考点用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算-庖丁解题2018-2019学年高一数学人教版(必修4)(原卷版)
平面向量加、减运算的坐标表示讲解
平面向量加、减运算的坐标表示讲解
平面向量的加法和减法运算可以通过坐标表示进行讲解。
首先，让我们考虑两个平面向量a和b，它们分别可以表示为(a1, a2)和
(b1, b2)，其中a1、a2、b1和b2分别表示向量a和b在x轴和y
轴上的分量。
对于向量的加法，我们可以将两个向量a和b相加得到一个新
的向量c，表示为c = a + b。
这个新向量c的坐标表示为(c1, c2)，其中c1等于a1加上b1，c2等于a2加上b2。
换句话说，c1和c2
分别表示了向量a和b在x轴和y轴上的分量之和，从而得到了向
量c的坐标表示。
对于向量的减法，我们可以将两个向量a和b相减得到一个新
的向量d，表示为d = a b。
这个新向量d的坐标表示为(d1, d2)，
其中d1等于a1减去b1，d2等于a2减去b2。
同样地，d1和d2分
别表示了向量a和b在x轴和y轴上的分量之差，从而得到了向量
d的坐标表示。
总结起来，平面向量的加法和减法运算的坐标表示可以通过对
应分量的加法和减法来实现，这样可以更直观地理解向量之间的关系。
希望这样的讲解能够帮助你更好地理解平面向量的加减运算。
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示PPT课件(人教版)
[解] 因为 a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， 又(ka＋b)∥(a－3b)， 故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即 k＝－13. 这时 ka＋b＝－130，43， 且 a－3b 与－13a＋b 的对应坐标异号， 故当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且是反向的．
2解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三 点共线，由两向量无公共点确定直线平行.
[变式训练 5] 已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线 AC 与 OB 交点 P 的坐标．
解：设点 P(x，y)，则O→P＝(x，y)，O→B＝(4,4)， ∵P，B，O 三点共线，∴O→P∥O→B. ∴4x－4y＝0. 又A→P＝O→P－O→A＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)， A→C＝O→C－O→A＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
[变式训练 1] 如图，在△ABC 中，已知 A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D 分 别是 AB，AC，BC 的中点，且 MN 与 AD 交于点 F，求D→F的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)， ∴A→B＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)． A→C＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)． ∵D 是 BC 的中点，
∵P，A，C 三点共线，∴A→P∥A→C， ∴6(x－4)＋2y＝0. 由64xx－－44y＝＋02，y＝0， 得yx＝＝33.， ∴点 P 的坐标为(3,3)．
1．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( D )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
考点31平面向量基本定理及坐标表示(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习(新高考版
考点31平面向量基本定理及坐标表示（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．【知识点】1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，一对实数λ1，λ2，使a ＝.若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个 ．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝，a －b ＝，λa ＝，|a |＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则 坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝ ，|AB →|＝.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔ .常用结论已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)..【核心题型】题型一 平面向量基本定理的应用(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【例题1】（2024·湖南衡阳·三模）在三角形ABC 中，点M 在平面ABC 内，且满足(,)BM BA BC l m l m =+ÎR uuuu r uuu r uuu r ，条件:3P AM MC =uuuu r uuu u r，条件:221Q m l -=，则P 是Q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【变式1】（2024·河北·模拟预测）在边长为1的正三角形ABC 中，13A A DB =uuu u u ru r ，13BE BC =uuu r uuu r ，AE 与CD 交于点F ，则CD BF ×=uuu r uuu r（ ）A ．1B ．0C ．12-D ．【变式2】（2023·陕西咸阳·模拟预测）在ABC V 中，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上，且13BE BA BC l =+uuu r uuu r uuu r ，AE xBA yBC =+uuu r uuu r uuu r，则x y l -=.【变式3】（2023·广东佛山·模拟预测）在ABC V 中，2AB =，BC =，M 点为BC 的中点，N 点在线段AC 上且13AN AC =，2BN =.(1)求AC ；(2)若点P 为AM 与BN 的交点，求MPN Ð的余弦值.题型二 平面向量的坐标运算(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．【例题2】（2023·广东佛山·二模）已知ABCD Y 的顶点()1,2--A ，()3,1B -，()5,6C ，则顶点D 的坐标为（ ）A ．()1,4B ．()1,5C ．()2,4D ．()2,5【变式1】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 内，已知点()()1,1,1,2A AB -=-uuu r ，则OB =uuu r（ ）A ．()2,3-B ．()0,1-C ．()2,3-D ．()0,1【变式2】(多选)（2022·海南·模拟预测）用下列1e u r ，2e u ur 能表示向量()3,2a =r 的是（ ）A ．()16,4e =u r ，()29,6e =u u rB ．()11,2e =-u r，()25,2e =-u u r C ．()13,5e =u r，()26,10e =u u r D ．()12,3e =-u r，()22,3e =-u u r 【变式3】（2023·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，点()0,0A ，()4,4B -，()2,6D ．若AC 与BD 的交点为M ，则DM 的中点E 的坐标为,题型三 向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1.(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．命题点1 利用向量共线求参数【例题3】（2024·陕西渭南·三模）已知向量()2,m l =r ，()2,4n l =--r ，若m r与n r 共线且反向，则实数l 的值为（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．2-或4【变式1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量()4,a m =r ，()2,2b m =r ，若a b r r ∥，则m =（ ）A ．4或2B ．2-C ．2D ．2或2-【变式2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知向量()3,4a =r ，()2,b k =r，且()//a b a +r r r ，则实数k = .【变式3】（2023·四川成都·一模）已知向量()sin ,1a x =r，),2b x =-r ，函数()()f x a b a =+×r r r .(1)若//a b r r ，求cos2x 的值；(2)a ，b ，c 为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，2a =，且()12f A =，求ABC V 面积的最大值.命题点2 利用向量共线求向量或点的坐标【例题4】（2024·全国·模拟预测）已知()4,2M -，()6,4N --，且12MP MN =-uuu r uuuur ，则点P 的坐标为（ ）A ．()1,1B ．()9,1-C ．()2,2-D ．()2,1-【变式1】（2024·江苏南京·二模）已知向量()1,2a =r ，(),3b x x =+r ．若a b rr P ，则x =（ ）A ．6-B ．2-C ．3D ．