2013NG2FX002三角函数与平面向量(复习巩固)学生
高考数学一轮总复习 专题2 三角函数与平面向量课件 理
2021/12/13
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[解析]
(1)函数f(x)＝sin2x＋
3sin
xcos
x＝1－c2os
2x＋
3 2 sin
2x＝sin2x－π6＋12，
f(x)的最小正周期为T＝22π＝π.
(2)若f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，
可得2x－π6∈－56π，2m－π6，
即有2m－π6≥π2，解得m≥π3，
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【例3】 (2018·湖南期末)已知a＝(5 3cos x，cos x)，b＝(sin x,2cos x)，设函数f(x) ＝a·b＋|b|2＋32. (1)求函数f(x)的最小正周期和对称中心； (2)当x∈π6，π2时，求函数f(x)的值域； (3)该函数y＝f(x)的图象可由y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到？
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解析：(1)由题设知f(x)＝121＋cos2x＋π6. 因为x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，所以2x0＋π6＝kπ，k∈Z. 即2x0＝kπ－π6，k∈Z.
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所以g(x0)＝1＋12sin 2x0＝1＋12sinkπ－π6，k∈Z. 当k为偶数时，g(x0)＝1＋12sin－π6＝1－14＝34， 当k为奇数时，g(x0)＝1＋12sinπ6＝1＋14＝54.
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(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝121＋cos2x＋π6＋1＋12sin 2x＝12cos2x＋π6＋sin 2x＋32
＝12
3 2 cos
2x＋12sin
高一数学《三角函数与平面向量》精讲精练.doc
学习好资料 欢迎下载第三讲 三角函数与平面向量【知识网络】应用弧长公式同角三角函数诱导 应用计算与化简的基本关系式公式证明恒等式应用任意角的概念角度制与任意角的 三角函数的已知三角函应用弧度制图像和性质数值求角三角函数和角公式应用倍角公式应用差角公式应用第 1 课三角函数的概念考试注意：理解任意角的概念、 弧度的意义． 能正确地进行弧度与角度的换算． 掌握终边相同角的表示方法． 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义．掌握三角函数的符号法则．知识典例：1．角 α 的终边在第一、三象限的角平分线上，角 α 的集合可写成．2．已知角 α 的余弦线是单位长度的有向线段，那么角 α 的终边( )A ．在 x 轴上B ．在 y 轴上 C．在直线 y=x 上D ．在直线 y= － x 上 ． 3．已知角 α 的终边过点 p( －5， 12) ，则 cos α}， tan α =．4． tan( －3)cot5 ．cos8 的符号为5．若 cos θ tan θ ＞0，则 θ是( )A ．第一象限角 B．第二象限角 C ．第一、二象限角D．第二、三象限角【讲练平台】2例 1 已知角的终边上一点 P （－3 ， m ），且 sin θ =4 m ，求 cos θ 与 tan θ 的值．分析 已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由 P 的坐标可知，需求出 m 的值，从而应寻求 m 的方程．解 由题意知 r=3＋m 2，则 sin θ =m=m 2 ．r3＋m2m2又∵ sin θ = 4 m ， ∴ 3＋ m 2 = 4 m ． ∴ m=0， m=± 5 ．当 m=0时， cos θ = － 1 ， tan θ =0 ；当 m= 5 时， cos θ = － 6 ， tan θ = － 154 3 ；当 m= － 5 时， cos θ = － 6 15 ．，tan θ = 34点评 已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法( 三角函数 的定义 ) 解决．注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等； 已知角的终边上一点的坐标， 求三角函数值往往运用定义法；注意运用三角函数线解决有关三角不等式．1． 已知 α 是钝角，那么 α 是（）2A ．第一象限角B．第二象限角C ．第一与第二象限角D．不小于直角的正角2． 角 α 的终边过点 P （－ 4k ，3k ） (k ＜0} ，则 cos α 的值是（ ）3 43 4A ． 5B ． 5C ．－ 5D ．－53．已知点 P(sin α －cos α，tan α ) 在第一象限， 则在［ 0，2π］内，α的取值范围是( )A ． ( π ，3π) ∪ ( π ， 5π ) B ． ( π， π ) ∪ ( π， 5π) 2 4 4 4 24 π 3π5π 3π π π 3πC ． ( 2 ， 4)∪ ( 4 ， 2)D ． (4 ， 2)∪( 4， π )3 44．若 sinx= － 5，cosx = 5 ，则角 2x 的终边位置在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．若 4π＜ α ＜ 6π，且 α 与－ 2π终边相同，则 α =．36． 角 α 终边在第三象限，则角 2α 终边在 象限．7．已知｜ tanx ｜ =－tanx ，则角 x 的集合为．8．如果 θ是第三象限角，则 cos(sin θ) · sin(sin θ ) 的符号为什么？9．已知扇形 AOB 的周长是 6cm ，该扇形中心角是 1 弧度，求该扇形面积．第 2 课同角三角函数的关系及诱导公式掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α +cos 2α=1，sinα =tan α ，tan α cot α=1，cos α掌握正弦、 余弦的诱导公式． 能运用化归思想 （即将含有较多三角函数名称问题化成含有较 少三角函数名称问题）解题 ．1． sin 2150°+sin 2135° +2sin210 ° +cos 2225°的值是( )A ．1B ．3C ． 11D ．944443 2．已知 sin( π +α )= － ，则( )54343A ． cos α = 5B ． tan α = 4C ． cos α = － 5D ． sin( π － α )= 54sin α － 2cos α3．已 tan α =3， 5cos α ＋ 3sin α 的值为 ． 4．化简 1+2sin( π -2)cos( π +2) =．4455．已知 θ是第三象限角，且 sin θ +cos θ= 9，那么 sin2 θ等于( )A ．22B．－2 2C．2D．－233 33例 1 化简 sin(2 π - α )tan( π +α)cot(- α- π )．cos( π - α )tan(3 π - α )分析 式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化．解（ -sin α ） tan α ［ -cot( α +π ) ］ (-sin α )tan α (-cot α ) 原式 = (-cos α )tan( π - α ) = (-cos α )(-tan α)sin α · cos αsin α=．cos α=1点评 将不同角化同角， 不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方 法．1π π例 2若 sin θcos θ = 8 ， θ ∈ (4 ， 2 ) ，求 cos θ －sin θ 的值．分析已知式为 sin θ 、cos θ 的二次式， 欲求式为 sin θ 、cos θ 的一次式，为了运用条件，须将 cos θ －sin θ 进行平方．解 (cos θ － sin θ ) 2=cos 221 = 3 ．θ+sin θ －2sin θ cos θ =1－ 44π π∵θ ∈ ( 4 ，2)，∴ cos θ ＜sin θ ．∴cos θ － sin θ = － 3．2变式 1 条件同例， 求 cos θ +sin θ 的值．3 变式 2已知 cos θ － sin θ = －， 求 sin θ cos θ ， sin θ +cos θ的值．