专题讲练48-图形研究(二)正方形115
第四章第06讲难点探究专题：几何图形中动态问题七年级数学上册同步学与练(北师大版2024)[含答案]
![第四章第06讲难点探究专题：几何图形中动态问题七年级数学上册同步学与练(北师大版2024)[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/e8114f77a31614791711cc7931b765ce05087ac5.png)
第06讲 难点探究专题：几何图形中的动态问题（5类热点题型讲练）目录【考点一 利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题】【考点二 几何图形中动角求定值问题】【考点三 几何图形中动角探究数量关系问题】【考点四 几何图形中动角求运动时间问题】【考点五 几何图形中动角之新定义型问题】【考点一 利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题】例题：（24－25七年级上·全国·期末）1．如图①，点O 在直线AB 上，过O 作射线,120OC BOC Ð=°，三角板的顶点与点O 重合，边OM 与OB 重合，边ON 在直线AB 的下方．若三角板绕点O 按10/s °的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 s 时，直线ON 恰好平分锐角AOC Ð（图②）．【变式训练】（23－24七年级下·广东广州·期末）2．在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知30D Ð=°，60E Ð=°，45B C Ð==°∠，若保持三角板ADE 不动，将三角板ABC 绕点A 在平面内旋转．当AB DE ^时，EAC Ð的度数为 ．（23－24七年级下·天津和平·期中）3．在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有45°角的直角三角板ABC 和含有30°角的直角三角板BDE 尝试完成探究．试探索；保持三角板ABC 不动，将45°角的顶点与三角板BDE 的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE ，使得ABD Ð与ABE Ð中其中一个角是另一个角的两倍，请写出所有满足题意的ABE Ð的度数 ．【考点二 几何图形中动角求定值问题】例题：（23－24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）4．在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘．(1)如图①，三角尺ABP 的直角顶点P 在直线CD 上，点A ，B 在直线CD 的同侧．若40APC Ð=°，求BPD Ð度数．(2)绕点P 旋转三角尺ABP ，使点A ，B 在直线CD 的同侧，如图②，若PM 平分APC Ð，PN 平分BPD Ð，他们发现MPN Ð的度数为定值，请你求出这个定值．(3)绕点P 旋转三角尺ABP ，使点A ，B 在直线CD 的异侧，PM 平分APC Ð，PN 平分BPD Ð，设BPD a Ð=，如图③，探究MPN Ð的度数．【变式训练】（23－24七年级上·江苏徐州·期末）5．已知110AOB Ð=°，40COD Ð=°．OE 平分AOC Ð，OF 平分BOD Ð．(1)如图①，当OB OC ，重合时，求AOE BOF Ð-Ð的值；(2)当COD Ð从图①所示位置绕点O 以每秒3°的速度顺时针旋转t 秒（010t <<）；在旋转过程中AOE BOF Ð-Ð的值是否会因t 的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．（23－24七年级下·陕西榆林·开学考试）6．【问题情境】已知，120AOB Ð=°，40COD Ð=°，OE 平分AOC Ð，OF 平分BOD Ð．【特例分析】（1）如图1，当OB 、OC 重合时，求AOE BOF Ð-Ð的值；【深入探究】（2）如图2，当OB 、OC 不重合，OC 在OB 的下方时，设BOC x Ð=，AOE BOF Ð-Ð 的值是否会因为x 的变化而变化? 若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由；【问题解决】（3）在（2）的条件下，当12COF Ð=°时，求ÐBOE 的度数.（23－24七年级上·广东汕头·期末）7．如图，90AOB Ð=°，40DOE =°∠角的顶点O 互相重合，将AOB Ð绕点O 旋转．(1)当射线OB ，OD 重合时，AOE Ð=______°，(2)在AOB Ð绕点O 旋转的过程中，若射线OB ，OD 与OE 中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则BOD Ð的度数为______；(3)在AOB Ð绕点O 旋转的过程中，若射线OB 始终在DOE Ð的内部．①普于思考的小明发现，在旋转过程中，AOE BOD Ð-Ð的值为定值，请你求出这个定值；②作BOD Ð和AOE Ð的平分线OM ，ON ，在旋转过程中MON Ð的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围．【考点三 几何图形中动角探究数量关系问题】例题：（23－24七年级上·吉林·期末）8．已知90AOB COD Ð=Ð=°，OE 平分BOC Ð．(1)如图，若30AOC Ð=°，则DOE Ð的度数是______°；（直接写出答案）(2)将（1）中的条件“30AOC Ð=°”改为“AOC Ð是锐角”，猜想DOE Ð与AOC Ð的关系，并说明理由．【变式训练】（23－24六年级下·山东烟台·期中）9．如图，90EOC Ð=°，请你根据图形，求解下列问题：(1)在,,,EOA AOC EOB EOD ÐÐÐÐ中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用“<”把它们连接起来；(2)BOD Ð是哪两个角的和？(3)写出,,,EOD EOC DOC EOA ÐÐÐÐ中某些角之间的两个等量关系；(4)如果EOD COB Ð=Ð，则BOD Ð的度数为_________°．（2024七年级上·河北·专题练习）10．已知O 为直线AB 上一点，射线OD OC OE 、、位于直线AB 上方，OD 在OE 的左侧，120AOC Ð=°，80DOE Ð=°．(1)如图1，当OD 平分AOC Ð时，求EOB Ð的度数；(2)点F 在射线OB 上，若射线OF 绕点O 逆时针旋转n °（0180n <<且60n ¹），3FOA AOD Ð=Ð．当DOE Ð在AOC Ð内部（图2）和DOE Ð的两边在射线OC 的两侧（图3）时，FOE Ð和EOC Ð的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．（23－24七年级上·福建福州·期末）11．如图1，将一副三角板的直角顶点C 叠放在一起．(1)观察分析∶若30DCE Ð=°，则ACB =∠ ，若145ACB Ð=°，则DCE Ð= ；(2)猜想探究∶如图2，若将两个同样的三角尺，60°锐角的顶点A 重合在一起，请你猜想DAB Ð与CAE Ð有何关系，请说明理由；(3)拓展应用∶如图3，如果把任意两个锐角AOB COD ÐÐ、的顶点O 重合在一起，已知AOB a Ð=，COD b Ð=（a 、b 都是锐角），请你直接写出AOD Ð与BOC Ð的关系．（23－24七年级上·江苏苏州·期末）12．数学实践课上，小明同学将直角三角板AOB 的直角顶点O 放在直尺EF 的边缘，将直角三角板绕着顶点O 旋转．(1)若三角板AOB 在EF 的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现AOE Ð、BOF Ð的大小发生了变化，但它们的和不变，即AOE BOF Ð+Ð=______°．(2)若OA 、OB 分别位于EF 的上方和下方，如图2所示，则AOE Ð、BOF Ð之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由；(3)射线OM 、ON 分别是AOE Ð、ÐBOE 的角平分线，若三角板AOB 始终在EF 的上方，则旋转过程中，MON Ð的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【考点四 几何图形中动角求运动时间问题】例题：（23－24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）13．在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中45ABC ACB Ð=Ð=°，90BAC EDF Ð=Ð=°，30DFE Ð=°，60DEF Ð=°）按如图1所示摆放，边BC 与EF 在同一条直线MN 上（点C 与点E 重合）．如图2，将三角板ABC 从图1的位置开始绕点C 以每秒5°的速度顺时针旋转，当边BC 与边EF 重合时停止运动，设三角板ABC 的运动时间为t 秒．(1)当t 为何值时，CA 平分DCF Ð？(2)当t 为何值时，3ACF BCD Ð=Ð？【变式训练】（23－24七年级上·安徽合肥·期末）14．如图，O 为线段AB 上一点，90COD Ð=°，OE 为COD Ð的角平分线，定义OC 与OA 重合时为初始位置，将COD Ð绕着点O 从初始位置开始，以10/°秒的速度顺时针旋转，至OD 与OA 重合时终止．(1)当COD Ð从初始位置旋转6秒，求此时EOB Ð的度数；(2)当COD Ð从初始位置旋转至120EOB Ð=°时，求此时t 的值；(3)当COD Ð从初始位置旋转至EOB m Ð=°时，t =__________秒（用含有m 的代数式直接表示）．（23－24七年级上·福建厦门·期末）15．【实践操作】三角尺中的数学(1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C 叠放在一起，90ACD ECB Ð=Ð=°．①若38ECD Ð=°，则ACB =∠ ；若150ACB Ð=°，则ECD Ð= ；②猜想ACB Ð与ECD Ð的大小有何数量关系，并说明理由．(2)如图2，若是将两个同样的含60°锐角的直角三角尺叠放在一起，其中60°锐角的顶点A 重合在一起，90ACD AFG Ð=Ð=°．①探究GAC Ð与DAF Ð的大小有何数量关系，并说明理由；②若一开始就将ADC △与AFG V 完全重合（AF 与AC 重合），保持ADC △不动，将AFG V 绕点A 以每秒10°的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t ．在旋转的过程中，t 为何值时AG AC ^．（24－25七年级上·全国·单元测试）16．如图①，把一副三角板拼在一起，边OA OC ，与直线EF 重合，其中45AOB Ð=°，60COD Ð=°．此时易得75BOD Ð=°．(1)如图②，三角板COD 固定不动，将三角板AOB 绕点O 以每秒5°的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板AOB 一直在EOD Ð的内部，设三角板AOB 运动时间为t 秒．①当2t =时，BOD Ð= °；②当t 为何值时，2AOE BOD Ð=Ð？(2)如图③，在（1）的条件下，若OM 平分BOE ON Ð，平分AOD Ð．①当20AOE Ð=°时，MON Ð= °；②请问在三角板AOB 的旋转过程中，MON Ð的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出MON Ð的度数．【考点五 几何图形中动角之新定义型问题】例题：（23－24七年级上·陕西汉中·期末）17．【问题背景】如图1，已知射线OC 在AOB Ð的内部，若AOB Ð，AOC Ð和BOC Ð三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是AOB Ð的“量尺金线”．【问题感知】（1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）【问题初探】（2）如图2，60MPN Ð=°．若射线PQ 是MPN Ð的“量尺金线”，则QPN Ð的度数为________；【问题推广】（3）在（2）中，若MPN x Ð=°，060x °<£°，射线PF 从PN 位置开始，以每秒旋转3°的速度绕点P 按逆时针方向旋转，当FPN Ð首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为()s t ．当t 为何值时，射线PM 是FPN Ð的“量尺金线”？（用含x 的式子表示出t 即可）【变式训练】（23－24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）18．【问题初探】在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的2倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”．例如：图1中2AOC BOC Ð=Ð，则射线OC 是AOB Ð的“奇妙线”．（1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”）【类比分析】（2）如图2，若60MPN Ð=°，在MPN Ð内部画一条射线PQ ，使PQ 是MPN Ð的“奇妙线”，求MPQ Ð的度数；【变式拓展】（3）如图3，若60MPN Ð=°，且射线PQ 绕点P 从PN 位置开始以每秒10°的速度逆时针旋转，同时射线PM 以每秒6°的速度也绕点P 逆时针旋转，当射线PQ 与射线PM 重合时全部停止运动．设旋转时间为t 秒，请直接写出t 为何值时，射线PQ 是MPN Ð的“奇妙线”．（2023七年级上·全国·专题练习）19．[阅读理解]定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P 在直线l 上，射线PR ，PS ，PT 位于直线l 同侧，若PS 平分RPT Ð，则有2RPT RPS Ð=Ð，所以我们称射线PR 是射线PS ，PT 的“双倍和谐线”．[迁移运用](1)如图1，射线PT _____（选填“是”或“不是”）射线PS ，PR 的“双倍和谐线”；射线PS _____（选填“是”或“不是”）射线PR ，PT 的“双倍和谐线”；(2)如图2，点O 在直线MN 上，OA MN ^，40AOB Ð=°，射线OC 从ON 出发，绕点O 以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t 秒，当射线OC 与射线OA 重合时，运动停止．①当射线OA 是射线OB ，OC 的“双倍和谐线”时，求t 的值；②若在射线OC 旋转的同时，AOB Ð绕点O 以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD 平分AOB Ð，当射线OC 位于射线OD 左侧且射线OC 是射线OM ，OD 的“双倍和谐线”时，求CON Ð的度数．1．6或24##24或6【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线ON 恰好平分锐角AOC Ð，得到三角板旋转的度数，进而得到t 的值．【详解】解：120BOC Ð=°Q ，60AOC \Ð=°，当直线ON 恰好平分锐角AOC Ð时，如图：1302BON AOC Ð=Ð=°，此时，三角板旋转的角度为903060°-°=°，60106t \=°¸°=；当ON 在AOC Ð的内部时，如图：三角板旋转的角度为3609030240°-°-°=°，2401024t \=°¸°=；t \的值为：6或24．故答案为：6或24．2．60°或120°【分析】本题考查了三角板中角度计算问题及三角形内角和，根据题意画出图形，再根据角之间的关系结合三角形内角和即可得出答案．【详解】解：当∥D E A C 时，AB DE ^，分以下两种情况：如图1所示，DE AC Q P ，60E Ð=°60EAC E \Ð=Ð=°；如图2所示，DE AC Q P ，90CAB Ð=°190CAB \Ð=Ð=°60E Ð=°Q 9030EAB E \Ð=°-Ð=°3090120EAC EAB CAB \Ð=Ð+Ð=°+°=°综上所述，EAC Ð的度数为60°或120°根据答案为：60°或120°．3．20°或40°或60°或120°【分析】本题考查的是角的和差运算．分四种情况分别画出图形，再结合角的和差运算可得答案．【详解】解：如图，∵2ABD ABE Ð=Ð，60EBD Ð=°，∴602ABE ABE Ð+°=Ð，∴60ABE Ð=°；如图，∵2ABD ABE Ð=Ð，60EBD Ð=°，∴360EBD ABE ABD ABE Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴20ABE Ð=°，如图，∵2ABE ABD Ð=Ð，60EBD Ð=°，∴1602EBD ABE ABD ABE ABE Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴40ABE Ð=°，如图，∵2ABE ABD Ð=Ð，60EBD Ð=°，∴1602EBD ABE ABD ABE Ð=Ð-Ð=Ð=°，∴120ABE Ð=°，综上：ABE Ð为20°或40°或60°或120°．故答案为：20°或40°或60°或120°．4．(1)50BPD Ð=°(2)135MPN Ð=°(3)135MPN Ð=°【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义．（1）根据180BPD APB APC Ð=°-Ð-Ð即可求解；（2）由90APB Ð=°可得到90APC BPD Ð+Ð=°，根据角平分线的定义，可得45APM BPN Ð+Ð=°，进而根据角的和差即可求解；（3）由BPD a Ð=，90APB Ð=°求得=90APD a а-，90APC a Ð=°+，根据角平分线的定义可得1452APM a Ð=°+，12DPN a Ð=，最后根据MPN APM APD DPN Ð=Ð+Ð+Ð即可求解．【详解】（1）解：90APB Ð=°Q ，40APC Ð=°180180904050BPD APB APC \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°；（2）解：∵90APB Ð=°，∴18090APC BPD APB +=°-Ð=°∠∠，PM Q 平分APC Ð，PN 平分BPD Ð，12APM CPM APC \Ð=Ð=Ð，12BPN DPN BPD Ð=Ð=Ð()111190452222APM BPN APC BPD APC BPD \Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=´°=°，4590135MPN APM APB BPN \Ð=Ð+Ð+Ð=°+°=°；（3）解：∵BPD a Ð=，90APB Ð=°，∴90APD APB BPD a Ð=Ð-Ð=°-，∴()1801809090APC APD a a Ð=°-Ð=°-°-=°+，∵PM 平分APC Ð，∴()1119045222APM APC a a Ð=Ð=°+=°+，∵PN 平分BPD Ð，∴1122DPN BPD a Ð=Ð=，11459013522MPN APM APD DPN a a a Ð=Ð+Ð+Ð=°++°-+=°．5．(1)35°；(2)不变，35AOE BOF Ð-Ð=°是定值，见解析．【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键．∠AOE -∠BOF 的值是定值，（1）首先根据角平分线的定义求得111105522AOE AOB а´°=Ð==，11402022BOF COD Ð=Ð=´°=°，然后求解即可；（2）首先由题意可得3BOC t Ð=°，再根据角平分线的定义得出31103AOC AOB t t Ð=Ð+°=°+°，3403BOD COD t t Ð=Ð+°=°+°，然后由角平分的定义解答即可．【详解】（1）解：∵OE 平分AOC Ð，OF 平分BOD Ð，∴111105522AOE AOB а´°=Ð==，11402022BOF COD Ð=Ð=´°=°，∴552035AOE BOF Ð-Ð=°-°=°；（2）解：35AOE BOF Ð-Ð=°是定值．理由如下：由题意：3BOC t Ð=°，则31103AOC AOB t t Ð=Ð+°=°+°，3403BOD COD t t Ð=Ð+°=°+°，∵OE 平分AOC Ð，OF 平分BOD Ð，∴()113110355222AOE AOC t t Ð=Ð=°+°=°+°，()11340320222BOF BOD t t Ð=Ð=°+°=°+°，3355203522AOE BOF t t æöæöÐ-Ð=°+°-°+°=°ç÷ç÷èøèø．∴AOE BOF Ð-Ð的值是定值，定值为35°．6．（1）40°；（2）不会变化，定值为40°；（3）52°【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．（1）首先根据角平分线的定义求得AOE Ð和BOF Ð的度数，然后根据AOE BOF Ð-Ð求解；（2）根据角平分线的定义得出：()11112060222AOE AOC x x Ð=Ð=´°+=°+，1160204022AOE BOF x x æöÐ-Ð=°+-°+=°ç÷èø，然后代入求值即可；（3）根据12COF Ð=°，40COD Ð=°，求出401228DOF Ð=°-°=°，根据角平分线的定义求出28BOD BOF Ð=Ð=°，1682EOC AOC Ð=Ð=°，根据角度间的关系，求出结果即可．【详解】解：（1）∵OE 平分AOC Ð，OF 平分BOD Ð，120AOB Ð=°，40COD Ð=°，∴111206022AOE AOC Ð=Ð=´°=°，11402022BOF BOD Ð=Ð==°´°，∴602040AOE BOF Ð-Ð-°=°=°；（2）AOE BOF Ð-Ð的值是定值；理由如下：∵BOC x Ð=，∴120AOC AOB BOC x Ð=Ð+Ð=°+，40BOD x Ð=°+，∵OE 平分AOC Ð，OF 平分BOD Ð，∴()11112060222AOE AOC x x Ð=Ð=´°+=°+，()1114020222BOF BOD x x Ð=Ð=´°+=°+，∴1160204022AOE BOF x x æöÐ-Ð=°+-°+=°ç÷èø．∴AOE BOF Ð-Ð的值是定值，定值为40°；（3）∵12COF Ð=°，40COD Ð=°，∴401228DOF Ð=°-°=°，∵OF 平分BOD Ð，∴28BOD BOF Ð=Ð=°，∴281216BOC BOD COF Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴12016136AOC AOB BOC Ð=Ð+Ð=°+°=°，∵OE 平分AOC Ð，∴1682EOC AOC Ð=Ð=°，∴681652BOE EOC BOC Ð=Ð-Ð=°-°=°．7．(1)50(2)20°或40°或80°(3)①50°；②MON Ð度数不发生变化，为定值65°，理由见解析【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：（1）直接根据角之间的关系进行求解即可；（2）分当OB 是DOE Ð的角平分线时，当OD 是ÐBOE 的角平分线时，当OE 是BOD Ð的角平分线时，三种情况讨论求解即可；（3）①9040AOE BOE BOD BOE =°-=°-∠∠，∠∠，则904050AOE BOD BOE BOE -=°--°+=°∠∠∠∠；②先由角平分线的定义得到11452022EON BOE BOM BOE =°-=°-∠∠，∠，再由MON EON BOE BOM =++∠∠∠∠即可得到结论．【详解】（1）解：∵90AOB Ð=°，40DOE =°∠，∴当射线OB ，OD 重合时，50AOE AOB DOE Ð=-=°∠∠，故答案为：50；（2）解：如图2-1所示，当OB 是DOE Ð的角平分线时，则1202BOD DOE ==°∠；如图2-2所示，当OD 是ÐBOE 的角平分线时，则40BOD DOE ==°∠∠；如图2-3所示，当OE 是BOD Ð的角平分线时，则280BOD DOE Ð=Ð=°；综上所述，BOD Ð的度数为20°或40°或80°；（3）解：①如图所示，∵90AOB Ð=°，40DOE =°∠，∴9040AOE BOE BOD BOE =°-=°-∠∠，∠∠，∴904050AOE BOD BOE BOE -=°--°+=°∠∠∠∠；②MON Ð度数不发生变化，为定值65°，理由如下：∵90AOB Ð=°，40DOE =°∠，∴9040AOE BOE BOD BOE =°-=°-∠∠，∠∠，∵OM ，ON 分别是BOD Ð和AOE Ð的平分线，∴111145202222EON AOE BOE BOM BOD BOE ==°-==°-∠，∠，∴1145206522MON EON BOE BOM BOE BOE BOE =++=°-++°-=°∠∠∠∠∠∠∠．8．(1)60(2)1452DOE AOC Ð=°+Ð，理由见解析【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：（1）先根据角之间的关系得到60BOC Ð=°，再由角平分线的定义得到30COE Ð=°，则60DOE COD COE =Ð-=°∠∠；（2）仿照（1）求解即可．【详解】（1）解：∵30AOC Ð=°，90AOB Ð=°，∴60BOC AOB AOC Ð=Ð-Ð=°，∵OE 平分BOC Ð，∴1302COE BOC Ð=Ð=°，∵90COD Ð=°，∴60DOE COD COE =Ð-=°∠∠，（2）解：1452DOE AOC Ð=°+Ð，理由如下：∵90AOB Ð=°，∴90BOC AOB AOC AOC Ð=Ð-Ð=°-Ð，∵OE 平分BOC Ð，∴114522COE BOC AOC ==°-∠，∵90COD Ð=°，∴1190454522DOE COD COE AOC AOC =Ð-=°-°+=°+∠∠∠∠．9．(1)EOD Ð是锐角，AOC Ð是直角，EOB Ð是钝角，EOA Ð是平角，EOD AOC EOB EOA Ð<Ð<Ð<Ð(2)BOD BOC CODÐ=Ð+Ð(3)EOC EOD DOC Ð=Ð+Ð，2EOA EOC Ð=Ð（答案不唯一）(4)90【分析】本题考查锐角、直角、钝角、平角的定义，角度之间的和差关系，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键．（1）根据锐角、直角、钝角、平角的定义，结合图形即可求解；（2）根据图形即可求解；（3）根据图形即可求解；（4）由题意可知90EOD COD Ð+Ð=°，结合EOD COB Ð=Ð，即可得90COB COD BOD Ð+Ð=Ð=°．【详解】（1）解：由图可知，EOD Ð是锐角，AOC Ð是直角，EOB Ð是钝角，EOA Ð是平角，则EOD AOC EOB EOA Ð<Ð<Ð<Ð；（2）由图可知，BOD BOC COD Ð=Ð+Ð；（3）由图可知，EOC EOD DOC Ð=Ð+Ð，2EOA EOC Ð=Ð（答案不唯一）（4）∵90EOC Ð=°，∴90EOD COD Ð+Ð=°，又∵EOD COB Ð=Ð，∴90COB COD BOD Ð+Ð=Ð=°，10．(1)40°(2)不改变，2EOF EOC Ð=Ð，理由见解析【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．（1）利用角平分线和图形寻找出角之间的关系即可得到结论；（2）分两种情况，找出角之间的关系即可求出结论．【详解】（1）解：∵OD 平分AOC Ð，∴1602COD AOC Ð=Ð=°，∵80DOE Ð=°．∴20COE DOE COD Ð=Ð-Ð=°，∴12020140AOE AOC COE Ð=Ð+Ð=°+°=°，∴18040BOE AOE Ð=°-Ð=°；（2）解：①DOE Ð在AOC Ð内部时．令AOD x Ð=°，则2DOF x Ð=°，802EOF x Ð=°-°，∴()120280240EOC x x x x Ð=°-°+°+°-°=°-°，∴2EOF EOC Ð=Ð；②DOE Ð的两边在射线OC 的两侧时．令AOD x Ð=°，则2DOF x Ð=°，120DOC x Ð=°-°，280EOF x Ð=°-°，∴()8012040EOC x x Ð=°-°-°=°-°，∴2EOF EOC Ð=Ð．综上可得，FOE Ð和EOC Ð的数量关系不改变，2EOF EOC Ð=Ð．11．(1) 150°； 35°；(2)180DAB CAE ÐÐ+=°，理由见解析．(3)AOD BOC a b Ð+Ð=+，理由见解析．【分析】（1）根据三角板的特点及角度和差求解即可；（2）根据三角板的特点及角度和差求解即可；（3）根据角度和差求解即可；本题考查了角的运算，熟练掌握角度和差运算是解题的关键．【详解】（1）由题意可得：90ACD BCE Ð=Ð=°，∵30DCE Ð=°，∴60ACE BCD Ð=Ð=°，∴9060150ACB BCE ACE Ð=Ð+Ð=°+°=°，同理：145ACB BCE ACE Ð=Ð+Ð=°，∴55ACE Ð=°，∴35DCE Ð=°故答案为：150°，35°；（2）180DAB CAE ÐÐ+=°，理由：由题意可知：90BAE DAC Ð=Ð=°，∴90DAE EAC EAC CAB Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴180DAE EAC EAC CAB Ð+Ð+Ð+Ð=°，∵DAB DAE EAC EAC Ð=Ð+Ð+Ð，∴180DAB CAE ÐÐ+=°；（3）AOD BOC a b Ð+Ð=+，理由：∵AOB AOC COB a Ð=Ð+Ð=，COD COB BOD b Ð=Ð+Ð=，∴COD AOB COB BOD AOC COB a b Ð+Ð=Ð+Ð+Ð+Ð=+，∵AOD BOD AOC COB Ð=Ð+Ð+Ð，∴AOD BOC a b Ð+Ð=+．12．(1)90(2)90AOE BOF Ð-Ð=°，理由见解析(3)MON Ð的度数是一个定值，理由见解析【分析】本题考查了三角板中角度计算，与角平分线的有关的角的计算，掌握角平分线的定义是解答本题的关键．（1）由平角的性质可求解；（2）由补角和余角的性质可求解；（3）由角平分线的定义和平角的性质可求解．【详解】（1）解： 180AOE AOB BOF ÐÐÐ++=°Q ，90AOE BOF \Ð+Ð=°；故答案为90；（2）解：90AOE BOF Ð-Ð=°，理由如下：180AOE AOF Ð+Ð=°Q ，90AOF BOF Ð+Ð=°，90AOE BOF \Ð-Ð=°；（3）解：MON Ð的度数是一个定值，理由如下：Q 射线OM 、ON 分别是AOE Ð、ÐBOE 的角平分线，12EOM AOE \Ð=Ð，111()45222EON BOE AOE AOB AOE Ð=Ð=Ð+Ð=Ð+°，45MON EON EOM \Ð=Ð-Ð=°．13．(1)t 为21(2)t 为22.5秒或24.75秒【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，角平分线的定义，（1）根据角平分线的定义可得12ACF DCF Ð=Ð，从而得到三角板ABC 旋转的角度，再结合三角板ABC 运动的速度即可解题；（2）根据3ACF BCD Ð=Ð出现的情况分类讨论，再根据3ACF BCD Ð=Ð将BCD Ð与DCF ACB Ð-Ð的结果关联即可求解．【详解】（1）解：如图1，CA Q 平分DCF Ð，11603022ACF DCF \Ð=Ð=´°=°，\旋转的角度为1804530105°-°-°=°，105521t \=¸=（秒），答：当t 为21时，CA 平分DCF Ð．（2）解：由题可知：当3ACF BCD Ð=Ð时会出现以下两种情况：①如图2，由图可得：()()604515ACF BCD DCF ACD ACB ACD DCF ACB Ð-Ð=Ð-Ð-Ð-Ð=Ð-Ð=°-°=°，又3ACF BCD Ð=ÐQ ，315BCD BCD \Ð-Ð=°，7.5BCD Ð=°，\旋转的角度为180607.5112.5--=°°°°，\112.5522.5t ==¸（秒），②如图3，由图可得：()()604515ACF BCD DCF ACD ACD ACB DCF ACB Ð+Ð=Ð-Ð+Ð-Ð=Ð-Ð=°-°=°，又3ACF BCD Ð=ÐQ ，315BCD BCD \Ð+Ð=°， 3.75BCD Ð=°，\旋转的角度为18060 3.75123.75°°°°-+=，123.75524.75t \=¸=（秒），答：当t 为22.5秒或24.75秒时，3ACF BCD Ð=Ð．14．(1)75°(2)1.5(3)27102m t =-+【分析】本题考查了解一元一次方程，角平分线的定义，几何图形中的角度计算；（1）根据角平分线的定义可得1452DOE COD Ð=Ð=°，根据题意得61060AOC Ð=´°=°，进而根据补角的定义求得BOD Ð，根据EOB EOD DOB Ð=Ð+Ð，即可求解；（2）根据（1）的方法得出()459010EOB EOD DOB t Ð=Ð+Ð=°+-°，将120EOB Ð=°代入，解一元一次方程，即可求解；（3）根据（2）可得()459010EOB EOD DOB t Ð=Ð+Ð=°+-°，将EOB m Ð=°代入，解关于t 的一元一次方程，即可求解．【详解】（1）解：∵90COD Ð=°，OE 为COD Ð的角平分线，∴1452DOE COD Ð=Ð=°，∵COD Ð从初始位置旋转6秒，∴61060AOC Ð=´°=°，∴6090150AOD AOC COD Ð=Ð+=°+°=°，∴18030DOB AOD Ð=°-Ð=°，∴453075EOB EOD DOB Ð=Ð+Ð=°+°=°，（2）解：∵90COD Ð=°，OE 为COD Ð的角平分线，∴1452DOE COD Ð=Ð=°，∵COD Ð从初始位置旋转t 秒，∴1010AOC t t Ð=´°=°，∴1090AOD AOC COD t Ð=Ð+=°+°，∴()1809010DOB AOD t Ð=°-Ð=-°，∴()459010EOB EOD DOB t Ð=Ð+Ð=°+-°，∵120EOB Ð=°，∴459010120t +-=，解得： 1.5t =；（3）解：由（2）可得()459010EOB EOD DOB t Ð=Ð+Ð=°+-°，∵EOB m Ð=°，∴459010t m +-=，解得：27102m t =-+．故答案为：27102m -+．15．(1)①142°；30°；②猜想180ACB ECD Ð+а=，理由见解析(2)①120GAC DAF Ð+Ð=°，理由见解析；②3或21【分析】此题考查了三角板中角度的技术，解答本题的关键是仔细观察图形，根据图形得出各角之间的关系．