4 数理方程第四章 行波法
数理方程教材
数理方程教材一、数学建模基础本部分将介绍数学建模的基本概念、原理和方法，为后续的数理方程学习奠定基础。
重点将放在如何将实际问题转化为数学模型，以及如何运用数学工具进行求解。
二、常微分方程本部分将介绍常微分方程的基本概念、分类和求解方法。
内容将涵盖初值问题、通解、特解、存在唯一性定理等，以及常见的求解方法如分离变量法、积分因子法等。
三、偏微分方程本部分将介绍偏微分方程的基本概念、分类和求解方法。
内容将涵盖特征线法、行波法、傅里叶级数法等，同时还将介绍一些常见的偏微分方程类型如热传导方程、波动方程等。
四、线性代数本部分将介绍线性代数的基本概念、性质和定理。
内容将涵盖向量、矩阵、线性空间、线性变换等，以及一些常见的线性代数问题如矩阵的逆、行列式等。
五、傅里叶分析本部分将介绍傅里叶分析的基本概念、性质和定理。
内容将涵盖傅里叶级数、傅里叶变换等，以及其在信号处理、图像处理等领域的应用。
六、拉普拉斯变换本部分将介绍拉普拉斯变换的基本概念、性质和定理。
内容将涵盖拉普拉斯变换的积分公式、变换的性质、逆变换等，以及其在控制系统、电路分析等领域的应用。
七、泛函分析本部分将介绍泛函分析的基本概念、性质和定理。
内容将涵盖函数的连续性、可微性、收敛性等，以及一些常见的泛函分析问题如极值问题、变分法等。
八、变分法本部分将介绍变分法的基本概念、性质和定理。
内容将涵盖函数的变分、泛函的极值等，以及其在最优控制、最小二乘法等领域的应用。
同时还将介绍一些常见的变分法问题如欧拉方程、拉格朗日方程等。
九、差分方程本部分将介绍差分方程的基本概念、分类和求解方法。
内容将涵盖差分方程的解的存在唯一性定理、通解和特解等，以及常见的求解方法如迭代法、递推法等。
同时还将介绍一些常见的差分方程类型如线性差分方程、非线性差分方程等。
《数学物理方程》第四章§1
2/16
2u 2u a2 2 t 2 x
2u 2u a2 2 0 t 2 x
2 2 ( 2 a 2 2 )u 0 t x
0 1 0 a 2
dx 令 dt
2 a 2 0
a
x at x at
t t a a 1 1 x x
0 a a a 1 1 a 1 0 a 2 1 1
0 2a 2
《百科全书》不仅在于提供知识,而更重要的在 于改变读者的思想。 向前进，你就会产生信念 ————达朗贝尔
达朗贝尔脱下了微分学的神秘外衣 ————马克思
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2u 2u a2 2 t 2 x
u( x , t ) = f1(x + at ) + f2(x – at )
u t 0 u ( x ), t
2a 2 0
3/16
0 1 0 a 2
0 2a 2
2a 2 0
( t , x ) ( , )
2u 2u a2 2 0 2 t x
2u 0
2u 4a 2 0
x , x [0,1 / 2] ( x ) 1 x , x [1 / 2,1] 0, 其它
随着时间的推移, u2 的图形以速度 a 向x 轴正方向 移动. 所以,u2表示一个以速度a 沿 x 轴正方向传播 的行波，称为右行波。
8/16
2u 2u a2 2 t 2 x u u t 0 ( x ), t
《数学物理方程讲义》课程教学大纲
《数学物理方程讲义》课程教学大纲第一部分大纲说明一、课程的作用与任务本课程教材采用的是由高等教育出版社出版第二版的《数学物理方程讲义》由姜礼尚、陈亚浙、刘西垣、易法槐编写《数学物理方程讲义》课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门限选课。
数学物理方程是工科类及应用理科类有关专业的一门基础课。
通过本课程的学习，要求学生了解一些典型方程描述的物理现象，使学生掌握三类典型方程定解问题的解法，重点介绍一些典型的求解方法，如分离变量法、积分变换法、格林函数法等。
本课程涉及的内容在流体力学、热力学、电磁学、声学等许多学科中有着广泛的应用。
为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。
它将直接影响到学生对后续课的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。
数学物理方程又是一门公认的难度大的理论课程。
二、课程的目的与教学要求1 了解下列基本概念:1) 三类典型方程的建立及其定解问题(初值问题、边值问题和混合问题)的提法，定解条件的物理意义。
2) 偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念，线性问题的叠加原理。
3) 调和函数的概念及其基本性质(极值原理、边界性质、平均值定理)。
2 掌握下列基本解法1) 会用分离变量法解有界弦自由振动问题、有限长杆上热传导问题以及矩形域、圆形域内拉普拉斯方程狄利克雷问题;会用固有函数法解非齐次方程的定值问题，会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题;2) 会用行波法(达郎贝尔法)解无界弦自由振动问题，了解达郎贝尔解的物理意义;了解齐次化原理及其在解无界弦强迫振动问题中的应用;3) 会用傅立叶变换法及拉普拉斯变换法解无界域上的热传导问题及弦振动问题;4) 了解格林函数的概念及其在求解半空间域和球性域上位势方程狄利克雷问题中的应用;5)掌握二阶线性偏微分方程的分类二、课程的教学要求层次教学要求层次:有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求;有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握” 三个层次要求。
