正弦函数、余弦函数的图象和性质(一)
正弦函数、余弦函数的图象和性质优秀课件 1
四、学法分析
明确告诉学生本节课的重点和难点，引导学
生先自主学习，探讨得到自己的观点，最后 认真观察教学课件的演示。指导学生进行分 组讨论交流，要求学生动手画、动脑想、善 观察、会发现，促进学生知识体系的建构和 数学思想方法的形成。注意面向全体学生， 使学生真正成为学习的主体。
8
五、教学程序设计
3 3 2
o o
2
y sin x , x [ 0 , 2 ]
2
2 2
x x
y cos x , x [ 0 , 2 ]
16
1.4. 正弦函数.余弦函数的图象和性质
5、归纳小结
（1）正弦函数图象的几何作图法； （2）正弦函数、余弦函数图象的五点作图 法；使学生通过作业进一步掌握和巩 固本节内容。 （3）正弦函数与余弦函数图象间的联系。 通过学生自己总结，检测出
x
余弦线OM
三角问题
几何问题
10
2、提出问题，导入课题
教师边启发，边与同学们共 同分析。从一个特殊点出发， 由特殊到一般，符合认知规 律，分散了难点。
0 , 2 （2）如何利用正弦线准确地做出y=sinx， x
的图象?
提出问题，让学生思考，创设问题 情境，激发学生学习的欲望和要求。
-
-
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
图象的最低点 ( 32 ,1)
-1
o
-1 -
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
3 ( , 0 ) ( x 2 2 2 ,0) ) 图象的最低点 ( ,1 15
三角函数的图象与性质 (共44张PPT)
(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. － ， 2 2
解析： 当 故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
上是减函数 － π ， 0 C．在[0，π]上是增函数，在
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
4．求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
sin 2x＞0， 解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
2
π 1－ 5 x通法]
1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；
正弦函数、余弦函数的图象和性质优秀课件1
-
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
图象的最低点 ( 32 ,1)
图象的最高点 与x轴的交点
1-
( 0 ,1) (2 ,1)
-1
o
-1 -
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
3 ( , 0 ) ( x 2 2 2 ,0) 图象的最低点 ( ,1)
2
请单击： 返回
y
1-
(五点作图法)
-1
o
-1 -
与x轴的交点 ( 0,0 ) ( ,0) (2,0)
6
图象的最高点 ( ,1 ) 2
x
3
2
2 3
5 6
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点 y (定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-
例1．画出下列函数的简图
（1）y=sinx+1, x∈[0,2π]
（2）y=－cosx , x∈[0,2π] 解:（1 2）列表
x
sin x cos x sin x 1 cos x
0
22
描点作图
0 -1 11
33 22
2 2
y y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10 1 -1
01 02
1 0 00
1 0 1 -1
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像
1.正弦函数与余弦函数解析式 y=sinx，x∈R y=cosx，x∈R 简谐振动的图象-2（慢动作).swf 简谐运动图像.jpg
1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(1)
2
4
小结：最值的取得点 余弦函 数的值域
练习：求函数y 2 - cos x 的最大值和最小值，并分别 3
写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合。
解：当cos x 取得最大值1时，y 2 cos x 取得最小值1，此时
3
3
x 2k (k Z),即x 6k (k Z ).
3
当cos x 取得最小值 1时，y 2 cos x 取得最大值3，此时
(k Z)
2
(k ,0) (k Z )
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象
y=sin(x+ )=cosx, xR 2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
余弦曲
-4 -3
-2
((00,,111))
3
((22,1,1))
-
(-o122 ,0)
( 2 ,0)
2
((,,--11))
函数
2.函数f(x)=cosx－|cosx|的值域为 ( D )
（A）{0}
(B) [－1,1]
(C) [0,1]
(D) [－2,0]
3.若a=sin46° , b=cos46°, c=cos36°，则a、
b、c的大小关系是 ( )A
(A) c> a > b
(B) a > b> c
(C) a >c> b
减函数；
当 2k
3
x
3
2k
2
时，
23
即4k 4 x 4k 10 时，原函数为
正弦函数、余弦函数的性质(一)
(2) 令 z 2x，x R，则 y sin z，z R
Q sin(z 2 ) sin z sin(2x 2 ) sin 2x 即 sin 2( x ) sin 2x，x R
y sin 2x 的周期是 ；
(3) y 2sin( 1 x )，x R .
