文数答案 新疆维吾尔自治区2020年普通高考第二次适应性检测试卷答案
2020年新疆高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
2020年新疆高考数学二模试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|≤0}，B={x|x＜t}，若A⊆B，则实数t的取值集合是（）A. （2，+∞）B. [2，+∞）C. （3，+∞）D. [3，+∞）2.设x∈R，则“x=1”是“复数z=（x2-1）+（x+1）i为纯虚数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.正项等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3+a9-a62+15=0，则S11=（）A. 35B. 36C. 45D. 554.函数f（x）=2ln x的图象与函数g（x）=x2-4x+5的图象的交点个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 05.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 180B. 200C. 220D. 2406.将函数f（x）的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线y=ln x关于直线y=x对称，则f（x）=（）A. ln（x+1）B. ln（x-1）C. e x+1D. e x-17.已知x∈R，sin x-3cos x=，则tan2x=（）A. B. C. D.8.已知点P（a，b），且a，b∈{-1，0，1，2}，使关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的点P的概率为（）A. B. C. D.9.设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则m的取值范围是（）A. （-∞，-）B. （-，0）C. （-∞，-）D. （-∞，-）10.O是△ABC的外接圆圆心，且=，||=||=1，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.11.椭圆=1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使得△PF1F2的内心I与重心G满足IG∥F1F2，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=，g（x）=2cosπx，当x∈（-3，2）时，方程f（x）=g（x）的所有实根之和为（）A. -2B. -1C. 0D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.观察下列事实：（1）|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4；（2）|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8；…则|x|+|y|=505的不同整数解（x，y）的个数为______．14.若二项式的展开式中的常数项为-160，则=______．15.在四面体A-BCD中，AB=5，BC=CD=3，DB=2，AC=4，∠ACD=60°，则该四面体的外接球的表面积为______．16.已知函数f（x）=x3-ax2在（-1，1）上没有最小值，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1=1+S n（n∈N+），且a2=2a1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n log2a n+（-1）n•n，求数列{b n}的前n项和H n．18.如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．19.今年学雷锋日，乌鲁木齐市某中学计划从高中三个年级选派4名教师和若干名学生去当学雷锋文明交通宣传志愿者，用分层抽样法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成文明交通宣传小组，学生的选派情况如下：年级相关人数抽取人数高一99x高二27y高三182（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）若从选派的高一、高二、高三年级学生中抽取3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高三年级学生的概率；（Ⅲ）若4名教师可去A、B、C三个学雷锋文明交通宣传点进行文明交通宣传，其中每名教师去A、B、C三个文明交通宣传点是等可能的，且各位教师的选择相互独立．记到文明交通宣传点A的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．20.已知F1、F2是椭圆C：的左右焦点，焦距为6，椭圆C上存在点Q使得，且△F1QF2的面积为9．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，直线l与x轴不重合，P是y轴上一点，且，求点P纵坐标的取值集合．21.设函数f（x）=x lnx（x＞0）．（Ⅰ）若a＜f（x）恒成立，求a的敢值范围；（Ⅱ）设F（x）=ax2+x+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（Ⅲ）F（x）=ax2+x+f′（x）与函数y=x在[1，+∞）有公共点，求a的最小值．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求．23.函数f（x）=+2．（Ⅰ）求f（x）的值域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）-m＜0有解，求证：3m+＞7．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A={x|≤0}={x|-2≤x＜3}，B={x|x＜t}，A⊆B，∴t≥3．∴实数t的取值集合为[3，+∞）．故选：D．求出集合A，B，由A⊆B，能求出实数t的取值集合．本题考查实数的取值范围的求法，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：解：由于复数z=（x2-1）+（x+1）i为纯虚数，则，解得x=1，故“x=1”是“复数z=（x2-1）+（x+1）i为纯虚数”的充要条件．故选：C．由于复数z=（x2-1）+（x+1）i为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，故可得到x的值，再与“x=1”比较范围大小即可．本题考查的判断充要条件的方法，我们可以先判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3.答案：D解析：【分析】本题考查等差中项的性质，及等差数列的前n项和公式．属基础题．根据等差中项的性质将a3+a9=2a6代入即可【解答】解：因为{a n}为正项等差数列，故a3+a9=2a6，所以-2a6-15=0，解得，a6=5或者a6=-3（舍），所以S11=11a6=11×5=55，故选D．4.答案：B解析：解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2ln x的图象与函数g（x）=x2-4x+5的图象如图：由图可知，两个函数图象共有2个交点故选：B．本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2ln x的图象与函数g（x）=x2-4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案．5.答案：D解析：解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4．∴S表面积=2××（2+8）×4+2×5×10+2×10+8×10=240．故选：D．由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4；据此可求出该几何体的表面积．本题考查由三视图还原直观图，由三视图求面积、体积，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．6.答案：C解析：解：∵将函数f（x）的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线y=ln x关于直线y=x对称，故有f（x-1）和y=ln x互为反函数，故f（x-1）=e x，故f（x）=e x+1，故选：C．根据题意，f（x-1）和y=ln x互为反函数，故可得f（x-1）=e x，从而求得f（x）得解析式．本题主要考查函数的图象的变换，互为反函数的两个函数图相间的关系，属于中档题．7.答案：A解析：解：由，解得或．∴tan x==-2或．当tan x=-2时，则tan2x==；当tan x=时，则tan2x==．∴tan2x=．故选：A．把已知与平方关系联立求得sin x，cos x的值，进一步求得tan x，再由倍角公式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．8.答案：B解析：【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．基本事件总数n=4×4=16，使关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的点P满足的条件为ab≤1，由此利用举法能求出使关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的点P的概率．【解答】解：点P（a，b），且a，b∈{-1，0，1，2}，基本事件总数n=4×4=16，使关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的点P满足的条件为：△=4-4ab≥0，即ab≤1，或a=0∴使关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的点P（a，b）有：（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（-1，2），（0，-1），（0，0），（0，1），（0，2），（1，-1），（1，0），（1，1），（2，-1），（2，0），共13个，∴使关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的点P的概率P=．故选：B．9.答案：D解析：解：作出不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（-m，m），直线x-2y=2的斜率为，斜截式方程为y=x-1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则点C（-m，m）必在直线x-2y=2的下方，即m＜-m-1，解得m＜-，∴m的取值范围是（-∞，-），故选：D．作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则平面区域内必存在一个点在直线x-2y=2的下方，由图象可得m的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，属中高档题．10.答案：B解析：解：因为=，所以+-=，即+=，取BC的中点D，则+=2=，如图所示；所以cos∠BOD==，即∠BOD=60°，所以∠BOC=2∠BOD=120°，且AB=AC=OA=OB=OC=1，所以四边形ABOC为菱形；所以在方向上的投影为||cos（180°-×60°）=1×（-）=-．故选：B．根据题意画出图形，结合图形判断四边形ABOC为菱形，且一内角为120°，由此求出在方向上的投影．本题考查了平面向量的线性运算和数量积运算问题，是中档题．11.答案：D解析：解：设△PF1F2的内切圆半径为r，则y G=y I=r，∴y P=3y G=3r，∴S=|F1F2|•y P=•2c•3r=3cr，又S=•（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•r=（2a+2c）r=（a+c）r，∴3cr=（a+c）r，即3c=a+c，∴a=2c，故e==．故选：D．根据△PF1F2的面积的不同计算方法列方程得出a，c的关系，从而可求出椭圆的离心率．本题考查了椭圆的性质，三角形的内切圆的性质，属于中档题．12.答案：A解析：解：函数f（x）的图象关于点（-，0）对称，当x=-时，g（-）=2cos（-）=0，即点（-，0）也是g（x）的对称中心，作出两个函数的图象，由图象知两个函数有四个交点，两两关于点（-，0）对称，设四个交点的横坐标从小到大为a，b，c，d则，，即a+d=-1，b+c=-1，即a+b+c+d=-1-1=-2，即方程f（x）=g（x）的所有实根之和为-2，故选：A．分别判断两个函数都关于点（-，0）对称，作出两个函数的图象，得到两个图象有四个交点，结合点的对称性进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数关于点（-，0）对称，以及利用数形结合确定交点个数是解决本题的关键．13.答案：2020解析：解：将平面直角坐标系分成4等份，其中x轴正半轴和第一象限为一份，则满足|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为1个，故所有能满足）|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4×1=4个，如图，在第一份中能满足|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为2，故共有4×2=8个……则在第一份中能满足|x|+|y|=505的不同整数解（x，y）的个数为505个，故共有4×505=2020个．故填：2020．转化成平面直角坐标系内的点来考虑，即可本题考查了归纳推理，借助图象，更有利于推理，本题属基础题．14.答案：6解析：解：令3-r=0，∴r=3，常数项为-C63a3=-20a3=-160，∴a3=8，a=2，故答案为6．先根据二项式定理的通项公式列出常数项，建立等量关系，解之即可求出a，然后根据定积分的定义求出即可．本题主要以二项式定理为载体考查定积分的应用，属于基础题之列．15.答案：25π解析：解：如图：取AB的中点O，在△ACD中，由余弦定理得：AD2=AC2+CD2-2×AC×CD cos60°=13，在△ABD中，∵AB2=BD2+AD2，∴∠ADB=90°，∴OA=OB=OD，在△ABC中，∵AB2=BC2+AC2，∴∠ACB=90°，∴OA=OB=OC，∴OA=OB=OC=OD，∴O为四面体ABCD的外接球的球心，其半径R=AB=，∴S球=4πR2=4π（）2=25π．故答案为：25π．取AB的中点O，通过余弦定理得AD2=13，根据勾股定理可得∠ADB=90°，∠ACB=90°，可得O为球心，AB为直径．本题考查了球的体积和表面积，属中档题．16.答案：（-1，+∞）解析：解：f′（x）=x（3x-2a），令f′（x）=0，解得：x=0或x=，①∈（-∞，-1]即a≤-时，f（x）在（-1，0）递减，在（0，1）递增，此时x=0时，f（x）取最小值，舍去，②-1＜＜0时，f（x）在（-1，）递增，在（，0）递减，在（0，1）递增，由题意f（x）在（-1，1）没有最小值，则，解得：-1＜a＜0，③当a=0时，f（x）在（-1，1）显然没有最小值，成立，④当0＜＜1时，f（x）在（-1，0）递增，在（0，）递减，在（，1）递增，由题意f（x）在（-1，1）没有最小值，则，解得：0＜a＜，⑤≥1即a≥时，f（x）在（-1，0）递增，在（0，1）递减，故f（x）在（-1，1）没有最小值，综上，a＞-1，故答案为：（-1，+∞）．求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的最小值的范围确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．17.答案：解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，a n+1=1+S n（n∈N+），且a2=2a1，可得a2=1+S1=1+a1，解得a1=1，q=2，则a n=2n-1；（Ⅱ）b n=a n log2a n+（-1）n•n=（n-1）•2n-1+（-1）n•n，设T n=0•20+1•2+2•22+..+（n-1）•2n-1，2T n=0•2+1•22+2•23+..+（n-1）•2n，相减可得-T n=2+22+..+2n-1-（n-1）•2n=-（n-1）•2n，可得T n=2+（n-2）•2n，当n为偶数时，前n项和H n=2+（n-2）•2n-1+2+…+n=2++（n-2）•2n；当n为奇数时，前n项和H n=2+-n+（n-2）•2n=（n-2）•2n-．则H n=．解析：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，可令n=1，解得首项和公比，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）b n=a n log2a n+（-1）n•n=（n-1）•2n-1+（-1）n•n，由数列的错位相减法和分类讨论思想方法，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.答案：解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A-xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，-1，-4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=-2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．解析：本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．19.答案：解：（Ⅰ）由题意可得，所以x=11，y=3．（Ⅱ）设“他们中恰好有1人是高三年级学生”为事件A，则．（Ⅲ）X的所有取值为0，1，2，3，4．由题意可知，每位教师选择A、B、C三个学雷锋文明交通宣传点的概率都是．所以；；；；；随机变量X的分布列为：X01234P．解析：（Ⅰ）利用分层抽样的性质（比例关系）可求x，y；（Ⅱ）列出从高二、高三年级抽取的参加文明交通宣传的5个人中选3个人的所有基本事件，找出其中3人中有2人来自高二年级，1人来自高三年级的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求解；（Ⅲ）首先列出X的所有取值，再利用二项分布即可求出X的分布列以及数学期望．本题考查分层抽样的性质，古典概型的概率，以及二项分布概型的分布列以及数学期望，抓住概型是解题的关键，属于基础题．20.答案：解：（Ⅰ）由题意得：，|QF1|+|QF2|=2a，∴，，∴a2=18，又c=3，∴b=3，∴C的方程为．（Ⅱ）设P的坐标为（0，m），MN的中点为Q，当l的斜率k存在时，l的方程为y=k（x+3）．由题意知：PQ⊥MN，∴，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴（1+2k2）x2+12k2x+18k2-18=0，∴，∴，∴，∴，∴．当k＞0时，，∴，当k＜0时，，∴．当l的斜率不存在时，m=0，∴．∴P的纵坐标的取值集合为：．解析：（Ⅰ）由已知列方程组，解出a，再由a2=b2+c2确定椭圆方程．（Ⅱ）取MN的中点Q，由，化为PQ⊥MN，即P为直线MN的垂直平分线与y轴的交点．先求MN斜率不存在时P的纵坐标；当MN斜率存在时设MN：y=k（x+3），代入椭圆方程，利用韦达定理求MN的中点Q的坐标，建立PQ的方程，可求P的纵坐标与k的关系式，再利用基本不等式进行求解．本题考查椭圆的标准方程，椭圆定义，直线与椭圆的位置关系，考查方程的思想、分类讨论、逻辑推理能力及运算能力，属于难题．21.答案：解：（I）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=1+ln x，令f′（x）=1+ln x=0，可得x=∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0∴函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）单调递增，∴x=时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（）=-．∴a＜-．∴a的敢值范围是（-∞，-）．（II）F（x）=ax2+x+f′（x）=ax2+x+1+ln x（x＞0），∴F′（x）=2ax+1+=（x＞0）．当a≥0时，F′（x）＞0恒成立，∴F（x）在（0，+∞）上为增函数．当a＜0时，令F′（x）=0，得x=．∴函数F（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．综上可得：当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上为增函数．当a＜0时，函数F（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（III）F（x）=ax2+x+f′（x）与函数y=x在[1，+∞）有公共点⇔ln x=-ax2-x-1=0在[1，+∞）有解．令h（x）=-ax2-x-1，u（x）=ln x，x∈[1，+∞）．①a＞0时，u（x）在x∈[1，+∞）单调递增．h（x）在x∈[1，+∞）单调递减．要使方程有解，必需h（1）≥u（1）=0，无解，舍去．②a=0时，u（x）在x∈[1，+∞）单调递增．h（x）=-x-1在x∈[1，+∞）单调递减．要使方程有解，必需h（1）=-≥u（1）=0，无解，舍去．③a＜0时，u（x）在x∈[1，+∞）单调递增．h（x）=-ax2-x-1，开口向上，对称轴为x=-＞0，要使方程有解，必需h（1）=-a-≤u（1）=0，解得0＞a≥．∴a的最小值为-．解析：（I）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=1+ln x，令f′（x）=0，可得x=，即可对称单调性极值，可得a的取值范围．（II）F（x）=ax2+x+f′（x）=ax2+x+1+ln x（x＞0），F′（x）=2ax+1+=（x ＞0）．对a分类讨论，即可得出单调性．（III）F（x）=ax2+x+f′（x）与函数y=x在[1，+∞）有公共点⇔ln x=-ax2-x-1=0在[1，+∞）有解．令h（x）=-ax2-x-1，u（x）=ln x，x∈[1，+∞）．对a分类讨论利用单调性即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性及其与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（I）由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0．（II）把代入圆的直角坐标方程可得t2-3t+4=0，△=18-16=2＞0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=3，t1t2=4，故t1＞0，t2＞0．∴=|+|=||=．解析：（I）由ρ=2sinθ可得ρ2=2ρsinθ，再根据极坐标与直角坐标的对应关系化简即可；（II）把直线l的参数方程代入圆的直接坐标方程，根据根与系数的关系和参数的几何意义得出答案．本题考查了参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，属于中档题．23.答案：解：∵f（x）=+2=|x-1|+2|x-2|（I）当x≥2时，f（x）=3x-5≥1；当1＜x＜2时，f（x）=3-x，1＜f（x）＜2，当x≤1时，f（x）=5-3x≥2综上可得，函数的值域为[1，+∞）（II）证明：若关于x的不等式f（x）-m＜0有解，∴f（x）＜m有解，故只需m＞f（x）的最小值，即m＞1∴3m+=3（m-1）++3≥解析：（I）由f（x）=+2=|x-1|+2|x-2|，分类讨论取绝对值，然后根据分段函数的性质可求值域（II）若关于x的不等式f（x）-m＜0有解，故只需m＞f（x）的最小值，可求m的范围，然后结合基本不等式即可证本题主要考查了分段函数的函数值域的求解，及不等式的存在性问题，及基本不等式在最值求解中的应用．。
新疆维吾尔自治区2020届高三适应性检测(文科)数学(问卷)试题 Word版含解析
2020年高考（文科）数学（4月份）模拟试卷（问卷）一、选择题1.已知集合{}220|A x x x =-<，{|10}B x x =-≥，则集合A B =I （ ）． A. {|02}x x <<B. {|01}x x <≤C. {|1}x x ≥D.{|12}x x ≤<【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再结合集合交集的运算，即可求得A B I ，得到答案． 【详解】由题意，集合{}2|20{|02}A x x x x x =-<=<<，{|10}{|1}B x x x x =-≥=≥，所以集合{|12}A B x x =≤<I ． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答正确求解集合,A B ，再结合集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力． 2.若312z i=+（i 表示虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】按照复数的运算法则，先将312z i=+化为z a bi =+形式，再按照复数的几何意义，即可求解.【详解】()()()31233636121212555i i z i i i i --====-++-Q ∴复数z 对应的点在第四象限.故选：D【点睛】本题考查复数的运算及复数的几何意义，属于基础题. 3.若1sin()3πα+=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）． A. 89-B. 9-C.9D.89【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式，求得sin α的值，再利用同角三角函数基本关系式可求cos α，最后利用二倍角的正弦函数公式可求sin 2α的值． 【详解】由1sin()3πα+=，可得1sin 3α=-， 又因为,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，可得cos 3α==，所以1sin 22sin cos 23ααα⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式、基本关系式，以及正弦的倍角公式的化简求值，着重考查了推理与计算能力．4.设x ，y 满足约束条件2330233010x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最大值是（ ）A. ﹣4B. 1C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件对应的平面区域，结合图形找出目标函数的最优解，求出目标函数的最大值．【详解】解：画出x ，y 满足约束条件2330233010x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩的平面区域，如图阴影部分，由z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+， 由平移可知，当直线y x z =-+过点A 时， 直线y x z =-+的截距最大，z 取得最大值； 由102330y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得()3,1A -，可得2z x y =+=， 即z 的最大值是2． 故选：C【点睛】本题考查了线性规划问题，准确作出平面区域是前提，然后再通过直线平移的方法解决问题.5.下面四个条件中，是a b >成立的充分而不必要的条件为（ ）． A. ac bc > B. 1a b >- C. 33a b > D. 22log log a b >【答案】D 【解析】 【分析】由22log log a b >，求得a b >，反之不成立，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解． 【详解】由题意，因为22log log a b >，可得a b >成立，反之，当a b >时，根据对数函数的性质，22log log a b >不一定成立， 所以a b >成立的充分而不必要的条件为22log log a b >． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及充分条件、必要条件的判定，着重考查了推理与运算能力．6.一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为205，则h 的值为（ ）．A. 5B. 10C. 25D. 210【答案】C 【解析】 【分析】首先由三视图还原得到一个四棱锥，进而利用锥体的体积公式，列出方程，即可求解． 【详解】根据给定的几何体的三视图，可得底面边长分别为5和6的长方形，高为h 的一个四棱锥体， 如图所示：又由该四棱锥的体积为1562053V h =⨯⨯⨯=，解得25h =． 故选：C ．【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．7.已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(4,3)，则该双曲线的标准方程为（ ）．A. 221416x y -=B. 221164y x -=C.22128x y-= D.22144176y x-=【答案】A 【解析】【分析】根据渐近线方程，设双曲线的标准方程是22(0)4yx k k-=≠，代入点的坐标求出k的值，即可得到双曲线的标准方程．【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为2y x=，设双曲线的标准方程是22(0)4y x k k-=≠，代入点(4,，可得24k=，解得4k=，所以双曲线的标准方程为2244y x-=，即221416x y-=．故选：A．【点睛】本题主要考查了根据双曲线的渐近线方程求解双曲线的方程，其中解答中熟练应用双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．8.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在二十世纪初提出的23个数学问题之一．可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得2p+是素数，称素数对(,2)p p+为孪生素数．在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（）．A.115B.215C.15D.415【答案】C【解析】【分析】先求得不超过15的素数的个数，进而得出其中能够组成孪生素数的组数，结合排列组合和古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，称素数对(,2)p p +为孪生素数． 其中不超过15的素数有2，3，5，7，11，13， 可得能够组成孪生素数的有(3,5)，(5,7)，(11,13)，在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，共有2615n C ==种，其中能够组成孪生素数包含的基本事件个数133m C ==， 所以其中能够组成孪生素数的概率是31155m p n ===． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列数公式的应用，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．9.如图，正方形ABCD 中，M N 、分别是BC CD 、的中点，若,AC AM BN λμ=+u u u v u u u u v u u u v则λμ+=（ ）A. 2B. 83C.65D. 85【答案】D 【解析】 试题分析：取向量,AB BCu u u r u u u r 作为一组基底，则有11,22AM AB BM AB BC BN BC CN BC ABu u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =+=+=+=-，所以1111()()2222AC AM BN AB BC BC AB AB BC λμλμλμ⎛⎫⎛⎫=+=++-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur又AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r，所以111,122λμμλ-=+=，即628,,555λμλμ==+=. 10.已知函数()2sin()0,22f x x ππωφωφ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭为其图象对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若5BC =，则()f x 的解析式为（ ）． A. ()2sin 36f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭B. ()2sin 312f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. ()2sin 48f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. ()2sin 44f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据5BC =，列出方程，求得ω的值，再根据正弦函数的图象的对称中心，求出ϕ的值，即可得到函数的解析式．【详解】由题意，函数()2sin()f x x ωφ=+，1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭为其图象对称中心， 因为,B C 是该图象上相邻的最高点和最低点，可得BC =5=，解得3πω=， 又由1,32k k Z +=⋅∈πφπ，即,6k k Z =-∈πφπ，令0k =，可得6πφ=-，则()f x 的解析式为()2sin 36f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．11.蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是10928︒'，这样的设计含有深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》．用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-的三个顶点A ，C ，E 处分别用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M ABF -，O BCD -，N DEF -，平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 交于点P ，就形成了蜂巢的结构．如图，以下四个结论①BDF MON V V ≌；②BF MN <；③B ，M ，N ，D 四点共面；④异面直线DO 与FP 所成角的大小为10928︒'．其中正确的个数是（ ）．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】不妨设正六边形的边长为1，①由已知可得BDF V 与MON △3即可判断出正误；②由①可知：BF MN =，即可判断出正误；③由已知可得：四边形BMND 是平行四边形，即可判断出正误；④利用异面直线DO 与FP 所成角的范围即可判断出正误． 【详解】由题意，不妨设正六边形的边长为1，①由BDF V 与MON △3BDF MON V V ≌，正确； ②由①可知：BF MN =，因此②不正确；③由已知可得：四边形BMND 是平行四边形，因此B ，M ，N ，D 四点共面，正确； ④异面直线DO 与FP 所成角不可能为钝角10928︒'．因此不正确．其中正确的个数是2． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，平面的基本性质，以及异面直线所成角的判定的知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力．