数学竞赛辅导托勒密定理一
证明托勒密(ptolemy)定理
证明托勒密(ptolemy)定理
【提纲】
1.介绍托勒密定理
托勒密定理，又称托勒密-费马定理，是一个关于三角形内角和与边长之间关系的数学定理。
该定理的表述为：在同一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2.证明托勒密定理的步骤
证明托勒密定理的方法有多种，这里我们以几何证明法为例：
（1）假设三角形ABC的三边长分别为a、b、c，其中a+b>c、
a+c>b、b+c>a；
（2）作边BC的平行线，交边AC于点D，构造三角形ABD和DBC；
（3）根据平行线性质，可知∠ADB=∠C，∠BDA=∠BC；
（4）在三角形ABD和DBC中，根据三角形内角和为180°，可得
∠ABD+∠ADB+∠BDA=180°；
（5）将∠ADB和∠BDA替换为∠C和∠ABC，得到
∠ABC+∠ABD+∠C=180°；
（6）同理，可得∠ABC+∠ADB+∠BC=180°；
（7）将（4）和（6）两式相减，得到∠AB D-∠C=∠C-∠ABC；
（8）根据步骤1中的条件，可知a+b>c，故∠ABD>∠C，同理
∠C>∠ABC；
（9）结合（7）式，得到∠ABD>∠C>∠ABC，即证明了托勒密定理。
3.托勒密定理的应用
托勒密定理在几何学中具有广泛的应用，如在解决三角形的判定、性质、最值等问题时，都可以利用托勒密定理进行求解。
此外，托勒密定理还可以与其他定理相结合，如与勾股定理、相似三角形等定理相互验证。
4.结论
托勒密定理是一个重要的几何定理，通过几何证明法可以简洁明了地证明其正确性。
专题：三角之托勒密定理
专题：三角之托勒密定理知识梳理克罗狄斯·托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号。
即圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．精选例题习题1.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，BD=42，且△ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为()A.8B.16C.83D.1632.克罗狄斯·托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上一点，以AB为一边作等边三角形ABC，则当线段OC的长取最大值时，∠AOC=()A.30°B.45°C.60°D.90°3.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC,BD是其两条对角线，BD=8，且△ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为()A.83B.163C.243D.3234.数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“cos2a=1-2sin2a”所用的几何图形，已知点B,C在以线段AC为直径的圆上，D为弧BC的中点，点E在线段AC上且AE=AB,点F为EC的中点.设AC=2r,∠DAC=a,那么下列结论:①DC=2r cos a,②AB=2r cos2a,③FC=r1-cos2a,④DC2=r2r-AB.其中正确的是()A.②③B.②④C.①③④D.②③④5.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是以其名字命名的重要定理，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，AC=2，△BCD为正三角形，则△ABD面积的最大值为；四边形ABCD的面积为.(注：圆内接凸四边形对角互补)6.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，BD=4，且△ACD为正三角形，则△ABC面积的最大值为，四边形ABCD的面积为.(注：圆内接凸四边形对角互补)7.托勒密定理指“圆内接凸四边形ABCD两组对边乘积的和等于两条对角线的积”.若直径AC=2，AB=2AD=1，则BD=，cos A=.8.托勒密是古希腊天文学家､地理学家､数学家.托勒密定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形ABCD的四个顶点在同一圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，△BCD的三个内角所对的圆弧长均相等，且AC=4米，则四边形ABCD的面积为平方米.9.托勒密定理是数学奥赛中的常用定理，该定理指出：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.如图，已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AD=CD，cos∠ACD=35，BD=5，则四边形ABCD的面积为.10.托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC,BD是其两条对角线，AB=AD，∠BAD=120∘，AC=6，则四边形ABCD的面积为．。
赣县中学高中数学竞赛平面几何第9九讲托定理勒密
第九讲托勒密（Ptolemy）定理一、知识要点：1、托勒密定理：圆内接凸四边形两组对边乘积之和等于两条对角线之积，即已知，如图，四边形ABCD为圆内接凸四边形，则有 AB·CD+AD·BC =A C·BD ADB C托勒密定理的逆定理：如果凸四边形的两组对边的乘积之和等于对角线之积，那么这个四边形是圆内接四边形。
即：如图，若AB·CD+AD·BC =A C·BD，则A、B、C、D四点共圆。
ADB C托勒密定理的推广：在任意凸四边形ABCD中，有AB·CD+AD·BC ≥A C·BD，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。
DAB C二、要点分析：托勒密定理可以用于线段长的转换，其逆定理可用于证明四点共圆。
三、 例题讲解：例1、设ABCD 为圆内接正方形，P 为弧DC 上的一点，求证：PA(PA+PC)=PB(PB+PD) PD CA B例2、如图，设P 、Q 为平行四边形ABCD 的边AB 、AD 上的两点，APQ ∆的外接圆交对角线AC 于R ，求证：A P ·AB+AQ ·AD=AR ·RCDA B CQP R例3、已知ABC ∆中，C B ∠=∠2,求证：AC 2=AB 2+AB ·BCAB C例4、如图所示，已知两同心圆O,四边形ABCD 内接于内圆，AB 、BC 、CD 、DA 的延长线交外圆于A 1、B 1、C 1、D 1，若外圆的半径是内圆的半径的2倍，求证：四边形A 1B 1C 1D 1的周长≥四边形ABCD 的周长的2倍，并确定等号成立的条件。
D 1例5、已知ABC ∆中，AB>AC,A ∠的一个外角平分线交ABC ∆的外接圆于点E,过E 作EF ⊥AB,垂足为F （如图），求证：2AF=AB-ACABC EF第九讲 托勒密（Ptolemy ）定理练习1、 如图，已知圆内接正五边形ABCDE,若P 为弧AB 上一点，求证：PA+PD+PB=PE+PC AB C D EP2、 ABCD 为圆内接四边形，DC=BC ，对角线DB 与AC 交于E,若CE ：EA=1：3，AB+AD=m,求BD 的长。
初二秋.第09讲.Ptolemy定理.联赛班