26
解：令 z 1 x ，x R，则 y 2sin z，z R
有界性的条件．
例4 求函数 y 2sin x 1 的值域.
sin x 3
解：由已知得 (2 y)sin x 3 y 1
y 2， sin x 3 y 1
2 y 1 sin x 1 | 3 y 1 | 1 | 3 y 1 | | 2 y |
2 y
即 (3 y 1)2 (2 y)2 (4 y 1)(2 y 3) 0
y
y sin x , x R
1
3
5 2
2
3 2
2
0
-1
2
3 2
2 5 3 x
2
y
y cos x , x R
1
3
5 2
2
3 2
2
0
-1
2
3 2
2 5 3 x
2
观察正弦曲线与余弦曲线，可以得出以下结论： 1. 正弦函数和余弦函数的定义域、值域
y=sinx和y=cosx的定义域都是 ____R______. y=sinx和y=cosx的值域都是 __[－__1_，__1_]__.
即x∈[2kπ,2(k+1)π)(k∈Z)上的图象是完全相同的. 即自变量每相差2π，图象就“周而复始”重复出现. （这一特性从正弦线、余弦线的变化规律中也可以看出）
y
y sin x , x R
正弦函数、余弦函数的图象和性质
三、余弦函数y=cosx(xR)的图象
sin(
x+ 2
y 1
)= cosx
y=sinx的图象
2
0 2-12来自3 223
4
5
6
x
y=cosx的图象
余弦函数的“五点画图法”
3 (0,1)、( ,0)、( ,-1)、( ,0)、( 2 , 1) 2 2
2
x [0,2 ]
x
3 2
2
y
(2) 2 1
y=1+cosx, x [0,2 ]
2
3 2
2
x
y (3) 2 1
2
y=2sinx, x[0, 2 ]
-1 -2
3 2
2
x
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抱打别平。第壹卷 第642章 收获其实，在刚才の“课题”中除咯第壹首词是他无意脱口而出外，其它の，都是故意在考水清。因为他对水清轻松地接出咯下句，很是有点儿别服 气。虽然他也晓得，女子无才便是德，所以，别要说他王府の诸人，就是皇宫里の后妃、娘娘们，也没什么几各能识文断字の，更别要说诗词歌赋咯。所以，在震惊之余，更有壹 种别相信の成份，于是他赌气似地故意挑选咯很生僻の诗词。他并别是想要看到她の难堪，他只是想再次验证壹下，他の诸人，是货真价实の博才多学吗？假设别是故意想要课题 の话，他完全可以出壹些简单の题目，类似于：“窗前明月光”、“举杯邀明月”、“明月几时有”、“海上升明月”„„，唐诗宋词里跟“明月”有关の诗词实在是太多咯！可 是，他偏偏出の全是犄角旮旯の，开始还是想考证水清の学问，到后来，又变成咯担心她回答别出来，所以当他故意出完难题之后，倒是他自己先把心都提到嗓子眼儿上咯。而面 对现在の那各结果，完全是意外收获，意外惊喜。原本他过来，并别是为咯课题，他哪里晓得水清会是那么博学？他只是在面对那各他想表达爱慕之心の诸人面前，别晓得如何张 口表白，才无意间风花雪月壹下，却是种下芝麻，收获西瓜。从前他总是苦于和他の诸人们没什么共同语言，谈诗论词完全就是对牛弹琴，全是他自己壹各人唱独角戏。可是，那 么壹各博学多学，与他旗鼓相当の诸人嫁进府里已经七年咯，他才晓得他们俩各人之间有那么多の共同语言，而他竟然白白地浪费咯七年の大好时光!今天晚上，水清之所以那么耐 着性子，非常好心情地跟他有问有答，实在是想着急回去，早回答完咯早完事儿。面对此情此景，水清有些想要笑，怎么感觉就像小时候应付夫子学堂课题似の。刚刚急风骤雨般 の考题出完，王爷由于被水清の才学所震惊，心思有些走神儿，于是半天没什么再出新の考题，沉寂咯半响。水清有点儿摸别清他の意思，明明她全都答对咯，为啥啊他还别结束 课题呢？难道还要再出更难の？就在水清以为那各课题已经结束咯の时候，居然听见他又冒出来咯壹句。“鸳鸯对含罗结，两情深夜月。”其实，他前面出の那些题，居然全被水 清答咯出来，心中既对她大加赞赏，又对自己很有挫败感，然后想也没想，就随口又出咯那壹道题。然而，考题刚壹出口，他の脸颊竟然腾地就红咯！他还会脸红？水清更是被他 莫名地吓咯壹大跳，继而脸色也如他壹样，腾地就通红起来，幸亏有夜色朦胧，幸亏有树影婆娑，否则，她真想找各地缝钻进去。刚刚还很融洽の两各人，刹时变得又尴尬又难堪。 水清实在是被他气得火冒三丈！爷可真是枉为正人君子！那么轻薄、香艳の词句也能说得出口？第壹卷 第643章 落逃就在水清准备回复他说“妾身从别曾学过那首诗”の时候， 他突然开口说咯壹句：“天黑咯，早点儿安置吧”然后逃也似地掉头走掉咯。他逃走咯，逃回咯朗吟阁。望着他落荒而逃の背影，水清只是嘴角微微翘咯壹下：别过就是些风花雪 月の诗词歌赋罢咯，那就叫做才高八斗、学富五车？他未免也太小看她咯吧。那 “经史子集”又该算啥啊？满腹经纶、博古通今？别过他爱怎么想就怎么想吧，以前の她别也壹直 在努力地藏拙吗？虽然现在水清对他の戒备心理较以前降低咯别少，但是，他毕竟是她の爷，身份地位摆在那里，今天或许与她谈笑风生，明天他也照样能够对她雷霆万钧，翻手 是云覆手是雨可是他の拿手好戏。伴君如伴虎，别要以为跟他谈咯几句诗词就别知天高地厚地以为他能发咯慈悲善心。水清对于自己の表现很别满意，因而才会又是别停地后悔又 是别住地告诫壹番。确实，今天の她有点儿忘乎所以，才会与他那么极有耐心地言来语去。为啥啊呢，她也仔细地分析、检讨咯壹番。当然，五小格抓周宴上得知他真の受咯伤， 他真の与吉尔没什么啥啊の真相以后，水清对自己别分青红皂白地误会他而深为自责，那各应该算是壹各比较重要の原因。而最为重要の原因，当然是因为悠思。小丫头第壹次与 他相处，她那番卖力の表现同样让水清很是
正弦函数、余弦函数的图象与性质1
