1.3 勾股定理的应用
1.3 勾股定理的应用---完美版
M
A
A (M)
C (D)
D
(M)
根据题意长方体盒子的长、宽、高分别为5cm、3cm、 6cm，知AD=8cm、BD=6cm. 在Rt△ABD中，由勾股定理知， AB²=AD²+BD²=8²+6²=100 解得，AB=10cm.
∴蚂蚁沿着长方体的表面爬行的最短路程是10cm.
拓展练习
若将上题中无盖的长方体盒子这个条件替换为有盖的 长方体盒子，长方体盒子的长、宽、高保持不变，思 考一下蚂蚁爬过的最短路线变了没？ H G F B
制作人： 王 勇
一、情景导入
从行政 楼A点走 到教学 楼B点怎 样走最 近？ 你能说出 这样走的 理由吗？
行政楼 A 教 学 楼
B
在同一平面内，两点之间,线段最短 在同一平面内，
二、合作探究之圆柱
以小组为单位,研究蚂蚁在圆柱体的A点沿侧面爬行 到B点的问题. 讨论：1、蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到B点？ 2、有最短路径吗？若有，哪条最短？你是怎 样找到的？
M
D C
A
1.将长方体盒 子展成平面图 形。
H G F
(H)
H
B’ F
② ①
G
B
(H)
1
B
M B’’
A (M) (F)
③
C (D)
D
(M)
AB² =100
2
M A C
D
H G F B (H)
AB’²=106
3
AB’’²=130
M A (M) C (D) D (M)
H G
F
B
G
F
B
M A C
D A C D
课后练习
1.3勾股定理的应用(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理的应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量距离或高度，却无法直接测量的情况？”比如，我们想测量学校旗杆的高度，却无法直接到达顶部。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理在解决实际问题中的奥秘。
五、教学反思
在今天的课堂中，我尝试通过生活实例导入勾股定理的应用，希望让学生感受到数学与生活的紧密联系。从学生的反应来看，这个话题确实引起了他们的兴趣，但在讲解过程中，我意识到有些学生对定理的理解还不够深入，需要我在教学中更加细致地引导。
在理论介绍环节，我尽力用简洁明了的语言解释勾股定理的概念，并通过案例让学生看到定理在解决问题中的具体应用。然而，我也发现有些学生在转换实际问题时，还是不太会灵活运用勾股定理。这让我认识到，在今后的教学中，需要加强学生对定理应用场景的识别和问题转化能力的培养。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作进行得如火如荼，他们积极参与，热烈讨论。但从成果展示来看，部分小组在解决问题时还是存在一定的困难，尤其是在单位换算和实际操作中。这说明我在教学中还要加强对这些方面的讲解和练习。
学生小组讨论环节，大家围绕勾股定理在实际生活中的应用展开了热烈的讨论。我在一旁观察，适时引导，发现学生在互相交流中碰撞出了不少思维的火花。但也有一些学生在讨论中显得较为被动，可能是因为他们对定理的理解还不够自信。为此，我计划在后续的教学中，多关注这些学生，鼓励他们大胆表达自己的想法。
-在实际问题中，能够准确地识别出直角三角形，并将问题简化为勾股定理的应用；
-掌握在勾股定理应用中的单位换算，如长度单位、角度单位等，确保计算准确无误。
人教版八年级下语文1.3 勾股定理的应用
1.3 勾股定理的应用1．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支O路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（）．A . 2mB．3mC．6mD．9m2．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2 m，坡角∠A ＝30°，∠B＝90°，BC＝6 m．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝m时，有DC2＝AE2＋BC2．3．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．4．如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为8 cm，圆柱的半径为6cm，那么最短路径AB长( )．A．8B．6C．平方后为208的数D．105．一个圆桶，底面直径为24 cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为( ) ．A．24cmB．32cmC．40 cmD．456．已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160 m，再向东直走80 m 后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少米后，他与神仙百货的距离为340 m？A．100B．180C．220D．2607. 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m,8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．8．飞机在空中水平飞行．．．．，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000 m处，过了20秒，飞机距离这个女孩头顶5000 m，则飞机速度是多少？参考答案1.C142.33. 154.D5.C6.C7. 周长=8+8+82=16+82．8.150 m/s.。
1.3 勾股定理的应用
一只蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P 的最短距离是( A. 4 + C.6 cm
6 π
) B.5 cm D.7 cm
cm
关闭
B
答案
8Leabharlann 快乐预习感知互动课堂理解 1 2
轻松尝试应用 3 4 5 6 7
2.如图,一轮船以 16 n mile/h 的速度从港口 A 出发向 东北方向航行,另一轮船以 12 n mile/h 的速度同时从 港口 A 出发向东南方向航行,离开港口 2 h 后,两船相 距( ) A.25 n mile C.35 n mile B.30 n mile D.40 n mile
6
快乐预习感知
互动课堂理解
轻松尝试应用
点拨:长方体给出的长、宽、高三个数据,把较小两个数据的和 作为一条直角边的长,最大的数据作为另一条直角边的长,这时斜边 的长即为最短距离.
