22.9(1)向量的减法

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向量减法运算及其几何意义(数学优秀课件)

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析几何中的向量减法运算实例
要点一
总结词
要点二
详细描述
向量的模和向量的角度
在解析几何中，向量减法可以用于计算向量的模和向量的角度。通过向量减法运算，我们可以得到一个新的向量，这个向量的模等于原两个向量的模之差，而这个向量的方向则与原两个向量的夹角有关。此外，向量的内积也可以通过向量减法运算来计算，它等于两个向量的模之积乘以两个向量之间的夹角的余弦值。
详细描述
平行四边形法则是一种直观的向量减法方法，通过构造一个平行四边形，将一个向量作为对角线，另一个向量作为邻边。根据向量加法的平行四边形法则，可以推导出向量减法的平行四边形法则。
向量减法的向量分解法则
总结词
向量分解法则是基于向量的分解和合成，通过将一个向量分解为两个或多个分向量，然后利用向量加法和减法的性质进行计算。
02
几何解释
在平面上，向量减法可以理解为将一个向量平移到另一个向量的起点，
然后连接终点，得到的结果向量就是两向量的差。
03
实例
假设有两个向量$vec{A}$和$vec{B}$，它们的起点重合。通过平移
$vec{A}$，使其起点与$vec{B}$的起点重合，然后连接$vec{A}$的终
点和$vec{B}$的终点，得到的结果向量$vec{C} = vec{A} - vec{B}$。
向量减法在实际问题中的应用
物理问题
在解决物理问题时，如力的合成与分解、速度和加速度的计算等，都需要用到向量减法。通过向量减法可以确定一个物体相对于另一个物体的位置和方向。
导航问题
在地理信息系统（GIS）中，利用向量减法可以计算两点之间的位移或方向。例如，计算两点之间的最短路径、确定物体的移动轨迹等。

向量加减法的运算口诀

向量加减法的运算口诀随着数学的不断发展，向量加减法也成为了数学中的一部分。

向量加减法是高中数学中较为重要的知识点，掌握好这一部分的运算口诀对于学生的数学学习和科研工作都十分必要。

本文将详细介绍向量加减法的运算口诀。

一、什么是向量？向量是描述物理现象中的方向和大小的一种数学概念。

在数学中，向量是由方向和大小共同组成的量，它通常用一个由两个数表示的有向线段来表示。

二、向量的加减法1、向量的加法向量的加法包括平面内向量的加法和空间向量的加法。

①平面内向量的加法设有向线段 $a$ 和 $b$ 的起点相同，它们所在直线方向相同，那么它们的和是由起点和终点组成的一条有向线段 $c$，其中 $c$ 的长度等于 $a$、$b$ 的长度之和，方向为 $a$、$b$ 的方向共享的射线上。

加法规律：（1）交换律$$ a+b=b+a $$（2）结合律$$ (a+b)+c=a+(b+c) $$②空间向量的加法在空间中，向量加法的规则同平面内向量的加法，不同点在于空间向量有方向，需要确定向量的起点和终点，因此空间向量加法时需要确定向量所在直线的方向。

向量相加后得到的向量方向与向量 $a$ 和向量 $b$ 的夹角相同。

2、向量的减法向量的减法是指在一个向量上减去另一个向量。

其减法法则是将减去的向量取反，再与初始向量相加得到新向量。

这个新向量的起点和终点与初始向量相同。

$$ a-b=a+(-b) $$其中，$-b$表示向量$b$的方向相反，长度相同的向量，即$-b$的长度为$b$的长度，方向与$b$的方向相反。

三、向量的运算口诀在进行向量的加减法运算时，需要注意以下几点：1、任何一对向量的加减法结果都是一个向量。

2、如果两个向量的方向相同（或者反向），则它们可以相加，否则不能进行加法运算。

3、向量的加法满足交换律和结合律。

4、向量的减法是将减去的向量取反，再用加法规律得到新向量。

5、向量的加减法都是按照终点相加减的。

除了上述基本的向量运算规则，还有以下向量运算口诀：1、相反向量相加得到零向量，即：$\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$2、零向量与任何向量相加得到原向量，即：$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$3、向量加上它的负向量得到零向量，即$\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$4、两个向量的和的平方等于两个向量的长度的平方之和加上两倍的向量相乘。

