2020高考理科数学大二轮专题新方略直线与圆精选试题技法点拨(4页)
2020届高考数学二轮复习全程方略课件：专题五 解析几何 (1) 直线与圆 Word版含答案
直线 l 的方程为( )
A．x－y＋1＝0
B．x－y＝0
C．x＋y＋1＝0
D．x＋y＝0
第十页，编辑于星期日：一点 五分。
解析：(1)“l1⊥l2”的充要条件是“m(m－3)＋1×2＝ 0⇔m＝1 或 m＝2”，因此“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不 必要条件．
(2)由直线 l 与直线 PQ 垂直， 所以 kl＝－k1PQ＝－4－1 2＝1.
第二十一页，编辑于星期日：一点 五分。
－4＋（－2） (2)由已知，知圆心的纵坐标为 2 ＝－3， 所以圆心为(2，－3)， 则半径 r＝ （2－0）2＋[（－3）－（－2）]2＝ 5， 故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5. 答案：(1)(x－1)2＋(y－1)2＝2 (2)(x－2)2＋(y＋3)2＝5
第二十七页，编辑于星期日：一点 五分。
命题视角 2 圆的弦长问题 [例 3－2] (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系 xOy 中， 曲线 y＝x2＋mx－2 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标 为(0，1)．当 m 变化时，解答下列问题：@ (1)能否出现 AC⊥BC 的情况？说明理由； (2)证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为 定值．
第二十九页，编辑于星期日：一点 五分。
(2)证明：BC 的中点坐标为x22，12，可得 BC 的中垂 线方程为 y－12＝x2x－x22.
由(1)可得 x1＋x2＝－m，
所以 AB 的中垂线方程为 x＝－m2 .
x＝－m2 ，
①
联立y－12＝x2x－x22， ②
第三十页，编辑于星期日：一点 五分。
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(1)解：不能出现 AC⊥BC 的情况．理由如下： 设 A(x1，0)，B(x2，0)，则 x1，x2 满足 x2＋mx－2＝0， 所以 x1x2＝－2. 又点 C 的坐标为(0，1)， 故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为－x11·－x21＝－12， 所以不能出现 AC⊥BC 的情况．
2020届高考理科数学二轮复习专题13：直线与圆
2020届高考理科数学二轮复习专题13：直线与圆[做小题——激活思维]1．直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．±1 D ．－32C [由(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，故选C.]2．直线l 过点(2,2)，且点(5,1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0 D ．x －3y －4＝0C [由题意，设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0，所以|5k －1＋2－2k |k 2＋110，解得k ＝3，所以直线l 的方程为3x －y －4＝0，故选C.]3．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 B [∵两圆心距离d ＝(2＋2)2＋12＝17，R ＋r ＝2＋3＝5，r －R ＝1，∴r －R ＜d ＜R ＋r ，∴两圆相交．]4．直线4x －3y ＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得的弦长为________．6 [假设直线4x －3y ＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得的弦为AB ，∵圆的半径r ＝10，圆心到直线的距离d ＝5(－3)2＋42＝1，∴弦长|AB |＝2×r 2－d 2＝210－1＝2×3＝6.]5．[一题多解]经过三点A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的圆的方程为________．(x －1)2＋y 2＝4 [法一：(待定系数法)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的坐标代入圆的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，1＋4＋D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－3，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.法二：(几何法)根据A ，B 两点的坐标特征可知圆心在直线x ＝1上，设圆心坐标O (1，a )，则圆的半径r ＝4＋a 2＝|a －2|，所以a ＝0，r ＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.]6．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4) 5 [由题意可知a 2＝a ＋2，∴a ＝－1或2.当a ＝－1时，方程可化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程可化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，不表示圆．][扣要点——查缺补漏]1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系 (1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0(斜率相等)且B 1C 2－B 2C 1≠0(在y 轴上截距不等)； (2)直线Ax 1＋B 1y ＋C 1＝0与直线Ax 2＋B 2y ＋C 2＝0垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.如T 1. 2．点到直线的距离及两平行直线间的距离 (1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2；如T 2.(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. 3．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；(2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)；(方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆⇔A ＝C ≠0，且B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0)；如T 5，T 6.(3)参数方程：⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ；(4)直径式方程：(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. 4．点、直线、圆的位置关系(1)研究点、直线、圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．如T 3.(2)与弦长l 有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l 2，构成直角三角形的三边，利用其关系r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫l 22来处理．如T 4. 圆的方程及应用(5年4考)点的距离为( )A.53B.213C.253D.43B [设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233， 故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213.] 2．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]A [由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r ＝2，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ＝32，最小距离是d －r ＝ 2.易知A (－2,0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以2≤S △ABP ≤6.故选A.][教师备选题](2019·北京高考)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为________．(x －1)2＋y 2＝4 [如图，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，∵所求圆的圆心为F ，且与准线x ＝－1相切， ∴圆的半径为2，则所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.]解决与圆有关的问题一般有2种方法1．(借助几何性质求圆的方程)圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－4x ＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0C [由题意设所求圆的方程为(x －m )2＋y 2＝4(m ＞0)，则|3m ＋4|32＋42＝2，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.故选C.]2．(借助待定系数法求圆的方程)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为________．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 [因为圆C 关于y 轴对称，所以圆心C 在y 轴上， 可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2.依题意，得⎩⎨⎧12＋(－b )2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33.所以圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43.]3．[一题多解](平面向量与圆的交汇)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．3 [法一：设A (a,2a )，a ＞0，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋52，a ，∴圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋522＋(y －a )2＝(a －5)24＋a 2，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫x －a ＋522＋(y －a )2＝(a －5)24＋a 2，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝1，y D ＝2，∴AB →·CD →＝(5－a ，－2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －32，2－a ＝a 2－2a －152＋2a 2－4a ＝0， ∴a ＝3或a ＝－1，又a ＞0，∴a ＝3，∴点A 的横坐标为3. 法二：由题意易得∠BAD ＝45°. 设直线DB 的倾斜角为θ， 则tan θ＝－12，∴tan ∠ABO ＝－tan(θ－45°)＝3， ∴k AB ＝－tan ∠ABO ＝－3. ∴AB 的方程为y ＝－3(x －5)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x －5)，y ＝2x ，得x A ＝3.] 直线与圆、圆与圆的位置关系[高考解读] 以直线与圆相交、相切为载体，考查数形结合的能力，圆的几何性质及勾股定理的有关知识，知识相对综合，有一定的区分度.1．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.4 [由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12， 解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33， 所以直线l 的倾斜角α＝π6.∠DCE ＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos α＝23×23＝4.]2．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. [解](1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1，解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆C 的圆心(2,3)在直线l 上，所以|MN |＝2.1．求解圆的弦长的3种方法(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式；(2)切线长的计算：过点P 向圆引切线P A ，则|P A |＝|PC |2－r 2(其中C 为圆心)．提醒：过圆外一点引圆的切线定有两条，注意切线斜率不存在的情形．1．(已知弦长求方程)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点，若|MN |＝255，则直线l 的方程为________．y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋1 [直线l 的方程为y ＝kx ＋1，圆心C (2,3)到直线l 的距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|k 2＋1， 由R 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22，得1＝(2k －2)2k 2＋1＋15，解得k ＝2或12，故所求直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋1.]2．(与不等式交汇)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33 B ．－33 C ．±33 D ．－ 3 B [曲线y ＝1－x 2的图象如图所示：若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k ＜0，设l ：y ＝k (x －2)，则点O 到l 的距离d ＝－2k k 2＋1.又S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×21－d 2·d ＝(1－d 2)·d 2≤1－d 2＋d 22＝12，当且仅当1－d 2＝d 2，即d 2＝12时，S △AOB 取得最大值，所以2k 2k 2＋1＝12，∴k 2＝13，∴k ＝－33.故选B.]3．(与物理学科交汇)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34D [由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.又因为光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切， 所以|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.]4．(综合应用)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.[解] 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3. 设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以 |PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R r 1，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k |1＋k2＝1，解得k ＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝－4±627. 所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝23或|AB |＝187。
2020届高考数学(理)课标版二轮课件：重难考点专题五第1讲 直线与圆
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设直线2x+3y-6=0关于点N对称的直线方程为2x+3y+c=0(c≠-6).
则|-6 3-6|=|-6 3 c|,解得c=12或c=-6(舍去).
49 49
∴所求直线方程为2x+3y+12=0,故选B.
考点一
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3.已知直线l1:kx-y+4=0与直线l2:x+ky-3=0(k≠0)分别过定点A,B,又l1,l2相交于点
的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程;
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(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解析 (1)由题意得F(1,0),