6【变式2】（2023·山东青岛·一模）已知()0,0O ，()1,2A ，()3,1B -，若向量m OA uuu r r ∥，且mr 与OB uuu r 的夹角为钝角，写出一个满足条件的m r的坐标为 ．【变式3】（2024·河南信阳·模拟预测）抛物线E ：24y x =的焦点为F ，直线AB ，CD 过F 分别交抛物线E 于点A ，B ，C ，D ，且直线AD ，BC 交x 轴于N ，M ，其中()2,0N ，则M 点坐标为．【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边ABC V 中，点E 为中线BD 的三等分点（靠近点B ），点F 为BC 的中点，则FE FB ×=uuu r uuu r（ ）A ．B ．12-C ．34D ．122．（2024·河北承德·二模）在ABC V 中，D 为BC 中点，连接AD ，设E 为AD 中点，且,BA x BE y ==uuu r uuu r r r ，则BC =uuu r（ ）A ．42x y+r r B ．4x y-+r r C ．42x y--r r D ．42y x-r r 3．（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量(),23a m m =+r ，()1,41b m =+r ，则“34m =-”是“a r 与br 共线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．（2024·四川·模拟预测）已知向量()2,1a =r ，(),2b x =r ，若//a b r r ，则x =（ ）A ．4B ．2C ．1D ．1-二、多选题5．（2024·全国·模拟预测）已知向量()(),1,4,2a x b ==r r ，则（ ）A ．若a b r r∥，则2x =B ．若a b ^rr ，则12x =C ．若3x =，则向量a r 与向量b rD ．若=1x -，则向量b r 在向量a r上的投影向量为6．（23-24高三上·山东枣庄·期末）设()1,3m =-r，()1,2n =r ，则（ ）A ．210m n -=r rB ．()2m n m-^r r rC ．若()2m n -r r P ()km n +r r ，则12k =-D ．n r 在m r上的投影向量为12mr 三、填空题7．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点O 为坐标原点，()1,1OA =uuu r ，()3,4OB =-uuu r，点P 在线段AB 上，且1AP =uuu r，则点P 的坐标为 ．8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量()()3,4,3a b m ==r r ，.若向量2a b -r r与a b +r r 共线，则实数m 的值为.9．（2023·河南开封·模拟预测）已知两点(1,2)A -，(2,4)B ，若向量(2,)a m =r与AB uuu r垂直，则m =．四、解答题10．（2024·湖北·二模）如图，O 为坐标原点，F 为抛物线22y x =的焦点，过F 的直线交抛物线于,A B 两点，直线AO 交抛物线的准线于点D ，设抛物线在B 点处的切线为l ．(1)若直线l 与y 轴的交点为E ，求证：DE EF =；(2)过点B 作l 的垂线与直线AO 交于点G ，求证：2||AD AO AG =×．11．（2022·北京·三模）如图四棱锥P ABCD -中，PAD V 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，AB AD ^，222AD AB BC ===，PC =E 为PD 的中点.(1)求证：直线CE ∥平面PAB(2)求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值.(3)设F 是BE 的中点，判断点F 是否在平面PAC 内，并证明结论.【综合提升练】一、单选题1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知向量(2,)a t =r，(1,2)b =r ，若当1=t t 时，a b a b ×=×r r r r ，当2=t t 时，a b ^rr ，则（ ）A ．14t =-，21t =-B ．14t =-，21t =C ．14t =，21t =-D ．14t =，21t =2．（2024·山西·模拟预测）已知向量()2,a x =r ，()1,3b =-r ，若a b ∥r r，则a b +=r r （ ）A B ．C ．3D 3．（2024·重庆·三模）已知向量(2,3),(1,21)a b m m ==-+r r ，若//a b rr ，则m =（ ）A ．3B ．18C ．18-D ．5-4．（2024·浙江温州·三模）平面向量()(),2,2,4a m b ==-r r，若()a ab -r r r ∥，则m =（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．25．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形ABCD ，点P 在BCD △的内部（不含边界），则下列选项中，AP uuu r可能的关系式为（ ）A ．1355AP AB AD=+uuu r uuu r uuu rB ．1344AP AB AD =+uuu r uuu r uuu rC ．2334AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r D ．2433AP AB AD=+uuu r uuu r uuu r6．（2024·全国·模拟预测）在ABC V 中，点D 满足20BD AD +=uuu r uu r ru ．若3CA =uuu r π4ACD Ð=，则CB =uuu r （ ）A ．4B ．C ．D ．7．（2023·全国·模拟预测）在ABC V 中，点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点，点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =uuu r（ ）A ．2133CA CB-+uuur uuu r B ．1526CA CB-uuur uuu r C ．5162CA CB -+uuu r uuu r D ．1233CA CB-+uuur uuu r 8．（2024·山东泰安·模拟预测）已知向量()2,3a =-r ，()3,b m =r ，且a b r r∥，则m =（ ）A ．2B ．-2C ．92D ．92-二、多选题9．（2024·江西景德镇·三模）等边ABC V 边长为2，2AD DC =uuu r uuu r ，AE EB =uuu r uuu r，BD 与CE 交于点F ，则（ ）A ．2133BD BA BC=+uuu r uuu r uuu r B ．12CF CE=uuu r uuu r C ．1BD CE ×=-uuu r uuu rD ．BD uuu r 在BC uuu r 方向上的投影向量为56BCuuur10．（2024·山东济南·二模）如图，在直角三角形ABC 中，AB BC ==AO OC =，点P 是以AC 为直径的半圆弧上的动点，若BP xBA yBC =+uuu r uuu r uuu r，则（ ）A ．1122BO BA BC =+uuu r uuu r uuu r B ．1CB BO ×=uuu r uuu rC ．BP BC ×uuu r uuu r最大值为1D ．B ，O ，P 三点共线时2x y +=11．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量()()cos ,sin ,3,4a b q q ==-r r，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若//a b rr ，则4tan 3q =-B ．若a b ^rr ，则3sin 5q =C ．a b -rr 的最大值为6D ．若()0a a b ×-=r r r ，则a b -=rr 三、填空题12．（2022·黑龙江·一模）已知向量()3,4a =-r ，2AB a =uuu r r，点A 的坐标为()3,4-，则点B 的坐标为 ．13．（2020高三上·全国·专题练习）已知向量(),2a x =v ，()2,1b =v ，且//a b v v ，则a =v14．（2023·上海徐汇·三模）函数()ln y x =-沿着向量a r 平移后得到函数()ln 12y x =-+，则向量a r的坐标是.四、解答题15．（2023·吉林·一模）已知向量),cos a x x =r，()cos ,cos b x x =r．(1)若//a b r r且()0,πx Î，求x ；(2)若函数()12=×-r r f x a b ，求()f x 的单调递增区间．16．（2023·安徽滁州·模拟预测）已知ABC V 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，向量(),,p a c b =-u r()si n si n ,si n si n q C B A B =++r，且p q u r r ∥.(1)求角C ；(2)若c ABC =V ABC V 的周长.17．（2020·山东济宁·模拟预测）已知向量()1,1a =r，()2,b m =r ，R m Î．(1)若//a b r r，求m 的值；(2)若a b ^r r，求m 的值；(3)若a r 与b r夹角为锐角，求m 的取值范围．18．（2023·全国·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos cos2c a A B b A A B =-£．(1)求A ；(2)若D 是BC 上的一点，且:1:2,2BD DC AD ==，求a 的最小值．19．（2023·福建福州·三模）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知()sin cos sin A A C C a=+，2c =.(1)求B ；(2)D 为AC 的中点，234BD BC =,求ABC V 的面积.【拓展冲刺练】一、单选题1．（2024·河南·模拟预测）已知向量()2,1AB =-uuu r ，()3,2AC =uuu r ，点()1,2C -，则点B 的坐标为（ ）A ．