最新南充高中自主招生考试数学试题
四川省南充高级中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题
四川省南充高级中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题一、单选题1．复数2的实部是（ ）A ．2 BC ．2D ．02．已知{}2,4,5,{|3}A B x x ==≥，则A B =I （ ）A ．{5}B ．{4,5}C ．{3,4,5}D ．{2,3,4,5} 3．已知x y z >>，0x y z ++=，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．xy yz >B ．xy xz >C ．xz yz >D ．||||x y y z >4．已知函数()()2log 2,02,0x x x f x k x ⎧-<=⎨-≥⎩，若()()23f f -=，则k =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．25．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足1x ∀，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，且()()()f x y f x f y =+，2(4)3f =，则不等式(2)(3)1f x f x -->的解集为（ ）.A ．(0,4)B ．(0,)+∞C ．(3,4)D ．(2,3)6．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．87．函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2ϕπ<）的部分图象如图所示，则π2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）.A．B．C．D ．1-8．已知4AB =，π4ABC ∠=，点C 为动点，点P 为线段BC 上的点且满足2BP PC =u u u r u u u r ，当A P B P ⋅u r u r 取最小值时，ABC V 的外接圆的面积为（ ）.A ．πB ．3πC ．4πD ．5π二、多选题9．如图，在三棱锥P EDF -的平面展开图中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，正方形ABCD 的边长为2，则在三棱锥P EDF -中（ ）A ．PEF !的面积为12B ．PD EF ⊥C ．平面PEF ⊥平面DEFD ．三棱锥P EDF -的体积为1310．在ABC V 中，下列结论正确的是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC V 为等腰三角形B ．若sin cos B A =，则ABC V 是直角三角形C ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC V 是钝角三角形D ．若cos cos cos 222ab c ABC ==，则ABC V 是等边三角形11．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.下列说法正确的是（ ）A ．沙漏中的细沙体积为31024πcm 81B ．沙漏的体积是3128πcmC ．细沙全部漏入下部后，此锥形沙堆的高度约为2.37cmD ．该沙漏的一个沙时大约是1985秒（π 3.14≈）三、填空题12．已知向量(3,2),(1,)m m =-=r r a b ， 若a b ⊥v v ， 则m =. 13．某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级中抽取的人数比为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1200人，并从中抽取了40人，则从高一年级中抽取人．14．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 单调递减，则不等式()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为.四、解答题15．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E .DF AB P 且交AC 于点F ，(1)求|2|BE DF +u u u r u u u r 的值(2)求()DE DF DA +⋅u u u r u u u r u u u r 的最小值.16．某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标价（单位：cm ），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据；记抽取的第i 个女生的身高为i x （1i =，2，3，…，10），样本平均数160x =，方差215=s .3.9，215925281=，216928561=.(1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在[]160,165范围内的人数；(2)用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数μ和标准差σ，求μ，σ的值；(3)如果女生样本数据在()2,2x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.17．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，60D ∠=︒．(1)若3AC =，求ACD V 周长的最大值；(2)若2CD AB =，75BCD ∠=︒，求tan DAC ∠的值．18．已知定义在[]4,4-上的奇函数()f x ，当[]4,0x ∈-时，()143x x a f x =+． (1)求函数()f x 的解析式；(2)若[]2,1x ∃∈--，使得不等式()1123x x m f x -≤-成立，求实数m 的取值范围． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，AB AD ⊥，PA PD =，1AB =，2AD =，AC CD =(1)求证：PD 平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在点M，使得//BM平面PCD?若存在，求出AMAP的值；若不存在，请说明理由.。
南充高级中学2022年面向省内外自主招生考试(数学试卷)
南充高级中学2022年面向省内外自主招生考试数 学 试 卷（时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（填空题、选择题）一、填空题（每小题6分，共84分，请将你的答案填到答题卷的相应位置处）） 1、已知3,1,a b ab +==-则33a b += 2、若210x x +-=则3223x x x +-=3、若0,0,x xy <<则15y x x y -+---=4、123202220222022321++++++++++等于 的平方5、在有理数范围内分解因式：(3)(1)(2)(4)24x x x x --+++=6、甲、乙、丙三名学生分20支相同的铅笔，每人至少1支，则不同的分配方法有 种7、已知a 、b 、2分别为三角形三边的边长，且a 、b 为方程22(341)(345)12x x x x ----=的根（a 、b 可以相等），则三角形的周长为8、一动点P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位、后退3个单位的程序运动.已知动点P 每秒前进或者后退1个单位,设nx表示第n 秒时点P 在数轴的位置所对应的数（如4564,5,4x x x ===）.则2022x=9、关于x 的方程2231x x k -+=有四个相异的实数根，则k 的取值范围是 10、ABC ∆中，90,7,24.B AB BC ∠===ABC ∆内部有一点P 到各边的距离相等，则这个距离为11、某中学派41名学生参加南充市中学生田径运动会，其中得金牌的12人，得银牌的5人，得铜牌的8人，同时得金、银牌的2人，同时得金、铜牌的6人，同时得银、铜牌的3人，同时得金、银、铜牌的1人，那末这所中学派出的学生中没有得奖牌的有 人.12、已知直线AB 的方程为：y kx m =+经过点(,),(,8)(0,0).A a a B b b a b >>当b a是整数时，满足条件的k =13、如图，在梯形ABCD 中，//,3,9,6, 4.AD BC AD BC AB CD ====若//,EF BC 且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，则EF 的长为14、若[]x 表示不超过实数x 的最大整数，例如[][]3.13, 3.14=-=-，则方程：[]23x x -=的解为二、选择题（每小题5分，共20分, 下列各题惟独一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置）15、当式子1231999x x x x -+-+-++-取得最小值时,实数x的值是（ ）A．1 B．999 C．1000 D．1999 16、计算441113231323-+++-+2423=+（ ）A．1 B．-1 C．2 D．-217、已知21(01).18x x x x =<<++则1x x-的值为（ ） A．7- B．7 C．5- D．5BA．CDE F （13题图）BA ．CD E（18题图）18、如图，过ABC ∆的顶点A 分别作对边BC 上的高AD 和中线AE ，D 为垂足，E 为BC的中点，规定,A DEBEλ=特殊地，当点D 与E 重合时，规定0A λ=.对B λ、C λ作类似的规定.给出下列结论:①若90,30,C A ∠=∠=则11,.2A C λλ==②若1,Aλ=则ABC ∆为直角三角形.③若1,Aλ>则ABC ∆为钝角三角形；若1,Aλ<则ABC ∆为锐角三角形.④若0,ABCλλλ===则ABC ∆为等边三角形.其中,正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷（答题卷）一、填空题答案：（每小题6分，共84分）1．_________________ 2．________________ 3．______________________ 4．__________________ 5．__________________ 6．______________________ 7．__________________ 8．_________________ 9．______________________ 10．__________________ 11．__________________ 12．______________________ 13．__________________ 14．___________________ 二、选择题答案：（每小题5分，共20分）三、解答题（共46分）19、（10分）如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，且3.OB OC OA ==直线113y x =-+过点B 且与y 轴交于点D ，E 为抛物线顶点.若,,DBC CBE αβ∠=∠=（1）求抛物线对应的方程；（2）求αβ-的值.题号 15 16 17 18 答案OABCDExy(19题图)20、（10分）已知：AB 是⊙O 的直径，C 是AB 上一点，,PC AB ⊥交⊙O 于F ，PDE 是割线，交⊙O 于D 、E .求证: 2PC PD PE AC CB =⋅+⋅ABCPDＥO·（20题图）F21、（12分）若关于x 的方程221122k x kx x x x x-+-=++惟独一个解（相等的解也算作一个），求k 的值.22、（14分）已知抛物线23y x x c =++过两点(,0)m 、(,0)n 且323(2)28,m m c m n c ++---=抛物线与双曲线ky x=的交点为(1,)d .(1)求抛物线与双曲线的解析式；（2）已知点122022,,,P P P 都在双曲线(0)ky x x =>上，它们的横坐标分别为,2,,2022,a a a O 为坐标原点，记121314123,,,PP O PPO PP O S SS SS S∆∆∆===点Q 在双曲线(0)ky x x=<上，过Q 作QM y ⊥轴于M ，记QMO S S ∆=.求122022232022S S SS S S +++++++的值.南充高中2022年面向省内外自主招生考试数学试卷答案二、填空题答案：1． 36 2. 1 3． -4 4． 2022 5．2(2)(3)(8)x x x x -++- 6． 171 7．163或者2038． 506 9．02k << 10． 3 11． 26 12． 9或者15 13． 395 14、 5二、选择题答案：题号 15 16 17 18 答案CDCＣ三、解答题、19、（1）解：易知，(0,1),(0,3),(1,0),(3,0).D C A B --则(1)(3) 1.y a x x a =+-⇒= 从而抛物线对应的解析式为223y x x =-- （４分）（2）解：由（1）可知(1,4)E -于是32,2,2 5.BC CE BE ===222,.BC CEBE BCE +=∴∆为直角三角形////////////////////////////////////////////////////////// 线 封 密故11tan .tan ,33.CE OD DBO CB OB DBO ββ==∠==∠=又则 DBO OBC 45.