7
快乐预习感知
互动课堂理解 1 2
轻松尝试应用 3 4 5 6 7
1.如图,圆柱的底面周长为 6 cm,AC 是底面圆的直 径,高 BC=6 cm,点 P 是母线 BC 上一点,且 PC= BC.
6.如图所示为某湖的一角,AC=720m,凉亭 B 距 C 点 210m,∠ACB=90° ,小明步行沿 AC—CB 到凉亭休息,速度为 100m/min,小华同时划船从 A 直接到凉亭 B,速度为 50m/min,他们谁 先到达凉亭,先到者需要等几分钟?
关闭
小明所用时间为(720+210)÷ 100=9.3(min). 因为 AB2=AC2+BC2=562500=7502,所以 AB=750(m).于是小华所用时间为 750÷ 50=15(min). 由于 15-9.3=5.7(min), 故小明先到达凉亭,需要等 5.7min.
人教版八年级数学下册课件：17.1勾股定理--1.3 勾股定理在几何中的应用
l
B
0 1 2 A•3 C 4
6
知识点一：利用勾股定理在数轴上表示实数
新知探究
1、利用同样的方法，可以在数轴上画出表示
7
知识点一：利用勾股定理在数轴上表示实数
新知探究
2、利用勾股定理，可以作出长为 ， ， …的线段.
1 12
34 5
8
知识点一：利用勾股定理在数轴上表示实数
学以致用
3.在每个小正方形的边长为1的网格图中，每个小正方形的顶
点称为格点，以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，
向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，
H都是格点，且四边形EFGB为正方形，我们把这样的图形称
为格点弦图，例如，在图①所示的格点
弦图中，正方形ABCD的边长为 时，
正方形 EFCH的面积的所有可能值
17
知识点二：利用勾股定理解决几何问题
归纳总结
利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法： 作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然 后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理或列方程的 方法解决问题．
18
知识点二：利用勾股定理解决几何问题
学以致用
1. 如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
A. B. C. D.
13
知识点一：利用勾股定理在数轴上表示实数
学以致用
4.如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上， 若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M， 则点M表示的数为( C )
A. 2 B. -1 C. -1 D.
14
知识点一：利用勾股定理在数轴上表示实数
北师版八年级数学上册作业课件(BS) 第一章 勾股定理 勾股定理的应用
8．(2020·锦州期末)如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处(车 尾到大厦墙面)，升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问： 发生火灾的住户窗口距离地面多高？
解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC2＝AB2 －AC2＝152－92＝144，∴BC＝12米，∴BD＝12＋2＝14(米).答：发生火灾的住户窗 口距离地面14米
A．5≤a≤2 B．5≤a≤13 C．12≤a≤13 D．12≤a≤15
11．(2020·迎泽月考)一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形 DEFH的边长为2米，∠B＝90°，AB＝8米，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么 位置，即当AE＝( C )米时，有DC2＝AE2＋BC2.
