北大版高等数学第三章积分的计算及应用答案习题3.5
高等代数(北大版第三版)习题答案I
高等代数(北大版第三版)习题答案I篇一:高等代数(北大版)第3章习题参考第三章线性方程组1.用消元法解以下线性方程组:?x1?x?1?1)?x1x1x13x25x34x413x22x32x42x2x3x4x54x2x3x4x52x2x3x4x5 x12x23x42x51x5??1?x1x23x3x43x523 2)2x?3x?4x?5x?2x?72345?139x9x6x16x2x252345?11x3?x7?0?3x1?4x2?5?x1?2x2?3x3?4x4?44x3?x2?0?x2?x3?x4??3?2x1?3x2?343)?4)?4x?11x?13x?16x?0x?3x??x?123424?1?17x?3x?x3?7x?2x?x?3x0234234??1?x1?2x2?3x3?x4?1?2x1?x2?x3?x4?1?3x1?2x2?x3?x4?13x1?2x2?2x3?3x4?25)? 6)?2x1?3x2?x3?x4?12x2x2xx15x1x2x32x4123412xxx3x4234?15x1?5x2?2x3?2解1)对方程组得增广矩阵作行初等变换,有111111000033?2?420000?1521112?3?20?1?4?2?11?1?1200101?1?11010001??110??30??3??01?011?200?0000030?5?7?10000?15?3?4?4?400?200423581200001?1?11010001?2?2? ?221?2?0? ?0?0由于rank(A)?rank(B)?4?5,因此方程组有无穷多解,其同解方程组为x1x412x1x52,?2x03x?x?0?24解得x1x2x3x4x51kk0k22k其中k为任意常数。
2)对方程组德增广矩阵作行初等变换,有112910 ??002?1?3?920?3463151632?3221??120?0725022?3?7?27120?346341110?2?5?2?1631?1 5161334512529?8?011??333033?2529??72?10??334?512529? 8001?1?3330000??01?由于rank(A)?4?rank(A)?3,因此原方程无解。
北大版高等数学第三章 积分的计算及应用答案 习题3.1
31.∫
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 dx 2 1 u 2 du 1 = ∫ ∫ x 4 1 + x 2 2 1 + u (u = x 2 ) 2 x6 1 + x2 x 7 1 + x 2 2 2 1 (v 1) 1 v 2v + 1 dv(v = 1 + u ) = ∫ 1/ 2 dv = ∫ 2 v 2 v1/ 2 1 = ∫ (v3/ 2 2v1/ 2 + v 1/ 2 )dx 2 1 12 5 2 3 = v 2 2i v 2 + 2i v 2 25 3 dx =∫ dx = 1 1 2 2 1 2 1 2 = 1 + 2 + 1 + 2 1 + 2 + C 5 x 3 x x
33.∫ dx 3 + x x2 x =∫ dx 1 1 3 x + 2 4
2
=∫
1 dx 2 13 1 x 4 2
2
= arcsin
1 2 + C = arcsin 2 x 1 + C. 13 13 2
2 2 2
1 1 29 1 1 34.∫ 7 + x x dx = ∫ 7 x + dx = ∫ x d x 2 4 4 2 2 1 2 x 1 1 29 1 29 2 +C = x x + arcsin 2 2 4 2 8 29 2 2x 1 29 2x 1 = 7 + x x 2 + arcsin + C. 4 8 29
27.∫
x2 a2 dx(a > 0).x > 0时, 令x = a sec t , t ∈ (0, π / 2). x
微积分第三章习题参考答案
一.1. 2 x2e x2 e x2 c
.2.
x2 ln x
x2 c .
2
4
3. xf ( x) f ( x) c . 4. x ln x x c .
5. x arcsin x 1 x2 c .
6. 1 x cos 2x 1 sin 2x c 1 x sin2 x x sin 2x c .
6
t3 dt
t 1
6
(t 2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6ln(t 1) c
2 x 1 33 x 1 66 x 1
ln( 6 x 1 1) c.
p54.4.解法1:
1
x4 1 x4
I
x3(
x4
1 sin 2x 1 sin12x c.
4
24
( x 3)dx 1 (2 x 2)dx
2dx
6. x2 2x 5 2 x2 2x 5 x2 2x 5
1 ln( x2 2x 5) arctan x 1 c.
2
2
p54.三.1. 令x a sin t,
§3.2不定积分的换元法(53-54)
一.1. eex c , ln | ln x | c .
2. ln | x sin x | sin x 1 sin5 x 2 sin3 x c .
5
3
ln | sin x cos x | c n 2
3.
I
(sin
4.
微积分第三章习题参考答案
2t 3 3t 2 6t 6ln(t 1) c
2 x 1 33 x 1 66 x 1
6ln( 6 x 1 1) c.
p54.4.解法1:
1
x4 1 x4
I
x3(
x4
dx 1)
x3(
x4
dx 1)
(
1 x3
x
x4
)dx 1
1 2x2
1 arctan 2
x2
c.
解法2:I
2
当 1时,
x ln xdx 1 ln xdx1
1
x1 ln x 1 x dx
1 1
x 1 ln x
x 1
1 ( 1)2 c.
p56. 7.I0 x c, I1 x ln x x c,
In x lnn x n lnn1 xdx x lnn x nIn1
6. 2e x ( x 1) c . 7. 1 e2x2 c . 4
8. 1 x2 f ( x2 ) 1 f ( x2 ) c .
2
2
p59.二.1. esin x sin 2 xdx 2 esin x sin xd sin x
2 sin xdesin x 2esin x sin x 2 esin xd sin x
4. I x2 x4 c . 5. x 2sin t, x 3sec t . 4
da tan t
a sec2 tdt
p53.6.I
(a2 tan2 t a2 )3
a3 sec3 t
1 a2
cos tdt
1 a2
sin t
c
a2
x
c.
a2 x2
二.1. 2.
I 1 e2 x2 c; 4
北大版高等数学第三章积分的计算及应用答案习题
习题3.22222222222222222222111.ln ln ln ln 222111ln ln ln .222224111122.1212212ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax x x xdx xdx x x d xx x x x x x dx x xdx x C x x e dx x de x e e dx x e xe dxa a a a ax x e xde x e e e dx a a a a a x e a ==-=-=-=-+==-=-=-=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰求下列不定积分:2223223222122122.1113.sin 2cos 2cos 2cos 222211cos 2sin 2.244.arcsin arcsin arcsin arcsin 11arcsin 21ax ax ax ax ax x xde x e e e C a a a ax e x C aa a x xdx xd x x x xdxx x x C xdx x x xd x x x x x x x x =-++⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭=-=-+=-++=-=--=+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2arcsin 1.x x C - 2222222222225.arctan arctan arctan arctan 11(1)1arctan arctan ln(1).2121116.cos3cos3cos3cos32221313cos3sin 3cos3sin 322241x x x x x x x x xdxxdx x x xd x x x x d x x x x x x C x I e xdx xde e x e d xe x e xdx e x xde =-=-++=-=-+++===-=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()22222223cos3sin 33cos324139cos3sin 3,2444131cos3sin 32cos33sin 3.132413sin 37.sin 3sin 33cos3sin 33cos3sin 33x x x x x x x x x x x x x x x e x e x e xdx e x e x I I x x e C x x e C xI dx xde e x e xdxee x xde e x e -------+-=+-⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭==-=-+=--=--⎰⎰⎰⎰⎰()cos33sin 3x x e xdx -+⎰()sin 33(cos33),1sin 33cos3(sin 33cos3).1010x x x x xe x e x I e I e x e x C x x C -----=--+=--+=-++ ()()22222222118.sin sin sin cos 1sin cos 1sin cos sin 1sin cos .11sin cos ,1(sin co ax axax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax axb I e bxdx bxde e bx e bxdx a a abe bx bxde a a be bx e bx b e bxdx a a be bx e bx bI a ab I e bx e bx b a a a e I a bx b a b ===-=-=-+=-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭+=-+⎰⎰⎰⎰⎰s ).bx C +222222222222229.1919191921919191919,1911119ln(319)2231119ln(319).26I x dx x x x x x x dx x x I x I x x x Cx x x C =+=++=++⎛⎫=++- +⎝⎛⎫=+- +⎝=++++=+++⎰⎰2222222222210.cosh sinh sinh sinh sinh cosh .11.ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1.112.(arccos )(arccos )21(arccos )2arcco x xdx xd x x x xdx x x x C x x dx x x x xd x x x x x x x x x C x x dx x x dxxx x ==-=-++=++-++=+-=++++=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰)222s 1(arccos )211x x x x x dx-=--+⎰⎰22(arccos )212.x x x x x C =---+()2222222222arccos 1113.arccos (1)21arccos 12(1)2(1)1arccos .2(1)2114.arctan arctan 2(1)1arctan .,,22122arctan ,11arc x xdx xdx x x x x x x C x xxdx x x x xxdx x x x u x u dx udu xxdx u uduu u C x u =--=+---=++--=+====+==-+++⎰⎰⎰⎰⎰12()2arctan (arctan )(1)arctan .xdx x x x x C x x x x C x x x C =-+=+=+⎰ 22222222arcsin 1arcsin 15.arcsin 1arcsin 0)1/1arcsin arcsin ln |1/1/11/1arcsin ln(11ln arcsin ln(11ln ||(0)(x x dx xd x x x x x x x x x x x x x x C x x x x x x Cx x x x C x x⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭-=-+>-=--=---+-=-+--+=-+--+≠⎰⎰原函数为偶函数424322442423442442434).1(ln )12ln 16.(ln )(ln )444(ln )1(ln )1ln ln 4248(ln )1(ln )1ln ln .482488x x x xdx x x dx x dx xx x x x x xdx xdx x x x x x x x x dx x x C ==-=-=-=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰223/225/225/2arctan 1arctan (1)1217.arctan (1)(1)2(1)23x xdx xd x xd x x x -+⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰223/225/2arctan 1.tan ,(/2,/2).sec ,3(1)3(1)x dx x u u dx udu x x ππ=-+=∈-=++⎰ 3225/23322325/223/222323/223/22cos (1sin )sin (1)11sin sin ,3311arctan arctan 11(1)3(1)3311arctan 1.3(1)39(1)1dx udu u d u x u u C C x x x xdx x C x x x x x x C x x x ==-=+⎛⎫=-+=+++⎛⎫⎛⎫⎪=-++⎪++++⎭=-+++++⎰⎰⎰⎰ 222222222222222222222118.ln(1)ln(1)211ln(1)22111ln(1)221111ln(1)12221111ln(1)1ln(1)ln(1)222221ln(12x x x dx x x dx x x x x x x x x x x x x dx x x x x x x x x x x Cx x ++=++=++-+=++-+=++-+++⎛⎫+++=++-++++ ⎪ ⎪⎝⎭=++⎰⎰22211)1ln(1.44x x x x x C -++++。
高等代数(北大版)第3章习题参考答案
第三章 线性方程组1. 用消元法解下列线性方程组:123412345123451234512345354132211)234321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-+=-⎪⎪-+--=⎨⎪-++-=⎪⎪++-+=-⎩ 124512345123451234523213322)23452799616225x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-+=⎩ 1234234124234234433)31733x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨+++=⎪⎪-++=-⎩ 123412341234123434570233204)411131607230x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=⎪⎪-++=-⎩ 123412341234123421322325)521234x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=-⎪⎪-+-=⎩ 12341234123412341232313216)23122215522x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎪⎪+++=⎨⎪++-=⎪⎪++=⎩ 解 1)对方程组得增广矩阵作行初等变换,有135401135401132211003212121113054312141113074512121111014812--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→------⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦10210110010100321200021200200000200000000000000001110010000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦因为()()45rank A rank B ==<,所以方程组有无穷多解,其同解方程组为1415324122200x x x x x x x -=⎧⎪+=-⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩, 解得123451022x k x k x x k x k=+⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=--⎩ 其中k 为任意常数。
北大版高等数学第三章 积分的计算及应用答案 第三章总练习题
第三章总练习题111121221.N ew to n -L eib n iz 1(1).[1,1],.tan (2).tan (0,2)2tan2.,x x xd de d x e e d x d x x d x d x u x xf F F ππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+⎰⎰为什么用公式于下列积分会得到不正确结果?无界从而不可积在的一些点不可导.证明奇连续函数的原函数为偶函数,而偶连续函数的原函数之一为奇函数.设奇连续函数的原函数为 现在证明是偶证.()().(()())()()()()0,()(),(0)(0)0.()()0.,.()().(()())()()()()0,()().(0)0,(F x f x F x F x F x F x f x f x F x F x C C F F F x F x f F F F x f x F x F x F x F x f x f x F x F x C F C F ''''=--=---=---=--==--=--=''''=-+=--+=--+=--===函数设偶连续函数的原函数为现在证明是奇函数设则3003440010100)(0)0.()()0.sin ,0,3.()()()?0,0., 0,()()()sin co s |1co s .444.sin ().sin ()s b ab b b a aaabF F x F x x x f x f x f x d x a b x x f x d x f x d x f x d x x d x xd xxax b d x t d x d xd d x t d x d xd x--=-+=≥⎧==<>⎨<⎩=+=+=-=+-++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰求定积分其中求微商解解()()110001201/2221210221in ()sin (1)sin ().5.lim()(),().1lim()()().6.lim(1).(2)!!(1)co s.(21)!!2x xh x h u xh u xnn nn n n u d u x x f x h t d x f x f x f x h t d u f t d tf x hx d x n x d x td t I n I π+→+→=→∞+++=+-+='+==--===+<⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰试证明其中是实轴上的连续函数求极限证解12210(2)!!(21)!!1,(21)!!(22)!!1100(),lim(1)0.sin co s 7..2sin 3co s sin co s (2sin 3co s )(2sin 3co s )(2sin 3co s )(2co s 3sin )(23)sin (32)co s nn n n n n n n I n x d x x x d x x xx x A x x B x x A x x B x x A B x A B +→∞+=+++<<→→∞-=+-'+=-+-=-++=++-+⎰⎰令解,x23115,,.3211313sin co s 2sin 3co s (2sin 3co s )(2sin 3co s )2sin 3co s ln |2sin 3co s |15ln |2sin 3co s |.1313A B A B A B x xd x x x A x x B x x d xx xA xB x xC x x x C +=⎧=-=⎨-+=⎩+=-'-+-=-=+-+=-+-+⎰⎰222228.:2(1),ln (2),.22222222.