浙江省杭州市重点中学2014-2015学年高二4月月考(数学文)
浙江省杭州地区(含周边)重点中学2014-2015学年高二上
2014学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科 试题（文理合卷）考生须知：1．本卷满分120分，考试时间100分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）10y +=的倾斜角是（ ▲ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒ 2．下列说法正确的是（ ▲ ）A ．棱柱的底面一定是平行四边形B ．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 C. 圆台平行于底面的截面是圆面 D ．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球3．已知两条直线1(:1)30l kx k y +--=和22:(120)k x l y -+-=互相垂直，则k =（ ▲ ） A ．1或－2 B ．－1或2 C ． 1或2 D ．－1或－2 4．直线l 与直线1y =，直线5x =分别交于P ，Q 两点，PQ 中点为M （1，-1），则直线l 的斜率是（ ▲ ） A ． 12-B ． 12C ． 2D ．－2 5．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是A.若//,//m n αα，则//m n B ．若//,,m n m n αβ⊥⊂，则αβ⊥C ．若//,//m m αβ，则//αβ D. 若//,m ααβ⊥，则m β⊥6．如图是一个空间几何体的三视图，其正视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边长为2的等腰直角三角形，侧视图是一个两直角边长分别为3和1的直角三角形，则此几何体的 体积为 （ ▲ ）A ．33 B ．1 C ． 23 D ．2 7．若直线0(0)ax by c ab ++=≠在两坐标轴上的截距相等，则,,a b c 满足的条件是（ ▲ ） A. a b = B. ||||a b = C. 0c a b ==或 D ．0c a b ==或 8．ABCD 为空间四边形，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ≠AD ，M 、N 分别是对角线AC 与BD 的中点， 则MN 与（ ▲ ）A. AC 、BD 之一垂直B. AC 、BD 都垂直 C ．AC 、BD 都不垂直 D. AC 、BD 不一定垂直9．如图，三棱锥P -ABC 的底面是正三角形，各条侧棱均相等，∠APB <60°.设动点D 、E 分别在线段PB 、PC 上，点D 由P 运动到B ，点E 由P 运动到C ，且满足DE ∥BC ，则下列结论正确的是（ ▲ ）A ．当点D 满足AD ⊥PB 时，△ADE 的周长最小 B ．当点D 为PB 的中点时，△ADE 的周长最小C ．当点D 满足13PD PB =时，△ADE 的周长最小 D ．在点D 由P 运动到B 的过程中，△ADE 的周长先减小后增大 10. 在正方体''''ABCD A B C D - 中，P 为棱'AA 上一动点，Q 为 底面ABCD 上一动点，M 是PQ 的中点，若点P ，Q 都运动时， 点M 构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（ ▲ ）A. 棱柱B. 棱台C. 棱锥D.球的一部分二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11.在正方体1111ABCD A B C D -中， E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1， B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角为 ▲ .12．已知长方体的三边长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是 ▲ . 13．已知圆锥的底面半径为1，且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆，则该圆锥的母线长为 ▲ .14．如左下图，在三棱柱'''ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，'AA ⊥底面ABC ， 且AB ＝1，'AA ＝2，则直线'BC 与平面''ABB A 所成角的正弦值为 ▲ .A第B'15．已知一个三棱锥的各棱长都为1，它的正视图是如右上图所视的等腰三角形，则该四面体的侧视图．．． 面积为 ▲ .16．已知实数a b c 、、满足0a b c --=则原点(0,0)O 到直线0ax by c ++=的距离的最大值为 ▲ .17．若当(1,)x ∈-+∞时，(1)21()k x x k k R +<++-∈恒成立，则实数k 的取值范围是 ▲ .三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18.（本题满分12分）如图多面体中，正方形ADEF 所在的平面与直角梯形ABCD 所在的平面垂直， 且12AD AB CD ==，//AB CD ，M 为CE 的中点. （1）证明：//BM 平面ADEF ； （2）证明：平面BCE ⊥平面BDE .19.（本小题满分12分）已知点A （2，2），直线:21l y x =+. (1)求点A 关于直线l 的对称点'A 的坐标；(2)当点B ，C 分别在x 轴和直线l 上运动时，求ABC ∆周长的最小值.F20．（本小题满分14分）在四棱锥ABCD P -中，BC AD //，90ABC APB ∠=∠=︒，4AB MB =，且CD PM ⊥，22AB BC PB AD ===．（1）证明：面⊥PAB 面ABCD ；（2）求直线DM 与平面PCD 所成角的正弦值．21.（本小题满分14分）在等边三角形ABC 中，AB =2，E 是线段AB 上的点(除点A 外），过点E 作EF AC ⊥于点F ，将AEF ∆ 沿EF 折起到PEF ∆(点A 与点P 重合，如图)，使得3PFC π∠=，(1) 求证：EF PC ⊥；(2) 试问，当点E 在线段AB 上移动时，二面角P -EB -C 的大小是否为定值？ 若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由.C BB二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．060 12．50π 13． 2 14 15 1617．(,2][0,1]-∞- 三、解答题（本大题共4小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18. （本小题满分12分）解析：（1）（解法一）取DE 的中点N ，连结MN ，AN . 在DEC ∆中，因为M ，N 分别为EC ，ED 的中点， 所以//MN CD ，且12MN CD =. 又因为//AB CD ，12AB CD =，F所以//MN AB ，且MN AB =. 所以四边形ABMN 为平行四边形，故//MB NA ， 又因为MB ⊄平面ADEF ，NA ⊂平面ADEF ，所以//BM 平面ADEF . （5分） （解法二）取DC 的中点P ，连结,MP BP . 在直角梯形ABCD 中，因为//AB CD ，12AB CD =，12DP DC =， 所以//AB DP ，且AB DP ＝，故四边形ABPD 为平行四边形，所以//BP AD .在DEC ∆中，因为M ，P 分别为EC ，DC 的中点，所以//MP ED . 又因为MPPB P =，ED DA D =，所以平面//MPB 平面EDA ，又因为M B ⊂平面MPB ，所以//BM 平面ADEF . （5分） （2）直角梯形ABCD 中，//AB CD ，设12AD AB CD a ===，所以BD BC ==，2CD a =，故222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥. （8分）因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 又平面ADEF平面ABCD AD =，ED AD ⊥，所以ED ⊥平面ABCD ，故ED BC ⊥. （10分） 又因为BDED D =，所以BC ⊥平面BDE . （11分）又因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面BDE . （12分）19.（本小题满分12分）1'(,),222-,21522-2116--225216'(-,).(655A a b b a a b b a A ⎧++⎧==⨯+⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩∴⋯⋯⋯解：（）设则有解得点的坐标为分）22222'(12A x A A A ABC ==∆⋯⋯⋯（）点关于轴的坐标为（，－）则分）20. （本小题满分14分） 解：（1）由BM PB AB 42==，得AB PM ⊥，又因为CD PM ⊥，且CD AB ，所以⊥PM 面ABCD ， 且⊂PM 面PAB ． 所以，面⊥PAB 面ABCD .………（6分） （2）过点M 作CD MH ⊥，连结HP ， 因为CD PM ⊥，且M MH PM = ，所以⊥CD 平面PMH ，又由⊂CD 平面PCD ，得到平面⊥PMH 平面PCD ， 平面 PMH 平面PH PCD =，过点M 作PH MN ⊥，即有⊥MN 平面PCD ， 连结DN ，则MDN ∠为直线DM 与平面PCD 所成角． ………（10分）在四棱锥ABCD P -中，设t AB 2=， 则t DM 213=，t PM 23=，t MH 1057=，∴t PH 554=，t MN 1637=， 从而104397sin ==∠DM MN MDN ，………（13分） 即直线DM 与平面PCD 所成角的正弦值为104397.………（14分）21. （本小题满分14分）(1),,,.,.(5EF PF EF FC PF FC F EF PFC PC PFC EF PC ⊥⊥⋂=∴⊥⊂∴⊥证明：平面又平面分）21,.,,(10EF PFC BCFE PFC PH FC FC H PH BCFE HG BE BE G PG BE PG PGH ⊥∴⊥⊥⊥⊥⊥∠（）由（）知平面平面平面作交于点则平面作交于点，连结，则所以就是二面角的平面角分）0,0 1.60,,,21,42tan .(1332.(143AF x x x PFC FH PH x GH x PH PGH GH E AB P EB C =<≤∠=∴=∴-==∴∠==-当点在线段上移动时，二面角的大小定值，这个二面角的平面角的正切设据题意有在图形（）中可求得分值）为分）备注：对于简答题的其他解法，请参照评分标准评分.。
2014-2015年浙江省杭州市求是高中高二上学期期中数学试卷及参考答案(文科)
2014-2015学年浙江省杭州市求是高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）直线x=﹣1的倾斜角为（）A．0°B．45°C．90°D．135°2．（4分）下列几何体中是旋转体的是（）①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④3．（4分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，以下有三种说法：①若α∥β，β∥γ，则γ∥α；②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．其中正确说法的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（4分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ值为（）A．B．C．D．6．（4分）直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0与（a﹣1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．7．（4分）已知一水平放置的四边形的平面直观图是边长为1的正方形，那么原四边形的面积为（）A．B．2 C．2 D．48．（4分）若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（）A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能9．（4分）一座楼房由若干个房间组成，该楼的三视图如图所示．则该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置是（）A．右前上方B．左前上方C．右后上方D．左后上方10．（4分）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（）A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）11．（4分）直线x﹣4y﹣1=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是．12．（4分）已知原点O到直线3x+4y=15的距离为．13．（4分）设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为．14．（4分）Rt△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为．15．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC所成的角的余弦值为．16．（4分）设l是经过点A（3，5）的任意一条直线，原点到直线l的距离为d，则对应于d取得最大值时的直线l的方程为．三、解答题：（本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）已知直线l经过直线l1：3x+4y﹣2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣4y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．18．（8分）已知两条直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0，试分别确定m、n 的值，使：（1）l1与l2相交于一点P（m，1）；（2）l1∥l2且l1过点（3，﹣1）；（3）l1⊥l2且l1在y轴上的截距为﹣1．19．（10分）如图，正方形ABCD 和正方形CDEF所在平面互相垂直，M为FC 的中点．（1）求证：AF∥平面MBD；（2）求异面直线AF与BM所成角的余弦值．20．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，AD∥BC，BA=AD=BC=2，∠ABC=60°，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，M是PC中点．（1）求证：DM∥平面PAB；（2）求直线BM与平面PAB所成角的大小．2014-2015学年浙江省杭州市求是高中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）直线x=﹣1的倾斜角为（）A．0°B．45°C．90°D．135°【解答】解：因为直线的方程为x=﹣1，为垂直于x轴的直线，故直线无斜率，故直线x=﹣1的倾斜角为90°，故选：C．2．（4分）下列几何体中是旋转体的是（）①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④【解答】解：①圆柱是旋转体；②六棱锥是多面体；③正方体是多面体；④球体是旋转体；⑤四面体是多面体．故选：D．3．（4分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，以下有三种说法：①若α∥β，β∥γ，则γ∥α；②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．其中正确说法的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：对于①，若α∥β，β∥γ，由平面平行的传递性可知，γ∥α，故①正确；对于②，若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β，故②正确；对于③，因为n⊊β，令n在β内的射影为n′，因为m⊥β，所以m⊥n′，又m⊥n，所以n∥n′，n′⊂β，n⊊β，所以n∥β，故③正确．故选：D．4．（4分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：C．5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵C1C⊥ABCD，∴直线AC1与平面ABCD所成的角θ=∠C1AC，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则C1C=1，AC1=，∴sinθ=sin∠C1AC===．故选：C．6．（4分）直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0与（a﹣1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．【解答】解：由题意，∵直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0与（a﹣1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直∴（a+2）（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0∴（a﹣1）（a+2﹣2a﹣3）=0∴（a﹣1）（a+1）=0∴a=1，或a=﹣1故选：C．7．（4分）已知一水平放置的四边形的平面直观图是边长为1的正方形，那么原四边形的面积为（）A．B．2 C．2 D．4【解答】解：如图所示：该四边形的水平放置的平面直观及原四边形，由斜二测画法可知：原四边形是一个一条边长为1，其边上的高（对角线）为的平行四边形，故原四边形的面积S==．故选：C．8．（4分）若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（）A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能【解答】解：如图在正方体ABCD_A1B1C1D1中A1A，B1B与底面ABCD夹角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD夹角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD夹角相等，此时两直线异面；故选：D．9．（4分）一座楼房由若干个房间组成，该楼的三视图如图所示．则该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置是（）A．右前上方B．左前上方C．右后上方D．左后上方【解答】解：由该楼的正视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的右侧，由该楼的侧视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的后方，由该楼的俯视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的上方，∴该楼中最高一层的那个房间在大楼右后上方．故选：C．10．（4分）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（）A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面【解答】解：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG．故选：A．二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）11．（4分）直线x﹣4y﹣1=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是（1，0）．【解答】解：解方程组，得x=1，y=0，∴直线x﹣4y﹣1=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是（1，0）．故答案为：（1，0）12．（4分）已知原点O到直线3x+4y=15的距离为3．【解答】解：原点O（0，0）到直线3x+4y=15的距离为：d==3．故答案为：3．13．（4分）设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为．【解答】解：由该几何体的三视图，知：该几何体的上半部分是直径为3的球，下半部分是正四棱柱，正棱柱的底是边长为3的正方形，正四棱柱的高为2，∴该几何体的体积V=+32×2=．故答案为：．14．（4分）Rt△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为16π．【解答】解：旋转一周所成的几何体是底面以BC为半径，以AB为高的圆锥，所以圆锥的体积：=16π．故答案为：16π15．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为．【解答】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．16．（4分）设l是经过点A（3，5）的任意一条直线，原点到直线l的距离为d，则对应于d取得最大值时的直线l的方程为3x+5y﹣34=0．