数学 八年级上册 北师版
第一章 勾股定理
1．3 勾股定理的应用
1．如图，正方体的边长为1，一只蚂蚁从正方体的一个顶点A爬行到另一个顶点B， 则蚂蚁爬行的最短距离的平方是( ) D
A.2 B．3 C．4 D．5
2．(2020·沈河期中)如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿 着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为( A )
17．为筹备元旦晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色涂成白色，然后缠绕 彩纸(彩纸宽度忽略不计)．如图，已知圆筒高108 cm，其截面周长为36 cm，如果在 表面上缠绕彩纸4圈，应剪多长的彩纸？
解：将圆筒展开，可得长方形，整个彩纸也随之分成相等的4段，如图，只需求出 每一段所需的彩纸的长度AC即可，在Rt△ABC中，AB＝36 cm，BC＝108÷4＝ 27(cm)，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝362＋272＝2 025，所以AC＝45 cm，故 整个彩纸的长为45×4＝180(cm)
八年级数学上册第一章勾股定理第三节勾股定理的应用教案北师大
1.3 勾股定理的应用课题 1.3 勾股定理的应用课型新授课教学目标知识技能：通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．过程与方法：在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．情感态度价值观：在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．重难点利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的重点也是难点教学用具圆柱体纸筒正方体盒子长方体盒子教学环节说明二次备课复习新课导入课程讲授（一）情景引入活动1：如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？（合作探究：学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．)方法汇总：汇总了四种方案：（1）（2）（3）（4）A’A’A’北东CB A （1）中A →B 的路线长为：'AA d +．（2）中A →B 的路线长为：''AA A B +>AB ．（3）中A →B 的路线长为：AO+OB>AB ．（4）中A →B 的路线长为：AB ．活动2：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 边和BC 边是否分别垂直于底边AB ，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD 长是30厘米，AB 长是40厘米，BD 长是50厘米，AD 边垂直于AB 边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB 边吗？BC 边与AB 边呢？（二）简单应用例1：甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h 的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h 的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？例2：有一个高为1.5 m ，半径是1m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m ，问这根铁棒有多长？（三）当堂检测1. 如图，台阶A 处的蚂蚁要爬到B 处搬运食物，它怎么走最近？并求北东C B A 出最近距离．（四）拓展延伸如图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗?请你与同同伴交流设计方案?小结 学生畅谈收获：知识上和方法上的。
八年级数学上册《第一章3 勾股定理的应用》讲解与例题
《第一章3 勾股定理的应用》讲解与例题1．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离长方体(或正方体)是立体图形，但它的每一个面都是平面．假设计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，假设计算不同面上的两点之间的距离，就必需把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，如此就能够够利用勾股定理加以解决了．因此立体图形中求两点之间的最短距离，必然要审清题意，弄清楚究竟是同一平面中两点间的距离问题仍是异面上两点间的距离问题．谈重点 长方体表面上两点间最短距离因为长方体的展开图不止一种情形，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．只是要留意展开时的多种情形，尽管看似很多，但由于长方体的对面是相同的，因此归纳起来只需讨论三种情形——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【例1－1】 如图①是一个棱长为3 cm 的正方体，它的6个表面都别离被分成了3×3的小正方形，其边长为1 cm.此刻有一只爬行速度为2 cm/s 的蚂蚁，从下底面的A 点沿着正方体的表面爬行到右边表面上的B 点，小明把蚂蚁爬行的时刻记录了下来，是2.5 s ．通过简短的试探，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光．你明白小明什么缘故会佩服这只蚂蚁的举动吗？ 解：如图②，在Rt△ABD 中，AD ＝4 cm ，BD ＝3 cm.由勾股定理，AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋42＝25，AB ＝5 cm ，∴蚂蚁的爬行距离为5 cm. 又明白蚂蚁的爬行速度为2 cm/s ，∴它从点A 沿着正方体的表面爬行到点B 处，需要时刻为52＝2.5 s.小明通过试探、判定，发觉蚂蚁爬行的时刻恰恰确实是选择了这种最优的方式，因此他感到惊讶和佩服． 【例1－2】 如图，一只蚂蚁从实心长方体的极点A 动身，沿长方体的表面爬到对角极点C 1处(三条棱长如下图)，问如何走线路最短？最短线路长为多少？解：蚂蚁由A 点沿长方体的表面爬行到C 1点，有三种方式，别离展成平面图形如下：如图①，在Rt△ABC 1中，AC 21＝AB 2＋BC 21＝42＋32＝52＝25. 