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初二秋·第 09 讲·联赛班·教师版
BAD BCD 90 ，AB 2 ， CD 1 ，对角线 AC 、 BD 【例7】 凸四边形 ABCD 中， ABC 60 ， 交于点 O ，如图，求 sin AOB ．
C D O A B P A D O B C
【解析】 因 BAD BCD 90° ，则 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆，延长 BA ， CD 交于 P ， 则 ADP ABC 60°． 设 AD x ，有 AP 3x ， DP 2 x ． BP 4 3 ． 由割线定理，有 (2 3x) 3x 2x(1 2x) ，求得 AD x 2 3 2 ， BC 2 对四边形 ABCD 应用托勒密定理，有 BD AC (4 3)(2 3 2) 2 1 10 3 12 ．
MH NH 3． OH
2 2 2 2 【拓2】 若 a 、 b 、 x 、 y 是正实数，且 a b 1，x y 1 ． 求证： ax by ≤1 ．
C a A y x D b B
【解析】 如图构造直径 AB 1 的圆，在 AB 两边任作 Rt△ACB 和 Rt△ADB ， BC b ， BD x ，AD y ． 使 AC a ， a 由勾股定理知 、 b 、 x 、 y 是满足题设条件的． 据托勒密定理，有 AC BD BC AD AB CD ． ∵ CD ≤ AB 1 ，∴ ax by ≤1 ．
证明托勒密(ptolemy)定理
证明托勒密(ptolemy)定理【最新版】目录1.托勒密定理的定义与概述2.托勒密定理的证明方法概述3.纯几何法证明托勒密定理4.托勒密定理的应用5.总结正文托勒密定理是数学中的一个重要定理，该定理描述了圆内接四边形对角线的乘积与两对对边乘积之间的关系。
具体来说，定理指出：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。
本文将介绍托勒密定理的证明方法，并简要讨论其应用。
一、托勒密定理的定义与概述托勒密定理最早由古希腊数学家托勒密提出，他在《几何原本》一书中详细阐述了该定理。
托勒密定理在数学中有着广泛的应用，尤其是在几何学、代数学以及数论等领域。
二、托勒密定理的证明方法概述托勒密定理的证明方法有很多，如三角法、复数法、纯几何法等。
下面我们将详细介绍纯几何法的证明过程。
三、纯几何法证明托勒密定理纯几何法是利用几何图形的性质来证明托勒密定理。
具体证明过程如下：1.在圆内接四边形 ABCD 中，作 AE 垂直于 BC，交 BC 于点 E。
2.根据垂直平分线定理，得到 AE 是 BC 的垂直平分线，即 AE=EC。
3.同理，作 AF 垂直于 CD，交 CD 于点 F，得到 AF=FD。
4.由于 AE=EC，AF=FD，所以四边形 AEFC 是矩形。
5.根据矩形的性质，得到 AC=EF，BD=AE。
6.因此，AC×BD=EF×AE，即 AC×BD=AB×CD。
四、托勒密定理的应用托勒密定理在数学中有广泛的应用，下面举一个简单的例子：已知一个圆内接四边形 ABCD，其中 AB=3，BC=4，CD=5，AD=6。
求 AC 的长度。
根据托勒密定理，有 AC×BD=AB×CD，代入已知数值，得到 AC×6=3×5，解得 AC=2.5。
五、总结托勒密定理是数学中的一个基本定理，它描述了圆内接四边形对角线的乘积与两对对边乘积之间的关系。
通过纯几何法的证明，我们可以更好地理解该定理的含义。
初中数学竞赛知识点归纳(定理)
1.中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)初中竞赛需要，重要2.托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC初中竞赛需要，重要3.梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1初中竞赛需要，重要4.梅涅劳斯定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要5.梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R 三点共线。
不用掌握6.梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线不用掌握7.、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.初中竞赛需要，重要8.塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M不用掌握9.塞瓦定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要10.塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应该用中位线证明才漂亮11.塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。
不用掌握12.西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线)初中竞赛的常用定理13.西摩松定理的逆定理：(略)初中竞赛的常用定理14.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角15.圆的外切四边形的两组对边的和相等16.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 第一角元形式的梅涅劳斯定理 且因为AF=BF 所以AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点 此外，可用定比分点来定义塞瓦定理： 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。
数学奥赛-1(托勒密定理)
托勒密定理定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。
定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。
）在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD因为△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)又有比例式AB/AC=AE/AD而∠BAC=∠DAE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、B C、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数恒等式：(a− b)(c− d) + (a− d)(b− c) = (a− c)(b− d) ，两边取模，运用三角不等式得。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。
四点不限于同一平面。
平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
二、设ABCD是圆内接四边形。
在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。
在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。
