浙教版中考一轮复习 第23课时 锐角三角函数与解直角三角形

【解析】如图，设 BC＝x，
∵在 Rt△ ABC 中，∠B＝90° ，
∠A＝30° ，∴AC＝2BC＝2x，AB＝ 3BC＝
3x， 根据题意得： AD＝BC＝x， AE＝DE＝AB＝ 1 x AM 2 3 ＝ ＝ ＝ .故选 B． AE 6 3x 【答案】B
1 1 3x， 作 EM⊥AD 于 M， 则 AM＝ AD＝ x， 在 Rt△ AEM 中， cos∠EAD 2 2
4 2 C． 4＋tan θ米
D．(4＋4tan θ)米 2
【解析】由正切函数的概念知 BC＝AC· tan θ＝4tan θ，根据平移思想可以将所需地毯的长度转化为 AC 与 BC 的和， 所以所需地毯的面积为(4＋4tan θ)×1＝(4＋4tan θ)米 2，故选 D． 【答案】D 5．(2016· 杭州)tan 60° ＝ ___________． 6．(2016· 宁波)如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆 10 m 的 A 处测得旗杆顶端 B 的仰角为 60° ， 测角仪高 AD 为 1 m，则旗杆高 BC 为 m(结果保留根号)．
2 5 D． 5
【思路点拨】过点 B 作 BD⊥AC，D 点在格点上，设每个小正方形的边长为 1，由勾股定理，求出 AB，AD，从 而可得 cos A 的值．
方法总结： 解决此类问题的关键是将所求的角放在直角三角形中，并常利用勾股定理求出直角三角形的边长． 如图，在△ ABC 中，∠B＝90° ，BC＝2AB，则 cos A＝( D )
解直角三角形的思路可概括为“有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原避中”． 考点三 锐角三角函数的实际应用
1．日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，锐角三角函数在解决实际问题中有较大的作用， 在应用时要注意以下几个环节： (1)审题，认真分析题意，将已知量和未知量弄清楚，找清已知条件中各量之间的关系，根据题目中的已知条件， 画出它的平面图或截面示意图． (2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等． (3)是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些 直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决． (4)确定合适的边角关系，细心推理计算． (5)在解题过程中，既要注意解有关的直角三角形，也应注意到有关线段的增减情况． 2．锐角三角函数实际应用中的相关概念 (1)仰角、俯角 如图 1，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．
注意：东北方向指北偏东 45° 方向，东南方向指南偏东 45° 方向，西北方向指北偏西 45° 方向，西南方向指南偏西 45° 方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东． (4)方位角 从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角． 【典型例题】 考点一 锐角三角函数 )
如图，已知△ ABC 的三个顶点均在格点上，则 cos A 的值为( D A． C． 3 3 2 3 3 B． 5 5
5
b a b sin B＝ ，cos B＝ ，tan B＝ . c c a 3．解直角三角形的类型 已知条件 两直角边 (如 a，b) 斜边、一直 角边(如 c，a) 解 法 a 由 tan A＝ ，求∠A；∠B ＝ 90° － b ∠A；c＝ a2＋b2 a 由 sin A＝ ， 求∠A； ∠B＝90° －∠A； c b＝ c2－a2 解 法
【解析】在 Rt△ ADC 中，CD＝9，∠ACD＝30° ， ∴AD＝ CD 9 ＝ ＝3 3. 3 3
在 Rt△ BDC 中，CD＝9，∠BCD＝45° ， ∴BD＝CD＝9，∴AB＝BD＋AD＝9＋3 3. 【答案】9＋3 3 8．(2016· 湖州)计算：tan 45° －sin 30° ＋(2－ 2)0. 1 3 解：原式＝1－ ＋1＝ . 2 2
7
A． C．
5 2 2 5 5
B．
1 2 5 5
D．
考点二
解直角三角形 中，小陆同学发现：一副三角板中，含 等．于是，小陆同学提出一个问题：如 E 在同一直线上．若 BC＝2，求 AF 的
(2016· 丽水)数学拓展课程《玩转学具》课堂 45° 的三角板的斜边与含 30° 的三角板的长直角边相 图， 将一副三角板直角顶点重合拼放在一起， 点 B， C， 长． 请你运用所学的数学知识解决这个问题．
1．锐角三角函数的定义
如图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90° ，∠A，∠B，
Hale Waihona Puke ∠C 的对边分别为 a，b，c，则 sin A＝
a b ，cos A＝ ， c c
4
tan A＝
a ． b
温馨提示： 1．锐角三角函数是在直角三角形中定义的． 2．sin A，cos A，tan A 表示的是一个整体，是指两条线段的比，没有单位． 3．锐角三角函数的大小仅与角的大小有关，与该角所处的直角三角形的大小无关． 4．当 A 为锐角时，0＜sin A＜1，0＜cos A＜1， 2．特殊角的三角函数值 α 30° 45° 60° sin α 1 2 2 2 3 2 cos α 3 2 2 2 1 2 tan α 3 3 1 3 tan A＞0.
