【配套K12】江苏省2019高考数学二轮复习 考前回扣3 三角函数、解三角形、平面向量学案
江苏专用2019高考数学二轮复习解答题专项练三角函数与解三角形
2.三角函数与解三角形1.已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值. 解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2.(2)因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2sin π6＝43＋310.2.已知△ABC 中，AC ＝2，A ＝2π3，3cos C ＝3sin B .(1)求AB ；(2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为334，求∠ADC 的正弦值.解 (1)因为A ＝2π3，所以B ＝π3－C ，由3cos C ＝3sin B 得，cos C ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ，所以cos C ＝3⎝⎛⎭⎪⎫32cos C －12sin C ＝32cos C －32sin C ，所以12cos C ＝32sin C ，即tan C ＝33.又因为C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，所以C ＝π6，从而得B ＝π3－C ＝π6，所以AB ＝AC ＝2.(2)由已知得12·AC ·CD sin π6＝334，所以CD ＝332，在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ＝74，即AD ＝72， 由正弦定理得，ADsin C ＝ACsin∠ADC ，故sin∠ADC ＝AC sin C AD ＝277. 3.已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(A ＞0，ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫π3，32. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若角α满足f (α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，α∈(0，π)，求角α的值. 解 (1)由条件知周期T ＝2π， 即2πω＝2π，所以ω＝1，即f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.因为f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，所以A sin 2π3＝32，所以A ＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由f (α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π2＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝1， 即sin α＝12.因为α∈(0，π)，所以α＝π6或5π6.4.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin 2C ＝c sin B . (1)求角C 的大小；(2)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，求sin A 的值.解 (1)由b sin 2C ＝c sin B ，根据正弦定理得 2sin B sin C cos C ＝sin C sin B .因为sin B ＞0，sin C ＞0，所以cos C ＝12.又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)因为C ＝π3，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝45.又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3 ＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3－cos π3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝32×45－12×35＝43－310. 5.已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，求t 的值；(2)若t ＝1，且a·b ＝1，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值.解 (1)方法一 因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.由cos α－sin α＝15，得(cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425.所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝75，所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925.方法二 因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )， 且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＋152＝1，整理得50sin 2α＋10sin α－24＝0， 解得sin α＝－45或sin α＝35.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＞0，所以sin α＝35， 从而t ＝sin 2α＝925.(2)方法一 因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α≠0，从而tan α＝14.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝815. 从而tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tanπ41－tan 2α·tan π4＝815＋11－815＝237.方法二 因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 所以2sin 2α＝1＋cos 2α2，即4sin 2α－cos 2α＝1，又sin 22α＋cos 22α＝1，所以sin 22α＋(4sin 2α－1)2＝1， 整理得17sin 22α－8sin 2α＝0， 解得sin 2α＝817或sin 2α＝0.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，所以sin 2α＞0，所以sin 2α＝817，代入4sin 2α－cos 2α＝1，得cos 2α＝1517，因为tan 2α＝sin 2αcos 2α＝815，从而tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tanπ41－tan 2α·tan π4＝815＋11－815＝237.6.已知函数f (x )＝23·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且角A 满足f (A )＝3＋1，若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .解 (1)f (x )＝23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝3sin 2x ＋cos 2x ＋3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋ 3.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .(2)由f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋3＝3＋1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，因为A ∈(0，π)，所以2A ∈(0,2π)，2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2A ＋π6＝5π6，则A ＝π3，又BC 边上的中线长为3，所以|AC →＋AB →|＝6，所以|AC →|2＋|AB →|2＋2AC →·AB →＝36，即b 2＋c 2＋2bc cos A ＝36，所以b 2＋c 2＋bc ＝36， ①由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝9， ②由①②得，bc ＝272，所以S ＝12bc sin A ＝2738.。
2019江苏高考数学二轮练习教学案(祥解)--三角变换与解三角形
2019江苏高考数学二轮练习教学案（祥解）--三角变换与解三角形注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
1.掌握三角函数的公式(同角三角函数关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式)及应用；能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明；掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形、2.在复习过程中，要熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点及常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法(化弦法、降幂法、角的变换法、“1”的变换等)；掌握化简、求值和解三角形的常规题型；要注意掌握公式之间的内在联系、3.近年来高考对三角函数与向量联系问题的考查有所增加，三角函数知识在几何及实际问题中的应用也是考查重点，应给予充分的重视、新教材降低了对三角函数恒等变形的要求，但对两角和的正切考查一直是重点、1.假设tan α＝3，那么sin2αcos 2α的值等于________.2.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________、3.在△ABC 中，tanA ＝12，tanC ＝13，那么角B 的值为________、4.在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，那么AC cosA 的值等于________、【例1】cos α＝17，cos(α－β)＝1314且0<β<α<π2.(1)求tan2α的值；(2)求β.【例2】在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a 2－c 2＝2b ，且sinAcosC ＝3cosAsinC ，求b.【例3】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，sinC ＋cosC ＝1－sin C2.(1)求sinC 的值；(2)假设a 2＋b 2＝4(a ＋b)－8，求边c 的值、【例4】sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f(x)、(1)求f(x)的解析式；(2)假设角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域、1.(2017·全国)α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，那么cos α＝________.2.(2017·江苏)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，那么tanx tan2x 的值为________、3.(2017·重庆)sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，那么cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________、 4.(2017·广东)a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，假设a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，那么sinC ＝________.5.(2017·广东)函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值、6.(2017·全国)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ；asinA ＋csinC －2asinC ＝bsinB.(1)求B ；(2)假设A ＝75°，b ＝2，求a ，c.(本小题总分值14分)函数f(x)＝2cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x 2－sin x 2.(1)设θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且f(θ)＝3＋1，求θ的值；(2)在△ABC 中，AB ＝1，f(C)＝3＋1，且△ABC 的面积为32，求sinA ＋sinB 的值、解：(1)f(x)＝23cos 2x 2－2sin x 2cos x 2＝3(1＋cosx)－sinx ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋ 3.(3分) 由2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋3＝3＋1,得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝12.(5分)于是x ＋π6＝2k π±π3(k ∈Z )，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以x ＝－π2或π6.(7分)(2)因为C ∈(0，π)，由(1)知C ＝π6.(9分) 因为△ABC 的面积为32，所以32＝12absin π6，于是ab ＝23，①在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a 、b ，由余弦定理得1＝a 2＋b 2－2abcos π6＝a 2＋b 2－6，所以a 2＋b 2＝7，② 由①②可得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝2.于是a ＋b ＝2＋ 3.(12分)由正弦定理得，sinA a ＝sinB b ＝sinC 1＝12，所以sinA ＋sinB ＝12(a ＋b)＝1＋32.(14分)第8讲三角变换与解三角形1.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，假设(a 2＋c 2－b 2)tanB ＝3ac ，那么角B 的值为________、 【答案】π3或2π3解析：由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝cosB,∴tanB ·cosB ＝32，sinB ＝32，B 为π3或2π3.2.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a ＋c a ＋b ＝b －ac ，(1)求角B 的大小；(2)假设△ABC 最大边的边长为7，且sinC ＝2sinA ，求最小边边长、解：(1)由a ＋c a ＋b ＝b －ac 整理得(a ＋c)c ＝(b －a)(a ＋b)，即ac ＋c 2＝b 2－a 2，∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3.(2)∵B ＝2π3，∴最长边为b ，∵sinC ＝2sinA ，∴c ＝2a ，∴a 为最小边，由余弦定理得(7)2＝a 2＋4a 2－2a ·2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得a 2＝1，∴a ＝1，即最小边边长为1. 基础训练1.6解析：sin2αcos 2α＝2tan α.2.－45解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453化为32cos α＋12sin α＋sin α＝435，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45.3.3π4解析：tanB ＝tan(π－A －C)＝－tan(A ＋C)＝－tanA ＋tanC1－tanAtanC ＝－1.4.2解析：由正弦定理得BC sinA ＝AC sinB ，1sinA ＝AC sin2A ，1sinA ＝AC 2sinAcosA ，ACcosA ＝2. 例题选讲例1解：(1)cos α＝17，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝437，tan α＝43，tan2α＝－8347.(2)cos β＝cos(α－(α－β))＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝12，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β＝π3. 例2解：(解法1)在△ABC 中，∵sinAcosC ＝3cosAsinC ，那么由正弦定理及余弦定理有a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3×b 2＋c 2－a 22bc ·c ，化简并整理得：2(a 2－c 2)＝b 2，又由a 2－c 2＝2b ，∴4b ＝b 2，解得b ＝4或0(舍)、(解法2)由余弦定理得：a 2－c 2＝b 2－2bccosA.又a 2－c 2＝2b ，b ≠0.所以b ＝2ccosA ＋2，①又sinAcosC ＝3cosAsinC ，∴sinAcosC ＋cosAsinC ＝4cosAsinC ，sin(A ＋C)＝4cosAsinC ，即sinB ＝4cosAsinC ，由正弦定理得sinB ＝b c sinC ，故b ＝4ccosA ，②由①②，解得b ＝4.变式训练在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.(1)假设c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积S ＝3，求a ，b 的值；(2)假设sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，试判断△ABC 的形状、解：(1)由余弦定理及条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由题意得sinBcosA ＝sinAcosA ，当cosA ＝0时，A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当cosA ≠0时，得sinB ＝sinA ，由正弦定理得a ＝b ，△ABC 为等腰三角形、所以，△ABC 为直角三角形或等腰三角形、例3解：(1)由得2sin C 2cos C 2＋1－2sin 2C 2＝1－sin C 2，即sin C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos C 2－2sin C 2＋1＝0，由sin C 2≠0得2cos C 2－2sin C 2＋1＝0，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方得：sinC ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12＞0知sin C 2＞cos C 2，那么π4＜C 2＜π2，即π2＜C ＜π，那么由sinC ＝34得cosC ＝－74，又a 2＋b 2＝4(a ＋b)－8，即(a －2)2＋(b －2)2＝0，故a ＝b ＝2，所以由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝8＋27，c ＝7＋1.变式训练△ABC 中，a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 的对边，关于x 的不等式x 2cosC ＋4xsinC ＋6＜0的解集是空集、(1)求角C 的最大值；(2)假设c ＝72，△ABC 的面积S ＝323，求当角C 取最大值时a ＋b 的值、解：(1)∵不等式x 2cosC ＋4xsinC ＋6＜0的解集是空集、∴⎩⎪⎨⎪⎧ cosC ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ cosC ＞0，16sin 2C －24cosC ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧ cosC ＞0，cosC ≤－2或cosC ≥12， 故cosC ≥12，而cosC ＝0时解集不是空集、∴角C 的最大值为60°.(2)当C ＝60°时，S △ABC ＝12absinC ＝34ab ＝323，∴ab ＝6，由余弦定理得c 2＝a 2＋b2－2abcosC ＝(a ＋b)2－2ab －2abcosC ，∴(a ＋b)2＝c 2＋3ab ＝1214，∴a ＋b ＝112. 例4解：(1)(解法1)注意角的变换2α＋β＝(α＋β)＋α，β＝(α＋β)－α.(1)由sin(2α＋β)＝3sin β得，sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，那么sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∴tan(α＋β)＝2tan α，于是tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy ＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f(x)＝x1＋2x 2.