高中数学联赛常用定理
常用定理1、费马点（I）基本概念定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
（II）证明我们要如何证明费马点呢：费马点证明图形(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B同理可得∠CBP=∠CA1P由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度同理,∠APB=120度，∠APC=120度(2)PA+PB+PC=AA1将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB 为等边三角形，所以∠BPD=60度又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。
平面四边形费马点平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。
（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。
费马点（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。
经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
初中数学竞赛重要定理及结论最新版最完整版
初中数学竞赛重要定理、公式及结论陈氏版平面几何篇【三角形面积公式（包括海伦公式）】C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==,其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径,r 为内切圆半径，)(21c b a p ++= 【斯特瓦尔特(Stewart )定理】设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ,则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．【托勒密（Ptolemy ）定理】圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，（逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．【蝴蝶定理】AB 是⊙O 的弦，M 是其中点,弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，则MP =QM ．【勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）】(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和,加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．【中线定理（巴布斯定理)】设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+;中线长：222222a c b m a -+=． 【垂线定理】2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---= 【角平分线定理】三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如△ABC 中,AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理)．角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 【正弦定理】R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 【余弦定理】C ab b a c cos 2222-+= A cb b c a cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+=【张角定理】ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin【圆周角定理】同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．【弦切角定理】弦切角等于夹弧所对的圆周角．【圆幂定理】（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理)：切线长定理:）【射影定理（欧几里得定理）】直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
托勒密定理及其应用——初中生数学竞赛训练用
托勒密定理及其应用——初中生数学竞赛训练用提出“地心说”的托勒密，在几何上留有有著名的托勒密定理。
托勒密定理托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和。
如下图已知:四边形ABCD内接于⊙O中，求证AC.BD=AB.DC+BC.AD证明：以B点为顶点，AB为一边做∠BAE=∠DAC与BD相交于E ⊿ABE与⊿ACD中，∵∠BAE=∠CAD,∠ABE=∠ACD(同弧度所对圆周角)∴⊿ABE～⊿ACD（三角形两角相等三角形相似）AB:AC=BE:DC=>AB.DC=BE.AC (1)⊿BAD与⊿BEC中,∠BAC=∠EAD∠BCA=∠EDA∴⊿BCA～⊿EDA（三角形两角相等三角形相似）∴BC:ED=AC:AD=>BC.AD=ED.AC (2)(1)+(2)得到AB.DC+BC.AD=BE.AC+EF.AC=(BE+ED).AC=BD.AC托勒密定理证明几何题例题1.等边三角形ABC外一点D,∠BDC=1200,求证:AD=BD+BC 证明：A,B,C,D四点共圆，令正三角形边长为a由托勒密定理AB.DC+AC.BD=AD.BC即a.DC+a.BD=a.BC∴DC+BD=BC例题2.锐角三角形ABC中O是外心，A1,B1,C1是各边中点，求证OA1+OB1+OC1=R+r，其中R是ABC外接圆半径，r是内切圆半径。
证明：设AB=c，BC=a，CA=b。
如图C1,B1是AB,AC中点，所以C1B1=1/2BC=1/2a，AB1=1/2AC=1/2b,AC1=1/2AB=1/2cOC1⊥AB,OC2⊥AC，A,C1,O,B1四点共圆。
由托勒密定理：OA.C1B1=AC1.OB1+AB1.OC1R．1/2 a=1/2c.OB1+1/2b.OC1c.OB1+b.OC1=a.R (1)同理c．OA1+a.OC1=b.R (2)a.OB1+b.OA1=c.R (3)而a. OA1+b.OB1+c.OC1=2S⊿ABC=(a+b+c).r (4)由（1），（2），（3），（4）得（OA1+OB1+OC1）.(a+b+c)=(a+b+c).(R+r)从而得到：OA1+OB1+OC1= R+r托勒密定理直观说明三角公式和角公式我们在直径为1的圆中，作下图：根据托勒密定理我们有：AB.DC+AD.BC=AC.BDAC=1，也就是说：sin(α+β)=sinα.cosβ+cosα.cosβ差角公式在上图中我们有：sin(α-β)= sinα.cosβ-cosα.cosβ接着我们代数推导cos(α+β)=?cos(α+β)=sin(900-α-β)=sin(900-α)cosβ-cos(900-α)sinβ=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)的公式作为习题，请自己推导。