()2,1--B ．()0,5C ．()2,5-D ．()2,1-2．（2024·山东济南·一模）已知(),1a m =r ，()31,2b m =-r ，若//a b r r ，则m =（ ）A ．1B ．1-C ．23D ．23-3．（2024·陕西榆林·二模）若向量()()0,1,,2,AB CD m AB ==-uuu r uuu r uuu r P CD uuu r ，则m =（ ）A ．1-B ．2C ．1D ．04．（2024·全国·模拟预测）已知O 为平面直角坐标系的原点，向量(1,3),(2,1),(1,2)OA AB AP ==--=-uuu r uuu r uuu r ，设M 是直线OP 上的动点，当MA MB ×uuu r uuu r 取得最小值时，OM =uuuu r （ ）A ．11,2æöç÷èøB ．11,2æö--ç÷èøC ．(2,1)D ．(2,1)--二、多选题5．（2023·全国·模拟预测）已知向量(1,2),(2,1)a b ==-r r .若()//()xa b a xb --r r r r ，则x =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．26．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量a r ，b r ，c r 为非零向量，下列说法正确的有（ ）A ．若a b ^r r ，b c ^r r ，则a c^r r B ．已知向量()1,2a =r ，()23,2a b +=r r ，则()1,2b =r C ．若a b a c ×=×r r r r ，则b r 和c r 在a r 上的投影向量相等D ．已知2AB a b =+uu r u r r ，56BC a b =-+uuu r r r ，72CD a b =-uuu r r r ，则点A ，B ，D 一定共线三、填空题7．（2024·山东潍坊·三模）已知向量()()()1,2,4,2,1,a b c l ==-=r r r ，若()20c a b ×+=r r r ，则实数l =8．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知向量()1,1a =-r ，()2,1b =r ，则()a ab ×-=r r r 9．（2023·上海普陀·二模）设x 、R y Î，若向量a r ，b r ，c r 满足(,1)a x =r ，(2,)b y =r ，(1,1)c =r ，且向量a b -r r 与cr 互相平行，则||2||a b +r r 的最小值为 ．四、解答题10．（2023·河南洛阳·一模）已知函数2()cos 2sin 2f x x x x p æö=-+ç÷èø，在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()3f A =．(1)求角A ；(2)若b =3，c =2，点D 为BC 边上靠近点C 的三等分点，求AD 的长度．11．（2023·江苏·三模）已知椭圆E ：221164x y +=，椭圆上有四个动点A ，B ，C ，D ，//CD AB ，AD 与BC 相交于P 点.如图所示.(1)当A ，B 恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD 与BC 的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；(2)若点P 的坐标为()8,6，求直线AB 的斜率.。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何学和向量代数的研究中具有广泛的应用。
在平面直角坐标系中，平面向量可以通过其坐标表示和进行运算。
本文将详细介绍平面向量的坐标表示和运算方法。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。
例如，向量AB可以表示为(3, 4)，其中向量的起点为A，终点为B，x轴上的分量为3，y轴上的分量为4。
二、平面向量的运算1. 向量的加法与减法向量的加法可以通过分别对应分量进行加法运算得到。
例如，向量A(3, 4)与向量B(1, 2)的和向量C可以表示为C(3+1, 4+2)，即C(4, 6)。
类似地，向量的减法可以通过分别对应分量进行减法运算得到。
2. 向量的数量积两个向量的数量积，也称为点积或内积，可以表示为两个向量的对应分量乘积的和。
例如，向量A(3, 4)与向量B(1, 2)的数量积可以表示为3×1 + 4×2 = 11。
数量积具有一些重要的性质，如交换律和分配律，可以用于向量的运算。
3. 向量的数量积与夹角两个向量的数量积与它们之间的夹角有一定的关系。
根据数量积的定义，两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。
即A·B = |A| |B| cosθ，其中A·B表示向量A与向量B的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A与B之间的夹角。
4. 向量的数量积与平行垂直关系如果两个非零向量的数量积为0，则它们是垂直的。
如果两个非零向量的数量积非零，则可以通过比较它们的数量积的正负来判断其是否平行。
如果数量积为正数，则它们是同向的；如果数量积为负数，则它们是反向的。
5. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或外积，是一种特殊的向量运算。
向量的向量积满足“左手定则”，结果的方向垂直于原来两个向量所在的平面，并符合右手法则。
高中数学必修二 专题6 2 平面向量的加法、减法、数乘运算-同步培优专练
专题6.2 平面向量的加法、减法、数乘运算知识储备一．向量加法的法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则有什么关系？【答案】(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.二．向量的减法1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则向量a－b＝BA，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.【思考】若a ，b 是不共线向量，|a ＋b |与|a －b |的几何意义分别是什么？【答案】如图所示，设OA ＝a ，OB ＝b .根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b .因为四边形OACB 是平行四边形，所以|a ＋b |＝|OC |，|a －b |＝|BA |，分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长.三 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎪⎩⎪⎨⎧<>.00的方向相反时，与当的方向相同；时，与当a a λλ 特别地，当λ＝0时，λa ＝0.当λ＝－1时，(－1)a ＝－a .四 向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .【思考】向量共线定理中为什么规定a ≠0?【答案】若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线.(1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa .(2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·江西高一期末（理））下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．MB AD BM +- B ．()()AD MB BC CM +++C ．()AB CD BC ++D ．OC OA CD -+【答案】A 【解析】对B ，()()AD MB BC CM AD MB BC CM AD +++=+++=，故B 正确； 对C ，()AB CD BC AB BC CD AD ++=++=，故C 正确；对D ，OC OA CD AC CD AD -+=+=，故D 正确；故选：A.2．（2021·北京市第四中学顺义分校高一期末）在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ，则AB CB +=（ ）A ．2BOB ．2DOC ．BD D ．AC【答案】B 【解析】因为四边形ABCD 为平行四边形，故0AO CO +=，故22AB CB AO OB CO OB OB DO +=+++==，故选B.3．（2020·莆田第七中学高二期中）在五边形ABCDE中（如图），AB BC DC+-=（）A．AC B．AD C．BD D．BE【答案】B【解析】AB BC DC AB BC CD AD+-=++=.故选B4．（2020·全国高二单元测试）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则AB＋12BC＋12BD等于（）A．AD B．GA C．AG D．MG 【答案】C【解析】∵四面体A-BCD中，M、G为BC、CD中点，∵12BC BM=，12BD MG=，∵1122AB BC BD AB BM MG AM MG AG ===+++++.故选C 5．（2021·江苏高一）八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH ，其中1OA =，则给出下列结论：①0BF HF HD -+=；①2OA OC OF +=-；①AE FC GE AB +-=．其中正确的结论为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】C 【解析】对于∵：因为BF HF HD BF FH HD BH HD BD -+=++=+=，故∵错误； 对于∵：因为3602908AOC ︒∠=⨯=︒，则以,OA OC 为邻边的平行四边形为正方形， 又因为OB 平分AOC ∠，所以22OA OC OB OF +==-，故∵正确；对于∵：因为AE FC GE AE FC G EG A FC +-=++=+，且FC GB =，所以AE FC GE AG GB AB +-=+=，故∵正确，故选：C.6．