αβα-=-∠=∠=故 （１０分）20、证明：延长ＰＣ交⊙O 于Ｇ，由割线定理，得2PD PE=PFPG.,AC CB CF CG AB FG,CF=CGAC CB=CF.PD PE=PFPG ⋅⋅⋅⋅⊥∴∴⋅∴⋅⋅由相交弦定理得=直径222222.PC CF PD PE AC CB PC CF CF PC -∴⋅+⋅=-+==（－CF)(PC+CG)=(PC-CF)(PC+CF)=PC即 2PC PD PE AC CB =⋅+⋅ （１０分） 21、解：原分式方程可化为2210.0,2)kx x x x ++=≠≠-（ ①（1）当10.2k x ==-时，是分式方程的一个解 （4分） （2）当20401,1.k k k x ≠∆-===-时，=2时，是分式方程的一个解 （8分） （3）当00k ≠∆>时，时，方程 ①的两个根一个是分式方程的增根，另一个是分式方程的根.当2x =-是分式方程的增根时,代人方程①得23(2)2(2)104k k -+⨯-+=⇒=.此时, 方程①的另一个根23x =-是分式方程的一个解；当0x =是分式方程的增根时,代人方程①得202222k ⨯+⨯+=不可能成立.故301.4k 的取值为或者或者 （12分）22、解：依题意有22(3)2()8303m m m c m n c m m c m n ⎧++-+-=⎪++=⎨⎪+=-⎩2c ⇒=-232y x x ∴=+-抛物线的解析式为 （2分） 21,),1312,221d d d k k d ⎧=+⨯-=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩因为抛物线与双曲线的交点为（于是2.x所以，双曲线的解析式为y= （4分） （２）解：112P (1,2,,2022)n n x +=点P 、都在双曲线y=(x>0)上, 且横坐标分别为1122,1),(1)n a n a P a n a+++（所以，点、P的纵坐标分别为、 过点11111n+111//,//B .n n n P a x b y x a +++作直线轴交y 轴于A过P 作直线轴交轴于、交于C 则[]1121212122(1)(1)(1)22(1)2(1)n n PP O S S n a a n a n a a a a n a a n a +⎡⎤==+--+-+--⎢⎥++⎣⎦=.1n n n ++ （8分） 设111(,)(0)Q x y x <则112y x = 于是11112QMO S S x y ∆=== （10分）122022232022122022111(1)(2)(2022)23202223202212202212022(12022)202220222S SSS S S +++++++=++++++++++=++++⨯+⨯=+故 2025077=（14分）。
【新】2019-2020四川南充高级中学初升高自主招生数学【4套】模拟试卷【含解析】
第一套：满分120分2020-2021年四川南充高级中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共6小题，满分42分）1. （7分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是【 】A. B. C. D.2. （7分）在平面直角坐标系中，任意两点规定运算：①；②；③当x 1= x 2且y 1=y 2时，A =B.有下列四个命题：（1）若A (1，2)，B (2，–1)，则，； （2）若，则A =C ； （3）若，则A =C ；()()1122,,，A x y B x y ()1212,⊕=++A B x x y y 1212=⊗+A B x x y y (),31⊕= A B 0=⊗A B ⊕=⊕A B B C =⊗⊗A B B C（4）对任意点A 、B 、C ，均有成立. 其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3．（7分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2=CE •AB ．正确结论序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 4. （7分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①；②当点E 与点B 重合时，；③；④MG •MH =，其中正确结论为（ ）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④ 5.（7分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（ ）A. 4，2，1B. 2，1，4C. 1，4，2D. 2，4，1 6. （7分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 2AB =12MH =AF BE EF +=12作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为（ ）A.B. C. D.二．填空题（每小题6分，满分30分）7.（6分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 . 8.（6分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线3y x =相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ．9.（6分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB=60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k y x=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´．（1）当点O ´与点A 重合时，点P 的坐标是 ；（2）设P （t ，0），当O ´B ´与双曲线有交点时，t 的取值范围是 ．1339241332510.（6分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反 比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 ．11.（6分）如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，则BN= ．三．解答题（每小题12分，满分48分）12.（12分）先化简，再求值：， 其中.13.（12分）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数的图象上．（1）求m ，k 的值；32221052422x x x x x x x x --÷++--+-2022(tan 45cos30)21x =-+︒-︒-xky =xO yAB （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式． （3）将线段AB 沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA 上，当线段与轴有交点时,则b 的取值范围为 （直接写出答案）14.（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，DE 是⊙O 的切线，连接DE ．（1）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，证明：四边形OECD 是平行四边形； （2）若=n ，求tan ∠ACO 的值b kx y +=11B A 1A 11B A x OFCF15.（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。
南充高中2022年6月22日面向省内外自主招生考试数学试卷
南充高中2022年面向省内外自主招生考试数 学 试 卷〔时间：120分钟 总分值：200分〕一、填空题〔每题8分，共112分〕1、x 满足2232121x x x x --=+-,那么22x x +=2、已假设22(1)0m n ++-=，那么2m n +的值是3、设抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，假设ABC ∆是直角三角形，那么ac=___________________4、(1)1n n a =-+，当1n =时，10a =，当2n =时22a =，当3n =时30a=那么1232008......a a a a ++++=5、sin cos αα<，那么锐角α的取值范围是6、直角三角形ABC 中，090C ∠=且tan 2tan 1B A =-，那么B ∠＝7、一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表： 那么an ＝〔用含n 的代数式表示〕．8、关于,x y 的二元一次方程组2438x y m x y m +=⎧⎨-=+⎩的解满足3x y m +=，那么m ＝9、设21x x 、是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实根，那么2221x x +的最小值为10、从3台甲型彩电和2台乙型彩电任选2台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是11、对于正数x ，规定()1xf x x=+，计算 12、在ABC Rt ∆中，090,3,4C AC BC ∠===，假设以C 点为圆心，r 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，那么r 的取值范围为 13、假设1ab =，那么221111a b+++的值是 14、如图AB 与圆O 相切于A ，D 是圆O 内一点，DB 与圆相交于C .3BC DC ==，2OD =，6AB =，那么圆的半径为二、选择题〔每题6分，共24分〕15、一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形 的三边作无滑动旋转，直至回到原出发位置时，那么这个圆共转了〔〕A ．4圈B ．3圈C ．5圈D ．3.5圈16、如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长， 那么实数m 的取值范围是〔〕A. 10≤≤mB.43≥mC.143≤≤mD.143≤<m17、解关于x 的方程2111x k x x x x -=--+不会产生增根，那么k 的值是〔〕 A.2 B.1 C.不为2或－2 D.无法确定B18、AB 、AC 与⊙O 相切于B 、C ，050A ∠=，点P 是异于B 、C 的一个动点，那么BPC ∠的度数是〔〕A ．065 B ．0115 C ．065或0115 D ．0130或050三、解答题〔共64分〕 19、〔10分〕先化简，再求值：11a b a b ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭÷222b a ab b -+，其中21+=a ，21-=b ． 20、〔12分〕如图，EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和FH 所夹的锐角为θ，且BEG ∠与CFH ∠都是锐角，EG=a ，FH=b ，四边 形EFGH 的面积为S.（1） 求证：abS 2sin =θ ；（2） 试用a,b,S 来表示正方形ABCD 的面积.条21、〔12分〕抛物线的解析式2y ax bx c =++，满足四个件：0abc =，3a b c ++=，4ab bc ca ++=-，a b c <<； 〔1〕求抛物线解析式；〔2〕设该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B 〔A 在B 的左边〕，与y 轴的交点为C ，P 为抛物线上第一象限内的点，AP 交y 轴于点D ，OD ＝1.5，试比较S △AOD 与S △DPC 的大小。
四川省南充2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题含解析