故AC 1＝5.如图②，在Rt△ACC 1中，AC 21＝AC 2＋CC 21＝62＋12＝37. 如图③，在Rt△AB 1C 1中，AC 21＝AB 21＋B 1C 21＝52＋22＝29.∵25＜29＜37，∴沿图①的方式爬行线路最短，最短的线路是5.点技术巧展长方体求解此类问题时只需对长方体进行部份展开，画出局部的展开图，假设将长方体全数展开，不仅没有必要反而会扰乱视线．2．圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其表面看两点之间的连线绝大部份是曲线，那么如何确信哪一条是最短的呢？解决问题的方式是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定明白得决，而不能盲目地凭感觉来确信．【例2】如图①所示，一只蚂蚁在底面半径为20 cm，高为30π cm的圆柱下底的点A处，发觉自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引发这只小昆虫的注意，它故意不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺旋线路，从背后对小昆虫进行突然攻击，结果蚂蚁偷袭成功，取得了一顿美餐．依照上述信息，请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕捉到小昆虫？分析：解此题的关键是把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短和勾股定理作答．解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开摊平如图②，那么对角线AB即为蚂蚁爬行的最短线路．在Rt△ACB中，AC＝40π cm，BC＝30π cm.由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝(40π)2＋(30π)2＝(50π)2，∴AB＝50π cm.∴蚂蚁至少爬行50π cm才能捕捉到小昆虫．谈重点圆柱体两点间的最短距离此题文字表达较多，要求在阅读的基础上提炼有效的信息，具体解题时先将圆柱沿AB剪开，将侧面展开成一矩形，会发觉对角线AB即为蚂蚁爬行的最短线路，再运用勾股定理即可求得．3．生活中两点间的最短距离用勾股定明白得决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答．【例3】如图①是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高别离为5 dm,3 dm和1 dm，A和B是那个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点动身，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？分析：由于蚂蚁是沿台阶的表面由A爬行到B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图②)．解：将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 dm，BC＝3×(3＋1)＝12 dm，∠C＝90°.在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝52＋122＝132，∴AB＝13 dm.故蚂蚁爬到B点的最短路程是13 dm.4．如何正确利用勾股定理及其逆定明白得决生活中的问题利用勾股定理及其逆定明白得决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”，再转化为“数”．解题的关键是深刻明白得题意，并画出符合条件的图形．解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是： (1)把立体图形展成平面图形； (2)确信点的位置； (3)确信直角三角形；(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．【例4】 如图①，圆柱形玻璃容器的高为18 cm ，底面周长为60 cm ，在外侧距下底1 cm 的点S 处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1 cm 的点F 处有一只苍蝇，急于捕捉苍蝇果腹的蜘蛛需要爬行的最短距离是__________cm.解析：将圆柱的侧面展开取得它的侧面展开图(如图②)，CD ∥AB ，且AD ＝BC ＝12底面周长，BS ＝DF ＝1 cm.那么蜘蛛所走的最短线路的长度即为线段SF 的长度．过S 点作SM ⊥CD ，垂足为M ，由条件知，SM ＝AD ＝12×60＝30 cm ，MC ＝SB ＝DF ＝1 cm ，因此MF ＝18－1－1＝16 cm ，在Rt△MFS 中，由勾股定理得SF 2＝162＋302＝342，因此SF ＝34 cm.故蜘蛛需要爬行的最短距离是34 cm.答案：345．勾股定理与方程相结合的应用方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元成立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题取得解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．【例5】 如图，有一张直角三角形状纸片ABC ，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？解：设CD ＝x cm ，由题意知DE ＝x cm ，BD ＝(8－x ) cm ，AE ＝AC ＝6 cm ，在Rt△ABC 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝10 cm. 于是BE ＝10－6＝4 cm.在Rt△BDE 中，由勾股定理得42＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝3. 故CD 的长为3 cm.。
初中数学北师大版八年级上册《13勾股定理的应用》教学设计