（2019·天津市南开区南大奥宇培训学校高三月考）如图，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，则DC =（ ）A ．a b c -++B ．a b c -+-C ．a b c ++D ．a b c -+【答案】D 【解析】由题意，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，根据向量的运算法则，可得DC DA AB BC b a c a b c =++=-++=-+.故选D.7．（2020·陕西宝鸡市·高三二模（文））点P 是ABC ∆所在平面内一点且PB PC AP +=，在ABC ∆内任取一点，则此点取自PBC ∆内的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B【解析】设D 是BC 中点，因为PB PC AP +=，所以2PD AP =，所以A 、P 、D 三点共线且点P 是线段AD 的三等分点， 故13PBC ABC S S ∆∆=，所以此点取自PBC ∆内的概率是13．故选B. 8．（2020·自贡市田家炳中学高二开学考试）P 是ABC 所在平面内一点，若CB PA PB λ=+，其中R λ∈，则P 点一定在（ ）A ．ABC 内部B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上【答案】B【解析】根据题意，CB PA PB CB PB PA CP PA λλλ=+⇔-=⇔=，∴点P 在AC 边所在直线上，故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
向量的坐标运算法则
向量的坐标运算法则向量是数学中的一个重要概念，可以用来描述物体的位置和运动。
在二维平面上，一个向量可以用两个数值（即x和y坐标）表示。
本文将介绍向量的坐标运算法则，包括坐标加法、坐标减法、数乘坐标、坐标点乘和坐标叉乘等方面。
1. 坐标加法定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a+b。
公式：c(x,y)=a(x,y)+b(x,y)坐标加法就是将两个向量的对应坐标相加，得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(1，2)，向量b的坐标为(3，4)，则向量c 的坐标为(1+3，2+4)=(4，6)。
2. 坐标减法定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a-b。
公式：c(x,y)=a(x,y)-b(x,y)坐标减法是将两个向量的对应坐标相减，得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(5，7)，向量b的坐标为(3，5)，则向量c的坐标为(5-3，7-5)=(2，2)。
3. 数乘坐标定义：已知向量a和实数k，求向量b，使得b=k*a。
公式：b(x,y)=k*a(x,y)数乘坐标是将一个向量的每个坐标乘以一个实数，得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(4，5)，实数k为3，则向量b的坐标为(4*3，5*3)=(12，15)。
4. 坐标点乘定义：已知两个向量a和b，求实数c，使得c=a*b。
公式：c=a*b坐标点乘也称为内积或标量积，它是将两个向量的对应坐标相乘，并求和得到一个实数。
例如，如果向量a的坐标为(3，4)，向量b的坐标为(5，6)，则它们的内积为(3*5+4*6)=57。
内积是一个重要的概念，它可以用来表示两个向量的夹角以及向量的长度。
5. 坐标叉乘定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a×b。
公式：c(x,y)=a(x,y)×b(x,y)坐标叉乘也称为外积或向量积，它是通过两个向量的对应坐标之间乘积得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(1，2)，向量b的坐标为(3，4)，则它们的外积为(1*4-2*3)=-2。
高中数学平面向量的坐标表示及计算方法
高中数学平面向量的坐标表示及计算方法在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还在代数中扮演着重要的角色。
平面向量的坐标表示及计算方法是我们学习平面向量的基础，下面我将结合具体的题目，详细介绍平面向量的坐标表示及计算方法。
一、坐标表示平面向量可以用一个有序数对表示，这个有序数对就是向量的坐标。
对于平面上的一个向量a，它的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x轴上的分量，a₂表示向量在y轴上的分量。
例如，给定平面上两点A(2, 3)和B(5, 1)，我们可以通过这两个点得到向量AB 的坐标表示。
向量AB的x轴分量为5-2=3，y轴分量为1-3=-2，因此向量AB的坐标表示为(3, -2)。
二、向量的加减法对于平面上的两个向量a=(a₁, a₂)和b=(b₁, b₂)，它们的加法定义为：a+b=(a₁+b₁, a₂+b₂)。
这意味着向量的加法就是将它们的对应分量相加。
例如，给定向量a=(2, 3)和b=(-1, 4)，我们可以计算出它们的和向量c=a+b。
根据定义，c的x轴分量为2+(-1)=1，y轴分量为3+4=7，因此向量c的坐标表示为(1, 7)。
同样地，向量的减法也可以通过对应分量相减得到。
对于向量a和b，它们的减法定义为：a-b=(a₁-b₁, a₂-b₂)。
三、向量的数量积向量的数量积也叫点积，它是两个向量的乘积的数量表示。
对于平面上的两个向量a=(a₁, a₂)和b=(b₁, b₂)，它们的数量积定义为：a·b=a₁b₁+a₂b₂。
例如，给定向量a=(2, 3)和b=(-1, 4)，我们可以计算它们的数量积。
根据定义，a·b=2*(-1)+3*4=8。
四、向量的数量积的性质向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：a·b=b·a，即数量积的结果与向量的顺序无关。
2. 结合律：(ka)·b=a·(kb)=k(a·b)，其中k为任意实数。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算一、平面向量的坐标表示平面向量是有大小和方向的量，可以用坐标来表示。
在平面直角坐标系中，以原点为起点，终点为点(x,y)的向量可以表示为：AB = xi + yj其中，i和j分别为x轴和y轴的单位向量。
x和y分别为该向量在x轴和y轴的投影长度。
二、平面向量的运算1. 向量的加法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的和为：AB + CD = (a1 + b1)i + (a2 + b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相加得到新向量的x轴分量和y轴分量。
2. 向量的减法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的差为：AB - CD = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相减得到新向量的x轴分量和y轴分量。
3. 向量的数量乘法设有一个向量AB = ai + bj，k为实数，则数量乘法的结果为：k * AB = (k * a)i + (k * b)j即将向量的x轴分量和y轴分量都乘以数k得到新向量的x轴分量和y轴分量。
4. 向量的点积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的点积为：AB · CD = a1b1 + a2b2即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相乘，然后再相加得到一个数。
5. 向量的叉积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的叉积为：AB × CD = (a1b2 - a2b1)k其中，k为垂直于平面的单位向量。
三、平面向量的应用平面向量的坐标表示与运算在几何学、力学、电磁学等领域中有着广泛的应用。
1. 几何学中，平面向量的坐标表示可以简化向量的计算，方便求解几何问题，如求解两条直线之间的夹角、判断两个向量是否垂直等。
2. 在力学中，平面向量的坐标表示与运算常用于描述物体的受力情况。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算在数学中，平面向量是一个有方向和大小的量。
它可以用坐标表示，并且可以进行一些基本的运算，比如加法和乘法。
本文将介绍平面向量的坐标表示与运算。
1. 平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示其坐标，通常用大写字母表示向量。
假设有一个向量AB，其起点是A，终点是B。
向量AB的坐标表示为(Ax, Ay)，其中Ax表示向量在x轴上的分量，Ay表示向量在y轴上的分量。
2. 平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有向量AB和向量CD，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Cx, Cy)。
那么两个向量的和向量EF的坐标可以通过分别将Ax与Cx相加得到新向量的x轴分量，将Ay与Cy相加得到新向量的y轴分量来表示。
EF的坐标表示为(EF_x, EF_y)，其中EF_x = Ax + Cx，EF_y = Ay + Cy。
3. 平面向量的数乘平面向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
假设有向量AB，其坐标为(Ax, Ay)，实数k表示数乘因子。
那么该向量的数乘结果向量AC的坐标可以通过将Ax与k相乘得到新向量的x轴分量，将Ay与k相乘得到新向量的y轴分量来表示。
AC的坐标表示为(AC_x, AC_y)，其中AC_x = Ax * k，AC_y = Ay* k。
4. 平面向量的零向量零向量是指所有分量均为0的向量，通常用0表示。