数理方程总结完整终极版
00|()()t t u x ux t ϕψ===⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩拉普拉斯算子：四种方法:分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法 定解问题：初始条件.边界条件.其他 波动方程的初始条件:热传导方程的初始条件初始时刻的温度分布 :泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件：不含初始条件，只含边界条件条件 波动方程的边界条件: (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：(2)自由端：x =a 端既不固定，又不受位移方向力的作用.(3) 弹性支承端：在x =a 端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
定解问题的分类和检验：(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。
• 解的存在性：定解问题是否有解；• 解的唯一性：是否只有一解；• 解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应的微小k z j y i x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇u u ∇=grad 2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅∇=∇22222y u x u u ∂∂+∂∂=∇0(,)|()t u M t M ϕ==0|0,x u ==(,)0u a t =变动。
分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。
把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。
适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等分离变量法步骤：一有界弦的自由振动 二有限长杆上的热传导 三拉普拉斯方程的定解问题常用本征方程 齐次边界条件2''0(0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X xλλββπβ+=⎧⎨==⎩====0,1,2,0,1,2,λ0,1,2,λ非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。
4 数理方程第四章 行波法
第四章 行 波 法
我们已经熟悉常微分方程的求解，一般是先求方程的通 解，再用初始条件去确定通解中的任意常数而得到特解。 因此我们也想仿照这个方法来求解偏微分方程的定解问 题。即先求偏微分方程的通解，再用定解条件确定通解 中的任意常数或函数。但是偏微分方程的通解不那么容 易求，用定解条件确定函数往往更加困难，通过分析， 我们发现这种方法主要适用于求解（元界区域的）齐次 波动方程的定解问题。齐次波动方程反映介质一经扰动 在区域里不再受到外力的运动规律。如果问题的区域是 整个空间，由初始扰动所引起的振动就会在一往无前地 传播出去，形成行（进）波。故我们把这种主要适用于 求解这类行波问题的方法称为行波法。本章将介绍这种 方法。
u2 ( x, t ) ( x, t , )d
0
t
1 t x a (t ) 0 xa (t ) f ( , )dd 2a
从而原问题的解为 1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a 1 t x a (t ) 0 xa (t ) f ( , )d d 2a
x at
2ase
s 2
s 2
ds
2
e
] 1 [ e 2
x at 2 x at s
x at
e
ds2
e ( x at )
6 相关概念 1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a
2013/10/16
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a
行波法求解偏微分方程
行波法求解偏微分方程引言偏微分方程是数学中重要的研究对象之一，它描述了自然界中许多现象的变化规律。
解决偏微分方程的问题在科学和工程领域具有广泛的应用。
行波法（也称为特征线法）是一种常用的方法，用于求解一阶和二阶偏微分方程。
本文将介绍行波法的基本原理、步骤以及应用示例。
行波法的基本原理行波法基于特征线理论，通过沿特定方向传播的特征线来求解偏微分方程。
对于一阶偏微分方程，其特征线可以直接得到；对于二阶偏微分方程，需要通过变换将其转化为一阶形式后再进行求解。
行波法的步骤1.对于一维偏微分方程，首先确定其特征线。
对于二维和三维情况，则需要确定多组特征线。
2.沿着特征线进行坐标变换，将原始偏微分方程转化为常微分方程。
3.解常微分方程得到参数函数。
4.将参数函数代入坐标变换公式，得到原始偏微分方程的解。
行波法的应用示例一阶偏微分方程考虑一维线性对流方程：∂u ∂t +a∂u∂x=0其中，a为常数。
根据行波法的步骤，我们可以得到特征线方程：dxdt=a解特征线方程可得特征线为直线x=at+C，其中C为常数。
将坐标变换x=at+C 代入原始偏微分方程，并进行求解，即可得到原始偏微分方程的解。
二阶偏微分方程考虑二维波动方程：∂2u ∂t2−c2(∂2u∂x2+∂2u∂y2)=0首先确定两组特征线：dx dt =c, dydt=c解特征线方程可得特征线为直线x=ct+C1和y=ct+C2，其中C1,C2为常数。