南充高中高2023级高二上学期入学考试数学试题（答案在最后）（考试时间：120分钟，满分：150分）考试范围：必修第一册、必修第二册一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数2的实部是（）A.2 B.C.2D.0【答案】A 【解析】【分析】根据复数的定义，可得答案.【详解】由题意，可得复数2的实部是2，故选：A.2.已知{}2,4,5,{|3}A B x x ==≥，则A B = （）A.{5} B.{4,5}C.{3,4,5}D.{2,3,4,5}【答案】B 【解析】【分析】根据交集的定义，求出集合,A B 的交集即可.【详解】∵{}2,4,5,{|3}A B x x ==≥，∴A B = {4,5}.故选：B.3.已知x y z >>，0x y z ++=，则下列不等式一定成立的是（）A.xy yz> B.xy xz > C.xz yz> D.||||x y y z>【答案】B 【解析】【分析】由0x y z ++=，且x y z >>，可得0,0x z ><，y 正负不确定.取特值可得AD 错误；根据不等式的基本性质可判定BC 项.【详解】因为x y z >>，0x y z ++=，则303x x y z z >++=>，所以0x >，0z <.AD 选项，令2,0,2x y z ===-，满足条件x y z >>，0x y z ++=，但0xy yz ==，则0x y z y ==，故AD 错误；B 选项，由,0y z x >>，则xy xz >，故B 正确；C 选项，由,0x y z ><，则xz yz <，故C 错误.故选：B.4.已知函数()()2log 2,02,0xx x f x k x ⎧-<=⎨-≥⎩，若()()23ff -=，则k =（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据()22f -=，利用()()()223ff f -==可构造方程求得结果.【详解】()22log 42f -== ，()()()222243f f f k k ∴-==-=-=，解得：1k =.故选：C.5.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足1x ∀，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，且()()()f xy f x f y =+，2(4)3f =，则不等式(2)(3)1f x f x -->的解集为（）.A.(0,4) B.(0,)+∞ C.(3,4)D.(2,3)【答案】C 【解析】【分析】先根据()()()f xy f x f y =+以及2(4)3f =求出()81f =，再根据函数的单调性以及定义域即可求解.【详解】解：()()()f xy f x f y =+ ()()()2(4)22223f f f f ∴=⨯=+=，即()123f =，()()()()()18424232313f f f f f =⨯=+==⨯= ，(2)(3)1f x f x ∴-->，可转化为：()(2)(3)8f x f x f -->，即()(2)8(3)f x f f x >+-，即()()(2)83824f x f x f x >⨯-=-⎡⎤⎣⎦，()f x 满足1x ∀，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，()f x \在()0,∞+上单调递增，即20302824x x x x >⎧⎪->⎨⎪>-⎩，解得：34x <<，即不等式(2)(3)1f x f x -->的解集为：()34，.故选：C .6.已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】由()11a xa y x y a x y y x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要()1a x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭的最小值大于等于9即可，000x y a >>> ，，，()111a xa yx y a a x y y x ⎛⎫∴++=+++≥++ ⎪⎝⎭，当且仅当xa yy x =即=y时等号成立，19a ∴+≥，2≥或4(≤-舍去)，即4a ≥所以正实数a 的最小值为4.故选：B .【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.7.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2ϕπ<）的部分图象如图所示，则π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）.A.2-B.2-C.2-D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据图像，先求出A ，再求出ω，然后得到7π7π())1212f ϕ=⨯+=进而求出π3ϕ=，最后，直接求函数值即可.【详解】由图得，A =，7πππ41234T =-=，2ππT ω∴==，得2ω=，所以，())f x x ϕ=+，则7π7π()1212f ϕ=⨯+=，得7ππ2π,Z 62k k ϕ+=-+∈，由||2ϕπ<得，π3ϕ=，则π())3f x x =+，所以，πππ6)2332f ⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭.故选：A.8.已知4AB =，π4ABC ∠=，点C 为动点，点P 为线段BC 上的点且满足2BP PC = ，当AP BP ⋅ 取最小值时，ABC V 的外接圆的面积为（）.A.πB.3πC.4πD.5π【答案】D 【解析】【分析】以B 为坐标原点，BA 所在的直线为x 轴，过点B 垂直于BA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设(),P x x ，则()4,AP x x =- ，(),BP x x =，由数量积计算分析即可得点P 坐标，从而得到点C 的坐标，然后求出AC ，利用正弦定理求解外接圆半径求解面积即可.【详解】以B 为坐标原点，BA 所在的直线为x 轴，过点B 垂直于BA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()4,0A ，∵π4ABC ∠=，∴BC 所在的直线为y x =，设(),P x x ，则()4,AP x x =- ，(),BP x x = ，所以()()224212AP BP x x x x ⋅=-+=-- ，当1x =时，AP BP ⋅最小，此时点()1,1P ，又∵2BP PC =，所以3BC BP = ，∴点C 的坐标为()3,3，∴AC ==，设ABC V外接圆的半径为R，由正弦定理得2πsin 4R ==所以R =，所以2π5πS R ==，故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在三棱锥P EDF -的平面展开图中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，正方形ABCD 的边长为2，则在三棱锥P EDF -中（）A.PEF !的面积为12B.PD EF⊥C.平面PEF ⊥平面DEF D.三棱锥P EDF -的体积为13【答案】ABD 【解析】【分析】直接求BEF △的面积可判定A ，连接BD 交EF 于G ，根据条件证⊥EF 平面GPD 即可判定B ，判定PG DG 、的夹角是否为直角可判定C ，利用棱锥的体积公式可判定D.【详解】对于A ，易知1122BEF PEF S S BE BF ==⨯⨯= ，故A 正确；对于B ，连接BD 交EF 于G ，根据正方形的性质易知EF BD ⊥，所以有,EF GD EF GP ⊥⊥，又,PG GD ⊂平面PGD ，所以⊥EF 平面GPD ，PD ⊂平面GPD ，所以EF PD ⊥，故B 正确；对于C ，由上可知PGD ∠为平面PEF 与平面DEF 的夹角，易知232,222PG DG PD ===≠，则,PG DG 不垂直，故C 错误；对于D ，由题意可知,,PD PE PF 两两垂直，则111323P EDF V PD PE PF -=⨯⨯⨯⨯=，故D 正确.故选：ABD10.在ABC V 中，下列结论正确的是（）A.若sin 2sin 2A B =，则ABC V 为等腰三角形B.若sin cos B A =，则ABC V 是直角三角形C.若222sin sin sin A B C +<，则ABC V 是钝角三角形D.若coscoscos222ab c A B C ==，则ABC V 是等边三角形【答案】CD 【解析】【分析】由三角函数的性质结合诱导公式判断选项AB ；正弦定理角化边余弦定理得角的范围判断选项C ；正弦定理结合倍角公式化简判断选项D.【详解】对于A ，ABC V 中，若sin 2sin 2A B =，则有22A B =或2π2A B =-，当22A B =时，A B =，ABC V 为等腰三角形；当2π2A B =-时，π2A B =-，ABC V 为直角三角形，故A 选项不正确，对于B ，ABC V 中，若πsin cos sin 2B A A ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则π2B A =-或ππ2B A ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即π2A B +=或π2B A =+，因此ABC V 不一定是直角三角形，故B 选项不正确；对于C ，ABC V 中，若222sin sin sin A B C +<，则根据正弦定理得222a b c +<，余弦定理得222cos 02a b c C ab+-=<，则C 为钝角，ABC V 是钝角三角形，故C 选项正确；对于D ，ABC V 中，若coscoscos 222ab cAB C ==，则sin sin sin cos cos cos 222A B CA B C ==，即sin sin sin 222A B C ==，由,,(0,π)A B C ∈，得π,,0,2222A B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以222A B C==，A B C ==，ABC V 是等边三角形，故D 选项正确．故选：CD ．11.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.下列说法正确的是（）A.沙漏中的细沙体积为31024πcm 81B.沙漏的体积是3128πcm C.细沙全部漏入下部后，此锥形沙堆的高度约为2.37cm D.该沙漏的一个沙时大约是1985秒（π 3.14≈）【答案】ACD 【解析】【分析】A ．根据圆锥的体积公式直接计算出细沙的体积；B ．根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C ．根据等体积法计算出沙堆的高度；D ．根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时.【详解】对于A ，根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径284cm 33r =⨯=，体积2312164ππcm 33398231h V r =⋅=⋅⋅=，A 选项正确；对于B ，沙漏的体积222112562π2π48πcm 3233h V h ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，B 选项错误；对于C ，设细沙流入下部后的高度为1h ，根据细沙体积不变可知：211024π1π8132h h ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11024π16π813h =，所以1 2.37cm h ≈，C 选项正确；对于D ，因为细沙的体积为31024πcm 81，沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，所以一个沙时为：1024π1024 3.14815019850.0281⨯≈⨯≈秒，D 选项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量(3,2),(1,)m m =-= a b ，若a b ⊥ ，则m =______.【答案】3-【解析】【分析】由平面向量垂直的坐标表示代入即可得出答案.【详解】解析：本题考查平面向量垂直以及数量积，考查数学运算的核心素养.因为a b ⊥ ，所以320m m -+=，则3m =-.故答案为：3-.13.某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级中抽取的人数比为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1200人，并从中抽取了40人，则从高一年级中抽取____________人．【答案】50【解析】【分析】设总人数为n ，得到1201200360n=，求得3600n =，再结合分层抽样的计算方法，即可求解.【详解】由题图中数据可知高二年级所占的角度为120 ，设总人数为n ，则1201200360n=，可知3600n =，故该校的总人数为3600，由高一、高二、高三年级人数的比为150:120:905:4:3=，可知高一年级人数为536001500543⨯=++，则抽样时应从高一年级抽401500501200⨯=(人).故答案为：50.14.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 单调递减，则不等式()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为______.【答案】541216x x ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.【解析】【分析】由已知可得()f x 在(0,)+∞上递增，再由偶函数的性质将不等式转化为()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭，则可得()33log 25log 8x ->，再对数的性质要求得结果【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上递增，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以由()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，得()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭，所以()33log 25log 8x ->，所以()33log 25log 8x -<-或()33log 25log 8x ->，所以10258x <-<或258x ->，解得541216x <<或132x >，所以不等式的解集为541216xx ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.