对于任意向量AB，与其相加的零向量的坐标为(0, 0)。
即，任意向量与零向量相加，结果向量仍为原向量。
5. 平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有向量AB和向量CD，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Cx, Cy)。
那么两个向量的差向量GH的坐标可以通过分别将Ax与Cx相减得到新向量的x轴分量，将Ay与Cy相减得到新向量的y轴分量来表示。
GH的坐标表示为(GH_x, GH_y)，其中GH_x = Ax - Cx，GH_y =Ay - Cy。
平面向量坐标运算知识点
平面向量坐标运算知识点一、知识概述《平面向量坐标运算知识点》①基本定义：平面向量坐标运算，简单说就是用坐标来表示平面向量，然后做各种运算。
就像给向量这个抽象的东西在平面上找好了“住址”（坐标），方便计算向量的和、差、数乘等。
比如向量A在平面直角坐标系里，有个坐标（x,y），这就是它在这个“数学小区”里的具体位置信息。
②重要程度：在数学学科里，平面向量坐标运算就像是一把魔力钥匙，能打开很多难题的大门。
它在几何图形的平移、伸缩，力的合成与分解等问题里都占着相当重要的分量。
要是不掌握这个，很多跟向量相关的稍微复杂点的题都搞不定。
③前置知识：要学这个，得先把平面直角坐标系、向量的基本概念（比如向量的大小和方向是啥）、向量的加法、减法这些基础知识掌握得妥妥的。
就像盖房子，前面那些知识是地基，平面向量坐标运算这楼才能盖起来。
④应用价值：实际应用场景超多。
比如说在物理里计算力的分解与合成，把力当成向量，用坐标运算就能轻松算出各个方向的分力或者合力。
在计算机图形学里，图形的平移、旋转、缩放都可以用向量坐标运算来描述，这样才能让图形在屏幕上“乖乖听话”，准确地实现各种效果。
二、知识体系①知识图谱：在整个向量知识体系里，平面向量坐标运算像是一条主线。
它跟向量的基本运算（向量加法等）、向量的性质（如平行、垂直的判定）都有千丝万缕的联系。
就像一张复杂的人际关系网里的关键角色，联系着很多其他相关概念的。
②关联知识：跟三角函数有点联系呢，有时候在计算向量夹角的时候会用到三角函数的知识。
还有跟解析几何也相关，有时候在解析几何里表示直线的方向或者图形在平面上的位置关系时，平面向量坐标运算就派上大用场了。
③重难点分析：- 掌握难度：这个知识点理解起来不算太难，但是要熟练运用还是有一定难度的。
刚开始接触时，让向量和坐标对应起来，建立这种思维转换有点挑战。
- 关键点：坐标的正确选取和运算规则的准确应用是关键。
一个坐标错误，后面的计算统统白搭。
高中数学讲义(人教A版必修二)：第09讲 平面向量加、减、数乘运算的坐标表示(教师版)
第9课平面向量加、减、数乘运算的坐标表示课程标准课标解读1.平面向量加、减运算的坐标表示，掌握平面向量数乘运算的坐标表示.2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．1、通过阅读课本在平面向量加减运算的基础上，掌握坐标系下的加减与数乘运算，提升数学运算的核心素养.2、熟练运用掌握向量的运算性质，提升对平面向量共线的坐标表示的理解与掌握，提升数学核心素养.3、会利用坐标法，理解和掌握两个向量是否共线的判断.知识精讲知识点01平面向量加、减运算的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，数学公式文字语言表述向量加法a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．【即学即练1】已知平面上三点的坐标分别为A (－2,1)，B (－1,3)，C (3,4)，求点D 的坐标，使这四点为平行四边形的四个顶点．解析设点D 的坐标为(x ，y )，当平行四边形为ABCD 时，由AB →＝(1,2)，DC →＝(3－x ,4－y )，且AB →＝DC →，得D (2,2)；当平行四边形为ACDB 时，由AB →＝(1,2)，CD →＝(x －3，y －4)，且AB →＝CD →，得D (4,6)；当平行四边形为ACBD 时，由AC →＝(5,3)，DB →＝(－1－x ,3－y )，且AC →＝DB →，得D (－6,0)，故点D 的坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0)．反思感悟坐标形式下向量相等的条件及其应用(1)条件：相等向量的对应坐标相等．(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．知识点02平面向量数乘运算的坐标表示已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．【即学即练2】已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，若c 满足3a －2b ＋c ＝0，则c 等于()A ．(－23，－12)B ．(23,12)C ．(7,0)D ．(－7,0)答案A解析由3a －2b ＋c ＝0，∴c ＝－3a ＋2b ＝－3(5,2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)，∴c ＝(－23，－12)．反思感悟平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行运算．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．知识点03平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线．【即学即练3】(多选)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是()A ．a ＝(－2,3)，b ＝(4,6)B ．a ＝(2,3)，b ＝(3,2)C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7,14)D ．a ＝(－3,2)，b ＝(6，－4)答案ABC解析能作为平面内的基底，则两向量a 与b 不平行，A 选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a 与b 不平行；B 选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a 与b 不平行；C 选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a 与b 不平行；D 选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a ∥b .反思感悟向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配．能力拓展考法01向量加减的坐标运算【典例1】．平面向量的坐标运算已知 1122,,,a x y b x y，则a b______，a b_________．结论：两个向量和与差的坐标分别等于_______．【答案】1212,x x y y ；1212,x x y y ；这两个向量相应坐标的和与差.【详解】解：（1）由题得a b 1212,x x y y ；（2）a b1212,x x y y ；（3）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.故答案为： 1212,x x y y ； 1212,x x y y ；这两个向量相应坐标的和与差.【变式训练】已知 2,4A ， 3,1B ， 3,4C ，且3CM CA，则点M 的坐标为______.【答案】(0,20)【详解】解：由题意得(23,44)(1,8)CA，所以3(3,24)CM CA.设(,)M x y ，则(3,4)(3,24)CM x y，∴33,424,x y 解得0,20,x y故点M 的坐标为(0,20).故答案为：(0,20)考法02向量数乘的坐标运算【典例2】已知向量,3a m b，且//a b，则m __________.【变式训练】设向量 1,1a x ， 1,3b x ，则“a 与b同向”的充要条件是（）A ．2xB ．2xC ．2xD ．12x【答案】A【详解】 1132a b x x x ∥，当2x 时， 1,1,3,3a b，a b ，同向；当2x 时， 1,3,1,3a b，a b ，反向.故选：A ．考法03向量共线的坐标表示【典例3】已知(1,0),(2,1)a b(1)当k 为何值时，k a b 与2a b共线？(2)若23,AB a b BC a mb ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．【变式训练】已知5,28,3()AB a b BC a b CD a b，则（）A ．ABC ，，三点共线B ．A CD ，，三点共线C ．A B D ，，三点共线D ．B C D ，，三点共线【详解】对于A:不存在实数 ，使得AB BC，故,,A B C 三点不共线；对于B:13,3(),AB BC a b CD a A b C不存在实数 ，使得AC CD，故,,A C D 三点不共线；对于C:283()5a b a BD BC b CD b a ,故AB BD，所以A B D ，，三点共线；对于D:不存在实数 ，使得BC CD，故,,B C D 三点不共线；故选：C分层提分题组A 基础过关练1．已知向量()351a =- ，，，()223b = ，，，则向量23a b - 的坐标为（）A ．（0，4，-11）B ．（12，16，7）C ．（0，16，-7）D ．（12，16，-7）【答案】A【详解】()()()23235132230411a b ,,,,,,-=--=-,故选：A2．已知向量 2,1a r ， 1,1b r ，则a b（）A ． 3,0B ．3,1C ．()1,2-D ．1,2【答案】A【详解】因为 2,1a r ， 1,1b r，所以(21,11)(3,0)a b，故选：A3．已知向量 2,5OA ， 6,3OB ， ,1OC m m ．若AB OC ∥，则实数m 的值为（）A ．2B ．23C ．2D ．134．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在线段BD 上，且EB mDE （m R ），若AC AE AD （ ， R ）且20 ，则m （）A ．13B ．3C ．14D ．