12.已知函数()x f x xe =，要使函数2()[()]2()1g x m f x f x =-+恰有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）．A. 22,0e e ⎡⎤--⎣⎦B. (22,0{1}e e ⎤--⋃⎦ C. 22,0ee+⎡⎤-⎣⎦D. (22,0{1}e e ⎤-+⋃⎦【答案】B 【解析】 【分析】先利用导数求出函数()f x 的单调性和极值，画出函数()f x 的大致图象，令()f x t =，由函数()f x 的图象可知方程2210mt t -+=，只能有一个正根，且若有负根的话，负根必须小于1e-，分类讨论，即可求解．【详解】由题意，函数()xf x xe =，x ∈R ，则()(1)x x xf x e xe e x ='=++， 当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当(1,)x ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 所以函数()f x 的最小值为1(1)f e-=-， 函数()f x 的大致图象，如图所示：函数2()[()]2()1g x m f x f x =-+恰有一个零点， 等价于方程2[()]2()10m f x f x -+=只有一个根，令()f x t =，由函数()f x 的图象可知方程2210mt t -+=，只能有一个正根，且若有负根的话，负根必须小于1e-，①当0m =时，方程为210t -+=，∴12t =，符合题意， ②当0m ≠时，若440m ∆=-=，即1m =时，方程为2210t t -+=，解得1t =，符合题意， 若>0∆，即1m <时：设2()21t mt t ϕ=-+，（ⅰ）当0m <时，二次函数()x ϕ开口向下，又(0)10ϕ=>，要使方程2210mt t -+=只有一个正根，且负根小于1e -，则()10e 10ϕϕ⎧⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪<⎩，即2121010m e e m m ⎧⋅++>⎪⎪<⎨⎪<⎪⎩，可得220e e m --<<， （ⅱ）当01m <<时，二次函数()x ϕ开口向上，又因为(0)10ϕ=>， 则方程2210mt t -+=有两个不等的正根，不符合题意， 综上所求，实数m 的取值范围是：220e e m --<≤或1m =， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数的零点问题转化为方程的解，构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，结合根的分布求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．二、填空题13.数学竞赛后，小明、小华、小强各获一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌．老师猜测：“小明得金牌，小华不得金牌，小强不得铜牌．”老师只猜对了一个，那么小明获得的是________． 【答案】铜牌【解析】 【分析】根据小明得奖的情况，分类讨论，即可判断得到答案．【详解】由题意，若小明得金牌，则小明得金牌，小华不得金牌这两句话都正确，故不合题意；若小明得银牌，小华得金牌，则这三句话全是错误的，故不合题意；若小明得银牌，小华得铜牌，则小华不得金牌，小强不得铜牌是正确的，不合题意； 若小明得铜牌，小华得金牌，小强得银牌，故合题意； 若小明得铜牌，小华得银牌，小强得金牌，故不合题意， 故小明得铜牌， 故答案为：铜牌．【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论进行判定是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理能力．14.若函数lg ,0(),0x x x f x a b x >⎧=⎨+≤⎩且(0)3f =，(1)4f -=，则((3))f f -=____________.【答案】1 【解析】 【分析】首先根据两个函数值求,a b ，再求()3f -和()()3ff -.【详解】根据条件可知0134a b a b -⎧+=⎨+=⎩，解得：12a =，2b =即()lg ,122xx f x ⎧⎪=⎨⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 00x x >≤ ， ()310f -=，()()()310lg101f f f -===故填：1.【点睛】本题考查分段函数求值，意在考查基本的计算能力，属于简单题型.15.过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点(2,0)F 且倾斜角为34π的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OM 的斜率为12，则椭圆的方程为________．【答案】22184x y +=【解析】 【分析】根据条件可得直线l 的方程为2y x =-+，联立直线与椭圆的方程，表示出M 的坐标，进而可得2212OMb k a ==，解出2a ，2b 的值，即可求解． 【详解】由题意，过点(2,0)F 且倾斜角为34π的直线方程为0(2)y x -=--，即2y x =-+， 联立方程组222221y x x y a b =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222222440a b x a x a a b +-+-=，不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，则212224a x x a b +=+，212224b y y a b +=+，所以22222222,a b M a b a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，可得2212OM b k a ==， 又因为2c =且222c a b =-，解得28a =，24b =，故椭圆的方程为22184x y +=．故答案为：22184x y +=．【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，直线的点斜式方程，以及椭圆的标准方程及几何性质的综合应用，着重考查了推理与运算能力．16.在ABC ∆中，已知6AB =,60A ∠=︒，BC边上的中线AD =，则sin B =________．【答案】7【解析】【分析】根据图形，由中线长定理可得：()222262192ab+=⨯+，再利用余弦定理可得：222cos2b c aAbc+-=解得a b、的值，再次利用余弦定理求解出cos B，根据同角三角函数关系解得sin B．【详解】解：如图所示，由中线长定理可得：222262192ab+=⨯+，由余弦定理得到：222cos2b c aAbc+-=，即22136226b ab+-=g g．联立成方程组22222213622662192b abab⎧+-=⎪⎪⋅⋅⎨⎪+=⨯+⎪⎩，解得：274ab⎧=⎪⎨=⎪⎩，故22227cos27247a c bBac+-===由22sin+cos1B B=可得，22821sin1cos1497B B=-=-=．故答案为：217【点睛】本题考查了余弦定理的知识，方程思想是解决本题的关键.三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，梯形ADEF ⊥底面ABCD ，且12AF EF DE AD ===．（Ⅰ）证明平面ABF ⊥平面CDF ；（Ⅱ）平面CDF 将多面体ABCDEF 分成两部分，求两部分的体积比． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）5:1． 【解析】 【分析】（Ⅰ）取AD 的中点G ，连接FG ，可得DF AF ⊥，AB DF ⊥，即可得DF ⊥平面ABF ，从而证明平面ABF ⊥平面CDF ；（Ⅱ）作FM AD ⊥于M ，过E 作EN AD ⊥于N ，作//MG AB ，MH //CD ． 利用多面体ABCDEF 的体积E CDNH F ABGM FMG ENH V V V V ---=++，求得多面体ABCDEF 的体积，进而求得F CDE V -，得到答案．【详解】（Ⅰ）由题意，多面体ABCDEF 的底面ABCD 是正方形，可得AB CD ⊥， 又由梯形ADEF ⊥底面ABCD ，梯形ADEF I 底面ABCD AD =，AB Ì平面ABCD ，所以AB ⊥平面ADEF ，因为DF ⊂平面ADEF ，所以AB DF ⊥， 因为梯形ADEF 中，12AF EF DE AD ===， 取AD 的中点G ，连接FG ，所以12FG AD =，所以DF AF ⊥， 又因AF AB A ⋂=，所以DF ⊥平面ABF ，又由DF ⊂平面CDF ，所以平面ABF ⊥平面CDF ．（Ⅱ）如图所示，作FM AD ⊥于M ，过E 作EN AD ⊥于N ，作//MG AB ，NH //CD ． ∵梯形ADEF ⊥底面ABCD ，且12AF EF DE AD ===． ∴FM ⊥面ABCD ，EN ⊥面ABCD ，在Rt AFD V 中，由2AD AF =可得60FAD ︒∠=， 令122AF EF DE AD ====， 则3FM EN ==，1AM ND ==， 多面体ABCDEF 的体积为：112031432342323F ABGM E CDNH FMG ENH V V V V ---++==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=． 由（1）及对称性可得AE ⊥平面CDE ，∵2AD EF =，//EF AD ，∴F 到面CDE 的距离等于A 到面CDE 的距离的一半， 即F 到面CDE 的距离等于132d AE ==， 故111434233323F CDE CDE V S d -=⋅=⨯⨯⨯⨯=V ． ∴平面CDF 将多面体ABCDEF 分成两部分，两部分的体积比为5:1．【点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记空间几何体的线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用几何体的体积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．18.设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和．已知2a 是1a 与5a 的等比中项，636S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12n a n n b a +=⋅，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）21n a n =-，*n N ∈；（Ⅱ）12065499n n n T +-=+⋅ 【解析】 【分析】（Ⅰ）等差数列的公差设为d ，且d 不为0，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式； （Ⅱ）求得()12214n a n n n b a n +=⋅=-⋅，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【详解】解：（Ⅰ）n S 是公差d 不为零的等差数列{}n a 的前n 项和， 由2a 是1a 与5a 的等比中项，可得2215a a a =，即21114a d a a d +=+（）（）， 化为12d a =， 由636S =，可得116153636a d a +==， 解得11a =，2d =，则()12121n a n n =+-=-，*n N ∈； （Ⅱ）()12214n a n n n b a n +=⋅=-⋅，则{}n b 的前n 项和()14316564214nn T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅， 故()141163645256214n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，两式相减可得()134216644(21)4nn n T n +-=+++⋅⋅⋅+--⋅()()1116144221414n n n -+-=+⋅--⋅-，化简可得：12065499n n n T +-=+⋅． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，解决通项公式常见的方法是基本量法；本题还考查了数列求和的知识，解决数列求和知识的常见方法是裂项求和法、错位相消法等.19.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，Q是抛物线上的一点，(1,FQ =u u u r．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点()2,0作直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在一点A ，使得x 轴平分MAN ∠？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）24y x =（Ⅱ）存在，()2,0A -【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意可知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设200,2y Q y p ⎛⎫⎪⎝⎭，由(1,FQ =u u u r 即可求出p 的值，从而得到抛物线C 的方程；（Ⅱ）对直线l 的斜率分情况讨论，当直线l 的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知x 轴上任意一点A （不与点()2,0重合），都可使得x 轴平分MAN ∠；当直线l 的斜率存在时，由题意可得0AM AN k k +=，设直线l 的方程为：()()20y k x k =-≠与抛物线方程联立，利用韦达定理代入0AM AN k k +=得48a =-，解得2a =-，故点()2,0A -．【详解】解：（Ⅰ）由题意可知，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∵点Q 在物线C ：22y px =上，∴设200,2y Q y p ⎛⎫⎪⎝⎭，(200,22y p FQ y p ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭u u u r ，∴200122y pp y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得2p =， ∴抛物线C 的方程为：24y x =；（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知x 轴上任意一点A （不与点()2,0重合），都可使得x 轴平分MAN ∠；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()()20y k x k =-≠， 设()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程()224y k x y x ⎧=-⎨=⎩，消去y 得：()22224440k x k x k -++=，212244k x x k+∴+=，124x x =（*）， 假设在x 轴上是否存在一点(),0A a ，使得x 轴平分MAN ∠， ∴0AM AN k k +=，∴12120y y x a x a+=--， ∴()()()()1221120y x a y x a x a x a -+-=--，又()112y k x =-，()222y k x =-， ∴()()()1212212122240x x a x x a x x a x x a-+++=-++，把（*）式代入上式化简得：48a =-， ∴2a =-， ∴点()2,0A -，综上所求，在x 轴上存在一点()2,0A -，使得x 轴平分MAN ∠．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的知识，解决直线与圆锥曲线的问题时，往往会采用设而不求的思想进行求解.20.某传染病疫情爆发期间，当地政府积极整合医疗资源，建立“舱医院”对所有密切接触者进行14天的隔离观察治疗．治疗期满后若检测指标仍未达到合格标准，则转入指定专科医院做进一步的治疗．“舱医院”对所有人员在“入口”及“出口”时都进行了医学指标检测，若“入口”检测指标在35以下者则不需进入“舱医院”而是直接进入指定专科医院进行治疗．以下是20名进入“舱医院”的密切接触者的“入口”及“出口”医学检测指标：（Ⅰ）建立y 关于x 的回归方程；（回归方程的系数精确到0.1）（Ⅱ）如果60是“舱医院”的“出口”最低合格指标，那么，“入口”指标低于多少时，将来这些密切接触者将不能进入“舱医院”而是直接进入指定专科医院接受治疗．（检测指标为整数） 附注：参考数据：20177650i ii x y==∑，202167100i i x ==∑．参考公式：回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x ynx ybxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 【答案】（Ⅰ）ˆ0.539.8y x =+．（Ⅱ）低于41【解析】 【分析】（Ⅰ）结合表格中的数据ˆa和ˆb 的公式计算出回归方程的系数即可得解； （Ⅱ）把60y =代入回归方程，算出x 的值即可得解．【详解】（Ⅰ）由表格中的数据，可得20111110552020i i x x ====∑，2011135067.52020ii y y ====∑， 所以201202221776502055.567.527250.5671002055.55495ˆi ii ii x y nx ybxnx ==-⋅-⨯⨯===≈-⨯-∑∑，67.50.555.5ˆ39.7539.ˆ8y x ab =-=-⨯=≈， 所以y 关于x 的回归方程为ˆ0.539.8yx =+． （Ⅱ）当60y =时，有600.539.8x =+，解得40.441x =≈，所以当“入口”指标低于41时，将来这些密切接触者将不能进入“舱医院”而是直接进人指定专科医院接受治疗．【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解，以及线性回归分析的应用，其中解答中根据表格中的数据，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力． 21.已知函数21()(1)ln (1)2f x x a x a x a =-++>． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设x 1，x 2为函数()f x 的两个极值点，求证()()12732f x f x a ++<． 【答案】（Ⅰ）函数的单调递增区间(,)a +∞，(0,1)，单调递减区间(1,)a ；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求得函数的导数，然后结合导数与单调性的关系，即可求得函数的单调区间； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得()()2127131422f x f x a a a a na ++-=-++-，构造新函数21()ln 42g a a a a a =-++-，1a >，转化为求解()g a 的范围问题，结合导数及函数性质可求．【详解】（Ⅰ）由题意，函数21()(1)ln 2f x x a x a x =-++的定义域(0,)+∞， 且2(1)(1)()()(1)(),1a x a x a x x a f x x a x a x x-++--'=-+=>+=，当x a >或01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x a <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，故函数的单调递增区间(,)a +∞，(0,1)，单调递减区间(1,)a ； （Ⅱ）不妨设12x x <，则由（1）可知11x =，2x a =，所以()()12773(1)()322f x f x a f f a a ++-=++- 21171(1)ln 3222a a a a a a a =--+-+++-21142a a a na =-++-， 令21()ln 42g a a a a a =-++-（其中1a >），则()2ln g a a a '=-++，可得1()10g a a''=-+<，即()g a '在(1,)+∞上单调递减，且(3)ln310g '=->，(4)ln 420g '=-<，故存在0(3,4)a Î使得()0g a '=，即002ln 0a a -+=， 当()01,a a ∈时，()0g a '>，()g a 单调递增， 当()0,a a ∈+∞时，()0g a '<，()g a 单调递减， 故当0a a =时，()g a 取得最大值()2000001n 42l g a a a a a =-++- ()200001242a a a a =-++--200142a a =--，因为0(3,4)a Î，结合二次函数的性质可知，当04a =时，(4)0g =， 故()(4)0g a g <=， 所以()()127302f x f x a ++-<，即()()12732f x f x a ++<． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22.在平面直角坐标系xOy 中，直线:3l y x =，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2cos 02πρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求曲线C 被直线l 截得的弦长；（Ⅱ）与直线l 垂直的直线EF 与曲线C 相切于点Q ，求点Q 的直角坐标．【答案】（Ⅱ）1122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或1122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【解析】 【分析】（Ⅰ）首先把极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式和勾股定理的应用求出弦长．（Ⅱ）利用直线垂直的充要条件的应用求出圆的切线方程，进一步利用直线和曲线的位置关系的应用求出切点的直角坐标．【详解】（Ⅰ）由题意，曲线2cos 02πρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，可得22cosρρθ=， 又由cos ,sin x y ρθρθ==，可得曲线的直角坐标方程为222x y x +=，即22(1)1x y -+=，其中圆心坐标为(1,0)，半径为1，所以圆心(1,0)到直线0x -=的距离12d ==，所以曲线C 被直线l截得的弦长为l == （Ⅱ）因为直线EF 与直线l垂直，设直线EF 的方程为y b =+， 由直线EF 与曲线C相切，可得圆心(1,0)到直线y b=+的距离1d ==，解得2b =2，所以直线EF 的方程为2y =+或2y =+．设切点(,)Q x y，联立方程组22(1)12x y y ⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩，解得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，方程组22(1)12x y y ⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩，解得1212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即切点坐标为1122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或1122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了推理与运算能力． 23.已知()|2||2|(0)f x x m x m m =--+>的最小值为52-． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）已知0a >，0b >，且22a b m +=，求证：331b a a b+≥．【答案】（Ⅰ）1m =；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）去绝对值变成分段函数，根据分段函数的单调性可求出()f x 的最小值，与已知最小值相等列式可求出；（Ⅱ）利用分析法，结合基本不等式，即可证明．【详解】（Ⅰ）由题意，函数32()223,223,2x m x m m f x x m x m x m m x m x m x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=--+=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， 可得()f x 在区间,2m ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在区间,2m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以函数()f x 的最小值为min 5()3222m mm f x f m ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭， 又因为函数()f x 的最小值为52-，可得5522m -=-，解得1m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）0a >，0b >，且221a b +=，要证331b a a b+≥，只要证44b a ab +≥， 即证()222222a b a b ab +-≥，即证22210a b ab +-≤， 即证(21)(1)0ab ab -+≤， 即证21ab ≤， 即证222ab a b ≤+，显然2212a b ab +≥=，当且仅当2a b ==时取等号． 所以331b a a b+≥．【点睛】本题主要考查了含有绝对值函数的最值的求解，以及不等式的证明，其中解答中合理去掉绝对值号，转化为分段函数，以及合理利用分析法，结合基本不等式进行证明是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．。
新疆2020年普通高考第二次适应性检测文科数学及答案
文科数学 参考答案
一、选择题
1． D 2. D 3. C 4. B 5. C 6. A 7. B 8. A 9. C 10. B 11. A 12. D
二、填空题
3 13． 4 14. 2 6 15. 3 16. 1
三、解答题
17．解:(Ⅰ)由正弦定理及 a cos B 1 与 b sin A 2 得： 2R sin A cos B 1, 2R sinBsin A 2 ( R 是 △ABC 的外接圆半径 ) 两式相除,得 1 cos B ，················2 分
∴ eax x2 ax 2 ln x a 2 ln x ． x
设 p(x) ln x ，x (0, ) ， x
则
p(x)
1－ln x2
x
＝0，得
x
e
，
p(x) 在 (0，e) 时递增， p(x) 在 (e, ) 时递减······10 分
∴ p(x) p(e) 1 ， e
∴a 2． e
＝124.8 12.48 10
得 aˆ y bˆx 324.32 12.48 3 286.88
∴ yˆ 12.48x 286.88·····8 分
当 x 7 时， y 374.24
∴北京市 2020 年年底的老年人人数约为 374.24万人， 90 以上老人占1.6％，374.24×1.6％＝5.98784 万人 59878 人 答：预计到 2020 年年底，北京市 90 以上老人约为 59878 人．·········12 分
x
1 2
2t 2 ( t 为参数),····6 分
y
1 2
2t 2
代入曲线 C 的直角坐标方程得：( 1 2 t)2 2(1 2 t)2 2 0 ，
【附加15套高考模拟试卷】新疆乌鲁木齐地区2020年高三第二次诊断性测试数学(文)试卷含答案
新疆乌鲁木齐地区2020年高三第二次诊断性测试数学（文）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知12F F 、分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P ，若点P 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．()3,+∞C ．()1,2 D ．()2,+∞2．已知复数z 满足2(1)26z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为（ ） A ．10B ．13C ．10D ．133．已知直线1y kx =-与抛物线28x y =相切，则双曲线2221x k y -=的离心率为（ ）A ．5B ．3C ．2D ．324．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，12,4AA BC BAC π==∠=，则三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为（ ） A ．123π B ．83πC ．63πD ．43π5．已知函数()23x f x e mx =-+的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线13y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是A ．3+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，B ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．已知函数的最小正周期为，且图象关于直线对称，若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的一个对称中心为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且0n a >，2*634()n n n S a a n N =+-∈,()()1111n n n b a a +=--，若对任意的n *∈N ,n k T >恒成立，则的最小值为（ ）A ．13B ．19C ．112D ．1158．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40 B ．-20 C ．20D ．409．已知,A B 是圆22:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v（ ）A．8+B．8-C ．12 D ．410．已知函数3()1f x x a =-++（1x e e≤≤，e 是自然对数的底数）与()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．310,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．30,4e ⎡⎤-⎣⎦C ．3312,4e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．3[4,)e -+∞，11．下列说法错误的是（ ） A ．回归直线一定经过样本点中心(),x yB ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近1C ．对分类变量X 与Y ，若2K 越大，则“X 与Y 有关的把握程度越小”D ．在回归方程ˆ0.20.8y x =+中，每当随机变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 就平均增加0.2个单位 12．已知数列{}n a 满足递推关系：11n n n a a a +=+,112a =,则2020a =（ ） A ．12019 B ．12020 C ．12021 D ．12022二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新疆乌鲁木齐市等5地2023届高三高考第二次适应性检测数学(文)试题(含答案与解析)