(2)(2)222xxu d u x u x u d x uu d u d u x u uu u C C xex x e xd==+=+⎛⎫==- ⎪++⎝⎭⎛⎛=-+=-+ ⎝⎝=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰通过适当的有理化或变量替换求下列积分()24.2).22(3)33.(4)(11ln .2x C x C x CC d x x C ⎛⎫=+⎝=-++==-⨯=-=+-==-+⎰⎰⎰⎰⎰224444224222244sec tan(1)9..sin co s1tan11112111.21111((arctan1)arctansin co sd x xd x u d ux x x uuuu ud xx x+==++++⎛==++⎝⎛⎫⎪⎪=+⎪⎛⎛⎪++-+⎪⎝⎝⎝⎭=+++⎰⎰⎰⎰)1).110.()(,),,()()(),:()()( 3.424)11.()[,],()0.:(,),()0.,()(,),,TxbaCf x Tg x f x f x d xTh x g t d t Tf x a b f x d x a b cf cf x a b ff-+-∞+∞=-===⎰⎰⎰设函数在上连续以为周期令证明函数也以为周期.此即习题第题设函数在区间上连续且证明在内至少存在一点使若不然在没有零点由的连续性和连续函数的中间值定理在证证(,).()0,(,).,,,[,]0.()()()()()0..b c d ba a c da b f x x a b c d a c d b f c dmf x d x f x d x f x d x f x d x m d c>∈<<<>=++≥->⎰⎰⎰⎰不变号不妨设取满足则在取最小值于是矛盾22222212.[,],()0,:()0,[,].[,][,],|()||()|,[,].2|()|()()()0.2.bab ea da b f x d x f x x a bd e a bf cf x x d ef cf x d x f x d x d e=≡∈∈≠⊆>∈≥>->⎰⎰⎰设函数f在区间上连续且证明若不然,存在c[a,b],f(c)0.由f在c的连续性,存在区间矛盾证00222/200013.()(-,),(1),()();sin(2);1co s4sin1(3)(1co s sin()()()()().a aa a aaf xa f x d x f a x d xx xd xxxd xx xf x d x x a t f a t d t f a t d t f a x d xπππ∞+∞=-=+=++=-=--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设在上可积证明对于任意实数有证(1)22220211022222sin ()sin ()sin sin (2),1co s 1co s 1co s 1co s sin co s arctan |.21co s 21co s 14sin sin (/2)(3)co s sin co s(/2)s x x x x x x xI d x d x d x d x I x x xx xd xd x d uI u xxux x I d x x xx ππππππππππππππππ--==-==-++++==-===+++-==+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰/2/20222/2/2/20/2/2/2in (/2)co s co s sin ,2co s sin co s sin co s sin 1|csc(/4)co t(/4)||co s sin 11ln1ln co s s 4d xx x xx d x I d x d xx xx xx xd x d xd x x x x xππππππππππππ==++++===+-++⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=+-⎥ ⎪⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11),in 411).I π⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭=232221123222014.()(23)m /s .004m /s,(1);(2)3(1)()23,3,4,34,4,3230.()4.34(4)(1)0, 4.32(5)a t t t x v tx t t x t t C C x t t x t t C tC x t t t x t t t t t s x =-===-''''=-=-+-==--=--+'==--=--=-+===一质点作直线运动,其加速度若时且求质点改变动方向的时刻头5秒钟内质点所走的总路程.解3322543343(4)|(4)|424m.32322t t t t x x t t t t ==⎛⎫⎛⎫-+=-----=⎪⎪⎝⎭⎝⎭000200022002200215.100m ,10.2s,25m ,25m ., 0;(), 10.2., 0;()210.2./2/2253m /s .10010.2a t t t v t a t t t a tt t s t a t t C t t a t a t Ca t a a t C ≤≤⎧=⎨≤≤⎩⎧≤≤⎪=⎨⎪+≤≤⎩⎧=+⎪=≈⎨⎪=+⎩一运动员跑完共用了在跑头时以等加速度进行然后保持等速运动跑完了剩余路程.求跑头时的加速度解16.(1):利用积分的几何意义证明111111ln,1,2,111(2)1ln ,211111ln ,21,.111(3)lim 1ln E u ler 211ln |111ln (1)ln lnn n n n n n n n n nnn n n n nx n n y n n nx y n n n d x d x x n n xn n n n→∞++++<<=+=+++--=++++--⎛⎫++++- ⎪-⎝⎭=<=+++=+-=<⎰⎰令证明序列单调上升而序列单调下降证明极限存在(此极限称为常数).证 (1)1121.1111(2)1ln (1)1ln 22111ln 10((1)).111111ln (1)1ln 21211ln 10((1)).1(3)1ln 20(2)n n n n n n d x n n x x n n n n n n y y n n n n n n n y x x n ++=⎛⎫⎛⎫-=+++-+-+++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-=++++-+-+++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭>>=->>⎰由由n +1n11/22111/1/2222112.,lim .17.:0,11.111111(1/).111/118.()(,),,(2)().2,()0.(2)()n n n xxxxxay y x d t d t ttd t x u d x d t tuutf x x f x f x a f x d x f x f x →∞>=++==⨯=+++-∞+∞-=-≠=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰单调下降有下界故有极限证明当时设在上连续(书上为可积,欠妥)且对一切实数均有求实数使条件证解(22220221(11)(11))()(2)(),()0.0.19.ln (1)arctan ,0 1.11,[0,1],[0,],1111ln (1)arctan ,0 1.20.(1)x x f x f x f x f x d x f u d u f u d u f x d x a x x x d t d t t x ttttx x x =+-=-+-=-=-==+≤≤≤≤∈≤+++++≤≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰相当关于为奇函数取即可利用定积分的性质,证明不等式在上积分得设证()()[0,];()()2(2)a f x d x a f x a d x f x f a x =+-⎰在上可积,证明利用(1)中的公式求下列积分的值:22/2222sin ;22sin co s ()()(1)()()()()()()2()()()()()(-)1,.()()()()22a a a a a a a xx d x d xx x x xf x f a u I d x d uf x f a x f u f a u f x f a u I d x d uf x f a x f u f a u f x f a x a d x d x d x a I f x f a x f x f a x xx x π-++-==+-+--=++-+-=+===+-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰证解(2)22222/20222 2.2(2)2sin /2.sin sin (/2)24xd x d x x x xd x x x ππππ==⨯=++-==+-⎰⎰⎰tan 2sin tan tan 22sin sin tan 22222sin tan 32222sin 2()21.()(1).()(1)tan sin ,()sec co s tan sec sin co s sec co s tan sec sin co s 3sec x xx x x xx xxxd f x f x xt d td x d xf x xt d t x x x t d t d f x x x x x x x x x t d td xt x x x x x x x x =+=+=-+=-+-+=-+-+==⎰⎰⎰⎰设求解()()22233222331co s tan sec sin co s tansin 31sec (1tan )co s (1sin )tansin .3x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+-=+-++-()/22/2/22/220/20/2/2022.co s 3.11co s 3(1co s 6)sin 6|.2412423.|sin co s |.|sin co s ||sin co s ||sin co s ||sin co s ||sin ()2I d I d d I x x d x x x d xx x d x x x d x x x d x t ππππππππππθθππθθθθθπ===+=+==--=-+--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰求定积分的值求定积分的值解解I =22=2()()()()/20/2/20/4/2/20/4/4/2/2/40co s()|2|sin co s ||co s sin |(co s sin )(sin co s )(co s sin )2sin co s |(co s sin )|(sin co s )|t d x x x d x t t d xx x d x x x d x t t d xx x x x x x ππππππππππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-++=-+-++=++--+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰221010101010100110()/224.0,.2x x x x x x x x x x x x x x I x I xxx x x x u x --<<====+⎛⎫==- ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰设求定积分的值解10()/210222102()2arcsin().28x x a aux x x a u a a x x aππ--==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-==⎰⎰4342(2)16468 4.y x x x y x x x =++-=++-与43323242224342442432164164684,680,6840,680,(2)(4)0,2,4.{(164)(684)][(684)(164)]y x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x S x x x x x x d xx x x x x x d x⎧=++-⎪+-=+--+=⎨=++-⎪⎩=-+=--===++--++-+++--++-⎰⎰解222212552233532325.:(1)6827.682768,278150,(3)(5)0.3, 5.(27(68))(815)4415.33y x x y x y x x x x x y x x x x x x x S x x x d x x x d xx x x =-+=-⎧=-+-=-+⎨=-⎩-+=--====---+=-+-⎛⎫=-+-=⎪⎝⎭⎰⎰求下列曲线所围图形的面积与解/2/2/4/45/45/4/2/2(4)sin ,cos /2.(sin -cos )(cos sin )|1;(sin cos )(cos sin )| 1.y x y x x S x x dx x x S x x dx x x πππππππππ=====--==-=--=⎰⎰与解/21102/211226.co s ,1/2,,.,)2arcco s 2arcsin 2(1co s 2).242arcsin arcsin y x y x x V V V x d x y y d y y yd y V x d x V y yd y yd yππσπσππππππππ===⎛⎫=-==⎪⎝⎭=-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰设区域由曲线及所围成将绕轴旋转一周得一旋转体试用两种不同的积分表示体积并且求的值. 2解V =(1-c o s 24323222444323202(68)(68)24248.44x x x d x x x x d xx x x x x x =-++-+-⎡⎤⎡⎤=-++-+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰2222212321(3)1 3.(3)1,7100,(2)(5)0,2,5.1,2.[(3)(1)]92.322y x y x x x x x x x x y S y y d x yy y --=-=--=--+=--===-=+-+⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭⎰与解4π2π54π112212222arcsin ()1arcsin .22244y y y xyπππππππ=-⨯⎤=-=-=⎥⎦⎰22111/21/2200213397200257025027.:(1)arcsin |.4612(2)(918055801)400.28.()[0,7],()5,()6,() 3.(1)();(2)x xxx d x f x f x d x f x d x f x d x f x d x f πππ-===-=-++====⎰⎰⎰⎰⎰⎰求下列定积分的值设在上可积且一直已知求的值求7552500277557755().(3):(5,7),()0.(1)()()()5611.(2)()()()3118.(3),()0,(5,7),()0,()80,.x d x f x f x d x f x d x f x d x f x d x f x d x f x d x f x x f x d x f x d x <=+=+==-=-=-≥∈≥=-<⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰的值证明在内至少存在一点使若不然但是矛盾解证2/23/21/2/2/2/2/232111, 2,129.()sin ,(),()2, 2.(1)()();(2)()();(3)()().(1)()()sin 0.(2)()()()()()xx f x x h x g x x x f x g x d x g x h x d x f t g t d x f x g x d x xd x g x h x d x g x h x d x g x πππππππππ----≤≤⎧===⎨<≤⎩===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设试求下列定积分的值或表达式:解322323221212/22/2/22()12125.6sin co s ,2(3)()()sin 2sin co s 22co s ,2.xxx h x d x d x d x xxxxtd t x t x f t g t d x td t td t x x πππππ=+=--=⎧=--≤≤⎪=⎨⎪+=-<≤⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()30()[,](0),()()()()()().b f b af a f x a b ag y f x f x d x b f b a f a g y d x >=--⎰⎰设函数在区间上连续,严格单调递增是的反函数,利用定积分的几何意义证明下列公式并作图解释这一公式.解11()10031.(1)()[0,),()0,0()()()()()()()(*).00(0),()a B a aa x x x a B a B x d x x d xx x x d x x d x a a B B x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---+∞→∞→+∞≥≥≤++==>=→∞→+∞⎰⎰⎰⎰⎰设函数在上连续且严格单调递增又设当+时且(0)=0.证明:对于任意实数,下列不等式成立:其中是的反函数.由题时不等式显然成立.设由于+时证30,111101100()11()1()1,0,(),[0,],,0,().,*)()().,()()()()()()()()(())(a B aBa a B a Ba a a B a a a B a a a B x d x x d x a a x d x x d xx d x x d x x d xa a x d xa a a B ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ------'>''>>===+>+=++=++≥+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰存在在连续根据连续函数的中间值定理存在若则由(得若则1100()()11()11()).,()()()()()()()()(())(()).11(2)(1),0,,11,M in k o w sk i.1aB a a a Ba B pqa a B a a x d x x d xx d x x d x x d xa a x d xa a a a B a B ab p q p qaba b pqp ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ------=<+=+-=-≥--=≥≥+=≤+>⎰⎰⎰⎰⎰⎰若则利用中的不等式,对于任意实数证明下列不等式不妨设证111/(1)1/(1)1/(1)1/0.(),()..1/(1)1/(1)p p pp pp p pqa b ppx x x x abababa b x d x xd x pp pp p pqϕϕ----+-==≤+=+=+=+-+-⎰⎰在中取则(1)232.0,,1,112.xa a y y x a y π>=+===设求的值使由曲线及所围成的区域绕直线旋转所得之旋转体的体积等于b22222202222220002.)2,112,22,2,18,2ln 9,44aa x aa a x x u a d x d x xe d x e d x e d u e a a ππ=====-===⎰⎰⎰⎰⎰20解(y -1) 20033.1sin 21co s 43(1sin 2)(12sin 2).22r S d d ππθθπθθθθ=+-=+=++=⎰⎰作由极坐标方程所确定的函数的图形,并求它所围区域的面积.解。
北大版高等数学课后习题答案_完整版
