人教A版高中数学必修五课件3.2.2一元二次不等式及其解法习题课.pptx

1.若不等式x2+mx+ m >0的解集为R，则实数m的取值范围是
2
（）
(A)m>2
(B)m<2
(C)m<0或m>2
(D)0<m<2
【解析】选D.x2+mxm+ >0恒成立等价于Δ<0,即m2-4m× <0,
2
2
∴0<m<2,故选D.
2.若函数 y kx2 6kx (k 8) 的定义域为R，则k的取值范 围是( )
0 .
0
2.有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
(1)f(x)≤a恒成立 ［f(x)］max≤a; (2)f(x)≥a恒成立 ［f(x)］min≥a. 【特别提醒】解题时对参数的讨论要做到不重不漏.
【例1】当a为何值时，不等式（a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解是全
体实数？
【审题指导】解答本题应先考虑a2-1=0的情形，然后当a2-1
则实数a的取值范围是（ ）
(A)(-∞,2)
(B)(-∞,2］
(C)(-2,2)
(D)(-2,2］
【解析】选D.当a-2≠0时
-2a4<aa2<220.，2
4
a
2
4
0
a a
2，
2 4
当a-2=0时，-4<0恒成立.
综上所述，-2<a≤2.故选D.
4.如果关于x的不等式2kx2+kx- 3 <0对一切实数x都成立，
2
2
a 4a 2
1 0 2 2a
1 4
即 0
(aa1214
)2
,a 0
1 4
.
∴a= 1时，x≤f(x)≤ (x12+1)对一切实数x都成立.
4
2
∴存在常数 a 1 ,b 1使,c得不1 ,等式x≤f(x)≤ (x2+1) 1
4 24
2
对一切实数x都成立.
一元二次不等式的实际应用 【名师指津】解不等式应用题，一般可按如下四步进行： （1）阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等 关系； （2）引入数学符号，用不等式表示不等关系（或表示成函数 关系）； （3）解不等式（或求函数最值）； （4）回扣实际问题.
解得 3<a<1.
5
综上所述，当 3<a≤1时，原不等式的解为全体实数.
5
【例】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c且f(-1)=0，是否存在
常数a,b,c,使得不等式x≤f(x)≤ 1 (x2+1)对一切实数x都
2
成立，并求出a,b,c的值.
【审题指导】由已知条件列出a、b、c的关系式，用一个参
（A）[1,+∞)
（B）1,+∞)
（C）{0}∪(1,+∞)
（D）[0,1]
【解析】选D.当k=0时，成立.
当k≠0时，若定义域为R,即kx2-6kx+(k+8)≥0的解集为R，
则
k＞0， （ 6k）2
4k
k0＜8k ≤01.
综上k∈[0,1].
3.对于任意实数x,不等式（a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立，
【例】解不等式 a x 1 ＞1(a≠1)
x2
【审题指导】先将其转化为整式不等式，再利用解一元二次
不等式的知识解答，注意分类讨论.
【规范解答】原不等式可化为 a x -11＞ 0,
x2
即（a-1）(x- a )2(x-2)＞0.①
a 1
(1)当a＞1时，①即为(x a (x2-)2)＞0,
a 1
≠0时按
a
2
1求解0, .
0
【规范解答】（1）当a2-1=0，即a=±1时，
若a=1，则原不等式为-1<0,恒成立.
若a=-1，则原不等式为2x-1<0, 即x< 1，不符合题目要求，舍去.
2
（2）当a2-1≠0,即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是
a2 1 0
a 12 4 a2 1 0
【解析】设花坛宽度为x米，则矩形草坪的长为(800-2x) 米，宽为(600-2x)米，根据题意，得（800-2x)(600-2x) ≥ 1×800×600.整理得x2-700x+60 000≥0,解得x≥600(舍
2
去）或x≤100，由题意知x>0,所以0<x≤100. 答：当花坛宽度在（0，100］米的范围内取值时，草坪的 面积不小于空地面积的二分之一.
