第54炼 数列求和(含通项公式与求和习)--高考数学

第54炼 数列求和问题数列求和问题是高考数列中的一个易考类型，在已知通项公式的前提下，要通过观察通项公式（或者项）的特点决定选择哪种方法进行求和。

考查学生的观察能力与辨析能力。

所以在复习的过程中要抓住每种求和方法相对应的通项公式特点，并在练习中熟悉解法 一、基础知识：1、根据通项公式的特点求和：（1）等差数列求和公式：()1122p q nn a a a a S n n p q n ++=⋅=⋅+=+ ()112n n n S a n d -=+（2）等比数列求和公式：()111,11,1n n a q q S q a n q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩（3）错位相减法：通项公式特点：n a =等差⨯等比，比如2n n a n =⋅，其中n 代表一个等差数列的通项公式（关于n 的一次函数），2n代表一个等比数列的通项公式（关于n 的指数型函数），那么便可以使用错位相减法方法详解：以()212nn a n =-⋅为例，设其前n 项和为n S① 先将n S 写成n 项和的形式()121232212nn S n =⋅+⋅++-⋅② 两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列 ()121232212nn S n =⋅+⋅++-⋅()()23121232232212n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，发现乘完公比后，对比原式项的次数，新等式的每项向后挪了一位。

③ 然后两式相减：()()1231122222212n n n S n +-=⋅++++--⋅ 除了首项与末项，中间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出n S 即可()()1231122222212n n n S n +-=⋅++++--⋅()()114212221221n n n -+-=+⋅--⋅-()13226n n +=-⋅-所以()12326n n S n +=-⋅+对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。

而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。

体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和 （4）裂项相消：通项公式特点：n a 的表达式能够拆成形如()()n a f n f n k =--的形式（=1,2,k ），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。

从而结果只存在有限几项，达到求和目的。

其中通项公式为分式和根式的居多 方法详解：以()12n a n n =+为例① 裂项：考虑()1111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭（这里()1f n n =），在裂项的过程中把握两点：一是所裂两项要具备“依序同构”的特点，比如这里的11,1n n +结构相同，且分母为相邻的两个数；二是可以先裂再调：先大胆的将分式裂成两项的差，在将结果通分求和与原式进行比较并调整（调整系数），比如本题中()11222n n n n -=++，在调整系数使之符合通项公式即可② 求和：设{}n a 前n 项和为n S1111111112324352n S n n ⎛⎫∴=-+-+-++- ⎪+⎝⎭，求和的关键在于确定剩下的项。

通过观察可发现正项中11,2没有消去，负项中11,12n n ++没有消去。

所以()()1111323122124212n n S n n n n +⎛⎫∴=+--=- ⎪++++⎝⎭ 一般来说，裂开的2n 项中有n 个正项，n 个负项，且由于消项的过程中是成对消掉。

所以保留项中正负的个数应该相同。

2、根据项的特点求和：如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前n 项和中含多少个周期即可（2）通项公式为分段函数（或含有()1n- ，多为奇偶分段。

若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和（3）倒序相加：若数列{}n a 中的第k 项与倒数第k 项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，即：12n n S a a a =+++11n n n S a a a -=+++ 两式相加可得：()()()()121112n n n n n S a a a a a a n a a -=++++++=+()12n n n a a S +∴=二、典型例题 例1：已知函数()211f x x =+，求： ()()()111122015201520142f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭思路：观察可发现头尾的自变量互为倒数，所以考虑其函数值的和是否具备特点。

即()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以考虑第n 个与倒数第n 个放在一起求和，可用倒序相加法解： ()222221111111111x f x f x x x x x⎛⎫+=+=+= ⎪+++⎝⎭+ ()()()111122015201520142S f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()11201520142122015S f f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()1112201520142015201520142015S f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦14029=⨯ 40292S ∴=小炼有话说：此类问题要抓自变量之间的联系，并尝试发现其函数值的和是否有特点（常数或者与n 相关），本题求和的项就呈现出倒数关系。

另外在求和过程中倒序相加的方法可以有效地避免项数的奇偶讨论。

例2：设数列{}n a 满足()112,34n n n a a a n N *+=-=⋅∈（1）求数列{}n a 的通项公式（2）令n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S 解：（1）134n n n a a +-=⋅1134n n n a a --∴-=⋅ 21234n n n a a ----=⋅2134a a -=⋅()121112413434344441n n n n a a ---∴-=⋅+⋅++⋅==--42n n a ∴=-（2）思路：由（1）可得：42n n b n =+-，尽管整个通项公式不符合任何一种求和特征，但可以拆成()()()42nn ++-，在求和的过程中分成三组分别求和，再汇总到一起。

解：42n n n b n a n =+=+-()()12124442n n S n n ∴=+++++++-()()()244113424124123n nn n n n n -+-=+-=+--例3：已知数列{}n a 满足()1211111,2,2,n n n n n n a a a a a a a a n n N *-+-+===++≥∈，且对于1,1n n n N a a *+∀∈≠，设{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S =_________思路：原递推公式1111n n n n n n a a a a a a -+-+=++很难再有变化，考虑向后再写一个式子进行变形。

+12+12n n n n n n a a a a a a ++=++，两式相减可得：()()21110n n n n a a a a +-+--= ，由11n n a a +≠可得：21n n a a +-=，{}n a 为周期是3的数列，所以求和时可先求出一个周期中项的和，再看2015S 中含多少周期即可。