l的方程为y=k(x-1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由
y y
k(x-1), 2 4x
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
,r=
.
答案 -2; 5
解析 设直线2x-y+3=0为l,则AC⊥l,又kl=2,
∴kAC=
m 1 02
=-
1 2
,解得m=-2,∴C(0,-2),
∴r=|AC|= (0 2)2 (-2 1)2 = 5 .
考点二 栏目索引
2.(2018课标全国Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)
故|MA|·|MB|≤25 当且仅当|MA|=|MB|=5 2 时取“=” .
2
2
考点一
栏目索引
总结提升
解决直线方程问题的三个注意点
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(1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方合的可能性.
全国通用2020版高考数学二轮复习专题提分教程第二编专题五解析几何第1讲直线与圆练习理
第1讲直线与圆考 1.考查直线间的平行和垂直的条件，与距离有关的问题． 2.「考情研析」.查直线与圆相切和相交的问题，与直线被圆所截得的弦长有关的问题核心知识回顾 1.直线的斜率yyπ－??020112??kyxAxyB≠α＝□α＝□tanα. 直线过点，(，则斜率，))，(，其倾斜角为2112??xx2－12．直线的两种位置关系2．三种距离公式30122AByyyBAxyxxx＝□). (1)两点间的距离：若，则(，，，) ?|－?(＋?－|?22112211CAxBy|＋|＋0200dCyPxAxBy＝□点到直线的距离：点＝(，＋)到直线0＋的距离. (2)0022BA ＋CByByClAxAxlll＝＋＋＝0，(3)两平行线的距离：若直线，＋的方程分别为：：＋211122CC||－0312dCC＝□. 0(，则两平行线的距离≠22BA＋．圆的方程401222rxaby标准方程：□()－. )(＋＝－(1)022222FEyxyDDxEF表示圆的充要条件是□＋＝＋0＋(2)－4>0，其中圆一般方程：方程＋＋22EDFDE4＋－??0403??r，－－.＝□心是□，半径??2225．直线与圆的位置关系dr.设圆心到直线的距离为，圆的半径为dr 直线与圆的关系的关系与dr 相离>r d相切＝rd相交<．两圆的位置关系6rOOr.设圆，圆的半径为的半径为2211热点考向探究考向1 直线的方程及应用mlmxylxmy＋与直线：＋4－例1 (1)(2019·天津九校联考)“6＝2”是“直线＝：021－3＝0平行”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件．既不充分也不必要条件DC．充要条件D答案2mmmymxlylx＝4，3＝解析若直线：0＋4＝－60与直线平行，则：＝±2，＋－21ylmxylx 0，两直线重合，舍去，时，直线－：24＋3－6＝0与直线：＝＋2当2＝21mlyxmymxl＝0：＝－2”，＋3与直线－＝0所以“直线平行”等价于“：＋4－621myymlmxlx平行”的既不充分也＝＋0－所以“＝2”是“直线：0＋4－6＝与直线：321D.不必要条件．故选axaylaxy) ( 轴和轴上的截距相等，则的值是在－已知直线(2)：＋－2＝01 B．－1 A．1或2．－D1或－2．－C．答案 Dayaxyay＝0，令，＝0①当，得＝0时，2＝2不符合题意．②当＝≠0时，令＋解析aa＋2＋2aaax＝－2.得或＝故选＋2，得D. ＝，则＝1aalxylxyllll的方程关于＝0.＝0，若直线：2对称，则－(3)已知直线与：－－2－12211是( )xyxy－1＝－20 A．B－2．＋1＝0xyxy－1＝＋2C．0＋D－1＝0 ．B答案llllllll与对称，所以上，故因为上任一点关于与关于的对称点都在解析12112ylxll，则，－上一点，设它关于)的对称点为2)为(的交点(1,0)在，上．又易知(012yx2－＋0??，＝0－－122x，1＝－???ll的1)为上两点，可得(1,0)，(－1解得，－即?22yy，＝－1＋2????，×1＝－1xxy－1＝0方程为2－，故选B.(1)在使用不同形式的直线方程时要注意其适用条件．(2)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．43cossinθ＝－，则角θθ＝，1．(2019·湘赣十四校高三联考)若的终边所在的直线55方程为( )A．3x－4y＝0 B．4x＋3y＝0＝3y－4x．0 C．3x＋4y＝DC答案sin343θtancossin的终边所在的θ＝＝－，因此角θ解析因为θ＝，θ＝－，所以cos45θ53C.故选直线斜率为－.43垂直，直与，－，2)B(a1)，且ll，经过点lπl2．已知直线的倾斜角为，直线A(3114)＋：l线2xby ( l与直线＝1＋0等于b＋a平行，则12．2 ．－．－4 BA2．C．0 DB答案?1?－－2，∥l由l＝1，∴a＝0.1，则l的斜率为1，即k＝解析由题意知l的斜率为－21AB1a3－2B.2，故选)，∴a＋b＝－得－＝1(b≠0)，∴b＝－2(经检验满足题意b cos________．∈R)的倾斜角的取值范围是，＋y＋b＝0(α3．直线xbαππ3????????，0，π∪答案????44kk ≤1，直线的倾斜角的取值范围为，∴－1≤α∈∵直线的斜率R＝－cosα，解析ππ3????????π，0，. ∪????44圆的方程及应用考向222ayxyaCx，过＋已知－∈R且为常数，圆2：0＋2＝例2 (1)(2019·成都市高三二诊)yxCABABlCl－相交于，2与圆两点，当弦的方程为最短时，直线圆内一点(1,2)的直线a) ，则的值为( ＝03 ．2 ．BA5．C．4 DB答案22222CaxayayxCxy，＋1，圆心坐标为1解析圆：2＋(＋－20＝化简为(＋1)＋(－＝)－2aa ＋)1.，半径为ABxy＝02－如图，由题意可得，当弦垂直．则最短时，过圆心与点(1,2)的直线与直线a2－1a B. ，即＝－故选＝3.2－11－22yyxyxx都相切的半径最小的圆的标准方0＝54＋12－12－＋和曲线0＝2－＋与直线(2)．)程是(2222yxyx2 2)＝2)＋(A．(B＋2)＋(2 －2)＝．(＋－2222yyxx22 －2)D．(＝－2)＋C．((＋2)＋(＋2)＝D 答案22yxyx的－2＝＋6)((6,6)－6)＝18，过圆心作直线0(解析由题意知，曲线方程为＋－yxxyxy2，则所求的最小圆的圆心必在直线＝到直线上，又＝(6,6)－＋垂线，垂线方程为2|－|6＋6d，所以标准方程为，圆心坐标为＝0的距离(2,2)5＝＝2，故最小圆的半径为2222yx2.＝＋－2)(2)(－2OlPyxBA为坐标原点，当△(2,0)与曲线＝2－相交于两点，(3)已知过定点，的直线lAOB)的倾斜角为( 的面积取到最大值时，直线A．150° B．135°D．不存在C．120°A答案222Oxyyyx为半径的圆的一为圆心，以＝2(由解析2＝2－≥0)，它表示以原点得＋dAByPkx的距离2)(部分，其图形如图所示．设过点的直线为(2，0)，则圆心到此直线＝－kπ1|2|SOBSOAAOBAOBAOB取最大＝|||＝|·sin∠＝时，＝sin∠，因为，所以当∠AOBAOB△△222k ＋1k??3||23??ABOkl，由＝－到直线1的倾值，此时圆心，故直线的距离为＝1得k舍去＝3??32k＋1斜角为150°.(1)求圆的方程就是求出圆心坐标和圆的半径，一般是根据已知条件写出方程即可．2222AFEDABByAxDxEyFAB>0.－(2)方程4＋＋且＋＋0(＝＋≠0)表示圆的充要条件是＝22PBPABAxOy且在圆4|－|＝|，－1．在平面直角坐标系中，已知(1,0)(0,1)，则满足|22Pxy)( 的个数为上的点4＝＋1 B．A．03D．2 C．C答案222222yxyxxyPxyPAPB－，所以设((，＋)，则由|－|－|1)|＝4，得(＋1)＋＝－4－解析2||0＋－0P＝求满足条件的点圆心到直线的距离为的个数即为求直线与圆的交点个数，2＝0.2Pr C.22<2＝个，选，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点有2yPxyCx(＋＋作圆1)：过直线．(2019·宜宾市高三第二次诊断)3(－4＝－140上一点22ABABPACB)( ，则当四边形面积最小时，直线＝－2)9的切线，切点分别为的方程是，yxxy0 －4＝3＋＋2＝0 2B．4A．3－yxxy0C．3－－4－2＝0 2－3＝D．4B答案22PyCxrC为直；点：(＋＋1)(2)－＝9的圆心为(－1,2)，半径3解析根据题意，圆＝CByxPACAPAPBCPB上一点，，，为圆的切线，则⊥⊥，线34－＝－140PBPA|||＝|则有222PCrPC |，||－－＝ |9＝12PCPASSCA，|×|－|＝3|9|则＝2×|＝2×PCAPACB△四边形2yCPxPCPACB垂直，－40－|则当14|取得最小值时，四边形＝面积最小，此时3与直线914||3×?－1?－4×2－dABCPC的距离，到直线且|＝|＝＝5，则522?3＋?－4mxyAByABCPABx－4－，＝又由⊥设直线，则直线与直线3－414－＝0平行，0的方程为3m9|1?－4×2－－|3×?ymxABd43的方程为－)20(2则＝＝，解得＝－或－舍去，则直线522?4－?＋3．B.0.故选＋2＝322xyyx) 对称的圆的方程是＝2)＋4＝关于直线( 3．圆( －322yx4 (＝A．(－1)－3)＋22yx4 B．(＝－－2)＋(2)22yx4 ＋(＝－2)C．22yx4 ＝－(－1)＋(3)D．D答案322yxyyxx，则，2)＋(2,0)＝4的圆心为，其关于)对称的点为＝(解析(－3xy＋32??，＝·223?22yyxx，3)－，所以所求圆的方程为(＝－1)＋解得1＝，(4＝3y3??，1·＝－x3－2D.故选3 直线与圆、圆与圆的位置关系考向2222xxyxxy的公＋0＋4例3 (1)(2019·东北三省高三第二次模拟)圆－4＝＋＋＝0与圆3)切线共有(条．1条．2BA 4． C．3条条DD答案2222222xxxxxyyy 0＝4，半径为2.＋＋3＋＋(2,0)＝0?(－2)＋＝2，圆心坐标为解析 4－x 2222)?(＋y ，3，因为4>3圆心距为＋－＝1，圆心坐标为(2,0)，半径为1.4，两圆半径和为D.4条．故选所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有22yyx 相交，则入射光线所＝射出，经1轴反射后与圆(－2)＋一条光线从点(2)(1，－1)) 在直线的斜率的取值范围为( 33????????，0－，0 A.B. ????4433????????，0，0－ C.D. ????44C答案k ，则反射光线为1)点，设反射光线斜率为由题意可知，反射光线必过(－1，－ 解析kk －1|＋|23kkykx <.01－＋－＝，由题意可知0<∴入射光线所在直线的斜率取值范围，∴<1 42k ＋1．3????0－，C. 故选.为 ??422yxyyllaxbyx ＋－6与直线＋是圆＋5(3)已知直线＝：0＋的对称轴，且直线＋1＝0l )的方程为( ＋2＝0垂直，则直线yxyx 0 ＋B －2＝0 ．2－＝A ．＋yxxy 0C ．D ＋．－3＝0 3－＝＋D 答案2222axxyylxy ：，因为直线3)＝ 解析4＋，其圆心为－65＋＝0化为标准方程(0,3)＋(－122xyxbyylbb ＋＋－63＋5＝0的对称轴，故与直线＋1＝0，得＝－是圆＋＋1＝0，又直线3a 111yxaylxy ，选－01，所以＋＝，故直线3的方程为＝－＋1＝0，即＋2＝0垂直，故－＝b 333D.处理直线与圆的位置关系问题时，主要利用几何法，即利用圆心到直线的距离与半径(1) 的大小关系判断，并依据圆的几何性质求解． (2)直线与圆相交涉及弦长问题时，主要依据弦长的一半、弦心距、半径的关系求解． (3)经过圆内一点，垂直于过这点的半径的弦最短．22PmCACxym,Bm ，>0)，若圆，上存在点1．已知圆(：(＋－3)(，－4)＝4和两点(－0)(0)mAPB )＝90°，则 的最大值为使得∠( 6 ．A ．7 B4 ．DC ．5 A 答案CPOPm 在圆为半径的圆上，又因为点在以原点(0,0)为圆心，以 解析由题意知，点mCOm ，＋－2|≤5≤2，所以(3,4)到(0,0)的距离为5|上，所以只要两个圆有交点即可．圆心mm A. 的最大值为7.解得3≤故选≤7，即22kykxyx ) 截得的弦长为2．直线＝被圆＋3(2)－＋(－3)＝4，则23 ＝(33 BA ．±．±33 C.3 D.3答案 A22kxryyx ＝到直线(2,3)，圆心2＝，半径(2,3)的圆心坐标为4＝3)－(＋2)－(圆 解析．k ||222yxydkx ，∴由33)，∵直线＝＝4＋3被圆＝(－2)＋截得的弦长为(2的距离＋3－2k 1＋2k ??3432222??kdr A..勾股定理得＝，解得＋＋3故选，即4＝＝±2k31＋??222kxxylyC，若直－2)＋2＝2)已知圆：(，直线＝：－3．(2019·朝阳区高三第一次模拟kllllPPl)，使得⊥的取值范围是上存在点( ，过点引圆的两条切线，则实数，线2121，＋∞)＋3－A．[0,23)∪(23] ＋2－3，B．[20) －∞，C．( ，＋∞)D．[0D答案PBPAyllCrPx，由⊥⊥(，如下图，，解析圆心)(2,0)，半径＝2，设，因为两切线21PCPBPACBPBPAACBCPA，|，所以四边形2切线性质定理，知为正方形，所以⊥，|⊥|，|＝||＝22Pxy.为半径的圆(2,0)为圆心，则有(－2)＋2＝4，即点的轨迹是以Plkxlykxy点的轨迹，只要直线，直线方程即(0，－2)0－与－2直线＝：＝过定点－2k2|－|2kd ≥0，＝(圆)有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即≤2，解得2k1＋k D.[0即实数，＋∞)．故选的取值范围是真题押题『真题模拟』CxyC＝0的距离为3”的( ) 到直线，．1(2019·厦门模拟)“＝2”是“点(13)＋3＋．充分不必要条件B ．充要条件A．．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件 DB答案C|＋＋|13CCyx2＋3，解得＋＝＝0的距离为3＝，则有3解析若点(13)，到直线22?31＋?CCxyC3”的充分不必要条到直线的距离为＋3＝或0＝－10，故“＋＝2”是“点(1，3)B.件，选22yxlxyC相＋(2．(2019·山东省高三第一次大联考)已知直线：1)－3－＝0与圆＝：1COAOOA)( 为坐标原点，则△两点，交于，的面积为33 A. B.243C.3 D．2A答案OCAlCCOACACO，∠|＝|＝解析由题意，直线|，圆1均过原点，△|为等腰三角形，且31132OCASCOCA A.×1＝×|·sin∠＝＝60°，所以.＝|故选|·|COA△4222yP轴的直且不垂直于，－过点1)(－13．(2019·唐山市第一中学高三下学期冲刺(一))22ABCMxABCylMx是正三角形，则直线－3＝0交于在圆：，＋－2上，若△线两点，点与圆l)( 的斜率是4323 D.A. B. C.3342D答案2222rMxyxxyM，半径，圆心为－1)＋根据题意得，圆解析(1,0)：＝＋4－2－3＝0即(ABCABChM 2，设正三角形的高为为正三角形，由题意知的中心，＝2AB|3|132ddABhMldABh＋到直线＝的距离＝|，∴由垂径定理可得，又|＝∴||，即42632krABld，则直线＝＝4，可得|2|＝3，∴，设为＝1，由题意知设直线的斜率存在且不为0k4－|21|kkklyxkxy．故或)0(＝，则有1，解得的方程为＝＋1舍去(＋1)，即－＝0＋－1＝32k＋1D.选CxOy，(2019·合肥市高三第二次教学质量检测)在平面直角坐标系圆中，(0,1)经过点4．yMOMykkxCx轴与直线＝>0)轴正半轴相切，若圆上存在点，使得直线关于(，且与(0,3)k) ( 对称，则的最小值为32 A.B.3 332．C34．D．D答案yC上，又∵圆＝，∴圆心在(0,1)，(0,3)的垂直平分线2解析∵圆经过(0,1)，(0,3)xC轴正半轴相切，与22xxxx，∴圆心坐标，得∴圆的半径为2.设圆心坐标为(＝2)，3>0，由＋(2－3)＝400,00kxOMykkOMkkkk，：(最大时＝最小，因为设>0，所以<0，当为3(，2)，设<0)的斜率为，00000k2|3－|0kkxkky，与圆相切时＝4最大，此时＝2由图可知当，解得＝3＝－34，此时0002k＋10k D. 的最小值为43，故选即yrxCm与＝已知圆0的圆心坐标是(0，)，半径长是＋.若直线23－5．(2019·浙江高考)rmCA________.＝圆相切于点＝(－________2，－1)，则，52答案－ABBCmA＝|(0，)，|(0,3)，形解析根据题意画出图，可知，(－2－1)则2 5－1，－3?＝2?－02－?＋?22mAC－??－1||＝?－02－?2mBCm3|. |＝4＋?1＋?，|－|＝AyCx相切于点与圆，－＋3＝2∵直线0222BCABBACAC. |∴∠＝90°，∴|＋||＝||22mmm2. －3)＝－，解得＝(420即＋＋＋1)(2ACr5.＝?1＋2－?＋4＝||＝因此．『金版押题』222ryyrxx若切线长的最小值为＝>0)＋1上的一点向圆((－3)6．由直线＋3＝引切线，r) ( 的值为3，则3 2 B.A．12 C.D．D答案从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然解析xy 的距离为，0)到直线＋1＝3圆(3，0)到直线的距离最小时，切线长也最小．圆心3(20|1－|?3?＋22rrr D. 舍去2－3＝，解得)＝1或，选＝－1＝2，切线长的最小值为22?－13??＋?22yPkxyyPBCxkPA 的两条切．已知7＝是直线＋＋＝＋40(0>0)上一动点，－，是圆2：kBPACBA)，若四边形2的最小面积为，则的值为线，切点分别为( ，2 BA．3 ． C．1 D.2B 答案222CPCPPACPCAPASAC最小，即|－||解析＝|||－1＝||·|＝||＝||，可知当|PACB四边形2CPCPlCP|＝5得|－|1＝2⊥|时，其面积最小，由最小面积，由点到直线的距离公式得min5kkCP B. 选2.＝，所以>0，因为||＝5＝min2k＋1配套作业一、选择题yyx)( 轴对称的直线方程为关于0＝7＋2－3．与直线1．