【高考导航】2018届高三数学理一轮复习第5章第2节等差数列及其前n项和

必记结论 1.若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，„(k，m∈N*) 是公差为md的等差数列． 2．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，„也是等差数列． 3．S2n－1＝(2n－1)an. nd 4．若n为偶数，则S偶－S奇＝ 2 ； 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
[自主诊断] 1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于( B ) A．12 C．14 B．13 D．15
5a1＋a5 解析：由题意得S5＝ ＝5a3＝25，故a3＝5，公差d＝a3－a2＝2， 2 a7＝a2＋5d＝3＋5×2＝13.
1 2．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S4＝20，则S6等于( D ) A．16 C．36 B．24 D．48
法一：由等差数列前n项和公式 可得 Sn＋2－Sn＝(n＋2)a1＋
n＋2n＋1 nn－1 d－ na1＋ 2 2 d
即时应用
A．5 C．7
B．6 D．8
＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋4n＋2＝ 36，∴n＝8，故选D. 法二：由Sn＋2－Sn＝an＋2＋an＋1＝ a1＋a2n＋2＝36，因此a2n＋2＝a1＋ (2n＋1)d＝35，解得n＝8，故选 D.
解析：a1＋a3＋a5＝105⇒a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，则{an}的公差d＝ 33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，Sn＝－n2＋40n，因此当Sn取得最大值时，n＝ 20.
5．(2016· 高考北京卷)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5
6 ＝0，则S6＝________.
3．等差数列的有关性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和． (1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)， 则有am＋an＝ap＋aq. (2)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是 递增 数列； 当d＜0时，{an}是 递减 数列；当d＝0时，{an}是 常数列 ．
4．等差数列的前n项和公式与函数的关系 d d 2 Sn＝2n ＋a1－2 n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 5．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最 大 值；若a1＜0，d＞0，则Sn存 在最 小 值．
考点二
(2)求数列{an}的通项公式．
1 (2)由(1)可得S ＝2n，
n
1 ∴Sn＝2n. 当n≥2时， 1 1 an＝Sn－Sn－1＝2n－ 2n－1 n－1－n 1 ＝ ＝－ . 2nn－1 2nn－1 1 当n＝1时，a1＝2不适合上式． 1，n＝1， 2 故an＝ 1 －2nn－1，n≥2.
na5＋an－4 n a n，Sn中三个便可求出其余两 ＝ ＝ 2 2 ×32＝16n＝ 个，即“知三求二”，“知三求 336，解得n＝21，故选D. 二”的实质是方程思想，即建立
方程组求解.
[即时应用 考点一 ]
1．(1)(2017· 陕西八校联考)在等差数列{an} 中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋„ ＋a9，则m的值为( A )
①设{an}的公差为d，据已知有7＋ 21d＝28，解得d＝1. 所以{an}的通项公式为an＝n. b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101 ＝[lg 101]＝2. ②因为bn＝
即时应用
[0.9]＝0，[lg1 000项和．
思维升华
1.等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔ am－an ＝d(m≠n)，其几 m－n
何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差． (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝„＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an.
考点二
变式点2 若将母题条件变为“数列{an}的前n项和为
证明：∵2Sn－nan＝n，① ∴当n≥2时，2Sn－1－(n－1)an－
1＝n－1，②
Sn(n∈N*)，2Sn－nan＝n，”求证：{an}为等差数列．
∴①－②得：(2－n)an＋(n－ 1)an－1＝1， (1－n)an＋1＋nan＝1，∴2an＝an－
9×8 am＝a1＋a2＋„＋a9＝9a1＋ 2 d＝36d＝a37，∴m＝37.故选A.
即时应用
A．37 C．20
B．36 D．19
[即时应用 考点一 ]
(2)(2016· 高考全国Ⅱ卷)Sn为等差数列{an} 的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如
解析：利用等差数列的等差中项和前n项和公式求解． ∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0. ∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2. 6×6－1 ∴S6＝6a1＋ d＝6. 2
考点一
等差数列的基本运算
1．(1)(2017· 武汉调研)已知数列{an}是等差 数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的 公差d等于( C )
[知识梳理] 1．等差数列的概念 (1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数 那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的 公差 用字母d表示． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常 数)． ，
，公差通常
1＋an＋1(n≥2)，
∴数列{an}为等差数列．
考点二
变式点3
n
若母题条件变为“数列{an}满足a1＝1，an＋1 2 ，”求证：数列{bn} 2an－1
1 ＝1－4a ，其中n∈N*.设bn＝
是等差数列，并求出{an}的通项公式an.
2 － 2an＋1－1 2an－1 2 2 ＝ － 1 2an－1 21－4a －1 bn＋1－bn＝
1 1 1 是首项为 又 S ＝ a ＝2，故 S n 1 1
2．(2017· 日照实验高中模拟)若数列{an}的前n项和为Sn，且 1 满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝2. 1 (1)求证： S 成等差数列；
n
2，公差为2的等差数列．
目录
第五章 数 列
CONTENTS
1 高考导航 考纲下载 2 3 4 5
主干知识 自主排查 核心考点 互动探究
真题演练 明确考向
第二节 等差数列及其前n项
和
课时作业
1.理解等差数列的概念． 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问 题． 4.了解等差数列与一次函数的关系．
即时应用
A．4 C．6
B．5 D．7
考点三
(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且
(3)∵S10，S20－S10，S30－S20成等 差数列， ∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，
60 S10＝10，S20＝30，则S30＝________.
即时应用
∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.
方法
适合题型
是等差数列 等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成 立⇔{an}是等差数列
解答题中证明问题
思维升华
方法 通项公式法 解读 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的 正整数n都成立⇔{an}是等差数列 验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对 前n项和公式法 任意的正整数n都成立⇔{an}是等 差数列 选择、填空 题中的判定 问题 适合题型

2
n
4an 2 － ＝2. 2an－1 2an－1 所以数列{bn}是等差数列， a1＝1，b1＝2， 因此bn＝2＋(n－1)×2＝2n， n＋1 2 由bn＝ 得an＝ 2n . 2an－1 ＝
思维升华
等差数列的判定与证明方法 解读
对于n≥2的任意自然数，an－an－ 定义法
* 1(n≥2，n∈N )为同一常数⇔{an}
考点二
变式点1 试判断母题中数列{an}是不是等差数列．
当n≥2时，an＋1＝ －1 ， 2nn＋1
－1 －1 而an＋1－an＝ － 2nn＋1 2nn－1 1 －1 1 ＝ 2n n＋1－n－1

＝
1 . nn－1n＋1
∴当n≥2时，an＋1－an的值不是 一个与n无关的常数，故数列{an} 不是等差数列．
0，1≤n＜10， 1，10≤n＜100， 2，100≤n＜1 000， 3，n＝1 000，
所以数列{bn}的前1 000项和为1×90 ＋2×900＋3×1＝1 893.
考点二
等差数列的判断与应用
(1)证明：当n≥2时，由an＋ 2SnSn－1＝0， 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1， 1 1 所以 S － ＝2， S n－ 1 n
思维升华
2.求等差数列前n项和Sn最值的2种方法 (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助 图象求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法：
考点三
等差数列的性质及最值
3．(1)(2017· 银川模拟)已知等差数列{an}的 公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32， 若am＝8，则m的值为( A )
(1)由a3＋a6＋a10＋a13＝32，得 (a3＋a13)＋(a6＋a10)＝32，得4a8 ＝32，∴a8＝8，∴m＝8.故选A.
a＋b (2)若a，A，b成等差数列，则A叫作a，b的等差中项，且A＝ 2
.
2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝ 通项公式的推广：an＝am＋