2点评 sin θ cos θ， cos θ +sin θ ， cos θ － sin θ三者关系紧密，由其中之一，可求其 余之二．1．在三角式的化简，求值等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的 三角函数．2．注意1 的作用：如1=sin2θ +cos2θ ．3．要注意观察式子特征，关于sin θ 、 cos θ 的齐次式可转化成关于 tan θ 的式子．4．运用诱导公式，可将任意角的问题转化成锐角的问题．1． sin600 °的值是（）1133 A ． 2B．－ 2 C． 2 D．－22． sin( π+α )sin （π － α ）的化简结果为 （）4 411A ． cos2 αB ． 2cos2αC． sin2 αD．2sin2 α13．已知 sinx+cosx= 5， x ∈［ 0， π ］，则 tanx 的值是（ ）3 4 434A ．－ 4B．－ 3C．± 3D ．－4或－34．已知 tan α =－ 1，则2sin 1 2= ．3α cos α +cos α1－ 2sin10 ° cos10 °的值为．5．cos10°－ 1－ cos 2170°1+2sin α cos α1+ tan α6．证明cos 2α － sin 2α = 1 － tan α．2sin θ +cos θ7．已知 sin θ － 3cos θ =－ 5，求 3cos2 θ +4sin2 θ 的值．8．已知锐角 α 、 β、 γ 满足 sin α +sin γ =sin β， cos α－ cos γ =cos β ，求 α － β 的值．第 3 课两角和与两角差的三角函数（一）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题． 1． cos105 °的值为（）6 ＋ 2 B6 － 2C2 － 6－6－2A ．．4．4D ．44π2．对于任何 α 、 β∈（ 0， 2 ）， sin( α+β ) 与 sin α +sin β的大小关系是 （ ）A ． sin( α +β ) ＞ sin α +sin βB ． sin( α +β ) ＜sin α +sin βC ． sin( α +β )=sin α +sin βD ．要以 α 、 β 的具体值而定3．已知 π＜ θ ＜ 3π， sin2 θ=a ，则 sin θ +cos θ 等于 （ ）2A ． a+1B ．－ a+1C ． a 2+1D ．± a 2+11 14．已知 tan α =3， tan β =3，则 cot( α +2β )= ．1 ，则 cos2x= ．5．已知 tanx=211 ，求 cos( α －β ) 的值 ． 例 1 已知 sin α －sin β =－， cos α － cos β =32分析 由于 cos( α － β )=cos α cos β+sin α sin β 的右边是关于 sin α 、 cos α、 sin β、 cos β 的二次式，而已知条件是关于 sin α 、 sin β、 cos α 、 cos β 的一次式，所以将已知式两边平方．解 1 ① cos α － cos β = 1∵ sin α －sin β =－ ，，② 32① 2＋② 2 ，得 2－ 2cos( α － β )=13．3672∴ cos( α － β )= 59．点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异．例 2 已知： sin( α +β)= － 2sin β ．求证： tan α =3tan( α +β ) ．分析 已知式中含有角 2α+β 和 β ，而欲求式中含有角 α和 α +β ，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角．解∵ 2α +β =( α +β)+ α ， β=( α +β) － α ，∴ sin ［ ( α +β )+ α ］ =－2sin ［ ( α +β ) － α ］．∴ sin( α+β )cos α+cos( α+β )sin α =－ 2sin( α+β )cos α+2cos( α +β )sinα．若 cos( α +β ) ≠0 ， cos α ≠ 0，则 3tan( α +β )=tan α ．点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将 α +β看成一个整体1．已知 0＜ α ＜ π＜ β ＜ π， sin α = 3， cos( α +β )= － 4，则 sin β等于（）255242424A ． 0B ．0 或25 C．25D．0 或－ 25sin7 ° +cos15 °sin8 °2．cos7 °－ sin15 ° sin8 °的值等于 （ ）A ．2+ 3B ． 2+ 3C ．2－ 3D ．2－ 32 23． △ ABC 中， 3sinA+4cosB=6 ， 4sinB+3cosA=1 ，则∠ C 的大小为（）π 5π π 5π π 2π A ． 6B．6 C．6或6 D ．3 或3π 14．若 α 是锐角，且 sin( α － 6 )= 3，则 cos α 的值是．5． cos π cos 2πcos3π=．7 771 16．已知 tan θ = ， tan φ = 2 3，且 θ 、 φ 都是锐角．求证： θ +φ =45°．7．已知cos( α －β)= － 4， cos(5α +β )=4，且（α －β）∈（π，π），α +β ∈（5 23π，22π），求 cos2 α、cos2 β的值．8．已知 sin( α +β)= 1，且 sin( π +α －β )=1 tan α2 3 ，求tan β．第四课平面向量基本概念一、 1. 向量是既有又有的量。
2013届高考数学考前指导----课本回归课本专题四三角函数与平面向量
回归课本专题四 三角函数与平面向量 第1 页回归课本专题四： 三角函数、平面向量一．三角函数：1.终边相同(2,k k Z βπα=+∈)；弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==， 1弧度(1rad)57.3≈.例1：（1）θ是第一象限角，试探究：（1）2θ一定不是第几象限角？（2）3θ是第几象限角？(2)当角,αβ满足什么条件时，有sin sin αβ=？cos cos ?αβ= (3)若α为锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线比较：,sin ,tan ααα之间的大小. (4)设O 为坐标原点，111(,)P x y 和222(,)P x y 为单位圆上两点，且12POP θ∠=，求证：1212cos x x y y θ+=. (5).已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.2、函数sin(),(0,0)y A x A ωϕω=+>>①五点法作图；②振幅?相位?初相?周期T=ωπ2,频率?③,k k Z ϕπ=∈时奇函数；,2k k Z πϕπ=+∈时偶函数.例2（1）函数522y sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的奇偶性是______； （2）已知函数31f (x )ax bsin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______；（3）函数)c o s (s i n c o s2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________；（4）已知f (x )sin(x )x )θθ=++为偶函数，求θ的值.④变换:1||sin sin()sin()y x y x y x ϕωϕωϕ=−−−−−→=+−−−−−−−→=+横坐标伸缩到原来的倍左或右平移1||sin sin sin()y x y x y x ϕωωωωϕ=−−−−−−−→=−−−−−→=+横坐标伸缩到原来的倍左或右平移||sin()sin()A b y A x y A x b ωϕωϕ−−−−−−−→=+−−−−−→=++纵坐标伸缩到原来的倍上或下平移.例3.把函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移6π个单位,所得到的图像的函数的解析表达式为 ,在将图像上的所有点的横坐标变为原来的一半(纵坐标不变),则所得到的图像的函数表达式为 .3、正弦定理:2sin a R A ==B b sin =C c sin ；内切圆半径2ABCS r a b c∆=++；余弦定理：2222cos a b c bc A =+-,bca cb A 2cos 222-+=；111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===例4. 