故答案为：541216xx ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E .DF AB 且交AC 于点F ，（1）求|2|BE DF +的值（2）求()DE DF DA +⋅的最小值.【答案】（1）1（2）1120【解析】【分析】（1）设BE x =，根据题意找到其他边长，对所求进行平方结合向量的数量积运算即可求出；（2）将()DE DF DA +⋅化为关于x 的关系式即可求出最值.【小问1详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====- ， //DF AB ，DFC ∴ 为边长为12x -的等边三角形，22222(2)4444(12)cos 0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-=，|2|1BE DF +∴=.【小问2详解】//DF AB ，DE DF ∴⊥，2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA+⋅=+⋅+=+⋅ 222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当310x =时，()DE DF DA +⋅ 的最小值为1120.16.某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标价（单位：cm ），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据；抽取次序12345678910身高155158156157160161159162169163记抽取的第i 个女生的身高为i x （1i =，2，3，…，10），样本平均数160x =，方差215=s .3.9≈，215925281=，216928561=.（1）若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在[]160,165范围内的人数；（2）用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数μ和标准差σ，求μ，σ的值；（3）如果女生样本数据在()2,2x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.【答案】（1）40；（2）166,7μσ≈≈；（3）平均数为159，方差为203.【解析】【分析】（1）根据样本数据在[]160,165范围内的占比易求得女生总体在此范围内的人数；（2）先利用加权平均数公式求出总样本的平均数X ，再利用混合样本的方差公式计算2S ,最后对μ，σ进行估计即可；（3）先判断169为离群值，再由平均数公式计算剩余9人的身高平均数，利用方差公式求出1021256150ii x==∑，再由公式1022211(1699)9i i s x x ==-''-∑计算出方差.【小问1详解】因女生样本中，身高在[]160,165范围内的占比为42105=，故该校高一女生身高在[]160,165范围内的人数估计为2100405⨯=；【小问2详解】记总样本的平均数为X ，标准差为S ，由题意，设男生样本（20人）的身高平均数为169y =，方差为239y s =，女生样本（10人）的身高平均数为160x =，方差215x s =，则201691016016630X ⨯+⨯==，2222121[39(169166)](160166)]4851493333S =+-++-=⨯+⨯=，故166,7μσ≈≈=；【小问3详解】因160x =，s =，则()2,2x s x s -+，即(160-+，约为()152.2,167.8，由样本数据知，169(160∉-+，为离群值，剔除169后，女生样本（9人）的身高平均数为：1(16010169)1599x '=⨯-=；由10102222111110256000151010xi i i i s x x x ==⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑可得，1021256150i i x ==∑，则剔除169后，女生样本（9人）的身高的方差为：10222211120(1699)(25615028561925281)993i i s x x ='=--=--⨯='∑.17.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，60D ∠=︒．（1）若3AC =，求ACD 周长的最大值；（2）若2CD AB =，75BCD ∠=︒，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）9（2）3+【解析】【分析】（1）由余弦定理结合基本不等式求出最值；（2）设DAC α∠=，在ACD 和ACB △中使用正弦定理，联立得到()2sin 45sin105sin sin 60αα-︒=︒︒，由正弦和角公式得到sin1054+︒=，从而得到αα-=，求出tan DAC ∠的值.【小问1详解】在ACD 中，222222cos AC AD DC AD DC D AD DC AD DC=+-⋅=+-⋅2222()()3()324AD DC AD CD AD DC AD DC AD DC ++⎛⎫=+-⋅≥+-=⎪⎝⎭，即2()94AD CD +≥，解得：6AD DC +≤，当且仅当3AD DC ==时取等号．故ACD 周长的最大值是9．【小问2详解】设DAC α∠=，则120DCA α∠=︒-，45BCA α∠=-︒．在ACD 中，sin sin 60CD ACα=︒，在ACB △中，()sin 45sin105AB AC α=︒-︒，两式相除得，()2sin 45sin105sin sin 60αα-︒=︒︒，因为()62sin105sin 4560sin 45cos60cos45sin604+︒=︒+︒=︒︒+︒︒=，∴αα=，故tan tan 3DAC α∠===+18.已知定义在[]4,4-上的奇函数()f x ，当[]4,0x ∈-时，()143xx a f x =+．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若[]2,1x ∃∈--，使得不等式()1123x x m f x -≤-成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()[](]11,4,04334,0,4x x x x x f x x ⎧-∈-⎪=⎨⎪-∈⎩（2）[)5,+∞【解析】【分析】（1）由奇函数的性质()00f =，()()f x f x =--，即可求出函数()f x 的解析式；（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值即可得到实数m 的取值范围.【小问1详解】∵()f x 是定义在[]4,4-上的奇函数，且[]4,0x ∈-时，()143xx af x =+，∴()0010043=+=af ，解得1a =-，∴[]4,0x ∈-时，()1143=-x xf x ，当[]0,4x ∈时，[]4,0-∈-x ，则()()113443x x x x f x f x --⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭，即()f x 在[]0,4上的解析式为()34xxf x =-．∴函数()f x 的解析式为()[](]11,4,04334,0,4x x x x x f x x ⎧-∈-⎪=⎨⎪-∈⎩【小问2详解】∵[]2,1x ∈--时，()1143=-xx f x ，∴11114323x x x x m --≤-在[]2,1--有解，整理得1121222323xxx x x m +⎛⎫⎛⎫≥+=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()12223xxg x ⎛⎫⎛⎫=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]2,1--上单调递减，∴()g x 在[]2,1--上单调递减，则()()11min1212523g x g --⎛⎫⎛⎫=-=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴5m ≥∴实数m 的取值范围是[)5,+∞．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，AB AD ⊥，PA PD =，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB .（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ?若存在，求出AMAP的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）3（3）存在；14【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得AB ⊥平面PAD ，进而得AB PD ⊥，再结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的一个法向量，再利用空间向量夹角公式、线面角的定义进行求解即可；（3）要使//BM 平面PCD ，则0BM n ⋅=，由此列式求解λ可得.【小问1详解】∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，且AB AD ⊥，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，∵PD ⊂平面PAD ，∴AB PD ⊥，又PD PA ⊥，且PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，∴PD ⊥平面PAB ；【小问2详解】取AD 中点为O ，连接,CO PO ，又∵PA PD =，∴PO AD ⊥．则1AO PO ==，∵CD AC ==CO AD ⊥，则2CO ===，以O 为坐标原点，分别以,,OC OA OP所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,1)P ，(1,1,0)B ，(0,1,0)D -，(2,0,0)C ，则(1,1,1)PB =-，(0,1,1)PD =-- ，(2,0,1)PC =- ，(2,1,0)CD =-- ，设(),,n x y z = 为平面PCD 的一个法向量，则由00n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得020y z x z --=⎧⎨-=⎩，令1z =，则1,1,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ．设PB 与平面PCD 的夹角为θ，则3sin cos ,3n PB n PB n PBθ⋅===‖；【小问3详解】假设在棱PA 上存在点M 点，使得//BM 平面PCD .设AM AP λ=，[]0,1λ∈，由（2）知，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(0,0,1)P ，则(0,1,1)AP =- ，(1,0,0)BA =-uu r，()(1,0,0)(0,,)1,,BM BA AM BA AP λλλλλ=+=+=-+-=--，由（2）知平面PCD 的一个法向量1,1,12n ⎛⎫=-⎪⎝⎭．若//BM 平面PCD ，则112022BM n λλλ⋅=-++=-= ，解得14λ=，又BM ⊄平面PCD ，故在棱PA 上存在点M 点，使得//BM 平面PCD ，此时14AM AP =.。
南充高中2022年6月21日面向省内外自主招生考试数学答案