yxyx0 －7＝0 B．3＝A．3＋＋22＋7yxxy0－7D．33＋7＝0 ＝－C．22－B答案yyyxx即＝0)－23，－2＋＋7＝0关于7轴对称的直线方程是3(－与直线解析由题知，yx B.＝30＋2，故选－7myxyx) 平行，则它们之间的距离是( ＋＋．已知直线314＋4＝－3＝0与直线6021717 B.A. 5108 C．D．2D答案m146ymyxmx，两平行线之间＝＋40，直线6＋＋＋14＝0可化为3解析∵＝≠，∴7＝8 3－347|3－|－d2. ＝的距离＝2243＋22lCxyyxl，＝＋0的圆心，且坐标原点到直线－25－3．已知直线4经过圆的距离为：l)则直线的方程为(xyxy－5＋＝＋5＝0 ．B2A．0 ＋2xyxy＋C．＋23－5＝0 2＝0．D－C答案1yOCCkllOCk2－解析圆心＝－(1,2)，故|＝2，，直线|＝5，所以⊥的方程为，lOC21yxx C. 5＝(＝－0－1)，即，故选＋2－222QPxy(2,3)到点＝1)圆上的动点＋(－3)4．(2019·芜湖市四校高二上学期期末联考)( 的距离的最小值为B．．2 1 A4C．3 ．DB答案22QxPyQ的距1＝上的动点的距离的最小值为圆心到点到点(2,3)圆解析(2,3)＋(－3)22rCQyrCx，＝12＝－1，半径为(0,3)，＝1∴||－的圆心坐标为＝离减去半径．∵圆＋(－3)122QPyx B. 故选到点的距离的最小值为(2,3)1.1∴圆＋(3)－＝上的动点222222BxxBmmxyxyxmyAyxymA∩2＋{(＋≤4}，＝，)|＋－2≤8－，}若2－)|{(集合．5＝，＋mA)( 的范围是，则实数＝1,0) AB－(1,0] －[．．(0,1)．D[0,1]．C．A答案22yBxmABCCABAA＋－(表示的两圆的圆心分别为，得，)，由?∩，则圆解析设＝，2122222mmCmCxym＋|，得＝?≤3－＋1)＝9的关系是内切或内含，则|?4＝与圆(＋＋1)＋(2－21mm≤0.≤0，即－1≤222kyPCxkxykPC的作圆＝＋0＋2，过点6．已知点＋(1,2)和圆的切线有两条，则：＋)取值范围是(32kk．<A．B∈R3332223kk．－C．－<<<0D<333D答案3322222222kkxykxykkk.<>0，0＝表示一个圆，则即－＋4－4＝4解析若－＋＋3＋2<＋33222PkkxyxPPCy代入，＋2＋(1,2)：＋＝＋若过点0所作圆的切线有两条，则点外．将在圆1??353223??222k????kkkkk＋.>0恒成立，∴的取值范围是＋＋＋9得＝＋＋9>0.∵，－??24??3322ymymxx1＋＋＝0与圆(＝－7．(2019·内江、眉山等六市高三第二次诊断)若直线1)－m)的取值范围是( 相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则(0,2) (0,1) ．BA．2,0)C．－．((－1,0) DD答案22yx，＝＋1－1????222mmymmym∵直＋整理得(1＝)＋解析圆与直线联立－20.(＋＋1)2?mxmy，－＝＋0??222mmm＋(4(＋1)－4线与圆相交且有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，Δ＝222ymmxymm若要交点在两1>0，得＝<0.∵圆(上的点都在－1)2＋)(＝－＋1)8轴右侧及原点，个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限．2mm2＋myy D. <0，解得－2<∴，故选＝<0212m＋12222CCxyCMyCxN，，圆3)＝1，：(＋－3)(分别是圆－4)＝9，8．已知圆：(2)－＋(－2112PNPMPx)上的动点，是( |轴上的动点，则||＋的最小值为|1 2－4 B.17A．－517 ．6－22 D.CA答案PCxPMPCC，的最小值为||1|解析圆，的图象如图所示．设－是轴上任意一点，则|112xPCPNPMPCPCPNC轴的对＋|||3|的最小值为同理|||－，则|＋|的最小值为||4.－|作关于1212．PCCCCxP，根据三角形两边之和大于第三3)，连接轴交于点′，连接称点，与′(2，－111222PNCPMPCPCC 的最小值|则||′＋|3＝?2－?＋?－3－4?＝|边可知|5|＋||的最小值为|2.22114.－5为2222xqpyrrrCx3＝：圆上至多有两个点到直线(≤3，>0)，设：(：－1)＋0<－9．已知圆qpy)是 1，则的( 3＋＝0的距离为B．必要不充分条件A．充分不必要条件D．充要条件．既不充分也不必要条件 CB答案222yrrxyqx，0＝的距离－对于解析3，圆(＋－1)1＝＋(3>0)上至多有两个点到直线3－3×0＋|1rrpdr≤3，<3，又又圆心(1,0)到直线的距离：2＝＝，则3<2＋1＝，所以0<0<2qp B.的必要不充分条件，故选所以是322xxxyy对称的圆的方＝0＋3关于直线月模拟．(2019·柳州市高三3)圆＋＝－4103)( 是22yx1 (．－3)＋(1)－A22yx1 (－2)．B＝＋22yx1 －＝＋(1)C．22yx1 ＋(－＝3)．D(－1)D答案2222yyxxx3由题意得，圆解析＋－4＋＝＝1，＋2)(0即为－3bxya，，半径为(2,0)∴圆心坐标为1.，的对称点的坐标为＝(2,0)设圆心关于直线()3 则．b3??，·＝－1aa，1＝32－???解得?b，3＝ab23＋??，·＝23222yx D. －1)＋(故选3)(1，3)，∴所求圆的方程为(－＝∴所求圆的圆心坐标为1.2xxykk与圆－>0)11．(2019·山东师范大学附属中学高三第四次模拟)已知直线＝＋0(→→2kOBByAOOA)≥－2，那么是坐标原点，且有·＋的取值范围是＝4交于不同的两点，( ，2) A．．(3，＋∞) ，[2B22)D ，．[3C2．[2，＋∞)B答案22krxyxy0＝＋＝2解析根据题意得，圆，设圆心到直线＋＝4的圆心为(0,0)，半径－kk||22dkdxykxByA＝则＝4若直线交于不同的两点＋－＝＝0(，>0)与圆＋的距离为，，2＋11→→→→OBOBOAOAkOBAOBOA，≥－2，|·|2|·cos的夹角即∠即＝θ，若|·<2，则有设<22.θ与≥－kπ12π22πkdd，2≥＝≥1，解得若＝1，θ≤，则θθ变形可得cos≥－，则θ≤.当＝时，33232k B.则．故选[的取值范围为2，22) 二、填空题22yyxMx，此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方0－＋25＋212．已知圆3：＝＋ ________．程为yx0＋3答案＝30＋22kMyxyMx＝，∴－解析∵圆1：，＋＋2－＋235－＝0，3)∴圆心(的坐标为OM1＋01k，∴该弦所在的直线方，∴此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线的斜率＝－＝331yyxx0. 程为＋＝－3 ＝，即3222ABmPxPCxymym交圆>0)0(＋－2内一点，过点＋2的直线＋－7＝13．已知(2,0)为圆：mABCCAB．，则正实数于________，两点，若△的取值范围为面积的最大值为4m7＜答案3≤22mrymSx，2)，半径2＋－1)(，则圆心坐标为＋)＝8＝(1，－(解析圆的标准方程为△12rACBACBACBABCABC为44sin＝sin∠＝∠，当∠＝90°时，△的面积取得最大值，此时△ABC2．2mPCrCABAB＋＝4，则点即到直线2≤的距离等于＝22，故12≤<22等腰直角三角形，，22mmmm7.<7，∵≤>0<，∴3<22，∴4≤1＋<8，即3≤Mylx，半径(0,1)6－14．(2019·宜宾市高三第二次诊断)已知直线＝：30＋与圆心为1ABlCDkxykMAB两点，则＋2交于－3，：2－3＝为5的圆相交于0，与圆两点，另一直线2ACBD________，四边形．面积的最大值为的中点坐标为________33????，25答案??2222yMx立－1)＝(5，联5的圆解析以圆(0,1)为心，半径的为方程为＋yx，＝30＋－6?33?????klkxABABy，3的中点坐标为2＋.直线(2,0)，(1,3)，∴－：解得2?2??2222yx，?＋－15?＝??33????CDl，为直径，此过圆心即可，即，要使四边形的面积最大，只需直线3－＝0恒过定点2??2222SABACBDABCD＝3＋－1??0－?＝10面积的最大值为，∴四边形2|时垂直，|＝?11CDAB2. ＝10＝·||·||××25522。
2020届高考理数二轮复习常考题型大通关(全国卷)：第11题 考点一 直线与圆
第11题 考点一 直线与圆1、P 为圆221x y +=上任一点，则P 与点(3,4)M 的距离的最小值是（ ） A ．1B ．4C ．5D ．62、已知圆22:40C x y mx ++-=上存在两点关于直线30x y -+=对称,则实数m 的值为( ) A.8 B.-4 C.6 D.无法确定3、若x y 、满足2224200x y x y +--=+，则22x y +的最小值是（ ） A 55B ．55C ．30105-D ．无法确定4、直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2,32]D ．[22,32]5、在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sinP θθ到直线20x my --=的距离，当,m θ变化时，d 的最大值为（ ） A.1B.2C.3D.46、在圆225x y x +=内，过点53,22⎛⎫⎪⎝⎭有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项1a ，最大弦长为n a ，若公差11,63d ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么n 的取值集合为（ ）A.4,5,{6,7}B.{4,5,6}C.3,4,{5,6}D.3,4,5{,6,7}7、过点(1,)1-的圆2224200x y x y +---=的最大弦长与最小弦长的和为( ) A. 17 B. 18 C. 19 D. 208、设直线过点()0,a ，其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为( ) A．B ．2±C ．±D ．4±9、已知圆22220x y x y a +-++=截直线40x y +-=所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（ ）A．(2+ B ．()2- C ．()15,-+∞D ．()15,2-10、已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切,圆心在直线0x y +=上,则圆C 的方程为( )A ．22(1)(1)2x y -++=B ．22(1)(1)2x y ++-= C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y +++= 11、若倾斜角为60︒的直线l 与圆22:630C x y y +-+=交于,M N 两点，且30CMN ∠=︒，则直线l 的方程为（ ）A 3360x y -++=3360x y -+=B 3260x y -+=3260x y -+-C 360x y -360x y --=D 3160x y -+=3160x y -+=12、若直线30x y a -+=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（ ） A.5B.3C.1D.1-13、已知圆22:1C x y +=，点P 为直线240x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）A ． 11(,)24B ． 11(,)42C ． 3(D ． 14、已知圆224x y +=与圆22260x y y +--=，则两圆的公共弦长为( )AB ．C.2D.115、若圆2211:C x y +=与圆222680C :x y x y m +--+=外切,则m =( )A .21B .19C .9D .-11答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：因为(3,4)M 在圆221x y +=外，且圆心与(3,4)M 5=，又P 为圆221x y +=上任一点，所以P 与点(3,4)M 的距离的最小值等于圆心与M 的距离减去半径，因此最小值为514-=. 故选B2答案及解析： 答案：C解析：圆上存在关于直线30x y -+=对称的两点 则30x y -+=过圆心,02m ⎛⎫- ⎪⎝⎭即302m-+= ∴ 6m =3答案及解析： 答案：C解析：配方得22122)5()(x y ++=-，圆心坐标为(1,)2-，半径5,r =22x y +小值为半径减去原点到圆心的距离55-故可求22x y +的最小值为305-故选C ．4答案及解析： 答案：A解析：∵直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于,A B 两点∴()()2,0,0,2A B --，则AB =∵点P 在圆()2222x y -+=上∴圆心为()2,0，则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线20x y ++=的距离的范围为则[]2212,62ABP S AB d =∈△故选A.5答案及解析： 答案：C解析：∵22cos sin 1θθ+=，∴P 为单位圆上一点，而直线20x my --= 过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C6答案及解析： 答案：A解析：圆的标准方程为2252524x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，∴圆心为5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径52r =，则最大的弦为直径，即5n a =，当圆心到弦的距离为32，即点53,22⎛⎫⎪⎝⎭为垂足时，弦长最小为4，即14a =，由()11n a a n d =+-得1541111n a a d n n n --===---， ∵1163d ≤≤，∴111613n ≤≤-，即316n ≤-≤， ∴47n ≤≤，即4,5,6,7n =，选A7答案及解析： 答案：B解析：圆2224200x y x y +---=的圆心(1,2)C ， 半径14168052r ++=， 设点(1,1)A -，3AC r =<，∴点A 在圆内， ∴最大弦长为210r =，最小弦长为8=，∴过点(1,1)-的圆2224200x y x y +---=的最大弦长与最小弦长的和为10818+=.8答案及解析： 答案：B解析：∵直线过点()0,a 且斜率为1，∴设直线为l ，得其方程为y x a =+，即0x y a -+=∵222x y +=的圆心为()0,0C ,半径r =由直线l 与圆相切，可得点C 到直线l 的距离等于半径，=2a =±故选：B9答案及解析： 答案：D解析：由题意知，圆的方程为：()()22112x y a -++=-，则圆心为()1,1-2a -则：20a ->，解得：2a <圆心到直线40x y +-=的距离为：114222d --==2286a ∴--<，解得：15a >-综上所述：()15,2a ∈- 本题正确选项：D10答案及解析： 答案：A 解析：∵圆心在直线x +y =0上,∴设所求圆的方程为222()()x a y a r -++=，r =,解得1,a r ==∴所求圆的方程为22(1)(1)2x y -++=11答案及解析： 答案：A解析：设直线0l y m -+=，由30CMN ∠=︒，且圆的半径r C 到直线l的距离为32m d -==，解得3m =，故直线l 的方程为30y -++=或30y -+=.12答案及解析： 答案：A解析：圆22240x y x y ++-=的标准方程为()()22125x y ++-= 圆心坐标为()1,2-，若直线30x y a -+=经过圆心，则3(1)20a ⨯--+=解得5a =，综上所述，答案选择A13答案及解析： 答案：B解析：设(42,)P m m -,,PA PB ∴是圆C 的切线,,CA PA CB PB ∴⊥⊥AB ∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，可得以PC 为直径的圆的方程为2222[(2)]()(2)24m m x m y m --+-=-+① 又221x y +=②①-②得:2(2)1AB m x my -+=,化为41(2)0x m y x -+-=由141042012x x y x y ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩,可得11(,)42总满足直线方程，即AB 过定点11(,)42，故选B.14答案及解析： 答案：B011+=,圆224x y +=半径为2,由勾股定理求得弦长为=,故选B.15答案及解析： 答案：C解析：易知圆1C 的圆心坐标为()0,0,半径11r =.将圆2C 化为标准方程()()()22342525x y m m -+-=-<,得圆2C 的圆心坐标为()3,4,半径)225r m =<.由两圆相外切得121215||C C r r =+==,解方程得9m =.故选C .答案:C。
2020届高考数学大二轮复习 第1部分 专题6 解析几何 第1讲 直线与圆练习