北师大版数学八年级上册1.3勾股定理的应用教学设计师：1. 勾股定理的内容是什么？如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.2. 勾股定理的逆定理是什么？a2+b2=c2三角形是直角三角形3.欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132；AB＝13米.提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．合作探究蚂蚁爬行的最短（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（2）如图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？师：想一想为什么线段AB是最短的路线？（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？已知圆柱的高是12，∴AA'=12；底面周长是18，∴A'B=9；∴AB2=AA'2+A'B2=144+81=225，∴AB=15答：爬行的最短路程是15cm。
【总结提高】求圆柱侧面上两点间的最短路线长的方法：路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．生：两点之间，线段最短【解】设滑道AC的长度为xm，则AB的长度为xm，AE的长度为（x－1）m,在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x－1)2+32=x2，解得x=5.故滑道AC的长度为5m.1.如图，正方体的边长为1，一只蚂蚁沿正方体的表面从一个顶点A爬行到另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短路程的平方是( D )。
A．2 B．3 C．4 D．52.已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是__5KM______；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的____正北____方向．3.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险。
北师大版八年级上册1.3勾股定理的应用 课件(共15张ppt)
试一试
中国人民的聪明智 慧真的让人叹服！
例3 在我国古代数学著作《九章算术》中记载 了一道有趣的问题，“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各 几何？”这个问题的意思是：有一个水池，水面是 一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生 的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向 岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池 的深度和这根芦苇的长度各为多少？
解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为
x+1尺。由勾股定理得
5
x2 +52=(x+1)2 x2 +25= x2+2x+1
x x+1
24= 2x
x=12
x+1=13（尺）
答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺
小试牛刀
练习2
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水 平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯 的高度ＣＥ＝３ｍ，ＣＤ＝１ｍ，试求滑 道ＡＣ的长
（2）量得AD长是30厘米，AB 长是40厘米，BD长是50厘米。 AD边垂直于AB边吗？
（3)如果李叔叔随身只有一个长 度为20厘米的刻度尺，能有办法 检验AD边是否垂直于AB边吗？ 边BC与边AB呢？
议一议
勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？
勾股定理主要应用于在直角三角形中求线段 的长度，甚至周长或面积。
如果将圆柱侧面剪开展开成 一个长方形,从A点到B 点的最短路 线是什么?你画对了吗?
例题解析
h 12
C
B
A
解：由题意得展开图，知AB即为最短路径，其中 AC 12, BC 1 18 9 2 在RtABC 中，有 ＡＣ２＋ＢＣ２＝１２２＋９２＝２２５＝ＡＢ２ ＡＢ＝１５ 故最短路径是15cm。
北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》教学设计
北师大版八年级数学上册：1.3《勾股定理的应用》教学设计一. 教材分析《勾股定理的应用》是人教版八年级数学上册第1章第3节的内容。
本节主要让学生掌握勾股定理在实际问题中的应用。
教材通过引入实际问题，引导学生运用勾股定理解决问题，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了勾股定理的定义和证明，对勾股定理有了初步的了解。
但学生在实际应用勾股定理解决实际问题时，可能会遇到一些困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习困难，引导学生正确运用勾股定理解决问题。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解勾股定理的应用，并能运用勾股定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维。
四. 教学重难点1.重点：引导学生理解勾股定理的应用。
2.难点：如何引导学生运用勾股定理解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
2.案例教学法：通过分析典型例题，引导学生掌握勾股定理的应用方法。
3.小组合作学习法：学生在小组内讨论问题，培养学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备典型例题和练习题。
2.学生准备：预习本节内容，了解勾股定理的定义和证明。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，如直角三角形的边长关系，引导学生回顾勾股定理的内容。
2.呈现（10分钟）教师展示典型例题，如直角三角形斜边长度的计算。
引导学生运用勾股定理解决问题。
3.操练（10分钟）学生独立完成练习题，巩固勾股定理的应用。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，分享各自解决问题的方法。
学生互相评价，总结勾股定理的应用技巧。
5.拓展（10分钟）教师提出一些生活中的实际问题，引导学生运用勾股定理解决问题。
北师大版八上数学勾股定理的应用课件(共22张)
知2－练
•
去探宝旅游，按照探宝图，他们在点A登陆后先
•