一、 填空题1、52x >2、11()()22x y x y +--+ 3、2022 4、25、366、17、89168、 34- 9、1：1510、1216a ≤< 11、113612、25 13、4 14、i -二、选择题15、A 16、B 17、C 18、B 三、解答题19、解：原式＝22221()a b a ab b a b a a a a a b a b --+-÷=⋅=-- ．．．．．．(5分) 当033tan 30131313a =+=⨯+=+ ．．．．．．(7分) 022cos 45212b ==⨯=时，原式＝1133311a b ==-+- ．．．．．．(10分) 20、如图作DF BC ⊥于点F 因AD//BC ∴DBC ADB ∠=∠ ∵AB AD =∴ADB ABD ∠=∠∴DBC ABD ∠=∠ ．．．．．．(4分) 又∵AB DC =060C ∠=∴0113022ABC C DBC ABD ∠=∠=∠=∠= 又∵AE BD ⊥于E ，1AE =∴2AB DC == ．．．．．．(10分) ∴在Rt △CDF 中，由正弦定义可得3DF = ∴梯形的高为3 ．．．．．．(12分) 21、〔本小题总分值10分〕证明： AB CD 32= ，且F E ,为CD 三等分点，D 为AB 中点AB CD 2131=∴，即DF AD = 45=∠∴AFD ．．．．．．(4分)∴ACF EAF ∠=∠．．．．．．(9分)即45=∠=∠+∠∴AFD AED ACDFA BCDE90=∠+∠+∠∴AFD AED ACD 所以得证 ．．．．．．(12分) 22、〔1〕连接OD ∵D 为BC 中点 ∴DOB EAB ∠=∠ ∴AE//OD∵AE DE ⊥∴OD OE ⊥∴DE 是⊙O 的切线；．．．．．．(6分)〔2〕过O 作OH AE ⊥那么四边形HODE 为矩形∵3ED = ∴3OH = ∵5OA = ∴4AH =∴459AE AH HE AH OD =+=+=+=．．．．．．(8分)∵D 为BC 中点 ∴DAE FAB ∠=∠∵BF 为切线 ∴BF AB ⊥ ∴△ADE ～△AFB ．．．．．．(12分) ∴ED AEBF AB=∴3910BF = ∴103BF = ．．．．．．(14分)23、解：〔1〕∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △AMN ∽ △ABC ．∴ AM AN AB AC=，即43x AN=．A BFB图 1∴ AN ＝43x ．……………2分 ∴S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=．〔0＜x ＜4〕．．．．．．(4分) 〔2〕如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，那么AO =OD =21MN ． 在Rt △ABC 中，BC． 由〔1〕知 △AMN ∽ △ABC ．∴ AM MN AB BC=，即45x MN=．∴ 54MN x =， ∴ 58OD x =．．．．．．．(6分) 过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，那么58MQ OD x ==． 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QM BC AC=．∴ 55258324xBM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴x ＝4996． ∴ 当x ＝4996时，⊙O 与直线BC 相切 ．．．．．．．(10分)〔3〕随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，那么O 点为AP 的中点．∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC∴ △AMO ∽ △ABP ．∴12AM AO AB AP ==．AM ＝MB ＝2． 故以下分两种情况讨论：① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==．∴当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大 ．．．．．(12分) ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．∵四边形AMPN 是矩形， ∴PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵MN ∥BC ， ∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴FN ＝BM ＝4－x ．BD 图 2图 4P 图 3∴ ()424PF x x x =--=-． 又△PEF ∽ △ACB ．∴ 2PEF ABC S PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭． MNP PEF y S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-．．．．．．(14分) 当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大． 综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2．．．．．．(16分)。
南充高中2021年面向省内外自主招生考试数学试卷
面向省内外自主招生考试数 学 试 题（考试时间１２０分钟，满分１５０分）卷Ⅰ 选择、填空题一、选择题（下列每小题中只有一个正确的选项，请把你的答案填在答题卷的相应位置，每小题5分，合计40分）1．下列各式中正确的有 （ ）（1）01a =；（2）ab a b =⋅ ；（3）0a a +≥； （4）20a a +≥A ．１个B ．２个C ．３个D ．４个2．下列说法中正确的有 （ ）（1）在同一圆中，平分弦的直径垂直于这条弦；（2）在一个圆中，同一端点的所有 的弦的中点在同一个圆上；（3）在凸多边形的内角中，最多只有３个锐角；（4）无论 m 取何和值，直线(21)32y m x m =--+都会过一个定点A ．１个B ．２个C ．３个D ．４个3．小张购买了五年期国债x 元，到期后将本息和又购买了同样利率的五年期国债，设到期后本息和为y 元，若y mx =，则这种国债的年利率为（ ）A ．110m -B ．15m - C ．110m - D ．15m - 4．在某广场上，小李和小张在同一路灯下的影子长度相同，则下列说法正确的是（ ）A ．小李和小张在同一地点B ．小李和小张距离该路灯的水平距离相同C ．小李和小张的身高相同D ．可以根据他们的身高来判断谁离路灯更近5．已知α为锐角，sin cos m αα+=，sin cos n αα-=，则m 与n 的关系式为（ ）A ．m n =B ．221m n +=C ．21m n =+D ．222m n +=6．已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图1，则下列式子中正确的是 （ ）A ．0a b c ++>B ．0a b ⋅<C ．0a b c -+<D ．0b c ⋅<7．已知二次函数265y x x =-++，当2t x t ≤≤+时，此函数的最大值是2(1)14t --+，则实数t 的取值范围是（ ）A ．3t ≥B ．1t ≤C ．03t ≤≤D ．0t ≤8．函数67y x =-与2(2)641y m x x m =-+-+的图像公共点个数为（ ）A ．两个B ．至少有两个C ．两个或一个D ．可能没有交点二、填空题（请把你的答案填在答题卷的相应位置，每题5分，共40分）9．已知二次函数2y ax bx c =++的图像与直线4y =交于点(2,4)-和(6,4)， 则a b = 10．把６个完全一样的乒乓球分给小王、小李、小张三人，要求每人至少分得一个，则小王得到3个球的概率是11．化简2232321692a a a a a a a-+-⋅+--+-＝ 12．如图2，某地某时刻2米高的小树在水平地面上的影子长度是1.5米，当时，另外一棵树的影子一部分在水平地面，另一部分在坡度1:3i =的斜坡上。
历年南充高中自主招生试题及答案
历年南充高中自主招生试题及答案【语文试题】一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列词语中，读音完全正确的一项是：A. 箴言（zhēn yán）B. 窈窕（yǎo tiǎo）C. 饕餮（tāo tiè）D. 龃龉（jǔ yǔ）2. 下列句子中，没有语病的一项是：A. 他不仅学习好，而且品德高尚。
B. 通过这次活动，使我们受益匪浅。
C. 这本书的内容非常丰富，值得一读。
D. 他因为生病，所以没有参加比赛。
3. 下列句子中，使用了拟人修辞手法的一项是：A. 春天的花开得真美。
B. 月亮在夜空中微笑。
C. 河水静静地流淌。
D. 风在树梢间低语。
4. 下列成语使用恰当的一项是：A. 他的成绩一落千丈，真是令人惋惜。
B. 他不学无术，却能出口成章。
C. 她对这个问题一知半解，却能侃侃而谈。
D. 他做事一丝不苟，令人敬佩。
5. 下列古文中，属于《史记》的是：A. 《左传》B. 《战国策》C. 《史记》D. 《汉书》二、阅读理解（共20分）阅读下面的文言文，回答下列问题：（文言文内容省略，可根据实际内容设置问题）三、作文题（30分）请以“我的梦想”为题，写一篇不少于800字的作文。
【数学试题】一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是无理数？A. πB. √2C. 0.3333...D. 1/32. 一个圆的半径为3，那么它的周长是：A. 6πB. 9πC. 12πD. 18π3. 如果一个等差数列的前三项分别为2，5，8，那么它的第五项是：A. 11B. 14C. 17D. 204. 下列哪个函数是奇函数？A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)5. 一个三角形的三边长分别为3，4，5，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的平方根是它本身，这个数可以是______。
2023年南高自主招生考试题(题卷)
南充中学2023年6.17自主招生考试数学题卷（一）（考试时间100分钟，全卷满分150分）一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）1 .若一Vy"与fy 是同类型，则4+6的值为（）2 .有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你依据图形推断涂成绿色一面的对面的颜色是（ ）3 .如图，数轴上的A 、B 、C 三点所表示的数分别为〃、b 、c.若卜一母=3,∣b-d=5,且原点O 与A 、B 的距离分别为4、1,则关于ABC点O 的位置，下列叙述正确的是（） •♦ ∙ ∙AA.在A 的左边或者A 的右边B.在B 的左边或者B 的右边C.在C 的右边D.介于B 、C 之间4.2023年某省财政收入比2023年增长8.9%,2023年比2023年增长9.5%,若2023年和2023年我省财政收入分别为a 亿元和b 亿元，则a 、b 之间满意的关系式为（）A.b=a （l+8.9%+9.5%）B.b=a （l+8.9%x9.5%）C.b=a （l+8.9%）（l+9.5%）D.b=a （l+8.9%）2（l+9.5%）5.一列数4,a 2,Q3，…满意条件：%=；，~（∩≥2,且n 为整数），则。
2017等于21-α11-l（）6 .直线l-y=px （p 是不等于0的整数）与直线y=x+10的交点恰好是格点，那么满意条件的直线/有（）A.6条B.7条C.8条D.多数条7 .如图，在菱形ABCD 中，AB=BD,点E,F 分别在AB,AD 上，且AE=DE D连接BF 与DE 相交于点G,连接CG 与BD 相交于点H,下列结论：√3 、①A AED g Z^DFB ;②S lnI 边形BCDG=—CG-；③若AF =2DF,则BG =6GF.A.2B.3C.4D.5D.白A.-1D.2IL 不等式组4 一% —1«7—X ,, 2 2的解集是5x-2>3(x + l)12 .视察下列关于工的单项式，探究其规律: X , 3X 2, 5X 3, 7X 4, 9X 5, Ilx 6,・・・依据上述规律，第2023个单项式是 .13 .计算：→（→∣）÷⅛÷→∣）÷⅛÷∣÷∣÷∣）÷∙→⅛÷14 .如图，在直角坐标系中，已知点尼的坐标为（1, 0）,将线段OR ）依据逆时针方向旋转45° ,再将其长度伸长为OR ）的2倍，得到线段。
2023年南充高中自主招生考试题及答案版
南充高中面向省内外自主招生考试数 学 试 卷（顺庆校区）（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）第Ⅰ卷（选择.填空题）一、选择题（每题5分，合计20分.下列各题只有一种对旳旳选项，请将对旳选项旳番号填入答题卷旳对应位置）1、已知，且，则旳值为1sin cos 8αα∙=004590α<<cos sin αα-A.B. C.D. 342、若为正数，已知有关旳一元二次方程有两个相等旳实根，则方程,,a b c x 20ax bx c ++=旳根旳状况是（）2(1)(2)10a x b x c +++++=A 、没有实根 B 、有两个相等旳实根C 、有两个不等旳实根D 、根旳状况不确定3、已知半径为1和2旳两个圆外切于点P,则点P 到两圆外公切线旳距离为A ．B ．C ．D ．33443324、下图旳长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示旳四个几何体拼接而成旳，并且这四个几何体都是由4个同样大小旳小正方体构成旳，那么长方体中，第四部分所对应旳几何体应是二、填空题（每题5分，合计60分，请将答案填到答题卷旳对应位置处）5、某次数学测验共有20题，每题答对得5分，不答得0分，答错得 –2分．若小丽这次测验得分是质数，则小丽这次最多答对 题．6、已知⊙O 旳直径AB =20，弦CD 交AB 于G ，AG >BG ,CD =16,AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则AE-BF 为7、如图，两个反比例函数y ＝ 和y ＝ 在第一象限内旳图象依次是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交C 2于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形PAOB 旳面积为8、若二次方程组 有唯一解，则k 旳所有也许取值为9、设正△ABC 旳边长为2，M 是AB 中点，P 是BC 边上任意一点，PA+PM 旳最大值和最小值分别s 为和t ，则=-22t s 10、在△ABC 中，AC=,BC=, 则20112010+=AB =∙C A cos sin 11、已知为实数且，则=c b a ,,51,41,31=+=+=+ca ac cb bc ba ab cabc ab abc++12、已知Rt △ABC 旳三个顶点A 、B 、C 均在抛物线上，且斜边AB 平行于x 轴，设斜边2x y =上旳高为h ，则h 旳取值为13、方程旳正根个数为xx x 222=-14、已知,24+=+n b a ,1=ab ,若 旳值为，则n = 221914919b ab a ++15、任意选择一种三位正整数，其中恰好为2 旳幂旳概率为16、勾股定理有着悠久旳历史，它曾引起诸多人旳爱好．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景旳邮票．所谓勾股图是指以直角三角形旳三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图旳勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB= 4．作△PQR 使得∠R=90°，点H 在边QR 上，点D ，E 在边PR 上，点G ，F 在边PQ 上，那么△PQR 旳周长等于122=-y x 1)2(+-=x k y三、解答题：（本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要旳阐明,证明过程和推演环节)17.(本小题10分) 能否在图中旳四个圆圈内填入4个互不相似旳数，使得任意两个圆圈中所填旳数旳平方和等于此外两个圆圈中所填数旳平方和？假如能填，请填出一种例；假如不能填，请阐明理由。