4则 0,0A ，设 ,0B a ， ,D b c ∵AB DC则 ,C a b c ，又∵EB mDE ，设 ,E x y ，则即：,11mb a mc E m m∴,11mb a mc AE m m ，AC 又∵AC AE AD，2 ∴2AC AE AD∴ ,=2,11mb a mc a b c m m ∴2()121a bm a b b m mc c c m①②由②得1=1m m，将其代入①得故选：B.5．（多选）已知向量 1,2a， ,1b t t R ，则（）．A ．a 与b共线，则12tB ．12t 时，a 与b的夹角为锐角C ．1t 时，b 在a方向上的投影向量为12,55D ．a b的最小值为1【答案】CD6．（多选）已知向量 3,1a ， 2,3b ， 1,2c ，若ma c a nb ∥（m ，n R ），则 ,m n 可能是（）A ． 2,1B ．0,1 C ．3,2D．11,27．在ABC 中，CA ＝CB ＝1，2π3ACB，若CM 与线段AB 交于点P ，且满足12CM CA CB ，（10 ,20 ），且1CM，则12 的最大值为______．【答案】2【详解】如图所示：设(0,0)C ，(1,0)A ，因为2πACB(1,0)CA ，13(,)22CB ，设M 因为1CM，所以221x y ，8．已知向量(1,),(3,9)a t b ，若a b ∥，则t ______.【答案】3【详解】因为向量(1,),(3,9)a t b 且a b ∥，所以1930t 解得3t ，故答案为：39．已知向量 2(2,3),3,6a b x x ，且//a b，则x _____.【答案】1 或4【详解】因为a b ∥，所以 226330x x ，解得=1x 或4.故答案为：-1或4.10．已知0x ，0y ，向量 2,1a x ， 2,b x y y，则当//a b r r时，xy 的最小值为_____．11．已知点 3,5P ， 2,1Q ，向量 21,1m ，若PQ m ∥，则实数 等于___________.12．已知(1,1),(2,)a b m.(1)若//a b，求实数m 的值；(2)若a 与b 夹角为锐角，求实数m 的取值范围.题组B 能力提升练1．已知向量(2,3)OA ，(4,1)OB，P 是线段AB 的中点，则P 点的坐标是（）A ．(2,4)B ．(3,1)C ．(2,4)D ．(6,2)【答案】B【详解】因为点P 是线段AB 的中点，所以2OA OB OP，设(,)P x y ，所以242312x y ，解得31x y，所以点P 的坐标是(3,1).故选：B2．（多选）下列说法正确的是（）A ．已知向量2,3a ， ,21b x x ，若a ∥b，则2x B．若向量a ，b共线，则a b a b C ．已知正方形ABCD 的边长为1，若点M 满足12DM MC ，则43AM ACD ．若O 是ABC 的外心，3AB ，5AC ，则OA BC的值为83．（多选）如图，正方形ABCD 的边长为2，动点P 在正方形内部及边上运动，AP AB AD ，则下列结论正确的有（）A ．点P 在线段BC 上时，AB AP为定值B ．点P 在线段CD 上时，AB AP为定值C ． 的最大值为2D ．使122 的P 点轨迹长度为2【答案】AC【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设点 ,02,02P x y x y ，则 2,0AB ， 0,2AD ， ,AP x y ，2AB AP x，当点P 在线段BC 上时，2x ，2224AB AP x，故A 正确；4．已知向量m在基底,,a b c 下的坐标为 8,6,4，其中a i j ，b j k ，c i k ，则向量m xi y j zk ，则m在基底,,i j k 下的坐标为 ,,x y z 为________.【答案】12,14,10【详解】由已知在基底,,i j k 下，(1,1,0)a ，(0,1,1)b ，(1,0,1)c，8648(1,1,0)6(0,1,1)4(1,0,1)(12,14,10)m a b c．故答案为：(12,14,10)，5．已知向量 1,1m ， 2,2n ．若 2//2m n m n ，则 ________.【答案】0【详解】解：向量 1,1m ， 2,2n，所以 221,12,234,4,21,122,23,3m n m n ，若 2//2m n m n，则 334430 ，解得0 .故答案为：0.6．cos ,sin a， 1,1b ，若//a b ，则tan ______．7．已知向量 6,1a ， 5,2b，且//3a mb a b ，则m __________.8．已知1a ，b ，a b a ，则a ，b 的夹角为____________．【答案】2π3##2π3##1209．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF （如图②）．己知正六边形的边长为1，点M 满足1()2AM AB AF ，则||AM ________________；若点P 是线段BC 上的动点（包括端点），则AP DP的最小值是________________．图①图②【答案】12##0.514##0.25 则1313(,),(,),(1,0),2222A B C 则 131,0,,,22AB AF BC 113()(,)442AM AB AF ，22131||()()442AM ，设,(01)BP BC ，则BP 1(2OP OB BP OB BP 3(1,),22AP OP OA DP 33(1,)(,2222AP DP当12时，AP DP 的最小值为故答案为：12；14.10．已知(1,0)a，(2,1)b .(1)当k 为何值时，+ka b 与2a b共线；(2)若3AB a b ，BC a mb 且,,A B C 三点共线，求m 的值.题组C 培优拔尖练1．在平面内，定点,,,A B C D 满足||||||DA DB DC ，2DA DB DB DC DC DA，动点P ，M 满足||1AP ，PM MC，则2||BM 的最大值是（）A ．434B ．494C D2．已知34a b，2a b ，向量c满足0a c b c，则c 的取值范围是（）A ． 1,2B ．13,22C ． 1,3D ．0,1【答案】B【详解】由题意34a b，2a b 得：a 如图示，设3,,cos 4OA a OB b AOB ，故不妨设(2,0)a ，则2||2,||2a b ，则设OC c ，则,CA a c CB b c ，因为 所以C 点在以AB 为直径的圆上运动，3．向量(,)(0,0),||1,(1,1), m x y x y m n a m n ，则2222T a a a a 的取值范围是（）A ．[1,)B ．[5]C ．[)D ．[9,)4．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后，得如图所示的图形，若AF AB AD x y，则x y ____________．【答案】12##-0.55．设,a b 为不共线的向量，满足,342(,R)c a b ，且c a c b c ，若3a b ，则22() a b a b 的最大值为________．6．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且2MN ，P 为MN的中点，AP AB AD u u u r u u u r u u u r ，则11的最大值是______．37．已知平面向量,,,,a b c m n ，其中2,2,0a b c a b a c ，b 与c 的夹角为56，m 满足0m a m b ，对于任意实数t ，恒有n tc n c ，则||a b ___，n m 的最小值为_______2【详解】222223a b a a b b ；cos ,4cos ,2b a b a b ，则,a b 所在直线为x 轴、OC 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，则 ,y ，由 0m a m b 可得 2,x y 8．如图，在△ABC 中3AD AB ，点E 是CD 的中点，AE 与BC 相交于F ，设AB a ，AC b .(1)用a ，b 表示A E ，DE ；(2)若在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A ，(3,2)B ，(3,10)C ，求AF .。
专题25 平面向量的基本定理和向量的坐标运算()-2019高考数学(文)名师揭秘之一轮
正方向单位向量，则 a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－
3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，即－i－3j＝(－
λ ＋ 6μ)i ＋ (λ ＋ 2μ)j ， 根 据 平 面 向 量 基 本 定 理 得
－1＝－λ＋6μ， －3＝λ＋2μ，
2019年8月10日
解遇得上你是μλ缘＝分＝，－愿－您2生，12活.愉快所，身以体健μλ＝4.故填 4.
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遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健 康，学业有成，金榜题名！
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一、向量的坐标表示及其运算 例1已知点 O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及O→P＝O→A ＋tA→B，试问： (1)当 t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P 在第三象限内？ (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求 出 t 的值；若不能，请说明理由.
①若 a 与 b－2c 垂直，求 tan(α＋β)的值； ②求|b＋c|的最大值； ③若 tan α tan β ＝16，求证：a∥b.
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【解析】(1)设存在点 M，且O→M＝λO→C＝
(6λ，3λ)(0<λ≤1)，
∴34－λ－21λ＝＝－t，t，两式相加得 2λ＋2＝0，
∴λ＝－1.