（1）①本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出ACB Ð，DCE Ð的度数；②根据前两个小问题的结论猜想ACB Ð与ECD Ð的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明；（2）①根据（1）解决思路确定GAC Ð与DAF Ð的大小并证明即可；②分点G 在AC 上方和下方两种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：①∵=90ACD а，38ECD Ð=°，∴52ACE ACD ECD =-=°∠∠∠，∵90ECB Ð=°，∴142ACB ECB ACE =+=°∠∠∠；∵150ACB Ð=°，90ECB Ð=°，∴60ACE ACB ECB =-=°∠∠∠，∵=90ACD а，∴30ECD ACD ACE Ð=-=°∠∠故答案为：142°；30°；②猜想180ACB ECD Ð+а=，理由如下：∵90ECB Ð=°，=90ACD а，∴90ACB ACD DCB DCB Ð=Ð+Ð=°+Ð，90DCE ECB DCB DCB Ð=Ð-Ð=°-Ð，∴180ACB ECD Ð+а=；（2）解：①120GAC DAF Ð+Ð=°，理由如下：∵GAC GAD DAF FAC Ð=Ð+Ð+Ð，60DAC GAF ÐÐ==°，∴GAC DAF GAD DAF FAC DAFÐÐÐÐÐÐ+=+++GAF DAC=Ð+Ð6060=°+°120=°；②如图所示，当点G 在AC 上方时，∵AG AC ^，∴90CAG Ð=°，∴由（3）①的结论可知，12030DAF CAG =°-=°∠∠，∴30CAF CAD DAF =-=°∠∠∠，∴30310t ==；如图所示，当点G 在AC 下方时，则在3t =的基础上再旋转180度时，AG AC ^，∴18032110t =+=；综上所述，t 的值为3或21．16．(1)①65；②10；(2)①37.5；②MON Ð的度数不发生变化，理由见解析．【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相应角的数量关系是解本题的关键．（1）①根据题意和角的和差进行求解即可；②由2,AOE BOD Ð=Ð结合题意可得75,AOE BOD Ð+Ð=°从而得出25,50,BOD AOE Ð=°Ð=°进而求出时间t ；（2）①根据OM 平分,BOE ÐON 平分,AO D Ð可得1,2EOM BOM EOB Ð=Ð=Ð 12AON DON AOD Ð=Ð=Ð，则可以MON MOB BON Ð=Ð+Ð整理为()1,2MON EOA BOD Ð=Ð+Ð进而得出答案；②根据OM 平分,BOE ÐON 平分AOD Ð，可得122.5,2MOE AOE Ð=Ð+° 160,2NOD AOE Ð=°-Ð进而推导出1112022.56022MON AOE AOE Ð=°-Ð-°-°+Ð，继而得出答案．【详解】（1）解：①当2t =时，5210AOE Ð=°´=° ，∴751065BOD Ð=°-°=°，故答案为：65；②∵2AOE BOD Ð=Ð，75AOE BOD Ð+Ð=°，∴25BOD Ð=°，∴50AOE Ð=°，50105t °\==°(秒) ，∴当t 为10秒时，2AOE BOD Ð=Ð；（2）解：①∵OM 平分BOE ON Ð，平分AOD Ð，11,22EOM BOM EOB AON DON AOD \Ð=Ð=ÐÐ=Ð=Ð，12MON MOB BON EOB BOD DON \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð-Ð()1122EOA AOB BOD AOD =Ð+Ð+Ð-Ð()111222EOA AOB BOD AOB BOD =Ð+Ð+Ð-Ð+Ð11112222EOA AOB BOD AOB BOD =Ð+Ð+Ð-Ð-Ð()12EOA BOD =Ð+Ð1752=´°37.5,=°故答案为：37.5;°MON Ð②的度数不发生变化，理由如下：∵OM 平分,BOE Ð111()22.5222MOE BOE AOE ACB AOE °\Ð=Ð=Ð+Ð=Ð+∵ON 平分,AO D Ð()1118022NOD AOD DOC AOE \Ð=Ð=°-Ð-Ð()11202AOE =°-Ð160,2AOE =°-Ð180MON DOC MOE NOD Ð=°-Ð-Ð-ÐQ1112022.56022MON AOE AOE æöæö\Ð=°-Ð+°-°-Ðç÷ç÷èøèø1112022.56022AOE AOE =°-Ð-°-°+Ð37.5=°．17．（1）是；（2）20或30或40；（3）12x ，23x ，x ；【分析】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键．（1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可；（2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可；（3）射线PM 是FPN Ð的“量尺金线”，PM 在FPN Ð的内部，PF 在NPM Ð的外部，然后分三种情况求解即可．【详解】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义，故答案为：是；（2）60MPN Ð=°，射线PQ 是MPN Ð的“量尺金线”，根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论：当2QPN MPQ Ð=Ð时，如图，∵260QPN MPQ Ð+Ð=°，∴260403QPN Ð=°´=°；当2MPQ QPN Ð=Ð时，如图，∵260QPN MPQ Ð+Ð=°∴160203QPN Ð=´°=°；当2NPM QPN Ð=Ð时，如图，∵60MPN Ð=°，∴160302QPN Ð=´°=°；综上：当QPN Ð为20°，30°，40°时，射线PQ 是MPN Ð的“量尺金线”．（3）∵射线PM 是FPN Ð的“量尺金线”，∴PM 在FPN Ð的内部，∴PF 在NPM Ð的外部；分三种情况：①如图，当2NPM FPM Ð=Ð时，如图所示：1122FPM NPM x Ð=Ð=°∴1322FPN NPM FPM x x x Ð=Ð+Ð=°+°=°，∴()313s 22t x x =¸=；②如图，当2FPN MPN Ð=Ð时，如图所示：∴2FPN x Ð=°，∴()2s 3t x =；③当2FPM NPM Ð=Ð时，如图所示：∵2FPM x Ð=°，∴3FPN NPM FPM x Ð=Ð+Ð=°，∴()33s t x x =¸=；综上：当t 为x 或12x 或23x 时，射线PM 是FPN Ð的“量尺金线”．18．（1）是；（2）20°或30°或40°；（3）307t =或52或203．【分析】（1）根据奇妙线定义即可求解；（2）分三种情况，根据奇妙线定义即可求解；（3）分三种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可；本题考查了角平分线定义，角度和差，奇妙线的定义，理解“奇妙线”的定义是解题的关键．【详解】（1）解：根据角平分线的定义可知：由OC 平分AOB Ð，得：22AOB AOC BOC Ð=Ð=Ð，则一个角的角平分线是这个角的“奇妙线”，故答案为：是；（2）①当PQ 平分MPN Ð时，∴30MPQ Ð=°，②当13MPQ MPN Ð=Ð时，∴20MPQ Ð=°，③23MPQ MPN Ð=Ð，∴40MPQ Ð=°，则综上可知：MPQ Ð的度数为20°或30°或40°；（3）由题意得：如图，则10NPQ t Ð=°，16MPM t Ð=°，则11606M PN MPN MPM t Ð=Ð+Ð=°+°，∵射线PQ 是1M PN Ð的“奇妙线”，∴112NPQ M PN Ð=Ð①，即()1106062t t °=°+°，解得：307t =，113NPQ M PN Ð=Ð②，即()1106063t t °=°+°，解得：52=t ，123NPQ M PN Ð=Ð③，即()2106063t t °=°+°，解得：203t =，综上可知：307t =或52或203．19．(1)是；不是(2)①t 的值为52或352；②CON Ð的度数为160°或172°【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，理解并熟练应用新定义是解题的关键．（1）利用“双倍和谐线”的定义结合图形进行判断即可；（2）①由题意得：904AOC t Ð=°-，40AOB Ð=°，利用分类讨论的思想方法分2AOC AOB Ð=Ð或2AOB AOC Ð=Ð两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程即可；②由题意得：4CON t Ð=，902AON t Ð=°+，20AOD Ð=°，702DON AON AOD t Ð=Ð-Ð=°+，利用分类讨论的思想方法分2COM COD Ð=Ð或2COD COM Ð=Ð两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论．【详解】（1）解：∵PS 平分RPT Ð，∴2TPR TPS Ð=Ð，∴射线PT 是射线PS ，PR 的“双倍和谐线”；∵PS 平分RPT Ð，∴RPS TPS Ð=Ð，∴射线PS 不是射线PR ，PT 的“双倍和谐线”．故答案为：是；不是．（2）解：①由题意得：904AOC t Ð=°-，40AOB Ð=°．∵射线OA 是射线OB ，OC 的“双倍和谐线”，∴2AOC AOB Ð=Ð或2AOB AOC Ð=Ð，如图所示：当2AOC AOB Ð=Ð时，则：904240t -=´，解得：52=t ；如图所示：当2AOB AOC Ð=Ð时，则：()402904t =-，解得：352t =；综上，当射线OA 是射线OB 、OC 的“双倍和谐线”时，t 的值为52或352；②由题意得：4CON t Ð=，902AON t Ð=°+，20AOD Ð=°，702DON AON AOD t Ð=Ð-Ð=°+，∵当射线OC 与射线OA 重合时，运动停止，∴此时AON CON Ð=Ð，∴9024t t +=，解得：45t =．∴当45t =秒时，运动停止，此时180AON Ð=°，。
八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习48 一次函数图象的平移问题
八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习专题48 一次函数图象的平移问题一、单选题1．把直线1y x =--向上平移3个单位长度，得到图像解析式是（）A ．4y x =--B ．2y x =-+C ．4y x =-D ．2y x =+2．在平面直角坐标系中，将直线y ＝kx ﹣6沿x 轴向左平移3个单位后恰好经过原点，则k 的值为（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣3D ．33．直线2(1)y x =-向下平移3个单位长度得到的直线是（）．A ．2(4)y x =-B ．33y x =-C ．25y x =-D ．22y x =-4．将函数y ＝-4x 的图象沿y 轴向下平移2个单位后，所得到的函数图象对应的函数表达式（）A ．42y x =-+B ．6y x =-C ．42y x =--D ．2y x =-5．函数4y x =的图象可由函数44y x =-的图象沿y 轴（）A ．向上平移4个单位得到B ．向下平移4个单位得到C ．向左平移4个单位得到D ．向右平移4个单位得到6．把正比例函数y=2x 图象向上平移3个单位，得到图象解析式是( )A ．y=2x-3B ．y=2x+3C ．y=3x-2D ．y=3x+27．把直线y=2x-1向下平移1个单位，平移后直线得关系式为（）A ．y=2x-2B ．y=2x+1C ．y=2xD ．y=2x+28．对于一次函数132y x =-+，下列结论正确的有（）个． （1）该函数图像与y 轴交点()0,3，与x 轴交点为()6,0．（2）将函数12y x =-的图像向上平移3个单位，可得函数132y x =-+的图像，（3）该函数图像不经过第四象限，（4）函数值y 随自变量x 的增大而减小．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．把经过点(-1，1)和(1，3)的直线向右移动2个单位后过点(3，a)，则a 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．410．将直线y=2x 向上平移两个单位，所得的直线是A ．y=2x+2B ．y=2x-2C ．y=2（x-2）D ．y=2（x+2）11．在平面直角坐标系中，将直线6y kx =-沿x 轴向右平移3个单位后恰好经过原点，则k 的值为（）A ．2-B ．2C ．3-D ．312．把直线21y x =-+向右平移2个单位后，所得直线的解析式为（）A ．23y x =-+B ．21y x =--C ．23y x =--D ．25y x =-+13．在平面直角坐标系中，将一次函数3324y x =-的图象沿x 轴向左平移m （m ≥0）个单位后经过原点O ，则m 的值为（ ）A ．43B ．34C ．2D ．1214．将直线112y x =-向上平移3个单位，所得直线是（） A ．122y x =+ B ．142y x =-- C ．122y x =- D ．1y x 42=- 15．一次函数21y x =-+图象沿y 轴向下平移2个单位，则平移后与y 轴的交点的纵坐标为（）A ．3B ．2C ．1-D ．016．将直线3y x =沿y 轴向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为（）A ．31y xB ．31y x =-C ．1y x =+D ．1y x =-17．关于一次函数y =3x -1的描述，下列说法正确的是（）A ．图象经过第一、二、三象限B ．函数的图象与x 轴的交点是（0，-1）C ．向下平移1个单位，可得到y =3xD ．图象经过点（1，2）18．将直线y ＝3x +1沿y 轴向下平移3个单位长度，平移后的直线所对应的函数关系式（ ）A ．y ＝3x +4B ．y ＝3x ﹣2C ．y ＝3x +4D ．y ＝3x +219．将直线26y x =-向右平移5个单位，再向上平移1个单位后，所得的直线的表达式为（）A ．215y x =+B ．215y x =-C ．26y x =+D ．26y x =-20．把直线3y x =向上平移1个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到的直线的表达式为（ ）A ．311y x =-B ．313y x =+C ．313y x =--D ．311y x =--21．将直线l ：23y x =+，先向下平移3个单位，再向右平移4个单位得直线1l ，则平移后得到直线1l 的解析式为（）A ．24y x =+B ．24y x =-C ．28y x =-D ．28y x =+22．关于函数3y x =-，下列说法正确的是（）A ．在y 轴上的截距是3B ．它不经过第四象限C ．当x≥3时，y≤0D ．图象向下平移4个单位长度得到7y x =-的图象23．一次函数y =2x +1的图像，可由函数y =2x 的图像（ ）A ．向左平移1个单位长度而得到B ．向右平移1个单位长度而得到C ．向上平移1个单位长度而得到D ．向下平移1个单位长度而得到24．如图1，将正方形ABCD 置于平面直角坐标系中，其中AD 边在x 轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l ：y =x －3沿x 轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD 的边所截得的线段长为m ，平移的时间为t （秒），m 与t 的函数图象如图2所示，则图2中b 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．525．关于一次函数2y x b =-+（b 为常数），下列说法正确的是（）A ．y 随x 的增大而增大B ．当4b =时，直线与坐标轴围成的面积是4C ．图象一定过第一、三象限D ．与直线32y x =-相交于第四象限内一点26．已知：将直线21y x =-向左平移2个单位长度后得到直线y kx b =+，则下列关于直线y kx b =+的说法正确的是（）A ．经过第一、二、三象限B ．与x 轴交于()1,0-C ．与y 轴交于()0,1D ．y 随x 的增大而减小27．对于一次函数24y x =-+，下列结论错误的是( )A ．函数的图象与x 轴的交点坐标是()0,4B ．函数值随自变量的增大而减小C ．函数的图象不经过第三象限D ．函数的图象向下平移4个单位长度得到2y x =-的图象28．将直线y=-2x 向上平移后得到直线AB ，直线AB 经过点（1，4），则直线AB 的函数表达式为（ ）A ．y=2x+2B ．y=2x-6C ．y=-2x+3D ．y=-2x+629．在平面直角坐标系中，将直线b ：y ＝﹣2x+4平移后，得到直线a ：y ＝﹣2x ﹣2，则下列平移方法正确的是（）A ．将b 向左平移3个单位长度得到直线aB ．将b 向右平移6个单位长度得到直线aC ．将b 向下平移2个单位长度得到直线aD ．将b 向下平移4个单位长度得到直线a30．将一次函数y kx b =+的图象向上平移9个单位得到直线36y x =+，（）A ．3B ．C ．3±D ．31．下列说法中正确的是（）A B ．两个一次函数解析式k 值相等，则它们的图像平行C ．连接等腰梯形各边中点得到矩形D ．一组数据中每个数都加3，则方差增加332．把直线3y x =--向上平移m 个单位后，与直线24y x =+的交点在第二象限，则m 的取值范围是（）A ．17m <<B ．34m <<C ．1mD ．4m <33．在平面直角坐标系中，将直线1:41l y x =--平移后，得到直线2:47l y x =-+，则下列平移作法正确的是（）A ．将1l 向右平移8个单位B ．将1l 向右平移2个单位C ．将1l 向左平移2个单位D ．将1l 向下平移8个单位34．在同一直角坐标系中，若直线y =kx +3与直线y =-2x +b 平行，则（ ）A ．k =-2，b ≠3 B．k =-2，b =3 C ．k ≠-2，b ≠3 D．k ≠-2，b =335．如图在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，直线与、轴分别交于A 、B ，且∥，OA=2，则线段OB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．D ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题36．在平面直角坐标系中，把直线y ＝2x ﹣1向上平移3个单位长度后，所得到的直线对应的函数解析式是_____．37．已知一次函数y =2x +m 的图象是由一次函数y =2x ﹣3的图象沿y 轴向上平移8个单位得到的，则m =_____．38．在平面直角坐标系中，一次函数56y x =-+与53y x =--的图象的位置关系为______．39．将函数31y x 的图像平移，使它经过点()2,0-，则平移后的函数表达式是______．40．直线23y x =-是由25y x =+向下平移__________个单位得到的．41．如图所示，一次函数y=kx ＋b 的图象是正比例函数y=-2x 的图象平移得到，且经过点A （2，3），则kb =______________．42．将直线y=x+3沿y 轴向上平移3个单位得到的一次函数的解析式是_____．43．已知将直线y kx =向上平移2个单位后，恰好经过点(1,0)-，则不等式42x kx -<+的解集为_____．44．在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的边OC 落在x 轴的正半轴上，且点(4,0),(6,2)C B ，直线41y x =+以每秒2个单位的速度向下平移，经过______秒该直线可将平行四边形OABC 的面积平分．45．如图，一次函数24y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．点C 的坐标为()2,3，若点D 在直线24y x =+上，点E 在x 轴上，若以B 、C 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形，则点E 的坐标为______．46．已知直线y ＝13x +2与函数y ＝()()1111x x x x ⎧+≥-⎪⎨--<-⎪⎩的图象交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边）．（1）点A 的坐标是_____；（2）已知O 是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移m 个单位，点A ，B 平移后的对应点分别为A ′，B ′，连结OA ′，OB ′．当m ＝_____时，|OA '﹣OB '|取最大值．47．如图，等边△OAB 的边长为2，以它的顶点O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系.若直线y =x +b 与△OAB 的边界总有两个公共点，则实数b 的范围是____.48．直线22y x =+沿y 轴向下移动6个单位长度后，与x 轴的交点坐标为_______三、解答题49．把一次函数21y x =-的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为________．50．（1）先列表，再画出函数21y x =+的图象．（2）若直线21y x =+向下平移了1个单位长度，直接写出平移后的直线表达式.51．已知y﹣3与x成正比例，且x＝2时，y＝7．（1）求y与x的函数关系式；（2）将所得函数图象平移，使它经过点（2，﹣1），求平移后直线的解析式．52．如图，一次函数y= -3x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）将直线AB向左平移1个单位长度，求平移后直线的函数关系式；（2）求出平移过程中，直线AB在第一象限扫过的图形的面积．53．在平面直角坐标系中，A、B均在边长为1的正方形网格格点上．（1）求线段AB所在直线的函数解析式，并写出当0≤y≤2时，自变量x的取值范围（2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°，得到线段AC，请在网格中画出线段AC．（3）若直线AC的函数解析式为y＝kx+b，则y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．54．直线1y kx =+沿着y 轴向上平移b 个单位后，经过点(2,0)A -和y 轴正半轴上的一点B ，若ABO （O 为坐标原点）的面积为4，求b 的值．55．已知y 是x 的一次函数，且当0x =，1y =；当1x =-时，2y =．（1）求这个一次函数的表达式：（2）将该函数图象向下平移3个单位，求平移后图象的函数表达式．56．如图，点A 的坐标为()1,0-，点B 在直线24y x =-上运动．（1）若点B 的坐标是()1,2-，把直线AB 向上平移m 个单位后，与直线24y x =-的交点在第一象限，求m 的取值范围．（2）当线段AB 最短时，求点B 的坐标．57．如图，直线AB ：2y x k =-过点M （k ，2），并且分别与x 轴，y 轴相交于点A 和点B ．（1）求k 的值；（2）求点 A 和点B 的坐标；（3）将直线AB 向上平移3个单位得直线l ，若C 为直线l 上一点，且3AOCS =，求点C的坐标．58．平面直角坐标系内一条直线AB ，A （a ，0），B （0，b ），a ，b 40b -=， （1）求直线AB 的表达式，（2）直接写出把这条直线向上平移3个单位长度后得到的表达式．59．已知一次函数的图象与直线1y x =-+平行，且过点()2,5-，求该一次函数的表达式． 60．如图，正比例函数y ＝kx 的图象经过点A ，点A 在第二象限．过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ．已知点A 的横坐标为﹣3，且△AOH 的面积为4.5． （1）求该正比例函数的解析式．（2）将正比例函数y ＝kx 向下平移，使其恰好经过点H ，求平移后的函数解析式．61．如图直线l 经过点A (-3,1)，B (0,-2)，将直线l 向右平移两个单位得到直线l 1．（1）在图中画出平移后的直线l 1；（2）求直线l 1的表达式．62．已知一次函数y kx b =+，当1x =时，1y =-；当1x =-，5y =-． （1）在所给坐标系中画出一次函数y kx b =+的图象： （2）求k ，b 的值；（3）将一次函数y kx b =+的图象向上平移2个单位长度，求所得到新的函数图象与x 轴、y 轴的交点坐标．63．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图像由函数y x =的图像平移得到，且经过点()1,2．（1）请在所给平面直角坐标系中画出这个一次函数的图像并求该一次函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值函数y mx =（0m ≠）的值大于一次函数y kx b =+的值，求出m 的取值范围．64．如图，在平面直角坐标系中，直线11:3l y x =与直线2l 交点A 的横坐标为3，将直线1l 沿y 轴向下平移3个单位长度，得到直线3l ，直线3l 与y 轴交于点B ，与直线2l 交于点C ，点C 的纵坐标为1-，直线2l 与y 轴交于点D ．（1）求直线2l 的解析式； （2）连接AB ，求ABC 的面积．65．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法解决下面问题． （1）在平面直角坐标系中，画出函数y ＝|x|的图象： ①列表：完成表格②画出y ＝|x|的图象；（2）结合所画函数图象，写出y ＝|x|两条不同类型的性质； （3）写出函数y ＝|x|与y ＝|x ﹣2|图象的平移关系．66．已知一次函数23414m y x m +=+-． （1）当32m >-时，这个函数的函数值y 随x 的增大而增大还是随x 的增大而减小呢？ （2）当这个函数的图象与直线3y x =-平行时，求m 的值．67．已知一次函数y kx b =+（,k b 是常数，且0k ≠）的图象过()A 3,5与()2,5B --两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若点()3,a a --在该一次函数图象上，求a 的值；（3）把y kx b =+的图象向下平移3个单位后得到新的一次函数图象，在图中画出新函数图象，并直接写出新函数图象对应的解析式． 68．在平面直角坐标系中，直线532y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，直线334y x =-+交x 轴于点C ，交y 轴于点D .()1如图1，连接BC ，求BCD 的面积；()2如图2，在直线334y x =-+上存在点E ，使得45ABE ∠=︒，求点E 的坐标； ()3如图3，在()2的条件下，连接OE ，过点E 作CD 的垂线交y 轴于点F ，点Р在直线EF上，在平面中存在一点Q ，使得以OE 为一边，O E P Q ，，，为顶点的四边形为菱形，请直接写出点Q 的坐标.。
【暑期衔接】专题01《丰富的图形世界》知识讲练-2022年暑假小升初数学衔接(北师大版)(原卷版)
2022年北师大版暑假小升初数学衔接知识讲练精编讲义专题01《丰富的图形世界》1、会辨认基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球等）2、了解直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型；3、能想象基本几何体的截面形状；4、会画基本几何体的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述几何体或实物原型；5、能从丰富的现实背景中抽象出空间几何体和基本平面图形，进一步认识点、线、面。
6、获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识。
7、体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识。
一、生活中的立体图形1.常见几何体及其特征2.常见几何体的分类柱体：圆柱体、棱柱{三棱柱、四棱柱(长方体、正方体)、五棱柱、六棱柱……}；锥体：圆锥；球体：球．3.棱柱的顶点、棱、面的数量关系4.点、线、面(1)图形是由点、线、面构成的．(2)面与面相交得到线 ，线与线相交得到点．(3)面有平面，也有曲面；线有直线，也有曲线．5.点、线、面、体之间的关系点――→动线⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫直线――→动平面曲线――→动曲面――→动体(立体图形)二、展开与折叠1.正方体的展开图口诀：六个面儿七刀裁，十一类图记分明；中间四个成一行，两边各一无规律；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐；对面相隔不相连，识图巧排“凹”和“田”.2.棱柱的展开图两个完全相同的多边形(底面)和几个长方形(侧面) 3.圆柱的展开图两个圆(底面)和一个长方形(侧面)4.圆锥的展开图一个圆(底面)和一个扇形(侧面)新课教授三、截一个几何体1.截面的概念用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状是_平面图形2.常见几何体截面四、从三个方向看物体的形状1.从三个方向看简单几何体得到的图形2.从三个方向看组合体得到的图形(1)画由小正方体组成的几何体从正面和左面看所得图形的方法：先确定看到的面左右共有几列,每一列共有几层.(2)画从上面看所得图形，则看几何体的最上面的小正方形前后共有几行,左右共有几列以及每个面的位置关系3.由从三个方向看到的形状描述几何体考点一生活中的立体图形【典例分析01】（2021秋•青岛期中）在一个正方体的玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内水面的形状不可能是（）A．B．C．D．【思路引导】结合题意，相当于把正方体一个面，即正方形截去一个角，可以到三角形、四边形、五边形．【完整解答】解：根据题意，结合实际，容器内水面的形状不可能是正方形．故选：A．【考察注意点】此类问题也可以亲自动手操作一下，培养空间想象力．【变式训练01】（2021秋•凉州区期末）如图，5个边长为1cm的正方体摆在桌子上，则露在表面的部分的面积为cm2．【变式训练02】（2021秋•南岗区期末）妈妈给小明的塑料水壶做了一个布套（如图），小明每天上学带一壶水．（π取3.14）（1）至少用了多少布料？（2）小明在学校一天喝1.5L水，这壶水杯够喝吗？（水杯的厚度忽略不计）【归纳总结】在对几何体进行分类时要做到不重不漏，分类合理．考点二展开与折叠【典例分析02】（2022•海淀区校级模拟）如图是几何体的展开图，这个几何体是（）A．圆柱B．三棱锥C．四棱柱D．三棱柱【思路引导】根据三棱柱的展开图的特征解答即可．【完整解答】解：因为展开图是三个矩形，两个三角形，所以这个几何体是三棱柱，故选：D．【考察注意点】本题考查几何体的展开图，三棱柱等知识，解题的关键是掌握三棱柱的展开图的特征，属于中考常考题型．【典例分析03】（2022•周村区一模）一个长方体包装盒的表面展开图如图所示，若此包装盒的容积为1500cm2，则该包装盒的最短棱长的值为5cm．【思路引导】利用其体积等于1500cm3，列出有关x的一元二次方程求解即可．【完整解答】解：设包装盒的高为x，根据题意得：15x（25﹣x）＝1500，整理得：x2﹣25x+100＝0解得：x＝20或x＝5，∴包装盒的高为20cm或5cm，则最短棱长为5cm，故答案为：5cm．【考察注意点】本题考查了一元二次方程的应用，根据设出的立方体的高表示出其长是解决本题的关键．【变式训练03】（2021秋•肥城市期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了8 条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（3）小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．【变式训练04】（2020秋•江都区期末）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“勤”字所在面相对面上的汉字是．【归纳总结】我们知道，每一个正方体都是由三对相对的面围成的．在平面展开图中找相对的面是探索正方体展开图的关键．考点三截一个几何体【典例分析04】（2021秋•毕节市期中）用一个平面去截一个几何体，截面可能是长方形的几何体是（）A．①③B．②③C．①②D．②①【思路引导】截面的形状是长方形，说明从不同的方向看到的立体图形的形状必有长方形或正方形，由此得出长方体、正方体、圆柱用一个平面去截一个几何体，可以得到截面的形状是长方形．【完整解答】解：用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，原来的几何体可能是长方体、正方体、圆柱．故选：A．【考察注意点】此题考查用平面截几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．【典例分析05】（（2021秋•禅城区期末）用一个平面去截五棱柱，则截面不可能是④①三角形；②四边形；③五边形；④圆（将符合题意的序号填上即可）．【思路引导】根据截面经过几个面，得到的多边形就是几边形判断即可．【完整解答】解：截面可以经过三个面，四个面，五个面，那么得到的截面的形状可能是三角形，四边形，或五边形，所以截面不可能是圆．【考察注意点】用到的知识点为：截面经过几个面，得到的形状就是几边形．【变式训练05】（2019•黄岩区二模）如图，一个5×5×5的正方体，先在它的前后方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），再在它的上下方向正中央也开凿一个“十字形”的孔（打通），最后在它的左右方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），这样得到一个被凿空了的几何体，则所得几何体的体积为．【变式训练06】（2018秋•郓城县校级期中）如图所示，用一个平面去截一个底面直径与高不相等的圆柱，则甲、乙两图中截面的形状分别是、．【归纳总结】截一个几何体，关键明确截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．