竞赛讲座 06平面几何四个重要定理
平面几何四个重要定理四个重要定理：梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充要条件是。
塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的充要条件是。
托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
例题：1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。
求证：。
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理）【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。
2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。
求证：。
【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。
DEG截△ABM→（梅氏定理）DGF截△ACM→（梅氏定理）∴===1【评注】梅氏定理3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，，AD、BE、CF交成△LMN。
求S△LMN。
【分析】【评注】梅氏定理4．以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。
求证：AE、BF、CG相交于一点。
【分析】【评注】塞瓦定理5．已知△ABC中，∠B=2∠C。
求证：AC2=AB2+AB·BC。
【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。
则CD=DA=AB，AC=BD。
由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。
【评注】托勒密定理6．已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。
求证：。
（第21届全苏数学竞赛）【分析】【评注】托勒密定理7．△ABC的BC边上的高AD的延长线交外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交AC延长线于F。
求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。
高中数学竞赛 平面几何的几个重要定理——托勒密定理
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．即：ABCD AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅≥⋅定理：在四边形中，有：ABCD 并且当且仅当四边形内接于圆时，等式成立；()ABCD E BAE CAD ABE ACDAB BE ABE ACD AB CD AC BE AC CD AB AE BAC EAD ABC AED AC ADBC ED AD BC AC ED AC ADAB CD AD BC AC BE ED AB CD AD BC AC BD E BD A B C ∠=∠∠=∠∆∆∴=⇒⋅=⋅=∠=∠∴∆∆∴=⇒⋅=⋅∴⋅+⋅=⋅+∴⋅+⋅≥⋅证：在四边形内取点，使，则：和相似又且和相似且等号当且仅当在上时成立，即当且仅当、、、一、直接应用托勒密定理例1 如图2，P 是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点(不与B 、C 重合)， 求证：PA=PB ＋PC ．分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA ·BC=PB ·AC ＋PC ·AB ，∵AB=BC=AC ． ∴PA=PB+PC ．二、完善图形 借助托勒密定理例2 证明“勾股定理”：在Rt △ABC 中，∠B=90°，求证：AC 2=AB 2＋BC 2 证明：如图，作以Rt △ABC 的斜边AC 为一对角线的矩形ABCD ，显然ABCD 是圆内接四边形．由托勒密定理，有 AC ·BD=AB ·CD ＋AD ·BC ． ①又∵ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AD=BC ，AC=BD ． ②把②代人①，得AC 2=AB 2＋BC 2．例3 如图，在△ABC 中，∠A 的平分 线交外接∠圆于D ，连结BD ，求证：AD ·BC=BD(AB ＋AC)．证明：连结CD ，依托勒密定理，有AD ·BC ＝AB ·CD ＋AC ·BD ．∵∠1=∠2，∴ BD=CD ．故 AD ·BC=AB ·BD ＋AC ·BD=BD(AB ＋AC)．三、构造图形 借助托勒密定理例4 若a 、b 、x 、y 是实数，且a 2＋b 2=1，x 2＋y 2=1．求证：ax ＋by ≤1．证明：如图作直径AB=1的圆，在AB 两边任作Rt △ACB 和Rt △ADB ，使AC ＝a，BC=b，BD ＝x ，AD ＝y ．由勾股定理知a 、b 、x 、y 是满足题设条件的．据托勒密定理，有AC ·BD ＋BC ·AD=AB ·CD ．∵CD ≤AB ＝1，∴ax ＋by ≤1．四、巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理例5 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2=b(b ＋c)，求证：∠A=2∠B ．分析：将a 2=b(b ＋c)变形为a ·a=b ·b ＋bc ，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b ，两对角线为a ，一底边为c ．证明：如图 ，作△ABC 的外接圆，以 A 为圆心，BC 为半径作弧交圆于D ，连结BD 、DC 、DA ．∵AD=BC ，ACD BDC =∴∠ABD=∠BAC ．又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．依托勒密定理，有BC ·AD=AB ·CD ＋BD ·AC ． ①而已知a 2=b(b ＋c)，即a ·a=b ·c ＋b 2． ②∴∠BAC=2∠ABC ．五、巧变形 妙引线 借肋托勒密定理例6 在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶4，分析：将结论变形为AC ·BC ＋AB ·BC=AB ·AC ，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形．如图，作△ABC 的外接圆，作弦BD=BC ，边结AD 、CD ．在圆内接四边形ADBC 中，由托勒密定理，有AC ·BD ＋BC ·AD=AB ·CD易证AB=AD ，CD=AC ，∴AC ·BC ＋BC ·AB=AB ·AC ，1.已知△ABC 中，∠B=2∠C 。
托勒密定理题目
托勒密定理题目
【原创实用版】
目录
1.托勒密定理的背景和基本概念
2.托勒密定理的证明方法
3.托勒密定理的应用领域
4.托勒密定理的历史意义和影响
正文
托勒密定理是欧拉公式的推广，欧拉公式是复指数函数的解析式，而托勒密定理则将欧拉公式的指数部分推广到了非整数，从而得到了更一般的结果。