【解答】解：当所求直线与点A与原点的连线垂直时d取得最大值，由=可知所求直线的斜率为，故可得直线的方程为y﹣5=（x﹣3），化为一般式可得3x+5y﹣34=0，故答案为：3x+5y﹣34=0三、解答题：（本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）已知直线l经过直线l1：3x+4y﹣2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣4y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【解答】解：（1）∵直线l经过直线l1：3x+4y﹣2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点P，∴解方程组，得P（﹣2，2），∵l垂直于直线x﹣4y﹣1=0，∴设直线l的方程为4x+y+c=0，把P（﹣2，2）代入，得﹣8+2+c=0，解得c=6，∴直线l的方程为4x+y+6=0．（2）在直线l：4x+y+6=0中，令x=0，得y=﹣6；令y=0，得x=﹣．∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积：S==．18．（8分）已知两条直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0，试分别确定m、n 的值，使：（1）l1与l2相交于一点P（m，1）；（2）l1∥l2且l1过点（3，﹣1）；（3）l1⊥l2且l1在y轴上的截距为﹣1．【解答】解：（1）由于l1与l2相交于一点P（m，1），把点P（m，1）代入l1，l2的方程得m2+8+n=0，2m+m﹣1=0，联立解得，n=﹣．（2）∵l1∥l2且l1过点（3，﹣1），∴，解得或（3）由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为﹣1，当m=0时，l1的方程化为8y+n=0，l2的方程化为2x﹣1=0．∴﹣8+n=0，解得n=8．∴m=0，n=8．而m≠0时，直线l1与l2不垂直．综上可知：m=0，n=8．19．（10分）如图，正方形ABCD 和正方形CDEF所在平面互相垂直，M为FC 的中点．（1）求证：AF∥平面MBD；（2）求异面直线AF与BM所成角的余弦值．【解答】证明：（1）连接AC，BD交于点O，连接MO∵ABCD为正方形，∴O为AC中点∵△ACF中，M为EC中点∴MO∥AF又∵MO⊂平面MBD，AF⊄平面MBD，∴AF∥平面MBD．（2）解：根据（1）得AF∥OM，AF与BM所成角即∠OMB，设正方形边长为a，则AC=a，AF=a，MO=AF=a，MC=a∴MB==a∴cos∠BMO===．20．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，AD∥BC，BA=AD=BC=2，∠ABC=60°，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，M是PC中点．（1）求证：DM∥平面PAB；（2）求直线BM与平面PAB所成角的大小．【解答】（1）证明：取PB中点N，连NM，NA，∵，∴NM∥AD，NM=AD，∴四边形NMDA为平行四边形，从而DM∥AN，又AN⊂平面PAB，DM⊄平面PAB，∴DM∥平面PAB；（2）解：连接AC，则∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°∴AC==2∴AC⊥AB∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴AC⊥平面PAB取PA中点G，连接MG，则MG∥AC，MG=，∴MG⊥平面PAB连接GB，则∠MBG为直线BM与平面PAB所成角在正三角形PAB中，BG=AB=∴tan∠MBG==1∴∠MBG=45°，即直线BM与平面PAB所成角为45°．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
浙江省杭州市西湖中学2014-2015学年高一数学下学期4月月考试卷 文及参考答案
2014-2015学年浙江省杭州市西湖中学高二(下)4月月考数学试卷(文科)一、选择题(共15小题,每小题5分,满分75分)1.椭圆的焦点坐标为( )A.(0,5)和(0,﹣5)B.(,0)和(﹣,0)C.(0,)和(0,﹣)D.(5,0)和(﹣5,0)2.已知动点M(x、y)到点F(4,0)的距离比到直线x＋5＝0的距离小1,则点M的轨迹方程为( )A.x＋4＝0B.x﹣4＝0C.y2＝8xD.y2＝16x3.已知曲线C的方程为x2＋2x＋y﹣1＝0,则下列各点中在曲线C上的点是( )A.(0,1)B.(﹣1,3)C.(1,1)D.(﹣1,1)4.设x是实数,则“x＞0”是“|x|＞0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.双曲线的渐近线方程是( )A. B. C. D.6.命题“若a＞b,则a＋c＞b＋c”的逆否命题为( )A.若a＜b,则a＋c＜b＋cB.若a≤b,则a＋c≤b＋cC.若a＋c＜b＋c,则a＜bD.若a＋c≤b＋c,则a≤b7.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝18.F1,F2是椭圆的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2＝45°,则三角形AF1F2的面积为( )A.7B.C.D.9.抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2,则a的值为( )A. B. C.8 D.﹣810.点P在双曲线﹣＝1(a＞0,b＞0)上,F1、F2是这条双曲线的两个焦点,∠F1PF2＝90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( )A. B. C.2 D.511.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2＝x1＋x3,则有( )A.|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B.|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C.2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D.|FP2|2＝|FP1|•|FP3|12.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点,则的值等于( )A.5B.4C.3D.213.若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2＝2x的焦点,点P是抛物线上的一动点,则|PA|＋|PF|取得最小值时点P的坐标是( )A.(0,0)B.(1,1)C.(2,2)D.14.已知点M(,0),椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B,则△ABM的周长为( )A.4B.8C.12D.1615.过双曲线M：x2﹣＝1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且|AB|＝|BC|,则双曲线M的离心率是( )A. B. C. D.二.填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.16.抛物线的焦点坐标是.17.短轴长为2,离心率e＝的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直线交椭圆于A、B两点,则△ABF2周长为.18.平面上有三点A(﹣2,y),B(0,),C(x,y),若,则动点C的轨迹方程为.19.如果椭圆的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是.20.已知P是椭圆＋上的一个动点,F1,F2分别是左右焦点,则cos∠F1PF2的最小值为.试卷Ⅱ一.选择题(每题4分,共12分)21.已知点P(3,﹣4)是双曲线﹣＝1(a＞0,b＞0)渐近线上的一点,E,F是左、右两个焦点,若•＝0,则双曲线方程为( )A.﹣＝1B.﹣＝1C.﹣＝1D.﹣＝122.设O为坐标原点,F1,F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点,若在椭圆上存在点P 满足∠F1PF2＝,且|OP|＝a,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.23.已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线于C相交于A、B两点,若.则k＝( )A.1B.C.D.2二.解答题(共28分,其中24题8分,25,26题10分)24.已知p：方程表示双曲线,q：过点M(2,1)的直线与椭圆恒有公共点,若p∧q为真命题,求k的取值范围.25.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知侧面PAD为等腰直角三角形,底面ABCD为直角梯形, AB∥CD,∠ABC＝∠APD＝90°,侧面PAD⊥底面ABCD,且AB＝4,AP＝PD＝BC＝CD＝2.(1)求证：PA⊥BD;(2)若E为侧棱PB的中点,求直线AE与底面ABCD所成角的正弦值.26.已知定点F(0,1)和直线l1：y＝﹣1,过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程;(2)过点F的直线l2交动点C的轨迹于两点P、Q,交直线l1于点R,求•的最小值;(3)过点F且与l2垂直的直线l3交动点C的轨迹于两点R、T,问四边形PRQT的面积是否存在最小值？若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.2014-2015学年浙江省杭州市西湖中学高二(下)4月月考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共15小题,每小题5分,满分75分)1.椭圆的焦点坐标为( )A.(0,5)和(0,﹣5)B.(,0)和(﹣,0)C.(0,)和(0,﹣)D.(5,0)和(﹣5,0) 【考点】椭圆的标准方程.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】直接利用椭圆方程求出长轴、短轴的长,然后求解焦距即可.【解答】解：由题意得,a2＝16,b2＝9,∴c2＝a2﹣b2＝16﹣9＝7,∴c＝,∴椭圆的焦点为(,0)和(﹣,0).故选：B.【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查学生的计算能力,属于基础题.2.已知动点M(x、y)到点F(4,0)的距离比到直线x＋5＝0的距离小1,则点M的轨迹方程为( )A.x＋4＝0B.x﹣4＝0C.y2＝8xD.y2＝16x【考点】抛物线的定义.【专题】计算题.【分析】由题意得,点M(x、y)到点F(4,0)的距离和到直线x＋4＝0的距离相等,点M的轨迹是以点F为焦点,直线x＋4＝0为准线的抛物线,方程为 y2＝2Px,＝4.【解答】解：∵动点M(x、y)到点F(4,0)的距离比到直线x＋5＝0的距离小1,∴点M(x、y)到点F(4,0)的距离和到直线x＋4＝0的距离相等,点M的轨迹是以点F为焦点,直线x＋4＝0为准线的抛物线.∴＝4,∴P＝8,故抛物线方程为y2＝16x,故选 D.【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程,抛物线的定义和性质的应用.3.已知曲线C的方程为x2＋2x＋y﹣1＝0,则下列各点中在曲线C上的点是( )A.(0,1)B.(﹣1,3)C.(1,1)D.(﹣1,1)【考点】曲线与方程.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】将选项代入验证,即可得出结论.【解答】解：将选项代入验证,可得(0,1)满足x2＋2x＋y﹣1＝0,故选：A.【点评】本题考查曲线与方程,考查学生的计算能力,比较基础.4.设x是实数,则“x＞0”是“|x|＞0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】充要条件.【专题】计算题.【分析】化简不等式,判断出两个命题对应的两个集合的包含关系;得到前者是后者的什么条件.【解答】解：|x|＞0⇔x＞0或x＜0∵{x|x＞0}⊊{x|x＞0或x＜0}∴“x＞0”是“|x|＞0”的充分不必要条件故选A【点评】本题考查解决充要条件问题常先化简各个命题、考查将判断条件问题转化为判断集合的包含关系问题.5.双曲线的渐近线方程是( )A. B. C. D.【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】求出双曲线的a,b,再由渐近线方程,即可得到.【解答】解：双曲线的a＝3,b＝2,则双曲线的渐近线方程为：y＝x,即为y＝x.故选B.【点评】本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程,考查运算能力,属于基础题.6.命题“若a＞b,则a＋c＞b＋c”的逆否命题为( )A.若a＜b,则a＋c＜b＋cB.若a≤b,则a＋c≤b＋cC.若a＋c＜b＋c,则a＜bD.若a＋c≤b＋c,则a≤b【考点】四种命题间的逆否关系.【专题】阅读型.【分析】把所给的命题看做一个原命题,写出这个命题的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置,得到结果.【解答】解：把“若a＞b,则a＋c＞b＋c”看做原命题,它的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置,∴它的逆否命题是：“若a＋c≤b＋c,则a≤b”,故选D.【点评】本题考查求一个命题的逆否命题,实际上把一个命题看做原命题是根据需要来确定的,所有的命题都可以看做原命题,写出它的其他三个命题.属基础题.7.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1【考点】椭圆的标准方程.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】设椭圆G的方程为＋＝1(a＞b＞0),根据椭圆的定义得2a＝12,算出a＝6.再由离心率的公式建立关于a、b的等式,化简为关于b的方程解出b2＝9,即可得出椭圆G的方程.【解答】解：设椭圆G的方程为＋＝1(a＞b＞0),∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12,∴根据椭圆的定义得2a＝12,可得a＝6.又∵椭圆的离心率为,∴e＝＝,即＝,解之得b2＝9,由此可得椭圆G的方程为＝1.故选：C【点评】本题给出椭圆G满足的条件,求椭圆G的标准方程.着重考查了椭圆的定义与标准方程、简单几何性质等知识,属于基础题.8.F1,F2是椭圆的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2＝45°,则三角形AF1F2的面积为( )A.7B.C.D.【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题.【分析】求出F1F2的长度,由椭圆的定义可得AF2＝6﹣AF1,由余弦定理求得AF1＝,从而求得三角形AF1F2的面积.【解答】解：由题意可得 a＝3,b＝,c＝,故,AF 1＋AF2＝6,AF2＝6﹣AF1, ∵AF22＝AF12＋F1F22﹣2AF1•F1F2cos45°＝AF12﹣4AF1＋8,∴(6﹣AF1)2＝AF12﹣4AF1＋8,AF1＝,故三角形AF1F2的面积S＝×××＝.【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程,简单性质,以及余弦定理的应用,求出 AF1的值,是解题的关键.9.抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2,则a的值为( )A. B. C.8 D.﹣8【考点】抛物线的定义.【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2＝my的形式,再根据其准线方程为y＝﹣即可求之.【解答】解：抛物线y＝ax2的标准方程是x2＝y,则其准线方程为y＝﹣＝2,所以a＝﹣.故选B.【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式.10.点P在双曲线﹣＝1(a＞0,b＞0)上,F1、F2是这条双曲线的两个焦点,∠F1PF2＝90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( )A. B. C.2 D.5【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题;等差数列与等比数列;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】设|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,且分别设为m﹣d,m,m＋d,则由双曲线定义和勾股定理求出m＝4d＝8a,c＝d,a＝d,由离心率公式计算即可得到.【解答】解：设|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,且分别设为m﹣d,m,m＋d,则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣(m﹣d)＝2a,m＋d＝2c,(m﹣d)2＋m2＝(m＋d)2,解得m＝4d＝8a,c＝d,a＝d,故离心率e＝＝5.故选D.【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质,以及双曲线的简单性质的应用,属于中档题.11.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2＝x1＋x3,则有( )A.|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B.|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C.2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D.|FP2|2＝|FP1|•|FP3|【考点】抛物线的简单性质.【专题】计算题;压轴题.【分析】把2x2＝x1＋x3等式两边同时加p整理成进而根据抛物线的定义可得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.【解答】解：∵2x2＝x1＋x3,∴,∴由抛物线定义可得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|故选C.【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.属基础题.12.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点,则的值等于( )A.5B.4C.3D.2【考点】直线的倾斜角;抛物线的简单性质.【专题】计算题;综合题;压轴题.【分析】设出A、B坐标,利用焦半径公式求出|AB|,结合,求出A、B的坐标,然后求其比值.【解答】解：设A(x1,y1),B(x2,y2),,,又,可得,则,故选C.【点评】本题考查直线的倾斜角,抛物线的简单性质,考查学生分析问题解决问题的能力,是基础题.13.若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2＝2x的焦点,点P是抛物线上的一动点,则|PA|＋|PF|取得最小值时点P的坐标是( )A.(0,0)B.(1,1)C.(2,2)D.【考点】抛物线的简单性质.【专题】计算题.【分析】利用抛物线的定义,将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离即可.【解答】解：根据题意,作图如下,设点P在其准线x＝﹣上的射影为M,有抛物线的定义得：|PF|＝|PM|,∴欲使|PA|＋|PF|取得最小值,就是使|PA|＋|PM|最小,∵|PA|＋|PM|≥|AM|(当且仅当M,P,A三点共线时取“＝”),∴|PA|＋|PF|取得最小值时(M,P,A三点共线时)点P的纵坐标y0＝2,设其横坐标为x0,∵P(x0,2)为抛物线y2＝2x上的点,∴x0＝2,∴点P的坐标为P(2,2).故选C.【点评】本题考查抛物线的简单性质,将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离是关键,考查转化思想的灵活应用,属于中档题.14.已知点M(,0),椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B,则△ABM的周长为( )A.4B.8C.12D.16【考点】直线与圆锥曲线的关系.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】直线过定点,由椭圆定义可得 AN＋AM＝2a＝4,BM ＋BN＝2a＝4,由△ABM的周长为AB＋BM＋AM＝(AN＋AM)＋(BN＋BM),求出结果.【解答】解：直线过定点,由题设知M、N是椭圆的焦点,由椭圆定义知：AN＋AM＝2a＝4,BM＋BN＝2a＝4.△ABM的周长为AB＋BM＋AM＝(AN＋BN)＋BM＋AM＝(AN＋AM)＋(BN＋BM)＝8,故选：B.【点评】本题考查椭圆的定义,直线经过定点问题,直线和圆锥曲线的关系,利用椭圆的定义是解题的关键,属于中档题.15.过双曲线M：x2﹣＝1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且|AB|＝|BC|,则双曲线M的离心率是( )A. B. C. D.【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题;压轴题.【分析】过双曲线的左顶点A(﹣1,0)作斜率为1的直线l：y＝x＋1,若l 与双曲线M的两条渐近线,分别相交于点B(x1,y1),C(x2,y2),联立方程组代入消元得(b2﹣1)x2＋2x﹣1＝0,然后由根与系数的关系求出x1和x2的值,进而求出双曲线M的离心率.