考点四从不同方向看几何体【典例分析06】（2022•南平模拟）如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体的俯视图，那么该几何体的主视图不可能是（）A．B．C．D．【思路引导】根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．【完整解答】解：由俯视图可知，几何体的主视图有二列，A中有三列，所以A不可能；故选：A．【考察注意点】本题考查了三视图的知识，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．【典例分析07】（2021秋•垦利区期末）如图是由几个小立方块所搭成的几何体从上面所看到的，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从左边看到的这个几何体的形状图为（）A．B．C．D．【思路引导】根据左视图的定义画出图形即可．【完整解答】解：左视图如图所示：故选：B．【考察注意点】本题考查由三视图判定几何体，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．【变式训练07】（2021秋•南山区期末）由若干大小相同的小立方块搭成的几何体从上面和正面看到的形状如图所示，则这个几何体的小立方块最少是个．【变式训练08】（2021秋•新泰市期末）如图，是由一些棱长为a厘米的正方体小木块搭建成的几何体的从正面看、从左面看和从上面看的图形．（1）该几何体是由多少块小木块组成的？（2）求出该几何体的体积；（3）求出该几何体的表面积（包含底面）．【归纳总结】1、画从三个方向看到的物体的形状时，若是由小正方体组成的几何体，要看准组成面的每一列和每一行的小正方形的个数．2、这类题目的解题思路如下：先根据从正面和从左面看到的图形，在从上看到的图形的每个小正方形的相应位置上的小正方体的个数，然后求出它们的和，即是组成这个几何体的小正方体的个数.确定每个位置上的小正方的个数时，要分清是哪一行和哪一列，不要张冠李戴.一．选择题1．（2022•霍邱县一模）如图是一个几何体的三视图，则该几何体可能是（）A．B．C．D．2．（2022•安徽三模）用若干个大小相同，棱长为1的小正方体搭成一个几何体，其三视图如图所示，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2021秋•花溪区期末）小英准备用如图所示的纸片做一个礼品盒，为了美观，他想在六个正方形的纸片上画上图案，使做成后三组对面的图案相同，则她画上图案后正确的是（）A．B．C．D．4．（2021秋•让胡路区校级期末）一个高为2分米，底面半径为6厘米的圆锥体体积是（）立方厘米．A．24πB．120πC．240πD．72π二．填空题5．（2021秋•襄州区期末）用棱长为1的小立方体摆成如图所示的几何体，从上面看这个几何体得到的平面图形的面积是．6．（2021秋•武侯区期末）如图，每个小正方形边长都为1的3×3方格纸中，3个白色小正方形已被剪掉，现需在编号为①～⑥的小正方形中，再剪掉一个小正方形，从而使余下的5个小正方形恰好能折成一个棱长为1的无盖正方体，则需要再剪掉的小正方形可能是．（请填写所有可能的小正方形的编号）7．（2021秋•高邮市期末）如图，把该正方体展开图折叠成正方体后，“邮”字对面的字是．8．（2021秋•龙山县期末）如图A、B、C、D四个图形，它们能折叠成的立体图形依次是．9．（2022春•吴江区期中）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为．10．（2022•江干区校级模拟）圆柱的侧面展开图是一个相邻的两边长分别为4，2π的长方形，则圆柱体的体积为．三．解答题11．（2021秋•让胡路区校级期末）求出如图图形的体积．12．（2021秋•章贡区期末）（1）如图所示的长方体，长、宽、高分别为4，3，6．若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则下列图形中，可能是该长方体表面展开图的有（填序号）．（2）图A，B分别是题（1）中长方体的两种表面展开图，求得图A的外围周长为52，请你求出图B的外围周长．（3）第（1）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并求出它的外围周长．13．（2021秋•榆林期末）如图是一个正方体的展开图，折成正方体后相对面上的两个数之和都相等，求y x 的值．14．（2021秋•武功县期末）如图是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为7，求x﹣y+z的值．一．选择题1．（2021秋•监利市期末）从正面看如图所示的正三棱柱，得到的平面图形是（）A．B．C．D．2．（2021秋•丹江口市期末）如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的个数最多为m，最少为n，则m﹣n的值为（）A．4 B．3 C．2 D．13．（2021秋•金水区校级期末）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的图形，小正方形上的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体从左面看到的图形是（）A．B．C．D．4．（2021秋•市中区期末）要锻造一个半径为4厘米、高为4厘米的圆柱形毛坯，则至少应截取半径为2厘米的圆钢（）厘米．A．4 B．8 C．12 D．165．（2017•双流区校级自主招生）如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（）A．B．C．D．6．（2021秋•岱岳区期末）下列几何体的主视图与左视图不相同的是（）A．B．C．D．二．填空题7．（2021秋•溧阳市期末）如图所示是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是6，则它的表面积是．8．（2021秋•侯马市期末）一个由若干个小正方体搭建的立体图形的左视图和俯视图如图所示，则搭建这个立体图形的小正方体的个数最少为．9．（2021秋•沈阳期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面和从左面看到的这个几何体的形状图如图所示，请搭出所有满足条件的几何体，则搭出的几何体由个小立方块构成．10．（2021秋•崂山区期末）一个由13个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的搭法共有种．11．（2020秋•金堂县期中）用一个平面去截长方体，截面是正五边形（填“可能”或“不可能”）．三．解答题12．（2021秋•泗洪县期末）用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示完成下列问题：（1）搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要个小正方体，请在网格中画出用最多小正方体搭成的几何体的左视图；（2）搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有种不同形状．（3）用8块小正方体搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体一共有多少种不同形状？13．（2021秋•沈阳期末）如图1，是由6个棱长都为2cm的小立方块搭成的几何体．（1）图2是从三个方向观察这个几何体所分别看到的三个平面图形，请直接写出从三个方向看到的形状图序号：从正面看是，从左面看是，从上面看是；（2）请直接写出这个几何体的体积为，表面积（包括底面）为；（3）如果在这个几何体上再添加一些小立方块，并保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加个小立方块．14．（2021秋•峡江县期末）一个几何体由一些大小相同的小正方块儿搭建，如图是从上面看到的这个几何体的形状如图，小正方形的数字表示在该位置的小正方块儿的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图．15．（2021秋•伊川县期末）如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图（1）写出这个几何体的名称；（2）若从正面看的长为10cm，从上面看到的圆的直径为4cm，求这个几何体的表面积（结果保留π）．16．（2021秋•临淄区期末）如图是一个正方体纸盒的展开图，请把﹣10，7，10，﹣2，﹣7，2分别填入六个正方形，使得按折成正方体后，相对面上的两数互为相反数．17．（2021秋•高新区期末）一个几何体的三个视图如图所示（单位：cm）．（1）写出这个几何体的名称：；（2）若其俯视图为正方形，根据图中数据计算这个几何体的表面积．。
人教版相似复习题课件
180°－45°＝135°，由勾股定理得 BC＝ 22＋22＝2 2.
(2)△DEF 中，∠DEF＝135°，分别计算△ABC 的边 AB、BC
和△DEF 的边 DE、EF，AB＝2，BC＝2 2；EF＝2，DE＝ 2.
因为ADBE＝
2＝ 2
2，BECF＝2 2 2＝
2，
所
以
AB DE
＝
BC EF
，
(1)把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图 形并写出点B1的坐标；
(2)把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出 △A2B2C的图形并写出点B2的坐标；
(3)把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比 为1∶2，画出△AB3C3的图形．
┃ 习题讲练
5．如图5，在△ABC中，AB＝AC＝1，点D，E在直线 BC上运动．设BD＝x，CE＝y.
(1)如果∠BAC＝30°，∠DAE＝105°，试确定y与x之间 的函数关系式；
(2)如果∠BAC＝α，∠DAE＝β，当α，β满足怎样的关系 时，(1)中y与x之间的函数关系式还
图1
┃ 习题讲练
2．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线 为边的三角形叫格点三角形．在如图1所示的5×5的方格中， 作格点△ABC和△OAB相似(相似比不为1)，则点C的坐标是 __________(_4_,0_)_或__(_3_,2__) _．
┃ 习题讲练 图2
┃ 习题讲练
8．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5 m，AC 长为2.5 m，面积为1.5 m2，工人师傅要把它加工成一个面积 最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案， 甲的设计方案如图8①，乙的设计方案如图②.
初二数学知识点专题讲解与练习20---正方形(培优版)
F
A
D
M
B
C
A
D
F
EB
M C
E
G
图1
图G2
【例 3】如图，正方形 ABCD 中，E ，F 是 AB ，BC 边上两点，且 EF = AE + FC ， DG ⊥ EF 于 G ，求证： DG = DA .
（重庆市竞
2 / 17
解题思路：构造 AE + FC 的线段是解本例的关键．
赛试题）
A
D
E
G
B
延长线上 (CG > BC) ，取线段 AE 的中点 M .连 MD ， MF ． （1）探究线段 MD ， MF 的关系，并加以证明． （2）将正方形 CGEF 绕点 C 旋转任意角后（如图 2），其他条件不变． 探究线段 MD ， MF 的关系，并加以证明．
（大
连市中考题改编） 解题思路：由 M 为 AE 中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．
（黑龙江省中考 试题）
解题思路：对于（2），构造 DN − BM 是解题的关键．
4 / 17
A
D
N
BM
C
图1
A
D
C MB
A
D
N
BM
C
图2
七年级数学上学期期末考试真题汇编(人教版)探究与表达规律(八个考点) 专题讲练(解析版)
专题04 探究与表达规律（八个考点）专题讲练1、知识储备考点1. 数列的规律考点2. 数表的规律考点3..算式的规律考点4. 图形的规律（一次类）考点5 图形的规律（二次类）考点6. 图形的规律（指数类）考点7. 程序框图考点8. 新定义运算2、经典基础题3、优选提升题1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：1）数列的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系.2）等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系.3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系.4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.5）数形结合的规律：观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.2. 常见的数列规律：1）1，3，5，7，9，… ，21n-（n为正整数）．2）2，4，6，8，10，…，2n（n为正整数）．3）2，4，8，16，32，…，2n（n为正整数）．4）2，6，12，20，…，(1)n n+（n为正整数）．5）x-，x+，x-，x+，x-，x+，…，(1)n x-（n为正整数）．6）特殊数列：①三角形数：1,3,6,10,15,21，…，(1)2n n+.②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.考点1. 数列的规律 【解题技巧】①符号规律：通常是正负间或出现的规律，常表示为(1)n -或1(1)n --或1(1)n +-；②数字规律：数字规律需要视题目而确定；○3字母规律：通常字母规律是呈指数变换，常表示为：n a 等形式。
例1．（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）按顺序观察下列五个数-1，5，-7，17，-31……，找出以上数据依次出现的规律，则第n 个数是_____________． 【答案】(2)1n -+【分析】所给的数可转化为：-1=1-21，5=1+22，-7=1-23，17=1+24，-31=1-25，…据此即可得第n 个数，从而可求解．【详解】解：∵-1=1-21，5=1+22，-7=1-23，17=1+24，-31=1-25，…，∵第奇数个数为：1-2n ；第偶数个数为：1+2n ；∵第n 个数为：()21n-+．故答案为：()21n-+． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字分析出存在的规律． 变式1．（2022·云南红河·八年级期末）一组按规律排列的单项式3a 、5a 2、7a 3、9a 4……，依这个规律用含字母n （n 为正整数，且n ≥1）的式子表示第n 个单项式为_______ 【答案】(21)n n a +【分析】找出前3项的规律，然后通过后面几项验证，找出规律得到答案． 【详解】解：3a ＝（2×1+1）a 1，5a 2＝（2×2+1）a 2，7a 3＝（2×3+1）a 3，… 第n 个单项式是：（2n +1）an ．故答案为：（2n +1）an ．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是找出前几项的规律，然后验证，最后得到规律．变式2．（2022·山东烟台·七年级期末）按一定规律排列的单项式：3x ，5x -，7x ，9x -，11x ，……，第n 个单项式是（ ） A ．()211nn x -- B ．()1211n n x -+-C ．()1211n n x ---D ．()211nn x +-【答案】B【分析】先观察系数与指数的规律，再根据规律定出第n 个单项式即可． 【详解】解：∵3x ，5x -，7x ，9x -，11x ，……，∵系数是奇数项为-1，偶数项为1，即系数的规律是(-1)n -1,指数的规律为2n +1，∵第n 个单项式为()1211n n x -+-，故选：B ．【点睛】本题考查数式的变化规律，通过观察单项式的系数和指数，找到它们的规律是解题的关键．考点2. 数表的规律 【解题技巧】例1. （2022•绵阳市七年级期中）将正奇数按下表排成5列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 3 5 7 第2行 15 13 11 9 第3行 17 19 21 23 ………2725若2021在第m 行第n 列，则m +n ＝（ ） A ．256B ．257C ．510D ．511【分析】观察图表，每一行都有四个数，且奇数行排在第2﹣5列，偶数行排在第1﹣4列，根据2021在正奇数中的位置来推算m ，n ．【解答】解：首先，从图表观察，每一行都有四个数，且奇数行排在第2﹣5列，偶数行排在第1﹣4列，其次，奇数可以用2x ﹣1表示，当x ＝1011时，2x ﹣1＝2021，即2021是排在第1011个位置．在上表中，因为每行有4个数，且1011÷4＝252•••••••3，因此2021应该在第253行，第4列，即m ＝253，n ＝4．∴m +n ＝257，故选：B ．变式1．（2022·山东济南·七年级期末）将正整数按如图所示的规律排列，若用有序数对（a ，b ）表示第a 行，从左至右第b 个数，例如（4，3）表示的数是9，则（15，10）表示的数是（ ）A ．115B ．114C ．113D ．112【答案】A【分析】观察图形可知，每一行的第一个数字都等于前面数字的个数再加1，即可得出（15，得出a，b的值分别为（）A．9，10B．9，91C．10，91D．10，110【解题技巧】算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。
专题2.2 图形规律问题(压轴题专项讲练)(人教版)(原卷版)
专题2.2 图形规律问题【典例1】国庆节期间，人民广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，…，以此类推．请观察图形规律，解答下列问题：（1）第10层有 个盆栽，前5层共有 个盆栽；（2）观察图计算1+3+5+7+⋯+17= ；（3）拓展应用：求51+53+55+⋯+2023的值．（1）后面一层比前面一层多2个盆栽，结合图形，根据规律可求出其值；（2）图形刚好构成正方形的面积，求面积即可；（3）先算出1+3+5+…+49+51+…+2023的和，1+3+5+…+49的和，再求它们的差即可．（1）解：根据题意可得，2×(10−1)+1=19，∴第10层有19个盆栽，5×5=25，∴前5层共有25个盆栽，故答案为：19；25．（2）解：观察图形可得，第9层盆栽数量为：2×9−1=17，∴1+3+5+7+⋯+17=92=81，故答案为：81．（3）解：根据题意可得，第1012层盆栽数量为：2×1012−1=2023，∴1+3+5+⋯+49+51+53+55+⋯+2023=10122，第25层盆栽数量为：2×25−1=49，∴1+3+5+⋯+49=252，∴51+53+55+⋯+2023=(1+3+5+⋯+51+53+55+⋯2023)−(1+3+5+⋯+49)，=10122−252=1023519，∴51+53+55+⋯+2023的值为1023519．1．（2022秋·江苏·七年级期中）观察下列一组图形中点的个数，其中第一个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形中共有19个点，…按此规律第6个图形中共有点的个数是（ ）A．38B．46C．61D．642．（2022秋·浙江·七年级阶段练习）如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）上；先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．若数轴绕过圆周99圈后，数轴上的一个整数点刚好落在圆周上数字1所对应的位置，则这个整数是（ ）A．297B．298C．299D．3003．（2023春·全国·七年级开学考试）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知第506个正方形的左上角标的数是（ ）A．2020B．2021C．2022D．20234．（2022秋·湖南·七年级期末）如图是由边长为1的木条组成的几何图案，观察图形规律，第一个图案由1个正方形组成，共用的木条根数S1＝4，第二个图案由4个正方形组成，共用的木条根数S2＝12，第三个图案由9个正方形组成，共用的木条根数S3＝24，以此类推…那么第100个图案共用的木条根数S100为（ ）A．19600B．20400C．20200D．200005．（2023秋·贵州毕节·七年级校联考期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边（ ）上．A．CD B．AD C．AB D．BC6．（2022秋·湖南娄底·七年级统考期中）观察如图所示图形构成的规律，根据此规律，第42个图中小圆点的个数为．7．（2023秋·全国·七年级课堂例题）观察并找出如图图形变化的规律，则第2025个图形中黑色正方形的数量是个．8．（2022秋·浙江杭州·七年级期末）如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4，……，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为a n(n≥3)，当1a3+1a4+1a5+⋯+1a n的结果是6712022时，n的值为．9．（2022秋·全国·七年级期中）正整数按如图所示的规律排列，则第29行第30列的数字为．10．（2023·全国·七年级假期作业）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）图5有多少颗黑色棋子？（2）若第(n+2)个图形比第n个图形中多2021颗棋子，试求n的值．11．（2022秋·安徽合肥·七年级校联考期中）下列每一幅图都是由单位长度均为1的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的．（1）根据规律，第4个图中共有___________个小正方形，其中灰色小正方形共有___________个．（2）第n个图形中，白色小正方形共有___________个．（用含n的式子表示，n为正整数）（3）白色小正方形可能比灰色小正方形正好多2024个吗？如果可能，求出n的值；如果不可能，请说明理由．12．（2023秋·安徽六安·七年级统考期末）用火柴棒按如图的方式搭图形．（1）按图示规律完成下表：图形12345…火柴棒根数5913 …（2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要 根火柴棒．（用含n的代数式表示）（3）小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了200根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由．13．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）以下是一幅幅平面镶嵌图案，它们由相同的灰色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，如图1，当正方形只有1个时，等边三角形有4个；如图2，当正方形有2个时，等边三角形有7个；以此类推……（1）第5个图案中正方形有______个，等边三角形有______个．（2）第n个图案中正方形有______个，等边三角形有______个．（3）若此类图案中有2023个等边三角形，该图案中正方形有多少个？14．（2023秋·安徽合肥·七年级统考期末）下列图形是由边长为1的小正方形按照一定的规律组成的．观察图形．回答下列问题：（1）按上述规律排列，第⑤幅图中，图形的周长为______﹔（2）按上述规律排列，第n幅图中．图形的周长为______；（3）按上述规律排列，是否存在第n幅图形的周长为60，请说明理由．15．（2023春·四川成都·七年级成都外国语学校校考开学考试）某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：（1）有4张桌子，用第一种摆设方式，可坐多少人？用第二种摆设方式，可坐多少人？（2）用含有n的代数式表示：有n张桌子，用第一种摆设方式可坐多少人？用第二种摆设方式，可坐多少人？（3）一天中午，餐厅要接待80位顾客共同就餐，但餐厅只有20张这样的桌子可用，且每4张拼成一张大桌子．若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌，并说明理由．16．（2023·全国·七年级假期作业）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，完成下面各题．（1）2节链条的总长度为______cm；3节链条的总长度为______cm；4节链条的总长度为______cm；（2）根据上述规律，n节链条的总长度为多少cm；（用含n的式子表示，不用说理）（3）一根链条的总长度能否为73cm？若能，请求出该链条由几节组成；若不能，请说明理由．17．（2022秋·全国·七年级专题练习）（1）有一列数1、3、5、7……有无数项（无数个数），请观察其规律后写出其中第20项（从左往右数第20个数）是，第n项是；（2）二算法是数学的一种很重要的方法，用二算法可以得到许多很重要的数学公式．请观察下图，用二算法推导出1＋3、1＋3＋5、1＋3＋5＋7的计算结果，猜测1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）的计算结果；（3）由（2）推导出2＋4＋6＋……＋2n的结果．18．（2022秋·广西北海·七年级统考期中）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）：（1）当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有________块（如图3）；（2）以此类推，人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加________块；（3）【规律总结】若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为________（用含n的代数式表示）．（4）【问题解决】现有2022块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，则需要正方形地砖多少块？19．（2023春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）用火柴棒按图中的方式搭图形：（1）按图示规律填空：图形编号①②③④⑤火柴棒根数712___________ ___________ ___________（2）按照这种方式搭下去，请写出搭第n个图形需要的火柴根数；（3）小明发现：按照这种方式搭图形会产生若干个正方形，若使用2022根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？20．（2022秋·北京通州·七年级统考期末）现有一个长方形ABCD的宽为1，长为a(a>1)的纸片，先剪去一个正方形，余下一个长方形，在余下的长方形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个长方形……，依此类推，如图是剪3次后余下的长方形恰好是正方形的其中一种示意图及相应a的值，请画出（与示意图不同）剪3次后余下的长方形恰好是正方形的示意图，并写出相应a的值．21．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图①倒置后与原图拼成图②，如果图①-④中各有所示的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为1+2+3+⋯+n=n(n1)211层.（1）图①中共有___________个圆圈：（2）我们自上而下，在圆圈中按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边圆图的数是___________.（3）我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的整数−23，−22，−21，⋯求图④所有圆圈中各数的绝对值之和.22．（2023·全国·七年级假期作业）（1）为了计算1+2+3+⋯+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有(1+2+3+⋯+8)个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9=72个点，由此可得1+2+3+⋯+8=12×(1+8)×8=36．用此方法，可求得1+2+3+⋯+20=（直接写结果）．（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：填空：①1+3+5+⋯+49=；②1+3+5+⋯+(2n+1)=．（3）请构造一图形，求12+122+123+⋯+122023（画出示意图，写出计算结果）．。
初中数学知识点复习专题讲练：用坐标表示旋转(含答案)