向量的减法运算ppt课件

法则进行几何表示，那么向量的减法该如何用几何
表示？ B
设由向量减法的定义知
O D
A C
连接AB，在四边形OCAB中， ∵OB∥CA∴OCAB是平行四边形
∴
二、向量减法的几何意义
思考：不借助向量的加法法则你能直接作出
吗？
①将两向量平移,使它们有相同的起点.
②连接两向量的终点.
③箭头的方向是指向 “被减数”的终点. “共起点，连终点，指向被减向量”.长度相等、方向相反1、相反向量零向量
练习：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量．( × ) (2)向量与是相反向量．( √ ) (3)相反向量是共线向量．( √ )
2、向量减法即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
思考：向量的加法可以用三角形法则或平行四边形
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
1.向量加法的三角形法则 2.向量加法的平行四边形法则
首尾相连，起点指向终点. 起点相同，对角为和.
一、向量的减法
向量是否有减法?如何理解向量的减法? 我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反数，如:5-1=5+(-1)
向量的减法是否也有类似的法则？
一架飞机由北京飞往香港,然后再由香港返回北京,我们把北京记作A点, 香港记作B点,那么这架飞机的位移是多少?怎样用向量来表示呢?
“共起点，连终点，指向被减向量”.
“共起点，连终点，指向被减向量”.
平行向量
共线同向
共线向量
共线反向
D C
例3：
如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形
外一点，且
试用向量
表示向量

数学向量的减法学习资料

a
例题1，如果向量a、b互为平行向量，它们的差怎么求呢？
a
(1)
b
a
b . a-b
a
(2)
b
a a-b
.b
平移同起点,方向指向被减数a
例题2，如图,已知向量a,b,c,d,求作向量 a-b,c-d。
bd
a
c
(1)
a-b
c-d
bd
a
.c o
1, 填空
AB - AD = DB BA - BC = CA BC -BA = AC OD -OA = AD OA -OB = BA
a
-a
与向量a的长度（大小）相等，方向相反，这样的向量叫做向量a的相反向量，记作-a。
已知向量a、-b，求作向量a+(-b)。
a -b
解：
(1)平行四边形法则
----相同起点对角线
a
-b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)三角形法则
----收尾相接首到尾
a -b
向量的减法：两个向量的差运算。
a b
a-b
b
可以得出结论：向量的减法的差，方向指向被减数。
结束
2、填空
(1) AB - AC - CB =
0
(2) AB + BC - AD = DC (3) AB + BC - DC = AD
(4) AB - AC + BC =
0
课堂小结:
(1)向量减法的概念。
(2)向量减法可以看作一个向量加上另一个向量的相反向量。
(3)a-b 几何作法:平移同起点,方向指向被减数a 。