南充十中自主招生考试(紫荆花杯)数学试题
南充十中第三届“紫荆花杯”邀请赛数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将每小题正确的答案选出后填在答题卷的表格中的相应位置。
）1.若1≤a ，则3)1(a -为（ ）A.1)1(--a aB.a a --1)1(C.a a --1)1(D.1)1(--a a 2.已知054222=++-+b a b a ，则b a +2的值为（ ） A.0 B.2 C.4 D.53.已知2)3(3322=+-+x x xx ，则23x x +为( ) A. 1 B. 3-或1 C. 3 D. 1-或34.下列四个命题：（1）如果一条直线上的两个不同的点到另一条直线的距离相等，那么这两条直线平行； （2）反比例函数的图象是轴对称图形，且只有一条对称轴；（3）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角等于750； （4）相等的圆周角所对的弧相等。
其中错误的命题有（ ）A ．4个 B.3个 C.2个 D.1个5. 已知方程2(21)10x k x k +++-=的两个实数根12,x x 满足1241x x k -=-，则实数k 的值为 （ ）A.1，0B.—3，0C.1，43-D.1，13-6.若小明同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm 、深约为2cm 的小坑，则该铅球的直径约为（ ）cm.A ．10B ．14.5C ．19.5D ．20 7.关于x 的方程22x c x c +=+的解是2,x c x c ==，则关于x 的方程2211x a x a +=+--的解是 （ ） A.a ,a 2 B.1a - , 12-a C. a , 12-a D. a , 11-+a a 8.一块等边三角形的木板，边长为2，现将木板沿水平线翻滚（如下图）那么B 点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）A.23πB.43πC.83πD.232π+A B A9．抛物线2y ax =与直线1,2,1,2x x y y ====围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．114a ≤≤ B ．122a ≤≤ C ．112a ≤≤ D ．124a ≤≤ 10．设关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x 且121x x <<,那么实数a 的取值范围是（ ） A ．211a <-B ．2275a <<C ．25a >D ．2011a -<< 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上） 11.分解因式：=+-xy y x 2733 ． 12.函数y =中，自变量x 的取值范围是__________.13.如图:,A B 两点都在双曲线)0(>=k xky 上，AC x ⊥轴于C ，BD x ⊥轴于D ，1AOC S S ∆=，2BOD S S ∆=，则1S 与2S 大小关系是1S _______2S .（填“＞”“＜” 或“=”）14.若规定：①{} m 表示大于m 的最小整数，例如：{}4 3 =，{}2 4.2-=-；②[] m 表示不大于m 的最大整数，例如：[]5 5 =，[]4 6.3-=-.则使等式{}[]4 2=-x x 成立的整数．．=x ．15.若直线b y =（b 为实数）与函数342+-=x x y 的图象至少有三个公共点，则实数b 的取值范围是_________．南充十中第三届“紫荆花杯”邀请赛数学答题卷二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11._________________ 12. _________________ 13. _________________ 14. _________________ 15. _________________三、 解答题：（本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明或演算步骤．） 16.（10分）（1）(5分)实数0a <，计算()20141cos6028tan 602a a π-⎛⎫⎫⨯+--- ⎪⎪⎭⎝⎭（2）(5分)已知实数a 满足210a a --=，求22122121a a a a a a a a ---⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭的值。
2018-2019南充市重点高中初升高自主招生数学模拟试卷【3套】【含解析】
2019-2020年南充市高级中学初升高自主招生数学模拟试卷 共3套试卷，150分的模拟数学试卷共3套，对参加自主招生的学生有一定的指导意义和辅助作用，但不是决定性的作用，祝大家考试顺利。
第一套：满分150分2019-2020年南充市高级中学初升高自主招生数学模拟卷一、选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．已知0<mn 且10-1-1++>>>n m n m ，那么n ，m ，n 1，mn 1+的大小关系是（ ）A ．n m n n m <+<<11B ．n n m n m <<+<11 C.n n m m n 11<<<+ D ．nn m n m 11<<+< 2．如图，△ABC 的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin ∠A 的值为（ ）A.56 B ．65 C. 334 D ．61615 3．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，E 为CD 中点，AC=2，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD 的长为（ ）A ．21B ．5-13+C ．21-3 D ．1-5 4．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，折叠正方形ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展平后，折痕DE 分别交AB ，AC 于点E ，G ，连接GF ，下列结论：①AE=AG ；②tan ∠AGE=2；③S △DOG =S 四边形EFOG ；④四边形ABFG 为等腰梯形；⑤BE=2OG ，则其中正确的结论个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．某中学学生会为了考察该校1800名学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从“篮球、排球、乒乓球、足球及其他”等五个方面调查了若干名学生的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，下列判断：①本次抽样调查的样本容量是60；②在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角是60°；③该校学生中喜欢“乒乓球”的人数约为450人；④若被抽查的男女学生数相同，其中喜欢球类的男生占喜欢球类人数的56.25%，则被抽查的学生中，喜欢“其他”类的女生数为9人．其中正确的判断是（ ）A ．只有①②③B ．只有①②④C ．只有①③④D ．只有③④6．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，且AE=CD=8，∠BAC=21∠BOD ，则⊙O 的半径为（ ）A ．42B ．5C ．4D ．37．已知关于x 的不等式组恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．2332≤≤aB ．23≤≤34aC ．23≤34a <D ．23≤34<a 8．如图，二次函数y=ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OB=OC ，下列结论：①b ＞1且b ≠2；②b 2﹣4ac ＜4a 2；③a ＞21；其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2=CE•AB ．其中正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④10．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为（ ）A ．43B ．31C ．21D ．41 二、填空题：（每题6分，共48分）11．已知：对于正整数n ，有()11-1111+=+++n n n n n n ，若某个正整数k 满足()32111 (4)33413223121121=++++++++++k k k k ，则k= ． 12．如图，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为90m ，则这栋楼高为 （精确到0.1 m ）．13．已知关于x 的不等式kx ﹣2＞0（k ≠0）的解集是x ＜﹣3，则直线y=﹣kx +2与x 轴的交点是 ． 14．⊙O 的半径为1，弦AB=2，弦AC=3，则∠BAC 度数为 ．15．（5分）有五张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a ，则使关于x 的方程2--1x ax +2=x-21有正整数解的概率为 16．（5分）已知，如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，OD 交AC 的延长线于E ，OA=1，AE=3．则下列结论正确的有 ． ①∠B=∠CAD ；②点C 是AE 的中点；③BD AD =AE ED ；④tan B=31-10．17．（5分）如图，在△ABC 中，AB=8，AC=6，AD 为BC 边上的中线，将△ADC 绕点D 旋转180°，得到△EDB ，则中线AD 长的取值范围是 ．18．（5分）在反比例函数y=x10（x ＞0）的图象上，有一系列点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n +1，若A 1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．现分别过点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n +1作x 轴与y 轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S 1= ，S 1+S 2+S 3+…+S n = ．（用n 的代数式表示）．三、 解答题：（52分）19．（12分）已知：如图，正方形ABCD 的边长是1，P 是CD 的中点，点Q 是线段BC 上一动点，当BQ 为何值时，以A 、D 、P 为顶点的三角形与以Q 、C 、P 为顶点的三角形相似．20．（12分）如图，已知，A （0，4），B （﹣3，0），C （2，0），D 为B 点关于AC 的对称点，反比例函数y=xk 的图象经过D 点． （1）证明四边形ABCD 为菱形；（2）求此反比例函数的解析式；（3）已知在y=xk 的图象（x ＞0）上一点N ，y 轴正半轴上一点M ，且四边形ABMN 是平行四边形，求M 点的坐标．21．（14分）如图所示，P 是⊙O 外一点，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，B 是⊙O 上一点，且PA=PB ，连接AO 、BO 、AB ，并延长BO 与切线PA 相交于点Q ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）求证：AQ•PQ=OQ•BQ ；（3）设∠AOQ=α，若54cos =α，OQ=15，求AB 的长．22．（14分）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：π+=x y 43与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B （0，﹣1），抛物线c bx x y ++=221经过点B ，且与直线l 的另一个交点为C （4，n ）．（1）求n 的值和抛物线的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为t （0＜t ＜4）．DE ∥y 轴交直线l 于点E ，点F 在直线l 上，且四边形DFEG 为矩形（如图2）．若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值；（3）M 是平面内一点，将△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°后，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1．若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A 1的横坐标．第一套：满分150分2019-2020年南充市高级中学初升高自主招生数学模拟卷参考答案一、选择题：1．解：∵mn ＜0，∴m ，n 异号，由1﹣m ＞1﹣n ＞0＞n +m +1，可知m ＜n ，m +n ＜﹣1，m ＜0，0＜n ＜1，|m |＞|n |，|m |＞2，假设符合条件的m=﹣4，n=0.2 则n 1=5，n +m 1=0.2﹣41=﹣201 则﹣4＜﹣201＜0.2＜5故m ＜n +m 1＜n ＜n1．故选：D ．2．解：如图，由勾股定理，得 AB=22BD AD +=2256+=61，sin ∠A=AD DB =615=61615， 故选：D ．3．解：如图，过C 作CF ⊥AB 于F ，过点B 作BG ⊥CD 于G ，在Rt △BEG 中，∠BED=45°，则GE=GB ．在Rt △AFC 中，∠A=45°，AC=2，则AF=CF=。