在ABC ∆中,已知cos cos ,a b c B c A -=⋅-⋅则ABC ∆的形状是 . 4、同角基本关系： 例5：已知11tan tan -=-αα，则ααααcos sin cos 3sin +-＝____；2cos sin sin 2++ααα＝_________；5、诱导公式简记:奇变偶不变．．．．．,．符号看象限．．．．．．(注意：公式中始终视．．．α．为锐角．．．)．6、重要公式：两角和与差的三角函数：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=⋅±⋅；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=⋅⋅ ； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=⋅ ；二倍角公式：sin 22sin cos ααα=⋅；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；22tan tan 21tan ααα=-； 升、降幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；例6.(1)函数25f (x )sin xcos x x =-x R )∈的单调递增区间为___________ ⑵已知ABC ∆中，三内角为,,A B C，满足112,cos cos A C B A C +=+=，求cos 2A C -的值.巧变角：如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等， 例6（3）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____；（4）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______（5）求证：①1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++；②sin50(1)1︒⋅+︒=； （6）已知sin sin(2)m βαβ=+，且(),(),122k k k Z k Z m ππαβπα+≠+∈≠∈≠. 求证：1tan()tan 1mmαβα++=-. 7、辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+=+(其中tan b aθ=)如：（1）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______；（2）如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= ；二、平面向量：8、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量.回归课本专题四 三角函数与平面向量 第2 页的相反向量是－a .)、共线向量、相等向量注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）9、加、减法的平行四边形与三角形法则:AC BC AB =+;CB AC AB =-,+≤±≤-,10、向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则：①0a b a b ⊥⇔⋅=；②当a ，b 同向时，a ⋅b ＝a b，特别地，22,a a a a a =⋅==当a 与b 反向时，a ⋅b ＝－a b；当θ为锐角时，a ⋅b ＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a ⋅b ＜0，且 a b 、不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件；③||||||a b a b ⋅≤.如（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______；11、向量b 在方向上的投影︱b ︱cos θ12、 →1e 和→2e 是平面一组基底,则该平面任一向量→→→+=2211e e a λλ(21,λλ唯一)特别：＝12OA OB λλ+，则121λλ+=是三点P 、A 、B 共线的充要条件如：平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=−→−OC −→−−→−+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹方程是_______13、在ABC ∆中，①1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心，特别地0PA PB PC P ++=⇔ 为ABC ∆的重心；②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心；③向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；如：（1）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC的形状为____；（2）若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0P A B P C P ++= ，设||||AP PD λ=，则λ的值为___； （3）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC △的内角C 为____；14、重心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.3y y y y ,3x x x x 321321如（1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a把点(7,2)-平移到点______；（2）函数x y 2sin =的图象按向量→a 平移后，所得函数的解析式是12cos +=x y ，则→a ＝________（3）设,a b是两个非零向量，如果()()375a b a b +⊥- ，且()()472a b a b -⊥- ，求a b与的夹角.（4）设ABC ∆中，,,AB c BC a CA b ===，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅ ，判断ABC ∆的形状.（5）已知向量,,OA OB OC 满足条件0OA OB OC ++= ，且1OA OB OC ===，求证：ABC ∆为正三角形.三、练习：1.（必修4P24.9（2）改编）设1tan 2α=-，则23cos 2sin 21αα=++ . 2.（必修4P24.10）若α可化简为 . 3.（必修4P24.15）已知1sin()64x π+=，则25sin()sin ()63x x ππ-+-= . 4.（必修4P24.3改编）若函数()sin()5f x kx π=+的最小正周期为23π，则k= .5.（必修4P42.2）把函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移6π个单位，所得到的图像的解析式为 ，再将图像上的所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），则所得到的图像的解析式为 . 6.（必修4P49.7= .7.（必修4P11.5（2））已知sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆的形状为 . （必修4P17.10）在ABC ∆中，已知22,sin sin sin a b c A B C =+=，则ABC ∆的形状为 .（必修4P24.2（2））已知sin sin sin cos cos A BC A B+=+,则ABC ∆的形状为 .8.（必修4P16.例6）AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，则AM 可用三边AB,AC,BC 表示为 .9.（必修4P84.例1改编）已知向量,,a b c ，满足0a b c ++= ，且a b 与的夹角为135，c b与回归课本专题四 三角函数与平面向量 第3 页的夹角为1202c =，，则a b ⋅=. 10.（必修4P77.11）已知O 为坐标原点，A （3，1），B （-1，3）.若点C 满足OC OA OB αβ=+其中1R αβαβ∈+=，，且，则点C 的轨迹方程为 .11.（必修4P83.10改编）设(,3),(2,1)a x b ==-.