【解答】解：过双曲线的左顶点A(﹣1,0)作斜率为1的直线l：y＝x＋1, 若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B(x1,y1),C(x2,y2),联立方程组代入消元得(b2﹣1)x2﹣2x﹣1＝0,∴,∴x1＋x2＝﹣2x1x2,又|AB|＝|BC|,则B为AC中点,2x1＝﹣1＋x2,代入解得,∴b2＝9,双曲线M的离心率e＝,故选A.【点评】本题考题双曲线性质的综合运用,解题过程中要注意根与系数的关系的运用.二.填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.16.抛物线的焦点坐标是(0,1) .【考点】抛物线的简单性质.【专题】计算题.【分析】抛物线方程即 x2＝4y,从而可得 p＝2,＝1,由此求得抛物线焦点坐标.【解答】解：抛物线即 x2＝4y,∴p＝2,＝1,故焦点坐标是(0,1),故答案为 (0,1).【点评】本题主要考查抛物线的标准方程,以及简单性质的应用,属于基础题.17.短轴长为2,离心率e＝的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直线交椭圆于A、B两点,则△ABF2周长为12 .【考点】椭圆的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】不妨设椭圆的标准方程为(a＞b＞0).由于短轴长为2,离心率e＝.可得b＝,,a2＝b2＋c2.利用椭圆的定义即可得出.【解答】解：不妨设椭圆的标准方程为(a＞b＞0).∵短轴长为2,离心率e＝.∴b＝,,a2＝b2＋c2.解得a＝3.∴△ABF2周长＝|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a＝12.故答案为：12.【点评】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质,属于基础题.18.平面上有三点A(﹣2,y),B(0,),C(x,y),若,则动点C的轨迹方程为y2＝8x(x≠0) .【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系;轨迹方程.【专题】平面向量及应用.【分析】利用⇔＝0即可得出.【解答】解：∵＝,,,∴＝＝0,化为y2＝8x.因此动点C的轨迹方程为y2＝8x(x≠0).故答案为：y2＝8x(x≠0).【点评】熟练掌握⇔＝0是解题的关键.19.如果椭圆的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是x＋2y﹣8＝0 .【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【专题】计算题.【分析】若设弦的端点为A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程得9x12＋36y12＝36×9①,9x22＋36y22＝36×9②;作差①﹣②,并由中点坐标公式,可得直线斜率k,从而求出弦所在的直线方程.【解答】解：设弦的端点为A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程,得9x12＋36y12＝36×9①,9x22＋36y22＝36×9②;①﹣②得9(x1＋x2)(x1﹣x2)＋36(y1＋y2)(y1﹣y2)＝0;由中点坐标＝4,＝2,代入上式,得36(x1﹣x2)＋72(y1﹣y2)＝0,∴直线斜率为k＝＝﹣,所求弦的直线方程为：y﹣2＝﹣(x﹣4),即x＋2y﹣8＝0.故答案为：x＋2y﹣8＝0.【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式,通过作差的方法,求得直线斜率k的应用模型,属于基础题目.20.已知P是椭圆＋上的一个动点,F1,F2分别是左右焦点,则cos∠F1PF2的最小值为.【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】当点P是椭圆的短轴的端点时,∠F1PF2取得最大值,此时cos∠F1PF2可取得最小值.【解答】解：∵椭圆＋＝1,∴a＝3,b＝2,c＝.当点P是椭圆的短轴的端点时,∠F1PF2取得最大值,∴sin(∠F1PF2)＝,∴os∠F1PF2的最小值＝1﹣2sin2(∠F1PF2)＝.故答案为：.【点评】正确理解当点P是椭圆的短轴的端点时,∠F1PF2取得最大值,此时cos∠F1PF2可取得最小值是解题的关键.试卷Ⅱ一.选择题(每题4分,共12分)21.已知点P(3,﹣4)是双曲线﹣＝1(a＞0,b＞0)渐近线上的一点,E,F是左、右两个焦点,若•＝0,则双曲线方程为( )A.﹣＝1B.﹣＝1C.﹣＝1D.﹣＝1【考点】双曲线的标准方程.【专题】计算题.【分析】根据题意,设E、F的坐标为E(﹣c,0),F(c,0),又由•＝0,结合数量积的坐标运算,可得c的值,进而由P坐标与双曲线的定义2a＝||PE|﹣|PF||,可得a的值,根据则b ＝,可得b的值,将a、b的值代入可得双曲线的方程.【解答】解：设E(﹣c,0),F(c,0),于是有＝(3＋c,﹣4)•(3﹣c,﹣4)＝9﹣c2＋16＝0.于是c2＝25,则E(﹣5,0),F(5,0),由双曲线的定义,可得2a＝||PE|﹣|PF||＝6,则a＝3;则b＝＝4;故双曲线方程为﹣＝1;故选C.【点评】本题考查双曲线的标准方程,解题时结合双曲线的定义,并注意区分双曲线与椭圆定义的区别.22.设O为坐标原点,F1,F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点,若在椭圆上存在点P 满足∠F1PF2＝,且|OP|＝a,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】要求椭圆的离心率,即要求a,c的关系,首先由定义和余弦定理得到一个关系,再由中线长公式得到一个关系,联立可得.【解答】解：设|PF1|＝x,|PF2|＝y,则x＋y＝2a;①由余弦定理cos∠F1PF2＝＝,∴x2＋y2﹣xy＝4c2;②∵中线长公式OP2＝(PF12＋PF22＋2)∴＝(x2＋y2＋2xycos∠F1PF2),∴x2＋y2＝3a2﹣xy;③∴①②③联立代换掉x,y得：a2＝4c2;∴e＝＝.故选：A.【点评】本题主要考查椭圆的定义,余弦定理及中线长公式,考查学生的计算能力,属于中档题.23.已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线于C相交于A、B两点,若.则k＝( )A.1B.C.D.2【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【专题】计算题;压轴题.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),根据求得y1和y2关系根据离心率设,b＝t,代入椭圆方程与直线方程联立,消去x,根据韦达定理表示出y1＋y2和y1y2,进而根据y1和y2关系求得k.【解答】解：A(x1,y1),B(x2,y2),∵,∴y1＝﹣3y2,∵,设,b＝t,∴x2＋4y2﹣4t2＝0①,设直线AB方程为,代入①中消去x,可得, ∴,,解得,故选B【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.此类题问题综合性强,要求考生有较高地转化数学思想的运用能力,能将已知条件转化到基本知识的运用.二.解答题(共28分,其中24题8分,25,26题10分)24.已知p：方程表示双曲线,q：过点M(2,1)的直线与椭圆恒有公共点,若p∧q为真命题,求k的取值范围.【考点】直线与圆锥曲线的关系;复合命题的真假;双曲线的标准方程.【专题】综合题.【分析】分别求出p,q为真时,k的取值范围,再利用p∧q为真命题,即可求k的取值范围.【解答】解：p：方程表示双曲线,则(k﹣4)(k﹣6)＜0,∴4＜k＜6,(2分) q：过点M(2,1)的直线与椭圆恒有公共点,则,∴k＞5. (4分)又p∧q为真命题,则5＜k＜6,所以k的取值范围是(5,6). (6分)【点评】本题考查复合命题的真假研究,解题的关键是求出p,q为真时,k的取值范围.25.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知侧面PAD为等腰直角三角形,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠ABC＝∠APD＝90°,侧面PAD⊥底面ABCD,且AB＝4,AP＝PD＝BC＝CD＝2.(1)求证：PA⊥BD;(2)若E为侧棱PB的中点,求直线AE与底面ABCD所成角的正弦值.【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的性质.【专题】综合题;空间位置关系与距离;空间角.【分析】(1)利用平面ADP⊥平面ABCD,证明BD⊥平面ADP,即可证明PA⊥BD;(2)证明∠EAH即为直线AE与平面ABCD的所成角,再求出直线AE与底面ABCD所成角的正弦值.【解答】(1)证明：由已知条件易得：,则BD⊥AD,又平面ADP⊥平面ABCD,平面ADP∩平面ABCD＝AD,BD⊂平面ABCD,故BD⊥平面ADP,又AP⊂平面ADP,从而有AP⊥BD…(6分)(2)解：如图,取AD中点O,连接PO,OB,并取OB中点H,连接AH,EH,∵PA＝PD,∴PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,PO⊂平面PAD,∴PO⊥平面ABCD,又EH∥PO,∴EH⊥平面ABCD则∠EAH即为直线AE与平面ABCD的所成角由(1)AP⊥BD,又AP⊥PD,PD∩BD＝D∴AP⊥平面PBD∴AP⊥PB,∴∴∴,直线AE与平面ABCD的所成角的正弦值为.…(14分)【点评】本题考查直线AE与底面ABCD所成角的正弦值,考查平面与平面垂直的性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.26.已知定点F(0,1)和直线l1：y＝﹣1,过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程;(2)过点F的直线l2交动点C的轨迹于两点P、Q,交直线l1于点R,求•的最小值;(3)过点F且与l2垂直的直线l3交动点C的轨迹于两点R、T,问四边形PRQT的面积是否存在最小值？若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(1)由已知条件推导出点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,由此能求出动点C的轨迹方程.(2)设l2：y＝kx＋1,由,得x2﹣4kx﹣4＝0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,由直线PQ的斜率k≠0,得R(﹣,﹣1),由此能求出•的最小值.(3)由,得y2﹣(4k2＋2)y＋1＝0,所以PQ＝,同理可得：RT＝,由此能求出四边形PRQT的面积存在最小值32.【解答】解：(1)∵定点F(0,1)和直线l1：y＝﹣1,过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C,∴点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,∴动点C的轨迹方程为x2＝4y.(2)设l2：y＝kx＋1,由,得x2﹣4kx﹣4＝0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,由直线PQ的斜率k≠0,得R(﹣,﹣1),∴＝()•(x2＋,y2＋1)＝＝＝﹣＝,∵,当且仅法k2＝1取等号.∴•≥8＋8＝16.∴•的最小值是16.(3)由,得y2﹣(4k2＋2)y＋1＝0,∴PQ＝,设,代入x2＝4y,同理可得：RT＝,∴S PRQT＝＝8()≥32.当且仅当k2＝1时取等号,∴四边形PRQT的面积存在最小值32.【点评】本题考查点的轨迹方程的求法,考查向量的数量积的最小值的求法,考查四边形面积是否有最小值的判断与求法,解题时要认真审题,注意均值定理的合理运用.。
2014-2015年浙江省杭州市(含周边)重点中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2014-2015学年浙江省杭州市（含周边）重点中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题1．（4分）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．1﹣2i C．1+2i D．2﹣i2．（4分）“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（4分）命题“对于任意的x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．对于任意的x∈R，x2+1≤0B．存在x∈R，x2+1≤0C．存在x∈R，x2+1＜0D．存在x∈R，x2+1＞04．（4分）下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．y=与y=x B．y=x0与y=1C．y=2与y=D．y=x与y=（25．（4分）已知a=log30.7，b=30.7，c=（）﹣0.5，则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b 6．（4分）已知函数f（x）满足：f（x）﹣3f（）=4x2，则f（x）的最大值是（）A．﹣2B．﹣3C．﹣2D．﹣7．（4分）已知函数y=f（﹣|x|）的图象如左图所示，则函数y=f（x）的图象不可能是（）A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）8．（4分）设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使得f（x）在区间[a，b]上的值域为[]（n∈N*），则称g（x）为“n倍缩函数”，若函数f（x）=log3（3x+t）为“3倍缩函数”，则t的取值范围为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，1）二、填空题：共7小题，9-12小题每题6分，13-15小题每题4分，共16分。
9．（6分）已知集合M={x|﹣2＜x＜4}，N={x|3x＞}，则M∩N=，M∪N=，M∪∁R N=．10．（6分）已知幂函数f（x）=kx a（k∈R，a∈R）的图象经过点（），则k+a=；函数y=的定义域为．11．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（9））=，若f（a），则实数a的取值范围是．12．（6分）函数f（x）=+a为奇函数，则实数a=；若函数y=f（x）﹣m存在零点，则实数m的取值范围．13．（4分）（lg25﹣lg）÷100=．14．（4分）定义为R上的函数f（x）满足f（x）f（x+2）=7，f（1）=3，则f（2015）=．15．（4分）已知函数f（x）=2﹣x2﹣log2x，正实数a、b、c满足f（a）＜f（b）＜0＜f（c），若实数m是方程f（x）=0的一个根，那么下列四个结论：①m ＞a；②m＜b；③m＞c；④．其中成立的是．三、解答题：共4小题，16、17小题每题12分，18、19小题每题14分，共52分。
2014-2015年浙江省杭州市(含周边)重点中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
中数学试卷（理科）
一、选择题（共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 1．（4 分）i 是虚数单位，复数 =（ ）
A．2+i
B．1﹣2i
C．1+2i
D．2﹣i
2．（4 分）“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（ ）
A．充分不必要条件
的定义域为[1，2]，则函数 f（3x2）的定义域为[0， ]；③函数 y=log2（x2+2x
﹣3）的递增区间为（﹣1，+∞）：期中正确的个数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
5．（4 分）已知函数 y=f（﹣|x|）的图象如图所示，则函数 y=f（x）的图象不可
能是（ ）
A． C．
7．（4 分）若直角坐标平面内的两个不同的点 M、N 满足条件：
①M、N 都在函数 y=f（x）的图象上；
②M、N 关于原点对称．则称点对[M，N]为函数 y=f（x）一对“友好点对”（注：
点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”）．
已知函数 f（x）=
，此函数的友好点对有（ ）
A．0 对
B．1 对
数 b 的取值范围．
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2014-2015 学年浙江省杭州市（含周边）重点中学高二（下）
期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 1．（4 分）i 是虚数单位，复数 =（ ）
A．2+i
B．1﹣2i
C．1+2i
【解答】解：复数 =
8．（4 分）已知函数 f（x）=
2014-2015年浙江省杭州二中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2014-2015学年浙江省杭州二中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）命题：∃x∈[0，]，sin x+cos x≥2的否定是（）A．∃x∈[0，]，sin x+cos x＜2B．∀x∈[0，]，sin x+cos x≥2C．∀x∈[0，]，sin x+cos x≤2D．∀x∈[0，]，sin x+cos x＜2 2．（4分）与命题“若p则q”的否命题必定同真假的命题为（）A．若q则p B．若p则q C．若￢q则p D．若￢q则￢p 3．（4分）如图，一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的体积为（）A．18B．9C．12D．44．（4分）“x＞0”是“＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）关于函数y＝4x2+在x∈（0，+∞）上的最值的说法，下列正确的是（）A．最大值为3，无最小值B．无最大值，最小值为3C．无最大值，无最小值D．无最大值，最小值为6．（4分）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a，b与α所成的角相等，则α∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b7．（4分）设F1、F2是双曲线﹣＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且•＝0，则||•||的值为（）A．2B．2C．4D．88．（4分）过点（0，8）作曲线f（x）＝x3﹣6x2+9x的切线，则这样的切线条数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．9．（4分）函数f（x）＝ln（x2+1）的导函数f′（x）＝．10．（4分）求f（x）＝x2﹣lnx的单调增区间是．11．（4分）已知x，y∈R，命题“若xy＜18，则x＜2或y＜9”是命题（填“真”或“假”）．12．（4分）函数f（x）＝e x﹣kx在区间（1，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是．13．（4分）已知x∈R，若“x≥a”是“有意义”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．14．（4分）若存在x∈[1，3]，使得lnx+ax≥0成立，则实数a的取值范围是．15．（4分）已知函数f（x）＝x3+bx2+ax+b2在x＝0处有极大值1，则a+b＝．三、解答题：本大题有4小题，共40分．16．（10分）在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF ∥BC，BC＝4，EF＝3，AD＝AE＝BE＝2，G是BC的中点．（1）求证：BD⊥EG；（2）求二面角G﹣DE﹣F的平面角的余弦值．17．（10分）已知命题p：函数f（x）＝x3﹣ax2+x在R上无极值，q：函数f （x）＝x3﹣3x﹣a在（0，2）上两个不等的零点，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（10分）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点到其准线的距离是2．（1）求抛物线C的标准方程；（2）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4，且||＝4，求直线l的方程．（O为坐标原点）19．（10分）已知函数f（x）＝2x3﹣3（a+1）x2+6ax，（1）若a＝2，求f（x）在R上的极值；（2）若函数f（x）在[0，2]上的最大值是g（a），求g（a）的表达式．2014-2015学年浙江省杭州二中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）命题：∃x∈[0，]，sin x+cos x≥2的否定是（）A．∃x∈[0，]，sin x+cos x＜2B．∀x∈[0，]，sin x+cos x≥2C．∀x∈[0，]，sin x+cos x≤2D．∀x∈[0，]，sin x+cos x＜2【解答】解：据含量词的命题的否定形式得到：命题命题：∃x∈[0，]，sin x+cos x≥2的否定是”∀x∈[0，]，sin x+cos x＜2”选：D．2．（4分）与命题“若p则q”的否命题必定同真假的命题为（）A．若q则p B．若p则q C．若￢q则p D．若￢q则￢p 【解答】解：与命题“若p则q”的否命题必定同真假的是命题“若p则q”的逆命题，即若q则p，故选：A．3．