沿着特征线进行坐标变换：x′=x−ct−C1, y′=y−ct−C2将坐标变换后的偏微分方程进行求解，得到参数函数。
然后将参数函数代入坐标变换公式，即可得到原始偏微分方程的解。
总结行波法是一种求解偏微分方程的有效方法，通过确定特征线并进行坐标变换，可以将原始偏微分方程转化为常微分方程进行求解。
行波法在物理学、工程学等领域具有广泛的应用，可以用于描述波动、传热、扩散等现象。
掌握行波法的基本原理和步骤对于解决实际问题具有重要意义。
行波法
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例7、求下面柯西问题的解：
2u x 2
2
2u xy
2u 3 y 2
0
u
y0
3x 2 ,
u y
y0 0
解：特征方程为：
dy2 2dxdy 3dx2 0
特征线方程为：3x y C1, x y C2
引入阶跃函数：
H
(x)
0( x 0) 1(0 x )
则： H (x) (x)
所以定解问题的解可以进一步表达为：
u(x,t) I
2a
xx0 at ( )d
xx0 at
I
2a
H ( )
xx0 at xx0 at
I
2a
H
x
x0
at
H
x
x0
at
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、无界域上波动方程定解问题求解
1、达朗贝尔公式
无限长细弦的自由横振动的齐次定解问题为：
utt a2uxx (x R,t 0)
u t0 (x) ut t0 (x)
(1) 由第2章第4节的方法，求出泛定方程通解为：
u(x,t) f1(x at) f2 (x at)
t 0
xa(t ) xa(t )
f
(, )d d
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
数理方程题库
第一章定义和方程类型1、34233(,,)v v v xyv g x y z x x y z∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( D )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶 1、22(,,)vxy v g x y z z∂+=∂ 是( A )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶1、33232(,,)v v vv xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( C )偏微分方程A 、 一阶B 、二阶C 、 三阶D 、 四阶 2、2(,)txx u a u f x t -= (其中0>a ) 属于( A )型偏微分方程A 、 抛物B 、双曲C 、 椭圆D 、 混合 2、2(,)ttxx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( B )型偏微分方程A 、 抛物B 、双曲C 、 椭圆D 、 混合2、22(,,)tt xx u a u x y t ϕ+= (其中0>a ) 属于( C )型偏微分方程 A 、 抛物 B 、双曲 C 、 椭圆 D 、 混合 2、(,)xx yy u u f x y += (其中(,)u u x y =) 属于( C )型偏微分方程A 、 抛物B 、双曲C 、 椭圆D 、 混合 4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ A ）A 22()()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u uf x y x y抖+=抖 C 22(,)(,)cos u ua x tb x t x x t抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z ∂∂∂++=∂∂∂∂ 7、下列方程是非齐次方程的是（ A ）A(,)(,)0u uxy f x y f x y x y 抖+=?抖， B 2,0t xx u a u a =?C 22(,)(,)0u u a x t b x t x t 抖+=抖 D 34330v v v x x y z ∂∂∂++=∂∂∂∂3、在用分离变量法求解定解问题200,0,0|0,|0|()t xx x x x l t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪==⎨⎪=⎩时，得到的固有函数系为( D ) A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x ln π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π C 、{},...2,1,sin =n x n π D 、 ,...2,1,2)12(sin =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x ln π 3、在用分离变量法求解定解问题⎪⎩⎪⎨⎧====><<=====)(|),(|0|,0|0,0,0002x u x u u u t l x u a u t t t l x x x x xx tt ψϕ时，得到的固有函数系为( B )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πB 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πC 