习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10n n nn a b a b mn b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.(1,)1).13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).yy xx x xyxx x x x x x xx xx x xy y x=+∞===<>++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题1.4221.-(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,|,,||.,||,|,(2)0x ax a x a x a x ax aa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→=>===∀>=<<<-<=-<<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当 时从而求下列极限证3.:2002222200000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.2222(3)0).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3244.63(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nnnx y y x x x x n n ny y y x y n x y y→-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===-1011001001010010120.(12)lim (0)./,(13)lim(0)0, , .(14)lim lim 1x m m m mnn n x n n m m m n nx nx x a x a x a a b b x b x b b a b m na x a x a ab n m b xb x b m n x --→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩=+21.11/x =+033233223220312(1212)5lim(112)55lim .3(112)(16)0,l x x x xx x x x x x xx x x x x x a →→→→-+=+-+-=++-+==++-+>00im lim lim x a x a x a →+→+→+⎛⎫=⎛⎫=00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)limlim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=-利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.5222 21.(2)sin5.(1)0,|.,,|||||,0555()(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.22xx x axx x x xx a x ax aεδεεεδδεεε-==∀>=<≤<<=<<=+-∀>-=<试用说法证明连续在任意一点连续要使只需取则当时有连续.要使由于证000000555()2|cos||sin|5||,5||,||,225,|||sin5sin5|,sin55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x ax a x a x ax a x a x x a y f x x f x x x f xf x x f x x xf xεεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000 )()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f xεδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-<于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证0001,,(),()|11,ln(1),1,0,(1)()(2)()arccos, 1.0;lim()lim1(0),lim()(0)x x xxf x f xxax xxf x f xa x xa x xf x f f x fπ→-→→+⎧=≡⎨-⎩+≥⎧<==⎨<+≥⎩⎪⎩=====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)11112sin2limsin31.(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,ln2.5.3:(1)lim cos lim cos0 1.(2)lim(3)lim xx x x xx xxxxxaf x x f f x a x a fae eπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin22sin33.(4)lim arctan arctan1.4xxx xeπ→∞→∞====()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→=====>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式()或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++-等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求003,;2(2)()0?(3)()?391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b an a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下 当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若 则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设 在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nnn r x x x x n n n r e x x E x E x E x e ee e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解33332233222 00002.,:(1);(2)0;(3)sin5.()(1)lim(33)lim lim(33)3. (2)lim limlimxx xx xxy ax y p y xa x x axyxx x x x x x xa a x x x x axxyx∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆'==∆=根据定义求下列函数的导函数解00000limlim5(2)52cos sinsin5()sin522(3)lim lim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim5lim cos lim5522xxx xx x xx x xx x xyx xx x x xx xx→→∆→∆→∆→∆→∆→===+∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆5cos5.2xx=00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln2,(0)ln2,1ln2(-0),(ln2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)xxy f x M x f xy M y x By y y x y xy x y y xy px p M x y x y===+''==-==+ ''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2pF x⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴2000,().(),.,2,.2,.p py y M PMN Y y X x yy p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程:切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()limxx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos sin 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-22222222224.:1(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa a x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>==-'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln(0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'=+==+=>⎛⎫'=++===≠±+22222222221.112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22x xyx xxxy a bxyxx xa b a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=++++ '=+⎡⎤'='=='==y y'==(13)ln(121(14)(ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e y x y y x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'==+==-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8()16sin811()8,,,()16.2161616m/s.x t t x t t t t t x ππππαπππ='=-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos)2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-=求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--。
北大版高等数学第三章 积分的计算及应用答案 习题3.5
习题3.2132122.,1.43(.22xy x y yyS y d y y===⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭⎰与解222232132313.21 1.21(1)21,140,0,1;4, 3.11(1)23116.2263y x x yy xx xx yx x x y x yS y y d xyy y--=+-=⎧=+-=+⎨-=⎩-===-==⎛⎫=+--⎪⎝⎭⎛⎫=+-=⎪⎝⎭⎰与解2222225.42.442,2y x y x xy xx x xy x x=-=--⎧=-⎪-=--⎨=--⎪⎩与解2224221123/22: 1..,,(1)(1)0,0, 1.211).333 y x x yy xx xx yx x x x x xS x d x x x==⎧=⎪=⎨=⎪⎩-++===⎛⎫==-=⎪⎝⎭⎰求下列曲线所围成的的图形的面积与求交点解:22222242400/22422(sin)4.0 02(a>0)(1co s)(1co s)(sin)(1co s)4sin8sin2316sin164223.x a t ty ty a tS a t d a t ta t d tta d t a ud ua ud u aaππππππππ=-⎧=≤≤⎨=-⎩=--=-=====⎰⎰⎰⎰⎰与212122212213222240,(22)(2)0,2, 1.(24)(224)249.3x x x x x x S x x x d xx x d xx x x ---+-=-+==-==---+=--+⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭⎰⎰222222424222222122212220216.8().28181424320,4320,(8)(4)08()4,4,2,212122424arcsin23x y y x x y x x y xx x x uu u u u u u x x x S x d x x d x Sπ-+==⎧+=⎪+=⎨=⎪⎩+-==+-=+-==-===-=⎛⎫=⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛==+⎝⎰⎰与分上下两部分舍解244826.33πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭22221211222213227.4 2.442220,(2)(1)0,2, 1.(42)6()96.322yx y x y x x x y x x x x x x x S x x dx x x dxx x ---=-=+⎧=--=+⎨=+⎩+-=+-==-==---=-+⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰与解22/422/42008.co s 2(0).1co s 22sin 2|.2r a a a d a a ππϕϕϕϕ=>==⎰其求双纽线所围图形的面积1解S =422/32/32/333/2226200/2372/23723:9.(0).co s ,02.sin 22sin 3co s sin 6sin co s 6sin (1sin )6428326175391a x y a a x a t t y a t V y d x a ta t td ta t td t at t d ta πππππππππ+=>⎧=⎪≤≤⎨=⎪⎩====-⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰求下列曲线围成的平面图形绕轴旋转所成旋转体的体积解3.05a πln 3ln 3220ln 32010.1,ln 3,.(1)(21)12ln 3.2xxxxx xy e x y e V e d x ee d xe e x ππππ=-===-=-+⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰231/32/31/32/322/37/32/37/3:11.,0(0,0).,()33.77b b a y x x y b a b x ayV ay d y a y abπππ===>>====⎰求下列平面曲线围成的平面图形绕轴旋转所成旋转体的体积及解13.()[,](0)()2().2(),2().b ab ay f x a b a y f x x a x b y V xf x d x d x d V xf x d x V xf x d x πππ=>======⎰⎰设在区间上连续且不取负值,试用微元法推导:由曲线,直线,及轴围成的平面图形绕轴旋转所成立体的体积为厚度的圆筒的体积解21111111211112.0,.8ln 8ln 8ln |ln 1812881.eeee ee x x y e yy V d yyyd y y y y d y yd ye y e e ππππππ-----====⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=--=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰解2211222211122214.,1,22222222()2.xx xx x xy e x x x y V xe d x xd e x e e d x e e ee e e e e ππππππ===⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=---=⎣⎦⎰⎰⎰求曲线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的立体的体积.解22223233215.:.3().1()|31(())33aa a ha ha h h V h a y f x a h x a V a x d x a h x h a h a a h h a πππππ--⎛⎫=-⎪⎝⎭==-≤≤⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=---=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰证明半径为高为的球缺的体积为证3230320/22017.sin .3sin co s ,33sin 3136sin 6.222r a r a s a a d a d a a πππθθθθθθπθθπ='======⎰⎰⎰ 求曲线的全长解3322/22/218.cos ,sin .3cos (sin ),3sin cos 143sin cos 12sin |6.2x a t y a t x a t t y at t s a t tdx a t a ππ==''=-====⎰ 求向星形线的弧长解322313433211116.13.621.221114.2623x y x x xx y xs x x xd x x x =+=='=-=⎡⎤+==-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰求曲线在到之间的弧长解12220.2co s 2(0)d x ra a L L θ=>=⎰试证双纽线的全长可表为2022202/4522222221.1(02)4.2214144co s sec sectan sec tan (2)sectan sec tan (2)(2),1nn n n n n n n n xy x x x y x S xd x d x xI xd x xd xx x n x xd xx x n I n I I n ππππ-----=+≤≤'=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=====--=--+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰求抛物线绕旋转所得的旋转体的侧面积.解 222sectan .11n n n x x I n ---+-00019.(1co s ).(sin )24co s 8sin8.22r a r a s a a d x a a πππθθθθθ=+'=-====⎰⎰求心脏线的全长解22/40/40/40/40/40/4024sin 2,2sin 2/,4)rr a r a r s d xππππππθθθθθθ''=-=-========⎰⎰⎰⎰⎰⎰证10⎰335313131311sec tan sec tan sec tan 444422133sec tan sec tan ln(tan sec ).488I x x I x x x x I x x x x x x C ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭=++++3/41334(sec tan sec tan ln(tan sec ))|4883ln(12S x x x x x x πππ=+++=+2222/20/201022.(0),.co s ,02,sin ,co s .sin 224co s 444a x yb a abxa tt x a ty b t y b t S b td t b t b uua bππππππππ+=<≤=⎧''≤≤=-=⎨=⎩===-====⎰⎰⎰ 求1分别绕长短轴旋转而成的椭球面的面积解12/20/201222arcsin 2arcsin 2.22s 4sin 444ln 2()b u aa b S a td ta t a uuba b ππεεεπεπππππ-⎤⎥⎣⎦⎛⎫= ⎪⎝⎭=====-⎰⎰⎰ 122(22ln(1).u ba ab ππεε⎤+⎥⎥⎦⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦22223.(,0)x y a a h y a h a y +=-≤≤<<计算圆弧绕轴旋转所得球冠的面积.101020025.10m ()(70.2)(70.2)70.180(k g ).26..co s 0.,0sin sin 2[co s ]|.2(0,).27.,x x m x d x x x a x a tt y a t a ta d taay t aaππρπππππ=+⎡⎤=+=+=⎣⎦=⎧=≤≤⎨=⎩==-=⎰⎰0有一细棒长已知距左端点x 处的线密度是k g /m 求这细棒的质量.求半径为的均匀半圆周的重心坐标由对称性,x 重心坐标有一均匀细杆解解/54/522../5./.l l l M l M M M l J x d x x d xllρ==+⎰⎰长为质量为计算细杆绕距离一端处的转动惯量解/54/533213.3375l l M x M x M l ll=+=[]2arcsin 22arcsin22arcsin2co s arcsin .sin 222co s sin 212.a haa h aa ha x a t a h t y a ta S t a td ta t a h a a h a πππππππππ---=⎧-≤≤⎨=⎩===-⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰解a h -a ()23/23/2123/21125/21224.(1co s ).2(1co s )sin 2(1co s )sin 21co s co s 2(1)2)32.5r a S a a d a d a x d x a x a πππθθπθθθπθθθπθθπππ--=+'=+=+=-+=+=+=⎰求心脏线绕极轴旋转所成的旋转体的侧面积000解r =-a s i n.222422222223228.,,,.2.2.221.4229.,,,,33,,13aa a M MMM xd x d m xd x aaa M xd x M x J xM a aaM a h aMMa M y x d m x d x x d x h a h h h a h d ρπππρρπππ=====⎛⎫===== ⎪⎝⎭⎰设有一均匀圆盘半径为质量为求它对于通过其圆心且与盘垂直的轴之转动惯量有一均匀的圆锥形陀螺质量为底半径为高为试求此陀螺关于其对称轴的转动惯量.解=解2245225425555201132213133.2251030.,2k g /m.29.8.29.89.8259.8().hha a M J d m x x d x h h a M a M x J x d x M a hhd W xd x W xd x x J ⎛⎫== ⎪⎝⎭=======⎰⎰楼顶上有一绳索沿墙壁下垂该绳索的密度为若绳索下垂部分长为5m ,求将下垂部分全部拉到楼顶所需做的功.解2231.()[,],,(),,,(),(),().32.48m ,64m ,164,06424,,9b a y f x a b y f x x a x b x y d S f x d x d F p d S g xf x d x F g xf x d x y a x a a x ρρρ=========-=-=⎰ 设在上连续非负将由及轴围成的曲边梯形垂直放置于水中使轴与水平面相齐求水对此曲边梯形的压力.一 水闸门的边界线为一抛物线,沿水平面的宽度为最低处在水面下求水对闸门的的压力.解解642828356,64,08,64,0.6(64)(2)126452428.8.35F g y u y u y u y u F g u u u d y u ug g ρρρρ=±===-=====-⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 时时6424。