第一部分 专题六 第一讲 直线与圆A 组1．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( B ) A ． 2 B ．823C ． 3D ．833[解析] 由l 1∥l 2知3＝a (a －2)且2a ≠6(a －2)， 2a 2≠18，求得a ＝－1，∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝|6－23|12＋－12＝823.故选B ． 2．(文)直线x ＋y ＋2＝0截圆x 2＋y 2＝4所得劣弧所对圆心角为( D ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[解析] 弦心距d ＝|2|2＝1，半径r ＝2，∴劣弧所对的圆心角为2π3.(理)⊙C 1：(x －1)2＋y 2＝4与⊙C 2：(x ＋1)2＋(y －3)2＝9相交弦所在直线为l ，则l 被⊙O ：x 2＋y 2＝4截得弦长为( D )A ．13B ．4C ．43913D ．83913[解析] 由⊙C 1与⊙C 2的方程相减得l ：2x －3y ＋2＝0. 圆心O (0,0)到l 的距离d ＝21313，⊙O 的半径R ＝2， ∴截得弦长为2R 2－d 2＝24－413＝83913. 3．已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |＝23，则直线l 的方程为( B )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0[解析] 当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由|PQ |＝23，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x＋1)，故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.4．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6D ．10[解析] 由已知得k AB ＝3－21－4＝－13，k CB ＝2＋74－1＝3，所以k AB ·k CB ＝－1，所以AB ⊥CB ，即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1，－2)，半径为5，所以外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0，得y ＝±26－2，所以|MN |＝46，故选C ．5．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A 、B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( A )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝0[解析] 设圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)的圆心为C ，弦AB 的中点为D ，易知C (－1,2)，又D (－2,3)， 故直线CD 的斜率k CD ＝3－2－2－－1＝－1，则由CD ⊥l 知直线l 的斜率k l ＝－1k CD＝1，故直线l 的方程为y －3＝x ＋2，即x －y ＋5＝0.6．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( D )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34[解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则其直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D ．7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝2.[解析] 直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则圆心(0,0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为12r ，即532＋42＝12r ，∴r ＝2. 8．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.[解析] 设圆心为(a,0)，则圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，依题意得a 2＋22＝4－a2，解得a ＝32， r2＝254，所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254. 9．已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)． (1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． [解析] (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点． ∵M (0,2)，N (－2,0)， ∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1)．又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1； 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心到直线l 的距离大于半径， ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1.10．已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．[解析] (1)如图所示，|AB |＝43，将圆C 方程化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝16，所以圆C 的圆心坐标为(－2,6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，所以|AD |＝23，|AC |＝4.C 点坐标为(－2,6)．在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2.若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0. 由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋－12＝2，得k ＝34.故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. 所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.B 组1．(2018·南宁一模)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( A )A ．π6或5π6B ．－π3或π3C ．－π6或π6D ．π6[解析] 圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的圆心为(2,3)，半径r ＝2，圆心(2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k |k 2＋1，因为直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，所以由勾股定理得r 2＝d 2＋(232)2，即4＝4k2k 2＋1＋3，解得k ＝±33，故直线的倾斜角为π6或5π6. 2．设直线x －y －a ＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 为等边三角形，则实数a 的值为( B )A ．± 3B ．± 6C ．±3D ．±9[解析] 由题意知：圆心坐标为(0,0)，半径为2，则△AOB 的边长为2，所以△AOB 的高为3，即圆心到直线x －y －a ＝0的距离为3，所以|－a |12＋－12＝3，解得a ＝± 6.3．已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0上的动点，△ABC 面积的最小值为3－2，则a 的值为( C )A ．1B ．－5C ．1或－5D ．5[解析] 解法一：圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，圆心M (a,0)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋2|2，可知圆上的点到直线AB 的最短距离为d －1＝|a ＋2|2－1，(S △ABC )min ＝12×22×|a ＋2|－22＝3－2，解得a ＝1或－5.解法二：圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，设C 的坐标为(a ＋cos θ，sin θ)，C 点到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋cos θ－sin θ＋2|2＝|2sin θ－π4＋a ＋2|2.△ABC 的面积为S △ABC ＝12×22×|2sin θ－π4＋a ＋2|2＝|2sin(θ－π4)＋a ＋2|，当a ≥0时，a ＋2－2＝3－2，解得a ＝1； 当－2≤a <0时，|a ＋2－2|＝3－2，无解； 当a <－2时，|a ＋2＋2|＝3－2，解得a ＝－5.解法三：设与AB 平行且与圆相切的直线l ′的方程为x －y ＋m ＝0(m ≠2)，圆心M (a,0)到直线l ′的距离d ＝1，即|a ＋m |2＝1，解得m ＝±2－a ，两平行线l ，l ′之间的距离就是圆上的点到直线AB 的最短距离， 即|m －2|2＝|±2－a －2|2，(S △ABC )min ＝12×22×|±2－a －2|2＝|±2－a －2|.当a ≥0时，|±2－a －2|＝3－2，解得a ＝1. 当a <0时，|±2－a －2|＝3－2，解得a ＝－5. 故a ＝1或－5.4．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( C )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22][解析] 本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算．设AB 的中点为D ，则OD ⊥AB ，因为|OA →＋OB →|≥33|AB →|，所以|2OD →|≥33|AB →|，|AB →|≤23|OD →|，又因为|OD →|2＋14|AB →|2＝4，所以|OD →|≥1.因为直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点，所以|OD →|<2，所以1≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 2<2，解得2≤k <22，故选C ．5．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆：x 2＋y 2＋2x －4＝0相切，则a 的取值范围是( C )A ．a >7或a <－3B ．a >6或a <－ 6C ．－3≤a ≤－6或6≤a ≤7D ．a ≥7或a ≤－3[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，由⎩⎪⎨⎪⎧ |2－1＋a |5<5|2－1＋a 2＋1|5<5得－6<a <6，两条直线都和圆相离时，由⎩⎪⎨⎪⎧|2－1＋a |5>5|2－1＋a 2＋1|5>5得a <－3，或a >7，所以两条直线和圆“相切”时a 的取值范围－3≤a ≤－6或6≤a ≤7，故选C ．6．过点P (－1,1)作圆C ：(x －t )2＋(y －t ＋2)2＝1(t ∈R )的切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →的最小值为214.[解析] 圆C ：(x －t )2＋(y －t ＋2)2＝1的圆心坐标为(t ，t －2)，半径为1， 所以PC ＝t ＋12＋t －32＝2t －12＋8≥8，PA ＝PB ＝PC 2－1，cos ∠APC ＝APPC，所以cos ∠APB ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫AP PC2－1＝1－2PC 2，所以PA →·PB →＝(PC 2－1)(1－2PC 2)＝－3＋PC 2＋2PC 2≥－3＋8＋14＝214，所以PA →·PB →的最小值为214.7．过点C (3,4)作圆x 2＋y 2＝5的两条切线，切点分别为A ，B ，则点C 到直线AB 的距离为4.[解析] 以OC 为直径的圆的方程为(x －32)2＋(y －2)2＝(52)2，AB 为圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝5的公共弦，所以AB 的方程为x 2＋y 2－[(x －32)2＋(y －2)2]＝5－254，化为3x ＋4y －5＝0，C 到AB 的距离为d ＝|3×3＋4×4－5|32＋42＝4.8．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin 2A ＋sin 2B ＝12sin 2C ，则直线ax －by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝9所截得弦长为27.[解析] 由正弦定理得a 2＋b 2＝12c 2，∴圆心到直线距离d ＝|c |a 2＋b2＝c12c 2＝2， ∴弦长l ＝2r 2－d 2＝29－2＝27.9．(2018·全国卷Ⅱ，19)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程．(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解析] (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，x 0＋12＝y 0－x 0＋122＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10．(2017·全国卷Ⅲ，20)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由．(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． [解析] (1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)， 则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x 2－x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x2x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m2，－12)，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－m22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。
2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练含答案解析
12020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一直线方程、两直线的位置关系例1已知两直线h ： mx 8y n 0和l 2: 2x my 1 0 •试确定m 、n 的值，使: (1儿与J 相交于点P m, 1 ；⑵ l i // J ;(3)11丄12，且l 1在y 轴上的截距为一1. 【答案】 (1) m 1, n 7.(2)m 4 , n 2 :时或m 4, n2时，I 1 // l 2(3) m, n 8【解析】(1)由 题意得2m 8n 0” 口，解得 m 1, n 72m n 1 0⑵当 m0时，显 :然|. 1不平行于l 2 ；m 8 n e m m 8 2 0m 4 亠m 4当m 0时，由，得或2 m18 ( 1)nmn 2n 2即 m 4 , n2时或m4, n 2时，h // l 2.(3)当且仅当2m8m 0, 即m 0时，l 1丄l 2.又 n1 , • n 8.8即m 0, n 8时，11丄12，且11在y 轴上的截距为一1. 【易错点】忽略对m 0的情况的讨论【思维点拨】 遇到直线类题型，首先要注意特殊情况如斜率不存在时或k 0时，并且对于直线平行和垂直时与A 1A 2和B ,B 2间的关系要熟练记忆。
例2如图，设一直线过点(—1,1)，它被两平行直线 直线13: x — y — 1 = 0上，求其方程.1仁x + 2y — 1= 0, I 2: x + 2y — 3= 0所截的线段的中点在2【答案】2x 7y 5 0.【解析】与|1、J 平行且距离相等的直线方程为 设所求直线方程为x 2y 2 xx 2y 20.0 .又直线过A 1,11 2 1 2 0.解 1 —.•••所求直线方程为2x 7y 50 .33【易错点】求错与11、|2平行且距离相等的直线方程【思维点拨】本题的关键在于求到|1、J 平行且距离相等的直线方程， 再利用这条直线求出和第三条支线的 交点，从而求解本题 题型二 圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用） 例1已知实数x 、y 满足方程X y 2 4x 10.（i ）求y 的最大值和最小值；x⑵求y x 的最大值和最小值.【答案】（1）y 的最大值为.3，最小值为 ... 3.x（2） y x 的最大值为 2 ,6，最小值为 2 -、6.y 23，表示以点 2,0为圆心，以■ 3为半径的圆.设1 k ，即y kx ,xk 取最大值和最小值，此时 貲J 3，解得k J 3.故丿的最大值J k 21x【易错点】理解错给定要求结果的含义【思维点拨】正确理解给定结果的含义，在利用题中的条件解决问题。
【精品推荐】2020版高三数学新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(理)课件：3-4-1 直线与圆
4．(2019·兰州一模)已知 M(m，n)为圆 C：x2＋y2－4x－14y
＋45＝0 上任意一点，且点 Q(－2,3)，则mn－＋32的最大值为( D )
A．3＋ 2
B．1＋ 2
C．1＋ 3
D．2＋ 3
[解析] 由题可知mn－＋32表示直线 MQ 的斜率，设直线 MQ 的 方程为 y－3＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＋3＝0，其中mn－＋32＝k，将 圆 C 的方程化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，C(2,7)，半径 r ＝2 2，由直线 MQ 与圆 C 有交点，得|2k－71＋＋2kk2＋3|≤2 2，解 得 2－ 3≤k≤2＋ 3，∴mn－＋32的最大值为 2＋ 3，故选 D.
＝2.