、(21)cos ,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ D 、 ,...2,1,2)12(sin =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x l n π3、在用分离变量法求解定解问题⎪⎩⎪⎨⎧===><<====)(|0|,0|0,0,002x u u u t l x u a u t l x x xx t ϕ时，得到的固有函数系为( A )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πC 、(21)cos,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ D 、,...2,1,2)12(sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x l n π7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上的值0,),,(|≥Γ∈=Γt M t M u μ 的边界条件，称为第( A )类边界条件。
数理方程第4讲-课件
13
设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在+ 上具有一阶连 续偏导数, 在 内具有连续的所有二阶偏导数,
在(4.6)中令 Puv,Quv,Ruv, x y z
则有
(u2v)dV uxvxuyyvuzvzdV
unvdS,
14
(u2v)dV uxvxuyyvuzvzdV unvdS,
u|=f.
(4.1)
第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问
题, 或简称狄氏问题.
4
§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问 题. 拉普拉斯方程的连续解, 也就是说, 具有二阶 连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函 数, 称为调和函数. 所以, 狄氏问题也可以换一
种说法: 在区域内找一个调和函数, 它在边 界上的值为已知.
题的解是惟一的. 如果不具有这个条件, 外
问题的解可能不惟一, 例如, 在单位球面
外求调和函数, 在边界上满足 u| =1, 容易看
出, u1(x, y, z) 1及u2 (x, y, z)
1
都
x2 y2 z2
在单位球外满足拉普拉斯方程, 并且在单位
球面 上满足上述边界条件.
对于二维拉氏方程, 外问题在无穷远点的条
5
(2) 第二边值问题 在某光滑的闭曲面上给
出连续函数 f, 要求寻找这样一个函数
u(x,y,z), 它在内部的区域中是调和函数,
在+上连续, 在上任一点处法向导数 u
n 存在, 并且等于已知函数 f 在该点的值:
u f ,
(4.2)
n
这里 n 是的外法向矢量.
行波法与积分变换法-3-0
（一）达朗贝尔公式（一维波动方程的解） 达朗贝尔公式（一维波动方程的解） 但事情往往并不是绝对的， 但事情往往并不是绝对的，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的 通解(指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。 通解 指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。 指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解 本节我们就一维波动方程，来建立它的通解公式， 本节我们就一维波动方程，来建立它的通解公式，然后由它得到初值 问题解得表达式。 问题解得表达式。
下面， 条件： 下面，我们将利用初始 条件：
( 3.7 )
u( x ,0) = ϕ ( x ) , ut ( x ,0) = ψ ( x )
来确定（ 从而得到它的解。 来确定（3.6）式中的任意函数 f 1 、f 2 , 从而得到它的解。
由 u( x , t )
t =0
= ϕ ( x ) ，得
f1 ( x) + f2 ( x) = ϕ ( x)
方程
2 ∂ 2u 2 ∂ u =a 2 ∂t ∂ x2
，在条件 u( x ,0) = ϕ
和 ut ( x ,0) = ψ
下的解
u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] +
1 2
1 2a
∫
x + at
x − at
ψ (ξ )dξ
( 3.11)
为什么这里的积分限会是如此？ 为什么这里的积分限会是如此？
然后，利用初始条件，确定通解中的任意常数， 然后，利用初始条件，确定通解中的任意常数，
从而得到特解。 从而得到特解。
对于偏微分方程， 一般说来是不行的， 对于偏微分方程，能否采用类似的方法呢 ？一般说来是不行的， 原因之一：在偏微分方程中，相对而言较难定义通解的概念。 原因之一：在偏微分方程中，相对而言较难定义通解的概念。 原因之二：即使对某些方程能够定义并求出通解， 原因之二：即使对某些方程能够定义并求出通解，但此通解中包含有任意 函数，要由定解条件确定出这些任意函数， 函数，要由定解条件确定出这些任意函数，往往会遇到很大的 困难。 困难。
行波法与积分变换法——数学物理方程
1 3 u f1 3 x f1 f2 x f 2 1 3 f1 0 f2 0 C
其解中得f1 , ff21是3两x个二94x次2连34续C可微函数.