(解法2)直接展开，利用“1”的变换、sin2αcos β＋cos2αsin β＝3sin β，2sin αcos αcos β＋(cos 2α－sin 2α)sin β＝3sin β，2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2αtan β＝3tan β，2tan α1＋tan 2α＋1－tan 2α1＋tan 2αtan β＝3tan β，∴y ＝x 1＋2x 2，即f(x)＝x1＋2x 2.(2)∵α角是一个三角形的最小内角，∴0<α≤π3，0＜x ≤3，f(x)＝12x ＋1x，设g(x)＝2x ＋1x ，那么g(x)＝2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时取等号)，故函数f(x)的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，24.高考回顾1.－55解析：由cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1＝15，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＜0，所以cos α＝－55.2.49解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tanx 1－tanx ＝2,∴tanx ＝13，∴tanx tan2x ＝tanx 2tanx 1－tan 2x ＝1－tan 2x 2＝49.3.－142解析：sin α＝12＋cos α得sin α－cos α＝12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝24，cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，sin α－cos α＝12，π4＜α＜π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝144，cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2×144＝－142. 4.1解析：由三角形内角和定理得B ＝π3，根据正弦定理得1sinA ＝3sin π3，即sinA ＝12，1＜3，∴A ＜B ，∴A ＝π6，C ＝π2，sinC ＝1.5.解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝2sin α＝1013，∴sin α＝513，∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝1213.f(3β＋2π)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β＝65，∴cos β＝35，∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213·35－513·45＝1665.6.解：(1)由正弦定理asinA ＋csinC －2asinC ＝bsinB ，可变形为a 2＋c 2－2ac ＝b 2，即a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)由sinA ＝sin(45°＋30°)＝2＋64·sinC ＝sin60°＝32. 由正弦定理a ＝bsinA sinB ＝2×2＋6422＝3＋1，同理c ＝bsinC sinB ＝2×3222＝ 6.。
江苏省2019高考数学二轮复习 专题七 应用题 第2讲 解三角形、几何中的应用题学案
第2讲解三角形、几何中的应用题[考情考向分析] 和三角形有关的应用题，可以利用正弦定理、余弦定理解三角形，进而解决实际问题；和几何图形有关的应用题，可以利用平面几何知识或者建立平面直角坐标系转化成解析几何问题，利用直线或者曲线方程解决．热点一和解三角形有关的应用题例1 如图所示，在某东西公交路线的南侧有一个临时停靠站台，为了方便乘客，打算在站台的一面东西方向的长方形墙体ABHG上用AB＝5 m，BC＝1 m的矩形角钢焊接成一个简易的遮阳棚(将AB放在墙上)．当太阳光线与水平线的夹角θ分别满足下列情况时，要使此时遮阳棚的遮阴面积最大，应将遮阳棚ABCD所在的平面与矩形HEFG所在的路面所成的α设置为多大角度？(1)θ＝90°；(2)θ＝80°.解(1)如图1，当θ＝90°时，太阳光线垂直于地面，遮阳棚只有与地面平行时，遮阴面积最大， 故遮阳棚ABCD 所在的平面与水平面所成角α＝0°.(2)如图2，在平面CBHE 内，过点C 作直线IJ ，与直线HE 交于I ，与直线HB 的延长线交于J ，并使得∠CIH ＝80°，由题意可知，∠CBH ＝α＋90°. 在Rt△IHJ 中，tan 80°＝HJ HI ＝HB ＋BJ HI ，即HI ＝HB ＋BJtan 80°，欲使得HI 取到最大值，只需HB ＋BJ 取到最大值， 而站台高HB 为定长，故只需BJ 取到最大值即可．在△BCJ 中，∠BJC ＝10°，∠BCJ ＝α＋80°，由正弦定理得，BJsin (α＋80°)＝BC sin∠BJC ＝1sin 10°，即BJ ＝sin (α＋80°)sin 10°，故当α＝10°时，BJ 取到最大值，此时HI 也取到最大值， 又S 阴＝GH ×HI ＝5HI ，所以此时遮阳棚的遮阴面积最大．思维升华 用正、余弦定理去解决具体设计问题时，应关注图形的特点，找出已知量及所求的量，转化为三角形的边角，再利用正弦、余弦定理构造方程或三角函数式求解． 跟踪演练1 如图，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200 m ，斜边AB ＝400 m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D ，E ，F .(1)若甲、乙都以每分钟100 m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲晚2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2)设∠CEF ＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲、乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离． 解 (1)依题意得BD ＝300 m ，BE ＝100 m ，在△ABC 中，cos B ＝BC AB ＝12，∴B ＝π3，在△BDE 中，由余弦定理，得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE ·cos B＝3002＋1002－2·300·100·12＝70 000，∴DE ＝1007 m ，答 甲、乙两人之间的距离为1007 m. (2)由题意得EF ＝2DE ＝2y ，∠BDE ＝∠CEF ＝θ， 在Rt△CEF 中，CE ＝EF ·cos∠CEF ＝2y cos θ， 在△BDE 中，由正弦定理得BE sin∠BDE ＝DEsin∠DBE ，即200－2y cos θsin θ＝ysin 60°，∴y ＝10033cos θ＋sin θ＝503sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，0＜θ＜π2，∴当θ＝π6时，y 有最小值50 3.答 甲、乙之间的最小距离为50 3 m. 热点二 和立体几何有关的应用题例2 (2018·淮安四市模拟)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2.已知圆O 的半径为10 cm ，设∠BAO ＝θ，0<θ<π2，圆锥的侧面积为S cm 2.(1)求S 关于θ的函数关系式；(2)为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长度． 解 (1)设AO 的延长线交BC 于点D ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，在△AOE 中，AE ＝10cos θ，AB ＝2AE ＝20cos θ，在△ABD 中，BD ＝AB ·sin θ＝20cos θ·sin θ，所以S ＝400πsin θcos 2θ，0<θ<π2.(2)要使侧面积最大，由(1)得S ＝400πsin θcos 2θ＝400π(sin θ－sin 3θ)令x ＝sin θ，所以得f (x )＝x －x 3， 由f ′(x )＝1－3x 2＝0得x ＝33， 当⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1时，f ′(x )<0， 所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1上单调递减， 所以f (x )在x ＝33时取得极大值，也是最大值； 所以当sin θ＝33时，侧面积S 取得最大值， 此时等腰三角形的腰长AB ＝20cos θ＝201－sin 2θ＝201－⎝⎛⎭⎪⎫332＝2063. 答 侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为2063cm.思维升华 和立体几何有关的应用题，主要通过研究空间几何体的结构特征和面积、体积的计算解决实际问题，解题的关键是抓住物体的几何特征，将实际中的物体抽象成立体几何中的柱、锥、台、球等规则几何体．跟踪演练2 (2018·南通等六市模拟)将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形(B ，C 全等)，用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以l 1为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l 1为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形(各边分别与l 1或l 2垂直)作为正四棱柱的两个底面．(1)设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径； (2)设l 1的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？ 解 (1)设所得圆柱的半径为r dm ，则()2πr ＋2r ×4r ＝100，解得r ＝52()π＋12()π＋1.(2)设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤x 2，a ≤100x －4a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤x2，a ≤20x .所得正四棱柱的体积V ＝a 2x ≤⎩⎪⎨⎪⎧x 34，0<x ≤210，400x ，x >210.记函数p ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 34，0<x ≤210，400x ，x >210.则p ()x 在(]0，210上单调递增，在[)210，＋∞上单调递减． ∴当x ＝210时， p ()x max ＝2010.∴当x ＝210， a ＝10时， V max ＝ 2010 dm 3. 又2a ≤x ≤20a，从而a ≤10.所得正四棱柱的体积V ＝a 2x ≤a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫20a＝20a ≤2010.∴当a ＝10， x ＝210时， V max ＝ 2010dm 3.答 (1)圆柱的底面半径为52()π＋12()π＋1 dm ；(2)当x 为210时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大． 热点三 和解析几何有关的应用题例3 如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中AE ＝30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tan θ＝34.(1)若设计AB ＝18米，AD ＝6米，问能否保证上述采光要求？(2)在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？(注：计算中π取3)解 如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．(1)因为AB ＝18米，AD ＝6米，所以半圆的圆心为H (9,6)，半径r ＝9. 设太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋b ，即3x ＋4y －4b ＝0，则由|27＋24－4b |32＋42＝9， 解得b ＝24或b ＝32(舍)．故太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋24,令x ＝30，得EG ＝1.5＜2.5. 所以此时能保证上述采光要求．(2)设AD ＝h 米，AB ＝2r 米， 则半圆的圆心为H (r ，h )，半径为r .方法一 设太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋b ，即3x ＋4y －4b ＝0， 由|3r ＋4h －4b |32＋42＝r ，解得b ＝h ＋2r 或b ＝h －r2(舍)． 故太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋h ＋2r ，令x ＝30，得EG ＝2r ＋h －452，由EG ≤52，得h ≤25－2r .所以S ＝2rh ＋12πr 2＝2rh ＋32×r 2≤2r (25－2r )＋32×r 2＝－52r 2＋50r ＝－52(r －10)2＋250≤250.当且仅当r ＝10时取等号． 所以当AB ＝20米且AD ＝5米时， 可使得活动中心的截面面积最大． 方法二 欲使活动中心内部空间尽可能大， 则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为(30,2.5)， 设过点G 的上述太阳光线为l 1，则l 1所在直线方程为y －52＝－34(x －30)，即3x ＋4y －100＝0.由直线l 1与半圆H 相切，得r ＝|3r ＋4h －100|5.而点H (r ，h )在直线l 1的下方，则3r ＋4h －100＜0， 即r ＝－3r ＋4h －1005，从而h ＝25－2r .又S ＝2rh ＋12πr 2＝2r (25－2r )＋32×r 2＝－52r 2＋50r ＝－52(r －10)2＋250≤250.当且仅当r ＝10时取等号．所以当AB ＝20米且AD ＝5米时， 可使得活动中心的截面面积最大．思维升华 以解析几何为背景的应用题，一般要建立坐标系，然后转化为三角知识或二次函数或用基本不等式来求解．解析几何型应用题是高考的冷点，但在复习时要引起重视． 跟踪演练3 如图是一块地皮OAB ，其中OA ，AB 是直线段，曲线段OB 是抛物线的一部分，且点O 是该抛物线的顶点，OA 所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量，OA ＝2 km ，AB ＝ 2 km ，∠OAB ＝π4.现要从这块地皮中划一个矩形CDEF 来建造草坪，其中点C 在曲线段OB 上，点D ，E 在直线段OA 上，点F 在直线段AB 上，设CD ＝a km ，矩形草坪CDEF 的面积为f (a ) km 2.(1)求f (a )，并写出定义域；(2)当a 为多少时，矩形草坪CDEF 的面积最大？解 (1)以O 为原点，OA 边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，过点B 作BG ⊥OA 于点G ，在Rt△ABG 中，AB ＝2，∠OAB ＝π4，所以AG ＝BG ＝1，又因为OA ＝2， 所以OG ＝1，则B (1,1)，设抛物线OCB 的标准方程为y 2＝2px (p >0)， 代入点B 的坐标，得p ＝12，所以抛物线的方程为y 2＝x .因为CD ＝a ，所以AE ＝EF ＝a ，则DE ＝2－a －a 2， 所以f (a )＝a (2－a －a 2)＝－a 3－a 2＋2a ， 定义域为(0,1)．(2)由(1)可知，f (a )＝－a 3－a 2＋2a ，则f ′(a )＝－3a 2－2a ＋2，令f ′(a )＝0，得a ＝7－13. 当0＜a ＜7－13时， f ′(a )＞0，f (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7－13上单调递增；当7－13＜a ＜1时， f ′(a )＜0，f (a )在⎝⎛⎭⎪⎫7－13，1上单调递减．所以当a ＝7－13时，f (a )取得极大值，也是最大值 答 当a ＝7－13时，矩形草坪CDEF 的面积最大．1．(2016·江苏)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO 1是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)V ＝13×62×2＋62×2×4＝312(m 3)．(2)设PO 1＝x ，则O 1B 1＝62－x 2(0<x <6)，B 1C 1＝2·62－x 2， ∴1111A B C D S ＝2(62－x 2)，又由题意可得下面正四棱柱的高为4x .则仓库容积V ＝13x ·2(62－x 2)＋2(62－x 2)·4x ＝263x (36－x 2)(0<x <6)．V ′＝263(36－3x 2)，由V ′＝0得x ＝23或x ＝－23(舍去)． 由实际意义知V 在x ＝23(m)处取到最大值， 故当PO 1＝2 3 m 时，仓库容积最大．2．(2017·江苏)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107 cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E 1G 1的长分别为14 cm 和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l ，其长度为40 cm(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)．(1)将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC 1上，求l 没入水中部分的长度；(2)将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中部分的长度．解 (1)由正四棱柱的定义可知，CC 1⊥平面ABCD ，所以平面A 1ACC 1⊥平面ABCD ，CC 1⊥AC ， 如图①，记玻璃棒的另一端落在CC 1上点M 处．①因为AC ＝107 cm ，AM ＝40 cm ， 所以MC ＝402－(107)2＝30 (cm)， 从而sin∠MAC ＝34.记AM 与水面的交点为P 1， 过P 1作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足， 则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1＝12 cm ， 从而AP 1＝P 1Q 1sin∠MAC＝16 (cm)．答 玻璃棒l 没入水中部分的长度为16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24 cm)(2)方法一 如图②，O ，O 1是正棱台的两底面中心．②由正棱台的定义可知，OO 1⊥平面EFGH ， 所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上的点N 处． 过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足， 则GK ＝OO 1＝32 cm.因为EG ＝14 cm ，E 1G 1＝62 cm ， 所以KG 1＝62－142＝24 (cm)，从而GG 1＝KG 21＋GK 2＝242＋322＝40 (cm)． 设∠EGG 1＝α，∠ENG ＝β， 则sin α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋∠KGG 1＝cos∠KGG 1＝45.因为π2<α<π，所以cos α＝－35.在△ENG 中，由正弦定理可得40sin α＝14sin β， 解得sin β＝725.因为0<β<π2，所以cos β＝2425.于是sin∠NEG ＝sin(π－α－β)＝sin(α＋β) ＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×2425＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×725＝35.记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2＝12，从而EP 2＝P 2Q 2sin∠NEG ＝20 (cm)．答 玻璃棒l 没入水中部分的长度为20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20 cm)方法二 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处，EN 与水面的交点为P ，过G 1作G 1H ′⊥EG ，垂足为H ′，易知G 1H ′＝32 cm ，GH ′＝24 cm ， 可得GG 1＝40 cm.所以cos∠G 1GH ′＝2440＝35，于是cos∠NGE ＝－35.由余弦定理得EN 2＝EG 2＋GN 2－2EG ·GN ·cos∠NGE ， 设GN ＝x cm ，上述方程整理得(x －30)(5x ＋234)＝0，x ＝30.过点N 作NK ⊥EG ，垂足为K ，过点P 作PQ ⊥EG ，垂足为Q . 由KN H ′G 1＝GN GG 1，得KN 32＝3040，解得KN ＝24 cm. 由PQ NK ＝EP EN ，得1224＝EP40，解得PE ＝20 cm. 答 玻璃棒l 没入水中部分的长度为20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20 cm)方法三 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处，EN 与水面的交点为P ，过G 1作G 1H ′⊥EG ，H ′为垂足，过N 作NK ⊥EG ，K 为垂足，过P 作PQ ⊥EG ，Q 为垂足．易知G 1H ′＝32 cm ，GH ′＝24 cm ， 得tan∠G 1GH ′＝3224＝43.所以KN GK ＝43，可设KN ＝4x ，GK ＝3x .