往东走8 km到达C处，又往北走了2 km，遇到障
•
碍后又往西走了3 km，再往
•
北走了6 km后往东拐，仅走了
•
1km就找到了藏宝点B，如
•
图 ， 登 陆10点kmA 到 藏 宝 点 B 的
感悟新知
知2－练
•导引：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D，连接AB
感悟新知
• 例2 • • • • •
知2－练
〈探究题〉如图，长方体的高为3 cm，底面是
正方形，其边长为2 cm.现有一只蚂蚁从A处出
发，沿长方体表面到达C处，则蚂蚁爬行的最 短路线的长为( B )
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．7 cm
感悟新知
知2－练
• 解： 考虑将长方体表面展开成平面图形的各种情况，
感悟新知
知1－练
• 例 1 如图，有一个圆柱状的玻璃杯，高为12 cm，底
•
面周长为18 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点C处
•
有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离
•
杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到蜂
15 cm
蜜
•
的最短路线长为________．
感悟新知
导引： 紧扣圆柱上最短路线的确定方法，确定路线，知1－练 再利用勾股定理求路线的长. 解: 如 作CD⊥ FA 于D， 作A 关于EF 的对称点A′， 连图接，A′ C，与EF 交于B，连接AB，则A → B → C 为最短路 线. 由题意知DC=9 cm，FD=8 cm，FA′ =4 cm， 在Rt △ A′DC 中，A′C2=A′D2+DC2 =（FA′ +FD）2+DC2=（4+ 8）2+92 =225=152，故A′C=15 cm.
北师大版数学八年级上册1.3《勾股定理的应用》课件 (共19张PPT)
从行政 楼A点走 到教学 楼B点怎 样走最 近？ 你能说出 这样走的 理由吗？
行政楼 A 教 学 楼
B
在同一平面内，两点之间,线段最短 在同一平面内，
在一个圆柱石凳上，若小明在
吃东西时留下了一点食物在B处，
恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一 信息，于是它想从A 处爬向B处， 你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
A
解：设水池的水深AC为x，则这根芦苇长AD=AB=（x+1），
在直角三角形ABC中，BC=5 由勾股定理得，BC2+AC2=AB2
即
52+ x2= (x+1)2 25+ x2= x2+2x+1， 2 x=24，
∴ x=12， x+1=13 答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图（1），当他们把绳 子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，如图（2），你能帮 他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？请你与同伴交流并回 答用的是什么方法.
AB 12 (3 3) AB 15
2 2 2
A
’
3
O
B
侧面展开图
A’
12
3π
B
12
A
A
你学会了吗?
例1 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好A 点的正上方B点，问梯子最短需多少米?(已知：油罐的底面半 径是2 m，高AB是5 m，π 取3） B B B＇
A
A
A'
解：圆柱形油罐的展开图如图，则AB＇为梯子的 最短距离.AA＇=12, A＇B＇=5,所以AB ＇=13.
B
A
B
北师大版八上数学1.3.勾股定理的应用知识精讲
13.勾股定理的应用1、定理内容：文字形式：直角三角形的两直角边的平方和，等于斜边的平方。
几何形式：如果直角三角形的直角边分别为a、b,斜边为c ,那么a2+b2 = c22、相关知识链接：直角三角形1）我国古代把直角三角形中较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦；2）汉代数学家赵爽把勾股定理叙述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦；3）国外称之为毕达哥拉斯定理；4）也有人称勾股定理为千古第一定理。
3、勾股定理的作用：1）己知直角三角形的两边长，求第三边长；2）知道一边长时，能够确定直角三角形的其余两个边长之间的关系；3）在证明含平方问题时，有时就可以考虑构造直角三角形帮助解决问题。
4、勾股定理的各种表达式在中，，A、B、C的对边分别为a、b、c,则，，，，，。
5、定理证明及典型例题：例1、已知：中，匕0 90,Z B. N C的对边为a、b、c。
求证：a2+b2=c2o证明方法一：取四个与R t AABC全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的正方形。
如图，正方形ABCD的面积=4个直角三角形的面积+正方形PQRS的面积・，.（a + b ）2 = 1/2 ab x 4 4- c2a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2故a2 + b2 =c2证明方法二：图1中，甲的面积=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积）。
图2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积）。
四个直角三角形的面积和+小正方形的面积=大正方形的面 积，2ab + ( a —b ) 2 =。
2,2ab + a 2 — 2ab + b 2 = c 2故 a 2 + b 2 = c 2证明方法四：梯形面积=三个直角三角形的面积和1/2x(a^b)x(a + b) = 2x1/2xaxb - 1/2 x c x c(a + b 沪=2ab + c 2a 2 + 2ab + b 2 = 2ab +c 2故 a 2 + b 2=c 2例 2、在 Rt^ABC , zC = 90° ⑴已知a = b = 5 ,求c 。
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12
12 A A 8 8 8
李叔叔想检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于 Nhomakorabea边AB，
随身只带了一把卷尺.