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(2)△ABC 中,AB＝c，BC＝a，AC＝b，∵sin B＝cos A·sin C，
∴sin(A＋C)＝sin Ccos A，即 sin Acos C＋sin Ccos A＝sin Ccos A，
10高中数学“平面向量加减运算与坐标表示”知识点全解析
高中数学“平面向量加减运算与坐标表示”知识点全解析一、引言平面向量的加减运算与坐标表示是向量运算的基础，对于理解向量的本质和性质，以及解决向量相关问题具有重要意义。
本文将详细解析“平面向量加减运算与坐标表示”相关知识点，帮助同学们更好地掌握这一内容。
二、平面向量的加减运算1.向量加法：向量的加法遵循平行四边形法则或三角形法则。
设有两个向量a和b，则它们的和a + b可以表示为第三个向量，这个向量从a的起点指向b的终点，或者通过平移使a和b的起点重合，然后以a和b为邻边作平行四边形，则a + b是与a、b共起点的平行四边形的对角线。
1.向量减法：向量的减法可以看作是加上一个反向的向量。
设有两个向量a和b，则它们的差a - b可以表示为第三个向量，这个向量从b的终点指向a的终点，或者通过平移使a和b的起点重合，然后以b为起点、a为终点的向量即为a - b。
三、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以将向量的起点放在坐标原点，用向量的终点坐标来表示这个向量。
设向量a的终点坐标为(x, y)，则我们可以将向量a表示为坐标形式(x, y)。
这种表示方法称为向量的坐标表示法。
四、平面向量加减运算的坐标表示1.向量加法的坐标表示：设有两个向量a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则它们的和a + b可以表示为坐标形式(x1 + x2, y1 + y2)。
即向量的加法在坐标表示下就是对应坐标分量的加法。
1.向量减法的坐标表示：同样地，设有两个向量a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则它们的差a - b可以表示为坐标形式(x1 - x2, y1 - y2)。
即向量的减法在坐标表示下就是对应坐标分量的减法。
五、应用举例1.力的合成与分解：在物理学中，力是矢量，可以用向量来表示。
通过向量的加减运算可以方便地求解多个力的合成或分解问题。
例如求解两个力的合力时可以将这两个力表示为向量然后利用向量的加法运算求得合力的大小和方向。
《平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示》平面向量及其应用PPT【精选推荐课件】
第六章 平面向量及其应用
■名师点拨 (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位 置无关． (2)已知向量A→B的起点 A(x1，y1)，终点 B(x2，y2)，则A→B＝(x2－x1， y2－y1)．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点的坐标与向量的坐标相同．( × ) (2)零向量的坐标是(0，0)．(√ ) (3)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(× ) (4) 当 向 量 的 起 点 在 坐 标 原 点 时 ， 向 量 的 坐 标 就 是 向 量 终 点 的 坐 标．( √ )
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
【解】 (1)设点 A(x，y)，则 x＝|O→A|cos 60°＝4 3cos 60°＝2 3， y＝|O→A|sin 60°＝4 3sin 60°＝6， 即 A(2 3，6)，所以O→A＝(2 3，6)． (2)B→A＝(2 3，6)－( 3，－1)＝( 3，7)．
平面向量加、减运 掌握两个向量的和、差及
算的坐标表示 向量数乘的坐标运算法则
理解坐标表示的平面向量 平面向量数乘运算
共线的条件，并会解决向 的坐标表示
量共线问题
核心素养 数学抽象、 直观想象
数学运算
数学运算、 逻辑推理
第六章 平面向量及其应用
问题导学 预习教材 P27－P33 的内容，思考以下问题： 1．怎样分解一个向量才为正交分解？ 2．如何求两个向量和、差的向量的坐标？ 3．一个向量的坐标与有向线段的起点和终点坐标之间有什么关 系？ 4．若 a＝(x，y)，则 λa 的坐标是什么？
解：由题图知，CB⊥x 轴，CD⊥y 轴， 因为 AB＝4，AD＝3，所以A→C＝4i＋3j， 所以A→C＝(4，3)． 因为B→D＝B→A＋A→D＝－A→B＋A→D， 所以B→D＝－4i＋3j，所以B→D＝(－4，3)．
高中数学知识点：平面向量的坐标运算
高中数学知识点：平面向量的坐标运算
1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
记aλa=(λx，2．如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置无关．。
向量加减法数乘的坐标运算习题PPT课件
5．已知 A(－2，－3)，B(2,1)，C(1,4)，D(－7，－4)， 试问：(1)A→B与C→D是否共线？
解：(1)A→B＝(4,4)，C→D＝(－8，－8)， ∴C→D＝－2A→B.∴A→B与C→D共线．
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平面向量共线的坐标运算 【例 1】 向量 a＝(1,1)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a －b. (1)若 u＝3v，求 x； (2)若 u∥v，求 x，并判断 u 与 v 同向还是反向．
A．x＝－1 C．x＝92
B．x＝3 D．x＝51
解析：P→A＝(1，－5)，P→B＝(x－1，－10)． ∵P→A∥P→B，∴1×(－10)－(－5)×(x－1)＝0，x＝3.
答案：B
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3．已知两点 A(2,3)，B(－4,5)，则与A→B共线的单位向量
是( )
A．(－6,12)
B．(－6,2)或(6，－2)
4．已知向量 a，b 不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b， 如果 c∥d，那么( )
A．k＝1 且 c 与 d 同向 B．k＝1 且 c 与 d 反向 C．k＝－1 且 c 与 d 同向 D．k＝－1 且 c 与 d 反向
解析：∵c∥d，∴存在实数 λ，使 c＝λd，即 ka＋b＝λ(a －b)，
解析：A→B＝O→B－O→A＝(4－k，－7)，B→C＝O→C－O→B＝(－ 4－k,5)，由A→B∥B→C，所以 7(k＋4)－5(4－k)＝0，得 k＝－32.
答案：－23
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向量平行的应用 【例 3】 如下图，已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标．
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考点11 平面向量的坐标运算(新高考地区专用)(原卷版)
考点11 平面向量的坐标运算一．平面向量的坐标运算1.向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.2.向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 4．向量的夹角（1）已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]（2）夹角cos θ＝a b a b＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y225．平面向量的数量积叫做向量b 在a 方向上的投影数量积a ·的长度|a |与b 拓展：向量数量积不满足：①消去律，即a ·b ＝a ·c ⇏b ＝c知识理解②结合律，即(a ·b )·c ⇏a ·(b ·c )． 6．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )＝λa ·b . (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c 7．向量在平面几何中的应用b 为非零向量cos θ＝a ·b(θ为向量，其中a ，为非零向量a a 2考向一 向量坐标的加减法【例1】（2020·全国高三专题练习）已知点()()1,3,4,1,A B -则与AB 同方向的单位向量为( ) A ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， B ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【举一反三】1.（2020·全国高三专题练习）已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且12MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(8，－1)考向二 向量坐标的垂直平行运算考向分析【例2】（1）（2020·河津中学高三月考）向量(3,1),(2,3),(,2)a b c k ===，若()//a b c -，则k 的值是（ ） A ．1B ．1-C ．4D ．2-（2）（2020·海口市·海南中学高三月考）3.设向量(1,1)a =，(1,3)=-b ，(2,1)c =，且()a b c λ-⊥，则λ=（ ） A ．3 B ．2C ．2-D ．3-【举一反三】1．（2020·贵州安顺市·高三）已知向量()()()12,02,1,a b c λ==-=-,,，若()2//a b c -，则实数λ的值为（ ） A ．13-B ．-3C ．13D ．32．（2020·宁县第二中学）已知平面向量(1,)a m =，()0,2b =，若(3)b a mb ⊥-，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．23．（2020·永安市第三中学高三期中）已知向量()1,2a =，()1,1b =，若c a kb =+，且b c ⊥，则实数k =（ ） A ．32 B ．53- C ．53D ．32-4．（2020·西藏拉萨市）设,x y R ∈，向量(,1)a x =，(1,)b y =，(2,4)c =-，且a c ⊥，//b c ，则x y +=_____________.考向三 模长【例3】（1）（2021·全国高三专题练习）已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）A ．2BC ．4D ．（2）（2020·舒兰市实验中学校高三学业考试）若1,2,0a b a b ==⋅=，则2a b -=（ ）A ．0B ．C ．4D ．8【举一反三】1．