在Rt△EKN 中，由勾股定理得(14＋3x )2＋16x 2＝402， 因式分解得(x －6)(25x ＋234)＝0， 解得x ＝6，KN ＝24 cm ，由PQ NK ＝EP EN ，得1224＝EP40，解得PE ＝20 cm. 答 玻璃棒l 没入水中部分的长度为20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20 cm)3．(2018·江苏扬州树人学校模拟)某市为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路M－N－P如图所示，已知A，B是东西方向主干道边两个景点，且它们距离城市中心O的距离均为8 2 km，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为4 km，线路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16 km，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6 km，线路NP段上的任意一点到O的距离都相等．以O为原点、线路AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.(1)求道路M－N－P的曲线方程；(2)现要在道路M－N－P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置(即确定点Q的坐标)?解(1)因为线路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16 km，所以线路MN段所在曲线是以点A，B为左、右焦点的双曲线的右上支，则其方程为x2－y2＝64(8≤x≤10,0≤y≤6)．因为线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，所以线路NP段所在曲线是以O为圆心、以ON长为半径的圆，由线路MN段所在曲线方程可求得N(8,0)，则其方程为x2＋y2＝64(y≤0)，综上得线路示意图所在曲线的方程为MN段：x2－y2＝64(8≤x≤10,0≤y≤6)，NP段：x2＋y2＝64 (－8≤x≤8，y≤0)．(2)①当点Q在MN段上时，设Q(x0，y0)，又C(0,4)，则CQ＝x20＋(y0－4)2，由(1)得x20－y20＝64，即CQ＝2y20－8y0＋80＝72＋2(y0－2)2，故当y0＝2时，CQ min＝6 2 km.②当点Q在NP段上时，设Q(x1，y1)，又C(0,4)，则CQ＝x21＋(y1－4)2，由(1)得x21＋y21＝64，即CQ＝－8y1＋80，故当y1＝0时，CQ min＝4 5 km.因为62<45，所以当Q的坐标为(217，2)时，可使Q到景点C的距离最近．4．(2018·南京、盐城模拟)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计)，一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD (如图甲所示)，再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示，重叠部分忽略不计)，其中OEMF 是以O 为圆心、∠EOF ＝120°的扇形，且弧EF ，GH 分别与边BC, AD 相切于点M, N .(1)当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积； (2)当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？ 解 (1)在图甲中，连结MO 交EF 于点T .设OE ＝OF ＝OM ＝R ，在Rt△OET 中，因为∠EOT ＝12∠EOF ＝60°，所以OT ＝R 2，则MT ＝OM －OT ＝R2.从而BE ＝MT ＝R2，即R ＝2BE ＝2.故所得柱体的底面积S ＝S 扇形OEF －S △OEF ＝13πR 2－12R 2sin 120°＝4π3－ 3. 又所得柱体的高EG ＝4， 所以V ＝S ×EG ＝ 16π3－4 3.答 当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为⎝ ⎛⎭⎪⎫16π3－43立方分米．(2)设BE ＝x ，则R ＝2x ，所以所得柱体的底面积S ＝S 扇形OEF －S △OEF ＝13πR 2－12R 2sin 120°＝⎝⎛⎭⎪⎫4π3－3x 2.又所得柱体的高EG ＝6－2x ， 所以V ＝S ×EG ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3－23()－x 3＋3x 2，其中0<x <3.令f (x )＝－x 3＋3x 2，x ∈()0，3，则由f ′()x ＝－3x 2＋6x ＝－3x ()x －2＝0，解得x ＝2.列表如下：所以当x ＝2时， f (x )取得极大值，也是最大值． 答 当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．A 组 专题通关1．(2018·南京模拟)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB ，AC 和以BC 为直径的半圆弧BC 组成，其中AC 为2(单位：百米)，AC ⊥BC ，∠A 为π3.若在半圆弧BC ，线段AC ，AB上各建一个观赏亭D ，E ，F ，再修两条栈道DE ，DF ，使DE ∥AB ，DF ∥AC . 记∠CBD ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≤θ<π2.(1)试用θ表示BD 的长；(2)试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大． 解 (1)连结DC .在△ABC 中，AC 为2，AC ⊥BC ，∠A 为π3，所以∠CBA ＝π6，AB ＝4，BC ＝2 3.因为BC 为直径，所以∠BDC ＝π2，所以BD ＝BC cos θ＝23cos θ.(2)在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋π6，∠BFD ＝π3，BD ＝23cos θ，所以由正弦定理得，DF sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝BFsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝BDsin∠BFD，所以DF ＝4cos θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ， 且BF ＝4cos 2θ，所以DE ＝AF ＝4－4cos 2θ， 所以DE ＋DF ＝4－4cos 2θ＋4cos θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝3sin 2θ－cos 2θ＋3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＋3.因为π3≤θ＜π2，所以π2≤2θ－π6＜5π6，所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，DE ＋DF 有最大值5，此时E 与C 重合．答 当E 与C 重合时，两条栈道长度之和最大．2．(2018·常州期末)已知小明(如图中AB 所示)身高1.8米，路灯OM 高3.6米， AB, OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点A ，O .点光源从M 发出，小明在地上的影子记作AB ′.(1)小明沿着圆心为O ，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB ′扫过的图形面积； (2)若OA ＝3米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段AA 1走到A 1, ∠OAA 1＝π3，且AA 1＝10米．t 秒时，小明在地面上的影子长度记为f ()t (单位：米)，求f ()t 的表达式与最小值． 解 (1)由题意AB ∥OM ，则AB ′OB ′＝AB OM ＝1.83.6＝12， OA ＝3，所以OB ′＝6， 小明在地面上的身影AB ′扫过的图形是圆环，其面积为π×62－π×32＝27π(平方米)． (2)经过t 秒，小明走到了A 0处，身影为A 0B 0′，由(1)知A 0B ′0OB ′0＝AB OM ＝12，所以f ()t ＝A 0B 0′＝OA 0＝OA 2＋AA 20－2OA ·AA 0cos∠OAA 0. 化简得f ()t ＝t 2－3t ＋9， 0<t ≤10,f ()t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋274，当t ＝32时， f ()t 的最小值为332. 答 f ()t ＝t 2－3t ＋9(0<t ≤10)，当t ＝32(秒)时，f ()t 的最小值为332(米)．3．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为80π3 立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3)千元，设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r . 解 (1)设容器的容积为V ， 由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3，又V ＝80π3，故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ， 由于l ≥2r ，因此0＜r ≤2， 所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c ，因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr，0＜r ≤2.(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr2＝8π(c －2)r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0＜r ≤2. 由于c ＞3，所以c －2＞0， 当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2.令320c －2＝m ，则m ＞0， 所以y ′＝8π(c －2)r2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2) ①当0＜m ＜2，即c ＞92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′＜0；当r ∈(m,2)时，y ′＞0.所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点． ②当m ≥2，即3＜c ≤92时，当r ∈(0,2)时，y ′＜0，函数单调递减， 所以r ＝2是函数y 的最小值点，综上所述，当3＜c ≤92，建造费用最小时r ＝2米，当c ＞92，建造费用最小时r ＝320c －2米． 4．(2018·全国大联考江苏卷)有一块边长为4百米的正方形生态休闲园ABCD ，园区一端是观景湖EHFCD (注：EHF 为抛物线的一部分)．现以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy .观景湖顶点H 到边AB 的距离为18百米．EA ＝FB ＝178百米．现从边AB 上一点G (可以与A ，B 重合)出发修一条穿过园区到观景湖的小路，小路与观景湖岸HF 段相切于点P .设点P 到直线AB 的距离为t 百米．(1)求PG 关于t 的函数解析式，并写出函数的定义域；(2)假设小路每米造价m 元，请问：t 为何值时小路造价最低，最低造价是多少？解 (1)由题意，设抛物线EHF 上点的坐标满足函数y ＝ax 2＋18(a >0)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫±2，178代入得，4a ＋18＝178， 解得a ＝12，即y ＝12x 2＋18.设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12x 20＋18，0<x 0≤2，则t ＝12x 20＋18，∵y ′＝x ，∴切线PG 的斜率为x 0，∴PG 所在直线的方程为y －12x 20－18＝x 0(x －x 0)，即y ＝x 0x －12x 20＋18.令y ＝0，得x ＝x 02－18x 0，∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－18x 0，0. ∴PG 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－18x 0－x 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－12x 20－182＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02＋18x 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 20＋182＝1＋x 20x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 20＋182，由t ＝12x 20＋18得x 20＝2t －14，代入上式得，PG 2＝t 2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋342t －14＝t 2(8t ＋3)8t －1，∴PG 关于t 的函数解析式为f (t )＝t8t ＋38t －1， ∵点G 在边AB 上，则－2≤x 02－18x 0≤2，解得⎩⎪⎨⎪⎧0＜x 0≤2＋172，x 0≥－2＋172，即－2＋172≤x 0≤2＋172. 又∵0<x 0≤2，∴－2＋172≤x 0≤2， 由t ＝12x 20＋18得，174－17≤t ≤178，∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪174－17≤t ≤178. (2)令g (t )＝f 2(t )＝2t 3＋34t22t －14，174－17≤t ≤178，则g ′(t )＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫8t 2－38⎝⎛⎭⎪⎫2t －142，令g ′(t )＝0，得t ＝38， 当174－17≤t <38时，g ′(t )<0； 当38<t ≤178时，g ′(t )>0， 故当t ＝38时，PG 2取得最小值，即PG 取得最小值， 为38× 3＋33－1＝9＋638，又因小路每米造价m 元，故当t ＝38百米时小路造价最低，最低造价为100×9＋638m ＝259＋632m (元)． B 组 能力提高5.如图，矩形ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN 为监控角，其中M ，N 在线段DE (含端点)上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知，AD ＝6 m ，AE ＝6 m ，AP ＝2 m ，∠MPN ＝π4.记∠EPM ＝θ(弧度)，监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S .(1)求S 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；⎝ ⎛⎭⎪⎫参考数据：tan 54≈3(2)求S 的最小值．解 (1)方法一 在△PME 中，∠EPM ＝θ，PE ＝AE －AP ＝4 (m)，∠PEM ＝π4，∠PME ＝3π4－θ，由正弦定理得PM sin∠PEM ＝PEsin∠PME ，所以PM ＝PE ×sin∠PEM sin∠PME ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝4sin θ＋cos θ，同理在△PNE 中，由正弦定理得PN sin∠PEN ＝PEsin∠PNE ，所以PN ＝PE ×sin∠PEN sin∠PNE ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝22cos θ，所以△PMN 的面积S ＝12PM ×PN ×sin∠MPN＝4cos 2θ＋sin θ cos θ＝41＋cos 2θ2＋12sin 2θ＝8sin 2θ＋cos 2θ＋1＝82sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋1，当M 与E 重合时，θ＝0；当N 与D 重合时，tan∠APD ＝3，即∠APD ＝54，θ＝3π4－54， 所以0≤θ≤3π4－54. 综上可得S ＝82sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋1，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4－54.方法二 在△PME 中，∠EPM ＝θ，PE ＝AE －AP ＝4 (m)，∠PEM ＝π4，∠PME ＝3π4－θ，由正弦定理可知，ME sin θ＝PEsin∠PME ，所以ME ＝PE ×sin θsin∠PME ＝4sin θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝42sin θsin θ＋cos θ，在△PNE 中，由正弦定理可知，NE sin∠EPN ＝PEsin∠PNE ，所以NE ＝PE ×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos θ ＝22(sin θ＋cos θ)cos θ，所以MN ＝NE －ME ＝22cos 2θ＋sin θcos θ ， 又点P 到DE 的距离为d ＝4sin π4＝22，所以△PMN 的面积S ＝12×MN ×d＝4cos 2θ＋sin θ cos θ＝41＋cos 2θ2＋12sin 2θ＝8sin 2θ＋cos 2θ＋1＝82sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋1，当M 与E 重合时，θ＝0；当N 与D 重合时，tan∠APD ＝3，即∠APD ＝54，θ＝3π4－54，所以0≤θ≤3π4－54.所以S ＝82sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋1，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4－54.(2)当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4－54时， S 取得最小值82＋1＝8(2－1)．所以可视区域△PMN 面积的最小值为8(2－1)m 2.6．(2018·江苏海门中学模拟)将一个半径为3 dm ，圆心角为α(α∈(0,2π))的扇形铁皮焊接成一个容积为V dm 3的圆锥形无盖容器(忽略损耗)．(1)求V 关于α的函数关系式；(2)当α为何值时，V 取得最大值；(3)容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5 dm 的球？请说明理由． 解 (1)设底面半径为r ，高为h,3α＝2πr ，h ＝9－r 2，∴V ＝13πr 2h ＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫3α2π29－⎝ ⎛⎭⎪⎫3α2π2，α∈(0,2π). (2) 令t ＝r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3α2π2∈(0,9)，f (t )＝t 2(9－t )， ∵f ′(t )＝－3t (t －6)＝0，∵t ∈(0,9)∴t ＝6，因此t ＝6，α＝263π时，V max ＝23π. (3)设圆锥轴截面三角形内切圆半径为r 0.12r 0(3＋3＋26)＝12×3×26， ∴r 0＝32－23>0.5，所以能完全盖住桌面上一个半径为0.5 dm 的球．7．如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB 和曲线DE 分别是顶点在路面A ，E 的抛物线的一部分，曲线BCD 是圆弧，已知它们在接点B ，D 处的切线相同，若桥的最高点C 到水平面的距离H ＝6米，圆弧的弓高h ＝1米，圆弧所对的弦长BD ＝10米．(1)求弧BCD 所在圆的半径；(2)求桥底AE 的长．解 (1)设弧BCD 所在圆的半径为r (r ＞0)，由题意得r 2＝52＋(r －1)2，∴r ＝13.即弧BCD 所在圆的半径为13米．(2)以线段AE 所在直线为x 轴，线段AE 的中垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．∵H ＝6米，BD ＝10米，弓高h ＝1米，∴B (－5,5)，D (5,5)，C (0,6)，设BCD 所在圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ (6－b )2＝r 2，52＋(5－b )2＝r 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－7，r ＝13，∴弧BCD 的方程为x 2＋(y ＋7)2＝169(5≤y ≤6)．设曲线AB 所在抛物线的方程为y ＝a (x －m )2，∵点B (－5,5)在曲线AB 上，∴5＝a (5＋m )2，①又弧BCD 与曲线段AB 在接点B 处的切线相同，且弧BCD 在点B 处的切线的斜率为512，由y ＝a (x －m )2，得y ′＝2a (x －m )，∴2a (－5－m )＝512，∴2a (5＋m )＝－512，②由①②得m ＝－29，∴A (－29,0)，E (29,0)，∴桥底AE 的长为58米，。
(江苏专版)2019届高考数学一轮回顾 第三章 三角函数、解三角形 第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第3讲 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
tan(α±β)＝t1a∓ntaαn±αttaann
β β.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝1－2tatannα2α.