2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.5定积分与微积分基本定理练习理北师大版
3.5 定积分与微积分基本定理中心考点·精确研析考点一定积分的计算1.|x 2-2x|dx=()A.5B.6C.7D.82.(sin x+)dx等于()A. B. π+2cos 2C.2π+2cos 2D.2π122=3x12,S3的大小关系为()3.若S=x dx,S dx,S =e dx, 则 S ,SA.S1<S2<S3B.S2<S1<S3C.S2<S3<S1D.S3<S2<S14. 若dx=3+ln 2(a>1),则a的值是____________.【分析】 1. 选 D.|x 2-2x|dx=(x 2-2x)dx+== +4+4-=8.2. 选 D. 因为(sin x+)dx=sin xdx+, 因为 y=sin x为奇函数,所以. 又dx 表示半圆x2+y2=4(y ≥ 0) 的面积 . 因此dx= ×π×22=2π, 因此(sin x+)dx=2 π.S2 =dx=ln x=ln 2<ln e=1,S =x x2e dx=e=e -e=(e-1)e>e> ,3因此 S2<S1<S3.4.dx=2xdx+dx=x 2+ln x=a2-1+ln a=3+ln 2,因此解得 a=2.答案 :2题3中,若将“S=2dx,S =x2=x dx,S = e dx, ”改为“ S =x dx,S 1231233123的大小关系 .x dx,S =” , 试判断 S,S ,S【分析】由微积分基本定理得12dx=2=3=4, S =x= ,S x dx=S3 =sin xdx=(-cos x)=1-cos 2<2,则S3< S1< S2.1.运用微积分基本定理求定积分时的注意点(1)被积函数要先化简 , 再求积分 .(2)求被积函数为分段函数的定积分, 依照定积分“对区间的可加性” , 分段积分再乞降 .(3)关于含有绝对值符号的被积函数, 要先去掉绝对值符号 , 再求积分 .(4) 注意用“ F′(x)=f(x)”查验积分的对错.2.依据定积分的几何意义 , 可利用面积求定积分 .3.函数 f(x) 在闭区间 [-a,a] 上连续 , 则有(1) 若 f(x) 为偶函数 , 则f(x)dx=2f(x)dx.(2) 若 f(x) 为奇函数 , 则f(x)dx=0.【秒杀绝招】图像法解 T3, 如图 , 依据定积分的几何意义知 ,S ,S,S分别是函数2y=x ,123y= ,y=e x与 x=1,x=2 及 x 轴所围成的面积, 明显 S2<S1<S3.考点二应用定积分求平面图形的面积【典例】 1.(2019 ·厦门模拟 ) 二次函数 f(x)=x 2-nx+m(n,m ∈R) 的图像如下图 , 则定积分f(x)dx=()A. B. C.2 D.32.(2019 ·武汉模拟 ) 过坐标原点O作曲线 C:y=e x的切线l , 则曲线 C, 直线l与 y 轴所围成的关闭图形的面积为()A. -1B.e-1C.e-2D.3. 由曲线 y=,y=2-x,y=-x 所围成图形的面积为________________.【解题导思】序号联想解题1由函数图像想到求n,m, 从而求定积分2由曲线 C 的切线想到导数的几何意义 , 借助图形形状设置被积函数3由曲线 y=,y=2-x,y=-x 想到绘图求解【分析】 1. 选 B. 由图像可知 ,n=3,m=2.f(x)dx=(x 2-3x+2)dx==-0=.2.选 A. 依据题意 , 过坐标原点 O作曲线 C:y=e x的切线l , 设切点为 (m,e m),y=e x , 其导数 y=e x, 则切线的斜率k=e m,则直线 l 的方程为:y-e m=e m(x-m),又由直线l 经过原点,则有-e m=e m(-m),因此 e m(1-m)=0, 因此 m=1,则直线 l 的方程为y-e=e(x-1),即 y=ex, 切点为 (1,e);曲线 C、直线l与 y 轴所围成的关闭图形的面积S===-(1-0)=-1.3.方法一 : 画出草图 , 如下图 .解方程组及得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1),因此所求图形的面积S=dx+dx=dx+dx=+= +6-×9-2+=.答案 :方法二 : 如图所求暗影的面积就是三角形OAB的面积减去由y 轴 ,y=,y=2-x围成的曲边三角形的面积,即S= ×2×3-(2-x-)dx=3-=3-=.答案 :利用定积分求平面图形面积的四个步骤曲线 y=与直线y=5-x围成的平面图形的面积为()A. B.C.-4 l n 2D.-8ln 2【分析】选 D. 作出曲线y=与直线y=5-x围成的平面图形如图:由, 解得 x=1 或 x=4,因此曲线y= 与直线 y=5-x 围成的平面图形的面积为S=dx==(20-8-4ln 4)-= -8ln 2.考点三定积分在物理中的应用【典例】 1. 一辆汽车在高速公路上行驶, 因为碰到紧迫状况而刹车, 以速度 v(t)=7-3t+(t 的单位 :s,v 的单位 :m/s) 行驶至停止 . 在此时期汽车持续行驶的距离( 单位 :m) 是()A.1+25ln 5B.8+25lnC.4+25ln 5D.4+50ln 22. 设变力 F(x) 作用在质点 M上 , 使 M沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x=10, 已知 F(x)=x 2+1 且方向和 x 轴正向同样 , 则变力 F(x) 对证点 M所做的功为 ________________J(x 的单位 :m; 力的单位 :N).【解题导思】序号联想解题1由汽车持续行驶的距离想到积分变量为时间, 被积函数为速度2由变力 F(x) 对证点 M 所做的功想到积分变量为位移, 被积函数为力【分析】 1. 选 C. 令 v(t)=0得,3t2-4t-32=0,解得 t=4.汽车的刹车距离是dt==4+25ln 5.2.变力 F(x)=x 2+1 使质点 M沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x=10 所做的功为 :W=F(x)dx=(x 2+1)dx==342(J).答案 :342定积分在物理中的两个应用(1) 求物体做变速直线运动的行程, 假如变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么从时辰t=a 到 t=b 所经过的行程s=v(t)dt.(2)变力做功 , 一物体在变力 F(x) 的作用下 , 沿着与 F(x) 同样方向从 x=a 挪动到 x=b 时 , 力 F(x) 所做的功是W=F(x)dx.某人吃完饭后漫步, 在 0 到 3 小时内速度与时间的关系为v=t 3-3t 2+2t(km/h),这3小时内他走过的行程为()A. kmB.kmC.kmD.km【分析】选 C.v=t 3-3t 2+2t 的原函数可为F(t)= t 4-t 3+t 2= t 2(t-2)2,行程为v(t)dt-v(t)dt+v(t)dt=F(1)-F(0)-F(2)+F(1)+F(3)-F(2)=2F(1)+F(3)=(km).。
北师大版高三理科数学课后习题(含答案)课时规范练16定积分与微积分基本定理
课时规范练16定积分与微积分基本定理基础巩固组1.给出如下命题:①∫ba -1d x=∫bad t=b-a(a,b为常数,且a<b);②∫0-1√1-x2d x=∫1√1-x2d x=π4;③∫a-a f(x)d x=2∫af(x)d x(a>0).其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析由于-1dx=a-b,dt=b-a,所以①错误;由定积分的多少意义知,dx和dx都表示半径为1的圆面积的,以是都即是,所以②正确;只有当函数f(x)为偶函数时,才有f(x)dx=2f(x)dx,所以③错误,故选B.2.(2019山东淄博期末,5)dx=( )A.16B.18C.20D.22解析∫4-2-12x2+x+4d x=-16x3+12x2+4x-24=18.3.若∫1(x2+mx)d x=0,则实数m的值为()A.-13B.-2 C.-1 D.-23解析∫10(x2+mx)d x=13x3+12mx201=13+12m=0,∴m=-23.4.如果1 N的力能拉长弹簧1 cm,为了将弹簧拉长6 cm,所耗费的功为()A.0.18 JB.0.26 JC.0.12 JD.0.28 JF=kx知,1=0.01k,所以k=100 N/m,则W=∫0.06100x d x=50x2|00.06=0.18(J).故选A.5.由曲线y=√x,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为()A.103B.4 C.163D.6剖析由题意知,所围成的面积为-(x-2)]dx=42+2×4=6.如图,在边长为2的正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,则过C ,M ,D 三点的抛物线与CD 围成的阴影部分的面积是( ) A .23B .43C .52D .83剖析由题意,建立如图所示的坐标系,则D(2,1).设抛物线方程为y2=2px(p>0),将D(2,1)代入,可得p=,∴y=,∴S=2∫ 20√12x d x=√2·23x 32 02=83,故选D .7.设f (x )={√1-x 2,x ∈[0,1],1+x ,x ∈[-1,0),则∫ 1-1f (x )d x 等于( ) A.(-1,+∞) B .12+π2C .12+π4D.1+π4解析依题意得∫ 1-1f (x )dx=∫ 0-1(1+x)dx+∫ 10√1-x 2d x=(x +x 22) -10+14×π×12=12+π4.8.如图,圆O:x2+y2=π2内的正弦曲线y=sin x与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分),随机向圆O内投一个点A,则点A落在区域M 内的概率为.2∫π0sin x d x=2(-cos x)|π=4,圆的面积为π3,所以点A落在区域M内的概率是4π3.9.(2019四川成都七中一模,15)设a>0,b>0,e为自然对数的底数,若+b=dx,则的最小值是.解析∫e1e-xxd x=∫e1(ex-1)d x=(eln x-x)|e1=1,∴a2+b=1,∴2a+1+1b=2 3(1a2+12+1b)a2+b+12≥23(1+1+2)=83.10.已知函数f(x)=x3-x2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x2围成的图形的面积.解因为(1,2)为曲线f(x)=x3-x2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=(3x2-2x+1)|x=1=2,所以在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x,其与函数g(x)=x2围成的图形如图.由可得交点A(2,4).所以y=2x与函数g(x)=x2围成的图形的面积S=∫2(2x-x2)d x=(x2-13x3)02=4-83=43.综合提升组11.若∫21(x-a)d x=∫π4cos 2x d x,则a等于()A.-1B.1C.2D.421(x-a)d x=12x2-ax|12=32-a;cos 2xdx=sin 2x,两定积分相称,则12=32-a,解得a=1,故选B.12.已知3a=5b=c,且1a+1b=2,则∫c(x2-1)d x=() A.±2√ B.2√ C.±√ D.4√3a=5b=c,所以a=log3c,b=log5c,则1a=log c3,1b=log c5,因为1a+1b=2,所以log c 15=2,即c2=15,c=√15,∫ c 0(x 2-1)d x=(13x 3-x) 0√15=4√15.13.(2019河南洛阳三模,13)若n=6cos xdx,则x+n 的展开式中,含x2项的系数为 .2 295解析若n=∫ π26cos x d x=6sin x 0π2=6,则(1x-2x 2)(x +3√)n=1x-2x 2x+3√6=(1x-2x 2)x 6+18x 92+135x 3+160x 32+1 215+4 374x -32+729x -3,展开式中,含x 2项的系数为135-2×1 215=-2 295.14.已知∫ 20(3x 2-1)d x=m ,则(1-x )(x 2+1x)m的展开式中x 4的系数是 .20∫ 20(3x 2-1)d x=(x 3-x )|02=6,∴(x 2+1x)6的通项为T r+1=C 6r (x 2)r (1x)6-r=C 6r x 3r-6.令3r-6=3得r=3,∴(x 2+1x )6的展开式中含x 3的系数为C 63=20,令3r-6=4得r=103,舍,∴(x 2+1x)6的展开式中不含x 4项.∴(1-x )(x 2+1x )m的展开式中x 4的系数为-1×20=-20.15.(2019湖南雅礼中学质检)在曲线y=x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为试求:切点A的坐标和过切点A的切线方程.,设切点A(x0,y0),由y'=2x,得过A点的切线方程为y-y0=2x0(x-x0),即y=2x0x-x02,令y=0,得x=x02,即C(x02,0).设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S,则S=S曲边△AOB-S△ABC.S曲边△AOB=∫x00x2d x=13x30x0=13x03,S△ABC=12|BC|·|AB|=12(x0-x02)·x02=14x03,即S=13x03−14x03=112x03=112,所以x0=1.从而切点为A(1,1),切线方程为y=2x-1.创新应用组16.若f(x)=x3+3∫10f(x)d x,则∫1f(x)d x=()A.-1B.-13C.-14D.-18m=∫ 10f (x )dx ,则f (x )=x3+3m ,∫ 10f(x)dx=∫ 10(x 3+3m )d x=∫ 10x 3d x+∫ 103m d x=14x 4|01+3mx |01=14+3m ,即m=14+3m ,解得m=-18.故∫ 1f (x )d x=-18,故选D . 17.(2019安徽安庆二模,16)在数学实践活动课中,某同学在如图1所示的边长为4的正方形模板中,利用尺规作出此中的实线图案,其步骤如下:(1)取正方形中心O 及四边中点M,N,S,T;(2)取线段MN 靠近中心O 的两个八等分点A,B;(3)过点B 作MN 的垂线l;(4)在直线l(位于正方形区域内)上任取点C,过C 作l 的垂线l1;(5)作线段AC 的垂直平分线l2;(6)标记l1与l2的交点P,如图2所示;……不断重复步骤(4)至(6)直到形成图1中的弧线(Ⅰ).类似方法作出图1中的其他弧线,则图1中实线围成区域面积为 .剖析由作法可知,弧(Ⅰ)为抛物线y2=2x(0≤y≤2)弧,则实线围成的区域面积为S=4dx=4x318.过点(-1,0)的直线l 与曲线y=√x 相切,则曲线y=√x 与l 及x 轴所围成的封闭图形的面积为 .解析因为y=的导数为y'=,设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为,解得x0=1,即切线的斜率为, 所以直线l 的方程为y=12(x+1),所以所围成的封闭图形的面积为∫ 1[12(x +1)-√x]d x+12×1×12=14x 2+12x-23x 32 01+14=13.。
北大版高等数学课后习题答案_完整版
习题 1.12222222222222222223.33,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p p a a p a b p a pb b b====+=+=++=++======证明为无理数若不是无理数,则为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数证明是无理数设为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||5,(1,5)(5,1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃--+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11n nn n x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a a n n a a b a a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><-<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若显然解(1)证5.:6.120000(1)(1)(1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n n n a b b n a a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m ---+++>-<-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.{2|}.10n n nn a b a b mn b a A m <-=+∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.1(1,)(1)(1)111(1).112113.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).y x x x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x xy y x =+-+∞+-++=+-==<>+++++++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数在内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题 1.4221.-(1)lim(0);(2)lim ;(3)lim ;(4)lim cos cos .|-||-||-|1)0,||,,||,||.,||,||,lim.(2)0x a x ax ax ax ax ax a a x a e e x a x a x a x a x a x a x a ax a x a a a x a x a x a aεδεεεεδεδεε→→→→→=>===∀>-=<<-+-<-<=-<-<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使由于只需取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.m in{,1},||,1|2|1|2|||,lim (3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x a ax a x a x a x a x a x a a a a x a x a x a a a x a x a x a e e e e e eεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln 1,m in{,1},0,||,1|2|lim lim lim 0,|cos cos |2sinsin 2sin sin ||,2222,|,|cos cos x a ax a a x a x a x a x a x a x ae e x a x a e e e a e e e e e e x a x a x a x ax a x a x a x a εεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-< ⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时. ..(4)20|,lim cos cos .2.lim (),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)limlim 2x ax ax x x a f x l a a a a a u f x x a f x l f x f x l l f x l l l M x x εδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当 时从而求下列极限证 3.:2002222200002212202lim (1) 1.222sin sin 1cos 11122(2)lim lim lim 1.22221(3)limlim(0).