新疆维吾尔自治区2023年普通高考第二次适应性检测数学（文科）（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}Z 12A x x =∈-≤≤，{}128x B x =≤≤，则A B = （）A. []0,2B. {}0,1C. {}0,1,2D. []1,3-2. 复数z 满足11i 3z <--<，则z 的范围是（ ）A.)3-+B.C. )3⎡⎣D.3. 人们用分贝（dB ）来划分声音的等级，声音的等级()d x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足()1210lg10xd x -=⋅.一般两人正常交谈时，声音的等级约为60dB ，燃放烟花爆竹时声音的等级约为150dB ，那么燃放烟花爆竹时声音强度约为两人正常交谈时声音强度的（ ） A 710倍B. 810倍C. 910倍D. 1010倍4. 为了研究某公司工作人员人数x （单位：名）和月销售量y （单位：万元）的关系，从该公司随机抽取10名工作人员，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y bx a =+$$$.已知101320i i x ==∑，1012400i i y ==∑，5b= .若该公司工作人员为25名，据此估计其月销售量为（ ） A. 195B. 200C. 205D. 210.5. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F ，G ，H 分别是棱11A B ，1BB ，1CC ，11C D 上的动点，且//EH FG ，则必有（ ）A. 1BD EH ⊥B. AD FG ∥C. 平面11BB D D ⊥平面EFGHD. 平面11//A BCD 平面EFGH6. 已知向量a ，b 满足1a = ，(),2b m m =-r ，cos a b θ= （θ为a 与b的夹角），则a b - 的最小值为（ ）A.B.C. 1D. 27. 如图所示的程序框图，输入3个数据5log 2a =，8log 3b =，12c =，则输出的a 为（ ）A. 1B.12C. 8log 3D. 5log 28. 已知A ，B 为双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，C ，D 在双曲线上，且四边形ABCD 为正方形，则22b a=（ ）A. 2+B.1+C. 2-D.1-9. 如图所示的曲线为函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象，将()y f x =图象上的所有点的横坐标伸长到原来的32倍，再将所得曲线向左平移π8个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（ ）A. 直线π2x =为()g x 图象的一条对称轴 B. 点3π,08⎛⎫⎪⎝⎭为()g x 图象的一个对称中心 C. 函数()g x 的最小正周期为2π D. 函数()g x 在5π13π,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 10. 已知函数()()2πsin 22cos 106f x x x ωωω⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有2个零点，则ω的取值范围是（ ） A 54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 54,63⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭D. 513,36⎛⎤⎥⎝⎦11. 已知四边形ABCD 的对角线AC ，BD的长分别为6，且BD 垂直平分AC 把△ACD 沿AC 折起，使得点D 到达点P ，则三棱锥P -ABC 体积最大时，其外接球半径为（ ） A. 2B.C.D.12. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,2上单调递减，且满足()π1f =，()2π0f =，则不等式组()0101x f x ≤≤⎧⎨≤≤⎩的解集为（ ）A. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []0,4π-C. []2π6,1-D. []2π6,4π--第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 已知椭圆C ：2218x y a +=的焦距为8，则C 的离心率e =______________.14. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），在注中，刘徽对“牟合方盖”有以下的描述：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸.规之为圆囷，径二寸，高二寸.又复横规之，则其形有似牟合方盖矣.八棋皆似阳马，圆然也.按合盖者，方率也.丸其中，即圆率也.”牟合方盖的发现有着重大的历史意义.通过计算得知正方体内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π:4.若在该正方体内任取一点，则此点取自“牟合方盖”内的概率是_____________.15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若π3A =，224sin 2C b a a +=，则tan C =_____________.16. 对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，给出定义：设()f x '是()y f x =的导数，()x ϕ是()y f x ='的导数，若方程()0x ϕ=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为曲线()y f x =的“拐点”，可以发现，任何一个三次函数都有“拐点”.设函数()322343g x x x x =-+-，则1220232023g g ⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20222023g ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____________. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知非零数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()1n n S p a =-，其中p 为常数，且1p ≠. （1）证明：数列{}n a 是等比数列； （2）若2p =，12n n n n S b S S ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：12n T <.18. 如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为1，且点1A 在底面上的射影是AC 的中点D .1AB 与1A B 交于点E ，1BC 与1B C 交于点F.（1）证明：11A B B C ⊥； （2）求几何体ABCFE 的体积.19. 从2023年起，某市中考考试科目将改为“3科必考＋3科选考＋体育”．其中3科必考科目为语文、数学和外语，满分都为100分．3科选考科目应在物理和生化（生物、化学合为一科）两科中选择1或2科，在历史、地理和思想品德三科中选择1或2科，每科原始满分都为100分，所选的三科成绩，将由高到低分别按照100%，80%，60%的系数折算成最后分数，三科折算后的实际满分为100分，80分，60分，体育成绩为40分，中考满分为580分．已知甲，乙两名考生在选考科目中选择每一科的可能性都相同. （1）若甲、乙两名考生的中考考试科目和原始分数成绩单如下：科目 语文 数学 英语 物理 生化 地理 体育 甲的分数 92 97 96 100 80 60 40 乙的分数92979680808040请分别计算甲、乙两名考生的中考总分； （2）求甲考生在选考科目中选考历史的概率. 20. 已知()()e ln xf x x a x x =-+.（1）当e a =时，求()f x 的最小值；（2）当1a =时，有()()21f x b x -+≥恒成立，求b 的取值范围. 21. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G 准线方程为=2y-. （1）求抛物线G 的标准方程；（2）过抛物线焦点F 作互相垂直的两条直线1l 和2l ，1l 与抛物线交于P ，Q 两点，2l 与抛物线交于C ，D 两点，M ，N 分别是线段PQ ，CD 的中点，求△FMN 面积的最小值.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. [选修4-4：坐标系与参数方程]的的22. 已知曲线C 的方程为2cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过()1,1M 作直线l 交曲线C 于P 、Q 两点，且:2:3PM PQ =，求直线l 的斜率.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()4f x x a x a =+++. （1）当1a =时，求不等式()7f x ≤解集；（2）对于任意的正实数m ，n ，且13n m =-，若()()20m n f x mn +-≥恒成立，求实数a 的范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}Z 12A x x =∈-≤≤，{}128x B x =≤≤，则A B = （）A. []0,2B. {}0,1C. {}0,1,2D. []1,3-【答案】C 【解析】【分析】先由集合的表示方法和指数函数的性质化简集合,A B ，再利用集合交集的定义求解即可. 【详解】因{}{}Z 121,0,1,2A x x =∈-≤≤=-， 由指数函数的性质可得{}03B x x =≤≤， 所以{}0,1,2A B = ， 故选：C2. 复数z 满足11i 3z <--<，则z 的范围是（ ）A.)3-+B.C. )3⎡⎣D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，得到2i 4i z +<<+，结合复数模的计算公式，即可求解.的为【详解】由11i 3z <--<，可得2i 4i z +<<+，又由2i i +=+=z <<，即z ∈.故选：B3. 人们用分贝（dB ）来划分声音的等级，声音的等级()d x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足()1210lg10xd x -=⋅.一般两人正常交谈时，声音的等级约为60dB ，燃放烟花爆竹时声音的等级约为150dB ，那么燃放烟花爆竹时声音强度约为两人正常交谈时声音强度的（ ） A 710倍B. 810倍C. 910倍D. 1010倍【答案】C 【解析】【分析】根据解析式分别求出对于声音强度可得.【详解】分别记正常交谈和燃放烟花爆竹时的声音强度分别为12,x x ， 则有12121210lg60,10lg 1501010x x --⋅=⋅=， 解得631210,10x x -==，则39261101010x x -==. 故选：C4. 为了研究某公司工作人员人数x （单位：名）和月销售量y （单位：万元）的关系，从该公司随机抽取10名工作人员，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y bx a =+$$$.已知101320i i x ==∑，1012400i i y ==∑，5b= .若该公司工作人员为25名，据此估计其月销售量为（ ） A. 195 B. 200 C. 205 D. 210【答案】C 【解析】【分析】计算x 、y ，根据回归方程的性质求出a ∧的值，再利用回归方程计算25x =时y ∧的值．【详解】根据题意，计算10132110i i x x ===∑，101240110i i y y ===∑，ˆ5b =； ∴ˆ24053280a y bx∧=-=-⨯=， ∴ 580y x =+，当25x =时，可得52580205y =⨯+=$，..所以估计其月销售量约为205. 故选：C ．5. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F ，G ，H 分别是棱11A B ，1BB ，1CC ，11C D 上的动点，且//EH FG ，则必有（ ）A. 1BD EH ⊥B. AD FG ∥C. 平面11BB D D ⊥平面EFGHD. 平面11//A BCD 平面EFGH【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可． 【详解】若点E 与1A 重合，点H 与点1D 重合，则1BD 与EH 的夹角便是1BD 与11A D 的夹角，显然1BD 与11A D 的夹角不是π2， 所以1BD EH ⊥错误，A 错误；当FG 与11B C 重合时，由11//AD B C 可得AD FG ∥， 当FG 与11B C 不重合时，因为//EH FG ，EH ⊂平面1111D C B A ，FG ⊄平面1111D C B A ， 所以//FG 平面1111D C B A ，FG ⊂平面11BCC B ， 平面11BCC B 平面111111A B C D B C =， 所以11//FG B C ，又11//AD B C ， 所以AD FG ∥，B 正确；当平面EFGH 与平面11BCC B 重合时，平面11BB D D 与平面11BCC B 不垂直，C 错误； 当FG 与BC 重合时，平面11A BCD 与平面EFGH 相交，D 错误. 故选；B.6. 已知向量a ，b 满足1a = ，(),2b m m =-r ，cos a b θ= （θ为a 与b的夹角），则a b - 的最小值为（ ）A.B.C. 1D. 2【答案】C 【解析】【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模长的计算公式求解即可.【详解】因为向量a ，b 满足1a = ，(),2b m m =-r ，cos a b θ= （θ为a 与b的夹角），则cos 1a b a b θ⋅=⋅⋅=，则222222121a b a b a b b b -=+-⋅=+-=-()()2222212432111m m m m m =+--=-+=-+≥，当且仅当1m =时取等号，即2a b - 的最小值为1，即a b - 的最小值为1.故选：C .7. 如图所示的程序框图，输入3个数据5log 2a =，8log 3b =，12c =，则输出的a 为（ ）A. 1B.12C. 8log 3D. 5log 2【答案】D 【解析】【分析】由程序框图可知，输出结果为a 、b 、c 中的最小值，然后将12分别化为5和8为底的对数比较大小可得.【详解】由程序框图可知，输出结果为a 、b 、c 中的最小值， 因为12551log 2log 52a =<=，所以a c <，又128881log 3log log 82b =>==，所以bc > 所以b c a >>. 故选：D8. 已知A ，B 为双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，C ，D 在双曲线上，且四边形ABCD 为正方形，则22b a=（ ）A. 2+B.1+ C. 2-D.1-【答案】A 【解析】【分析】利用已知条件列出方程组，求解得关于a ，c 的等式关系，转化为离心率的式子，即可求得． 【详解】解：如图，正方形的顶点A ，B 为双曲线的焦点，顶点C ，D 在双曲线上则(,0),(,0)A c B c -，故2(,b C c a由正方形ABCD 得：AB BC =，所以22b c a=，则2222ac b c a ==-即：2220c ac a --=，两边同除2a 得：2210e e --=，解得：1=+e 或1=+e （舍）， )2222113b e a=+==+，则222b a=+.故选：A .9. 如图所示的曲线为函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象，将()y f x =图象上的所有点的横坐标伸长到原来的32倍，再将所得曲线向左平移π8个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（ ）A. 直线π2x =为()g x 图象的一条对称轴 B. 点3π,08⎛⎫⎪⎝⎭为()g x 图象的一个对称中心 C. 函数()g x 的最小正周期为2π D. 函数()g x 在5π13π,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 【答案】A 【解析】【分析】先由函数的图象求出()f x 的解析式，再结合题意求出()g x ，结合余弦函数的图象性质即可求解 【详解】由图象知2A =，又π2π5π63212+=，所以()f x 的一个最低点为5π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭， 而()f x 的最小正周期为2π2π033T =-=， 所以2π3Tω==， 又5π5π2sin 321212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5πsin 3112ϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭， 所以()5π3π2π42k k ϕ+=+∈Z ,即()π2π4k k ϕ=+∈Z ， 又π2ϕ<，所以π4ϕ=， 所以()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()y f x =图象上的所有点的横坐标伸长到原来的32得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再把所得曲线向左平移π8个单位长度得π2sin 22cos 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即()2cos 2g x x =. 因为ππ2cos 22222g cos π⎛⎫=⨯==-⎪⎝⎭， 所以直线π2x =是()g x 图象的一条对称轴，故A 正确；因为3π3π3π2cos 22cos 884g ⎛⎫=⨯==⎪⎝⎭， 所以3π,08⎛⎫⎪⎝⎭不是()g x 图象的一个对称中心，故B 错误； 函数()g x 在周期2ππ2T ==，故C 错误； 由()2π2π2πk x k k ≤≤+∈Z 得()πππ2k x k k ≤≤+∈Z ， 所以()g x 在ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上单调递减， 当5π13π,2424x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，可知()g x 在5ππ,242⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，在π13π,224⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，所以D 错误. 故选：A.10. 已知函数()()2πsin 22cos 106f x x x ωωω⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有2个零点，则ω的取值范围是（ ） A. 54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 54,63⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭D. 513,36⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】把函数化成sin()y A x ωϕ=+的形式，再利用正弦函数的性质求解作答.【详解】依题意，()132cos 2cos 22cos 222f x x x x x x ωωωωω=++=+π)3x ω=+，当[0,π]x ∈时，πππ2,2π333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在[]0,π内有且仅有2个零点， 于是π2π2π3π3ω≤+<，解得5463ω≤<，所以ω的取值范围是54[,)63. 故选：A11. 已知四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6，且BD 垂直平分AC 把△ACD 沿AC 折起，使得点D 到达点P ，则三棱锥P -ABC 体积最大时，其外接球半径为（ ）A. 2B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】设,AC BD 交于点E ，由三棱锥P -ABC 体积最大可得PE ⊥平面ABC ，3PE BE ==，后作出三棱锥P -ABC 球心O ，利用几何知识即可求得外接球半径.【详解】如图，设,AC BD 交于点E ，6,BE x DE PE x ===-， 要使三棱锥P -ABC 体积最大，则PE ⊥平面ABC ，其体积为：()()2116336ABC S PE AC BE PE x x x ⋅=⋅⋅=-=--+ 则当3x =，即3PE BE ==时，三棱锥P -ABC 体积最大. 注意到此时，PAC BAC ≅ ，且均为等边三角形，设BAC 外心为1O ，PAC △外心为2O ，过12,O O 分别作平面BAC ，平面PAC 垂线，交点为O ， 则O 为三棱锥P -ABC 外接球球心.又2O 为PAC △重心，则2113O E PE ==， 结合四边形21O EO O 是矩形，则121O O O E ==.又BAC 外接圆半径为11223O A O B BE ===，则三棱锥P -ABC 外接球半径为OA ===.故选：B【点睛】结论点睛：本题有更一般的结论，若在三棱锥P -ABC 中，平面PAC ⊥平面BAC ，则三棱锥P -ABC 外接球半径r =12,r r 分别为,PAC BAC 外接圆半径，l 为,PAC BAC 交线长度.12. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,2上单调递减，且满足()π1f =，()2π0f =，则不等式组()0101x f x ≤≤⎧⎨≤≤⎩的解集为（ ）A. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []0,4π-C. []2π6,1-D. []2π6,4π--【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由函数的周期性与奇偶性分析可得()()2f x f x -=+，则函数()f x 关于直线1x =对称，据此可得()f x 在[]0,1上递增，且()41f π-=，()260f π-=，则进而分析()0101x f x ≤≤⎧⎨≤≤⎩可得答案．【详解】根据题意，()f x 为周期为2的偶函数， 则()()2f x f x =+且()()=f x f x -， 则有()()2f x f x -=+， 则函数()f x 关于直线1x =对称，又由()f x 在区间[]1,2上单调递减，且()π1f =，()2π0f =， 因为周期为2得()12fπ-=，()260f π-=，又()f x 关于直线1x =对称，则()4π1f -=，则()f x 在[]0,1上递增，且()2π60f -=，()4π1f -=，则()[]012π6,4π01x f x ≤≤⎧⇒--⎨≤≤⎩，即不等式组的解集为[]2π6,4π--. 故选：D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 已知椭圆C ：2218x y a +=的焦距为8，则C 的离心率e =______________.【解析】【分析】根据给定椭圆的方程和焦距，求出长半轴长即可作答.【详解】因为椭圆C ：2218x y a +=的焦距为8，则半焦距4c =，根据方程可知，284<，所以焦点在x 轴上，因此短半轴长为==，所以C 的离心率e ==.14. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），在注中，刘徽对“牟合方盖”有以下的描述：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸.规之为圆囷，径二寸，高二寸.又复横规之，则其形有似牟合方盖矣.八棋皆似阳马，圆然也.按合盖者，方率也.丸其中，即圆率也.”牟合方盖的发现有着重大的历史意义.通过计算得知正方体内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π:4.若在该正方体内任取一点，则此点取自“牟合方盖”内的概率是_____________.【答案】23【解析】【分析】设正方体的棱长为2a ，用a 表示出“牟合方盖”的体积，再利用几何概型计算作答. 【详解】设正方体的棱长为2a ，则该正方体内切球半径为a ，令 “牟合方盖”的体积为V ，于是34ππ34aV =，解得3163V a =，而正方体的体积为3(2)a ， 所以在该正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”内的概率是3331623(2)83aV a a ==. 故答案为：2315. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若π3A =，224sin 2C b a a +=，则tan C =_____________.【答案】-【解析】【分析】由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得：1cos sin 2sin 4sin 2C B A A -+=⋅， 因为π3A =，所以sin A =，所以()sin 1cos B C +=-，πsin 3C C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1sin 2C C C +=1sin 2C C =-，则tan C =-.故答案为：-16. 对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，给出定义：设()f x '是()y f x =的导数，()x ϕ是()y f x ='的导数，若方程()0x ϕ=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为曲线()y f x =的“拐点”，可以发现，任何一个三次函数都有“拐点”.设函数()322343g x x x x =-+-，则1220232023g g ⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20222023g ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____________. 【答案】－3033 【解析】分析】由题意对已知函数进行二次求导，证明函数关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，即()1()0g x g x -+=，由此可得到结果.【详解】因为()322343g x x x x =-+-，所以()2664g x x x '=-+，设()2664h x x x =-+，则()126h x x '=-，令()1260h x x '=-=，可得12x =， 又32311115323432222222g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+++-=+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭32311115323432222222g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11322g x g x ⎛⎫⎛⎫++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()13g x g x +-=-， 所以1202222021101110123202320232023202320232023g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⋅⋅⋅=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1220223033202320232023g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：3033-.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知非零数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()1n n S p a =-，其中p 为常数，且1p ≠. （1）证明：数列{}n a 是等比数列； （2）若2p =，12n n n n S b S S ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：12n T <.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】【【分析】（1）利用11n n n a S S ++=-的思想，即可推出11n n a pa p +=-，得证； （2）若2p =，由（1）知数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，根据等比数列前n 项和公式求出n S ，即可得出n b ，再利用裂项法求和，即可得证.【小问1详解】由已知得()()1111n n n n S p a S p a ++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩①②，②－①得()*11n n n a pa pa n ++=-∈N ，所以()11n n p a pa +-=，又因为1p ≠，所以11n n a pa p +=-， 当1n =时，11a pa p =-，故11p a p =-. 所以数列{}n a 是首项为1p p -，公比为1pp -的等比数列.【小问2详解】若2p =，由（1）知数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以()12122212n n n S +-==--，故()()11121112212142121n n n n n n b +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，所以123n n T b b b b =++++1223111111112212121212121n n +⎛⎫-+-++- ⎪------⎝=⎭1111221n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭， 又因为*n ∈N ，所以11021n +>-，所以12n T <. 18. 如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为1，且点1A 在底面上的射影是AC 的中点D .1AB 与1A B 交于点E ，1BC 与1B C 交于点F .（1）证明：11A B B C ⊥； （2）求几何体ABCFE 的体积. 【答案】（1）见解析 （2）332【解析】【分析】（1）连接BD ，利用等腰三角形的三线合一得BD AC ⊥，再利用线面垂直的判定得AC ⊥平面1A BD ，从而1A B AC ⊥，再利用菱形性质得11A B AB ⊥，最后再次利用线面垂直的判定和性质即可得到答案；（2）通过棱锥体积公式求得118B ABC V -=三棱锥，再利用其与几何体ABCFE 的体积的关系即可. 【小问1详解】因为点1A 在底面上的射影是AC 的中点D ，所以1A D AC ⊥, 连接BD ，因为ABC 是边长为1的正三角形，所以BD AC ⊥,因为11,,A D BD D A D BD =⊂ 平面1A BD ,所以AC ⊥平面1A BD , 因为1A B ⊂平面1A BD ,所以1A B AC ⊥.因为四边形11ABB A 是边长为1的菱形,所以11A B AB ⊥,又因为11,,AB AC A AB AC =⊂ 平面1AB C ，所以1A B ⊥平面1AB C , 因为1B C ⊂平面1AB C ，所以11A B B C ⊥.【小问2详解】因为三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为1, 且点1A 在底面上的射影是AC 的中点D ,所以三棱柱的高为1A D =.又ABC 的面积为1112⨯⨯=,所以 11138B ABC V -==三棱锥 由题可知,点E 为1AB 的中点,点F 为1B C 的中点, 所以梯形AEFC 的面积是1AB C V 的面积的34, 所以143233841343ABCFE B AEFC B AB C B ABC V V V V ---====⨯=几何体四棱锥三棱锥三棱锥. 19. 从2023年起，某市中考考试科目将改为“3科必考＋3科选考＋体育”．其中3科必考科目为语文、数学和外语，满分都为100分．3科选考科目应在物理和生化（生物、化学合为一科）两科中选择1或2科，在历史、地理和思想品德三科中选择1或2科，每科原始满分都为100分，所选的三科成绩，将由高到低分别按照100%，80%，60%的系数折算成最后分数，三科折算后的实际满分为100分，80分，60分，体育成绩为40分，中考满分为580分．已知甲，乙两名考生在选考科目中选择每一科的可能性都相同. （1）若甲、乙两名考生的中考考试科目和原始分数成绩单如下：科目 语文 数学 英语 物理 生化 地理 体育 甲的分数 92 97 96 100 80 60 40 乙的分数92979680808040请分别计算甲、乙两名考生的中考总分； （2）求甲考生在选考科目中选考历史的概率. 【答案】（1）甲总分525分，乙总分517分（2）59【解析】【分析】（1）直接根据总分计算方式代入计算即可；（2）写出所有情况，再得到满足题意的情况数，最后得到概率值. 【小问1详解】甲的总分9297961008080%6060%40525=++++⨯+⨯+=；乙的总分929796808080%8060%40517=++++⨯+⨯+=. 【小问2详解】设物理、生化、历史、地理、思想品德五科分别为A ,B ,C ,D ,E . 从五科中选考三科且历史,地理,思想品德三科不能同时被选, 有ABC ,ABD ,ABE ,ACD ,ACE ,ADE ,BCD ,BCE ,BDE 共9个基本事件,设“甲同学在选考科目中选中历史”为事件M , 则M 中包含,,,,ABC ACD ACE BCD BCE 共5个基本事件, 所以5()9P M =. 则甲考生在选考科目中选考历史的概率为59. 20. 已知()()e ln xf x x a x x =-+.（1）当e a =时，求()f x 的最小值；（2）当1a =时，有()()21f x b x -+≥恒成立，求b 的取值范围. 【答案】（1）0 （2）2b ≤【解析】【分析】（1）求函数()f x 的定义域和导函数，根据()ee x p x x=-的单调性确定函数()f x '的取值规律，由此判断函数()f x 的单调性，求其最值；（2）已知条件等价于等价于e ln 1x x x x b x +--≥在()0,x ∈+∞上恒成立，利用导数求函数()e ln 1x x x x t x x+--=的最小值可得b 的取值范围. 【小问1详解】由题意知()()e e ln xf x x x x =-+，()0,x ∈+∞，所以()()e '1e x f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 易见()ee xp x x=-在()0,x ∈+∞上递增，且()10p =， 所以当()0,1x ∈时，()0p x <，即()'0f x <，()f x 在()0,1上单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0p x >，即()'0f x >，()f x 在()1,+∞上单调递增， 故()()10f x f ≥=，所以()f x 的最小值为0.【小问2详解】由已知()()e ln 21xx x x b x -+≥-+在()0,x ∈+∞上恒成立，即e ln 1x x x x bx +--≥在()0,x ∈+∞上恒成立，也即e ln 1x x x x b x +--≥在()0,x ∈+∞上恒成立.令()e ln 1x x x x t x x +--=，()0,x ∈+∞，所以()22e ln 'x x xt x x+=， 令()2e ln xx x x ϕ=+，则()x ϕ是()0,∞+上的增函数，又因为12e 1e 10e ϕ-⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()1e 0ϕ=>，所以()x ϕ在区间()0,1上存在唯一的零点0x ，即0020e n 0l xx x +=，由0020e n 0l x x x +=得001ln 000000ln 111e ln ln e x x x x x x x x ⎛⎫=-=⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 又由函数()e xq x x =在区间()0,∞+上单调递增，上式等价于()001lnq x q x ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以0001lnln x x x ==-，001e x x =， 当()00,x x ∈时，()'0t x <，()t x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()'0t x >，()t x 单调递增， 所以()()0000000min 00e ln 1112x x x x x x t x t x x x +--++-====，所以2b ≤.【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)()a f x ≥恒成立⇔()max a f x ≥； (2)()a f x ≤恒成立⇔()min a f x ≤.21. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G 的准线方程为=2y -. （1）求抛物线G 的标准方程；（2）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 和2l ，1l 与抛物线交于P ，Q 两点，2l 与抛物线交于C ，D 两点，M ，N 分别是线段PQ ，CD 的中点，求△FMN 面积的最小值.【答案】（1）28x y =（2）16 【解析】【分析】（1）根据题意得22p-=-，解出p 值即可； （2）设直线1l 的方程为()()11222,,,,y kx P x y Q x y =+，联立直线与抛物线方程，得到韦达定理式，根据中点公式求出()24,42M k k +，通过代换得到244,2N k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，写出面积表达式，利用基本不等式即可求出最值. 【小问1详解】设抛物线标准方程为22x py =，其中0p >， 由题意得22p-=-，解得4p =，则焦点()0,2F ， 故抛物线G 标准方程为28x y =. 【小问2详解】(0,2)F ,由题意知直线12,l l 的斜率都存在且不为0，设直线1l 的方程为()()11222,,,,y kx P x y Q x y =+, 则直线2l 的方程为12y x k=-+, 由282x y y kx ⎧=⎨=+⎩得28160x kx --=，则264640k ∆=+>， 所以12128,16x x k x x +==-, 所以()21214,2422M M M x x x k y kx k =+==+=+, 所以()24,42M k k +. 用1k -替换k 可得22,44N N x y k k =-=+，所以244,2N k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.所以1||||2FMNS FM FN =====8216≥=⨯=,当且仅当221k k =,即1k =±时等号成立， 所以FMN 面积的最小值为16.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是设直线方程，然后将其与抛物线方程联立，得到韦达定理式，求出()24,42M k k +，而N 的坐标无需再次联立方程，用1k-替换k 即可，最后得到面积表达式，再利用基本不等式即可求出最值.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. [选修4-4：坐标系与参数方程]22. 已知曲线C 的方程为2cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过()1,1M 作直线l 交曲线C 于P 、Q 两点，且:2:3PM PQ =，求直线l 的斜率. 【答案】（1）4cos ρθ=（2 【解析】【分析】（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，再转化为极坐标方程即可；（2）设直线l 的倾斜角为α，写出直线l 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，可得出关于t 的二次方程，列出韦达定理，设点P 对应的参数为1t ，点Q 对应的参数为2t ，由已知可得出122t t =，代入韦达定理可得出关于tan α的二次方程，解出tan α的值，即可得出直线l 的斜率. 【小问1详解】因为曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），所以22cos 2sin x y θθ-=⎧⎨=⎩，消去参数θ，可得()2224x y -+=， 故曲线C 的普通方程为2240x y x +-=. 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=. 【小问2详解】设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入()2224x y -+=，得()22sin cos 20t t αα+--=.()24sin cos 80αα∆=-+>，设点P 对应的参数为1t ，点Q 对应的参数为2t ，则()12122sin cos 2t t t t αα⎧+=--⎨⋅=-⎩（*），因为:2:3PM PQ =，所以122t t =，所以122t t =-，代入（*）式整理，可得()2224sin cos 1sin cos αααα-==+， 可得223sin 8sin cos 3cos 0αααα-+=， 若cos 0α=，则sin 0α=，与22sin cos 1αα+=矛盾，故cos 0α≠，可得23tan 8tan 30αα-+=，解得tan α=所以直线l[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()4f x x a x a =+++. （1）当1a =时，求不等式()7f x ≤的解集；（2）对于任意的正实数m ，n ，且13n m =-，若()()20m n f x mn +-≥恒成立，求实数a 的范围.【答案】（1）{}61x x -≤≤（2）115a ≤-或151a ≥【解析】【分析】（1）分4x ≤-，41x -<≤-，1x >-几种情况去掉绝对值，即可解不等式；（2）()()20m n f x mn +-≥恒成立，等价于()2m axmn f x m n ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭，利用基本不等式可得215m axmn m n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，又()3f x a ≥，即可得答案. 【小问1详解】原不等式为147x x +++≤，当4x ≤-时，147x x ----≤，得6x ≥-，所以64x -≤≤-； 当41x -<≤-时，147x x --++≤恒成立，所以41x -<≤-； 当1x >-时，147x x +++≤，得1x ≤，所以11x -<≤. 综上，不等式的解集为{}61x x -≤≤； 【小问2详解】因m ，n 为正实数，()()20m n f x mn +-≥恒成立，即为()2m axmn f x m n ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭，又213m n m m m nmn n m n m ++=+=+=3m n n m ++35≥+=，当且仅当m n n m =，即41m n ==时等号成立， 所以2mn m n+的最大值为15.又因为()()43f x x a x a a ≥+-+=（当()()40x a x a ++≤时取等号）， 要使()2mn f x m n≥+恒成立，只需135a ≥. 所以115a ≤-或151a ≥.为。