又 β∈0，π2，所以 sin β＝45，
所以 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1123×35－153×45＝1665.
三角函数的给值求值、给值求角(高频考点)
(1)已 知
0
＜
β
＜
π 2
＜
α
＜
π
，
且
cos
α－β2
＝
－
1 9
，
sinα2－β＝23，求 cos(α＋β)的值；
以 tan(A＋B)＝1t－antaAn＋AttaannBB＝－ 3，又 0<A＋B<π，所以
A＋B＝23π，所以 C＝π3.
三角函数式的化简与给角求值 (1)化简：
（1＋sin θ＋2c＋os2θc）osθsinθ2－cosθ2(0＜θ＜π)； (2)求值：1＋2sicnos202°0°－sin 10°tan15°－tan 5°.
【解】 (1)原式＝
2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ2
4cos2θ2
＝cosθ2sinc2oθ2s－θ2cos2θ2
专题03 三角函数、解三角形-2019年江苏高考文科数学《基础回顾》考前抢分必做训练
一、正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的图象与性质二、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系：22sin cos 1αα+=． 2．商的关系：sin cos tan ααα=．【公式变形】（1）平方关系的变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-； （2）商的关系的变形：sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=； （3）2222111tan 1,1cos sin tan αααα-=-=．三、两角和与差的三角函数公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- （5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z【常用变形】①tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=± ；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-．②降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα=． ③升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-．④辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==，tan baϕ=． 四、函数sin()y A x ωϕ=+（A >0，ω>0）的性质 1．奇偶性当=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数； 当=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数．2．周期性sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ．3．单调性根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间； 由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间． 4．对称性利用y =sin x 的对称中心为(,0)()k k π∈Z 求解，令x k k ωϕ+=π(∈)Ζ，求得x ． 利用y =sin x 的对称轴为()2x k k π=π+∈Z 求解，令+2x k k ωϕπ+=π(∈)Ζ，得其对称轴． 五、三角函数的图象变换六、正弦定理在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c==A B C．正弦定理对任意三角形都成立． 【变形与推广】①sin sin sin ,,sin sin sin A a C c B bB b A aC c===；②sin sin ,sin sin ,sin sin a B b A a C c A b C c B ===； ③sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C +++++======+++++；④::sin :sin :sin a b c A B C =； ⑤正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径．七、余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍， 即2222222222cos ,2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，． 八、三角形的面积公式设ABC △的三边为a ，b ，c ，对应的三个角分别为A ，B ，C ，其面积为S ． ①12S ah =(h 为BC 边上的高)； ②111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===； ③1()2S r a b c =++(r 为三角形的内切圆半径)． 九、三角形解的情况在ABC △中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况十、利用余弦定理解三角形的步骤1．已知，则________________．2．已知1sin cos 5αα-=-，则的值为________________． 3________________．4．已知向量a =(sin(),1)6α+，b =(4，4cos α)，若a ⊥b ，则sin 4()3απ+=________________．5．若π1tan(),46α-=则tan α=________________．6的化简结果为________________．7．若ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin 23sin b A a B =，且2c b =，则ab等于________________．8．已知角α，β均为锐角，且3cos 5α=，tan(α−β)=，则tan β=________________．9．已知点1)2P -在角θ的终边上，且π[)0,2θ∈，则角θ的值为________________． 10．已知函数，，直线与、的图象分别交于、两点，则的最大值是________________． 11．已知()1cos 753α︒+=，为第三象限角，则=________________．12．函数f (x )=cos2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是________________．13．ABC △中，2AB =，BC =1cos 4A =，则AB 边上的高等于________________． 14．为得到函数πsin()3y x =+的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度（m ，n 均为正数），则m n -的最小值是________________．15．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，(cos ,sin )B A =n ，且∥m n ．（1）求角B 的大小；（2）若2b =，ABC △的面积为a c +的值．16．已知向量()())2sin ,sin cos ,,sin cos (0)x x x x x x λλλ=+=->a b ，函数()f x =⋅a b 的最大值为2．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在ABC △中，内角A B C 、、的对边分别为2,cos 2b aa b c A c-=、、，若()0f A m ->恒成立，求实数m 的取值范围．（1）使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk α±的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．（2）由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，注意确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解．（3）求函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+（ω有可能为负数）的单调区间时，应注意先利用诱导公式把ω化为正数后再求解．求形如y =A sin （ωx ＋φ）或y =A cos （ωx ＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．（4）对于函数y =A sin （ωx ＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x =x 0或点（x 0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f （x 0）的值进行判断．（5）三角化简时，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．（6）三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a·b =x 1x 2＋y 1y 2，a ∥b ⇔x 1y 2=x 2y 1，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2=0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用．（7）在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．（8）几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题．解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中．（9）注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等．（10）正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解．1．已知()1sin cos ,0,π5ααα+=-∈，则的值为________________．2．ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知22,2(1sin )b c a b A ==-，则A =________________．3．已知锐角,αβ满足sin αβ==，则αβ+的值为________________．43sin 5α=，()4cos 5αβ+=-，则sin β=________________．5．在ABC △sin()3sin()2A A -=π-，且cos A cos （π－B ），则C =________________．6．()f x 的一个零点，则0cos2x =________________．7．函数()23sin 4f x x x =-(π[0,]2x ∈)的最大值是________________．8．在ABC △中，sin cos A A +=的值为________________．9．若函数πcos()2y x ω=+（0ω>，[]0,2πx ∈）的图象与直线12y =无交点，则ω的取值范围为________________．10．若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间ππ()62，上是减函数，则a 的取值范围是________________． 11．若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是________________．12．已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b（1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．13．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，123cos ,cos 135A C ==．（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？1．【答案】43或2．【答案】24 25【解析】由题意得，两边同时平方得5．【答案】7 5【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 6．【答案】−2sin4【解析】原式2|cos 4|2|sin 4cos 4|+=+-， 因为53π4π42<<，所以cos4<0，且sin4<cos4，所以原式=−2cos4−2(sin4−cos4)=−2sin4．9．【答案】11π6【解析】点1)2P -在角θ的终边上，由三角函数的定义可知tan θ=又点1)2P -在第四象限，且π[)0,2θ∈，所以θ=11π6． 10．【答案】【解析】，的最大值是．【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征． 11．【解析】∵()1cos 753α︒+=，为第三象限角，∴()sin 75α︒+==．则原式()()()()cos 18075sin 75α180cos 75sin 75ααα=︒-︒++︒+-︒=-︒+-︒+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 12．【答案】32-【解析】f (x )=1−2sin 2x ＋2sin x =2132(sin )22x --+，所以当1sin 2x =时，max 3()2f x =，当sin x =−1时，f (x )min =−3，故函数f (x )=cos2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是32-．13． 【解析】设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ，因为2c =，a =，所以21104224b b =+-⨯⨯，化简得260b b --=，解得3b =．又sin A =，所以由1123222h ⨯⨯=⨯，得h = 14．【答案】2π3【解析】依题意可知，1212π5π2π,2π,,,33m k n k k k =+=+∈N 所以124π|2()π|,3m n k k -=--12,,k k ∈N 当121k k -=时，m n -的最小值是2π3．15．【答案】（1（2）4a c +=．16．【答案】（1）()π5π[ππ]36k k k ++∈Z ，；（2）1(,]2-∞-．1．【答案】34-【解析】因为1sin cos 5αα+=-(1)，所以两边平方可得112sin cos 25αα+=，则242sin cos 025αα=-<，所以是钝角，则，所以7sin cos 5αα-==(2)， 联立(1)(2)可得34sin ,cos 55αα==-，则3tan 4α=-．2．【答案】π4【解析】由余弦定理得：()2222222cos 22cos 21cos a b c bc A b b A b A =+-=-=-，因为()2221sin a b A =-，所以cos sin A A =，因为cos 0A ≠，所以tan 1A =，因为()0,A ∈π，所以4A π=． 【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容．本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等．3．4．【答案】2425055⨯=，不合题意，舍去；525=． 5．【答案】2πsin()3sin()3sin ,tan =2A ΑA A A π-=π-=∴ 又0A <<π，6A π=∴．又cos ),A B =π-即cos A B =，1cos ,062B B π==<<π,∴..32B C ΑΒππ==π-(+)=∴∴故填2π．6．7．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式：()222311cos cos (cos 144f x x x x x x =-+-=-++=-+，由自变量的范围：π[0,]2x ∈可得：[]cos 0,1x ∈，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1． 【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．8．【答案】2-【解析】∵sin cos A A +=①，∴()21sin cos 2A A +=，即，∴．∵，∴，．∴．∵()23sin cos 12sin cos 2A A A A -=-=，∴②．①+②得sin A =．①−②得cos A =∴sin tan 2cos A A A ===--． 学……科网9．【答案】7(0,)1210．【答案】(],2-∞【解析】∵()2cos 2sin 12sin sin f x x a x x a x =+=-+，令sin t x =，由ππ(,)62x ∈得1(,1)2t ∈，且sin t x =在ππ(,)62上是增函数． 依题意有()221g t t at =-++在1(,1)2t ∈上是减函数，∴142a ≤，即2a ≤，故a 的取值范围是(],2-∞． 11．【答案】【解析】若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，根据正（余）弦函数的奇偶性可知：则，或，则，或，则，即：，当时，取得最小值为．12．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，取得最大值3；5π6x =时，取得最小值-．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =．13．【答案】（1）1040m ；（2）3537；（3）1250625[,]4314(单位：m/min)． 【解析】（1）在ABC △中，因为123cos ,cos 135A C ==，所以54sin ,sin 135A C ==．从而5312463sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 13513565B AC A C A C A C =-+=+=+=⨯+⨯=． 由正弦定理sin sin AB ACC B=，得12604sin 1040(m)63sin 565AC AB C B =⨯=⨯=． 所以索道AB 的长为1040m ．（2）假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客的距离为d ，此时，甲行走了(100+50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得222212(10050)(130)2130(10050)200(377050)13d t t t t t t =++-⨯⨯+⨯=-+， 因为10400130t ≤≤，即08t ≤≤，所以当35min 37t =时，甲、乙两游客距离最短． 即乙出发3537分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短． （3）由正弦定理sin sin BC AC A B=，得12605sin 500(m)63sin 1365AC BC A B =⨯=⨯=． 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m 才能到达C ． 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在1250625[,]4314(单位：m/min)范围内．个人总结____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 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江苏省2019高考数学二轮复习 专题一 三角 1.3 大题考法—解三角形讲义(含解析)
第三讲 大题考法——解三角形题型（一）三角变换与解三角形的综合问题主要考查利用正、余弦定理求解三角形的边长或角的大小（或三角函数值），且常与三角恒等变换综合考查.[典例感悟］［例1］ (2018·南京学情调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ，c ，cos B ＝错误!. (1）若c ＝2a ，求sin Bsin C 的值；(2）若C －B ＝错误!，求sin A 的值．［解] （1）法一（角化边）：在△ABC 中,因为cos B ＝45，所以错误!＝错误!.因为c ＝2a ，所以错误!＝错误!,即错误!＝错误!， 所以错误!＝错误!.又由正弦定理得，错误!＝错误!，所以错误!＝错误!。
法二（边化角）:因为cos B ＝错误!，B ∈（0，π）， 所以sin B ＝错误!＝错误!.因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ,所以sin C ＝2sin （B ＋C )＝错误!cos C ＋错误!sin C ， 即－sin C ＝2cos C.又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝错误!, 所以错误!＝错误!。
（2）因为cos B ＝错误!，所以cos 2B ＝2cos 2B －1＝错误!. 又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝错误!， 所以sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×错误!×错误!＝错误!。
因为C －B ＝错误!，即C ＝B ＋错误!, 所以A ＝π－（B ＋C ）＝错误!－2B ， 所以sin A ＝sin 错误!＝sin 3π4cos 2B －cos 错误!sin 2B＝错误!×错误!－错误!×错误! ＝错误!。
[方法技巧]三角变换与解三角形综合问题求解策略(1)三角变换与解三角形综合问题，多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是:（2)三角变换与解三角形的综合问题要关注三角形中的隐藏条件,如A＋B＋C＝π，sin(A＋B)＝sin C，cos（A＋B）＝－cos C，以及在△ABC中，A>B⇔sin A>sin B等．［演练冲关]1．在△ABC中,a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b sin 2C＝c sin B。
2019年江苏省高考数学二轮复习讲义：专题一 第一讲 小题考法——三角函数、解三角形
2019年4月[江苏卷5年考情分析]第一讲 小题考法——三角函数、解三角形[题组练透]1．计算：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.详细分析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎫1＋ 3 sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.答案：12．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．详细分析：∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.答案：－3π43．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34，则cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝________. 详细分析：由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝34，解得tan α＝－17，所以cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α2＝1＋sin 2α2＝12＋sin αcos α，又sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－750，故12＋sin αcos α＝925. 答案：925[方法技巧]1．解决三角函数求值或求角问题的关键与思路解决三角函数的求值或求角问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧 (1)2α＝(α＋β)＋(α－β)； (2)α＝(α＋β)－β； (3)β＝α＋β2－α－β2；(4)α＝α＋β2＋α－β2；(5)α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． 3．三角函数化简的原则及结果[题组练透]1．(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．详细分析：由题意得f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝±1， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z .∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π6.答案：－π62．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则φ＝________.详细分析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象解+析式为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，由题意知，g (0)＝0，所以φ－π3＝k π，即φ＝k π＋π3，又因为0<φ<π，所以φ＝π3.答案：π33．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 详细分析：由π2＜x ＜π，ω＞0，得ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2， k ∈Z ，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0， 得k ＝0， 所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54. 答案：⎣⎡⎦⎤12，544．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，π6≤x ≤5π12，则函数f (x )的值域为________． 详细分析：依题意，有f (x )＝232sin x －12cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝sin x cos x －32(cos 2x －sin 2x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，因为π6≤x ≤5π12，所以0≤2x －π3≤π2，从而0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，所以函数f (x )的值域为[0,1]． 答案：[0,1][方法技巧]1．