①若a b 与的夹角为锐角，则x 的取值范围为 ；②若a b与的夹角为钝角，则x 的取值范围为 ；③当x=4时，a 在b方向上的投影为 .12.（必修4P99.例4）︒︒︒-20cos 20sin 10cos 2= . （必修4P105.4）︒++︒︒︒︒81tan 39tan 240tan 81tan 39tan = ； （必修4P109例4）()︒︒+10tan 3150sin = . （必修4P118.15（2））()()()︒︒︒+++45tan 12tan 11tan 1 = .13. （必修4P117.12改编）24cos 3sin 2++=-m m αα，则m 的取值范围是 .14. （必修4P115.2改编） ︒︒-15sin 75sin = ；︒︒-15cos 75cos = ；︒︒+15sin 75sin = ；=+︒︒15cos 75cos .（必修4P114.1改编）︒︒15cos 75sin = ；︒︒15cos 75cos = .︒︒15sin 75cos = ；sin ︒75︒15sin = .15.如图，设P,Q 为ABC ∆内的两点，且2155AP AB AC =+ ，2134AQ AB AC =+，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为.16. （必修4P83.13）已知1,a b a b ==+= 则a b a b +-与 的夹角为 .17. 设P 是椭圆1162522=+y x 上任意一点，A 和F 分别是椭圆的左顶点和右焦点， 则14PA PF PA AF ⋅+⋅的最小值为 .18.在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则⋅的值为 .19. O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+-2)=0，则∆ABC 是 三角形.20. O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[+∞∈++=λλOA OP ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的 心.21.已知向量M={ a | a =(1,2)+λ(3,4) λ∈R}， N={a |a =(-2,2)+ λ(4,5) λ∈R }，则M ⋂N= . 22. 过△ABC 的重心作一直线分别交AB,AC 于D,E,若x = y =,(0≠xy ),则yx 11+的值为 . 23.要得到函数的图像，x y sin =只需将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3cos πx y 的图像 . 24. 已知()()()⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=36,36,03sin ππππϖπϖ，在区间且x f f f x x f 有最小值，无最大值，则=ϖ .四、品味经典1. （必修4P117.14）如图，在半径为R ，圆心角为60︒的扇形AB 弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PMNQ,使点Q 在OA 上，点M,N 在OB 上，求这个矩形面积的最大值及相应的AOP ∠的值.MNB回归课本专题四 三角函数与平面向量 第4 页2.已知函数2()4sin sin ()cos242xf x x x π=++ （1）设0ω>为常数，若()y f x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求w 的取值范围 （2）设集合{}2;()263A xx B x f x m ππ⎧⎫=≤≤=-<⎨⎬⎩⎭，若A B ⊆，求实数m 的取值范围.3.在ABC ∆中，角A,B,C 分别对应边为,,,cos a b c b a C =，判断ABC ∆的形状.4. 在ABC ∆中，已知角A 、B 、C 所对的三边分别是,,a b c ,且ac b =2（1）求证：30π≤<B ；（2）求函数BB By cos sin 2sin 1++=的值域.。
高考二轮数学复习：三角函数与平面向量
2019年高考二轮数学复习: 三角函数与平面向量2019年高考二轮数学考点突破复习: 三角函数与平面向量1.三角函数作为一种重要的基本初等函数, 是中学数学的重要内容, 也是高考命题的热点之一.近几年对三角函数的要求基本未作调整, 主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等.高考对三角函数与三角恒等变换内容的考查, 一是设置一道或两道客观题, 考查三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等内容;二是设置一道解答题, 考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用, 一般出现在前两个解答题的位置.无论是客观题还是解答题, 从难度来说均属于中低档题目, 所占分值在20分左右, 约占总分值的13.3%.2.平面向量是连接代数与几何的桥梁, 是高考的重要内容之一.高考常设置1个客观题或1个解答题, 对平面向量知识进行全面的考查, 其分值约为10分, 约占总分的7%.近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题, 一是直接考查向量的概念、性质及其几何意义;二是考查向量、正弦定理与余弦定理在代数、三角函数、几何等问题中的应用.1.2019年高考试题预测(1)分析近几年高考对三角函数与三角恒等变换部分的命题特点及发展趋势, 以下仍是今后高考的主要内容:①三角函数的图象与性质是高考考查的中心内容, 通过图象求解析式、通过解析式研究函数性质是常见题型.②解三角函数题目的过程一般是通过三角恒等变换化简三角函数式, 再研究其图象与性质, 所以熟练掌握三角恒等变换的方法和技巧尤为重要, 比如升幂(降幂)公式、asin x+bcos x的常考内容.③通过实际背景考查同学们的数学建模能力和数学应用意识.。
2013届高考数学一轮复习讲义：专题三-三角函数与平面向量的综合应用
解 (1)由 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1， 得 f(x)＝ 3(2sin xcos x)＋(2cos2x－1) ＝ 3sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π6. 所以函数 f(x)的最小正周期为 π.
因为 f(x)＝2sin2x＋π6在区间0，π6上为增函数，在区间π6，π2上 为减函数，又 f(0)＝1，fπ6＝2，fπ2＝－1，所以函数 f(x)在区间 0，π2上的最大值为 2，最小值为－1. (2)由(1)，可知 f(x0)＝2sin2x0＋π6. 又因为 f(x0)＝65，所以 sin2x0＋π6＝35.
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.
∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．
主页
∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0. ∴cos B＝12，∵0<B<π，∴B＝π3.∴0<A<23π. ∴π6<A2 ＋π6<π2，sinA2 ＋π6∈12，1.
[4 分]
(2)解 |b＋c|2＝(b＋c)2＝b2＋c2＋2b·c＝sin2β＋16cos2β＋cos2β＋
16sin2β＋2(sin βcos β－16sin βcos β)
＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β，
最大值为 32，所以|b＋c|的最大值为 4 2.
[9 分]
(3)证明 由 tan αtan β＝16，得 sin αsin β＝16cos αcos β，
主页
三角函数式的化简求值问题
例 1 已知函数 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1 (x∈R)． (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最 小值； (2)若 f(x0)＝65，x0∈π4，π2，求 cos 2x0 的值．
高三数学 二轮专题复习 专题2 三角函数与平面向量 第4讲 平面向量课件 文
＝
1 2
|
A→B
||
A→C
|
＝
20,
∴
|
A→B
|·| A→C
|
＝
40,
∴
|
B→C
|2
≥
40,|B→C|≥2 10, ∴|B→C|的最小值为 2 10.