于是原方程 f的1 通x 解 为14 x 2
4
4
3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
例 求方程 u x x 2 s in xu x y c o s2x u y y c o sx u y 0
的一般解. 解 特征方程为
d y 2 2 s in x d x d y c o s 2x d x 2 0
dy sinx1 dx
rat 1( )d , r at 0
at)
u
(r,t)
(r
at
)
0
(r
at
)
(at
r
)
0
(at
r
)
2r
1 2ar
atr
atr 1( )d , r at 0
3.2 三维波动方程的泊松公式
二. 一般情况
令
u(r,
t)
f1 x f2 x x ……………①
u t| t 0 a f ' 1 ( x a 0 ) a f 2 ' ( x a 0 )
a '1 x f a '2 x fx ……………②
由第二式得
f1xf2xa10xdC.............③
进一步有
2tu 2 a22ru rr2u 20 2(tr2u)a22(rr2u)0
数理方程教案08
教师教案( 2008—2009学年第一学期 )课程名称：数学物理方程与特殊函数授课学时：32学时授课班级：微固学院、光电学院2007级任课教师：钟尔杰教师职称：副教授教师所在学院：应用数学学院电子科技大学第一章 绪论授课时数：共2学时 1次课完成本章教学内容 一．教学内容及要求 1. 教学内容1.1常微分方程基础(1学时)； 1.2常用算符与函数(1学时)；2. 教学要求(1)复习二阶常微分方程通解概念；(2)学会求解二阶常微分方程的常数变易法； (3)了解格林公式和高斯公式。
二．教学重点与难点 1. 教学重点二阶常系数常微分方程求解方法。
2. 教学难点二阶常微分方程的常数变易法。
三．教学方式1． 提问方式：常系数齐次二阶常微分方程求解方法；2． 类比方式：一阶常微分方程与二阶常微分方程常数变易法对比3． 绘图方式：绘制多边形图形说明格林公式应用，绘制三维立体说明高斯公式应用。
四、作业 思考题：1.微分方程和代数方程的最大区别是什么?2.常系数齐次二阶常微分方程的系数满足什么条件时,通解中含有正弦函数？3.给定两个函数y1和y2,如何构造朗斯基行列式？4.谐振动中的参数 ω有何意义？5.不定积分dx x ⎰cos 与⎰dx y x ),cos(的结果有何区别？五、本章参考资料蔡日增，俞华英, 数学物理方法学习与解题指导, 长沙：湖南科学技术出版社，1988 六、教学后记本章主要介绍数理方程与特殊函数课的主要内容，回顾与数理方程相关的微积分内容，并介绍数理方程的历史背景和工程背景以及课程中的常用数学思想方法。
重点是常微数方程的求解方法，二阶常微分方程常数变易法，按计划完成了教学内容，效果较好。
第二章定解问题与偏微分方程理论授课时数：共6学时分为3次课完成本章教学内容一．教学内容及要求1. 教学内容2.1波动方程及定解条件(2学时)；2.2热传导方程及定解条件(1学时)；2.3方程的化简与分类(3学时)。
课件_行波法
8. 利用行波法来讨论一端固定的半无界弦的自由振动问题 延拓法
2 2u u 2 0 (t 0,0 x ), 2 a 2 x t u ( x) (0 x ) t 0 : u ( x), t x 0 : u 0
由前文中推导可见，自由振动情况下的波动方程的解可以表示 为形如F(x-at)和G(x+at)的两个函数的和。由此可以特别清楚地看出 波动传播的性质。
u( x, t ) F ( x at) G( x at)
~ F ( x) u
x0
at
~ F ( x at) u
O
x0 at
x0
6. 特征线 在前面的讨论中，我们看到在 (x,t) 平面上斜率为±1/a 的 直线x=x0-at和x=x0+at对波动方程的研究起着重要作用，它们 称为波动方程的特征线。我们看到，扰动实际上沿特征线传 播。扰动以有限速率传播，是弦振动方程的一个重要特点。 行波法又叫特征线法
7. 相关概念
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a
u y 0 x 2 , u x 1 cos y
2
1 2 x h( x) p(0) cos y y h(1) p( y ) 6 2