对于f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象平移后图象关于y 轴或原点对称的两种处理方法 (1)若平移后所得函数解+析式为y ＝A sin(ωx ＋φ＋θ)，要关于原点对称，则φ＋θ＝k π；要关于y 轴对称，则φ＋θ＝k π＋π2.(2)利用平移后的图象关于y 轴或原点对称得到原函数的对称性，再利用y ＝sin x 的对称性去求解．2．求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 3．求解三角函数的值域的三种方法[题组练透]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos A ＝2c －3a ，则角B 的大小为________．详细分析：法一：因为2b cos A ＝2c －3a ，所以由余弦定理得2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c －3a ，即b 2－a 2＝c 2－3ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6.法二：因为2b cos A ＝2c －3a ，所以由正弦定理得2sin B cos A ＝2sin C －3sin A ＝2sin(A ＋B )－3sin A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B －3sin A ，故2cos B sin A ＝3sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝32，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6. 答案：π62．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan A ＝7tan B ，a 2－b 2c ＝3，则c ＝______.详细分析：由tan A ＝7tan B 可得sin A cos A ＝7sin Bcos B ，即sin A cos B ＝7sin B cos A ，所以有sin A cos B ＋sin B cos A ＝8sin B cos A ， 即sin (A ＋B )＝sin C ＝8sin B cos A ，由正、余弦定理可得：c ＝8b ×b 2＋c 2－a 22bc ，即c 2＝4b 2＋4c 2－4a 2，又a 2－b 2c ＝3，所以c 2＝4c ，即c ＝4. 答案：43．(2018·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．详细分析：如图，∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴12ac ·sin 120°＝12c ×1×sin 60°＋12a ×1×sin 60°，∴ac ＝a ＋c .∴1a＋1c＝1. ∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝c a ＋4ac ＋5≥2c a ·4ac＋5＝9， 当且仅当c a ＝4ac ，即c ＝2a 时取等号．故4a ＋c 的最小值为9. 答案：94．(2018·常熟高三期中)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，D 为AB 的中点，若b ＝a cos C ＋c sin A 且CD ＝2，则△ABC 面积的最大值是________．详细分析：因为b ＝a cos C ＋c sin A ，所以由正弦定理得sin B ＝sin A cos C ＋sin C sin A ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin C sin A ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝sin A ，即tanA ＝1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π4，在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝b 2＋c 24－2b ·c 2cos π4，即22bc ＝4b 2＋c 2－8≥4bc －8，所以bc ≤42－2＝4＋22，当且仅当2b ＝c 时等号成立，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·22bc ≤2＋1.答案：2＋1[方法技巧]1．利用正弦、余弦定理解决有关三角形问题的方法(1)解三角形问题时，要注意两个统一原则，即将“边”统一为“角”，将“角”统一为“边”．当条件或结论是既含有边又含有角的形式时，就需要将边统一为角或将角统一为边．在应用这两个原则时要注意：①若式子中含有角的余弦、边的二次式，则考虑用余弦定理进行转化；②若式子中含有角的正弦、边的一次式，则考虑用正弦定理进行转化．(2)求解与三角形相关的平面几何中的有关量时，由于图形中的三角形可能不止一个，因此，需要合理分析，确定求解的顺序，一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系求得结果，同时注意平面几何知识的应用．2．与面积、范围有关问题的求解方法(1)与三角形面积有关的问题主要有两种：一是求三角形面积；二是给出三角形的面积，求其他量．解题时主要应用三角形的面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，此公式既与边长的乘积有关，又与角的三角函数值有关，由此可以与正弦定理、余弦定理综合起来求解．另外，还要注意用面积法处理问题．(2)求与三角形中边角有关的量的取值范围问题时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法等求解，或者通过基本不等式来进行求解．在求解时，要注意题目中的隐含条件，如|b －c |<a <b ＋c ，三角形中大边对大角等．[必备知能·自主补缺] (一)主干知识要牢记1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)常见的两种图象变换：①y ＝sin x ――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) ―――――――――――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)． ②y ＝sin x ――――――――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变y ＝sin ωx―――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移||φω个单位y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)． 4．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[]2k π－π，2k π(k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )； y ＝tan x 的递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )． 5．三角函数的奇偶性与对称性y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数． 6．正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等． 7．余弦定理及其变形在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.8．三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .(二)二级结论要用好1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝x 上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)．2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝－x 上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．3．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba . 4．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . 5．△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝π3.6．△ABC 为正三角形的充要条件是A ，B ，C 成等差数列，且a ，b ，c 成等比数列． 7．S △ABC ＝abc4R(R 为△ABC 外接圆半径)． [课时达标训练]A 组——抓牢中档小题1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________.详细分析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.答案：122．(2018·苏北四市期末)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωπx －π6(ω>0)的最小正周期为15，则f ⎝⎛⎭⎫13的值为________．详细分析：因为f (x )的最小正周期为2πωπ＝15，所以ω＝10，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫10πx －π6，所以f ⎝⎛⎭⎫13＝sin ⎝⎛⎭⎫10π3－π6＝sin 19π6＝－sin π6＝－12. 答案：－123．(2018·盐城期中)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角的大小为________．详细分析：由正弦定理及sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7知，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，可设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k ，且角C 是最大内角，由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 22×3k ×5k ＝－12，因为0°<C <180°，所以C ＝120°.答案：120°4．(2018·苏州期中调研)已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2，则cos 2α的值是________． 详细分析：因为tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2，所以tan α－11＋tan α＝2，即tan α＝－3， 故cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－810＝－45.答案：－455．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B＝________.详细分析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sin π6＝3sin B， 解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3. 答案：π3或2π36．(2018·南京、盐城一模)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________.详细分析：将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π3，即f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2x ＋⎝⎛⎭⎫π3－2φ.因为f (x )为偶函数，所以π3－2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝－π12－k π2，k ∈Z ，因为0＜φ＜π2，所以φ＝5π12.答案：5π127．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ＝a ＋c ，若sin B ＝45，cos B ＝9ac，则b 的值为________．详细分析：∵sin B ＝45，cos B ＝9ac ，sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴ac ＝15，又∵2b ＝a ＋c ，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－18＝(a ＋c )2－48＝4b 2－48，解得b ＝4.答案：48．(2018·盐城三模)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫－π8的值为________． 详细分析：f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎣⎡⎦⎤(ωx ＋φ)－π6，由题意知，T ＝π2×2＝π＝2πω，解得ω＝2.由函数f (x )为偶函数得，f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝±2，又因为0<φ<π，所以φ＝2π3，f (x )＝2sin2x ＋π2＝2cos 2x ，故f ⎝⎛⎭⎫－π8＝2cos π4＝ 2. 答案： 29．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.详细分析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos(α－β)＝cos(2α－2k π－π)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫132＝－79. 答案：－7910．(2018·无锡期末)设函数f (x )＝sin 2x －3cos x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间为________．详细分析：f (x )＝1－cos 2x 2＋3cos x sin x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12.令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，－π6≤x ≤π3，故f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 11．(2018·南通、扬州、泰州、淮安三调)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4.若△ABC 的面积为33，则BC ＝________.详细分析：因为b ＝4，c ＝3，由S △ABC ＝12bc sin A ＝6sin A ＝33，解得sin A ＝32，因为△ABC 是锐角三角形，所以cos A ＝1－sin 2A ＝12或求出锐角A ＝π3，再求cos A ＝12，在△ABC中，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋9－2×4×3×12＝13，所以a ＝13，即BC＝13.答案：1312．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 详细分析：由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.答案：－25513．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是________． 详细分析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 答案：－4514．(2018·苏锡常镇一模)已知sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 详细分析：∵sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos α·sin π6＝332sin α＋32cos α，∴tan α＝32－33.又tan π12＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝tan π3－tan π41＋tan π3tanπ4＝3－13＋1＝2－3，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝tan α＋tanπ121－tan αtanπ12 ＝32－33＋2－31－32－33×()2－3＝23－4.答案：23－4B 组——力争难度小题1.如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的最小正周期是________．详细分析：设函数f (x )的最小正周期为T ，由图象可得A ⎝⎛⎭⎫T 4，3，B ⎝⎛⎭⎫3T4，－3，则OA ―→·OB ―→＝3T 216－3＝0，解得T ＝4.答案：42．△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，若3cos A ＋sin A 3sin A －cos A＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π12，则tan A ＝________. 详细分析：3cos A ＋sin A 3sin A －cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π32sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝－tan ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－A －π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π12， 所以－A －π3＝－7π12，所以A ＝7π12－π3＝π4，所以tan A ＝tan π4＝1.答案：13．已知α为锐角，cos(α＋π4)＝55.则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为________． 详细分析：因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝255，因为sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45，cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2 cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2sin π6＝43＋310. 答案：43＋3104.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________. 详细分析：由图象可得A ＝1，T 2＝2π2ω＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝⎛⎭⎫π3，0代入函数f (x )可得0＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ，所以2π3＋φ＝k π，所以φ＝k π－2π3(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.因为⎝⎛⎭⎫－π6，0，⎝⎛⎭⎫π3，0的中点坐标为⎝⎛⎭⎫π12，0，又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 2＝π12×2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32. 答案：325．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 2＋b 2＋2c 2＝8，则△ABC 面积S 的最大值为________．详细分析：由S ＝12ab sin C ，得S 2＝14a 2b 2(1－cos 2C )＝14a 2b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2， ∵a 2＋b 2＋2c 2＝8， ∴a 2＋b 2＝8－2c 2，∴S 2＝14a 2b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2 ＝14a 2b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3c 22ab 2 ＝14a 2b 2－(8－3c 2)216≤(a 2＋b 2)216－(8－3c 2)216＝－5c 416＋c 2，当且仅当a 2＝b 2时等号成立，由二次函数的性质可知，当c 2＝85时，S 2取得最大值，最大值为45，故S 的最大值为255.答案：2556.(2018·南通基地卷)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x 的图象向左平移3个单位长度，得到函数y ＝3sin π4x ＋φ(|φ|<π)的图象如图所示，点M 、N 分别是函数f (x )图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设∠MON ＝θ，则tan(φ－θ)的值为________．详细分析：将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x 的图象向左平移3个单位长度，得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋3π4，所以φ＝34π，M (－1，3)，|OM |＝2，N (3，－3)，ON ＝23，|MN |＝27，由余弦定理可得，cos θ＝4＋12－282×2×23＝－32，θ＝5π6，tan(φ－θ)＝tan⎝⎛⎭⎫3π4－5π6＝tan3π4－tan5π61＋tan3π4·tan5π6＝－2＋ 3.答案：－2＋ 3。
苏教版2019高考数学(文科)二轮复习解答题通关练1解三角形含答案
1.解三角形1.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C .(1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos2A )，n ＝(12，－5)，边长a ＝4，当m ·n 取最大值时，求b 的值.解 (1)由题意得，a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22， ∵B ∈(0，π)， ∴B ＝π4. (2)∵m ·n ＝12cos A －5cos2A ＝－10⎝⎛⎭⎪⎫cos A －352＋435， ∴当cos A ＝35时，m ·n 取最大值，此时sin A ＝45. 由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝522. 2.已知△ABC 中，AC ＝2，A ＝2π3，3cos C ＝3sin B . (1)求AB ；(2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为334，求∠ADC 的正弦值. 解 (1)因为A ＝2π3，所以B ＝π3－C ， 由3cos C ＝3sin B 得，cos C ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ， 所以cos C ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos C －12sin C ＝32cos C －32sin C ， 所以12cos C ＝32sin C ， 即tan C ＝33. 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π6，从而得B ＝π3－C ＝π6，所以AB ＝AC ＝2. (2)由已知得12·AC ·CD sin π6＝334，所以CD ＝332，在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC · CD cos C ＝74，即AD ＝72， 由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin∠ADC ， 故sin∠ADC ＝AC sin C AD ＝277. 3.已知函数f (x )＝1＋23sin x 2cos x 2－2cos 2x2，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)求f (A )的取值范围；(2)若A 为锐角且f (A )＝2，2sin A ＝sin B ＋2sin C ，△ABC 的面积为3＋34，求b 的值. 解 (1)f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6，由题意知，0<A <π，则A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1， 故f (A )的取值范围为(－1,2].(2)由题意知，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝22，∵A 为锐角，即A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3， ∴A －π6＝π4，即A ＝5π12. 由正、余弦定理及三角形的面积公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝b ＋2c ，12bc ·sin 5π12＝3＋34，cos 5π12＝b 2＋c 2－a 22bc ，解得b ＝ 2.4.(2018·北京11中模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，32，且相邻两条对称轴的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋cos A ＝12，求角A 的大小. 解 (1)由相邻两条对称轴的距离为π2，可得其周期为T ＝2πω＝π，所以ω＝2，由图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，32，且ω>0,0<φ<π2，得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z . 所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋cos A ＝12， 可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＋cos A ＝12， 则32sin A ＋12cos A ＝12，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝12， 因为0<A <π，所以π6<A ＋π6<7π6， 所以A ＋π6＝5π6， 所以A ＝2π3.。
2019年江苏省高考数学二轮复习讲义：专题一第三讲大题考法——解三角形
3 5
，
所以
sin
2B＝ 2sin
Bcos
B＝
2×
35×45＝
24 25.