正弦函数、余弦函数的图象与性质➢教学重点：1．正弦函数、余弦函数的图象形状及其主要性质（包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性）．2．充分利用图形讲清正弦、余弦曲线的特性，认真梳理好讲解的顺序（包括推导步骤和图象、简图画法的安排），通过一定的训练使学生正确了解有关概念和图象性质．➢教学难点：1．利用正弦线画出函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象．2．利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线．3．周期函数与（最小正）周期的意义．➢教学方法：多媒体教学．➢教学过程：第一课时正弦函数、余弦函数的图象与性质一、引入课题电脑演示一次函数、反比例函数、二次函数、对数函数、指数函数的图象，并指出研究一种函数，我们都会去研究它的性质，如：定义域、值域、奇偶性、单调性等，而研究这些性质有一个很好的工具就是——函数图象．那么，三角函数的图象究竟是怎样的呢？它的定义域、值域、奇偶性、单调性又是如何的呢？今天，我们就一起来学习这部分内容．二、新课讲授1．正弦函数的图象下面我们一起来画正弦函数的图象．说明：（1）这里将单位圆12等分，如果分得越细，则图象越精确，就像描点法作函数图象，点描得越多，图象越精确；（2）描点；（3）作图．提问：我们作出了正弦函数在区间[)π2,0上的图象，但正弦函数对任意角均有值，即定义域为？（实数集R ）如何作在其他区间上的函数图象呢？由终边相同的角的三角函数值相等知：在区间[)ππ4,2上其函数图象与在[)π2,0上是一样的，在[)0,2π-上也一样，在其他区间上也是一样．每隔2π正弦函数的图象就出现一次重复，如此充满整个实数轴．可以想象，正弦函数的图象是怎样的？（电脑演示完整的正弦函数图象）说明：正弦函数的图象叫做正弦曲线．2．五点法作正弦函数图象可以看出这种方法作三角函数图象是比较精确的，我们称之为：几何法．虽然几何法作图精确，但太麻烦，不容易操作．有没有简单点的方法作三角函数的图象呢？请同学们观察在[0，2π]上正弦函数的图象，它上面哪几个点对函数图象的确定起关键作用？为什么？（基本确定图象的形状）[电脑显示这五个点，以示突出]所以我们只要画出这五个点，这个图形就基本确定了．因此，在精确度要求不太高时（画草图），我们一般可采用这种方法来画三角函数图象帮助我们分析。
正弦函数、余弦函数的图象和性质
1
● ●
o
-1
● 2
●
3 2
●
2
x
例：画出下列函数的简图
(1)y=1+sinx， x [0, 2 ] (2)y= - cosx， x [0, 2 ]
解：(1)按五个关键点列表
x 0
2
0
1
3 2
2
sinx
1+sinx
y 2 1●
0
1
1
2
-1
0
0
1
y=1+sinx x [0, 2 ]
三、余弦函数y=cosx(xR)的图象
sin(
x+ 2
y 1
)= cosx
y=sinx的图象
2
0 2
-1
2
3 2
2
3
4
5
6
x
y=cosx的图象
余弦函数的“五点画图法”
3 (0,1)、( ,0)、( ,-1)、( ,0)、( 2 , 1) 2 2
●
●
●oຫໍສະໝຸດ 23 2●
2
x
(2)按五个关键点列表
x 0
2
-1
1
3 2
2
cosx
-cosx
y 1
1
-1
0
0
0
0
1
-1
y=-cosx x [0,2 ]
●
o
-1 ●
2
●
3 2
●
2
●
x
思考：
2、函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象有什么关系？
高二数学余弦函数、正切函数的图像与性质1
学习时应注意的问题 1.会说明和判断余弦函数的奇偶性. 2.能说明余弦函数的单调性和单调区 间. 3.掌握余弦型函数 y Acosx 的周期性及求法.
• 课堂练习一 1.求使下列函数取得最小值的自变量x的集 合，并写出最小值是什么． ①y＝－2sinx，x∈R ； ②y＝2-cos2x ， x∈R． 2.求下列函数的周期： ①y＝sin3x，x∈R；②y＝cos（5x+1）， x∈R． 3.已知函数ｆ(x)=(sinx+cosx)-|sinx-cosx| 则f(x)的值域是_______
• 余弦型函数 y Acosx A0, 0的 2 定义域R；值域[-A,A]；周期 T . 当 时 y Acos(x ) 为偶函数, 当 2 时y Acos(x )为奇函数； 对称轴由x 求得 x 对称中心横坐标由 x 求得. 2 其单调区间求法与正弦型函数相同。
• 课堂练习二 1.判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=|x|+cosx; (2)f(x)=sinx+cosx; (3)f(x)=cosx|sinx|+sinx|cosx|. 2.已知f(x)是定义在R上的奇函数, 且x>0时, f(x)=sinx+cosx,则在定义域R 上,f(x)=___________. 3.已知函数y=a-bcos3x的最大值为6,最小值为-2, 求a,b的值. 4.求y=cos2x的单调区间. 5．教材５６页－４，５．
余弦函数的图象与性质
学习目标 1.通过本节学习，应掌握余弦函数图象 的画法. 2.会用“五点法”画出余弦曲线简图. 3.能结合余弦函数图象理解余弦函数的 性质(定义域、值域、周期性、奇偶性、 单调性）
正弦函数余弦函数的图象和性质
3 2
2
x
y= - cosx，x[0, 2]
正弦、余弦函数的图象
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y= sinx，x[0, 2] 和 y= cosx，x[ 2 ,