（4分）如图，一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的体积为（）A．18B．9C．12D．4【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱柱；且该三棱柱的底面边长上的高为3的等边三角形；所以，该三棱柱的底面边长为a＝＝2，它的体积为：V＝Sh＝×2×3×4＝12．故选：C．4．（4分）“x＞0”是“＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当x＝1，满足x＞0但＞2不成立，若＞2，则0＜x＜，则x＞0成立，即“x＞0”是“＞2”的必要不充分条件，故选：B．5．（4分）关于函数y＝4x2+在x∈（0，+∞）上的最值的说法，下列正确的是（）A．最大值为3，无最小值B．无最大值，最小值为3C．无最大值，无最小值D．无最大值，最小值为【解答】解：∵x∈（0，+∞），f（x）＝4x2+，∴f′（x）＝8x﹣＝＝，由f′（x）＝0，解得x ＝．当x时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴当x＝时，函数f（x）取得最小值，＝3．而当x→+∞或x→0+时，f（x）→+∞，因此函数f（x）有最小值3，而无最大值．故选：B．6．（4分）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a，b与α所成的角相等，则α∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b【解答】解：A、直线a，b的方向相同时才平行，不正确；B、用长方体验证．如图，设A1B1为a，平面AC为α，BC为b，平面A1C1为β，显然有a∥α，b∥β，α∥β，但得不到a∥b，不正确；C、可设A1B1为a，平面AB1为α，CD为b，平面AC为β，满足选项C的条件却得不到α∥β，不正确；D、∵a⊥α，α⊥β，∴a⊂β或a∥β又∵b⊥β∴a⊥b故选：D．7．（4分）设F1、F2是双曲线﹣＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且•＝0，则||•||的值为（）A．2B．2C．4D．8【解答】解：设||＝m，||＝n，则，∴2mn＝24﹣16，∴mn＝4，故选：C．8．（4分）过点（0，8）作曲线f（x）＝x3﹣6x2+9x的切线，则这样的切线条数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：设过点（0，8）的切线切曲线于点（x0，y0），则切线的斜率k＝f'（x0）＝3x02﹣12x0+9，所以切线方程为y＝（3x02﹣12x0+9）x+8，故y0＝（3x02﹣12x0+9）x0+8＝x03﹣6x02+9x0，所以x03﹣3x02+4＝0，所以x0＝﹣1或2，故选：C．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．9．（4分）函数f（x）＝ln（x2+1）的导函数f′（x）＝．【解答】解：f′（x）＝•（x2+1）′＝，故答案为：．10．（4分）求f（x）＝x2﹣lnx的单调增区间是[1，+∞）．【解答】解：∵y＝f（x）＝x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），y′＝，∴由y′≥0得：x＞≥，或x≤﹣1（舍去），∴函数y＝f（x）＝x2﹣lnx的单调递增区间为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．11．（4分）已知x，y∈R，命题“若xy＜18，则x＜2或y＜9”是真命题（填“真”或“假”）．【解答】解：命题的逆否命题形式为若x≥2且y≥9，则xy≥18，若x≥2且y≥9，则xy≥18成立，即命题的逆否命题为真命题，则“若xy＜18，则x＜2或y＜9”是真命题，故答案为：真．12．（4分）函数f（x）＝e x﹣kx在区间（1，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（﹣∞，e]．【解答】解：∵函数f（x）＝e x﹣kx在区间（1，+∞）上单调递增，∴f′（x）＝e x﹣k≥0在（1，+∞）恒成立，∴k≤e x，（x＞1），∴k≤e，故答案为：（﹣∞，e]．13．（4分）已知x∈R，若“x≥a”是“有意义”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是a＞0．【解答】解：若“x≥a”是“有意义”的充分不必要条件，则“x≥a”是“x≥0”的充分不必要条件，则实数a＞0，故答案为：a＞0．14．（4分）若存在x∈[1，3]，使得lnx+ax≥0成立，则实数a的取值范围是[﹣，+∞）．【解答】解：存在x∈[1，3]，使得lnx+ax≥0成立，等价于存在x∈[1，3]，使得a≥﹣成立，设f（x）＝﹣，x∈[1，3]，∴a≥f（x）min，∴f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得x＝e，当f′（x）＞0，解得e＜x≤3，函数单调递增，当f′（x）＞0，解得1≤x＜e，函数单调递减，所以当x＝e时，函数有最小值，f（e）＝﹣，所以a≥﹣，故答案为：[﹣，+∞）．15．（4分）已知函数f（x）＝x3+bx2+ax+b2在x＝0处有极大值1，则a+b＝﹣1．【解答】解：∵f（x）＝x3+bx2+ax+b2，∴f′（x）＝3x2+2bx+a，∵函数f（x）＝x3+bx2+ax+b2在x＝0处有极大值1∴，即，解得，或，当a＝0，b＝0时，f（x）＝f（x）＝x3，在R上是增函数，无极值，故舍去，∴a＝0，b＝﹣1，∴a+b＝﹣1，故答案为：﹣1．三、解答题：本大题有4小题，共40分．16．（10分）在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF ∥BC，BC＝4，EF＝3，AD＝AE＝BE＝2，G是BC的中点．（1）求证：BD⊥EG；（2）求二面角G﹣DE﹣F的平面角的余弦值．【解答】解：（1）证∵EF⊥平面ABE，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB，∴FE，BE，AE两两垂直．以点E为坐标原点，FE，BE，AE分别为X，Y，Z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0）．∴，，∴，∴BD⊥EG．（2）由已知得是平面DEF的法向量．设平面DEG的法向量为，∵，∴，即，令x＝1，得．设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为θ，则cosθ＝∴平面EDG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为．17．（10分）已知命题p：函数f（x）＝x3﹣ax2+x在R上无极值，q：函数f （x）＝x3﹣3x﹣a在（0，2）上两个不等的零点，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：f′（x）＝x2﹣ax+1，则：f′（x）≥0在R上恒成立；∴△＝a2﹣4≤0；∴﹣2≤a≤2；命题q：f′（x）＝3（x2﹣1）；∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，∴根据条件可画出f（x）在（0，2）上的图象如下：由图象可知：；解得﹣2＜a＜0；由于p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q必定为一真一假；所以，或；∴a＝﹣2或0≤a≤2；∴实数a的取值范围为{a|0≤a≤2，或a＝﹣2}．18．（10分）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点到其准线的距离是2．（1）求抛物线C的标准方程；（2）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4，且||＝4，求直线l的方程．（O为坐标原点）【解答】解：（1）由题意可知，p＝2，则抛物线C的方程x2＝4y；（2）设直线l的方程为y＝kx+b，代入抛物线方程可得x2﹣4kx﹣4b＝0，则△＞0得k2+b＞0；①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b，由•＝﹣4可得x1x2+y1y2＝﹣4，整理可得（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2＝﹣4，即（k2+1）（﹣4b）+kb×4k+b2＝﹣4，化简可得b2﹣4b+2＝0，故b＝2；②由于||＝•＝4，解得，k4+3k2﹣4＝0，故k＝±1；③把②③代入①，显然成立，综上，直线l的方程为y＝x+2或y＝﹣x+2．19．（10分）已知函数f（x）＝2x3﹣3（a+1）x2+6ax，（1）若a＝2，求f（x）在R上的极值；（2）若函数f（x）在[0，2]上的最大值是g（a），求g（a）的表达式．【解答】解：（1）若a＝2，则f（x）＝2x3﹣9x2+12x，则f′（x）＝6x2﹣18x+12＝6（x﹣1）（x﹣2），当x＝1时，f（x）极大值＝f（1）＝5，当x＝2时，f（x）极小值＝f（2）＝4，（2）f′（x）＝6x2﹣6（a+1）x+6a＝6（x﹣1）（x﹣a），①当a≤0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，2）单调递增，f（x）max＝max{f（0），f（2）}＝max{0，4}＝4，②当0＜a＜1时，f（x）在（0，a）单调递增，在（a，1）单调递减，在（1，2）单调递增，f（x）max＝max{f（a），f（2）}＝max{﹣a3+3a2，4}，由于4﹣（﹣a3+3a2）＝a3﹣3a2+4＝a3+1﹣3a2+3＝（a+1）（a2﹣a+1）﹣3（a+1）（a﹣1）＝（a+1）（a﹣2）2，在0＜a＜1的条件下，肯定为正，所以4＞﹣a3+3a2，故f（x）max＝max{f（a），f（2）}＝max{﹣a3+3a2，4}＝4，③当a＝1时，f（x）在（0，2）单调递增f（x）max＝f（2）＝4，④当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）单调递增，在（1，a）单调递减，在（a，2）单调递增，f（x）max＝max{f（1），f（2）}＝max{3a﹣1，4}，由于4﹣（3a﹣1）＝5﹣3a，则当1＜a＜时，4＞3a﹣1，即f（x）max＝4，当＜a＜2时，4≤（3a﹣1），即f（x）max＝3a﹣1，⑤当a≥2时，f（x）在（0，10单调递增，在（1，2）单调递减，f（x）max＝f（1）＝3a﹣1，综上所述，f（x）max＝．。
浙江省杭州重点中学1415高二上学期期末——数学(文)数
浙江省杭州地区（含周边）重点中学 2014—2015学年度上学期期末考试高二数学文试题考生须知：1．本卷满分120分，考试时间100分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．半径为2cm 的球的体积是（ ▲ ） A ． cm 3 B ． cm 3 C ． cm 3 D ． cm 3 2．直线x ＝－的倾斜角和斜率分别是（ ▲ ） A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在 D ．180°，不存在 3.已知实数，则是且的（ ▲ ）条件A 充分不必要B 必要不充分C 充要D 既不充分也不必要4.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ▲ ）A ．若，则 B ．若，则C ．若，则 D ．若，则5．六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如下图所示，则其左视图不可能为（ ▲ ）A. B. C. D.6．若直线与圆2240x y kx my +++-=交于M ，N 两点，且M ，N 关于直线对称，则的值是（ ▲ ） A ． B ．0 C ． D ． 3 7.已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（ ▲ ） A ． B ． C ． D ．8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为2的直线交椭圆于、两点，若△为直角三角形，则椭圆的离心率为（ ▲ ）A ．53B ．23C ．23D ．139.三棱柱中，与、所成角均为，，且，则与所成角的余弦值为（ ▲ ）A ．1B ．－1C ．D ．－10．已知ABCD-ABCD 是边长为1的正方体，P 为线段AB 上的动点，Q 为底面ABCD 上的动点，则最小值为（ ▲ ） A ． B ． C ．2 D ． 二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11.在空间直角坐标系中，是点关于轴的对称点，则= ___▲___． 12.两平行直线与之间的距离为___▲___．13.设抛物线的准线为，为抛物线上的动点，定点，则与点到准线的距离之和的最小值为___▲___． 14. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为___▲___．15.如图四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且,为中点，则下列结论中正确的是___▲___．①； ②//平面； ③平面平面； ④平面//平面.16.已知分别是双曲线的左右焦点，A 是双曲线在第一象限内的点，若且，延长交双曲线右支于点B ，则的面积等于___▲___．17.已知动点在椭圆上，若A 点的坐标为(6,0)，，且，则的最小值为___▲___．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18.（本题满分12分）已知命题13102:22=-+-m y m x p 方程表示焦点在轴上的椭圆； 已知命题125:22=+-my m x q 方程表示双曲线； 若为真，为假，求实数的取值范围。
浙江省杭州二中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文) Word版含答案
杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷(文科)一、选择题（每题3分，共30分）1.设n m ,是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若//m ,,,n m n αβαβ⊥⊥⊥则B ．若m //,,//,n m n αβαβ⊥⊥则C ．若//m ,,,//n m n αβαβ⊥⊥则D ．若m //,,//,//n m n αβαβ⊥则2.正方体1111D C B A ABCD -中，N M 、分别是BC CC ,1的中点，则过N M A 、、三点的正方体1111D C B A ABCD -的截面形状是A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对3.如图，在三棱锥ABC S -中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，⊥SO 底面ABC ，O 为垂足，则侧棱SA 与底面ABC 所成角的余弦值为 A ．23 B ．21 C ．33 D ．634.若点()n m P ,，)1,1(+-m n Q 关于直线l 对称，则l 的方程是A ．01=+-y xB ．0=-y xC ．01=++y xD ．0=+y x 5.直三棱柱111ABC A B C -中，090=∠BCA ，M N 、分别是1111A B A C 、的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为A ．110B ．25C D 6.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中,下面结论错误的是 A.BD ∥平面11D CB B. 异面直线AD 与1CB 所成的角为30° C.1AC ⊥平面11D CB D. 1AC BD ⊥7.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 B.4π C.8π D.16π 6题 7题SBA CO3题8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A.B.C.D.9.在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且90POQ ∠=，再过两分钟后，该物体位于R 点，且30QOR ∠=，则tan OPQ ∠的值为10．三棱锥ABC O -中，OC OB OA ,,两两垂直且相等，点Q P ,分别是线段BC 和OA 上移动，且满足BC BP 21≤，AO AQ 21≤，则PQ 和OB 所成角余弦值的取值范围是 A.]552,33[B.]22,33[C.]552,66[D.]22,66[ 二、填空题（每题4分，共24分）11.两条平行直线011801243=++=-+y ax y x 与之间的距离为_________.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2),(2,0),(1,0)A B C -，分别以ABC ∆的边AB AC 、向外作正方形ABEF 与ACGH ，则直线FH 的一般式方程为 .13.已知1111D C B A ABCD -为正方体，①(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1AC ·(11A B 1A DO1D 1C 1B CBA8题APQ ODCB－1A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1A A ·AD |.其中正确命题的序号是________．14题 15题14.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是面对角线1A B 上的动点，则1AM MD + 的最小值为 ．15．如图，在三棱锥BCD A -中，2====AD AB DC BC ，2=BD ，平面⊥ABD 平面BCD ，O 为BD 中点，点Q P ,分别为线段BC AO ,上的动点（不含端点），且CQ AP =，则三棱锥QCO P -体积的最大值为________．16．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为.),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等，其中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为 ． 三、解答题（共46分）17．（10分）(1)已知C B A ,,三点坐标分别为()2,1,2-，()1,5,4-，()3,2,2-，求点P 的坐标使得()-=21； (2)已知()4,5,3-=，()8,1,2=，求：①⋅；②与夹角的余弦值； ③确定λ，μ的值使得μλ+与z 轴垂直，且()()53=+⋅+μλ.18.（12分）一个几何体是由圆柱11A ADD 和三棱锥ABC E -组合而成,点C B A ,,在圆O 的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中⊥EA 平面ABC ,AC AB ⊥,AC AB =.2=AE .(1)求证：BD AC ⊥.(2)求三棱锥BCD E -的体积.19．（12分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，F E ,分别是11A B 、1CC 的中点，过1D 、E 、F 作平面1D EGF 交1BB 于G ． (l)求证：EG ∥1D F ；(2)求二面角11C D E F --的余弦值；(3)求正方体被平面1D EGF 所截得的几何体11ABGEA DCFD -的体积．20.（12分）在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线. ⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷（文科）二、填空题（每题4分，共24分）11.12. 13.14. 15. 16.三、解答题（共46分）17.（10分）18.（12分）19.(12分)20.（12分）杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷（文科）二、填空题（每题4分，共24分）11.2712. 4140x y +-= 13. 1,214. 15. 16. 三、解答题（共46分）17.（1）设P （x ，y ，z ），则=（x-2，y+1，z-2），=（2，6，-3），=（-4，3，1）， ∵=21（-）.∴（x-2，y+1，z-2）=21［（2，6，-3）-（-4，3，1）］ =21（6，3，-4）=(3，23，-2)∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+=-2223132z y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0215z y x∴P 点坐标为(5，21，0).（2）①a ·b=（3，5，-4）·（2，1，8） =3×2+5×1-4×8=-21. ②∵|a|=222)4(53-++=52, |b|=222812++=69, ∴cos 〈a,b 〉=b a b a ⋅ =692521⋅-=-2301387.∴a 与b 夹角的余弦值为-2301387. ③取z 轴上的单位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）. 依题意()()()⎩⎨⎧=+⋅+=⋅+530b a n b a b a μλμλ即()()()()⎩⎨⎧=⋅+-++=⋅+-++534,6,584,5,2301,0,084,5,23μλμλμλμλμλμλ故⎩⎨⎧=+=+-534829084μλμλ 解得⎪⎩⎪⎨⎧==211μλ.18.【解析】(1)因为EA ⊥平面ABC,AC ⊂平面ABC,所以EA ⊥AC,即ED ⊥AC.又因为AC ⊥AB,AB ∩ED=A,所以AC ⊥平面EBD. 因为BD ⊂平面EBD,所以AC ⊥BD.(2)因为点A,B,C 在圆O 的圆周上,且AB ⊥AC,所以BC 为圆O 的直径. 设圆O 的半径为r,圆柱高为h,根据正(主)视图,侧(左)视图的面积可得,解得所以BC=4,AB=AC=2.以下给出求三棱锥E-BCD 体积的两种方法： 方法一：由(1)知,AC ⊥平面EBD, 所以V E-BCD =V C-EBD =S △EBD ×CA,因为EA ⊥平面ABC,AB ⊂平面ABC, 所以EA ⊥AB,即ED ⊥AB. 其中ED=EA+DA=2+2=4, 因为AB ⊥AC,AB=AC=2,所以S △EBD =ED ×AB=×4×2=4,所以V E-BCD =×4×2=. 方法二：因为EA ⊥平面ABC,所以V E-BCD =V E-ABC +V D-ABC =S △ABC ×EA+S △ABC ×DA=S △ABC ×ED. 其中ED=EA+DA=2+2=4, 因为AB ⊥AC,AB=AC=2,所以S △ABC =×AC ×AB=×2×2=4,所以V E-BCD =错误！未找到引用源。