托勒密定理的证明方法十分巧妙，它利用了复数的幂运算和三角函数的性质。
具体来说，托勒密定理的证明过程可以分为两步，第一步是利用欧拉公式将指数部分转化为三角函数，第二步是利用三角函数的性质将指数部分化简为整数。
托勒密定理在数学领域中有广泛的应用，例如在复分析、调和分析、复数微积分等方面都有重要的应用。
此外，托勒密定理还与黎曼猜想等数学难题有密切的联系。
托勒密定理的历史意义和影响深远。
它不仅推动了数学的发展，而且也为物理学、工程学等领域提供了重要的理论支持。
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初中几何压轴题神器--托勒密定理
初中几何压轴题神器--托勒密定理
托勒密定理虽然不是课本上讲的知识点。
但是经常出现在初中的几何
压轴题中。
下面介绍下，我们常用的知识点。
（1）必备知识点，四点共圆
四点共圆是非常高效的倒角方法。
主要有下面两种常见情况
第1种：对角互补四边形，四点共圆。
即如果出现了一个四边形，对
角互补，那么这四个顶点一定在一个圆上。
我们可以做出辅助圆，用圆的
图形帮助倒角。
这个其实就是圆内接四边形对角互补的逆命题，这是真命题。
第2种：八字角图形，四点共圆。
即如果出现八字角图形，对应的八
字角相等，那么也四点共圆
这个其实就是圆周角定理推论的逆命题，这是真命题。
如下图
1定理内容
2图形表示
3定理证明
证明过程是通过构建两组相似三角形证明的可以不必要掌握证明过程，了解就好。
4用法
初中的用法就是求四点共圆四边形的边的长度关系，例如下图
实战应用：例如下题的最后一问的最后一种解法：。
托勒密定理(学生版)
托勒密定理1．托勒密定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．翻译：在四边形ABCD中，若A、B、C、D四点共圆，则AC BD AB CD AD BC⋅=⋅+⋅．DCBA2．证明：在线段BD上取点E，使得∠BAE=∠CAD，易证△AEB∽△ADC，∴AB BEAC CD=，即AC BE AB CD⋅=⋅，当∠BAE=∠CAD时，可得：∠BAC=∠EAD，易证△ABC∽△AED，∴AD DEAC CB=，即AC DE AD BC⋅=⋅，∴AC BE AC DE AB CD AD BC⋅+⋅=⋅+⋅，∴AC BD AB CD AD BC⋅=⋅+⋅．3．推广（托勒密不等式）：对于任意凸四边形ABCD，有AC BD AB CD AD BC⋅≤⋅+⋅AB CD证明：如图1，在平面中取点E使得∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD，易证△ABE∽△ACD，∴AB BEAC CD=，即AC BE AB CD⋅=⋅①，图1图2连接DE，如图2，∵AB AEAC AD=，∴AB ACAE AD=，又∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE，∴△ABC∽△AED，∴AD DEAC BC=，即AC DE AD BC⋅=⋅②，将①+②得：AC BE AC DE AB CD AD BC⋅+⋅=⋅+⋅，∴()AC BD AC BE DE AB CD AD BC⋅≤⋅+=⋅+⋅即AC BD AB CD AD BC⋅≤⋅+⋅，当且仅当A、B、C、D共圆时取到等号．4．托勒密定理在中考题中的应用（1）当△ABC是等边三角形时，如图1，当点D在弧AC上时，根据托勒密定理有：DB AC AD BC AB CD⋅=⋅+⋅，又等边△ABC有AB=AC=BC，故有结论：DB DA DC=+．图1证明：在BD 上取点E 使得DE =DA ，易证△AEB ∽△ADC ，△AED ∽△ABC ，利用对应边成比例，可得：DB DA DC =+．如图2，当点D 在弧BC 上时，结论：DA =DB +DC ．图2【小结】虽然看似不同，但根据等边的旋转对称性，图1和图2并无区别． （2）当△ABC 是等腰直角三角形，如图3，当点D 在弧BC 上时，根据托勒密定理：AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅， 又::AB ACBC =BD CD =+．图3如图4，当点 D 在弧AC 上时，根据托勒密定理：AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅， 又::AB ACBC =BD CD =+．图4（3）当△ABC 是一般三角形时，若记BC ：AC ：AB =a ：b ：c ， 根据托勒密定理可得：a AD b BD c CD ⋅=⋅+⋅1．（2019·仙桃）已知ABC ∆内接于O ，∠BAC 的平分线交O 于点D ，连接DB ，DC ． （1）如图①，当120BAC ∠=︒时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式： ；（2）如图②，当90BAC ∠=︒时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若5BC =，4BD =，求ADAB AC+的值．图3图1图22．（2019·威海）（1）方法选择如图①，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==．求证：BD AD CD =+．小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM ⋯ 小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =⋯ 请你选择一种方法证明． （2）类比探究 【探究1】如图②，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ，BC 是O 的直径，AB AC =．试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论． 【探究2】如图③，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O 的直径，30ABC ∠=︒，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是 ．（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是 ．图4图3图2图13．（2017·临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC ，BD 是四边形ABCD 的对角线，若60ACB ACD ABD ADB ∠=∠=∠=∠=︒，则线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB 到E ，使BE CD =，连接AE ，证得△ABE ≌△ADC ，从而容易证明ACE ∆是等边三角形，故AC CE =，所以AC BC CD =+． 小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转60︒，使AB 与AD 重合，从而容易证明ACF ∆是等边三角形，故AC CF =，所以AC BC CD =+． 