【点评】在平面向量与三角函数的综合问题中,一 方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题,如利 用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系, 利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可 以利用三角函数的知识解决平面向量问题.在解决此类 问题的过程中,只要根据题目的具体要求,在向量和三 角函数之间建立起联系,就可以根据向量或者三角函 数的知识解决问题.
【点评】在平面向量与解析几何的综合问题中,难 点是如何把向量表示的解析几何问题转化为纯粹的解 析几何问题,破解难点的方法是先根据平面向量知识 把向量表述的解析几何问题的几何意义弄明白,再根 据这个几何意义用代数的方法研究解决.
(2)已知向量 a,b 满足|a|＝2|b|≠0,且关于 x 的函数
f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5 在 R 上单调递减,则向量
30°), 即 C32， 23. ∵∠BOA＝120°,∴A( 3cos 120°, 3sin 120°),
即
A－
23，32.又
B(
3,0), O→C＝λO→A＋μO→B.
∴32， 23＝λ－ 23，32＋μ( 3,0).
∴32＝－ 23λ＋
23＝32λ
3μ
λ＝
,解得
3 3
μ＝2 3 3
∴λ＋μ＝
θ＝2 5 5, 所以A→B在A→C方向上的投影为|A→B|cos θ＝2.
高三数学二轮复习三角函数与平面向量专题
A
6
1
3
cos A cos A
sin A
2
2
3 sin A
.
3
33（本题满分 12 分）
在 ABC 中 ,角 A ． B．C 的对边分别为 a、b、c,且满足 (2a-c)cosB=bcos
C． (Ⅰ )求角 B 的大小 ;
(Ⅱ ) 设 m sin A,cos2 A ,n 4k,1 k 1 , 且 m n 的最
(Ⅱ )求 cos A sin C 的取值范围 . 【 解 析 】 :( Ⅰ ) 由 a 2b sin A , 根 据 正 弦 定 理 得
1 sin A 2sin Bsin A ,所以 sin B ,
2
由 ABC 为锐角三角形得 B
π
.
6
(Ⅱ ) cos A sin C cos A sin
A
cos A sin
π
1 2sin 2x
．
3
又∵ x
π，π ， ∴ π≤ 2x
π≤
2π
，
42
6
33
即 2 ≤ 1 2sin 2x π ≤ 3，
3
∴ f ( x)max 3， f ( x) min 2 ． （ Ⅱ ） ∵ f ( x) m 2 f ( x) 2 m f (x) 2 ，
x π，π ， 42
∴ m f ( x)max 2 且 m f ( x)min 2 ， ∴1 m 4 ，即 m 的取值范围是 (1，4) ．
大值是 5,求 k 的值 .
学习好资料
【解析】 :(I) ∵(2 a-c)cosB=bcosC, ∴(2sin A-sinC)cosB=sinBcos C． 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin( B + C) ∵A+B+C=π∴，2sinAcosB=sinA ． ∵0<A<π，∴sinA≠0.
高考数学新课标全国二轮复习课件3.三角函数、解三角形及平面向量2
2������-������ = 0, ������ 2 + ������ 2 = 0, ������ = ������ =
5 5 或 2 5 5
解得
,
������ = ������ = -
5
5 2 5 5
, ,
所以|x+2y|= 5.
考点1
考点2
考点3
考点4
(2)(a+b)· a=0,所以 a· b=-a2,设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ=|������ |· =- ,所以夹角为 120°. |������ | 2 答案:(1) 5 (2)120°
考点1
考点2
考点3
考点4
考点 2 向量的模及夹角问题
(1)设单位向量m=(x,y),b=(2,-1).若m⊥b,则|x+2y|= (2)向量(a+b)与a垂直,且|b|=2|a|,则a与b的夹角为 解析:(1)因为m⊥b,所以m· b=2x-y=0. 又m为单位向量,所以x2+y2=1. . .
由
①a∥b⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0. ②a⊥b⇔a· b=0⇔x1x2+y1y2=0.
③向量的夹角 cos θ=|������ ||������ | =
������ · ������
������ 1 ������ 2 +������1 ������2
2 +������ 2 ������ 2 +������ 2 ������ 1 1 2 2
系.
(5)向量的应用
①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. ②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
平面向量的概念与运算 (1)要准确理解平面向量的概念 ①零向量的模为 0,方向是任意的,它与任何非零向量都共线;② 与 a 共线的单位向量为±|������ |;③方向相同或相反的向量叫做共线向量 (或平行向量);④向量的夹角:已知非零向量 a 与 b,作������������=a,������������=b,则 ∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫向量 a 与 b 的夹角;⑤向量的投影:设向量 a 与 b 的夹角为 θ,则|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影. (2)平面向量数量积的概念:已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹 角为 θ,则 a· b=|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积).规定 0· a=0.