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学二诊试卷(一)(有答案解析)
令 z=3x+2y，化为 y=- x+ ， 相当于直线 y=- x+ 的纵截距，
第 6 页，共时， 取最大值，
令
，解得 x=1，y=1，
则 3x+2y 的最大值是 3+2=5． 故选：C．
4.答案：C
解析：解：模拟程序的运行，可得 x=1，y=1 满足条件 x≤4，执行循环体，x=2，y=3 满足条件 x≤4，执行循环体，x=4，y=5 满足条件 x≤4，执行循环体，x=8，y=7 此时，不满足条件 x≤4，退出循环，输出 y 的值为 7． 故选：C． 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 y 的值，模拟 程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的 结论，是基础题．
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18. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PA⊥ 平面 ABCD，且 AB=AC=2PA，点 E，F 分别是 AD 和 PB 的中点． （Ⅰ）求证 EF∥平面 PCD； （Ⅱ）若 PA=1，求点 F 到平面 PCE 的距离．
19. 某学校高二年级的第二学期，因某学科的任课教师王老师调动工作，于是更换了另 一名教师赵老师继任．第二学期结束后从全学年的该门课的学生考试成绩中用随机 抽样的方法抽取了容量为 50 的样本，用茎叶图表示如图： 学校秉持均衡发展、素质教育的办学理念，对教师的教学成绩实行绩效考核，绩效 考核方案规定：每个学期的学生成绩中与其中位数相差在±10 范围内（含±10）的 为合格，此时相应的给教师赋分为 1 分；与中位数之差大于 10 的为优秀，此时相 应的给教师赋分为 2 分；与中位数之差小于-10 的为不合格，此时相应的给教师赋 分为-1 分． （Ⅰ）问王老师和赵老师的教学绩效考核平均成绩哪个大？ （Ⅱ）是否有 95%的把握认为“学生成绩取得优秀与更换老师有关”．
2020-2021学年新疆维吾尔自治区高考数学二模试卷(文科)及答案解析
新疆维吾尔自治区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|≤2}，B={x|x2﹣3x≤0，x∈N}，则A∩B=（）A．{0，4} B．{﹣2，﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}2．已知均为单位向量，它们的夹角为120°，那么=（）A．1 B．C．D．73．已知复数z1=a+i，z2=a﹣ai，且z1•z2＞0，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．0或﹣14．函数的最大值与最小值之和为（）A．B．0 C．﹣1 D．5．如图，该程序运行后输出的结果为（）A．7 B．11 C．25 D．366．在以下区间中，函数f（x）=e x+x3﹣4存在零点的是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[1，2] D．[2，3]7．等差数列{a n}中，已知a2+a6+a10=36，则该数列前11项和S11=（）A．132 B．66 C．33 D．118．a﹣b+1＞0是a＞|b|的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件9．盒中共有6件除了颜色外完全相同的产品，其中有1件红色，2件白色和3件黑色，从中任取两件，则两件颜色不相同的概率为（）A．B．C．D．10．设等比数列{a n}的各项均为正数，且，若，则数列{b n}的前10项和为（）A．B．C． D．11．椭圆的右焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点A，B，若△FAB的周长等于8则△FAB的面积为（）A．1 B．C．D．212．已知，且0＜|m|＜1，0＜|n|＜1，mn＜0，则使不等式f（m）+f（n）＞0成立的m和n还应满足的条件为（）A．m＞n B．m＜n C．m+n＞0 D．m+n＜0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．自治区教科院用分层抽样的方法，从某校600份文理科试卷中抽取部分试卷进行样本分析，其中抽取文科试卷若干份，每份文科试卷被抽到的概率为，则理科试卷共有份．14．某几何体的三视图如图，则几何体的表面积为．15．已知直线l：y=x﹣1与曲线相切于点A，则A点坐标为．16．已知O为坐标原点，过双曲线上的点P（1，0）作两条渐近线的平行线，交两渐近线分别于A，B两点，若平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）17．已知△ABC中，角A，B，C依次成公差大于零的等差数列，且．（1）求角C；（2）若a=2，求三角形ABC内切圆的半径R．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2AA1=4．（1）求证：平面BDC1∥平面AB1D1；（2）求点C1到平面AB1D1的距离．19．连锁水果店店主每天以每件50元购进水果若干件，以80元一件销售；若供大于求，当天剩余水果以40元一件全部退回；若供不应求，则立即从连锁店60元一件调剂，以80元一件销售．（1）若水果店一天购进水果5件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N*）的函数解析式；（2）店主记录了30天水果的日需求量n（单位：件）整理得表：日需求量 3 4 5 6 7频数 2 3 15 6 4若水果店一天购进5件水果，以30天记录的各需求量发生的频率作为概率，求每天的利润在区间[150，200]的概率．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的内接等边三角形AOB的面积为（其中O为坐标原点）．（1）试求抛物线C的方程；（2）已知点M（1，1），P，Q两点在抛物线C上，△MPQ是以点M为直角顶点的直角三角形，求证：直线PQ恒过定点．21．已知函数f（x）=x2﹣2alnx．（1）求f（x）的极值；（2）当a＞0时，函数g（x）=f（x）﹣2ax有唯一零点，试求a的值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4--1：几何证明选讲]22．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点（Ⅰ）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AB=BC，求证：AC⊥BD；（Ⅱ）如图2，若AC⊥BD于点E，AB=6，DC=8，求⊙O的面积S．[选修4--4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（θ∈[﹣，]为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρ（cosθ﹣sinθ）=3．（Ⅰ）求C1与C2交点的直角坐标；（Ⅱ）求C1上任意一点P到C2距离d的最大值．[选修4--5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|（Ⅰ）求不等式f（x）≥x+3的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥log a（x+1）在x≥0上恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|≤2}，B={x|x2﹣3x≤0，x∈N}，则A∩B=（）A．{0，4} B．{﹣2，﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中方程的解确定出A，列举出集合B中的元素确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵集合A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，B={x|x2﹣3x≤0，x∈N}={0，1，2，3}，则A∩B={0，1，2}，故选：D．2．已知均为单位向量，它们的夹角为120°，那么=（）A．1 B．C．D．7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得，再利用求向量的模的方法，求出的值．【解答】解：∵均为单位向量，它们的夹角为120°，∴=1•1•cos120°=﹣，∴====，故选：B．3．已知复数z1=a+i，z2=a﹣ai，且z1•z2＞0，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．0或﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的乘法运算法则化简，求解即可．【解答】解：复数z1=a+i，z2=a﹣ai，可得：z1•z2=a2+a+ai﹣a2i，∵z1•z2＞0，∴a﹣a2=0，a2+a＞0，解得a=1．故选：B．4．函数的最大值与最小值之和为（）A．B．0 C．﹣1 D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据x的取值范围，求出x﹣的取值范围，再利用正弦函数的图象与性质求出函数y的最大、最小值即可．【解答】解：当0≤x≤3时，﹣≤x﹣≤，所以函数y=2sin（x﹣）（0≤x≤3）的最大值是2×1=2，最小值是2×（﹣）=﹣，最大值与最小值的和为2﹣．故选：A．5．如图，该程序运行后输出的结果为（）A．7 B．11 C．25 D．36【考点】程序框图．【分析】经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可．【解答】解：模拟执行程序，可得k=1，S=0满足条件k≤10，S=1，k=3满足条件k≤10，S=4，k=7满足条件k≤10，S=11，k=15不满足条件k≤10，退出循环，输出S的值为11．故选：B．6．在以下区间中，函数f（x）=e x+x3﹣4存在零点的是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[1，2] D．[2，3]【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】根据导函数判断函数f（x）=e x+x3﹣4单调递增，运用零点判定定理，判定区间．【解答】解：∵函数f（x）=e x+x3﹣4，∴f′（x）=e x+4∵e x＞0，∴f′（x）=e x+4＞0∴函数f（x）=e x+x3﹣4，在（﹣∞，+∞）上为增函数，f（2）=e2+23﹣4=e2+4＞0，f（1）=e1+13﹣4＜0，∴f（1）•f（2）＜0，∴函数f（x）=e x+x3﹣4的零点所在的区间为（1，2）故选：C．7．等差数列{a n}中，已知a2+a6+a10=36，则该数列前11项和S11=（）A．132 B．66 C．33 D．11【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质知S11=（a1+a11）=11a6，由此能够求出结果【解答】解：等差数列{a n}中，∵a2+a6+a10=36，∴3a6=36，∴2a6=24=a1+a11，∴S11=11a6=132，故选：A．8．a﹣b+1＞0是a＞|b|的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由a＞|b|，可得a＞b或a＞﹣b，可得a﹣b＞0＞﹣1，或a+b＞0．反之：由a﹣b+1＞0，取a=2，b=﹣5，则a＞|b|不成立．即可判断出结论．【解答】解：由a＞|b|，可得a＞b或a＞﹣b，∴a﹣b＞0＞﹣1，或a+b＞0．由a﹣b+1＞0，取a=2，b=﹣5，则a＞|b|不成立．∴a﹣b+1＞0是a＞|b|的必要不充分条件．故选：C．9．盒中共有6件除了颜色外完全相同的产品，其中有1件红色，2件白色和3件黑色，从中任取两件，则两件颜色不相同的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】盒中共有6件除了颜色外完全相同的产品，其中有1件红色，2件白色和3件黑色，从中任取两件，先求出基本事件总数，两件颜色不相同的对立事件是两件颜色相同，由此能求出两件颜色不相同的概率．【解答】解：盒中共有6件除了颜色外完全相同的产品，其中有1件红色，2件白色和3件黑色，从中任取两件，基本事件总数n==15，两件颜色相同包含的基本事件个数m==4，∴两件颜色不相同的概率为p=1﹣=1﹣=．故选：D．10．设等比数列{a n}的各项均为正数，且，若，则数列{b n}的前10项和为（）A．B．C． D．【考点】数列的求和．【分析】通过q6=4•q•q7可知q=，进而可知a n=，利用对数的运算性质、裂项可知b n=﹣2（﹣），并项相加即得结论．【解答】解：依题意，a2=q，a4=q3，a8=q7，则q6=4•q•q7，即q2=，又∵等比数列{a n}的各项均为正数，∴q=，∴a n=，∵=log2（a1a2a3…a n）==﹣∴b n=﹣=﹣2（﹣），故所求值为﹣2（1﹣+﹣+…+﹣）=﹣，故选：A．11．椭圆的右焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点A，B，若△FAB的周长等于8则△FAB的面积为（）A．1 B．C．D．2【考点】椭圆的简单性质．【分析】F．设直线x=t与x轴相交于点D（t，0），由于△FAB的周长等于8，可得|AB|+|AF|+|BF|=8=4×a，因此直线x=t经过左焦点（﹣，0）．解出即可得出．【解答】解：F．设直线x=t与x轴相交于点D（t，0），∵△FAB的周长等于8，∴|AB|+|AF|+|BF|=8=4×2，因此直线x=t经过左焦点（﹣，0）．把x=﹣代入椭圆方程可得：y2=1﹣=，解得y=．∴|AB|=1．∴△FAB的面积==，故选：C．12．已知，且0＜|m|＜1，0＜|n|＜1，mn＜0，则使不等式f（m）+f（n）＞0成立的m和n还应满足的条件为（）A．m＞n B．m＜n C．m+n＞0 D．m+n＜0【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；不等式的证明．【分析】本题是一个分段函数，由题意知应先确定m，n的正负，得出关于，m，n的不等式，化简变形根据符号来确定m，n所应满足的另外的一个关系．【解答】解：不妨设m＞0，n＜0，则=，由n﹣m＜0，f（m）+f（n）＞0，故m+n＜0故应选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．自治区教科院用分层抽样的方法，从某校600份文理科试卷中抽取部分试卷进行样本分析，其中抽取文科试卷若干份，每份文科试卷被抽到的概率为，则理科试卷共有450 份．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用分层抽样性质和概率性质求解．【解答】解：∵用分层抽样的方法，从某校600份文理科试卷中抽取部分试卷进行样本分析，其中抽取文科试卷若干份，每份文科试卷被抽到的概率为，∴文科试卷共有600×=150，∴理科试卷共有600﹣150=450份．故答案为：450．14．某几何体的三视图如图，则几何体的表面积为6+2+2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个边长为2的正方形，PE⊥面ABCD，且PE=2，其中E、F分别是BC、AD的中点，连结EF、PA，在△PEB中，PB=，同理可得PC=，∵PE⊥面ABCD，∴PE⊥CD，∵CD⊥BC，BC∩PE=E，∴CD⊥面PBC，则CD⊥PC，在△PCD中，PD==3，同理可得PA=3，则PF⊥AD，在△PDF中，PF==2∴此几何体的表面积S=2×2++=6+2+2．故答案为：6+2+2．15．已知直线l：y=x﹣1与曲线相切于点A，则A点坐标为（1，0）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点A（m，n），代入切线的方程和曲线方程，求得函数的导数，求得切线的斜率，化为lnm+m2=1，由f（m）=lnm+m2的导数大于0，且f（1）=0，解方程可得m=1，n=0，进而得到切点的坐标．【解答】解：设切点A（m，n），可得m﹣1=n，=n，y=的导数为y′=，可得=1，即为lnm+m2=1，由f（m）=lnm+m2的导数为+2m＞0，则f（m）递增，且f（1）=1，即有方程lnm+m2=1的解为m=1．可得n=0．即为A（1，0）．故答案为：（1，0）．16．已知O为坐标原点，过双曲线上的点P（1，0）作两条渐近线的平行线，交两渐近线分别于A，B两点，若平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】作出对应的图象，求出交点坐标，结合平行四边形的面积建立方程关系求出a的值进行求解即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±ax，（不妨设a＞0），设与y=﹣ax平行且过P的直线方程为y=﹣a（x﹣1）=﹣ax+a，由，得，即A（，a），=2××1×a=a=1，得a=2，则平行四边形OBPA的面积S=2S△OBP即双曲线的方程为x2﹣=1，则双曲线的a1=1，b1=2，则c==，即双曲线的离心率e===，故答案为：三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）17．已知△ABC中，角A，B，C依次成公差大于零的等差数列，且．（1）求角C；（2）若a=2，求三角形ABC内切圆的半径R．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由题意结合等差数列和三角形的知识可得B=，A+C=，再由及和差角的三角函数公式变形易得C=；（2）由（1）可得A=，由正弦定理可得b值，再由勾股定理可得c值，由等面积可得R的方程，解方程可得．【解答】解：（1）∵△ABC中，角A，B，C依次成公差大于零的等差数列，∴2B=A+C，由A+B+C=π可得B=，A+C=，又∵，∴cos（﹣C）+cosC=，∴﹣cosC+sinC+cosC=，即cosC+sinC=，由和差角的三角函数公式可得sin（C+）=，∴C+=，解得C=；（2）由（1）可得B=，C=，故A=，由正弦定理可得b===2，由勾股定理可得c==4，由等面积可得（2+4+2）R=×2×2，解方程可得R=﹣1．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2AA1=4．（1）求证：平面BDC1∥平面AB1D1；（2）求点C1到平面AB1D1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面平行的判定．【分析】（1）通过证明线面平行，证明平面BDC1∥平面AB1D1；（2）利用等体积法，求点C1到平面AB1D1的距离．【解答】证明：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1∥AD且B1C1=AD，∴B1C1DA是平行四边形，∴C1D∥B1A，∵B1A⊂平面AB1D1，C1D⊄平面AB1D1，∴C1D∥平面AB1D1，同理BD∥平面AB1D1，∵C1D∩BD=D，∴平面BDC1∥平面AB1D1；解：（2）设点C1到平面AB1D1的距离为h．∵AB1=AD1=2，B1D1=4，∴由=得=，∴h=，∴点C1到平面AB1D1的距离为．19．连锁水果店店主每天以每件50元购进水果若干件，以80元一件销售；若供大于求，当天剩余水果以40元一件全部退回；若供不应求，则立即从连锁店60元一件调剂，以80元一件销售．（1）若水果店一天购进水果5件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N*）的函数解析式；（2）店主记录了30天水果的日需求量n（单位：件）整理得表：日需求量 3 4 5 6 7频数 2 3 15 6 4若水果店一天购进5件水果，以30天记录的各需求量发生的频率作为概率，求每天的利润在区间[150，200]的概率．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）根据条件建立函数关系，即可求出函数的解析式．（2）分别求出当日需求量为n时，对应的频数，利用古典概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：（1）当1≤n≤5时，y=30n+（5﹣n）×（﹣10）=40n﹣50，当n＞5时，y=30×5+（n﹣5）×20=20n+50，则y=．（2）当日需求量为3，频数为2天，利润为40×3﹣50=70，当日需求量为4，频数为3天，利润为40×4﹣50=110，当日需求量为5，频数为15天，利润为30×5=150，当日需求量为6，频数为6天，利润为30×5+20=170，当日需求量为7，频数为4天，利润为30×5+20×2=190，则当天的利润在区间[150，200]上，有25天，故当天的利润在区间[150，200]上的概率P==．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的内接等边三角形AOB的面积为（其中O为坐标原点）．（1）试求抛物线C的方程；（2）已知点M（1，1），P，Q两点在抛物线C上，△MPQ是以点M为直角顶点的直角三角形，求证：直线PQ恒过定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设A（x A，y A），B（x B，y B），由|OA|=|OB|，可得+2px A=+2px B，化简可得：点A，B关于x轴对称．因此AB⊥x轴，且∠AOx=30°．可得y A=2p，再利用等边三角形的面积计算公式即可得出．（2）由题意可设直线PQ的方程为：x=my+a，P（x1，y1），Q（x2，y2）．与抛物线方程联立化为：y2﹣my﹣a=0，利用∠PMQ=90°，可得=0利用根与系数的关系可得=m+，或=﹣（m+），进而得出结论．【解答】（1）解：设A（x A，y A），B（x B，y B），∵|OA|=|OB|，∴+2px A=+2px B，化为（x A﹣x B）（x A+x B+2p）=0，又x A，x B≥0，∴x A+x B+2p＞0，∴x A=x B，|y A|=|y B|，因此点A，B关于x轴对称．∴AB⊥x轴，且∠AOx=30°．∴=tan30°=，又=2px A，∴y A=2p，∴|AB|=2y A=4p．∴S△==3，解得p=．AOB∴抛物线C的方程为y2=x．（2）证明：由题意可设直线PQ的方程为：x=my+a，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为：y2﹣my﹣a=0，△＞0，∴y1+y2=m，y1y2=﹣a．∵∠PMQ=90°，∴=0，∴（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0，化为：x1x2﹣（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0，∴﹣+3y1y2﹣（y1+y2）+2=0，∴a2﹣m2﹣3a﹣m+2=0，配方为=，∴=m+，或=﹣（m+），当=m+时，a=m+2，直线PQ的方程化为：x=m（y+1）+2，直线PQ经过定点H（2，﹣1）．当=﹣（m+）时，直线PQ的方程化为：x=m（y﹣1）+1，直线PQ经过定点H（1，1），舍去．综上可得：直线PQ经过定点H（2，﹣1）．21．已知函数f（x）=x2﹣2alnx．（1）求f（x）的极值；（2）当a＞0时，函数g（x）=f（x）﹣2ax有唯一零点，试求a的值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求f（x）的极值；（2）求导数，确定函数的单调性，g（x）=0有唯一解，g（x2）=0．则x22﹣2alnx2﹣2ax2=0，x22﹣ax2﹣a=0，由此求a的值．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=．a≤0时，f′（x）≥0，函数在（0，+∞）上单调递增，无极值；a＞0，函数在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增，函数有极小值f（）=a﹣alna；（2）g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，g′（x）=（x2﹣ax﹣a）．令g′（x）=0，得x2﹣ax﹣a=0，∵a＞0，x＞0，∴x1=（舍），x2=，当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）上是单调递减函数；当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上是单调递增函数．∴当x=x2时，g′（x2）=0，g（x）min=g（x2），∵g（x）=0有唯一解，∴g（x2）=0．则x22﹣2alnx2﹣2ax2=0，x22﹣ax2﹣a=0，∴2alnx2+ax2﹣a=0，∵a＞0，∴2lnx2+x2﹣1=0①，设函数h（x）=2lnx+x﹣1，∵在x＞0时h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解．∵h（1）=0，∴方程①的解为x2=1，即=1，解得a=．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4--1：几何证明选讲]22．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点（Ⅰ）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AB=BC，求证：AC⊥BD；（Ⅱ）如图2，若AC⊥BD于点E，AB=6，DC=8，求⊙O的面积S．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据题意不难证明四边形ABCD是正方形，结论可以得到证明；（Ⅱ）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF．根据直径所对的圆周角是直角，得∠DCF=∠DBF=90°，则BF∥AC，根据平行弦所夹的弧相等，得弧CF=弧AB，则CF=AB．根据勾股定理即可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵∠ADC=∠BCD=90°，∴AC、BD是⊙O的直径，∴∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD；（Ⅱ）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF．∵DF是直径，∴∠DCF=∠DBF=90°，∴FB⊥DB，又∵AC⊥BD，∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD=90°，∵∠FCA+∠ACD=90°∴∠BDC=∠FCA=∠BAC∴等腰梯形ACFB∴CF=AB．根据勾股定理，得CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=100，∴DF=10，∴OD=5，即⊙O的半径为5，∴⊙O的面积S=25π．[选修4--4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（θ∈[﹣，]为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρ（cosθ﹣sinθ）=3．（Ⅰ）求C1与C2交点的直角坐标；（Ⅱ）求C1上任意一点P到C2距离d的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C1的参数方程为（θ∈[﹣，]为参数），利用cos2θ+sin2θ=1即可化为普通方程．利用y=ρsinθ，x=ρcosθ即可把曲线C2的极坐标方程为2ρ（cosθ﹣sinθ）=3，化为直角坐标方程．联立即可解得C1与C2交点的直角坐标，注意x∈[0，2]．（II）由x2+y2=4（x∈[0，2]，y∈[﹣2，2]），它的图象是y轴右侧的半圆及其y轴上的两点（0，±2）．由图象可知：点P到直线C2的距离的最大值的点是（0，2）．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（θ∈[﹣，]为参数），化为普通方程：x2+y2=4（x∈[0，2]，y∈[﹣2，2]）．曲线C2的极坐标方程为2ρ（cosθ﹣sinθ）=3，化为直角坐标方程：2x﹣2y﹣3=0．联立，x∈[0，2]，解得，∴C1与C2交点的直角坐标为．（II）∵x2+y2=4（x∈[0，2]，y∈[﹣2，2]），∴它的图象是y轴右侧的半圆及其y轴上的两点（0，±2）．由图象可知：点P到直线C2的距离的最大值的点是（0，2）．∴d max==．[选修4--5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|（Ⅰ）求不等式f（x）≥x+3的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥log a（x+1）在x≥0上恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）把要解的不等式转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当0＜a＜1时，在（0，+∞）上，不等式显然成立；当a＞1时，结合f（x）、g（x）的图象，可得当g（x）的图象经过点（1，2）时，a=，要使不等式f（x）≥g（x）=log a（x+1）恒成立，a≥，综合可得，a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由于函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|，不等式f（x）≥x+3，即|x+1|+2|x﹣1|≥x+3，即①，或②，或③．解①求得x＜﹣1，解②求得﹣1≤x≤0，解③求得x≥2，故原不等式的解集为{x|x≤0，或x≥2}．（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥log a（x+1）在x≥0上恒成立，即|x+1|+2|x﹣1|≥log a（x+1）在x≥0上恒成立．由于g（x）=log a（x+1）的图象经过点（0，0），且图象位于直线x=﹣1的右侧，当0＜a＜1时，在（0，+∞）上，log a（x+1）＜0，f（x）＞0，不等式f（x）≥g（x）=log a（x+1）恒成立．当a＞1时，结合f（x）=、g（x）的图象，当g（x）的图象经过点（1，2）时，a=，要使不等式f（x）≥g（x）=log a（x+1）恒成立，a ≥，综上可得，a的取值范围为（0，1）∪[2，+∞）．。
新疆维吾尔自治区2024届高三第二次适应性检测数学试题含答案