3 2
]的简图：
3 22
x
cosx sinx
0
2
0 2
2 0 -1
3 2
0 1 1 0 y 向左平移 个单位长度 2 2
故变量x只要并且至少要增加到x+π， 函数值就能重复取得，所以y=sin2x， x∈R的T=π
1 3、y 2 sin( 2 x 6 )
x∈R
解：令 z x
1 2
6
，那么x∈R必须并且只要
z∈R，且函数y=2sinz，z∈R的T=2π，由
1 1 于 z 2 x 2 ( x 4 ) 。所以自变量z只 2 6 2 6
余弦曲 线
5 6
-4
-3
-2
-
(o ,0) 2 -1
( ,-1)
x
正弦、余弦函数的图象
例1 画出函数y=1+sinx，x[0, 2]的简图：
x
sinx 1+sinx
y 2
0 0 1
2
0 1
3 2
1 2
-1 0
2 步骤： 0 1.列表 1 2.描点 3.连线
y=1+sinx，x[0, 2] 1
例４、
求下列函数的周期：
1：y=3cosx x ∈R
解：因为余弦函数的周期是2π，所 以自变量x只要并且至少需要增长到 x+2π，余弦函数的值才会重复取得， 函数y=3cosx的值才能重复取得， 所以T=2π。
高中数学 弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)课件 新人教A版必修第一册
[归纳提升] 求三角函数周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数 x 都 满足 f(x＋T)＝f(x)的非零常数 T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ 是常数，且 A≠0，ω≠0)，可利用 T＝|2ωπ|来求． (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别 是对于含绝对值的函数一般可采用此法．
4．若函数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为__3_的周期 函数．
知识点 2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 周期 最小正周期 奇偶性
y＝sin x 2kπ(k∈Z且k≠0)
2π 奇函数
y＝cos x 2kπ(k∈Z且k≠0)
2π 偶函数
想一想：(1)正弦曲线对称吗？ (2)余弦曲线对称吗？ 提示：(1)正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)余弦函数y＝cos x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称．
【对点练习】❶ 求下列函数的最小正周期： (1)y＝sin3x＋π3； (2)y＝|sin x|； (3)y＝sin2πx－π4.
[解析] (1)∵ω＝3，T＝23π. (2)作图如下：
观察图象可知最小正周期为 π. (3)∵ω＝2π，∴T＝22π＝π2.
π
题型二
三角函数奇偶性的判断
典例2 判断下列函数的奇偶性：
∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝
3 2.
[归纳提升] 1．解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周 期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．
2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合 周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加 以推广便可以得到该函数在其他区域内的有关性质．
6.1正弦函数与余弦函数的图像和性质(一)
第六章 三角函数第一节 正弦函数和余弦函数的性质和图像【知识梳理】1、y=sinx 图像及性质定义域：R 值域：[]1,1-最小正周期：π2=T ； 奇偶性：奇函数； 单调递增区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,22,22ππππ； 单调递减区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,232,22ππππ； 对称中心：（0,πk ）； 对称轴：2ππ+=k x最值：1,22max =+=y k x ππ；1,232min -=+=y k x ππ 2、y =cosx 的图像及性质定义域：R 值域：[]1,1-最小正周期：π2=T ； 奇偶性：偶函数；单调递增区间：[]πππk k 2,2-； 单调递减区间：[]z k k k ∈+,2,2πππ；对称中心：（0,2ππ+k ）；对称轴：πk x =最值：1,2max ==y k x π；1,2min -=+=y k x ππ【典型例题分析】例1、作下列函数的简图（复习五点作图法）(1)y=sinx ，x ∈[0，2π]， (2)y=cosx ，x ∈[0，2π]， (3)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， (4)y=-cosx ，x ∈[0，2π]，例2、利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin )1(≥x21cos )2(≤x例3、求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ； (2)y ＝sin2x ，x ∈R 。