用坐标表示旋转考点分析在坐标平面内，某一点绕原点旋转前后坐标的变化规律如下：1. 点A（a，b）绕原点旋转180°得点A'（－a，－b），即点A（a，b）关于原点对称的点的坐标是A'（－a，－b）.2. 点A（a，b）绕原点旋转90°所得点A'的坐标是（－b，a）.方法归纳：坐标系中的旋转问题通常构造全等三角形加以解决，而且一般是直角三角形.因为图形的旋转问题都可以归结为点的旋转问题，而点的坐标可以表示某点到坐标的距离.所以解决坐标系的旋转问题时经常过图形的顶点向坐标轴作垂线段，构造直角三角形来解决问题.总结：1. 通过具体实例认识直角坐标系中图形的旋转变换，加深理解旋转变换的概念和基本性质，并能按要求作出简单平面图形绕坐标原点旋转90度、180度后的图形.2. 通过多角度地认识旋转图形的形成过程，培养学生的发散思维能力.解题技巧例题1在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC 上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为（）A. （1.4，－1）B. （1.5，2）C. （1.6，1）D. （2.4，1）解析：根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1的坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标.答案：∵A 点坐标为：（2，4），A 1（－2，1），∴点P （2.4，2）平移后的对应点P 1为（－1.6，－1），∵点P 1绕点O 逆时针旋转180°，得到对应点P 2，∴P 2点的坐标为（1.6，1）.故选C .点拨：此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键.例题2 在如图所示的直角坐标系中，将△OAB 绕点O 顺时针旋转90°得△OA 1B 1，则线段A 1B 1所在直线l 的函数解析式为（ ）A. y ＝32x －2B. y ＝－32x ＋2C. y ＝－32x －2D. y ＝32x ＋2解析：根据旋转方向及角度画出旋转后的三角形，求出对应点坐标，设直线的解析式为y ＝kx ＋b ，将点的坐标代入，用待定系数法确定其解析式.答案：如图，根据旋转可得A 1（0，－2），B 1（－2，1），设直线的解析式为y ＝kx ＋b ，由题意得：⎩⎨⎧－2＝b1＝－2k ＋b ，解之得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32b ＝－2，所以直线的解析式为：y ＝－32x －2.故选C .点拨：本题考查图形的旋转及一次函数的解析式，关键是能够根据图形的旋转找出点的坐标，然后根据点的坐标来确定直线的解析式，求函数解析式，常用方法是待定系数法，把点的坐标代入解析式，然后组成关于k 与b 的方程组求解.总结提升平面直角坐标系中的旋转问题，若旋转角是180°，则可按中心对称图形问题来解决.有些题目的旋转角为90°，和少量的旋转角为30°,45°,60°,120°,150°等的问题，解答这类问题时除了要构造旋转本身形成的全等三角形外，一般还要通过向坐标轴作垂线来构造含有特殊角的直角三角形，利用特殊角的边角关系和勾股定理求解.例题如图，△ABO中，AB⊥OB，OB＝3，AB＝1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1的坐标为（）A. （－1，－3）B. （－1，－3）或（－2，0）C. （－3，－1）或（0，－2）D. （－3，－1）解：∵△ABO中，AB⊥OB，OB＝3，AB＝1，∴OA＝2，∴∠AOB＝30°.如图1，当△ABO 绕点O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则∠A1OC＝150°－∠AOB－∠BOC＝150°－30°－90°＝30°，则易求A1（－1，－3）；如图2，当△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则易求A1（0，－2）.综上所述，点A1的坐标为（－1，－3）或（－2，0），故选B.解析：本题考查了坐标与图形的变化——旋转，解题时注意两点，一是未指明旋转方向的问题需分类讨论，以防错解；二是图形中一些特殊角往往和旋转角交织在一起，解题时需正确区分它们.巩固训练一、选择题1. 在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A’B’O，则点A的对应点A’的坐标及AA’的长分别为（）A. （2，3），26B. （2，3），6C. （－3，2），26D. （－3，2），6*2. 如图，直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO 'B '，则点B '的坐标是（ ）A. （3，4）B. （7，3）C. （7，4）D. （4，5）*3. 将等腰直角三角形AOB 按如图所示放置，然后绕点O 逆时针旋转90至△A 'OB '的位置，点B 的横坐标为2，则点A '的坐标为（ ）xyOAB A'B'A. （1，1）B. （2， 2）C. （－1，1）D. （－2，2）**4. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）.y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，…，重复操作依次得到点P 1,P 2,…，则点P 2012的坐标是（ ）xy ABCDPA. （2010，2）B. （2010，－2） C . （2012，2） D. （2012，－2）二、填空题5. 如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为__________.6. 如图，在直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（0，3）、B（－1，0）、C（1，0），若△DEF各顶点的坐标分别为D（3，0）,E（0，1）,F（0，－1），则△DEF由△ABC 绕O点顺时针旋转__________度得到.7. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，A,B是格点，若△A′B′O与△ABO关于点O成中心对称，则AA′的距离为__________.**8. 如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（1，0），B（5，0），C（5，3），D（1，3），边CD上有一点E（4，3），过点E的直线与AB交于点F，若直线EF平分矩形的面积，则点F的坐标为__________.三、解答题9. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出点A 1的坐标.（2）画出△A 1B 1C 1绕原点O 旋转180°后得到的△A 2B 2C 2，并写出点A 2的坐标. *10. 如图，已知A （—3，—3），B （—2，—1），C （—1，—2）是直角坐标平面上的三点.y x-1-2-3-4-55432112345-1-2-3-4-5OAB C（1）请画出ΔABC 关于原点O 对称的ΔA 1B 1C 1，（2）请写出点B 关于y 轴对称的点B 2的坐标，若将点B 2向上平移h 个单位，使其落在ΔA 1B 1C 1内部，指出h 的取值范围.11. 在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的位置如图所示，解答下列问题：（1）将四边形ABCD 先向左平移4个单位，再向下平移6个单位，得到四边形A 1B 1C 1D 1，画出平移后的四边形A 1B 1C 1D 1；（2）将四边形A 1B 1C 1D 1绕点A 1逆时针旋转90°，得到四边形A 1B 2C 2D 2，画出旋转后的四边形A 1B 2C 2D 2，并写出点C 2的坐标.*12. △ABC 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示.y x-1-2-35432112345-1-2O67ABC（1）作△ABC 关于点C 成中心对称的△A 1B 1C 1.（2）将△A 1B 1C 1向右平移5个单位，作出平移后的△A 2B 2C 2.（3）在x 轴上求作一点P ，使P A 1＋PC 2的值最小，并写出点P 的坐标（不写解答过程，直接写出结果）.参考答案一、选择题1. A 解析：将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转90°得△A ’B ’O ，如下图：所以A ’（2，3），AA ’＝52＋12＝26.*2. B 解析：令y ＝0，则y ＝－43x ＋4＝0，解得x ＝3，即点A 的坐标为（3，0）.令x ＝0，则y ＝4，即点B 的坐标为（0，4），∴OB ＝4＝O 'B '，OA ＝3＝O 'A ，点B '的横坐标为：3＋4＝7，纵坐标为3，∴点B '的坐标是（7，3）.*3. C 解析：在Rt △AOB 中，OB ＝2，由勾股定理可得OA ＝2，所以OA '＝2，过A '作A 'C ⊥y 轴于点C ，在Rt △A 'OC 中，∠A 'OC ＝45°，由勾股定理可得A 'C ＝1，OC ＝1，且点A '在第二象限，所以点A '的坐标为（－1，1）.**4. C 解析：由题意可知，点P 1（2，0），P 2（2，－2），P 3（－6，0），P 4（4，2），P 5（－2，0），P 6（6，－2），P 7（－10，0），P 8（8，2）；….规律如下：像点P 1，P 5，…这样的点横坐标逐个减4，纵坐标都是0；像点P 2、P 6，…这样的点横坐标逐个加4，纵坐标都是－2；像P 3,P 7，…这样的点横坐标逐个减4，纵坐标都是0；像P 4,P 8，…这样的点横坐标逐个加4，纵坐标都是2.因为2012÷4＝503，观察P 4（4，2），P 8（8，2），…，得P 2012的坐标是（2012，2），故选C.PP 1P 2P 3P 4xy P 5P 6P 7P 8二、填空题5. （4，2） 解析：可利用旋转的性质，结合全等三角形求解.6. 90 解析：∵△ABC 各个顶点的坐标分别为A （0，3）、B （－1，0）、C （1，0）；△DEF 各顶点的坐标分别为D （3，0）,E （0，1）,F （0，－1），∴旋转对应点为A 和D ， B 和E ，C 和F ，∴△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转90°得到.7. 210 解析：因为△A ′B ′O 与△ABO 关于点O 成中心对称，所以A ′的坐标为（3，－1），AO ＝32＋12＝10，由中心对称图形的特征可知AA ′＝210.**8. （2，0） 解析：∵EF 平分矩形ABCD 的面积，∴EF 过矩形ABCD 的对称中心，点E 、F 是对应点，∴CE ＝AF .∵A （1，0），B （5，0），C （5，3），D （1，3），E （4，3），∴点F 的坐标为（2，0）.三、解答题9. 解：（1）如图所示：点A 1的坐标为（2，－4）；（2）如图所示，点A 2的坐标为（－2，4）.*10. 解：（1）作图如下：（2）点B 2的坐标为（2，－1），h 的取值范围是2＜h ＜3.5.y x-1-2-3-4-55432112345-1-2-3-4-5OAB CA 1B 1C 111. 解：（1）四边形A 1B 1C 1D 1如图所示；（2）四边形A 1B 2C 2D 2如图所示，C 2（1，－2）.*12. 解：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）如图所示：作出A 1关于x 轴的对称点A ′，连接A ′C 2，交x 轴于点P ，可得P 点坐标为：（3，0）.y x-1-2-35432112345-1-2O67ABCA 1B 1C 1A 2B 2C 2A'P。
专题2.13正方形(知识讲解)-八年级数学下册基础知识专项讲练(湘教版)
专题2.13 正方形（知识讲解）【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB、PD，点E在BC 的延长线上，且P E＝PB．求证：（1）△BCP△△D CP；（2）△DPE ＝△ABC．【思路点拨】（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得△BCP=△DCP，然后利用“边角边”证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得△CBP=△CDP，根据等边对等角可得△CBP=△E，然后根据等角的余角得出△DPE= 90°，从而得证；【解析】证明：（1）△四边形ABCD是正方形△BC=DC，△ACB＝△ACD ，△ABC＝90°又△PC = PC△△BCP△△D CP．（2）△P E＝PB，△△E＝△PBE ，△△BCP△△D CP，△△PBE＝△PDC ，△△E＝△PDC ，△△E＋△1＝90°，△1＝△2△△PDC＋△2＝90°即△DPE＝90°△△DPE＝△ABC．【总结升华】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出△BCP=△DCP是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分△ACD 交BD于点M，MN△CM，交AB于点N，（1）求△BMN的度数；（2）求BN的长．【答案】（1）22..5°；（2）4【思路点拨】（1）先由正方形ABCD的面积是8，求得正方形的边长及其对角线的长；再由正方形的性质及CM平分△ACD，求得△DCO、△BCO、△CDO、△MBN、△DCM、△MCO及△BMC的度数；然后由MN△CM得△CMN＝90°，则△BMN的度数等于△CMN的度数减去△BMC即可得出答案；（2）先证明△BCM＝△BMC，从而可得BM＝BC＝CD，则由DM＝BD﹣BM可得DM的长；【解析】解：（1）△正方形ABCD的面积是8，△BC＝CD，△BD＝4．△四边形ABCD为正方形，△△DCO＝△BCO＝△CDO＝△MBN＝45°，△CM平分△ACD，△△DCM＝△MCO＝22.5°，△△BMC＝△CDO+△DCM＝45°+22.5°＝67.5°．△MN△CM，△△CMN＝90°，△△BMN＝90°﹣67.5°＝22.5°，△△BMN的度数为22..5°．（2）△△MCO＝22.5°，△BCO＝45°，△△BCM＝△BCO+△MCO＝67.5°，又△△BMC＝67.5°，△△BCM ＝△BMC ，△BM ＝BC ＝CD ＝，△DM ＝BD ﹣BM ＝4﹣．△△DCM ＝22.5°，△BMN ＝22.5°，△△DCM ＝△BMN ．△在△DCM 和△BMN 中，DCM BMN DC BM CDM MBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△DCM △△BMN （ASA ），△BN ＝DM ＝4﹣△BN 的长为4﹣【总结升华】本题考查正方形的性质、角平分线的性质、余角的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【变式2】已知，如图，在Rt△ABC 中，△BAC ＝90°，△ABC ＝45°，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点B ，C 重合)．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ，当点D 在线段BC 的反向延长线上，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧时．(1)求证：△ABD △△ACF ；(2)若正方形ADEF的边长为对角线AE ，DF 相交于点O ，连接OC ，求OC 的长度．【思路点拨】（1）由题意易得AD ＝AF ，△DAF ＝90°，则有△DAB ＝△F AC ，进而可证AB ＝AC ，然后问题可证；（2）由（1）可得△ABD △△ACF ，则有△ABD ＝△ACF ，进而可得△ACF ＝135°，然后根据正方形的性质可求解．【解析】(1)证明：△四边形ADEF为正方形，△AD＝AF，△DAF＝90°，又△△BAC＝90°，△△DAB＝△F AC，△△ABC＝45°，△BAC＝90°，△△ACB＝45°，△△ABC＝△ACB，△AB＝AC，△△ABD△△ACF(SAS)；(2)解：由(1)知△ABD△△ACF，△△ABD＝△ACF，△△ABC＝45°，△△ABD＝135°，△△ACF＝135°，由(1)知△ACB＝45°，△△DCF＝90°，△正方形ADEF边长为△DF＝4，△OC＝12DF＝12×4＝2．【总结升华】本题主要考查正方形的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．类型二、正方形的判定2、如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将ABE△沿BC方向平移，使点E与点C重合，得GFC．（1）求证：BE DG =；（2）若60B ∠=︒，当BC =______AB 时，四边形ABFG 是菱形；（3）若60B ∠=︒，当BC =______AB 时，四边形AECG 是正方形．【思路点拨】（1）根据平移的性质，可得：BE=FC ，再证明Rt△ABE△Rt△CDG 可得BE=DG ； （2）要使四边形ABFG 是菱形，须使AB=BF ；根据条件找到满足AB=BF 时，BC 与AB 的数量关系即可；（3）当四边形AECG 是正方形时，AE=EC ，由，可得，再有BE=12AB 可得AB ． 【解析】（1）证明：△四边形ABCD 是平行四边形，△AD△BC ，AB=CD ．△AE 是BC 边上的高，且CG 是由AE 沿BC 方向平移而成，△CG△AD ，AE=CG ，△△AEB=△CGD=90°．△在Rt△ABE 与Rt△CDG 中，AE CG AB CD =⎧⎨=⎩， △Rt△ABE△Rt△CDG （HL ），△BE=DG ．（2）解：当BC=32AB 时，四边形ABFG 是菱形． 证明：△AB△GF ，AG△BF ，△四边形ABFG 是平行四边形．△Rt△ABE 中，△B=60°，△△BAE=30°， △BE=12AB （直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半），△BE=CF，BC=32 AB，△EF=12 AB．△AB=BF．△四边形ABFG是菱形．故答案是：32；（3）解：AB时，四边形AECG是正方形．△AE△BC，GC△CB，△AE△GC，△AEC=90°，△AG△CE，△四边形AECG是矩形，当AE=EC时，矩形AECG是正方形，△△B=60°，△EC=AE=2AB，BE=12AB，AB．．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定，菱形的判定，以及直角三角形的性质．关键是熟练掌握菱形的判定定理，以及平行四边形的性质．【变式】如图所示，在四边形ABCD中，AD△BC，△B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C出发沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P，Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？（3）若AB＝8，如果Q点的移动速度不变，要使PQBA是正方形，则P点移动速度是多少？解：（1）△PD //CQ ，△只要当PD ＝CQ 时，四边形PQCD 是平行四边形，设运动时间为t ，24PD t =-，3CQ t =，列式：24﹣t ＝3t ，解得t ＝6，△经过6秒，四边形PQCD 是平行四边形；（2）△//AP BQ 且90B ∠=︒，△只要当AP ＝BQ 时，四边形PQBA 是矩形，设运动时间为t ，AP t =，263BQ t =-，列式：t ＝26﹣3t ，解得132t =， △经过132秒，四边形PQBA 是矩形； （3）当BQ ＝AB ＝8时，四边形PQCD 是正方形，设运动时间为t ，列式：26﹣3t ＝8，解得t ＝6，△P A ＝6•V P ＝8，△V P ＝43cm /s ． 【总结升华】本题考查的是动点问题，涉及平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定，解题的关键是设运动时间，用时间表示线段长度，然后根据题意列方程求解．类型三、正方形中的折叠问题3 如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ．（1）求证：△ABG△△AFG ；（2）求△EAG 的度数；（3）求BG 的长．【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB ＝AF ，△B ＝△AFG ＝90°，利用HL 定理得出△ABG△△AFG 即可；（2）由（1）可得△FAG ＝12△BAF ，由折叠的性质可得△EAF ＝12△DAF ，继而可得△EAG ＝12△BAD ＝45°； （3）首先设BG ＝x ，则可得CG ＝6﹣x ，GE ＝EF ＋FG ＝x ＋3，然后利用勾股定理GE 2＝CG 2＋CE 2，得方程：（x ＋3）2＝（6﹣x ）2＋32，解此方程即可求得答案．【解析】（1）证明；在正方形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ＝CD ，△D ＝△B ＝△BCD ＝90°， △将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，△AD ＝AF ，DE ＝EF ，△D ＝△AFE ＝90°，△AB ＝AF ，△B ＝△AFG ＝90°，又△AG ＝AG ，在Rt△ABG 和Rt△AFG 中，AG=AG AB=AF⎧⎨⎩， △△ABG△△AFG （HL ）；（2）△△ABG△△AFG ，△△BAG ＝△FAG ，△△FAG ＝12△BAF ， 由折叠的性质可得：△EAF ＝△DAE ， △△EAF ＝12△DAF ， △△EAG ＝△EAF ＋△FAG ＝12（△DAF ＋△BAF ）＝12△DAB ＝12×90°＝45°；（3）△E是CD的中点，△DE＝CE＝12CD＝12×6＝3，设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3，△GE2＝CG2＋CE2△（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32，解得：x＝2，△BG＝2．【点拨】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，注意折叠中的对应关系、注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．【变式】如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG△△AFG；（2）求BG的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，△B=△AFG=90°，利用HL定理得出△ABG△△AFG即可；（2）利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可；【详解】（1）在正方形ABCD 中，AD=AB=BC=CD ，△D=△B=△BCD=90°，△将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，△AD=AF ，DE=EF ，△D=△AFE=90°，△AB=AF ，△B=△AFG=90°，在Rt△ABG 和Rt△AFG 中，AG AG AB AF=⎧⎨=⎩， △Rt△ABG△Rt△AFG （HL ）；即△ABG△△AFG ；（2）△△ABG△△AFG ，△BG=FG ，设BG=FG=x ，则GC=6-x ，△E 为CD 的中点，△CE=EF=DE=3，△EG=3+x ，△在Rt△CEG 中，32+(6-x)2=(3+x)2，解得x=2，△BG=2．【点拨】本题主要考查了勾股定理的综合应用，全等三角形的判定和性质以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．类型四、正方形中的最值问题4.如图，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，Q 为BC 边的中点，P 为对角线AC 上的一个动点，连接PB ，PQ ，求△PBQ 周长的最小值．【答案】1【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DQ，交AC于点P，由最短路径问题模型知，此时△PBQ的周长最小，△PBQ的周长=BP+PQ+BQ=DQ+BQ．在Rt△CDQ中，由勾股定理先计算出DQ的长度，再得出结果．解：连接DQ，交AC于点P，连接PB、BD，BD交AC于O．△四边形ABCD是正方形，△AC△BD，BO=OD，CD=2cm，△点B与点D关于AC对称，△BP=DP，△BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，由勾股定理，得QD==△△PBQ的周长的最小值为：（cm）．【点拨】本图主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路径问题，同时也考查了勾股定理得应用.是常考的基本题.【变式】如图，正方形ABCD中，AB=O是BC边的中点，点E是正方形内一动OE=，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90︒得DF，连接AE，CF.点，2（1）若A、E、O三点共线，求CF的长；（2）求CDF 的面积的最小值.【答案】（1）3；（2）10-【分析】（1）利用勾股定理求出AO 长，易得AE 长，由正方形的性质利用SAS 可证ADE CDF ≌，根据全等三角形对应边相等可得结论；（2）过点E 作EH AD ⊥于点H ，当,,O E H 三点共线，EH 最小，求出EH 长，根据三角形面积公式求解即可.解：（1）由旋转得：90EDF ∠=︒，ED DF =，△O 是BC 边的中点，△12BO BC == 在Rt AOB中，5AO ===.△523AE AO EO =-=-=.△四边形ABCD 是正方形，△90ADC ∠=︒，AD CD =，△ADC EDF ∠=∠，即ADE EDC EDC CDF ∠+∠=∠+∠，△ADE CDF ∠=∠.在ADE 和CDF 中AD CD ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ADE CDF ≌.△3CF AE ==.（2）由于2OE =，所以E 点可以看作是以O 为圆心，2为半径的半圆上运动.过点E 作EH AD ⊥于点H .△ADE CDF ≌，△ADE CDF S S =△△当,,O E H 三点共线，EH 最小，2EH OH OE =-=.△1S 102CDF ADE S AD EH ==⨯⨯=-△△ 【总结升华】本题是正方形与三角形的综合题，涉及的知识点主要有正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练的利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键.。
2024八年级数学下册专项讲与练专题18.22 正方形(知识梳理与考点分类讲解)
专题18.22 正方形（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】正方形的定义有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形【知识点二】正方形的性质1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行.2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.【知识点三】正方形的判定定义法有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形矩形+一组邻边相等有一组邻边相等的矩形是正方形判定定理矩形+对角线互相垂直对角线互相垂直的矩形是正方形菱形+一个角为直角有一个角是直角的菱形是正方形菱形+对角线相等对角线相等的菱形是正方形特别提醒：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.【知识点四】正方形的对称性1.正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线.2.正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心.特别提醒：【知识点五】四边形之间的关系1.四边形之间的关系四边形四条边都相等是菱形四边形有三个角是直角是矩形四边形只有一组对边平行是矩形矩形两腰相等是等腰梯形矩形一个角是直角是直角梯形四边形两组对边分别平行（或两组对边分别相等或一组对边平行且相等）是平行四边形四边形两条对角线互相平分是平行四边形四边形两组对角分别相等是平行四边形平行四边形有一组邻边相等（或对角线互相垂直）是菱形平行四边形有一个角是直角，有一组邻边相等是正方形平行四边形有一个角是直角（或对角线相等）是矩形菱形有一个角是直角（或对角线相等）是正方形矩形有一组邻边相等（或对角线互相垂直）是正方形2.四种特殊四边形的性质边都相等【考点目录】【正方形性质与判定的理解】【考点1】正方形性质的理解；【考点2】正方形判定的理解；【正方形性质定理】【考点3】利用正方形性质证明与求值【正方形判定定理】【考点4】利用正方形判定定理证明与求值【正方形性质定理与判定定理】【考点5】利用正方形性质定理和判定定理证明与求值【正方形性质与判定的理解】【考点1】正方形性质的理解；△是等腰三角形，理由见分析；（2）67.5°【答案】（1）ACE【分析】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定及性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，掌握正方形的性质是解题的关键．（1）根据正方形的性质可得:AD CE =CA CE =，即可解决问题；（2）利用正方形的性质及三角形外角定义求出22.5E Ð=°，然后根据直角三角形两个锐角互余即可解决问题．（1）解：ACE △是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD AB BC ===，90B D Ð=Ð=°，则AC ==，∴:AD AC =，∵:AD CE =∴CA CE =，∴ACE △是等腰三角形；（2）∵AD CD AB BC ===，90B D BCD Ð=Ð=Ð=°，∴45ACB ACD Ð=Ð=°，∵CA CE =，∴CAE E Ð=Ð，∵CAE E ACB Ð+Ð=Ð，∴245E Ð=°，∴22.5E Ð=°，∵90FCE BCD Ð=Ð=°，∴9022.567.5AFD EFC Ð=Ð=°-°=°．【变式1】（2023下·辽宁大连·八年级统考期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线互相垂直D ．对角线平分对角【答案】B【分析】此题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，根据题目中给出的四个选项，对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案．理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角．解： A 、矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有，故不符合题意；B 、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分，故符合题意；C 、菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有，故不符合题意；D 、菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有，故不符合题意．故选B ．【变式2】（2024·全国·七年级竞赛）如图，点A 、B 、C 是正方体上的三个顶点，则ABC Ð的度数为．【答案】60°/60度【分析】本题主要考查正方体的性质，等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．如图所示，连接AC ，根据正方体的性质可得AB BC AC ，，是正方形的对角线，由此即可求解．解：如图所示，连接AC ，∵点A B C 、、是正方体上的三个顶点，∴线段AB BC AC ，，是正方形的对角线，∴AB BC AC ==，∴ABC V 是等边三角形，∴60ABC Ð=°，故答案为：60°．【考点2】正方形判定的理解；【例2】（2023下·北京海淀·八年级校考期中）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CD 到E ，使DE CD =，连接AE ，OE ．（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）若4AD DE ==，求OE 的长．【答案】（1）见分析；（2）OE =【分析】（1）根据平行四边形的判定即可求出答案．（2）先证明矩形ABCD 是正方形，然后根据正方形的性质和勾股定理，即可求出答案．（1）解：Q 四边形ABCD 是矩形，AB CD \∥，AB CD =，DE CD =Q ，DE AB \=，\四边形ABDE 是平行四边形．（2）解：4AD DE ==Q ，90ADE Ð=°，AE \=，BD AE \==在Rt BAD V 中，O 为BD 中点，12AO BD \==．AD DE CD ==Q ，\矩形ABCD 是正方形，454590EAO OAD DAE \Ð=Ð+Ð=°+°=°，\==OE【点拨】本题考查矩形的性质，正方形的判定和平行四边形的判定定理，勾股定理，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及平行四边形的判定，本题属于中等题型．【变式1】（2023下·云南楚雄·八年级统考期末）下列说法正确的是（）A．对角线相等的菱形是正方形B．有一组邻边相等的平行四边形是正方形C．有一个角是直角的平行四边形是正方形D．各边都相等的四边形是正方形【答案】A解：Q菱形是特殊的平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，\对角线相等的菱形同时也是矩形，\对角线相等的菱形是正方形，故A正确；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形，故C错误；根据菱形的判定定理，各边都相等的四边形是菱形，故D错误，故选：A．【变式2】（2020下·八年级课时练习）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC，BE=BC．当∠CBE：∠BCE=，求证：四边形ABCD是正方形．【答案】2：3，证明见分析．【分析】首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，可得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，可得AD=BC，利用平行四边形的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD 可得四边形ABCD 是菱形；由BE=BC 可得△BEC 为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC ，利用三角形的内角和定理可得∠CBE =45°，可得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD 是正方形．解：证明：当∠CBE ：∠BCE =2:3时，四边形ABCD 是正方形．理由如下：在△ADE 与△CDE 中，,AD CD DE DE EA EC ìïíïî＝＝＝∴∠ADE=∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE=∠CBD ，∴∠CDE=∠CBD ，∴BC=CD ，∵AD=CD ，∴BC=AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AD=CD ，∴四边形ABCD 是菱形；∵BE=BC ∴∠BCE=∠BEC ，∵∠CBE ：∠BCE=2：3，∴∠CBE=180×2233++=45°，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE=45°，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD 是正方形．【点拨】本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．【正方形性质定理】【考点3】利用正方形性质证明与求值【例3】（2023上·广东江门·九年级校考期中）如图，四边形ABCD 是正方形，E ，F 分别是边DC和CB 延长线上的一点，且DE BF =，连接AE AF EF ，，，（1）求证：ADE ABF V V ≌；（2）若4BC =，1CE =，求AEF △的面积．【答案】（1）见分析；（2）252【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）由题意知90ABF ADE Ð=°=Ð，证明()SAS ADE ABF ≌△△；（2）由题意得，43AD DE ==，，由勾股定理得，22225AE AD DE =+=，由()SAS ADE ABF ≌△△，可得，AE AF =，证明90EAF Ð=°，根据12AEF S AE AF =´V ，计算求解即可．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD BC CD ===，90BAD ABC ADE Ð=Ð=Ð=°，∴90ABF ADE Ð=°=Ð，∵AB AD =，ABF ADE =∠∠，BF DE =，∴()SAS ADE ABF ≌△△；（2）解：∵4BC =，1CE =，∴43AD DE ==，，由勾股定理得，22225AE AD DE =+=，∵()SAS ADE ABF ≌△△，∴AF AE BAF DAE =Ð=Ð，，∴90BAF BAE DAE BAE Ð+Ð=Ð+Ð=°，即90EAF Ð=°，∴21125222AEF S AE AF AE =´==V ，∴AEF △的面积为252．【变式1】（2024下·全国·八年级专题练习）在正方形ABCD 中，等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在边BC 和CD 上，则CEF Ð=（ ）A ．75°B ．60°C ．50°D ．45°【答案】D【分析】根据题意直接证明()Rt Rt HL ABE ADF △△≌，进而得CE CF =，根据等腰直角三角形的性质即可求解．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD BC CD ===，90B D C Ð=Ð=Ð=°，∵AEF △是等边三角形，∴AE AF =，∴()Rt Rt HL ABE ADF △△≌，∴BE DF =，∴CE CF =，∴CEF △是等腰直角三角形，∴45CEF Ð=°，故选：D ．【点拨】本题考查了HL 证明直角三角形全等，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练以上性质是解题的关键．