求圆的方程的两种方法 (1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关 系，从而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各 系数，从而求得圆的方程，一般采用待定系数法．
考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．判断直线与圆的位置关系的方法 (1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组， 利用判别式 Δ 来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0 ⇔相离． (2)几何法：把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较： d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．
直线方程及应用问题应注意的两点 (1)在使用不同形式的直线方程时要注意其适用条件． (2)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
考点二 圆的方程及应用
1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为 r 时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2 ＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2＋y2＝r2. 2．圆的一般方程 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ， 其 中 D2 ＋ E2 － 4F>0 ， 表 示 以 －D2 ，－E2为圆心， D2＋2E2－4F为半径的圆．
部编版2020高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆练习
第1讲 直线与圆高考定位 1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点；2.考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅲ卷)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2，6] B.[4，8] C.[2，32]D.[22，32]解析 由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r ＝2，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ＝32，最小距离是d －r ＝ 2.易知A (－2，0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以2≤S △ABP ≤6. 答案 A2.(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.解析 法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，故圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.法二 设O (0，0)，A (1，1)，B (2，0)，所以k OA ＝1，k AB ＝1－01－2＝－1，所以k OA ·k AB ＝－1，所以OA ⊥AB .所以OB 为所求圆的直径，所以圆心坐标为(1，0)，半径为1.故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0. 答案 x 2＋y 2－2x ＝03.(2016·全国Ⅰ卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.解析 圆C 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，点C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2.所以圆C的面积为π(a 2＋2)＝4π. 答案 4π4.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________. 解析 因为AB →·CD →＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝45°.设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－3.又B (5，0)，所以直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －5），y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3. 答案 3考 点 整 合1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2k 1＝k 2，l 1⊥l 2k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r 相交；d ＝r 相切；d >r 相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0相交；Δ＝0相切；Δ<0相离.热点一 直线的方程【例1】 (1)(2018·惠州三模)直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8，则“m ＝－1或m ＝－7”是“l 1∥l 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)过点(1，2)的直线l 与两坐标轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△OAB 的面积最小时，直线l 的方程为( ) A.2x ＋y －4＝0 B.x ＋2y －5＝0 C.x ＋y －3＝0D.2x ＋3y －8＝0解析 (1)由(3＋m )(5＋m )－4×2＝0， 得m ＝－1或m ＝－7.但m ＝－1时，直线l 1与l 2重合.当m ＝－7时，l 1的方程为2x －2y ＝－13， 直线l 2：2x －2y ＝8，此时l 1∥l 2.∴“m ＝－7或m ＝－1”是“l 1∥l 2”的必要不充分条件.(2)设l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，则1a ＋2b＝1.∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ≥22ab.则1≥22ab，∴ab ≥8(当且仅当1a ＝2b ＝12，即a ＝2，b ＝4时，取“＝”).∴当a ＝2，b ＝4时，△OAB 的面积最小. 此时l 的方程为x 2＋y4＝1，即2x ＋y －4＝0.答案 (1)B (2)A探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.【训练1】 (1)(2018·贵阳质检)已知直线l 1：mx ＋y ＋1＝0，l 2：(m －3)x ＋2y －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________.解析 (1)“l 1⊥l 2”的充要条件是“m (m －3)＋1×2＝0m ＝1或m ＝2”，因此“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件.(2)当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大. ∵A (1，1)，B (0，－1)，∴k AB ＝－1－10－1＝2.∴两平行直线的斜率k ＝－12.∴直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案 (1)A (2)x ＋2y －3＝0 热点二 圆的方程【例2】 (1)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得的弦的长为23，则圆C 的标准方程为________.(2)(2017·天津卷)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________. 解析 (1)设圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2(a >0)，半径为a .由勾股定理得(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝a 2，解得a ＝2.所以圆心为(2，1)，半径为2，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.(2)由题意知该圆的半径为1，设圆心C (－1，a )(a >0)，则A (0，a ). 又F (1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a ). 由题意知AC →与AF →的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a2＝－12，解得a ＝ 3.所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.答案 (1)(x －2)2＋(y －1)2＝4 (2)(x ＋1)2＋(y －3)2＝1探究提高 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.2.待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值.温馨提醒 解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.【训练2】 (1)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.(2)(2018·日照质检)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________.解析 (1)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心在x 轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0). 设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2， 则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254，所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.(2)∵圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a ，0)，且a >0.则圆心C 到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|5＝455，解得a ＝2.∴圆C 的半径r ＝|CM |＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，因此圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9. 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 (2)(x －2)2＋y 2＝9热点三 直线(圆)与圆的位置关系 考法1 圆的切线问题【例3－1】 (1)过点P (－3，1)，Q (a ，0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为______.(2)(2018·湖南六校联考)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1，点A (0，－2)，B (a ，2)，从点A 观察点B ，要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，433解析 (1)点P (－3，1)关于x 轴的对称点为P ′(－3，－1)， 所以直线P ′Q 的方程为x －(a ＋3)y －a ＝0. 依题意，直线P ′Q 与圆x 2＋y 2＝1相切. ∴|－a |12＋[－（a ＋3）]2＝1，解得a ＝－53. (2)易知点B 在直线y ＝2上，过点A (0，－2)作圆的切线. 设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＝kx －2， 即kx －y －2＝0.由d ＝|0－0－2|1＋k2＝1，得k ＝± 3. ∴切线方程为y ＝±3x －2，和直线y ＝2的交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫433，2.故要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞.答案 (1)－53 (2)B考法2 圆的弦长相关计算【例3－2】 (2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. (1)解 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足方程x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2， ①y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22， ②又x 22＋mx 2－2＝0， ③由①②③解得x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.【训练3】 (1)(2018·石家庄调研)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切B.相交C.外切D.相离(2)已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线l ：y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 方程为________________.解析 (1)圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，d ＝a2，所以有a2＝a 22＋2，解得a ＝2. 所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝22，圆心距为2，半径和为3，半径差为1，所以两圆相交. (2)圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9，∴圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3. 又直线l ：y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短.因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，∴a ＝－1.故所求直线l 的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0. 答案 (1)B (2)x ＋y －3＝01.解决直线方程问题应注意：(1)要注意几种直线方程的局限性.点斜式方程不能表示与x 轴垂直的直线、截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线、两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线. (2)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求圆的方程两种主要方法：(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程.(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程.3.直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2，弦长公式|AB |＝2r 2－d 2(弦心距d ).一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A.－43B.－34C. 3D.2解析 圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故圆心为(1，4).由题意，得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.答案 A2.(2018·昆明诊断)已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要解析 “直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m 2＝0m＝±1.∴命题p 是命题q 的充分不必要条件. 答案 A3.过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y －7＝0 C.x －2y －5＝0D.x －2y －7＝0解析 依题意知，点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点.∵圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为12，所以切线的斜率k ＝－2.故过点(3，1)的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. 答案 B4.(2018·衡水中学模拟)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( ) A.1031 B.921 C.1023D.911解析 易知P 在圆C 内部，最长弦为圆的直径10， 又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2， ∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223， 故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.答案 C5.(2018·湖南师大附中联考)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125B.[0，1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125D.⎝⎛⎭⎪⎫0，125解析 设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |，∴x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，∴1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2，∴1≤a 2＋(2a －3)2≤9，解之得0≤a ≤125. 答案 A 二、填空题6.过点(1，1)的直线l 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，当|AB |＝4时，直线l 的方程为________.解析 易知点(1，1)在圆内，且直线l 的斜率k 存在，则直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即kx －y ＋1－k ＝0. 又|AB |＝4，r ＝3，∴圆心(2，3)到l 的距离d ＝32－22＝ 5. 因此|k －2|k 2＋（－1）2＝5，解得k ＝－12.∴直线l 的方程为x ＋2y －3＝0. 答案 x ＋2y －3＝07.(2018·济南调研)已知抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线为l ，若l 与圆C ：(x －3)2＋y 2＝1相交所得弦长为3，则a ＝________.解析 由y ＝ax 2，得x 2＝ya ，∴准线l 的方程为y ＝－14a.又l 与圆C ：(x －3)2＋y 2＝1相交的弦长为3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，则a ＝12. 答案 128.某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a ，b ，且直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，则圆C 的方程为________.解析 由题意，1002 500＝a 1 000＝b 600，∴a ＝40，b ＝24， ∴直线ax ＋by ＋8＝0，即5x ＋3y ＋1＝0，A (1，－1)到直线的距离为|5－3＋1|25＋9＝334， ∵直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，∴r ＝634， ∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1817. 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝1817三、解答题9.已知点A (3，3)，B (5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程.解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即l 1与l 2的交点P (1，2). ①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB .而k AB ＝3－23－5＝－12， 由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)， 即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1， 即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.10.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |取得最小值时点P 的坐标.解 圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2， ∴圆心C (－1，2)，半径r ＝ 2.由|PM |＝|PO |，得|PO |2＝|PM |2＝|PC |2－|CM |2，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2.整理，得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上.当|PM |取最小值时，|PO |取最小值，此时直线PO ⊥l ，∴直线PO 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310，y ＝35，故使|PM |取得最小值时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35. 11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程. 解 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5，(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0).因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离 d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，又|MC |2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22， 所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15. 故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.。
2020版高考数学大二轮复习专题五解析几何第一讲直线与圆课件理
1．两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 存在，则 l1∥l2⇔k1＝ k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要 考虑斜率是否存在． 2．求直线方程 要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求 直线不能与 x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线， 也不能表示垂直于坐标轴的直线．