解：1111n n n n n n a a a a a a -+-+=++①+12+12n n n n n n a a a a a a ++∴=++②①-②得：()12121n n n n n n a a a a a a ++-+-∴-=-⇒()()21110n n n n a a a a +-+--= 11n n a a +≠ 21n n a a +-∴={}n a ∴为周期是3的数列 在①中令2n = 123123a a a a a a =++解得：33a = ()()20151234562015S a a a a a a a ∴=+++++++而201536712=⨯+()2015123201420151267167164029S a a a a a a a ∴=⋅++++=⋅++=答案：4029例4：已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且1144442,27,10a b a b S b ==+=-=（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式（2）记*1121,n n n n T a b a b a b n N -=+++∈ ，求证：12210n n n T a b +=-+ 解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q 则3441127327a b a d b q +=⇒++= 34411104610S b a d b q -=⇒+-=即332322786210d q d q ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，解得：32d q =⎧⎨=⎩ 31,2n n n a n b ∴=-=（2）思路：虽然n T 所涉及数列通项公式不是“n n a b ⨯”形式，但观察到n T 中的项具备“等差⨯等比”的特点，所以考虑利用错位相减法求出n T ，再证明等式即可 解：()()231234222nn T n n =-⋅+-⋅++⋅ ①()()23+1231234222n n T n n =-⋅+-⋅++⋅ ② ②-①()()231312322222n n n T n +∴=--⋅+++++⋅()()124212312321n n n -+-=--⋅+⋅- ()10223112nn =⋅--- ∴ 所证恒等式左边()=102231n n ⋅--右边()210231102n n n a b n =-+=--+⋅ 即左边=右边 所以不等式得证例5：已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且395,9a S ==，数列n n b a = （1）求{}n a 的通项公式 （2）求数列n b 的前n 项和n T 解：（1）19959992a a S a +=⋅== 51a ∴= 53253a a d -==-- ()()332211n a a n n ∴=+-⋅-=-+（2）思路：由（1）可得：112,5112211,5n n n b n n n -≤⎧=-=⎨->⎩，所以在求和时首先要考虑项数是否大于5，要进行分类讨论，其次当5n >，求和可分成2组分别求和再汇总 解：112,5112211,5n n n b n n n -≤⎧=-=⎨->⎩当5,n n N *≤∈时，2191121022n n b b nT n n n n ++-=⋅=⋅=- 当5,n n N *>∈时，()()156n n T b b b b =+++++ ()()6121125525522n b b n n n ++-=+⋅-=+⋅- ()222551050n n n =+-=-+2210,51050,5n n n n T n n n ⎧-≤⎪∴=⎨-+>⎪⎩例6：（2014，桐乡市校级期中）：设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+ （1）求数列{},n a {}n b 的通项公式 （2）若()()21nn n n b c b b =--，求数列{}n c 的前n 项和n T解：（1）2n ≥时，()22133163n n n a S S n n n -⎡⎤=-=----=-+⎣⎦1n =时，113a S ==-符合上式63n a n ∴=-+{}n b 为等比数列31232512bb b b ∴== 28b ∴=设{}n b 的公比为q ，则21328,8b b b b q q q q==== 而315a =-113383158a b a b q q∴+=+⇒-+=-+解得：2q =或12q =-{}n b 单调递增 2q ∴= 21222n n n b b -+∴=⋅=（2）思路：由（1）可得：()()()()11112222212121n nn n n n n c ++++==----，观察到分母()()12121nn +--为两项乘积，且具备“依序同构”的特点，所以联想到进行裂项相消，考虑()()()()()()()11112121112212121212121n n nn n n n n n ++++----==------，刚好为n c ，所以直接裂项然后相消求和即可解：()()()()()()111112211222121212121n n n n n n n n n c +++++===------- 112231111111212121212121n n n n T c c +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111212121n n ++=-=----例7：已知等差数列的首项11a =，公差0d >，前n 项和为n S （1）若124,,S S S 成等比数列，求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T （2）若1223341111120152016n n a a a a a a a a +++++>对一切n N *∈恒成立，求d 的取值范围 （1）思路：先利用已知条件求出n a 的通项公式，然后用错位相减法求和 解：124,,S S S 成等比数列()()22214111246S S S a d a a d ∴=⋅⇒+=+，代入11a =可得：()2224620d d d d +=+⇒-= 由0d >可得：2d =21n a n ∴=-()21111321222nn T n ⎛⎫⎛⎫∴=⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①()()2311111113232122222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①-②()2311111112+21222222n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()11111421122112212n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⋅-- ⎪⎝⎭-()()11131131212322222n n n n n -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()13232nn T n ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭（2）思路：虽然不知道{}n a 的通项公式，但根据其等差数列特征可得：1n n a a d +-= 所以111111n n n n a a a a d++⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，从而可将不等式的左边通过裂项相消求和，然后根据不等式恒成立解d 的范围即可 解：111111n n n n a a a a d++⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭12233411223111111111111n n n n a a a a a a a a d a a a a a a ++⎛⎫∴++++=-+-++- ⎪⎝⎭ 111111111111n d a d a nd d nd +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 112015112016d nd ⎛⎫-> ⎪+⎝⎭对一切n N *∈均成立 m i n 112015112016d n d ⎡⎤⎛⎫∴-> ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 设()1111f n d nd ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，由0d >可得：()f n 为增函数 ()()min 1111111f n f d d d⎛⎫∴==-= ⎪++⎝⎭ 120151120162015d d ∴>⇒<+ 10,2015d ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭例8：已知数列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1, ，其中相邻的两个1被2隔开，第n 对1之间有n 个2，则该数列的前1234项的和为__________ 思路：本题求和的关键是要统计一共有多少个1，多少个2相加。