变式练习：1、求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么.（1） y=sin(3x+4π)-1 (2)y=sin 2x-4sinx+5 (3) y=xx cos 3cos 3+-2、函数y=ksinx+b 的最大值为2, 最小值为-4，求k,b 的值。
例4、求下列函数的定义域：(1)y ＝1+xsin 1(2)y ＝x cos变式练习：求数的定义域：（1）y=x x 2cos 21cos 3-- （2）y=lg(2sinx+1)+1cos 2-x （3） y=)cos(sin x例5、求下列函数的周期：(1)y ＝3cos x ，x ∈R ； (2)y ＝sin2x ，x ∈R ；(3)y ＝2sin(21x －6π)，x ∈R （4）y=sin(2x+4π)+2cos(3x-6π) （5）y=|sinx| （6）y=23sinxcosx+2cos 2x-1变式练习：求下列函数的最小正周期：（1）y=|sin(2x+6π)| （2）y=cos 2θsin 2θ+1-2sin 22θ例6、已知函数f (x )=x 2cos 12-，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0，2π]上的单调性。
(完整版)正弦和余弦函数的图像及性质
y=
cosx
=
cos(-x)
=
sin[
2
-(-x)]
=
sin(x+
2
)
y 从 向图 左像平中移我 们个看单到位co后sx得由到sinx
2
1
-
-
4
2
o
-
2
-
4
-
x
-
-
－1
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , ……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象
y=
1
2 sinx+
3 2
cosx
=
sinxcos
3
+
cosxsin
3
= sin(x+ 3 )
X+ 3
x
y
0
2
－
3
6
0
1
换元法
3 2
2
2
7
5
3
6
3
0 －1 0
y=sin(x+
3
)图像如下所示
y
最大值为 1，最小值为－1
-
2 1 o- -
12
-
-
2
-
-
2
-
-
x
3
3
-
想一想?
正弦曲线、余弦曲线，它们图象有何特征？
-1 -
y
简图作法 (五点作图法)
图象的最低点(
3 2,
1)
(y1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点( ) 正弦y 函数.余弦函数的图象和性质 6
4.8正弦函数、余弦函数图象与性质1
1-
P1
p
/ 1
作法：(1) 等分 (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 (4) 连线
-
-
-
-
o1
M -1 1A
o 6
3
2
2 3
5
7
6
6
4 3
3
5
2
3
11 6
2
x
-1 -
yy
Q1
Q2
o 1 M 2 M 1-1
-
1-
-
o 6
3
2
2 3
5
7
6
6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-
-
-1 -
l
（四）探索研究——函数y=cosx x∈R的图象。
1-
-
6
4
-
-
2
o
2
-1-
-
余弦曲线
-
-
-
4
6
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，
4,2 ,2,0, 0,2, 2,4,……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同
余弦函数 ycox,sxR的图象
正弦函数.余弦函数的图象和性质
（五）探索研究——函数y=sinx , y=cosx 的性质
24-3-99
y=cosx
R
[-1,1] T=2π 关于y轴对称
正弦函数.余弦函数的图象和性质
正弦函数的单调性
y
1
x
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
3 2
2
5 2
4.8 正弦函数、余弦函数的图象和性质
课题：48正弦函数、余弦函数的图象和性质（1）教学目的：1．理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法．2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法．3．理解并掌握用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式的方法．教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．教学难点：用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：先利用正弦线画出函数，x∈[0,]的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式，把正弦曲线向左平行移动个单位长度，得到余弦曲线接着根据这两种曲线的形状和特点，研究了正弦、余弦函数的性质，然后又研究了正弦函数的简图的画法，简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质最后讲述了如何由已知三角函数值求角，并引进了arcsinx、arccosx、arctanx等记号，以供在后续章节中遇到求角问题时用来表示答案教学过程：一、复习引入：1设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离2．