专题五 解析几何
第一讲 直线与圆
C目录 ONTENTS
考点一 考点二 考点三 4 限时规范训练
[考情分析·明确方向] 1．近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热点，需重点 关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查． 2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度， 有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程 (特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．
3．两个距离公式 (1)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距 离 d＝ |CA1－2＋CB2|2. (2)点(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离公式 d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|. 4．与已知直线 l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)平行的直线可设 为 Ax＋By＋m＝0(m≠C)，垂直的直线可设为 Bx－Ay＋m＝0.
答案：D
2．(2019·呼和浩特一模)已知直线 y＝－34x－3 与 x，y 轴分别交 于 A，B 两点，动点 P 在圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 上，则△ABP 面积的最大值为________．
解析：根据题意，直线 y＝－34x－3 与 x，y 轴分别交于 A，B 两点， 则 A(－4,0)，B(0，－3)，|AB|＝5，
2020版高考数学大二轮复习6.1直线圆学案理
第1讲 直线 圆考点1 直线的方程及应用1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0， l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B2. [例1] (1)[2019·重庆一中模拟]“a＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)[2019·河北衡水中学模拟]已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l 1与经过点P(0，－1)和点Q(a ，－2a)的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．－1或1【解析】 (1)由直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行，知a(a －1)＝2×3且a(7－a)≠3×2a，解得a ＝3或a ＝－2.所以“a＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的充分而不必要条件．故选A .(2)直线l 1的斜率k 1＝3a －01－(－2)＝a.当a≠0时，直线l 2的斜率k 2＝－2a －(－1)a －0＝1－2aa .因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a·1－2aa ＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，此时直线l 2为y 轴，A(－2,0)，B(1,0)，则直线l 1为x 轴， 显然l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为0或1.故选C . 【答案】 (1)A (2)C(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况.『对接训练』1．[2019·四川联合诊断]与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( )A ．3x －4y ＋5＝0B ．3x －4y －5＝0C ．3x ＋4y －5＝0D ．3x ＋4y ＋5＝0解析：设所求直线上某点的坐标为(x ，y)，则其关于x 轴的对称点的坐标为(x ，－y)，且点(x ，－y)在已知的直线上，所以所求直线方程为3x ＋4y ＋5＝0，故选D .答案：D2．[2019·四川凉山模拟]若点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为( )A .79B .13C .79或13D ．－79或－13解析：由点A 和点B 到直线l 的距离相等，得|6a ＋3＋1|a 2＋1＝|－3a －4＋1|a 2＋1，化简得6a ＋4＝－3a －3或6a ＋4＝3a ＋3，解得a ＝－79或a ＝－13.故选D .答案：D考点2 圆的方程 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b)，半径为r 时，其标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F>0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．[例2] (1)[2019·北京卷]设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l.则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为________；(2)[2016·天津卷]已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为______________________．【解析】 (1)因为抛物线的标准方程为y 2＝4x ，所以焦点F(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，所求的圆以F 为圆心，且与准线l 相切，故圆的半径r ＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上， 设C(a,0)，且a>0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM|＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.【答案】 (1)(x －1)2＋y 2＝4 (2)(x －2)2＋y 2＝9圆的方程的求法(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程．一般采用待定系数法.『对接训练』3．[2019·河南豫北名校联考]圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4解析：设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·13＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，则所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D . 答案：D4．[2019·湖北八校联考]已知圆C 的圆心在y 轴上，点M(3,0)在圆C 上，且直线2x －y －1＝0经过线段CM 的中点，则圆C 的标准方程是( )A ．x 2＋(y －3)2＝18B ．x 2＋(y ＋3)2＝18C ．x 2＋(y －4)2＝25D ．x 2＋(y ＋4)2＝25解析：设圆C 的圆心坐标为(0，b)，则线段CM 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b 2， 因为直线2x －y －1＝0经过线段CM 的中点， 所以2×32－b2－1＝0，解得b ＝4，所以圆C 的圆心坐标为(0,4)， 半径r ＝|CM|＝(0－3)2＋(4－0)2＝5， 所以圆C 的标准方程是x 2＋(y －4)2＝25， 故选C . 答案：C考点3 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系判定(1)代数法．将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离；(2)几何法．把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d<r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d>r ⇔相离．2．圆与圆的位置关系判定 (1)d>r 1＋r 2⇔两圆外离； (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切； (3)|r 1－r 2|<d<r 1＋r 2⇔两圆相交； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切；(5)0≤d<|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．[例3] (1)[2019·浙江卷]已知圆C 的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A(－2，－1)，则m ＝________，r ＝________；(2)[2019·江西师范大学附中期末]已知对任意实数m ，直线l 1：3x ＋2y ＝3＋2m 和直线l 2：2x －3y ＝2－3m 分别与圆C ：(x －1)2＋(y －m)2＝1相交于A ，C 和B ，D ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 (1)本题主要考查圆的标准方程及直线与圆的位置关系，考查考生的推理论证能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．解法一 设过点A(－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝(－2－0)2＋(－1＋2)2＝ 5.解法二 因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以m ＋10－(－2)×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝(－2－0)2＋(－1＋2)2＝ 5.(2)由直线l 1：3x ＋2y ＝3＋2m 和直线l 2：2x －3y ＝2－3m ，易得l 1⊥l 2，得S 四边形ABCD ＝12AC·BD.由题可知，l 1，l 2过圆心C ，所以AC ＝BD ＝2，所以S 四边形ABCD ＝2，故选B .【答案】 (1)－2 5 (2)B弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l ＝2r 2－d 2(其中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．(2)根据公式：l ＝1＋k 2|x 1－x 2|求解(其中l 为弦长，x 1，x 2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解.『对接训练』5．[2019·山东新泰一中月考]直线ax ＋by －a －b ＝0(a 2＋b 2≠0)与圆x 2＋y 2－2＝0的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交或相切D ．相交解析：由已知得，圆的圆心为(0,0)，半径为2，圆心到直线的距离为|a ＋b|a 2＋b2，其中(a＋b)2≤2(a 2＋b 2)，所以圆心到直线的距离|a ＋b|a 2＋b2≤2，所以直线与圆相交或相切，故选C .答案：C6．[2019·江苏南师大附中期中]在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 过点A(0，－8)，且与圆x 2＋y 2－6x －6y ＝0相切于原点，则圆C 的方程为________________．解析：由x 2＋y 2－6x －6y ＝0得(x －3)2＋(y －3)2＝18，则该圆的圆心为(3,3)，半径为3 2.由于两个圆相切于原点，所以两圆的圆心连线必过切点，故圆C 的圆心在直线y ＝x 上．由于圆C 过点(0,0)，(0，－8)，所以其圆心也在直线y ＝－4上，易得圆心坐标为(－4，－4)，又点(－4，－4)到原点的距离为42，所以圆C 的方程为(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝32，即x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0.答案：x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0课时作业14 直线 圆1．[2019·山东平度一中月考]若直线l 1：ax －y ＋1＝0与直线l 2：2x －2y －1＝0的倾斜角相等，则实数a ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：由题意可得两直线平行，∴－2×a－(－1)×2＝0，∴a＝1.故选B . 答案：B2．[2019·安徽六安一中四模]直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，垂足为(1，c)，则a ＋b ＋c ＝( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由题意可得，－a 4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－5＝－1，a ＋4c －2＝0，2－5c ＋b ＝0，解得a ＝10，c ＝－2，b ＝－12.∴a＋b ＋c ＝－4.故选B .答案：B3．[2019·天津七校联考]经过点(0,1)与直线2x －y ＋2＝0平行的直线方程是( )A ．2x －y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．2x ＋y ＋1＝0D ．2x ＋y －1＝0解析：设所求直线的方程为2x －y ＋a ＝0，将(0,1)代入直线方程，得－1＋a ＝0，所以a ＝1，故所求直线方程为2x －y ＋1＝0.故选B .答案：B4．[2019·湖南衡阳八中月考]已知直线l 的倾斜角为θ且过点(3，1)，其中sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝12，则直线l 的方程为( ) A .3x －y －2＝0 B .3x ＋y －4＝0 C ．x －3y ＝0 D .3x ＋3y －6＝0解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝12，∴cos θ＝－12，θ＝2π3，则tan θ＝－3，直线的方程为y －1＝－3(x －3)，即3x ＋y －4＝0，故选B .答案：B5．[2019·安徽四校联考]直线l 经过点(1,3)且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＝0C ．x ＋3y －10＝0D ．x －3y ＋8＝0解析：解法一 设直线l 的斜率为k(k<0)，则直线l 的方程为y －3＝k(x －1)．x ＝0时，y ＝3－k ；y ＝0时，x ＝1－3k .所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×(3－k)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3k ＝6，整理得k 2＋6k ＋9＝0，解得k ＝－3，所以直线l 的方程为y －3＝－3(x －1)，即3x ＋y －6＝0，故选A .解法二 依题意，设直线方程为x a ＋y b ＝1(a>0，b>0)，则可得1a ＋3b ＝1且ab ＝12，解得a＝2，b ＝6，则直线l 的方程为x 2＋y6＝1，即3x ＋y －6＝0，故选A .答案：A6．[2019·河北九校联考]圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－4x ＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：由题意设所求圆的方程为(x －m)2＋y 2＝4(m>0)，则|3m ＋4|32＋42＝2，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.故选C .答案：C7．[2019·山东济宁期末]已知圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝9，过点M(1,1)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当弦长AB 最短时，直线l 的方程为( )A ．2x －y －1＝0B ．x ＋2y －8＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：根据题意，圆C 的圆心C(2,3)，半径r ＝3.当CM 与AB 垂直时，即M 为AB 的中点时，弦长AB 最短，此时CM 的斜率k CM ＝3－12－1＝2，则AB 的斜率k AB ＝－12，所以直线AB 的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0，故选D .答案：D8．[2019·江西吉安五校联考]若直线mx ＋2ny －4＝0(m ，n∈R ，n ≠m )始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，则mn 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－1,0)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)解析：x 2＋y 2－4x －2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝9，∵直线mx ＋2ny －4＝0(m ，n ∈R ，m ≠n )始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，∴圆心(2,1)在直线mx ＋2ny －4＝0上，得m ＋n ＝2，n ＝2－m ，∴mn ＝m (2－m )＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1，∵m ≠n ，∴m ≠1，∴mn <1.故选C.答案：C9．[2019·湖南雅礼中学月考]若圆x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线ax －y ＋1＝0(a 是实数)的距离为1，则a ＝( )A ．±1B ．±24 C ．± 2 D ．±32解析：由题意知圆心为(3,1)，半径是2，因为圆上有且仅有三个点到直线ax －y ＋1＝0的距离为1，所以圆心到直线ax －y ＋1＝0的距离是1，即|3a |a 2＋1＝1，得a ＝±24，故选B.答案：B10．[2019·湖南长沙一模]圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2 解析：将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1，故选A.答案：A11．[2019·湖南师大附中月考]点P (a,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离等于4，且在2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则a 的值为( )A ．3B ．7C ．－3D ．－7解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|4a －3×3＋1|5＝4，2a ＋3－3<0，解得a ＝－3，故选C.答案：C12．[2019·河南南阳期末]已知点M (－1,0)，N (1,0)．若直线3x －4y ＋m ＝0上存在点P 满足PM →·PN →＝0，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－5]∪[5，＋∞) B．(－∞，－25]∪[25，＋∞) C ．[－25,25] D ．[－5,5]解析：由题意知，此题可转化为求直线3x －4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝1有交点时m 的取值范围，则|m |32＋(－4)2≤1，解得－5≤m ≤5，故m 的取值范围是[－5,5]．答案：D13．[2019·贵州遵义四中月考]过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．解析：当直线过原点时，直线斜率为3－02－0＝32，故直线方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a＝1，把(2,3)代入可得a ＝－1，故直线的方程为x －y ＋1＝0.综上，所求直线方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0.答案：3x －2y ＝0或x －y ＋1＝014．[2019·天津七校联考]已知M (0,2)，N (2，－2)，以线段MN 为直径的圆的标准方程为________________．解析：由题意易得圆心的坐标为(1,0)，|MN |＝22＋(－2－2)2＝25，所以圆的半径为5，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝5.答案：(x －1)2＋y 2＝515．[2019·山东实验中学质量检测]过直线l ：x ＋y ＋1＝0上一点P 作圆C ：x 2＋y 2－4x－2y＋4＝0的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB的面积为3，则点P的横坐标为________．解析：圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C的坐标为(2,1)，半径为1.因为四边形PACB的面积为3，所以|PA|·1＝3.连接PC，在直角三角形PAC中，由勾股定理可得，|PC|＝|PA|2＋|AC|2＝10.设P(a，－a－1)，则(a－2)2＋(－a－2)2＝10，解得a ＝－1或a＝1.答案：－1或116．[2019·北京大兴区期末]直线l：y＝kx＋k与圆C：(x－1)2＋y2＝1交于A，B两点，当△ABC的面积最大时，k的值为________．解析：圆C的圆心C(1,0)，半径r＝1，设圆心C到直线的距离为d，则△ABC的面积S＝12×d×2×1－d2＝d2×(1－d2)≤(d2＋1－d2)24＝12，当且仅当d2＝12，即d＝22时，△ABC的面积最大，此时d＝|2k|1＋k2＝22，解得k＝±77.答案：±7 7。
2020届高考数学(理)二轮复习课件：专题14 直线与圆
• 在解决有关直线问题时要考虑直线斜率是 否存在．
• 3．注意直线方程的限制条件 • (1)应用点斜式、斜截式方程时，注意它们
不包含垂直于x轴的直线； • (2)应用两点式方程时，注意它不包含与坐
标轴垂直的直线；
• (3)应用截距式方程时，注意它不包括与坐 标轴垂直的直线以及过原点的直线；
• (2)弄清直线的点斜式、斜截式、两点式、 截距式方程的特点及相关量的几何意义．
• (3)掌握求圆的方程的方法，并会判定直线 与圆、圆与圆的位置关系，会利用位置关 系解决综(1)根据两直线的位置关系求参数的值． • (2)根据直线与圆的位置关系求动点的轨
• 2．求解与两条直线平行或垂直有关的问题 时，主要是利用两条直线平行或垂直的充 要条件，即“斜率相等”或“互为负倒 数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑
用数形结合的方法去研究．
A
y＝2或4x－3y＋2＝0
•命题方向2 圆的方程
• 『规律总结』
• 求圆的方程有两类方法：(1)几何法，通过 研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置 关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆 的方程；(2)代数法，求圆的方程必须具备 三个独立条件，利用“待定系数法”求出 圆心和半径．
D
•命题方向3 直线(圆)与圆的位置关系
C
x2＋(y－1)2＝10
• [分析] 由圆心C与F关于直线y＝x对称可 求得C点坐标，再由弦长|AB|＝6可求得圆 的半径，进而可得圆的方程．