浙江省杭州地区(含周边)重点中学2014-2015学年高二数学下学期期中联考试题 文
2014学年第二学期期中杭州地区(含周边)重点中学高二年级 数学〔文科〕试题一．选择题〔本大题共8小题，每一小题4分，共32分，每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．i 是虚数单位,复数31ii --= 〔 〕A ．2i +B ．12i -C ．i 21+D ．2i -2．“b a >〞是 “22a b >〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．命题“对于任意的01,2>+∈x R x 〞的否认是 〔 〕A ．对于任意的01,2≤+∈x R x B ．存在01,2≤+∈x R xC ．存在01,2<+∈x R x D ．存在01,2>+∈x R x 4.如下四组函数中，表示同一函数的是〔 〕A．y =y x =B ．0y x =与1y =C ．4log 2xy =与y =D ．y x =与2y =5．7.0log 3=a ，7.03=b ，5.0)31(-=c ，如此c b a 、、的大小关系是〔 〕A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a <<6．函数)(x f 满足：24)1(3)(x x f x f =-，如此)(x f 的最大值是〔 〕A ．2-B ．3-C ．32-D ．3-7．函数|)|(x f y -=的图像如左图所示，如此函数)(x f y =的图像不可能是〔 〕(1)(2)(3)(4)A.〔1〕B.〔2〕C.〔3〕D.〔4〕8．设函数()f x的定义域为D,假设函数()f x满足条件:存在[],a b D⊆,使得()f x在区间[],a b上的值域为,a bn n⎡⎤⎢⎥⎣⎦()*n N∈,如此称()f x为“n倍缩函数〞,假设函数()()3log3xf x t=+为“3倍缩函数〞,如此t的取值范围为〔〕A.10,3⎛⎫⎪⎝⎭B.⎛⎝⎭C.⎛⎝⎭D.()0,1二．填空题〔共7小题，9-12小题每题6分，13-15小题每题4分，共36分〕9．集合}42|{<<-=xxM，}313|{>=xxN，如此M N=_________________，M N=_________________，RM C N=_________________．10．幂函数()f x kxα=),(RRk∈∈α的图像过点11,24⎛⎫⎪⎝⎭，如此kα+=_________________；函数y=的定义域为_________________．11．函数()13log,02,0xx xf xx>⎧⎪=⎨≤⎪⎩，如此((9))f f=_________________，假设1()2f a>，如此实数a的取值范围是_________________.12．函数axfx+-=121)(为奇函数，如此实数=a_________________；假设函数()y f x m=-存在零点，如此实数m的取值范围_________________．13．=÷--21100)41lg25(lg_________________．14．定义为R 上的函数()f x 满足()()27f x f x +=，()13f =，如此()2015f =_________________．15．函数x x x f 22log 2)(--=，正实数c b a 、、满足)(0)()(c f b f a f <<<，假设实数m是方程0)(=x f 的一个根，那么如下四个结论：①a m >；②b m <；③c m >；④)(21b a m +>.其中成立的是_________________.三．解答题：〔共4小题，16、17小题每题12分，18、19小题每题14分，共52分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕16．〔本小题总分为12分〕设}03)4(|{22=++-+=a x a x x A ，}065|{2=+-=x x x B ，}0252|{2=+-=x x x C ．〔1〕假设A B A B =，求a 的值；〔2〕假设A B A C =≠∅，求a 的值．17．〔本小题总分为12分〕函数1()ln x f x x x -=-．〔1〕求曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程；〔2〕求()f x 在1,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．18．〔本小题总分为14分〕 命题P :在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-.不等式1x ax ⊗<对任意实数x 恒成立；命题Q ：假设不等式2621x ax x -+≥+对任意的*N x ∈恒成立．假设P Q ∧为假命题，P Q ∨为真命题，求实数a 的取值范围.19．〔本小题总分为14分〕 函数()2||1f x x x =--．〔1〕试讨论函数)(xf在区间()0-∞，上的单调性；〔2〕假设当),(abx∈()0b>时，函数()()log(01)ay f x a a=>≠且的取值范围恰为)0,(-∞，求实数ba,的值．2014学年第二学期期中杭州地区(含周边)重点中学 高二年级 数学〔文科〕参考答案一、选择题〔共8小题，每一小题4分，共32分〕二、填空题〔共7小题，9-12小题每题6分，13-15小题每题4分，共36分〕 9．)4,1(-),2(+∞-(]1,2-- 10．3[]1,3-11．41⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-33,1 12．1211,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．20 14．73 15、②③三、解答题〔本大题共4小题，16、17小题每题12分，18、19小题每题14分，共52分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕 16. 〔本小题总分为12分〕解：〔1〕{},3,2=B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21,2C ----------------------------------------------------------2分 B A B A =，B A =∴------------------------------------------------------4分⎩⎨⎧⨯=++-=-∴323)32(42a a 解得3=a ------------------------------------------------6分-〔2〕φ≠=C A B A {}2==∴C A B A A ∈∴2----------------8分03)4(2222=++-+∴a a 即01522=--a a解得253-==a a 或------------------------------------------------------------------10分当3=a 时，{}3,2=A 此时C A B A ≠ 舍去；当25-=a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=41,2A 此时满足题意。
2015浙江杭州二模(4月)数学(文)试题
2015年杭州市第二次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，第小题5分，共40分。
1、已知函数f(x)={21(0),12(0)x x x x ->-≤则f(1)+f(－1)的值是（ ） A.0 B.2 C.3D.42、“a=1”是“直线l 1: ax+2y －8=0与直线l 2: x+(a+1)y+4=0平行”的 （ ）A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 （ ） A.143 B.4 C.103 D.34、已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且满足312412342244,2244a a a a a a a a +=++=+， 则a 1a 5=（ ）B.8 D.165、设向量a ，b 满足|a |=1，a 与a －b 的夹角为150°，则|b |的取值范围是（ ）A.1[,1)2B. 1[,)2+∞C. )+∞D. (1,)+∞6、已知ABC －A 1B 1C 1是所有棱长均相等的直三棱柱，M 是B 1C 1的中点，那么下列命题正确 的是 （ ）A.在棱AB 上存在点N ，使MN 与平面ABC 所成的角为45°B. 在棱AA 1上存在点N ，使MN 与平面BCC 1B 1所成的角为45°C.在棱AC 上存在点N ，使MN 与AB 1平行D. 在棱BC 上存在点N ，使MN 与AB 1垂直7、设双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的左焦点F(－c ，0)，圆x 2+y 2=c 2与双曲线的一条渐近线交于点A ，直线AF 交另一条渐近线于点B 。
若12FB FA =，则双曲线的离心率为 （ ）A.2B.3C.328、若不等式(－2)n ·a －3n －1－(－2)n <0对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.4(1,)3B. 14(,)23C. 7(1,)4D. 71(,)24二、填空题：本大题共7小题，第9至12题每小题6分，第13至15题每题4分，共36分。
2014-2015年浙江省杭州市七校联考高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2014-2015学年浙江省杭州市七校联考高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求．）1．（3分）已知倾斜角为90°的直线经过点A（2m，3），B（2，﹣1），则m的值为（）A．0B．1C．2D．32．（3分）对抛物线y=x2，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为（0，1）B．开口向右，焦点为（1，0）C．开口向上，焦点为（0，）D．开口向右，焦点为（，0）3．（3分）已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．B．C．D．4．（3分）球的体积与其表面积的数值相等，则球的表面积等于（）A．πB．4πC．16πD．36π5．（3分）直线l1：ax+2y+3=0与l2：x﹣（a﹣1）y+a2﹣1=0，则“a=2”是“直线l1与l2垂直”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件6．（3分）若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n B．α⊥β，n∥α，m⊥β⇒n⊥mC．m∥n，m∥α⇒n∥αD．m∥n，m⊥α⇒n⊥α7．（3分）实数x，y满足x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，则的最小值为（）A．B．C．D．8．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=2，E，F分别是A1B1和B1C1的中点，则异面直线AE与BF所成的角．（）A．30°B．60°C．90°D．120°9．（3分）有下列四个命题：①“平面内一个动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆”；②“若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根”的否命题；③“若m＞1，则mx2﹣2（m+1）x+m+3＞0的解集为R”的逆命题．④“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆否命题．其中真命题的序号有（）A．②③B．①③④C．①③D．①④10．（3分）分别过椭圆+=1的左、右焦点F1、F2所作的两条互相垂直的直线l1、l2的交点在此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C．（，1）D．[0，]二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+5＞0”的否定是．12．（4分）双曲线的渐近线方程为．13．（4分）不论m为何实数，直线mx﹣y+3=0恒过定点（填点的坐标）14．（4分）已知直线l∥平面α，直线m⊂α，则直线l和m的位置关系是．（平行、相交、异面三种位置关系中选）15．（4分）已知动圆M与圆C1：（x+5）2+y2=16外切，与圆C2：（x﹣5）2+y2=16内切，则动圆圆心的轨迹方程为．16．（4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，现将△ABD沿BD翻折至△A′BD，使二面角A′﹣BD﹣C的大小为60°，求CD和平面A′BD所成角的余弦值是．17．（4分）设双曲线（a＞b＞0）的右焦点为F，左右顶点分别为A1，A2，过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线相交于P，若P恰好在以A1A2为直径的圆上，则双曲线的离心率为．三．解答题：（本大题共4题，第1、2、3题每题10分，第4题12分，共42分．）18．（10分）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），命题q：2＜x≤3（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（10分）已知圆C的圆心在坐标原点，且被直线3x+4y+15=0截得的弦长为8（Ⅰ）试求圆C的方程；（Ⅱ）当P在圆C上运动时，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，且|MD|=|PD|．求点M的轨迹方程．20．（10分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且直线P A ⊥平面ABCD，又棱P A=AB=2，E为CD的中点，∠ABC=60°．（Ⅰ）求证：直线EA⊥平面P AB；（Ⅱ）求直线AE与平面PCD所成角的正切值．21．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为直角时，求△OMN的面积．2014-2015学年浙江省杭州市七校联考高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求．）1．（3分）已知倾斜角为90°的直线经过点A（2m，3），B（2，﹣1），则m的值为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵倾斜角为90°的直线经过点A（2m，3），B（2，﹣1），∴2m=2，解得m=1．故选：B．2．（3分）对抛物线y=x2，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为（0，1）B．开口向右，焦点为（1，0）C．开口向上，焦点为（0，）D．开口向右，焦点为（，0）【解答】解：抛物线y=x2，即为抛物线x2=4y，由抛物线的性质可得该抛物线开口向上，焦点为（0，1）．故选：A．3．（3分）已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的四棱锥，且该四棱锥的底面是边长为2cm的正方形ABCD，高为cm；所以，该四棱锥的体积为V=×22×=cm3．故选：B．4．（3分）球的体积与其表面积的数值相等，则球的表面积等于（）A．πB．4πC．16πD．36π【解答】解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4πr2因为球的体积与其表面积的数值相等，所以=4πr2．解得r=3所以4πr2=36π．故选：D．5．（3分）直线l1：ax+2y+3=0与l2：x﹣（a﹣1）y+a2﹣1=0，则“a=2”是“直线l1与l2垂直”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：若直线l1与l2垂直，则a﹣2（a﹣1）=0，即a=2，故“a=2”是“直线l1与l2垂直”的充要条件，故选：C．6．（3分）若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n B．α⊥β，n∥α，m⊥β⇒n⊥mC．m∥n，m∥α⇒n∥αD．m∥n，m⊥α⇒n⊥α【解答】解：运用几何体得出：A：有可能是异面直线，故选项A错误B：有可能平行，故选项B错误，C：n有可能在平面α内，故选项C错误，故选：D．7．（3分）实数x，y满足x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：方程x2+y2﹣2x﹣2y+1=0表示以点（1，1）为圆心，以1为半径的圆．设=k，即kx﹣y﹣2k+4=0，由圆心（1，1）到kx﹣y﹣2k+4=0的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由1，解得k=．所以的最小值为．故选：D．8．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=2，E，F分别是A1B1和B1C1的中点，则异面直线AE与BF所成的角．（）A．30°B．60°C．90°D．120°【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．A（4，0，0），B（4，4，0），E （4，2，2），F（2，4，2）．∴=（0，2，2），=（﹣2，0，2）．∴===．∴异面直线AE与BF所成的角是60°．故选：B．9．（3分）有下列四个命题：①“平面内一个动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆”；②“若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根”的否命题；③“若m＞1，则mx2﹣2（m+1）x+m+3＞0的解集为R”的逆命题．④“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆否命题．其中真命题的序号有（）A．②③B．①③④C．①③D．①④【解答】解：平面内一个动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆或线段，故①为假命题；“若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根”的否命题是“若q＞1，则方程x2+2x+q=0无实根”，当q＞1时，方程x2+2x+q=0的△＜0，方程x2+2x+q=0无实根，故②为真命题；③“若m＞1，则mx2﹣2（m+1）x+m+3＞0的解集为R”的逆命题是“若mx2﹣2（m+1）x+m+3＞0的解集为R，则m＞1”，当mx2﹣2（m+1）x+m+3＞0的解集为R时，m＞0且△=4﹣4m＜0，解得m＞1，故③为真命题；“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”为假命题，故其逆否命题也为假命题，即④为假命题，故真命题的序号有②③，故选：A．10．（3分）分别过椭圆+=1的左、右焦点F1、F2所作的两条互相垂直的直线l1、l2的交点在此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C．（，1）D．[0，]【解答】解：由题意可知椭圆内存在点P使得直线PF1与直线PF2垂直，可得|OP|=c＜b，所以c2＜b2=a2﹣c2，∴e∈（0，）．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+5＞0”的否定是∀x∈R，都有x2+2x+5≤0．【解答】解：命题是特此命题，则命题的否定是：∀x∈R，都有x2+2x+5≤0，故答案为：∀x∈R，都有x2+2x+5≤012．（4分）双曲线的渐近线方程为x±y=0．【解答】解：双曲线的右边，设为0，可得渐近线方程为x±y=0．故答案为：x±y=0．13．（4分）不论m为何实数，直线mx﹣y+3=0恒过定点（0，3）（填点的坐标）【解答】解：令，解得：，故直线mx﹣y+3=0恒过定点（0，3），故答案为：（0，3）．14．（4分）已知直线l∥平面α，直线m⊂α，则直线l和m的位置关系是平行或异面．（平行、相交、异面三种位置关系中选）【解答】解：因为直线l∥平面α，直线m⊂α，所以直线l与平面α内的所有直线没有公共点，则直线l和m的位置关系是：平行或异面；故答案为：平行或异面．15．（4分）已知动圆M与圆C1：（x+5）2+y2=16外切，与圆C2：（x﹣5）2+y2=16内切，则动圆圆心的轨迹方程为．