【变式2】（2024上·山东青岛·九年级统考期末）如图，已知四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，且G 是AB 的中点，连接AE ，若4AB =，则AE 的长为 ．【答案】【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．过点E 作EM AD ^交BC 于点N ，交AD 于点M ，则4MN =，再证明BCG NEC ≌△△，得出4NE BC ==，再利用勾股定理即可解答．解：过点E 作EM AD ^交BC 于点N ，交AD 于点M ，则4MN =，Q 四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，CG CE \=，90B CNE Ð=°=Ð，90GCE Ð=°，GCB CEN \Ð=Ð，()ASA BCG NEC \V V ≌，4NE BC \==，122CN BC AB ===，8ME \=，2AM BN ==，AE \=故答案为：．【正方形判定定理】【考点4】利用正方形判定定理证明与求值【例4】（2023上·四川达州·九年级校考期末）如图，已知E 是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F ．（1）求证：ABE FCE ≌△△；（2）连接AC BF 、，若12AE BC =，求证：四边形ABFC 为矩形；（3）在（2）条件下，直接写出当ABC V 再满足______时，四边形ABFC 为正方形．【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）AB AC=【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定：（1）根据平行四边形的性质得出AB DC ∥，进而得出ABE FCE Ð=Ð，再根据ASA 即可证明ABE FCE ≌△△；（2）根据对角线互相平分证明四边形ABFC 为平行四边形，由12AE BC =可得AF BC =，可证四边形ABFC 为矩形；（3）AB AC =时，由等腰三角形的三线合一性质得出AE BC ^，得出四边形ABFC 是菱形，即可得出结论四边形ABFC 为正方形．解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB DC ∥，∴ABE FCE Ð=Ð，又∵E 为BC 的中点，∴BE CE =，在ABE V 和FCE △中，ABE FCEBE CEAEB FEC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA ABE FCE ≌V V ；（2）证明：∵ABE FCE ≌△△，∴BE CE =，AE FE =，∴四边形ABFC 为平行四边形，又∵12AE BC =，∴AF BC =，∴四边形ABFC 为矩形；（3）解：当ABC V 为等腰三角形时，即AB AC =时，四边形ABFC 为正方形；理由如下：∵AB AC =，E 为BC 的中点，∴AE BC ^，∵四边形ABFC 为平行四边形，∴四边形ABFC 是菱形，又∵四边形ABFC 是矩形，∴四边形ABFC 为正方形，故答案为：AB AC =．【变式1】（2024下·全国·八年级专题练习）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形ABCD 是正方形的是（）A ．AB AD =且AC BD ^B ．AC BD ^且AC 和BD 互相平分C ．BAD ABC Ð=Ð且AC BD =D ．AC BD =且AB AD=【答案】D【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可．解：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ^，不能证明四边形ABCD 是正方形，不符合题意；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 和BD 互相平分，∵AC BD ^，∴四边形ABCD 是菱形，不能证明四边形ABCD 是正方形，不符合题意；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =∴四边形ABCD 是矩形，∴90BAD ABC Ð=Ð=°，不能证明四边形ABCD 是正方形，不符合题意；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =∴四边形ABCD 是矩形，又AB AD =，∴四边形ABCD 是正方形，符合题意；故选D ．【点拨】本题考查正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法：对角线相等的菱形是正方形，邻边相等的矩形是正方形，是解题的关键．【变式2】（2024上·陕西榆林·九年级统考期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E ，F 同时从O 点出发在线段AC 上以1cm/s 的速度反向运动（点E ，F 分别到达A ，C 两点时停止运动），设运动时间为s t ．连接DE DF BE BF ，，，，已知ABD △是边长为6cm 的等边三角形，当t = s 时，四边形DEBF 为正方形．【答案】3【分析】由题意可知cm OE OF t ==,即2cm EF t =,由菱形的性质得OB OD AC BD =^，，所以当EF BD =时，四边形DEBF 是正方形，而ABD △是边长为6cm 的等边三角形，则6cm BD =,所以26t =据此求解即可．掌握菱形的性质以及正方形的判定是解题的关键．解：由题意得cm OE OF t ==，∴2cm EF t =，∵菱形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，∴OB OD AC BD =^，，∴四边形DEBF 是菱形，∴当EF BD =时，四边形DEBF 是正方形，∵ABD △是边长为6cm 的等边三角形，∴6cm BD =，∴由EF BD =得26t =，解得3t =，∴当3t s =时，四边形DEBF 是正方形，故答案为：3．【正方形性质定理与判定定理】【考点5】利用正方形性质定理和判定定理求值【例5】（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，四边形AECF 是菱形，对角线AC 、EF 交于点O ，点D 、B 是对角线EF 所在直线上两点，且DE BF =，连接AD 、AB 、CD 、CB ，45ADO Ð=°．（1）求证：四边形ABCD 是正方形：（2）若正方形ABCD 的面积为72，4BF =，求点F 到线段AE 的距离．【答案】（1）见分析；（2）点F 到线段AE 【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形ABCD 是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形即可解决问题；（2）由正方形的面积公式求得6BO DO CO AO ====，进而得到2OF =，由四边形ABCD 是菱形得到4EF =，AC EF ^，菱形AFCE 的面积24=，由勾股定理求得AE =得答案．解：（1）∵菱形AECF 的对角线AC 和EF 交于点O ，∴AC EF OA OC OE OF ^==,,，∵BE DF =，∴BO DO =，又∵AC BD ^，∴四边形ABCD 是菱形，∵45ADO Ð=°，∴45DAO ADO Ð=Ð=°，∴AO DO =，∴AC BD =，∴四边形ABCD 是正方形；（2）∵正方形ABCD 的面积为72，∴1722AC BD ×=，∴214722BO ´=，∴6BO =，∴6BO DO CO AO ====，∴12AC =，∵4BF =，∴2OF =，∵四边形ABCD 是菱形，∴224EF EO OF ===，AC EF ^，∴菱形AFCE 的面积1242AC EF =×=，∴12AC =，∴6AO =，在Rt AOE △中，AE ==，设点F 到线段AE 的距离为h ，∴24AE h ×=，即24=，∴h =．即点F 到线段AE 【点拨】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质定理是解题的关键．【变式1】（2024·全国·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且AE 平分BAC Ð，BE CF =，P 为线段AC 上的动点，记PD PF +的最小值为m 则2m 的值为（）A ．6-B ．8-C ．8+D ．6+【答案】B【分析】连接EG ，BP ，由题意得当点P 与点G 重合时，PD PF +的值最小=BF ，再证明ABE BCF △△≌，BAM GAM V V ≌，BAE GAE V V ≌，从而得CEG V 是等腰直角三角形，设CF =BE =GE =x ，则EC ，列方程求出x 的值，进而即可求解．解：连接EG ，BP ，∵点B 与点D 关于AC 对称，∴PD PF +=PB PF +，∴当点P 与点G 重合时，PD PF +的值最小=BF ，∵在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABE =∠BCF =90°，又∵BE CF =，∴ABE BCF △△≌，∴∠BAE =∠CBF ，∴∠BAE +∠ABM =∠CBF +∠ABM =90°，即：∠AMB =∠AMG =90°，∵AE 平分BAC Ð，∴∠BAM =∠GAM ，又∵AM =AM ，∴BAM GAM V V ≌，∴AB =AG ，又∵AE =AE ，∴BAE GAE V V ≌，∴∠AGE =∠ABE =90°，∴CEG V 是等腰直角三角形，∴设CF =BE =GE =x ，则EC ，∴x ，∴，即：m =∴2m =8-．故选：B ．【点拨】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形来求解．【变式2】（2024下·全国·八年级随堂练习）如图，点E在正方形ABCD的边BA的延长线上，连接AC，AC＝AE，CE交AD于点F，则∠ACE的度数等于．【答案】22．5°【分析】根据等边对等角的性质可得∠E＝∠ACE，由正方形的性质得出∠BAC＝45°，再由三角形的外角性质即可得出结果．解：∵AC＝AE，∴∠E＝∠ACE，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAD＝90°，∠BAC＝45°，∴∠E+∠ACE＝45°，×45°＝22．5°，∴∠ACE＝12故答案为：22．5°．【点拨】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质；熟练掌握三角形的外角性质和正方形的性质是解题的关键．【考点6】利用正方形性质定理和判定定理证明【例6】（2023上·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图，在ABCV中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A 作BC 的平行线交CE 的延长线F ，且AF BD =，连接BF ．（1）求证：BD CD =；（2）如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论；（3）当ABC V 满足______时，四边形AFBD 为正方形（直接写出）．【答案】（1）见分析；（2）四边形AFBD 为矩形，证明见分析；（3）AB AC =，且90BAC Ð=°．【分析】（1）证明AEF DEC △≌△可得AF DC =，再根据条件AF BD =可利用等量代换可得BD CD =；（2）首先判定四边形AFBD 为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD BC ^，进而可得四边形AFBD 为矩形；（3）当AB AC =，且90BAC Ð=°时，四边形AFBD 为正方形，首先证明=45ABC а，45BAD Ð=°，可得AD BD =，进而可得四边形AFBD 为正方形．解：（1）证明：AF BC Q ∥，AFE ECD \Ð=Ð．E Q 是AD 的中点，DE AE \=，在AEF △与DEC V 中，AFE ECDAEF DEC AE ED Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AAS AEF DEC \V V ≌，AF DC \=，AF BD =Q ，BD CD \=；（2）解：四边形AFBD 为矩形，证明如下：AF BD =Q ，AF BD ∥，\四边形AFBD 为平行四边形，AB AC =Q ，BD DC =，AD BC \^，90BDA \Ð=°，\四边形AFBD 为矩形；（3）解：AB AC =，且90BAC Ð=°；理由如下：AB AC =Q ，且90BAC Ð=°，45ABC \Ð=°，AD BC ^Q ，45BAD \Ð=°，AD DB \=，\四边形AFBD 为正方形．故答案为：AB AC =，且90BAC Ð=°．【点拨】此题主要考查了四边形综合题，正方形的判定，矩形的判定，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握邻边相等的矩形是正方形．【变式1】（2024下·全国·八年级专题练习）如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD ，AD 上的点，且CE DF =，AE ，BF 相交于点O ，下列结论：①AE BF =；②AE BF ^；③AO OE =；④AED FBC Ð=Ð中，正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，根据四边形ABCD 是正方形及CE DF =，可证出ADE BAF △≌△，则得到：①AE BF =；可以证出90ABO BAO Ð+Ð=°，则②AE BF^一定成立,可以证出AED AFB Ð=Ð即可判断④．用反证法可证明AO OE ¹，即可判断③．解：Q 四边形ABCD 是正方形，CD AD AB \==，90BAF ADE Ð=Ð=°，CE DF =Q ，DE AF \=，在ADE V 和BAF △中，AD AB D BAF DE AF =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE BAF SAS \V V ≌，AE BF \=（故①正确）；∴AED AFBÐ=Ð∵AD BC∥∴AFB FBCÐ=ÐAED FBC Ð=Ð（故④正确）；90DAE AFB DAE DEA Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，90AFB EAF \Ð+Ð=°，AE BF \^一定成立（故②正确）；假设AO OE =，AE BF ^Q ，AB BE \=（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），在Rt BCE V 中，BE BC >，AB BC \>，这与正方形的边长AB BC =相矛盾，\假设不成立，AO OE ¹（故③错误）；故选：C ．【变式2】（2024下·全国·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，过点O 作射线OM 、ON 分别交BC 、CD 于点E 、F ，且90EOF Ð=°，OC 、EF 交于点G ．给出下列结论：①COE DOF ≌V V ；②OBE OCF △≌△；③四边形CEOF 的面积为正方形ABCD 面积的14；④222DF CE EF +=．其中正确的为 ．（将正确的序号都填入）【答案】①②③【分析】利用正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理计算判断即可．解：∵正方形ABCD ，90EOF Ð=°，∴,90OA OB OC OD BOC COD ===Ð=Ð=°，45ODF OCD OBC OCB Ð=Ð=Ð=Ð=°，∴90DOF COF COE Ð=°-Ð=Ð，90COF COE BOE Ð=°-Ð=Ð，∴,DOF COE COF BOE OD OC OC OB ODF OCE OBE OCF Ð=ÐÐ=Ðììïï==ííïïÐ=ÐÐ=Ðîî，∴COE DOF ≌V V ，OBE OCF △≌△，故①②正确；∵COE DOF ≌V V ，∴COE DOF S S =V V ，∴COE COF DOF COF S S S S +=+V V V V ，∴COD CEOF S S 四边形=V ，∵正方形ABCD ，∴14COD ABCD S S 四边形=V ，∴14CEOF ABCD S S 四边形四边形=，故③正确；∵正方形ABCD ，∴90BCD Ð=°，∴222+=CF CE EF ，无法判定=CF DF ，故④错误．故答案为：①②③．【点拨】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．。
中考数学专题讲练 线段最值问题二
线段最值问题（二）一．利用轴对称求最值轴对称主要用来解决几条线段的和差的最值问题，相关模型比较多，主要包含以下几种类型： 1．如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB +最小．2．如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB +最小．3．如图，直线l 和l 同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB -最大．4．如图，直线l 和l 异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB -最大．lll5．如图，点P 是MON ∠内的一点，分别在OM ，ON 上作点A 、B ，使PAB ∆的周长最小．6．如图，点P ，Q 为MON ∠内的两点，分别在OM ，ON 上作点A 、B ，使四边形PAQB 的周长最小．7．如图，点A 是MON ∠外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小．l8．如图，点A 是MON 内的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小．9．造桥选址问题二．利用二次函数求最值利用二次函数求解最值首先需要引入一个未知数作为自变量，然后根据题目中的等量关系用未知数表示出所求解的线段长度、图形面积等，最后根据函数的增减性，并结合自变量的取值范围，求出最值．l 2l 1一．考点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值二．重难点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值三．易错点：1．利用轴对称求解最值时一般情况下都是定点与最值问题，此时直接按照相应模型来求解即可，如果出现有定点也有动点的情况，可以先把动点固定下来，然后利用模型找到最值时的位置，最后再去确定动点的位置；2．利用二次函数求解最值问题时除了明确二次函数的对称轴和开口方向，一定要注意自变量的取值范围，并不是所有的最值都是在顶点取到．题模一：利用轴对称求最值例1.1.1在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（2，0），（31点D、E的坐标分别为（m），（n）（m、n为非负数），则CE+DE+DB的最小值是__．【答案】 4【解析】如图所示：∵点D、E的坐标分别为（m），（n）（m、n为非负数），∴直线OD的解析式为，直线OE的解析式x，设点C关于直线OE的对称点C′所在直线CC′的解析式为y=﹣+b，把C 的坐标（1故直线CC ′的解析式为y=+联立直线OE 的解析式和直线CC ′的解析式可得x y=⎧⎪⎨⎪-+⎩，解得x=1.5y=2⎧⎪⎨⎪⎩．故交点坐标为（1.5，2）， ∴点C ′坐标为（2，0），设点B 关于直线OD 的对称点B ′所在直线BB ′的解析式为y=x +b ′， 把B 的坐标（3，b ′b ′故直线BB ′的解析式为y=x +联立直线OD 的解析式和直线BB ′的解析式可得y=x 3⎧⎪⎨-+⎪⎩解得x=1.5⎧⎪⎨⎪⎩故交点坐标为（1.5∴点B ′坐标为（0，则B ′C ′，即CE +DE +DB 的最小值是4．例1.1.2 已知抛物线21y=x bx 2+经过点A （4，0）．设点C （1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得|AD ﹣CD|的值最大，则D 点的坐标为__． 【答案】 （2，﹣6） 【解析】 ∵抛物线21y=x bx 2+经过点A （4，0）， ∴12×42+4b=0， ∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=12x 2﹣2x=12（x ﹣2）2﹣2， ∴抛物线的对称轴为：直线x=2， ∵点C （1，﹣3），∴作点C 关于x=2的对称点C ′（3，﹣3）， 直线AC ′与x=2的交点即为D ，因为任意取一点D （AC 与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC ．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD ﹣CD |＜AC ′．所以最大值就是在D 是AC ′延长线上的点的时候取到|AD ﹣C ′D |=AC ′．把A ，C ′两点坐标代入，得到过AC ′的直线的解析式即可； 设直线AC ′的解析式为y=kx +b ，∴4k b=03k b=3+⎧⎨+⎩﹣ ，解得：k=3b=12⎧⎨-⎩，∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．例1.1.3如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10B．C．20D．【答案】B【解析】如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，所以，PQ=P1Q，PR=P2R，所以，△PQR的周长=PQ+QR+PR=P1Q+QR+P2R=P1P2，由两点之间线段最短得，此时△PQR周长最小，连接P1O、P2O，则∠AOP=∠AOP1，OP1=OP，∠BOP=∠BOP2，OP2=OP，所以，OP1=OP2=OP=10，∠P1OP2=2∠AOB=2×45°=90°，所以，△P1OP2为等腰直角三角，所以，P1P21即△PQR最小周长是故选B．例1.1.4如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A．B．6C．D．3【答案】C【解析】如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=6，∠BAC=45°，∴BH=AB•sin45°=6∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+例1.1.5如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=____A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】作点A关于直线a的对称点A′，并延长AA′，过点B作BE⊥AA′于点E，连接A′B交直线b于点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4，∴AA′=MN=4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM+NB=A′N+NB=A′B ，过点B 作BE ⊥AA′，交AA′于点E ，易得AE=2+4+3=9，，A′E=2+3=5，在Rt △AEB 中，，在Rt △A′EB 中，． 故选：B ．题模二：利用二次函数求最值例1.2.1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （﹣1，0）和点B （4，0），且与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点，连接CA ，CD ，PD ，PB ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDB 的面积等于△CAD 的面积时，求点P 的坐标；（3）当m ＞0，n ＞0时，过点P 作直线PE ⊥y 轴于点E 交直线BC 于点F ，过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，连接EG ，请直接写出随着点P 的运动，线段EG 的最小值． 【答案】 （1）y=﹣12x 2+32x+2 （2）（1，3）、（2，3）、（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）（3【解析】 （1）把A （﹣1，0），B （4，0）两点的坐标代入y=ax 2+bx+2中，可得 a-b+2=016a+4b+2=0⎧⎨⎩解得1 a=23 b=2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩﹣∴抛物线的解析式为：y=﹣12x2+32x+2．（2）∵抛物线的解析式为y=﹣12x2+32x+2，∴点C的坐标是（0，2），∵点A（﹣1，0）、点D（2，0），∴AD=2﹣（﹣1）=3，∴△CAD的面积=132=32⨯⨯，∴△PDB的面积=3，∵点B（4，0）、点D（2，0），∴BD=2，∴|n|=3×2÷2=3，∴n=3或﹣3，①当n=3时，﹣12m2+32m+2=3，解得m=1或m=2，∴点P的坐标是（1，3）或（2，3）．②当n=﹣3时，﹣12m2+32m+2=﹣3，解得m=5或m=﹣2，∴点P的坐标是（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．综上，可得点P的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．（3）如图1，设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，∵点C的坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），∴n=24m+n=0⎧⎨⎩解得1 m=2 n=2⎧⎪⎨⎪⎩﹣∴BC所在的直线的解析式是：y=﹣12x+2，∵点P的坐标是（m，n），∴点F的坐标是（4﹣2n，n），∴EG2=（4﹣2n）2+n2=5n2﹣16n+16=5（n﹣85）2+165，∵n＞0，∴当n=85时，线段EG即线段EG例1.2.2如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM 周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣2x2+6x；（2）D（0，1）；（3）M（，）；（4）（，）．【解析】（1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：，抛物线的解析式为y=﹣2x2+6x．（2）如图1所示；∵BD⊥DE，∴∠BDE=90°．∴∠BDC+∠EDO=90°．又∵∠ODE+∠DEO=90°，∴∠BDC=∠DE0．在△BDC和△DOE中，，∴△BDC≌△DEO．∴OD=AO=1．∴D（0，1）．（3）如图2所示：作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M．∵x=﹣=，∴点B′的坐标为（2，4）．∵点B与点B′关于x=对称，∴MB=B′M．∴DM+MB=DM+MB′．∴当点D、M、B′在一条直线上时，MD+MB有最小值（即△BMD的周长有最小值）．∵由两点间的距离公式可知：BD==，DB′==，∴△BDM的最小值=+．设直线B′D的解析式为y=kx+b．将点D、B′的坐标代入得：，解得：k=，b=1．∴直线DB′的解析式为y=x+1．将x=代入得：y=．∴M（，）．（4）如图3所示：过点F作FG⊥x轴，垂足为G．设点F（a，﹣2a2+6a），则OG=a，FG=﹣2a2+6a．∵S梯形D O GF=（OD+FG）•OG=（﹣2a2+6a+1）×a=﹣a3+3a2+a，S△ODA= OD•OA=×1×1=，S△AG F=AG•FG=﹣a3+4a2﹣3a，∴S△FD A=S梯形D O GF﹣S△ODA﹣S△AGF=﹣a2+a﹣．∴当a=时，S△FD A的最大值为．∴点P的坐标为（，）．例1.2.3如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣12x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣29．∴抛物线的解析式为y=﹣29x2﹣49x+169．（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．把x =0代入y =﹣12x +4得：y =4，∴A （0，4）． 将y =0代入得：0=﹣12x +4，解得x =8，∴B （8，0）．∴OA =4，OB =8． ∵M （﹣1，2），A （0，4），∴MG =1，AG =2．∴tan ∠MAG =tan ∠ABO =12． ∴∠MAG =∠ABO ．∵∠OAB +∠ABO =90°，∴∠MAG +∠OAB =90°，即∠MAB =90°．∴l 是⊙M 的切线．（3）∵∠PFE +∠FPE =90°，∠FBD +∠PFE =90°，∴∠FPE =∠FBD ．∴tan ∠FPE =12．∴PF ：PE ：EF 2：1．∴△PEF 的面积=12PE •EF =12PF PF =15PF 2． ∴当PF 最小时，△PEF 的面积最小．设点P 的坐标为（x ，﹣29x 2﹣49x +169），则F （x ，﹣12x +4）． ∴PF =（﹣12x +4）﹣（﹣29x 2﹣49x +169）=﹣12x +4+29x 2+49x ﹣169=29x 2﹣118x +209=29（x ﹣18）2+7132．∴当x =18时，PF 有最小值，PF 的最小值为7132．∴P （18，5532）． ∴△PEF 的面积的最小值为=15×（7132）2=50415120．随练1.1 四边形ABCD 中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使三角形AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）A ． 80°B ． 90°C ． 100°D ． 130°【答案】C【解析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠NM=2（∠A′+∠A″）即可解决．延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC=∠ADC=90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA=BA′，MB⊥AB，∴MA=MA′，同理：NA=NA″，∴∠A′=′MAB，∠A″=∠NAD，∵∠AMN=∠A′+′MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），∵∠BAD=130°，∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=50°M∴∠AMN+∠NM=2×50°=100°．故选C．随练1.2如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标是123（，），在x，y轴上分（，），B点的坐标是27别有一点P和Q，若有四边形PABQ的周长最短，求周长最短的值．【答案】如图所示：四边形PABQ的周长最短，∵A点的坐标是123（，），（，），B点的坐标是27∴AB123（，），B'-（，），27A'-A B=，故''则四边形PABQ的周长最短的值为：【解析】利用作B点关于y轴对称点B'，作A点关于x轴对称点A'，进而连接AB''，交y轴于点Q，交x轴于点P，进而利用勾股定理得出答案．随练1.3如图，已知30∠=︒，在OM上有两点A、B分别到ON的距离为2cm和1cm，若在ONMON-的值最大，求P点到O点的距离．上找一点P使PA PB-的值最大，P应在OM上，【答案】因为A、B在OM上，要使PA PB-＜，如果P不在OM上，则P、A、B构成三角形，根据三角形的三边关系，PA PB AB所以，P是OM和ON的交点，即O点，所以P到O的距离为0．【解析】根据三角形的三边关系，两边的差小于第三边，可以判定当P点在OM和ON的交点处PA PB-的值最大，从而求得P点到O点的距离．随练1.4小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得PA PB+的值最小．小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：①作点A关于直线l的对称点A''．②连结A B'，交直线l于点P．则点P为所求．请你参考小明的作法解决下列问题：（1）如图1，在ABC△中，点D、E分别是AB、AC边的中点，6BC=，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得PDE△的周长最小．①在图1中作出点P ．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）②请直接写出PDE △周长的最小值__________．（2）如图2在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，G 为边AD 的中点，若E 、F 为边AB 上的两个动点，点E 在点F 左侧，且1EF =，当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图2中确定点E 、F 的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF 周长的最小值_____．【答案】 （1）①见解析②8（2）6+【解析】 该题考查的是将军饮马问题．