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“60ACB ACD ABD ADB ∠=∠=∠=∠=︒”改为“45ACB ACD ABD ADB ∠=∠=∠=∠=︒”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明． （2）小华提出：如图5，如果把“60ACB ACD ABD ADB ∠=∠=∠=∠=︒”改为“ACB ACD ABD ADB α∠=∠=∠=∠=”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．图5ABCD图4DBA 图3FDBAEDBA图1ABD图24．（2016·淮安中考）问题背景：如图①，在四边形ADBC 中，90ACB ADB ∠=∠=︒，AD BD =，探究线段AC ，BC ，CD 之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将BCD ∆绕点D ，逆时针旋转90︒到AED ∆处，点B ，C 分别落在点A ，E 处（如图②)，易证点C ，A ，E 在同一条直线上，并且CDE ∆是等腰直角三角形，所以CE，从而得出结论：AC BC +=． 简单应用：（1）在图①中，若ACBC =CD = ． （2）如图③，AB 是O 的直径，点C 、D 在上，AD BD =，若13AB =，12BC =，求CD 的长．拓展规律：（3）如图④，90ACB ADB ∠=∠=︒，AD BD =，若AC m =，()BC n m n =<，求CD 的长（用含m ，n 的代数式表示）（4）如图⑤，90ACB ∠=︒，AC BC =，点P 为AB 的中点，若点E 满足13AE AC =，CE CA =，点Q 为AE 的中点，则线段PQ 与AC 的数量关系是 ．图5图1图2图3图4ACDAB BED CB AA BCD。
3-7新三板斧之托勒密定理
专题7新三板斧之托勒密定理秒杀秘籍：第一讲新三板斧之托勒密定理托勒密定理：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图上，设四边形ABCD 内接于圆O ，则有AB CD AD BC AC BD ×+×=×，证明：不妨在AC 上取一点E ，使ADE BDC ∠=∠，由DAE DBC ∠=∠，得AED △∽BCD △，所以BDAD BC AE =，即BC AD BD AE ⋅=⋅①又由ADB EDC ∠=∠，ADB ECD ∠=∠，ABD ∆∽ECD ∆，所以CDBD EC AB =，即CD AB BD EC ⋅=⋅②两式相加得BC AD CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅.广义托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD AD BCAC BD ，当且仅当四边形ABCD 四点共圆时，等号成立.证明：在四边形ABCD 内取一点E 使∠ABE =∠ACD ，∠BAE =∠CAD ，则ACDABE ∽△△∴AB BE AB CD AC BE AC CD ==，又AD AE AC AB = ，且∠BAC =∠EAD ，∴ABC △∽AED △，∴BC ED AD BC AC ED AC AD=⇒⋅=⋅；由①+②得)(ED BE AC BC AD CD AB +⋅=⋅+⋅，∴AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅≥⋅，等号当且仅当点E 在BD 上，即A ，B ，C ，D 四点共圆时成立.【例1】（2018•德州二模）ABC △中，2AB =1AC =，以B 为直角顶点作等腰直角(BCD A △，D 在BC 两侧），当BAC ∠变化时，线段AD 的长度最大值为．【例2】（2018•宁城模拟）在平面四边形ABCD 中，1AB =，5AC =，BD BC ⊥，2BD BC =，则AD 的最小值为．【例3】（衡水金卷）已知ABC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，D 为ABC △外的一点，且2CD =，2AD =，则BCD △面积的最大值为.例3图1例3图2例3图3达标训练1．（2018•唐山三模）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，24c b ==，角A 的内角平分线交BC 于点D ，且2AD ，则cos A =（）A ．716-B ．78-C ．328-D ．916-2．（2018•江苏）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．3．（2018•唐山三模）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A 的内角平分线交BC 于点D ，若1a =，112b c +=，则AD 的取值范围是．4．（2018•长春二模）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若其面积2sin S b A =，角A的平分线AD 交BC 于D ，33AD =，3a =b =．5．（2019•深圳一模）在ABC △中，150ABC ∠=︒，D 是线段AC 上的点，30DBC ∠=︒，若ABC △的面积3BD 取到最大值时，AC =．6．（2019•黄山三模）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，1c =，2A B =，则a 的值为（）A 2B ．22C 3D ．37．（2019•南京期中）在ABC ∆中，已知3A π=，23a =，角A 的平分线交边BC 于点D ，ABC ∆的面积为23，则AD 的长为．8．（2019•拉萨二模）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC ∆的面积为．9．（2019•浙江期中）已知ABC ∆中，A ∠的平分线交对边BC 于点D ，3AB AC =，且AD kAC =，则实数k 的取值范围是．10．（2019•高邮期中）在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若22b c ac =+，则b c 的取值范围是（）A ．(2，2)B ．(1,2)C ．(3，2)D ．(23)11．（2018•龙岩期末）已知在ABC △中，23BAC π∠=，点P 在边BC 上，且AP AB ⊥，3AP =．（1）若7PC =，求PB ；（2）求21PB PC +的取值范围．12．（2018•山东模拟）如图所示，在ABC △中，7BC =，23AB AC =，P 在BC 上，且30BAP PAC ∠=∠=︒．求线段AP 的长．13．（2019•沈阳一模）在ABC △中，3a =，6b =，2B A =．（1）求cos A 的值；（2）试比较B ∠与C ∠的大小．14．（2019•上饶模拟）已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，S 为ABC ∆的面积，222sin()S B C a c +=-．（1）证明：2A C =；（2）若2b =，且ABC △为锐角三角形，求S 的取值范围．15．（2019•沈阳期中）在ABC △中，6AB =，7AC =，M 是BC 边上一点，且2BM MC =，4AM =，则BC 等于（）A 129B ．233C ．56D 15416．（2018•石家庄期末）在ABC △中，D 为边BC 的中点，2AB =，4AC =，7AD =，则BAC ∠为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒17．