• 『规律总结』 • 1．与圆有关的切线问题求解策略 • (1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的
半径垂直，圆心到切线的距离等于半径” 建立切线斜率的等式，所以求切线方程时 主要选择点斜式．
2020届高考数学二轮复习专题四第1讲直线与圆Word版含
专题四解析几何第 1 讲直线与圆考向预测1．直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是高考的重点；2．考查的主要内容包括求直线( 圆 )的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题．知识与技巧的梳理1．两条直线平行与垂直的判定假设两条不重合的直线l 1，l2的斜率 k1，k2存在，那么 l 1∥ l 2? k1＝ k2，l 1⊥ l 2? k1k2＝－ 1．假设给出的直线方程中存在字母系数，那么要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式|C1－ C2|(1)两平行直线 l1：Ax＋ By＋ C1＝ 0 与 l 2： Ax＋ By＋C2＝ 0 间的距离 d＝ 2 2．A ＋B(2)点 (x0，y0 )到直线 l： Ax＋ By＋ C＝ 0 的距离 d＝|Ax0＋ By0＋ C|2 2．A ＋ B3．圆的方程(1)圆的标准方程： (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ r 2(r ＞0)，圆心为 ( a， b)，半径为 r ．22 2 2 －D ，－E ，半径为 r ＝ D 2＋ E2－ 4F(2)圆的一般方程： x ＋ y ＋ Dx ＋ Ey＋ F ＝ 0(D ＋ E － 4F ＞ 0)，圆心为2 2．24．直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比拟： d<r? 相交； d＝r? 相切；d>r? 相离．(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式来讨论位置关系：>0? 相交；＝ 0? 相切；<0? 相离．热点题型热点一直线的方程【例1】(2021 ·江南十校 ) 点，，是圆内一点，直线，，，围成的四边形的面积为，那么以下说法正确的选项是〔〕A ．B ．C ．D ．解析由，四条直线围成的四边形面积．答案 A探究提高 1．求解两条直线平行的问题时，在利用 A 1B 2－ A 2B 1＝ 0 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．2．求直线方程时应根据条件选择适宜的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意．【训练 1】 (2021 ·贵阳质检 )直线l 1：mx ＋ y ＋ 1＝ 0，l 2：(m －3)x ＋ 2y － 1＝ 0，那么“ m ＝ 1〞是“ l 1⊥ l 2〞的 () A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 “ l 1⊥l 2〞 的充要条件是 “ m(m － 3)＋ 1×2＝ 0? m ＝1 或 m ＝ 2〞 ，因此 “ m ＝ 1〞是 “ l 1 ⊥l 2〞 的充分不必 要条件． 答案 A热点二 圆的方程【例 2】 (2021 ·江西名校联盟 )点 ， ，那么以线段 为直径的圆的方程为〔〕A ．B ．C ．D ．解析 圆心为 的中点 ，半径为，那么以线段 为直径的圆的方程为 ．答案 D ．探究提高1．直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2．待定系数法求圆的方程．【训练 2】圆心在直线 x －2y ＝ 0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得的弦的长为 2 3，那么圆 C的标准方程为 ________． 解析 设圆心aa ， 2 (a>0) ，半径为 a ．2a 22由勾股定理得 ( 3) ＋2＝ a ，解得 a ＝ 2． 所以圆心为 (2， 1)，半径为 2，22所以圆 C 的标准方程为 (x － 2) ＋(y －1) ＝ 4． 热点三 直线与圆的位置关系【例 3】 (1) (2021 银·川一中 )直线x+y=a 与圆 x2+y 2=4 交于 A、 B 两点，且，其中 O 为坐标原点，那么实数 a 的值为〔〕A ． 2B ．±2 C．－ 2 D ．(2)(2021 菏·泽二模 )圆 C 的方程是 x2＋ y2－ 8x－ 2y＋ 8＝ 0，直线 l： y＝ a( x－3)被圆 C 截得的弦长最短时，直线l 方程为 ________．解析 (1) 由得，，，三角形 AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即， a＝±2，应选 B ．(2)圆 C 的标准方程为 (x－ 4)2＋ (y－ 1)2＝9，∴圆 C 的圆心 C(4，1) ，半径 r＝ 3．又直线 l ：y＝ a(x－ 3)过定点 P(3， 0)，那么当直线 y＝ a(x－ 3)与直线 CP 垂直时，被圆 C 截得的弦长最短．1－ 0因此 a·k CP＝ a·＝－ 1，∴ a＝－ 1．4－ 3故所求直线 l 的方程为 y＝－ (x－ 3)，即 x＋ y－ 3＝ 0．答案 (1) B ，(2)x＋y－ 3＝ 0探究提高1．研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．l2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．【训练 3】 (2021 ·江苏卷 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M： x2＋ y2－ 12x－14y＋ 60 ＝ 0 及其上一点A(2， 4)．(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线(2)设平行于OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B， C 两点，且x＝6 上，求圆N 的标准方程；|BC |＝ |OA |，求直线 l 的方程；→→→(3)设点 T(t， 0)满足：存在圆M 上的两点 P 和 Q，使得 TA＋TP ＝ TQ，求实数t 的取值范围．解(1)圆 M 的方程化为标准形式为 (x－ 6)2＋ (y－7)2＝ 25，圆心 M (6，7)，半径 r ＝ 5，由题意，设圆N 的方程为 (x－ 6)2＋ (y－ b)2＝ b2(b＞ 0)，且〔6－ 6〕2＋〔 b－ 7〕2＝b＋ 5．解得 b＝ 1，∴圆 N 的标准方程为 (x－ 6)2＋(y－ 1)2＝1．(2)∵ k OA＝ 2，∴可设直线l 的方程为y＝ 2x＋ m，即 2x－ y＋ m＝ 0．又 |BC|＝ |OA|＝22＋42＝ 2 5，由题意，圆 M 的圆心M(6，7)到直线 l 的距离为 d＝|BC | 225－ 5＝2 5，52－＝2即 |2 ×6－7＋ m| ＝2 5，解得 m＝ 5 或 m＝－ 15．2 22 ＋〔－ 1〕∴直线 l 的方程为2x－ y＋ 5＝ 0 或 2x－ y－15＝ 0．→ → →，那么四边形 AQPT 为平行四边形，(3)由 TA＋ TP＝ TQ又∵ P， Q 为圆 M 上的两点，∴ |PQ|≤ 2r ＝ 10．∴ |TA|＝ |PQ|≤ 10，即〔 t－ 2〕2＋42≤ 10，解得 2－ 2 21≤ t≤ 2＋ 2 21．故所求 t 的范围为 [2－2 21， 2＋ 2 21]．限时训练〔45 分钟〕经典常规题1． (2021 ·全国 Ⅱ 卷 )圆 x 2＋ y 2－ 2x －8y ＋ 13＝0 的圆心到直线 ax ＋ y － 1＝ 0 的距离为 1，那么 a ＝〔〕43A ．－ 3B ．－ 4C ． 3D ． 22．(2021 全·国 III 卷 )直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆上，那么面积的取值范围是〔 〕A ． ，B ． ，C ．，D ．，3． (2021 ·全国 Ⅰ 卷 )设直线 y ＝ x ＋ 2a 与圆 C ： x 2＋ y 2－ 2ay － 2＝ 0 相交于 A ， B 两点，假设 |AB|＝ 2 3，那么圆 C的面积为 ________．4． (2021 ·全国 I 卷 )直线 与圆交于 ， 两点，那么 ________．高频易错题1．(2021 聊·城一中 )斜率为 的直线 平分圆且与曲线恰有一个公共点，那么满足条件的 值有〔 〕个A ． 1B ． 2C ． 3D ． 02．过点 (3， 1)作圆 (x － 1)2＋ y 2＝ r 2 的切线有且只有一条，那么该切线的方程为〔 〕A ． 2x ＋ y － 5＝ 0B ． 2x ＋ y － 7＝0C ． x － 2y － 5＝0D ． x － 2y － 7＝ 03．(2021 全·国 Ⅱ卷 )三点 A(1，0)，B(0，3)，C(2， 3)，那么△ ABC 外接圆的圆心到原点的距离为〔〕5 212 54 A ． 3B ． 3C ． 3D ． 34．(2021 ·京卷北 22→ →)点 P 在圆 x ＋ y ＝ 1 上，点 A 的坐标为 (－ 2，0)，O 为原点，那么 AO ·AP 的最大值为________．5． (2021 ·全国 Ⅰ卷 )过点 A(0， 1)且斜率为k 的直线 l 与圆 C ： (x － 2)2＋ (y － 3)2＝ 1 交于 M ， N 两点． (1)求 k 的取值范围；→ →(2)假设 OM ·ON ＝ 12，其中 O 为坐标原点，求|MN |．精准预测题1．(2021 成·都月考 )直线与圆交于、两点，为坐标原点，假设直线、的倾斜角分别为、，那么〔〕A ．B ．C． D ．2． (2021 ·济南调研 )假设直线 x－ y＋ m＝ 0 被圆 (x－ 1)2＋ y2＝ 5 截得的弦长为 2 3，那么 m 的值为〔〕A ． 1B ．－ 3 C． 1 或－ 3 D ． 23． (2021 ·广安调研 )过点 (1，2＋ (y－ 3)21)的直线 l 与圆 (x－ 2) ＝ 9 相交于 A，B 两点，当 |AB|＝ 4 时，直线 l 的方程为 ________．4．(2021 池·州模拟 )某学校有 2 500 名学生，其中高一 1 000 人，高二 900 人，高三 600 人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，假设从本校学生中抽取100 人，从高一和高三抽取样本数分别为a， b，且直线 ax＋ by＋ 8＝ 0 与以 A(1，－ 1)为圆心的圆交于B， C 两点，且∠ BAC＝ 120°，那么圆 C 的方程为________ ．5．点 A(3， 3)，B(5， 2)到直线 l 的距离相等，且直线l 经过两直线 l1： 3x－ y－1＝ 0 和 l 2： x＋ y－ 3＝ 0 的交点，求直线 l 的方程．参考答案经典常规题1．【解题思路】点到直线距离公式|Ax0＋By0＋ C| d＝2 2 ．A ＋ B【答案】圆 x2＋ y2－ 2x－8y＋ 13＝ 0 化为标准方程为(x－ 1)2＋ (y－ 4)2＝ 4，故圆心为 (1 ，4)．由题意，得 d＝|a＋4－1|＝1，解得 a＝－4．应选 A．a2＋ 1 32．【解题思路】先求出 A ， B 两点坐标得到，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可【答案】直线分别与轴，轴交于，两点，,那么，点 P 在圆〔〕上，圆心为〔 2， 0〕，那么圆心到直线距离，故点 P 到直线的距离的范围为，那么，故答案选A．点睛：此题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．3．【解题思路】利用弦心距结合勾股定理求弦长列方程求半径．【答案】圆 C 的标准方程为x2＋ (y－ a)2＝ a2＋ 2，圆心为C(0， a)，点C 到直线 y＝ x＋ 2a 的距离为 d＝|0－a＋2a|＝|a|．2 2又由 |AB |＝ 2 3，得2 32|a|22 2 ＝ 2，所以圆 22＋＝ a ＋ 2，解得 a C 的面积为π(a＋ 2)＝ 4π．故填 4π．24．【解题思路】首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长．【答案】根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得，结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为．点睛：该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果．高频易错题1．【解题思路】直线平分圆可知，直线经过圆心，从而可得直线的方程，然后和曲线的方程联立，根据公共点的个数，确定k 的值．【答案】 圆的圆心为 ，所以设直线为．联立 ，得 ．因为恰有一个公共点，所以或者，解得．综上可得， 的值有 3 个，应选 C ．2．【解题思路】 过圆上一点作圆的切线有且只有一条．【答案】 依题意知，点 (3，1) 在圆 (x － 1)2＋ y 2＝ r 2 上，且为切点． ∵ 圆心 (1， 0)与切点 (3，1)连线的斜率为1，所以切线的斜率k ＝－ 2．2故圆的切线方程为 y － 1＝－ 2(x － 3)，即 2x ＋y － 7＝0．应选 B ．3．【解题思路】 待定系数法求圆的方程．【答案】 设圆的一般方程为 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋F ＝ 0，1＋ D ＋ F ＝0，D ＝－ 2，4 3，∴ 3＋ 3E ＋F ＝ 0，∴E 7＋ 2D ＋ 3E ＋F ＝ 0，＝－ 3F ＝ 1，∴△ ABC 外接圆的圆心为2 3 ，1， 3因此圆心到原点的距离 d ＝12＋ 23 2＝ 21 ．应选 B ．3 3 4．【解题思路】 设出 P 点坐标，直接利用向量数量积定义即可． 【答案】 由题意知， →，令 P(x ， y)，－ 1≤ x ≤ 1，AO ＝ (2，0) → → → → 的最大值为 6．故填 6． 那么 AO ·AP ＝ (2， 0) ·(x ＋2， y)＝ 2x ＋4≤ 6，故 AO ·AP 5．【解题思路】 (1) 直线与圆相交，可得 d<r ， (2)利用韦达定理． 【答案】 (1) 由题设，可知直线 l 的方程为 y ＝kx ＋ 1，因为 l 与 C 交于两点，所以|2k － 3＋ 1|4－ 74＋ 72 <1，解得3 <k< ．1＋k3所以 k 的取值范围为4－ 7， 4＋ 7 ．33(2)设 M(x 1，y 1)， N(x 2，y 2)． 将 y ＝ kx ＋ 1 代入方程 (x － 2)2＋ (y － 3)2＝1，整理得 (1＋ k 2) x 2－ 4(1＋k)x ＋7＝ 0．所以 x 1＋x 2＝4〔 1＋ k 〕 ， x 1x 2＝7 2．1＋ k 2 1＋ k→ →24k 〔 1＋ k 〕＋8． OM ·ON ＝x 1 x 2＋ y 1y 2＝ (1＋ k )x 1 x 2＋k( x 1＋ x 2)＋ 1＝21＋ k4k 〔 1＋ k 〕由题设可得1＋k 2＋ 8＝ 12，解得 k ＝ 1， 所以 l 的方程为y ＝x ＋ 1．故圆心 C 在 l 上，所以 |MN|＝ 2．精准预测题1．【解题思路】设 A 〔 x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，由三角函数的定义得：cos α+cos ＝β x 1+x 2，由此利用韦达定理能求 出 cos α+cos β的值．【答案】 设 A 〔 x 1， y 1〕， B 〔x 2，y 2〕，由三角函数的定义得：cos α+cos β＝ x 1+x 2，由，消去y 得： 17x 2﹣ 4x ﹣12＝ 0．那么，即 ．应选D ．2．【解题思路】 利用弦心距结合勾股定理求圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式求 m ．【答案】 ∵ 圆 (x －1) 2＋ y 2＝ 5 的圆心 C(1， 0)，半径 r ＝ 5． 又直线 x － y ＋ m ＝ 0 被圆截得的弦长为 2 3．∴ 圆心 C 到直线的距离 d ＝ r 2－〔 3〕 2＝ 2，|1－0＋ m|2， ∴ m ＝ 1 或 m ＝－ 3．应选 C ．因此 12＋〔－ 1〕 2＝3．【解题思路】设出直线方程，再利用弦心距结合勾股定理求出圆心到直线的距离． 【答案】 易知点 (1， 1)在圆内，且直线l 的斜率 k 存在，那么直线 l 的方程为y － 1＝ k(x － 1)，即 kx － y ＋ 1－ k ＝ 0．又 |AB|＝ 4， r ＝3，∴ 圆心 (2， 3)到 l 的距离 d ＝ 32－ 22＝ 5．因此|k － 2|＝ 5，解得 k ＝－ 1．k 2＋〔－ 1〕 2 2∴直线 l 的方程为x ＋ 2y － 3＝ 0．故填 x ＋2y － 3＝ 0．4．【解题思路】 求出圆心到直线的距离，再根据三角函数求半径．100 ＝ a＝ b， ∴ a ＝40， b ＝24，【答案】 由题意， 2 500 1 000600∴ 直线 ax ＋ by ＋8＝ 0，即 5x ＋ 3y ＋ 1＝0， A(1，－ 1)到直线的距离为|5－3＋1|＝ 3 ，25＋ 9 34∵ 直线 ax ＋ by ＋8＝ 0 与以 A(1，－ 1)为圆心的圆交于 B ，C 两点，且 ∠BAC ＝ 120°， ∴r ＝ 6 ，34 ∴ 圆 C 的方程为 (x － 1)2＋ (y ＋ 1)2＝18．故填 (x － 1)2＋ (y ＋ 1)2＝18．17 175．【解题思路】联立方程组求出交点坐标，两点到直线距离相等可能在同侧，也可能在两侧．3x － y － 1＝ 0，【答案】 解方程组 得交点 P(1， 2)．x ＋y － 3＝ 0，3－21①假设点 A ， B 在直线 l 的同侧，那么 l ∥AB ．而 k AB ＝ 3－5 ＝－2，由点斜式得直线 l 的方程为 y － 2＝－ 1(x －1) ，即 x ＋ 2y －5＝ 0．2②假设点 A ， B 分别在直线 l 的异侧，那么直线 l 经过线段 AB 的中点54， 2 ，5－2y － 22由两点式得直线l 的方程为＝，即 x － 6y ＋ 11＝ 0．综上所述，直线l 的方程为x ＋ 2y － 5＝ 0 或 x － 6y ＋11＝ 0．2020届高考数学二轮复习专题四第1讲直线与圆Word版含11 / 11。
2020届高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第1讲直线与圆专题强化练理
第1讲 直线与圆A 级 基础通关一、选择题1．已知直线l ：x cos α＋y sin α＝1(α∈R)与圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相交，则r 的取值范围是( )A ．0＜r ≤1B ．0＜r ＜1C ．r ≥1D ．r ＞1解析：圆心到直线的距离为d ＝1cos 2α＋sin 2α＝1，故r ＞1. 答案：D2．已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要解析：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m 2＝0⇔m ＝±1，所以命题p 是命题q 的充分不必要条件． 答案：A3．(2019·广东湛江一模)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72，若直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m ＝( )A ．2或10B ．4或8C ．4或6D ．2或4解析：圆C ：(x －3)2＋(y －3)3＝72的圆心C 的坐标为(3，3)，半径r ＝62， 因为直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点， 所以圆心到直线的距离为22，则有d ＝|6－m |1＋1＝22，解得m ＝2或m ＝10.答案：A4．直线ax －by ＝0与圆x 2＋y 2－ax ＋by ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不能确定解析：圆的方程化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24.所以圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22.所以圆心到直线ax －by ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 22＋b 22a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r .所以直线与圆相切． 答案：B5．(2019·安徽十校联考)过点P (2，1)作直线l 与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋a ＝0交于A ，B 两点，若P 为弦AB 中点，则直线l 的方程( )A ．y ＝－x ＋3B ．y ＝2x －3C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝x －1解析：圆C 的标准方程(x －1)2＋(y －2)2＝5－a ，知圆心C (1，2)，因为P (2，1)是弦AB 的中点，则PC ⊥l .所以k CP ＝1－22－1＝－1，所以直线l 的斜率k ＝1.故直线l 的方程为y －1＝x －2，即y ＝x －1. 答案：D6．(2019·广东天河一模)已知圆C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0，直线l ：kx －y ＋2－2k ＝0与圆C 交于A ，B 两点，则当△ABC 面积最大时，直线l 的斜率k 为( )A ．1B ．6C ．1或7D ．2或6解析：由x 2－2x ＋y 2＝0，得(x －1)2＋y 2＝1，则圆的半径r ＝1，圆心C (1，0)， 直线l ：kx －y ＋2－2k ＝0与圆C 交于A ，B 两点， 当CA 与CB 垂直时，△ABC 面积最大，此时△ABC 为等腰直角三角形，圆心C 到直线AB 的距离d ＝22， 则有|2－k |1＋k2＝22，解得k ＝1或k ＝7. 答案：C 二、填空题7．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析：由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆． 答案：(－2，－4) 58．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0)．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32.r 2＝254.所以该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2549．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为_____________________________________________________．解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心C (－1，a )(a ＞0)，则A (0，a )．又F (1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a )．由题意知AC →与AF →的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝ 3. 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1. 答案：(x ＋1)2＋(y －3)2＝110．(2019·河北衡水二模)已知直线l 1过点P (3，0)，直线l 1与l 2关于x 轴对称，且l 2过圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心，则圆心C 到直线l 1的距离为________．解析：由题意可知，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 所以C (1，1)，则l 2的斜率k CP ＝1－01－3＝－12，因为l 1与l 2关于x 轴对称，所以直线l 1的斜率k ＝12，所以l 1：y ＝12(x －3)，即x －2y －3＝0，所以圆心C 到直线l 1的距离d ＝|1－2－3|1＋4＝455.答案：455B 级 能力提升11．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．解析：设A (a ，2a )，则a >0.又B (5，0)，故以AB 为直径的圆的方程为(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0. 由题意知C (a ＋52，a )．由⎩⎪⎨⎪⎧（x －5）（x －a ）＋y （y －2a ）＝0，y ＝2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2a .所以D (1，2)． 又AB →·CD →＝0，AB →＝(5－a ，－2a )，CD →＝(1－a ＋52，2－a )，所以(5－a ，－2a )·(1－a ＋52，2－a )＝52a 2－5a －152＝0， 解得a ＝3或a ＝－1. 又a >0，所以a ＝3. 答案：312.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程． 解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切， 所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0， 从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，又|MC |2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22，即25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.。