（1）量得AD长是30 cm，AB长是 40 cm，BD长是50 cm.AD边垂直于 AB边吗？
D C B
解：因为AD2+AB2=302+402=502=BD2， A
所以△DAB为直角三角形，∠DAB=90°
1
丈：长度单位.1丈=10尺
5
葭：芦
解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为
（x+1）尺，由勾股定理得
x2+52=(x+1)2， x2+25=x2+2x+1， 2x=24，
x＝12.
1
5
x
x+1
答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺.
1．（钦州·中考）如图是一张直角三角形的纸片， 两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ B ）
能否判断这个三角形是否是直角三角形？
早上7：00，哈利从家出发，以100米/分的速度向 西走5分钟，在十字路口左转后，又以120米/分 的速度向南走10分钟，到达学校。
1、早上哈利共走了多少路程？ B 2、家到学校的距离是多少？
解：由勾股定理得： AC2=AB2+BC2 =5002+12002 =1690000 因为AC>0,所以AC=1300米。
3 勾股定理的应用
1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件 （即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题. 2.数学思考、解决问题：在将实际问题抽象为 数学问题的过程中，学会观察图形，提高分析
问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
1.什么是勾股定理？ 2.一个三角形的三条边长为a,b,c(c>a,c>b），
故AD边垂直于AB边.
（2）若随身只有一个长度为 20 cm的刻度尺，能有办法检 验AD边是否垂直于AB边吗？ 解：在AD上取点M,使AM=9,在
D A C B
AB上取点N使AN=12,测量MN是
否是15，是，就是垂直；不 是，就是不垂直.
《九章算术》中的趣题
【例】“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺. 引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？” 注：方:正方形 苇．
AB 12 (3 3) 225， AB 15
2 2 2
3 A
12’
O
B
A’ 3π
B
12
A
侧面 展开 图
A
巩固练习
2、一个无盖的长方形盒子的长、宽、高分别是 8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬 到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线 吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ B B 8
A.4 cm C.6 cm
C
B.5 cm D.10 cm
D
A B
E
2．有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油
桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一
铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问 这根铁棒有多长？
解：设伸入油桶中的长度为x m,则最长时:
x 1.5 2 ,
2 2 2
x 2.5 .
所以最长是2.5+0.5=3(m).
最短时: x 1.5,
所以最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间.
3．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶
点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已 知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不 变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？
B
A
B
B
A
解：因为从A到B最短路径AB满足AB2=202+102=500 ＞400，所以不能在20s内从A爬到B.
4．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，
它怎么走最近？并求出最近距离.
20 3 2
B
A
解：将其展开得如图示意图.
所以 AB 15 20 625 25 ,
2 2 2 2
500
A
1200
北
C
问题情景
1、如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底 面半径等于3cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂 蚁，它想吃到地面上与A点相对的B点处的食物， 沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π取3)
A’
d B
蚂蚁A→B的路 线
A’ A
B
A
O B
A
B A
若已知圆柱体高为12cm，底面半径为 3cm，π取3，则:
所以最近的距离为25.
【规律方法】将立体图形展开成平面 图形,找出两点间的最短路径,构造直 角三角形，利用勾股定理求解.
运用勾股定理解决实际问题时，应注意：
1.没有图的要按题意画好图并标上字母. 2.有时需要设未知数，并根据勾股定理列
出相应的方程来解.
数学是无穷的科学.
——赫尔曼外尔
作业布置 全品第5页 3勾股定理的应用