平面向量巩固提高练习一
三角函数、平面向量巩固提高练习（必修四）1、函数)(x f =lg(2sin x +1)+的定义域是 . 2、函数xy tan 11-=的定义域是 ．3、观察正切曲线，满足条件tan x ³x 的取值集合是．4、函数y =的定义域为． 5、设0a >且1a ≠.若log sin 2a x x >对(0,)4x π∈恒成立,则a 的取值范围是（ ） A.(0,)4π B.(0,]4π C.(,1)(1,)42ππ⋃ D.[,1)4π 6、不等式tan 1x ?的解集是 （ ）A ．(2,2]()24k k k Z p p p p --? B. ]232,42[ππππ+-k k ()k Z Î C. ]4,2(ππππ--k k ()k Z Î D. ]432,22[ππππ++k k ()k Z Î 7、函数263sin ()x y x ππ≤≤=的值域是 ．8、函数cos y x = (346ππ≤≤x )的值域是( )A ．1[2-B ．1[,1]2-C ．[-D ．[-1,1] 9、函数2sin()16y x π=++，]2,2[ππ-∈x 的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．12-+ 10、函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[0,]2π上的最小值是A ．-lB ．2C ．2-．0 11、已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．12、已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有最大值，无最小值，则ω＝__________．13、函数())24x f x π=-,x R ∈的最小正周期为（ ） A ．2π B ．π C ．2π D ．4π 14、周期在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎫2x ＋π6， ④y ＝tan ⎝⎛⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③15、对于函数y =sin(132π-x ），下面说法中正确的是 ( ) (A) 函数是周期为π的奇函数 (B) 函数是周期为π的偶函数(C) 函数是周期为2π的奇函数 (D) 函数是周期为2π的偶函数16、函数)0)(sin(πϕϕ≤≤+=x y 是R 上的偶函数，则=ϕ（ ）A 0 B4π C 2π D π 17、若存在非零实数a ，使函数)(x f 满足：对函数定义域内任意自变量x ，)()(x f a x f -=+成立，则函数)(x f 为周期函数，周期为 .18、若存在非零实数a ，使函数)(x f 满足：对函数定义域内任意自变量x ，)(1)(x f a x f -=+成立，则函数)(x f 为周期函数，周期为 .。
高考数学一轮复习课件-专题二三角函数与平面向量广东版
∵B 为锐角，∴2B∈(0，π)，
∴2B＝23π，即 B＝π3. 方法二，由 m∥n 得 3cos 2B＝－2sin Bcos B，
即 3cos 2B＝－sin 2B， ∴sin 2B＋ 3cos 2B＝0，即 2sin2B＋π3＝0， ∴2B＋π3＝kπ，k∈Z，即 B＝－π6＋k2π，k∈Z， ∵B 为锐角，∴B＝π3.
题型一 三角函数和解三角形 有关三角函数与解三角形的综合是全国各地的高考题中的 一种重要题型，对于这类题，通常是先利用正弦定理或者余弦 定理，将边的关系转化为只含有角的关系，再利用三角函数知 识来处理.
[例 1]在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，在 ①bcos Acos C＝asin Bsin C－12b；②bsin Bcos C＋12csin 2B＝
即 cos(A＋C)＝－12， 因为 B＝π－(A＋C)，所以 cos(A＋C)＝－cos B＝－12， 即 cos B＝12， 因为 0<B<π，所以 B＝π3. 若选择②，由正弦定理得
sin2Bcos C＋12sin Csin 2B＝ 3sin Acos B， 即 sin2Bcos C＋sin Csin Bcos B＝ 3sin Acos B，
∴BD＝4 5 7，AD＝BD·sin B＝4 5 7× 1241＝2 5 3，
∴△ABD 的周长为 2＋2 5 3＋4 5 7＝10＋2
3＋4 5
7 .
题型四 三角中的范围问题 [例 4](202X 年浙江)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边 分别为 a，b，c，且 2bsin A＝ 3 a. (1)求角 B； (2)求 cos A＋cos B＋cos C 的取值范围.
【规律方法】利用向量的运算性质将向量间关系化为三角 形中的边角关系是解题关键.
平面向量(课后巩固练习向量的加法等20份) 北师大版6精品公开PPT课件
r a
,
br均由向量
和nr
线mu性r 表示，待求向量
r a
,的br 夹角，求解时可先利用
a r2 m u r n r， b r求 模2 n r， 3 m u r
再利用 a r g b r ( 2 m u r n r) g 求( 2 n r 数 量3 m u r 积)，最后代入公
式求夹角.
【规范解答】∵ mu和r 是nr 两个单位向量，其夹角是60°，
u uur AB
u uur BD
u uur AB
5
uur BC
5
uuur
AB
5
u uur u uur AC AB
5
（1
5
r ）a
5
r b.
5
5
r r r u uur
( 2 ) Q a gb 0 , b A C 5，
u uur u uur A D gA C （1
5
r ）a
r gb
均eur1 是 t向eur2 量
ur ur e1 , e 2
的线性组合，且夹角为钝角，求解思路为：计算
u r u r u r u r
(2 te17 e2)ge1需t特e2别＜ 注0 ,意排除向量共线且反向的特
殊情形.
【规范解答】由向量
ur 2te1
与7eur2
e的ur1 夹teu角r2 为钝角，得
是可正、可负、可为零的，故
r b
在
方ar 向上的射影不是
在br
r a
所在直线上射影的长度；对于C选项，
rr rr
rr
agbabcosagb；
对于D选项，向量的数量积满足交换律、分配律，但不一定
2013NG2FX002三角函数与平面向量(复习巩固)教师
编码：2013NG2FX002三角函数与平面向量基础知识三角函数1．同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin . 2．正弦、余弦的诱导公式απ±k 的正弦、余弦，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号；αππ±+2k 的正弦、余弦，等于α的余名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号．3．和角与差角公式 s i n ()s i nc o s c o s sαβαβαβ±=±； cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=． 4．二倍角公式sin 22sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-．22tan tan 21tan ααα=-. 公式变形： ;22cos 1sin ,2cos 1sin 2;22cos 1cos ,2cos 1cos 22222αααααααα-=-=+=+= 5．三角函数的周期函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A ,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A ,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 6． 函数sin()y x ωϕ=+的周期、最值、单调区间、图象变换 7．辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 其中ab =ϕtan 平面向量1．a 与b 的数量积(或内积)θcos ||||b a b a ⋅=⋅ 2．平面向量的坐标运算(1)设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则b a ⋅=2121y y x x +. (3)设a =),(y x ，则22y x a +=3．两向量的夹角公式设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且0≠b ，则222221212121cos y x y x y y x x ba b a +⋅++=⋅=θ4．向量的平行与垂直b a //⇔a b λ= 12210x y x y ⇔-=.)0(≠⊥a b a ⇔0=⋅b a 12120x x y y ⇔+=.5．如果点在单位圆上，即点P 在122=+y x 上，则可假设()ααsin ,cos P ．典型例题例1．已知函数()2cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ．（1） 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （2）若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解析：（1）2cos 2cos 2cos 1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）22cos 22cos 2cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-,所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭.例2．已知函数22()23sin cos cos sin 1f x x x x x =⋅+--（x ∈R ）（1）求函数()y f x =的周期和递增区间；（2）若5,123x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的取值范围．解：（1）由题设()3sin 2cos212sin(2)16f x x x x π=+-=+-……………… 3分由222262k x k ππππ-+π+≤≤，解得36k x k πππ-π+≤≤，故函数()y f x =的单调递增区间为,36k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）……………… 6分（2）由5123x ππ-≤≤，可得22366x ππ5π-+≤≤………………………… 8分考察函数sin y x =，易知1sin(2)16x π+-≤≤………………………… 10分于是32sin(2)116x π+--≤≤．故()y f x =的取值范围为[3,1]-……………………………………………… 12分例3．（1）函数()sin cos =⋅f x x x 的最小正周期是__________________．（2）函数3sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的递减区间是_______________． （3）把x y sin =的图象向左平移3π个单位，得到函数 的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数的图象．解答：（1）π； （2）42,233k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ （3）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin πx y ；⎪⎭⎫ ⎝⎛+=321sin πx y ．例4．已知函数()b x xa x f ++=)sin 2cos2(2． （1）当1=a 时，求()x f 的单调递增区间．（2）当0<a ，[]π,0∈x 时，()x f 的值域是[]4,3，求a ，b 的值． 【分析】 关键是把()x f 的表达式化成单角的三角函数． 【解】 （1）∵1=a ，∴=()1cos sin sin 2cos22+++=++=b x x b x xx f b x +++=1)4sin(2π，∵y =sin x 的单调递增区间是［2kπ2π-， 2kπ+2π］，k ∈Z 。
2013届高三数学二轮复习课件：3.3平面向量
专 题 复
习
·(
∴A→D·B→E＝a2＋b2·23b－a
数 学 新 课
标
＝13a·b－|a2|2＋|b3|2－12a·b
)
版
＝|b3|2－|a2|2－16a·b＝13－12－16×12＝－14.