1 h(1) p(0)
1 2 x cos y y h( x) p(0) h(1) p( y ) 6 1 2 2 h( x) p ( y ) x cos y y 1 6 1 3 2 1 2 2 u ( x, y ) x y x cos y y 1 6 6
行波法-1
1 1 x + at u ( x, t ) = ⎡ ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) ⎤ + ψ (ξ ) dξ ⎣ ⎦ ∫ 2 2a x − at (11)
2 ∂ 2u 2 ∂ u = a 2 ∂t ∂x 2
(1)
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = 2 +2 + 2 2 ∂x ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
(3)
2 2 2 ⎡ ∂ 2u ∂ u ∂ u ∂ u⎤ 2 = a ⎢ 2 −2 + 2⎥ 2 ∂t ∂ξ∂η ∂η ⎦ ⎣ ∂ξ
(4)
• 将(3)及(4)代入(1)得 2 ∂ u (ξ ,η ) =0 ∂ξ∂η
3. 行波法
分离变量法 • 求解有限域内定解问题的一个常用方法 行波法
• 一种只能用于求解无界域内波动方程定解问 题的方法，即求解波动方程柯西问题的方法
3.1一维波动方程的达朗贝尔公式
常微分方程的知识
⎧ 例如： ⎪ y '' ( t ) = 0 ⎪ ⎨ y (0) = 0 ⎪ 1 ⎪ y '(0) = 3 ⎩
u2 = f 2 ( x − at ) u2 = f 2 ( x ) u2 = f 2 ( x − a )
t＝0
t＝1
u2 = f 2 ( x − a / 2 )
u2 = f 2 ( x − 2a )
t＝1/2
t＝2
达朗贝尔公式的物理意义
数理方程第四章
⎧ ⎫ ⎞ ∂u ⎪ ⎪ ⎡ ∂v 1 ∂ 1 ⎤ ⎛ 1 u ( M 0 ) = ∫∫ ⎨u ⎢ − ( )⎥ + ⎜ − v ⎟ ⎬ dS Γ ⎜ 4π rMM ⎟ ∂n ⎪ ⎢ ∂n 4π ∂n rMM 0 ⎥ ⎝ 0 ⎦ ⎠ ⎪ ⎩ ⎣ ⎭
1 vΓ = 4π rMM 0
其中v为调和函数
Γ
⎞ ∂ ⎛ 1 u ( M 0 ) = − ∫∫ u ⎜ − v ⎟ dS Γ ∂n ⎜ 4π r ⎟ MM 0 ⎝ ⎠
解：G ( M , M 0 ) = 1 4π
= − 1 4π 4π
⎡ 1 1 ⎤ − ⎢ ⎥ rMM 0 rMM1 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦
(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2
1
(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + (z + z0 )2
∂G ( M , M 0 ) u ( M 0 ) = − ∫∫ f ( M )dS ∂n Γ ∂G ( M , M 0 ) = ∫∫ |z =0 f ( x, y )dS ∂z Γ
∂ 1 1 ∂u ∫∫Γ (u ∂n ( rMM ) − rMM ∂n )dS 0 0
⎧ ⎡ ∂v 1 ∂ 1 ⎤ ⎛ 1 ⎞ ∂u ⎫ ⎪ ⎪ u ( M 0 ) = ∫∫ ⎨u ⎢ − ( )⎥ + ⎜ − v ⎟ ⎬ dS Γ ⎜ ⎟ ∂n ⎢ ∂n 4π ∂n rMM 0 ⎥ ⎝ 4π rMM 0 ⎪ ⎣ ⎪ ⎦ ⎠ ⎭ ⎩
第四章
拉普拉斯方程的格林函数法
一 、拉普拉斯方程边值问题的提法
1 第一边值问题（狄氏问题）
uΓ = f
2 第二边值问题（牛曼问题）
∂u = f ∂n Γ
第四讲行波法dhh
二阶线性微分方程的特征方程
定义２ 考虑下面二阶线性微分方程 （３） （４）
2u 2u 2u u u a11 2 2a12 a22 2 b1 b2 cu f 0 xy x y x y
方程 即
a11 (dy) 2 2a12 dxdy a22 (dx) 2 0
数学物理方程
utt a2uxx 4a2u
2 2u u 2 a u 0 2 2 t x
u 0 d f ( )
u f ( )d f 2 ( ) F ( ) G ( )