【解答】解：设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r，则|MC1|=r+4，|MC2|=r ﹣4，∴|MC1|﹣|MC2|=r+4﹣r+4=8＜|C1C2|=10，由双曲线的定义知，点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且2a=8，a=4，b=3双曲线的方程为：（x＞0）．16．（4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，现将△ABD沿BD翻折至△A′BD，使二面角A′﹣BD﹣C的大小为60°，求CD和平面A′BD所成角的余弦值是．【解答】解：连接AC交B于O，连接OA′，∵ABCD是菱形，∴OC⊥BD，A′O⊥BC，即∠A′OC是二面角A′﹣BD﹣C的平面角，即∠A′OC=60°，连接A′C，则△A′OC为等边三角形，则平面A′OC⊥平面ABCD，取A′O的中点E，连接CE，则CE⊥A′O，且CE⊥平面A′BD，连接DE，则∠CDE是CD和平面A′BD所成的角，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=6，AO=OC=A′O=，则OE=，OD=1，则DE==，则cos∠CDE==，故答案为：17．（4分）设双曲线（a＞b＞0）的右焦点为F，左右顶点分别为A1，A2，过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线相交于P，若P恰好在以A1A2为直径的圆上，则双曲线的离心率为．【解答】解：假设过焦点F（c，0）与渐近线平行的直线与渐近线相交，联立，解得，得到P，∵若P恰好在以A1A2为直径的圆上x2+y2=a2，∴+=a2，化为c2a2+b2c2=4a4，即c4=4a4，化为c2=2a2．∴=．则双曲线的离心率为．故答案为．三．解答题：（本大题共4题，第1、2、3题每题10分，第4题12分，共42分．）18．（10分）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），命题q：2＜x≤3（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）p：a＜x＜3a，a=1时，1＜x＜3，q：2＜x≤3，（2分），若p∧q为真，故2＜x＜3；（5分）（2）若q是p的充分不必要条件，则q⇒p，（7分）∴，解得1＜a≤2．（10分）19．（10分）已知圆C的圆心在坐标原点，且被直线3x+4y+15=0截得的弦长为8（Ⅰ）试求圆C的方程；（Ⅱ）当P在圆C上运动时，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，且|MD|=|PD|．求点M的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）已知圆C的圆心在坐标原点，且被直线3x+4y+15=0截得的弦长为8，而圆心到直线3x+4y+15=0的距离d=3，由弦长公式得，所以r=5所以所求圆的方程为x2+y2=25；（5分）（Ⅱ）设点M的坐标是（x，y），P的坐标是（x P，y P），∵点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|，∴x P=x，且y P=y，∵P在圆x2+y2=25上，∴x2+（y）2=25，整理得，即C的方程是．（5分）20．（10分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且直线P A ⊥平面ABCD，又棱P A=AB=2，E为CD的中点，∠ABC=60°．（Ⅰ）求证：直线EA⊥平面P AB；（Ⅱ）求直线AE与平面PCD所成角的正切值．【解答】解：（1）证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2，∴△AED是以∠AED为直角的Rt△；又∵AB∥CD，∴EA⊥AB；又P A⊥平面ABCD，∴EA⊥P A；且AB∩P A=A，∴EA⊥平面P AB；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）如图所示，连结PE，过A点作AH⊥PE于H点，∵CD⊥EA，CD⊥P A，且P A∩EA=A，∴CD⊥平面P AE；又AH⊂平面P AE，∴AH⊥CD；又AH⊥PE，且CD∩AE=E，∴AH⊥平面PCD，∴∠AEP为直线AE与平面PCD所成角；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）在Rt△P AE中，∵P A=2，AE==，∴tan∠AEP===．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）21．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为直角时，求△OMN的面积．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线方程为x2=2py，由已知得：22=2p所以p=2，所以抛物线的标准方程为x2=4y；（Ⅱ）因为直线与圆相切，所以，把直线方程代入抛物线方程并整理得：x2﹣4kx﹣4t=0，由△=16k2+16t=16（t2+2t）+16t＞0得t＞0或t＜﹣3，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=4k且x1•x2=﹣4t，∵∠MON为直角∴，解得t=4或t=0（舍去），∵，点O到直线的距离为，∴=．。
【解析】浙江省杭州市西湖高中2015届高三下学期4月月考数学试卷(文科)Word版含解析
2014-2015学年浙江省杭州市西湖高中高三（下）4月月考数学试卷（文科）一、选择题：1．若集合A={x|lgx≤0}，B={x|2x≤1}，全集U=R，则∁U（A∪B）=( )A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）2．已知a，b∈R，下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是( )A．a＞b﹣1B．a＞b+1C．|a|＞|b|D．2a＞2b3．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x•4y的最大值为( )A．64B．32C．2D．4．已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0＜log m（ab）＜1，则m的取值范围是( )A．m＞1B．1＜m＜8C．m＞8D．0＜m＜1或m＞85．已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°），则α等于( )A．10°B．20°C．70°D．80°6．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是( )A．2B．3C．4D．67．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB=90°，则侧棱AA1的长的最小值为( )A．aB．2aC．3aD．4a8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，2]上是增函数，且f（x﹣4）=﹣f（x），给出下列结论：①若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=4，则f（x1）+f（x2）＞0；②若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=5，则f（x1）＞f（x2）；③若方程f（x）=m在[﹣8，8]内恰有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8或8；④函数f（x）在[﹣8，8]内至少有5个零点，至多有13个零点其中结论正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：9．已知f（x）=，则f（2）=__________；f=__________．10．设sinx+cosx=﹣（其中x∈（0，π），则sin2x=__________；cos2x的值为__________．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，则此双曲线的离心率为__________；又若双曲线的焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为__________．12．已知数列{a n}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*，则a2013=__________；a2014=__________．13．已知平面向量，，，满足++=，且与的夹角为135°且与的夹角为120°，||=2，则||=__________．14．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积为__________cm3．15．已知实数x，y满足x2+xy+y2=3，则x2﹣xy+y2的取值范围为__________．三、解答题：16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知lga﹣lgb=lgcosA﹣lgcosB，（Ⅰ）若，求角A；（Ⅱ）若，求cosB的值．17．（14分）已知数列{a n}，{b n}分别满足a1a2…a n=n（n﹣1）…2•1，b1+b2+…+b n=a n2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为S n，若对任意x∈R，a n S n＞﹣x2﹣2x+9恒成立，求自然数n的最小值．18．（14分）如图，四边形ABCD为菱形，ACFE为平行四边形，且面ACFE⊥面ABCD，AB=BD=2，AE=，设BD与AC相交于点G，H为FG的中点．（Ⅰ）证明：CH⊥面BFD；（Ⅱ）若CH=，求EF与面EDB所成角的大小．19．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．20．（17分）如图所示，过抛物线C：x2=4y的对称轴上一点P（0，m）（m＞0）作直线l与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，点Q是点P关于原点的对称点．（Ⅰ）求证：x1x2=﹣4m；（Ⅱ）若=λ，且⊥（﹣μ），求证：λ=μ．2014-2015学年浙江省杭州市西湖高中高三（下）4月月考数学试卷（文科）一、选择题：1．若集合A={x|lgx≤0}，B={x|2x≤1}，全集U=R，则∁U（A∪B）=( )A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，求出A与B并集的补集即可．解答：解：由A中lgx≤0=lg1，得到0＜x≤1，即A=（0，1]，由B中2x≤1=20，得到x≤0，即B=（﹣∞，0]，∴A∪B=（﹣∞，1]，则∁U（A∪B）=（1，+∞），故选：B．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．已知a，b∈R，下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是( )A．a＞b﹣1B．a＞b+1C．|a|＞|b|D．2a＞2b考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：欲求a＞b成立的必要而不充分的条件，即选择一个“a＞b”能推出的条件，但反之不能推出的条件，对选项逐一分析即可．解答：解：“a＞b”能推出“a＞b﹣1”，故选项A是“a＞b”的必要条件，但“a＞b﹣1”不能推出“a＞b”，不是充分条件，满足题意；“a＞b”不能推出“a＞b+1”，故选项B不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”不能推出“|a|＞|b|”，故选项C不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”能推出“2a＞2b”，且“2a＞2b”能推出“a＞b”，故是充要条件，不满足题意；故选A．点评：本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，解题的关键是理解必要而不充分的条件，属于基础题．3．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x•4y的最大值为( )A．64B．32C．2D．考点：基本不等式；简单线性规划．专题：计算题．分析：先画出可行域，再把可行域的几个角点分别代入，看哪个角点对应的函数值最大即可．解答：解：由于目标函数z=2x•4y =2x+2y，令m=x+2y，当m最大时，目标函数z就最大．画出可行域如图：可得点C（3，1）为最优解，m最大为5，故目标函数z=2x•4y =2x+2y的最大值为25=32，故选B．点评：本题主要考查简单的线性规划问题，一般在求目标函数的最值时，常用角点法，就是求出可行域的几个角点，分别代入目标函数，即可求出目标函数的最值．4．已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0＜log m（ab）＜1，则m的取值范围是( )A．m＞1B．1＜m＜8C．m＞8D．0＜m＜1或m＞8考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知可得b=2a，b2=a2b，联立可求a，b，代入已知不等式即可求解m的范围解答：解：∵a，b，a+b成等差数列，∴2b=2a+b，即b=2a．①∵a，b，ab成等比数列，∴b2=a2b，即b=a2（a≠0，b≠0）．②由①②得a=2，b=4．∵0＜logm8＜1，∴m＞1．∵logm8＜1，即logm8＜logm m∴m＞8故选C点评：本题主要考查了等差数列及等比数列的性质及对数不等式的求解，属于知识的简单应用．5．已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°），则α等于( )A．10°B．20°C．70°D．80°考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由题意求出PO的斜率，利用二倍角公式化简，通过角为锐角求出角的大小即可．解答：解：由题意可知sin40°＞0，1+cos40°＞0，点P在第一象限，OP的斜率tanα===cot20°=tan70°，由α为锐角，可知α为70°．故选C．点评：本题考查直线的斜率公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．6．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是( )A．2B．3C．4D．6考点：圆的切线方程；关于点、直线对称的圆的方程．专题：计算题．分析：由题意可知直线经过圆的圆心，推出a，b的关系，利用（a，b）与圆心的距离，半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值．解答：解：圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0化为（x+1）2+（y﹣2）2=2，圆的圆心坐标为（﹣1，2）半径为．圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，所以（﹣1，2）在直线上，可得﹣2a+2b+6=0，即a=b+3．点（a，b）与圆心的距离，，所以点（a，b）向圆C所作切线长：==≥4，当且仅当b=﹣1时弦长最小，为4．故选C．点评：本题考查直线与圆的位置关系，对称问题，圆的切线方程的应用，考查计算能力．7．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB=90°，则侧棱AA1的长的最小值为( )A．aB．2aC．3aD．4a考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：设侧棱AA1的长为x，A1E=t，则AE=x﹣t，由已知得t2﹣xt+a2=0，由此利用根的判别式能求出侧棱AA1的长的最小值．解答：解：设侧棱AA1的长为x，A1E=t，则AE=x﹣t，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，∠C1EB=90°，∴，∴2a2+t2+a2+（x﹣t）2=a2+x2，整理，得：t2﹣xt+a2=0，∵在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB=90°，∴△=（﹣x）2﹣4a2≥0，解得x≥2a．∴侧棱AA1的长的最小值为2a．故选：B．点评：本题考查长方体的侧棱长的最小值的求法，是中档题，解题时要注意根的判别式的合理运用．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，2]上是增函数，且f（x﹣4）=﹣f（x），给出下列结论：①若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=4，则f（x1）+f（x2）＞0；②若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=5，则f（x1）＞f（x2）；③若方程f（x）=m在[﹣8，8]内恰有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8或8；④函数f（x）在[﹣8，8]内至少有5个零点，至多有13个零点其中结论正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个考点：根的存在性及根的个数判断；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：先由“f（x）是奇函数且f（x﹣4）=﹣f（x）”转化得到f（x﹣8）=f（x），即函数f（x）为周期8的周期函数，然后按照条件↓解答：解：∵f（x）是奇函数且f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（x﹣8）=﹣f（x﹣4）=f（x），f（0）=0∴函数f（x）为周期8的周期函数，根据题意可画出这样的图形：如图所示，∵定义在R上的奇函数，在（0，2]上是增函数，∴在（﹣2，0]上是增函数，即（﹣2，2）上是增函数，①若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=4，则0＜x1＜2，2＜x2＜4，0＜4﹣x2＜2，﹣2＜x2﹣4＜0，∴f（4﹣x2）＞f（x2﹣4），又∵f（x1）=f（4﹣x2），﹣f（x2）=f（x2﹣4），∴f（x1）＞﹣f（x2），即f（x1）+f（x2）＞0，故①正确；②若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=5，则0＜x1＜，＜x2＜5，观察可知f（x1）＞f（x2），故②正确；③若方程f（x）=m在[﹣8，8]内恰有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，当m＞0时（如上方虚线所示），可知左边两个交点之和为﹣12（因为两个交点关于﹣6对称，一个交点可表示为﹣6﹣x0，另一个交点可表示为﹣6+x0），y轴右边的两个交点之和为4，则x1+x2+x3+x4=﹣8，同理m＜0时x1+x2+x3+x4=8，故③正确；④函数f（x）在[﹣8，8]内有5个零点，故④不正确，结论正确的有①②③，故选：C点评：本题主要考查函数奇偶性周期性和单调性的综合运用，综合性较强题考查了函数的奇偶性，对称性及周期性的性质，解答此题的关键在于由已知等式得到函数对称轴方程和周期，属中档题二、填空题：9．已知f（x）=，则f（2）=1；f=﹣1．考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分段函数，逐步求出f（2），判断x＞0时函数是周期函数，求出周期，然后转化f求解即可．解答：解：f（x）=，则f（2）=f（1）﹣f（0）=f（0）﹣f（﹣1）﹣f（0）=﹣f（﹣1）=﹣sin（﹣）=1．f（x）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2）=f（x﹣2）﹣f（x﹣3﹣1）﹣f（x﹣2）=﹣f（x﹣3），可得f（x+6）=f（x），x＞0时函数是周期为6的周期函数．f=f（335×6+4）=f（4）=﹣f（1）=﹣f（0）+f（﹣1）=﹣sin0﹣1=﹣1．故答案为：1；﹣1点评：本题考查分段函数以及抽象函数的应用，函数值的求法，基本知识的考查．10．设sinx+cosx=﹣（其中x∈（0，π），则sin2x=；cos2x的值为．考点：二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由sinx+cosx=﹣，x∈（0，π），可得cosx＜0，sin2x=﹣，继而有（sinx﹣cosx）2=1﹣sin2x=，于是利用（sinx+cosx）（sinx﹣cosx）=﹣cos2x即可求得答案．解答：解：∵sinx+cosx=﹣，x∈（0，π），∴cosx＜0，且1+2sinxcosx=，∴sin2x=﹣．∴（sinx﹣cosx）2=1﹣sin2x=，∴sinx﹣cosx=，与已知sinx+cosx=﹣联立，∴（sinx+cosx）（sinx﹣cosx）=﹣cos2x=﹣×=﹣，∴cos2x=，故答案为：；．点评：本题考查二倍角的正弦与余弦，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，则此双曲线的离心率为；又若双曲线的焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；作图题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，圆C：x2+y2﹣6x+5=0的方程可化为（x﹣3）2+y2=4；从而可得故=；从而求离心率；再由双曲线的焦点到渐近线的距离为2可得b=2；从而求方程．解答：解：由题意，圆C：x2+y2﹣6x+5=0的方程可化为（x﹣3）2+y2=4；故OC=3，BC=2，OB=；故=；故e===；设双曲线的焦点为（c，0）；其一条渐近线方程为=0，即bx+ay=0；故双曲线的焦点到渐近线的距离d==b=2；故a=；故此双曲线的方程为；故答案为：；．