π
π
因为 C－ B＝ 4，即 C＝ B＋ 4，
所以 A＝ π－ (B＋C)＝ 34π－ 2B，
3π 所以 sin A＝sin 4 － 2B
＝ sin34πcos 2B－cos34πsin 2B
＝
2× 2
7 25－
－
2 2
× 24 25
＋B)＝ sin C， cos(A＋ B)＝－ cos C, 以及在△ ABC 中， A>B? sin A>sin B 等．
[ 演练冲关 ] 1．在△ ABC 中， a， b， c 分别为内角 A， B， C 的对边，且 bsin 2C＝ csin B. (1)求角 C； (2)若 sin B－ π3 ＝35，求 sin A 的值．
2 AC·sin C 6× 2 所以 AB ＝ sin B ＝ 3 ＝ 5 2.
5
(2)在△ABC 中， A＋B＋ C＝ π，
所以 A＝ π－ (B＋C)， π
于是 cos A＝－ cos(B＋C)＝－ cos B＋ 4
3
4 B＝ 5.
(1)若
c＝
2a，求
sin sin
B的值； C
(2)若
C－
B＝
π，求 4
sin
A
的值．
4
a2＋ c2－ b2 4
[解 ] (1) 法一 (角化边 )：在△ABC 中，因为 cos B＝ 5，所以 2ac ＝ 5.
因为 c＝2a，所以
c 2
2＋ c2－ b2
4
b2 9
(江苏专用)2019高考数学二轮复习 第二篇 第10练 三角恒等变换与解三角形试题 理
第10练 三角恒等变换与解三角形[明晰考情] 1.命题角度：与三角恒等变换、三角函数的性质相结合，考查解三角形及三角形的面积问题.2.题目难度：一般在解答题的第一题位置，中档难度.考点一 利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧 (1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值. 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，所以tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝217.因为a ＜c ，所以cos A ＝277.因此sin2A ＝2sin A cos A ＝437，cos2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin2A cos B －cos2A sin B ＝437×12－17×32＝3314. 2.已知在△ABC 中，AC cos C ＝BC ，点M 在线段AB 上，且∠ACM ＝∠BCM . (1)证明：△ABC 是直角三角形； (2)若AC ＝6CM ＝6，求sin∠ACM 的值.(1)证明 记BC ＝a ，AC ＝b ，因为AC cos C ＝BC ，故cos C ＝BC AC ＝a b ＝a 2＋b 2－c 22ab，故a 2＋c 2＝b 2，故B ＝90°，故△ABC 是直角三角形. (2)解 因为∠ACM ＝∠BCM ，故cos∠BCA ＝cos 2∠BCM ＝2cos 2∠BCM －1， 即a 6＝2a 2－1，解得a ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－23舍去，故cos∠BCM ＝cos∠ACM ＝34，则sin∠ACM ＝74. 3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3，求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值.解 (1)由BA →·BC →＝2，得ca cos B ＝2. ∵cos B ＝13，∴ac ＝6.由余弦定理得，a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . ∵b ＝3，∴a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.∵a ＞c ， ∴a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132 ＝223. 由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.∵a ＝b ＞c ， ∴C 为锐角， ∴cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4292＝79， ∴cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327. 考点二 三角形的面积问题 方法技巧 三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长. 解 (1)由题设得12ac sin B ＝a23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A. 由正弦定理，得12sin C sin B ＝sin A 3sin A ，故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)，得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理，得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.5.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且(2a ＋c )sin B tan C ＋b sin C tan B ＝0.(1)求B ；(2)若a ＝2c ，b ＝2，求△ABC 的面积.解 (1)由题意知(2a ＋c )sin B tan C ＋b sin C tan B ＝0， 所以2a ＋c cos C ＋bcos B＝0，由正弦定理得2sin A ＋sin C cos C ＋sin Bcos B ＝0，整理得2sin A cos B ＋sin C cos B ＋sin B cos C ＝0， 即2sin A cos B ＋sin A ＝0，又sin A ≠0， 所以cos B ＝－12，B ＝23π.(2)当a ＝2c 时，由余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7c 2， 所以c ＝277，a ＝477，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×87×32＝273.6.已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足：sin A －sin B ＋sin C sin C ＝sin Bsin A ＋sin B －sin C .(1)求角A ；(2)若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值. 解 (1)设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 根据sin A －sin B ＋sin C sin C ＝sin Bsin A ＋sin B －sin C ，可得a －b ＋c c ＝b a ＋b －c，化简得a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由正弦定理得a sin A ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)，所以a ＝2R sin A ＝2sin π3＝3，所以3＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，所以S ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334(当且仅当b ＝c 时取等号).考点三 解三角形的综合问题方法技巧 (1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值.(3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.7.已知函数f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos x －3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.(1)求f (x )的最大值、最小值；(2)CD 为△ABC 的内角平分线，已知AC ＝f (x )max ，BC ＝f (x )min ，CD ＝22，求C .解 (1)f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos x －3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π6＋cos x sin π6cos x －3＝63sin x cos x ＋6cos 2x －3 ＝33sin2x ＋3cos2x ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∵f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4上是减函数， 又f (0)＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3 3. ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝6，f (x )min ＝f (0)＝3. (2)在△ADC 中，AD sinC 2＝ACsin∠ADC ，在△BDC 中，BD sinC 2＝BCsin∠BDC ，∵sin∠ADC ＝sin∠BDC ，AC ＝6，BC ＝3，∴AD ＝2BD .在△BCD 中，BD 2＝CD 2＋BC 2－2CD ·BC ·cos C 2＝17－122cos C2，在△ACD 中，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos C 2＝44－242cos C2，又AD 2＝4BD 2，∴44－242cos C 2＝68－482cos C2，∴cos C 2＝22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π2.8.已知函数f (x )＝sin 2ωx －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(x ∈R ，ω为常数且12＜ω＜1)，函数f (x )的图象关于直线x ＝π对称.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝14，求△ABC 面积的最大值.解 (1)f (x )＝12－12cos2ωx －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3 ＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3－12cos2ωx＝－14cos2ωx ＋34sin2ωx ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.令2ωx －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .∴f (x )的对称轴为x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .令π3ω＋k π2ω＝π，k ∈Z ， 解得ω＝2＋3k6，k ∈Z .∵12＜ω＜1，∴取k ＝1，ω＝56， ∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6.∴f (x )的最小正周期T ＝2π53＝6π5.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝14，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－12bc ＝12，∴b 2＋c 2＝bc ＋1≥2bc ，当且仅当b ＝c 时，等号成立. ∴bc ≤1.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34，∴△ABC 面积的最大值是34. 9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m ＝(2a －c ，cos C )，n ＝(b ，cos B )，m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝1，当△ABC 的面积取得最大值时，求△ABC 内切圆的半径.解 (1)由已知可得(2a －c )cos B ＝b cos C ，结合正弦定理可得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，又sin A ＝sin(B ＋C )＞0，所以cos B ＝12，又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由(1)得B ＝π3，又b ＝1，在△ABC 中，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以12＝a 2＋c 2－ac ，即1＋3ac＝(a ＋c )2.又(a ＋c )2≥4ac ，所以1＋3ac ≥4ac ， 即ac ≤1，当且仅当a ＝c ＝1时取等号.从而S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤34，当且仅当a ＝c ＝1时，S △ABC 取得最大值34.设△ABC 内切圆的半径为r ，由S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ，得r ＝36.例 (14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积. 审题路线图向量m ∥n ―→边角关系式―――→利用正弦定理转化△ABC 三边关系式―――→余弦定理求得角B ―――→引进变量(设角θ)用θ表示a ＋2c (目标函数)―→辅助角公式求最值―→求S △ABC 规范解答·评分标准 解 (1)因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0， 1分由正弦定理，可得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0， 即a 2＋c 2－b 2＝ac .3分由余弦定理可知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.6分(2)设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中，由B ＝π3可知，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.由正弦定理及AD ＝3，有BDsin θ＝ABsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3sinπ3＝2，所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3cos θ＋sin θ，所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ，10分从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3可知，θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，a ＋2c 取得最大值4 3.12分此时a ＝23，c ＝3，所以此时S △ABC ＝12ac sin B ＝332.14分构建答题模板[第一步] 找条件：分析寻找三角形中的边角关系.[第二步] 巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化. [第三步] 得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论. [第四步] 再反思：审视转化过程的等价性与合理性.1.在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求A ；(2)求AC 边上的高.解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437. 由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝32. 由题设知π2＜B ＜π，所以0＜A ＜π2，所以A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.2.(2018·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1)求cos∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin∠A ＝ABsin∠ADB ，即5sin45°＝2sin∠ADB ，所以sin∠ADB ＝25.由题意知，∠ADB ＜90°， 所以cos∠ADB ＝1－sin 2∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题意及(1)知，cos∠BDC ＝sin∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25， 所以BC ＝5.3.已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫3sin x 4，cos 2x4，设函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的单调增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，求f (B )的取值范围.解 (1)f (x )＝m ·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，cos 2x 4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，令2k π－π2≤x 2＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3，k ∈Z .(2)由b 2＝ac 可知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12(当且仅当a ＝c 时取等号)，所以0<B ≤π3，π6<B 2＋π6≤π3，1<f (B )≤3＋12，综上，f (B )的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，3＋12. 4.在某自然保护区，野生动物保护人员历经数年追踪，发现国家一级重点保护动物貂熊的活动区为如图所示的五边形ABECD 内，保护人员为了研究该动物生存条件的合理性，需要分析貂熊的数量与活动面积的关系，保护人员在活动区内的一条河的一岸通过测量获得如下信息：A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，且∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝15°，∠BCE ＝105°，∠CEB ＝45°，DC ＝CE ＝1km.11 /11(1)求BC 的长；(2)野生动物貂熊的活动区ABECD 的面积约为多少？(3≈1.732，结果保留两位小数) 解 (1)在△BCE 中，∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB ＝180°－105°－45°＝30°， 由正弦定理BC sin∠CEB ＝CEsin∠CBE ， 得BC ＝CE sin∠CBE ·sin∠CEB ＝1sin 30°×sin 45°＝2(km). (2)依题意知，在Rt△ACD 中，AC ＝DC ·tan∠ADC ＝1×tan 60°＝3(km)，又sin 105°＝sin(60°＋45°)＝6＋24， sin 15°＝sin(60°－45°)＝6－24， 所以活动区ABECD 的面积S ＝S △ACD ＋S △ABC ＋S △BCE ＝12×AC ×CD ＋12×AC ×CB ×sin 15°＋12×BC ×CE ×sin 105°＝12×3×1＋12×3×2×6－24＋12×2×1×6＋24＝1＋32≈1.87(km 2)，故野生动物貂熊的活动区ABECD 的面积约为1.87 km 2.。
江苏省2019高考数学二轮复习 考前回扣3 三角函数、解三角形、平面向量学案
3。
三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同（α的终边在θ终边所在的射线上）⇔α＝θ＋2kπ（k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x，y）是α的终边上的任意一点（异于原点),它与原点的距离是r＝错误!>0，那么sin α＝错误!,cos α＝错误!，tan α＝错误!（x≠0），三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P（3，－4)，则sin α＋cos α的值为________．答案－错误!2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式(1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系:tan α＝错误!.（3）诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限错误!角－απ－απ＋α2π－α－α正弦－sin αsin α－sin α－sin αcos α余弦cos α－cos α－cos αcos αsin α［问题2］cos 错误!＋tan错误!＋sin 21π的值为______________________________________．答案错误!－错误!3．正弦、余弦和正切函数的常用性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域R R｛x|x≠错误!＋kπ，k∈Z}值域{y|－1≤y≤1}{y|－1≤y≤1｝R单调性在错误!，k∈Z上递增;在错误!，k∈Z上递减在[（2k－1）π，2kπ],k∈Z上递增；在[2kπ,(2k＋1）π］，k∈Z上递减在错误!，k∈Z上递增最值x＝错误!＋2kπ（k∈Z）时,y max＝1；x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，y min＝－1x＝2kπ（k∈Z)时，y max＝1;x＝π＋2kπ（k∈Z)时，y min＝－1无最值奇偶性奇偶奇对称性对称中心:(kπ，0），k∈Z对称中心:错误!，k∈Z对称中心：错误!，k∈Z 对称轴:x＝kπ＋错误!，k∈Z对称轴：x＝kπ,k∈Z无周期性2π2ππ［问题3］函数y＝sin错误!的单调减区间是________________．答案错误!(k∈Z）4．三角函数化简与求值的常用技巧解答三角变换类问题要灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值．常用到切化弦、降幂、拆角拼角等技巧．如：α＝（α＋β）－β,2α＝（α＋β）＋(α－β），α＝12［（α＋β)＋(α－β）］．α＋错误!＝(α＋β)－错误!,α＝错误!－错误!。
配套K12江苏省2019高考数学二轮复习 专题一 三角函数与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质学
第1讲 三角函数的图象与性质[考情考向分析] 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式例1 (1)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P (2，1)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝________.答案 －7解析 由角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P (2,1)，可得x ＝2，y ＝1，tan α＝y x ＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝11－14＝43， ∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tanπ41－tan 2αtan π4＝43＋11－43×1＝－7.(2)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)·cos(π＋α)的值为________． 答案 85解析 由f (x )＝x 3－2x 2－x 可知f ′(x )＝3x 2－4x －1， ∴tan α＝f ′(1)＝－2，cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2α－3sin ()2π－αcos ()π＋α＝(－sin α)2－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos α＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－3tan α－2tan 2α＋1 ＝4＋6－25＝85.思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系进行化简的过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等． 跟踪演练1 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin 5π3，cos 5π3，则sin(π＋α)＝________. 答案 －12解析 由诱导公式可得， sin 5π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－sin π3＝－32， cos5π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝cos π3＝12， 即P ⎝⎛⎭⎪⎫－32，12， 由三角函数的定义可得，sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则sin ()π＋α＝－sin α＝－12.(2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，则sin (π－α)－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)＝________. 答案 －16解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，则sin (π－α)－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)＝sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16.热点二 三角函数的图象及应用例2 (1)(2018·江苏扬州中学模拟)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ≤π)的图象向右平移π2个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________. 答案5π6解析 y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位长度后，得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋φ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴－π2＋φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又φ∈[－π，π]，∴φ＝5π6. (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，则θ＝________.答案π3解析 由函数f (x )的图象可知，A ＝2，T 2＝13π12－7π12＝π2，解得T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 当x ＝π3时，f⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝0， 又|φ|<π，解得φ＝－2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3， 因为函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，所以g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π12－2π3＝2cos 2x ， 若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]， 则2cos 2θ＝－1，则θ＝k π＋π3，k ∈Z ，或θ＝k π＋2π3，k ∈Z ，所以θ＝π3.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向． 跟踪演练2 (1)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π4个单位长度后，所在图象对应的函数解析式为________________________． 答案 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3解析 把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π4个单位长度，所得图象的解析式是y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上的零点为________．答案 27π12解析 从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为π3，－π6，从而求得函数的最小正周期为T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，根据T ＝2πω可求得ω＝2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2x －π6＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，结合所给的区间，整理得出x ＝7π12.