（2020·西藏拉萨市·拉萨那曲第二高级中学）已知向量()2,3a =，()3,2b =，则a b -=（ ）AB ．2C ．D ．502．（2020·黑龙江大庆市·大庆中学）已知向量(1,1)a =-，()1,b m =，若a b ⊥，则b =（ ） A ．1BC D ．23．（2020·静宁县第一中学高三）已知平面向量m →，n →均为单位向量，若向量m →，n →的夹角为2π3，则23m n →→+=（ ）A ．25B ．7C ．5D4．（2020·西藏拉萨市·拉萨那曲第二高级中学）设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则2a b -=___________.考向四 数量积及投影【例3】（1）（2020·南京航空航天大学附属高级中学高三期中）已知平面向量()10,a =，21,2b ⎛=- ⎝⎭，则a 与a b +的夹角为______.（2）（2020·莆田第十五中学高三）已知13,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1b =，22a b +=，则b 在a 方向上的投影等于_______. 【举一反三】1．（2020·济南旅游学校）已知向量(1,3)a =，(1,0)b =-．则向量a ，b 的夹角=______．2（2020·全国福建省漳州市）已知()1,3a =-，()1,b t =，若()2a b a -⊥，则a 与b 的夹角为________. 3．（2020·深州长江中学高三期中）若向量2a =，2b =，()a b a -⊥，则a ，b 的夹角的度数为_________．1．（2020·吉林市教育学院高三期中）下列向量中不是单位向量的是（ ）强化练习A ．(1,0)B ．(1,1)C ．(cos ,sin )ααD ．(0)||aa a ≠ 2．（2020·贵州贵阳一中高三月考）已知向量(2,3),(1,1)ab ==，向量m a n b →→+与23a b →→-共线，则mn（ ） A ．23B ．32C ．23-D ．32-3．（2020·胶州市教育体育局教学研究室高三期中）已知向量()()1,2,2,1AB BD ==-，(),1,BC t t R =∈，若//,AD CD ，则实数t 的值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．434．（2020·湖南衡阳市一中高三期中）向量a ，b 满足2=a b ，()()2a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．（2020·山西省榆社中学高三）已知向量(2,23a =，3,1b ，则b 在a 上的投影是（ ）A ．4B ．2C ．D 6．（2020·黑龙江高三月考）已知向量()1,2a =，()2,1b =-，(),c x y =，若()a b c +⊥，则向量b 在c 上的投影为（ ）A ．B ．CD ． 7．（2020·四川省绵阳南山中学高三月考）已知向量()3,1a =，()3,1b =-，则a 与b 的夹角为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．（2020·深州长江中学高三期中）向量(5,1)AC =-，(3,)AB t =，0AB BC ⋅=，则t =（ ） A ．2B ．3-C ．2或3-D ．2-或39．（2021·福建省）已知向量(1,)a x =，(,3)b x =，若a //b ，则a =________．10．（2020·宁夏银川市·银川一中）已知向量(2,1)AB x =--，(,1)BC x =，若A ，B ，C 三点共线，则实数x =_____.11．（2020·宁夏固原市·固原一中高三月考）若向量(,1),(1,6)a x b x ==+且//a b ，实数x =_______. 11（2020·福建省泰宁第一中学高三）已知向量cos ,13a πα⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1,4b =，如果//a b ，那么cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_________.12．（2020·山西高三月考）已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c m =．若()//2c a b +，则m =__________．13．（2020·宁县第二中学高三期中）已知平面向量(3,1)a =-，(,3)b k =，若//a b ，则实数k =__________. 14．（2020·辽宁葫芦岛市·高三月考）已知()1,2a =，(),2b m m =-，若//a b ，则m =________. 15．（2020·山西吕梁市·高三期中）若()1,2a =-，(),1b x =，且//a b ，则x =__________.16．（2020·上海徐汇区·高三一模）已知()2,3a m =--，()1,b m =-，若a ∥b ，则m ＝_________________． 17．（2020·贵州安顺市·高三）已知向量()()()12,02,1,a b c λ==-=-,,，若()2//a b c -，则实数λ=__________．18．（2020·辽宁高三期中）设a ，b 是两个互相垂直的单位向量，则()()4a b a b +⋅-=________. 19．（2020·威远中学校高三月考）已知向量(4,3)a =-，(6,)b m =，且a b ⊥，则m =__________. 20．（2020·江西高三其他模拟）已知向量()1,a m =-，()2,3b =-，若()2a b b +⊥，则m =_____. 21．（2020·河南开封市·高三一模）已知向量(),1a m =，1,()b m =--，满足||a b a ⋅=，则m =_________. 22．（2020·四川宜宾市·高三）已知向量a (1,0)=，2b =，向量a 与向量b 的夹角为45︒，则()a ab ⋅-=___________.23．（2020·静宁县第一中学高三月考）已知向量()3,4a →=，(),1b x →=，若a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，则实数x 等于________.24．（2020·梅河口市第五中学高三月考）已知向量()()213a b m =-=，，，，若()2+⊥a b b ，则b =__________或__________.。
平面向量加、减运算的坐标表示、平面向量数乘运算的坐标表示高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
∴=3-2 , =2 − ,
∴=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20),
=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2),
∴点 M,N 的坐标分别为 M(0,20),N(9,2).
(2)已知 A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(6,9),试用, 表示 .
已知A(x1,y1), B(x2,y2),则
= (x2-x1,y2-y1)
过关自诊
1.若a=(3,-2),b=(-1,4),则a+b=
(2,2)
.
2.在平面直角坐标系中,若M(1,-6),N(3,4),则向量 的坐标是 (2,10) ,向
量 的坐标是 (-2,-10) .
解析 =(3,4)-(1,-6)=(2,10),=(1,-6)-(3,4)=(-2,-10).
3.[北师大版教材习题]已知a=(2,4),b=(-1,1),求2a-3b,4a+2b的坐标.
解 2a-3b=(4,8)-(-3,3)=(7,5);
4a+2b=(8,16)+(-2,2)=(6,18).
知识点2 平面向量共线的坐标表示
利用平面向量共线可解决平面几何中的平行问题
前提条件
a=(x1,y1),b=(x2,y2)
相应坐标的 和
两个向量差的坐标分别等于这两个向量
相应坐标的 差
实数与向量的积的坐标等于用这个实数
乘原来向量的 相应坐标
向量坐 一个向量的坐标等于表示此向量的有向
标公式 线段的终点的坐标减去起点的坐标
符号表示
a+b= (x1+x2,y1+y2)
a-b= (x1-x2,y1-y2)
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考点36 用坐标表示平面向量的加法、减法
与数乘运算
【答案】−3
【解析】由a =(2，1)，b =(1，−2)，可得ma ＋nb =(2m ，m )＋(n ，−2n )=(2m ＋n ，m −2n )，
由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝2n ＝5，从而m −n =−3. 【点睛】（1）要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．
（2）向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
，－1)、c ＝(－1，2)，则向量c 等于( )
A ．－12a ＋32b
B ．32a －12b
C ．12a －32b
D ．－32a ＋12b 2．已知向量a ＝(2，4)、b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( )
A ．(5，7)
B ．(5，9)
C ．(3，7)
D ．(3，9)
3．已知()5,3AB =-，()1,3C -，2CD AB =，则点D 的坐标是
A ．()11,3-
B ．()9,3-
C ．()9,3
D ．()4,0
4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD →＝________.
5．（1）设向量a 、b 的坐标分别是(－1，2)、(3，－5)，求a ＋b ，a －b ，2a ＋3b 的坐标；
（2）设向量a 、b 、c 的坐标分别为(1，－3)、(－2，4)、(0，5)，求3a －b ＋c 的坐标．
6．已知点()()()2,4,3,1,3,4A B C ----，设向量,,AB BC CA ===a b c . （1）若m n =+a b c ，求实数,m n 的值；
（2）若2,3CN CM =-=b c ，求向量MN 的坐标.
－4，－3)、c ＝(x ，y )，且2a ＋b －3c ＝0，则c 等于( )
A ．(－2，73)
B ．(2，73)
C ．(2，－73)
D ．(－2，－73) 2．已知向量a ＝(1，2)、b ＝(2，3)、c ＝(3，4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1、λ2的值分别为( )
A ．－2，1
B ．1，－2
C ．2，－1
D ．－1，2
3．在△ABC 中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点，若PA =(4，3)，PQ =(1，5)，则BC
等于
A ．(−6，21)
B ．(−2，7)。