点评：本题考查了双曲线的定义及性质应用，属于基础题．12．已知数列{a n}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*，则a2013=1；a2014=0．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列之间的递推关系即可得到结论．解答：解：∵2013=504×4﹣3，满足a4n﹣3=1∴a2013=1，∵a2014=a1007，1007=252×4﹣1，满足a4n﹣1=0∴a2014=a1007=0，故答案为：1；0．点评：本题考查数列的递推式在解题中的合理运用，根据递推关系推导项之间的联系是解决本题的关键．13．已知平面向量，，，满足++=，且与的夹角为135°且与的夹角为120°，||=2，则||=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设=（m，0），由与的夹角为135°且与的夹角为120°，||=2，可取=，=r.=，利用++=，即可得出．解答：解：设=（m，0），∵与的夹角为135°且与的夹角为120°，||=2，∴=，=r．=，∵++=，∴=0，解得．故答案为：．点评：本题考查了向量的正交分解、向量的模的计算公式、向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积为20cm3．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱挖去一个三棱锥所得的组合体，画出其直观图，进而根据棱柱和棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱挖去一个三棱锥所得的组合体，如下图所示：故该几何体的体积V===20，故答案为：20点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，由已知中的三视图分析出几何体的形状是解答的关键．15．已知实数x，y满足x2+xy+y2=3，则x2﹣xy+y2的取值范围为[1，9]．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：设x2﹣xy+y2=m，又x2+xy+y2=3，可得3﹣m=2xy．由于x2+y2≥2|xy|，可得﹣3≤xy≤1，即可得出．解答：解：设x2﹣xy+y2=m，∵x2+xy+y2=3，∴3﹣m=2xy．∵x2+y2≥2|xy|，当且仅当x=±y时取等号．∴3≥﹣2xy+xy，3≥2xy+xy，化为﹣3≤xy≤1，∴﹣6≤2xy≤2．∴﹣6≤3﹣m≤2，解得1≤m≤9．∴x2﹣xy+y2的取值范围为[1，9]．故答案为：[1，9]．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了灵活变形能力，考查了推理能力和计算能力，属于难题．三、解答题：16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知lga﹣lgb=lgcosA﹣lgcosB，（Ⅰ）若，求角A；（Ⅱ）若，求cosB的值．考点：余弦定理；对数的运算性质；正弦定理．专题：计算题；综合题．分析：（Ⅰ）由题意可得A、B∈（0，），tanA=tanB，从而有A=B；又c=b，由余弦定理可求角A；（Ⅱ）由cosC=，利用余弦定理可得c=a，再利用正弦定理将该式转化为角的正弦，利用三角函数间的关系式即可求得cosB的值．解答：解：∵lga﹣lgb=lgcosA﹣lgcosB，∴lg =lg，A、B∈（0，），∴=，∴acosB=bcosA，由正弦定理可得sinAcosB=sinBcosA，sin（A﹣B）=0，∵A、B∈（0，），∴A=B，即a=b，△ABC为等腰三角形．又c=b，由余弦定理得：c2=3b2=b2+a2﹣2abcosC=2b2﹣2b2cosC，∴cosC=﹣，又C∈（0，π），∴C=，又A=B，A+B+C=π，∴A=．（Ⅱ）∵cosC=，∴sinC=，∴由余弦定理c2=b2+a2﹣2abcosC=2a2﹣2a2×=a2，∴c=a，∴sinC=sinA，而sinC=，∴sinA=，又A、B∈（0，），A=B，∴cosB=cosA=．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，得到tanA=tanB，是解题的关键，考查学生综合运用三角知识解决问题的能力，属于难题．17．（14分）已知数列{a n}，{b n}分别满足a1a2…a n=n（n﹣1）…2•1，b1+b2+…+b n=a n2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为S n，若对任意x∈R，a n S n＞﹣x2﹣2x+9恒成立，求自然数n的最小值．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由a1a2…a n=n（n﹣1）…2•1，得a1a2…a n﹣1=（n﹣1）（n﹣2）…2•1，n≥2，两式相除得a n=n；由b1+b2+…+b n=a n2=n2，得b1+b2+…+b n﹣1=（n﹣1）2，两式相减得b n=2n﹣1．（2）由==，利用裂项求和法能求出对任意x∈R，a n S n＞﹣x2﹣2x+9恒成立的自然数n的最小值．解答：解：（1）由a1a2…a n=n（n﹣1）…2•1，得a1a2…a n﹣1=（n﹣1）（n﹣2）…2•1，n≥2，两式相除得a n=n，n≥2，又n=1时，a1=1，满足上式，∴a n=n．…由b1+b2+…+b n=a n2=n2，得b1+b2+…+b n﹣1=（n﹣1）2，∴b n=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，（n≥2），又b1=1，故b n=2n﹣1．…（2）∵==，∴S n===，∴nS n=，而g（x）=﹣x2﹣2x+9的最大值为10，f（n）=＞10恒成立即可，n2＞10（2n+1），∴n2﹣20n﹣10＞0，解得n≥21，∴n的最小值为21．…（14分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的自然数的最小值的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．18．（14分）如图，四边形ABCD为菱形，ACFE为平行四边形，且面ACFE⊥面ABCD，AB=BD=2，AE=，设BD与AC相交于点G，H为FG的中点．（Ⅰ）证明：CH⊥面BFD；（Ⅱ）若CH=，求EF与面EDB所成角的大小．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）首先根据已知条件利用菱形的性质求出垂直的关系，进一步利用面面垂直得到线线垂直，最后利用线面垂直的判定求出结论．（Ⅱ）利用上步的结论，先确定线面的夹角，进一步求出角的大小．解答：（Ⅰ）证明：四边形ABCD为菱形所以：BD⊥AC又面ACEF⊥面ABCD所以：BD⊥平面ACFE所以：BD⊥CH即：CH⊥BD又H为FG的中点，CG=CF=所以：CH⊥FG所以：CH⊥面BFD．（Ⅱ）连接EG，由（Ⅰ）知BD⊥平面ACFE所以：面EFG⊥面BED所以：EF与平面EDB所成的角即为∠FEG．在△FCG中，CG=CF=，CH=，CH⊥GF所以∠GCF=120°，GF=3所以EG=，又因为EF=2．所以在△EFG中，可求得∠FEG=60°点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定，线面的夹角的应用．属于基础题型．19．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由函数g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，由此解得a、b的值．（2）不等式可化为2x+﹣2≥k•2x，故有k≤t2﹣2t+1，t∈[，2]，求出h（t）=t2﹣2t+1的最大值，从而求得k的取值范围．（3）方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0⇒|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，（|2x﹣1|≠0），令|2x﹣1|=t，则t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），构造函数h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通过数形结合与等价转化的思想即可求得k的范围．解答：解：（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，即，解得．（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k•2x≥0可化为2x+﹣2≥k•2x，可化为1+（）2﹣2•≥k，令t=，则k≤t2﹣2t+1．因x∈[﹣1，1]，故t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上能成立．记h（t）=t2﹣2t+1，因为t∈[，2]，故h（t）max=h（2）=1，所以k的取值范围是（﹣∞，1]．（3）方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0可化为：|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．记h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则，或∴k＞0．点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于难题．20．（17分）如图所示，过抛物线C：x2=4y的对称轴上一点P（0，m）（m＞0）作直线l与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，点Q是点P关于原点的对称点．（Ⅰ）求证：x1x2=﹣4m；（Ⅱ）若=λ，且⊥（﹣μ），求证：λ=μ．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设出直线l的方程，得到方程组，表示出x1•x2即可；（Ⅱ）由⊥（﹣μ），表示出关于λ，μ的方程，解出即可．解答：解：（Ⅰ）设l方程为：y=kx+m，由得：x2﹣4kx﹣4m=0，所以x1•x2=﹣4m；（Ⅱ）=λ，得=λ，由⊥（﹣μ），得2m[y1﹣μy2+（1﹣μ）m]=0，从而﹣μ+（1﹣μ）m=0，把x1•x2=﹣4m；代入上式得﹣（1﹣μ）﹣μ=0，则λ2+（1﹣μ）λ﹣μ=0，所以λ=﹣1或λ=μ，而显然λ＞0，所以λ=μ．点评：本题考查了抛物线问题，考查向量的垂直的性质，考查转化思想，是一道中档题．。
浙江省杭州市西湖中学2014-2015学年高二(下)4月月考数学(文)
2014-2015学年浙江省杭州市西湖中学高二（下）4月月考数学试卷（文科）一、选择题（共15小题，每小题5分，满分75分）1．椭圆的焦点坐标为（）A．（0，5）和（0，﹣5）B．（，0）和（﹣，0）C．（0，）和（0，﹣）D．（5，0）和（﹣5，0）2．已知动点M（x、y）到点F（4，0）的距离比到直线x+5=0的距离小1，则点M的轨迹方程为（）A．x+4=0 B．x﹣4=0 C．y2=8x D．y2=16x3．已知曲线C的方程为x2+2x+y﹣1=0，则下列各点中在曲线C上的点是（）A．（0，1）B．（﹣1，3）C．（1，1）D．（﹣1，1）4．设x是实数，则“x＞0”是“|x|＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．6．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+cC．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b7．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=18．F1，F2是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则三角形AF1F2的面积为（）A．7 B．C．D．9．抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．B． C．8 D．﹣810．点P在双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上，F1、F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．511．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有（）A．|FP1|+|FP2|=|FP3| B．|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2C．2|FP2|=|FP1|+|FP3| D．|FP2|2=|FP1|•|FP3|12．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．213．若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点P是抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|取得最小值时点P的坐标是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（2，2）D．14．已知点M（，0），椭圆+y2=1与直线y=k（x+）交于点A、B，则△ABM的周长为（）A．4 B．8 C．12 D．1615．过双曲线M：x2﹣=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B，C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）A． B．C． D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．16．抛物线的焦点坐标是．17．短轴长为2，离心率e=的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2周长为．18．平面上有三点A（﹣2，y），B（0，），C（x，y），若，则动点C的轨迹方程为．19．如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是．20．已知P是椭圆+上的一个动点，F1，F2分别是左右焦点，则cos∠F1PF2的最小值为．试卷Ⅱ一．选择题（每题4分，共12分）21．已知点P（3，﹣4）是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线上的一点，E，F是左、右两个焦点，若•=0，则双曲线方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=122．设O为坐标原点，F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若在椭圆上存在点P满足∠F1PF2=，且|OP|=a，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．23．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线于C相交于A、B两点，若．则k=（）A．1 B．C．D．2二．解答题（共28分，其中24题8分，25，26题10分）24．已知p：方程表示双曲线，q：过点M（2，1）的直线与椭圆恒有公共点，若p∧q为真命题，求k的取值范围．25．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知侧面PAD为等腰直角三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ABC=∠APD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，且AB=4，AP=PD=BC=CD=2．（1）求证：PA⊥BD；（2）若E为侧棱PB的中点，求直线AE与底面ABCD所成角的正弦值．26．已知定点F（0，1）和直线l1：y=﹣1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C．（1）求动点C的轨迹方程；（2）过点F的直线l2交动点C的轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求•的最小值；（3）过点F且与l2垂直的直线l3交动点C的轨迹于两点R、T，问四边形PRQT的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．2014-2015学年浙江省杭州市西湖中学高二（下）4月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题5分，满分75分）1．椭圆的焦点坐标为（）A．（0，5）和（0，﹣5）B．（，0）和（﹣，0）C．（0，）和（0，﹣）D．（5，0）和（﹣5，0）【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用椭圆方程求出长轴、短轴的长，然后求解焦距即可．【解答】解：由题意得，a2=16，b2=9，∴c2=a2﹣b2=16﹣9=7，∴c=，∴椭圆的焦点为（，0）和（﹣，0）．故选：B．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题．2．已知动点M（x、y）到点F（4，0）的距离比到直线x+5=0的距离小1，则点M的轨迹方程为（）A．x+4=0 B．x﹣4=0 C．y2=8x D．y2=16x【考点】抛物线的定义．【专题】计算题．【分析】由题意得，点M（x、y）到点F（4，0）的距离和到直线x+4=0的距离相等，点M的轨迹是以点F为焦点，直线x+4=0为准线的抛物线，方程为y2=2Px，=4．【解答】解：∵动点M（x、y）到点F（4，0）的距离比到直线x+5=0的距离小1，∴点M（x、y）到点F（4，0）的距离和到直线x+4=0的距离相等，点M的轨迹是以点F为焦点，直线x+4=0为准线的抛物线．∴=4，∴P=8，故抛物线方程为y2=16x，故选D．【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程，抛物线的定义和性质的应用．3．已知曲线C的方程为x2+2x+y﹣1=0，则下列各点中在曲线C上的点是（）A．（0，1）B．（﹣1，3）C．（1，1）D．（﹣1，1）【考点】曲线与方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】将选项代入验证，即可得出结论．【解答】解：将选项代入验证，可得（0，1）满足x2+2x+y﹣1=0，故选：A．【点评】本题考查曲线与方程，考查学生的计算能力，比较基础．4．设x是实数，则“x＞0”是“|x|＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【专题】计算题．【分析】化简不等式，判断出两个命题对应的两个集合的包含关系；得到前者是后者的什么条件．【解答】解：|x|＞0⇔x＞0或x＜0∵{x|x＞0}⊊{x|x＞0或x＜0}∴“x＞0”是“|x|＞0”的充分不必要条件故选AA．|FP1|+|FP2|=|FP3| B．|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2C．2|FP2|=|FP1|+|FP3| D．|FP2|2=|FP1|•|FP3|【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】把2x2=x1+x3等式两边同时加p整理成进而根据抛物线的定义可得2|FP2|=|FP1|+|FP3|．【解答】解：∵2x2=x1+x3，∴，∴由抛物线定义可得2|FP2|=|FP1|+|FP3|故选C．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．属基础题．12．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】直线的倾斜角；抛物线的简单性质．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合，求出A、B的坐标，然后求其比值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），，，又，可得，则，故选C．【点评】本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．13．若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点P是抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|取得最小值时点P的坐标是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（2，2）D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用抛物线的定义，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离即可．【解答】解：根据题意，作图如下，设点P在其准线x=﹣上的射影为M，有抛物线的定义得：|PF|=|PM|，∴欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，∵|PA|+|PM|≥|AM|（当且仅当M，P，A三点共线时取“=”），∴|PA|+|PF|取得最小值时（M，P，A三点共线时）点P的纵坐标y0=2，设其横坐标为x0，∵P（x0，2）为抛物线y2=2x上的点，∴x0=2，∴点P的坐标为P（2，2）．故选C．