四川省南充高中临江校区强基计划2024数学试题
南充高中临江校区强基计划2024数学试题考试时长100分钟 总分150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．某件商品的标价为13200元，若以8折降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则该商品 的进货价是（ ） A ．9504元B ．9600元C ．9900元D ．10000元3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有序实数对（a ，b ）与（c ，d ）之间的运算“*”定义为： ()*b a ，()=d c ，()bc ad bd ac +-，.如果对于任意实数m ，n 都有()*n m ，()=y x ，()m n -，，那么()y x ，为（ ） A ．（0，1）B ．（1，0）C ．（－1，0）D ．（0，－1）4．将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图所示．则桌子的高度h ＝（ ） A ．70 B ．55 C ．40 D ．305．在数轴上和有理数a ，b ，c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①022<--a a ；②c a c b b a -=-+-；③0))((>+++a c c b b a ）（；④bc a -<1．其中正确的结论有（ ）个A ．4B ．3C ．2D ．16．右图是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以为起点结六条线后，再 从线上某点开始按逆时针方向依次在OA 、OBOC 、OD 、OE 、OF 、OA 、OB 、…上结网，若将各线上的结点依次记为1、2、3、4、5、6、7、8、…， 那么第200个结点在（ ） A ．线上 B ．线上 C ．线上D ．线上7．如图，在△ABC 中，AB =AC =5，CB =8，分别以AB 、 AC 为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（ ）A ．12425-π B ． 24425-πC ． 1225-πD ． 2425-π8．已知函数12-+=x x y 在1≤≤x m 上的最大值是1，最小值是45-，则m 的取值范围是（ ） A ．2-≥mB ．210≤≤mC ．212-≤≤-mD ．21-≤m二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分.9．如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与“南”字所在面相对的面上的汉字是 ．第9题图 第10题图 第11题图10．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”当中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每 一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则m 的值为 ．11．如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是 ． 12．已知0122=--x x ，则202253+-x x ＝ ．13．如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图 形的总长度是 ．（结果用m ，n 表示）O OA OB OC 、、、OD 、OE OF 、OA OA OB OCOF14．“盲盒”为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A ，B ，C 三种“盲盒”各一个，其中A 盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之 比为3∶2；C 盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A 盒的成本 为145元，B 盒的成本为245元（每种“盲盒”的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷 你音箱的成本之和），则C盒的成本为 ．15．如果方程()()0422=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m 的取值范围是 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点B ，C 在第一象限，顶点D 的坐标（25，2）．反比例函数xky =（常数k ＞0，x ＞0）的图象恰好经过正方形ABCD 的两个顶点，则k 的值是 ．第Ⅱ卷三､解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax +b （a ≠0）的图象与反比例函数xky =（k ≠0）的图象交于第二、四象限内的A 、B 两点，与y 轴交于C 点，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ，OH ＝3，tan ∠AOH ＝34，点B 的坐标为（m ，﹣2）．（1）求△AHO 的周长和面积；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．18.（本题满分12分）关于三角函数有如下的公式：③②①⋯⋯≠•-•-+=+⋯⋯-=+⋯⋯+=+)0tan tan 1(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(βαβαβαβαβαβαβαβαβαβα利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的 三角函数来求值，如：)32(2324)31)(31()31)(31(313160tan 45tan 160tan 45tan )6045tan(105tan +-=-+=+-++=-+=︒⋅︒-︒+︒=︒+︒=︒根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：如图所示,直升机在一建筑物CD 上方A 点处测得建筑物顶端D 点的俯角α为︒60，底端C 点的俯角β为︒75，此时直长机与建筑物CD 的水平距离BC 为42米，求建筑物CD 的高．19．（本题满分14分）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个 小正方体．在这些小正方体中，求： （1）两面涂有红色的小正方体的个数；（2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；（3）若将原正方体每条棱n 等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数．20.（本题满分14分）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 元；当每个公司租出的汽车为 辆时，两公司的月利润相等； （2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a 元（a ＞0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围．21．（本题满分18分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++=2经过A （0，﹣1）， B （4，1）．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD ⊥AB ， 垂足为D ，PE ∥x 轴，交AB 于点E ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和△PDE 周长的最大值；（3）把抛物线y ＝x 2+bx +c 平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P ．M 是新抛物线上 一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平 行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．。
2022年6月24日自主招生考试数学试卷
南充高中2021年面向省内外自主招生考试数 学 试 卷〔时间：120分钟 总分值：150分〕一、填空题〔每题5分，共70分〕1、数据 11、12、15、18、13、a 中，众数是15，那么这组数据的方差 是 . 2、函数2(3)102y x x -=-+-中，自变量x 的取值范围是 .3、如图1，在平面直角坐标系中，点P 〔3，4〕，以点P 为圆心的⊙P 与两坐标轴共有3个交点，那么⊙P 的半径r 的取值为 .4、二次函数2(34)(2)3y a x a x a =-++-的对称轴在y 轴右侧，那么a 的取值范围是 .5、计算11112111110109++++++ (132)++= . 6、如图2，某房间的地面形状是⊿ABC ，DE是地面上的一条装饰线，且D E ∥BC ，32AD DB =，一只小猫在此房间内随意走动， 当它停下来，又恰好停在四边形BCED 内的概率是 .7、假设a 、b 、c 为实数，且21826a b c a b c +-=⎧⎨-+=⎩，那么代数式2222a b c ++的最小值 是 .8、某反比例函数经过点52m m-（，），那么此函数的解析式为 . 9、假设090α<<，2tan 5α=，那么sin α= .10、如图3，点A 、B 、C 在⊙O 上，假设AOB y ACB x ∠=∠=，，且0180y <<，那么y与x 的函数关系式为 ，自变量x 的取值范围是 .11、用同一规格的多边形地砖来铺地板，能密铺的多边形地砖有 种. 12、假设2510x x --=，那么221x x-= . 13、如图4，P 是同心圆中大圆上的一点，PBA 是小圆的割线，假设10PA PB ⋅=，那么图中圆环的面积是 .14、直线1l 与直线32y x =-关于y 轴对称，那么直线1l 的解析式为 .二选择题〔每题5分，共20分〕15、如图5，点P 为⊿ABC 的边AB 上一定点，过点P作一条直线截⊿ABC 的两边〔或其延长线〕所得的三角形与⊿ABC 相似，这样的直线〔直线AB 除外〕最多有〔 〕条.A 3B 4C 5D 616、从甲、乙、丙、丁四位同学中任选两人去参加学校合唱队.甲落选的概率为〔 〕. A 16 B 14 C 13 D 1217、以下运算正确的选项是〔 〕A 33(3)9a a =B 11a a a-=-- C 22211()x x x x+=+ D 100101222-+= 18、以下各等式从左到右是因式分解的是〔 〕.A 11(1)(1)x x x x x-=+- B 422536(4)(3)(3)x x x x x --=++- C 22(53)25309a a a -=-+ D ()()a b a b a b -=+-三、解答以下各题〔共60分〕19、计算〔每题5分，共10分〕〔1〕 22214221121a a a a a a a -+--÷+--+〔2〕 tan 45cos30tan 30sin 45︒-︒⋅︒︒20、关于x 的方程22(21)40x m x m ++++=有两个不等的实数根，试判断直线(23)47y m x m =--+能否经过点P 〔-2，1〕，并说明理由.〔10 分〕21、如图6，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 的延长线上，且BD=CE ，DE 与BC 相交于点F. 求证：DF=EF.〔8分〕22、如图7，在直角坐标平面内有点A 〔-2，1〕，B 〔8，5〕，点P 在线段AB 上，且23AP PB =，求点P 的坐标.(10分) 23、如图8，点P 在的直径AB 延长线上，PEF 是⊙O 的割线，且AF FE =，56PB PE =，⊿ABF 的 面积为96.〔1〕求直径AB.〔6分〕〔2〕求sin P ∠.〔4分〕24、，一次函数2y x m =+-与二次函数22y x =-的图象从左至右的交点依次为点B 、A.〔1〕求m的取值范围.〔4分〕〔2〕假设点A、B的横坐标之差为3，此二次函数图象的顶点为C，证明⊿ABC为直角三角形.〔4分〕〔3〕假设⊿ABC的外接圆为⊙I，求过点B的⊙I的切线的解析式.〔4分〕。