u( x, t ) F ( x at ) G( x at )
解：齐次方程直接利用达朗贝尔公式：
1 1 x at 2 u sin( x at ) sin( x at ) d 2 2a x at t 2 2 2 sin x cos at (3 x a t ) 3
数学物理方程
x x utt 9u xx e e 例2 求定解问题： u ( x, 0) x, ut ( x, 0) sin x
式中 ( x), ( x) 均为已知函数，表示初始位移和初始速度。 特征线族
dx dx dx 2 a 0, a 0 a 0 dt dt dt 1 1 t x c1 , t x c2 a a
2
x at c1 , x at c2
解：一维非齐次波动方程初值问题解的Kirchoff公式
a 3, f ( x, t ) ex e x , ( x) x, ( x) sin x
关于x奇函数
u关于x奇函数
数学物理方程
3-2 延拓法求解半无限长振动问题 • （一）半无限长弦的自由振动问题
9 数理方程-行波法
3 x t x t
4/16
数学物理方程——行波法 原方程化为标准型:
2u 8 0 2u 0
u = f1(3x – t ) + f2(x + t )
f 1 (3 x ) f 2 ( x ) 3 x 2 f1 (3 x ) f 2 ( x ) 0
达朗贝尔公式
1 1 x at u ( x, t ) [( x at) ( x at)] xat ( )d 2 2a
10/16
数学物理方程——行波法
x 当 t a
时, x – at ≥0
1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at) ( x at)] xat ( )d 2 2a
12/16
数学物理方程——行波法
非齐次方程的柯西问题
(B)
2u 2u a 2 2 f ( x, t ) t 2 x u u t 0 0, t 0 0 t
2w 2w a2 2 t 2 t x w w t 0, t f ( x, ) t
t 0
如果 w(x, t, τ )是齐次方程柯西问题
(B)’
的解,则
u( x, t ) w( x, t , )d 是原问题(B)的解。
13/16
数学物理方程——行波法 引入变换: s = t – τ 则问题(B)’ 化为如下形式
wss a 2 wxx , ( s 0, x ) ( x ) w s 0 0, ws s 0 f ( x, ), ( x )
u t 0
u 3x , 0 t t 0
2
解: 微分方程对应的特征线方程为
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2 2
2u 2u 2 (dy)2 a 2 (dx)2 0 02 4 1 (a 2 ) 4a 2 0 a 0 2 2 x y 双曲型方程 2u 2u 2 0 (dy)2 (dx)2 0 0 2 4 1 1 0 x 2 y 椭圆型方程 2 u u a2 2 (dy)2 0 0 2 4 1 0 0 t x 抛物型方程
第四章 行 波 法
第四章 行 波 法
我们已经熟悉常微分方程的求解，一般是先求方程的通 解，再用初始条件去确定通解中的任意常数而得到特解。 因此我们也想仿照这个方法来求解偏微分方程的定解问 题。即先求偏微分方程的通解，再用定解条件确定通解 中的任意常数或函数。但是偏微分方程的通解不那么容 易求，用定解条件确定函数往往更加困难，通过分析， 我们发现这种方法主要适用于求解（元界区域的）齐次 波动方程的定解问题。齐次波动方程反映介质一经扰动 在区域里不再受到外力的运动规律。如果问题的区域是 整个空间，由初始扰动所引起的振动就会在一往无前地 传播出去，形成行（进）波。故我们把这种主要适用于 求解这类行波问题的方法称为行波法。本章将介绍这种 方法。
2u 0
(dy )2 ( A B)dxdy AB(dx) 2 dy Adx dy Bdx 0 2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu 0 x xy y x y
特征方程 A(dy)2 2 Bdxdy C (dx)2 0
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