专题三 三角函数与平面向量
《
[例2] (2011·山东潍坊质检)已知向量a＝(1,2)，b＝(－
走 向
高
》 二 轮 专
题
在Rt△BEC中，CE＝BCsinB＝ 3a·1a＝ 3，
复 习 数
·(
学
∴cos∠DAC＝cos∠ACE＝AC3，
新 课 标
∴A→D·A→C＝|A→D|·|A→C|cos∠DAC
)
版
＝AD·AC·AC3＝ 3.
专题三 三角函数与平面向量
[评析] 与平面向量数量积有关的问题
《 走
向
2 2.
走 向 高 考
》
|a＋b|＝ a2＋b2＋2a·b
二 轮 专
题
·(
＝ 1＋12＋2·12＝ 210，
复 习 数
学
|a－b|＝ a2＋b2－2a·b＝
1＋12－2·12＝
2 2.
新 课 标 版
)
1
∴cosθ＝a|a－＋bb|·|aa－＋bb| ＝
2 10
＝ 2
5 5.
2 ·2
专题三 三角函数与平面向量
《 走 向 高
考
又∵f(x)＝m·n＝sinx2＋6π＋12，
》 二 轮 专
题
·(
∴f(A)＝sinA2＋π6＋12.
复 习 数 学
故f(A)的取值范围是1，32.
数学(理)二轮复习 讲学案：考前回扣 三角函数与平面向量
回扣4 三角函数与平面向量1．准确记忆六组诱导公式对于“错误!±α，k∈Z”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀:奇变偶不变，符号看象限．2．三角函数恒等变换“四大策略"(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．（2)降次与升次:正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．（3）弦、切互化：一般是切化弦．(4）灵活运用辅助角公式a sinα＋b cosα＝a 2＋b 2sin（α＋φ）错误!. 3．三种三角函数的性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象单调性在错误!错误!（k∈Z）上单调递增；在错误!（k∈Z）在［－π＋2kπ，2kπ］（k∈Z）上单调递增；在[2kπ，π＋在错误!错误!(k∈Z)上单调递增4。
函数y＝A sin（ωx＋φ)(ω＞0，A＞0）的图象(1)“五点法”作图设z＝ωx＋φ,令z＝0，错误!，π，错误!，2π，求出相应的x的值与y的值,描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．（3）图象变换y＝sin x错误!y＝sin(x＋φ)错误!y＝sin(ωx＋φ)错误!y＝A sin(ωx＋φ）．5．正弦定理及其变形错误!＝错误!＝错误!＝2R(2R为△ABC外接圆的直径）．变形：a＝2R sin A,b＝2R sin B，c＝2R sin C。
sin A＝a2R,sinB＝错误!,sin C＝错误!。
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C。
6．余弦定理及其推论、变形a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C。
推论:cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，cos B ＝错误!, cos C ＝错误!。
变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ,a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 。
高一复习资料-三角函数与平面向量(学生)
专题-----平面向量与三角函数 1．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB 、BC 分别为a 、b ，则AH =（ ）AB C E FDHA ．52a －54bB ．52a +54bC ．－52a +54bD ．－52a －b 2．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③3．ABC ∆中，点E 为AB 边的中点，点F 为边AC 的中点，BF 交CE 于点G ，若AG x AE y AF x y =++，则等于（ ） A ．32 B ．1 C ．43 D ．234．已知向量(1,2)a =，1(3,1)2a b -=，(,3)c x =，若()2a b c +∥，则=x （ ） A ．2- B ．4- C ．3- D ．1- 5．在边长为2的菱形ABCD中， 120=∠BAD ，则A C 在A B 方向上的投影为 （ ） A ．14 B ．12C ．1D ．2 6．函数4tan )(x x f π=，)6,2(∈x 的图象与x 轴交于A 点，过点A 的直线l 与函数的图象交于,B C 两点，则()OB OC OA +⋅= （ ）A ．32B ．16C ．8D ．47．在∆ABC ，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，设向量p ＝（b-c,a-c ）,(,)q c a b =+若p q ，则角A 的大小是（ ）A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°8．在∆ABC 中，P 是BC 上一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B ．511 C ．411 D ．3119．已知AB 是圆O 的一条弦．A ．若ABO ∆的面积确定，则OA AB ⋅的值确定 B ．若ABO ∆的周长确定，则OA AB ⋅的值确定C ．若AB 的弦长确定，则OA AB ⋅的值确定D ．若OAB ∠的大小确定，则OA AB ⋅的值确定10．已知a ，b 为非零向量，若+=-a b b a ，则 A ．a ，b 方向相同，且≥a b B ．a ，b 方向相反，且≥a bC ．a ，b 方向相同，且≤a bD ．a ，b 方向相反，且≤a b11．ABC ∆的外接圆圆心为O ，半径为2，0OA AB AC ++=，且OA AB =，则CB 在CA 方向上的投影为A ．1B ．2C ．3D ．312．以下给出了4个命题： （1）两个长度相等的向量一定相等；（2）相等的向量起点必相同；（3）若c a b a ⋅=⋅，且0≠a ，则=b c ；（4）若向量a 的模小于b 的模，则<a b .其中正确命题的个数共有 （ ）A 、3个B 、2个C 、1个D 、0个13．设函数()sin f x x x =⋅，若12,[,]22x x ππ∈-，且12()()f x f x >，则下列不等式恒成立的是（ ） （A ）12x x > （B ）12x x < （C ）120x x +> （D ）2212x x >14．已知函数sin()1,0,()2log (0,1),0a x x f x x a a x π⎧-<⎪=⎨⎪>≠>⎩且的图像上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭ B．⎫⎪⎪⎝⎭ C．⎫⎪⎪⎝⎭ D．⎛ ⎝⎭15.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c，若22a b -=，sin C B =，则A =（ ）A ．150B ．120C ．60D ．3016.已知角α的终边上有一点(1,3)P ，则sin()sin()22cos(2)ππαααπ--+-的值为（ ） A ．1 B ．45- C ．1- D ．4- 17.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=（ ） A ．13- B ．13 C ．23- D ．2318.在 ABC △中，3=AB ，1=AC ，︒=∠30B ， ABC △的面积为23，则=∠C （ ）A ．︒30B ．