新疆维吾尔自治区2024年普通高考第二次适应性检测数学（卷面分值：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足4+=z z ，且2i -=z z ，则=zA B ．C ．2D2．已知集合{==∣P x y ，{}2==∣Q y y x ，则下列选项中正确的是A ．=R P QB ．⊆Q PC ．=∅P Q D ．⊆P Q3．若函数()11-=-ax f x x 的图象关于点()1,2对称，则=a A ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知直线=+y kx m （m 为常数）与圆224+=x y 交于点M ，N ，当k 变化时，若MN 的最小值为2，则=mA ．1±B ．C ．D ．2±5．设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是A ．若120+>a a ，则230+>a a B ．若130+<a a ，则120+<a aC ．若120<<a a ，则2>a D ．若10<a ，则()()21410--<a a a a 6．过点()1,4且与曲线()32=++f x x x 相切的直线方程为A ．40-=x y B ．7490-+=x y C ．40-=x y 或7490-+=x y D ．40-=x y 或47240-+=x y7．设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan tan cos αββ=+，则A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=8．已知椭圆22198+=x y 的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为12ΔMF F 的内心和重心，则12⋅=IG F FA ．0B ．1C ．D ．3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列结论正确的是A ．若样本数据126,,, x x x 的方差为2，则数据12621,21,,21--- x x x 的方差为8B ．若随机变量()21,ξσ~N ，()20.21ξ-=P ，则()40.79ξ=p C ．已知经验回归方程为ˆˆ 1.8=+ybx ，且2=x ，20=y ，则ˆ9.1=b D ．根据分类变量X 与Y 成对样本数据，计算得到29.632χ=，依据小概率值0.001α=的2χ独立性检验()0.00110.828=x ，可推断“X 与Y 有关联”，此推断犯错误的概率不大于0.00110．已知α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，则下列命题正确的是A ．如果αβ∥，α⊂m ，那么β∥m B ．如果α⊥m ，α∥n ，那么⊥m n C ．如果⊥m n ，α⊥m ，β∥n ，那么αβ⊥D ．如果∥m n ，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()20++=f x f x ，若[]0,2∈x 时，()=f x ，函数()()4=--g x g x ．若()=y f x 与()=y g x 恰有2024个交点()11,x y ，()22,x y ，，()20242024,x y ，则下列说法正确的是A ．()20241=f B ．函数()f x 的图象关于直线1=x 对称C ．()202414048=+=∑iii x yD ．当实数,,610106⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭k 时，关于x 的方程()()+=f x f x kx 恰有四个不同的实数根三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量()1,3= a ，()3,4= b ，若()()-⊥+ma b a b ，则=m _________．13．某学校组织学生参加劳动实践活动，其中2名男生和4名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名男生相邻且农场主站在正中间的排列数为_________．（用数字作答）14．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体．如图所示，四边形ABCD ，ABFE ，CDEF 均为等腰梯形，∥∥AB CD EF ，6=AB ，8=CD ，10=EF ，EF 到平面ABCD 的距离为5，CD 与AB 间的距离为10，则这个羡除的体积=V _________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，ABC △中，点D 为边BC 上一点，且满足=AD CDAB BC．（1）证明：π∠+∠=BAC DAC ；（2）若2=AB ，1=AC ，=BC AD 的长度．16．（15分）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人棋型的开发主要采用RLHF （人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为50%．（1）在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列和数学期望；（2）设输入的问题出现语法错误的概率为p ，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为80%，求p 的值．17．（15分）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的左焦点为F ，C 上任意一点到F 的距离的最大值和最小值之积为1，离心率为3．（1）求C 的方程；（2）设过点11,3⎛⎫⎪⎝⎭R 的直线l 与C 交于M ，N 两点，若动点P 满足λ= PM MR ，λ=- PN NR ，动点Q在椭圆C 上，求PQ 的最小值．18．（17分）在圆柱1OO 中，AB 是圆O 的一条直径，CD 是圆柱1OO 的母线，其中点C 与A ，B 不重合，M ，N 是线段BD 的两个三等分点，==BM MN ND ，2=AB ，3=CD ．（1）若平面COM 和平面CAN 的交线为l ，证明：∥l 平面ABD ；（2）设平面COM 、平面CAN 和底面圆O 所成的锐二面角分别为α和β，平面ABD 和底面圆O 所成的锐二面角为γ，若αβ=，求tan γ的值．19．（17分）已知函数()()ln 1e =--xf x x a x ，其中∈R a ．（1）讨论()f x 的极值点个数，并说明理由；（2）若10e<<a ，设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且11>x ，求证：0012ln +>x x x ．新疆维吾尔自治区2024年普通高考第二次适应性检测数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．D2．B3．D4．C5．C6．C7．B8．A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．AC10．ABD11．BCD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．8513．19214．200四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）在ABC △中，由正弦定理得sin sin =∠AB CBC BAC，在ADC △中，由正弦定理得sin sin =∠AD CCD DAC，又=AD CD AB BC ，故sin sin sin sin =∠∠C C DAC BAC，sin sin ∴∠=∠BAC DAC ，由于∠>∠BAC DAC ，因此π∠+∠=BAC DAC ．（2）由2=AB ，1=AC，=BC 2224171cos 22212+-+-∠===-⋅⨯⨯AB AC BC BAC AB AC ，又∠BAC 为三角形的内角，则120∠=BAC ，由（1）知60∠=DAC ，故60∠=DAB ．因为=+ABC ABD ADC S S S △△△，所以111sin120sin60sin60222⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ AB AC AB AD AD AC ，故23=AD ．16．解：（1）易知ξ的所有取值为2，3，4，()2252471022357ξ====C C P C ，()3152472043357ξ====C C P C ，()405247514357ξ====C C P C ，故ξ的分布列为：ξ234P274717则()241202347777ξ=⨯+⨯+⨯=E ．（2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A ，记“输入的问题有语法错误”为事件B ，记“回答被采纳”为事件C ，由已知得，()0.8=P C ，()0.9=∣P CA ，()0.5=∣P C B ，()=P B p ，()1=-P A p ，()()()()()()()()0.910.5=+=⋅+⋅=-+ ∣∣P C P AC P BC P A P C A P B P C B p p0.90.4=-p ，0.90.40.8∴-=p ，解得0.25=p ．17．解：（1）设(),E x y ，(),0-F c ，则==+cEF x aa．又因为-a x a，所以22max min||1⋅=-=EF EF a c，即21=b，又椭圆的离心率e3==ca，所以3=c a，则2222221133-=-==a c a a a，解得23=a，故C的方程为2213+=x y．（2）设()11,M x y，()22,N x y，()00,P x y，因为λ=PM MR，所以()1010111,1,3λ⎛⎫--=--⎪⎝⎭x x y y x y，若1λ=-，则=-PM MR，即P与R重合，与=PN NR矛盾，若1λ=，则=-PN NR，即P与R重合，与=PM MR矛盾，故1λ≠±，于是1113,11λλλλ++==++yxx y，将点013,11λλλλ⎛⎫+⎪+⎪++⎪⎝⎭yxM代入2213+=x y，化简得()2220000566183990λλ-++-++-=x y x y，同理可得，()2220000566183990λλ--+-++-=x y x y，故λ，λ-为方程()2220000566183990-++-++-=x x y x x y的两根，于是0066180+-=x y，即0030+-=x y，动点P在定直线1:30+-=l x y上．令直线2:0(0)+-=>l x y m m，当2l与T相切时，记1l，2l的距离为d，则PQ d ，联立2213+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩x y mx y可得2246330-+-=x mx m，由()22Δ(6)16330=--=m m，解得2=±m，又0>m，则2=m，此时，解得32=x，12=y，即切点为31,22⎛⎫⎪⎝⎭，直线1l，2l的距离为22==d，故PQ的最小值为2．18．（1）证明：由已知易得M 是BN 的中点，O 是BA 的中点，∴∥OM AN ，又⊆ AN 平面CAN ，OM Ú平面CAN ，∴∥OM 平面CAN ，又⊆ OM 平面COM ，平面 COM 平面=CAN l ，由线面平行的性质定理可得，∥l OM又⊆ OM 平面ABD ，l Ú平面ABD ，∴∥l 平面ABD（2）解：以O 为坐标原点， OA 方向为x 轴，底面圆O 所在平面内垂直于OA 方向为y 轴，1 OO 方向为z轴建立如图所示空间直角坐标系．由对称性，不妨设(0)θθπ∠=<<AOC ，易得底面圆O 的半径为1，则：()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,0,0-B ，()cos ,sin ,0θθC ，()cos ,sin ,3θθD ，cos 2sin ,,133θθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭M ，2cos 12sin ,,233θθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭N ，易知底面圆O 的一个法向量为()10,0,1=n ，cos 2sin ,,133θθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭OM ，()cos ,sin ,0θθ=OC ，设平面COM 的一个法向量为()2,,=n x y z ，则cos 2sin 033cos sin 0θθθθ-⎧++=⎪⎨⎪+=⎩x y z x y ，令sin θ=x ，解得22sin sin ,cos ,3θθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭n ，12122sin 3cos θα⋅∴==n n n n ．()cos 1,sin ,0θθ=- AC ，2cos 42sin ,,233θθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭AN ，设平面CAN 的一个法向量为()3,,=n a b c ，则()2cos 42sin 2033cos 1sin 0θθθθ-⎧++=⎪⎨⎪-+=⎩a b c a b，令sin θ=a ，解得3sin sin ,1cos ,3θθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭n ，1313sin 3cos θβ⋅∴==n n n n ．0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、，且αβ=，2sin sin 33cos cos θθαβ∴=⇒=221117sin 22cos sin cos 4998θθθθ⇒+=-+⇒=，sin 8θ∴==，过点C 作AB 的垂线，垂足为E 点．因为CD 为圆柱的母线，所以⊥CD 平面ABC ，又⊆AB 平面ABC ，所以⊥CD AB ，又= CE CD C ，所以⊥AB 平面CED ，故⊥AB DE ，所以∠DEC 为平面ABD 和底面圆O 所成锐二面角的平面角．815tan sin 5γθ∴===CD CD CE．19．（1）解：由已知，()f x 的定义域为()0,+∞，()211e e -=-'=x x ax f x ax x x①当0a 时，21e 0->x ax ，从而()0'>f x ，所以()f x 在()0,+∞内单调递增，无极值点；②当0>a 时，令()21e =-xg x ax ，则由于()g x 在[)0,+∞上单调递减，()010=>g，10=-<g ，所以存在唯一的()00,∈+∞x ，使得()00=g x ，所以当()00,∈x x 时，()0>g x ，即()0'>f x ；当()0,∈+∞x x 时，()0<g x ，即()0'<f x ，所以0x 是()f x 的唯一极值点．所以当0>a 时，()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点．综上所述，当0a 时，函数()f x 无极值点；当0>a 时，函数()f x 只有一个极值点．（2）证明：由题意得()()0100⎧=⎪⎨=⎩'⎪f x f x ，即()0120111e 0ln 1e 0⎧-=⎪⎨--=⎪⎩xx ax x a x 从而()012011e ln 1e =-xxx x x ，即101121ln e --=x x x x x ．令()ln 1ϕ=-+x x x ，其中0>x ，则()1ϕ'-=xx x，当()0,1∈x 时，()0ϕ'>x ，()ϕx 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()0ϕ'<x ，()ϕx 单调递减，故()()10ϕϕ=x ，则ln 10-+x x ，于是ln 1-x x ．因为当11>x 时，11ln 1<-x x ，又101>>x x ，故1011201e 1--<-x x x x x ，即102e -<x x x ，两边取对数，得1020lneln -<x x x ，于是1002ln -<x x x ，整理得0012ln +>x x x ．以上解法仅供参考，如有其他方法，酌情给分．参考答案解析1．D 法一：=+z a bi ，2422=⎧∴⎨=⎩a bi i ，2=a ，1=b，∴=z ．法二：42+=⎧⎨-=⎩z z z z i，242∴=+z i ，2=+z i，∴=z 2．B{1==⇒-∣P x y x ，≠ P Q R （A 误）⊆Q P （B 正确）{}20==⇒Q y y x y ，{}:1≠∅ ∣P Q xx （C 误）（D 错误）3．D ()1111--==---ax a f x a x x 关于()1.2对称则2=a 4．C2=r ．直线过()0,m，则==m解析如图：即=mN （当且仅当=h m 时取得最小值）5．C A ．12113120230+=+>⇒+=+>a a a d a a a d （误）B ．131********+=+<⇒+=+<a a a d a a a d （误）C ．1322+=a a a应用一般不等式有：2132=+a a a2∴a 又21> a a 故不存在123==a a a使原式取等情况，2∴>a D ．10<a 与后式214<<a a a 或412<<a a a 无关且2a 、4a 只可能同时大于或小于1a （误）6．()f x 切线，()()2000:31-=+-l y y x x x ，有：()()200300031142⎡+-=-⎢=++⎢⎣x x y y x x 解得0014=⎧⎨=⎩x y 或001298⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y 代入l 可得C ．7．B1tan tan cos αββ=+，sin cos sin cos cos αββαα=+，()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭22παβ∴-=-或22ππαβα⋅+⋅=（舍），22παβ∴-=8．A法一：I ：内心：()22,x y G 重心：,33⎛⎫⎪⎝⎭m m x y G联立解分线上点到角两边距离相等不难求得：23=m x x 12∴⊥IG F F ，120∴⋅=IG F F法二：设M 恰在上顶点，120∴⋅= IG F F 9．AC A ：2228⨯=，正确B ：仍为0.21，错误C ：代入得ˆ202 1.8=+b，ˆ9.1=b ，正确D ：9.63210.828<，错误10．ABDC ：α与β可呈任意关系，错误11．BCD ()f x 为奇函数：()()()2-=-=+f x f x f x ，()()2∴-=+f x f x ，()∴f x 有对称轴1=x ．() f x 有对称中心：()0,0，4∴=T ()()40+-=g x g x ，()∴g x 有对称中心(2,0)A ：()()202400==f f （误），B 正确C ：() f x 为奇函数且()f x 有对称中心()2,0，0∴=∑i y ，220244048=⨯=∑i x D ：图象为：求切线即可，D 正确12．()3,34-=--ma b m m ，()4,7+=a b 41221280∴-+-=m m ，85=m 13．组合：1343222192⨯⨯⨯⨯=C A 种121211(68)1052007732-==⨯⨯+⨯⨯=E ABCD。
新疆维吾尔自治区2020届高三下学期适应性检测语文试题
【题文】阅读下面的材料，根据要求写作。
①冬天来了，春天还会远吗?②春天来了，说明冬天还没有走远。
③看不到泥泞的冬天，我们当作是春天。
④没有一个冬天不能逾越，没有一个春天不会到来。
以上材料，引发了你怎样的联想、思考和感悟?请以其中的两句为基础确定立意，并合理引用，写一篇文章，与同龄人交流。
要求：结合材料，自定立意，自拟题目，自定文体；切合身份，贴合主题；不要套作，不得抄袭；不少于800字。
【答案】例文：站在山谷，仰望春天冬天来了，春天还会远吗?人生亦如四季轮回，有阳光明媚的醉人春光，也有朔风凛冽的刺骨寒冬。
顺境中，你将昂首阔步，踏着平坦、充满着希望的道路前进。
但要时时记得，春天来了，说明冬天还没有走远。
逆境中，你会低头迈步，掂着脚走在危机四伏的石子小路上。
但要时时记得，冬天到了，春天还会远吗？要学会站在山谷，仰望春天。
2020，这本是一个多么浪漫的年份啊。
但突如其来的病毒却让我们感到悲怆，焦虑，愤怒与无助……。
这次疫情来势汹汹，让这个冬天格外寒冷。
但因为有着那些战斗在一线的人们，默默无闻的守护者，让我认定走过这冬天便是春。
那是一位仅仅二十岁出头的姑娘，她也战斗在这城市的医院一线，她穿着厚厚的防护服，带着很紧的防护罩，手上是密不透风的手套，经过十几个小时的“战争”，终于可以休息了，她来到休息区，脱下那厚厚的防护服，当她取下脸上的防护罩时，戴防护罩的地方留下了深深的红印记，防护罩的轮廓映在了她的脸上，与别的地方颜色格格不入，甚至上面还有一些水珠，眼睛也因为长时间的工作而留下了深深的黑眼圈，和细密的红血丝，她的脸上写满了疲惫与艰辛。
当她取下手套时，一双肿胀且红肿的双手印入我们的眼帘，如果不告诉你，你永远也想象不到，那是一位二十出头正处于大好年华一位少女的双手。
这样感动人心的事情还发生了很多，他们都想为祖国尽自己的一份力微不足道的力量，他们的心意，全国人民都可以感受到。
他们那默默转身离开的背景真的很美，如一幅美丽的图画，深入人心，这也让我更加相信，中国一定可以战胜这一次瘟疫，也让我笃定，走过这寒冷的冬天便可以迎来美丽的春季。
2020年新疆乌鲁木齐市高考语文二诊试卷(有答案解析)
2020年新疆乌鲁木齐市高考语文二诊试卷一、单选题（本大题共1小题，共3.0分）1.下列各句中，没有语病的一句是（）A. 《囧妈》是“囧途”系列的最新作品，不过，徐峥这次并不满足于仅仅为观众提供笑声，而是想表达更多的对于母子亲情的思考。
B. 教育部决定自2020年起实施“强基计划”，部分高校可制定单独的人才培养方案，对录取的学生进行导师制、小班化等培养模式。
C. 今天的中国拥有全球最完备的产业体系，已经是制造业、货物贸易、外汇储备的第一大国，人均国内生产总值超过1万多美元。
D. 我国将加大对5G技术和相关基础设施投资的支持力度，推动企业抓住数字经济机遇加快发展，为企业的数字化转型提供支持。
二、默写（本大题共1小题，共6.0分）2.补写出下列句子中的空缺部分。
《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》中，不着悲痛之语，而悲痛之意自见的句子是“______ ，______ ”。
《师说》中“______ ，______ ”两句紧承前文，强调从师就是为学道，不论其年龄大小。
诗言志，酒载情，苏轼词喜借酒抒怀。
《江城子•密州出猎》中“______ ”一句借酒表达自己的豪壮胆气，而《念奴娇•赤壁怀古》中“______ ”句则借酒反映词人复杂的内心世界。
三、诗歌鉴赏（本大题共1小题，共9.0分）3.阅读下面这首唐诗，完成下题。
金铜仙人辞汉歌【注】李贺茂陵刘郎秋风客，夜闻马嘶晓无迹。
画栏桂树悬秋香，三十六宫土花碧。
魏官牵车指千里，东关酸风射眸子。
空将汉月出宫门，忆君清泪如铅水。
衰兰送客咸阳道，天若有情天亦老。
携盘独出月荒凉，渭城已远波声小。
【注】金铜仙人，为汉武帝殘造，舒掌捧着承露盘，矗立在神明台上。
魏明帝景初元年被拆离汉运往洛阳。
此诗为晚唐诗人李贺因病辞官由京赴洛途中所作。
下列对这首诗的理解和赏析，不正确的一项是______A．首句写曾威风无比的汉武帝终究也随那飘零的秋风逝去，只留下这茂陵荒家。
B．“画栏”两句写宫中桂花香气飘逸，苔藓碧绿。
二模数学答案
乌鲁木齐地域2020年高三年级第二次诊断性考试文理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．选C ．【解析】由题意知，P M ⊆=R}{1x x >，∴1m ≥．故选C ．2．选C ．【解析】∵12(12)(1)131222i i i z i i ---===--+，对应点13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故选C ． 3．选D ．【解析】由α∥β，m ⊥α，得m ⊥β，又n ⊂平面β，∴m ⊥n ，①对； 由αβ⊥，m ⊥α得m ⊂β或m ∥β，m 与n 可能平行、相交、异面；②错； 由m ∥n ，又m ⊥α，∴n ⊥α，而n ⊂平面β，∴αβ⊥，③对； 由m ⊥n ，又m ⊥α，那么n ⊂α或n ∥α，④对．应选D ． 4．选B ．【解析】设()00,M x y ，(),P x y ，依照题意有0020,22x y x y ++==， 即0022,2x x y y =-=，∵()00,M x y 是221x y +=上的点，∴()()222221x y -+=，即()22114x y -+=．故选B ． 5．选D ．【解析】∵ˆ 6.517.5yx =+必过(),x y ，而2456855x ++++==，∴ 6.5517.550y =⨯+=，而304050705m y ++++=，∴60m =．故选D ．6．选C ．【解析】cos 2sin 6y x x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，向左平移()0m m >个单位以后， 解析式化为()2sin 2sin 66y x m m x ππ⎡⎤⎛⎫=-+=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，此函数为偶函数，故6m π-2k ππ=+，k ∈Z ，故3m k ππ=--，k ∈Z ，当1k =-时，23m π=，此为m 的最小值．故选C ．7．（文科）选B ．【解析】由()2f x ≤得，122x x ≤⎧⎨≤⎩或()21,log 1 2.x x >⎧⎪⎨-≤⎪⎩解得5x ≤，故选B ．（理科）选D ．【解析】∵()2311r r n r r n T C x -+=-，依照题意有()230,115rrn n r C -=-=，即23r n =，那么n 能被3整除，且()115r rn C -=，只有6n =符合要求．故选D ． 8．选A ．【解析】∵11cos900cos cos6072A ︒=<=<=︒，∴6090A ︒<<︒，又sin 142C =<，因此060C ︒<<︒或120180C ︒<<︒， 若120180C ︒<<︒，那么180A C +>︒，与已知矛盾．故060C ︒<<︒，又sin 14C =，∴11cos 14C =，而由1cos 7A =得sin 7A =， 于是()1cos cos sin sin cos cos 2B AC A C A C =-+=-=．故选A ． 9．选C ．【解析】当0a >且0b ≤时，∵[)0,x ∈+∞⇒()2x bf x a -=⋅⇒()f x 为增函数；当()f x 在[)0,+∞上为增函数⇒任取[)12,0,x x ∈+∞，且12x x <，那么恒有()()12f x f x <，即不等式1222x bx ba a --⋅<⋅恒成立．①若0a >，那么有1222x bx b--<⇒12x b x b -<-⇒()()121220x x x x b -+-<恒成立，又12x x <，∴1220x x b +->，即122x x b +<恒成立，而120,0x x ≥≥，如此有0b ≤； ②若0a <，那么有1222x bx b-->⇒12x b x b ->-⇒()()121220x x x x b -+->恒成立，又12x x <，∴1220x x b +-<，即122x x b +>关于120,0x x ≥≥恒成立，如此的b 不存在．综合①②，()f x 在[)0,+∞上为增函数⇒0a >且0b ≤． ∴()f x 在[)0,+∞上为增函数的充要条件是0a >且0b ≤．故选C ．10．（文科）选C ．【解析】∵点P 在双曲线2212y x -=上 ∴122PF PF -= ∴22112224PF PF PF PF -⋅+=① 在12F PF ∆中，由余弦定理知222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠2212122cos60PF PF PF PF =+-⋅︒又12F F =∴22121212PF PF PF PF +-⋅=②由①，②知128PF PF ⋅=③由①，③知()21236PF PF +=，故选C ．（理科）选B ．【解析】∵)F，当l x ⊥轴时，2224A AB y ==⨯=，符合题意；当直线l 的斜率k 存在时，设l的方程为(y k x =-，与2212y x -=联立，消去y ，得()()22222320k x x k --++=，当22k =时，不合题意；当22k ≠时，212122322k x x x x k ++=⋅=-， ∵AB ===将4AB =，12x x +=2122322k x x k +⋅=-代入上式，解得k =∴如此的直线l 有3条．故选B ．11．选D ．【解析】由(20f =）得，(5)(23)(2)0f f f =+==，又(3)(0)0f f ==，(1)(13)(2)(2)0f f f f =-=-=-=，(4)(13)(1)0f f f =+==，∵333332222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而902f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选D ． 12．选C ．【解析】设()11,A x y ，()22,C x y ，而1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭由题意得2BF AF CF =+，依照抛物线的概念得，12211123222x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1243x x +=，易知12x x ≠（不然1223x x ==，现在点B 与点A 或点C 重合，与已知矛盾） ∴线段AC 的斜率为121222121212222y y y y y y x x y y --==-+-，于是线段AC 的垂直平分线的方程为121212222y y y y x x y x +++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即12122223y y y y y x ++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，令0y =，解得53x =，即线段AC 的垂直平分线过定点5,03⎛⎫⎪⎝⎭．故选C ． 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13．（文科）20x y +-=．【解析】∵21y x'=-，∴在点()1,1处的切线斜率1k =-， ∴所求方程是()11y x -=--，即20x y +-=． （理科）填1．【解析】所求面积111ln ln ln11eeS dx x e x===-=⎰． 14．填143．【解析】由三视图可知，那个几何体是一条侧棱垂直于底面的四棱台，其高为2，上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形，∴143V =．15．填14．【解析】依题意，函数22()f x x ax b =++有零点，那么方程220x ax b ++=有实根，那么有2240a b ∆=-≥，即(2)(2)0a b a b +-≥．在平面直角坐标系aOb 内画出不等式组0404a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩①与0404(2)(2)0a b a b a b ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+-≥⎩②表示的平面区域，易知不等式组①表示的平面区域的面积是16，不等式②表示的平面区域的面积是4，故概率为14． 16．填32+【解析】∵OA OB AB ==∴,60,3OA OB OA OB <>=︒+= ∴()()0PA PB OA OP OB OP OA B OA OP OB OP OP OP ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+⋅13()13cos ,22OA OB OPOA OB OP =-+⋅+=-<+>≤32当且仅当,180OA OB OP <+>=︒时，等号成立． 三、解答题（共6小题，共70分）17．（本小题总分值12分）（Ⅰ）当1n =时，122a =，∴11a =，当2n ≥时，2n n a S +=，112n n a S --+=，两式相减，得10n n n a a a --+=， 整理得112n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，∴1111122n n n a --⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ┅6分（Ⅱ）11222n n n S a -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，易知111n S S a ≥==，关于n ∀∈*N ，总有n S 43m ->成立，只须413m -<，即7m <，∴m 的最大值为6． ┅12分 18．（本小题总分值12分） （文科）（Ⅰ）由条形统计图可知，高三（1）班共有学生246864232++++++=人，130分以上的人数为426+=人，因此成绩在130分以上（含130分）的频率为60.187532=，即成绩在130分以上（含130分）的概率大约是0.1875； ┅6分 （Ⅱ）设A 表示事件“从130分以上（含130分）的成绩中随机选2名同窗，至少有1名同窗成绩在区间[]140,150内”．由已知和（Ⅰ）的结果可知成绩在区间[)130,140内的学生有4人，记这4人别离为,,,a b c d ，成绩在区间[]140,150内的学生有2人，记这2人别离为,e f ． 那么选取学生的所有可能结果为：ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，大体事件数为15．事件“至少1人成绩在区间[]140,150”的可能结果为：ae ，af ，be ，bf ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，大体事件数为9．∴()93155P A ==．┅12分 （理科）由题意知ξ的所有可能取值为3,4,5,6，设i A 表示“第i 个袋中掏出的是白球”，1,2,3i =，那么彼此独立，且()()()()()31231232835125P P A A A P A P A P A ξ⎛⎫===== ⎪⎝⎭()()2112312312333236455125P P A A A A A A A A A C ξ⎛⎫==++=⋅⋅=⎪⎝⎭ ()()2212312312333254555125P P A A A A A A A A A C ξ⎛⎫==++=⋅⋅=⎪⎝⎭()()()()()312312332765125P P A A A P A P A P A ξ⎛⎫=====⎪⎝⎭ 故ξ的概率散布列为ξ 3 4 5 6P8125 36125 54125 2712583654272434561251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=┅12分19．（本小题总分值12分） （文科）（Ⅰ）取DE 中点G ，连结AG ， ∵AB DE 12AB DE =//AB EG AB EG =AGEB //AG BE CAG ∠AC BE BA ⊥ACD //ED AB ED ⊥ACD Rt CDG ∆2CD =1DG =5CG =Rt ADG∆2AD =1DG =5AG =ACG∆2225cos 25CA AG CG CAG CA AG +-∠==⋅CE H BH FH//FH DE 12FH DE =//AB DE 12AB DE =//AB FH AB FH =//AF BH AC AD =AF CD ⊥ED ⊥ACD ED AF ⊥AF ⊥CDE BH ⊥CDE BH ⊂BCE BCE ⊥CDEBCE CDE CE =CD DE =DH CE ⊥DH ⊥BCE DH D BCE Rt CDE∆122DH CE ==AB ⊥平面ACD //DE AB DE ⊥ACD AF ⊂ACD AF DE⊥AC AD =F CD AF CD ⊥CD ⊂CDE DE ⊂CDE CD DE D =AF ⊥CDE CEH FH DE ED CD ⊥FH CD ⊥AF ⊥CDE (0,0,3)A (0,1,3)B (1,0,0)C -(1,0,0)D (1,2,0)E ACD (0,1,0)FH ==1n BCE (,,)x y z =2n (1,1,3)CB =(2,2,0)CE =30x y z x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩(1,1,0)=-2n θ12cos 212θ==⨯4πθ=lx c=+11(,)A x y 22(,)B xy 22221x c x y ab ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩22224(2)0a b y cy b ++-=212222c y y a b +=-+1212)2x x y y c +=++22222a ca b =+OA OB OM +=M (2,12Mx x x +=12My y y +=222222a c a b =+=222a b=(2,M -22221x y a b +=22421a b+=228,4a b ==22184x y +=l x ty c =+11(,)A x y 22(,)B x y 22221x ty c x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩222224()20a b t y b tcy b ++-=2122222b tcy y a b t +=-+1212()2x x t y y c+=++22222a c a b t =+OA OB OM+=012x x x =+22222a c a b t =+012y y y =+22222b tc a b t =-+00(,)M x y 22221x y a b+=424222222222222441()()a c b t c a a b t b a b t +=++22224c a b t =+22224c a t b -=2t 02224c a b -0224c a -0c e a =1201e <<121e <┅12分（理科）（Ⅰ）不妨设F 为右核心，设l 的方程为：x ty c =+将其代入22221x y a b+=，得222224()20a b t y b tcy b ++-=设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，那么2122222b tc y y a b t +=-+，412222b y y a b t =-+1212()2x x t y y c +=++22222a c a b t =+，()22121212x x t y y ct y y c =+++ ∵OA OB OM += ∴012x x x =+22222a c a b t =+，012y y y =+22222b tca b t =-+将00(,)M x y 代入22221x y a b+=，得424222222222222441()()a c b t c a a b t b a b t +=++， 整理得22224c a b t =+，∴22224c a t b -=，由2t ≥0得2224c a b-≥0，即224c a -≥0 ∴离心率c e a =≥12，又01e <<，故12≤1e <. ┅6分（Ⅱ）假设知足条件的点M 存在，那么有0OA OB ⋅=，故12120x x y y +=，即221212(1)()0t y y tc y y c ++++=，将（Ⅰ）中2122222b tc y y a b t +=-+，412222b y y a b t -=+代入得42222222222(1)()0b b tct tc c a b t a b t-+-++=++，化简得4222220b t b a a c --+=，而22224c a t b-=，可得222b a =或22b a =，此与a b >矛盾， 故如此的点不存在． ┅12分 21．