2020高考数学理科二轮复习导学案 直线与圆专题 Word版含解析
直线与圆考向一：直线与圆的位置关系1、设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，d 为圆心(a ，b )到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.2、（1）求过圆上的一点(x 0，y 0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y ＝y 0；若k ＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x 0；若k 存在且k ≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－1k ，由点斜式可写出切线方程．（2）求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的两种方法(1)几何法：直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆C 的半径为r ，则|AB |＝2r 2－d 2.(2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ 1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋1k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)1、［2016•全国Ⅱ，4］圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －4)2＝4，则圆心坐标为(1，4)，圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43. 故选A.2、【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长 是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________， r =___________．【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===3、直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]解析 ∵直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，∴A (－2,0)，B (0，－2)，则|AB |＝2 2.点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，圆心为(2,0)，∴圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d 1＝|2＋0＋2|2＝22，故点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离d 2的范围为[2，32]，则S △ABP ＝12|AB |d 2＝2d 2∈[2,6]，故选A.4、［2016•全国Ⅲ，16］已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.解析 由题意可知直线l 过定点(－3，3)，该定点在圆x 2＋y 2＝12上，不妨设点A (－3，3)，由于|AB |＝23，r ＝23，所以圆心到直线AB 的距离为d ＝(23)2－(3)2＝3，又由点到直线的距离公式可得d ＝|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33，所以直线l 的斜率k ＝－m ＝33，即直线l 的倾斜角为30°.如图，过点C 作CH ⊥BD ，垂足为H ，所以|CH |＝23，在Rt △CHD 中，∠HCD ＝30°，所以|CD |＝23cos30°＝4.5、［2017•江苏卷，13］在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若P A →·PB→≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．答案 [－52，1]设P (x ，y )，则P A →＝(－12－x ，－y )，PB→＝(－x ，6－y )． ∵P A →·PB →≤20，∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20，即2x －y ＋5≤0.如图，作圆O ：x 2＋y 2＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点，∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0，∴点P 在EDF 上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5＝0得F 点的横坐标为1. 又D 点的横坐标为－52，∴P 点的横坐标的取值范围为[－52，1]．考向二：圆的方程综合问题1、［2018•全国Ⅱ，19］(本小题满分12分)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解 (1)由题意，得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此，l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)，得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧ y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝11，y 0＝－6. 因此，所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.2、［2017•全国Ⅲ，20］已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程．解 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB ，故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4，故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP→＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0，即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0.由(1)可知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12. 当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854， 圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.。
2020版高考数学二轮复习 解析几何 第1讲 直线与圆练典型习题 (含解析)
第1讲 直线与圆一、选择题1．已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 解析：选C.直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33（x ＋2），y ＝－3（x －2），解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．2．圆C 与x 轴相切于T (1，0)，与y 轴正半轴交于A 、B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4解析：选A.由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A.3．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B.圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，M (0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，所以两圆的圆心距为2，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．4．(多选)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是( )A ．0<m <1B ．m <1C ．－2<m <1D ．－3<m <1解析：选AC.圆x 2＋y 2－2x －1＝0的圆心为(1，0)，半径为 2.因为直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d ＝|1＋m |1＋1<2，所以|1＋m |<2，解得－3<m <1，求其充分不必要条件，即求其真子集，故由选项易得AC 符合，故选AC.5．在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )A ．102B ．10C ．5D ．10解析：选D.由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，因为过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以MP ⊥MQ ，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D.6．(一题多解)(2019·潍坊模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选C.法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x 2＋y 2＝4得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)>0，y 1＋y 2＝2k k 2＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1，因为OM →＝OA →＋OB →，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2＋1，2k k 2＋1，又点M 在圆C 上，故4（k 2＋1）2＋4k 2（k 2＋1）2＝4，解得k ＝0.法二：由直线与圆相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，且点M 在圆C 上，得圆心C (0，0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d ＝11＋k2＝1，解得k ＝0.二、填空题7．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1， 所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22， 于是sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝222＝12，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33. 答案：－338．已知圆O ：x 2＋y 2＝4到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数a 的取值范围为________．解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆O 到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)．答案：(－32，32)9．(2019·高考浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________．解析：法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－（－2）×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5. 答案：－2 5三、解答题10．已知点M (－1，0)，N (1，0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )， 由题意得（x ＋1）2＋y 2＝3·（x －1）2＋y 2， 整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求．(2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0)．设曲线E 的圆心为E ，则E (2，0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.设直线CD ：y ＝－x ＋t ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22，由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3，|EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＝3－（t －2）22，整理得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3， 所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x －x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2（x －x 22），又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m2，－12)，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－（m2）2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．12．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)因为圆心在直线l ：y ＝2x －4上，也在直线y ＝x －1上，所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1，得圆心C (3，2)，又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1，又因为点A (0，3)，显然过点A ，圆C 的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，所以|3k －2＋3|k 2＋12＝1，解得k ＝0或k ＝－34，所以所求切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y －3＝0或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上， 所以设圆心C 为(a ，2a －4)， 又因为圆C 的半径为1，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1. 设M (x ，y )，又因为|MA |＝2|MO |，则有x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D ，所以点M 既在圆C 上，又在圆D 上，即圆C 与圆D 有交点，所以2－1≤a 2＋（2a －4＋1）2≤2＋1，解得0≤a ≤125，所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.。
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解析：解法一 设直线l的斜率为k(k<0)，则直线l的方程为y－3＝k(x－1)．x＝0时，y＝3－k；y＝0时，x＝1－ .所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积S＝ ×(3－k) ＝6，整理得k2＋6k＋9＝0，解得k＝－3，所以直线l的方程为y－3＝－3(x－1)，即3x＋y－6＝0，故选A.
解析：当直线过原点时，直线斜率为 ＝ ，故直线方程为y＝ x，即3x－2y＝0.当直线不过原点时，设直线方程为 ＋ ＝1，把(2,3)代入可得a＝－1，故直线的方程为x－y＋1＝0.综上，所求直线方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.
答案：3x－2y＝0或x－y＋1＝0
14．[2019·天津七校联考]已知M(0,2)，N(2，－2)，以线段MN为直径的圆的标准方程为________________．
2020
1．[2019·山东平度一中月考]若直线l1：ax－y＋1＝0与直线l2：2x－2y－1＝0的倾斜角相等，则实数a＝()
A．－1B．1
C．－2D．2
解析：由题意可得两直线平行，∴－2×a－(－1)×2＝0，∴a＝1.故选B.
答案：B
2．[2019·安徽六安一中四模]直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝()
答案：B
10．[2019·湖南长沙一模]圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是()
A．1＋ B．2
C．1＋ D．2＋2
解析：将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝ ＝ ，故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为d＋1＝ ＋1，故选A.
C．x2＋y2－4x＝0D．x2＋y2＋2x－3＝0
解析：由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则 ＝2，解得m＝2或m＝－ (舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.
答案：C
7．[2019·山东济宁期末]已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝9，过点M(1,1)的直线l与圆C交于A，B两点，当弦长AB最短时，直线l的方程为()
答案：A
11．[2019·湖南师大附中月考]点P(a,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离等于4，且在2x＋y－3<0表示的平面区域内，则a的值为()
A．3B．7
C．－3 D．－7
解析：由题意可得 解得a＝－3，故选C.
答案：C
12．[2019·河南南阳期末]已知点M(－1,0)，N(1,0)．若直线3x－4y＋m＝0上存在点P满足 · ＝0，则实数m的取值范围是()
答案：D
8．[2019·江西吉安五校联考]若直线mx＋2ny－4＝0(m，n∈R，n≠m)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0，则mn的取值范围是()
A．(0,1)B．(－1,0)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
解析：x2＋y2－4x－2y－4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，∵直线mx＋2ny－4＝0(m，n∈R，m≠n)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0，∴圆心(2,1)在直线mx＋2ny－4＝0上，得m＋n＝2，n＝2－m，∴mn＝m(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1，∵m≠n，∴m≠1，∴mn<1.故选C.
A．2x－y－1＝0B．x＋2y－8＝0
C．2x－y＋1＝0D．x＋2y－3＝0
解析：根据题意，圆C的圆心C(2,3)，半径r＝3.当CM与AB垂直时，即M为AB的中点时，弦长AB最短，此时CM的斜率kCM＝ ＝2，则AB的斜率kAB＝－ ，所以直线AB的方程为y－1＝－ (x－1)，即x＋2y－3＝0，故选D.
C．2x＋y＋1＝0D．2x＋y－1＝0
解析：设所求直线的方程为2x－y＋a＝0，将(0,1)代入直线方程，得－1＋a＝0，所以a＝1，故所求直线方程为2x－y＋1＝0.故选B.
答案：B
4．[2019·湖南衡阳八中月考]已知直线l的倾斜角为θ且过点( ，1)，其中sin ＝ ，则直线l的方程为()
A. x－y－2＝0B. x＋y－4＝0
A．－2B．－4
C．－6D．－8
解析：由题意可得，－ × ＝－1，a＋4c－2＝0，2－5c＋b＝0，解得a＝10，c＝－2，b＝－12.∴a＋b＋c＝－4.故选B.
答案：B
3．[2019·天津七校联考]经过点(0,1)与直线2x－y＋2＝0平行的直线方程是()
A．2x－y－1＝0B．2x－y＋1＝0
解法二 依题意，设直线方程为 ＋ ＝1(a>0，b>0)，则可得 ＋ ＝1且ab＝12，解得a＝2，b＝6，则直线l的方程为 ＋ ＝1，即3x＋y－6＝0，故选A.
答案：A
6．[2019·河北九校联考]圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()
A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0
答案：C
9．[2019·湖南雅礼中学月考]若圆x2＋y2－6x－2y＋6＝0上有且仅有三个点到直线ax－y＋1＝0(a是实数)的距离为1，则a＝()
A．±1B．±
C．± D．±
解析：由题意知圆心为(3,1)，半径是2，因为圆上有且仅有三个点到直线ax－y＋1＝0的距离为1，所以圆心到直线ax－y＋1＝0的距离是1，即 ＝1，得a＝± ，故选B.
解析：由题意易得圆－1)2＋y2＝5.
答案：(x－1)2＋y2＝5
15．[2019·山东实验中学质量检测]过直线l：x＋y＋1＝0上一点P作圆C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB的面积为3，则点P的横坐标为________．
解析：圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C的坐标为(2,1)，半径为1.因为四边形PACB的面积为3，所以|PA|·1＝3.连接PC，在直角三角形PAC中，由勾股定理可得，|PC|＝ ＝ .设P(a，－a－1)，则 ＝ ，解得a＝－1或a＝1.
答案：－1或1
16．[2019·北京大兴区期末]直线l：y＝kx＋k与圆C：(x－1)2＋y2＝1交于A，B两点，当△ABC的面积最大时，k的值为________．
解析：圆C的圆心C(1,0)，半径r＝1，设圆心C到直线的距离为d，则△ABC的面积S＝ ×d×2× ＝ ≤ ＝ ，当且仅当d2＝ ，即d＝ 时，△ABC的面积最大，此时d＝ ＝ ，解得k＝± .
答案：±
C．x－ y＝0D. x＋3y－6＝0
解析：∵sin ＝ ，∴cosθ＝－ ，θ＝ ，则tanθ＝－ ，直线的方程为y－1＝－ (x－ )，即 x＋y－4＝0，故选B.
答案：B
5．[2019·安徽四校联考]直线l经过点(1,3)且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则直线l的方程是()
A．3x＋y－6＝0B．3x－y＝0
A．(－∞，－5]∪[5，＋∞) B．(－∞，－25]∪[25，＋∞)
C．[－25,25]D．[－5,5]
解析：由题意知，此题可转化为求直线3x－4y＋m＝0与圆x2＋y2＝1有交点时m的取值范围，则 ≤1，解得－5≤m≤5，故m的取值范围是[－5,5]．
答案：D
13．[2019·贵州遵义四中月考]过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．