3
(2)问公路改直后比原来缩短了多少千米？ 解：BC＝CH÷sin 37° ＝4.2÷0.60＝7.0(千米)， ∴AC＋BC－AB＝10＋7－14.7＝2.3(千米)． 答：改直后的路程缩短了 2.3 千米．
(sin 25° ≈0.42，cos 25° ≈0.91，sin 37° ≈0.60，tan 37° ≈0.75)
【解析】 假设过 A 点的水平线交 BC 于点 E， 则∠AEB＝90° .根据题意可得四边形 ADCE 是矩形， ∴AE＝CD＝10 m， CE＝AD＝1 m．在 Rt△ AEB 中，∵∠BAE＝60° ，∴BE＝AE· tan∠BAE＝10tan 60° ＝10 3(m)．∴BC＝BE＋CE＝
2
锐角三角函数与解直角三角形
【中考题精选】 1．(2016· 绍兴、义乌)如图，在 Rt△ ABC 中，∠B＝90° ，∠A＝30° .以点 A 为圆心，BC 长为半径画弧交 AB 于点 D，分别以点 A，D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 E，连结 AE，DE，则∠EAD 的余弦值是( A． 3 12 B． 3 6 C． 3 3 D． 3 2 )
3．三角函数值之间的关系 (1)同角三角函数之间的关系：sin2α＋cos2α＝1； sin α tan α＝ . cos α
(2)互余两角的三角函数关系：若∠A＋∠B＝90° ，则 sin A＝cos B 或 sin B＝cos A．
考点二
解直角三角形
1．解直角三角形的定义 一般地，直角三角形中，除直角外，共有 5 个元素，即 3 条边和 2 个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元 素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．直角三角形的边角关系 在 Rt△ ABC 中，∠C＝90° ，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c. (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2； (2)两个锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90° ； (3)边角之间的关系 a b a sin A＝ ，cos A＝ ，tan A＝ ， c c b
(2)求出这段河的宽(结果精确到 1 m，备用数据 解：设 BD＝x m， ∵∠BCA＝30° ， ∴CD＝ BD ＝ 3x(m)． tan 30°
2≈1.41， 3≈1.73)．
∵∠BAD＝45° ， ∴AD＝BD＝x m， 则 3x－x＝60，解得 x＝ 答：这段河的宽约为 82 m. 【考点梳理】 考点一 锐角三角函数 60 ≈82， 3－ 1
温馨提示： 1．30° ，45° ，60° 角的正弦值的分母都是 2，分子从小到大分别是 1， 2， 3，随着角度的增大，正弦值逐渐增 大；30° ，45° ，60° 角的余弦值的分母也都是 2，而分子从大到小分别是 3， 2，1，余弦值随角度的增大而减小． 2．30° ，60° 角的正切值互为倒数，都和 3有关，45° 角的正切值是 1，随着角度的增大，正切值也在逐渐增大．
9．(2014· 宁波)如图，从 A 地到 B 地的公路需经过 C 地，图中 AC＝10 千米，∠CAB＝25° ，∠CBA＝37° .因城市 规划的需要，将在 A，B 两地之间修建一条笔直的公路．
(1)求改直后的公路 AB 的长； 解：(1)如图，作 CH⊥AB 于点 H，
在 Rt△ ACH 中，CH＝AC· sin∠CAB＝AC· sin 25° ≈10×0.42＝4.2(千米)， AH＝AC· cos∠CAB＝AC· cos 25° ≈10×0.91＝9.1(千米)， 在 Rt△ BCH 中，BH＝CH÷tan 37° ≈4.2÷0.75＝5.6(千米)，∴AB＝AH＋BH＝9.1＋5.6＝14.7(千米)．
已知条件 一锐角与邻 边(如∠A，b) 一锐角与对 边(如∠A，a) 斜边与一锐 角(如 c，∠A) 温馨提示：
∠B＝90° －∠A；a＝b· tan A； c＝ b cos A
a ∠B＝90° －∠A；b＝ ； tan A c＝ a sin A
∠B＝90° －∠A；a＝c· sin A； b＝c· cos A
A．
BD BC
B．
BC AB
C．
AD AC
CD D． AC
4．(2016· 金华)一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与 CA 的夹角为 θ.现要在楼梯上 铺一条地毯，已知 CA＝4 米，楼梯宽度 1 米，则地毯的面积至少需要( A． 4 米2 sin θ B． 4 米2 cos θ )
6
(2)坡度(坡比)、坡角 h 如图 2，坡面的高度 h 和水平距离 l 的比叫坡度(或坡比)，即 i＝tan α＝ ，坡面与水平面的夹角 α 叫坡角． l