（本小题总分值12分） （文科） （Ⅰ）2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+，∴22()34f x x cx c '=-+()f x 在(1,2)上单调递减， ∴()0f x '≤在(1,2)上恒成立∴(1)0(2)0f f '≤⎧⎨'≤⎩，即223401280c c c c ⎧-+≤⎪⎨-+≤⎪⎩，解得23c ≤≤. ┅4分 （Ⅱ）22()343()()3cf x x cx c x c x '=-+=--.设()0f x '=，那么1x c =，23cx =，故2c =或6c =. 查验，当2c =时，2()3(2)()3f x x x '=--，∵223x <<时，()0f x '<；2x >时，()0f x '> ∴函数2()()f x x x c =-，在2x =处有极小值. 当6c =时，()3(6)(2)f x x x '=--，∵26x <<时，()0f x '<；2x <时，()0f x '>∴函数2()()f x x x c =-，在2x =处有极大值，此与已知矛盾.因此 2c =. ┅12分 （理科）（Ⅰ）∵()cos sin sin 4xxx g x xe xe x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭令()0g x '>得，sin 04x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，又(0,)x π∈，解得304x π<<， 令()0g x '<得，sin 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，又(0,)x π∈，解得34x ππ<<， 故函数()g x 在30,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. ┅4分 （Ⅱ）令y =()()()()()()2x bx f x f b f x f b ϕ-=--+ ，x b > ()x f x e = ∴()()2x b x bx b y x e e e e ϕ-==--+ x b >则1()()22xx b x x b y x e e e e ϕ-''==-+-，令()()y h x x ϕ'==11()2222xx x x x b x b h x e e e e --'=---=-x e x b >，∴0x b -<，又0x e >，∴()0h x '<∴函数()h x 在(,)b +∞上为减函数，从而x b >时()()0h x h b <=，从而函数y =()x ϕ，在(,)b +∞上为减函数，因此，当x b >时，()()0x b ϕϕ<=，即当x b >时，有()2xbx bx b e e e e --<+ ，即2x b x b e e e e x b -+<- 令x a =得：()()()()2f a f b f a f b a b -+<-. ┅12分22．（本小题总分值10分）（Ⅰ）连接AD ，∵BD 是直径，∴90BAD ∠=︒，又AE BD ⊥∴在Rt BAD ∆中有2AB BE BD =⋅，2AD DE BD =⋅，在ABC ∆中，∵AC AB =，AE BD ⊥，∴BE CE CD DE y DE ==+=+故2228()888AD AD AB BE BD y DE y y BD ⎛⎫⎛⎫=⋅=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而在Rt BAD ∆中有222228AD BD AB x =-=- ，代入上式，化简得()2884x y x =-<< ① ┅6分（Ⅱ）CA 是圆O 的切线22(8)AC CD BC x y y ⇔=⋅⇔=+ ②①②联立，解适当且仅当x =CA 是圆O 的切线． ┅10分23．（本小题总分值10分） 曲线:C cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩可化为221x y +=，表示以()0,0为圆心，1为半径的圆．设点P 、M 、N 的坐标别离为(,)a b 、11(,)x y 、22(,)x y ，那么圆C 在点M 、N 处的切线方程为：111x x y y +=① 221x x y y +=② 点(,)P a b 在直线PM 、PN 上，∴111ax by +=③ 221ax by +=④ ∴点11(,)M x y ，22(,)N x y 的坐标知足方程1ax by +=⑤又直线PL 的参数方程为：cos sin x a t y b t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）⑥， 把⑥代入⑤得：(cos )(sin )1a a t b b t αα+++=，即22(cos sin )1t a b a b αα+=-- ⑦⑦的解t 为有向线段PL 的值，221cos sin a b PL a b αα--=+，∴222cos sin 21a b PL a b αα+=+-⑧ 把⑥代入圆C 的方程整理得：2222(cos sin )10t a b t a b αα++++-=⑨ 那个关于t 的一元二次方程的解1t ，2t 为有向线段PA 、PB 的数值，∴122(cos sin )t t a b αα+=-+，22121t t a b =+-，又,,PA PL PB 的方向一致，又122212122cos sin 11111a b t t PA PB t t t t a b αα+++=+==+-⑩由⑧，⑩得211PL PA PB=+． ┅10分 24．（本小题总分值10分）原不等式可化为1ax x -≤-或1ax x -≥ 即(1)1a x +≤ ① 或 (1)1a x -≥ ② 当1a <-时，由①得11x a ≥+，由②得11x a ≤-， ∵ 1111a a <+-，∴现在原不等式的解集为x ∈R ；当11a -<<时，由①得11x a ≤+，由②得11x a ≤-， ∵1111a a >+-， ∴现在原不等式的解集为：11x x a ⎧⎫≤⎨⎬+⎭⎩；当1a >时，由①得11x a ≤+，由②得11x a ≥-，∵1111a a >-+， ∴现在原不等式的解集为：1111x x x a a ⎧⎫≤≥⎨⎬+-⎭⎩或；当1a =-时，由①得x ∈R ，由②得12x ≤-，∴现在原不等式的解集为x ∈R ；当1a =时，由①得12x ≤，由②得x ∈∅， ∴现在原不等式的解集为12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭；综上，当1a ≤-时，原不等式的解集为{}x x ∈R ；当11a -<≤时，原不等式的解集为11x x a ⎧⎫≤⎨⎬+⎩⎭；当1a >时，原不等式的解集为1111x x x a a ⎧⎫≤≥⎨⎬+-⎭⎩或．┅10分以上各题的其它解法，限于篇幅从略，请相应评分．。
2020年新疆维吾尔自治区高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2020年新疆维吾尔自治区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|≤2}，B={x|x2﹣3x≤0，x∈N}，则A∩B=（）A．{0，4}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}2．已知均为单位向量，它们的夹角为120°，那么=（）A．1 B．C．D．73．已知复数z1=a+i，z2=a﹣ai，且z1•z2＞0，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．0或﹣14．函数的最大值与最小值之和为（）A．B．0 C．﹣1 D．5．如图，该程序运行后输出的结果为（）A．7 B．11 C．25 D．366．在以下区间中，函数f（x）=e x+x3﹣4存在零点的是（）A．[﹣1，0] B．[0，1]C．[1，2]D．[2，3]7．等差数列{a n}中，已知a2+a6+a10=36，则该数列前11项和S11=（）A．132 B．66 C．33 D．118．a﹣b+1＞0是a＞|b|的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件9．盒中共有6件除了颜色外完全相同的产品，其中有1件红色，2件白色和3件黑色，从中任取两件，则两件颜色不相同的概率为（）A．B．C．D．10．设等比数列{a n}的各项均为正数，且，若，则数列{b n}的前10项和为（）A．B．C．D．11．椭圆的右焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点A，B，若△FAB的周长等于8则△FAB的面积为（）A．1 B．C．D．212．已知，且0＜|m|＜1，0＜|n|＜1，mn＜0，则使不等式f（m）+f（n）＞0成立的m和n还应满足的条件为（）A．m＞n B．m＜n C．m+n＞0 D．m+n＜0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．自治区教科院用分层抽样的方法，从某校600份文理科试卷中抽取部分试卷进行样本分析，其中抽取文科试卷若干份，每份文科试卷被抽到的概率为，则理科试卷共有份．14．某几何体的三视图如图，则几何体的表面积为．15．已知直线l：y=x﹣1与曲线相切于点A，则A点坐标为．16．已知O为坐标原点，过双曲线上的点P（1，0）作两条渐近线的平行线，交两渐近线分别于A，B两点，若平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）17．已知△ABC中，角A，B，C依次成公差大于零的等差数列，且．（1）求角C；（2）若a=2，求三角形ABC内切圆的半径R．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2AA1=4．（1）求证：平面BDC1∥平面AB1D1；（2）求点C1到平面AB1D1的距离．19．连锁水果店店主每天以每件50元购进水果若干件，以80元一件销售；若供大于求，当天剩余水果以40元一件全部退回；若供不应求，则立即从连锁店60元一件调剂，以80元一件销售．（1）若水果店一天购进水果5件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N*）的函数解析式；（2）店主记录了30天水果的日需求量n（单位：件）整理得表：日需求量 3 4 5 6 7频数 2 3 15 6 4若水果店一天购进5件水果，以30天记录的各需求量发生的频率作为概率，求每天的利润在区间[150，200]的概率．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的内接等边三角形AOB的面积为（其中O为坐标原点）．（1）试求抛物线C的方程；（2）已知点M（1，1），P，Q两点在抛物线C上，△MPQ是以点M为直角顶点的直角三角形，求证：直线PQ恒过定点．21．已知函数f（x）=x2﹣2alnx．（1）求f（x）的极值；（2）当a＞0时，函数g（x）=f（x）﹣2ax有唯一零点，试求a的值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4--1：几何证明选讲]22．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点（Ⅰ）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AB=BC，求证：AC⊥BD；（Ⅱ）如图2，若AC⊥BD于点E，AB=6，DC=8，求⊙O的面积S．[选修4--4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（θ∈[﹣，]为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρ（cosθ﹣sinθ）=3．（Ⅰ）求C1与C2交点的直角坐标；（Ⅱ）求C1上任意一点P到C2距离d的最大值．[选修4--5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|（Ⅰ）求不等式f（x）≥x+3的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥log a（x+1）在x≥0上恒成立，求a的取值范围．2020年新疆维吾尔自治区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|≤2}，B={x|x2﹣3x≤0，x∈N}，则A∩B=（）A．{0，4}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中方程的解确定出A，列举出集合B中的元素确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵集合A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，B={x|x2﹣3x≤0，x∈N}={0，1，2，3}，则A∩B={0，1，2}，故选：D．2．已知均为单位向量，它们的夹角为120°，那么=（）A．1 B．C．D．7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得，再利用求向量的模的方法，求出的值．【解答】解：∵均为单位向量，它们的夹角为120°，∴=1•1•cos120°=﹣，∴====，故选：B．3．已知复数z1=a+i，z2=a﹣ai，且z1•z2＞0，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．0或﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的乘法运算法则化简，求解即可．【解答】解：复数z1=a+i，z2=a﹣ai，可得：z1•z2=a2+a+ai﹣a2i，∵z1•z2＞0，∴a﹣a2=0，a2+a＞0，解得a=1．故选：B．4．函数的最大值与最小值之和为（）A．B．0 C．﹣1 D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据x的取值范围，求出x﹣的取值范围，再利用正弦函数的图象与性质求出函数y的最大、最小值即可．【解答】解：当0≤x≤3时，﹣≤x﹣≤，所以函数y=2sin（x﹣）（0≤x≤3）的最大值是2×1=2，最小值是2×（﹣）=﹣，最大值与最小值的和为2﹣．故选：A．5．如图，该程序运行后输出的结果为（）A．7 B．11 C．25 D．36【考点】程序框图．【分析】经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可．【解答】解：模拟执行程序，可得k=1，S=0满足条件k≤10，S=1，k=3满足条件k≤10，S=4，k=7满足条件k≤10，S=11，k=15不满足条件k≤10，退出循环，输出S的值为11．故选：B．6．在以下区间中，函数f（x）=e x+x3﹣4存在零点的是（）A．[﹣1，0] B．[0，1]C．[1，2]D．[2，3]【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】根据导函数判断函数f（x）=e x+x3﹣4单调递增，运用零点判定定理，判定区间．【解答】解：∵函数f（x）=e x+x3﹣4，∴f′（x）=e x+4∵e x＞0，∴f′（x）=e x+4＞0∴函数f（x）=e x+x3﹣4，在（﹣∞，+∞）上为增函数，f（2）=e2+23﹣4=e2+4＞0，f（1）=e1+13﹣4＜0，∴f（1）•f（2）＜0，∴函数f（x）=e x+x3﹣4的零点所在的区间为（1，2）故选：C．7．等差数列{a n}中，已知a2+a6+a10=36，则该数列前11项和S11=（）A．132 B．66 C．33 D．11【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质知S11=（a1+a11）=11a6，由此能够求出结果【解答】解：等差数列{a n}中，∵a2+a6+a10=36，∴3a6=36，∴2a6=24=a1+a11，∴S11=11a6=132，故选：A．8．a﹣b+1＞0是a＞|b|的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由a＞|b|，可得a＞b或a＞﹣b，可得a﹣b＞0＞﹣1，或a+b＞0．反之：由a﹣b+1＞0，取a=2，b=﹣5，则a＞|b|不成立．即可判断出结论．【解答】解：由a＞|b|，可得a＞b或a＞﹣b，∴a﹣b＞0＞﹣1，或a+b＞0．由a﹣b+1＞0，取a=2，b=﹣5，则a＞|b|不成立．∴a﹣b+1＞0是a＞|b|的必要不充分条件．故选：C．9．盒中共有6件除了颜色外完全相同的产品，其中有1件红色，2件白色和3件黑色，从中任取两件，则两件颜色不相同的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】盒中共有6件除了颜色外完全相同的产品，其中有1件红色，2件白色和3件黑色，从中任取两件，先求出基本事件总数，两件颜色不相同的对立事件是两件颜色相同，由此能求出两件颜色不相同的概率．【解答】解：盒中共有6件除了颜色外完全相同的产品，其中有1件红色，2件白色和3件黑色，从中任取两件，基本事件总数n==15，两件颜色相同包含的基本事件个数m==4，∴两件颜色不相同的概率为p=1﹣=1﹣=．故选：D．10．设等比数列{a n}的各项均为正数，且，若，则数列{b n}的前10项和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】通过q6=4•q•q7可知q=，进而可知a n=，利用对数的运算性质、裂项可知b n=﹣2（﹣），并项相加即得结论．【解答】解：依题意，a2=q，a4=q3，a8=q7，则q6=4•q•q7，即q2=，又∵等比数列{a n}的各项均为正数，∴q=，∴a n=，∵=log2（a1a2a3…a n）==﹣∴b n=﹣=﹣2（﹣），故所求值为﹣2（1﹣+﹣+…+﹣）=﹣，故选：A．11．椭圆的右焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点A，B，若△FAB的周长等于8则△FAB的面积为（）A．1 B．C．D．2【考点】椭圆的简单性质．【分析】F．设直线x=t与x轴相交于点D（t，0），由于△FAB的周长等于8，可得|AB|+|AF|+|BF|=8=4×a，因此直线x=t经过左焦点（﹣，0）．解出即可得出．【解答】解：F．设直线x=t与x轴相交于点D（t，0），∵△FAB的周长等于8，∴|AB|+|AF|+|BF|=8=4×2，因此直线x=t经过左焦点（﹣，0）．把x=﹣代入椭圆方程可得：y2=1﹣=，解得y=．∴|AB|=1．∴△FAB的面积==，故选：C．12．已知，且0＜|m|＜1，0＜|n|＜1，mn＜0，则使不等式f（m）+f（n）＞0成立的m和n还应满足的条件为（）A．m＞n B．m＜n C．m+n＞0 D．m+n＜0【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；不等式的证明．【分析】本题是一个分段函数，由题意知应先确定m，n的正负，得出关于，m，n的不等式，化简变形根据符号来确定m，n所应满足的另外的一个关系．【解答】解：不妨设m＞0，n＜0，则=，由n﹣m＜0，f（m）+f（n）＞0，故m+n＜0故应选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．自治区教科院用分层抽样的方法，从某校600份文理科试卷中抽取部分试卷进行样本分析，其中抽取文科试卷若干份，每份文科试卷被抽到的概率为，则理科试卷共有450份．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用分层抽样性质和概率性质求解．【解答】解：∵用分层抽样的方法，从某校600份文理科试卷中抽取部分试卷进行样本分析，其中抽取文科试卷若干份，每份文科试卷被抽到的概率为，∴文科试卷共有600×=150，∴理科试卷共有600﹣150=450份．故答案为：450．14．某几何体的三视图如图，则几何体的表面积为6+2+2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个边长为2的正方形，PE⊥面ABCD，且PE=2，其中E、F分别是BC、AD的中点，连结EF、PA，在△PEB中，PB=，同理可得PC=，∵PE⊥面ABCD，∴PE⊥CD，∵CD⊥BC，BC∩PE=E，∴CD⊥面PBC，则CD⊥PC，在△PCD中，PD==3，同理可得PA=3，则PF⊥AD，在△PDF中，PF==2∴此几何体的表面积S=2×2++=6+2+2．故答案为：6+2+2．15．已知直线l：y=x﹣1与曲线相切于点A，则A点坐标为（1，0）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点A（m，n），代入切线的方程和曲线方程，求得函数的导数，求得切线的斜率，化为lnm+m2=1，由f（m）=lnm+m2的导数大于0，且f（1）=0，解方程可得m=1，n=0，进而得到切点的坐标．【解答】解：设切点A（m，n），可得m﹣1=n，=n，y=的导数为y′=，可得=1，即为lnm+m2=1，由f（m）=lnm+m2的导数为+2m＞0，则f（m）递增，且f（1）=1，即有方程lnm+m2=1的解为m=1．可得n=0．即为A（1，0）．故答案为：（1，0）．16．已知O为坐标原点，过双曲线上的点P（1，0）作两条渐近线的平行线，交两渐近线分别于A，B两点，若平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】作出对应的图象，求出交点坐标，结合平行四边形的面积建立方程关系求出a的值进行求解即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±ax，（不妨设a＞0），设与y=﹣ax平行且过P的直线方程为y=﹣a（x﹣1）=﹣ax+a，由，得，即A（，a），则平行四边形OBPA的面积S=2S△OBP=2××1×a=a=1，得a=2，即双曲线的方程为x2﹣=1，则双曲线的a1=1，b1=2，则c==，即双曲线的离心率e===，故答案为：三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）17．已知△ABC中，角A，B，C依次成公差大于零的等差数列，且．（1）求角C；（2）若a=2，求三角形ABC内切圆的半径R．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由题意结合等差数列和三角形的知识可得B=，A+C=，再由及和差角的三角函数公式变形易得C=；（2）由（1）可得A=，由正弦定理可得b值，再由勾股定理可得c值，由等面积可得R的方程，解方程可得．【解答】解：（1）∵△ABC中，角A，B，C依次成公差大于零的等差数列，∴2B=A+C，由A+B+C=π可得B=，A+C=，又∵，∴cos（﹣C）+cosC=，∴﹣cosC+sinC+cosC=，即cosC+sinC=，由和差角的三角函数公式可得sin（C+）=，∴C+=，解得C=；（2）由（1）可得B=，C=，故A=，由正弦定理可得b===2，由勾股定理可得c==4，由等面积可得（2+4+2）R=×2×2，解方程可得R=﹣1．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2AA1=4．（1）求证：平面BDC1∥平面AB1D1；（2）求点C1到平面AB1D1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面平行的判定．【分析】（1）通过证明线面平行，证明平面BDC1∥平面AB1D1；（2）利用等体积法，求点C1到平面AB1D1的距离．【解答】证明：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1∥AD且B1C1=AD，∴B1C1DA是平行四边形，∴C1D∥B1A，∵B1A⊂平面AB1D1，C1D⊄平面AB1D1，∴C1D∥平面AB1D1，同理BD∥平面AB1D1，∵C1D∩BD=D，∴平面BDC1∥平面AB1D1；解：（2）设点C1到平面AB1D1的距离为h．∵AB1=AD1=2，B1D1=4，∴由=得=，∴h=，∴点C1到平面AB1D1的距离为．19．连锁水果店店主每天以每件50元购进水果若干件，以80元一件销售；若供大于求，当天剩余水果以40元一件全部退回；若供不应求，则立即从连锁店60元一件调剂，以80元一件销售．（1）若水果店一天购进水果5件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N*）的函数解析式；（2）店主记录了30天水果的日需求量n（单位：件）整理得表：日需求量 3 4 5 6 7频数 2 3 15 6 4若水果店一天购进5件水果，以30天记录的各需求量发生的频率作为概率，求每天的利润在区间[150，200]的概率．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）根据条件建立函数关系，即可求出函数的解析式．（2）分别求出当日需求量为n时，对应的频数，利用古典概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：（1）当1≤n≤5时，y=30n+（5﹣n）×（﹣10）=40n﹣50，当n＞5时，y=30×5+（n﹣5）×20=20n+50，则y=．（2）当日需求量为3，频数为2天，利润为40×3﹣50=70，当日需求量为4，频数为3天，利润为40×4﹣50=110，当日需求量为5，频数为15天，利润为30×5=150，当日需求量为6，频数为6天，利润为30×5+20=170，当日需求量为7，频数为4天，利润为30×5+20×2=190，则当天的利润在区间[150，200]上，有25天，故当天的利润在区间[150，200]上的概率P==．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的内接等边三角形AOB的面积为（其中O为坐标原点）．（1）试求抛物线C的方程；（2）已知点M（1，1），P，Q两点在抛物线C上，△MPQ是以点M为直角顶点的直角三角形，求证：直线PQ恒过定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设A（x A，y A），B（x B，y B），由|OA|=|OB|，可得+2px A=+2px B，化简可得：点A，B关于x轴对称．因此AB⊥x轴，且∠AOx=30°．可得y A=2p，再利用等边三角形的面积计算公式即可得出．（2）由题意可设直线PQ的方程为：x=my+a，P（x1，y1），Q（x2，y2）．与抛物线方程联立化为：y2﹣my﹣a=0，利用∠PMQ=90°，可得=0利用根与系数的关系可得=m+，或=﹣（m+），进而得出结论．【解答】（1）解：设A（x A，y A），B（x B，y B），∵|OA|=|OB|，∴+2px A=+2px B，化为（x A﹣x B）（x A+x B+2p）=0，又x A，x B≥0，∴x A+x B+2p＞0，∴x A=x B，|y A|=|y B|，因此点A，B关于x轴对称．∴AB⊥x轴，且∠AOx=30°．∴=tan30°=，又=2px A，∴y A=2p，∴|AB|=2y A=4p．∴S△AOB==3，解得p=．∴抛物线C的方程为y2=x．（2）证明：由题意可设直线PQ的方程为：x=my+a，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为：y2﹣my﹣a=0，△＞0，∴y1+y2=m，y1y2=﹣a．∵∠PMQ=90°，∴=0，∴（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0，化为：x1x2﹣（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0，∴﹣+3y1y2﹣（y1+y2）+2=0，∴a2﹣m2﹣3a﹣m+2=0，配方为=，∴=m+，或=﹣（m+），当=m+时，a=m+2，直线PQ的方程化为：x=m（y+1）+2，直线PQ经过定点H（2，﹣1）．当=﹣（m+）时，直线PQ的方程化为：x=m（y﹣1）+1，直线PQ经过定点H（1，1），舍去．综上可得：直线PQ经过定点H（2，﹣1）．21．已知函数f（x）=x2﹣2alnx．（1）求f（x）的极值；（2）当a＞0时，函数g（x）=f（x）﹣2ax有唯一零点，试求a的值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求f（x）的极值；（2）求导数，确定函数的单调性，g（x）=0有唯一解，g（x2）=0．则x22﹣2alnx2﹣2ax2=0，x22﹣ax2﹣a=0，由此求a的值．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=．a≤0时，f′（x）≥0，函数在（0，+∞）上单调递增，无极值；a＞0，函数在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增，函数有极小值f（）=a ﹣alna；（2）g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，g′（x）=（x2﹣ax﹣a）．令g′（x）=0，得x2﹣ax﹣a=0，∵a＞0，x＞0，∴x1=（舍），x2=，当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）上是单调递减函数；当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上是单调递增函数．∴当x=x2时，g′（x2）=0，g（x）min=g（x2），∵g（x）=0有唯一解，∴g（x2）=0．则x22﹣2alnx2﹣2ax2=0，x22﹣ax2﹣a=0，∴2alnx2+ax2﹣a=0，∵a＞0，∴2lnx2+x2﹣1=0①，设函数h（x）=2lnx+x﹣1，∵在x＞0时h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解．∵h（1）=0，∴方程①的解为x2=1，即=1，解得a=．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4--1：几何证明选讲]22．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点（Ⅰ）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AB=BC，求证：AC⊥BD；（Ⅱ）如图2，若AC⊥BD于点E，AB=6，DC=8，求⊙O的面积S．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据题意不难证明四边形ABCD是正方形，结论可以得到证明；（Ⅱ）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF．根据直径所对的圆周角是直角，得∠DCF=∠DBF=90°，则BF∥AC，根据平行弦所夹的弧相等，得弧CF=弧AB，则CF=AB．根据勾股定理即可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵∠ADC=∠BCD=90°，∴AC、BD是⊙O的直径，∴∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD；（Ⅱ）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF．∵DF是直径，∴∠DCF=∠DBF=90°，∴FB⊥DB，又∵AC⊥BD，∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD=90°，∵∠FCA+∠ACD=90°∴∠BDC=∠FCA=∠BAC∴等腰梯形ACFB∴CF=AB．根据勾股定理，得CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=100，∴DF=10，∴OD=5，即⊙O的半径为5，∴⊙O的面积S=25π．[选修4--4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（θ∈[﹣，]为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρ（cosθ﹣sinθ）=3．（Ⅰ）求C1与C2交点的直角坐标；（Ⅱ）求C1上任意一点P到C2距离d的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C1的参数方程为（θ∈[﹣，]为参数），利用cos2θ+sin2θ=1即可化为普通方程．利用y=ρsinθ，x=ρcosθ即可把曲线C2的极坐标方程为2ρ（cosθ﹣sinθ）=3，化为直角坐标方程．联立即可解得C1与C2交点的直角坐标，注意x∈[0，2]．（II）由x2+y2=4（x∈[0，2]，y∈[﹣2，2]），它的图象是y轴右侧的半圆及其y轴上的两点（0，±2）．由图象可知：点P到直线C2的距离的最大值的点是（0，2）．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（θ∈[﹣，]为参数），化为普通方程：x2+y2=4（x∈[0，2]，y∈[﹣2，2]）．曲线C2的极坐标方程为2ρ（cosθ﹣sinθ）=3，化为直角坐标方程：2x﹣2y﹣3=0．联立，x∈[0，2]，解得，∴C1与C2交点的直角坐标为．（II）∵x2+y2=4（x∈[0，2]，y∈[﹣2，2]），∴它的图象是y轴右侧的半圆及其y轴上的两点（0，±2）．由图象可知：点P到直线C2的距离的最大值的点是（0，2）．∴d max==．[选修4--5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|（Ⅰ）求不等式f（x）≥x+3的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥log a（x+1）在x≥0上恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）把要解的不等式转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当0＜a＜1时，在（0，+∞）上，不等式显然成立；当a＞1时，结合f（x）、g（x）的图象，可得当g（x）的图象经过点（1，2）时，a=，要使不等式f（x）≥g（x）=log a （x+1）恒成立，a≥，综合可得，a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由于函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|，不等式f（x）≥x+3，即|x+1|+2|x﹣1|≥x+3，即①，或②，或③．解①求得x＜﹣1，解②求得﹣1≤x≤0，解③求得x≥2，故原不等式的解集为{x|x≤0，或x≥2}．（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥log a（x+1）在x≥0上恒成立，即|x+1|+2|x﹣1|≥log a （x+1）在x≥0上恒成立．由于g（x）=log a（x+1）的图象经过点（0，0），且图象位于直线x=﹣1的右侧，当0＜a＜1时，在（0，+∞）上，log a（x+1）＜0，f（x）＞0，不等式f（x）≥g（x）=log a （x+1）恒成立．当a＞1时，结合f（x）=、g（x）的图象，当g（x）的图象经过点（1，2）时，a=，要使不等式f（x）≥g（x）=log a（x+1）恒成立，a≥，综上可得，a的取值范围为（0，1）∪[2，+∞）．2020年9月3日。
2020年新疆高三适应性检测文科数学答案
切接触者将不能进入“舱医院”而是直接进入指定专科医院接受治疗.