数学高中向量的减法教案

数学高中向量的减法教案
教学重点与难点：向量的减法运算规则，向量的减法计算。

教学准备：教材、教具、黑板、粉笔。

教学过程：
一、导入新课（5分钟）
教师向学生简单介绍向量的减法概念，并通过例题引出向量的减法规则。

二、示范与讲解（10分钟）
1. 向量的减法规则：将被减向量取相反向量，再进行加法运算。

2. 用具体的例子进行详细讲解，让学生理解向量的减法运算规则。

三、练习与巩固（15分钟）
1. 让学生做一些简单的向量减法计算练习题，巩固所学的知识。

2. 教师及时纠正学生的错误，指导学生正确解题。

四、课堂小结（5分钟）
通过本节课的学习，让学生总结向量的减法规则，再次强调向量减法的步骤。

五、作业布置（5分钟）
布置相关的作业，巩固学生的学习成果。

教学反思：
本节课主要围绕向量的减法运算展开，通过示范、讲解、练习等多种方式，让学生掌握向量的减法规则。

在教学过程中，要注意引导学生理解向量减法的意义，避免简单地机械运算，鼓励学生多思考多实践，提高数学思维能力。

向量的减法运算

向量的模定义为向量大小或长度，用于衡量向量的“大小”。
详细描述
向量的模可以通过勾股定理计算得出，即向量模的平方等于分量的平方和。在二维平面中，向量模的计算公式为 $sqrt{x^2 + y^2}$；在三维空间中，向量模的计算公式为$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。向量的模具有传递性、三角不等式等基本性质。
反身性
$vec{A} + (-vec{A}) = vec{0}$。
03
向量的减法运算
向量减法的定义
定义
向量减法是通过将一个向量的起点平移到另一个向量的终点，然后按照向量加法的规则进行计算得到的。
数学表示
设$vec{A} = (x_1, y_1)$和$vec{B} = (x_2, y_2)$，则$vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
05
向量减法的注意事项
零向量的特殊性
零向量与任意向量相减，结果仍为该任意向量。
零向量无法与非零向量进行除法运算。
零向量减去零向量结果仍为零向量。
减法运算与加法运算的关系
01
向量的减法可以看作是加法运算的逆运算。
02
向量A减去向量B等于向量A加上向量B的相反向量。
03
向量减法满足结合律和交换律，即A-B-C=A-(B+C) 且A-B=B-A。
化。
电流与电压的减法运算
总结词
描述电流与电压的减法运算在物理中的具体应用。
详细描述
在电路分析中，电流和电压是描述电路工作状态的重要物理量。向量的减法运算在电流与电压的计算中具有实际意义。通过电流的减法运算，可以计算出电路中的总电流和分支电流；通过电压的减法运算，可以分析电路中电位的变化和电能的传输情况。通过这些计算和分析，可以进一步了解电路的工作原理和性能特点，为电子设备和系统的设计提供理论支持。

向量加减法运算

向量加减法运算
向量加法满足和三角形法则。

向量加法的运算律有交换律：
a+b=b+a；：(a+b)+c=a+(b+c)。

向量减法的运算法则为：如果a、b是互为相反的向量，那么a-b=0。

在数学中，向量（也称为向量、几何向量、矢量），指具有大小和方向的量。

它可以形象化地表示为带箭头的线段。

向量定义是既有大小，又有方向的量叫做向量。

在几何上，向量用有向线段来表示，有向线段长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。

其实有向线段本身也是向量，称为几何向量。

在实际问题中，有些向量与其起点有关，有些向量与其起点无关。

由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方。

在只讨论自由向量的约定下，向量可以平行移动，所以两个向量相等的定义如下：定义如果两个向量大小相等，且方向相同，我们就说这两个向量是相等的。

即：经过平行移动后能完全重合的向量是相等向量，或者说它们是同一个向量。

向量的减法

B
b
b
b
b O
首尾相接连端点
2、向量加法的平行四边形法则 D
a a a a a a a a a a a+b b a
C
b
b
b
b
A
b
B
起点相同连对角
3、向量加法的交换律：a b b a .
(a b ) c a (b c ) 4、向量加法的交换律：
解：有向量加法的平行四边形法则， A 得
D
C
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa
B
AC a b;
由向量的减法可得，
DB AB AD a b.
3、判断下列命题是否正确，若不正确，说明理由
1、 AB BA 0
2、 AB OA OB
4、若
（（
）））
3、相反向量就是方向相反的量（
AB BC CA 0
DB AB AD _____; 你能将减法运 CA 算转化为加法 BA BC ______; 运算吗？ AC BC BA ______;
AD OD OA ______;
BA OA OB ______ .
例3:如图：平行四边形ABCD, AB a, AD b,用 a, b D 表示向量 AC, DB. b A 变式一:1、若 AB a, BD d , 用 a, d 表示向量 AC, AD. 2、若 AC c, BD d , 用 c, d 表示向量 AB, AD
，则A、B、C ）
三点是一个三角形的定点（ 5、 0a a （）
6、两个向量是互为相反向量，则两个向量共线（）
√
例2：选择题：

向量的减法运算

Ԧ + ||成立的充要条件是与反向或
Ԧ
与中至少有一个为零向量；
Ԧ
|Ԧ − | = |||
Ԧ − |||成立的充要条件是与同向或
Ԧ
与中至少有一个为零向量.
Ԧ
向量的三角不等式
Ԧ − ≤ Ԧ ± ≤ Ԧ +
Ԧ + ≤ Ԧ + ，当且仅当Ԧ 与同向时取等号，或至少有一个为零向量.
a
b
B
a-b
几何意义 Ԧ − 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
思考3 向量的三角不等式是什么？
Ԧ − ≤ Ԧ ± ≤ Ԧ +
A
A．[3，8]
B．(3，8)
C．[3，13]
D．(3，13)
经典例题
向量减法的几何意义
Ԧ
Ԧ
例1（教材P12 例3）如图，已知向量,
Ԧ , ,
Ԧ ，求作向量
Ԧ − ，Ԧ − .
a
b
b
d
d
a
c
c
O
练一练如图，已知向量,
Ԧ , 不共线，求作向量
Ԧ
Ԧ + − .
Ԧ
经典例题
经典例题
用已知向量表示未知向量
例3（教材P12例4）如图，在平行四边形中， = ，
Ԧ
= ，用
,
Ԧ 表示向量, .
注意向量的方向
向量 AC a + b
向量 DB a - b
练一练如右图, 在四边形中，设 = ，
Ԧ
= ，
Ԧ + Ԧ − .
(2) − − ( − ).
解：(1)原式= − = ;

向量减法运算及其几何意义汇总

向量减法运算及其几何意义汇总向量减法是数学中一种常见的运算方式，用于计算两个向量之间的差值。

它在几何上有重要的意义，可以表示位移、速度、加速度等物理量。

下面将详细介绍向量减法的定义、计算方法以及其几何意义。

1.向量减法的定义向量减法是指通过对两个向量进行相应元素之间的减法运算，得到一个新的向量。

设有两个向量A和A，它们的减法记作A-A，等于将向量A取反后与向量A进行加法运算。

即：A-A=A+(-A)2.向量减法的计算方法向量的减法通过对应分量的相减来完成。

设有两个向量A=(A1,A2,A3)和A=(A1,A2,A3)，则向量减法的计算公式为：A-A=(A1-A1,A2-A2,A3-A3)例如，对于向量A=(3,4,5)和A=(1,2,3)，它们的减法运算结果为：A-A=(3-1,4-2,5-3)=(2,2,2)3.向量减法的几何意义向量减法在几何上有重要的意义，可以表示位移、速度、加速度等物理量。

下面分别介绍它们的几何意义：3.1位移位移可以用向量来表示，通过一个点从起始位置到达终点位置的位移向量。

向量减法可以用来计算两个位置之间的位移向量。

设有两个位置A 和A，它们的坐标表示分别为A(A1,A1,A1)和A(A2,A2,A2)，则A-A即为A到A的位移向量。

例如，若A(1,2,3)为起始位置，A(4,6,8)为终点位置，则位移向量A-A=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。

3.2速度速度是定义为单位时间内位移的向量，可以用向量来表示。

当物体从位置A移动到位置A时，所产生的平均速度向量为A-A，即终点位置向量减去起始位置向量。

通过向量减法可以计算得到物体在单位时间内的平均速度向量。

例如，若物体从A(1,2,3)移动到A(4,6,8)，所产生的平均速度向量为A-A=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。

3.3加速度加速度是定义为单位时间内速度的改变率，也可以用向量来表示。

当物体从位置A移动到位置A时，速度变化的向量为终点速度向量减去起始速度向量。

向量的线性运算：减法

向量减法运算中的注意事项
注意向量的方向
在进行向量减法运算时，需要注意被减向量和减向量的方向。如果方向不一致，需要先进行方向调整再进行减法运算。
注意向量的维度
被减向量和减向量必须具有相同的维度才能进行减法运算。如果维度不同，需要先进行维度调整再进行减法运算。
注意结果的合理性
在进行向量减法运算后，需要检查得到的结果是否合理。例如，如果得到的结果向量为零向量或不合理向量（如模长为负数），则需要重新检查计算过程并找出错误原因。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ位移的分解
当已知质点的合位移和其中一个分位移时，可以通过向量的减法运算求出另一个分位移。同样地，两个分位移的向量差即为质点的位移变化量。
05
向量减法的计算技巧与注意
事项
向量减法的计算步骤
确定被减向量和减向量
在进行向量减法运算时，首先需要确定被减向量和减向量，即明确要进行减法运算的两个向量。
向量的线性运算：减法
• 向量减法的基本概念 • 向量减法的运算规则 • 向量减法在几何中的应用 • 向量减法在物理中的应用 • 向量减法的计算技巧与注意事项
目录
01
向量减法的基本概念
向量减法的定义
向量减法定义
设有两个向量a与b，它们的差a b是一个向量，其方向与a、b的方向有关，大小等于a、b的大小之差。
坐标运算性质
坐标运算具有直观性和便捷性，方便进行向量的加减、数乘等运算。同时，坐标运算也遵循向量加法的交换律和结合律。
03
向量减法在几何中的应用
求解两点的距离
向量减法与距离公式
在二维或三维空间中，两点间的距离可以通过对应向量的减法运算和模长计算得到。
具体应用

向量的加减乘除运算

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量的加法OB+OA=OC。

a+b=(x+x',y+y’)。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：（a+b)+c=a+（b+c).2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0。

0的反向量为0向量的减法AB-AC=CB.即“共同起点,指向被向量的减法减"a=(x,y）b=(x'，y’）则a-b=（x-x',y-y’）。

3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；向量的数乘当λ＜0时,λa与a反方向；向量的数乘当λ=0时,λa=0，方向任意。

当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。

注：按定义知,如果λa=0，那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0)或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=（a·λb).向量对于数的分配律（第一分配律）：（λ+μ）a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ（a+b）=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。

4、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b>并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积(内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=｜a|·|b|·cos〈a,b>；若a、b共线,则a·b=+—∣a∣∣b∣。

向量加法减法法则

向量加法减法法则在数学中，向量是一个具有大小和方向的量，通常用箭头表示。

向量加法和减法是对向量进行运算的两种基本操作，它们遵循一些特定的法则和规则。

本文将详细介绍向量加法和减法法则，以及它们的应用和实际意义。

向量加法法则。

向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量的操作。

假设有两个向量a和b，它们的加法运算可以表示为a + b。

根据向量加法法则，两个向量相加的结果是一个新的向量，其大小等于两个向量大小之和，方向与两个向量的方向相同。

具体而言，如果a =(a1, a2)和b = (b1, b2)，那么它们的和可以表示为a + b = (a1+ b1, a2 + b2)。

向量加法的几何意义可以通过平行四边形法则来理解。

假设有两个向量a和b，它们的起点相同，分别指向平行四边形的相邻两条边。

那么a + b所得到的向量就是对角线的方向和大小。

这个几何意义对于理解向量加法很有帮助。

向量减法法则。

向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。

假设有两个向量a和b，它们的减法运算可以表示为a b。

根据向量减法法则，两个向量相减的结果是一个新的向量，其大小等于两个向量大小之差，方向与从a指向b的方向相同。

具体而言，如果a = (a1, a2)和b = (b1, b2)，那么它们的差可以表示为a b = (a1 b1, a2 b2)。

向量减法的几何意义可以通过平行四边形法则的变形来理解。

假设有两个向量a和b，它们的起点相同，分别指向平行四边形的相邻两条边。

那么a b所得到的向量就是对角线的方向和大小。

这个几何意义对于理解向量减法也很有帮助。

向量加法和减法的应用。

向量加法和减法在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。

在物理学中，力的合成和分解可以通过向量加法和减法来进行计算。

在工程学中，速度、加速度和位移等物理量也可以通过向量加法和减法来进行分解和计算。

在计算机图形学中，向量加法和减法常常用于计算物体的运动轨迹和相对位置。

向量的减法运算课件

√
√
C
练习3
练习4
总结
三个技巧1.搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．2.注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．3.注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．
课堂小结
作业：课时作业（3）
例2:如图,在正方形ABCD中,对角线相交于点O,则有:
典例分析
典例分析
例3
三．|a－b|与|a|，|b|之间的关系
||a|－|b||
|a|+|b|
|a|－|b|
|b|－|a|
|a|+|b|
自主学习
√
×
练习2.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)相反向量一定是共线向量．( )(2)两个相反向量之差等于0.( )(3)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( )(4)两个向量的差仍是一个向量．( )2.设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是( )A．a与b的长度相等 B．a∥bC．a与b一定不相等 D．a是b的相反向量
向量的减法法则：“减去一个向量等于加上这个向量的相反向量”
定义：我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量．
性质：（1）对于任意向量有：a+(-a) = 0.（2）若a，b互为相反向量，则a = -b或 b= -a ，a+b=0.（3）零向量的相反向量仍是零向量．
探究新知
相反向量
6.2.2向量的减法运算
素养目标
学科素养
1.理解理解相反向量的概念。（重点）2.掌握向量减法的运算法则及其几何意义。（重点）3.能用向量的加法和减法解决相关问题。（难点）

22.9(1)向量的减法

向量减法运算及其几何意义(数学优秀课件)

向量加减法的运算口诀

向量的减法运算ppt课件

数学向量的减法学习资料

数学高中向量的减法教案

向量的减法运算

向量加减法运算

向量的减法

向量的减法运算

向量减法运算及其几何意义汇总

向量的线性运算：减法

向量的加减乘除运算

向量加法减法法则

向量的减法运算 课件

向量的减法运算课件