比值叫做的正弦记作：比值叫做的余弦记作：比值叫做的正切记作：比值叫做的余切记作：比值叫做的正割记作：比值叫做的余割记作：以上六种函数，统称为三角函数今天我们要研究怎样作正弦函数、余弦函数的图象，作三角函数图象的方法一般有两种：(1)描点法；(2)几何法(利用三角函数线)．但描点法的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够准确．几何法则比较准确．二、讲解新课：1．正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P 作x轴的垂线，垂足为M，则有，向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．2．用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．第一步：列表首先在单位圆中画出正弦线和余弦线．在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成几等份，过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于角，，,…，2π的正弦线及余弦线（这等价于描点法中的列表）．第二步：描点．我们把x轴上从0到2π这一段分成几等份，把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点．第三步：连线用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．现在来作余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象:第一步:列表表就是单位圆中的余弦线．第二步:描点．把坐标轴向下平移，过作与x轴的正半轴成角的直线，又过余弦线A的终点A作x轴的垂线，它与前面所作的直线交于A′，那么A 与AA′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线A“竖立”起来成为AA′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图象上的点．第三步：连线．用光滑曲线把这些竖立起来的线段的终点连结起来，就得到余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象．以上我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的图象，现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (π,0) (,-1) (2π,0)只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．探究：（1）y=cosx, x∈R与函数y=sin(x+) x∈R的图象相同（2）将y=sinx的图象向左平移即得y=cosx的图象（3）也同样可用五点法作图：y=cosx x∈[0,2π]的五个点关键是(0,1) (,0) (π,-1) (,0) (2π,1)4．用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式：通过例2介绍方法三、讲解范例：例1作下列函数的简图(1)y=sinx，x∈[0，2π]，(2)y=cosx，x∈[0，2π]，(3)y=1+sinx，x∈[0，2π]，(4)y=-cosx，x∈[0，2π]，解：(1)列表例2利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：解：作出正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象：由图形可以得到，满足条件的x的集合为：解：作出余弦函数y=cos，x∈[0，2π]的图象：由图形可以得到，满足条件的x的集合为：四、课堂练习：五、小结本节课我们学习了用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数，余弦函数的图象，用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，并用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式．六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。
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§2．9正弦函数、余弦函数的图象和性质(一)
一、素质教育目标
(-)知识教学点
1．用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象．
2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图．
3．用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式．
(二)能力训练点
1．理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法．
2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法．
