD，连接BE，AE，EC，点F为EC中点，连接DF，则DF的长为__________．12．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B 、C 两点），将△ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将△CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ．以下结论：①△CMP ∽△BPA ；②四边形AMCB 的面积最大值为10；③当P 为BC 中点时，AE 为线段NP 的中垂线；④线段AM 的最小值为ABP ≌△ADN 时，BP =4．其中正确结论的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C 1：y =23622x x ++的顶点为M ，与y 轴相交于点N ，先将抛物线C 1沿x 轴翻折，再向右平移p 个单位长度后得到抛物线C 2，直线l ：y =kx +b 经过M ，N 两点． （1）结合图象，直接写出不等式23622x x kx b ++<+的解集；（2）若抛物线C 2的顶点与点M 关于原点对称，求p 的值及抛物线C 2的解析式；（3）若直线l 沿y 轴向下平移q 个单位长度后，与（2）中的抛物线C 2存在公共点，求34q -的最大值．14．如图，平面直角坐标系中，O 为菱形ABCD 的对称中心，已知C （2，0），D （0，–1），N 为线段CD 上一点（不与C 、D 重合）．（1）求以C 为顶点，且经过点D 的抛物线解析式；（2）设N关于BD的对称点为N1，N关于BC的对称点为N2，求证：△N1BN2∽△ABC；（3）求（2）中N1N2的最小值；（4）过点N作y轴的平行线交（1）中的抛物线于点P，点Q为直线AB上的一个动点，且∠PQA= ∠BAC，求当PQ最小时点Q坐标．15．问题探究：在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．探究1：如图1，若点P是对角线BD上任意一点，则线段AP的长的取值范围是__________；探究2：如图2，若点P是△ABC内任意一点，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当AP的值在探究1中的取值范围内变化时，△PMN的周长是否存在最小值？如果存在，请求出△PMN周长的最小值，若不存在，请说明理由；问题解决：如图3，在边长为4的正方形ABCD中，点P是△ABC内任意一点，且AP=4，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当△PMN的周长取到最小值时，求四边形AMPN面积的最大值．参考答案 一、选择题 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】B 二、填空题9． 10．【答案】16 11．【答案】2 12．【答案】①②⑤ 三、解答题13．【解析】（1）∵y =23622x x ++=23(2)42x +-，∴M （2-， 4-）．（2分）观察函数图象，可以发现：当20x -<<时，抛物线C 1在直线l 的下方， ∴不等式23622x x kx b ++<+的解集为20x -<<．（3分）（3）令y =23622x x ++中x =0，则y =2，∴N （0，2）；将M （2-，4-）、N （0，2）代入y =kx +b 中，得242k b b -+=-⎧⎨=⎩，解得32k b =⎧⎨=⎩，∴直线l 的解析式为32y x =+．（8分）∵若直线l 沿y 轴向下平移q 个单位长度后与抛物线C 2存在公共点， ∴方程2362322x x x q -+-=+-有实数根，即236820x x q -+-=有实数根，∴2(6)43(82)60240q q ∆=--⨯⨯-=-+≥，解得：52q ≥．（10分） ∵40-<，∴当q =52时，34q -有最大值，最大值为53431072-⨯=-=-．（12分） 14．【解析】（1）由已知，设抛物线解析式为y =a （x –2）2． 把D （0，–1）代入，得a =–14， ∴y =–14（x –2）2； （2）如图1，连接BN ．∵N 1，N 2是N 的对称点，∴BN 1=BN 2=BN ，∠N 1BD =∠NBD ，∠NBC =∠N 2BC ，∴∠N 1BN 2=2∠DBC ． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ，∠ABC =2∠DBC ， ∴∠ABC =∠N 1BN 2，1AB BN =2BCBN ，∴△ABC ∽△N 1BN 2； （3）∵点N 是CD 上的动点，根据点到直线的距离，垂线段最短， 得当BN ⊥CD 时，BN 最短． ∵C （2，0），D （0，–1）∴CDBN min=×BD CO CDBN 1min =BN min∵△ABC ∽△N 1BN 2，∴1AB BN =12 AC N N ，∴N 1N 2min =165； （4）如图2，不妨设P （m ，–14（m –2）2），则E （m ，12m +1）， ∴PE =14m 2–12m +2，∴当m =1时，PE min =74，∴P （1，–14），∴Q 1（–52，–14）．此时，PQ 1最小，最小值为1–（–52）=72，∴PQ 1=PQ 2=72．设Q 2（n ，12n +1），∵P （1，–14），∴PQ 272， ∴n =–52或n =3110，∴Q 2（3110，5120），∴满足条件的Q（–52，–14）或（3110，5120）．15．【解析】（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，边长为4，∴AC⊥BD，AC=BD，∴当P与O重合时，PA的值最小最小值，当P与B或D重合时，PA的值最大，最大值为4，∴≤PA≤4．故答案为≤PA≤4．（2）存在．理由：如图2中，作点P关于AB、AC的对称点E、F，连接EF交AB于M，交AC于N，连接AE、AF、PA．∵PM+MN+PN=EM+MN+NF=EF，∴点P位置确定时，此时△PMN的周长最小，最小值为线段EF的长，∵∠PAM=∠EAM，∠PAN=∠FAN，∠BAC=45°，∴∠EAF=2∠BAC=90°，∵PA =PE =PF ，∴△EAF 是等腰直角三角形，∵PA EF 的最小值为2， ∴△PMN 的周长的最小值为2．∴△AMN 的面积最小时，四边形AMPN 的面积最大，易知当PA ⊥MN 时，△AMN 的面积最小，此时OA ，OM =ON =OP =4–∴MN =8–，∴S △AMN =12×（8––8，∴四边形AMPN 的面积的最大值=8–（–8）=16–．。