（1）如图1，作D 关于BC 的对称点'D ，由轴对称的性质可知'D P D P =，DPE C DE DP PE ∆=++'DE D P PE =++ 'D E D E ≥+∴当'D 、P 、E 共线时DPE C ∆最小，即P 为'D E 与BC 的交点， …………………………………………………1分此时，由D 、E 分别为AB 、AC 中点，∴DE //BC 且132DE BC ==， 且D 到BC 距离为A 到BC 距离一半，即为2，由轴对称的性质可知'D P D P =，'DD BC ⊥，∴'DD 即为D 到BC 距离两倍，所以'4D D =，∵DE //BC ，'DD BC ⊥∴'DD DE ⊥，在Rt △'DD E 中，'90D DE ∠=︒，由勾股定理'5D E =，∴358DPE C ∆=+=； ……………………………………………………………2分（2）如图2，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取1CH =，则CH 和EF 平行且相等，∴四边形CHEF 为平行四边形，∴CF HE =，由轴对称的性质可知GE ME =，CGEF C CG GE EF CF =+++1CG ME EH =+++ 1CG MH ≥++∴当M 、E 、H 共线时CGEF C 最小，连接HM 与AB 的交点即为E ，在EB 上截取1EF =即得F ，……………4分此时3DH =，3DG AG AM ===，∴9DM =，在Rt △DHM 和Rt △DGC 中由勾股定理：MH =5DG = ∴516CGEF C =+++……………………………………………5分随练1.5 在平面直角坐标系中，已知y=﹣12x 2+bx+c （b 、c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限．（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣12x2+2x﹣1；（2）见解析；（3）当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为【解析】（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）∴点B的坐标为（4，﹣1）．∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，∴111641 2cb c=-⎧⎪⎨-⨯++=-⎪⎩，解得：b=2，c=﹣1，∴抛物线的函数表达式为：y=﹣12x2+2x﹣1．（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，∵点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），∴直线AC的解析式为y=x﹣1，∵直线的斜率为1，∴△P′PM是等腰直角三角形，∵∴P′M=PM=1，∴抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，∵y=﹣12x2+2x﹣1=﹣12（x﹣2）2+1，∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣12（x﹣3）2+2，令y=0，则0=﹣12（x﹣3）2+2，解得x1=1，x=52，∴平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），解()213221y xy x⎧=--+⎪⎨⎪=-⎩，得1xy=⎧⎨=⎩或32xy=⎧⎨=⎩∴平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1，0）．（3）如答图3，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q，取AB中点F，连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，∴四边形PQFN为平行四边形．∴NP=FQ．∴．∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为随练1.6如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．【答案】（1）y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3；（2）S=m﹣3．（2≤m≤6）；（3）m=时，MN最小==【解析】（1）∵过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），∴点C的横坐标为4，BC=4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC=4，∵A（2，6），∴D（6，6），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+2，∵点D在此抛物线上，∴6=a（6﹣2）2+2，∴a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3，（2）∵AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6）∴E（，3），∴BE=，∴S=（AF+BE）×3=（m﹣2+）×3=m﹣3∵点F（m，6）是线段AD上，∴2≤m≤6，即：S=m﹣3．（2≤m≤6）（3）∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3，∴B（0，3），C（4，3），∵A（2，6），∴直线AC解析式为y=﹣x+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P∴P（m，﹣m+9），（2≤m≤6）∴PN=m，PM=﹣m+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，∴∠MPN=90°，∴MN===∵2≤m≤6，∴当m=时，MN最小==作业1如图，∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是（）A．3B．C．2D．【答案】D【解析】作A关于ON的对称点A′，点B关于OM的对称点B′，连接A′B′，交于OM，ON分别为P，Q，连接OA′，OB′，则PB′=PB，AQ=A′Q，OA′=OA=2，OB′=OB=4，∠MOB′=∠NOA′=∠MON=20°，∴AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′，∠A′OB′=60°，∵cos60°=12，OAOB''=12，∴∠OA′B′=90°，∴∴线段AQ+PQ+PB的最小值是：作业2阅读材料：，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x P与点A（0，1点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′，即原式的最小值为根据以上阅读材料，解答下列问题：（1P（x，0）与点A（1，1）、点B____的距离之和．（填写点B的坐标）（2____．【答案】（1）（2，3）（2）10【解析】（1∴代数式P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）的距离之和，故答案为（2，3）；（2的形式，∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，∵A（0，7），B（6，1）∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，∴，故答案为：10．作业3定义:对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．（1）若P(1，2)，Q(4，2)．①在点A(1，0)，B(52，4)，C（0，3）中，PQ的“等高点”是；②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值.（2）若P(0，0)，PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．【答案】（1）A、B（2）见解析（3）Q）或Q（）【解析】解:（1）A 、B……………………………………………………………………………2分（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P′，连接P′Q ，P′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P′Q 的长. ………………………3分∵P (1，2)，∴ P′ (1，－2).设直线P′Q 的表达式为y kx b =+，根据题意，有242k b k b +=-⎧⎨+=⎩，解得43103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴直线P′Q 的表达式为41033y x =-.……………4分 当0y =时，解得52x =. 即52t =.………………………………………………………………………5分 根据题意，可知PP′＝4，PQ ＝3， PQ ⊥PP′，∴'5P Q .∴“等高距离”最小值为5.…………………………………………………6分（3）Q）或Q（）.………………………………8分作业4 如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点在x 轴上，线段OA ，OB 的长分别为方程x 2﹣8x+12=0的两个根（OB ＞OA ），点C 是y 轴上一点，其坐标为（0，﹣3）．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的关系式；（3）D是点C关于该抛物线对称轴的对称点，E是该抛物线的顶点，M，N分别是y轴、x轴上的两个动点．①当△CEM是等腰三角形时，请直接写出此时点M的坐标；②以D、E、M、N位顶点的四边形的周长是否有最小值？若有，请求出最小值，并直接写出此时点M，N的坐标；若没有，请说明理由．【答案】（1）A（﹣2，0），B（6，0）．（2）y=14（x+2）（x﹣6）=14x2﹣x﹣3．（3）有；①M（03）、（03）、（0，﹣5）或（0，﹣112）．②M（0，﹣53）N（107，0）【解析】（1）∵x2﹣8x+12=0，∴（x﹣2）（x﹣6）=0，解得：x1=2，x2=6，∵OB＞OA，∴OA=2，OB=6，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0）．（2）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣6）（a≠0），将C（0，﹣3）代入得：﹣3=﹣12a，解得：a=14，∴经过A，B，C三点的抛物线的关系式为：y=14（x+2）（x﹣6）=14x2﹣x﹣3．（3）①依据题意画出图形，如图1所示．设点M的坐标为（0，m），∵抛物线的关系式为y=14x2﹣x﹣3=14（x﹣2）2﹣4，∴点E（2，﹣4），∴CM=|m+3|，．△CEM是等腰三角形分三种情况：当CE=CM，解得：3或m=3，此时点M的坐标为（03）或（03）；当CE=ME，解得：m=﹣3（舍去）或m=﹣5，此时点M的坐标为（0，﹣5）；当CM=ME时，有，解得：m=﹣112，此时点M的坐标为（0，﹣112）．综上可知：当△CEM是等腰三角形时，点M的坐标为（03）、（03）、（0，﹣5）或（0，﹣112）．②四边形DEMN有最小值．作点E关于y轴对称的点E′，作点D关于x轴对称的点D′，连接D′E′交x轴于点N，交y 轴于点M，此时以D、E、M、N位顶点的四边形的周长最小，如图2所示．∵点C（0，﹣3），点E（2，﹣4），∴点D（4，﹣3），=∵E、E′关于y轴对称，D、D′关于x轴对称，∴EM=E′M，DN=D′N，点E′（﹣2，﹣4），点D′（4，3），∴EM+MN+DN=D′E′=∴C四边形DEMN．设直线D′E′的解析式为y=kx+b，则有3442k bk b⎧-+⎨-=-+⎩，解得：7653kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线D′E′的解析式为y=76x﹣53．令y=76x﹣53中x=0，则y=﹣53，∴点M（0，﹣53）；令y=76x﹣53中y=0，则76x﹣53=0，解得：x=107，∴点N（107，0）．故以D、E、M、N，此时点M的坐标为（0，﹣53），点N的坐标为（107，0）．作业5已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+1有两个交点A、B．（1）当AB的中点落在y轴时，求c的取值范围；（2）当，求c的最小值，并写出c取最小值时抛物线的解析式；（3）设点P（t，T）在AB之间的一段抛物线上运动，S（t）表示△PAB的面积．①当y 轴时，求S （t ）的最大值，以及此时点P 的坐标； ②当AB=m （正常数）时，S （t ）是否仍有最大值，若存在，求出S （t ）的最大值以及此时点P 的坐标（t ，T ）满足的关系，若不存在说明理由．【答案】 见解析【解析】 此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，根的判别式，函数图象交点及图形面积的求法等知识，综合性强，难度较大．（1）若AB 的中点落在y 轴上，那么A 、B 的横坐标互为相反数，即两个横坐标的和为0；可联立两个函数的解析式，那么A 、B 的横坐标即为所得方程的两根，根据方程有两个不等的实数根及两根的和为0即可求出c 的取值范围；（2）由于直线AB 的斜率为1，当A 、B 两点横坐标差的绝对值为2；联立两个函数的解析式，可得到关于x 的方程，那么A 、B 的横坐标就是方程的两个根，可用韦达定理表示出两根差的绝对值，进而求出b 、c 的关系式，即可得到c 的最小值以及对应的b 的值，由此可确定抛物线的解析式；（3）①在（2）中已经求得了b 、c 的关系式，若抛物线与直线的一个交点在y 轴，那么c=1，可据此求出b 的值；进而可确定抛物线的解析式，过P 作PQ ∥y 轴，交AB 于Q ，可根据抛物线和直线AB 的解析式表示出P 、Q 的纵坐标，进而可求出PQ 的表达式，以PQ 为底，A 、B 横坐标的差的绝对值为高即可求出△PAB 的面积，进而可得出关于S （t ）和t 的函数关系式，根据函数的性质即可求出△PAB 的最大面积及对应的P 点坐标；②结合（2）以及（3）①的方法求解即可．（1）由x 2+bx+c=x+1，得x 2+（b-1）x+c-1=0①．设交点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） （x 1＜x 2）．∵AB 的中点落在y 轴，∴A ，B 两点到y 轴的距离相等，即A ，B 两点的横坐标互为相反数，∴x 1+x 2=0，故210(1)4(1)0b b c ⎧-=⎪⎨⎪=--->⎩V∴c＜1；（3分）（2）∵，如图，过A作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，它们交于G点，∵直线y=x+1与x轴的夹角为45°，∴△ABG为等腰直角三角形，而，=2，即|x1-x2|=2，∴（x1+x2）2-4x1x2=4，由（1）可知x1+x2=-（b-1），x1x2=c-1．代入上式得：（b-1）2-4（c-1）=4，∴c=14(b-1)2≥0∴c的最小值为0；此时，b=1，c=0，抛物线为y=x2+x；（3）①∵由(2)知c=14(b-1)2成立．又∵抛物线与直线的交点在y轴时，交点的横坐标为0，把x=0代入①，得c-1=0，∴c=1．∴这一交点为（0，1）；∴14(b-1)2=1∴b=-1或3；当b=-1时，y=x2-x+1，过P作PQ∥y轴交直线AB于Q，则有：P（t，t2-t+1），Q（t，t+1）；∴PQ=t+1-（t2-t+1）=-t2+2t；∴S （t ）=122+2t=-（t-1）2+1； 当t=1时，S （t ）有最大值，且S （t ）最大=1，此时P （1，1）；当b=3时，y=x 2+3x+1，同上可求得：S （t ）=122-2t=-（t+1）2+1； 当t=-1时，S （t ）有最大值，且S （t ）最大=1，此时P （-1，-1）；故当P 点坐标为（1，1）或（-1，-1）时，S （t ）最大，且最大值为1；②同（2）可得：（b-1）2-4（c-1）=m 2，由题意知：c=1，则有：（b-1）2=m 2，即b=1±m ；当b=1+m 时，y=x 2+（1+m ）x+1，∴P （t ，t 2+（1+m ）t+1），Q （t ，t+1）；∴PQ=t+1-[t 2+（1+m ）t+1]=-t 2-mt ；∴S （t ）=1212（-t 2-mt ）（t+2m ）2m 3；∴当t=-2m 时，S （t ）最大3， 此时P （-12m ，-24m -2m +1）； 当b=1-m 时，y=x 2+（1-m ）x+1，同上可求得：S （t ）m （t-2m ）23；∴当t=12m 时，S （t ）最大3， 此时P （12m ，34m 2+12m+1）；故当P （-12m ，-24m -2m +1）或（12m ，34m 2+12m+1）时，S （t 3．作业6 如图，抛物线y=ax 2﹣2ax+c 过坐标系原点及点B （4，4），交x 轴的另一个点为A ．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）抛物线上找出点C ，使得S △ABO =S △CBO ，求出点C 的坐标；（3）连结BO 交对称轴于点D ，以半径为12作⊙D ，抛物线上一动点P ，过P 作圆的切线交圆于点Q ，使得PQ 最小的点P 有几个？并求出PQ 的最小值．【答案】 （1）故抛物线的解析式为： 21y=x x 2-，对称轴x=﹣1122-⨯=1 （2）点C 的坐标为：C 1（2，0），C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+（3）点P 有2个，PQ【解析】 （1）∵抛物线y=ax 2﹣2ax +c 过坐标系原点及点B （4，4），∴c=016a 8a+c=4⎧⎨-⎩， 解得：1a=2c=0⎧⎪⎨⎪⎩， 故抛物线的解析式为：21y=x x 2-， 对称轴x=﹣1122-⨯=1； （2）当y=0，0=12x 2﹣x ， 解得：x 1=0，x 2=2，故A （2，0），∵B （4，4），∴直线BO 的解析式为：y=x ，作BO 的平行线y=x ﹣2， 则2y=x 21y=x x 2-⎧⎪⎨-⎪⎩ ， 解得：x 1=x 2=2，则y=0，故C 1（2，0）往上平移还可以得到另一直线：y=x +2，组成方程组： 2y=x 21y=x x 2+⎧⎪⎨-⎪⎩， 解得：11x =2y =4⎧-⎪⎨-⎪⎩22x =2y =4⎧+⎪⎨+⎪⎩可得C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+综上所述：点C 的坐标为：C 1（2，0），C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+（3）∵y=12x 2﹣x=12（x ﹣1）2+1， ∴可得D （1，1），设P （x ，y ），由相切得：DQ ⊥PQ ，则PQ 2=PD 2﹣DQ 2， 故2221(x 1y 14PQ =-+--）（）=2217x x 244-+（）， 故x=0，2时PQ 最小，故点P 有2个，PQ的最小值为2．作业7 如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣2与x 轴交于点A （﹣3，0）．B （1，0），与y 轴交于点C（1）直接写出抛物线的函数解析式；（2）以OC 为半径的⊙O 与y 轴的正半轴交于点E ，若弦CD 过AB 的中点M ，试求出DC 的长；（3）将抛物线向上平移32个单位长度（如图2）若动点P （x ，y ）在平移后的抛物线上，且点P 在第三象限，请求出△PDE 的面积关于x 的函数关系式，并写出△PDE 面积的最大值．【答案】 （1）抛物线的函数解析式为y=23x 2+43x ﹣2． （2）． （3）△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324【解析】 （1）由点A 、B 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）令抛物线解析式中x=0求出点C 的坐标，根据点A 、B 的坐标即可求出其中点M 的坐标，由此即可得出CM 的长，根据圆中直径对的圆周角为90°即可得出△COM ∽△CDE ，根据相似三角形的性质即可得出OC CM DC CE=，代入数据即可求出DC 的长度； （3）根据平移的性质求出平移后的抛物线的解析式，令其y=0，求出平移后的抛物线与x 轴的交点坐标，由此即可得出点P 横坐标的范围，再过点P 作PP′⊥y 轴于点P′，过点D 作DD′⊥y 轴于点D′，通过分割图形求面积法找出S △PDE 关于x 的函数关系式，利用配方结合而成函数的性质即可得出△PDE 面积的最大值．解：（1）将点A （﹣3，0）、B （1，0）代入y=ax 2+bx ﹣2中，得：093202a b a b =--⎧⎨=+-⎩，解得：2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为y=23x2+43x﹣2．（2）令y=23x2+43x﹣2中x=0，则y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，CE=4．∵A（﹣3，0），B（1，0），点M为线段AB的中点，∴M（﹣1，0），∴∵CE为⊙O的直径，∴∠CDE=90°，∴△COM∽△CDE，∴OC CM DC CE=，∴．（3）将抛物线向上平移32个单位长度后的解析式为y=23x2+43x﹣2+32=23x2+43x﹣12，令y=23x2+43x﹣12中y=0，即23x2+43x﹣12=0，解得：x1，x2．∵点P在第三象限，x＜0．过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，如图所示．（方法一）：在Rt△CDE中，，CE=4，∴，sin ∠DCE=DE CE =在Rt △CDD′中，，∠CD′D=90°，∴DD′=CD•sin ∠DCE=85，165， ∴OD′=CD′﹣OC=65， ∴D （﹣85，65），D′（0，65）． ∵P （x ，23 x 2+43x ﹣12）， ∴P′（0，23 x 2+43x ﹣12）． ∴S △PDE =S △DD′E +S梯形DD′P′P ﹣S △EPP′=12DD′•ED′+12（DD′+PP′）•D′P′﹣12PP′•EP′=﹣2815x ﹣23x+2x ＜0），∵S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2=﹣285()158x ++5324＜﹣58＜0， ∴当x=﹣58时，S △PDE 取最大值，最大值为5324．故：△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324．（方法二）：在Rt △CDE 中，，CE=4，∴， ∵∠CDE=∠CD′D=90°，∠DCE=∠D′CD ， ∴△CDE ∽△CD′D ，∴DD CD CD DE CD CE''==， ∴DD′=85，CD′=165， ∴∴OD′=CD′﹣OC=65， ∴D （﹣85，65），D′（0，65）． ∵P （x ，23 x 2+43x ﹣12）， ∴P′（0，23 x 2+43x ﹣12）． ∴S △PDE =S △DD′E +S梯形DD′P′P ﹣S △EPP′=12DD′•ED′+12（DD′+PP′）•D′P′﹣12PP′•EP′=﹣2815x ﹣23x+2x ＜0），∵S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2=﹣285()158x ++5324＜﹣58＜0， ∴当x=﹣58时，S △PDE 取最大值，最大值为5324．故：△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324．。
和差问题(讲义)小升初数学精讲精练专题汇编讲义(通用版,教师版)
温馨提示：图片放大更清晰48名学生参加聚会，第一个到会的男生和全部女生握手，第二个到会的男生只差一名女生没握过手，第三个到会的男生只差2名女生没握过手，……最后一个到会的男生同9名女生握过手，这48名学生中共有()名女生。
小升初数学通用版《和差问题》精准讲练答案：28解析：根据题意知道，女多男少所有的女生全部提前到达，在门口列队迎接男生到来第一个到来的男生和所有女生握过手后把一名女生领了进去；第二个到来的男生也和第一名男生一样和站在门口的所有女生握手后把个女生领了进去，同样最后一名到来的男生同最后剩下的9名女生握手后，把一名女生领进去；最后会剩下8名女生，可见女生比男生多8名；再根据和差问题公式求得女生人数即可。
根据题意可知，女生比男生多（9－1）名；[48＋（9－1）]÷2＝[48＋8]÷2＝56÷2＝28（名）所以，这48名学生中共有28名女生。
有两匹马和一副鞍，白马配鞍售价800元，黑马配鞍售价600元，两匹马售价1000元，那么一副鞍售价______元。
有大、小两个油桶，一共装油24千克，两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克。
问：原来大、小两个油桶各装油多少千克？答案：根据题意画线段图如下：大桶：（24＋4）÷2＝28÷2＝14（千克）小桶：14－4＝10（千克）答：原来大、小两个油桶各装油14千克、10千克。
解析：两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克，那么也就是说大桶比小桶多4千克的油，知道这两桶油的和，又找到了这两桶油的差，据此解题即可。
兔妈妈拔了29个萝卜分给了小白兔和小黑兔，因为分的萝卜不一样多，兔妈妈让小白兔给了小黑兔5个，这时再来数发现小黑兔比小白兔多出1个萝卜，你知道原来小白兔和小黑兔各分到了多少个萝卜吗？一、填空题1．在国家出台“双减”政策后，曾经背着沉甸甸的书包在课后忙着补习的小小身影，如今可以在运动场上体验各式各样的体育活动，即将参加1分钟仰卧起坐比赛的小建和小雷每天课后都在练习，今天小建先做了3分钟，然后两人各做了5分钟，一共做仰卧起坐136个。
长方形和正方形(讲义)-2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义(通用版,教师版)
温馨提示：图片放大更清晰李老师买了一套商品房。
客厅的长是5.5m，在图纸上是5.5cm，这幅图纸的比例尺是______。
卧室的长是4cm，宽是3.5cm，卧室的实际面积是______。
答案：1∶10014平方米解析：先统一单位，再根据比例尺＝图上距离：实际距离，求出比例尺。
再根据关系式：实际距离＝图上距离÷比例尺，即可求得实际的长和宽，最后根据长方形的面积＝长×宽，求出面积。
5.5cm∶5.5m＝5.5cm∶550cm＝5.5∶550＝1∶100小升初数学通用版《长方形和正方形》精准讲练一个长方形的长增加20%，宽减少20%，它的面积不变。
()用三根同样长的铁丝，分别围成长方形、正方形和圆（接口处长度忽略不计），关于三个图形周长和面积的大小关系，下面图中描述正确的是（）。
A．B．C．D．答案：D解析：由题意可知，长方形、正方形和圆的周长都是铁丝的长度，所以三个图形周长相等。
①当周长一定时，长方形的长和宽相等时面积最大，所以在周长相等的长方形和正方形中，正方形的面积最大。
②根据题意可设铁丝的长为12.56米，根据正方形、圆形的周长公式分别计算出它们的边长、半径，然后再利用它们的面积公式分别计算出各自的面积，比较即可得到答案。
很容易知道长方形、正方形和圆的周长相等。
①当周长一定时，长方形的长和宽相等时面积最大，所以在周长相等的长方形和正方形中，正方形的面积最大。
②设铁丝的长为12.56米，正方形的边长是：12.56÷4＝3.14（米）正方形的面积是：3.14×3.14＝9.8596（平方米）圆的半径是：12.56÷2÷3.14＝6.28÷3.14＝2（米）圆的面积是：2×2×3.14＝4×3.14＝12.56（平方米）9.8596＜12.56；所以围成的圆的面积最大。
故答案为：D洒渔乡李叔叔家有一个长方形苹果园，小明将这个果园绘制在图纸上。
2023-2024年小学数学四年级上册知识梳理真题讲练 专题二 (人教版含解析)
专题02 公顷和平方千米知识点一：公顷和平方千米一、我们学过的面积单位有：平方厘米、平方分米、平方米、公顷、平方千米。
1、边长是100米的正方形的面积是1公顷。
1公顷=10000平方米2、边长是1000米的正方形的面积是1平方千米1平方千米=1000000平方米=100公顷3、正方形周长=边长×4 面积=边长×边长4、长方形周长=（长+宽）×2 面积=长×宽二、单位换算（大化小乘进率，小化大除进率）1、平方厘米和平方分米之间的进率是100 1平方分米=100平方厘米2、平方分米和平方米之间的进率是100 1平方米=100平方分米3、公顷和平方米之间的进率是10000 1公顷=10000平方米4、平方千米和公顷之间的进率是100 1平方千米=100公顷5、平方千米和平方米之间的进率是1000000 1平方千米=1000000平方米真题讲练：一、选择题1．（2021·广东广州·四年级期末）以下表达正确的是（）。
A．3平方千米＝3000平方米B．3000平方米＝3公顷C．300公顷＝3平方千米【答案】C【分析】根据面积单位之间的进率进行换算，然后选择正确的一项即可，1平方千米＝1000000平方米＝100公顷，1公顷＝10000平方米，依此换算。
【详解】A．3×1000000＝3000000，3平方千米＝3000000平方米，因此此项表达错误；B．3×10000＝30000，3公顷＝30000平方米，因此此项表达错误；C．300÷100＝3，因此300公顷＝3平方千米；因此此项表达正确；故答案为：C【点睛】此题考查的是面积单位之间的换算，熟记面积单位之间的进率是解答本题的关键。
2．（2021·广东广州·四年级期末）某中学运动场地的总面积约2（）。
A．平方米B．公顷C．平方千米【答案】B【分析】根据生活经验以及对面积单位和数据大小的认识，可知计量某中学运动场地的总面积用“公顷”作单位。
2020浙教版八年级数学下册：正方形知识点及同步练习、含答案
【文库独家】学科：数学教学内容：正方形【学习目标】1．掌握正方形的定义、性质和判定方法．2．能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系．3．能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明．【主体知识归纳】1．正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有：（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．3．正方形的判定（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形；（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．【基础知识精讲】1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：正方形矩形平行四边形并且有一个角是直角的菱形四边形有一组邻边相等的平行⎭⎬⎫)()2()()1( 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．2．正方形的性质可归纳如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容．【例题精讲】［例1］如图4－50，已知矩形ABCD 中，F 为CD 的中点，在BC 上有一点E ，使AE ＝DC ＋CE ，AF 平分∠EAD ．求证：矩形ABCD 是正方形．图4—50剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AE＝DC＋CE，容易想到若能证明AE＝AD＋CE便可证得AD＝DC，由于AF平分∠EAD，因此可在AE上截取AG＝AD，再证GE＝CE，就可得出要证的结论．证明：在AE上截取AG＝AD，连结FG、FE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°．∵AD＝AG，∠DAF＝∠GAF，AF＝AF∴△ADF≌△AGF，∴DF＝GF，∠D＝∠AGF＝90°．∵DF＝CF，∴GF＝CF．∵∠FGE＝∠C＝90°，FE＝FE，∴Rt△GFE≌Rt△CFE．∴GE＝CE，∴AD＋CE＝AE．又DC＋CE＝AE，∴AD＝DC．∴矩形ABCD是正方形．说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角．［例2］如图4－51，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE＝OF．图4—51对上述命题的证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO．∴∠3＋∠2＝90°，∵AG⊥BE，∴∠1＋∠3＝90°．∴∠1＝∠2，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF问题：对于上述命题，若点E在AC延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变（如图4－52），结论“OE＝OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图4—52剖析：可仿上述的证明，证△BOE≌△AOF．解：结论OE＝OF仍然成立，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO，∴∠OFA＋∠FAE＝90°又∵AG⊥EB，∴∠OEB＋∠EAF＝90°，∴∠OEB＝∠OFA，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF．［例3］有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来．图4—53剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的2倍，而正方形的对角线是边长的2倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形．答案：如图4－53，分别过B、D作AC的平行线，分别过A、C作BD的平行线，四条线分别交于A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′为要求的正方形．【同步达纲练习】1．选择题（1）下列命题中，假命题的个数是（）①四边都相等的四边形是正方形②对角线互相垂直的平行四边形是正方形③四角都相等的四边形是正方形④对角线相等的菱形是正方形A．1 B．2 C．3 D．4（2）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相垂直平分B．对角线相等C．邻边相等D．每条对角线平分一组对角（3）正方形的对角线与边长之比为（）A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．2∶1（4）以等边△ABC的边BC为边向外作正方形BCDE，则①∠ABD＝105°，②∠ACD＝150°，③∠DAE＝30°，④△ABE≌△ACD，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（5）在正方形ABCD中，P、Q、R、S分别在边AB、BC、CD、DA上，且AP＝BQ＝CR＝DS ＝1，AB＝5，那么四边形PQRS的面积等于（）A．17 B．16 C．15 D．9（6）如图4－54，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于（）图4—54A．7 B．5 C．4 D．3（7）在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（）A．213+B．213-C．3 D．2（8）如图4－55，在正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM等于（）图4—55A．45°B．55°C．65°D．75°2．填空题（1）已知正方形的面积是16 cm2，则它的一边长是_____，一条对角线长是_____．（2）已知正方形的对角线长为22，则此正方形的周长为_____，面积为_____．（3）在正方形ABCD 中，两条对角线相交于O ，∠BAC 的平分线交BD 于E ，若正方形ABCD 的周长是16 cm ，则DE ＝_____cm ．（4）在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，那么∠AFC 等于_____度．3．如图4－56，已知正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE ＝CF ．图4—56（1）求证：△BCE ≌△DCF ；（2）若∠BEC ＝60°，求∠EFD 的度数．4．已知：如图4－57，在正方形ABCD 中，E 是CB 延长线上一点，EB ＝21BC ，如果F 是AB 的中点，请你在正方形ABCD 上找一点，与F 点连结成线段，并证明它和AE 相等．图4—575．以△ABC 的AB 、AC 为边，向三角形外作正方形ABDE 及ACGF ，作AN ⊥BC 于点N ，延长NA 交EF 于M 点．（1）求证：EM ＝FM ；（2）若使AM ＝21EF ，则△ABC 必须满足什么条件呢？图4—586．如图4－58，已知正方形ABCD 中，M 、F 分别在边AB 、AD 上，且MB ＝FD ，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，MN 与∠CBE 的平分线相交于N ．求证：DM ＝MN ．7．如图4－59，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE和BCFG．图4—59求证：AF＝DB；若点C在线段AB的延长线上，猜想上述结论是否正确，如果正确，请加以证明，如果不正确，请说明理由．【思路拓展题】你会设计吗今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出如图4－60的三张正方形纸片上分别画图，并简述画图步骤）图4—60参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）A （6）B （7）A8）B2．（1）4 42（2）8 4 （3）4 （4）112.53．（1）略（2）15°4．连结CF，可证△ABE≌△CBF或连结DF，让△ABE≌△DAF。