【点评】本题考查抛物线的简单性质，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离是关键，考查转化思想的灵活应用，属于中档题．14．已知点M（，0），椭圆+y2=1与直线y=k（x+）交于点A、B，则△ABM的周长为（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直线过定点，由椭圆定义可得AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4，由△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM），求出结果．【解答】解：直线过定点，由题设知M、N是椭圆的焦点，由椭圆定义知：AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4．△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+BN）+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM）=8，故选：B．【点评】本题考查椭圆的定义，直线经过定点问题，直线和圆锥曲线的关系，利用椭圆的定义是解题的关键，属于中档题．15．过双曲线M：x2﹣=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B，C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）A． B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】过双曲线的左顶点A（﹣1，0）作斜率为1的直线l：y=x+1，若l与双曲线M的两条渐近线，分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2），联立方程组代入消元得（b2﹣1）x2+2x﹣1=0，然后由根与系数的关系求出x1和x2的值，进而求出双曲线M的离心率．【解答】解：过双曲线的左顶点A（﹣1，0）作斜率为1的直线l：y=x+1，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2），联立方程组代入消元得（b2﹣1）x2﹣2x﹣1=0，∴，∴x1+x2=﹣2x1x2，又|AB|=|BC|，则B为AC中点，2x1=﹣1+x2，代入解得，∴b2=9，双曲线M的离心率e=，故选A．【点评】本题考题双曲线性质的综合运用，解题过程中要注意根与系数的关系的运用．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．16．抛物线的焦点坐标是（0，1）．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】抛物线方程即x2=4y，从而可得p=2，=1，由此求得抛物线焦点坐标．【解答】解：抛物线即x2=4y，∴p=2，=1，故焦点坐标是（0，1），故答案为（0，1）．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．17．短轴长为2，离心率e=的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2周长为12．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】不妨设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）．由于短轴长为2，离心率e=．可得b=，，a2=b2+c2．利用椭圆的定义即可得出．【解答】解：不妨设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）．∵短轴长为2，离心率e=．∴b=，，a2=b2+c2．解得a=3．∴△ABF2周长=|AF1|+|AB|+|BF1|=4a=12．故答案为：12．【点评】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质，属于基础题．18．平面上有三点A（﹣2，y），B（0，），C（x，y），若，则动点C的轨迹方程为y2=8x （x≠0）．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；轨迹方程．【专题】平面向量及应用．【分析】利用⇔=0即可得出．【解答】解：∵=，，，∴==0，化为y2=8x．因此动点C的轨迹方程为y2=8x（x≠0）．故答案为：y2=8x（x≠0）．【点评】熟练掌握⇔=0是解题的关键．19．如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是x+2y﹣8=0．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】若设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程，得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①﹣②得9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中点坐标=4，=2，代入上式，得36（x1﹣x2）+72（y1﹣y2）=0，∴直线斜率为k==﹣，所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故答案为：x+2y﹣8=0．【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于基础题目．20．已知P是椭圆+上的一个动点，F1，F2分别是左右焦点，则cos∠F1PF2的最小值为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】当点P是椭圆的短轴的端点时，∠F1PF2取得最大值，此时cos∠F1PF2可取得最小值．【解答】解：∵椭圆+=1，∴a=3，b=2，c=．当点P是椭圆的短轴的端点时，∠F1PF2取得最大值，∴sin（∠F1PF2）=，∴os∠F1PF2的最小值=1﹣2sin2（∠F1PF2）=．故答案为：．【点评】正确理解当点P是椭圆的短轴的端点时，∠F1PF2取得最大值，此时cos∠F1PF2可取得最小值是解题的关键．试卷Ⅱ一．选择题（每题4分，共12分）21．已知点P（3，﹣4）是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线上的一点，E，F是左、右两个焦点，若•=0，则双曲线方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】根据题意，设E、F的坐标为E（﹣c，0），F（c，0），又由•=0，结合数量积的坐标运算，可得c的值，进而由P坐标与双曲线的定义2a=||PE|﹣|PF||，可得a的值，根据则b=，可得b的值，将a、b的值代入可得双曲线的方程．【解答】解：设E（﹣c，0），F（c，0），于是有=（3+c，﹣4）•（3﹣c，﹣4）=9﹣c2+16=0．于是c2=25，则E（﹣5，0），F（5，0），由双曲线的定义，可得2a=||PE|﹣|PF||=6，则a=3；则b==4；故双曲线方程为﹣=1；故选C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，解题时结合双曲线的定义，并注意区分双曲线与椭圆定义的区别．22．设O为坐标原点，F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若在椭圆上存在点P满足∠F1PF2=，且|OP|=a，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】要求椭圆的离心率，即要求a，c的关系，首先由定义和余弦定理得到一个关系，再由中线长公式得到一个关系，联立可得．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，则x+y=2a；①由余弦定理cos∠F1PF2==，∴x2+y2﹣xy=4c2；②∵中线长公式OP2=（PF12+PF22+2）∴=（x2+y2+2xycos∠F1PF2），∴x2+y2=3a2﹣xy；③∴①②③联立代换掉x，y得：a2=4c2；∴e==．故选：A．【点评】本题主要考查椭圆的定义，余弦定理及中线长公式，考查学生的计算能力，属于中档题．23．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线于C相交于A、B两点，若．则k=（）A．1 B．C．D．2【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴y1=﹣3y2，∵，设，b=t，∴x2+4y2﹣4t2=0①，设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，∴，，解得，故选B【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．二．解答题（共28分，其中24题8分，25，26题10分）24．已知p：方程表示双曲线，q：过点M（2，1）的直线与椭圆恒有公共点，若p∧q为真命题，求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；复合命题的真假；双曲线的标准方程．【专题】综合题．【分析】分别求出p，q为真时，k的取值范围，再利用p∧q为真命题，即可求k的取值范围．【解答】解：p：方程表示双曲线，则（k﹣4）（k﹣6）＜0，∴4＜k＜6，（2分）q：过点M（2，1）的直线与椭圆恒有公共点，则，∴k＞5．（4分）又p∧q为真命题，则5＜k＜6，所以k的取值范围是（5，6）．（6分）【点评】本题考查复合命题的真假研究，解题的关键是求出p，q为真时，k的取值范围．25．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知侧面PAD为等腰直角三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ABC=∠APD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，且AB=4，AP=PD=BC=CD=2．（1）求证：PA⊥BD；（2）若E为侧棱PB的中点，求直线AE与底面ABCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）利用平面ADP⊥平面ABCD，证明BD⊥平面ADP，即可证明PA⊥BD；（2）证明∠EAH即为直线AE与平面ABCD的所成角，再求出直线AE与底面ABCD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：由已知条件易得：，则BD⊥AD，又平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，故BD⊥平面ADP，又AP⊂平面ADP，从而有AP⊥BD…（6分）（2）解：如图，取AD中点O，连接PO，OB，并取OB中点H，连接AH，EH，∵PA=PD，∴PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，又EH∥PO，∴EH⊥平面ABCD则∠EAH即为直线AE与平面ABCD的所成角由（1）AP⊥BD，又AP⊥PD，PD∩BD=D∴AP⊥平面PBD∴AP⊥PB，∴∴∴，直线AE与平面ABCD的所成角的正弦值为．…（14分）【点评】本题考查直线AE与底面ABCD所成角的正弦值，考查平面与平面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．26．已知定点F（0，1）和直线l1：y=﹣1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C．（1）求动点C的轨迹方程；（2）过点F的直线l2交动点C的轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求•的最小值；（3）过点F且与l2垂直的直线l3交动点C的轨迹于两点R、T，问四边形PRQT的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由已知条件推导出点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，由此能求出动点C 的轨迹方程．（2）设l2：y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，由直线PQ的斜率k≠0，得R（﹣，﹣1），由此能求出•的最小值．（3）由，得y2﹣（4k2+2）y+1=0，所以PQ=，同理可得：RT=，由此能求出四边形PRQT的面积存在最小值32．【解答】解：（1）∵定点F（0，1）和直线l1：y=﹣1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C，∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，∴动点C的轨迹方程为x2=4y．（2）设l2：y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，由直线PQ的斜率k≠0，得R（﹣，﹣1），∴=（）•（x2+，y2+1）===﹣=，∵，当且仅法k2=1取等号．∴•≥8+8=16．∴•的最小值是16．（3）由，得y2﹣（4k2+2）y+1=0，∴PQ=，设，代入x2=4y，同理可得：RT=，∴S PRQT==8（）≥32．当且仅当k2=1时取等号，∴四边形PRQT的面积存在最小值32．【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查向量的数量积的最小值的求法，考查四边形面积是否有最小值的判断与求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．。
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浙江省杭州市重点中学2014-2015学年高二4月月考（数学文）1.椭圆
19
162
2=+y x 的焦点坐标为（ ）
A ．（0，5）和（0，—5）
B ．（7，0）和（—7，0）
C ．（0，7）和（0，—7）
D ． （5，0）和（—5，0）
2.若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程是
( )
A ．x ＋4＝0
B ．x －4＝0
C ．y 2＝8 x
D ．y 2＝16x
3.已知曲线C 的方程为2210x x y ++-=，则下列各点中在曲线C 上的点是（ ） A ．(0,1) B ．(-1,3) C ．(1,1) D ．(-1,1)
4.设x 是实数，则“x ＞0”是“|x |＞0”的 （ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.双曲线22
149
x y -=的渐近线方程是 （ ） A ．32y x =±
B ．23y x =±
C ．94y x =±
D ．49
y x =± 6.命题“若b a >，则c b c a +>+”的逆否命题为（ ）
A ．若b a <，则c b c a +<+
B ．若b a ≤，则c b c a +≤+
C ．若c b c a +<+，则b a <
D ．若c b c a +≤+，则b a ≤
7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为2
3
，且椭圆G 上一点到其 两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为（ ）
A ．22149x y +=
B ．22194x y +=
C ．221369x y +=
D ．22
1936x y += 8.21,F F 是椭圆17
92
2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则∆12AF F 的面积为（ ）
A ．7
B ．
47 C ．2
7
D ．257
9．若抛物线2
y ax =的准线的方程是2y =，则实数a 的值是（ ）
A.18
B.1
8
-
C.8
D.8-
10．点P 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上,12F F 、是这条双曲线的两个焦
点,1290F PF ∠=︒,且21PF F ∆的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是 （ ）
A 、2 D 、5
11．已知抛物线)0(22
>=p py x 的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且3122y y y +=，则有（ ） A 、123FP FP FP += B 、22
2
123
FP FP FP += C 、2132FP FP FP =+ D 、2
2
13
FP FP FP =· 12．过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点F 且倾斜角为
60的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于B A ,两点，则
BF
AF 的值等于（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 13. 若点A 的坐标为(3, 2)，F 为抛物线2
2y
x =的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则
||||PA PF +取最小值时点P 的坐标为（ ）
.A (0, 0) .B (1, 1) .C (2, 2) .D 1
(, 1)2
14.已知点)0,3(M ，椭圆14
22
=+y x 与直线)3(+=x k y 交于点A 、B ，则A B M ∆的周长为 （ ） A ．4 B ． 8 C ． 12 D ． 16
15. 过双曲线2
2
2:1y M x b
-=左顶点A 作斜率为1的直线l .若l 与双曲线M 两条渐近线
分别相交于点B C 、，且B 是AC 中点，则双曲线M 离心率为（ ）
.A .B .C .D 二．填空题：本大题共5小题 ，每小题5分，共25分。
16．抛物线2
14
y x =
的焦点坐标为 .
17．短轴长为52，离心率3
2
=e 的椭圆两焦点为21,F F ，过1F 作直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长为 .
试卷 Ⅱ
一． 选择题（每题4分，共12分）
21．已知点(3,4)-P 是双曲线22
221 (0, 0)x y a b a b
-=>>渐近线上的一点，,E F 分别是
双曲线的左、右两个焦点，若0EP FP ⋅=，则双曲线方程为 （ ）
A ．
22134x y -= B ．22143x y -= C ．221916x y -= D ．22
1169
x y -= 22．设O 为坐标原点，12,F F 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，若在椭圆上存
在点P 满足123F PF π∠=，且||OP =，则该椭圆的离心率为 （ ）
A ．12
B ．14
C ．12
D ．2
23．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=＞＞，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线
与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k = （ ）
（A ）1 （B （C （D ）2
二．解答题（共28分，其中24题8分，25，26题10分）
24． 已知p ：方程22
146
x y k k +=--表示双曲线，q ：
过点(2,1)M 的直线与椭圆2215x y k +=恒有公共点，若p q ∧为真命题，求k 的取值范围．
25.如图，在四棱锥ABCD P -中,已知侧面PAD 为等腰直角三角形，底面ABCD 为直角 梯形,CD AB //，o 90=∠=∠APD ABC , 侧面⊥PAD 底面ABCD ,且
4=AB ,2====CD BC PD AP .
（1）求证:BD PA ⊥；
（2）若E 为侧棱PB 的中点，求直线AE 与底面ABCD 所成角的正弦值.
26.已知定点F(0，1)和直线1l ：y ＝－1，过定点F 与直线1l 相切的动圆圆心为点C. (1)求动点C 的轨迹方程；
(2)过点F 的直线2l 交动点C 的轨迹于两点P 、Q ，交直线1l 于点R ，求RP ·RQ 的最小值； (3)过点F 且与2l 垂直的直线3l 交动点C 的轨迹于两点R 、T ，问四边形PRQT 的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
2015年4月考高二数学(文科)答案 卷一
BDAAA DCCBD CCCBD
16.（0,1） 17、 12 18、28y x = 19、280x y +-= 20、9
1-
卷二
21-23 C A B 24.
解：由p 得：(4)(6)0,46k k k -⋅-<∴<<，
由q 得：22
211,
55,k
k ⎧+≤⎪⎨⎪≠⎩
5k ∴>． 又p q ∧为真命题，则56k <<，所以k 的取值范围是(5,6)． 25. (1) 证：由已知条件易得：22,4===BD AD AB ,则AD BD ⊥,
又平面⊥ADP 平面ABCD ，平面 ADP 平面ABCD =AD ,⊂BD 平面ABCD , 故⊥BD 平面ADP ,
又⊂AP 平面ADP ,从而有BD AP ⊥ ……………………6分
26.
（3）
22221232222221(42)1042441
1
4144111
8(1)(1)8(2)322PRQT y kx y k y x y
PQ y y k l y x k x y
RT k
S PQ RT k k k k
=+⎧⇒-++=⎨=⎩∴=++=+=-+==+∴=
=++=++≥由设:代入同理可得：
PRQT S 即最小值为32。