()222(4)lim.22332(5)lim 22x x x x x x x x x x xx x x x x x x x a axa xx x a a ax x x x x x x x →→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪==== ⎪⎪⎝⎭+-==>++---=------- 2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2112(7)limlim 1.(11)13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==++--==++--+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3123(123)(2)(123)(9)limlim 2(2)(2)(123)(28)(2)244lim.63(4)(123)(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x n n nx y y x x x x x x x x x x x x x x x x n n ny y y x y n x y yx →-→→→→→→→∞--==--++-+-+++=--+++-+===-++-+++-+-===- ()22221011001001010*******11lim 0.11(12)lim (0)./,(13)lim (0)0, , .818(14)lim lim 1x m m m mnn n x nn mm m n n x n x x x x x a x a x a a b b x b x b b a b m n a x a x a a b n mb x b x b m n x x →∞--→--→∞→∞→∞+--==++-+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩++=+ 42/ 1.11/x x =+332022333333222333322333322033331312(15)lim(1312)(13131212)lim()(13131212)5lim(1)(13131212)55lim .3(1)(13131212)(16)0,l x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x a →→→→+--++--+++-+-=++++-+-=++++-+-==++++-+-> 22220001im lim ()()1lim ()x a x a x a x a x ax a x a x a x a x a x a x a x a x a x a →+→+→+⎛⎫-+--=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪+-++⎝⎭00()1lim ()11lim .()2x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a a →+→+⎛⎫-=+ ⎪+-++⎝⎭⎛⎫-=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)lim lim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=- 利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2.1cos 2sin2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x x xxx x a x a x a a x a x ak k k e x x x y →+→+→→----→∞→∞→∞→=-===-+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.52222222222221.(1)10(2)sin 5.(1)0,|110|.,1111,||,,|||110|,10555()(2)(1)0,|sin 5sin 5|2|cos ||sin |.22x x x x a x x x x x x x x x x x x x a x a x a εδεεεεδεδεεε-+==∀>+-+=<≤++++<<=<+-+<+=+-∀>-=<试用说法证明在连续在任意一点连续要使由于只需取则当时有故在连续.要使由于证000000555()2|cos ||sin |5||,5||,||,225,|||sin 5sin 5|,sin 55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x a x a x a x a x a x a x x a y f x x f x x x f x f x x f x x x f x εεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000)()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f x f x a b f x a b x a b f x x x f x f x f x f x f x f x f x εδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-< 于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证 220001,,(),()|11,ln(1), 1,1,0,(1)()(2)()arccos , 1. 0;lim ()lim 11(0),lim ()(0)x x x x f x f x x a x x x x f x f x a x x a x x f x x f f x f π→-→-→+⎧=≡⎨-⎩⎧+≥⎧⎪+<==⎨⎨<+≥⎩⎪⎩=+====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)0111122sin 2limsin301.(2)lim ()lim ln(1)ln 2(1),lim ()lim arccos (1)ln 2,ln 2.5.3:11(1)lim coscos lim cos 0 1.(2)lim 2.(3)lim x x x x x x x xx x xx a f x x f f x a x a f a x x x xx x xeeπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-+-+-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin 22sin334422.88(4)lim arctan arctan lim arctan1.114xx x x e x x x x π→∞→∞=++===++22222222()()(ln ())()(5)lim (12)||lim (12)||3||33lim lim .21211/12/6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x x x x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x x x x x x x x x x x x f x a g x b f x a f x e →∞→∞→∞→∞→→→→→⎡⎤+--=+--⎣⎦⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥++-++-⎣⎦⎣⎦=>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式()或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.11.21. 212,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩+<+≥-+<++<++>≥-≠+++++=-+==++ 求出满足不等式的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===-- 即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++- 等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求00223,(2);2(2)()0?(3)()2?391(1)(0)[14]14,1467.(2)[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).lim ()12,lim ()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+→+→-⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在处是否连续连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b a n a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝ 类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+ 作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.§2,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭ 定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++== 证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<= 设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下 当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若 则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设 在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证2220011/1112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1(4)lim()lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x x y n n x x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→-→→+=====++++=+==+∞≤≤≥=== 设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++== 故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nnn r x x x x n n n r e x x E x E x E x e ee e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解333032233222000002.,:(1);(2)2,0;(3)sin 5.()(1)lim(33)lim lim (33)3.2()2(2)lim 2lim(2lim x x x x x x y ax y px p y x a x x ax y xx x x x x x x a a x x x x ax xp x x px x x xy p x xx p ∆→∆→∆→∆→∆→∆→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆+∆-+∆-'==∆∆+∆=根据定义求下列函数的导函数解0000000)()2lim()()212lim.25(2)52cossin sin 5()sin 522(3)limlim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim 5lim cos lim 5522x x x x x x x x x x x x xp x x x x x x x x p p x x x xx x xx x xy x xx x x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→-+∆+∆=∆+∆+∆+∆+==+∆++∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆ 5cos5.2x x =00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln 2,(0)ln 2,1ln 2(-0),(ln 2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)x x y f x M x f x y M y x B y y y x y x y x y y x y px p M x y x y ===+''==-==+''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2p F x ⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴200022222222,,().22(),.,2222,.222,.p p py px y M PMN Y y X x yy px p y x N X y X x X x x y p p p p FN x FM x y x pxp p p x px x x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++=+=+=∠=∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠=∠=∠过点的切线方程:切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解 323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GM g R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+= in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解y =x 21/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()lim xx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f 习题2.2()()()()()()2222222222222221.,:sin (1)(cos )sin ,.(cos )sin .2111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)112,.111121121xx x x x x xx x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x '''=-=-=-'''-=-=-=---'''⎡⎤+=+=⎣⎦+'''⎡⎤+=+++=++⎣⎦+=++下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错332222222()2223.111(4)ln |2sin |(14sin )cos ,.2sin 1ln |2sin |(14sin cos ).2sin 2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin );(2)(),(sin );(3)u g x x x xxx x x x x x x x x x x x f g x f u f x x f x f f x f x d d f x f x dx dx=+=++'⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin )2sin .(2)()()224.(sin )(sin )(sin )2sin cos sin 2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g x f x x f f x x f x x df x f x x x x x dxdf x f x x x x x dxf g x f g x f g x f g x g x ''''''====''===''==='''''= 与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec ,(cos )(cos )(cos )(cos )(sin )tan sec .(3)sin 3cos5,3cos35sin 5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin 33sin x x y y x x x y x y x x x x x x x y x x y x x y x x y x x x x x ---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-= 求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin 3)3sin cos 4.x x x x x x x -=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==524222422222in cos (sin cos ).(8)cos 1,5cos 1(sin 1)15cos 1sin 1.111(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx xy x y x x x x x x xx x y y x x x x ππππππ+=+'=+=+-++++=-+⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-2222222222222224.:111(1)arcsin (0),.111111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos .11111(4)arctan ,.111(5)ar 22xy a y aa a x x a x y a y a a a a a x x a x y x x x y x x xy y x x x xx a y a x '=>==-⎛⎫- ⎪⎝⎭'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=---'===-++=-+ 求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222222222222222222222222222222222222121122211.2(6)ln (0)221112221.2222(7)arcsin ,1x x a y a x a a x x a x a a x a x a x a x x a x x a y x a a a x x a xy x a x a x x a x a x a x a x a x a x a xy x x -'=-++-⎛⎫- ⎪⎝⎭=--+=---++=++>⎛⎫'=++++ ⎪++++⎝⎭=+++=+++=≠±+222222222222222222221.12(1)22112sgn(1)2.(1)11141(1)2(8)arctan tan (0).2211sec 221tan 211sec 2()tan ()cos ()s 22x x x x x y x x x x xx a b x y a b a b a b a b x y a b x a ba b a b x x x a b a b a b a b +---'===+++--+⎛⎫-=>≥ ⎪ ⎪+-⎝⎭-⎛⎫'=⎪-+⎝⎭-++==++-++- 2222222in 21.cos (9)(1)(12)(13),ln ln(1)ln(12)ln(13)123/,2(1)2(12)22(13)3123.2(1)2(12)22(13)314(10)12,.212(11),.(12)x a b x y x x x y x x x y y x x x x x x y y x x x x x x xy x x y x x xy x a y x a =+=+++=+++++'=+++++⎡⎤'=++⎢⎥+++⎣⎦+'=++=++'=+=+2222,.xy a x y a x-'=-=-222222222311(13)ln(),1.21(14)(1)(31)(2).ln ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e x y x x a y x x a x a x ay x x x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'=++=+= ⎪++++⎝⎭=-+-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+ 11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+ 2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?2220()2cos8364sin 8,8sin 8cos8(8)()16sin 8,2364sin 811()8,,,()16.2161616m/s.x t t t t t x t t tt t t x πππππππππαπππ=+--'=-+-'====- 活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1sin (2)(22)sin ,222(3)(1cos )2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x x xy x x x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++=+-=++=-=→=====→=→ 当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.11(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.44422(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫''===+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)5551222113333332220.0010.0011,.2.00127.32.16.1.1632.1621.16/322(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-=+=+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-= 试计算的近似值求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数解0,.x ay y b-'=--。