…12 分
21.（12 分）
（Ⅰ） f '(x) x (a 1) a x2 (a 1)x a (x a)(x 1)
x
x
x
a 1, f (x) 在 (0,1), (a, ) 上为增函数， (1, a) 为减函数;
…5 分
FAM EDN 60 ,且 FM 3 AF ,MD 3 AF
2
2
tan FDM 3 , FDM 30 AF FD , 3
又面 AFED 面 ABCD ，且四边形 ABCD 为正方形, CD 面 AFED , AF CD , AF 平面 CDF ,平面 ABF 平面 CDF ; （Ⅱ）因为面 AFED 面 ABCD ，平面 ADEF 面 ABCD AD ,
2
22
2
…5 分 …10 分
…5 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 a2 b2 m 1,要证不等式即为 b3 a3 a2 b2 ab
由 b3 a3 a2 b2 b3 a3 a3 b3 (a3 b3 )(1 1 ) (a b)2 (a2 ab b2 )
ab
a
b
b a ab
由 a 0,b 0 知 ab 0 ， a2 ab b2 0
即
y1 x1 t
y2 x2 t
0 ， y1(x2
t)
y2 (x1
t)
0
即 y1(my2 2 t) y2 (my1 2 t) 0
2my1y3 (2 t)( y1 y2 ) 0
将①代入得 16m (2 t) 4m 0 m R ,要使方程成立， t 2 ， 所以存在 A(2, 0) 满足题意.
由
x2
2020年新疆高考数学二诊试卷(文科)(问答) (含答案解析)
2020年新疆高考数学二诊试卷(文科)(问答)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={x∈N|x+1x−5≤0}，A={1,2，4}，则∁U A=()A. {3}B. {0,3，5}C. {3,5}D. {0,3}2.复数z满足(1+i)z=|√3−i|，则z−=()A. 1+iB. 1−iC. −1−iD. −1+i3.已知α是第二象限角，tan(π+α)=−815，则cos(α−π2)=()A. 18B. −18C. 817D. −8174.某班学生体检中检查视力的结果如表，从表中可以看出，全班视力数据的众数是()A. 0.9B. 1.0C. 20%D. 65%5.已知双曲线C：x2a −y2b=1(a>0,b>0)的实轴长为16，左焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF，O为坐标原点，若S△OMF=16，则双曲线C的离心率为()A. √52B. √5 C. √3 D. 3√326.等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B−AD−C，则三棱锥B−ACD的外接球的表面积为()A. 5πB. 203π C. 10π D. 34π7.已知定义域为R的偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，则()A. f(4)>f(3)B. f(−5)>f(5)C. f(−3)>f(−5)D. f(3)>f(−6)8.某几何体的三视图如图所示，则其体积为()．A. 4B. 8C. 43D. 839. 英国数学家泰勒发现了如下公式：cosx =1−x 21×2+x 41×2×3×4−x 61×2×3×4×5×6+⋯.则下列数值更接近cos0.4的是( )A. 0.91B. 0.92C. 0.93D. 0.9410. 设a =log 36，b =log 0.23，c =0.510，则( )A. c >b >aB. b >c >aC. a >c >bD. a >b >c11. 函数f(x)=sin(2x +φ)(0≤φ≤π)图象向右平移π6个单位后关于y 轴对称，则φ的值是( )A. 0B. π6C. π3D. 5π612. 已知函数f(x)={2x −1,x ≤11+log 2x,x >1，则函数f(x)的零点为( )A. (12,0)B. (−2,0)C. 12D. 0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若从1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取两个不同的数，则这两个数的和是偶数的概率为 .14. 平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于______． 15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2=ac ，且cosB =45，则1tanA +1tanC 的值是______． 16. 若椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2与C 交于M ，N 两点．若|MF 1|=|MF 2|，MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆C 的离心率是________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{b n}的前n项和为T n，且T n−2b n+3=0，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)设C n={log2(b n3),n为奇数b n,n为偶数，求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=2，E，F分别是CC1，A1B1的中点．(1)求证：AE⊥平面BCF；(2)求点F到平面ABE的距离．19.为了解国内不同年龄段的民众旅游消费的基本情况．某旅游网站从其数据库中随机抽取了1000条客户信息进行分析，这些客户一年的旅游消费金额数据如表所示；把一年旅游消费金额满8千元称为“高消费”，否则称为“低消费⋅”．(Ⅰ)从这些客户中随机选一人．求该客户是高消费的中老年人的概率；(Ⅱ)估计低消费的年轻人的平均消费；(同一组的数据用该组区间的中点值为代表)；(Ⅲ)完成下面的2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为旅游消费的高低与年龄有关．附表及公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.(设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，M(p,p−1)是C上的点．(1)求C的方程：(2)若直线l：y=kx+2与C交于A，B两点，且|AF|⋅|BF|=13，求k的值．21.设函数f(x)=e x−ax2+1，曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2．(1)求a，b的值；(2)当x>0时，求证：f(x)≥(e−2)x+2．22.已知曲线C的参数方程为为参数)，P是曲线C上的点且对应的参数为β，0<β<π，直线l过点P且倾斜角为π−β．(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程．2(2)已知直线l与x轴，y轴分别交于A，B，求证：|PA|⋅|PB|为定值．23.已知函数f(x)=|2x−a|−|x+1|．(1)当a=2时，求f(x)<−1的解集；(2)当x∈[1,3]时，f(x)≤2恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查分式不等式的解法，描述法、列举法表示集合的概念，以及补集的运算．解出x+1x−5≤0得到−1≤x<5，从而得出U={0,1，2，3，4}，然后进行补集的运算即可．解：解x+1x−5≤0得：−1≤x<5；∴U={0,1，2，3，4}；∴∁U A={0,3}．故选：D．2.答案：A解析：本题主要考查复数的应用，属于中档题．解：由题意得，z=|√3−i|1+i =21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，则z=1+i，故选A．3.答案：C解析：解：∵α是第二象限角，tan(π+α)=tanα=−815，∴tanα=sinαcosα=−815，再根据sin2α+cos2α=1，可得sinα=817，则cos(α−π2)=cos(π2−α)=sinα=817，故选：C．由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得cos(α−π2)的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．4.答案：B解析：解：根据表中数据，得；全班视力的数据为1.0时，占全班人数百分比为65%，是最高，∴全班视力的众数是1.0．故选：B．根据表中数据，结合众数的概念，即可得出正确的结论．本题考查了统计数表的应用问题，也考查了众数的概念与应用问题，是基础题目．5.答案：A解析：解：设F(−c,0)，双曲线C一条渐近线方程为y=bax，可得|FM|=√a2+b2=b，即有|OM|=√c2−b2=a，由S△OMF=16，可得12ab=16，∵2a=16，∴a=8∴b=4∴c2=a2+b2=64+16=80，∴c=4√5，∴e=ca=√52故选：A．求得双曲线C一条渐近线方程为y=bax，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得c=4√5，进而得到双曲线的离心率．本题考查双曲线的方程和性质，注意运用点到直线的距离公式和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．6.答案：D解析：本题主要考查球的表面积的求法.属于基础题，直接根据公式求解即可．解：依题意，在三棱锥B−ACD中，AD，BD，CD两两垂直，且AD=4，BD=CD=3，因此可将三棱锥B−ACD补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3、3、4，且其外接球的直径2R=√32+32+42=√34，故三棱锥B−ACD的外接球的表面积为4πR2=34π．故选D．7.答案：A解析：解：∵定义域为R的偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，4>3，∴f(4)>f(3)，故选：A．利用定义域为R的偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，即可得出结论．本题考查函数的单调性，与奇偶性，比较基础．8.答案：D解析：由题意三视图可知，几何体是四棱锥，底面是边长为2的正方形，一条侧棱垂直于正方形的一个顶点，长度为2，所以几何体的体积是：13×2×2×2=83．9.答案：B解析：本题主要考查合情推理的归纳推理．通过计算，即可得．解：若，，则可以猜想，所以cos0.4更接近0.92．故选B．10.答案：C解析：a=log 36>1，b=log0.23<0，0<c=0.510<1，a>c>b，11.答案：D解析：解：f(x)=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)图象向右平移π6个单位后得到的函数是g(x)=sin[2(x−π6)+φ]=sin(2x−π3+φ)，又g(0)=sin(−π3+φ)=±1，得φ−π3=kπ+π2(k∈Z)，∴φ=kπ+5π6(k∈Z)，故选：D．求出平移后函数图象对应的解析式，再由函数为偶函数列式求得φ的值．本题考查三角函数的图象变换，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质，是基础题．12.答案：C解析：本题考查了方程的根与函数的零点之间的关系，考查了分段函数，属于基础题．函数的零点是当f(x)=0时对应的x的值，分类讨论求解即可．解：当x≤1时，若2x−1=0，则x=12，成立；当x>1时，若1+log2x=0，则x=12，不成立．故函数f(x)的零点为12．故选：C．13.答案：25解析：本题考查了古典概型的计算与应用．利用古典概型的计算得结论．解：根据题意，从5个数中一次随机取两个数，其情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种情况， 其中这两个数的和为偶数的有(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4种；则取出两个数的和为偶数的概率P =410=25．故答案为25．14.答案：4解析：解：平行四边形ABCD 中，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)⋅(0,2)=0+4=4， 故答案为：4．由条件求得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，再利用两个向量的数量积公式求得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．15.答案：53解析：利用切化弦，结合正弦定理进行求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合切化弦以及正弦定理进行转化是解决本题的关键． 解：由1tanA +1tanC =cosA sinA +cosC sinC =cosAsinC+sinAcosC sinAsinC =sin(A+C)sinAsinC =sinB sinAsinC ， ∵cosB =45，∴sinB =35，∵b 2=ac ，∴sin 2B =sinAsinC =(35)2=925， 则1tanA +1tanC =sinB sin 2B =1sinB =53，故答案为：5316.答案：√22解析：此题考查直线与椭圆的位置关系及椭圆的离心率的求法，关键是根据椭圆的性质结合已知条件找出关于a 、c 的方程，即可求出离心率，属中档题．解：设F 1(−c,0)，F 2(c,0)，因为|MF 1|=|MF 2|，不妨设M 为上顶点，坐标为(0,b )，由MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设N (x,y )，可得(c,−b )=3(x −c,y )，解得x =−43c ，y =−b 3，即N (−43c,−b 3)代入椭圆方程得：16c 29a 2+19=1，所以c 2a 2=12， 所以e =√c2a 2=√22， 故答案为√22． 17.答案：解：(Ⅰ)∵T n −2b n +3=0，∴当n =1时，b 1=3，当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得b n =2b n−1，(n ≥2)∴数列{b n }为等比数列，∴b n =3⋅2n−1.(Ⅱ)c n ={n −1, n 为奇数3⋅2n−1 , n 为偶数. 令a n =n −1，故P 2n+1=(a 1+a 3+⋯+a 2n+1)+(b 2+b 4+⋯+b 2n )=(0+2n)⋅(n+1)2+6(1−4n )1−4，=22n+1+n 2+n −2．解析：(Ⅰ)当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得数列{b n }为等比数列，即可求数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)确定数列{c n }的通项，利用分组求和的方法求数列{c n }的前2n +1项和P 2n+1．本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列{b n }为等比数列是解题的关键． 18.答案：(1)证明：建立以C 1为坐标原点的空间坐标系如图，∵AC =BC =AA 1=2，E ，F 分别是CC 1，A 1B 1的中点．∴A(0,2，2)，B(2,0，2)，E(0,0，1)，A 1(0,2，0)，F(1,1，0)，B 1(2,0，0)，C(0,0，2)则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,−1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)，CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−2)， 则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+2=0， 则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CF⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即AE ⊥BC ，AE ⊥CF ，BC ∩CF =C ，∴AE ⊥平面BCF ；(2)解：取AB 的中点O ，连结CO ，FO ，∵CB =CA ，∴CO ⊥AB∴平面ABC ⊥平面BB 1A 1A ，∴CO ⊥平面ABF ，而CE//平面BB 1A 1A ，∴E 到平面ABF 的距离就是CO 的长，CO =12AB =√2， ∴S △ABF =12AB ⋅OF =2√2，∴V E−ABF =13⋅CO ⋅S △ABF =43，又Rt △ECB 和Rt △ECA 中，易知EB =EA =√5，又AB =2√2，故E O =√EB 2−OB 2=√3，∴S △ABE =12EO ⋅AB =√6 设F 到平面ABE 的距离为d ，由V F−ABE =V E−ABF ，得13S △ABE d =43，解得d =2√63．解析：(1)建立坐标系，利用向量法证明AE ⊥平面BCF ；(2)由题意，F 到A 1C 1的距离即为所求．本题主要考查空间直线和平面垂直的判断，考查F 到平面ABE 的距离，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．19.答案：解：(Ⅰ)样本中总客户数为1000，其中高消费的中老年人有200人，随机选一人，则该客户是高消费的中老年人的概率为2001000=15．(Ⅱ)样本中低消费的年轻人的平均消费为95×1+85×3+70×5+50×795+85+70+50=3.5(千元)．(Ⅲ) 2×2列联表如下：K 2=1000×(300×200−100×400)2400×600×700×300≈7.937，因为7.937>6.635，所以有99%的把握认为旅游消费的高低与年龄有关．解析：【试题解析】本题考查了古典概型，平均值求解以及独立性检验，属于中档题．(Ⅰ)利用古典概型公式即可求解;(Ⅱ)根据平均数求值即可；(Ⅲ)填写2×2求解K 2，即可得到结论．20.答案：解：(1)因为M(p,p −1)是C 上的点，所以p 2=2p(p −1)，因为p >0，解得p =2，抛物线C 的方程为x 2=4y ．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =kx +2x 2=4y得x 2−4kx −8=0， △=16k 2+32>0，则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−8，由抛物线的定义知，|AF|=y 1+1，|BF|=y 2+1，则|AF|·|BF|=(y 1+1)(y 2+1)=(kx 1+3)(kx 2+3)=k 2x 1x 2+3k(x 1+x 2)+9=4k 2+9=13，解得k =±1．解析：【试题解析】本题考查抛物线的方程以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．(1)由M 是C 上的点，且p >0，解得p =2，则抛物线C 的方程为x 2=4y ．(2)联立{y =kx +2x 2=4y，解得x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−8， 由抛物线的定义知，|AF|=y 1+1，|BF|=y 2+1，则|AF|·|BF|=(y 1+1)(y 2+1)=(kx 1+3)(kx 2+3)=13，解得k =±1．21.答案：解：(1)f′(x)=e x −2ax ，f′(1)=e −2a ，f(1)=e −a +1，∴曲线y =f(x)在x =1处的切线方程为：y −e +a −1=(e −2a)x −e +2a ，即：y =(e −2a)x +a +1，由题意：e −2a =b ，a +1=2，∴a =1，b =e −2…(6分)(2)证明：令ϕ(x)=f(x)−(e −2)x −2=e x −x 2−(e −2)x −1，则ϕ′(x)=e x −2x −(e −2)，令t(x)=ϕ′(x)，则t′(x)=e x −2，令t′(x)<0得：0<x <ln2 令t′(x)>0得：x >ln2，∴t(x)=ϕ′(x)在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增∵t(0)=ϕ′(0)=3−e >0，t(1)=ϕ′(1)=0，0<ln2<1，∴t(ln2)=ϕ′(ln2)<0，∴存在x 0∈(0,1)使t(x 0)=ϕ′(x 0)=0，且当x ∈(0,x 0)或x ∈(1,+∞)时，t(x)=ϕ′(x)>0，当x ∈(x 0,1)时，t(x)=ϕ′(x)<0，∴ϕ(x)在(0,x 0)上递增，在(x 0,1)上递减，在上递增(1,+∞)，又ϕ(0)=ϕ(1)=0，所以有：ϕ(x)≥0，即f(x)−(e −2)x −2≥0，∴f(x)≥(e −2)x +2…(12分)解析：(1)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)，求出切线方程即可；(2)令ϕ(x)=f(x)−(e −2)x −2=e x −x 2−(e −2)x −1，则ϕ′(x)=e x −2x −(e −2)，令t(x)=ϕ′(x)，根据函数的单调性证明即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =2cosα,y =sinα,(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 24+y 2=1， P 是曲线C 上的点且对应的参数为β，0<β<π2.直线l 过点P 且倾斜角为π−β．所以直线的参数方程为：{x =2cosβ−tcosβy =sinβ+tsinβ(t 为参数)．(2)证明：由于，0<β<π2．所以sinβ≠0，cosβ≠0，由y =sinβ+tsinβ=0，解得t =−1．即点A 对应的参数t A =−1，由x =2cosβ−tcosβ=0，解得B 对应的参数t B =2，所以：|PA|⋅|PB|=|t A t B |=2为定值．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用直线与x 轴和y 轴的交点的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.答案：解；(1)a =2时，不等式f(x)<−1⇒|2x −2|−|x +1|<−1．可化为：{x >12x −2−x −1<−1⇒1<x <2． 或{−1≤x ≤12−2x −x −1<−1⇒23<x ≤1, 或{x <−12−2x +x +1<−1⇒x ∈⌀, 综上，f(x)<−1的解集为(23,2)．(2)∵当x ∈[1,3]时，f(x)≤2恒成立，∴|2x−a|≤|x+1|+2=x+3，∴−(3+x)≤2x−a≤x+3，∴a−33≤x≤a+3，∴{a−33≤1a+3≥3，解得0≤a≤6，即实数a的取值范围[0,6]．解析：本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)当a=2时，求出函数的分段函数形式，然后求解不等式f(x)<−1的解集即可；(2)当x∈[1,3]时，f(x)≤2恒成立⇒|2x−a|≤|x+1|+2=x+3⇒a−33≤x≤a+3，即可求解．。
【数学】新疆乌鲁木齐2020届高三年级第二次诊断性测试试题(文)
新疆乌鲁木齐2020届高三年级第二次诊断性测试数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U =R ，{}2|280A x x x =-->，则UA（ ）A. {4x x >或}2x <-B. {2x x ≤-或}4x ≥ C. {}|24x x -<< D. {}|24x x -≤≤【答案】D【解析】因为不等式2280x x -->的解集为{4x x >或}2x <-， 所以集合A ={4x x >或}2x <-， 由补集的定义可知，UA ={}|24x x -≤≤.故选：D.2.设i 为虚数单位，复数z 满足()i 25z -=，则在复平面内，z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因为()i 25z -=，所以()()()5i 252i i 2i 2i 2z +===----+， 由共轭复数的定义知，2i z =-+，由复数的几何意义可知，z 在复平面对应的点为()2,1-，位于第二象限. 故选：B.3.已知α是第二象限角，且31cos 24απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A. B. 14-C.14D.【答案】A【解析】因为31cos 24απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，由诱导公式可得，1sin 4α=，因为22sin cos 1αα+=，α是第二象限角，所以cos 4α===-. 故选：A.4.我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.某市2019年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如下表所示： 薪资岗位 由表中数据可得该市各类岗位的薪资水平高低情况为（ ） A. 数据挖掘＞数据开发＞数据产品＞数据分析 B. 数据挖掘＞数据产品＞数据开发＞数据分析 C. 数据挖掘＞数据开发＞数据分析＞数据产品 D. 数据挖掘＞数据产品＞数据分析＞数据开发 【答案】B【解析】由表中的数据可知，数据开发岗位的平均薪资为 1.50.08 2.50.25 3.50.32 4.50.35 3.44⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）， 数据分析岗位的平均薪资为1.50.15 2.50.36 3.50.32 4.50.17 3.01⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）， 数据挖掘岗位的平均薪资为1.50.09 2.50.12 3.50.28 4.50.51 3.71⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）， 数据产品岗位的平均薪资为1.50.07 2.50.17 3.50.41 4.50.35 3.54⨯+⨯+⨯+⨯=（万元），因为3.71 3.54 3.44 3.01>>>，所以该市各类岗位的薪资水平高低情况为： 数据挖掘＞数据产品＞数据开发＞数据分析. 故选：B.5.双曲线22 C: 2x y -=的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点.若||||PO PF =，则∆=OPF S ( )A.14B.12C. 1D. 2【答案】C【解析】因为双曲线方程为22C:2x y -=， 所以其渐近线方程为y x =±，右焦点为(2,0)F ，因为点P 为C 的一条渐近线上的点，不妨设点P 在y x =上，且点P 在第一象限； 又||||PO PF =，所以∆POF 为等腰三角形， 所以点P 横坐标为1，因此(1,1)P ， 所以112∆=⋅=OPF p S OF y . 故选C.6.已知ABC 是等腰直角三角形，D 为斜边AB 的中点，且4AB =，以CD 为折痕，将ABC 折成直二面角A CD B --，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（ ）A. 9πB. 12πC. 15πD. 18π【答案】B【解析】以CD 为折痕，将ABC 折成直二面角A CD B --，得到如图所示的三棱锥A BCD -，在三棱锥A BCD -中，,,AD BD AD DC CD BD ⊥⊥⊥， 因为4AB =，AD CD BD ==，所以AD CD BD ==2=为正方体相邻的三条棱， 所以过A ，B ，C ，D 四点的球即为正方体的外接球， 其直径为正方体的体对角线，即()22222R AD BD DC =++, 所以2222422212R =++=，由球的表面积公式可得，2=41212S R ππ=⨯=π球. 故选：B.7.下列函数是偶函数，且在()0,∞+上是增函数的是（ ） A. ()ln f x x = B. ()12f x x =C. ()1f x x x=- D. ()3xf x =【答案】D【解析】对于选项A ：因为()ln f x x =，所以其定义域为()0,∞+，不关于原点对称，所以函数()ln f x x =为非奇非偶函数，故选项A 排除；对于选项B ：因为()12f x x ==[)0,+∞，不关于原点对称，所以函数()12f x x=为非奇非偶函数，故选项B 排除；对于选项C ：因为()1f x x x=-，所以其定义域为{}0x x ≠关于原点对称， 因为()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，所以函数()1f x x x =-为奇函数， 故选项C 排除；对于选项D ：因为()3xf x =，所以其定义域为R 关于原点对称，因为()()33xxf x f x --===，所以函数()3x f x =为R 上的偶函数，又当0x >时，()3xf x =，又因为指数函数3xy =为R 上的增函数，所以函数()3xf x =为()0,∞+上的增函数，故选项D 符合题意.故选：D.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. 2C.D.【答案】B2的矩形，如图所示：由四棱锥的体积公式可得，112233V Sh ===. 故选：B.9.惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距为R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能221121111c U k q R R x x R x R x ⎛⎫=+--⎪+-+-⎝⎭，其中c k 为静电常量，1x ，2x 分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且1x 和2x 都远小于R ，当x远小于1时，()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A. 21232c k q x x RB. 21232c k q x x R -C. 2123c k q x x RD. 2123c k q x x R- 【答案】B【解析】根据题意，221121111cU k q R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭ 21212c k q R R R R R R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭212121111111c k q x x x x R R R R⎛⎫⎪=+--⎪- ⎪++-⎝⎭， 因为1x 和2x 都远小于R ，当x 远小于1时，()1211x x x -+≈-+，所以212121111111c k q x x x x R R R R⎛⎫⎪+-- ⎪- ⎪++-⎝⎭222212121122221111+c k q x x x x x x x x R R R R R R R ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎛⎫≈+-+--+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()222212121122222c x x k q x x x x x x RR R R R R R ⎡⎤--≈-++---⎢⎥⎢⎥⎣⎦21232c k q x x R≈-， 故选：B.10.设a =，2log 13b =， 1.52c =，则下列正确的是（ ） A. c b a << B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】C【解析】由题意知， 1.52c ==y =[)0,+∞上单调递增，>a c >；令()()2log 0f x x x =>，则()1ln 2f x x '==()0f x '=时，22ln 2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当220,ln 2x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>，当22,ln 2x ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<， 所以函数()f x 在220,ln 2⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在22,ln 2⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，因为23ln 2ln e =>=2ln 23>，229ln 2⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()()21316log 160f f >==，即2log 13>b a >， 综上可知，c a b <<. 故选：C11.将函数()sin 23f x x ⎛⎫=+⎝π⎪⎭的图象向右平移02ϕϕπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象，若对于满足()()122f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（ ） A.12πB.6π C.4π D.3π 【答案】B【解析】由题意知，函数()sin 223g x x πϕ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 所以()()1212sin 2sin 22233f x g x x x ϕ⎛⎫⎛⎫-=+--+= ⎪π ⎪⎝⎭⎝⎭π， 因为11sin 213x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，21sin 2213x ϕ⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭π， 所以12sin 213sin 2213x x ϕ⎧π⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨π⎛⎫⎪-+=- ⎪⎪⎝⎭⎩或12sin 213sin 2213x x ϕ⎧π⎛⎫+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨π⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，所以11122222,32222,32x k k x k k ϕππ⎧+=+π∈⎪⎪⎨ππ⎪-+=-+π∈⎪⎩Z Z 或11122222,32222,32x k k x k k ϕππ⎧+=-+π∈⎪⎪⎨ππ⎪-+=+π∈⎪⎩Z Z ，所以()()1212122222,x x k k k k ϕπ-+=±+--π∈Z ， 所以()()121212,2x x k k k k ϕ-=±-+--ππ∈Z ， 因为02ϕ<<π， 可得12min 23x x ϕ-=-=ππ，所以6π=ϕ.故选：B.12.已知函数()232,3,x x x mf x x x m⎧-+≤=⎨-+>⎩，若()f x 恰好有2个零点，则m 的取值范围是（ ） A. (]2,3 B. [)2,3C. [)[)1,23,+∞ D. (][)1,23,+∞【答案】C【解析】令21232,3y x x y x =-+=-+，因为方程2320x x -+=的两根为121,2x x ==， 所以在同一直角坐标系下作出函数21232,3y x x y x =-+=-+的图象如图所示：由图可知，当12m ≤<时，函数()f x 恰有两个零点，图象如图所示：当3m ≥时，函数()f x 恰 有两个零点，图象如图所示：综上可知，所求实数m 的取值范围为[)[)1,23,+∞.故选：C第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.从3个不同奇数，2个不同偶数中随机抽取两个数，这两个数之和是偶数的概率为______. 【答案】25【解析】】记事件A =“从五个不同的数中随机抽取两个数，这两个数之和是偶数”, 由题意知，从五个不同的数中随机抽取两个数包含总的基本事件数为25C ， 若抽取的两个数为偶数，则这两个数都为奇数或者都为偶数，若这两个数都为奇数，则有23C 种选择；若这两个数都为偶数，则有22C 种选择，由分类加法计数原理可得，事件A 包含的基本事件数为23C +22C ，由古典概型概率计算公式可得，()22322525C C P A C +==. 