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南充高中自主招生考试数学试题仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13南充高中2011年面向省内外自主招生考试数 学 试 卷（顺庆校区）（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）第Ⅰ卷（选择.填空题）一、选择题（每小题5分，共计20分.下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置）1、已知1sin cos 8αα•=，且004590α<<，则cos sin αα-的值为A.3 B.3- C. 34D. 3± 2、若,,a b c 为正数，已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个相等的实根，则方程2(1)(2)10a x b x c +++++=的根的情况是（ ） A 、没有实根 B 、有两个相等的实根 C 、有两个不等的实根 D 、根的情况不确定3、已知半径为1和2的两个圆外切于点P,则点P 到两圆外公切线的距离为A ．34 B ．43 C ．32D ．3 4、下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13二、填空题（每小题5分，共计60分，请将答案填到答题卷的相应位置处） 5、某次数学测验共有20题，每题答对得5分，不答得0分，答错得 –2分．若小丽这次测验得分是质数，则小丽这次最多答对 题．6、已知⊙O 的直径AB =20，弦CD 交AB 于G ，AG >BG ,CD =16,AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则AE-BF 为7、如图，两个反比例函数y ＝ k 1x 和y ＝ k 2x 在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交C 2于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形PAOB 的面积为8、若二次方程组 有唯一解，则k 的所有可能取值为9、设正△ABC 的边长为2，M 是AB 中点，P 是BC 边上任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别s 为和t ，则=-22t s10、在△ABC 中，AC=2011,BC=2010,20112010+=AB 则=•C A cos sin11、已知c b a ,,为实数且51,41,31=+=+=+c a ac c b bc b a ab ，则ca bc ab abc++= 12、已知Rt △ABC 的三个顶点A 、B 、C 均在抛物线2x y =上，且斜边AB 平行于x 轴，设斜边上的高为h ，则h 的取值为 13、方程xx x 222=-的正根个数为 14、已知,24+=+n b a ,1=ab ,若221914919b ab a ++ 的值为2011，则n = 15、任意选择一个三位正整数，其中恰好为2 的幂的概率为122=-y x 1)2(+-=x k y仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢1316、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB= 4．作△PQR 使得∠R=90°，点H 在边QR上，点D ，E 在边PR 上，点G ，F 在边PQ 上，那么△PQR 的周长等于第Ⅱ卷（答题卷）一、选择题：(每小题5分，共计20分)题号 1 2 3 4 答案二、填空题：(每小题5分，共计60分)5．____________ 6．____________ 7．____________ 8．____________ 9．____________ 10．____________ 11．____________ 12．____________ 13．____________ 14．____________ 15．____________ 16．____________ 三、解答题：（本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤)///////////////////////////////////// 线封 ___________________________ 考号_________________仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢1317.(本小题10分) 能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和？如果能填，请填出一个例；如果不能填，请说明理由。
18. (本小题12分) 如图是一个长为400米的环形跑道，其中Ａ，Ｂ为跑道对称轴上的两点，且Ａ，Ｂ之间有一条50米的直线通道．甲乙两人同时从Ａ点出发，甲按逆时针方向以速度1v 沿跑道跑步，当跑到Ｂ时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度2v 沿跑道跑步，当跑到Ｂ时沿直线通道跑回Ａ点处，假设两人跑步的时间足够长．求：（1）如果12:3:2v v =，那么甲跑了多少路程后，两人首次在Ａ点处相遇； （2）如果12:5:6v v =，那么乙跑了多少路程后，两人首次在Ｂ点处相遇．19. (本小题12分) 已知：如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是劣弧BC 的中点， AD 交BC 于点E ，连结AB .（1）求证：2AB AE AD =⋅；（2）过点D 作⊙O 的切线，与BC 的延长线交于点A B甲 乙 甲 乙仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13若AE =2，ED =4，求EF 的长．20. (本小题12分) 2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸。
山坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）。
已知山坡的坡角∠AEF =23°，量得树干的倾斜角为∠BAC =38°,大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC =60°,AD =4m 。
（1）求∠DAC 的度数；（2）求这棵大树折点C 到坡面AE 的距离？（结果精确到个位，参考数据：2 1.4=，3 1.7=，6 2.4=）．C 60°38° B D E23° A F21. (本小题12分)如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）。
（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC∆的最大面积.x仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢13仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢1322. (本小题12分) 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，以y 轴正半轴上一点(0,)A m （m 为非零常数）为端点，作与y 轴正方向夹角为60°的射线l ，在l 上取点B ，使AB =4k (k 为正整数)，并在l 下方作∠ABC =120°，BC=2OA ，线段AB ，OC 的中点分别为D ，E ．（1）当m =4，k =1时，直接写出B ，C 两点的坐标； （2）若抛物线212y x m k =-++的顶点恰好为D 点，且DE=cos ∠ODE 的值；（3）当k =1时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 1，E 1；当k =3时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 3，E 3，求直线13E E 的解析式及四边形1331D D E E 的面积（用含m 的代数式表示）．南充高中2011年面向省内外自主招生考试数学试卷（顺庆校区）（考试时间：120分钟试卷总分：150分）参考答案一、选择题：(每小题5分，共计20分)二、填空题：(每小题5分，共计60分)5．_______17_____6．______12______7．____k1－k2 ________仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢13仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢138．_____±1_______ 9．______43______ 10．______22010()2011_____ 11．______16______ 12．_____1_______13．___0_________14．______2或－3____ 15．___1300_______ 16．______27133+____三、解答题：（本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤)17.(本小题10分) 能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和？如果能填，请填出一个例；如果不能填，请说明理由。
解：不能填。
……………………………………2分 理由如下：设所填的互不相同的4个数为a, b, c, d ；则有…………………6分①－②得 2222c d d c -=-即22d c = 因为： c ≠ d ，只能是c = -d ④同理可得 22b c = 因为 c ≠b ,只能c = -b ⑤①② ③比较④，⑤得b=d ,与已知b ≠d 矛盾，所以题设要求的填数法不存在。
…………10分18. (本小题12分) 如图是一个长为400米的环形跑道，其中Ａ，Ｂ为跑道对称轴上的两点，且Ａ，Ｂ之间有一条50米的直线通道．甲乙两人同时从Ａ点出发，甲按逆时针方向以速度1v 沿跑道跑步，当跑到Ｂ时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度2v假设两人跑步的时间足够长．求：（1）如果12:3:2v v =（2）如果12:5:6v v =解：（1）设甲跑了n 圈后，两人首次在A 两人的速度分别为123,2v m v m ==由题意可得在A 处相遇时，他们跑步的时间是400800233n m n m •= 因乙跑回到A 点处，所以8003n 应是250的整数倍，从而知n 的最小值是15，此时，甲跑过的路程为400×15=6000（米）故甲跑了6000米后，两人首次在A 点处相遇……………………………….6分 （2）设乙跑了250p+200米，甲跑了400q+200米时，两人首次在B 处相遇，设甲、乙两人的速度分别为125,6v m v m ==，由题意可得40020025020056q p m m ++=，即845456q p ++=所以48242520q p +=+，即48425(,q p p q +=均为正整数），,p q ∴的最小值为2与4此时，乙跑过的路程为250×4+200=1200米故乙跑了1200米后，两人首次在B 点处相遇………………………………………..12分19. (本小题12分) 已知：如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是劣弧BC 的中点，AD 交BC 于点E ，连结AB .（1）求证：2AB AE AD =⋅；（2）过点D 作⊙O 的切线，与BC 的延长线交于点F 若AE =2，ED =4，求EF 的长． （1）证明：如图4．∵ 点A 是劣弧BC 的中点，∴ ∠ABC ＝∠ADB ．………………………2分 又∵ ∠BAD ＝∠EAB ，∴ △ABE ∽△ADB ．………………………4分 ∴AB ADAE AB=． ∴ 2AB AE AD =⋅．………………………………………………………6分 （2）解：∵ AE =2，ED =4，∴()22612AB AE AD AE AE ED =⋅=+=⨯=．∴AB =8分 ∵ BD 为⊙O 的直径， ∴ ∠A =90︒．又∵ DF 是⊙O 的切线， ∴ DF ⊥BD. ∴ ∠BDF =90︒．在Rt △ABD中，tan AB ADB AD ∠== ∴ ∠ADB =30︒． ∴ ∠ABC =∠ADB =30︒. ∴∠DEF=∠AEB=60︒，903060EDF BDF ADB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∴ ∠F =18060DEF EDF ︒-∠-∠=︒． ∴ △DEF 是等边三角形．∴ EF =DE =4．………………………………………………………………12分20. (本小题12分) 2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸。