高中数学 平面向量的数量积平移的综合练习课教案 新人教A版必修1
新教材高中数学第1章空间向量的数量积运算教案新人教A版选择性必修第一册
新教材高中数学教案新人教A 版选择性必修第一册：1.1.2 空间向量的数量积运算学习 目 标核 心 素 养1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3.掌握投影向量的概念．(重点)4.能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)1.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养.2.借助投影向量概念的学习，培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养.3.借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.已知两个非零向量a 与b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．如果a 与b 的夹角为90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把a ·b ＝|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)类比探究一下：两个空间向量的夹角以及它们的数量积能否像平面向量那样来定义呢？1．空间向量的夹角 (1)夹角的定义已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；当〈a ，b 〉＝π2时，两向量垂直，记作a ⊥b .2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a ，b 为非零向量) ①a ⊥b ⇔a ·b ＝0.②a ·a ＝|a ||a |cos 〈a ，a 〉＝|a |2.③cos〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |.(3)数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )交换律 a ·b ＝b ·a 分配律a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·ca b a b (2)若a ·b >0，则〈a ，b 〉一定是锐角吗？[提示] (1)若a ·b ＝0，则不一定有a ⊥b ，也可能a ＝0或b ＝0.(2)当〈a ，b 〉＝0时，也有a ·b >0，故当a ·b >0时，〈a ·b 〉不一定是锐角． 3．投影向量 (1)投影向量在空间，向量a 向向量b 投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，c ＝|a |cos 〈a ，b 〉b|b |，则向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量，同理向量b 在向量a 上的投影向量是|b |cos 〈a ，b 〉a |a |. (2)向量a 在平面β上的投影向量向量a 向平面β投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A ′，B ′，得到向量A ′B ′→，则向量A ′B ′→称为向量a 在平面β上的投影向量．这时，向量a ，A ′B ′→的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．[提醒] (1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零； (2)向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律 ，即a ·b ＝a ·c ⇒b ＝c ，a ·b ＝k ⇒b ＝ka，(a ·b )·c ＝a ·(b·c )都不成立．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于非零向量a ，b ，〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉相等．( )(2)对于任意向量a ，b ，c ，都有(a ·b )c ＝a (b ·c )． ( ) (3)若a ·b ＝b ·c ，且b ≠0，则a ＝c ． ( ) (4)(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2． ( )[提示] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材P 8练习T 1改编)在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A ．38B ．14C ．34D ．18B [令底面边长为1，则高也为1，AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝B C →＋CC 1→，∴AB 1→·BC 1→＝(AB →＋BB 1→)·(BC →＋CC 1→)＝AB →·BC →＋BB 1→·CC 1→＝1×1×cos 120°＋12＝12，又|AB 1→|＝|BC 1→|＝ 2.∴cos〈AB 1，BC 1〉＝122×2＝14.故选B.] 3．已知a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，p 和q 是相互垂直的单位向量，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4A [由题意知，p·q ＝0，p 2＝q 2＝1.所以a ·b ＝(3p －2q )·(p ＋q )＝3p 2＋p ·q －2q 2＝3－2＝1.]4．设a ⊥b ，〈a ，c 〉＝π3，〈b ，c 〉＝π6，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则向量a ＋b ＋c的模是________．17＋63 [因为|a ＋b ＋c |2＝(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋a ·c ＋b ·c )＝1＋4＋9＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋1×3×12＋2×3×32＝17＋63，所以|a ＋b ＋c |＝17＋6 3.]空间向量数量积的运算则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3(2)在四面体OABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，G 为△ABC 的重心，求OG →·(OA →＋OB →＋OC →)的值．(1)A [∵CD →＝AD →－AC →，∴AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝0－2×2×cos 60°＝－2.](2)[解] OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝13OB →＋13OC →＋13OA →. ∴OG →·(OA →＋OB →＋OC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OB →＋13OC →＋13OA →·(OA →＋OB →＋OC →)＝13OB →2＋13OC →2＋13OA →2＝13×22＋13×32＋13×12＝143.在几何体中求空间向量的数量积的步骤1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. 3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. 4代入公式a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解.[跟进训练]1．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点，求下列向量的数量积：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→.[解] 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝b ·12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋AA 1→)＝c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.利用数量积证明空间垂直关系【例2】 已知空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC .[思路探究] 首先把向量OG →和BC →均用OA →、OB →、OC →表示出来，通过证明OG →·BC →＝0来证得OG ⊥BC .[证明] 连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ， 又设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |. 又OG →＝12(OM →＋ON →)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋12OB →＋OC→＝14(a ＋b ＋c )，BC →＝c －b . ∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c ) ＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0.∴OG →⊥BC →，即OG ⊥BC .用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题．[跟进训练]2.如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .证明：PA ⊥BD .[证明] 由底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD 知，DA ⊥BD ，则BD →·DA →＝0.由PD ⊥底面ABCD 知，PD ⊥BD ，则BD →·PD →＝0.又PA →＝PD →＋DA →，∴PA →·BD →＝(PD →＋DA →)·BD →＝PD →·BD →＋DA →·BD →＝0，即PA ⊥BD .夹角问题b 〉为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对(2)如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值．[思路探究] (1)根据题意，构造△ABC ，使AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，根据△ABC 三边之长，利用余弦定理求出向量a 与b 之间的夹角即可．(2)求异面直线OA 与BC 所成的角，首先来求OA →与BC →的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．(1)D [∵a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4， ∴以这三个向量首尾相连组成△ABC ；令AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，则△ABC 三边之长分别为BC ＝2，CA ＝3，AB ＝4；由余弦定理，得：cos∠BCA ＝BC 2＋CA 2－AB 22BC ·CA ＝22＋32－422×2×3＝－14，又向量BC →和CA →是首尾相连，∴这两个向量的夹角是180°－∠BCA ， ∴cos〈a ，b 〉＝14，即向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉不是特殊角．](2)[解] ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120° ＝24－16 2.∴cos〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225，∴异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值为3－225.利用向量数量积求夹角问题的思路(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a ·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |求出cos 〈a ，b 〉的值，最后确定〈a ，b 〉的值．(2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小．[跟进训练]3.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，求BC 1→与AC →夹角的大小．[解] 不妨设正方体的棱长为1，则BC 1→·AC →＝(BC →＋CC 1→)·(AB →＋BC →) ＝(AD →＋AA 1→)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋AD →2＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD → ＝0＋AD 2→＋0＋0＝AD 2→＝1， 又∵|BC 1→|＝2，|AC →|＝2，∴cos〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝12×2＝12.∵〈BC 1→，AC →〉∈[0，π]，∴〈BC 1→，AC →〉＝π3.即BC 1→与AC →夹角的大小为π3.距离问题1．用数量积解决的距离问题一般有哪几种？ [提示] 线段长度即点点距、点线距、点面距． 2．求模的大小常用哪些公式？[提示] 由公式|a |＝a ·a 可以推广为|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2.3.如图，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在平面α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，试求A ，D 两点间的距离．[提示] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →，∴|AD →|2＝(AB →＋BC →＋CD →)2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC →＋2AB →·CD ＋2BC →·CD →＝12＋2(2·2·cos 90°＋2·2·cos 120°＋2·2·cos 90°)＝8，∴|AD →|＝22，即A ，D 两点间的距离为2 2.【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．[思路探究] BD →＝BA →＋AC →＋CD →―→|BD →|2注意对〈BA →，CD →〉的讨论，再求出B ，D 间距离．[解] ∵∠ACD ＝90°，∴AC →·CD ＝0，同理可得AC →·BA →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或〈BA →，CD →〉＝120°.又BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·AC→＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝3＋2×1×1×cos〈BA →，CD →〉．∴当〈BA →，CD →〉＝60°时，|BD →|2＝4，此时B ，D 间的距离为2；当〈BA →，CD →〉＝120°时，|BD →|2＝2，此时B ，D 间的距离为 2.求两点间的距离或线段长的方法(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．(2)因为a ·a ＝|a |2，所以|a |＝a·a ，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2.(3)可用|a ·e |＝|a ||cos θ|(e 为单位向量，θ为a ，e 的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．[跟进训练]4.如图所示，在平面角为120°的二面角αAB β中，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A ，B .已知AC ＝AB ＝BD ＝6，求线段CD 的长．[解] ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0.∵二面角αAB β的平面角为120°，∴〈CA →，BD →〉＝180°－120°＝60°. ∴CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2BD →·AB →＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD ＝12.1．空间两向量的数量积与平面向量的数量积类似，由于数量积不满足结合律，因此在进行数量积运算时，一次、二次式与实数运算相同，运算公式也相同，三次及以上必须按式中的运算顺序依次进行运算．2．空间向量数量积运算的两种方法(1)利用定义：利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．3．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．4．空间向量中求两向量夹角与平面向量中的求法完全相同，都是应用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |，解题的关键就是求a ·b 和|a |、|b |.求模时注意|a |2＝a ·a 的应用．1.如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC的中点，则FG →·AB →＝( )A ．34 B ．14 C ．12 D ．32B [由题意可得FG →＝12AC →，∴FG →·AB →＝12×1×1×cos 60°＝14.] 2．已知两异面直线的方向向量分别为a ，b ，且|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，则两直线的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°B [设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |＝－12，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.]3．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________.0 [原式＝AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·(AD →－AB →)＝AB →·(CD →－CA →)＋AD →·(BC →＋CA →)＝AB →·AD →＋AD →·BA →＝0.]4.如图所示，在一个直二面角αAB β的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为________．229 [∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →＝AB →－AC →＋BD →，∴CD →2＝(AB →－AC →＋BD →)2＝AB →2＋AC →2＋BD →2－2AB →·AC →＋2AB →·BD →－2AC →·BD →＝16＋36＋64＝116，∴|CD →|＝229.]5.如图，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是边AB ，CD 的中点．(1)求证：MN 为AB 和CD 的公垂线；(2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与MC 所成角的余弦值．[解] 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意，可知|p |＝|q|＝|r|＝a ，且p ，q ，r 三向量两两夹角均为60°.(1)证明：MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2·cos 60°＋a 2·cos 60°－a 2)＝0∴MN ⊥AB ，同理可证MN ⊥CD .∴MN 为AB 与CD 的公垂线．(2)由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝(MN →)2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －q·p －r ·p )]＝14(a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a22－a22－a22]＝14×2a 2＝a22.∴|MN →|＝22a ，∴MN 的长度为22a .(3)设向量AN →与MC →的夹角为θ，∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q ·p ＋r·q －12r ·p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2·cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2·cos 60° ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a24＋a22－a24＝a22.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ， ∴AN →·MC →＝|AN →|·|MC →|·cos θ＝32a ·32a ·cos θ＝a22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23.从而异面直线AN 与MC 所成角的余弦值为23.。
高中必修1数学a版教案设计
高中必修1数学a版教案设计
教学内容：平面向量
教学目标：学生能够理解和掌握平面向量的概念、运算规则和性质。
教学重点：平面向量的定义、加法、减法、数量积和平行四边形法则。
教学难点：向量的线性运算和向量的性质证明。
教学方法：讲授、示范、实践。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过讲解实际生活中的例子引入平面向量的概念，让学生了解向量的作用和重要性。
二、讲解平面向量的定义和基本性质（15分钟）
教师讲解平面向量的定义、零向量和单位向量的概念，介绍向量的加法和减法规则，并讲解向量的数量积和平行四边形法则。
三、练习与巩固（20分钟）
让学生进行练习，进行向量的加法、减法和数量积计算，巩固所学内容。
四、拓展与应用（15分钟）
引入实际生活中的问题，让学生通过向量的概念和运算规则解决问题，培养学生的应用能力和创新思维。
五、总结与反思（5分钟）
让学生总结本节课所学内容，并检查自己的学习情况，有针对性地进行巩固和提高。
教学过程中，教师要注重激发学生的学习兴趣和主动性，引导学生通过思考和实践提高自己的数学能力。
同时，要根据学生的不同水平和特点，采用灵活多样的教学方式，确保每个学生都能够达到预设的教学目标。
人教版高中数学教案：第5章：平面向量,教案,课时第 (15)
第十五教时教材：平面向量的数量积平移的综合练习课目的：使学生对平面向量数量积的意义、运算有更深的理解，并能较熟练地处理有关长度、角度、垂直的问题。
过程：一、复习：1．平面向量数量积的定义、运算、运算律2．平面向量数量积的坐标表示，有关长度、角度、垂直的处理方法 3．平移的有关概念、公式 二、 例题例一、a 、b 均为非零向量，则 |a +b | = |a -b | 是 的………………（C ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若|a +b | = |a -b | ⇔ |a +b |2 = |a -b |2 ⇔ |a |2 + 2a ⋅b + |b |2 = |a |2 - 2a ⋅b + |b|2 ⇔ a ⋅b = 0 ⇔ a ⊥b例二、向量a 与b 夹角为3π，|a | = 2，|b | = 1，求|a +b |⋅|a -b |的值。
解：|a +b |2 = |a |2 + 2a ⋅b + |b |2 = 4 + 2×2×1×cos 3π+ 1 = 7∴|a +b | =7, 同理：|a -b |2 = 3, |a -b | =3 ∴|a +b |⋅|a -b | =21 例三、 中，= a ，= b ，= c ，= d ， 且a ⋅b = b ⋅c = c ⋅d = d ⋅a ，问ABCD 是怎样的四边形？ 解：由题设：|a |⋅|b |cos B = |b |⋅|c |cos C = |c |⋅|d |cos D = |d |⋅|a |cos A ∵|a | = |c | , |b | = |d | ∴cos A = cos B = cos C = cos D = 0 ∴ 是矩形 例四、 如图△ABC 中，= c ，BC = a ，CA = b ， 则下列推导不正确的是……………（D ） A ．若a ⋅b < 0，则△ABC 为钝角三角形。
高中数学向量平移教案
高中数学向量平移教案
一、教学目标：
1. 理解向量平移的概念和性质；
2. 掌握向量平移的运算规律；
3. 能够应用向量平移解决实际问题。
二、教学内容：
1. 向量平移的定义和表示；
2. 向量平移的性质和运算规律；
3. 向量平移的应用实例。
三、教学过程：
1. 导入：通过一个具体的例子引入向量平移的概念，让学生理解平移是指把一个向量沿着一定方向和距离移动的过程。
2. 讲解：介绍向量平移的定义和表示方法，以及向量平移的性质和运算规律。
特别要强调平移不改变向量的大小和方向，只改变其位置。
3. 练习：让学生进行一些简单的向量平移运算练习，巩固他们的理解和掌握程度。
4. 应用：通过一些实际问题，让学生应用向量平移的知识解决问题，培养他们的实际运用能力。
5. 拓展：引入更复杂的向量平移问题，提高学生的综合运用能力。
四、教学总结：
总结向量平移的概念、性质和运算规律，强调向量平移在数学中的重要性和应用价值。
五、作业：
布置相关的向量平移练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学反思：
反思本节课的教学过程，找出存在的不足之处，为下一节课的教学做好准备。
高中数学第二章平面向量第四节平面向量的数量积第一课时示范教案新人教A版必修
第二章第四节平面向量的数量积第一课时教学设计(一)整体设计教学内容分析本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4(人教A版)§2.4平面向量的数量积的第一课时，本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律，本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程．学生学习情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法．在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上，学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律，对于运算律不一定给全或给对，对运算律的证明可能会存在一定的困难，教学中教师要注意引导学生分析判断．设计思想遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系．教学目标1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义．2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算．3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．教学重点和难点重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用．教学过程活动一：创设问题情境，引出新课1．提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答：向量的加法、减法及数乘运算．这些运算的结果是向量．2．提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？答：物理模型→概念→性质→运算律→应用．3．新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算．导入课题：平面向量数量积的物理背景及其含义．设计意图1．明白新旧知识的联系性．2．明确研究向量的数量积这种运算的途径．活动二：探究数量积的概念1．给出有关材料并提出问题3：(1)如图1所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功：W＝|F||s|cosθ.图12)这个公式有什么特点？请完成下列填空：①W(功)是________量，②F(力)是________量，③s(位移)是________量，④θ是________．(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积．(4)如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？答：两个向量的大小及其夹角余弦的乘积．2．明晰数量积的定义(1)数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量︱a︱︱b︱cosθ叫做a与b 的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝︱a︱︱b︱cosθ.(2)定义说明①记法“a·b”中间的“·”不可以省略，也不可以用“×”代替．②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零．设计意图1．认识向量的数量积的实际背景．2．使学生在形式上认识数量积的定义．3．从数学和物理两个角度创设问题情境，使学生明白为什么研究这种运算，从而产生强烈的求知欲望．3．提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量a 与b的模有关，还和它们的夹角有关．4引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义．5．研究数量积的几何意义(1)给出向量投影的概念：如图2，我们把|b|cosθ(|a|cosθ)叫做向量b在a方向上(a在b方向上)的投影，记作：OB1＝|b|cosθ.图2(2)提出问题5：数量积的几何意义是什么？答：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．设计意图这里将数量积的几何意义提前，使学生从代数和几何两个方面对数量积的特征有了更加充分的认识．6．研究数量积的物理意义(1)请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积．(2)尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：①竖直下降10米；②竖直向上提升10米；③在水平面上的位移为10米；④沿倾角为30度的斜面向上运动10米．分别求重力做功的大小．设计意图通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，巩固对定义的理解；另一方面使学生理解数量积的物理意义，明白学科间的联系，同时也为数量积的性质埋下伏笔．活动三：探究数量积的运算性质1．提出问题6：(1)将尝试练习中的①②③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？(2)比较︱a·b︱与︱a||b︱的大小，你有什么结论？2．请证明上述结论．3．明晰数量积的性质设a和b都是非零向量，则(1)a⊥b⇔a·b＝0；(2)当a与b同向时，|a·b|＝|a||b|；当a与b反向时，|a·b|＝－|a||b|，特别地a·a＝|a|2或|a|＝a·a；(3)|a·b|≤|a||b|.设计意图将尝试练习的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识．活动四：探究数量积的运算律1．提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？答：(1)交换律：ab＝ba；(2)结合律：(ab)c＝a(bc)；(3)分配律：(a＋b)c＝ac＋bc.猜想：①a·b＝b·a；②(a·b)c＝a(b·c)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2．分析猜想：猜想①的正确性是显而易见的．关于猜想②的正确性，请同学们先讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？答：左边是与向量c共线的向量，而右边则是与向量a共线的向量，显然在向量c与向量a不共线的情况下猜测②是不正确的．设计意图要求学生通过对过去所学过的运算律的回顾类比得出数量积的运算律，通过讨论纠错来理解不同运算的运算律不尽相同，看到数学的法则与法则间的相互联系与区别，体会法则，学习研究的重要性．3．明晰：数量积的运算律：已知向量a、b、c和实数λ，则：(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．学生活动：证明运算律(2)在证明时，学生可能只考虑到λ>0的情况，为了帮助学生完善证明，提出以下问题：当λ<0时，向量a与λa，b与λb的方向的关系如何？此时，向量λa与b及a与λb 的夹角与向量a与b的夹角相等吗？5．师生活动：证明运算律(3)设计意图学会利用定义证明运算律(1)(2)，运算律(3)的图形构造有些困难，先让学生讨论，后根据学生的情况加以指导或共同完成．活动五：应用与提高1．学生独立完成：已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，求a·b.设计意图通过计算巩固对定义的理解．2．师生共同完成：已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)，并思考此运算过程类似于哪种实数运算？3．学生独立完成：对任意向量a，b是否有以下结论：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.设计意图让学生体会解题中运算律的作用，比较向量运算与实数运算的异同．4．师生共同完成：已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋k b与a －k b 互相垂直？并讨论：通过本题，你有什么体会？设计意图学会利用数量积来解决垂直问题，体会用数量积将几何问题转化为方程来求解，体现向量的工具性．5．反馈练习(1)判断下列各题正确与否：①若a≠0，则对任一非零向量b ，有a·b≠0.②若a≠0，a·b ＝a·c ，则b ＝c.(2)已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，当a·b<0或a·b ＝0时，试判断△ABC 的形状．设计意图1．加强学生的练习．2．通过观察、问答等方式对学生的掌握情况有了进一步的了解和把握．活动六：小结1．本节课我们学习的主要内容是什么？2．平面向量的数量积有哪些应用？3．我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究的？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？4．类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？设计意图通过学生讨论总结，加强了学生对概念、法则的理解和掌握，体会整个内容的研究过程，明白了为什么要学这些内容，学了这些内容可以做什么，这对以后的学习有什么指导意义．活动七：布置作业1．课本习题2.4A 组1、2、3.2．拓展与提高：已知a 与b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．(本题供学有余力的同学选做)设计意图通过设计不同层次的作业既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到激发兴趣和“减负”的目的．教学反思本节课从总体上说是一节概念教学，从数学和物理两个角度创设问题情境来引入数量积概念，能激发学生的学习兴趣．通过安排学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格和将数量积的几何意义提前，有助于学生更好地理解数量积的结果是数量而不是向量．数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，这两方面的内容按照创设一定的情境，让学生自己去探究、去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明．这样能更清楚地看到数学法则与法则间的联系与区别，体会法则学习研究的重要性，例题和练习的选择都是围绕数量积的概念和运算律展开的，这能使学生更好地掌握概念法则．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高三数学一轮复习讲义 平面向量的数量积及其应用教案 新人教A版
自主梳理1．向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量___.|a ||b |cos θ_____叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作__ a ·b ＝|a ||b |cos θ_____，其中向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影。
投影的绝对值称为射影； 注意 在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0︒≤θ≤180︒。
规定：零向量与任一向量的数量积为___ 0_____. 即00a ⋅= （2）平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影____|b |cos θ_____的乘积. (3) 平面向量数量积的重要性质：①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝__ |a |cos θ________； ②非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔____a·b ＝0____________； ③当a 与b 同向时，a·b ＝__|a||b|___；（两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是__ a·b ＝0__）当a 与b 反向时，a·b ＝__－|a||b|______，a·a ＝__ a 2___＝_|a |2___，|a |＝___a·a ____；（两个非零向量a 与b 平行的充要条件是__ a·b ＝±|a||b|___）④cos θ＝__a·b|a||b|________；⑤|a·b |_≤___|a||b |.2．向量数量积的运算律(1)交换律：a·b ＝__ b·a ______；(2)分配律：(a ＋b )·c ＝___________ a·c ＋b·c _____； (3)数乘向量结合律：(λa )·b ＝__λ(a ·b )______________.3．向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ·b ＝ x 1x 2＋y 1y(2) 设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔ x 1x 2＋y 1y 2＝0 . (3) 设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则Ccos θ＝_____121222221122x y x y +⋅+_____.(4)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝ 22x y + 或|a |＝ x 2＋y 2. (5)若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 AB →＝______(x 2－x 1，y 2－y 1) ___，所以|AB →|＝______222121x -x )+y -y )（（_____.点评：1.向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围. 2.a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b .3.一般地，(a·b )c ≠(b·c )a 即乘法的结合律不成立.因a·b 是一个数量，所以(a·b )c 表示一个与c 共线的向量，同理右边(b·c )a 表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，故一般情况下(a·b )c ≠(b·c )a .4.a·b ＝a·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立.5.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，〈AB →，BC →〉应为120°，而不是60°. 自我检测1.已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a |＝2， |b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝___－3 2 _____.2.在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =4,则AB →·AC →等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．163．已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝ ( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8 B 2(22)a b a b -=-＝2244a a b b -⋅+＝8＝2 2.4.已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为___32_____.5.已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为___655___. 6.设a ，b ，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有____②④____ ①(a·b )c －(c·a )b ＝0；②|a |－|b |<|a －b |；③(b·c )a －(a·c )b 不与c 垂直；④(3a ＋4b )·(3a －4b )＝9|a |2－16|b |2.7.平面上有三个点A （-2，y ），B （0，2y ），C （x ，y ），若A B →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________________．解析 由题意得AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2， BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)．8.若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.解析 合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，这样利用向量关系式，求得MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，所以MA →·MB→＝－2.题型一 平面向量的数量积的运算例1 （1）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是________.2(2)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →， |AD →|＝1，则AC →·AD →等于( ) A.2 3B.32C.33D . 3解法1基底法: ∵BC →＝3BD →，∴AC →＝BC →－BA →＝3BD →－BA →＝3(AD →－AB →)＋AB → ＝3AD →＋(1－3)AB →. 又AD ⊥AB ，|AD →|＝1.∴AC →·AD →＝3AD 2→＋(1－3)AB →·AD →＝ 3.法2定义法设BD ＝a ，则BC ＝3a ，作CE ⊥BA 交的延长线于E ，可知∠DAC ＝∠ACE ， 在Rt△ABD 与Rt△BEC 中， Rt△ABD ∽Rt△BEC 中，BD ADBC EC=,CE ＝3， ∴cos∠DAC ＝cos∠ACE ＝3AC.∴AD →·AC →＝|AD →|·|AC →|cos∠DAC ＝|AD →|·|AC →| cos∠ACE ＝ 3. 法3坐标法变式训练1 (1)若向量a 的方向是正南方向，向量b 的方向是正东方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )＝___－3___.(2)如下图，在ABC △中，3==BC AB ，︒=∠30ABC ，AD 是边BC 上的高，则AC AD ⋅的值等于 （ ） A ．0B ．49C ．4D ．49-【思路点拨】充分利用已知条件的3==BC AB ，︒=∠30ABC ，借助数量积的定义求出． 【答案】B 【解析】因为3==AC AB ，︒=∠30ABC ，AD 是边BC 上的高,23=AD 29cos 4AD AC AD AC CAD AD ⋅=⋅∠==.（3）设向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c|的最大值等于( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 【解析】 ∵a·b＝－12，且|a|＝|b|＝1，∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝－12.∴〈a ，b 〉＝120°.如图所示，将a ，b ，c 的起点平移至同一点O ，则a －c ＝CA →，b －c ＝CB →，∠ACB＝60°，于是四 点A ，O ，B ，C 共圆，即点C 在△AOB 的外接圆上，故当OC 为直径时，|c|取最大值．由余弦定理，得AB ＝OA 2＋OB 2－2·OA·OB·cos〈a ，b 〉＝3，由正弦定理，得2R ＝AB sin 120°＝2，即|c|的最大值为2.题型二 向量的夹角与向量的模例2 已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |； (3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积. 例2 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a·b －27＝61，∴a·b ＝－6. ∴cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3. (2)可先平方转化为向量的数量积.|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.变式训练2 (1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值；(2)已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角.解 (1)∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0.∴α·β＝12.∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10. ∴|2α＋β|＝10.(2)由已知得(a ＋b ＋c )·a ＝a 2＋a·b ＋a·c ＝1＋2cos 120°＋3cos 120°＝－32，|a ＋b ＋c |＝a ＋b ＋c2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b ＋2a·c ＋2b·c＝1＋4＋9＋4cos 120°＋6cos 120°＋12cos 120°＝ 3. 设向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为θ，则cos θ＝a ＋b ＋c ·a |a ＋b ＋c ||a |＝－323＝－32，即θ＝150°，故向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为150°.(3)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．解析 ∵〈a ，b 〉∈(0，π2)，∴a ·b >0且a ·b 不同向．即|i |2－2λ|j |2>0，∴λ<12.当a ·b 同向时，由a ＝k b (k >0)得λ＝－2.∴λ<12且λ≠－2.（4）已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________解 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，y )， PA →＝(2，－y )，PB →＝(1，a －y )， ∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4y )， |PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4y )2，∵点P 是腰DC 上的动点，∴0≤y ≤a ，因此当y ＝34a 时，|PA →＋3PB →|2的最小值为25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5.题型三 平面向量的垂直问题例3 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π). (1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数) (1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－(cos 2β＋sin 2β)＝0， ∴a ＋b 与a －b 互相垂直.(2)解 k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)，a －kb ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)，|k a ＋b ||a －k b |∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴2k cos(β－α)＝－2k cos(β－α). 又k ≠0，∴cos(β－α)＝0.而0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝π2.变式训练3 (1) 已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.①证明：a ⊥b ；② 若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t ).① 证明 ∵a·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .②解 ∵c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，∴c·d ＝[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝－k a 2＋t (t 2－3)b 2＋[t －k (t 2－3)]a·b ＝0， 又a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝1，a·b ＝0， ∴c·d ＝－4k ＋t 3－3t ＝0，∴k ＝f (t )＝t 3－3t4(t ≠0).（2） 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且k a ＋b 的长度是a －k b 的长度的3倍(k >0)．① 求证：a ＋b 与a －b 垂直； ②用k 表示a ·b ；③ 求a ·b 的最小值以及此时a 与b 的夹角θ.点拨： 1.非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2．当向量a 与b 是非坐标形式时，要把a 、b 用已知的不共线的向量表示．但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异．解 ①由题意得，|a |＝|b |＝1，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0， ∴a ＋b 与a －b 垂直．②|k a ＋b |2＝k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝k 2＋2k a ·b ＋1，(3|a －k b |)2＝3(1＋k 2)－6k a ·b .由条件知，k 2＋2k a ·b ＋1＝3(1＋k 2)－6k a ·b ，从而有，a ·b ＝1＋k24k(k >0)．③由(2)知a ·b ＝1＋k 24k ＝14(k ＋1k )≥12，当k ＝1k时，等号成立，即k ＝±1.∵k >0，∴k ＝1.此时cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π3.故a ·b 的最小值为12，此时θ＝π3.（3）设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． ① 若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； ②求|b ＋c |的最大值；③ 若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . ① 解 因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0. 因此tan(α＋β)＝2.②解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)， 得|b ＋c |＝22sin cos )(4cos 4sin )ββββ++-（ ＝17－15sin 2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.③证明 由tan αtan β＝16得sin sin 16cos cos αβαβ=即16cos cos sin sin 0αβαβ-=所以a ∥b .（4）如图4－4－1所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，D 为BC 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE . 解 AD →·CE →＝(AC →＋12CB →)·(CA →＋23AB →)＝－|AC →|2＋12CB →·CA →＋23AB →·AC →＋13AB →·CB →＝－|AC →|2＋12|CB →||CA →|cos 90°＋223|AC →|2cos 45°＋23|AC →|2cos 45°＝－|AC →|2＋|AC →|2＝0， ∴AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .,（5） 在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值解：当A = 90︒时，⋅AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23-当B = 90︒时，⋅BC = 0，BC =AC -= (1-2, k -3) = (-1, k -3) ∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k =311 当C= 90︒时，⋅= 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =2133±题型四 向量的数量积在三角函数中的应用例4 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 32x ，sin 32x ， b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4. (1)求a·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．解 (1)a·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32x ＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32x －sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x >0， ∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122－32. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.变式迁移4 （1）已知△ABC 的面积S ，12AB →·AC →＝3S ，且cos B ＝35，求cos C .解 由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ，则S ＝12bc sin A12AB →·AC →＝12bc cos A ＝3S ＝32bc sin A >0， ∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos A ＝3sin A .又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010.由题意cos B ＝35，得sin B ＝45.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010. ∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－1010. （2）．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，G 是△ABC 的重 心，且56sin A ·GA ＋40sin B ·GB ＋35sin C ·GC ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，m ·n 的最大值为5，求实数k 的值． 解：(1)由G 是△ABC 的重心，得GA ＋GB ＋GC ＝0， ∴GC =-(GA +GB)，由正弦定理，可将已知等式转化为GA +40b GB +35c (-GA -GB)=0a ⋅⋅⋅56整理，得(56a －35c )·GA ＋(40b －35c )·GB ＝0.∵GA ，GB 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧56a －35c ＝0，40b －35c ＝0.由此，得a ∶b ∶c ＝5∶7∶8.不妨设a ＝5，b ＝7，c ＝8，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)m ·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1， 由(1)得B ＝π3，所以A ＋C ＝23π，故得A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.设sin A ＝t ∈(0,1]，则m ·n ＝－2t 2＋4kt ＋1，t ∈(0,1]．令f (t )＝－2t 2＋4kt ＋1，则可知当t ∈(0,1]，且k >1时，f (t )在(0,1]上为增函数，所以，当t ＝1时，m ·n 取得最大值5.于是有：－2＋4k ＋1＝5，解得k ＝32，符合题意，所以，k ＝32.（3）已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径，①判断BP CQ AP CB ⋅-⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由；②求BP CQ ⋅的最大值。
高中数学 平面向量的数量积及运算律教案 新人教A版必修1
第十一教时教材：平面向量的数量积及运算律目的：掌握平面向量的数量积的定义及其几何意义，掌握平面向量数量积的性质和它的一些简单应用。
过程： 一、 复习：前面已经学过：向量加法、减法、实数与向量的乘法。
它们有一个共同的特点，即运算的结果还是向量。
但这种运算与实数的运算有了很大的区别。
二、 导入新课：1． 力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ θ是F 与s 的夹角 2． 定义：平面向量数量积（内积）的定义，a ⋅并规定0与任何向量的数量积为0。
⋅ 3． 向量夹角的概念：范围0︒≤θ≤180︒ 4． 1︒两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 2︒ab 是 3︒在实数中，若a ≠，不能推出b =0。
因为其中cos θ有可能为0。
这就得性质2。
4︒已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c 。
但是a ⋅b = b ⋅如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ab =bc 但a ≠ c5︒在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a a 与c 不共线。
5． 例题、P116—117 例一 （略） 三、 投影的概念及两个向量的数量积的性质：1．“投影”的概念：作图 b 在a 0 当θ = 0︒时投影为 |b |； 当θ = 180︒时投影为 -|b |。
2．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积。
3．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量。
1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |。
人教版高中数学高一数学《平面向量的数量积》学案
平面向量的数量积主备人：赵继森 审核人：张瑞翠理解数量积的运算律；掌握数量积的坐标表示及运算。
二、知识要点： 1、向量的夹角：定义：已知两个 向量a 和b ，作==,，则θ=∠AOB ，叫做向量a 和的夹角注：①夹角的范围： ；②如果向量与的夹角为 时，则与垂直，记作 2、平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量 叫做a 和b 的数量积（或内积），记作⋅，即⋅= ，并规定零向量与任一向量的数量积为 .3、向量的数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 （1）=⋅=⋅ ； （2）=⋅⇔⊥ ；（3）当a 和b 同向时，b a ⋅= ，当a 和b 反向时，b a ⋅= . 特别地：22||a a a a ==⋅或a a ⋅=||；（4）|⋅| ||||a b ⋅；（5）cos α= (α是a 与b 的夹角）. 4、向量数量积的运算律（1）b a ⋅= （交换律）；（2）⋅)(λ= = （数乘结合律）； （3）⋅+)(= （分配律） 5、平面向量数量积的坐标表示 1122(,),(,)a x y b x y ==（1）⋅= . （2）||a = ，||b = . （3）a b ⊥⇔ .（4）若a 与b 的夹角为θ，则cos θ= .（5）若c 的起点坐标和终点坐标分别为1122(,),(,),x y x y 则||c = . 三、课前热身1．已知平面上三点,,A B C 满足||3,||4,||5AB BC CA ===，则=⋅+⋅+⋅ .2．已知向量(2,3),(5,1)a b =--，若(0)ma nb m +≠与a 垂直，则nm等于 . 3．设向量(cos14,cos 76),(cos59,cos31),()a b u a tb t R =︒︒=︒︒=+∈，则||u 的最小值是 .4．若向量a =)(,2x x ，b =)(3,2x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 四、例题选讲：例1：已知4||,3||==b a ，与的夹角为150=θ，求⋅，2)(b a -，||b a -。
2019-2020学年新人教A版必修一 平面向量的数量积及应用 学案
重点：（1）理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；（2）解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.知识点1．平面向量的数量积一、两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.二、平面向量的数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．三、数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．【典例1】（2018·天津高考真题（文））在如图的平面图形中，已知,则的值为A．B．C．D．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.【总结提升】计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．∆中,【变式1】（2019·山西省静乐县第一中学高三月考）在ABC则BC在CA方向上的投影为（）．A．4 B．3 C．-4 D．5【答案】C【解析】对等式两边平方得，，整理得，0⊥，AB AC⋅=，则AB AC，设向量BC 与CA 的夹角为θ， 所以，BC 在CA 方向上的投影为，故选：C.知识点2．平面向量的数量积的性质及运算一、向量数量积的性质1．如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a . 2．a ⊥b ⇔a ·b ＝0.3．a ·a ＝|a |2，|a . 4．cos θ＝||||⋅a ba b .(θ为a 与b 的夹角)5．|a ·b |≤|a ||b |. 二、数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则： 1．a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. 2．a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.3．|a |＝a 21＋a 22.4．cos θ＝||||⋅a ba b ＝.(θ为a 与b 的夹角)【典例2】（2018·浙江高考真题）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是（ ） A ．B ．C ．2D ．【答案】A 【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【思路点拨】 先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【变式2】（2019·浙江高三期末）若向量,,a b c 满足a b ≠，0c ≠且，则的最小值是__. 【答案】2 【解析】设OA a =，OB b =，OC c =，由可知CA CB ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上；设2a b x +=,2a b y -=，则，而c 表示点O 到以AB 为直径的圆上任一点的距离，所以最大值即是点O 到圆心E 的距离加半径，即c x y ≤+，所以，即最小值为2.故答案为2.考点1 平面向量数量积的运算【典例3】（2018·全国高考真题（理））已知向量，满足，，则（ ）A ．4B ．3C ．2D ．0 【答案】B 【解析】因为所以选B. 【总结提升】①已知向量a ，b 的模及夹角θ，利用公式a·b ＝|a ||b|cos θ求解；②对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．【变式3】已知向量，则a 在方向上的投影为（ ）A B C D 【答案】D【解析】因为，所以，则，则a 在b 方向上的投影既是a 在考点2 平面向量数量积的坐标运算【典例4】(2019·成都模拟)已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP →＝λAB →，λ∈R ，若BD →·CP →＝－3，则λ的值为( )A.12 B ．－12 C.13 D ．－13 【答案】A【解析】法一：由题意可得BA →·BC →＝2×2cos π3＝2，BD →·CP →＝(BA →＋BC →)·(BP →－BC →) ＝(BA →＋BC →)·[(AP →－AB →)－BC →] ＝(BA →＋BC →)·[(λ－1)·AB →－BC →]＝(1－λ)BA →2－BA →·BC →＋(1－λ)BA →·BC →－BC →2 ＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3， ∴λ＝12，故选A.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，D (－1，3)．令P (x,0)，由BD →·CP →＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1. ∵AP →＝λAB →，∴λ＝12.故选A.【方法总结】1.已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解． 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b2. 2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.【变式4】（2019·天津高考模拟（理））如图梯形ABCD ，AB CD ∥且5AB =，，E 在线段BC 上，，则AE DE ⋅的最小值为（ ）A ．1513B ．9513C ．15D ．1513-【答案】B【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设，因此，因此，设所以当时，AE DE ⋅最小值为95.13选B. 考点3 平面向量的夹角问题【典例5】（2019·全国高考真题（理））已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若，则___________.【答案】2 3 .【解析】因为，0a b⋅=，所以2=，，所以||3c=，所以．【总结提升】向量夹角问题的解答方法：(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.提醒：〈a，b〉∈[0，π]．【变式5】（2018·四川高考模拟（理））已知向量，满足，，若与的夹角为，则m的值为A．2 B．C．1 D．【答案】A【解析】，又，，，，，即，得或（舍去），故的值为2，故选A.考点4 平面向量的模的问题【典例6】（2019·浙江高考模拟）已知平面向量,a b 不共线，且1a =，1a b ⋅=，记b 与2a b + 的夹角是θ，则θ最大时，a b -=（ ）A ．1 BCD ．2【答案】C【解析】设|b|=x ，则，，所以.易得cos 0θ>，，当24x =时，2cos θ取得最小值，θ取得最大值， 此时.故选C.【规律方法】平面向量模问题的类型及求解方法 (1)求向量模的常用方法①若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.②若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解． (2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．（3）利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决． 【变式6】（2018·浙江高考模拟）已知向量，满足，，则的最小值是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因为，，由绝对值向量三角不等式得：===1，故选A.考点5 平面向量垂直的条件【典例7】（2018年文北京卷）设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若，则m=_________.【答案】【总结提升】平面向量垂直问题的类型及求解方法(1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．(2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．【变式7】（浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟）已知平面向量, 满足，若，则的最小值为__________．【答案】.【解析】设A(x,y)，B(5，0),C(0,5),则=问题转化为点到点A(x,y)的距离和到点D（0,2）的距离之和最小，点在曲线x+y=5（0<x<5）上运动，点A(x,y)在圆上运动，所以|PD|+|PA||PD|+|PO|-r=|PD|+|PO|-3设点O关于直线x+y=5（0<x<5）对称的点为G(5，5), 所以|PD|+|PO|所以|PD|+|PA|.故答案为:。
高中数学必修一高一数学第五章(第0课时)平面向量的数量积及运算律()公开课教案课件课时训练练习教案课
丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。
2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？
（1）（生）：我要节约用水，保护水源。
（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。
（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。
若 < 0，( a)b=| a||b|cos() = |a||b|(cos) = |a||b|cos，
(ab) = |a||b|cos，
a( b) =|a|| b|cos() = |a||b|(cos) = |a||b|cos
3．分配律：(a+b)c=ac +bc
在平面内取一点O，作 =a, =b， =c，
C 向量的数量积满足结合律D a·b是一个实数
2 已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（ ）
A 72B -72 C 36 D -36
3 |a|=3,|b|=4,向量a+ b与a- b的位置关系为（ ）
A 平行B 垂直 C 夹角为 D 不平行也不垂直
4 已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为150°，则(a+b)２＝
甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。
乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。
主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？
齐：主动关好。
小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？
2022年高中数学新人教版A版精品教案《平面向量的数量积（1）》
平面向量的数量积〔1〕教学设计教学目标：1、理解平面向量的数量积的定义及其几何意义。
2、掌握平面向量数量积的性质及运算律。
3、会用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。
教学重点：平面向量的数量积的概念及运算。
教学难点：平面向量的数量积的几何意义教学过程：一、复习回忆：问题1：我们学过向量的哪些运算问题2：它们的运算结果是什么问题3：在向量加法的平行四边形法我们是如何引入的？设计意图:让学生回忆上一节课所学过的运算，得到这些运算的结果都是向量是，将公式中的力与位移推广到一般向量，结果是两个向量的模及其夹角余弦的乘积，这就出项了向量的一种新的运算问题4：通过我们学过物理学知识，我们如何描述功的计算公式？设计意图：从物理学科中引用功的概念，得到力与位移的大小及其夹角余弦的乘积是一个数，从而出现了向量的一种新的运算，这种运算的结果是数而不是向量。
从学生已有的知识引入，易于让学生接受。
二、新课引入：探究一：数量积的含义和性质问题5：假设我们将公式推广到一般向量，其结果该如何描述？揭示：数量积的概念：问题6：向量的数量积运算与向量的加减法和数乘运算结果有什么不同？影响数量积的大小的因素有哪些？进而分析填表：通过表格归纳数量积性质：〔与都是非零向量〕〔1〕⊥·=〔2〕当与同向时，·= 当与反向时，·= 特别的，有，设计意图：通过表格更加直观的得出性质。
类型一：求两向量的数量积例1、设向量与的夹角为60°，且，那么〔〕A B C设计意图：熟悉数量积的公式。
变式1：设向量与的夹角为12021且，那么假设，假设向量∥，⊥，求分别为多少？变式2：，，那么向量与的夹角为变式3：正三角形ABC的边长为1，求〔1〕；〔2〕；〔3〕设计意图：通过及时的练习，稳固刚刚学习的新知识，通过提问，抽取同学答复，加强公式的正用、逆用，以及夹角的找法！探究二：数量积的意义〔物理、几何〕物理意义：功是力与位移的数量积。
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第十五教时
教材：平面向量的数量积平移的综合练习课
目的：使学生对平面向量数量积的意义、运算有更深的理解，并能较熟练地处理有关长度、角
度、垂直的问题。
过程：
一、 复习：
1．平面向量数量积的定义、运算、运算律
2．平面向量数量积的坐标表示，有关长度、角度、垂直的处理方法 3．平移的有关概念、公式 二、 例题
例一、a 、b 均为非零向量，则 |a +b | = |a -b | 是 的………………（C ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
解：若|a +b | = |a -b | ⇔ |a +b |2 = |a -b |2 ⇔ |a |2 + 2a ⋅b + |b |2 = |a |2 - 2a ⋅b + |b|2
⇔ a ⋅b = 0 ⇔ a ⊥b
例二、向量a 与b 夹角为
3
π，|a | = 2，|b | = 1，求|a +b |⋅|a -b |的值。
解：|a +b |2
= |a |2
+ 2a ⋅b + |b |2
= 4 + 2×2×1×cos
3
π + 1 = 7
∴|a +b | =7, 同理：|a -b |2
= 3, |a -b | =3 ∴|a +b |⋅|a -b | =21
中，AB = a ，BC = b ，CD = c ，DA = d ， 且a ⋅b = b ⋅c = c ⋅d = d ⋅a ，问ABCD 是怎样的四边形？
解：由题设：|a |⋅|b |cos B = |b |⋅|c |cos C = |c |⋅|d |cos D = |d |⋅|a |cos A ∵|a | = |c | , |b | = |d | ∴cos A = cos B = cos C = cos D = 0 ∴ ABCD 是矩形
例四、 如图△ABC 中，AB = c ，BC = a ，CA = b ， 则下列推导不正确的是……………（D ） A ．若a ⋅b < 0，则△ABC 为钝角三角形。
B ．若a ⋅b = 0，则△AB
C 为直角三角形。
C ．若a ⋅b = b ⋅c ，则△ABC 为等腰三角形。
D ．若c ⋅(a + b + c ) = 0，则△ABC 为正三角形。
解：A ．a ⋅b = |a ||b |cos θ < 0，则cos θ < 0，θ为钝角 B ．显然成立
C ．由题设：|a |cos C = |c |c os A ，即a 、c 在b 上的投影相等
D ．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC 为正三角形
例五、 已知：|a | =2，|b | = 3，a 与b 夹角为45︒，求使a +λb 与λa +b 夹角为锐
角的λ的取值范围。
解：由题设：a ⋅b = |a ||b |cos α = 3×2×
2
2= 3
(a +λb )⋅(λa +b ) =λ|a |2
+λ|b |2
+ (λ2
+ 1)a ⋅b = 3λ2
+ 11λ + 3
∵夹角为锐角 ∴必得3λ2
+ 11λ + 3 > 0 ∴ 6
85
11-
-<
λ或6
85
11+
->
λ
例六、i 、j 是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的两个单位向量， 且AB = 4i + 2j ，AC =3i + 4j ，
证明：△ABC 是直角三角形，并求它的面积。
解：AB = (4, 2), AC = (3, 4), 则BC = (3-4, 4-2) = (-1, 2), BA = (-4, -2), ∴BA ⋅BC = (-1)×(-4) + (-2)×2 = 0 ∴BA ⊥BC 即△ABC 是直角三角形
|AB | =522422=+, |BC | =5)2()1(22=-+-, 且∠B = 90︒,
∴S △ABC =
5552
21=⨯
⨯
例七、用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。
证：设AB =DC = a , AD =BC = b ∵ABCD 为菱形 ∴|a | = |b |
∴AC ⋅BD = (b + a )(b - a ) = b 2 - a 2 = |b |2 - |a |2
= 0 ∴AC ⊥BD
例八、已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直， a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角。
解：由(a + 3b )(7a - 5b ) = 0 ⇒ 7a 2 + 16a ⋅b -15b 2
= 0 ①
(a - 4b )(7a - 2b ) = 0 ⇒ 7a 2 - 30a ⋅b + 8b 2
= 0 ②
两式相减：2a ⋅b = b 2
代入①或②得：a 2 = b 2
设a 、b 的夹角为θ，则cos θ =
2
122
2
=
=
⋅|
||
|||b b
b a b a ∴θ = 60︒
三、 作业： P150 复习参考五 A 组 19—26 B 组 1—6
A
B C
a c a
b
C
A
B D
a
b。