（2018•河南期中）在ABC △中，若cos 4AB BC B ⋅⋅=，||32BC BA -=，则ABC △面积的最大值为．18．（2018•温州模拟）在ABC △中，AD 为BC 上的中线，1AB =，5AD =，45ABC ∠=︒，则sin ADC ∠=，AC =．19．（2018•汕头一模）在ABC △中，6A π=且21sin cos 22C B =，BC 7，则ABC △的面积是．20．（2018•张家口期末）在锐角ABC △中，2AC =，2AB =，D 在BC 边上，并且2BD DC =，6CAD π∠=，则ABC ∆的面积为．21．（2018•广平县月考）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，45B =︒，5AC =55cos =C ，求（1）求BC 的长；（2）若点D 是AB 的中点，求中线CD 的长度．1BD =22.（2015•无锡月考）在ABC △中，3A π∠=，3=BC ，点D 在BC 边上．（1）若AD 为A ∠的平分线，且，求ABC △的面积；（2）若AD 为ABC △的中线，且332AD =，求证：ABC △为等边三角形．23.（2016•深圳二模）如图，在凸四边形ABCD 中，1=AB ，3=BC ，CD AC ⊥，CD AC =，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为．23题图24题图24.（2017•连云港期末）如图，半圆O 的半径为1，A 为直径延长线上一点，2=OA ，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边ABC △，设θ=∠AOB ．线段OC 长度的最大值为，此时θ的值为．25.如图，在凸四边形ABCD 中，1AB =，3BC =AC DC ⊥，3CD =．设ABC θ∠=．（1）若30θ=︒，求AD 的长；（2）当θ变化时，求BD 的最大值．26.（2018•湖北联考）已知ABC △是等边三角形，D 为ABC △外的一点，且，24CD AD ==，则BCD △面积的最大值为．27.（老唐原创题）平面四边形ABCD 中，56AB BC AC ==，323DC ==，则BCD △面积的最大值为．28.如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．（1）证明：1cos tan 2sin A A A-=；（2）已知6AB =，3BC =，4CD =，5AD =．①若180A C +=︒，求tantan tan tan 2222A B C D +++的值；②求四边形ABCD 面积的最大值．。
平面几何竞赛基础16托勒密定理及其逆定理
平面几何竞赛基础16 ── 托勒密定理及其逆定理姓名_____________爱因斯坦曾说：如果平面几何不能激起一个人的好奇心，那么这个人在科学上的发展也不会很远诶． 自学处理方法：先阅读完成例题解答，再独立完成练习并将解答回发*****************邮箱，以便批阅反馈． 注意要求目的：要求独立完成，可以参阅资料．目的是开学后考试选拔100名思维好且钻研能力强的竞赛选手．一、基本知识定理：圆内接四边形ABCD 的两组对边乘积之和等于它的两条对角线的乘积．即：AB CD BC AD AC BD += ．其逆命题也成立，称为逆定理；但应用逆定理解题是冷点，应重视它．（注：对于一般的四边形则是“≥”，称为托勒密不等式）证明：（提示：BCE DCA ∠=∠，交BD 于E ）DABCE二、重要例题例1．已知：P 是等边ΔABC 外接圆上的一点，求证：P A =PB +PC ．（提示：直接使用） 证明：ABCP例2．设多边形7321A A A A 是一个正七边形；求证：413121111A A A A A A +=．（提示：选准四边形） 证明：A 3A 4A 5A 6A 7A 1A 2例3．如图，设x ，y ，z 为ΔABC 的外心O 到三边的距离，R ，r 分别为ΔABC 的外接圆和内切圆的半径；求证：x +y +z =R +r ．（提示：注意选择四点共圆，运用定理） 证明：ABCDEFO三、巩固练习16 （以下两道题的解答要回发到邮箱*****************） 1．如图1，由圆O 的弧AB 的中点C 引弦CD ，CE 分别与弦AB 相交于点F ，G ；求证：DG •EF =FD •GE +DE •FG ．ABCDEFG图12．如图2，已知在ΔABC 中，AB >AC ，∠A 的一个外角的平分线交ΔABC 的外接圆于点E ，过E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，求证：2AF =AB -AC ．A BCFE图23．如图3，在ΔABC 中，AB =AC ，线段AB 上有一点D ，线段AC 的延长线上有一点E ，使得DE =AC ，线段DE 与ΔABC 的外接圆交于点T ，P 是线段AT 的延长线上的一点；若点P 在ΔADE 的外接 圆上，求证：点P 满足：PD +PE =AT ．ABC PET D图3。
托勒密定理推广
托勒密定理推广托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理之一，它描述了一个四边形的对角线长度与它的两组对边长度之间的关系。
在这篇文章中，我们将会推广托勒密定理并给出其详细证明。
一、托勒密定理简介在欧几里得几何中，托勒密定理是一个四边形的对角线长度与它的两组对边长度之间的关系。
具体来说，如果ABCD是一个四边形，且AC和BD是其对角线，则有：AC² + BD² = AB² + CD²这个公式被称为托勒密定理，其中AB和CD以及AD和BC是四边形ABCD的两组对边。
二、托勒密定理推广除了常见的四边形外，我们还可以将托勒密定理推广到其他图形上。
下面我们将分别讨论三角形、五边形和六边形上的情况。
1. 三角形在三角形ABC中，假设D为BC上一点，则有：AD² = AB² + BD × DC证明如下：根据余弦定理可知：cos∠ABC = (AB² + BC² - AC²) / (2 × AB × BC)cos∠ACB = (AC² + BC² - AB²) / (2 × AC × BC)将cos∠ABC和cos∠ACB带入到BD和DC的长度中，可得：BD = BC × cos∠ACBDC = BC × cos∠ABC代入到托勒密定理中，可得：AD² = AB² + BD × DC= AB² + BC² × cos∠ABC × cos∠ACB这就是三角形上的托勒密定理。
2. 五边形在五边形ABCDE中，假设AC和BD相交于点P，则有：AP × CP + BP × DP + EP² = CP × EP + DP × EP + AP² + BP²证明如下：将五边形ABCDE分成三个三角形：ABP、BCD和CDE。
托勒密法则
托勒密法则，也称为托勒密定理，指的是在一个圆内接的四边形中，两组对边（分别记为AB和CD）的乘积之和等于这两条对角线（分别记为AC和BD）的乘积。
具体来说，如果四边形ABCD是一个圆内接的四边形，那么有以下关系：AC \times BD = AB \times CD + AD \times BC
这意味着，如果四边形ABCD被视为一个整体，那么它的内部结构可以被看作是由两个小的直角三角形和一个大的直角三角形组成的，这三个三角形都围绕着圆心。
在这个几何构造中，较小的两个三角形分别对应于对边AB和CD，较大的三角形则是对角线AC和BD。
因此，这两个三角形的面积可以通过勾股定理求出，然后通过上述公式将这些面积的关系表达出来。
此外，托勒密的不等式也可以从这一基本定理中推导出来，它是关于凸四边形任意两组对边乘积的比较性质.