而 a 2 = 2
a 1
＜0a.
a 1
∴ a ＜22,此时x＞2或x＜ a 2 .
a 1
a 1
(2)当a＜1时，①即为(x- a )2(x-2)＜0,
a 1
而 2a2 a .
a 1 a 1
(ⅰ)若0＜a＜1,则＞a 2,2此时2＜x＜
a 1
a 2; a 1
(ⅱ)若a=0,则（x-2）2＜0,此时无解；
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不等式中的恒成立问题
1【.不名等师式指的津解】集为R的条件 （1）不等式ax2+bx+c>0的解集是全体实数（或恒成立）的
条件是：
当a=0时，b=0,c>0;
当a≠0时，a
0 .
0
（2）不等式ax2+bx+c<0的解集是全体实数（或恒成立）的
条件是：
当a=0时，b=0,c<0;当a≠0时，a
2
∴
ax
2
1 2
x
1 2
恒a 成x 立.
ax 2
1 2
x
1 2
a
1 2
(x2
1)
即
ax (a
2 1
2
1x 2 )x2
1 2 1 2
x
a
a
0
0
恒成立.
对于不等式ax2- 1x+ 1-a≥0恒成立，则
22
a 0
a 0
4a 2
2a
1 4
0
得
(a
1)2 4
,a 0
1 4
.
对于不等式（a- 1）x2+ 1x-a≤0恒成立，则
【规范解答】∵税率降低x个百分点，
∴预计收购量可增加为a( 1 )2万x 担，
100
税率变为 10 由x，题意得
100
100×a(1 2)x× ≥1010x0×a×10%×83.2%，
100 100
即x2+40x-84≤0,解得-42≤x≤2,∴0<x≤2.
即x的取值范围是（0，2］.
与参数有关的分式不等式 【名师指津】将分式不等式转化为整式不等式应注意的问题 （1）在将分式不等式化为整式不等式的过程中应注意分母的 符号，不能冒然将其乘到另一边，正确的方法是移项通分. （2）化为含参数的一元二次不等式后，先讨论二次项系数的 符号，再讨论根的大小，解题过程有条不紊，顺理成章.
(ⅲ)若a＜0，则 a ＜2 2，此时 a＜x2＜2.
a 1
a 1
综上所述：
当a＞1时，不等式的解集为{x|x＜ a 或2 x＞2};
a 1
当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|2＜x＜a 2};
a 1
当a＝0时，不等式的解集为 ；
当a＜0时，不等式的解集为{x| a ＜2 x＜2}.
a 1
【典例】（12分）已知函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图象都 在x轴上方，求实数k的取值范围. 【审题指导】函数图象在x轴上方，由图象的不同情况去分析. 【规范解答】（1）当k2+4k-5=0时，k=-5或1. 若k=-5，则y=24x+3的图象不可能都在x轴上方，故k≠-5. ……………………………………………………………………3分 若k=1，则y=3的图象都在x轴上方. ………………………5分
【特别提醒】解答应用题一定要注意问题的实际意义和单 位统一.
【例2】政府收购某种农产品的原价是100元/担，其中征税标准 为每100元征10元（叫做税率为10个百分点，即10%），计划收 购a万担，为了减轻农民负担，现决定将税率降低x个百分点， 预计收购量可增加2x个百分点，要使此项税收在税率调节后不 低于原计划的83.2%，试确定x的取值范围. 【审题指导】税收=征税总额×税率，建立税收随税率降低的百 分点x变化的函数关系，然后用不等式表示不等关系即可.
(2)若k2+4k-5≠0则所给函数为二次函数，应有
…k…2…04…k …5… 0…,即…8kk分
5k 1 k
1
19
0
0
解得1<k<19. …………………………………………………10分
由（1）、（2）得1≤k<19. ………………………………12分
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
数表示其他参数，然后利用不等式求解.
【规范解答】已知f(-1)=a-b+c=0
①
若存在常数a,b,c使得x≤f(x)≤ (x12+1),
2
则1≤f(1)≤1,∴f(1)=a+b+c=1
②
由①②得b=1 , a+c=1 ,则f(x)=ax2+1 x+1 -a,
2
2
22
∵x≤f(x)≤ (x12+1)对一切实数x都成立，
8
则k的取值范围是_______.
【解析】当k=0时, 3<0对一切实数x都成立.
8