3．理解并掌握用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式的方法．(三)德育渗透点
通过作正弦函数和余弦函数的图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神．
二、教学重点、难点、疑点及解决办法
(一)教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．
(二)教学难点：用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象．
(三)教学疑点：作三角函数的图象，三角函数的自变量x要用弧度制来度量．三、课时安排
本课题安排1课时．
四、教与学过程设计
(一)复习正弦线、余弦线
师：上一节课我们研究了三角函数线，现在请一位同学来讲一下什么叫做正弦线、余弦线(师画图2-29)．
生：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x1，y)，过P作x轴的垂线，垂足
为M，则有向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．师：完全正确，现在我们就利用单位圆中的正弦线、余弦线来作正弦函数、余弦函数的图象．
(二)用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象2-30．
师：今天我们要研究怎样作正弦函数、余弦函数的图象，作三角函数图象的方法一般有两种：(1)描点法；(2)几何法(利用三角函数线)．但描点法的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够准确．几何法则比较准确．
师：(边画图边讲)现在我们用几何法作正弦函数、余弦函数的图象．首先在单位圆中画出正弦线和余弦线．在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成几等份，过
…，2π的正弦线及余弦线．这等价于描点法中的列表，这是第一步．
师：第二步是描点．首先说明，为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．
我们把x轴上从0到2π这一段分成几等份，把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点．
第三步是连线，用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．
师：刚才我们作出了正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象，现在来作余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象．第一步是列表，表在哪里？
生：表就是单位圆中的余弦线．
师：第二步是描点．怎样描？
线，又过余弦线O1A的终点A作x轴的垂线，它与前面所作的直线交于A′，那么O1A与AA′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线O1A“竖立”起
来成为AA′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图象上的点．
师：完全正确．第三步是连线．用光滑曲线把这些竖立起来的线段的终点连结起来，就得到余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象．
师：刚才我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的图象，现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．(三)用五点法作正弦函数和余弦函数的简图．
师：刚才画正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象时，哪些点是最关键的？
是最关键的．
师：完全正确．余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象，哪些点是最关键的？
是最关键的．
师：完全正确．我们发现，有五个点在确定图形形状时起着关键的作用，只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．
例1作下列函数的简图
(1)y=sinx，x∈[0，2π]，(2)y=cosx，x∈[0，2π]，
(3)y=1+sinx，x∈[0，2π]，(4)y=-cosx，x∈[0，2π]，
解：(1)列表
(2)列表
解(3)列表(4)列表
(四)用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式．
例2利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：
解：
(五)总结
本节课我们学习了用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数，余弦函数的图象，用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，并用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式．
五、作业
P．169中练习；P．177中1、2；P．192中9．
六、板书设计
七、参考资料
《高级中学代数上册》(必修)教学参考书。