这里的证明涉及到复数恒等式和一些三角函数的变换，但并不复杂。
简而言之，如果两个四边形共享一条边，并且它们的另一个对角线也相互垂直，那么它们就构成共圆的情况。
在这种情况下，根据勾股定理和对边乘积的关系，可以得出不等式成立的条件。
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托
勒密定理 Ptolemy (约公元85年~165年)，希腊数大天文学家，他的主要着作《天文集》被后人称为“伟大的数学书”。
托勒密定理 圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和。
已知：四边形ABCD 内接于圆，如图，求证：AB·CD+BC·AD=AC·BD
证明：在∠BAD 内作∠BAE =∠CAD ，交BD 于E 。
因∠ABE=∠ACD ，所以△ABE ∽△ACD ， 从而AB·CD =AC·BE ①；
易证△ADE ∽△ACB ，所以BC·AD=AC·DE ②；
①+②得AB·CD+BC·AD=AC·BD 。
托勒密定理的逆定理：如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积，此四边形必内接于圆。
已知四边形ABCD 满足AB·CD+BC·AD=AC·BD ， 求证：A 、B 、C 、D 四点共圆。
证明：构造相似三角形，即取点E ，使∠BCE =∠ACD ，且∠CBE =∠
CAD ，则△CBE ∽△CAD 。
所以BC·AD=AC·BE ①；
又CD CA CE CB =，∠BCA =∠ECD ，所以△BCA ∽△ECD 。
AB·CD =AC·DE ②；①+②得AB·CD+BC·AD=AC·（BE+DE ）。
显然有BE+DE≥DB 。
于是AB·CD+BC·AD≥AC·DB 。
等号当且仅当E 在BD 上成立，结合已
知条件得到此时等号成立，这时∠CBD =∠CAD ，即A 、B 、C 、D 四点共圆。
托勒密定理的推广 托罗密不等式在四边形ABCD 中， 有AB·CD+AD·BC≥AC·BD. 并且当且仅当四边形内接于圆时，等式成立。
推论1（三弦定理） 如果A 是圆上任意一点，AB ，AC ，AD 是该圆上顺次的三条弦，则sin sin sin AC BAD AB CAD AD CAB ⋅∠=⋅∠+⋅∠
推论2（四角定理） 四边形ABCD 内接于O e ，则
直线上的托勒密定理（或欧拉定理） 若A ，B ，C ，D 为一直线上依次排序的四点，则AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅
一、直接应用托勒密定理
例1如图，P 是正△ABC 外接圆的劣弧
上任一点(不与B 、C 重合)，
求证：PA=PB ＋PC ．
分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为
繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA ·BC=PB ·AC ＋PC ·AB ，
∵AB=BC=AC ． ∴PA=PB+PC ．
二、完善图形借助托勒密定理
例2证明“勾股定理”：在Rt △ABC 中，∠B=90°，求证：AC 2=AB 2＋BC 2 E B
D A A D C B E
证明：如图，作以Rt △ABC 的斜边AC 为一对角线的矩形ABCD ，显然ABCD 是圆内接四边形．
由托勒密定理，有 AC ·BD=AB ·CD ＋AD ·BC ． ①
又∵ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AD=BC ，AC=BD ．②
把②代人①，得AC 2=AB 2＋BC 2．
例3如图，在△ABC 中，∠A 的平分线交外接∠圆于D ，连结BD ，
求证：AD ·BC=BD(AB ＋AC)．
证明：连结CD ，依托勒密定理，有AD ·BC ＝AB ·CD ＋AC ·BD ．
∵∠1=∠2，∴ BD=CD ．
故 AD ·BC=AB ·BD ＋AC ·BD=BD(AB ＋AC)．
三、构造图形借助托勒密定理
例4若a 、b 、x 、y 是实数，且a 2＋b 2=1，x 2＋y 2=1．求证：ax ＋by ≤1．
证明：如图作直径AB=1的圆，在AB 两边任作Rt △ACB 和Rt △ADB ，
使AC ＝a ，BC=b ，BD ＝x ，AD ＝y ．
由勾股定理知a 、b 、x 、y 是满足题设条件的．
据托勒密定理，有AC ·BD ＋BC ·AD=AB ·CD ．
∵CD ≤AB ＝1，∴ax ＋by ≤1．
四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理
例5已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2=b(b ＋c)，求证：∠A=2∠B ．
分析：将a 2=b(b ＋c)变形为a ·a=b ·b ＋bc ，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b ，两对角线为a ，一底边为c ．
证明：如图，作△ABC 的外接圆，以 A 为圆心，BC 为半径作弧交圆于D ，连结BD 、
DC 、DA ．∵AD=BC ，¼
¼ACD BDC =∴∠ABD=∠BAC ． 又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．
依托勒密定理，有BC ·AD=AB ·CD ＋BD ·AC ．①
而已知a 2=b(b ＋c)，即a ·a=b ·c ＋b 2． ②
∴∠BAC=2∠ABC ．
五、巧变形妙引线借肋托勒密定理
例6在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶4，
分析：将结论变形为AC ·BC ＋AB ·BC=AB ·AC ，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形．
如图，作△ABC 的外接圆，作弦BD=BC ，边结AD 、CD ．
在圆内接四边形ADBC 中，由托勒密定理，
有AC ·BD ＋BC ·AD=AB ·CD
易证AB=AD ，CD=AC ，∴AC ·BC ＋BC ·AB=AB ·AC ，
作业
1.已知△ABC 中，∠B=2∠C 。
求证：AC 2=AB 2+AB ·BC 。
2.证明：从圆周上一点到圆内接正方形的四个顶点的距离不可能都是有理数．
3.若a ≥b ≥c ＞0，且a ＜b +c ，解方程ax b x c c x b =-+-2222。
4.如图，圆O 外接于正方形ABCD ，P 为弧AD 上的任意一点，
求证PB PC PA +为定值。
O
C P。