北大版高等数学课后习题答案_完整版
习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10n n nn a b a b mn b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.(1,)1).13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).yy xx x xyxx x x x x x xx xx x xy y x=+∞===<>++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题1.4221.-(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,|,,||.,||,|,(2)0x ax a x a x a x ax aa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→=>===∀>=<<<-<=-<<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当 时从而求下列极限证3.:2002222200000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.2222(3)0).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3244.63(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nnnx y y x x x x n n ny y y x y n x y y→-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===-1011001001010010120.(12)lim (0)./,(13)lim(0)0, , .(14)lim lim 1x m m m mnn n x n n m m m n nx nx x a x a x a a b b x b x b b a b m na x a x a ab n m b xb x b m n x --→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩=+21.11/x =+033233223220312(1212)5lim(112)55lim .3(112)(16)0,l x x x xx x x x x x xx x x x x x a →→→→-+=+-+-=++-+==++-+>00im lim lim x a x a x a →+→+→+⎛⎫=⎛⎫=00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)limlim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=-利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.5222 21.(2)sin5.(1)0,|.,,|||||,0555()(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.22xx x axx x x xx a x ax aεδεεεδδεεε-==∀>=<≤<<=<<=+-∀>-=<试用说法证明连续在任意一点连续要使只需取则当时有连续.要使由于证000000555()2|cos||sin|5||,5||,||,225,|||sin5sin5|,sin55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x ax a x a x ax a x a x x a y f x x f x x x f xf x x f x x xf xεεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000 )()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f xεδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-<于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证0001,,(),()|11,ln(1),1,0,(1)()(2)()arccos, 1.0;lim()lim1(0),lim()(0)x x xxf x f xxax xxf x f xa x xa x xf x f f x fπ→-→→+⎧=≡⎨-⎩+≥⎧<==⎨<+≥⎩⎪⎩=====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)11112sin2limsin31.(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,ln2.5.3:(1)lim cos lim cos0 1.(2)lim(3)lim xx x x xx xxxxxaf x x f f x a x a fae eπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin22sin33.(4)lim arctan arctan1.4xxx xeπ→∞→∞====()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→=====>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式()或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++-等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求003,;2(2)()0?(3)()?391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b an a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下 当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若 则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设 在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nnn r x x x x n n n r e x x E x E x E x e ee e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解33332233222 00002.,:(1);(2)0;(3)sin5.()(1)lim(33)lim lim(33)3. (2)lim limlimxx xx xxy ax y p y xa x x axyxx x x x x x xa a x x x x axxyx∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆'==∆=根据定义求下列函数的导函数解00000limlim5(2)52cos sinsin5()sin522(3)lim lim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim5lim cos lim5522xxx xx x xx x xx x xyx xx x x xx xx→→∆→∆→∆→∆→∆→===+∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆5cos5.2xx=00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln2,(0)ln2,1ln2(-0),(ln2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)xxy f x M x f xy M y x By y y x y xy x y y xy px p M x y x y===+''==-==+ ''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2pF x⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴2000,().(),.,2,.2,.p py y M PMN Y y X x yy p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程:切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()limxx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos sin 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-22222222224.:1(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa a x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>==-'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln(0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'=+==+=>⎛⎫'=++===≠±+22222222221.112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22x xyx xxxy a bxyxx xa b a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=++++ '=+⎡⎤'='=='==y y'==(13)ln(121(14)(ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e y x y y x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'==+==-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8()16sin811()8,,,()16.2161616m/s.x t t x t t t t t x ππππαπππ='=-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos)2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-=求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--。
2022届高考数学一轮复习核心素养测评第三章3.5定积分与微积分基本定理理含解析北师大版
核心素养测评十九定积分与微积分基本定理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(x+e x)的值为( )A.eB.e+C.e-D.e+1【解析】选C.(x+e x)dx==+e-1=e-.【变式备选】e|x|dx的值为( )A.2B.2eC.2e-2D.2e+2【解析】选C.e|x|dx=e-x dx+e x dx=-e-x+e x=[-e0-(-e)]+(e-e0)=-1+e+e-1=2e-2.2.已知f(x)=x3-x+sin x,则f(x)dx的值为( )A.等于0B.大于0C.小于0D.不确定【解析】选A.由题意得,函数f(x)=x3-x+sin x是奇函数,所以f(x)dx=0. 【变式备选】已知f(x)为偶函数且f(x)dx=8,则f(x)dx等于( )A.0B.4C.8D.16【解析】选D.f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx,因为f(x)为偶函数,所以f(x)的图像关于y轴对称,故f(x)dx=2f(x)dx=2×8=16.3.设f(x)=则f(x)dx等于( )A. B. C. D.不存在【解析】选C.f(x)dx=x2dx+(2-x)dx=+=+=.4.函数y=x2-1的图像如图所示,则阴影部分的面积是( )A.(x2-1)dxB.(x2-1)dxC.|x2-1|dxD.(x2-1)dx+(1-x2)dx【解析】选C.所求面积为(1-x2)dx+(x2-1)dx=|x2-1|dx.5.如图四边形OABC是边长为2的正方形,曲线段DE所在的曲线方程为xy=1,现向该正方形内抛掷1枚豆子,则该枚豆子落在阴影部分的概率为 ( )A. B.C. D.【解析】选 A.根据条件可知,E,阴影部分的面积为dx=(2x-l n x)=3-2l n 2,所以豆子落在阴影部分的概率为.6.(2020·渭南模拟)一物体在变力F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F(x)成30°方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时,F(x)做的功为 ( )A.JB.JC.JD.2J【解析】选C.变力F在位移方向上的分力为Fcos 30°,故F(x)做的功为W=(5-x2)cos 30°dx=(5-x2)dx==(J).7.已知图中的三条曲线所对应的函数分别为y1=(x>0),y2=x,y3=x,则阴影部分的面积为世纪金榜导学号( )A.1+l n 2B.l n 2C.1D.2【解析】选B.由得x=1;由得x=2.阴影部分的面积S=dx+ dx=dx+dx-dx=+l n x-=l n 2.二、填空题(每小题5分,共15分)8.计算:dx=________________.【解析】根据定积分的几何意义,可知dx表示的是圆(x-1)2+y2=1的面积的(如图中阴影部分).故dx=.答案:9.已知m=(cos x-x+3sin2x)dx,则的展开式中,常数项为________________.【解析】m=(cos x-x+3sin 2x)dx==2,所以=,所以T r+1=x6-r=,由6-r=0得r=4,因此常数项为=. 答案:10.射线y=4x(x≥0)与曲线y=x3所围成的图形的面积为________________. 世纪金榜导学号【解析】将射线方程与曲线方程联立,解得:,,即射线y=4x(x≥0)与曲线y=x3有两个公共点,所围成的图形的面积为(4x-x3)dx==4.答案:4【变式备选】记曲线y=与直线x=2,y=0所围成封闭图形的面积为S,则S=__________.【解析】S=dx==.答案:(15分钟35分)1.(5分)(2020·黄冈模拟)已知函数f(x)=sin(x-φ),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图像的一条对称轴是( )A.x=B.x=C.x=D.x=【解析】选A.函数f(x)的对称轴为x-φ=+k1π⇒x=φ++k1π,因为sin(x-φ)dx=0⇒-cos+cos φ=0⇒sin=0,所以-φ=k2π⇒φ=-k2π,即对称轴x=φ++k1π=-k2π+k1π(k1,k2∈Z),则x=是其中一条对称轴.【变式备选】(2019·日照模拟)在函数y=cos x,x∈的图像上有一点P(t,cos t),若该函数的图像与x轴、直线x=t围成图形(如图阴影部分)的面积为S,则函数S=g(t)的图像大致是( )【解析】选B.因为S=g(t)=cos xdx=sin t+1,所以图像是B.2.(5分)一物体在力F(x)=(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F(x)做的功为________________J.【解析】由题意知,力F(x)所做的功为W=F(x)dx=5dx+(3x+4)dx=5×2+=10+=36(J).答案:363.(5分)已知函数f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图像如图所示,它与x轴在原点处相切,且x轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为________________.【解析】f′(x)=-3x2+2ax+b,因为f′(0)=0,所以b=0,所以f(x)=-x3+ax2,令f(x)=0,得x=0或x=a(a<0).S阴影=-(-x3+ax2)dx=a4=,所以a=-1.答案:-14.(10分)已知曲线C1:y2=2x与C2:y=x2在第一象限内的交点为P.(1)求P处与曲线C2相切的直线方程.(2)求两条曲线所围图形(如图所示阴影部分)的面积S. 世纪金榜导学号【解析】(1)曲线C1:y2=2x与C2:y=x2在第一象限内交点为P(2,2).C2:y=x2的导数y′=x, y′|x=2=2,而切点的坐标为(2,2),所以曲线C2:y=x2在P处的切线方程为y-2=2(x-2),即2x-y-2=0.(2)由曲线C1:y2=2x与C2:y=x2可得两曲线的交点坐标为(0,0),(2,2),所以两条曲线所围图形的面积S=dx==.【变式备选】求由抛物线y2=2x与直线y=x-4围成的平面图形的面积.【解析】如图所示,解方程组得两交点的坐标分别为(2,-2),(8,4).方法一:选取横坐标x为积分变量,则图中阴影部分的面积S可看作部分面积之和,即S=2dx+(-x+4)dx=18.方法二:选取纵坐标y为积分变量,则图中阴影部分的面积S=dy=18.5.(10分)(1)求函数f(x)=的图像与x轴所围成的封闭图形的面积.(2)求曲线y=x2,y=x及y=2x所围成的平面图形的面积. 世纪金榜导学号【解析】(1)(x+2)dx+2cos xdx=+2sin x=0-+2=4.(2)曲线y=x2,y=x及y=2x所围成的平面图形的面积如图所示:由,得A(1,1),又由,得B(2,4),所以S阴影=(2x-x)dx+(2x-x2)dx=x2+=.所求平面图形面积为.(2020·皖南八校联考)用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值,设f(x)=min,则由函数f(x)的图像,x轴与直线x=和直线x=2所围成的封闭图形的面积为________________.世纪金榜导学号【解析】由题意,围成的封闭图形如图中阴影部分,由题意,S=dx+dx=+ln x=+ln 2=+ln 2.答案:+ln 2。
2019-2020年高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第3讲定积分与微积分基本定理练习理北师大版