正方形中的常用模型专项探究—2023-2024学年八年级数学下册(浙教版)(解析版)
正方形中的常用模型专项探究模型一 正方形的“十字架”模型【知识点睛】【典题练习】1．（2023•余杭区校级模拟）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G ，若BC ＝4，DE ＝AF ＝1，则CG 的长是（ ）A ．2B ．C ．D ．【分析】先证明△CDF ≌△BCE ，得到∠BGC ＝90°，利用面积法即可求出CG ＝． 【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，BC ＝4，∴∠CDF ＝∠BCE ＝90°，AD ＝DC ＝BC ＝4，又∵DE ＝AF ＝1，∴CE ＝DF ＝3，在△CDF 和△BCE 中，，∴△CDF ≌△BCE （SAS ），∴∠DCF ＝∠CBE ，∵∠DCF +∠BCF ＝90°，∴∠CBE +∠BCF ＝90°，A B CD H GEF∴∠BGC＝90°，在Rt△BCE中，BC＝4，CE＝3，∴BE＝＝5，∴BE•CG＝BC•CE，∴CG＝＝＝．故选：D．2．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，满足DE＝AF，连接CE，DF，点P，Q分别是DF，CE的中点，连接PQ．若∠ADF＝α．则∠PQE可以用α表示为（）A．αB．45°﹣αC．D．3α﹣45°【分析】连接DQ，根据正方形的性质先证明△ADF≌△DCE，得出∠DCE＝α，DF＝CE，进而得出DQ ＝PD，∠PDQ＝90°﹣2α，根据三角形的内角和表示出∠PQD即可求解．【解答】解：连接DQ∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，∵AF＝DE，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴DF＝CE，∠ADF＝∠DCE＝α，∵点P，Q分别是DF，CE的中点，∴PD＝DF＝DQ＝CE，∴∠DPQ＝∠DQP，∠CDQ＝α，∴∠PDQ＝90°﹣2α，∠DQE＝2α，∴∠PQD＝＝45°+α，∴∠PQE＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，故选：B．3．（2023•鄞州区模拟）如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，BF⊥CE于点G，若已知下列三角形面积，则可求阴影部分面积和的是（）A．S△BAF B．S△BCF C．S△BCG D．S△FCG【分析】根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝∠A＝90°，求得∠ABF＝∠BCE，根据全等三角形的性质得到S△ABF＝S△BCE，根据三角形的面积的和差即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD∴AB＝BC，∠ABC＝∠A＝90°，∵BF⊥CE，∴∠BGC＝90°，∴∠ABF+∠CBG＝∠CBG+∠BCG＝90°，∴∠ABF＝∠BCE，在△ABF与△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（ASA），∴S△ABF＝S△BCE，∵S△BCF＝S正方形ABCD，∴S△ABF+S△DCF＝S△BCE+S△DCF＝S正方形ABCD，∴阴影部分面积和＝S△BCE+S△DCF﹣S△BCG＝S△BCF﹣S△BCG＝S△FCG，故选：D．4．（2023•双峰县三模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB的中点，连接AE，DF交于点O，将△ABE沿AE翻折，得到△AGE，延长EG交AD的延长线于点H，连接CG．有以下结论：①AE⊥DF；②AH＝EH；③CG∥AE；④S四边形BEOF：S△AOF＝4．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①根据正方形的性质可得AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠B＝90°，从而可证△DAF≌△ABE，进而可得∠BAE＝∠ADF，然后可得∠BAE+∠AFD＝90°，即可解答；②根据正方形的性质可得AD∥BC，从而可得∠DAC＝∠AEB，再利用折叠可得∠AEB＝∠AEG，进而可得∠DAE＝∠AEG，即可解答；③由折叠得：∠AEB＝∠AEG＝（180°﹣∠GEC），GE＝GC，从而可得∠EGC＝∠ECG＝（180°﹣∠GEC），进而可得∠AEB＝∠GCE，即可解答；④在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE，然后证明△AOF∽△ABE，利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠B＝90°，∴∠ADF+∠AFD＝90°，∵点E，F分别是边BC，AB的中点，∴AF＝AB，BE＝EC＝BC，∴AF＝BE，∴△DAF≌△ABE（SAS），∴∠BAE＝∠ADF，∴∠BAE+∠AFD＝90°，∴∠AOF＝180°﹣（∠BAE+∠AFD）＝90°，∴AE⊥DF，故①正确；∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，由折叠得：∠AEB＝∠AEG，∴∠DAE＝∠AEG，∴AH＝EH，故②正确；由折叠得：∠AEB＝∠AEG＝（180°﹣∠GEC），GE＝BE，∴GE＝EC，∴∠EGC＝∠ECG＝（180°﹣∠GEC），∴∠AEB＝∠GCE，∴AE∥CG，故③正确；∵∠B＝90°，AB＝4，BE＝2，∴AE＝＝＝2，∵∠B＝∠AOF＝90°，∠F AO＝∠BAE，∴△AOF∽△ABE，∴＝（）2＝（）2＝，∴S四边形BEOF：S△AOF＝4，故④正确；所以，以上结论，正确的有4个，故选：D．5．（2023秋•惠山区期末）如图，在正方形ABCD中，AD＝4，点E、F分别为AB、BC上的动点，且AE ＝BF，AF与DE交于点O，点P为EF的中点．（1）若AE＝1，则EF的长＝；（2）在整个运动过程中，OP长的最小值为．【分析】（1）先根据正方形的性质得到△DAE≌△ABF，得出∠ADE＝∠BAF，AE＝BF，根据勾股定理求出EF即可；（2）然后得到∠EOF＝∠AOD＝90°，即得到OP＝EF，设AE＝BF＝x，则BE＝4﹣x，根据勾股定理得出EF＝＝＝，然后求出结果即可．【解答】解：（1）∵ABCD∴AD＝AB＝4，∠DAB＝∠ABF＝90°，又∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，AE＝BF，∵AE＝1，∴BF＝1，BE＝3，∴EF＝＝；故答案为：；（2）∵∠ADE＝∠BAF，∴∠ADE+∠DAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，∴∠EOF＝∠AOD＝90°，又∵点P为EF的中点，∴OP＝EF，设AE＝BF＝x，则BE＝4﹣x，∴EF＝＝＝，∴当x＝2时，EF最小为2，即OP最小为；故答案为：．6．（2023•越秀区校级自主招生）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为．【分析】过点H作HM⊥CD，垂足为M，利用正方形的性质可得AB＝BC＝CD＝2，AB∥CD，∠ABC ＝∠BCD＝90°，∠ACD＝45°，从而利用等腰直角三角形的性质可得AC＝2，再根据等式的性质可得BE＝CF，从而可证△ABE≌△BCF，进而可得∠1＝∠2，然后利用等量代换可得∠1+∠3＝90°，从而可得∠AGB90°，进而可得是BH的垂直平分线，再利用线段垂直平分线的性质可得AB＝AH＝2，从而可得∠3＝∠AHB，CH＝2﹣2，最后利用平行线的性质可得∠3＝∠CFH，从而可得∠CFH＝∠CHF，进而可得CH＝CF＝2﹣2，再在Rt△HMC中，利用等腰直角三角形的性质可求出HM的长，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．【解答】解：如图：过点H作HM⊥CD，垂足为M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝2，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ACD＝45°，∴AC＝AB＝2，∵CE＝DF，∴BC﹣CE＝CD﹣DF，∴BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠1＝∠2，∵∠ABC＝∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠AGB＝180°﹣（∠1+∠3）＝90°，∵BG＝GH，∴AG是BH的垂直平分线，∴AB＝AH＝2，∴∠3＝∠AHB，CH＝AC﹣AH＝2﹣2，∵AB∥CD，∴∠3＝∠CFH，∵∠AHB＝∠CHF，∴∠CFH＝∠CHF，∴CH＝CF＝2﹣2，在Rt△HMC中，HM＝＝＝2﹣，∴△CFH的面积＝CF•HM＝×（2﹣2）×（2﹣）＝3﹣4，故答案为：3﹣4．7．（2023•拱墅区二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC上的两点，且BE＝CF，连结AF、DE交于点G．（1）试判断AF与DE的数量关系与位置关系，并说明理由．（2）若AB＝2，点E是AB的中点．①求线段AG的长；②连结BG，求证：BG平分∠EGF．【分析】（1）利用SAS证明△ABF≌△DAE即可得出结论；（2）①在△ADE中利用面积法即可得出AG的长；②连接BG，过点B作BH⊥AF，证明△AEG∽△ABH，得出GH＝AG＝，证明△BMG为等腰直角三角形，即可推出结论．【解答】解：（1）DE＝AF，DE⊥AF，在正方形ABCD中，AB＝BC，又∵BE＝CF，∴AB﹣BE＝BC﹣CF，∴AE＝BF．∵AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，DE＝AF．∴∠DAG+∠ADE＝∠DAG+∠＝∠DAE＝90°．∴DE⊥AF；（2）①∵AB＝2，点E是AB的中点，∴AE＝AB＝1．∵∠DAE＝90°，∴DE＝．∴AG＝＝；②证明：连接BG，过点B作BH⊥AF于H．∵DE⊥AF，∴EG∥BH．∴△AEG∽△ABH．∴＝＝，即GH＝AG＝，∵BH＝＝，∴BH＝GH，∴△BGH为等腰直角三角形．∴∠BGH＝45°，∴∠BGE＝90°﹣45°＝45°．∴∠BGH＝∠BGE．即BG平分∠EGF．8．（2023春•淮安期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？（1）直接判断：AE BF（填“＝”或“≠”）；问题探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论；问题拓展：（3）如图3，点E在边CD上，且MN⊥AE，垂足为H，当H在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△AHN沿着AN翻折，点H落在点H′处．①四边形AHNH′是正方形吗？请说明理由；②若AB＝6，点P在BD上，BD＝3BP，直接写出PH′+AN的最小值为．【分析】（1）证明△ABE≌△BCF即可得出结论；（2）过点A作AN∥GE，证明△ABN≌△BCF（AAS），由此可得AN＝GE＝BF；（3）①如图3，连接CH，证明△ABH≌△CBH（SAS），所以∠BAH＝∠BCH，AH＝CH；由折叠可知，AH＝AH′，NH＝NH′，由四边形内角和和平角的定义可得∠HNC＝∠NCH，所以NH＝CH，则NH＝CH＝AH＝AH′＝NH′，所以四边形AHNH′是菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得结论；②作H′Q⊥BC交CB的延长线于点Q，作HF⊥BC于点M，可证明△H′QN≌△NFH′（AAS），由此可得H′Q＝NF；易证△BHF是等腰直角三角形，所以HF＝BF＝NF+BN，则NF＝QB＝QH′，可得∠H′BQ＝∠ABH′＝45°，则∠H′BD＝90°；作P关于BH′的对称点P′，则PH′＝P′H′，可得PH′+AN＝PH′+AH′＝P′H′+AH′≥AP′，求出AP′的值即可得出结论．【解答】解：（1）∵AE⊥BF，∴∠EMB＝90°，∴∠FBC+∠BEM＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，∴∠FBC+∠BFC＝90°，∴∠BEM＝∠BFC，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE＝BF．故答案为：＝；（2）GE＝BF，理由如下：如图2，过点A作AN∥GE，交BF于点H，交BC于点N，∴∠EMB＝∠NHB＝90°，∴∠FBC+∠BNH＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝90°，∵AD∥BC，AN∥GE，∴四边形ANEG是平行四边形，∴AN＝EG，∵∠C＝90°，∴∠FBC+∠BFC＝90°，∴∠BNH＝∠BFC，∴△ABN≌△BCF（AAS），∴AN＝BF，∵AN＝EG，∴GE＝BF．（3）①如图3，连接CH，由（2）的结论可知，AE＝MN，∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形的对角线，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC，∵BH＝BH，∴△ABH≌△CBH（SAS），∴∠BAH＝∠BCH，AH＝CH，由折叠可知，AH＝AH′，NH＝NH′，∵∠ABN+∠AHN＝180°，∴∠BAH+∠BNH＝180°，∵∠BNH+∠HNC＝180°，∴∠BAH＝∠HNC，∴∠HNC＝∠NCH，∴NH＝CH，∴NH＝CH＝AH＝AH′＝NH′，∴四边形AHNH′是菱形，∵∠AHN＝90°，∴菱形AHNH′是正方形；②如图4，作H′Q⊥BC交CB的延长线于点Q，作HF⊥BC于点M，∴∠H′QN＝∠HFB＝90°，由上知四边形AHNH′是正方形，∴H′N＝HN，∠H′NH＝90°，AH′＝AN，∴∠H′NQ+∠HNF＝∠HNF+∠NHF＝90°，∴∠H′NQ＝∠NHF，∴△H′QN≌△NFH′（AAS），∴H′Q＝NF，QN＝HF；∵∠HBF＝45°，∠HFB＝90°，∴△BHF是等腰直角三角形，∴HF＝BF＝NF+BN，∵QN＝QB+BN，∴NF＝QB＝QH′，∴∠H′BQ＝∠ABH′＝45°，∴∠H′BD＝90°；如图4，作P关于BH′的对称点P′，则PH′＝P′H′，过点P′作PK⊥AB交AB延长线于点K，则△PBK是等腰直角三角形，∴PH′+AN＝PH′+AH′＝P′H′+AH′≥AP′，即当A，H′，P′三点共线时，PH′+AN 最小，最小值为AP′的长．∵AB＝6，∴BD＝6，∵BD＝3BP，∴BP＝BP′＝2，∴PK＝BK＝2，∴AK＝8，∴AP′＝＝2，即PH′+AN的最小值为2．故答案为：2．模型二 K型全等模型（即：正方形中的“三垂定理”模型）【知识点睛】如图，已知正方形ABCD，过点B、D两点分别向过点C的直线作垂线，垂足分别为E、F，则有△BCE≌△CDF【典题练习】1．（2023秋•建邺区期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，则点C 的坐标为．【分析】过点C作CE⊥x轴，CF⊥y轴，证明△AOD≌△DFC即可求出CE，CF，进而得到点C的坐标．【解答】解：过点C作CE⊥x轴，CF⊥y轴，如图：∵正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，∴∠ADO＝30°，∴AO＝1，DO＝，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADO＝∠DCF，∴△AOD≌△DFC（AAS），∴AO＝DF＝1，DO＝CF＝，∴CE＝1+，∴点C的坐标为：（，1+）．故答案为：（，1+）．2．（2024•渝中区校级开学）如图，点A在线段BG上，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是10和18，则△CDE的面积为．【分析】过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于H，由题意可证△ADG≌△DEH，即可得EH＝AG＝3．则可求△CDE的面积．【解答】解：如图：过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于H．∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是10和18，∴AD⊥CD，DG＝DE＝＝3，∠BAD＝90°，AD＝CD＝，在Rt△ADG中，AG＝＝2，∵∠ADG+∠GDH＝90°，∠DGH+∠EDH＝90°，∴∠EDH＝∠ADG，且∠DAG＝∠H＝90°，DE＝DG，∴△ADG≌△DEH，∴EH＝AG＝2，∴S△CDE＝×CD×EH＝＝2，故答案为：2．3．（2023秋•白银期末）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3，…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，…，则正方形A2024B2021C2024D2024的边长是．【分析】利用正方形的性质，结合含30度的直角三角形的性质以及勾股定理得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【解答】解：∵∠B1C1O＝60°，∠B1C1D1＝90°，∴∠D1C1E1＝30°，∴D1E1＝C1D1＝，∴B2E2＝，∵B1C1∥B2C2，∴∠B1C1O＝∠B2C2E2＝60°，∴B2C2＝×2＝，∴正方形A2B2C2D2的边长为，同理可求正方形A3B3C3D3的边长为（）2＝，∴正方形A n B n∁n D n的边长为（）n﹣1，∴正方形A2024B2021C2024D2024的边长为（）2023，故答案为：（）2023．4．（2023春•句容市期末）如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD 四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为．【分析】过C点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△CDE≌△CBF，得CF ＝1，BF＝2．根据勾股定理可求BC2得正方形的面积．【解答】解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠CED＝∠BFC＝90°．∵ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°．∴∠DCE+∠BCF＝90°．又∵∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠BCF．在△CDE和△BCF中，∴△CDE≌△BCF（AAS），∴BF＝CE＝2．∵CF＝1，∴BC2＝12+22＝5，即正方形ABCD的面积为5．故答案为：5．5．（2022•大庆三模）如图，已知四边形ABCD为正方形AB＝2，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CG＝AD；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正确的结论有（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④【分析】过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：根据正方形的性质得到∠BCD ＝90°，∠ECN＝45°，推出四边形EMCN为正方形，由矩形的性质得到EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，根据全等三角形的性质得到ED＝EF，推出矩形DEFG为正方形；故①正确；根据正方形的性质得到AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°推出△ADE≌△CDG（SAS），得到AE＝CG，求得AC＝AE+CE＝CE+CG＝AD，故②错误；当DE⊥AC时，点C与点F重合，得到CE不一定等于CF，故④错误．【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形；故①正确；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∵∠DCF＝90°，∴CG平分∠DCF，故③正确；∴AC＝AE+CE＝CE+CG＝AD，故②错误；当DE⊥AC时，点C与点F重合，∴CE不一定等于CF，故④错误，故选：A．6．（2023秋•福田区校级期末）如图，分别以△ABC的三边AB，BC，AC为边向外侧作正方形AFGB，正方形BHLC，正方形ACDE，连接EF，GH，DL，再过A作AK⊥BC于K，延长KA交EF于点M．①S+S正方形ACDE＝S正方形BHLG；②EM＝MF；③2AM＝BC；④当AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°时，正方形AFGBS阴影部分＝20）个．A．1B．2C．3D．4【分析】①运用正方形性质和勾股定理即可判断结论①不正确；②过点E作ER⊥AK于R，过点F作FT⊥AK于T，可证得△AER≌△CAK（AAS），△EMR≌△FMT（AAS），即可判断结论②正确；③过点E作EJ∥AF交AM的延长线于J，可证得△MEJ≌△MF A（AAS），△AEJ≌△CAB（SAS），即可判断结论③正确；④分别过点A、G、D作AP⊥BH于P，AK⊥BC于K，AN⊥CL于N，GQ⊥BH于Q，DM⊥CL于M，运用全等三角形的判定和性质可证得GQ＝BP＝AK，DM＝CN＝AK，再运用面积法可得AK＝＝＝，再利用S阴影部分＝S△AEF+S△BGH+S△CDL，即可判断结论④错误．【解答】解：①由正方形的性质可得：S正方形AFGB+S正方形ACDE＝AB2+AC2，S正方形BHLC＝BC2，∵∠BAC不一定是直角，∴AB2+AC2＝BC2不一定成立，故结论①不正确；②如图，过点E作ER⊥AK于R，过点F作FT⊥AK于T，则∠ERA＝∠ATF＝90°，∴∠EAR+∠AER＝90°，∵四边形ACDE是正方形，∴AC＝AE，∠CAE＝90°，∴∠EAR+∠CAK＝90°，∴∠AER＝∠CAK，在△AER和△CAK中，，∴△AER≌△CAK（AAS），∴ER＝AK，同理可得：FT＝AK，∴ER＝FT，在△EMR和△FMT中，，∴△EMR≌△FMT（AAS），∴EM＝MF，故结论②正确；③如图，过点E作EJ∥AF交AM的延长线于J，则∠AEJ+∠EAF＝180°，∠MEJ＝∠MF A，在△MEJ和△MF A中，，∴△MEJ≌△MF A（AAS），∴EJ＝AF＝AB，MJ＝MA，∴AJ＝2AM，∵∠BAF＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠AEJ＝∠BAC，在△AEJ和△CAB中，，∴△AEJ≌△CAB（SAS），∴AJ＝BC，∴2AM＝BC，故结论③正确；④∵AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝4，如图，分别过点A、G、D作AP⊥BH于P，AK⊥BC于K，AN⊥CL于N，GQ⊥BH于Q，DM⊥CL于M，同理可得GQ＝BP＝AK，DM＝CN＝AK，∵BC•AK＝AB•AC，∴AK＝＝＝，∴S阴影部分＝S△AEF+S△BGH+S△CDL＝×3×4+×5×+×5×＝18，故结论④错误；故选：B．7．（2024•立山区模拟）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD所在直线上，连接AE，以AE为边，作正方形AEFG（点A，E，F，G按顺时针排列）．当正方形AEFG中的某一顶点落在直线BD上时（不与点D重合），则正方形AEFG的面积为．【分析】分两种情况：当点F在直线BD上时，过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于M，可得△DFM 是等腰直角三角形，得出DM＝FM，再证得△AED≌△EFM（AAS），利用勾股定理可得：AE＝AD2+DE2＝42+22＝20，正方形的面积为20；当点G在直线上BD时，过点G作GM⊥AD，交AD的延长线于M，同理可求得答案．【解答】解：当点F在直线BD上时，过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于M，B，则∠M＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∠ADE＝90°，∴∠FDM＝∠BDC＝45°，∠AED+∠EAD＝90°，∴△DFM是等腰直角三角形，∴DM＝FM，∵四边形AEFG是正方形，∴EF＝AE，∠AEF＝90°，∴∠AED+FEM＝90°，∴∠EAD＝∠FEM，在△AED和△EFM中，，∴△AED≌△EFM（AAS），∴DE＝FM，AD＝EM，∴DE＝DM＝FM，∵DE+DM＝EM，∵2DE＝AD＝4，∴DE＝2，在Rt△ADE中，AE＝AD2+DE2＝42+22＝20，∴正方形的面积为20．当点G在直线上BD时，过点G作GM⊥AD，交AD的延长线于M，如图，同理可得：△AED≌△GAM（AAS），∴GM ＝AD ＝4，AM ＝DE ，∵∠ADB ＝MDG ＝45°，∠M ＝90°，∴△DGM是等腰直角三角形，∴DM ＝GM ，∴DM ＝AD ＝4，∴AM ＝8， 在Rt △AGM 中，AG 2＝AM 2+GM 2＝82+42＝802，∴正方形的面积为80．综上，正方形AEFG 的面积为20或80．故答案为：20或80．模型二 K 型全等模型（即：正方形中的“三垂定理”模型）【知识点睛】条件：①正方形ABCD ，②∠EAF=45° 结论： ①EF=BE+DF ；(△CEF 的周长=正方形ABCD 周长的一半） ②EA 平分∠BEF ③FA 平分∠DAE条件：①正方形ABCD ；②∠EAF=45° 结论：EF=DF-BE☆：当∠EAF 旋转到正方形ABCD 外部时，则有：【典题练习】1．（2023•新乡一模）如图，在正方形ABCD中，点M，N为边BC和CD上的动点（不含端点），若AB＝，∠MAN＝45°，则△MNC的周长是（）A．B．2C．2D．3【分析】将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，根据正方形的性质、折叠的性质证明Rt△ABM≌Rt △ADE（HL），△EAN≌△MAN（SAS），根据全等三角形的性质推出△MNC的周长＝DC+BC，据此求解即可．【解答】解：如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，则∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，AE＝AM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝90°，在Rt△ABM和Rt△ADE中，，∴Rt△ABM≌Rt△ADE（HL），∴BM＝DE，在△EAN和△MAN中，，∴△EAN≌△MAN（SAS），∴MN＝EN＝DE+DN＝BM+DN，∴△MNC的周长为：MC+NC+MN＝（MC+BM）+（NC+DN）＝DC+BC，∵DC＝BC＝，∴△MNC的周长为2，故选：C．2．（2023秋•武城县期末）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，已知AD ＝6（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），DF＝2，则S△AEF＝（）A．6B．12C．15D．30【分析】过点A作AH⊥AE，交CD的延长线于点H，由“ASA”可证△ADH≌△ABE，可得BE＝HD，AH＝AE，由“SAS”可证△AFH≌△AFE，可得EF＝HF，利用勾股定理可求BE的长，即可求解．【解答】解：如图，过点A作AH⊥AE，交CD的延长线于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC＝6，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵AH⊥AE，∴∠HAE＝∠BAD＝90°，∴∠HAD＝∠BAE，在△ADH和△ABE中，，∴△ADH≌△ABE（ASA），∴BE＝HD，AH＝AE，∵∠EAF＝45°，∴∠HAF＝∠EAF＝45°，在△AFH和△AFE中，，∴△AFH≌△AFE（SAS），∴EF＝HF，∵DF＝2，∴CF＝4，∵EF2＝CE2+CF2，∴（2+BE）2＝16+（6﹣BE）2，∴BE＝3，∴HF＝HD+DF＝5，∵△AFH≌△AFE，∴S△AEF＝S△AFH＝×HF×AD＝×5×6＝15，故选：C．3．（2023•增城区二模）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF．（1）如图1，若BE＝2，DF＝EF的长度；（2）如图2，连接BD，BD与AF、AE分别相交于点M、N，若正方形ABCD的边长为6，BE＝2，求DF的长；（3）判断线段BN、MN、DM三者之间的数量关系并证明你的结论．【分析】（1）延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG，先根据SAS证明△ABG≌△ADF，得到∠BAG＝∠DAF，BG＝DF，AG＝AF，于是可通过SAS证明△AEG≌△AEF，得到EG＝EF，则EF＝EG＝BG+BE ＝DF+BE；（2）设DF＝x，则CF＝6﹣x，由（1）可得EF＝DF+BE＝2+x，于是在Rt△CEF中，根据勾股定理列出方程，求解即可；（3）延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG，在AG上截取AH＝AM，连接HN，BH，易通过SAS证明△ABH≌△ADM，得到BH＝DM，∠ABH＝∠ADM＝45°，进而得出∠HBN＝90°，再通过SAS证明△AHN≌△AMN，得到NH＝MN，在Rt△BHN中，根据勾股定理得BN2+BH2＝NH2，再等量代换即可得到结论．【解答】解：（1）如图，延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG，∵四边形ABCD为正方形，∴DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝AD，∴∠ABG＝90°，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，BG＝DF，＝AF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠EAG＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF，∵BE＝2，DF＝3，∴EF＝EG＝BG+BE＝DF+BE＝5；（2）∵四边形ABCD是边长为6的正方形，∴BC＝CD＝6，设DF＝x，则CF＝CD﹣DF＝6﹣x，由（1）知，EF＝DF+BE，∵BE＝2，∴CE＝BC﹣BE＝4，EF＝2+x，在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，∴42+（6﹣x）2＝（2+x）2，解得：x＝3，∴DF＝3；（3）BN2+DM2＝MN2，证明如下：如图，延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG，在AG上截取AH＝AM，连接HN，BH，由（1）知，∠BAG＝∠DAF，∠EAG＝∠EAF＝45°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝AD，∠ADB＝∠ABD＝45°，在△ABH和△ADM中，，∴△ABH≌△ADM（SAS），∴BH＝DM，∠ABH＝∠ADM＝45°，∴∠HBN＝∠ABH+∠ABN＝90°，在△AHN和△AMN中，，∴△AHN≌△AMN（SAS），∴NH＝MN，在Rt△BHN中，BN2+BH2＝NH2，∴BN2+DM2＝MN2．。