︒45C ．︒60D ．︒75 19.已知1tan 3θ=，那么πtan ()4θ+等于 （ ） A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 20.以为底边的等腰三角形中，AC 边上的中线长为6，当ABC ∆面积最大时，腰AB长为（ ）A ．． ． ．21.设c b a ,,为三角形ABC 三边，,,1c b a <≠若log log 2log log c b c b c b c b a a a a +-+-+=，则三角形ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定22.在△ABC 中，,,a b c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，且c b a >>，若向量(,1)m a b =-和(,1)mb c =-平行，且sinB ＝45，当△ABC 的面积为32时，则b ＝（ ） A ．2 C ．4 D ．2 23.△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c，若,22a A B ==，则cos B =（ ） A。
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编码：2013NG2FX002
三角函数与平面向量
基础知识
三角函数
1．同角三角函数的基本关系式
22sin cos 1θθ+=，tan θ=
θ
θ
cos sin . 2．正弦、余弦的诱导公式
απ±k 的正弦、余弦，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号；
απ
π±+
2
k 的正弦、余弦，等于α的余名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号．
3．和角与差角公式 s i n ()s i n
c o s c o s s
αβαβαβ±=±； cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ；
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
． 4．二倍角公式
sin 22sin cos ααα=.
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-．
2
2tan tan 21tan α
αα
=-. 公式变形： ;
2
2cos 1sin ,2cos 1sin 2;
22cos 1cos ,2cos 1cos 22222α
αααα
ααα-=-=+=+= 5．三角函数的周期
函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A ,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期
2T π
ω
=
；函数tan()y x ωϕ=+，,2
x k k Z π
π≠+
∈(A ,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω
=
. 6． 函数sin()y x ωϕ=+的周期、最值、单调区间、图象变换 7．辅助角公式
)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 其中a
b =
ϕtan 平面向量
1．a 与b 的数量积(或内积)θcos ||||b a b a ⋅=⋅ 2．平面向量的坐标运算
(1)设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--
.
(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则b a ⋅=2121y y x x +. (3)设a =),(y x ，则22y x a +=
3．两向量的夹角公式
设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且0≠b ，则2
2
2
22
12
12121cos y x y x y y x x b
a b a +⋅++=
⋅=θ
4．向量的平行与垂直
b a //⇔a b λ= 12210x y x y ⇔-=.
)0(≠⊥a b a ⇔0=⋅b a 12120x x y y ⇔+=.
5．如果点在单位圆上，即点P 在12
2
=+y x 上，则可假设()ααsin ,cos P ．
典型例题
例1．已知函数()2cos 12f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭，x ∈R ．
（1） 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （2）若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭．
例2．已知函数22()23sin cos cos sin 1f x x x x x =⋅+--（x ∈R ）
（1）求函数()y f x =的周期和递增区间；（2）若5,123x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的取值范围．
例3．（1）函数()sin cos =⋅f x x x 的最小正周期是__________________．
（2）函数3sin 6y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的递减区间是_______________． （3）把x y sin =的图象向左平移
3
π
个单位，得到函数 的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数
的图象．
例4．已知函数()b x x
a x f ++=)sin 2
cos
2(2
． （1）当1=a 时，求()x f 的单调递增区间．
（2）当0<a ，[]π,0∈x 时，()x f 的值域是[]4,3，求a ，b 的值．
例5．（1）若(2,8)OA = ，(7,2)OB =- ，则3
1AB
= ．
（2）已知),1,(),3,1(-=-=x b a 且a ∥b ，则x 等于 ．
（3）已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝ ．
（4）若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，则a ·b ＝ ．
（5）已知向量a ，b ，满足1=a ，4=b ，且2=⋅b a ，则a 与b
的夹角为 ．
（6）已知|a |=3，|b |=5，且12=⋅b a ，则向量a 在向量b 上的投影为 ．
（7）给定两个向量x b a b x a b a 则若),()(),1,2(),4,3(-⊥+==的值等于 ．
（8）已知向量)1,3(),sin ,(cos -==b a θθ，则b a -2的最大值为 ．
向量强化：
1．已知向量,a b 夹角为45︒
，且1,210a a b =-= ，则b = ．
2．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3=AM ，10=BC ，则AB AC ⋅=
．
3．在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，1AB BC =
，则BC = ．
4．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，
，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF = ，则AE BF
的值是 ．。