热点三 三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4cos ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期是π. (1)求函数f (x )在区间(0，π)上的单调递增区间；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π8上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝4cos ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝4cos ωx ⎝⎛⎭⎪⎫sin ωx cosπ6－cos ωx sin π6 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1－1 ＝3sin 2ωx －cos 2ωx －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－1，因为最小正周期是2π2ω＝π，所以ω＝1，从而f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π(k ∈Z )，所以函数f (x )在(0，π)上的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π8时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，2， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π8上的最大值和最小值分别为1，6－22－1.思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3 (1)(2018·江苏泰州中学调研)若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象关于坐标原点对称，且在y 轴右侧的第一个极值点为x ＝π6，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝________. 答案22解析 由题意得f (x )为奇函数，∴φ＝0， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±1，∴π6ω＝π2(ω>0)， ∴ω＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π12＝22. (2)已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，则函数f (x )＝－cos 2x －sin x ·sin π6＋cos 2x ＋1716的最小值为________． 答案1716解析 因为f (x )＝－cos 2x －sin x sin π6＋cos 2x ＋1716，所以f (x )＝2sin 2x －12sin x ＋cos 2x ＋116＝sin 2x －sin x 2＋1716＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋1.设t ＝sin x ，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋1.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，所以12≤t ≤1.又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，所以当t ＝12时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋1取得最小值，且y min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－142＋1＝1716，即函数f (x )的最小值为1716.1．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． 答案 －332解析 f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当cos x >12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－32×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332.2．(2016·江苏)定义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是__． 答案 7解析 在区间[0,3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．3．(2018·江苏)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________． 答案 －π6解析 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z . ∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴取k ＝0，得φ＝－π6.4．(2018·全国Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为______． 答案 3解析 由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时， f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0.∵x ∈[0，π]， ∴3x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，19π6，∴当3x ＋π6的取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为3.5．(2018·江苏溧阳中学联考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝________.答案 23解析 由题图知T 2＝11π12－7π12＝π3，∴T ＝2π3，∴ω＝3.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝A ，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×3π4＋φ＝1，∴9π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π4， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝－23，∴A ＝232，∴f (0)＝232×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝232×22＝23.6．如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，|φ|≤π2 与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为________．答案1633 解析 由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)．则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a2，由两点间距离公式，得PM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝25， 解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得T 2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6，由P (2,0)及|φ|≤π2，得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，得f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x －π3，从而f (0)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－8，得A ＝163 3.7．(2018·江苏海安高级中学模拟)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，横坐标分别为1,7.记点P (2，f (2))，点Q (5，f (5))，则MP →·NQ →的值为________．答案3－4解析 由题图知T ＝12，∴ω＝π6，又f (1)＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×1＋φ＝1， ∴π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . 又|φ|<π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3， ∴f (2)＝3，f (5)＝－1，∴P (2，3)，Q (5，－1)，∴MP →·NQ →＝(1，3－2)·(－2,1)＝3－4.A 组 专题通关1．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则点Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析 设点Q 的坐标为(x ，y )，则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. ∴点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 2．已知tan α＝－2，且π2<α<π，则sin α＋cos α＝________. 答案 55解析 因为tan α＝－2，且π2<α<π，sin 2α＋cos 2α＝1， 故sin α＝25，cos α＝－15， 所以sin α＋cos α＝25－15＝15＝55. 3．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值是________．答案 12解析 ∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝sin 5π6＝12. 4．(2018·南通市通州区模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，若所得到图象关于原点对称，则φ的最小值为________．答案 π12解析 因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋φ)－π6， 所以2φ－π6＝k π(k ∈Z )，所以φ＝π12＋k π2(k ∈Z )， 因为φ>0，所以φmin ＝π12. 5.已知函数f (x )＝3sin ωx －2cos 2ωx 2＋1(ω>0)，将f (x )的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度，所得函数g (x )的部分图象如图所示，则φ的值为________．答案 π12解析 ∵f (x )＝3sin ωx －2cos 2ωx 2＋1 ＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6， 则g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω(x －φ)－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωφ－π6. 由题图知T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ－π6，则g ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π6－2φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2φ＝2， 即2π3－2φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π12－k π，k ∈Z . 又0<φ<π2， ∴φ的值为π12. 6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，若|x 1－x 2|的最小值为12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，则f (x )的单调递增区间为________________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z 解析 由f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，且|x 1－x 2|的最小值为12， 可知T 4＝12，∴T ＝2，∴ω＝π， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，则φ＝±π3＋2k π，k ∈Z ， ∵0<φ<π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3. 令－π2＋2k π≤πx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－56＋2k ≤x ≤16＋2k ，k ∈Z . 故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z . 7．(2017·全国Ⅲ改编)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论正确的是________．(填序号) ①f (x )的一个周期为－2π；②y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称； ③f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6；④f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减． 答案 ①②③解析 因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )， 所以f (x )的一个周期为－2π，①正确；因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，②正确； f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )， 得x ＝k π－5π6，当k ＝1时，x ＝π6， 所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，③正确； 因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )， 单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π上单调递增，④错误． 8．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x －π)＝f (x )－sin x ，当－π<x ≤0时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018π3＝________. 答案 32 解析 ∵f (x －π)＝f (x )－sin x ，∴f (x )＝f (x －π)＋sin x ，则f (x ＋π)＝f (x )＋sin(x ＋π)＝f (x )－sin x .∴f (x ＋π)＝f (x －π)，即f (x ＋2π)＝f (x )．∴函数f (x )的周期为2π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫672π＋2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋sin 2π3. ∵当－π<x ≤0时，f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018π3＝0＋sin 2π3＝32. 9．(2018·扬州质检)已知函数f (x )＝1＋4cos x －4sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3，则f (x )的值域为________．答案 [－4,5]解析 f (x )＝1＋4cos x －4sin 2x＝1＋4cos x －4(1－cos 2x )＝4cos 2x ＋4cos x －3＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋122－4， 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3， 所以cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以4⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋122－4∈[－4,5]， 故函数的值域为[－4,5]．10．已知向量m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，设函数f (x )＝m ·n ＋b .(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f (x )的单调增区间； (2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围． 解 m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)， f (x )＝m ·n ＋b ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋1＋b ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＋b ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b . (1)∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称， ∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 解得ω＝3k ＋1(k ∈Z )，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ， 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3， ∴当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增； 当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减． 又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点， 即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0， ∴b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52. B 组 能力提高11.如图，单位圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，∠AOC ＝α，若BC ＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．答案 35解析 ∵点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，设∠AOB ＝θ， ∴sin(2π－θ)＝－35，cos(2π－θ)＝45， 即sin θ＝35，cos θ＝45，∵∠AOC ＝α，BC ＝1，∴θ＋α＝π3， 则α＝π3－θ， 则3cos 2α2－sin α2cos α2－32＝32cos α－12sin α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＝35. 12．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为________． 答案 2＋ 3解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6， 因此当πx 6－π3＝π2时， 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3取得最大值，即y max ＝2×1＝2. 当πx 6－π3＝－π3时，函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3取得最小值，即y min ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3， 因此y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为2＋ 3. 13．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 那么当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 14．(2018·株洲质检)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，若f (x )>2对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，π3恒成立，则φ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6 解析 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数周期为T ＝π，ω＝2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，π3时，2x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋φ，2π3＋φ， 且|φ|≤π2， 由f (x )>2知，sin(2x ＋φ)>12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ π6≤π12＋φ，2π3＋φ≤5π6，解得π12≤φ≤π6.。
江苏省2019届高三数学《解三角形》题型归纳(K12教育文档)
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江苏省2019届高三数学《解三角形》题型归纳（含解析）题型一：求某边的值(1)ABC △的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c .已知25,2,cos 3a c A ===，则b =_______. （2）如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD , AD ＝10, AB ＝14，BDA ＝60, BCD ＝135 ,则BC ＝ ．（3）在△ABC 中，内角A ，B ,C 的对边依次为a ，b ，c ，若a 2－c 2＝3b ，且sin B ＝8cos A sin C ，则边b ＝ ．（4)钝角△ABC 的面积是错误!，AB ＝1，BC ＝错误! ，则AC ＝ ．（5)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ，c ，已知△ABC 的面积为315,b －c ＝2，cos A ＝－错误!，则a 的值为________．（6）在ABC △中，已知3,120AB A ==，且ABC △的面积为153,则BC 边长为______． （7）在ABC △中，已知5,3,2AB BC B A ===,则边AC 的长为________．答案：（1）3 （2）8 2 (3）4 （4)错误! （5)8 （6）7 （7)26题型二：三角形的角（1）在△ABC 中,B ＝错误!,BC 边上的高等于错误!BC ，则cos A ＝________．（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，已知85,2b c C B ==，则cos C = （3)在△ABC 中，角A ,B ，C 所对边分别为a ,b ，c ，且tan 21tan A cB b+=．则A =________. （4)设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边依次为a ,b ，c ，且cos sin a cA C=,则A =________. （5）在△ABC 中,若tan :tan :tan 1:2:3A B C =，则A =________。
江苏省2019届高考数学二轮复习专题一三角1.1小题考法—三角函数、解三角形达标训练
三角函数、解三角形A 组——抓牢中档小题1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________.解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.答案：122．(2018·苏北四市期末)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωπx －π6(ω>0)的最小正周期为15，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值为________．解析：因为f (x )的最小正周期为2πωπ＝15，所以ω＝10，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10πx －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3－π6＝sin 19π6＝－sin π6＝－12.答案：－123．(2018·盐城期中)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角的大小为________．解析：由正弦定理及sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7知，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，可设a＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k ，且角C 是最大内角，由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 22×3k ×5k＝－12，因为0°<C <180°，所以C ＝120°.答案：120°4．(2018·苏州期中调研)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，则cos 2α的值是________． 解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以tan α－11＋tan α＝2，即tan α＝－3，故cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－810＝－45. 答案：－455．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B，即1sinπ6＝3sin B ， 解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3. 答案：π3或2π36．(2018·南京、盐城一模)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________.解析：将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为f (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －φ＋π3，即f (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ.因为f (x )为偶函数，所以π3－2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝－π12－k π2，k ∈Z ，因为0＜φ＜π2，所以φ＝5π12. 答案：5π127．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ＝a ＋c ，若sin B ＝45，cos B ＝9ac，则b 的值为________．解析：∵sin B ＝45，cos B ＝9ac，sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴ac ＝15，又∵2b ＝a ＋c ，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－18＝(a ＋c )2－48＝4b 2－48，解得b ＝4.答案：48．(2018·盐城三模)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8的值为________．解析：f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx ＋φ－π6，由题意知，T ＝π2×2＝π＝2πω，解得ω＝2.由函数f (x )为偶函数得，f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝±2，又因为0<φ<π，所以φ＝2π3，f (x )＝2sin2x ＋π2＝2cos 2x ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝2cos π4＝ 2.答案： 29．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.解析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos(α－β)＝cos(2α－2k π－π)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－79.