2019-2020年高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第3讲定积分与微积分基本定理练习理北师大版、选择题1.(xx •西安调研)定积分1(2x + e x )d x 的值为()丿0答案 CC. 2(x 2— 1)d x■ 0D. 1(x 2— 1)d x +2(1 — x 2)d x'0 ' 1解析 由曲线y =|x 2—1|的对称性知,所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等, 即'22A.e + 2B.e + 1C.eD.e — 1解析「1(2x + e x )d x = (x 2+ e x ) ) = 1 + e 1 — 1 = e.故选 C.a >1),贝U a 的值是(C.4D.6ax ) = a 2 + ln a — 1,1a = 2.3.从空中自由下落的一物体,在第一秒末恰经过电视塔顶,在第二秒末物体落地,已知自由落体的运动速度为 v = gt (g 为常数),则电视塔高为( 1A. 2gB. gC.|gD.2 g解析电视塔高h = 2gt d t = 如21= 3g .4.如图所示,曲线 y =x 2— 1, x = 2, x = 0, y = 0围成的阴影部分的面积为()齐22A. |x — 1|d x'0B.2(x 2— 1) 0d x\1yJ/F 12 *答案 C,则答案 A+ In| x —1|d x.答案A5.若Si =『x?d x, S2=『—d x, S3=「ed x,贝V S, S2, S3的大小关系为()J1 J 1x J 1A. S<S2<S iB. 9<S1<SC.S><S3<SD. S<S2<S解析21 2 x 2S=『x d x= In 2 , S3 =『e d x= e —e,1 x . 12 7•' e —e= e(e —1) >e > 3 > In 2 ,答案B、填空题6.已知t>0,若r(2x —2)d x= 8,贝U t = _________J 0解析由t(2x—2)d x= 8 得,(x2—2x)・0 t=t2—2t = 8,解得t = 4 或t = —2(舍去). 0答案47.已知二次函数y = f(x)的图像如图所示,贝陀与x轴所围成的面积为解析根据f(x)的图像可设f(x) = a(x + 1)・(x—1)( a<0).因为f(x)的图像过(0,1)点,所以一a= 1,即卩a=— 1.所以f (x) =—(x+ 1)( x —1) = 1 —x2. 所以S= 1(1 —x2)d x= 2 1(1 —x2)d x=2x - 1x31= 2(1 —1 i= 4 02l 3 / 3.答案I8.(xx •合肥模拟)设a>0,若曲线严 x与直线x = a, y = 0所围成封闭图形的面积为a2, 则a= __________.32 -4解析圭寸闭图形如图所示,则「寸x d x = = - a2—0= a2,解得a= 9.■ 0答案4三、解答题9.计算下列定积分:(1)『yj—x2+ 2x d x;1 2 3「(x tan x+ x + 1)d x ;| x2—2x|d x.(1)原式=Z X != ! 22- ln 23 Tn 2 ;由定积分的几x = 2, y= —x2+ 2x, 以及x轴围成的图像的面积,即圆(x —1)2+ y2= 1的面积的一半, 2—x2+ 2x=n;j 2 (3) 原式= (sin x + cos x)d x= ( —cos x+ sin x)(—cos 0 + sin 0) = 2;⑷原式= 1(x2tan x + x3)d x+ 11d x= 0 + xx=2; -12 M2 片2 2 I 13 2| x —2x|d x = (x —2x)d x+ (—x + 2x)d x= 13X —x/ —2 』0 2-2 10.求曲线y= x2,直线y = x, y= 3x围成的图形的面积.解作出曲线y= x2,直线y = x, y= 3x的图像,所求面积为图中阴影部分的面积.=8. 04=7t —齐 25ln (1 +1 )厂 2 y =x ,得交点(1 , 1),y =x ,y = x 2,解方程组得交点(3 , 9),i y = 3x ,因此,所求图形的面积为S =『1(3x — x )d x +『(3x — x 2)d x■ 0 1解方程组 2、=12x d x + 3(3x — x 2)d x = x 2・ 0 ■ 13213+2x — 3x13亍11.若 f (x ) = x 2 + 2 f 1f (x )d x ,贝U 『1f (x )d x =( r ' 0 「0A. — 11 B. —3 C.1D.1解析 由题意知f (x ) = x 2+ 2 f (x )d x . 设 m=『f (x )d x ,.・. f (x ) = x 2+ 2m ,f 1f (x )dx =1 1 =3+2m= m ••• m = —3答案 B12. 一辆汽车在高速公路上行驶, 由于遇到紧急情况而刹车, 以速度v (t ) = 7 — 3t + 磊住 的单位:s , v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离 (单位:m)是( )A.1 + 251 n 5 11B.8 + 25 In —3 C.4 + 251 n 5D.4 + 50l n 28解析 令v (t ) = 0,得t = 4或t = — 3(舍去), •汽车行驶距离 s = 47 — 3t + 251+td t=28 - 24 + 25ln 5 = 4+ 25ln 5(m).答案C13. (xx •郑州调研)「1(屮二7 + e x- 1)d x= __________ .J —1解析1( 1 —X2+ e x—1)d x = 1 1 —x2d x + 1(e x—1)d x.•、一 1 ■— 1 —1因为1 1 —x2d x表示单位圆的上半部分的面积,J —12 n则『寸1 —x2d x =—,又『(e x—1)d x= (e x—x)| -1 .—/ 2. —11 —1 1=(e —1) —(e + 1) = e—; —2,___ n1所以1( 1 —x + e x—1)d x + e ——2.• —12 e答案n 1 7+e—e—14.在区间[0,1]上给定曲线y = x2.试在此区间内确定点t的值,使图中的阴影部分的面积S与S2之和最小,并求最小值.解S面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y=x2轴、直线x = t所围成的面积,即与x2S = t • t2—a x2d x= 3t3.■ o3S2的面积等于曲线y= x2与x轴,x= t , x = 1围成的面积去掉矩形边长分别为t2, 1—t的2 1面积,即S a= 1x2d x—12(1 —t) = t3—t2+ .3 3J t所以阴影部分的面积S(t) = S+S z= 4t3—t2+3(o w t w 1).2 f 1、1令S' (t) = 4t —2t = 4t t — 2 = o,得t = 0 或t =-.1 1 12 t = 0 时,S(t) = 3; t = 时,S(t) = 4; t = 1 时,S(t) = 3.1 1 所以当t = 2时,S(t)最小,且最小值为才2019-2020年高考数学大一轮复习第三章导数及其应用练习文第16课导数的概念及运算A应知应会1. 已知函数f(x)=x+2xf ⑴,那么f' (-1) = _________ .3 2 22. 某汽车的路程函数是s(t)=2t -gt (g=10 m/s ),则当t=2 s时,汽车的加速度为________ .3. _________________________________________________________ 已知函数f (x) =在x=1处的导数为-2,那么实数a的值为_______________________________________ .4. _______________________________________________________________ (xx •盐城中学模拟)若f (x) =x2-2x- 4ln x,则f' (x) >0的解集是 _________________________________ .5. 求下列函数的导数:(1) y=x n e x;⑵y=;x⑶ y=eln x;⑷ y=(x+1)2(x-1).6. 在F1赛车中,赛车位移与比赛时间t间满足函数关系s=10t+ 5t 2( s的单位为m,t的单位为s).(1) 当t= 20s, △ t= 0. 1s 时,求△ s 与;(2) 求t=20s时的瞬时速度.B巩固提升1. ___________________________________________________________________ 在函数y=x2+1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1 +A x,2 +A y),则= _____________________ .2. ________________________________________________ 已知函数f(x)=f cos x+sin x,那么f的值为___________________________________________________ .3. __________________________ (xx •天津卷)已知函数f (x) =ax ln x, x € (0, +〜,其中a为实数,f' (x)为f (x)的导函数. 若f' (1) =3,则a的值为.4. 已知f 1(x) =sin x+cos x,记f 2(x)=f' 1(x), f 3(x) =f' 2(x),…,f n(x) =f' n-1(x)( n€N 且n>2),则f1+f2+…+f 2 017= .5. 已知某物体的运动方程为s=(位移s的单位:m,时间t的单位:s).(1)求该物体在t € [3,5]内的平均速度;⑵求该物体的初速度V o;(3) 求该物体在t= 1时的瞬时速度.6. 对于三次函数f (x)=ax+bx+cx+c( 0),定义f" (x)是函数y=f (x)的导函数y=f' (x)的导函数.若f “(x)=0有实数解X o,则称点(X o,f(x o))为函数y=f(x)图象的“拐点”.已知函数f (x) =x3- 3x2+2x-2.(1) 求函数f(x)图象的“拐点”A的坐标;(2) 求证:f(x)的图象关于“拐点”A对称.第17课曲线的切线A应知应会1. 已知曲线f (x)=ax2+3x-2在点(2, f (2))处的切线的斜率为7,那么实数a的值为________ .2. _____________________________________________________ 曲线y=-5e x+3在点(0, -2)处的切线方程为__________________________________________________ .3. ________________ (xx •南师附中调研)若曲线f(x)=2ax3-a在点(1, a)处的切线与直线2x-y+1=0平行,则实数a的值为.4. ______________________________________________________ 曲线y=ln x上的点到直线x-y+ 1 =0的距离的最小值是_____________________________________ .5. 对于函数f(x)=x3+af-9x-1,当曲线y=f (x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行时,求实数a的值.6. 已知曲线y=(ax- 1)e x在点A(x o, y i)处的切线为l 1,曲线y=(1 -x )e-x在点B(x o,y2)处的切线为l 2.若存在x o € ,使得I 1丄l 2,求实数a的取值范围•B巩固提升1. _____________ ( xx •如东模拟)已知函数f (x)=f' (0)cos x+sin x,则函数f (x)的图象在X o=处的切线方程为________ .2. 若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则实数a= ______ .3. _______ (xx •海安中学)若曲线f (x) =ax2+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是__________ .4. ________________ (xx •通州模拟)已知曲线G:y=x2与C2: y=-(x-2)2,若直线I与G, G都相切,则直线I的方程为 ___ .5. 已知曲线y=( x>0).(1)求曲线在x=2处的切线方程;⑵求曲线上的点到直线3x-4y-11 =0的距离的最小值.6. 已知曲线f (x)=x+(t> 0)和点P(1,0),过点P作曲线y=f (x)的两条切线PMPN切点分别为Mx1, y1), N(X2, y2).(1)求证:X1,X2是关于x的方程x2+2tx-t= 0的两根;⑵设MN=gt),求函数g(t)的表达式.第18课利用导数研究函数的单调性A应知应会1. ______________________________________________________ 已知函数f (x) =x2-5x+2ln x,那么f (x)的单调增区间为________________________________________ .2. ______________________________________________________ ( xx •无锡期末改编)函数f (x) =ln x+的单调减区间是 _______________________________________ .3. _______________________________________________________________ 已知f(x) =x3-ax 在[1, +R)上是增函数,那么实数a的最大值是_____________________________ .24. _________________________________________________________________________ 若函数f (x) =-(x-2) +b ln x在(1, +R)上是减函数,则实数b的取值范围为______________________ .5. 已知函数f (x) =x3+af+bx( a, b € R)的图象过点P(1,2), 且在点P处的切线的斜率为8.(1)求a, b的值;⑵求函数f(x)的单调区间.6. (xx •山东卷)已知函数f (x) =x ln x-ax2+(2 a- 1)x, a €R .令g(x)=f (x),求g(x)的单调区间.B巩固提升1. 函数y=x- 2si n x在(0,2 n )内的单调增区间为____________ .2. ___________________________________________________________________ 已知函数f(x)= In x+2x,若f(x2+2) <f(3x),那么实数x的取值范围是 ___________________________ .3. 已知函数f (x) =ax3-3x2+1,若f (x)存在唯一的零点X0,且x°>0,则实数a的取值范围是________ .4. (xx •唐山一中模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f (x)+f ' (x)>1,f(0) =4,那么不等式e x f (x) >e x+3的解集为5. (xx •上饶期初)已知函数f (x) =x +ax +x+1, a €R .(1)求函数f(x)的单调区间;⑵若函数f(x)在区间上是减函数,求a的取值范围.6. 已知函数f(x)=a n x+,其中a为常数.(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;⑵讨论函数f (x)的单调性.第19课利用导数研究函数的最(极)值A应知应会1. ________________________________________ 函数y=x+2cos x在区间上的最大值是.2. 已知函数f (x) nx^af+bx-aSa在x=1处取得极大值10,那么= _______________ .3. ____________________________________________________________________ 已知函数f (x) =x3+af+3x-9,且f (x)在x=-3处取得极值,那么实数a= ______________________ .4. 若函数f (x) =-x3+m)2+1( m^ 0)在(0,2)内的极大值为最大值,则实数m的取值范围是________ .5. 已知f(x) =a ln x++x+1,其中a€ R,曲线y=f (x)在点(1, f(1))处的切线垂直于y轴.(1)求a的值;⑵求函数f (x)的极值.6. (xx •南通、扬州、泰州三模)已知函数f(x) =x e x-a sin x cos x(a€ R).(1)当a=0时,求f (x)的极值;⑵若对于任意的x€, f (x) >0恒成立,求a的取值范围.B巩固提升1. _________________________________________________________________________ 已知函数f (x) =x3+a2x2+ax+b,且当x=-1时,函数f(x)的极值为-,那么f (2) = _________________ .2. _______________ 已知函数f (x) =x-ax+3ax+1在区间(-g, +^)内既有极大值,又有极小值,那么实数a的取值范围是__ .3. _______________________________________________________ (xx •中华中学模拟)函数y=+(x € (0, n ))的最小值为______________________________________ .4. (xx •苏州、无锡、常州、镇江二模)已知函数f (x) =若存在X1,%€ R,当O W X1<4W X2W6时,f(X1)=f(X2),则X1 • f(X2)的取值范围是________ .5. (xx •无锡期末改编)已知函数f (x)=ln x+(a>0),若不等式f (x) >a对于任意x>0恒成立,求实数a的取值范围.6. (xx •南通一调)已知函数f(x) =a+ln x(a€ R).(1)求函数f(x)的单调区间;⑵试求函数f(x)的零点个数,并证明你的结论.第20课导数的综合应用A应知应会1. ________________________________________________________ 若函数y=ax3-x在R上是减函数,则实数a的取值范围是____________________________________ .2. 已知函数f(x)=x3-3a2x+1的图象与直线y=3只有一个公共点,那么实数a的取值范围是3. _________________________________________________________________ (xx •无锡模拟)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)间的函数关系式为y=-x'+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为____________________________________ 万件.4. 已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,那么当正六棱柱的体积最大时,其高为________ .5. (xx •曲塘中学模拟)已知函数f (x)=x3-x2+6x-a.(1) 若对于任意实数x, f (x) > m恒成立,求实数m的最大值;(2) 若方程f (x) =0有且仅有一个实数根,求实数a的取值范围.6. (xx •南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)某植物园拟建一个多边形苗圃,苗圃的一边紧靠着长度大于30 m的围墙.现有两种方案:方案一,多边形为直角三角形AEB/ AEB=O° ),如图(1)所示,其中AE+EB30 m;方案二,多边形为等腰梯形AEFBAB>EF如图⑵ 所示,其中AE=EF=BF=) m.请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积,并从中确定使苗圃面积最大的方案.图⑴图⑵B巩固提升1. _________________________________________________________________________ 已知a€ R,函数y=e x+ax,x €R有大于零的极值点,那么实数a的取值范围是_________________ .2. _________________________________________________________________________ 若函数y=m与y=3x-x3的图象有三个不同的交点,则实数m的取值范围为___________________ .3. _______ (xx •北京卷改编)若函数f (x) =x3+4x2+4x+c有三个不同的零点,则实数c的取值范围为__________ .4. _________________ (xx •海门中学模拟)若对任意的x € [1,e],都有a ln x>-x2+( a+2)x恒成立,则实数a 的取值范围是_ .5. (xx •全国卷)已知函数f (x) =ln x+a(1 -x).(1) 讨论f(x)的单调性;(2) 当f (x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求实数a的取值范围.6. (xx •南通、扬州、泰州、淮安三调)某宾馆在装修时,为了美观,欲将客房的窗户设计成半径为1 m的圆形,并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域,其中四边形ABCC为中心在圆心的矩形,现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口.(1) 若窗口ABC为正方形,且面积大于m2(木条的宽度忽略不计),求四根木条总长的取值范围;(2) 若四根木条总长为6 m,求窗口ABCDT积的最大值.