故答案为：2514.在ABCD 中，()0,2AD =，()2,3AC =，则AB BD ⋅=______. 【答案】3-【解析】如图，在ABCD 中，AD BC =，由平面向量加法的三角形法则知，AC AB BC =+， 即AB AC BC =-，所以()2,1AB =，又BD AD AB =-，()0,2AD =，所以()2,1BD =-， 由平面向量的数量积的坐标表示知，AB BD ⋅=()22113⨯-+⨯=-.故答案为：3-15.设ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积为24sin bB，且1cos cos 3A C =，则cosB =______. 【答案】16【解析】因为1sin 2ABCS ac B =△，又24sin ABCb S B=， 所以21sin 24sin b ac B B=，即222sin ac B b =，由正弦定理可得，24sin sin ac R A C =，2224sin b R B =，所以22228sin sin sin 4sin R A C B R B =， 即1sin sin 2A C =，因为1cos cos 3A C =， 所以()111cos cos cos sin sin 326A C A C AB +=-=-=-， 又()B A C π=-+，所以()()1cos cos cos 6B AC A C π=-+=-+=⎡⎤⎣⎦. 故答案：1616.已知椭圆C 的焦点为1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点.若112AF F B =，2AB BF =，则椭圆C 的离心率为______.【解析】根据题意，作图如下：设1BF x =，则122,3AFx BF AB x ===，由椭圆的定义知， 122AF AF a +=，12342BF BF x x x a +=+==，因为12AF x =，所以22AF x =，在2ABF 中，由余弦定理可得，2222222cos 2AB BF AF ABF AB BF +-∠=⋅()()()22233272339x x x x x+-==⋅⋅，在12BF F △中，由余弦定理可得，22212121222cos F F BF BF BF BF ABF =+-⋅⋅∠，即()2221273239F F x x x x =+-⋅⋅⋅，解得123F F x =，所以24,23a x c x ==，所以椭圆离心率32xc e ax ===三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤. 17.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足*21()n n a S n -=∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()2log 1n n b S =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .解：（Ⅰ）21n n a S -=，令1n =，解得11a =，2n ≥，1121n n a S ---=，两式相减，得12n n a a -=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，2q 为公比的等比数列， 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12n na ，21n n S a =-，所以21nn S =-，即()22log 1log 2nn n b S n =+==，∴1111111111223(1)2231n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++. 18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，E ，F 分别是AC 和AB 上动点，且AE BF =.（Ⅰ）若E 与C 重合，求证：11B E C F ⊥；的（Ⅱ）若1AE EC ==，求点1B 到平面1A EF 的距离. （Ⅰ）证明：当E 与C 重合时，∵AE BF =， ∴F 与A 重合，要证11B E C F ⊥，即要证11B C C A ⊥.∵90BAC ∠=︒，∴11190B AC ∠=︒，即1111B A AC ⊥，又111B A A A ⊥，1111A A AC A ⋂=，∴11B A ⊥平面11A ACC ，∴111B A AC ⊥， 又正方形11A ACC 中，11C A A C ⊥，1111A CA B A =，∴1C A ⊥平面11A B C ，∴11C A B C ⊥，即11B E C F ⊥；（Ⅱ）解：∵1A A ⊥平面ABC ，∴1190A AE A AF ∠=∠=︒，∵1AE EC ==，∴12A A =，∴11A E A F ==，在Rt EAF中，EF =113222A FE S ==△，1112222A B F S =⨯⨯=△，设点1B 到平面1A EF 的距离为h ，由1111B A EF E A B F V V --=，得1111133A EF AB F h S EA S ⋅⋅=⋅⋅△△，1EA =，∴43h =，即点1B 到平面1A EF 的距离为43.19.某流行病爆发期间，某市卫生防疫部门给出的治疗方案中推荐了三种治疗药物A ，B ，C （A ，B ，C 的使用是互斥且完备的），并且感染患者按规定都得到了药物治疗.患者在关于这三种药物的有关参数及市场调查数据如下表所示：（表中的数据都以一个疗程计）药物（Ⅰ）从感染患者中任取一人，试求其一个疗程被治愈的概率大约是多少？ （Ⅱ）试估算每名感染患者在一个疗程的药物治疗费用平均是多少.解：（Ⅰ）30585%12295%18390%0.885305122183⨯+⨯+⨯=++；（Ⅱ）感染者在一个疗程的药物治疗费是600元的概率为3050.5305122183=++，治疗费是1000元的概率为1220.2305122183=++；治疗费是800元的概率为1830.3305122183=++； 药物治疗费用平均为：6000.510000.28000.3740⨯+⨯+⨯=元. 20.已知抛物线C ：()220y px p =>上一点()m,2到其焦点F 的距离为2.（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）设抛物线C 的准线与x 轴交于点P ，直线l 过点P 且与抛物线C 交于A ，B 两点（点A 在点P ，B 之间），点Q 满足3QA AF =，求ABF 与APQ 的面积之和取得最小值时直线l 的方程.解：（Ⅰ）22y px =的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，依题意有422pm =⎧=，解得12m p =⎧⎨=⎩， 所以，抛物线C 的标准方程为24y x =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线C 的标准方程为24y x =，其准线方程为：1x =-， 所以点()1,0P -易知直线l 的斜率存在，且不为零，其方程为y kx k =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，因为3QA AF =，即()()1111,31,0Q Q x x y y x y -=---， ∴14Q y y =，联立方程24y kx k y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440ky y k -+=，124y y ，根据题意，作图如下：2ABF APQ PQF PBF APF S S S S S +=+-△△△△△211112222222Q y y y =⨯+⨯-⨯⨯21121242Q y y y y y y =+-=+-122y y =+≥==.当且仅当122142y y y y =⎧⎨=⎩，即12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或12y y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ABF 与APQ的面积之和最小，最小值为1y 时，211142y x ==，12A ⎛ ⎝，直线l的方程为y =1y =211142y x ==，1,2A ⎛ ⎝，直线l的方程为y x = ∴ABF 与APQ 的面积之和最小值时直线l的方程为33y x =+或33y x =--. 21.已知()()20xf x xe ax a =-+>.（Ⅰ）若曲线()y f x =在0x =处的切线与坐标轴围成的图形面积为4，求实数a 的值； （Ⅱ）若1a =，求证()ln 3f x x ≥+.解：（Ⅰ）由()()'1e xf x x a =+-，∴()'01f a =-，又()02f =，∴切线方程为()12y a x =-+，令0,2,x y == 由题意知，10a -≠ 20,1y x a ==-， 则241A S a ==-，解得12a =或32a =； （Ⅱ）令()()e ln 10xg x x x x x =--->， 则()()1'1e xg x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，设()'g x 的零点为0x ， 则01e 0x x -=，即001e x x =且00ln x x =-， 因为函数e 1xy x=-为()0,∞+上的增函数，所以当00x x <<时，()0g x '<；当0x x >时，()0g x '>， 所以函数()g x 在()00,x 上递减，()0,x +∞上递增， ∴()()000min ln 0g x g x x x ==--=，∴0x >时，()0g x ≥恒成立，从而()ln 30f x x =-≥恒成立， ∴()ln 3f x x ≥+总成立.选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，将曲线C ：221x y +=上的点按坐标变换'2'x x y y =⎧⎨=⎩，得到曲线'C ，M 为C 与x 轴负半轴的交点，经过点M 且倾斜角为60︒的直线l 与曲线C 的另一个交点为N ，与曲线'C 的交点分别为A ，B （点A 在第二象限）. （Ⅰ）写出曲线'C 的普通方程及直线l 的参数方程； （Ⅱ）求AN BM -的值.解：（Ⅰ）由题得'2'x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩代入C 的方程221x y +=得'C ：22''14x y +=，即'C 的方程为2214x y +=，因为曲线C ：221x y +=，令0y =，则1x =±，因为M 为C 与x 轴负半轴的交点，所以点()1,0M -， 因为直线l 的倾斜角为60︒，所以13cos 60,sin 602==， 所以l 的参数方程为1122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；（Ⅱ）因为()1,0M -，所以直线l 的方程为)1y x =+，因为圆C 的圆心为()0,0，半径为1，所以圆心C 到直线l 的距离为2d ==，由弦长公式可得，1MN ===，将112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入2214x y +=，整理得2134120t t --=，设1t ，2t 为方程的两个根，则12413t t +=，121213t t ⋅=-， ∴1291113AN BM AM BM t t -=--=+-=-. 23.已知函数()21f x x a x =+--，a R ∈. （Ⅰ）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（Ⅱ）设函数()4g x x =-+，若函数()f x 的图象与函数()g x 的图象只有一个公共点，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）因为1a =，∴不等式()0f x ≥即为121x x +≥-，两边平方得2360x x -≤， 解得02x ≤≤，即1a =时，()0f x ≥的解集为[]0,2； （Ⅱ）由题意知，方程214x a x x +--=+只有一个实根， 即y x a =+与214y x x =-++的图象只有一个交点，因为153,221413,2x x y x x x x ⎧-≤⎪⎪=-++=⎨⎪+>⎪⎩，又y x a =+的图象由y x =向左()0a >或向右()0a <平移了a 个单位， 作图如下：由图象可知，它们只有一个公共点，则3a >或4a =-.。
2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科数学试卷-学生用卷
2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第1题5分已知集合A={x|x2−2x<0}，B={x|x−1⩾0}，则集合A∩B=（）．A. {x|0<x<2}B. {x|0<x⩽1}C. {x|x⩾1}D. {x|1⩽x<2}2、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第2题5分复数z=31+2i（i表示虚数单位）在复平面内对应的点位于（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第3题5分若sin(π+α)=13，α∈(−π2,0)，则sin2α=（）．A. −89B. −4√29C. 4√29D. 894、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第4题5分设x，y满足约束条件{2x+3y−3⩽0，2x−3y+3⩾0，y+1⩾0，，则z=x+y的最大值是（）．A. −4B. 1C. 2D. 45、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第5题5分下列四个条件中，使a>b成立的充要条件是（）．A. ac>bcB. a>b−1C. a3>b3D. log2a>log2b6、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第6题5分一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为20√5，则ℎ的值为（）．A. √5B. √10C. 2√5D. 2√107、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第7题5分已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，且经过点(4,4√3)，则双曲线的标准方程为（）．A. x 24−y216=1B. y 216−x24=1C. x 22−y28=1D. y 244−x2176=18、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第8题5分2021年陕西西安雁塔区西安市第八十五中学高三一模理科第6题5分2020~2021学年河南郑州中原区郑州市第一中学高三上学期期中理科第9题5分2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对(p,p+2)称为孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（）．A. 115B. 215C. 245D. 4459、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第9题5分正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC→=λAM→+μBN→，则λ+μ=（）．A. 65B. 85C. 2D. 8310、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第10题5分已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)，A(12,0)为其图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=5，则f(x)的解析式为（）．A. f(x)=2sin(π3x−π6)B. f(x)=2sin(π3x−π12)C. f(x)=2sin(π4x−π8)D. f(x)=2sin(π4x−π4)11、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第11题5分蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的．从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109°28′，这样的设计含有深刻的数学原理．我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》．用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在正六棱柱ABCDEF−A′B′C′D′E′F′的三个顶点A，C，E处分别用平面BFM．平面BDO，平面DFN截掉三个相等的三棱锥M−ABF，O−BCD，N−DEF，平面BFM，平BDO，平面DFN交于点P，就形成了蜂巢的结构，如下图所示．以下四个结论①△BDF≌△MON；②BF<MN；③B、M、N、D四点共面；异面直线DO与FP所成角的大小为109°28′．其中正确的个数是（）．A. 1B. 2C. 3D. 412、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第12题5分已知函数f(x)=xe x，要使函数g(x)=m[f(x)]2−2f(x)+1恰有一个零点，则实数m的取值范围是（）．A. [−e2−2e,0]B. (−e2−2e,0]∪{1}C. [−e2+2e,0]D. (−e2+2e,0]∪{1}二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第13题5分数学竞赛后，小明、小华、小强各获一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌．老师猜测：“小明得金牌，小华不得金牌，小强不得铜牌．”老师只猜对了一个，那么小明获得的是．14、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第14题5分已知f(x)={−lgx，x>0a x+b，x⩽0且f(0)=3，f(−1)=4，则f(f(−3))=．15、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第15题5分过椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点F(2,0)且倾斜角为3π4的直线与椭圆C交于A，B两点，M是线段AB的中点，O为坐标原点，若直线OM的斜率为12，则椭圆的方程为．16、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第16题5分在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，BC边上的中线AD=√19，则sinB=．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第17题12分如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，梯形ADEF⊥底面ABCD，且AF=EF=DE=12AD．(1) 证明平面ABF⊥平面CDF．(2) 平面CDF将多面体ABCDEF分成两部分，求两部分的体积比．18、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第18题12分2019~2020学年9月陕西西安莲湖区西安远东教育集团第一中学高二上学期月考理科第19题10分设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2是a 1与a 5的等比中项，S 6=36． (1) 求{a n }的通项公式．(2) 设b n =a n ⋅2a n +1，求{b n }的前n 项和T n ．19、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第19题12分已知抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F ，Q 是抛物线上的一点，FQ →=(1,2√2)． (1) 求抛物线C 的方程．(2) 过点(2,0)作直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在一点A ，使得x 轴平分∠MAN ？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由．20、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第20题12分某传染病疫情爆发期间，当地政府积极整合医疗资源，建立“舱医院”对所有密切接触者进行14天的隔离观察治疗．治疗期满后若检测指标仍未达到合格标准，则转入指定专科医院做进一步的治疗．“舱医院”对所有入员在“入口”及“出口”时都进行了医学指标检测，若“入口”检测指标在35以下者则不需进入”舱医院”而是直接进入指定专科医院进行治疗．以下是20名进入”舱医院”的密切接触者的“入口”及“出口”医学检测指标：附注：参考数据：∑x i 20i=1y i =77650，∑x i 220i=1=67100．参考公式：回归方程y ^=a ^+b ^x 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^=∑x i n i=1y i −nxy∑x i2n i=1−nx 2，a ^=y −b ^x(1) 建立y 关于x 的回归方程．（回归方程的系数精确到0.1）(2) 如果60是“舱医院”的“出口”最低合格指标，那么，“人口”指标低于多少时，将来这些密切接触者将不能进入“舱医院”而是直接进入指定专科医院接受治疗．（检测指标为整数）21、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第21题12分 已知函数 f (x )=12x 2−(a +1)x +alnx (a >1)．(1) 求函数f(x)的单调区间．(2) 设x1，x2为函数f(x)的两个极值点，求证f(x1)+f(x2)+3a<72．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）22、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=√33x，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C:ρ=2cosθ(0⩽θ⩽π2)．(1) 求曲线C被直线l截得的弦长．(2) 与直线l垂直的直线EF与曲线C相切于点Q，求点Q的直角坐标．23、【来源】 2020年新疆乌鲁木齐高三二模文科第23题10分2019~2020学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高二下学期期末第16题2021年黑龙江哈尔滨南岗区哈尔滨市第三中学高三二模理科第23题10分已知f(x)=|2x−m|−|x+2m|(m>0)的最小值为−52．(1) 求m的值．(2) 已知a>0，b>0，且a2+b2=m，求证b3a +a3b⩾1．1 、【答案】 D;2 、【答案】 D;3 、【答案】 B;4 、【答案】 C;5 、【答案】 C;6 、【答案】 C;7 、【答案】 A;8 、【答案】 D;9 、【答案】 B;10 、【答案】 A;11 、【答案】 C;12 、【答案】 B;13 、【答案】铜牌;14 、【答案】−1;15 、【答案】x28+y24=1;16 、【答案】√217;17 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) V F−ABCDV E−CDF=4．;18 、【答案】 (1) a n=2n−1．;(2) T n=209+(6n−5)9⋅4n+1．;19 、【答案】 (1) y2=4x．;(2) 存在，A(−2,0)．;20 、【答案】 (1) y^=0.5x+39.8．;(2) 41．;21 、【答案】 (1) f(x)在(0,1)，(a,+∞)上为增函数，(1,a)为减函数．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) 曲线C的普通方程为：x2+y2−2x=0(y⩾0)，弦长|MN|=√3．;(2) Q(1+√32,12 )．;23 、【答案】 (1) m=1．;(2) 证明见解析．;。
新疆维吾尔自治区2020届高三下学期适应性检测语文试题及答案(逐题解析) 人教版高三总复习
新疆维吾尔自治区2020届高三下学期适应性检测语文试题及答案（逐题解析）人教版高三总复习新疆维吾尔自治区高三年级适应性检测语文试卷(卷面分值：150分；考试时间：150分钟)注意事项：1.本试卷为问答分离式试卷，由问卷和答题卡两部分组成，答案务必写或涂在答题卡的指定位置上。
2.答题前，请考生务必将自己的座位号、姓名、准考证号等信息填写在答题卡的相应位置上。
一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成下面小题。
中国艺术有三个方向与境界。
第一个是礼教的、伦理的方向。
三代钟鼎和玉器都联系于礼教，而它们的图案画发展为具有教育及道德意义的汉代壁画(如武梁祠壁画等)，东晋顾恺之的女史箴图，也还是属于这范畴。
第二是唐宋以来笃爱自然界的山水花鸟，使中国绘画艺术确立了它的特色，获得了世界地位。
然而正因为这“自然主义”支配了宋代的艺坛，遂使人们忘怀了那第三个方向，即从六朝到晚唐宋初的丰富的宗教艺术。
这七八百年的佛教艺术创造了空前绝后的佛教雕像。
云冈、龙门、天龙山的石窟，尤其是近来才被人注意的四川大足造像和甘肃麦积山造像。
中国竟有这样伟大的雕塑艺术，其数量之多，地域之广，规模之大，造诣之深，都足以和希腊雕塑艺术争辉千古!雕刻之外，在当时更热闹、更动人、更炫丽的是彩色的敦煌壁画，这个灿烂的佛教艺术，在中原本土，因历代战乱及佛教之衰退而被摧毁消灭。
富丽的壁画及其崇高的境界真是“如幻梦如泡影”，从衰退萎弱的民族心灵里消逝了。
支持画家艺境的是残山剩水、孤花片叶。
虽具清超之美而乏磅礴的雄图。
天佑中国!在西陲敦煌洞窟里，竟替我们保留了那千年艺术的灿烂遗影。
最使我们感兴趣的是敦煌壁画中的极其生动而具有神魔性的动物画，我们从一些奇禽异兽的泼辣的表现里感知到世界生命的原始境界，意味幽深而沉厚。
现代西洋新派画家厌倦了自然表面的刻画，企求自由天真原始的心灵去把握自然生命的核心层。
德国画家马尔克震惊世俗的《蓝马》，可以同这里的马精神相通。
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34文科数学参考答案一、选择题1．D 2.D 3.C 4.B5.C6.A7.B8.A9.C 10.B 11.A 12.D二、填空题13．14.6215.16.3三、解答题17．解:(Ⅰ)由正弦定理及cos 1a B =与sin 2b A =得：2sin cos 1R A B =,2sinBsin 2R A =(R 是ABC △的外接圆半径)两式相除,得1cos 2sin B B=，················2分设cos B k =，sin 2B k=∵B 是ABC △的内角，∴sin 0B >0k ⇒>∵22sin cos 1B B +=，∴55k =∴5cos 5B =,25sin 5B =,···········4分将5cos 5B =代入cos 1a B =，得a =，∴sin(A C)sin()sin 5B B π+=-==.···············6分(Ⅱ)由(Ⅰ)及余弦定理知22222cos 52b a c ac B c c=+-=+-∴22221992252()222b c c c c +=-+=-+≥············8分当且仅当12c =时,22b c +取得最小值29.∴2155221521sin 21=⨯⨯⨯==∆B ac S ABC ∴22b c +最小时ABC △的面积为21·············12分18．解：（Ⅰ）在平行四边形ABCD中，60,ADC CD AD ∠=== 2020年普通高考第二次适应性检测1由余弦定理得2222cos 1232609AC AD CD ADCD ADC =+-∠=+-⨯= ∴222AC CD AD +=，∴90ACD AC CD ∠=⇒⊥···········2分易知）（λλ-=-=13)1(PA EF ，AC AF λ=BF ==··········10分∴3193)132=⇒+=-λλλ（∴存在点E 满足要求，且31=PC PE .···········12分.19．解：（I ）2018年北京市老年人349.1万人，占户籍总人口的25.4％，所以北京市2018年户籍总人口有349.11374.4091374.4125.4≈＝％万人；·······2分2018年北京市“老年人”有349.1万人，每2.4名劳动力抚养1名老年人，故北京市2018年的劳动力数为349.1×2.4＝837.84万．·········4分（II ）设2014年是第1年，第x 年老年人口为y 万人，则x12345y 296.7313.3329.2333.3349.1由于从2014年起，北京市老龄人口与年份呈线性关系，设ˆˆybx a =+F 又PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ∴PA ⊥CD又AC AP =A ∴CD ⊥平面PCA又CD ⊂平面PCD ∴平面PCA ⊥平面PCD .·········4分（Ⅱ）假设侧棱PC 上存在点E ，使得直线BE 与底面ABCD 所成的角为45，设PE =λPC ，如图，过E 作EF ⊥AC 交AC 于F ，∵PA ⊥底面ABCD ，∴平面PCA ⊥平面ABCD .平面PCA 平面ABCD =AC∴.EF ⊥平面ABCD .········8分连BF ，可知∠EBF 就是直线BE 与底面ABCD 所成的角，∴∠EBF =45 ，∴BF =EF则3x ＝， 3.313.329.233.349.1121.6.24.3255-++++y＝+300＝+300＝3·······6分122222212(27.62)(1)(11.02)0 4.8818.98224.78ˆ(13)(23)(33)(43)(53)124.812.4810n i ii n i i x x y y b x x ==-⋅--⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯-+-+-+-+--=∑∑（）（）＝＝（） ＝得ˆˆ324.3212.483286.88a y bx =-=-⨯=∴ˆ12.48y x =+·····8分当7x =时，y =∴北京市2020年年底的老年人人数约为万人，90以上老人占1.6％，×1.6％＝5.98784万人59878≈人答：预计到2020年年底，北京市90以上老人约为59878人．·········12分286.88374.24374.24374.2420.（Ⅰ）由已知，直线:l 1y =与抛物线22(0)y px p =>交于M ,抛物线C 的焦点为F ,且||1FM =.∴MF OF⊥∴由已知得：1p =，∴抛物线方程为22y x =.·······4分（Ⅱ）设00(,),(0,)(0,)Q x y D b c 且b c >,E ∴直线QD 的方程为00y b y x b x -=+即0000y b x x y bx --+=（）········6分由相切得1)(||202000=+-+-xb y bx b y ,注意到02x >化简得20002)20x b y b x -+-=（,同理得20002)20x c y c x -+-=（········8分所以,b c 方程20002)20x x y x x -+-=（的两根，∴0002||2x b c x -==-,········10分1222222211296.72313.33329.24333.35349.153324.321234553n i i i n i i x y nx yb xnx ∧==-⋅⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==++++-⨯-∑∑或4989.64864.8124.812.481010-===21．解：（Ⅰ） 2()(1)ln g x x x =+∴()212ln x g x x x x+'=+，其定义域为(0,)+∞`````````2分令()0g x '=，得212ln 0x x x x++，即222ln 10x x x ++＝，设22()2ln 1F x x x x =++，则()4ln 1F x x x '=+（），1()0F x x e '=⇒=,∴在1(0,)e 上()0F x '<，在1(,)e +∞上()0F x '>，∴()F x 在1(0,)e 单调递减，()F x 在1(,)e+∞单调递增，∴()2211(0e F x F e e -≥=>，∴函数()F x 没有零点，∴()g x 的导函数()g x '零点的个数是0.········4分（Ⅱ）[()1]2g()ax f ax x +≥2(1)2(1)ln ax ax e x x ⇔+≥+，2222(1)(1)ln (1)ln (1)ln ax ax ax ax e x x e e x x ⇔+≥+⇔+≥+，······6分令()(1)ln h x x x =+，则1()ln x h x x x+'=＋，22111()x h x x x x -''=-=，易知()h x '在0,1)（上递减，在(1,)+∞上递增，∴()(1)20h x h ''≥=>，∴()(1)ln h x x x =+在(0,)+∞上递增．∴0000002114||(2)482222QDE x S b c x x x x x ∆=-==-++≥--（当且仅当04x =时等号成立）因此QDE ∆的面积的最小值为8.·······12分.∵22(1)ln (1)ln ax ax e ex x +≥+等价于2()()ax h e h x ≥，即2ax e x ≥，·····8分∴22ln 2ln ax x e x ax x a x≥⇔≥⇔≥．设ln ()(0,)x p x x x =∈+∞，，则21ln ()0x p x x '=－＝，得x e =，()p x 在(0)e ，时递增，()p x 在(,)e +∞时递减······10分∴1()()p x p e e ≤=，∴2a e ≥．∴实数a 的取值范围为2a e ≥．·····12分22.解:(Ⅰ)l 的普通方程为:10x y +-=；曲线C 的直角坐标方程为2212x y +=…………5分.（Ⅱ）解:点P 的极坐标为224π，化为直角坐标为11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 在直线l 上,∴直线l 的参数方程为12221222x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),····6分代入曲线C的直角坐标方程得：22112()202222t t -++-=()，即2350224t t +-=,····8分56∴PA PB ⋅=121256t t t t ⋅==.······10分23.解：(Ⅰ)∵1,1a b ==设上述方程的两根为t 1,t 2，且t 1t 2=-由直线参数方程t 的几何意义，得∴()2,1112,112,1x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩·········2分当1x ≥时，()2f x x ->化为2x >，不等式的解为2x >；当11x -<<时，()2f x x ->化为220x x ->⇒<，不等式的解为10x -<<；当1x ≤-时，()2f x x ->化为2323x x ->⇒<-，所以不等式的解为1x ≤-；综上所述，不等式的解集为{|x 2x >或0x ≤}········5分(II)∵()|()()|||f x x a x b x a x b a b =-++≥--+=+，当且仅当()()0x a x b -+≤时取“＝”号又()f x 的值域是[4,)+∞，∴||a b +＝4，∵0,0a b >>∴116a b a b +⇒+++=＝4·······7分∵111111=2+241111a b a b a b b a +++++⋅+≥+++++（）（）（)(当且仅当1111b a a b ++++＝，即2a b ==时取“＝”号.)∴112113a b +≥++,当且仅当2a b ==时取“＝”号.又1111k a b +≥++恒成立，∴23k ≤∴k 的最大值是23．·······10分本答案仅供参考，其他解法酌情给分。