答案：－7910．(2018·无锡期末)设函数f (x )＝sin 2x －3cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，则函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为________．解析：f (x )＝1－cos 2x 2＋3cos x sin x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，－π6≤x ≤π3，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π311．(2018·南通、扬州、泰州、淮安三调)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4.若△ABC 的面积为33，则BC ＝________.解析：因为b ＝4，c ＝3，由S △ABC ＝12bc sin A ＝6sin A ＝33，解得sin A ＝32，因为△ABC 是锐角三角形，所以cos A ＝1－sin 2A ＝12或求出锐角A ＝π3，再求cos A ＝12，在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋9－2×4×3×12＝13，所以a ＝13，即BC ＝13.答案：1312．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αα＋cos α22α＋cos α＝22sin α＝－255.答案：－25513．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________． 解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 答案：－4514．(2018·苏锡常镇一模)已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝________. 解析：∵sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos α·sin π6＝332sin α＋32cosα，∴tan α＝32－33 .又tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3tanπ4＝3－13＋1＝2－3，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝32－33＋2－31－32－33×()2－3＝23－4.答案：23－4B 组——力争难度小题1.如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的最小正周期是________．解析：设函数f (x )的最小正周期为T ，由图象可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 4，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3T 4，－3，则OA ―→·OB ―→＝3T216－3＝0，解得T ＝4. 答案：42．△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，若3cos A ＋sin A3sin A －cos A＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，则tan A ＝________.解析：3cos A ＋sin A 3sin A －cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－A －π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，所以－A －π3＝－7π12，所以A ＝7π12－π3＝π4，所以tan A ＝tan π4＝1.答案：13．已知α为锐角，cos(α＋π4)＝55.则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值为________．解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2 cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2sin π6＝43＋310. 答案：43＋3104.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________. 解析：由图象可得A ＝1，T 2＝2π2ω＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0代入函数f (x )可得0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ，所以2π3＋φ＝k π，所以φ＝k π－2π3(k∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫π12，0，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 2＝π12×2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32. 答案：325．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 2＋b 2＋2c 2＝8，则△ABC 面积S 的最大值为________．解析：由S ＝12ab sin C ，得S 2＝14a 2b 2(1－cos 2C )＝14a 2b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2， ∵a 2＋b 2＋2c 2＝8， ∴a 2＋b 2＝8－2c 2，∴S 2＝14a 2b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2＝14a 2b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3c 22ab 2 ＝14a 2b 2－－3c 2216≤a 2＋b 2216－－3c 2216＝－5c 416＋c 2，当且仅当a 2＝b 2时等号成立，由二次函数的性质可知，当c 2＝85时，S 2取得最大值，最大值为45，故S 的最大值为255.答案：2556.(2018·南通基地卷)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x 的图象向左平移3个单位长度，得到函数y ＝3sin π4x ＋φ(|φ|<π)的图象如图所示，点M 、N 分别是函数f (x )图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设∠MON ＝θ，则tan(φ－θ)的值为________．解析：将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 的图象向左平移3个单位长度，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋3π4，所以φ＝34π，M (－1，3)，|OM |＝2，N (3，－3)，ON ＝23，|MN |＝27，由余弦定理可得，cos θ＝4＋12－282×2×23＝－32，θ＝5π6，tan(φ－θ)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－5π6＝tan 3π4－tan5π61＋tan 3π4·tan5π6＝－2＋ 3.答案：－2＋ 3。
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3.三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 答案 －152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限[问题2]cos 9π4＋tan⎝⎛⎭⎪⎫－7π6＋sin 21π的值为______________________________________．答案22－333．正弦、余弦和正切函数的常用性质[问题3] 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间是________________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )4．三角函数化简与求值的常用技巧解答三角变换类问题要灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值．常用到切化弦、降幂、拆角拼角等技巧．如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 答案 －56655．解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(ⅳ)a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R .②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理判定三角形的形状．[问题5] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________.答案 45°6．求三角函数最值的常见类型、方法(1)y ＝a sin x ＋b (或a cos x ＋b )型，利用三角函数的值域，须注意对字母a 的讨论． (2)y ＝a sin x ＋b sin x 型，借助辅助角公式化成y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)的形式，再利用三角函数有界性解决．(3)y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型，配方后转化为二次函数求最值，应注意|sin x |≤1的约束． (4)y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d型，反解出sin x ，化归为|sin x |≤1解决．(5)y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d型，化归为A sin x ＋B cos x ＝C 型或用数形结合法(常用到直线斜率的几何意义)求解．(6)y ＝a (sin x ＋cos x )＋b sin x ·cos x ＋c 型，常令t ＝sin x ＋cos x ，换元后求解(|t |≤2)．[问题6] 函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122－54，又sin x ∈[－1,1]， ∴当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1. 7．向量的平行与平面向量的数量积(1)向量平行(共线)的充要条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔(a·b )2＝(|a||b |)2⇔x 1y 2－y 1x 2＝0.(2)a·b ＝|a ||b |cos θ， 变形：|a |2＝a 2＝a·a ， cos θ＝a·b|a||b |.注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a ，b 不同向； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a ，b 不反向．[问题7] 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．答案 22解析 由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2，即2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22.8．向量中常用的结论(1)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若λ＋μ＝1，则三点A ，B ，C 共线．反之也成立． (2)在△ABC 中，若D 是BC 边的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．(3)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内．若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 为△ABC 的外心；若NA →＋NB →＋NC →＝0，则N 为△ABC 的重心；若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 为△ABC 的垂心． [问题8] 在△ABC 中，D 是边AB 的中点，E 是边AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则x ，y 的值分别为______________．答案 13，13解析 由题意知，点F 为△ABC 的重心， 如图，设H 为BC 的中点，则AF →＝23AH →＝23×12(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，所以x ＝13，y ＝13.易错点1 忽视角的范围例1 已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a 为大于1的常数)的两根为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则tan α＋β2的值是________．易错分析 本题易忽略隐含条件tan α，tan β是方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0的两个负根，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，从而导致错误．解析 ∵a >1，∴tan α＋tan β＝－4a <0， tan α·tan β＝3a ＋1>0，∴tan α，tan β是方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0的两个负根．又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，即α＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. 由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－4a 1－(3a ＋1)＝43，可得tan α＋β2＝－2.答案 －2易错点2 图象变换方向或变换量把握不准例2 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为了得到函数g (x )＝cos 2x 的图象，只要将y ＝f (x )的图象向__________平移________个单位长度．易错分析 (1)没有将f (x )，g (x )化为同名函数；(2)平移时看2x 变成了什么，而没有认识到平移过程只是对“x ”而言．解析 g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4，∴y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位长度即可得到y ＝g (x )的图象．答案 左π8易错点3 三角函数单调性理解不透例3 求函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间． 易错分析 对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数，如果ω<0，要求其单调区间，必须先提出负号，然后去求解，否则单调区间正好相反． 解 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .∴函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z .同理，函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .易错点4 解三角形时漏解或增解例4 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝ 3. (1)若角C ＝π3，则角A ＝________；(2)若角A ＝π6，则b ＝________.易错分析 在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c 边比a 边大，在求得sin A ＝a sin C c ＝12后，得出角A ＝π6或5π6；在第(2)问中没有考虑角C 有两解，由sin C ＝c sin A a ＝32，只得出角C ＝π3，所以角B ＝π2，解得b ＝2，这样就出现漏解的错误．解析 (1)由正弦定理a sin A ＝csin C ，得sin A ＝a sin C c ＝12， 又a <c ，所以A <C .所以A ＝π6. (2)由正弦定理a sin A ＝csin C ，得sin C ＝c sin A a ＝32，得C ＝π3或2π3， 当C ＝π3时，B ＝π2，可得b ＝2；当C ＝2π3时，B ＝π6，此时得b ＝1.答案 (1)π6(2)2或1易错点5 忽视题目中的制约条件例5 已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6，若在△ABC 中，满足f (A )＝32，b ＋c ＝2，求边长a 的取值范围．易错分析 本题中有两点易错：确定角A 时忽视范围；求边长a 的取值范围时，忽视三角形中两边之和大于第三边的条件． 解 f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝1＋cos 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－32sin 2x ＋12cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1. 由题意，f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12.因为A ∈(0，π)，所以2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2A ＋π6＝5π6，所以A ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2知，bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1，当且仅当b ＝c ＝1时取等号． 又由b ＋c >a ，得a <2， 所以a 的取值范围是[1,2)．易错点6 忽视向量共线例6 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________________________________________________________________________． 易错分析 误认为θ为锐角⇔cos θ>0，没有排除θ＝0，即两向量同向的情况．解析 由θ为锐角，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ·b >0，2≠λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋1>0，λ≠2，∴λ的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫λ⎪⎪⎪λ>－12且λ≠2. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫λ⎪⎪⎪λ>－12且λ≠21．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．答案7π4解析 tan θ＝cos 3π4sin 3π4＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，则sin θcos θ－3cos 2θ的值为________．答案 －2解析 由题意得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.∴sin θcos θ－3cos 2θ＝sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ－3tan 2θ＋1＝12－3⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝－2. 3．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan α＝________. 答案 3或－13解析 因为sin α＋2cos α＝102， 所以sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，所以3cos 2α＋4sin αcos α＝32，所以3cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝32， 即3＋4tan α1＋tan 2α＝32， 即3tan 2α－8tan α－3＝0， 解得tan α＝3或tan α＝－13.4．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析 由对称轴完全相同知，两函数周期相同，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－32≤f (x )≤3. 5．在斜△ABC 中，若1tan A ＋1tan B＋tan C ＝0，则tan C 的最大值是________． 答案 －2 2解析 在斜△ABC 中，∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π－(A ＋B )，∴tan C ＝tan(π－(A ＋B ))＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B， 又∵1tan A ＋1tan B＋tan C ＝0， ∴tan C ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan A ＋1tan B ＝－tan A ＋tan B tan A tan B ， ∴－tan A ＋tan B tan A tan B ＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B∴tan A tan B ＝1－tan A tan B ，∴tan A tan B ＝12， ∵tan A tan B ＝12>0，tan A 与tan B 同号， 又∵在△ABC 中，tan A >0，tan B >0，∴tan C ＝－2(tan A ＋tan B )≤－2×2tan A tan B ＝－2×2×22＝－22， 当且仅当tan A ＝tan B ＝22时“＝”成立， ∴tan C 的最大值为－2 2.6．(2018·苏州模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，(a ＋b )·c ＝52，则a ，c 的夹角大小为________．答案 120°解析 设a 与c 的夹角为θ，∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，则b ＝－2a ，∴(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝52， ∴a ·c ＝－52， ∴cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525·5＝－12， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.7．已知f 1(x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x cos x ，f 2(x )＝sin x sin(π＋x )，若设f (x )＝f 1(x )－f 2(x )，则f (x )的单调增区间是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) 解析 由题意知，f 1(x )＝－cos 2x ，f 2(x )＝－sin 2x ， f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，令2x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )， 故f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )． 8．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 答案 27 解析 由正弦定理知，AB sin C ＝3sin 60°＝BC sin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C )＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C )＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C ) ＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°<C <120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.9．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则sin 2αcos 2β的值为________． 答案 1解析 tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，sin 2αcos 2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]cos[(α＋β)－(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)， 分式同除以cos(α＋β)cos(α－β)，tan (α＋β)＋tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝1＋21＋1×2＝1. 10．在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝1，AD ＝3，P 为平行四边形内一点，且AP ＝32，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则λ＋3μ的最大值为________． 答案 1解析 ∵AP →＝λAB →＋μAD →，∴|AP →|2＝(λAB →＋μAD →)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝λ2|AB →|2＋μ2|AD →|2＋2λμAB →·AD →. 又AB ＝1，AD ＝3，∠BAD ＝60°，∴AB →·AD →＝|AB →||AD →|cos 60°＝32， ∴34＝λ2＋3μ2＋3λμ， ∴(λ＋3μ)2＝34＋3λμ≤34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋3μ22， ∴(λ＋3μ)2≤1，∴λ＋3μ的最大值为1， 当且仅当λ＝12，μ＝36时取等号． 11．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12. (1)求f (x )的最小正周期； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，求函数f (x )的值域； (3)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的解析式． 解 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)所以最小正周期T ＝2π2＝π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1， 所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22. (3)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度， 得到g (x )＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝22sin 2x . 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的值；(2)若cos A sin C ＝3－14，求角A 的值． 解 (1)因为a sin A ＝b sin B，所以b sin A ＝a sin B ， 又b sin A ＝3a cos B ，所以3a cos B ＝a sin B ，即tan B ＝3，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2)因为cos A sin C ＝3－14，所以cos A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3－14， cos A ⎝⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A ＝32cos 2A ＋12sin A ·cos A ＝32·1＋cos 2A 2＋14sin 2A ＝34＋34cos 2A ＋14sin 2A ＝34＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝3－14， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－12，因为B ＝π3，所以0<A <2π3，所以2A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π3， 所以2A ＋π3＝7π6，A ＝5π12.。