(第6题)第三章导数及其应用第16 课导数的概念及运算A 应知应会1. -6 【解析】f' ( x) =2x+2f' (1), f' (1) =2+2f' (1), 所以f' (1) =-2,所以f' ( x) =2x- 4,故f' ( -1)=-6.2. 4 m/s 2【解析】由题意知汽车的速度函数为v(t)=s'(t)=6t2 -2gt,则v'(t)=12t - 2g,故2当t=2 s 时,汽车的加速度是V' (2) =12X 2-2X 10=4(m/s ).3. 2 【解析】由题设得f (x)=-,当x=1时,-a=- 2,即a=2.4. (2, +s)【解析】函数f (x)的定义域为(0, +8), f' (x) =2x- 2->0,解得x>2.5. 【解答】(1) y'=n e x+x n e x=e x( n+x) .(2) y'==-.x x x(3) y'= e In x+e •=e .2 23 2(4) 因为y=(x+1) (x-1) =( x+1) •( x -1) =x +x -x- 1,所以y'= 3x2+2x-1.6. 【解答】(1) △ s=s(20+A t) -s (20)=2210(20+0.1)+5(20+0.1)2-10X20-5X202=21.05(m).==210. 5(m/s) .(2) 由导数的定义知瞬时速度为V(t)====5A t+10t+10.当A t T0, t= 20s 时,v=10X 20+10=210(m/s ).B 巩固提升1. A x+2 【解析】==A x+2.2. 1 【解析】由题意得f' (x)=-f' sin x+cos x? f'=-f' sin +cos, 所以f'==- 1, 所以f(x)=(-1)cos x+sin x,所以f=(-1)cos+sin=1.3. 3 【解析】因为f' (x)=a(1+In x), 所以f' (1) =a=3.4. 1 【解析】f2(x)=f' 1(x)=cos x-sin x,f3(x)=f' 2(x)=-sin x-cos x, f4(x) =f' 3(x)=sin x-cos x, f5(x)=f' 4(x)=sin x+cos x, 故周期为4, 前四项和为0, 所以原式=f1=sin +cos =1.5. 【解答】(1)因为该物体在t € [3,5]内的时间变化量为 A t= 5-3=2,2 2 2 2该物体在t€[3,5] 内的位移变化量为A s=3X52+2-(3X32+2)=3X(52-32)=48, 所以该物体在t€ [3,5] 内的平均速度为==24 (m/s) .⑵求该物体的初速度V0即求该物体在t=0时的瞬时速度.因为该物体在t= 0 附近的平均变化率为==3A t- 18,当A t无限趋近于0时,=3 A t- 18无限趋近于-18,所以该物体的初速度V0为-18 m/s .(3) 该物体在t= 1 时的瞬时速度即为函数s 在t=1 处的瞬时变化率.因为物体在t=1 附近的平均变化率为==3A t- 12,当A t无限趋近于0时,=3 A t- 12无限趋近于-12,所以该物体在t=1 时的瞬时速度为-12 m/s.26. 【解答】(1) f' (x)=3x-6x+2, f 〃(x) =6x-6.令f 〃(x)=6x-6=0,得x=1,f(1) =1-3+2-2=-2,所以拐点A的坐标为(1, -2).⑵设P(x o, y o)是y=f (x)图象上任意一点,则y o=-3+2x o-2.因为F(x o, y o)关于点A(1, -2)的对称点为P'(2-x o,-4-y o),将P'代入y=f (x),得左边=-4-y 0=-+ 3- 2x o- 2,32右边=(2 -x 0) - 3(2 -x 0) +2(2-X o)-2=-+3-2x o-2,所以左边=右边,所以点P'(2-x o,-4-y o)在函数y=f(x)的图象上,所以y=f (x)的图象关于点A对称.第17 课曲线的切线A 应知应会1. 1 【解析】因为f' (x)=2ax+3,由题意知2a x2+3=7,解得a=1.2. 5 x+y+2=o 【解析】因为y'=- 5e x, 所以所求切线的斜率k=-5e o=-5, 所以切线方程是y-(-2)=-5(x-o), 即5x+y+2=o.3. 【解析】由题意得f' (x) =6ax2,所以f' (1) =6a=2,所以a=.4. 【解析】设曲线y=ln x在点(x o,y o)处的切线与直线x-y+1 =0平行.因为y'=,令=1,解得x o=1,所以切点坐标为(1,0),所以距离的最小值为点(1,0)至U直线x-y+ 1 =0的距离,即为.5. 【解答】由题意知f' (x)=3x2+2ax-9=3-9-,即当x=-时,函数f' (x)取得最小值-9-.因为曲线y=f (x)斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,所以-9-=- 12, 即a2=9,所以a=±3.6. 【解答】由y=(ax-1)e x,得y'=a e x+( ax-1)e x=( ax+a-1)e x.由y=,得y'==.由题意知(ax0+a-1) • =-1, 即(ax0+a-1)( x。
高职专升本第三章积分及其应用习题及答案
应用数学习题集第三章积分及其应用一.选择题1.若)(x F 和)(x G 都是)(x f 的原函数,则dx x G x F )]()([-⎰是( C )。
A 、零;B 、常数;C 、一次函数;D 、不一定。
2.已知在(a,b)内,)(')('x g x f =,那么( A )不一定成立。
A 、)()(x g x f =;B 、)()(x dg x df =;C 、C x g x f =-)()(;D 、⎰⎰=dx x g d dx x f d )(')('。
3.已知在(a,b)内⎰⎰=dx x g dx x f )(')(',那么( A )不一定成立。
A 、)()(x g x f =;B 、)()(x dg x df =;C 、)(')('x g x f =;D 、⎰⎰=dx x g d dx x f d )(')('。
4.x 的原函数是( D )。
A 1;B 2x ; C221x ; D C x +221。
5.Sinx 的原函数是( D )。
A cosx ;B –cosx ;C cosx+C ;D –cosx+C 。
6.⎰dx x )'(ln =( B )。
A lnx ;B lnx+C ; C lnxdx ;D x1。
7.⎰dx x )'(tan =( B )。
A tanx ;B tanx+C ; C tanxdx ;D sec 2x 。
8.设)(x F 是)(x f 在某区间内的一个原函数,C 是任意常数,则( C )也是)(x f 的原函数。
A )(Cx F ;B )(xC F +; C C x F -)(;D )(x CF 。
9.若)()('x f x F =,则( B )成立。
(02-03电大试题)A.⎰+=C x f dx x F )()(';B.⎰+=C x F dx x f )()(; C.⎰+=C x f dx x F )()(; D.⎰+=C x F dx x f )()('。
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习题3.213212002.,1.43(2).22xy x y y y S y y dy y ===⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭⎰与解222232132313.21 1.21(1)21,140,0,1;4, 3.11(1)23116.2263y x x y y x x x x y x x x y x y S y y dxy y y --=+-=⎧=+-=+⎨-=⎩-===-==⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭⎰与解2222225.42.442,2y x y x x y x x x x y x x=-=--⎧=-⎪-=--⎨=--⎪⎩与解2224221123/2200:1..,,(1)(1)0,0, 1.211().333y x x y y x x x x yx x x x x x S x x dx x x ==⎧=⎪=⎨=⎪⎩-++===⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰求下列曲线所围成的的图形的面积与求交点解:2022202242400/224202(sin )4.0 02(a>0)(1cos )(1cos )(sin )(1cos )4sin 8sin 2316sin 164223.x a t t y t y a t S a t da t t a t dtt a dt a udu a udu a a ππππππππ=-⎧=≤≤⎨=-⎩=--=-=====⎰⎰⎰⎰⎰与212122212213222240,(22)(2)0,2, 1.(24)(224)249.3x x x x x x S x x x dxx x dxx x x ---+-=-+==-==---+=--+⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭⎰⎰2222224242222221222212222022016.8().28181424320,4320,(8)(4)08()4,4,2,2182********arcsin 22322x y y x x y x x y xx x x uu u u u u u x x x S x x dxx x dxx x S π-+==⎧+=⎪+=⎨=⎪⎩+-==+-=+-==-===-=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰与分上下两部分舍解244826.33πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭22221211222213227.4 2.442220,(2)(1)0,2, 1.(42)6()96.322y x y x y x x x y x x x x x x x S x x dx x x dx x x ---=-=+⎧=--=+⎨=+⎩+-=+-==-==---=-+⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰与解22/422/42008.cos 2(0).1cos 22sin 2|.2r a a a d a a ππϕϕϕϕ=>==⎰其求双纽线所围图形的面积1解S =422/32/32/333/222620/23720/237203:9.(0).cos ,02.sin 22sin 3cos sin 6sin cos 6sin (1sin )6428326175391ax y a a x a t t y a tV y dx a ta t tdtat tdt a t t dta πππππππππ+=>⎧=⎪≤≤⎨=⎪⎩====-⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰求下列曲线围成的平面图形绕轴旋转所成旋转体的体积解3.05a πln3ln32200ln32010.1,ln 3,.(1)(21)12ln 3.2x x x x x x y e x y e V e dx e e dxe e x ππππ=-===-=-+⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰231/32/31/32/3202/37/32/37/30:11.,0(0,0).,()33.77b b ay x x y b a b x a y V a y dy ay a b πππ===>>====⎰求下列平面曲线围成的平面图形绕轴旋转所成旋转体的体积及解13.()[,](0)()2().2(),2().ba b ay f x a b a y f x x a x b y V xf x dx dx dV xf x dx V xf x dx πππ=>======⎰⎰设在区间上连续且不取负值,试用微元法推导:由曲线,直线,及轴围成的平面图形绕轴旋转所成立体的体积为厚度的圆筒的体积解2111111121118ln 12.,0,.8ln 8ln 8ln |ln 1812881.e eee e e yx x y e y yV dy y ydy y y y d y y dy e y e e ππππππ-----====⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=--=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰解2211222211122214.,1,22222222()2.x x x x x x y e x x x y V xe dx xde x e e dx e e e e e e e e ππππππ===⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=---=⎣⎦⎰⎰⎰求曲线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的立体的体积.解2222223233215.:.3(),.1()|31(())33aa a h a h a h h V h a y f x a x a h x a V a x dx a h x h a h a a h h a πππππ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭==--≤≤⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=---=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰证明半径为高为的球缺的体积为证3236420320/22017.sin .3sin cos ,33sin sin cos 333sin 3136sin 6.222r a r a s a d a d a d a a πππθθθθθθθθθπθθπ='==+====⎰⎰⎰求曲线的全长解3322/22/20018.cos ,sin .3cos (sin ),3sin cos 143sin cos 12sin |6.2x a t y a t x a t t y a t t s a t tdx a t a ππ==''=-====⎰求向星形线的弧长解322223213433211116.13.621.2211221114.2623x y x x x x y x x s dx x x x dx x x =+=='=-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡⎤+==-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰求曲线在到之间的弧长解122420.2cos 2(0)42.1dx r a a L L a xθ=>=-⎰试证双纽线的全长可表为202222032/4250022222221.1(02)4.2211421444cos sec sec tan sec tan (2)sec tan sec tan (2)(2),1n n n n n n n n n x y x x xy x x S dxdx x dx xI xdx xd x x x n x xdx x x n I n I I n ππππ-----=+≤≤'=⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+====--=--+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰求抛物线绕旋转所得的旋转体的侧面积.解 222sec tan .11n n n x x I n ---+-2200019.(1cos ).(sin )2(1cos )sin 4cos 8sin8.22r a r a s a d a dx a a πππθθθθθθθ=+'=-=++===⎰⎰求心脏线的全长解 2242/220/40/4220/422220/4440/44024sin 2,2sin 2/,4sin 242cos 22cos 22cos 22cos sin 2(cos sin )(cos sin )2cos sin 2)1tan 2rr a r a r a s a d a a d a a aa x a ππππππθθθθθθθθθθθθθθθθθθ''=-=-=+==-=--=-==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰证140.1x -⎰335313131311sec tan sec tan sec tan 444422133sec tan sec tan ln(tan sec ).488I x x I x x x x I x x x x x x C ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭=++++3/401334(sec tan sec tan ln(tan sec ))|4883ln(12S x x x x x x πππ=+++=+2222/2/22.(0),.cos ,02,sin ,cos .sin 224cos 444a xy b a a b x a tt x a t y b t y b t S b tdt b t b ππππππππ+=<≤=⎧''≤≤=-=⎨=⎩===-====⎰⎰⎰求1分别绕长短轴旋转而成的椭球面的面积解120/2/00222arcsin 2arcsin 2.224sin 444ln 2()b u ab S a tdta ta b a b ππεεεπεπππππ-⎤⎥⎦⎫=⎪⎭=====-⎰⎰⎰1022(22ln (1).u b a a b ππεε⎤+⎥⎥⎦⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦22223.(,0)x y a a h y a h a y +=-≤≤<<计算圆弧绕轴旋转所得球冠的面积.1010200025.10m ()(70.2)(70.2)70.180(kg).26..cos 0.,0sin sin 2[cos ]|.2(0,).27.,x x m x dx x x a x a tt y a t a tadtaay t aaππρπππππ=+⎡⎤=+=+=⎣⎦=⎧=≤≤⎨=⎩==-=⎰⎰0有一细棒长已知距左端点x处的线密度是kg/m求这细棒的质量.求半径为的均匀半圆周的重心坐标由对称性,x 重心坐标有一均匀细杆解解/54/52200../5./.l l l M l M MM l J x dx x dxl l ρ==+⎰⎰长为质量为计算细杆绕距离一端处的转动惯量解/54/533213.3375l l M x M x Ml l l =+=[]222arcsin 22arcsin22arcsin 2cos arcsin .sin 222cos sin 212.a h aa h aa h a x a t a h t y a ta S x x y dt a tdt a t a h a ah a πππππππππ---=⎧-≤≤⎨=⎩''=+==-⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰解a h -a ()222223/23/22123/21125/21224.(1cos ).2(1cos )sin (1cos )sin 22(1cos )sin 221cos cos 22(1)222(1)532.5r a S a a a d a d a d a x dx a x a πππθθπθθθθθπθθθπθθπππ--=+'=+++=+=-+=+=+=⎰⎰⎰⎰求心脏线绕极轴旋转所成的旋转体的侧面积000解r =-asin .222422222223228.,,,.2.2.221.4229.,,,,33,,13aa a M M M Mxdxdm xdx a a a Mxdx M xJ x Ma a a M a h a M M a M y x dm x dx x dx h a h h h a h d ρπππρρπππ=====⎛⎫===== ⎪⎝⎭⎰设有一均匀圆盘半径为质量为求它对于通过其圆心且与盘垂直的轴之转动惯量有一均匀的圆锥形陀螺质量为底半径为高为试求此陀螺关于其对称轴的转动惯量.解=解224522542550552001132213133.2251030.,2kg/m.29.8.29.89.8259.8().hha a M J dm x x dx h h a M a M x J x dx Ma h h dW xdx W xdx xJ ⎛⎫== ⎪⎝⎭=======⎰⎰楼顶上有一绳索沿墙壁下垂该绳索的密度为若绳索下垂部分长为5m,求将下垂部分全部拉到楼顶所需做的功.解2231.()[,],,(),,,(),(),().32.48m,64m,164,06424,,9b ay f x a b y f x x a x b x y dS f x dx dF pdS g xf x dx F g xf x dx y ax a a x ρρρ=========-=-=⎰设在上连续非负将由及轴围成的曲边梯形垂直放置于水中使轴与水平面相齐求水对此曲边梯形的压力.一 水闸门的边界线为一抛物线,沿水平面的宽度为最低处在水面下求水对闸门的的压力.解解642082083503(64).664.64,64,08,64,0.6(64)(2)126452428.8. 35y F g y ydy y u y u y u y u F g u u u dy u u g g ρρρρ=±-=--==-=====-⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰时时6424。