数学竞赛辅导托勒密定理一

托

勒密定理 Ptolemy (约公元85年~165年)，希腊数大天文学家，他的主要着作《天文集》被后人称为“伟大的数学书”。 托勒密定理 圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和。 已知：四边形ABCD 内接于圆，如图，求证：AB·CD+BC·AD=AC·BD

证明：在∠BAD 内作∠BAE =∠CAD ，交BD 于E 。

因∠ABE=∠ACD ，所以△ABE ∽△ACD ， 从而AB·CD =AC·BE ①；

易证△ADE ∽△ACB ，所以BC·AD=AC·DE ②；

①+②得AB·CD+BC·AD=AC·BD 。

托勒密定理的逆定理：如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积，此四边形必内接于圆。

已知四边形ABCD 满足AB·CD+BC·AD=AC·BD ， 求证：A 、B 、C 、D 四点共圆。

证明：构造相似三角形，即取点E ，使∠BCE =∠ACD ，且∠CBE =∠

CAD ，则△CBE ∽△CAD 。所以BC·AD=AC·BE ①；

又CD CA CE CB =，∠BCA =∠ECD ，所以△BCA ∽△ECD 。AB·CD =AC·DE ②；①+②得AB·CD+BC·AD=AC·（BE+DE ）。显然有BE+DE≥DB 。

于是AB·CD+BC·AD≥AC·DB 。等号当且仅当E 在BD 上成立，结合已

知条件得到此时等号成立，这时∠CBD =∠CAD ，即A 、B 、C 、D 四点共圆。 托勒密定理的推广 托罗密不等式在四边形ABCD 中， 有AB·CD+AD·BC≥AC·BD. 并且当且仅当四边形内接于圆时，等式成立。

推论1（三弦定理） 如果A 是圆上任意一点，AB ，AC ，AD 是该圆上顺次的三条弦，则sin sin sin AC BAD AB CAD AD CAB ⋅∠=⋅∠+⋅∠

推论2（四角定理） 四边形ABCD 内接于O e ，则

直线上的托勒密定理（或欧拉定理） 若A ，B ，C ，D 为一直线上依次排序的四点，则AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅

一、直接应用托勒密定理

例1如图，P 是正△ABC 外接圆的劣弧

上任一点(不与B 、C 重合)，

求证：PA=PB ＋PC ．

分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为

繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA ·BC=PB ·AC ＋PC ·AB ，

∵AB=BC=AC ． ∴PA=PB+PC ．

二、完善图形借助托勒密定理

例2证明“勾股定理”：在Rt △ABC 中，∠B=90°，求证：AC 2=AB 2＋BC 2 E B

D A A D C B E

证明：如图，作以Rt △ABC 的斜边AC 为一对角线的矩形ABCD ，显然ABCD 是圆内接四边形．

由托勒密定理，有 AC ·BD=AB ·CD ＋AD ·BC ． ①

又∵ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AD=BC ，AC=BD ．②

把②代人①，得AC 2=AB 2＋BC 2．

例3如图，在△ABC 中，∠A 的平分线交外接∠圆于D ，连结BD ，

求证：AD ·BC=BD(AB ＋AC)．

证明：连结CD ，依托勒密定理，有AD ·BC ＝AB ·CD ＋AC ·BD ．

∵∠1=∠2，∴ BD=CD ．

故 AD ·BC=AB ·BD ＋AC ·BD=BD(AB ＋AC)．

三、构造图形借助托勒密定理

例4若a 、b 、x 、y 是实数，且a 2＋b 2=1，x 2＋y 2=1．求证：ax ＋by ≤1．

证明：如图作直径AB=1的圆，在AB 两边任作Rt △ACB 和Rt △ADB ，

使AC ＝a ，BC=b ，BD ＝x ，AD ＝y ．

由勾股定理知a 、b 、x 、y 是满足题设条件的．

据托勒密定理，有AC ·BD ＋BC ·AD=AB ·CD ．

∵CD ≤AB ＝1，∴ax ＋by ≤1．

四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理

例5已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2=b(b ＋c)，求证：∠A=2∠B ．

分析：将a 2=b(b ＋c)变形为a ·a=b ·b ＋bc ，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b ，两对角线为a ，一底边为c ．

证明：如图，作△ABC 的外接圆，以 A 为圆心，BC 为半径作弧交圆于D ，连结BD 、

DC 、DA ．∵AD=BC ，¼

¼ACD BDC =∴∠ABD=∠BAC ． 又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．

依托勒密定理，有BC ·AD=AB ·CD ＋BD ·AC ．①

而已知a 2=b(b ＋c)，即a ·a=b ·c ＋b 2． ②

∴∠BAC=2∠ABC ．

五、巧变形妙引线借肋托勒密定理

例6在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶4，

分析：将结论变形为AC ·BC ＋AB ·BC=AB ·AC ，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形．

如图，作△ABC 的外接圆，作弦BD=BC ，边结AD 、CD ．

在圆内接四边形ADBC 中，由托勒密定理，

有AC ·BD ＋BC ·AD=AB ·CD

易证AB=AD ，CD=AC ，∴AC ·BC ＋BC ·AB=AB ·AC ，

作业

1.已知△ABC 中，∠B=2∠C 。求证：AC 2=AB 2+AB ·BC 。

2.证明：从圆周上一点到圆内接正方形的四个顶点的距离不可能都是有理数．

3.若a ≥b ≥c ＞0，且a ＜b +c ，解方程ax b x c c x b =-+-2222。

4.如图，圆O 外接于正方形ABCD ，P 为弧AD 上的任意一点，

求证PB PC PA +为定值。 O

C P