全等正方形、轴对称能力提高练习
全等正方形、轴对称能力提高练习
介绍：
全等正方形和轴对称是数学中的重要概念，具有广泛的应用。
通过针对这两个概念进行练，可以帮助提高学生的几何能力和逻辑思维。
本文档将提供一些练方法和策略，帮助学生在全等正方形和轴对称方面取得更好的成绩。
练方法：
1. 全等正方形练：
- 画出两个正方形，尺寸可以不同。
- 判断它们是否全等，思考并列出推理步骤。
- 确定共同的特征，例如边长、角度等。
- 确认所有相等的特征，逐个进行比较和验证。
- 写下最终结论，说明两个正方形是否全等。
2. 轴对称练：
- 画一个多边形，而后找到它的轴对称线。
- 观察多边形的结构，确定轴对称线的位置。
- 尝试画出多个不同形状的多边形，并找出它们的轴对称线。
- 验证轴对称线的正确性，确保两边完全相等。
- 思考并列出判断多边形轴对称的推理步骤。
提高策略：
1. 多做纸上练，反复熟悉全等正方形和轴对称概念。
2. 独立思考问题，根据已知信息进行推理，不要依赖他人的提示。
3. 尝试解决不同难度的练题，逐渐提高自己的理解和应用能力。
4. 注重细节和精确度，确保正确地比较和验证各个特征。
5. 在研究过程中记录重要观点和结论，便于复和总结。
总结：
通过全等正方形和轴对称的练习，学生可以提高几何能力并培
养逻辑思维。
掌握这两个概念对于数学的学习和日常生活中的应用
都具有重要意义。
通过坚持练习和遵循提高策略，学生可以取得更
好的成绩并增强对几何学的兴趣和自信。
专题2.14 正方形(专项练习)-2020-2021学年八年级数学下册基础知识专项讲练(湘教版)
专题2.14 正方形（专项练习）一、单选题1．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直B．菱形的对角线相等C．正方形的对角线互相垂直且相等D．平行四边形的对角线相等2．若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（）A．42cm C2D．2 cm B．22△，AC与BE交3．如图，以正方形ABCD的边CD为边向正方形ABCD外作等边CDE的度数是（）于点F，则AFEA．105°B．120°C．135°D．150°4．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直平分B．对角线相等的菱形是正方形C．两邻边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形5．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CB1的长为（）A．cm B．cm C．8cm D．10cm6．下面哪个特征是矩形、菱形、正方形所共有的（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线相等且平分7．下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线互相平分C．对角线长度相等D．一组对角线平分一组对角8．如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的一点，沿线段BE 对折后，若ABF ∠比EBF ∠大15︒，则EBF ∠的度数为（ ）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒9．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ， 连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE=AP=1，．下列结论：①APD①①AEB ；①点B 到直线AE 的距；①EB①ED ；①S ①APD +S ①APB ；①S 正方形ABCD ． 其中正确结论的序号是（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①10．如图，正方形OABC 的两边在坐标轴上，6AB =，2OD =，点P 为OB 上一动点，PA PD +的最小值是（ ）A ．8B ．10C ．D ．11．如图，点P 是Rt ABC ∆中斜边AC (不与A ，C 重合)上一动点，分别作PM AB ⊥于点M ，作PN BC ⊥于点N ，连接BP 、MN ，若6AB =，8BC =，当点P 在斜边AC 上运动时，则MN 的最小值是（ ）A ．1.5B ．2C ．4.8D ．2.412．如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且3CD DE =．将ADE 沿AE 对折至AFE △，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．则下列结论：①BG CG =；①//AG CF ；①EGC AFE S S =；①145AGB AED ∠+∠=︒，错误的是（ ）A ．①B ．①C ．①D ．①二、填空题 13．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，①EAF ＝45°，①ECF 的周长为4，则正方形ABCD 的边长为_____．14．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，要使矩形ABCD 成为正方形，应添加的一个条件是______.15．正方形ABCD ，面积为______．16．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是边AB 的中点，点P 是对角线BD 上的动点，则AP PE +的最小值是_______．17．如图，在正方形ABCD 中，点P 为对角线AC 一点，若4,AB AP ==BAC∠的度数为_____________，ABP △的面积为_____________．18．已知如图，矩形ABCD 的周长为18，其中E 、F 、G 、H 为矩形ABCD 的各边中点，若AB=x ，四边形EFGH 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为________．19．如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A C 、至直线l 的距离分别为2和3，则此正方形的面积为__________．20．如图，在ABC 中，AB AC =，40BAC ∠=︒，以AB 为边作正方形ABDE ，连接CE ，则AEC ∠=________．21．如图，在边长为15cm 的正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、AD 上的点．若45ECF ∠=︒，5cm BE =，则EF 的长为______cm ．22．如图为等边ABC 与正方形DEFG 的重叠情形，其中D 、E 两点分别在AB 、BC 上，且BD BE =．若3AB =，1DE =，则EFC 的面积为______．23．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形1111A B D C ；在等腰直角三角形11OA B 中，作内接正方形2222A B D C ；在等腰直角三角形22OA B 中，作内接正方形3333A B D C ；…；依次作下去，则第2020个正方形2020202020202020A B D C 的边长是_________．24．如图，以Rt ABC 的斜边BC 为边，向外作正方形BCDE ，设正方形的对角线BD 与CE 的交点为O ，连接AO ，若3AC =，6AO =，则AB 的值是__________．25．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC 和AB 上，BE=2，AF=2，BF=4，将①BEF绕点E 顺时针旋转，得到①GEH ，当点H 落在CD 边上时，F ，H 两点之间的距离为______．三、解答题26．正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为BD 上一点，延长AE 到点N ，使AE EN =，连接CN 、CE ．（1）求证：CAN △为直角三角形．（2）若AN =6，求BE 的长．27．正方形ABCD 中，点E 是BD 上一点，过点E 作EF AE ⊥交射线CB 于点F ，连结CE ． （1）若AB BE =，求DAE ∠度数；（2）求证：CE EF =28．（1）尝试探究：如图1，E 是正方形ABCD 的边AD 上的一点，过点C 作CF CE ⊥，交AB 的延长线于F ．①求证：CDE CBF ≌；①过点C 作ECF ∠的平分线交AB 于P ，连结PE ，请探究PE 与PF 的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展应用：如图2，E 是正方形ABCD 的边AD 上的一点，过点C 作CF CE ⊥，交AB 的延长线于F ，连结EF 交DB 于M ，连结CM 并延长CM 交AB 于P ，已知6,2AB DE ==，求PB 的长．参考答案1．C【分析】根据矩形、菱形、正方形、平行四边形的性质进行判断．【详解】A选项：矩形的对角线不一定互相垂直，故不符合题意；B选项：菱形的对角线垂直不一定相等，故不符合题意；C选项：正方形的对角线互相垂直且相等，故符合题意；D选项：平行四边形的对角线相等不一定相等，故不符合题意；故选：C．【点拨】考查了矩形、菱形、正方形、平行四边形的性质．解题关键是熟记平行四边形及特殊的平行四边形的性质．2．B【分析】连接BD，利用正方形的面积等于对角线的积的一半计算即可．【详解】如图，连接BD，正方形ABCD中，2AC=，则BD=AC=2，正方形的面积为=11222 22AC BD⨯⨯=⨯⨯=，故选B．3．B【分析】由正方形和等边三角形的性质得①BCD =90°，①DCE=60°，CD=CE= CB，易得①BCE 是等腰三角形，求出①CBE=15°，利用三角形外角的性质求出①AFB的度数即可．解：①四边形ABCD是正方形，等边①CDE，①①BCD =90°，①ACB=45°，①DCE=60°，CD=CE= CB，①①CBE=①CEB．①①BCE=①BCD+①DCE=90°+60°=150°，①①CBE=15°．①①ACB=45°，①①AFB=①ACB+①CBE=60°．①①AFE=120°．故选：B．【点拨】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形及等边三角形的性质，会运用其性质进行一些简单的转化．4．B【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质与判定分别判别即可．解：A．矩形的对角线相等，不一定互相垂直平分，故A说法错误；B．对角线相等的菱形是正方形，正确；C．两邻边相等的四边形不一定是菱形，故C说法错误；D．对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故D说法错误；故选：B．【点拨】此题主要考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质与判定，熟悉相关性质是解题的关键．5．B【分析】根据翻折变换的性质可以证明四边形ABEB1为正方形，得到BE＝AB，根据EC＝BC﹣BE计算得到EC，再根据勾股定理可求答案．解：①①AB1E＝①B＝90°，①BAB1＝90°，①四边形ABEB1为矩形，又①AB＝AB1，①四边形ABEB1为正方形，①BE＝AB＝6cm，①EC＝BC﹣BE＝2cm，①CB1cm．故选B．【点拨】本题考查的是翻折变换、矩形和正方形的判定和性质，掌握翻折变换的性质及矩形、正方形的判定定理和性质定理是解题的关键．6．C【分析】根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质分别分析各个选项，从而得到答案．【详解】解：A、对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故本选项错误；B、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项错误；C、对角线互相平分，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项正确；D、对角线相等且平分，菱形不具有此性质，故本选项错误．故选C．【点拨】本题考查矩形、菱形、正方形的对角线的性质，注意掌握正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．7．C【分析】根据矩形、正方形和菱形的性质，得出结论即可．【详解】解：A、对角线互相垂直是菱形和正方形具有的性质，矩形不一定具有，不符合题意；B、对角线互相平分是菱形、矩形和正方形共有的性质，不符合题意；C、对角线长度相等是矩形和正方形具有的性质，菱形不一定具有，符合题意；D、一组对角线平分一组对角是菱形和正方形具有的性质，矩形不一定具有，不符合题意；故选：C．【点拨】本题考查了矩形、正方形和菱形的性质；熟练掌握矩形、正方形和菱形的对角线上的性质是解决问题的关键．8．C【分析】根据折叠角相等和正方形各内角为直角的性质即可求得①EBF的度数．解：①①FBE是①CBE折叠形成，①①FBE=①CBE，①①ABF-①EBF=15°，①ABF+①EBF+①CBE=90°，①①EBF=25°，故选：C．【点拨】本题考查了折叠的性质，考查了正方形各内角为直角的性质，本题中求得①FBE=①CBE是解题的关键．9．D【分析】①利用同角的余角相等，易得①EAB=①PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；①利用①中的全等，可得①APD=①AEB，结合三角形的外角的性质，易得①BEP=90°，即可证；①过B作BF①AE，交AE的延长线于F，利用①中的①BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合①AEP是等腰直角三角形，可证①BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；①在Rt①ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积；①连接BD，求出①ABD的面积，然后减去①BDP的面积即可．【详解】解：①①①EAB+①BAP=90°，①PAD+①BAP=90°，①①EAB=①PAD，又①AE=AP，AB=AD，①①APD①①AEB（故①正确）；①①①APD①①AEB，①①APD=①AEB，又①①AEB=①AEP+①BEP，①APD=①AEP+①PAE，①①BEP=①PAE=90°，①EB①ED（故①正确）；①过B作BF①AE，交AE的延长线于F，①AE=AP，①EAP=90°，①①AEP=①APE=45°，又①①中EB①ED，BF①AF，①①FEB=①FBE=45°，又BE ==BF EF ==（故①不正确）； ①如图，连接BD ，在Rt①AEP 中，①AE=AP=1，， 又5PB =BE ∴=①①APD①①AEB ，，①S ①ABP +S ①ADP =S ①ABD -S ①BDP =12S 正方形ABCD 11(422DP BE -⨯⨯=⨯12-122=+①①EF=BF=12AE =，①在Rt①ABF 中，222()4AB AE EF BF =++=①S 正方形ABCD =AB 2，（故①正确）故选：D ．【点拨】本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识．10．C【分析】先找到点A 关于OB 的对称点C ，连结CD 交OB 于点P′，当点P 运动到P′时PA+PD 最短，在Rt①COD 中用勾股定理求出CD 即可．【详解】正方形ABCO ，∴A 、C 两点关于OB 对称，∴连接CD ，交OB 于P '，CP AP ∴'='，AP P D CP PD CD ∴+=+''≥''，当C 、P 、D 三点共线时，PA PD +取最小值，2OD =，6AB CO ==，CD ∴==故选择：C ．【点拨】本题考查动点问题，掌握正方形的性质，与轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理，会利用对称性找对称点，会利用P 、C 、D 三点一线最短，会用勾股定理求出最短距离是解题关键．11．C【分析】由90ABC ∠=︒，PM AB ⊥于点M ，作PN BC ⊥于点N ，可证四边形BMPN 是矩形，由矩形的性质有MN=BP ，要使MN 的最小值就是BP 最小，当BP AC ⊥时，BP 最小利用三角形ABC 的面积来求 ．解：如图所示：连接BP ，①90ABC ∠=︒，PM AB ⊥于点M ，作PN BC ⊥于点N ，①四边形BMPN 是矩形，①MN=BP ，①MN 的最小值就是BP 最小，10AC ==，当BP AC ⊥时，BP 最小68 4.810AB BC AC ⨯⨯===， ① 4.8MN BP ==．故选择：C ．【点拨】本题考查三角形内接矩形的对角线最短问题，掌握点到直线距离的求法，会利用已知条件证明矩形把所求线段进行转化，会利用勾股定理求边长，会利用不同方法求面积是解题关键．12．D【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt①ABG①Rt①AFG ，在直角①ECG 中，根据勾股定理可证BG=GC ；通过证明①AGB=①AGF=①GFC=①GCF ，由平行线的判定可得AG①CF ；分别求出S ①EGC 与S ①AFE 的面积比较即可；求得①GAF=45°，①AGB+①AED=180°-①GAF=135°． 【详解】解：①四边形ABCD 为正方形，将ADE 沿AE 对折至AFE △，①AB=AD=AF=CD=6，①AFG=①AFE=①D=90°，①①AFG =90°，①AG=AG ，①B=①AFG=90°，①Rt①ABG①Rt①AFG （HL ），①BG=FG ，①3CD DE =， ①123EF DE CD ===，EC=4，设BG=FG=x ，则CG=6-x ， 在直角①ECG 中，根据勾股定理，得222(6)4(2)x x -+=+，解得x=3．①BG=3=6-3=CG ，①正确；①CG=BG ，BG=GF ，①CG=GF ，①①FGC 是等腰三角形，①GFC=①GCF ．又①Rt①ABG①Rt①AFG ；①①AGB=①AGF ，①AGB+①AGF=2①AGB=180°-①FGC=①GFC+①GCF=2①GFC=2①GCF ， ①①AGB=①AGF=①GFC=①GCF ，①AG①CF ，①正确； ①1134622GCE S GC CE ∆=⋅=⨯⨯=， 1162622AFE S AF EF ∆=⋅=⨯⨯=， ①EGC AFE S S ∆∆=，①正确；①①BAG=①FAG ，①DAE=①FAE ，又①①BAD=90°，①①GAE=45°，①①AGB+①AED=180°-①GAE=135°，①错误．故选：D．【点拨】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．13．2【分析】根据旋转的性质得出①EAF′=45°，进而得出①FAE①①EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形边长即可．解：将①DAF绕点A顺时针旋转90度到①BAF′位置，由题意可得出：①DAF①①BAF′，①DF=BF′，①DAF=①BAF′，①①EAF′=45°，在①FAE和①EAF′中'' AF AFFAE EAFAE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①FAE①①EAF′（SAS），①EF=EF′，①①ECF的周长为4，①EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=4，①2BC=4，①BC=2．故答案为：2．【点拨】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出①FAE①①EAF′是解题关键．14．AB BC =（答案不唯一）【分析】根据正方形的判定添加条件即可．解：添加的条件可以是AB ＝BC ．理由如下：①四边形ABCD 是矩形，AB ＝BC ，①四边形ABCD 是正方形．故答案为AB ＝BC （答案不唯一）．【点拨】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键，注意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，也可以添加AC①BD ．15．1【分析】根据正方形的对角线相等且互相垂直，正方形是特殊的菱形，菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可． 解：四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴==AC BD ⊥，∴正方形ABCD 的面积11122AC BD =⨯⨯=，故答案为：1．【点拨】本题考查正方形的性质，解题关键是掌握正方形的对角线相等且垂直，且当四边形的对角线互相垂直时面积等于对角线乘积的一半，比较容易解答．16．【分析】动点问题,找到对称轴作对称点,相连即可算出答案,连接CE即为AP+PE的最小值．【详解】连接CE,因为A、C关于BD对称．CE即为AP+PE的最小值．①正方形边长为4,E是AB中点,①BC=4,BE=2．CE=故答案为:【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．17．：45︒：2∠=︒，作PE①AB于E，在Rt APE中利用勾股【分析】利用正方形的性质求得BAC45定理可求得PE的长，根据三角形面积公式即可求解．【详解】过点P作PE①AB于E，如图：①四边形ABCD为正方形，∠=︒，①BAC45∠=︒，在Rt APE中，BAC45①AE=PE，①222AE PE AP +=，即222PE =， ①PE=1，1141222ABP S AB PE ==⨯⨯=， 故答案为：45︒，2．【点拨】本题考查了正方形的性质、勾股定理的应用等知识；熟练掌握正方形的性质是解题的关键．18．21922y x x =-+ 【分析】根据矩形的周长表示出边BC ，再根据EFGH 的面积等于矩形ABCD 的面积的一半列式整理即可得解．【详解】①矩形ABCD 的周长为18，AB=x ，①BC=11892x x ⨯-=-， ①E 、F 、G 、H 为矩形ABCD 的各边中点，①()21199222y x x x x =-=-+， 故答案为：21922y x x =-+． 【点拨】本题主要考查了中点四边形，矩形的性质，熟知中点四边形EFGH 的面积等于矩形ABCD 的面积的一半是本题的关键．19．13【分析】首先证明①ABE①①BCF ，推出AE=BF ，EB=CF ，再利用勾股定理求出AB 2，即可解决问题．解：①四边形ABCD 是正方形，①①ABC=90°，AB=BC ，①①ABE+①CBF=90°，①ABE+①BAE=90°，①①BAE=①CBF ，①AE①EF ，CF①EF ，①①AEB=①CFB=90°，在①ABE 和①BCF 中，BAE CBF AEB CFB AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ABE①①BCF （AAS ），①AE=BF=2，EB=CF=3，①AB 2=AE 2+EB 2=22+32=13，①正方形ABCD 面积=AB 2=13．故答案为：13.【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，灵活应用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．20．25°或65°【分析】根据题意画出图形，分两种情况：正方形ABDE 在AB 的左侧和右侧． 解：在正方形ABCD 中，AE=AB ，EAB=90∠︒当正方形ABDE 在AB 的左侧时，如图EAC=EAB+BAC=9040=130∠∠∠︒+︒︒， AB=AC ，AE=AC ∴，()11AEC=ACE=180EAC =50=2522∴∠∠︒-∠⨯︒︒；当正方形ABDE 在AB 的右侧时，CAE=BAE-904050CAE ∠∠∠=︒-︒=︒，AC AB =，AC AE ∴=，()118050652AEC ACE ∴∠=∠=︒-︒=︒综上所述，25AEC ∠=︒或65︒【点拨】本题考察了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题意正确画出图形是解题的关键．21．12.5【分析】将三角形①FDC 绕着点C 逆时针方向旋转90º到①GBC ，由45ECF ∠=︒推出①ECG =45º=ECF ∠，证①ECF①①ECG （SAS ）得EF=BE+DF ，设DF=x ，在Rt①AEF 中由勾股定理得(5+x)2=(15-x)2+102求出x ，再求EF 解开．【详解】将三角形①FDC 绕着点C 逆时针方向旋转90º到①GBC ，①CF=CG ，①DCF=①BCG ，①45ECF ∠=︒，①①DCF+①ECB=90º-①ECF=90º-45º=45º，①①ECG=①ECB+①GCB=①ECB+①FCD=45º=ECF ∠，在①ECF 和①ECG 中，①CF=CG ，①ECG=ECF ∠，CE=CE ，①①ECF①①ECG （SAS ），①EF=EG=BE+DF ，设DF=x ，AF=(15-x)cm ，EF=(5+x)cm ，AE=15-5=10cm ，在Rt①AEF 中，由勾股定理得，(5+x)2=(15-x)2+102，①x=7.5，①EF=5+7.5=12.5cm ．故答案为：12.5．【点拨】本题考查旋转变换，三角形全等，勾股定理问题，掌握旋转变换的性质，三角形全等得判定方法，勾股定理应构造方程，会解方程是解题关键．22．12【分析】由等边三角形的判定和性质、正方形的性质可求得30FEH ∠=︒、2EC =，再根据含30角的直角三角形的性质得到12FH =，即可求得答案． 解：过点F 作FH BC ⊥于点H ，如图：①ABC 是等边三角形①60B ∠=︒，3BC AB ==①BD BE =①BDE 是等边三角形①60BED ∠=︒①四边形DEFG 是正方形①1EF DE ==，90DEF ∠=︒①30FEH ∠=︒ ①1122FH EF == ①2EC BC BE =-= ①122EFC EC FH S ⋅==． 故答案是：12 【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质、正方形的性质、含30角的直角三角形的性质以及三角形面积公式等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．23．202013【分析】根据题意可知①A ＝45°，①AC 1A 1＝90°，故此①AC 1A 1是等腰直角三角形，同理可证明①BD 1B 1是等腰直角三角形，由A 1B 1C 1D 1是正方形可知AC 1＝C 1D 1＝D 1B ，从而得到C 1D 113＝AB ，同理：C 2D 2＝13A 1B 1，依据规律可求得正方形2020202020202020A B DC 的边长＝202013． 解：①①ABO 是等腰直角三角形，①①A ＝①B ＝45°．①四边形A 1B 1C 1D 1是正方形，①①AC 1A 1＝90°．①①A ＝45°，①AC 1A 1＝90°，①①AC 1A 1是等腰直角三角形．同理①BD 1B 1是等腰直角三角形．①C 1D 1＝13AB ． 同理：C 2D 2＝13A 1B 1， …2020202020202020A B D C 的边长＝202013．故答案为：202013．【点拨】本题主要考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质和判定，证得C 1D 1＝13AB 是解题的关键．24．3【分析】如详解图：作OF AB ⊥垂足为F ，OG AG ⊥的延长线，垂足为G ，可证OFB OGC △≌△,可得四边形AFOG 为正方形，BF=CG ，AF=AG=进而可求得答案． 【详解】如图所示：作OF AB ⊥垂足为F ，OG AG ⊥的延长线，垂足为G ，则四边形AFOG 为矩形，四边形BCDE 是正方形，∴OB=OC ，90BOC ∠=°，9090COG COF BOF COF BOF COG∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠,,OFB OGC OB OC OFB OGCOF OG∠=∠=∴∴=△≌△ S ∴四边形AFDG 为正方形63333AO AF AG AC CG AG AC BF CGAB AF BF AG CG =∴===∴=-==∴=+=+=+=故答案为：3．【点拨】本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质，关键是构造全等三角形证明． 25．【分析】根据旋转的可证明①BEF①①CHE ，作FM①CD 于M ，分别求出FM,MH 的长，利用勾股定理即可求解．【详解】①将①BEF 绕点E 顺时针旋转，得到①GEH ，点H 落在CD 边上，①BE=2，AF=2，BF=4①GH=BF=EC=4，=①在Rt①HEC 中，2=①BE=CH又①①B=①C=90°，BF=CE=4①①BEF①①CHE作FM①CD 于M ，故四边形AFMD 是矩形，①DM=AF=2，MH=CM -CH=2，FM=AD=6=故答案为：【点拨】此题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知勾股定理、正方形的性质、矩形的性质及全等三角形的判定定理．26．（1）见解析；（2）BE =．【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形，易证得①ABE①①CBE ，继而证得AE=CE ，再由AE=CE ，AE=EN ，即可证得①ACN=90°，则可判定①CAN 为直角三角形；（2）由6，易求得CN 的长，然后由三角形中位线的性质，求得OE 的长，继而求得答案．解：（1）证明：①四边形ABCD 是正方形，①①ABD=①CBD=45°，AB=CB ，在①ABE 和①CBE 中，AB CB ABE CBE BE BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，①①ABE①①CBE （SAS ），①AE=CE ；①AE=CE ，AE=EN ，①①EAC=①ECA ，CE=EN ，①①ECN=①N ，①①EAC+①ECA+①ECN+①N=180°，①①ACE+①ECN=90°，即①ACN=90°，①①CAN 为直角三角形；（2）①正方形的边长为6，①AC BD ==①90,ACN AN ∠=︒=①CN ==①,OA OC AE EN ==，①12OE CN ==①12OB BD ==①BE OB OE =+=．【点拨】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定以及勾股定理等知识．注意利用勾股定理求得各线段的长是关键．27．（1）22.5︒；（2）见解析.【分析】（1）用正方形对角线平分对角，等腰三角形性质计算即可；（2）借助正方形的性质，证明三角形全等，运用等角对等边证明即可.【详解】（1）①ABCD 为正方形，①45ABE ∠=︒．又①AB BE =， ①()11804567.52BAE ∠=⨯︒-︒=︒． ①9067.522.5DAE ∠=︒-︒=︒（2）证明：①正方形ABCD 关于BD 对称，①ABE CBE △△≌，①BAE BCE ∠=∠．又①90ABC AEF ∠=∠=︒，①BAE EFC ∠=∠，①BCE EFC ∠=∠，①CE EF =．【点拨】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等，等腰三角形的判定，运用正方形的性质，证明三角形的全等是解题的关键.28．（1）①见解析；①PE=PF ，证明见解析；（2）3【分析】（1）①先判断出①CBF=90°，再证明①DCE=①BCF 即可解决问题．①证明①PCE①①PCF （SAS ）即可解决问题．（2）如图2中，作EH①AD 交BD 于H ，连接PE ．证明①EMH①①FMB （AAS ），由EM=FM ，CE=CF ，推出PC 垂直平分线段EF ，推出PE=PF ，设PB=x ，则PE=PF=x+2，PA=6-x ，理由勾股定理构建方程即可解决问题．解：（1）①如图1中，在正方形ABCD 中，DC=BC ，①D=①ABC=①DCB=90°， ①①CBF=180°-①ABC=90°，①CF①CE ，①①ECF=90°，①①DCB=①ECF=90°①①DCE=①BCF ，①①CDE①①CBF （ASA ）．①结论：PE=PF ．理由：如图1中，①①CDE①①CBF ，①CE=CF ，①PC=PC ，①PCE=①PCF ，①①PCE①①PCF （SAS ），①PE=PF ．（2）如图2中，作EH①AD 交BD 于H ，连接PE ．①四边形ABCD是正方形，①AB=AD=6，①A=90°，①EDH=45°，①EH①AD，①①DEH=①A=90°，①EH①AF，DE=EH=2，①①CDE①①CBF，①DE=BF=2，①EH=BF，①①EHM=①MBF，①EMH=①FMB，①①EMH①①FMB（AAS），①EM=FM，①CE=CF，①PC垂直平分线段EF，①PE=PF，设PB=x，则PE=PF=x+2，PA=6-x，在Rt①APE中，则有（x+2）2=42+（6-x）2，①x=3，①PB=3．【点拨】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。