u ( x)
1 [e ( x at ) 2
2
2
e e
( x at ) 2
]
1 2a
1 [e ( x at ) 2
1 [e ( x at ) 2
2
( x at ) 2
( at
2 2 2u u u u u 2u 2 u 2 u A 2 AB B 2 B x A B x A x 2 2 u u u u u y y y
2u 2u 2u ( A B) AB 2 2 x xy y 2 2 2u 2u 2u 2u 2 u 2 u A 2 AB B ( A B) A 2 ( A B) B 2 2 2
x at
2ase
s 2
s 2
ds
2
e
] 1 [ e 2
x at 2 x at s
x at
e
ds2
e ( x at )
6 相关概念 1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a
2u 2u 2u ( A B) AB 2 0 2 xy x y
u u u u u A B x x x
y Ax
y Bx
2013/10/16
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a
5 达朗贝尔公式的应用
utt a 2 u xx 0, x x2 x2 u |t 0 e , ut |t 0 2axe
x , t x
x , t1 0 x
2 2 a2 2 , x , t1 0 2 x t1 ( x, 0) 0, ( x, 0) f ( x, ), x t1 1 x at1 1 x a (t ) ( x, t1 ) f ( , )d xa(t ) f ( , )d 2a x at1 2a
u2 ( x, t ) ( x, t , )d
0
t
1 t x a (t ) 0 xa (t ) f ( , )dd 2a
从而原问题的解为 1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a 1 t x a (t ) 0 xa (t ) f ( , )d d 2a
t
t
P( x, t )
依赖区间
x x1 at
x x2 at
x at
t
x at
x
决定区域
x1
x at
x2
x
x at C 特征线
x x2 at
x x1 at
影响区域
x at
特征变换
x1
x2
x
行波法又叫特征线法
7 非齐次问题的处理 2u 2u a 2 2 f ( x, t ), x , t 0 2 t x u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x), x t u 利用叠加原理将问题进行分解： u1 u2
2 u2 2 u2 a 2 2 f ( x, t ), x , t 0 2 t x u ( x, 0) 0, u2 ( x, 0) 0, x 2 t 利用齐次化原理，若 满足：
2 2 2 , 2 a 2 t x ( x, ) 0, ( x, ) f ( x, ), t t u 则： 2 ( x, t ) ( x, t , )d 0 t 令：1 t 2 2 a2 2 , 2 x t1 ( x, 0) 0, ( x, 0) f ( x, ), t1
2 2u1 2 u1 , x , t 0 2 a 2 t x u ( x, 0) ( x), u1 ( x, 0) ( x), x 1 t 2 u2 2 u2 a 2 2 f ( x, t ), x , t 0 2 t x u ( x, 0) 0, u2 ( x, 0) 0, x 2 t 1 1 x at u1 ( x, t ) ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a
2u u u u u 2u 2u 2u 2 2 y 2 y y 2 2u u u u u 2u 2u 2u A B y A B y A 2 ( A B) B 2 xy
适用范围：
无界域内波动方程，等…
2 1 2 2 2 2 x a t
u 0
2 1 2 u 0 x a t
1 1 x a t x a t u 0
2 2u 2u 2u 2 u AB 2 2 2 ( A B )
u u u ( A B) AB 2 0 2 xy x y
2 2 2
y Ax y Bx